Polarizáció Polarizáció: E(r,t) e. térerősség vektor rezgési iránya Monokromatikus fényre E(r,t): komponensei eltérő fázisú és amplitúdójú szinuszos rezgések → végpontja minden r pontban más-más ellipszist ír le (a). Paraxiális optika: fény terjedési iránya optikai (z) tengely körül kis kúpszögben; közel TEM rezgés → E(r,t) közel a transzverzális (xy) síkban; izotróp közeg: polarizációs ellipszis nem változik (b).
a
b
1
Polarizációs ellipszis orientációja és ellipticitása szerint: polarizációs állapot: lineáris, elliptikus, cirkuláris Ellipszis méretét az optikai intenzitás határozza meg. Polarizáció szerepe a fény–anyag kölcsönhatásban: • reflexió két anyag határfelületéről polarizációfüggő; • bizonyos anyagok abszorpciója polarizációfüggő; • fény szóródása anyagról polarizáció-érzékeny; • anizotróp anyag törésmutatója polarizációfüggő; • optikailag aktív anyagok a polarizációt forgatják. z-irányban terjedő monokromatikus síkhullám e. tere: ~ z E( z , t ) = Re{E( z , t )} = Re E 0 exp j 2 π f (t − ) = Re{E 0 e j(ωt −kz ) } c egységvektorokkal: k = k s = ω n s / c, z = z zˆ A komplex amplitúdó vektora: jϕ E 0 = E x 0 xˆ + E y 0 yˆ = a x e jϕ x xˆ + a y e y yˆ
2
Polarizációs ellipszis: Legyen az x komponens fázisa a referencia: ϕx = 0, ϕy = ϕ
E( z , t ) = E x ( z , t )xˆ + E y ( z , t )yˆ E x = a x cos(ωt − kz ) ≡ a x cos(ϕ 0 ) E y = a y cos(ωt − kz + ϕ ) ≡ a y cos(ϕ 0 + ϕ ) E x /a x = cos ϕ 0 E y /a y = cos ϕ 0 cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ = = ( E x /a x ) cos ϕ − 1 − ( E x /a x ) 2 sin ϕ Ey ay Ey ay
2
2Ex E y Ex − cos ϕ + ax a y ax 2
2Ex E y Ex − cos ϕ + ax a y ax
2
→ ... = −
E 2 cos ϕ = 1 − x a x
2
,
() 2
sin 2 ϕ
2
(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = sin 2 ϕ =1
3
Ellipszis parametrikus egyenlete: 2 Ex E y E x2 E y 2 + − 2 cos ϕ = sin ϕ 2 2 ax a y ax a y
Ellipszis alakja: ϕ = ϕ y − ϕ x fáziskülönbség; a y / a x tengelyarány; mérete: I =
υε 2
( a x2 +a 2y ) intenzitás.
4
Lineáris polarizáció: ay 0 a x = 0 vagy a y = 0 vagy ϕ = → E y = ± E x ax π
Cirkuláris polarizáció:
ϕ = ± π/ 2 (→ cos ϕ = 0) és a x = a y = a0 E x = a0 cos(ω t − kz + ϕ x ) és E y = m a0 sin(ω t − kz + ϕ x ) E x2 + E y2 = a02
5
Bázisok: 1. lineárisan polarizált bázis: E( z , t ) = E x xˆ + E y yˆ , E x = a x cos(ϕ 0 + ϕ x ), ~ helyett fazor : E = E x + j E y →
E y = a y cos(ϕ 0 + ϕ y )
E x = a x 12 [e j(ϕ x +ϕ0 ) + e − j(ϕ x +ϕ0 ) ] = 12 Ax e jϕ0 + 12 Ax* e − jϕ0 j(ϕ y +ϕ 0 ) − j(ϕ y +ϕ 0 ) 1 1 1 * − jϕ 0 jϕ 0 E y = a y 2 [e +e ] = 2 Ay e + 2 Ay e ~ 1 → E = 2 ( Ax + j Ay ) e jϕ0 + 12 ( Ax* + j A*y ) e − jϕ0
2. cirkulárisan polarizált bázis – előző alak új definíciót kínál:
AL ≡ 12 ( Ax + j Ay ) = a L e jϕ L * = + A A A x L R AR ≡ 12 ( Ax* + j A*y ) = a R e − jϕ R → * = − + A j( A A R L) ~ y − jϕ 0 jϕ 0 → E = AL e + AR e 6
Cirkulárisan polarizált bázis értelmezése egyszerűbb: β ≡ ϕL + ϕR α ≡ ϕL − ϕR ~ → E = Ex + j E y j
β
= e 2 [aL
α
j(ϕ 0 − ) 2 + e
α
aR
− j(ϕ 0 − ) 2 ] e
7
Jones-vektor: Ax J= Ay I = υε
| Ax|2 + |Ay|2 2
,
ay ax
=
|Ay| | Ax|
, ϕ = arg( Ay ) − arg( Ax )
Orthogonális polarizáció → {1;2} polarizációs állapot skaláris szorzata 0: J1J 2 = A1x A2*x + A1 y A2* y = 0
Polarizátorok mátrix leírása: A2 x T11 T12 A1x A = A T T 2 y 21 22 1 y
Jones-mátrix:
J 2 = TJ 1 8
Polarizációs eszközök: 1 0 a. lineáris polarizátor T = 0 0 b. polarizáció cosθ − sin θ T= forgató sin θ cos θ 0 1 c. fázistoló T = 0 exp( − j Γ ) F: gyors S: lassú
ha Γ =π /2 → λ /4 lemez (lin→cirk, cirk→lin)
ha Γ =π → λ /2 lemez (lin→lin)
9
Fényterjedés anizotróp közegben Anizotróp dielektrikum: makroszkopikus optikai tulajdonságai irányfüggőek, melyeket a molekulák alakja, orientációja, térbeli helyzete határoz meg.
Kettőstörés egykristályban:
10
Ordinárius nyaláb: mindig a beesési síkban törik a Snell-tv. szerint. Extraordinárius nyaláb: sin φ / sin φ E ≠ n Maxwell-egyenletek töltés és árammentes közegben: ∇ D = 0;
∇ B = 0;
∇ × E = −∂B / ∂ t ;
∇ × H = ∂D / ∂ t.
A megoldást E = E 0 exp[ j (ω t − k r )] síkhullám alakban keressük, ahol k = (2 π/λ ) s = (2 π f / υ ) s = (ω /υ ) s = (ω n /c) s, s s = 1, vagyis (∂ / ∂ t ) → jω ; ∇ → − j k = − j(ω n /c) s . ∇ × E = − j ω µ 0 H ; ∇ × H = jω D ; ∇ × (∇ × E) = − jω µ 0 (∇ × H) = − jω µ 0 (jω D) = µ 0 ω 2 D;
Mivel µ 0 ε 0 =1 /c 2, a vektorok kettős szorzata a×(b×c) = b(ac)−c(ab) : ω 2n2 ∇ × (∇ × E) = 2 [− j s(− j s E) − E{(− j s)(− j s)}] c n2 2 [ ] [E − s(sE)] D= E − s ( sE ) = ε n 0 2 µ 0c
11
E, D a dielektromos permittivitással kapcsolható össze, általánosan: D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ )E = ε 0ε r E = εE D1 = ε 11 E1 + ε 12 E2 + ε 13 E3 ,
D2 = ...,
D3 = ..., {1,2,3} = {x, y, z}.
ε11 ε12 ε13 D1 E1 P a polarizáció vektora, D = D2 , ε = ε 21 ε 23 ε 23 , E = E2 ε ε ε D E 3 3 31 32 33
Jelölés Einstein-konvenció szerint: azonos indexekre összegezni!
Di =
2 [Ei − si (s j E j )] = ε ij E j ε E = ε E → D = ε n i 0 ∑ ij j ij j 3
j =1
Átrendezve kapjuk a fény terjedését leíró sajátérték-egyenletet:
ε ij E j + [si s j E j − Ei ]ε 0 n 2 = 0 Az egyenlet ME=0 alakú, megoldása det(M)=0 esetben van. Adott s irányhoz meghatározhatók n értékei. Ha M ismert, meghatározható adott n-hez tartozó E.
12
Permittivitás tenzor (abszorpció és optikai aktivitás hiányában) • valós és szimmetrikus, ε ij = ε ji ; • elemei koordinátarendszer-függőek; mindig létezik olyan, ahol ε diagonális (főtengelyek): ε x 0 0 ε = 0 ε y 0 , ε i = {ε1 , ε 2 , ε 3 } = {ε x , ε y , ε z } 0 ε 0 z Ekkor a sajátérték-egyenlet egyszerűsödik: ε0 n
2
[E
i
− si s j E j
Bevezetve az ni2 =
εi ε0
]= ε E i
i
2
→ n Ei −
εi ε0
Ei = n 2 si s j E j
fő-törésmutatókat:
(n 2 − ni2 ) Ei = n 2 si s j E j
⋅ si
n 2 si2 → si Ei = 2 s E 2 j j n − ni
n 2 s x2 n 2 s 2y n 2 s z2 sE = 2 − 2 − 2 sE 2 2 2 n − n x n − n y n − n z
13
Fresnel-egyenlet (ha sE≠0, akkor E nem ⊥ s-re): 2 2 2 s s s 1 y x z = − − n 2 n 2 − n x2 n 2 − n y2 n 2 − n z2
• n2-re harmadrendű; • 2 pozitív gyök (na és nb) → Ea és Eb normál módusok. Bontsuk fel E-t s-re ⊥ és || komponensekre: E|| = (Es)s , E ⊥ = E − E||
D ⊥ s, mert D = ε 0 n 2 [E − s(sE)] = ε 0 n 2 E ⊥ .
Ha na ≠ nb , a normál módusok: Da ⊥ Db → Ea ⊥ Eb , mert E b D a = Eb ,i ε ij Ea , j = Ea , j ε ji Eb ,i = E a Db , E b D a = E b ε 0 na2 E a⊥ = E a Db = E a ε 0 nb2 E b⊥ 2 2 (na − nb ) E a ⊥ E b ⊥ = 0 E b E a⊥ = (E b|| + E b⊥ ) E a⊥ = (E b||E a⊥ ) + (E b⊥ E a⊥)
14
1 Poynting-vektor: S = E × H * (Wm–2, a teljesítményáram iránya) 2 2 υε 2 | E0 | 2 Optikai intenzitás: I [W/m ] =< S (t ) >=| Re{S} |= | E0 | = 2 2η [ Ω ] A mágneses tér: k ×E n B= = s × E = µ0 H c ω H = ε0 n c s × E D, E, k, S egy síkban fekszik, amelyre ⊥ B, H: Impermeabilitás tenzor: ε 0 Ei = ε 0 ε
−1 ij D j
1 = 2 D j . n ij
Index ellipszoid: impermeabilitás leírása másodrendű felülettel: 1 2 xi x j = 1 n ij
15
Diagonális tenzor esetén xi = {x, y, z} : x2 y2 z 2 + 2 + 2 =1 2 nx n y nz a. izotróp kristály → index ellipszoid gömb: n x2 = n 2y = n z2
b. egytengelyű kristály (hexa-, tetra-, trigonális) → forgási ellipszoid: n x2 = n 2y ≠ n z2
x2 y2 z 2 + 2 + 2 =1 2 no no ne
pozitív egytengelyű: ne>no , negatív egytengelyű: ne<no . c. kéttengelyű kristály (rombos, monoklin, triklin): n x2 ≠ n 2y ≠ n z2 .
16
Hullámszámvektor-diagram: Fresnel:
n 2 si2 =1 → 2 2 n − ni
k 2 si2 , 2 2 2 k − ni k 0
ka na = , k0
kb nb = k0
17
z Speciális eset – egytengelyű kristály A diagonális s.é. egyenlet átrendezve: (n 2 − ni2 ) Ei = n 2 si s j E j → 2
(n −
ni2 ) Ei
y
2
− n si ( s j E j ) = 0
legyen ni = {no , no , ne }, és az yz síkban s = {0, sin θ , cos θ }
s.é. egyenletbe írva komponensenként: = 0 2 2 2 (n − no ) E y − n sin θ (0 E x + sin θ E y + cosθ E z ) = 0 2 2 2 (n − ne ) E z − n cosθ (0 E x + sin θ E y + cosθ E z ) = 0
(n 2 − no2 ) E x − n 2 0 ( )
I. megoldás: Eo , x ≠ 0, Eo , y = Eo , z = 0, n 2 = no2 Do , x = ε 0 no2 E x , Do , y = Do , z = 0 → D o = ε 0 no2 E o
18
II. megoldás: Eo , x = 0, Eo , y ≠ 0, Eo , z ≠ 0 (n 2 − no2 − n 2 sin 2 θ ) E y − n 2 sin θ cosθ E z = 0 2 2 n cos θ 2 2 2 2 2 − n cosθ sin θ E y + (n − ne − n cos θ ) E z = 0 2 2 n sin θ determináns = 0 : no2 ne2 + n 4 sin 2 θ cos 2 θ − n 4 sin 2 θ cos 2 θ − n 2 (no2 sin 2 θ + ne2 cos 2 θ ) = 0 1 cos 2 θ sin 2 θ = + 2 2 n (θ ) no ne2
fázissebesség (vf || k), sugársebesség (vs || S) → csoportsebesség!
19
Síkhullám beesése anizotróp közeg határán: k 0 sin θ1 = k sin θ k = n(θ )k 0 → sin θ1 = no sin θ o , sin θ1 = n(θ e ) sin θ e
k-diagram
fázisfrontdiagram ~ υ ~ ω/k 20
Polarizáció-érzékeny eszközök: a. dikroikus polarizátor (szelektív abszorpció): anizotróp molekulaszerkezet, mely E-irányra érzékenyen reagál. Malus-tv.: Ha áteresztési irány és E iránya ψ : E ' = E cosψ → S = S ' cos 2 ψ
b. szelektív reflexió: izotróp dielektrikumok határfelületén (Brewster-beesési szög).
21
c. polarizációs nyalábosztó (anizotróp, kettőstörő anyag).
d. fázistoló lemez: Γ, gyors (F) és lassú (S) tengelyek (n1
Keresztezett polarizátorok között: Γ változtatásával transzmisszió változik: ~sin2(Γ /2) 22
Optikai aktivitás – helikális (csavart) molekulaszerkezet, az ehhez tartozó anyagegyenlet: D = εE + ε 0ξ (jωB) = εE + ε 0ξ (−∇ × E)
azaz, időben változó mágneses tér köráramot hoz létre, mely eredő elektromos dipólusmomentumot indukál. E(r ) = E e − jkr
síkhullám esetén:
ε xx D = εE + jε 0ξ k × E = ε' E, ahol ε' = ε 0 − jξ xyz k z 0
Sajátértékek:
jξ xyz k z
ε yy 0
0 0 ε zz
n{2R } = n±2 = ε xx ± ξ xyz k z = no2 ± ξ xyz k z L
Normál módusok: D = ε 0 n±2 E, ha E = ( E0 , ± jE0 , 0), azaz cirkuláris p . Fajlagos forgatás: ρ ≡
π (nL − nR ) λ0
→ ∆(β /2) = ρ z 23
