Wichterlovo gymn´azium, Ostrava-Poruba pˇr´ıspˇevkov´a organizace
Moravskoslezsk´y matematick´y ˇsampion´at 2016 Sborn´ık
Ostrava-Poruba 20. 10. 2016
c Mgr. Jana Gajduˇskov´a a kol.
Organizaˇcn´ı v´ybor PaedDr. Anton´ın Balnar, Ph.D.
hlavn´ı organiz´ator
Mgr. Jana Gajduˇskov´ a
odborn´y matematick´y dohled
Mgr. Lada Stachovcov´ a
technick´a podpora
Autoˇri a recenzenti RNDr. Eva Davidov´a, Mgr. Jana Gajduˇskov´a, Mgr. Petra Kˇ nurov´a, Mgr. Tom´aˇs Krchˇ n´ak, Mgr. Lenka Pl´aˇskov´a, RNDr. Michal Vavroˇs, Ph.D.
Pˇreklad do anglick´eho jazyka Mgr. Tom´aˇs Klein
Obsah ´ Uvodn´ ı slovo Mgr. Jan Netoliˇcka
7
ˇ9 Kategorie ZS ´ cky v obd´ Useˇ eln´ıku
9
Chata
11
P´ısek
14
ˇ3 Kategorie SS Dr´ aha letu
17
ˇ Sipky
18
Dort
20
A Triangle with perpendicular medians
22
Dˇ eti na hˇ riˇ sti
25
´ Uvodn´ ı slovo V´ aˇzen´ı ˇreˇsitel´e, ale tak´e Vy, kter´ ym se tento sborn´ık dostal do rukou n´ahodou, na naˇs´ı ˇskole r´ adi ˇz´ ak˚ um tvrd´ıme, ˇze matematika je vˇsude. R´adi jim to ˇ se n´ tak´e ukazujeme. Ze am ovˇsem nˇekdy podaˇr´ı jim dok´azat, jak moc je potˇreba matematiky v ˇceˇstinˇe, v to jsem ani nedoufal. Je jeˇstˇe kr´asnˇejˇs´ı, ˇze tohle spojen´ı pˇripadlo na rok, kdy Wichterlovo gymn´azium slav´ı 60 let. Pro mne je to d˚ ukazem, ˇze i v tomhle vˇeku si naˇse ˇskola zachov´av´a otevˇrenou mysl, coˇz je v dneˇsn´ım svˇetˇe snad to v˚ ubec nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı. Zachovejte si i vy otevˇrenou mysl, tˇreba objev´ıte matematiku i nˇekde jinde nebo tˇreba jen tak nˇeco objev´ıte. Vˇeˇrte, ˇze je to n´ adhern´ y pocit. Mgr. Jan Netoliˇcka ˇreditel Wichterlova gymn´ azia V letoˇsn´ım roce m´ ame tu ˇcest pˇriv´ıtat doc. RNDr. Karla Olivu, Dr., kter´ y ´ ˇ Jako vystudovan´ je ˇreditelem Ustavu pro jazyk ˇcesk´ y Akademie vˇed CR. y matematik, kter´ y pˇredn´ aˇs´ı i na Matematicko-fyzik´aln´ı fakultˇe Univerzity Karlovy, um´ı oba obory poutavˇe a s nads´ azkou komentovat. Zeptali jsme se ho, na co se m˚ uˇzeme tˇeˇsit: V u ´vodu pˇredn´ aˇsky budeme uvaˇzovat o tom, ˇze zat´ımco ˇcesk´y i anglick´y spelling-checker ( korektor pravopisu“) mohou b´yt zaloˇzeny na stejn´ych prin” cipech, konkr´etnˇe na kontrole toho, zda se urˇcit´e slovo vyskytuje v (rozs´ ahl´em, ale koneˇcn´em) seznamu slovn´ıch tvar˚ u, korektor ˇcesk´e gramatiky nem˚ uˇze vyhled´ avat chyby pouh´ym srovn´ av´ an´ım textu s pˇredem dan´ymi chybov´ymi konfiguracemi: d˚ uvodem je pˇredevˇs´ım typologick´ a odliˇsnost ˇceˇstiny, v n´ıˇz dominantn´ı roli ve skladbˇe vˇety hraje tvaroslov´ı, zat´ımco poˇr´ adek slov je gramatikou ovlivnˇen jen sp´ıˇse v´yjimeˇcnˇe. Tvorba korektoru ˇcesk´eho pravopisu tak vyˇzaduje alternativn´ı, z´ asadnˇe odliˇsn´y pˇr´ıstup. V centr´ aln´ı ˇc´ asti pˇredn´ aˇsky se proto budeme nejprve vˇenovat obecnˇe teoretick´ym u ´vah´ am o tom, co je zaruˇcenˇe“ gramaticky chybn´ a konstrukce ” (jak´ehokoliv) jazyka, a d´ ale pak technik´ am, jak takov´e negramatick´e konstrukce a vˇety (i) definovat, (ii) dostateˇcnˇe detailnˇe popsat a (iii) detekovat v pˇr´ıpadˇe ˇceˇstiny. Na z´ avˇer si struˇcnˇe uk´ aˇzeme, ˇze n´ avrh oprav chyb je sice s hled´ an´ım chyb tematicky sv´ azan´y, ale fakticky velmi odliˇsn´y u ´kol, a uvedeme i jist´e teoretick´e (a pro rodil´e mluvˇc´ı ˇceˇstiny snad dokonce z´ abavn´e) dopady zvolen´eho pˇr´ıstupu k popisu chyb.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
7
ˇ9 Kategorie ZS
´ cky v obd´ Useˇ eln´ıku Zad´ an´ı Je d´ an obd´eln´ık ABCD, na stranˇe AB leˇz´ı bod N , na stranˇe CD leˇz´ı bod M . ´ cka M N rozdˇeluje obd´eln´ık ABCD na dva lichobˇeˇzn´ıky (viz obr´azek). Useˇ V´ıme, ˇze velikost u ´seˇcky AN je 20 dm, velikost u ´seˇcky DM je 7 dm a velikost strany AD je 10 dm. D´ ale v´ıme, ˇze obsah lichobˇeˇzn´ıku M CBN je 55 % obsahu cel´eho obd´eln´ıku ABCD. a) Vypoˇc´ıtejte obsah lichobˇeˇzn´ıku AN M D. b) Najdˇete d´elku u ´seˇcky N B (= x). c) Pokud povedeme z bodu B rovnobˇeˇzku s danou u ´seˇckou M N , protne stranu CD v bodˇe Q. Jak´ y bude obsah troj´ uheln´ıku QCB? d) Kdybychom uˇr´ızli v kaˇzd´em rohu obd´eln´ y pravo√ıku ABCD rovnoramenn´ u ´hl´ y troj´ uheln´ık se z´ akladnou d´elky 3 2 dm, jak´ y by byl obsah zbyl´eho osmi´ uheln´ıku? e) Po uˇr´ıznut´ı ˇctyˇr roh˚ u√ ve tvaru rovnoramenn´ ych pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u se z´ akladnou d´elky 3 2 dm z obd´eln´ıku ABCD (viz zad´an´ı d)), vznikne osmi´ uheln´ık. Tˇemito osmi´ uheln´ıkov´ ymi dlaˇzdicemi“ vyskl´ √ame halu √ ad´ ” s rozmˇery 210×170 dm. Kolik ˇctvercov´ ych dlaˇzdiˇcek“ 3 2×3 2 dm bu” deme nejm´enˇe potˇrebovat na vyplnˇen´ı mezer vznikl´ ych v roz´ıch dlaˇzdic? ˇ Ctvercov´ e dlaˇzdiˇcky“ se mohou libovolnˇe dˇelit. Jak´ y je jejich celkov´ y ” obsah?
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
9
ˇ9 Kategorie ZS
ˇ sen´ı Reˇ a) Obsah lichobˇeˇzn´ıku AN M D je napˇr. podle vzorce pro obsah lichobˇeˇzn´ıku roven (7 + 20) · 10 = 135 dm2 . S= 2 b) Je-li obsah lichobˇeˇzn´ıku M CBN 55 % obsahu cel´eho obd´eln´ıku ABCD, pak obsah lichobˇeˇzn´ıku AN M D (135 dm2 ) mus´ı b´ yt 45 % obsahu obd´eln´ıku ABCD. Ten m´ a tedy obsah 300 dm2 . Velikost strany AB pak je 30 dm a hledan´ au ´seˇcka x mˇeˇr´ı 30 − 20 = 10 dm. c) D´elka strany QC troj´ uheln´ıku QCB je 30 − 7 − 10 = 13, obsah troj´ uheln´ıku 13 · 10 2 je tedy S = = 65 dm . 2 d)
√ Uˇr´ızl´e troj´ uheln´ıky tvoˇr´ı dohromady ˇctverec se stranou d´elky 3 2. Jeho obsah je 18 dm2 . Po odeˇcten´ı od obsahu obd´eln´ıku dostaneme obsah zbyl´eho osmi´ uheln´ıku: 282 dm2 . Je t´eˇz moˇzn´e vypoˇc´ıtat d´elku ramene uˇr´ızl´ ych troj´ uheln´ık˚ u podle Pythagorovy vˇety. Je rovna 3 dm. Obsah troj´ uheln´ıku je 4,5 dm2 . Obsah osmi´ uheln´ıku je S = 300 − 4 · 4,5 = 282 dm2 .
e) Na 210 dm se vejde 7×30 dm, na 170 dm se vejde 17×10 dm. Tedy potˇrebujeme 7×17 osmi´ uheln´ık˚ u. Mal´ ych ˇctverc˚ u bude stejnˇe, tedy 119. Jejich celkov´a plocha je 119 · 18 = 2 142 dm2 .
10
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ9 Kategorie ZS
Chata Zad´ an´ı Pozemek m´ a tvar ˇctverce. Chata, jej´ıˇz p˚ udorys m´a tvar obd´eln´ıku, je postavena v rohu pozemku tak, ˇze jeden rozmˇer zauj´ım´a jednu tˇretinu strany pozemku a druh´ y rozmˇer zauj´ım´ a jednu ˇctvrtinu strany pozemku. a) Jak´e rozmˇery m´ a zastavˇen´ a ˇc´ ast pozemku, jestliˇze zb´ yvaj´ıc´ı ˇc´ast m´a obsah 132 m2 ? b) Kolik metr˚ u pletiva je potˇreba na oplocen´ı cel´eho pozemku, jestliˇze na vˇsechny spoje je tˇreba pˇripoˇc´ıtat 5 %? ad´ a ze dvou shodn´ ych c) Stˇrecha chaty se skl´ rovnoramenn´ ych lichobˇeˇzn´ık˚ u a dvou shodn´ ych rovnostrann´ ych troj´ uheln´ık˚ u (viz obr´ azek), pˇriˇcemˇz kratˇs´ı z´ akladny lichobˇeˇzn´ık˚ u jsou stejnˇe dlouh´e jako jejich ramena a stejnˇe dlouh´e jako kratˇs´ı strana p˚ udorysu chaty. Delˇs´ı z´ akladny lichobˇeˇzn´ık˚ u jsou stejnˇe dlouh´e jako delˇs´ı strana p˚ udorysu chaty. Vypoˇc´ıtejte plochu cel´e stˇrechy. d) Stˇrecha chaty je pokryta vlnit´ ym plechem s v´ yˇskou vlny 5 cm (vlna m´a v pr˚ uˇrezu tvar p˚ ulkruˇznice, viz obr´ azek). Majitel chce vymˇenit pokryt´ı za vlnit´ y plech s v´ yˇskou vlny 10 cm. Cena kaˇzd´eho z obou druh˚ u se poˇc´ıt´a podle toho, kolik rovn´eho plechu bylo potˇreba na jeho v´ yrobu. Jeden metr (na d´elku) vlnit´eho plechu s v´ yˇskou vlny 5 cm stoj´ı 470 Kˇc. Kolik zaplat´ı majitel za jeden metr druh´eho druhu plechu?
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
11
ˇ9 Kategorie ZS
ˇ sen´ı Reˇ a) Oznaˇcme d´elku strany ˇctvercov´eho pozemku x, pro celkov´ y obsah pozemku pak plat´ı 1 2 x + 132 = x2 . 12 ˇ sen´ım t´eto rovnice dostaneme x = ±12. Reˇ Zad´ an´ı u ´lohy (d´elka pozemku) vyhovuje pouze jeden koˇren kvadratick´e rovnice, a to 12. Pozemek m´ a rozmˇery 12 m × 12 m. Rozmˇery chaty jsou 4 m × 3 m. b) Obvod cel´eho pozemku je 12 · 4 m = 48 m. Pˇripoˇc´ıt´ ame-li 5 % na spoje pletiva, bude potˇreba 1,05 · 48 = 50,4 m. Na oplocen´ı pozemku je potˇreba 50,4 m pletiva. c) Oznaˇc´ıme-li obsah troj´ uheln´ıku St , obsah lichobˇeˇzn´ıku Sl , pak obsah cel´e stˇrechy vypoˇc´ıt´ ame seˇcten´ım obsah˚ u troj´ uheln´ık˚ u a obsah˚ u lichobˇeˇzn´ık˚ u, tedy S = 2 · St + 2 · Sl , neboli S =2·
at · v a (a + c) v +2· 2 2
(oznaˇcen´ı stran a v´ yˇsek viz n´ asleduj´ıc´ı obr´ azek).
12
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ9 Kategorie ZS
V´ yˇsku troj´ uheln´ıku va a v´ yˇsku lichobˇeˇzn´ıku v dopoˇc´ıt´ame pomoc´ı Pythagorovy vˇety:
√ va = √9 − 2,25 va = 6,75
√ v = √9 − 0,25 v = 8,75
Po dosazen´ı hodnot z´ısk´ ame √ √ 3 · 6,75 (4 + 3) · 8,75 S =2· +2· = ˙ 28,5. 2 2 Plocha cel´e stˇrechy je pˇribliˇznˇe 28,5 m2 . d) Urˇc´ıme poˇcet vln na 1 m (100 cm) 1. druhu plechu, tedy
100 5+5
= 10 vlnek.
Tvoˇr´ı-li vlnu p˚ ulkruˇznice, pak d´elka rovn´eho plechu potˇrebn´eho na v´ yrobu vlnit´eho plechu 1. druhu je l=
2π5 10 = 50π. 2
100 Poˇcet vln na 1 m 2. druhu plechu je 10+10 = 5 vlnek. D´elka rovn´eho plechu potˇrebn´eho na v´ yrobu 2. druhu je tedy
l=
2π10 5 = 50π. 2
Oba plechy jsou stejnˇe drah´e, protoˇze na oba je tˇreba stejn´e mnoˇzstv´ı rovn´eho plechu. Za jeden metr druh´eho druhu plechu zaplat´ı majitel 470 Kˇc.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
13
ˇ9 Kategorie ZS
P´ısek Zad´ an´ı M´ ame dvˇe bedny tvaru krychle zcela naplnˇen´e p´ıskem. Jedna bedna m´a hranu d´elky 2 m, druh´ a m´ a hranu o 50 % delˇs´ı. Tlouˇst’ku stˇen beden zanedbejte. a) Jakou hmotnost bude m´ıt p´ısek z obou beden? Poˇc´ıtejte s hustotou p´ısku 1 400 kg/m3 . b) Tyto bedny chceme nahradit jednou bednou stejn´eho tvaru, do kter´e chceme uloˇzit tot´eˇz mnoˇzstv´ı p´ısku. Kolik nejm´enˇe m˚ uˇze mˇeˇrit hrana nov´e bedny? D´elku hrany nov´e bedny zaokrouhlete na cel´e centimetry. c) Jeden dˇeln´ık by p´ısek pˇreh´ azel za 6 hodin, druh´ y za 12 hodin. Za jak dlouho zvl´ adnou oba dˇeln´ıci sloˇzit p´ısek, pracuje-li hodinu a p˚ ul jen prvn´ı dˇeln´ık a potom oba dˇeln´ıci souˇcasnˇe? d) P´ıskem z obou beden chceme vysypat pl´ aˇzov´e chodn´ıˇcky sportovn´ıho ˇıˇrka chodn´ıˇck˚ are´ alu olympijsk´eho parku. S´ u m´a b´ yt 50 cm a tlouˇst’ka sypan´e vrstvy 7 cm. Jak´ a bude celkov´ a d´elka chodn´ıˇck˚ u, pouˇzijeme-li vˇsechen p´ısek z obou beden? e) P´ısek z obou beden m´ ame rozdˇelit na tˇri p´ıskoviˇstˇe. Na druh´e p´ıskoviˇstˇe potˇrebujeme o 5 m3 p´ısku m´enˇe neˇz na prvn´ı p´ıskoviˇstˇe, na tˇret´ı p´ıskoviˇstˇe pak dvakr´ at v´ıce neˇz na druh´e p´ıskoviˇstˇe. Pˇri tomto rozdˇelen´ı n´am pak 2 m3 p´ısku z˚ ustanou. Kolik m3 p´ısku potˇrebujeme na nejvˇetˇs´ı p´ıskoviˇstˇe?
ˇ sen´ı Reˇ a) D´elky hran beden jsou a1 = 2 m, a2 = 3 m, mnoˇzstv´ı p´ısku v nich je pak V1 = a31 = 8 m3 a V2 = a32 = 27 m3 . Celkem je v bedn´ ach moˇzno uskladnit 35 m3 p´ısku. m Hmotnost p´ısku pomoc´ı jeho hustoty urˇc´ıme ze vztahu % = vyj´adˇren´ım V hmotnosti m: m = % · V = 1 400 · 35 kg = 49 000 kg = 49 t. P´ısek v bedn´ ach m´ a celkovou hmotnost 49 t.
14
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ9 Kategorie ZS
b) Nov´ a bedna mus´ı pojmout p´ısek o objemu 35 m3 . Ze vztahu pro objem krychle V = a3 vyj´ adˇr´ıme d´elku hrany a: √ √ 3 3 ˙ 3,271 m = ˙ 327 cm. a = V = 35 = Hrana nov´e bedny by mˇela m´ıt po zaokrouhlen´ı d´elku 327 cm. c) Prvn´ı dˇeln´ık za jednu hodinu pˇreh´ az´ı 61 dan´eho mnoˇzstv´ı p´ısku, za 1,5 hodiny 1 1 1 pak 1,5 · 6 = 4 p´ısku. Druh´ y dˇeln´ık zvl´ adne za jednu hodinu 12 mnoˇzstv´ı p´ısku. Pot´e spoleˇcnˇe pracuj´ı x hodin, tedy pˇreh´ az´ı rovnici pro jejich spoleˇcnou pr´ aci
x 6
x + 12 p´ısku. M˚ uˇzeme pak ps´at
1 x x + + = 1. 4 6 12 Po u ´pravˇe napˇr´ıklad na tvar 3 + 2x + x =1 12 vyj´ adˇr´ıme x: 3 + 3x = 12 ⇒ x = 3 hodiny, coˇz je doba jejich spoleˇcn´e pr´ace. Celkem dˇeln´ıci p´ısek pˇreh´ az´ı za 4,5 hodiny. Lze t´eˇz postupovat n´ asleduj´ıc´ı u ´vahou: Prvn´ı dˇeln´ık zvl´ adne zpracovat dan´e mnoˇzstv´ı p´ısku za 6 hodin, za ˇctvrtinu t´eto doby (1,5 hod) zvl´ adne sloˇzit ˇctvrtinu p´ısku. Zb´ yvaj´ı pˇreh´azet tˇri ˇctvrtiny z p˚ uvodn´ıho mnoˇzstv´ı p´ısku. Vzhledem k tomu, ˇze druh´ y dˇeln´ık pracuje dvakr´ at pomaleji neˇz prvn´ı dˇeln´ık, dok´ aˇze sloˇzit jen polovinu p´ısku neˇz prvn´ı dˇeln´ık. Prvn´ı dˇeln´ık mus´ı sloˇzit ze zb´ yvaj´ıc´ıch tˇr´ı ˇctvrtin p´ısku dva d´ıly p´ısku (polovinu z celkov´eho mnoˇzstv´ı p´ısku) a pracuje tedy 3 hodiny. Druh´ y dˇeln´ık pˇreh´ az´ı za tuto dobu jen jeden d´ıl zbytku p´ısku (ten pˇredstavuje ˇctvrtinu celkov´eho mnoˇzstv´ı p´ısku, 41 z 12 hodin), coˇz tak´e odpov´ıd´a dobˇe spoleˇcn´e pr´ ace 3 hodiny. Celkov´ a doba pr´ ace vych´ az´ı opˇet 1,5 hod + 3 hod = 4,5 hod.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
15
ˇ9 Kategorie ZS
d) Chodn´ıˇcek si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako kv´ adr poloˇzen´ y na delˇs´ıch hran´ach, a = 50 cm = 0,5 m, c = 7 cm = 0,07 m. K dispozici m´ame 35 m3 p´ısku a nezn´ ame d´elku (hloubku) b. Objem kv´ adru je V = a · b · c = 0,5 · 0,07 · b, odkud b = 35 : 0,035 m = 1 000 m = 1 km. D´elka p´ıskov´eho chodn´ıku je 1 km. e) Oznaˇc´ıme-li v m3 mnoˇzstv´ı p´ısku potˇrebn´e na prvn´ı p´ıskoviˇstˇe x, pak na druh´e p´ıskoviˇstˇe potˇrebujeme x − 5 m3 a na tˇret´ı p´ıskoviˇstˇe 2(x − 5) m3 , k tomu n´ am pak jeˇstˇe 2 m3 p´ısku z˚ ustanou. Celkov´e mnoˇzstv´ı p´ısku je 35 m3 . Sestav´ıme pak potˇrebnou rovnici: x + (x − 5) + 2(x − 5) + 2 = 35, odkud vypoˇc´ıt´ ame 4x − 13 = 35 a x = 12. Na prvn´ı p´ıskoviˇstˇe spotˇrebujeme 12 m3 p´ısku, na druh´e 7 m3 p´ısku a na tˇret´ı p´ıskoviˇstˇe 14 m3 . Nejv´ıce p´ısku potˇrebujeme na tˇret´ı p´ıskoviˇstˇe, a to 14 m3 .
16
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
Dr´ aha letu Zad´ an´ı Na z´ avˇer oslav Nov´eho roku byla ze zemˇe odp´ alena ˇsikmo vzh˚ uru ohˇ nostrojn´ a koule. V horizont´ aln´ı vzd´ alenosti 30 m od m´ısta v´ ystˇrelu dos´ahla maxim´ aln´ı v´ yˇsky 100 m. Za nˇekolik okamˇzik˚ u, kdyˇz byla zrovna ve v´ yˇsce 64 m, explodovala a pˇredvedla div´ ak˚ um velkolepou pod´ıvanou. Urˇcete, v jak´e horizont´ aln´ı vzd´ alenosti od m´ısta v´ ystˇrelu k explozi koule doˇslo. Poˇc´ıtejte s ide´ aln´ı dr´ ahou letu koule (tj. neuvaˇzujte odpor prostˇred´ı).
ˇ sen´ı Reˇ Dr´ ahou letu koule je parabola. Um´ıst´ıme-li celou situaci do souˇradn´eho syst´emu tak, aby m´ısto vzletu koule bylo poˇc´ atkem souˇradn´eho syst´emu, dostaneme graf kvadratick´e funkce (viz obr´ azek). Parabola m´ a vrchol V [30; 100] a proch´ az´ı bodem [0; 0]. Po dosazen´ı do pˇredpisu kvadratick´e funkce y = a(x − 30)2 + 100 dostaneme 0 = a(0 − 30)2 + 100, 1 z ˇcehoˇz plyne, ˇze a = − . 9 Po dosazen´ı ypsilonov´e souˇradnice hledan´eho bodu (64) dostaneme rovnici 1 64 = − · (x − 30)2 + 100, 9 ze kter´e pak x1 = 12, x2 = 48. Zad´ an´ı u ´lohy vyhovuje pouze ˇreˇsen´ı x2 = 48. K explozi tedy doˇslo v horizont´ aln´ı vzd´ alenosti 48 m od m´ısta v´ ystˇrelu.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
17
ˇ3 Kategorie SS
ˇ Sipky Zad´ an´ı Na oslavu pˇripravil Patrik pro pobaven´ı host˚ u netradiˇcn´ı z´avod v ˇsipk´ach. Jako terˇc poslouˇzila obd´eln´ıkov´ a deska o rozmˇerech 30 cm × 40 cm s jednou vyznaˇcenou u ´hlopˇr´ıˇckou. Host´e byli rozdˇeleni do dvou stejnˇe poˇcetn´ ych t´ ym˚ u. Soutˇeˇz´ıc´ı prv´eho t´ ymu z´ıskal bod, pokud jeho z´asah byl bl´ıˇze u ´hlopˇr´ıˇcce neˇz kter´ekoli ze stran. Naopak kaˇzd´ y soutˇeˇz´ıc´ı druh´eho t´ ymu z´ıskal pro sv˚ uj t´ ym bod, zas´ ahl-li zbylou ˇc´ ast terˇce. a) Vypoˇctˇete pravdˇepodobnost z´ asahu terˇce pro oba t´ ymy. b) Patrik tvrdil, ˇze pravdˇepodobnost z´ısk´ an´ı bodu z´asahem spr´avn´e ˇc´asti je pro kaˇzd´ y t´ ym stejn´ a. Monika mu oponovala, ˇze soutˇeˇz nen´ı spravedliv´a, protoˇze pravdˇepodobnost z´ asahu terˇce bl´ıˇze u ´hlopˇr´ıˇcce je vˇetˇs´ı. Filip nesouhlasil ani s jedn´ım z nich. Tvrdil, ˇze soutˇeˇz nen´ı spravedliv´a, protoˇze pravdˇepodobnost z´ asahu terˇce bl´ıˇze u ´hlopˇr´ıˇcce je menˇs´ı. Kdo z nich mˇel pravdu? Svou odpovˇed’ od˚ uvodnˇete.
ˇ sen´ı Reˇ a) Zn´ azornˇeme si terˇc jako obd´eln´ık ABCD s vyznaˇcenou u ´hlopˇr´ıˇckou AC. Body obd´eln´ıka, kter´e jsou stejnˇe vzd´ aleny od u ´hlopˇr´ıˇcky AC a strany AB, leˇz´ı na ose u ´hlu BAC. Obdobnˇe body, kter´e jsou stejnˇe vzd´ aleny od u ´hlopˇr´ıˇcky AC a strany BC, leˇz´ı na ose u ´hlu BCA. V pr˚ useˇc´ıku tˇechto os je stˇred kruˇznice vepsan´e troj´ uheln´ıku ABC. Obdobnou u ´vahu proved’me i pro troj´ uheln´ık ACD. Stˇredy kruˇznic vepsan´ ych tˇemto troj´ uheln´ık˚ um oznaˇcme U a V . Pravdˇepodobnost z´ asahu terˇce bl´ıˇze u ´hlopˇr´ıˇcce AC neˇz stran´ am se vypoˇcte jako pod´ıl obsahu rovnobˇeˇzn´ıka AU CV k obsahu obd´eln´ıka ABCD. 18
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
Rovnobˇeˇzn´ık AU CV je tvoˇren dvˇema shodn´ ymi troj´ uheln´ıky se spoleˇcnou z´ akladnou AC a v´ yˇskou ρ, kde ρ je polomˇer zn´ azornˇen´ ych vepsan´ ych kruˇznic. Vypoˇc´ıst jej m˚ uˇzeme napˇr´ıklad ze vztahu pro obsah troj´ uheln´ıka S = ρ · s, kde s je tzv. p˚ ulobvod troj´ uheln´ıka. p 30 + 40 + 50 302 + 402 = 50, s = = 60 a V naˇsem pˇr´ıpadˇe |AC| = 2 30 · 40 S 600 S= = 600. Odtud ρ = = = 10. Pro obsah S 0 rovnobˇeˇzn´ıka 2 s 60 AU CV tedy plat´ı S 0 = |AC| · ρ = 50 · 10 = 500 cm2 a pravdˇepodobnost z´ asahu terˇce bl´ıˇze u ´hlopˇr´ıˇcce neˇz kter´ekoli stranˇe je p=
500 5 S0 = = = ˙ 0,417, S 1 200 12
tj. asi 41,7 %. Soutˇeˇz´ıc´ı prvn´ıho t´ ymu by tedy mˇeli menˇs´ı pravdˇepodobnost z´ asahu terˇce (41,7 %), neˇz soutˇeˇz´ıc´ı druh´eho t´ ymu (58,3 %).
b) Patrik nemˇel pravdu, vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost v´ yhry by mˇel druh´ y t´ ym. Filip mˇel pravdu. Jeho odpovˇed’ m´ a strukturu implikace, jej´ıˇz pˇredpoklad i z´avˇer jsou pravdiv´e. A co u ´vaha Moniky? Pˇreformulujme si jej´ı v´ yrok tak, abychom si spr´avnˇe uvˇedomili strukturu implikace: Pravdˇepodobnost z´asahu terˇce bl´ıˇze u ´hlo” pˇr´ıˇcce je vˇetˇs´ı, tud´ıˇz soutˇeˇz nen´ı spravedliv´ a.“ Tato implikace je pravdiv´a, protoˇze jej´ı pˇredpoklad je nepravdiv´ y.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
19
ˇ3 Kategorie SS
Dort Zad´ an´ı Dˇedeˇcek matematik slavil 60. narozeniny. Jeho vnouˇcata jej obdarovala netradiˇcn´ım dortem a k tomu pˇridala i dvˇe matematick´e u ´lohy. Dort m´a tvar trojbok´eho hranolu, jehoˇz podstavu tvoˇr´ı troj´ uheln´ık s vnitˇrn´ımi u ´hly o velikostech 15◦ a 60◦ . Pokud bychom tomuto troj´ uheln´ıku opsali kruˇznici, mˇela by polomˇer 20 cm. Vypoˇctˇete spolu s dˇedeˇckem obsah dan´eho troj´ uheln´ıka, tedy obsah podstavy dortu. V´ ysledek uved’te pˇresnˇe (tj. zapiˇste ho ve tvaru odmocniny). Dalˇs´ım dˇedeˇckov´ ym i vaˇs´ım u ´kolem je vypoˇc´ıtat v´ yˇsku sklenˇen´eho poklopu ve tvaru kulov´eho vrchl´ıku, kter´ y by se dot´ ykal horn´ıch tˇrech vrchol˚ u dortu, a pˇritom d´elka jeho podstavn´e kruˇznice leˇz´ıc´ı v rovinˇe podstavy dortu byla nejmenˇs´ı moˇzn´ a. V´ yˇska dortu je 18 cm. V´ ysledek zaokrouhlete na cel´e ˇc´ıslo.
ˇ sen´ı Reˇ Vnitˇrn´ı u ´hly v troj´ uheln´ıku oznaˇcme α = 15◦ , β = 60◦ a tˇret´ı dopoˇc´ıtan´ y ◦ u ´hel γ = 105 . Plat´ı a = 2r sin α a b = 2r sin β, kde r je velikost polomˇeru kruˇznice opsan´e troj´ uheln´ıku. Dosad’me do vzorce pro obsah troj´ uheln´ıka S = 12 ab sin γ: S=
1 2 (2r) sin α sin β sin γ = 2r2 sin α sin β sin γ. 2
Protoˇze sin (α + 90◦ ) = cos α, je sin 105◦ = cos 15◦ , pak tedy S = 2r2 sin α sin β cos α a s vyuˇzit´ım vztahu pro dvojn´ asobn´ y argument S = r2 sin 2α sin β, odkud po dosazen´ı dost´ av´ ame √ S = 400 sin 30◦ sin 60◦ = 100 3 cm2 . 20
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
√ Obsah troj´ uheln´ıka, tedy podstavy dortu, je 100 3 cm2 . Hledan´ y kulov´ y vrchl´ık je ˇc´ ast´ı kulov´e plochy, jej´ıˇz hlavn´ı kruˇznice leˇz´ı v rovinˇe soumˇernosti dortu tvaru trojbok´eho hranolu. Aby d´elka podstavn´e kruˇznice dan´eho kulov´eho vrchl´ıku byla minim´ aln´ı, bude tato kruˇznice totoˇzn´ a s kruˇznic´ı opsanou podstavˇe dortu, tedy jej´ı polomˇer bude 20 cm (viz obr´ azek).
Pokud oznaˇc´ıme polomˇer kulov´e plochy R, pak podle Pythagorovy vˇety plat´ı R2 = 202 + 92 , √ takˇze R = 481. √ V´ yˇska sklenˇen´eho poklopu, tedy kulov´eho vrchl´ıku, je v = 481 + 9 cm, coˇz je pˇribliˇznˇe 31 cm.
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
21
ˇ3 Kategorie SS
A triangle with perpendicular medians Problem Let the sides of the triangle ABC be |BC| = a and |AC| = b. Let’s suppose the medians (= tˇeˇznice) AA1 and BB1 of this triangle intersect at right angles. a) Express the length c = |AB| using a, b. b) Calculate exactly the area of the triangle ABC for |BC| = a = 6 cm and |AC| = b = 8 cm.
Solution a) First we use the well-known property of medians of a triangle. The centroid T is exactly two-thirds the way along each median. Put another way, the centroid cuts each median into two segments whose lengths are in the ratio 2 : 1, with the longest one nearest the vertex. Let AA1 and BB1 intersect at T . Denote |A1 T | = y, |AT | = 2y, |B1 T | = x, |BT | = 2x.
Applying Pythagoras’ Theorem to each of the three right-angled triangles 22
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
we obtain: b2 4 a2 2 2 4A1 T B : 4x + y = 4 4AT B : 4x2 + 4y 2 = c2 4AT B1 : x2 + 4y 2 =
Adding (1) and (2) we obtain 5x2 + 5y 2 = a2 + b2 and 20 r c=
p
4x2 + 4y 2 =
(1) (2) (3)
a2 + b2 and therefore x2 + y 2 = 4
1p 2 a 2 + b2 = 5a + 5b2 cm. 5 5
And this is the length of the side AB. b) The medians divide the triangle into four equal triangles. We can see that 3 the area of the trapezoid ABA1 B1 form of the area S of the triangle ABC. 4 By adding up areas of four right-angled triangles ABT , BA1 T , A1 B1 T and B1 T A we get xy 9 3 2xy + xy + + xy = xy = S. 2 2 4 As a result, S = 6xy. The x and y values can be determined from the equations 4AT B1 : x2 + 4y 2 = 16 4A1 T B : 4x2 + y 2 = 9 q y = 11 3 . √ Thus the area of the triangle ABC is S = 6xy = 4 11 cm2 .
Solving this system of equations gives x =
q
4 3,
With another method of solution, we can puse Hero´s formula for the area of the triangle ABC with sides a, b, c: S = s · (s − a) · (s − b) · (s − c), where s = a+b+c . 2 Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
23
ˇ3 Kategorie SS
q √ √ 2 2 = 20 = 2 5 cm In our problem there is a = 6 cm, b = 8 cm, c = a +b 5 √ and s = 7 + 5 cm. q √ √ √ √ Thus S = 7 + 5 · 1 + 5 · −1 + 5 · 7 − 5 . After modifying S=
24
p
(49 − 5) · (5 − 1) =
√
√ 44 · 4 = 4 11 cm2 .
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
Dˇ eti na hˇ riˇ sti Zad´ an´ı Na hˇriˇsti je m´enˇe neˇz 500 dˇet´ı. Pˇritom poˇcet procent chlapc˚ u ze vˇsech dˇet´ı se rovn´ a poˇctu vˇsech dˇevˇcat. Kolik chlapc˚ u a kolik dˇevˇcat je na hˇriˇsti?
ˇ sen´ı Reˇ Oznaˇcme poˇcet d´ıvek d a poˇcet chlapc˚ u h. Ze zad´an´ı v´ıme, ˇze d + h < 500 a d < 100 (pˇredstavuje poˇcet procent chlapc˚ u z celkov´eho poˇctu dˇet´ı). Skuteˇcnost, ˇze poˇcet procent chlapc˚ u ze vˇsech dˇet´ı se rovn´a poˇctu vˇsech dˇevˇcat, m˚ uˇzeme zapsat rovnic´ı h · 100 = d, d+h odkud vyj´ adˇr´ıme poˇcet chlapc˚ u h, h =
d2 . 100 − d
Tento v´ yraz d´ ale uprav´ıme na tvar 1002 − 1002 − d2 d2 1002 − 1002 + d2 1002 h= = = = −100−d. 100 − d 100 − d 100 − d 100 − d Vzhledem k tomu, ˇze na obou stran´ ach rovnosti jsou cel´a ˇc´ısla, mus´ı t´eˇz 1002 v´ yraz 100−d ∈ Z, tedy (100 − d)|10 000. V´ yraz 100 − d m˚ uˇze nab´ yvat hodnot 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, . . .. Uvaˇzme d´ ale dvˇe podm´ınky: a) 0 < d, plat´ı n´ aslednˇe 100 − d < 100 d2 < 500. 100 − d Nerovnici postupnˇe uprav´ıme d2 < 50000 − 500d − 100d + d2 ⇒ 6d < 500 ⇒ d < 83,¯ 3 ⇒ 17 ≤ 100 − d
b) d + h < 500, dosad´ıme za h, d +
Podm´ınky (a) a (b) omez´ı v´ yraz 100 − d pouze na hodnoty 17 ≤ 100 − d < 100 ⇒ 100−d = 20, 25, 40, 50, 80. Odtud d = 80, 75, 60, 50, 20. Poˇcty chlapc˚ u jsou pak rovny h = 320, 225, 90, 50, 5. ´ Uloha m´ a pˇet ˇreˇsen´ı (d, h) = (80; 320), (75; 225), (60; 90), (50; 50), (20; 5). Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
25
ˇ3 Kategorie SS
Pozn´ amky
26
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
ˇ3 Kategorie SS
Pozn´ amky
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at
27
Wichterlovo gymn´ azium, Ostrava-Poruba, pˇr´ıspˇ evkov´ a organizace Sborn´ık pˇr´ıklad˚ u ze soutˇ eˇ ze Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´ at 2016 Ostrava 20. 10. 2016 N´ azev Editor Vydavatel N´ aklad Rozsah Vyd´ an´ı Tisk Doporuˇcen´ a cena
Moravskoslezsk´ y matematick´ y ˇsampion´at 2016 Mgr. Jana Gajduˇskov´ a Wichterlovo gymn´ azium, Ostrava-Poruba, p. o. ˇ exilu 669, 708 00 Ostrava-Poruba Cs. 350 ks 28 stran prvn´ı, 2016, revize 1 Repronis Ostrava zdarma Texty neproˇsly jazykovou u ´pravou.
