Pendidikan Matematika FKIP Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo
STATISTIKA MATEMATIKA I HANDOUT Andhika Ayu Wulandari, S.Si., M.Pd.
[Year]
1
BAB I RUANG SAMPEL A. Pengertian Ruang Sampel Dalam statistika digunakan istilah percobaan untuk menyatakan tiap proses yang menghasilkan data mentah. Suatu contoh percobaan dalam statistika yang sangat sederhana adalah pelemparan suatu mata uang logam. Dalam percobaan ini kita tahu hanya ada dua kemungkinan yang dapat terjadi yaitu “gambar” atau “angka”. Definisi 1.1 (Ruang Sampel). Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S.
Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel atau titik sampel. Jadi ruang sampel S yang merupakan kumpulan semua hasil yang mungkin dari pelemparan suatu mata uang logam dapat ditulis sebagai: S = {A, G} Dalam tiap percobaan, mungkin ingin mengetahui munculnya kejadian tertentu. Misalnya, ingin diketahui kejadian A yaitu munculnya gambar pada pelemparan suatu mata uang logam. Definisi 1.2 (Kejadian). Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
“Kejadian-kejadian baru” dapat dibentuk dari kejadian-kejadian yang sudah ada, misalnya: 1. Union (gabungan) dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 adalah himpunan unsur-unsur yang ada dalam A atau dalam B. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵 2. Interseksi (irisan) dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 adalah himpunan unsur-unsur yang ada dalam A dan B sekaligus. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵 3. Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan 𝐴𝑐 adalah himpunan unsurunsur yang ada di luar A. 𝐴𝑐 = 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ∉ 𝐴 Dalam percobaan statistika tertentu, sering didefinisikan dua kejadian yang tak mungkin terjadi sekaligus. Dua kejadian seperti itu dikatakan saling terpisah atau saling asing dan dinyatakan dengan Definisi 1.3 (Kejadian Saling Asing). Dua kejadian A dan B saling asing jika 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
2
Dan digambarkan dalam diagram venn sebagai berikut: S A
B
Gambar 1.1 Kejadian yang saling asing
Contoh: Misalkan P = {a, e, i, o, u} dan Q = {r, s, t}, maka 𝑃 ∩ 𝑄 = ∅. Yaitu P dan Q tidak mempunyai unsur persekutuan.
B. Menghitung Titik Sampel Banyaknya unsur kemungkinan yang berkaitan dengan munculnya kejadian tertentu jika suatu percobaan dilakukan, dapat dihitung dengan menghitung jumlah titik dalam ruang sampel sehingga tidak diperlukan pengetahuan tentang unsur atau daftar sesungguhnya. Dasar prinsip penghitungan dinyatakan dalam teorema-teorema berikut: Teorema 1.1 (Aturan Perkalian). Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan dengan n1 n2 … nk cara.
Contoh: 1. Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dilantunkan sekali? Jawab: Sebuah dadu menghasilkan 6 kemungkinan, sedangkan sebuah mata uang logam menghasilkan 2 kemungkinan. Jadi, apabila sebuah dadu dan sebuah mata uang logam dikerjakan bersama-sama akan menghasilkan 6x2 = 12 kemungkinan. (Daftar unsur-unsurnya sebagai latihan!) 2. Berapa macam hidangan yang dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi dan soto, bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto? Jawab: n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5, n4 = 4 Jadi banyak hidangan (4)(3)(5)(4) = 240.
3
Sering pula diinginkan ruang sampel yang unsurnya terdiri atas semua urutan atau susunan yang mungkin dari sekelompok benda. Urutan yang berlainan tersebut dinamakan dengan permutasi Definisi 1.3 (Permutasi). Permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.
Teorema 1.2. Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! Teorema 1.3. Banyak permutasi n benda berlainan jika diambil r sekaligus adalah P =
n r
𝑛! 𝑛−𝑟 !
Contoh: 1. Berapa banyak susunan berlainan yang dapat dibuat dari 3 huruf a, b, dan c? Jawab: Ada 3 tempat yang harus diisi oleh huruf a, b, dan c. Jadi ada 3 pilihan untuk temat pertama, 2 pilihan untuk tempat kedua dan 1 pilihan untuk tempat ketiga. Jadi ada 3! = (3)(2)(1) = 6 susunan. (Daftar unsur-unsurnya sebagai latihan!) 2. Berapa banyak jadwal yang dapat disusun suatu cabang Himpunan Matematika Indonesia untuk 3 penceramah dalam 3 pertemuan bila ketiganya bersedia berceramah tiap hari selama 5 hari? Jawab: 5!
Banyak jadwal yang dapat disusun 5P3 = 2! = 60. Sebelumnya telah dibahas permutasi untuk sejumlah benda yang berlainan. Apabila dari n benda tersebut, ada n1 benda yang berjenis pertama dan n2 berjenis kedua, maka sesungguhnya hanya terdapat
𝑛! 𝑛 1 !𝑛 2 !
permutasi berlainan. Hal tersebut diperluas
dengan teorema berikut Teorema 1.4. Banyak permutasi n benda yang berlainan bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 diantaranya berjenis kedua, …, nk berjenis ke - k adalah
𝑛!
.
𝑛 1 !𝑛 2 !⋯𝑛 𝑘 !
Contoh: Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning, dan dua biru? Jawab: Banyak susunan bola lampu
9! 3!4!2!
= 1260.
Dalam banyak masalah, seringkali diinginkan memilih r benda dari n benda tanpa memperdulikan urutannya. Pemilihan seperti ini disebut kombinasi. Suatu kombinasi
4
sebenarnya adalah sekatan dengan dua sel, sel pertama berisi r unsur sedangkan sel lainnya berisi (n – r) sisanya. Teorema 1.5. Banyak kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah
Contoh:
Cr =
n
𝑛 𝑛! = . 𝑟! 𝑛−𝑟 ! 𝑟
Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, tentukan banyaknya susunan panitia yang beranggotakan 2 kimiawan dan satu fisikawan! Jawab: 4!
Banyak cara memilih 2 dari 4 kimiawan = 4C2 = 2!2! = 6. Banyak cara memilih 1 dari 3 fisikawan = 3C1 =
3! 1!2!
= 3.
Menurut teorema 1.1, maka banyaknya susunan panitia yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan adalah (6)(3) = 18. Latihan 1. Tiap mahasiswa baru harus mengambil mata kuliah fisika, kimia, dan matematika. Bila seorang mahasiswa dapat memilih satu dari tiga kuliah fisika, satu dari empat kuliah kimia, dan satu dari dua kuliah matematika, dengan berapa banyak cara mahasiswa tersebut dapat menyusun programnya? 2. Berapa macam permutasi yang berlainan dapat dibuat dari huruf kata “statistika”? 3. a. Berapa banyak bilangan yang terdiri atas tiga digit dapat dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, dan 5 bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali? b. Berapa banyak bilangan pada soal (a) yang merupakan bilangan ganjil? 4. Dengan berapa carakah dapat ditanam dua pohon akasia, tiga bungur dan dua cemara dalam satu garis lurus bila pohon yang sejenis tidak dibedakan? 5. Dari kelompok yang terdiri atas 5 pria dan 3 wanita, berapa banyak panitia yang beranggota 3 orang dapat dibuat: a. tanpa pembatasan? b. dengan dua pria dan seorang wanita? c. dengan seorang pria dan dua wanita bila seorang wanita tertentu harus ikut dalam panitia? Tak ada kata sulit bagi orang yang mau berusaha
5
BAB II PROBABILITAS A.
Definisi Probabilitas Anggap bahwa suatu ruang sampel S mempunyai titik sampel yang anggotanya terhingga dan tiap-tiap titik sampel mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi. Misal A suatu kejadian, probabilitas bahwa peristiwa A akan terjadi didefinisikan dengan: 𝑛 𝐴 𝑃 𝐴 = 𝑛 𝑆 Dengan n(A) = banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) = banyaknya anggota ruang sampel Seperti yang diketahui bahwa S dan ∅ merupakan himpunan bagian dari setiap ruang sampel S. Dengan definisi probabilitas diperoleh: 𝑛 ∅ 𝑆
𝑃 ∅ =𝑛
𝑛 𝑆 𝑆
= 0 dan 𝑃 𝑆 = 𝑛
=1
𝑛 𝐴∪𝐵 𝑛 𝑆 𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 −𝑛 𝐴∩𝐵 = 𝑛 𝑆 𝑛 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛 𝐴∩𝐵 = + − 𝑛 𝑆 𝑛 𝑆 𝑛 𝑆 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴∪𝐵 =
Jika A dan B dua kejadian yang saling asing, maka 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0, sehingga berlaku: 𝑃 𝐴∪𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 Di samping itu, untuk setiap kejadian A berlaku: 𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃 𝐴 Contoh: Suatu kotak berisi 100 mikrochip, beberapa diantara diproduksi oleh pabrik 1 dan sisanya oleh pabrik 2. Beberapa mikrochip ditemukan rusak. Suatu percobaan memilih satu mikrochip secara random dari kotak dan mengujinya apakah mikrochip tersebut rusak atau dalam keadaan baik. Tentukan probabilitas mendapatkan mikrochip yang rusak! jawab: Misal A : kejadian mendapatkan mikrochip yang rusak Ac : kejadian mendapatkan mikrochip yang baik B : kejadian mendapatkan mikrochip yang diproduksi oleh pabrik 1 Bc : kejadian mendapatkan mikrochip yang diproduksi oleh pabrik 2 Berikut tabel untuk menyatakan banyaknya mikrochip yang rusak dan yang dalam kondisi baik dari 2 pabrik.
6
B
Bc
Jumlah
A Ac
15 45
5 35
20 80
Jumlah
60
40
100
Jadi probabilitas mendapatkan mikrochip yang rusak adalah: 𝑃 𝐴 =
B.
𝑛 𝐴 𝑛 𝑆
=
20 100
= 0,2.
Definisi Peluang Bersyarat dan Independensi Diketahui kejadian A dan B dengan 𝑃 𝐵 > 0. Maka peluang bersyarat A jika B telah diketahui, dinyatakan dengan 𝑃 𝐴 𝐵 , didefinisikan sebagai: 𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐵 Dari bentuk di atas, akan diperoleh bahwa: 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵𝐴 𝑃 𝐴∩𝐵 = atau 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴𝐵 Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 atau 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 Jika A dan B independen, maka: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 Contoh: 1. Dari contoh sebelumnya, tentukan probabilitas mendapatkan mikrochip rusak yang diproduksi oleh pabrik 1! jawab: Sebelum mikrochip diuji apakah dalam kedaan baik atau rusak, maka harus dipastikan terlebih dahulu bahwa mikrochip yang dipilih diproduksi oleh pabrik 1 (kejadian B terjadi). Jadi probabilitas mendapatkan mikrochip rusak yang diproduksi oleh pabrik 1 adalah:
atau
𝑃 𝐴𝐵 =
𝑛 𝐴∩𝐵 𝑛 𝐵
=
15 60 15
𝑃 𝐴𝐵 =
𝑃 𝐴∩𝐵 𝑃 𝐵
= 60
= 0,25 100 100
= 0,25
2. Dua dadu dilantunkan dua kali. Berapa peluang mendapat jumlah 7 dan 11 dalam dua kali lantunan? jawab: Misal A1 : kejadian muncul jumlah 7 dalam lantunan pertama A2 : kejadian muncul jumlah 7 dalam lantunan kedua B1 : kejadian muncul jumlah 11 dalam lantunan pertama B2 : kejadian muncul jumlah 11 dalam lantunan kedua
7
1 6
1 6
Sehingga diperoleh P(A1) = , P(A2) = , P(B1) =
1 , 18
P(B2) =
1 . 18
(Bukti sebagai
latihan!) Jadi peluang gabungan kejadian 𝐴1 ∩ 𝐵2 dan 𝐵1 ∩ 𝐴2 yang saling asing adalah 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵2 ∪ 𝐵1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴2 =
C.
1 6
1 1 + 18 18
1 1 = 6 54
Teorema Bayes Bila kejadian-kejadian Bi, i = 1, 2, …, k adalah kejadian-kejadian tidak kosong, dengan 𝑘 𝑖=1 𝐵𝑖 = 𝑆, maka untuk sembarang kejadian A dengan 𝑃 𝐴 ≠ 0 berlaku 𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴 𝑃 𝐵𝑖 𝑃 𝐴 𝐵𝑖 𝑃 𝐵𝑖 𝐴 = 𝑘 = 𝑃 𝐴 𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 ∩ 𝐴 dengan 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴 𝐵1 + 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴 𝐵2 + ⋯ + 𝑃 𝐵𝑘 𝑃 𝐴 𝐵𝑘 Contoh: 1. Dari seluruh peserta kuliah Statistika Matematika, dapat disusun tabel sebagai berikut: Mat. (M)
Jurusan Fisika (F)
Kimia (K)
Genap (G1) Ganjil (G2)
5 20
10 25
5 35
20 80
Jumlah
25
35
40
100
No. Mhs
Jumlah
Jika telah diketahui bahwa mahasiswa yang terambil bernomor genap. Hitung peluang mahasiswa ini merupakan mahasiswa matematika! jawab:
𝑃 𝑀 𝐺1 = =
𝑃 𝑀 𝑃 𝐺1 𝑀 𝑃 𝐺1 25 100
5 25
20 100
5 20 1 = 4 Jadi peluang mahasiswa yang terambil adalah mahasiswa bernomor genap adalah 0,25. =
2. Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0.3, peluang pak Pak Badu terpilih 0.5, sedangkan peluang Pak Cokro 0.2. Jika Pak Ali, Pak Badu, dan Pak Cokro terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi masingmasing adalah 0.8, 0.1 dan 0.4. Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota
8
koperasi tersebut tetapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua? jawab : Misal A : orang yang terpilih menaikkan iuran B1 : Pak Ali yang terpilih B2 : Pak Badu yang terpilih B3 : Pak Cokro yang terpilih Diperoleh 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵1 𝑃 𝐴 𝐵1 = 0.3 0.8 = 0.24 𝑃 𝐵2 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵2 𝑃 𝐴 𝐵2 = 0.5 0.1 = 0.05 𝑃 𝐵3 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐵3 𝑃 𝐴 𝐵3 = 0.2 0.4 = 0.08 Jadi menurut teorema bayes, peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua adalah 𝑃 𝐵3 𝐴 =
𝑃 𝐵3 ∩𝐴 3 𝑖=1 𝑃 𝐵𝑖 ∩𝐴
0.08
8
= 0.24+0.05+0.08 = 37 .
Latihan 1. Sebuah kota mempunyai 2 mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling bebas. Peluang masing-masing mobil tersedia bila diperlukan adalah 0,99. Tentukan: a. peluang keduanya tidak tersedia bila diperlukan! b. Peluang paling tidak ada satu mobil yang tersedia bila diperlukan! 2. Diketahui peluang Umar dan Jodi masih akan hidup selama 20 tahun masing-masing adalah 0,6 dan 0,9. Tentukan peluang keduanya akan meninggal dalam 20 tahun! 3. Suatu kartu diambil dari sekotak kartu dan ternyata warnanya merah. Berapa peluang kartu tersebut lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9? 4. Peluang sebuah kendaraan berplat L melewati Jagorawi adalah 0,12. Peluang kendaraan truk 0,28. Peluang truk berplat L 0,09. Berapa peluangnya bahwa: a. sebuah truk yang lewat Jagorawi berplat L? b. sebuah kendaraan berplat L yang melewati Jagorawi adalah sebuah truk? c. sebuah kendaraan yang lewat Jagorawi tidak berplat L atau bukan truk? 5. Peluang seorang suami menonton suatu film seri adalah 0,4 dan peluang seorang istri menonton film yang sama adalah 0,5. Peluang seorang laki-laki menonton film tersebut bila istrinya menonton adalah 0,7. Tentukan: a. peluang sepasang suami istri menonton film tersebut! b. peluang seorang istri menonton film tersebut bila suaminya menonton! c. peluang paling sedikit seorang dari pasangan suami istri menonton film tersebut! Kecepatan memang baik tetapi ketepatan adalah segalanya
9
BAB III VARIABEL RANDOM A.
Variabel Random Definisi 3.1 (Variabel Random). Suatu fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang sampel ke bilangan real disebut dengan variabel random. Variabel random X, dinotasikan dengan: X : S R
1.
Variabel Random Diskrit Ruang sampel diskrit adalah ruang sampel yang memuat jumlah titik sampel berhingga. Variabel random diskrit adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel diskrit. Contoh: percobaan : 3x pelantunan suatu mata uang logam ruang sampel diskrit: S={AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} variabel random diskrit: X adalah banyaknya sisi gambar (G) yang tampak dari 3x pelantunan. X(AAA) = 0 X(AAG) = 1
X(AGA) = 1 X(GAA) = 1
X(AGG) = 2 X(GAG) = 2
X(GGA) = 2 X(GGG) = 3
Jadi X = {0, 1, 2, 3}
2.
Variabel Random Kontinu Ruang sampel kontinu adalah ruang sampel yang memuat jumlah titik sampel tak hingga. Variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel kontinu. Contoh: variabel random kontinu X menyatakan umur suatu baterai, maka: 𝑋= 𝑥∈ℜ𝑥≥0
B.
Distribusi Peluang Diskrit Definisi 3.2 (Distribusi Peluang Variabel Random Diskrit). Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang variabel random diskrit X bila untuk setiap x yang mungkin, memenuhi: 1. 2. 3.
𝑓 𝑥 ≥0 𝑥𝑓 𝑥 =1 P(X = x) = f(x)
10
Contoh: Perhatikan kembali contoh sebelumnya, bila mata uang logam “seimbang” yang dilemparkan 3 kali maka diperoleh 1
𝑃 𝑋=0 =𝑃 𝑋=3 =8 3
𝑃 𝑋=1 =𝑃 𝑋=2 =8 Tabel distribusi peluangnya: x
0
1
2
𝑓 𝑥
3 𝑥
f(x) = P(X = x)
C.
1
3
3
1
8
8
8
8
1
Distribusi Peluang Kontinu Definisi 3.3 (Distribusi Peluang Variabel Random Kontinu). Fungsi f(x) adalah suatu fungsi padat peluang variabel random kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real ℜ bila: 1.
𝑓 𝑥 ≥ 0, untuk semua 𝑥 ∈ ℜ
2.
∫−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
3.
𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = ∫𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
𝑏
Contoh: Misalkan diketahui 𝑓 𝑥 =
𝑥2 , 3
-1 < x < 2
= 0, untuk x lainnya 1. Buktikan bahwa f(x) adalah distribusi peluang suatu variabel random X 2. Hitunglah 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 ! Jawab: ∞
2 𝑥2 𝑑𝑥 3
1. ∫−∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ∫−1
1 𝑥2
2. 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 = ∫0
D.
3
=
2 𝑥3 9 −1
𝑑𝑥 =
1 𝑥3 9 0
8 9
= − −
1 9
= 1, terbukti.
1
=9
Distribusi Kumulatif Definisi 3.4 (Distribusi Kumulatif Diskrit). Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random diskrit X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan dengan: 𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 =
𝑓 𝑡 𝑡≤𝑥
11
Contoh: Tentukan distribusi peluang kumulatif pada percobaan melantunkan mata uang logam “seimbang” sebanyak 3 kali Diketahui x
0
1
2
𝑓 𝑥
3 𝑥
f(x) = P(X = x)
Maka
1
3
3
1
8
8
8
8
𝐹 0 =𝑓 0 =
1
1 8 1
3
1
𝐹 1 =𝑓 0 +𝑓 1 =8+8 =2 1
3
3
7
1
3
𝐹 2 =𝑓 0 +𝑓 1 +𝑓 2 =8+8+8 =8 3
1
𝐹 3 = 𝑓 0 +𝑓 1 +𝑓 2 +𝑓 3 = 8+8+8+8 = 1 Jadi distribusi kumulatif variabel random X: 0 bila 𝑥 < 0 1 bila 0 ≤ 𝑥 < 1 8 1 2 7 8
𝐹 𝑥 =
bila 1 ≤ 𝑥 < 2 bila 2 ≤ 𝑥 < 3
1
bila 𝑥 ≥ 3
Definisi 3.5 (Distribusi Kumulatif). Distribusi kumulatif F(x) suatu variabel random kontinu X dengan fungsi padat f(x) dinyatakan dengan: 𝑥
𝐹 𝑥 =𝑃 𝑋≤𝑥 =
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 −∞
Contoh: Diketahui distribusi peluang suatu variabel random X 𝑓 𝑥 =
𝑥2 , 3
= 0,
-1 < x < 2 untuk x lainnya
Tentukan 1. fungsi kumulatif F(x) 2. Hitunglah 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 menggunakan fungsi kumulatif Jawab: 𝑥
𝑥 𝑡2 𝑑𝑡 3
1. 𝐹 𝑥 = ∫−∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = ∫−1
=
𝑥 𝑡3 9 −1
2 9
1 9
=
2. 𝑃 0 < 𝑋 ≤ 1 = 𝐹 1 − 𝐹 0 = − =
𝑥 3 +1 9
1 9
12
E.
Distribusi Peluang Gabungan Definisi 3.6 (Distribusi Peluang Gabungan Variabel Diskrit X). Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang variabel random diskrit X dan Y bila: 1. 2. 3.
𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0, untuk semua 𝑥, 𝑦 𝑥
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 1
P(X = x, Y = y) = f(x,y) untuk daerah sebarang A dalam bidang xy, 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 =
𝐴
𝑓 𝑥, 𝑦 .
Contoh: Dua isi ulang bolpoin diambil dari kotak yang berisi 3 warna biru, 2 warna merah dan 3 warna hijau. Jika X menyatakan jumlah warna biru dan Y menyatakan jumlah warna merah, tentukan: 1. fungsi peluang gabungan f(x,y) 2. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 dimana A adalah daerah 𝑥, 𝑦 𝑥 + 𝑦 ≤ 1 jawab 1. nilai pasangan yang mungkin dari (x,y) adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (2,0), (0,2) 8 jumlah semua kemungkinan pengambilan adalah = 28 2 f(x,y)
y=0
x=0 x=1 x=2
y=1
y=2
3
3
1
5
28
14
28
14
0
15
9
3
28
14
3
0
28
0
15
3
1
28
7
28
dituliskan dalam bentuk rumus adalah: 𝑓 𝑥, 𝑦 =
3 𝑥
2 𝑦
3 2−𝑥−𝑦 8 2
untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; 0 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2. 2. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑃 𝑋 + 𝑌 ≤ 1 = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) =
3 28
+
3 14
total
+
9 28
=
9 14
28 3 28
1
13
Definisi 3.7 (Distribusi Peluang Gabungan Variabel Kontinu X). Fungsi f(x,y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang variabel random kontinu X dan Y bila: 1.
𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 0, untuk semua 𝑥, 𝑦
2.
∫−∞ ∫−∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 1
3.
𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = ∫𝐴 ∫ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
∞
∞
untuk tiap daerah A di bidang xy.
Contoh: Diberikan fungsi gabungan dari variabel random kontinu X dan Y 2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5 2𝑥 + 3𝑦 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 = 0, untuk x,y lainnya a. Buktikan bahwa fungsi di atas adalah fungsi padat peluang gabungan! b. Tentukan 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 , A adalah daerah
1 1
1
𝑥, 𝑦 0 < 𝑥 < 2 , 4 < 𝑦 < 2
Jawab: ∞
∞
1
12
a. ∫−∞ ∫−∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫0 ∫0
5
1 1 2 4
b. 𝑃 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐴 = 𝑃 0 < 𝑥 < , < 𝑦 < 1 1 2 2
= 1 0 4
F.
2
3
2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 5 + 5 = 1. 1 2
2 13 2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 5 160
Distribusi Marginal Definisi 3.8 (Distribusi Marginal). Distribusi marginal dari X dan Y untuk kasus diskrit adalah: 𝑔 𝑥 =
𝑓 𝑥, 𝑦 dan 𝑦 = 𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑥
Distribusi marginal dari X dan Y untuk kasus kontinu adalah: ∞
𝑔 𝑥 =
∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 dan 𝑦 = −∞
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 −∞
Contoh: 1.
Perhatikan tabel fungsi peluang gabungan mengenai percobaan mengambil isi ulang bolpoin. Tentukan distribusi marginal dari X! Jawab: 𝑃 𝑋 = 0 = 𝑔 0 = 2𝑦=0 𝑓 0, 𝑦 = 𝑓 0,0 + 𝑓 0,1 + 𝑓 0,2 3 3 1 5 = + + = 28 14 28 14
14
𝑃 𝑋 = 1 = 𝑔 1 = 2𝑦=0 𝑓 1, 𝑦 = 𝑓 1,0 + 𝑓 1,1 + 𝑓 1,2 9 3 15 = + +0= 28 14 28 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑔 2 = 2𝑦=0 𝑓 2, 𝑦 = 𝑓 2,0 + 𝑓 2,1 + 𝑓 2,2 3 3 = +0+0= 28 28 Dalam bentuk tabel disajikan sebagai berikut:
x g(x)
0
1
5
15
2 3
14
28
28
(untuk distribusi marginal dari Y digunakan sebagai latihan) 2.
2
Tentukan g(x) untuk fungsi padat peluang 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5 2𝑥 + 3𝑦
untuk
0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1! jawab: ∞
𝑔 𝑥 =
1
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = −∞
0
2 4𝑥 + 3 2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑦 = 5 5
(untuk distribusi marginal dari Y digunakan sebagai latihan)
G.
Distribusi Bersyarat Definisi 3.9 (Distribusi Bersyarat). Misalkan X dan Y dua variabel random diskrit atau kontinu. Distribusi bersyarat dari variabel random Y, diberikan X = x adalah: 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑦𝑥 = ,𝑔 𝑥 > 0 𝑔 𝑥 Distribusi bersyarat dari variabel random X, diberikan Y = y adalah: 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑓 𝑥𝑦 = , 𝑦 > 0 𝑦
Contoh: 1.
Dari contoh isi ulang bolpoint, tentukan distribusi bersyarat dari X diberikan Y = 1! jawab: Akan dihitung 𝑓 𝑥 𝑦 , dimana y = 1. 2
1 =
𝑓 𝑥, 1 = 𝑥=0
3 3 3 + +0= 14 14 7
Kemudian dihitung 𝑓 𝑥1 = 7
𝑓 𝑥, 1 7 = 𝑓 𝑥, 1 , 𝑥 = 0,1,2. 1 3 1
Sehingga diperoleh 𝑓 0 1 = 3 𝑓 0,1 = 2 7 1 𝑓 1 1 = 𝑓 1,1 = 3 2
15
7 𝑓 2 1 = 𝑓 2,1 = 0 3 Dalam bentuk tabel disajikan sebagai berikut: x 𝑓 𝑥1 2.
0
1
1
1
2
2
2 0
Diberikan fungsi densitas gabungan: 𝑥 1 + 3𝑦 2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 0 , untuk 𝑥 yang lain Tentukan: a. h(y) b. 𝑓 𝑥 𝑦 c. gunakan jawaban a dan b untuk menghitung 𝑃
1 4
1
1
<𝑋<2 𝑌=3
jawab: 2 𝑥 1+3𝑦 2
∞
a. 𝑦 = ∫−∞ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = ∫0 b. 𝑓 𝑥 𝑦 = c. 𝑃
1 4
𝑓 𝑥,𝑦 𝑦 1
𝑑𝑥 =
4
1+3𝑦 2 ,0 2
≤𝑦≤1
𝑥
=2 1
1
< 𝑋 < 2 𝑌 = 3 = ∫12 4
𝑥 2
3
𝑑𝑥 = 64
Latihan 1. Suatu variabel random X dinyatakan dengan 1 2
, untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 0 , untuk 𝑥 yang lain a) Buktikan bahwa f(x) suatu distribusi peluang. b) Hitunglah 𝑃 2 < 𝑋 < 2,5 . c) Hitunglah 𝑃 𝑋 ≤ 1,6 . 2. Tentukan nilai c sehingga fungsi f(x) = c(x2 + 4) untuk x = 0, 1, 2, 3 merupakan distribusi peluang variabel random diskrit X! 3. Carilah distribusi peluang banyaknya pita jazz bila 4 pita dipilih secara acak dari suatu kumpulan yang terdiri atas 5 pita jazz, 2 pita klasik, dan 3 pita lagu daerah. Nyatakanlah hasilnya dalam suatu rumus! 4. Umur penyimpanan (dalam hari) dari suatu obat tertentu dalam botol berbentuk 𝑓 𝑥 =
variabel random dengan fungsi padat 𝑓 𝑥 =
20.000 𝑥+100 3
,𝑥 > 0
0 , untuk 𝑥 yang lain Carilah peluang suatu botol obat akan tahan disimpan a. paling sedikit 200 hari b. antara 80 sampai 120 hari 5. Suatu perusahaan rokok menghasilkan tembakau campuran, tiap campuran berisi berbagai macam tembakau Deli, Virginia dan sebagainya. Proporsi tembakau Deli dan Virginia dalam suatu campuran merupakan variabel random dengan fungsi padat gabungan (X = Deli dan Y = Virginia) 24𝑥𝑦 , untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 , untuk 𝑥 dan 𝑦 yang lain
16
a. Carilah peluang bahwa dalam bungkus tertentu isi tembakau Deli lebih dari separuh! b. Carilah fungsi distribusi marginal dari proporsi tembakau Virginia! 1
c. Carilah peluang bahwa proporsi tembakau Deli kurang dari 8 bila diketahui bahwa 3
bungkus berisi 4 tembakau Virginia! Masa depan menunggu kemampuan kita untuk mengubahnya
17
BAB IV DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT Pada handout ini, pembahasan dibatasi pada fungsi distribusi peluang diskrit. Rataan dan variansi hanya sebagai pengantar dan akan dijelaskan lebih lanjut pada mata kuliah Statistika Matematika 2.
A.
Distribusi Bernoulli Jika suatu percobaan hanya menghasilkan 2 kejadian yang mungkin (“sukses” dan “gagal”), maka percobaan tersebut merupakan percobaan Bernoulli. Distribusi peluang variabel random Bernoulli X, dinyatakan dengan: 𝒇 𝒙 = 𝒑𝒙 𝒒𝟏−𝒙 x = 0, 1 dengan p = probabilitas “sukses” q = 1 – p = probabilitas “gagal” Rataan distribusi Bernoulli f(x) adalah 1
𝑥𝑓 𝑥 = 0 ∙ 𝑝0 ∙ 𝑞1 + 1 ∙ 𝑝1 ∙ 𝑞 0
𝐸 𝑋 = 𝑥=0
𝑬 𝑿 =𝒑
Variansi distribusi Bernoulli f(x) adalah 𝜎 2 = 𝐸 𝑋 2 − 𝜇2 1
𝑥2𝑓 𝑥 − 𝐸 𝑋
=
2
𝑥=0
= 02 ∙ 𝑝0 ∙ 𝑞1 + 12 ∙ 𝑝1 ∙ 𝑞 0 − 𝑝2 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝 1 − 𝑝 𝝈𝟐 = 𝒑𝒒 Contoh: Dalam suatu kotak berisi 10 bola putih dan 20 bola hitam. Jika dianggap mendapatkan bola putih sebagai “sukses” dan mendapatkan bola hitam sebagai “gagal” dan variabel random X menyatakan bola putih yang terambil. Tentukan: a) nilai p dan q b) rumus distribusi peluangnya c) rata-rata dan variansinya Jawab: a) 𝑝 = 10 dan 𝑞 = 20 30 30 b) 𝑓 𝑥 =
10 30
𝑥 20 1−𝑥
c) 𝐸 𝑋 = 𝑝 = 𝜎 2 = 𝑝𝑞 =
30
10 30 10 30
20 30
untuk x = 0, 1. 2
=9
18
B.
Distribusi Binomial Distribusi binomial dilandasi oleh proses Bernoulli. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan Bernoulli, maka dapat dikatakan mengikuti distribusi Binomial. Percobaan pengambilan sampel dengan pengembalian termasuk dalam distribusi Binomial. Distribusi peluang variabel random Binomial X, dinyatakan dengan: 𝒏 𝒙 𝒏−𝒙 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒑 𝒒 x = 0, 1, 2, …, n 𝒙 dengan p = probabilitas “sukses” q = 1 – p = probabilitas “gagal” n = banyaknya percobaan Rataan distribusi Binomial adalah: 𝑬 𝑿 = 𝒏𝒑
Variansi distribusi Binomial adalah 𝝈𝟐 = 𝒏𝒑𝒒 Contoh: Perhatikan kembali contoh sebelumnya. Jika sebelum pengambilan berikutnya, bola dikembalikan ke dalam kotak. Hitunglah peluang bahwa tepat dua bola putih terambil dari lima pengambilan! Jawab: 𝑝 = 10 dan 𝑞 = 20 30 30 Distribusi peluangnya dinyatakan dengan 𝑥 10 20 5−𝑥 5 10 𝑏 𝑥; 5, = 𝑥 30 30 30 karena x = 2, maka 2 10 20 3 5 10 𝑃 𝑋 = 2 = 𝑏 2; 5, = 2 30 30 30 = 0,3292
C.
Distribusi Hipergeometrik Distribusi hipergeometrik juga dilandasi oleh proses Bernoulli. Percobaan pengambilan sampel tanpa pengembalian termasuk dalam distribusi Hipergeometrik. Distribusi peluang variabel random Hipergeometrik X, dinyatakan dengan: 𝒉 𝒙; 𝑵, 𝒏, 𝒌 =
𝒌 𝑵−𝒌 𝒙 𝒏−𝒙 𝑵 𝒏
x = 0, 1, 2, …, k
dengan N = banyaknya anggota populasi/kumpulan n = banyaknya sampel yang diambil dari populasi k = banyaknya sampel yang merupakan “sukses” Rataan distribusi Hipergeometrik adalah: 𝑬 𝑿 =
𝒏𝒌 𝑵
19
Variansi distribusi Hipergeometrik adalah 𝝈𝟐 =
𝑵−𝒏 𝒌 𝒌 ∙𝒏∙ 𝟏− 𝑵−𝟏 𝑵 𝑵
Contoh: Dalam suatu kotak terdapat 10 bola putih dan 20 bola hitam. Jika 25 bola dipilih dari kotak tersebut tanpa pengembalian, maka hitunglah peluang mendapatkan tepat 8 bola putih! Jawab: N = 30, n = 25, k = 10 Distribusi peluangnya dinyatakan dengan 10 20 𝑥 25 −𝑥 𝑥; 30,25,10 = 30 25 karena x = 8, maka 10 20 𝑃 𝑋 = 8 = 8; 30,25,10 = 8 17 30 25 = 0,3599
D.
Distribusi Multinomial Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat menghasilkan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Umumnya bila suatu percobaan tertentu dapat menghasilkan k macam hasil yang mungkin E1, E2, ..., Ek dengan peluang p1, p2, ..., pk maka distribusi peluang variabel random X1, X2, ..., Xk yang menyatakan banyak terjadinya E1, E2, ..., Ek dalam n percobaan saling bebas adalah n p x1 p x 2 px k f x1 , x2 , , x k ; p1 , p2 ,, pk ; n 1 2 k x , x , , x k 1 2 dengan
k
x i n dan
i 1
k
p
i
1
i 1
Contoh: Percobaan menarik satu kartu dari seperangkat kartu bridge dengan pengembalian merupakan percobaan multinomial bila yang menjadi perhatian adalah keempat jenis kartu. Misalnya tentukan peluang munculnya heart 1 kali, diamond 2 kali, spade 2 kali, dan club 2 kali pada percobaan mengambil 7 kartu secara acak dari sekotak kartu bridge dengan mengembalikan kartu sebelum pengambilan kartu berikutnya! Jawab: 1 peluang mengambil tiap jenis kartu adalah 4 1 sehingga diketahui p1 = p2 = p3 = p4 = 4 dan x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2, x4 = 2 Jadi peluang munculnya heart 1 kali, diamond 2 kali, spade 2 kali, dan club 2 kali adalah
20
1
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 ,2,2,2; , , , ;7 7 0,00385 4 4 4 4 1,2,2,2 4 4 4 4
E.
Distribusi Geometrik Distribusi geometrik juga dilandasi oleh proses Bernoulli. Percobaan pengambilan sampel sampai diperoleh “sukses” pertama kali termasuk dalam distribusi Geometrik. Distribusi peluang variabel random Geometrik X, dinyatakan dengan: 𝒈 𝒙; 𝒑 = 𝒑𝒒𝒙−𝟏
x = 1, 2, …
dengan p = probabilitas “sukses” q = 1 - q = probabilitas “gagal” Rataan distribusi Geometrik adalah: 𝑬 𝑿 =
𝟏 𝒑
Variansi distribusi Geometrik adalah 𝝈𝟐 =
𝒒 𝒑𝟐
Contoh: Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa 100 hasil produksi, rata-rata menghasilkan 1 buah item yang cacat. Hitunglah peluang menemukan item yang cacat pada pemeriksaan yang kelima! Jawab: 1 p = 100 =0,01, maka q = 1-0,01 = 0,99 Distribusi peluangnya dinyatakan dengan 𝑔 𝑥; 0,01 = 0,01 0,99 karena x = 5, maka 𝑃 𝑋 = 5 = 𝑔 5; 0,01 = 0,01 0,99 4 = 0,0096
F.
𝑥−1
Distribusi Binomial Negatif Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan peluang p sedangkan gagal dengan peluang q = 1 – p, maka distribusi peluang variabel random X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k adalah 𝑥 − 1 𝑘 𝑥−𝑘 𝑏 ∗ 𝑥; 𝑘, 𝑝 = 𝑝 𝑞 , x = k, k + 1, k + 2, … 𝑘−1 Rataan distribusi Binomial Negatif adalah: 𝑬 𝑿 =
𝒌 𝒑
Variansi distribusi Binomial Negatif adalah 𝝈𝟐 =
𝒌𝒒 𝒑𝟐
21
Contoh: Hitunglah peluang bahwa seseorang melantunkan tiga mata uang logam sekaligus akan mendapatkan semuanya muka atau semuanya gambar untuk kedua kalinya pada lantunan kelima! Jawab: k = 2, 𝑝=18=0,125 , maka q = 1 - 0,125 = 0,875 Distribusi peluangnya dinyatakan dengan 1 𝑥−1 𝑏 ∗ 𝑥; 2, 4 = 0,125 2 0,875 𝑥−2 1 karena x = 5, maka 1 4 𝑃 𝑋 = 5 = 𝑏 ∗ 5; 2, 8 = 0,125 2 0,875 3 1 = 0,0419
G.
Distribusi Poisson Jika pengamatan dilakukan pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random X adalah terjadinya “sukses” selama rentang waktu tersebut. Jadi proses ini disebut dengan proses Poisson. Distribusi peluang variabel random X dberikan oleh: 𝑝 𝑥; 𝜇 =
𝑒 −𝜇 𝜇 𝑥 , 𝑥!
x = 0, 1, 2, …
Rataan distribusi Poisson adalah: 𝑬 𝑿 =𝝁
Variansi distribusi Poisson adalah 𝝈𝟐 = 𝝁 Contoh: Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati mesin penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati mesin penghitung dalam suatu milidetik tertentu? Jawab: 𝜇=4 Distribusi peluangnya dinyatakan dengan 𝑒 −4 4𝑥 𝑝 𝑥; 4 = 𝑥! karena x = 6, maka 𝑃 𝑋 = 6 = 𝑝 𝑥; 4 =
H.
𝑒 −4 4 6 6!
= 0,1042
Distribusi Uniform Diskrit Distribusi peluang diskrit yang paling sederhana adalah distribusi yang variabel randomnya mempunyai peluang yang sama. Distribusi peluang semacam itu disebut distribusi seragam. Distribusi peluang variabel random X dberikan oleh: 1
𝑓 𝑥 = 𝑁 , x = 1, 2, …, N
22
Rataan distribusi Uniform Diskrit adalah: 𝑬 𝑿 =
𝑵+𝟏 𝟐
Variansi distribusi Uniform Diskrit adalah 𝝈𝟐 =
𝑵𝟐 − 𝟏 𝟏𝟐
Contoh: Sebuah dadu dilantunkan sekali. Tentukan: 1. distribusi peluangnya 2. rata-rata dan variansinya Jawab: 1
1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka tiap anggota ruang sampel probabilitasnya = 𝑝 = 6 Jadi distribusi probabilitasnya dinyatakan dengan: 1 6
𝑓 𝑥 = , x = 1, 2, …, 6 6+1 = 3,5 2 2 6 −1 35 = = 2,9167 12 12
2. rata-rata = 𝐸 𝑋 = variansi = 𝜎 2 =
Latihan 1.
Peluang seseorang akan sembuh dari operasi jantung yang rumit adalah 0,9. Hitunglah: a) Peluang tepat lima dari tujuh orang yang menjalani operasi ini akan sembuh. b) Peluang tidak lebih dari 3 orang akan sembuh dari operasi jantung ini.
2.
Sebuah kartu diambil dari sekotak kartu bridge yang berisi 52 kartu yang dikocok sempurna. Hasilnya dicatat, kemudian kartu dikembalikan. Bila percobaan itu diulangi lima kali, berapakah peluang mendapat dua spade dan satu heart?
3.
Seorang tukang ketik rata-rata melakukan 2 kesalahan per halaman. Berapakah peluang: a) Dia tidak melakukan kesalahan? b) Tepat satu kesalahan? c) Empat atau lebih kesalahan?
4.
Peluang pembelian suatu televisi berwarna di suatu toko televisi adalah 0,3. Hitunglah peluang bahwa pembelian televisi yang kesepuluh di toko tersebut akan merupakan pembelian televisi berwarna yang kelima!
5.
Peluang bahwa seseorang lulus ujian praktek mengendarai mobil adalah 0,7. Carilah peluang seseorang lulus a) pada ujian yang ketiga b) sebelum ujian keempat
23
6.
Dari pengiriman 50 mesin, terdapat 8 mesin yang rusak. Seorang pengawas memilih 5 mesin secara acak tanpa pengembalian. Hitunglah peluang mendapat 3 mesin yang dalam kondisi bagus!
7.
Seorang peneliti menyuntik beberapa ekor tikus satu demi satu dengan sejenis bibit penyakit. Bila peluang terserang penyakit tersebut 1/6. Berapakah peluangnya bahwa a. Tikus kedelapan yang disuntik adalah tikus kedua yang terserang penyakit? b. Tikus kelima yang disuntik adalah tikus pertama yang terserang penyakit?
8.
Seorang anak mempunyai 20 kartu bergambar yang di dalamnya terdapat 5 kartu bergambar hewan, 7 kartu bergambar bunga dan 5 kartu bergambar buah. Anak tersebut akan memberikan 7 kartu kepada temannya dengan mengambil kartu secara acak. Berapakah peluang dia memberikan 2 kartu bergambar bunga dan 3 kartu bergambar hewan?
99% kegagalan lahir dari kita yang memiliki kebiasaan tak peduli
24
BAB V DISTRIBUSI PELUANG KONTINU A.
Distribusi Normal Distribusi peluang kontinu terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk seperti lonceng. Distribusi normal pertama kali ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733 sebagai pendekatan untuk distribusi jumlah dari variabel random binomial. Variabel random kontinu X berdistribusi normal dengan mean 𝜇 dan variansi 𝜎 2 mempunyai fungsi padat peluang 1 2 𝑓 𝑥; 𝜇, 𝜎 = 𝑒 − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 −∞<𝑥 <∞ 𝜎 2𝜋 Distribusi kumulatif (CDF) dari distrbusi normal dapat dituliskan dengan 𝑥 1 2 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑒 − 1 2 𝑥−𝜇 𝜎 𝑑𝑥 −∞ 𝜎 2𝜋 Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka dibuat tabel luas kurva normal sehingga akan mempermudah penggunaan distribusi normal. Akan tetapi, untuk membuat tabel distribusi normal yang berlainan untuk setiap harga 𝜇 dan 𝜎 bukanlah hal yang mudah. Oleh karena itu, variabel random normal X dapat ditransformasikan menjadi variabel random 𝒁 =
𝑿−𝝁 , 𝝈
dengan rataan 0 dan variansi 1.
Distribusi variabel random normal dengan rataan 0 dan variansi 1 disebut distribusi normal baku. Distribusi peluangnya dinyatakan dengan: 𝟏 −𝒛𝟐 𝟐 𝜱 𝒛 = 𝒆 −∞<𝑧 <∞ 𝟐𝝅 Dan distribusi kumulatif normal baku dinyatakan dengan: 𝒛
𝑭𝒁 𝒛 = 𝚽 𝒛 = −∞
Sebagai catatan:
𝟏 𝟐𝝅
𝒆−𝒛
𝟐
𝟐
𝒅𝒛
𝛷 −𝑧 = 𝛷 𝑧 𝛷′ 𝑧 = −𝑧𝛷 𝑧 𝛷′′ 𝑧 = 𝑧 2 − 1 𝛷 𝑧
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Normal dinyatakan dengan: 𝑭𝑿 𝒙 = 𝚽 Rataan distribusi Normal f(x) adalah 𝐄 𝐗 =𝝁
Variansi distribusi Normal f(x) adalah 𝐕𝐚𝐫 𝐗 = 𝝈𝟐
𝒙−𝝁 𝝈
25
Contoh: Anggap bahwa 𝑍~𝑁 0,1 , tentukan: a) 𝑃 𝑍 ≤ 1,53 b) 𝑃 𝑍 > −0,49 c) 𝑃 0,35 < 𝑍 < 2,01 d) 𝑃 𝑍 > 1,28 e) Tentukan nilai a, sedemikian sehingga 𝑃 𝑍 ≤ 𝑎 = 0,64803 f) 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 Jawab : Lihat tabel normal standar ekor kiri a) 𝑃 𝑍 ≤ 1,53 = 𝐹𝑍 1,53 = Φ 1,53 = 0,93699 b) 𝑃 𝑍 > −0,49 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ −0,49 = 1 − Φ −0,49 = 1 − 0,31207 = 0,68793 c) 𝑃 0,35 < 𝑍 < 2,01 = 𝑃 𝑍 ≤ 2,01 − 𝑃 𝑍 ≤ 0,35 = Φ 2,01 − Φ 0,35 = 0,97778 − 0,63683 = 0,34095 d) 𝑃 𝑍 > 1,28 = 1 − 𝑃 −1,28 < 𝑍 < 1,28 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1,28 − 𝑃 𝑍 ≤ −1,28 = 1 − 0,89973 − 0,10027 = 0,20054 e) Φ 𝑎 =
1 2𝜋
𝑒 −𝑎
2
2
= 0,64803
Untuk mencari nilai a, bukanlah suatu perhitungan yang mudah. Oleh karena itu, untuk mencari nilai a cukup melihat tabel ditribusi normal baku dan diperoleh nilai a = 0,38. f) 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 = 𝐹𝑍 1,532 = Φ 1,532 gunakan interpolasi Diketahui 𝑃 𝑍 ≤ 1,53 = 0,93699 dan 𝑃 𝑍 ≤ 1,54 = 0,93822 misal 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 = 𝑥 maka x dapat dicari dengan cara sebagai berikut x 0,93699 1,532 1,53 0,93822 0,93699 1,54 1,53 diperoleh 𝑃 𝑍 ≤ 1,532 = 0,937236 Contoh: Suatu perusahaan menggaji pegawainya rata-rata Rp 525/jam dengan standar deviasi Rp 60. Bila gaji berdistrbusi hampiran normal. Berapa persen karyawan yang bergaji antara Rp 475/jam sampai Rp 569/jam? Jawab : 𝑃 475 < 𝑋 < 569 = 𝑃
475 − 525 569 − 525 <𝑍< = 𝑃 −0,833 < 𝑍 < 0,733 60 60
= 𝑃 𝑍 ≤ 0,733 − 𝑃 𝑍 ≤ −0,833 = 0,768215 − 0,202424 = 0,565791
26
Jadi terdapat 56,5791% persen karyawan yang bergaji antara Rp 475/jam sampai Rp 569/jam.
B.
Distribusi Gamma Distribusi gamma adalah fungsi padat peluang yang terkenal dalam bidang matematika. Distribusi gamma mendapatkan namanya dari fungsi gamma yang didefinisikan dengan: ∞
Γ 𝛼 = ∫0 𝑥 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
untuk 𝛼 > 0
Fungsi gamma memenuhi sifat-sifat berikut ini: 1) Γ 𝛼 = 𝛼 − 1 Γ 𝛼 − 1 , 𝛼 > 1 2) Γ 𝑛 = 𝑛 − 1 ! 3) Γ
1 2
= 𝜋
Distribusi padat peluang variabel random kontinu X, dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 dinyatakan dengan: 𝟏
𝒇 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝜷𝜶 𝚪
𝜶
𝒙𝜶−𝟏 𝒆−𝒙
x>0
𝜷
dengan 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0. Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Gamma dinyatakan dengan: 𝒙
𝑭 𝒙; 𝜶, 𝜷 = ∫𝟎
𝟏 𝜷𝜶 𝚪 𝜶 𝜶−𝟏
=𝟏− 𝒊=𝟎
𝒕𝜶−𝟏 𝒆−𝒕
𝜷
𝒙 𝜷 𝒊 −𝒙 𝒆 𝒊!
𝒅𝒕 𝜷
Rataan distribusi Gamma f(x) adalah 𝑬 𝑿 = 𝜶𝜷
Variansi distribusi Gamma f(x) adalah 𝝈𝟐 = 𝜶𝜷𝟐 Contoh: Waktu (dalam menit) sampai konsumen ke-3 memasuki toko adalah suatu variabel random 𝑋~GAM 3,1 . Jika toko buka pada pukul 08.00, tentukan probabilitas bahwa: a) Konsumen ke-3 datang antara pukul 08.05 sampai pukul 08.10 b) Konsumen ke-3 datang setelah pukul 08.05 Jawab: a) 𝑃 5 < 𝑋 < 10 = 𝑃 𝑋 ≤ 10 − 𝑃 𝑋 ≤ 5 = 𝐹 10; 3,1 − 𝐹 5; 3,1 10 1 = 𝑡 3−1 𝑒 −𝑡 1 𝑑𝑡 − 3Γ 3 1 0 3−1
= 1− 𝑖=0
10 1 𝑖 −10 𝑒 𝑖!
5 0
1 𝑡 3−1 𝑒 −𝑡 13 Γ 3 3−1
1
− 1− 𝑖=0
5 1 𝑖 −5 𝑒 𝑖!
1
1
𝑑𝑡
27
2
= 1−𝑒
−10 𝑖=0
10 𝑖!
2
𝑖
− 1−𝑒
−5 𝑖=0
5 𝑖 𝑖!
= 0,9972 − 0,8753 = 0,1219 b) 𝑃 𝑋 > 5 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 5 = 1 − 𝐹 5; 1,3 5 1 =1− 𝑡 3−1 𝑒 −𝑡 1 𝑑𝑡 3Γ 3 1 0 = 1 − 0,8753 = 0,1247
C.
Distribusi Eksponensial Distribusi gamma dengan 𝛼 = 1 disebut dengan distribusi Eksponensial. Distribusi eksponensial sering digunakan dalam teori keandalan dan teori antrian. Variabel random kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter 𝛽 jika fungsi padat peluangnya diberikan oleh: 𝟏 𝜷
𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙
𝜷
x>0
dengan 𝛽 > 0. Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Eksponensial dinyatakan dengan: 𝑭 𝒙, 𝜷 = 𝟏 − 𝒆−𝒙 𝜷 x > 0 Rataan distribusi Eksponensial f(x) adalah 𝑬 𝑿 =𝜷
Variansi distribusi Eksponensial f(x) adalah 𝝈𝟐 = 𝜷𝟐 Contoh: Misalkan suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dinyatakan oleh variabel random T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter 𝛽 = 5. Hitunglah peluang komponen masih berfungsi pada akhir tahun kedelapan! Jawab: 𝑃 𝑇>8 =
1 5
=𝑒
D.
∞
𝑒 −𝑡 5 𝑑𝑡 = 8 −8 5
1 1 ∙ 𝑒 −𝑡 1 5 − 5
5 ∞ 8
= 0,2019
Distribusi Chi-kuadrat 𝜒 2 Distribusi gamma khusus yang kedua diperoleh bila 𝛼 = 𝜈 2 dan 𝛽 = 2, dengan 𝜈 bilangan bulat positif. Fungsi padat peluang seperti itu disebut distribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜈. Variabel random kontinu X berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜈 jika fungsi padat peluangnya diberikan oleh: 𝒇 𝒙 = 𝟐𝝂 dengan 𝜈 bilangan bulat positif.
𝟏 𝟐𝚪
𝝂 𝟐
𝝂 −𝟏 −𝒙 𝟐 𝟐 𝒆
𝒙
x>0
28
Rataan distribusi Chi-kuadrat f(x) adalah 𝑬 𝑿 =𝝂
Variansi distribusi Chi-kuadrat f(x) adalah 𝝈𝟐 = 𝟐𝝂
E.
Distribusi Pareto Variabel random kontinu X berdistribusi Pareto dengan parameter 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0 jika fungsi padat peluangnya diberikan oleh: 𝒙 − 𝜷+𝟏
𝜷
x>0
𝒇 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝜶 𝟏 + 𝜶 dengan 𝜈 bilangan bulat positif.
Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Pareto dinyatakan dengan: 𝑭 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝟏 − 𝟏 +
𝒙 −𝜷 𝜶
x>0
Rataan distribusi Pareto f(x) adalah 𝑬 𝑿 =
𝜶 𝜷−𝟏
Variansi distribusi Pareto f(x) adalah 𝝈𝟐 =
𝜶𝟐 𝜷 𝜷−𝟐 𝜷−𝟏
𝟐
Contoh: Daya tahan hidup (dalam hari) seekor tikus putih yang diuji cobakan pada suatu radiasi sinar X adalah variabel random 𝑋~PAR 4,1.2 . Tentukan: a) Probabilitas daya tahan hidup tikus tersebut paling lama 15 hari! b) Probabilitas daya tahan hidup tikus tersebut antara 15 sampai 20 hari! c) Nilai harapan daya tahan hidup tikus tersebut! Jawab: a) 𝑃 𝑋 ≤ 15 = 𝐹 15; 4,1.2 = 1 − 1 +
15 −1.2 4
= 0.8458
b) 𝑃 15 < 𝑋 < 20 = 𝐹 20; 4,1.2 − 𝐹 15; 4,1.2 20 −1.2 15 = 1− 1+ − 1− 1+ 4 4 = 0,8835 − 0,8458 = 0,0377 𝛼 4 c) 𝐸 𝑋 = = = 20 hari. 𝛽 −1
F.
−1.2
1.2−1
Distribusi Weibull “waktu sampai rusak” atau “umur” suatu komponen, diukur dari suatu waktu tertentu sampai rusak, dinyatakan dengan variabel random kontinu T dengan fungsi padat peluang f(t). Salah satu distribusi yang paling banyak digunakan untuk menangani masalah seperti ini adalah distribusi Weibull.
29
Variabel random kontinu T berdistribusi Weibull dengan parameter 𝛼 dan 𝛽 jika fungsi padat peluangnya diberikan oleh: 𝜷
𝒇 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝜶𝜷 𝒙𝜷−𝟏 𝒆− 𝒙
𝜶 𝜷
x >0
dengan 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0. Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Weibull dinyatakan dengan: 𝑭 𝒙; 𝜶, 𝜷 = 𝟏 − 𝒆− 𝒙
𝜶 𝜷
x >0
Rataan distribusi Weibull f(x) adalah 𝑬 𝑿 = 𝜶𝚪 𝟏 +
𝟏 𝜷
Variansi distribusi Weibull f(x) adalah 𝝈𝟐 = 𝜶𝟐 𝚪 𝟏 +
𝟐 𝟏 − 𝚪 𝟏+ 𝛃 𝛃
𝟐
Contoh: Jarak (dalam meter) suatu bola ditembakkan dari pusat sasaran adalah variabel random 𝑋 ~ WEI 10,2 . Tentukan: a) probabilitas bahwa bola ditembakkan minimal 20 meter dari pusat sasaran! b) E(X) dan Var(X)! Jawab: a) Diketahui 𝛼 = 10, 𝛽 = 2 Jadi peluang/probabilitas bola ditembakkan minimal 20 meter dari sasaran adalah: 𝑃 𝑋 ≥ 20 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 20 = 1 − 𝐹 20; 10,2 = 1 − 1 − 𝑒 − 20 b) 𝐸 𝑋 = 10Γ 1 +
1 2
= 10 ∙ Γ
10 2 3 2
= 𝑒 − 20
10 2
1
1
2
2 2
= 10 ∙ ∙ Γ
= 0,0183 =5 𝜋
2 1 − Γ 1+ 2 2 3 2 1 = 100 Γ 2 − Γ = 100 1 − 𝜋 2 2
Var(𝑋) = 𝜎 2 = 102 Γ 1 +
2
= 100 1 −
𝜋 4
Latihan 1.
2.
a. Anggap bahwa Z~N(0,1). Tentukan nilai a sedemikian sehingga luas kurva di sebelah kanan a sebesar 0,352! b. Anggap bahwa X~N(3; 0,16). Tentukan nilai sehingga P(3-c < X < 3+c) = 0,90! Ketahanan suatu baja ditentukan dengan menekan permukaannya dengan sebuah mesin, kemudian mengukur kedalaman lekukannya. Ukuran ketahanan tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 3. a. Baja lolos uji jika ketahanannya antara 66 dan 74. Berapa peluang suatu baja lolos uji ketahanan? b. Jika ketentuan ketahanan baja lolos uji ada pada interval 70 ± c. Tentukan nilai c sedemikian sehingga 95% baja lolos uji ketahanan?
30
3.
4.
5.
Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan rat-rata 200 ml/cangkir. Bila isi minuman ini berdistribusi normal dengan simpangan baku 15 ml. a. berapa proporsi cangkir yang akan berisi lebih dari 224 ml? b. berapa peluang suatu cangkir berisi antara 191 dan 209 ml? c. berapa cangkir yang akan kepenuhan (sehingga tumpah) bila digunakan 1000 cangkir berukuran 230 ml? Di suatu kota, pemakaian air sehari (dalam jutaan liter) berdistribusi hampiran gamma dengan α = 2 dan β = 3. Bila kemampuan menyediakan air 9 juta liter sehari. Berapakah peluang pada suatu hari persediaan air tidak mencukupi? Lamanya waktu untuk melayani seseorang di suatu kafetaria merupakan suatu variabel random berdistribusi eksponensial dengan rataan 4 menit. Berapakah peluang seseorang akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit pada paling sedikit 4 dari 6 hari berikut?
Kesalahan fatal adalah maju tanpa kemauan untuk menang
