Weylovy prostoročasy s nenulovou kosmologickou konstantou

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

ˇ ıˇzek Pavel C´ Weylovy prostoroˇ casy s nenulovou kosmologickou konstantou ´ Ustav teoretick´e fyziky MFF UK

Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: doc. RNDr. Oldˇrich Semer´ak, Dr. Studijn´ı program: fyzika - obecn´a fyzika

2006

Na tomto m´ıstˇe bych chtˇel podˇekovat doc. RNDr. Oldˇrichu Semer´akovi, Dr. za veden´ı pr´ace a trpˇelivost pˇri opravov´an´ı chyb.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakal´aˇrskou pr´aci napsal(a) samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace a jej´ım zveˇrejˇ nov´an´ım. ˇ ıˇzek Pavel C´

V Praze dne 25.5.2006

2

Obsah Znaˇ cen´ı

5

´ 1 Uvod

6

2 Rekonstrukce Weylova postupu 2.1 Diagonalizace metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Weylovy souˇradnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Nenulov´a kosmologick´a konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 10 12

3 Separovateln´ aˇ reˇ sen´ı 3.1 Z´akladn´ı dˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 (Hyper)sinov´a ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . 3.3 Schwarzschildovo-de Sitterovo ˇreˇsen´ı a jemu podobn´a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 α = const. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 α 6= const. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Sf´ericky symetrick´a ˇreˇsen´ı . . . . . . 3.4 Pˇr´ıpad se tˇremi ortogon´aln´ımi Killingov´ ymi vektorov´ ymi poli . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Pˇr´ıpad se dvˇema exponencielami . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 14 15

. . . .

. . . .

18 20 21 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 25

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Z´ avˇ er

27

Literatura

28

3

N´azev pr´ace: Weylovy prostoroˇcasy s nenulovou kosmologickou konstantou ˇ ıˇzek Autor: Pavel C´ ´ Katedra (´ ustav): Ustav teoretick´e fyziky MFF UK Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: doc. RNDr. Oldˇrich Semer´ak, Dr. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: Ve vakuov´em pˇr´ıpadˇe bez kosmologick´e konstanty lze metriku kaˇzd´eho statick´eho axi´alnˇe symetrick´eho prostoroˇcasu zapsat v diagon´aln´ım tvaru se jen dvˇema nezn´am´ ymi funkcemi. Einsteinovy rovnice se pak redukuj´ı na Laplaceovu rovnici pro jednu z funkc´ı a kˇrivkov´ y integr´al pro druhou. V t´eto pr´aci se pokouˇs´ıme na z´akladˇe Weylova postupu zjednoduˇsit metriku a Einsteinovy rovnice v pˇr´ıpadˇe, kdy kosmologick´a konstanta je nenulov´a. Obecnˇe se podaˇr´ı zjednoduˇsit metriku jen na diagon´aln´ı tvar s tˇremi nezn´am´ ymi funkcemi, ale v nˇekter´ ych speci´aln´ıch pˇr´ıpadech se pˇresto daˇr´ı rovnice vyˇreˇsit. Kl´ıˇcov´a slova: Obecn´a relativita, Weylovy prostoroˇcasy, kosmologick´a konstanta.

Title: Weyl spacetimes with non-zero cosmological constant ˇ ıˇzek Author: Pavel C´ Department: Institute of theoretical physics MFF UK Supervisor: doc. RNDr. Oldˇrich Semer´ak, Dr Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: In vacuum case without cosmological constant, metric of each static axially symmetric spacetime can be written in diagonal form with only two unknown functions. In this case Einstein’s equations are reduced to Laplace’s equation for one of the functions and curve integral for the second of them. In this paper, based on the Weyl’s procedure we are trying to simplify metric and Einstein’s equations in cases when cosmological constant is non-zero. In general case we are succesfull only in reduction of metric to diagonal form with three unknown functions, but in some special cases we are still able to solve these equations. Keywords: General relativity, Weyl spacetimes, cosmological constant.

4

Znaˇ cen´ı Indexy Sloˇzky vektor˚ u znaˇc´ıme indexy nahoˇre, sloˇzky forem indexy dole. Tedy vektor v, resp. 1-formu σ zap´ıˇseme jako v = v i ∂x∂ i , resp. σ = σi dxi , kde ∂x∂ i je b´aze teˇcn´eho prostoru, resp. dxi b´aze k n´ı du´aln´ı. V rovnic´ıch pouˇz´ıv´ame Einsteinovu sumaˇcn´ı konvenci, tj. pokud se ve v´ yrazu vyskytuje nˇejak´ y index jak nahoˇre, tak dole, automaticky se pˇres nˇej sˇc´ıt´a. Derivace Parci´aln´ı derivace znaˇc´ıme pomoc´ı ˇca´rky, n´asledovan´e souˇradnic´ı, dle kter´e derivujeme, tj. f,i ≡ ∂x∂ i . V pˇr´ıpadˇe, ˇze derivujeme funkci jedn´e promˇenn´e, pouˇz´ıv´ame k z´apisu derivace dle n´ı (x) symbol 0 ( dfdx = f 0 ). Pro kovariantn´ı derivace pouˇz´ıv´ame stˇredn´ık, tj. f;i ≡ ∇i f . Lieova derivace tenzorov´eho pole T dle vektorov´eho pole X je zapisov´ana £X T . Komut´ator vektorov´ ych pol´ı (Lieova z´avorka) X a Y : [X, Y ] = XY − Y X. Kronecker˚ uv symbol: δ ab Je roven 1 pokud a = b, jinak 0. Metrika, konexe a kˇ rivost Pro metrick´ y tenzor je rezervov´ano p´ısmeno g a metrika je zaps´ana ve tvaru ds2 = gab dxa dxb . Christoffelovy symboly 2. druhu: Γabc = 12 g ad (gdb,c + gcd,b − gbc,d ) Pro kovariantn´ı derivaci libovon´eho vektoru v plat´ı: v a;b = v a,b + Γacb v c Riemann˚ uv tenzor: Rabcd = Γabd,c − Γabc,d + Γebd Γaec − Γebc Γaed Ricciho tenzor: Rab ≡ Reaeb Skal´arn´ı kˇrivost: R ≡ Raa Fyzik´ aln´ı veliˇ ciny Tenzor energie a hybnosti: Tab Stopa tenzoru energie a hybnosti: T ≡ T aa Kosmologick´a konstanta: Λ Gravitaˇcn´ı konstanta: κ Einsteinovy rovnice1 : Rab − 21 Rgab + Λgab = 8πTab Symetrie Killingovy vektory: ξ, resp. η Killingova rovnice: £ξ gab = 0 ⇔ ξa;b + ξb;a = 0

1

Zaps´any v geometrizovan´ ych jednodk´ach, v nichˇz rychlost svˇetla c = 1 a gravitaˇcn´ı konstanta κ = 1.

5

Kapitola 1 ´ Uvod Ot´azkou, proˇc vˇeci padaj´ı dol˚ u, se lidstvo zab´ yvalo po celou dobu sv´e existence a ˇ odpovˇedi se v pr˚ ubˇehu vˇek˚ u v´ yraznˇe liˇsila. Napˇr´ıklad ve star´em Recku existoval n´azor, ˇze kaˇzd´a hmota je sloˇzena z element˚ u (zemˇe, voda, vzduch, oheˇ n), kter´e maj´ı sv´e pˇrirozen´e m´ısto (tj. zemˇe dole, nad n´ı voda, pak vzduch, oheˇ n), a kaˇzd´ y z tˇechto element˚ u se na sv´e pˇrirozen´e m´ısto snaˇz´ı dostat (proto kameny ve vodˇe klesaj´ı ke dnu atd.). Prvn´ı, komu se podaˇrilo popsat gravitaci kvantitativnˇe, byl v sedmn´act´em stolet´ı Isaac Newton. Dle jeho teorie jsou dvˇe tˇelesa o hmotnostech m1 , m2 k sobˇe pˇritahov´ana silou o velikosti m1 m2 F =κ 2 , (1.1) r kde r znaˇc´ı vzd´alenost tˇeles. Teorie u ´spˇeˇsnˇe popisovala vˇsechna v t´e dobˇe zn´am´a gravitaˇcn´ı p˚ usoben´ı s dostateˇcnou pˇresnost´ı (napˇr. plynou z n´ı Keplerovy z´akony). Do v´ yraznˇejˇs´ıho sporu s newtonovskou fyzikou se dostala aˇz v devaten´act´em stolet´ı teorie elektromagnetick´eho pole. Jej´ı rovnice byly invariantn´ı vzhledem k Lorentzovˇe transformaci, a nikoli ke Galileovˇe, kterou pouˇz´ıv´a Newtonova mechanika. Z Maxwellov´ ych rovnic plyne, ˇze ve vˇsech inerci´aln´ıch syst´emech se svˇetlo ˇs´ıˇr´ı stejnou a koneˇcnou rychlost´ı. Tato pˇredpovˇed’ byla potvrzena i experiment´alnˇe. Poˇca´tkem dvac´at´eho stolet´ı zformuloval A. Einstein speci´aln´ı teorii relativity. Ta vych´az´ı z pˇredpoklad˚ u, ˇze vˇsechny inerci´aln´ı soustavy jsou rovnocenn´e a svˇetlo se ve vˇsech ˇs´ıˇr´ı rychlost´ı c. Mezi jednotliv´ ymi soustavami se pak pˇrech´az´ı pomoc´ı Lorentzovy transformace. Speci´aln´ı relativita pˇrinesla novou mechaniku s ˇradou pˇrekvapiv´ ych vlastnost´ı, pˇredevˇs´ım s prov´az´an´ım ˇcasu s prostorov´ ymi souˇradnicemi, novou pohybovou rovnic´ı a univerz´aln´ı u ´mˇernost´ı mezi hmotnost´ı a energi´ı. Bylo jasn´e, ˇze je tˇreba nov´e teorie gravitace, kter´a by byla sluˇciteln´a s elektrodynamikou a v n´ıˇz by se i gravitaˇcn´ı interakce ˇs´ıˇrila (na rozd´ıl od Newtonovy teorie) koneˇcnou rychlost´ı. Takovou teori´ı se stala obecn´a relativita, kterou odvodil A. Einstein z principu lok´aln´ı ekvivalence gravitace a setrvaˇcnosti a principu obecn´e kovariance fyzik´aln´ıch z´akon˚ u. Koneˇcnou verzi teorie pˇredloˇzil v roce 1915 a speci´aln´ı relativita se stala jej´ı limitou pro pˇr´ıpad nulov´e gravitace. Hlavn´ı pˇredpovˇed´ı obecn´e relativity je myˇslenka, ˇze fyzik´aln´ı prostoroˇcas nen´ı euklidovsk´ y (resp. Minkowsk´eho), ale zakˇriven´ y, konkr´etnˇe ˇze m´a strukturu ˇctyˇrrozmˇern´e pseudo-Riemannovy variety. Gravitace je potom d˚ usledkem 6

´ redn´ım bodem teorie jsou Einsteinovy rovnice tohoto zakˇriven´ı. Ustˇ

1

1 Rab − Rgab + Λgab = 8πTab , 2

(1.2)

kter´e vz´ajemnˇe provazuj´ı geometrii prostoroˇcasu a chov´an´ı pˇr´ıtomn´e hmoty. Hmota jako zdroj je pops´ana tenzorem energie a hybnosti Tab , symetrick´ ym tenzorem 2. ˇra´du, kter´ y obsahuje pˇr´ıspˇevky k hustotˇe energie a hybnosti od l´atky a vˇsech negravitaˇcn´ıch pol´ı. Skal´arn´ı kˇrivost R je stopou symetrick´eho Ricciho tenzoru Rab a ten je d´ale d´an kontrakc´ı Riemannova tenzoru Rc acb , kter´ y obsahuje metrick´ y tenzor gab a jeho derivace do 2. ˇra´du. Kosmologick´a konstanta Λ mus´ı b´ yt do teorie dod´ana odjinud, z obecn´e relativity samotn´e jej´ı hodnota nevypl´ yv´a; pozorov´an´ı dnes svˇedˇc´ı o tom, ˇze je zˇrejmˇe kladn´a, z hlediska lok´aln´ı fyziky sice zanedbatelnˇe mal´a, ale pro vesm´ır v nejvˇetˇs´ım mˇeˇr´ıtku velmi podstatn´a. Einsteinovy rovnice jsou neline´arn´ımi parci´aln´ımi diferenci´aln´ımi rovnicemi 2. ˇra´du, z nichˇz 6 urˇcuje (aˇz na souˇradnicovou transformaci) 10 sloˇzek (symetrick´eho) metrick´eho tenzoru a 4 rovnice omezuj´ı zdroje v podobˇe kovariantn´ıch z´akon˚ u zachov´an´ı T ab ;a = 0. Hlavn´ı obt´ıˇz´ı pˇri ˇreˇsen´ı rovnic je jejich nelinearita, d´ıky n´ıˇz m.j. neplat´ı princip superpozice. Prvn´ı netrivi´aln´ı pˇresn´e ˇreˇsen´ı bylo pˇresto nalezeno velmi z´ahy, jiˇz v roce 1915 K. Schwarzschildem. Jedn´a se o sf´ericky symetrick´e vakuov´e ˇreˇsen´ı bez kosmologick´e konstanty a jeho metrika m´a ve sf´erick´ ych, Schwarzschildov´ ych souˇradnic´ıch tvar ³

ds2 = − 1 −

2M ´ 2 ³ 2M ´−1 2 dt + 1 − dr + r2 (dθ2 + sin2 (θ)dφ2 ), r r

(1.3)

kde konstanta M znaˇc´ı hmotnost zdroje. Jedn´a se tedy o metriku statickou, kter´a m´a singularity na polomˇerech r = 0 a r = 2M . Prvn´ı z nich se uk´azala b´ yt skuteˇcnou singularitou geometrie, zat´ımco druh´a je d´ana jen chov´an´ım souˇradnic. Odpov´ıd´a nicm´enˇe tzv. horizontu — svˇeteln´e nadploˇse, kter´a m´a vlastnosti jednocestn´e membr´any: d´ıky extr´emn´ı gravitaci centra jsou svˇeteln´e kuˇzely stoˇceny do jej´ıho vnitˇrku, takˇze vˇse, co se dovnitˇr dostane (vˇcetnˇe svˇetla), se nem˚ uˇze dostat zp´atky ”ven”, a nav´ıc je nuceno pohybovat se smˇerem k centru a tam skonˇcit v singularitˇe r = 0. Oblastem ohraniˇcen´ ym horizonty se pozdˇeji zaˇcalo ˇr´ıkat ˇcern´e d´ıry a dnes hraj´ı centr´aln´ı roli v modelech nˇekter´ ych astrofyzik´aln´ıch syst´em˚ u. Schwarzschild˚ uv prostoroˇcas patˇr´ı do ˇsirˇs´ı tˇr´ıdy statick´ ych osovˇe symetrick´ ych ˇreˇsen´ı (s Λ = 0), kter´a jako prvn´ı prozkoumal v r. 1917 H. Weyl. Metrika a poln´ı rovnice se pro tato ˇreˇsen´ı daj´ı napsat ve velmi jednoduch´e podobˇe a pro jednu z nezn´am´ ych metrick´ ych funkc´ı dokonce plat´ı princip superpozice. V n´asleduj´ıc´ı kapitole uk´aˇzeme, jak se ke zjednoduˇsen´ım dospˇeje, a vyzkouˇs´ıme, do jak´e m´ıry je podobn´ y postup (ne)moˇzn´ y v pˇr´ıpadˇe, kdy kosmologick´a konstanta je nenulov´a. V dalˇs´ı ˇc´asti pak uk´aˇzeme, jak´e pˇr´ıpady s Λ 6= 0 odpov´ıdaj´ı speci´aln´ımu typu metrik, jejichˇz nezn´am´e funkce lze zapsat v separovan´em tvaru.

1

V cel´e pr´aci zapisujeme rovnice a veliˇciny v geometrizovan´ ych jednotk´ach, v nichˇz rychlost svˇetla c a gravitaˇcn´ı konstanta κ jsou rovny jedn´e.

7

Kapitola 2 Rekonstrukce Weylova postupu 2.1

Diagonalizace metriky

Pˇri zjednoduˇsov´an´ı metriky pouˇzijeme podobn´ y postup, jako je pops´an v [5](kap. 7.1). Pokud v prostoroˇcasu existuje Killingovo vektorov´e pole ξ, m˚ uˇzeme jako jednu ze ∂ 0 souˇradnic (napˇr. x ) pouˇz´ıt jeho integr´aln´ı kˇrivky, ξ = ∂x0 . Jelikoˇz Lieova derivace je objekt, kter´ y je nez´avisl´ y na souˇradnic´ıch, m˚ uˇzeme ps´at £ξ gab = £

∂ ∂x0

gab = gab,0 = 0.

(2.1)

Tud´ıˇz metrick´ y tenzor je nez´avisl´ y na souˇradnici odpov´ıdaj´ıc´ı Killingovu vektoru. O ˇreˇsen´ı ˇr´ık´ame, ˇze je stacion´arn´ı, pokud v nˇem existuje ˇcasupodobn´e Killingovo vektorov´e pole. Pokud je toto pole kolm´e na podprostor, kter´ y definuj´ı zbyl´e tˇri souˇradnice (tj. ga0 = 0 pro a = 1, 2, 3), ˇr´ık´ame, ˇze ˇreˇsen´ı je statick´e. Nyn´ı se budeme zab´ yvat vlastnostmi stacion´arn´ı metriky a redukci na statickou provedeme na konci tohoto odd´ılu. Pˇredpokl´adejme, ˇze ˇreˇsen´ı je i axi´alnˇe symetrick´e, tzn. existuje jeˇstˇe jedno Killingovo vektorov´e pole η, jehoˇz integr´aln´ı kˇrivky jsou uzavˇren´e a kter´e komutuje s ξ, tj. [ξ, η] = 0. Jelikoˇz plat´ı [ξ, η] = £ξ η = −£η ξ = 0, (2.2) vektorov´a pole ξ a η generuj´ı dvourozmˇernou plochu (tj. existuje plocha, po n´ıˇz se z kaˇzd´eho bodu dostaneme do libovoln´eho jin´eho pod´el integr´aln´ıch kˇrivek ξ, resp. η, a libovoln´ y bod, kter´ y na ploˇse neleˇz´ı, pod´el tˇechto kˇrivek dosaˇziteln´ y nen´ı). D´ıky komutativitˇe je moˇzno integr´aln´ı kˇrivky η vz´ıt jako dalˇs´ı souˇradnici (x3 ), na kter´e opˇet nebude z´aviset metrick´ y tenzor. Dalˇs´ım krokem ke konstrukci metriky Weylova typu je dok´azat, ˇze v kaˇzd´em bodˇe existuje plocha, kter´a je ortogon´aln´ı na plochu generovanou vektorov´ ymi poli ξ a η. Jak uv´ad´ı [3](str. 294), nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka existence t´eto plochy je η d Rd[a ξb ηc] = 0 = ξ d Rd[a ξb ηc] , kde hranat´a z´avorka znaˇc´ı antisymetrizaci v indexech a, b, c1 . 1

Rd[a ξb ηc] =

1 3! (Rda ξb ηc

+ Rdb ξc ηa + Rdc ξa ηb − Rdc ξb ηa − Rdb ξa ηc − Rda ξc ηb )

8

(2.3)

Nyn´ı vyuˇzijeme toho, ˇze Einsteinovy rovnice jde pˇrepsat do du´aln´ıho tvaru,2 kde se na lev´e stranˇe vyskytuje jen Ricciho tenzor Rab = 8πTab − 4πT gab + Λgab .

(2.4)

V pˇr´ıpadˇe Weylova zad´an´ı (Tab = 0, Λ = 0) je Ricciho tenzor nulov´ y, tud´ıˇz dvojice podm´ınek (2.3) je trivi´alnˇe splnˇena. Ve vakuov´em pˇr´ıpadˇe s nenulovou kosmologickou konstantou pˇrech´az´ı (2.4) na tvar Rab = Λgab .

(2.5)

Nyn´ı uvaˇzujme prvn´ı z podm´ınek (2.3). Uˇzit´ım (2.5) z´ısk´av´ame η d Rd[a ξb ηc] = Λη d gd[a ξb ηc] = Λη[a ξb ηc] ,

(2.6)

kde hranat´e z´avorky opˇet znaˇc´ı antisymetrizaci. Jelikoˇz ale tenzor ηa ξb ηc je symetrick´ y vzhledem k z´amˇenˇe a a c, je jeho u ´pln´a antisymetrizace nulov´a, a tedy prvn´ı z podm´ınek (2.3) je splnˇena. Druh´a se dok´aˇze analogicky (jen zamˇen´ıme ξ a η). 3 Je tedy moˇzno zvolit zbyl´e dvˇe souˇradnice tak, aby popisovaly plochu kolmou na plochu ξη, metrika pak bude m´ıt tvar ds2 = gab dxa dxb + gcd dxc dxd ,

(2.7)

kde a a b nab´ yvaj´ı jen hodnot 1,2 a c a d jen hodnot 0,3. Kromˇe toho, jak jiˇz bylo v´ yˇse 1 2 uvedeno, metrika je z´avisl´a jen na souˇradn´ıc´ıch x a x . Nyn´ı vyuˇzijeme toho, ˇze pro dvourozmˇernou metriku (oznaˇcme jej´ı metrick´ y tenzor (2) g) existuje soustava souˇradnic, kde metrika nab´ yv´a konformn´ıho tvaru, tj. existuj´ı souˇradnice y 1 a y 2 takov´e, ˇze (2) ds2 = (2) gab dxa dxb = α2 ((dy 1 )2 + (dy 2 )2 ). Pokud takov´eto souˇradnice pouˇzijeme pro plochu kolmou na Killingovy vektory a oznaˇc´ıme souˇradnici odpov´ıdaj´ıc´ı ˇcasov´emu Killingovu vektoru t, souˇradnici odpov´ıdaj´ıc´ı axi´aln´ımu vektoru φ a zbyl´e dvˇe jako x a y, z´ısk´av´ame metriku tvaru ds2 = −γ 2 dt2 + β 2 dφ2 + α2 (dx2 + dy 2 ) + 2δdtdφ.

(2.8a)

N´as vˇsak zaj´ım´a statick´ y pˇr´ıpad, kdy je ˇcasov´a souˇradnice kolm´a na ostatn´ı tˇri, takˇze δ = 0 a m´ame metriku ds2 = −γ 2 dt2 + β 2 dφ2 + α2 (dx2 + dy 2 ). 2

(2.8b)

Vyn´asoben´ım Einstenov´ ych rovnic g ab a vysˇc´ıt´an´ım dostaneme vztah R = 4Λ − 8πT a dosazen´ım zpˇet z´ısk´ame (2.4). 3 Splnˇen´ı tˇechto podm´ınek je moˇzno dok´azat i v obecnˇejˇs´ım pˇr´ıpadˇe, pro ide´aln´ı tekutiny, resp. elektromagnetick´e pole za urˇcit´ ych omezen´ı na ˇctyˇrrychlost, resp. ˇctyˇrhustotu proudu, viz. [3](str. 295).

9

2.2

Weylovy souˇ radnice

V souˇradnic´ıch x, y metriky (2.8b) je jist´a volnost (napˇr´ıklad pro souˇradnice p = x+y √ , q = x−y √ plat´ı dx2 + dy 2 = dp2 + dq 2 ) a je rozumn´e se pt´at, zda by tuto volnost 2 2 neˇslo vyuˇz´ıt pro dalˇs´ı zjednoduˇsen´ı metriky. Uvaˇzujme tedy nov´e souˇradnice p a q a ptejme se, co mus´ı platit, aby z˚ ustala zachov´ana konformita metriky (2) g, tedy aby platilo α2 (dx2 + dy 2 ) = ψ 2 (dp2 + dq 2 ),

(2.9)

kde ψ je nov´a funkce z´avisl´a jen na x a y, resp. p a q. Dosazen´ım za diferenci´aly dp a dq pomoc´ı forem dx a dy na pravou stranu (2.9) z´ısk´av´ame ³

´

ψ 2 (dp2 +dq 2 ) = ψ 2 (p,x2 +q,x2 )dx2 +(p,y2 +q,y2 )dy 2 (p,x p,y +q,x q,y )(dxdy +dydx) . (2.10) Aby funkce ψ mohla vyhovˇet (2.10), mus´ı b´ yt splnˇena dvojice rovnic p,x2 + q,x2 = p,y2 + q,y2 , 0 = p,x p,y + q,x q,y .

(2.11)

´ Jelikoˇz v´ıme, ˇze p,y 6= 0 nebo q,y 6= 04 , m˚ uˇzeme BUNO tvrdit napˇr. p,y 6= 0 (jelikoˇz rovnice (2.11) jsou symetrick´e v˚ uˇci z´amˇenˇe p a q), a tedy pokud vyj´adˇr´ıme p,x z druh´e rovnice a dosad´ıme do prvn´ı, z´ısk´ame vztah ´ ³ q ´2 ³ q,x2 q,y2 ,x 2 2 2 p + q = p,y2 + q,y2 . + q = ,y ,y ,x 2 p,y p,y

(2.12)

Protoˇze p,y 6= 0, m˚ uˇzeme rovnici (2.12) zkr´atit v´ yrazem p,y2 + q,y2 a po odmocnˇen´ı obdrˇz´ıme q,x = ±p,y . (2.13a) Dosazen´ım do druh´e z rovnic (2.11) z´ısk´ame druhou podm´ınku q,y = ∓p,x .

(2.13b)

Tato soustava rovnic je ekvivalentn´ı s (2.11). Pokud tedy zvol´ıme funkci p, m´ame jiˇz (aˇz na integraˇcn´ı konstantu) definovanou funkci q (pokud existuje). Nutn´a a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro existenci funkce q je dle [2](str. 213) ³

±p,y

kde 4 = 4

∂2 ∂x2

+

´

³

,y

= ∓p,x

´ ,x

⇔ 4p = 0,

∂2 . ∂y 2

Jinak nov´e souˇradnice popisuj´ı prostor s niˇzˇs´ı dimenz´ı.

10

(2.14)

Nyn´ı se pod´ıvejme, jak vypad´a Ricciho tenzor. Pokud uvaˇzujeme metriku tvaru (2.8b), plat´ı dle [4](str. 310): Rxx = Ryy = Rxy = Ryx Rφφ = Rtt =

α,x α,y β,x,x γ,x,x α,x (βγ),x α,y (βγ),y ),x + ( ),y + + − + , α α β γ α βγ α βγ α,x α,y β,y,y γ,y,y α,x (βγ),x α,y (βγ),y ( ),x + ( ),y + + + − , α α β γ α βγ α βγ β,x,y γ,x,y α,x (βγ),y α,y (βγ),x = + − − , (2.15) β γ α βγ α βγ β 2 4β β,x γ,x + β,y γ,y ( + ), α2 β βγ γ 2 4γ β,x γ,x + β,y γ,y − 2( + ). α γ βγ (

Ostatn´ı sloˇzky jsou nula. V´ yznam 4 je stejn´ y jako v (2.14). Je moˇzno si vˇsimnout, ˇze 4(βγ) Rtt + Rφφ = 2 . α βγ

(2.16)

Tedy pokud Rtt + Rφφ = 0 (coˇz pro nulovou kosmologickou konstantu a vakuov´e rovnice plat´ı), m˚ uˇzeme definovat dle (2.14) nov´e souˇradnice ρ a z tak, ˇze ρ = βγ. V tˇechto souˇradnic´ıch zap´ıˇseme metriku (2.8b) v tvaru ds2 = −e2ν dt2 + ρ2 e−2ν dφ2 + e2(λ−ν) (dρ2 + dz 2 ),

(2.17)

kde ν ≡ ln(γ) , λ = ln(αγ) a β = ρ/γ. Rovnice (2.15) spolu s (2.4) tak ve vakuov´em pˇr´ıpadˇe bez kosmologick´e konstanty pˇrejdou na 0= 0= 0= 0= 0=

+ Rzz ) = 4λ + (ν,ρ )2 + (ν,z )2 , 1 1 (Rρρ − Rzz ) = (ν,ρ )2 − (ν,z )2 − λ,ρ , 2 ρ 1 Rρz = 2ν,ρ ν,z − λ,z , ρ 1 Rφφ − Rtt = 4ν + ν,ρ , ρ φ t = 0. Rφ +Rt 1 (Rρρ 2

(2.18)

ˇ Ctvrt´ a rovnice (2.18) je Laplaceova rovnice v cylindrick´ ych souˇradnic´ıch. Pokud zn´ame 5 jej´ı ˇreˇsen´ı, najdeme λ integrac´ı druh´e a tˇret´ı rovnice, Z

λ=

ρ(λ,ρ2 − λ,z2 )dρ + 2ρν,ρ ν,z dz.

Prvn´ı rovnice (2.18) je d˚ usledkem zbyl´ ych tˇr´ı. 5

Je moˇzno se derivov´an´ım pˇresvˇedˇcit, ˇze tyto dvˇe rovnice jsou dohromady integrovateln´e.

11

(2.19)

2.3

Nenulov´ a kosmologick´ a konstanta

Pˇri nenulov´e kosmologick´e konstantˇe se rovnice (2.16) zmˇen´ı na 2Λ = Rφφ + Rtt =

4βγ 6= 0, α2 βγ

(2.20)

tedy βγ nen´ı moˇzn´e vz´ıt za jednu ze souˇradnic, aniˇz bychom poruˇsili konformitu metriky (2) g ˇci ztratili diagonalitu. Pod´ıvejme se, jak nyn´ı vypad´a cel´a soustava rovnic (2.15): α,y 4β 4γ α,x ),x + 2( ),y + + , α α β γ β,x,x − β,y,y γ,x,x − γ,y,y α,x (βγ),x α,y (βγ),y + −2 +2 , β γ α βγ α βγ β,x,y γ,x,y α,x β,y γ,y α,y β,x γ,x + − ( + )− ( + ), (2.21) β γ α β γ α β γ 4(βγ) , βγ 4β 4γ − . β γ

2Λα2 =

Rxx + Ryy

= 2(

0=

Rxx − Ryy

=

0=

Rxy

=

2Λα2 = α2 (Rφφ + Rtt ) = 0 = α2 (Rφφ − Rtt ) =

V dalˇs´ı kapitole se pokus´ıme tyto rovnice ˇreˇsit za pˇredpokladu, ˇze funkce α, β, γ jsou separovan´e. Nicm´enˇe vrat’me se k hled´an´ı nov´eho souˇradn´eho syst´emu, kter´ y (2.21) zjednoduˇs´ı. ˇ Ctvrtou rovnici zap´ıˇseme ve tvaru 2Λα2 βγ = 4(βγ).

(2.22)

Pokud nalezneme funkci p(x, y) takovou, ˇze α2 βγ = 4p, m˚ uˇzeme jako novou souˇradnici zvolit funkci 2Λp − βγ a mohlo by se podaˇrit zjednoduˇsit soustavu (2.21). Pˇri zkouˇsen´ı r˚ uzn´ ych funkc´ı p(x, y), pomoc´ı kter´ ych bychom r´adi sn´ıˇzili poˇzet nezn´am´ ych funkc´ı v metrice (2.8b), bohuˇzel naraz´ıme na probl´em: rovnice (2.21) obsahuj´ı derivace, kter´e se pˇri pˇrechodu od souˇradnic x, y k r, s transformuj´ı ∂ ∂ ∂ = r,x + s,x ∂x ∂p ∂q

(2.23)

(pro y analogicky), takˇze pokud funkce p(x, y) obsahuje derivace funkc´ı α, β nebo γ, ”proniknou” do rovnic, aˇz na velmi vz´acn´e vyj´ımky, i derivace nov´ ych souˇradnic dle star´ ych, coˇz n´am pˇrid´av´a v rovnic´ıch nezn´am´e funkce. Jednou z m´ala v´ yjimek jsou 2 pˇr´ıpady, kdy α βγ je vlastn´ı funkc´ı Laplaceova oper´atoru. T´ımto pˇr´ıpadem se budeme zab´ yvat ve zbytku tohoto odd´ılu. Necht’ tedy plat´ı 4(α2 βγ) = N α2 βγ. Pak je tˇreba rozliˇsit dva pˇr´ıpady: • N = 0. Pak jako novou souˇradnici x vol´ıme pˇr´ımo funkci α2 βγ. • N 6= 0. Pak jako novou souˇradnici x vol´ıme funkci βγ(1 − 12

2Λ 2 α ). N

Souˇradnici y vol´ıme dle (2.13) (tj. harmonicky sdruˇzenou k x). V nov´ ych souˇradnic´ıch bude m´ıt metrika opˇet tvar (2.8b), tedy Einsteinovy rovnice maj´ı form´alnˇe stejn´ y tvar (rovnice (2.21)) (jen derivace jsou podle nov´ ych souˇradnic). Pod´ıvejme se na oba pˇr´ıpady o nˇeco podrobnˇeji. • N =0 Rovnice (2.22) m´a tvar 2Λx = 4βγ ⇔ 0 = 4(βγ −

2Λ 3 x ), 3

(2.24)

coˇz je Laplaceova rovnice. Jej´ı ˇreˇsen´ı jiˇz zn´ame, a tedy z (2.24) m˚ uˇzeme urˇcit βγ, 2 resp. α po uv´aˇzen´ı vztahu x = α βγ. • N 6= 0 Rovnice (2.22) m´a tvar 2Λα2 βγ = N (βγ − x) = 4(βγ) = 4(βγ − x),

(2.25)

kde posledn´ı rovnost vypl´ yv´a z harmoniˇcnosti funkce x. Z rovnice (2.25) plyne, ˇze βγ − x je vlastn´ı funkc´ı oper´atoru 4 s vlastn´ım ˇc´ıslem N . Tedy na z´akladˇe (2.25) urˇc´ıme βγ a α po uv´aˇzen´ı (1 −

x N ) = α2 . βγ 2Λ

Nicm´enˇe vztah (2.24), resp. (2.25) je nutn´a nikoli postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka. Pokud jde o funkce β, γ, tak k jejich urˇcen´ı je moˇzno pouˇz´ıt napˇr. tˇret´ı a p´atou rovnici (2.21), kde po uv´aˇzen´ı znalosti βγ a vyj´adˇren´ı γ pomoc´ı β m´ame jen prvn´ı derivace β. Pˇrirozen´a je zde ot´azka, zda by bylo moˇzno tento postup zobecnit. Bohuˇzel pokusy o rozeps´an´ı α2 βγ jako sumy vlastn´ıch funkc´ı oper´atoru Laplace nevedou k pouˇziteln´emu v´ ysledku.

13

Kapitola 3 Separovateln´ aˇ reˇ sen´ı V t´eto kapitole zkus´ıme ˇreˇsit Einsteinovy rovnice pˇr´ımo. Vzhledem ke komplikovanosti (2.21) budeme uvaˇzovat funkce α, β, γ ve speci´aln´ım tvaru, pˇri nˇemˇz se soustava parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic zmˇen´ı na soustavu obyˇcejn´ ych diferenci´aln´ıch rovnic.

3.1

Z´ akladn´ı dˇ elen´ı

Uvaˇzujme ˇreˇsen´ı ve tvaru

α(x, y) = a(x)f (y), β(x, y) = b(x)g(y), γ(x, y) = c(x)h(y). Dosazen´ım do ˇctvrt´e rovnice (2.21) dostaneme 2Λa2 f 2 =

(3.1)

(bc)00 (gh)00 + , bc gh

(3.2)

kde 0 je derivace dle pˇr´ısluˇsn´e promˇenn´e. Funkce α(x, y) je tedy jen funkc´ı x, nebo y.1 Vzhledem k symetrii rovnic (2.21) v˚ uˇci z´amˇenˇe souˇradnic muˇzeme bez u ´jmy na obecnosti uvaˇzovat f (y) konstantn´ı. D´ale vzhledem k tomu, ˇze α se nezmˇen´ı, pokud dvojici a(x) a f (y) nahrad´ıme dvojic´ı a(x)/K, Kf (y), kde K je libovoln´a nenulov´a konstanta, m˚ uˇzeme poloˇzit f (y) = 1. (3.3) Dosazen´ım α = α(x) do prvn´ı z rovnic (2.21) s uv´aˇzen´ım p´at´e pak dostaneme

1

Λa2

=

Λa2

=

³ 0 ´0 a

00 + bb a ³ 0 ´0 00 a + cc a

+ +

g 00 , g 00 h . h

(3.4) (bc)00 bc (x1 ) (gh)00 gh (y2 ) =

Dok´aˇze se to jednoduˇse sporem. Mˇejme x1 , x2 , y1 a y2 takov´a, ˇze

(bc)00 bc (x2 ), resp. 2 Λa (x2 )(f 2 (y1 ) −

6=

(gh)00 (gh)00 (gh)00 2 2 2 gh (y1 ) 6= gh (y2 ). Pak Λa (x1 )(f (y1 ) − f (y2 )) = gh (y1 ) − (gh)00 2 f (y2 )). Jelikoˇz v´ıme, ˇze hodnota gh je v bodech y1 a y2 r˚ uzn´a, je prostˇredn´ı v´ yraz nenulov´ y , takˇze nenulov´ y mus´ı b´ yt i (f 2 (y1 ) − f 2 (y2 )), a tedy m˚ uˇzeme t´ımto v´ yrazem rovnici zkr´atit a z´ısk´av´ame vztah 00 (bc)00 a2 (x1 ) = a2 (x2 ). Odtud 0 = Λ(a2 (x1 ) − a2 (x2 ))f 2 (y1 ) = (bc) ı nerovnost bc (x1 ) − bc (x2 ) 6= 0 (posledn´

jsme dostali z pˇredpoklad˚ u na x1 a x2 ). To je ovˇsem spor, a tud´ıˇz alespoˇ n jedna z funkc´ı a(x), f (y) mus´ı b´ yt konstanta.

14

Jelikoˇz a, b, c jsou funkce x, zat´ımco g a h jsou funkce jen y, mus´ı platit g 00 g h00 h

= G, = H,

(3.5)

kde G a H jsou re´aln´e konstanty. Rovnice (3.5) jsou obyˇcejn´e line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice, jejichˇz reˇsen´ı nalezneme standardn´ımi postupy (napˇr. [1] kap. 7.5). Pokud vytkneme stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe funkce f (y) nenulovou konstantu z g(y) do funkce b(x), m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze vˇsechna zaj´ımav´a ˇreˇsen´ı rovnic vypadaj´ı takto: √  G>0 exp(±y   √ G)    sinh(y G + Q) G>0   √   cosh(y G + Q) G > 0 g(x) = , (3.6)  y+Q G=0      G=0  √1   sin(y −G + Q) G < 0 kde Q je re´aln´a konsanta. Pro h(y) jsou v´ ysledky analogick´e. Pokud d´ale od prvn´ı z rovnic (2.21) odeˇcteme ˇctvrtou, dostaneme ³ a0 ´0

=

b0 c0 g 0 h0 + . bc gh

(3.7)

a Jelikoˇz a, b i c jsou funkce x, mus´ı platit g 0 h0 = const. gh

(3.8)

Pˇri dosazov´an´ı za g(y), resp. h(y) z (3.6) zjist´ıme, ˇze ne pro kaˇzdou kombinaci tˇechto funkc´ı je rovnice (3.8) splnˇena. Vyhovuj´ı n´ıˇze uveden´e kombinace a kombinace, kde g(y) a h(y) zamˇen´ıme mezi sebou. Vzhledem k symetrii (2.21) v˚ uˇci z´amˇenˇe β a γ budeme d´ale uvaˇzovat bez u ´jmy na obecnosti jen tyto kombinace funkc´ı g(y) a h(y). g(y) √ sinh(y √ G + Q) sin(y −G + Q) 1 1 1 1 1 1 exp(Ky)

h(y) √ cosh(y √ G + Q) cos(y −G + Q) exp(Ky) √ cosh(y√ H + Q) sinh(y √ H + Q) sin(y −H + Q) y+Q 1 exp(Ly)

Konstanty G > 0, H = G G < 0, H = G G = 0, K 2 = H G = 0, H > 0 G = 0, H > 0 G = 0, H < 0 G=H=0 G=H=0 K 2 = G, L2 = H

Podrobnˇ eji 2.2 2.2 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.4 2.5

Tabulka 1 - pˇripustn´e kombinace funkc´ı g(y), h(y).

3.2

(Hyper)sinov´ aˇ reˇ sen´ı

√ √ Dosazen´ım g(y) = sinh(y G + Q) a h(y) = cosh(y G + Q) do rovnice (2.21) pro Rxy z´ısk´ ame √ √ √ √ b0 c0 0 = b G coth(y G + Q) + c G tanh(y G + Q) ´ √ √ √ ³ (3.9) a0 − a G coth(y G + Q) + tanh(y G + Q) .

15

Tato rovnice jde pˇrepsat do pˇrehlednˇejˇs´ıho tvaru (na z´akladˇe nenulovosti G) √ a0 b0 ³ c0 a0 ´ − = − tanh2 (y G + Q). (3.90 ) a b c a √ Lev´a strana rovnice je nez´avisl´a na y, zat´ımco tanh2 (y G + Q) na y z´avis´ı, takˇze pro splnˇen´ı (3.9’) je nutno, aby obˇe strany rovnosti byly nula, tedy: a0 a c0 c

0

− bb = 0 ⇔ (ln(a))0 = (ln(b))0 0 − ac = 0 ⇔ (ln(c))0 = (ln(a))0

⇔ b = Ka , ⇔ c = La

(3.10)

kde K a L jsou konstanty. √ Podobnou u ´ vahu je moˇ z no prov´ e st i pro ˇ r eˇ s en´ ı, kde g(y) = sin(y −G + Q) a h(y) = √ cos(y −G + Q). Rovnice pro Rxy nab´ yv´ a tvaru √ √ √ √ 0 0 b 0 = −G + Q) −G − cc tan(y −G + Q) −G´ b cot(y ³ √ √ √ √ , (3.11) 0 − aa cot(y −G + Q) −G − tan(y −G + Q) −G coˇz lze pˇrepsat na

a0 b0 ³ a0 c0 ´ 2 √ − = − tan (y −G + Q). (3.110 ) a b a c Ze stejn´ ych d˚ uvod˚ u jako u (3.9’) mus´ı b´ yt obˇe strany rovnice nulov´e, takˇze mus´ı platit (3.10). Dosazen´ım (3.10) do (2.21), uvaˇzov´ an´ım libovoln´e z v´ yˇse uveden´ ych voleb g a h a pˇr´ıpadn´ ym vydˇelen´ım rovnic dvˇema dospˇejeme ke vztah˚ um Λa2

=

0

=

Λa2

=

1 2 (Rxx

+ Ryy ) =

1 2 (Rxx − Ryy ) φ α2 t 2 (R φ + R t )

= =

00

2 aa − a00 a

³ 0 ´2 a a

−G−2

³ 0 ´2 a a

+G,

³ 0 ´2 a a

,

(3.12)

00

+ aa + 2G.

Zbyl´e dvˇe rovnice (2.21) jsou splnˇeny trivi´alnˇe.2 Uveden´e tˇri rovnice jsou line´arnˇe z´avisl´e3 a m´a tedy smysl zab´ yvat se d´ale jen dvˇema z nich (vynech´ ame prvn´ı). Dosazen´ım za a00 /a z druh´e do tˇret´ı dostaneme soustavu rovnic G

=

Λ 2 3a

=

a00 a

−2

³ 0 ´2

³ 0 ´2 a a

a a

+G

, ⇔ (a0 )2 =

Λ 4 3a

− Ga2 .

(3.13)

Tyto rovnice jsou opˇet z´avisl´e. Pokud totiˇz zderivujeme druhou a v´ ysledn´ y vztah vydˇel´ıme4 0 2a a, dostaneme 2 a00 = Λa2 − G. (3.14) a 3 Po dosazen´ı za (2/3)Λa2 z druh´e z rovnic (3.13) obdrˇz´ıme stejnou rovnici jako je prvn´ı z (2.13). Po odmocnˇen´ı z´ısk´ame diferenci´aln´ı rovnici se separovan´ ymi promˇenn´ ymi, kter´a je ekvivalentn´ı Z Z da q ± = dx, (3.15) a Λ3 a2 − G Rovnice pro Rxy byla jiˇz v´ yˇse vyˇreˇsena a vztah pro Rφφ − Rtt je v tomto pˇr´ıpadˇe d˚ usledek rovnice pro Rxy . 3 Prvn´ı je souˇctem zbyl´ ych dvou. 4 To si m˚ uˇzeme dovolit, jelikoˇz a0 nen´ı nula. Pokud by byla, nejde splnit prvn´ı z rovnic (3.13). 2

16

kde znam´enko na lev´e stranˇe se m˚ uˇze mˇenit v bodech, kde a0 = 0 (tj. m˚ uˇzeme navazovat ”+” a ”-” ˇreˇsen´ı). Nyn´ı m´a opˇet smysl zaˇc´ıt rozliˇsovat dvˇe vˇetve ˇreˇsen´ı dle znam´enka G. Vˇetev G > 0 (kdy g a h jsou ”hyper-” funkce) m´a smysl jen pro kladn´e kosmologick´e konstanty. Pokud by totiˇz byla kosmologick´ a konstanta z´aporn´a, prav´ a strana druh´e z rovnic (3.13) by byla z´aporn´a, zat´ımco lev´a nez´aporn´a. Integrov´an´ım (3.15) pak dostaneme vztah à s

2 √ arctan a G

s

Λ + 3G

!

Λ 2 a − 1 = ±x + D, 3G

(3.16)

kde D je integraˇcn´ı konstanta. Z t´eto rovnice m˚ uˇzeme vyj´adˇrit s

1 3G √ , Λ sin(±x G + C)

a=

√ kde C = D G, tedy nov´a konstanta, a zderivov´ an´ım se pˇresvˇedˇcit, ˇze √ a0 = 0 ⇔ cos(±x G + C) = 0.

(3.17)

(3.18)

V tˇechto bodech je hodnota sinu plus nebo m´ınus jedna. Vzhledem k tomu, ˇze ve v´ ysledn´e metrice se vyskytuje a(x) jen v druh´ ych mocnin´ach a sinus je sud´ y vzhledem k bod˚ um, kde je jeho absolutn´ı hodnota jedna, navazov´ an´ı ˇreˇsen´ı nic nov´eho nepˇrinese a vˇetev s m´ınus tedy m˚ uˇzeme ignorovat. Cel´a metrika je tak ve tvaru ´ ³ √ √ 3G dx2 + dy 2 + K 2 sinh2 (y G + Q)dφ2 − L2 cosh2 (y G + Q)dt2 √ , ds2 = Λ sin2 (x G + C)

(3.19)

resp. nˇekter´em ze symetrick´ ych. Nyn´ı zpˇet k druh´e vˇetvi ˇreˇsen´ı (3.15), s G < 0 (kdy g a h jsou goniometrick´e funkce). Pokud je kosmologick´a konstanta kladn´a, z´ısk´ ame vyintegrov´ an´ım (3.15) v´ ysledek5 s

a=

−3G 1 √ , Λ sinh(x −G + C)

(3.20)

kter´ y odpov´ıd´a metrice ³ ´ √ √ −3G dx2 + dy 2 + K 2 sin2 (y −G + Q)dφ2 − L2 cos2 (y −G + Q)dt2 √ ds2 = . Λ sinh2 (x −G + C)

Pro z´aporn´e Λ vˇsak vyjde6

(3.21)

s

a=

1 3G √ , Λ cosh(x −G + C)

5

(3.22)

Vych´azej´ı opˇet dvˇe vˇetve - s plus a m´ınus. Nicm´enˇe derivace (3.20) je vˇzdy nenulov´a a sinh() je lich´a funkce, takˇze pˇri pr´aci s druhou mocninou a nepˇrin´aˇs´ı m´ınus vˇetev novou informaci. 6 Opˇet vych´az´ı dvˇe vˇetve, s ±x. Derivace a je ale nulov´a jen v bodech, kde je nulov´ y argument hyberbolick´eho kosinu, a vzhledem k tˇemto bod˚ um je a sud´a, takˇze m´ınus vˇetev nic nov´eho nepˇrinese.

17

coˇz odpov´ıd´a metrice ³ ´ √ √ 3G dx2 + dy 2 + K 2 sin2 (y −G + Q)dφ2 − L2 cos2 (y −G + Q)dt2 √ ds2 = . Λ cosh2 (x −G + C)

(3.23)

Vˇsechny tˇri v´ yˇse zm´ınˇen´e metriky obsahuj´ı 5 voln´ ych konstant, ale tyto konstanty nenesou ˇz´adnou podstatnou informaci. Tˇri z nich (G, K a L) ˇsk´ aluj´ı souˇradnice (t, φ, resp. dvojici x, y) a zbyl´e dvˇe (C a Q) fixuj´ı poˇc´ atek (x, resp. y). Existuje ale i jin´ y zp˚ usob, jak se s rovnic´ı (3.15) vypoˇr´ adat. Tento postup bude nevyhnuteln´ y v dalˇs´ı ˇc´asti, ponˇevadˇz jako obdobu (3.15) tam obdrˇz´ıme vztah (3.36), kter´ y jiˇz nep˚ ujde jednoduˇse zintegrovat pˇr´ımo. Postup vˇsak uvedeme jiˇz na tomto m´ıstˇe, i kdyˇz zde j´ım dospˇejeme znovu ke stejn´ ym metrik´am (jen zapsan´ ych v jin´ ych souˇradnic´ıch). Tento postup vˇsak bude m´ıt jednu drobnou vadu na kr´ase, totiˇz pˇrijdeme o konformitu metriky (2) g. Jak na to? Pˇreˇsk´alujeme souˇradnici x pomoc´ı funkce α, tedy zavedeme m´ısto x novou souˇradnici r, pro kterou bude platit r = α(x). (3.24) Z toho plyne dr = α0 (x)dx,

(3.240 )

tedy Λ Λ dr2 = (α0 (x))2 dx2 = (a0 )2 (x)dx2 = ( a4 − Ga2 )dx2 = ( r4 − Gr2 )dx2 , (3.2400 ) 3 3 kde tˇret´ı rovnost vyplynula z (3.13). Po dosazen´ı tˇechto znalost´ı do (2.8b) z´ısk´ av´ ame metriku ds2 = −γ 2 dt2 + β 2 dφ2 + r2 dy 2 +

dr2 . −G

(3.25)

Λ 2 3r

Pokud jeˇstˇe dosad´ıme za γ a β, obdrˇz´ıme koneˇcnˇe √ √ ds2 = −L2 r2 cosh2 (y G + Q)dt2 + K 2 r2 sinh2 (y G + Q)dφ2 + r2 dy 2 +

dr2 Λ 2 3r −G

(3.26a)

pro kladn´a G, resp. √ √ ds2 = −L2 r2 cos2 (y −G + Q)dt2 + K 2 r2 sin2 (y −G + Q)dφ2 + r2 dy 2 +

dr2 (3.26b) Λ 2 3r −G

pro G z´aporn´a. Konstanty K, L a G opˇet odpov´ıdaj´ı ˇsk´ alov´ an´ı souˇradnic t, φ a dvojice (r, y)7 a Q opˇet volbˇe poˇc´atku y.

3.3

Schwarzschildovo-de Sitterovo ˇ reˇ sen´ı a jemu podobn´ a

Pro vˇetˇsinu pˇr´ıpustn´ ych funkc´ı g a h, kde g(y) = 1, je moˇzno pomoc´ı tˇret´ı rovnice (2.21) dok´azat, ˇze c = Da, kde D je konstanta. Zbyl´e ˇctyˇri rovnice pak nab´ yvaj´ı tvaru Λa2 =

³ a 0 ´0

a

7

+

a00 + R, a

To nen´ı na prvn´ı pohled zˇrejm´e, jasn´e to zaˇc´ın´a b´ yt, pokud se ˇc´ast metriky odpov´ıdaj´ıc´ı (r, y) ³ 2 ´−1 2 2 pˇrep´ıˇse do tvaru rG Gdy 2 + drG Λ3 rG − 1 .

18

0 = 2Λa2 = b00 b

=

a00 a0 ³ b0 a0 ´ − + , a a b a (ba)00 + R, ba a00 + R, a

(3.27)

kde konstanta R se liˇs´ı dle toho, o jak´ y pˇr´ıpad jde. Nyn´ı podrobnˇeji: 1. h(y) = exp(Ky) Rovnice pro Rxy pak m´a tvar 0=

c0 a0 K − K ⇔ (ln(c))0 = (ln(a))0 ⇔ c = Da. c a

(3.28a)

Dosazen´ım do zbytku (2.21) zjist´ıme, ˇze R = K 2 . √ 2. h(y) = cosh(y H + Q) Rovnice pro Rxy pak m´a tvar 0=

√ √ c0 √ a0 √ H tanh(y H + Q) − H tanh(y H + Q) ⇔ c = Da. c a

(3.28b)

Dosazen´ım do zbytku (2.21) zjist´ıme, ˇze R = H. √ 3. h(y) = sinh(y H + Q) Rovnice pro Rxy pak m´a tvar 0=

√ √ c0 √ a0 √ H coth(y H + Q) − H coth(y H + Q) ⇔ c = Da. c a

(3.28c)

Dosazen´ım do zbytku (2.21) zjist´ıme, ˇze R = H. √ 4. h(y) = sin(y −H + Q) Rovnice pro Rxy pak m´a tvar 0=

√ √ c00 √ a00 √ −H cot(y −H + Q) − −H cot(y −H + Q) ⇔ c = Da. c a

(3.28d)

Dosazen´ım do zbytku (2.21) zjist´ıme, ˇze R = H. 5. h(y) = y + Q Rovnice pro Rxy pak m´a tvar 0=

c0 1 a0 1 c0 a0 − ⇔ = ⇔ c = Da. c y+Q a y+Q c a

Dosazen´ım do zbytku (2.21) zjist´ıme, ˇze R = 0.

19

(3.28e)

3.3.1

α = const.

Pod´ıvejme se nejdˇr´ıv na pˇr´ıpad, kdy a0 = 0. V soustavˇe (3.27) pak z˚ ustanou jen tˇri netrivi´aln´ı rovnice, a to Λa2 = 2Λa2 = b00 b

b00 , b b00 + R, b

(3.29)

= R.

Z nich zˇrejmˇe prostˇredn´ı je souˇctem zbyl´ ych dvou, a tak je moˇzno soustavu pˇrepsat a2 b00

= R Λ, = Rb.

(3.290 )

Jelikoˇz metrika (2.8b) pro α = 0 nem´a smysl, neexistuje pro R = 0 (tj. pˇr´ıpad 5.) smyslupln´e ˇreˇsen´ı. D´ale je moˇzno si vˇsimnout, ˇze lev´a strana prvn´ı rovnice (3.29’) je vˇzdy nez´aporn´a, a tedy ˇreˇsen´ı existuje pouze tehdy, kdyˇz je znam´enko R a Λ stejn´e. V pˇr´ıpadech 1.-3. je R > 0, tedy ˇreˇsen´ı m´a smysl jen pro Λ > 0 a vypad´a q

R Λ, √ √ = A exp(x R) + B exp(−x R)

a = b

(3.30)

Odpov´ıdaj´ıc´ı cel´e metriky maj´ı tak v´ ysledn´ y tvar: 1. ds2 = −E 2 exp(2yK)dt2 + (A exp(xK) + B exp(−xK))2 dφ2 +

K2 (dx2 + dy 2 ), (3.31a) Λ

√ kde E ≡ DK/ Λ = const. 2.

ds2

= p

√ 2 2 2 √ −E cosh (y √H +2Q)dt +(A exp(x H) + B exp(−x H)) dφ2 +

H 2 Λ (dx

+ dy 2 ),

(3.31b)

H 2 Λ (dx

+ dy 2 ),

(3.31c)

kde E ≡ D H/Λ = const. 3.

ds2

= p

√ 2 2 2 √ −E sinh (y √H +2Q)dt +(A exp(x H) + B exp(−x H)) dφ2 +

kde E ≡ D H/Λ = const. V pˇr´ıpadˇe 4. m´ame ˇreˇsen´ı jen pro Λ < 0 q

H , a = √Λ b = A sin(x −H + B),

(3.32)

a odpov´ıdaj´ıc´ı metrika m´a podobu √ √ H ds2 = −E 2 sin2 (y −H + Q)dt2 + A2 sin2 (x −H + B)dφ2 + (dx2 + dy 2 ), Λ

20

(3.31d)

p

kde E ≡ D H/Λ = const. V´ yznam konstant je n´asleduj´ıc´ı: E odpov´ıd´ a ˇsk´ alov´ an´ı ˇcasu, H ˇsk´ alov´ an´ı souˇradnic (x,y), Q volbˇe poˇc´atku y a v konstant´ach A a B je skryto ˇsk´ alov´ an´ı φ a volba poˇc´ atku x.8

3.3.2

α 6= const.

Nyn´ı k druh´e vˇetvi v´ ypoˇctu, kdy a0 6= 0.9 Zde m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit druhou rovnici (3.20) v´ yrazem 0 a/a , a00 (ab)0 = ⇔ (ln(a0 ))0 = (ln(ab))0 ⇔ a0 = Eab ⇔ (ln(a))0 = Eb. (3.33) 0 a ab Dosazen´ım (3.33) do zbyl´ ych rovnic (3.27) dostaneme vztahy 00

= 2 aa −

Λa2 2Λa2 a000 a0

−3

a00 a

³ 0 ´2 a

+2

a

³ 0 ´2 a a

+R,

=

a000 a0

+ R,

=

a00

+ R.

a

(3.34)

Tyto tˇri rovnice jsou opˇet line´arnˇe z´avisl´e10 a pˇri dalˇs´ıch v´ ypoˇctech staˇc´ı uvaˇzovat prvn´ı dvˇe. Vyn´asobme druhou a0 a zintegrujme, C 2 3 Λa = a00 + Ra + , 3 2

(3.35)

resp.

2 2 a00 C Λa = + K2 + , (3.350 ) 3 a 2a kde C je integraˇcn´ı konstanta. Pokud nyn´ı vyn´asob´ıme (3.35) opˇet a0 , dostaneme znovu lehce integrovatelnou rovnici: 2 a4 (a0 )2 a2 C Λ = + R + a + F, (3.36) 3 4 2 2 2 resp. F Λ 2 ³ a0 ´2 C a = +R + + 2 , (3.360 ) 3 a a a kde F znaˇc´ı integraˇcn´ı konstantu. Odeˇcteme-li od dvojn´asobku (3.35’) rovnici (3.36’), z´ısk´ ame vztah a00 ³ a0 ´2 F Λa2 = 2 − +R − 2 . (3.37) a a a Porovn´an´ım s prvn´ı rovnic´ı (3.34) dostaneme F = 0 a zjist´ıme, ˇze obˇe rovnice (3.34) jsou d˚ usledky (3.36). Bohuˇzel rovnice (3.36) nejde jednoduˇse zintegrovat a budeme muset pouˇz´ıt trik s volbou nov´e souˇradnice, kter´ y jsme jiˇz vyzkouˇseli v odd´ıle (3.2). Novou souˇradnici r zvol´ıme jako r = a(x),

(3.38)

8 V pˇr´ıpadˇe 4. je to zˇrejm´e. Pokud jsou A, B nenulov´e, je moˇzno b v (3.30) pˇrepsat jako hyper(ko)sinus a v´ yznam konstant se tak´e vyjasn´ı. Pokud A, ˇci B je nula (pokud by byly obˇe nula, dostaneme metriku, kde posun ve φ neodpov´ıd´a ˇz´adn´emu intervalu, coˇz nechceme), urˇcuje zbyl´a souˇradnice ˇsk´alov´an´ı a poˇc´atek x jsme v jist´em smyslu odsunuli ”do nekoneˇcna”. 9 T´ım mysl´ıme, ˇze a nen´ı konstanta. Pokud bude a0 = 0 jen v nˇekter´ ych bodech, tak n´am to nevad´ı. 10 Souˇcet druh´e a tˇret´ı je dvojn´asobek prvn´ı.

21

coˇz implikuje dr = a0 dx, tedy dr2 = (a0 )2 dx2 =

³Λ

´

a4 − Ra2 − Ca dx2 =

(3.380 ) ³Λ

´

r4 − Rr2 − Cr dx2 ,

(3.3800 ) 3 3 kde druhou rovnost jsme obdrˇzeli z (3.36). Nast´av´ a ovˇsem probl´em, jak spoˇc´ıtat b z (3.33). Naˇstˇest´ı plat´ı s

d(ln(a)) d(ln(a)) dr d(ln(r)) 0 1 Eb = = = a = dx dr dx dr r

Λ 4 r − Rr2 − Cr. 3

(3.39)

Metriku, kter´a odpov´ıd´a tˇemto pˇr´ıpad˚ um, je pak moˇzno zapsat ve tvaru ds2 N (r)

3.3.3

= −D2 r2 h2 (y)dt2 + N (r)dφ2 + r2 dy 2 + Λ 2 3r

=

−R−

dr2 N (r) ,

C r.

(3.40)

Sf´ ericky symetrick´ aˇ reˇ sen´ı

Zaj´ımav´e na t´eto, resp. jedn´e z metrik, kterou z (3.40) dostaneme v´ yˇse uveden´ ymi symetriemi, je to, ˇze popisuje vˇsechna vakuov´ a statick´ a sf´ericky symetrick´ a ˇreˇsen´ı. Abychom to uk´azali, uvaˇzujme obecnou statickou sf´ericky symetrickou metriku, ds2

= −T 2 (r)dt2 + S 2 (r)dr2 + U 2 (r)dΩ2 = −T 2 (r)dt2 + S 2 (r)dr2 + U 2 (r)(dθ2 + sin2 (θ)dφ2 ).

(3.41)

Pomoc´ı transformace souˇradnic Z

x=

U (r) U (r) dr ⇔ dx = dr S(r) S(r)

(3.42)

ji pˇrevedeme na ˇc´asteˇcnˇe konformn´ı tvar ds2 = −T 2 dt2 + U 2 (dx2 + dθ2 ) + U 2 sin2 (θ)dφ2 ,

(3.410 )

kde T a U jsou stejn´e funkce jako v (3.41). To ale odpov´ıd´ a metrice (2.8b), pokud ztotoˇzn´ıme α = U, β = U sin(θ),

(3.43)

γ = T a pˇrejmenujeme souˇradnici θ na y. Funkce α, β, γ jsou zjevnˇe separovan´e a spadaj´ı mezi ˇreˇsen´ı diskutovan´ a v t´eto kapitole. Vzhledem k z´avislosti na souˇradnici θ, resp. y se jedn´a o pˇr´ıpad 4. tohoto odd´ılu (jen mus´ıme zamˇenit funkce γ a β). Vyjdou n´am tedy dvˇe metriky. Jedna pro α 6= const. (pro libovolnou kosmologickou konstantu) a druh´e pro α konstantn´ı (jen pro Λ < 0):

22

• Nez´avisle na znam´enku kosmologick´e konstanty z´ısk´ ame ˇreˇsen´ı11 ds2 = −N (r)dt2 + r2 sin2 (y)dφ2 + r2 dy 2 + kde N (r) = 1 −

C r

dr2 , N (r)

(3.44)

− Λ3 r2 . Toto je Schwarzschildova-de Sitterova metrika.

• Pro z´aporn´e Λ vˇsak obdrˇz´ıme jeˇstˇe jedno ˇreˇsen´ı: ds2 = −E 2 sin2 (x)dt2 +

−1 −1 sin2 (y)dφ2 + (dx2 + dy 2 ). Λ Λ

(3.440 )

Pro kladn´e kosmologick´e konstanty jsme dok´azali ˇc´ asteˇcnou analogii Birkhoffova teor´emu:12 Jedin´e statick´e sf´ericky symetrick´e vakuov´e ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic s kladnou kosmologickou konstantu je Schwarzschieldovo-de Sitterovo. Pro z´apornou kosmologickou konstantu je pˇr´ıpustn´e jeˇstˇe jedno ˇreˇsen´ı, (3.44’), kter´e vˇsak v tuto chv´ıli nedok´aˇzu fyzik´alnˇe interpretovat.

3.4

Pˇ r´ıpad se tˇ remi ortogon´ aln´ımi Killingov´ ymi vektorov´ ymi poli

Uvaˇzujme nyn´ı pˇr´ıpad, kdy je metrika nez´avisl´ a jeˇstˇe na y, tedy kdy g(y) = h(y) = 1. Tˇret´ı rovnice (2.21) je splnˇena trivi´alnˇe (nic nez´avis´ı na y). Pokud budeme uˇz´ıvat oznaˇcen´ı A = ln(a), B = ln(b), C = ln(c), U = B + C = ln(bc), V = B − C = ln(b/c), dosazen´ım do p´at´e rovnice (2.21) dostaneme vztah 0=

b00 c00 − = B 00 + (B 0 )2 − C 00 − (C 0 )2 = V 00 + V 0 U 0 . b c

(3.45)

Vyj´adˇren´ım V 0 z t´eto rovnice zjist´ıme, ˇze V 0 = D exp(−U ), kde D je konstanta. Jelikoˇz d´ale v´ıme, ˇze U 0 = B 0 + C 0 = pomoc´ı U takto: B0 C0

= =

b0 b c0 c

= =

U 0 +V 0 2 U 0 −V 0 2

= =

1 0 2 (U 1 0 2 (U

(3.46) b0 b

+

c0 c,

+ D exp(−U )) − D exp(−U ))

m˚ uˇzeme B 0 i C 0 vyj´ adˇrit = =

u0 +D 2u , u0 −D 2u ,

(3.47)

kde u = exp(U ) = bc. Nyn´ı dosad´ıme (3.47) do zbyl´ ych tˇr´ı netrivi´aln´ıch rovnic (2.21), 2uu00 − (u0 )2 + D2 , 4u2 0 2uu00 − (u0 )2 + D2 0u − A , 4u2 u u00 . u

Λa2 = A00 + 0 = 2Λa2 = 11

(3.48)

Konstanty D, H a Q byly nastaveny tak, aby metrika splˇ novala (3.43). Ten tvrd´ı, ˇze jedin´e sf´ericky symetrick´e vakuov´e ˇreˇsen´ı Einsteinov´ ych rovnic s nulovou kosmologikou konstantou je ˇreˇsen´ı Schwarzchildovo. 12

23

Dosazen´ım z tˇret´ı do prvn´ı rovnice (3.48) z´ısk´ ame vztah A00 =

(u0 )2 − D2 . 4u2

(3.480 )

Pokud u0 = 0 (identick´a nula, ne jen nulov´ a derivace v nˇejak´em bodˇe), pak i u00 = 0 a dle tˇret´ı rovnice (3.48) mus´ı b´ yt a = 0, coˇz nechceme. Tedy necht’ u0 6= 0 abychom mohli vyj´adˇrit z druh´e rovnice (3.48) 1 u00 1 u0 D2 A0 = − + . (3.4800 ) 2 u0 4u 4uu0 Nyn´ı uk´aˇzeme, ˇze (3.48’) je d˚ usledkem zbyl´ ych dvou rovnic (tj. (3.48”) a tˇret´ı rovnice (3.48)). V´ıme, ˇze 1 u ³ u00 ´0 1 ³ u000 u0 ´ a0 1 (2Λa2 )0 = = − . (3.49) A0 = = a 2 2Λa2 2 u00 u 2 u00 u Dosad´ıme-li za A0 do (3.48”), dostaneme 0=−

u00 u0 D2 u000 + + . + 2u00 2u0 4u 4uu0

(3.50)

Tuto rovnici pˇren´asob´ıme u00 /u0 a m´ame 0=−

D2 u00 u000 1 ³ u00 ´2 u00 + + + . 2u0 2 u0 4u 4u(u0 )2

(3.500 )

Nyn´ı k (3.50) pˇriˇcteme zderivovanou rovnici (3.48”) D2 u00 u000 1 ³ u00 ´2 u00 u000 1 ³ u00 ´2 u00 ³ u0 ´2 D2 u00 u + (u0 )2 + + + + + − − − 2u0 2 u0 4u 4u(u0 )2 2u0 2 u0 4u 2u 4 (uu0 )2 0 2 2 (u ) − D , (3.51) 4u2

A00 = − =

coˇz jsme chtˇeli dok´azat. Cel´a soustava (2.21) je tedy v tomto pˇr´ıpadˇe ekvivalentn´ı (3.50), s t´ım, ˇze a vyj´adˇr´ıme z tˇret´ı rovnice (3.48) a b, c z´ısk´ ame zintegrov´ an´ım (3.47). Zbavme se tedy v (3.50) zlomk˚ u, 0 = −2u000 u0 u + 2(u00 )2 u + u00 (u0 )2 + D2 u00 .

(3.5000 )

V t´eto rovnici se nevyskytuje promˇenn´ a x, jen funkce u a derivace dle x. Uvaˇzujme tedy, ˇze budeme vyjadˇrovat derivace u ne jako funkce x, ale jako funkce u, tedy u0 = p(u), kde p je nov´a funkce. Pro vyˇsˇs´ı derivace u plat´ı u00 = p0 p, resp. u000 = p00 p2 + (p0 )2 p, kde p(u) je derivov´ano dle u. Dosazen´ım do (3.50”) z´ısk´ av´ ame (po vydˇelen´ı p3 ) ³

2p00 u = p0 1 +

D2 ´ . p2

(3.51)

Jelikoˇz (p0 u)0 = p00 u + p0 , m˚ uˇzeme (3.51) pˇrepsat jako ³

D2 ´ ³ D2 ´0 = 3p − , p2 p

(3.510 )

pp0 1 = . 2 2 3p + Cp − D 2u

(3.52)

2(p0 u)0 = p0 3 + coˇz lze snadno integrovat na p0 3p −

D2 p

+C

=

24

Ve jmenovateli na lev´e stranˇe je kvadratick´ y trojˇclen jehoˇz koˇreny jsou √ −C ± C 2 + 12D2 λ1,2 = . 6

(3.53)

Z (3.53) je zˇrejm´e, ˇze dvojn´asobn´ y koˇren existuje jen pro C = D = 0, jinak λ1 6= λ2 a pro vˇsechny volby C a D jsou oba koˇreny re´aln´e, takˇze rozklad na parci´aln´ı zlomky si m˚ uˇzeme dovolit. Nejdˇr´ıve co s dvojn´asobn´ ym koˇrenem: 3p2

3 pp0 pp0 1 1 = 2 = (ln(p))0 = (ln(u))0 ⇔ p = Eu 2 , 2 + Cp − D 3p 3 2

(3.54)

kde E je konstanta. Po uv´aˇzen´ı, ˇze u0 = p(u), tedy z´ısk´ av´ ame rovnici 3 −2 1 u0 = Eu 2 ⇔ √ = Ex + F ⇔ u = , u (Gx + H)2

(3.55)

kde F je integraˇcn´ı konstanta a G = −E/2, resp. H = −F/2 jsou nov´e konstanty. Po dosazen´ı do (3.48c) vyj´adˇr´ıme a2 jako 3G2 . (3.55) a2 = Λ(Gx + H)2 Z (3.47) nakonec vypoˇcteme b, c (zde pˇrihl´edneme k tomu, ˇze D = 0), √ K , (ln(b))0 = 21 (ln(u))0 ⇔ b = K u = (Gx+H) √ 1 L 0 0 (ln(c)) = 2 (ln(u)) ⇔ c = L u = (Gx+H) .

(3.56)

V´ ysledn´a metrika m´a tedy podobu ds2 =

³ ´ 1 1 2 2 2 2 2 2 −L dt + K dφ + (dx + dy ) . (Gx + H)2 (Gx + H)2

(3.57)

Nyn´ı zpˇet k pˇr´ıpadu, kdy λ1 6= λ2 . Plat´ı pak pp0 λ1 1 −λ2 1 pp0 = + . = 2 2 3p + Cp − D 3(p − λ1 )(p − λ2 ) 3(λ1 − λ2 ) p − λ1 3(λ1 − λ2 ) p − λ2

(3.58)

Dosazen´ım do lev´e strany (3.52) a vyintegrov´ an´ım z´ısk´ av´ ame vztah λ1

−λ2

3

(p − λ1 ) λ1 −λ2 (p − λ2 ) λ1 −λ2 = Eu 2 ,

(3.59)

kde E m´a funkci integraˇcn´ı konstanty. Dosazen´ım za p(u) tak dost´av´ ame rovnici ekvivalentn´ı s (3.50), kter´a je sice prvn´ıho ˇr´adu, ale m´a v´ yraznˇe komplikovanˇejˇs´ı strukturu: λ1

−λ2

3

(u0 − λ1 ) λ1 −λ2 (u0 − λ2 ) λ1 −λ2 = Eu 2 .

3.5

Pˇ r´ıpad se dvˇ ema exponencielami

Posledn´ı zat´ım nediskutovanou moˇznost´ı je pˇr´ıpad, kdy g(y) = exp(Ky), h(y) = exp(Ly).

25

(3.590 )

Nepodaˇrilo se mi s n´ım pˇr´ıliˇs mnoho udˇelat. Zredukoval jsem ho jen na tˇri obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice pro jednu funkci: Pouˇzijeme stejn´e znaˇcen´ı jako v ˇc´ asti 2.4, tj. A = ln(a), B = ln(b), C = ln(c), U = B +C = ln(bc), V = B − C = ln(b/c). Pak z posledn´ı rovnice (2.21) z´ısk´ av´ ame vztah 0 = B 00 + (B 0 )2 + K 2 − C 00 − (C 0 )2 − L2 = V 00 + V 0 U 0 − (L2 − K 2 ).

(3.60)

Povaˇzujeme-li jej za rovnici pro V 0 , je jej´ı fundament´ aln´ı syst´em V 0 = χ exp(−U ),

(3.61)

kde χ je libovoln´a konstanta. Pro nalezen´ı ˇreˇsen´ı s pravou stranou (tj. s (L2 −K 2 )) pouˇzijeme variaci konstant. Uvaˇzujme, ˇze χ = χ(x). Pak dosazen´ım (3.61) do (3.60) z´ısk´ ame vztah χ0 = (L2 − K 2 ) exp(U ).

(3.62)

Zavedeme tedy funkci ψ(x), pro kterou bude platit ψ 0 = exp(U ) (je urˇcena jednoznaˇcnˇe aˇz na konstantu). Vzhledem ke tvaru (3.62) m˚ uˇzeme tuto konstantu zvolit takovou, aby platilo 2 2 0 0 χ = (L − K )ψ. Pak B , C m˚ uˇzeme zapsat jako B0

=

C0

=

U 0 +V 0 2 U 0 −V 0 2

= =

ψ 00 +(L2 −K 2 )ψ , 2ψ 0 ψ 00 −(L2 −K 2 )ψ . 2ψ 0

(3.63)

Zbylou metrickou funkci vyj´adˇr´ıme pomoc´ı ˇctvrt´e rovnice (2.21) 1 ψ 000 . 2Λ ψ 0

(3.64)

(a2 )0 1 ³ ψ (4) ψ 00 ´ = − 0 , 2a2 2 ψ 000 ψ

(3.640 )

a2 = Z toho jiˇz snadno derivac´ı obdrˇz´ıme rovnici A0 =

kde ψ (4) znaˇc´ı ˇctvrtou derivaci ψ dle x. Dosazen´ım do zb´ yvaj´ıc´ıch tˇr´ı rovnic (2.21) z´ısk´ ame vztahy ³

ψ 000 ψ0

=

0

=

0

=

´ ³ ´2 2 2 )2 ψ 00 0 ψ 000 1 ψ 00 + + + (L −K (ψ 0 )2 + K 2 + L2 , 0 0 ψ ψ 2 ψ0 2 ³ ³ ´ ´ 2 (L2 −K 2 )2 ψ 000 1 ψ 00 0 )2 − K 2 − L2 + ψ (4) − ψ 00 ψ 00 , + + (ψ 0 0 000 0 0 ψ ³ 00 2 2ψ 2 ´ 2³ 00 ´ ³ (4) ψ 00 ´ ψ ψ 2 2 )ψ )ψ +L ψ −(L2ψ−K − 21 ψψ000 − ψψ0 (K + L). K ψ +(L2ψ−K 0 0 ψ (4) ψ 000

−

Bohuˇzel ty se mi nepodaˇrilo d´ale v´ yraznˇeji zjednoduˇsit.

26

(3.65)

Kapitola 4 Z´ avˇ er V t´eto pr´aci jsme se zab´ yvali statick´ ymi axi´alnˇe symetrick´ ymi ˇreˇsen´ımi Einsteinov´ ych rovnic s nenulovou kosmologickou konstantou. Speci´alnˇe jsme se zaj´ımali o to, zda a kdy jde metrika a poln´ı rovnice uv´est do podobnˇe jednoduch´eho tvaru, jako ve Weylovˇe pˇr´ıpadˇe bez kosmologick´e konstanty. Pˇrestoˇze v obecn´em pˇr´ıpadˇe se n´am Weyl˚ uv postup zopakovat nepodaˇrilo, pˇri nˇekter´ ych speci´aln´ıch tvarech metriky lze poln´ı rovnice vyˇreˇsit. Pokud konkr´etnˇe odmocnina z determinantu metriky (2.8b) je vlastn´ı funkc´ı Laplaceova oper´atoru, vedou rovnice k jednoduch´e podm´ınce pro jednu z metrick´ ych funkc´ı, na z´akladˇe jej´ıˇz znalosti jsme d´ale schopni vyj´adˇrit (pokud existuj´ı) i zbyl´e dvˇe. Kromˇe toho, jsou-li metrick´e funkce separovan´e, je moˇzno (aˇz na dvˇe vˇetve) ˇreˇsen´ı popsat explicitnˇe. Tento pˇr´ıpad zahrnuje mj. vˇsechny statick´e sf´ericky symetrick´e vakuov´e prostoroˇcasy.

27

Literatura [1] J. Kop´aˇcek: Matematick´ a anal´yza pro fyziky 2, Matfyzpress, Praha 1998. [2] J. Kop´aˇcek: Matematick´ a anal´yza pro fyziky 3, Matfyzpress, Praha 2002. [3] H. Stephani et al.: Exact solutions of Einstein’s field equations, CUP, Cambridge 2003. [4] J. L. Synge: Relativity: The general theory, North-Holland, Amsterdam 1960. [5] R. M. Wald: General Relativity, University of Chicago press, 1984.

28