SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 A-3
Integral pada
yang Dibangun oleh Ukuran Bernilai Proyeksi Arta Ekayanti dan Ch. Rini Indrati. FMIPA Universitas Gadjah Mada
[email protected]
Abstrak—Pada pembahasan ukuran bernilai proyeksi, banyak tulisan yang memberikan paparan mengenai integral fungsi sederhana, lain halnya untuk integral fungsi terbatas esensial . Pada tulisan ini, akan dibahas integral pada yang dibangun oleh ukuran bernilai proyeksi. Konstruksinya berdasarkan pada sifat densitas koleksi fungsi sederhana di dalam . Lebih lanjut, dengan memanfaatkan konstruksi yang didapat, diselidiki sifat-sifat integral tersebut. Kata kunci: Fungsi Sederhana, Integral, Ukuran Bernilai Proyeksi.
I.
PENDAHULUAN
Di dalam matematika khususnya matematika analisis, dikenalkan konsep ukuran. Salah satu ukuran yang telah banyak dikenal adalah ukuran Lebesgue. Diperhatikan bahwa ukuran Lebesgue merupakan ukuran yang bernilai real. Perlu diketahui bahwa ukuran tidak hanya bernillai real. Pada tahun 1991, Bagget [1] memberikan paparan mengenai ukuran bernilai proyeksi. Hal serupa juga dilakukan oleh Bell [2] dan Stromberg [4]. Bagget [1] menyebutkan bahwa ukuran bernilai proyeksi digunakan untuk membangun integral, dimulai dari integral fungsi sederhana hingga diperluas sampai pada integral fungsi terbatas esensial . Untuk integral fungsi sederhana, definisinya sudah diberikan. Lain halnya dengan integral fungsi yang belum ada definisi eksplisitnya. Sementara pada referensi lain, langsung mengaitkan ukuran bernilai proyeksi dengan teori spektral tanpa membahas integralnya secara mendalam. Diketahui ukuran jika
himpunan tak kosong dan untuk setiap untuk , maka berlaku
aljabar- himpunan pada Fungsi berlaku dan untuk setiap
disebut dengan (1)
Selanjutnya, mengacu pada [3], suatu fungsi himpunan terbuka.
dikatakan terukur, jika
Diketahui ruang Hilbert separabel. Didefinisikan digunakan ruang Hilbert atas lapangan Pada pembahasan selanjutnya, pada Berikut ini diberikan definisi ukuran bernilai proyeksi [2]. Definisi 1.1. Pemetaan sifat sebagai berikut: 1. 2. 3.
terukur, dengan
Pada tulisan ini, menyatakan aljabar- Borel
disebut ukuran bernilai proyeksi pada
jika memenuhi sifat-
. Jika
, dengan untuk
operator identitas pada dengan untuk
maka berlaku (2)
Selanjutnya, jika 1. 2. 3.
Jika
ukuran bernilai proyeksi, maka untuk setiap
berlaku
maka
Diberikan
ukuran bernilai proyeksi. Untuk setiap , dengan definisi
17
dibentuk pemetaan
ISBN. 978-602-73403-0-5
(3) untuk setiap sebaliknya.
. Untuk
ukuran bernilai proyeksi, diperoleh
Diperhatikan bahwa, untuk sebarang function), jika ada sehingga skalar dengan sehingga
fungsi
ukuran kompleks, begitu juga
disebut fungsi sederhana (simple dan untuk dan ada (4)
Teorema 1.2. Diketahui representasi
ukuran bernilai proyeksi. Jika
fungsi sederhana dengan (5)
dengan maka
dan
denga n
untuk (6)
Dengan demikian, berdasarkan Teorema 1.2 dapat diberikan definisi sebagai berikut: Definisi 1.3. Diketahui Didefinisikan
ukuran bernilai proyeksi dan , dengan
fungsi sederhana dengan (7)
Diperhatikan bahwa, dibicarakan, sedangkan domain yang dibicarakan.
menunjukkan bahwa fungsi diintegralkan pada domain yang menunjukkan bahwa diintegralkan pada himpunan bagian dari
Selanjutnya, didefinisikan
dan diberikan himpunan merupakan operator linear terbatas,
Diperhatikan bahwa operator dengan sifat-sifatnya dapat dilihat pada teorema berikut:
Teorema 1.4. Diketahui ukuran bernilai proyeksi. Pemetaan memenuhi sifat-sifat berikut:
1. multiplikatif, yaitu 2. Untuk sebarang
berlaku
dengan
dengan
konjugat dari
Di dalam penelitian ini akan dibahas mengenai konstruksi dari definisi integral fungsi dibangun oleh ukuran bernilai proyeksi. Lebih lanjut, akan ditunjukkan sifat-sifatnya.
yang
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi terhadap perkembangan ilmu pengetahuan khususnya mengenai ukuran bernilai proyeksi dan integral pada , serta memberikan motivasi untuk melakukan penelitian mengenai penerapan integral pada , misalnya pada bahasan teori spektral.
II.
INTEGRAL PADA
YANG DIBANGUN OLEH UKURAN BERNILAI PROYEKSI
Berikut ini diberikan teorema yang menunjukkan karakteristik barisan fungsi sederhana Teorema 3.1. Jika sehingga
terbatas dan terukur,maka terdapat barisan fungsi sederhana (8)
Bukti: Diperhatikan bahwa terbatas maka terdapat Untuk setiap didefinisikan dengan didefinisikan himpunan
sehingga dan
untuk setiap . Lebih lanjut, (9)
untuk
dan
18
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
(10) Dibentuk
untuk setiap untuk suatu fungsi sederhana. Diperhatikan bahwa
Dengan demikian, diperoleh
(11) untuk setiap
Dengan demikian
Pada tulisan ini, diberikan Teorema 3.2. Diketahui barisan fungsi sederhana
untuk menyatakan koleksi fungsi kompleks yang terbatas esensial- . ukuran bernilai proyeksi. Jika
maka terdapat
sehingga (12)
Bukti: Diperhatikan bahwa untuk setiap
maka terdapat bilangan asli dan dengan Diambil sebarang . Untuk tersebut, didefinisikan
dan
(13) Diperhatikan bahwa merupakan fungsi terbatas, maka berdasarkan Teorema 3.1 terdapat barisan fungsi sederhana sehingga untuk Dengan demikian diperoleh (14) untuk
. Artinya
konvergen ke
di
Berdasarkan Teorema 3.1 dan Teorema 3.2, diperoleh teorema sebagai berikut: Teorema 3.3. Koleksi fungsi sederhana Bukti: Diambil sebarang dinyatakan dalam bentuk
dense di
. Diambil sebarang fungsi kompleks
maka
dapat (15)
dengan . Diasumsikan bahwa terbatas, maka dan terbatas. Karena terukur maka dan terukur. Berdasarkan Teorema 3.1, terdapat barisan fungsi sederhana dengan dan untuk Dengan demikian, diperoleh barisan fungsi sederhana sehingga untuk , dengan di Selanjutnya, untuk tak terbatas pembuktiannya sejalan dengan kasus terbatas. Dengan memanfaatkan Teorema 3.2 maka teorema terbukti. Berdasarkan Teorema 3.3, 1.4 dapat diperluas menjadi tersebut.
dense di
Dengan demikian pemetaan pada Teorema . Selanjutnya, akan diselidiki definisi dari pemetaan
Diperhatikan bahwa, berdasarkan Teorema 3.3 berlaku demikian, seragam pada
untuk
Dengan
Selanjutnya, berikut ini diberikan Teorema Kekonvergenan Seragam. Teorema 3.4. Diketahui terukur dan terbatas. Jika
, ukuran bernilai proyeksi dan konvergen seragam pada , maka
barisan fungsi (16)
Bukti: Diperhatikan bahwa, untuk setiap terbatas dan terukur dan terbatas dan terukur. Diambil sebarang sebarang dan dengan seragam pada maka terdapat sehingga untuk setiap dengan
seragam pada , maka . Karena berlaku (17)
Dengan demikian, untuk setiap
dengan
berlaku
19
ISBN. 978-602-73403-0-5
Diperhatikan bahwa, untuk setiap , terdapat barisan fungsi sederhana dan seragam pada Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3.4, untuk setiap berlaku (18) dengan
dan
seragam pada
Teorema 3.5. Jika dengan
Dengan demikian, diperoleh teorema sebagai berikut:
ukuran bernilai proyeksi, maka dapat didefinisikan pemetaan (19)
untuk setiap Bukti: Dalam hal terdapat barisan berdasarkan Teorema 3.4, diperoleh dan yaitu,
dengan
dan yaitu, untuk
seragam pada , maka untuk Oleh karena itu, berlaku (20)
untuk Dengan demikian, tunggal. Selanjutnya,akan dibuktikan bahwa terdapat barisan fungsi sederhana demikian, terdapat barisan fungsi sederhana Diperhatikan bahwa,
Hal ini menunjukkan bahwa Diambil sebarang fungsi maka dengan dan seragam pada Dengan sehingga seragam pada
(21) Karena
seragam pada Dengan demikian, diperoleh
maka berdasarkan Teorema 3.4,
untuk
(22) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa barisan fungsi sederhana dengan fungsi sederhana sehingga
Diambil sebarang fungsi , maka terdapat seragam pada Dengan demikian, terdapat barisan seragam pada . (23)
Karena seragam pada demikian, diperoleh
maka berdasarkan Teorema 3.4,
untuk
Dengan (24)
Jadi, terbukti bahwa operator linear. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa operator terbatas, yaitu dengan menunjukkan bahwa terbatas. Diambil sebarang , maka terdapat barisan fungsi sederhana dengan seragam pada Dengan demikian, untuk sebarang berlaku
(25)
Diperhatikan bahwa, (26) Dengan demikian diperoleh
20
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
(27)
Dengan demikian, terbukti bahwa
terbatas. Jadi,disimpulkan bahwa
Konstruksi yang diperoleh dari Teorema 3.5, yang diberikan dalam (1), memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: Teorema 3.6. Jika diberikan ukuran bernilai proyeksi definisi (1) memenuhi sifat-sifat sebagi berikut: 1.
Multiplikatif, yaitu untuk setiap fungsi
2.
Untuk sebarang
berlaku
3.
Untuk sebarang
berlaku
, maka pemetaan
dengan
berlaku dengan
konjugat dari
Bukti: 1.
Diambil sebarang fungsi dengan dan sehingga
maka terdapat barisan fungsi sederhana seragam pada Dengan demikian, terdapat barisan fungsi sederhana seragam pada Diperhatikan bahwa,
(28)
Karena 2.
seragam pada maka berdasarkan Teorema 2.8, Dengan demikian, diperoleh
Diambil sebarang
untuk
. Diperhatikan bahwa
(29)
3.
Diambil sebarang
Diperhatikan bahwa
(30)
III.
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa ukuran bernilai proyeksi digunakan untuk membangun integral. Dimulai dari integral fungsi sederhana yang dibangun oleh ukuran bernilai proyeksi, yaitu (31) untuk setiap fungsi sederhana Dengan berdasarkan fakta bahwa koleksi fungsi sederhana dense di (Teorema 3.3), maka diperoleh konstruksi integral fungsi yang dibangun oleh ukuran bernilai proyeksi, yaitu
21
ISBN. 978-602-73403-0-5
(32) dengan
dan
seragam pada
Konstruksi yang diperoleh tersebut, memenuhi sifat-sifat diantaranya multiplikatif, yaitu , dengan konjugat dari dan
DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4]
Bagget, L.W, “Functional Analysis,” Marcell-Dekker, New York, 1991. Bell, J., “ Projection-Valued Measure and Spectral Integrals,” http://individual.utoronto.ca/jordanbell/notes/pvm.pdf, diakses tanggal 8 November 2014. Royden, H.L dan P.M Fitzpatrick, “Real Analysis, Fourth Edition,” China Machine Press, China, 2010. Stromberg, R.,Spectral Theory for Bounded Self-Adjont, “U.U.D.M Project Report 2006:5,” Uppsala University, 2006.
22
