PRAKATA
Puji syukur kami panjatkan kepada Alloh swt yang telah melimpahkan kasih sayangnya sehingga buku yang berjudul “METODE NUMERIK dengan MATLAB” ini dapat kami selesaikan penulisannya. Metode numerik merupakan sebuah matakuliah yang sangat penting untuk diselenggarakan di jurusan-jurusan sains maupun teknik. Pentingnya metode numerik mengingat tidak semua masalah yang berkaitan dengan ungkapan matematis dapat diselesaikan dengan cara analitis. Apalagi sudah menyangkut masalah-masalah fisika tingkat tinggi, metode numerik menjadi sangat penting peranannya di dalam menyelesaikannya. Buku ini berisi tentang konsep-konsep dasar tentang metode numerik yang dapat diterapkan dalam bidang sains maupun teknik. Untuk mengimplementasikan algoritma pada setiap metode, maka disajikan pula contoh source code program komputer dalam Matlab. Pemilihan pemrograman Matlab ini, mengingat kemudahannya di dalam penulisan script dan pengeplotan grafik hasil perhitungan numerik. Buku ini ditujukan terutama untuk para mahasiswa S1 jurusan Sains dan Teknik. Seluruh materi yang tertuang dalam buku ini merupakan kumpulan dari materi perkuliahan “Analisis Numerik” yang diselenggarakan pada setiap semester gasal di Program Studi Fisika Universitas Negeri Yogyakarta. Pengalaman penulis selama selama mengikuti perkuliahan di S2 Jurusan Ilmu Fisika Universitas Gadjah Mada sangat mendasari dalam penulisan buku ini, apalagi bidang yang digeluti oleh penulis adalah bidang Komputasi Fisika. Dalam bidang ini, pemahaman yang mendalam tentang berbagai metode numerik mutlak diperlukan karena tidak semua persamaan matematis dapat diselesaikan dengan cara analitik. Menurut sepengetahuan penulis sendiri, sampai hari ini belum banyak buku sejenis yang beredar di toko-toko buku. Sementara, hampir di setiap jurusan Sains dan Teknik menyelenggarakan matakuliah Analisis Numerik. Hampir setiap mahasiswa mengeluh ketika harus belajar materi ini dengan bahasa asing. Oleh sebab itu, penulis dengan niat untuk membantu mahasiswa dalam memahami materi ini mencoba untuk menulis buku ini. Untuk memberikan ilustrasi isi dari buku ini, maka disajikan gambaran sekilas mengenai konten yang terkandung dalam buku ini.
ii
Pada Bab 1 disajikan tentang “Pendahuluan”. Di bab ini dibahas arti penting penggunaan metode numerik. Disamping itu, disajikan pula sumber-sumber kesalahankesalahan yang dialami dalam metode numerik dan mengenalkan bagaimana menghampiri suatu nilai fungsi dengan deret Taylor. Pada Bab 2 disajikan tentang materi “Pencarian Akar Persamaan Nonlinier”. Di bab ini akan dibahas tentang beberapa metode pecarian akar persamaan nonlinier, diantaranya adalah metode bagidua, Regula Falsi, NewtonRaphson dan metode Secant. Beberapa contoh soal diberikan untuk memberikan gambaran tentang penggunaan setiap metode. Bab 3 disajikan materi tentang “Integrasi Numerik”. Beberapa metode integrasi yang dibahas dalam bab ini antara lain metode trapesium, Simpson 1/3 dan 3/8 serta metode kuadratur Gauss. Bab 4 disajikan tentang “Interpolasi”. Interpolasi merupakan hal yang sangat penting ketika kita harus memperkirakan sebuah nilai diantara nilai-nilai yang sudah diketahui hasilnya. Dengan teknik interpolasi ini kita dapat memperoleh perkiraan hasil tanpa harus melakukan eksperimen. Beberapa teknik interpolasi yang dibahas antara lain interpolasi polinomial orde 1, orde 2, orde n dan interpolasi Lagrange. Pada Bab 5, buku ini akan membahas mengenai pencocokan kurva. Dalam bidang Sains dan Teknik , percobaan atau eksperimen merupakan kegiatan yang biasa dilakukan. Pada setiap kegiatan itu, tentunya kita selalu mendapatkan hasil yang berupa data numerik. Nah, kadang kita perlu mencocokkan data kita tersebut dengan kurva tertentu. Hal ini penting untuk memperkirakan suatu nilai di titik manapun. Dalam bab ini akan dibahas tentang regresi linier, pencocokan dengan polinomial orde 2, 3 dan kombinasi linier fungsi. Bab 6 akan dibahas “Persamaan Diferensial Biasa”. Biasanya, gejala fisika disajikan dalam ungkapan matematis berupa persamaan diferensial. Bab ini membahas tentang beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa diantaranya adalah metode Euler maju, termodifikasi, metode Leapfrog, Runge Kutta orde 2, orde 3, orde 4 dan orde 6. dilengkapi pula contoh soal yang sesuai sehingga dapat memberikan gambaran tentang penyelesaiannya. Pada Bab 7, buku ini akan membahas “Persamaan Diferensial Parsial”. Persamaan diferensial parsial digunakan untuk menggambarkan gejala fisika yang lebih kompleks, sehingga pembahasannya juga sedikit lebih rumit. Tiga jenis PDP yaitu hiperbolik, parabolik iii
dan eliptik akan dibahas secara detail bersama dengan metode numerik yang relevan untuk menyelesaikannya. Metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan PDP yaitu FTCS, CTCS dan BTCS akan dites kestabilannya. Disamping itu, metode relaksasi baik yang over maupun under relaksasi akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan Laplace. Akhirnya, penulis meyakini bahwa buku ini masih jauh dari sempurna. Penulis sangat berharap para pembaca sudi untuk memberikan masukan-masukan demi kesepurnaan buku ini. Penulis berharap semoga buku ini dapat bermanfaat bagi perkembangan ilmu pengetahuan di Indonesia.
Yogyakarta, Maret 2011 Penulis
Supardi, M.Si
iv
DAFTAR ISI
PRAKATA.........................................................................................................................ii DAFTAR ISI......................................................................................................................v BAB 1................................................................................................................................1 Pendahuluan.......................................................................................................................1 A. Algoritma..................................................................................................................3 B.Sumber- Sumber Kesalahan......................................................................................6 C.Kesalahan Pemotongan..............................................................................................6 D.Kesalahan Pembulatan..............................................................................................8 E.Deret Taylor...............................................................................................................9 GLOSARIUM..................................................................................................................11 SOAL LATIHAN.............................................................................................................12 BAB 2 .............................................................................................................................14 PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER.....................................................14 A. Metode Grafik........................................................................................................16 B. Metode Bagi Dua (Bisection) ................................................................................16 Konvergensi Metode Bagi Dua..............................................................................18 Kriteria Henti Metode Bagi Dua............................................................................19 C. Metode Posisi Palsu (Regula Falsi/Interpolasi Linier)...........................................22 D. Metode Newton-Raphson.......................................................................................27 Konvergensi Metode Newton Raphson..................................................................30 E.Metode Secant..........................................................................................................33 Konvergensi Metode Secant...................................................................................35 GLOSARIUM..................................................................................................................38 SOAL LATIHAN.............................................................................................................39 BAB 3..............................................................................................................................45 INTEGRASI NUMERIK.................................................................................................45 A.Metode Klasik.........................................................................................................46 B. Metode Trapesium..................................................................................................47 C.Aturan Titik Tengah.................................................................................................52 Kesalahan Metode TitikTengah..............................................................................54 D.Metode Simpson 1/3................................................................................................57 E.Aturan Simpson 3/8.................................................................................................63 Algoritma metode Simpson 3/8..............................................................................64 F.Integrasi Kuadratur...................................................................................................66 GLOSARIUM..................................................................................................................72 SOAL LATIHAN.............................................................................................................73 BAB 4..............................................................................................................................75 INTERPOLASI................................................................................................................75 A.Interpolasi Linier.....................................................................................................77 B.Interpolasi Kuadratis (Polinomial Orde Dua)..........................................................80 C.Interpolasi Polinomial Orde n..................................................................................83 v
D.Interpolasi Lagrange................................................................................................87 GLOSARIUM..................................................................................................................90 SOAL LATIHAN.............................................................................................................91 BAB 5..............................................................................................................................94 PENCOCOKAN KURVA................................................................................................94 A.Regresi Linier..........................................................................................................96 B.Pencocokan Data dengan Fungsi Eksponensial ....................................................100 C.Pencocokan Data dengan Fungsi Berpangkat.......................................................104 D.Regresi Polinomial................................................................................................108 E.Pencocokan Data dengan Kurva Kombinasi Linier Fungsi-Fungsi......................112 GLOSARIUM................................................................................................................115 SOAL LATIHAN...........................................................................................................115 BAB 6.............................................................................................................................119 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA.......................................................................119 A.Pendekatan Beda Hingga (Finite Difference)........................................................120 B.Metode Euler.........................................................................................................122 C.Metode Euler Maju................................................................................................123 D.Metode Euler Termodifikasi..................................................................................133 E.Metode Euler Mundur............................................................................................137 F.Metode Leap-Frog..................................................................................................138 G. Metode Intrinsik...................................................................................................141 H. Metode Runge-Kutta............................................................................................142 I. Metode Runge-Kutta Orde Kedua.........................................................................143 J.Metode Runge-Kutta Orde Ketiga..........................................................................149 K.Metode Runge-Kutta orde keempat......................................................................154 L.METODE RUNGE-KUTTA ORDE KE-ENAM..................................................160 GLOSARIUM ...............................................................................................................161 SOAL LATIHAN...........................................................................................................162 BAB 7............................................................................................................................166 PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP)........................................................166 A.Pendekatan Beda Hingga.......................................................................................167 B.Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial ............................................................170 1.Persamaan Hiperbolik.......................................................................................172 2.Persamaan Parabolik.........................................................................................182 3.Persamaan Eliptik.............................................................................................190 4.Metode Relaksasi..............................................................................................201 GLOSARIUM................................................................................................................205 SOAL LATIHAN...........................................................................................................206
vi
