Wichterlovo gymn´azium, Ostrava-Poruba pˇr´ıspˇevkov´a organizace
Moravskoslezsk´y matematick´y ˇsampion´at 2015 Sborn´ık
Ostrava-Poruba 22. 10. 2015
c RNDr. Eva Davidov´a a kol.
ISBN 978-80-87058-23-7
Organizaˇcn´ı v´ybor Mgr. Bc. Libor Klubal
hlavn´ı organiz´ator
RNDr. Eva Davidov´ a
odborn´y matematick´y dohled, editor sborn´ıku
Mgr. Lada Stachovcov´ a
technick´a podpora
Autoˇri a recenzenti RNDr. Eva Davidov´a, Mgr. Jana Gajduˇskov´a, Mgr. Petra Kˇ nurov´a, ˇ ıpalov´a, Mgr. Tom´aˇs Krchˇ n´ak, Mgr. Lenka Pl´aˇskov´a, Mgr. Marie St´ RNDr. Michal Vavroˇs, Ph.D.
Pˇreklad do anglick´eho jazyka Mgr. Tom´aˇs Klein
Obsah ´ Uvodn´ ı slovo doc. Ing. Jiˇr´ı Cienciala, CSc.
7
ˇ9 Kategorie ZS Orchideje
9
Kortaderie dvoudom´ a
10
Exkurze
12
Masoˇ zrav´ e rostliny
13
Lekn´ınov´ e jez´ırko
14
ˇ3 Kategorie SS Bystr´ y zahradn´ık
16
Tulip´ any
18
Sm´ıˇ sen´ e lesy
19
Kamschatca Stonecrop
20
Pam´ atn´ e duby
22
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
5
´ Uvodn´ ı slovo Matematika je z´ akladem pro vˇ sechny technick´ e profese Je mi ct´ı, ˇze mohu touto cestou alespoˇ n trochu pˇrispˇet k popularizaci matematiky. Patˇr´ım totiˇz mezi zast´ ance tvrzen´ı, ˇze matematika je kr´alovnou vˇed, a mrz´ı mˇe, ˇze tolik mlad´ ych lid´ı m´ a z n´ı obavy nebo dokonce strach. Cel´ y ˇzivot jsem se pohyboval v pr˚ umyslu a dlouh´e roky jsem p˚ usobil jako gener´ aln´ı ˇreditel Tˇrineck´ ych ˇzelez´ aren. Mohu potvrdit, ˇze jak pro ekonomy, tak pro techniky (a pro ˇradu dalˇs´ıch profes´ı) je matematika z´akladem i d˚ uleˇzit´ ym pracovn´ım n´ astrojem. Pˇrestoˇze se v hutnictv´ı pohybujeme ve velk´ ych hmotnostech a objemech, vˇsechno mus´ı b´ yt spoˇc´ıt´ ano pˇresnˇe na gramy, centimetry, sekundy. Vˇsechny procesy maj´ı jasn´ y ˇr´ ad, nic se nesm´ı ponechat n´ahodˇe. T´ım d˚ uvodem nen´ı jen hrozba, ˇze v´ yrobek bude nekvalitn´ı a m˚ uˇze vzniknout ˇskoda. V s´ azce je kaˇzdou minutu mnohem v´ıc – produktivita, konkurenceschopnost firmy, jej´ı reputace a tak´e ˇzivoty lid´ı. Bez odborn´ık˚ u, kteˇr´ı se na ˇskole neb´ ali matematiky, bychom se neobeˇsli. Je prok´ az´ ano, ˇze matematick´ a gramotnost m´ a pˇr´ımou souvislost se schopnost´ı absolvent˚ u ˇskol flexibilnˇe ˇreˇsit probl´emy, ale tak´e s pˇredpokladem vˇenovat se studiu technick´ ych obor˚ u. Ty byly dˇr´ıve naˇs´ı p´ ychou a pr˚ umyslov´ a v´ yroba hlavn´ı sloˇzkou HDP, po revoluci ale ponˇekud upadly v nemilost. To se bohuˇzel projevuje na trhu pr´ ace, pr˚ umyslov´e firmy postr´adaj´ı lidi s technick´ ym vzdˇel´ an´ım a to m˚ uˇze m´ıt v´ aˇzn´e n´asledky. Nedostatek odborn´ık˚ u neumoˇzn ˇuje podnik˚ um inovace a dalˇs´ı r˚ ust a re´alnˇe hroz´ı pokles konkurenceschopnosti zamˇestnavatel˚ u, coˇz m˚ uˇze m´ıt v nˇekter´ ych regionech, zejm´ena v Moravskoslezsk´em kraji, tak´e soci´ alnˇe ekonomick´ y dopad. To by byla obrovsk´ a ˇskoda, a proto se uˇz nˇekolik let snaˇz´ıme podporovat z´ajem o technick´e vzdˇel´ av´ an´ı. Napˇr´ıklad Svaz pr˚ umyslu a dopravy letos uskuteˇcnit ˇradu aktivit, kter´e maj´ı pˇresvˇedˇcit dˇeti, studenty i rodiˇce, ˇze jde o pr´aci v nejmodernˇejˇs´ıch provozech bez ˇspinav´ ych rukou a mont´erek. ˇ M´ a-li si Cesk´ a republika dlouhodobˇe udrˇzet vysokou konkurenceschopnost pr˚ umyslov´e v´ yroby a nad´ ale ji rozv´ıjet, je nutn´e usilovat vˇsemi moˇznostmi o popularizaci pr˚ umyslov´ ych profes´ı, tˇreba i ve formˇe st´atn´ıho vyznamen´an´ı pro techniky, konstrukt´ery, pˇredkladatele zlepˇsovac´ıch n´avrh˚ u apod. Pr˚ umysl nen´ı jen tradice, ale i modern´ı souˇcasnost a budoucnost nab´ızej´ıc´ı dobr´e pracovn´ı perspektivy. Svˇetov´ a popt´ avka potvrzuje, ˇze pr˚ umyslov´a v´ yroba dobˇre uˇziv´ı i regiony a zemˇe, kter´e nemaj´ı takovou tradici, zkuˇsenosti ani zlat´e ˇcesk´e ruˇciˇcky“ jako my. Ale mus´ıme se soustˇredit jak na technick´e ” vzdˇel´ av´ an´ı, tak na modernizaci, inovace, v´ yzkum a v´ yvoj. Byla by ˇskoda, Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
7
kdyby n´ as pˇredbˇehly v rozvoji pr˚ umyslov´ ych v´ yrobk˚ u a technologi´ı dalˇs´ı jin´e zemˇe. Mil´ı pˇr´ıznivci matematiky, pˇreji V´ am hodnˇe u ´spˇech˚ u nejen v ˇsampion´atu, ale i ve studiu a dalˇs´ı kari´eˇre. Pedagog˚ um pˇreji n´apaditost pˇri vytv´aˇren´ı praktick´ ych pˇr´ıklad˚ u a hodnˇe zv´ıdav´ ych student˚ u. Vˇeˇr´ım, ˇze Moravskoslezsk´ y kraj nab´ız´ı a bude nab´ızet i v budoucnu kvalitn´ı vzdˇel´av´an´ı a dostatek moˇznost´ı pro uplatnˇen´ı vˇsech, kteˇr´ı se vydaj´ı cestou technick´ ych profes´ı, a poskytne pˇr´ıleˇzitosti i pro ty nejtalentovanˇejˇs´ı.
doc. Ing. Jiˇr´ı Cienciala, CSc. ´ vl´ adn´ı zmocnˇenec pro Moravskoslezsk´ y a Usteck´ y kraj, rektor Vysok´e ˇskoly podˇ ˇclen Rady vl´ nik´ an´ı a pr´ ava, viceprezident Svazu pr˚ umyslu a dopravy CR, ady pro ˇ v´ yzkum, v´ yvoj a inovace, poradce prezidenta CR
ˇ9 Kategorie ZS
Orchideje Zad´ an´ı Jedn´ım z d˚ uleˇzit´ ych faktor˚ u pro u ´spˇeˇsn´e pˇestov´ an´ı orchidej´ı je jejich pˇrihnoˇ jov´ an´ı. Sikovn´ y zahradn´ık Kvˇetoslav pracuje v botanick´e zahradˇe, kde jsou jeho chloubou kr´ asn´e orchideje. Pro pˇrihnojov´ an´ı tˇechto kvˇetin pravidelnˇe pouˇz´ıv´ a hnojivo ve tvaru mal´ ych krychliˇcek. Jednou se Kvˇetoslav tak trochu nudil a naskl´ adal krychliˇcky hnojiva na sebe tak, ˇze mu vznikl kv´adr. Z´ aroveˇ n dostal n´ apad, ˇze bude kostiˇcky hnojiva odeb´ırat tak, ˇze nejprve vezme a pouˇzije pro hnojen´ı orchidej´ı celou horn´ı vrstvu (91 krychliˇcek hnojiva), pak vezme celou jednu boˇcn´ı vrstvu (65 krychliˇcek) a nakonec odebere pˇredn´ı vrstvu. (St´ ale mu jich dost zb´ yv´a. . .) Kolik krychliˇcek hnojiva z p˚ uvodnˇe vytvoˇren´eho kv´adru zbyde? Sv˚ uj postup od˚ uvodnˇete.
ˇ sen´ı Reˇ Horn´ı vrstva kv´ adru je tvoˇrena 91 krychliˇckami. Rozklad ˇc´ısla 91 na prvoˇcinitele je 91 = 7 · 13, horn´ı vrstva kv´ adru m´ a tedy rozmˇery 7 × 13. Boˇcn´ı vrstva po odebr´ an´ı horn´ı vrstvy m´ a obsahovat 65 krychliˇcek. Jelikoˇz 65 = 13 · 5, znamen´ a to, ˇze na v´ yˇsku kv´ adru se po odebr´an´ı horn´ı vrstvy vejde pr´ avˇe 5 krychliˇcek. P˚ uvodnˇe jich tedy muselo b´ yt 6. Po odebr´an´ı pˇredn´ı vrstvy p˚ uvodnˇe vytvoˇren´eho kv´ adru, kter´ y obsahoval 7 · 13. · 6 krychliˇcek, pak zb´ yv´ a kv´ adr sestaven´ y z (7 − 1) · (13 − 1) · (6 − 1) = 6 · 12 · 5 = 360 krychliˇcek. Pokud bychom pˇredpokl´ adali, ˇze horn´ı vrstva m´a rozmˇery 91 · 1, nebylo by moˇzn´e pokraˇcovat podle zad´ an´ı u ´lohy, proto takov´eto ˇreˇsen´ı nepˇripad´a vu ´vahu. Z p˚ uvodnˇe vytvoˇren´eho kv´ adru z˚ ustalo 360 krychliˇcek hnojiva.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
9
ˇ9 Kategorie ZS
Kortaderie dvoudom´ a Zad´ an´ı Ve venkovn´ı expozici botanick´e zahrady chtˇej´ı os´ıt ˇc´ast obd´eln´ıkov´eho z´ahonu vz´ acnou travinou Kortaderi´ı dvoudomou. Jakou ˇc´ast plochy z´ahonu bude zauj´ımat zatravnˇen´ a plocha tvaru rovnobˇeˇzn´ıku, jehoˇz vrcholy jsou ve tˇretin´ ach stran obd´eln´ıkov´eho z´ ahonu (viz obr´ azek)? Zapiˇste cel´ y postup ˇreˇsen´ı.
ˇ sen´ı Reˇ Oznaˇcme strany obd´eln´ıku a, b, obsah obd´eln´ıku SO , obsah rovnobˇeˇzn´ıku SR , obsahy troj´ uheln´ık˚ u S1 , S2 , S3 , S4 (viz obr´ azek).
1 2 Vrcholy rovnobˇeˇzn´ıku rozdˇel´ı stranu a na dvˇe u ´seˇcky d´elky a a a, stranu b 3 3 1 2 na b a b . Nezatravnˇenou plochu obd´eln´ıku tvoˇr´ı 4 pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, 3 3 po dvou shodn´e. 10
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ9 Kategorie ZS
Vypoˇc´ıt´ ame obsahy shodn´ ych troj´ uheln´ık˚ u: 1 1 1 2 · a · b = ab, 2 3 3 9 1 1 2 1 S2 = S4 = · a · b = ab, 2 3 3 9 tedy obsahy vˇsech ˇctyˇr troj´ uheln´ık˚ u jsou stejn´e. S1 = S3 =
Obsah rovnobˇeˇzn´ıku (zatravnˇen´e plochy) vypoˇc´ıt´ame tak, ˇze od obsahu obd´eln´ıku odeˇcteme obsahy troj´ uheln´ık˚ u. Tud´ıˇz pro obsah rovnobˇeˇzn´ıku plat´ı 1 5 5 SR = SO − 4 · S1 = ab − 4 · ab = ab = SO . 9 9 9 Zatravnˇen´ a plocha tvaru rovnobˇeˇzn´ıku zauj´ım´ a
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
5 obsahu obd´eln´ıku. 9
11
ˇ9 Kategorie ZS
Exkurze Zad´ an´ı Na pl´ anovanou exkurzi 2. roˇcn´ık˚ u do botanick´e zahrady se uvolnilo 5 m´ıst. Pro velk´ y z´ ajem v ostatn´ıch tˇr´ıd´ ach zadal uˇcitel matematiky u ´lohu s t´ım, ˇze prvn´ıch 5 u ´spˇeˇsn´ ych ˇreˇsitel˚ u pojede. ´ Uloha znˇela: Jak´ a je prvn´ı ˇc´ıslice nejmenˇs´ıho pˇrirozen´eho ˇc´ısla se souˇctem ˇc´ıslic 2015? Kolikacifern´e je toto pˇrirozen´e ˇc´ıslo? Sv˚ uj postup od˚ uvodnˇete.
ˇ sen´ı Reˇ Aby hledan´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo bylo nejmenˇs´ı, mˇelo by obsahovat co nejv´ıce dev´ıtek, dˇel´ıme tedy cifern´ y souˇcet uveden´ y v zad´ an´ı (ˇc´ıslo 2015) dev´ıti. Dost´ av´ ame tak 2015 = 223 · 9 + 8 Uvaˇzovan´e ˇc´ıslo bude m´ıt na 223 m´ıstech ˇc´ıslici 9 a jedno m´ısto bude obsazeno ˇc´ıslic´ı 8. Protoˇze dan´e ˇc´ıslo m´ a b´ yt nejmenˇs´ı, mus´ı b´ yt ˇc´ıslice 8 na prvn´ım m´ıstˇe. Tedy 8999 . . . 999 Hledan´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo m´ a tedy 224 cifer a jeho prvn´ı ˇc´ıslice je 8.
12
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ9 Kategorie ZS
Masoˇ zrav´ e rostliny Zad´ an´ı V botanick´e zahradˇe v praˇzsk´e Tr´ oji maj´ı v expozici Mokˇrad nˇekolik masoˇzrav´ ych rostlin Drosera filiformis p˚ uvodem ze Severn´ı Ameriky. Vlivem letoˇsn´ıho hork´eho a such´eho l´eta jich uhynulo 30 %. N´aslednˇe se podaˇrilo ˇctyˇri rostliny obmˇenit, ˇc´ımˇz se zmˇenil pomˇer mezi zdrav´ ymi a uschl´ ymi rostlinami na 4 : 1. Kolik masoˇzrav´ ych rostlin tohoto druhu mˇela zahrada p˚ uvodnˇe v expozici? Zapiˇste cel´ y postup ˇreˇsen´ı.
ˇ sen´ı Reˇ Uhynut´e masoˇzrav´e rostliny pˇred obmˇenou pˇredstavuj´ı 30 % z p˚ uvodn´ıho mnoˇzstv´ı. Po obmˇenˇe je pomˇer zdrav´ ych a uschl´ ych rostlin 4 : 1. Jeden d´ıl pˇredstavuje 15 , tedy 20 % z celkov´eho poˇctu. ˇ ri novˇe vys´ Ctyˇ azen´e rostliny sn´ıˇzily pod´ıl uschl´ ych rostlin z tˇriceti na dvacet procent z celkov´eho poˇctu, tedy 10 %. P˚ uvodn´ı poˇcet masoˇzrav´ ych rostlin je 100 %, tedy 10 · 4 = 40 kus˚ u. Jin´e ˇreˇsen´ı: P˚ uvodn´ı poˇcet rostlin oznaˇcme x. Uschl´e rostliny pˇredstavuj´ı 30 % z p˚ uvod30 3 n´ıho poˇctu, tedy 100 x = 10 x. Pod´ıl uhynul´ ych rostlin po dosadbˇe se sn´ıˇzil na 15 . Situaci tak m˚ uˇzeme pox 3 x − 4 = . Odkud vyj´ adˇr´ıme x, x = 40. psat rovnic´ı 10 5 Botanick´ a zahrada mˇela v expozici p˚ uvodnˇe 40 kus˚ u masoˇzrav´ ych rostlin Drosera filiformis.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
13
ˇ9 Kategorie ZS
Lekn´ınov´ e jez´ırko Zad´ an´ı Na protilehl´ ych bˇrez´ıch lekn´ınov´eho jez´ırka jsou 2 stromy, vzd´alenost mezi nimi je 25 m. Na kaˇzd´em z nich sed´ı ledˇ n´ aˇcek. Jeden z nich (L1 ) ve v´ yˇsce 15 m, druh´ y (L2 ) ve v´ yˇsce 20 m (viz obr´ azek). Oba pt´aci najednou zpozoruj´ı rybu (R), kter´ a vyplavala n´ ahodou na spojnici mezi stromy. Vrhnou se na rybu stejnou rychlost´ı a dolet´ı k n´ı souˇcasnˇe. Vypoˇctˇete, v jak´ ych vzd´ alenostech od pat strom˚ u se objevila ryba. Zapiˇste cel´ y postup ˇreˇsen´ı.
ˇ sen´ı Reˇ Oznaˇcme vzd´ alenost od jednotliv´ ych pt´ ak˚ u k rybˇe jako x, vzd´alenost ryby od paty jednoho stromu v, od paty druh´eho pak 25 − v (viz obr´azek).
14
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ9 Kategorie ZS
Potom plat´ı: 1. x2 = 152 + v 2 (pro prvn´ıho ledˇ n´ aˇcka) 2. x2 = 202 + (25 − v)2 (pro druh´eho ledˇ n´ aˇcka) Porovn´ an´ım obou rovnic dostaneme 152 + v 2 = 202 + (25 − v)2 , po umocnˇen´ı pak 225 + v 2 = 400 + 625 − 50v + v 2 . Dalˇs´ımi u ´pravami z´ısk´ ame 50v = 800, odkud v = 16. Vzd´ alenost ryby od paty jednoho stromu je tedy 16 m. Od paty druh´eho stromu je pak vzd´ alenost 25 − 16 = 9 m.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
15
ˇ3 Kategorie SS
Bystr´ y zahradn´ık Zad´ an´ı V zavlaˇzovac´ım syst´emu zahrady mˇestsk´e pevnosti v jihofrancouzsk´em mˇestˇe Antibes se porouchaly lopatky ˇcerpadla. Pro objedn´an´ı n´ahradn´ıho d´ılu je d˚ uleˇzit´ y typ ˇcerpadla. V´ yrobn´ı ˇc´ıslo 51 090 9x2 1y1 709 440 000 je na dvou m´ıstech neˇciteln´e. Bystr´ y zahradn´ık si ale zapamatoval, ˇze toto ˇc´ıslo bylo souˇcinem prvn´ıch jednadvaceti pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Pomozte mu nal´ezt chybˇej´ıc´ı cifry x, y. Sv˚ uj postup zd˚ uvodnˇete.
ˇ sen´ı Reˇ Jedna z moˇznost´ı urˇcen´ı cifer je m´ıt poˇc´ıtac´ı zaˇr´ızen´ı s displejem umoˇzn ˇuj´ıc´ım zobrazit dvacet platn´ ych cifer ˇc´ısla 1 · 2 · · · 21 = 51 090 942 171 709 440 000. Toto ˇc´ıslo se zkr´ acenˇe zapisuje 21! a ˇcte se 21 faktori´al. Pokud toto zaˇr´ızen´ı nem´ ame, mus´ıme si pomoci jinak. ˇ ıslo 21! mus´ı b´ C´ yt mimo jin´e dˇeliteln´e dev´ıti, coˇz znamen´a, ˇze cifern´ y souˇcet 5 + 1 + 9 + · · · + 4 = 52 + x + y = 45 + 7 + x + y mus´ı b´ yt dˇeliteln´ y dev´ıti, tj. mus´ı platit 9|(7 + x + y). Vzhledem k tomu, ˇze nezn´am´e x, y pˇredstavuj´ı nˇekter´e z cifer 0, 1, . . . , 9, pˇrich´ azej´ı v u ´vahu pouze dvˇe moˇznosti: x+y =2
x + y = 11.
(a)
ˇ ıslo 21! mus´ı b´ C´ yt tak´e dˇeliteln´e jeden´ acti. Jedno z krit´eri´ı dˇelitelnosti ˇr´ık´a, ˇze pro dˇelitelnost jeden´ acti mus´ı b´ yt rozd´ıl souˇct˚ u cifer na sud´ ych a lich´ ych pozic´ıch zkouman´eho ˇc´ısla dˇeliteln´ y jeden´ acti. Proto vypoˇcteme (5 + 0 + 0 + x + 1 + 1 + 0 + 4 + 0 + 0) − (1 + 9 + 9 + 2 + y + 7 + 9 + 4 + 0 + 0) = 11 + x − 41 − y = x − y − 30. Mus´ı platit, ˇze 11|(x − y − 30). Odtud m´ame dvˇe moˇznosti: x − y = −3
x − y = 8.
(b)
Z prvn´ıho pˇr´ıpadu (a) z´ısk´ ame ˇreˇsen´ım rovnice x + y = 2 pro x, y moˇznosti [0; 2], [2; 0], [1; 1], kter´e ovˇsem nevyhovuj´ı ˇz´ adn´e z podm´ınek (b) pro dˇelitelnost jeden´ acti. 16
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
´ Ulohu tedy doˇreˇs´ıme pomoc´ı dvou soustav: x+y x−y
= =
11 −3
x+y x−y
= =
11 8
resp.
Prvn´ı ze soustav m´ a jedin´e ˇreˇsen´ı [x; y] = [4; 7]. Druh´a soustava nem´a celoˇc´ıseln´e ˇreˇsen´ı, protoˇze vyhovuje jen [x; y] = [9,5; 1,5]. Hledan´e cifry v´ yrobn´ıho ˇc´ısla jsou x = 4 a y = 7.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
17
ˇ3 Kategorie SS
Tulip´ any Zad´ an´ı V zahrad´ ach nizozemsk´eho mˇesta Leuwaarden se rozhodli vys´azet 2 oddˇelen´e ˇctvercov´e z´ ahony tulip´ an˚ u tak, aby tulip´ any v z´ ahonech tvoˇrily pravidelnou ˇctvercovou s´ıt’. Z´ ahon u jez´ırka os´ azeli tulip´any ˇcerven´ ymi a z´ahon u lodˇenice tulip´ any ˇzlut´ ymi. Objednali tedy pˇr´ısluˇsn´e poˇcty sazenic a zjisˇ tili zaj´ımavou vˇec. Cerven´ ych tulip´ an˚ u bylo vys´ azeno pr´avˇe o 1111 v´ıce neˇz ˇzlut´ ych. Zjistˇete, kolik ˇcerven´ ych tulip´ an˚ u bylo v kaˇzd´e ˇradˇe z´ahonu u jez´ırka. Zapiˇste cel´ y postup.
ˇ sen´ı Reˇ Oznaˇcme poˇcet ˇcerven´ ych tulip´ an˚ u v ˇradˇe jako a. Potom celkov´ y poˇcet vys´ azen´ ych ˇcerven´ ych tulip´ an˚ u je a2 . Poˇcet ˇzlut´ ych tulip´an˚ u v jedn´e ˇradˇe oznaˇcme b. Potom celkov´ y poˇcet vys´ azen´ ych ˇzlut´ ych tulip´an˚ u je b2 . Plat´ı a2 − b2 = 1111. ˇ ısla a, b mus´ı b´ C´ yt pˇrirozen´ a. Protoˇze levou stranu lze rozloˇzit na souˇcin a2 − b2 = (a + b) (a − b) , hled´ ame rozklady ˇc´ısla 1111 na dva ˇcinitele. Rozklady jsou dva: 101 · 11 a 1 · 1111. Sestav´ıme soustavy rovnic: a) Pro pˇr´ıpad 101 · 11 dost´ av´ ame a + b = 101 a − b = 11, po vyˇreˇsen´ı soustavy vych´ az´ı a1 = 56, b1 = 45. b) Pro pˇr´ıpad 1 · 1111 dost´ av´ ame a + b = 1111 a − b = 1, po vyˇreˇsen´ı soustavy vych´ az´ı a2 = 556, b2 = 555. ˇ Cerven´ ych tulip´ an˚ u v ˇradˇe mohlo tedy b´ yt 56 nebo 556. 18
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
Sm´ıˇ sen´ e lesy Zad´ an´ı Pro rekultivaci krajiny zniˇcen´e tˇeˇzbou hnˇed´eho uhl´ı bylo tˇreba vytvoˇrit obd´eln´ık sm´ıˇsen´eho lesa, je v nˇem 31 kr´ at 65 buk˚ u, jedl´ı a smrk˚ u. Lesn´ı z´ avod tak mˇel 32015 moˇznost´ı pro v´ ybˇer strom˚ u. (Mimochodem, je to pˇribliˇznˇe 10961 .) Podobnˇe byl vys´ azen i les, ve kter´em je 53 kr´at 76 strom˚ u, coˇz bylo 34028 moˇznost´ı pro jejich v´ ybˇer. Pouˇzijeme-li tato ˇc´ısla jako koeficienty kvadratick´e rovnice x2 − 32015 x + 34028 = 0 3 a + b3 a ˇc´ısla a, b budou jej´ımi koˇreny, um´ıme urˇcit tak´e hodnotu log3 . 2 Vypoˇc´ıtejte ji.
ˇ sen´ı Reˇ Z Vietov´ ych vzorc˚ u pro koˇreny kvadratick´e rovnice plat´ı: a + b = 32015 a · b = 34028 Ze vzorce (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 vypl´ yv´a a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b). Pak tedy a3 +b3 = (32015 )3 −3·34028 ·32015 = 36045 −36044 = 3·36044 −36044 = 2·36044 . Dosad´ıme do logaritmu: 3 2 · 36044 a + b3 = log3 = log3 36044 = 6044 log3 2 2 Hledan´ a hodnota logaritmu je 6044.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
19
ˇ3 Kategorie SS
Kamschatca Stonecrop Problem A groundcover plant called Kamschatca Stonecrop (Sedum kamtschaticum) has reproduced excessively in a garden patch of a triangular shape (see the grey area of the picture) and it has been decided that the patch with the plant will be extended. The larger patch will be formed like this: each side of the triangle will be extended by its length.
How many times will the area of the patch be increased? Write down your reasoning and calculation.
Solution Let’s mark A, B, C the vertexes of the triangle representing the original patch. The vertexes of the newly formed triangle will be marked K, L, M (see the picture).
20
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
Let’s consider the triangle CBK. This triangle certainly has the same area as the triangle ABC, because it has the same length b of the base and the same altitude to this base. We can use the same reasoning for the equality of areas of the triangles CBK and BLK which have the same length a of the base and altitude to this base. That is why the area of the triangle CKL is twice the value of the triangle ABC. We can use the same method for the triangles BLM and M AK, both of them have the area twice as large as the triangle ABC. As a result, the triangle KLM has its area seven times as large as the triangle ABC. Another Solution
The following are valid for the areas of the triangles ABC and CKL: S4ABC =
1 ab sin γ, 2
1 2ab sin (180◦ − γ) . 2 The properties of the function sine tell us that sin γ = sin (180◦ − γ) . The consequence of that is S4CKL = S4ABC . S4CKL =
The same conclusion can be drawn for the triangles BLM and M AK, both of them have the area twice as large as the triangle ABC. As a result, the triangle KLM has its area seven times as large as the triangle ABC and the area of the garden patch will therefore be seven times larger than the original one. Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
21
ˇ3 Kategorie SS
Pam´ atn´ e duby Zad´ an´ı U pˇr´ıleˇzitosti v´ yroˇc´ı narozen´ı zakladatele botanick´e zahrady byly zasazeny 3 duby (A, B, C) do tvaru rovnostrann´eho troj´ uheln´ıka a navz´ajem byly vzd´ aleny 40 m. Z oken zakladatelova rodn´eho domu (D) se duby B a A jevily v z´ akrytu, pˇriˇcemˇz vzd´ alenost od domu k bliˇzˇs´ımu dubu B byla 40 m. ˇ Ctvrt´ y dub (E) byl zasazen o 50 let pozdˇeji a jeho vzd´alenost od zakladatelova domu byla opˇet 40 m. Pˇritom byl zasazen tak, aby jeho vzd´alenost od dubu C byla maxim´ aln´ı moˇzn´ a. N´ aslednˇe byla vybudov´ana vych´azkov´a trasa postupnˇe spojuj´ıc´ı duby A, C a E pˇr´ım´ ymi pˇeˇsinami a vracej´ıc´ı se opˇet do A. Vypoˇctˇete jej´ı d´elku (tj. obvod troj´ uheln´ıka ACE). Situaci naˇcrtnˇete a zapiˇste cel´ y v´ ypoˇcet vˇcetnˇe struˇcn´eho koment´aˇre.
ˇ sen´ı Reˇ Bod D symbolizuj´ıc´ı rodn´ y d˚ um zakladatele leˇz´ı na polopˇr´ımce AB, pˇriˇcemˇz |BD| = 40 m, D 6= A . Bod E leˇz´ı na kruˇznici se stˇredem v bodˇe D a polomˇerem 40 m. Pˇresnˇeji leˇz´ı na pr˚ uniku polopˇr´ımky CD s touto kruˇznic´ı, pˇriˇcemˇz podle zad´ an´ı vybereme ten z pr˚ useˇc´ık˚ u, pro kter´ y je |CE| > |CD|.
Troj´ uheln´ık BCD je rovnoramenn´ y a velikosti jeho vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u jsou 30◦ , 30◦ , 120◦ . Oznaˇcme F stˇred strany CD. Pak √ √ 3 ◦ |CF | = |DF | = |CB| · sin 60 = 40 · = 20 3. 2 22
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
√ Velikost strany CE je tedy 40 + 40 3 = ˙ 109,3 m. Stranu AE aze vypoˇcteme, uvˇedom´ıme-li si, ˇze | <) ACE| = 90◦ . Pak q nejsn´ p √ √ ˙ 116,4 m. |AE| = 402 + (40 + 40 3)2 = 40 5 + 2 3 = Celkov´ a d´elka vych´ azkov´e trasy je tedy 40 + 109,3 + 116,4 = 265,7 = ˙ 266 m.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
23
Wichterlovo gymn´ azium, Ostrava-Poruba, pˇr´ıspˇ evkov´ a organizace Sborn´ık pˇr´ıklad˚ u ze soutˇ eˇ ze Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at 2015 Ostrava 22. 10. 2015 N´ azev Editor Vydavatel N´ aklad Rozsah Vyd´ an´ı Tisk Doporuˇcen´ a cena
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´at 2015 RNDr. Eva Davidov´ a Wichterlovo gymn´ azium, Ostrava-Poruba, p. o. ˇ exilu 669, 708 00 Ostrava-Poruba Cs. 400 ks 24 stran prvn´ı, 2015, revize 1 Repronis Ostrava zdarma Texty neproˇsly jazykovou u ´pravou. ISBN 978-80-87058-23-7
