Week 2_ Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels

Week 2_2 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels

2

Basiswiskunde_Week_2_2.nb

1.2 Voorbeeld Beschouw de uitdrukking

x 2 +3 x x-4 2

in de buurt van x = 2.

Als x op 2 lijkt, dan lijken x + 3 x op 4 + 6 = 10 en x - 4 op 2 - 4 = -2 . De breuk

x 2 +3 x x-4

lijkt op -5.

x 2 +3 x xØ2 x-4

Notatie lim

= -5 .


1.2 Limiet Beschouw de uitdrukking

x 2 +3 x x-4 2

in de buurt van x = 2.

Als x op 2 lijkt, dan lijken x + 3 x op 4 + 6 = 10 en x - 4 op 2 - 4 = -2 . De breuk

x 2 +3 x x-4

lijkt op -5.

x 2 +3 x xØ2 x-4

Notatie lim

= -5 .

Definitie Gegeven functie f HxL, getallen a en L. lim f HxL = L wil zeggen dat hoe meer x œ DHf L op a gaat lijken, maar x ∫ a, hoe meer f HxL op L gaat lijken. xØa

f HxL

Y

L

X

a

3

4


1.2 Eenvoudige voorbeelden 1 xØ3 x-3

(1) lim

bestaat niet .

(2) Men schrijft wel lim

1

2 xØ0 x

2 x 2 -x-15 x-3 xØ3

(3) lim

sinHxL x xØ0

(4) lim

=¶ .

Hx-3L H2 x+5L x-3 xØ3

= lim

2 x+5 1 xØ3

= lim

= 11

= 1 want

1.0 0.5 -2

-1

1 -0.5 -1.0

2

3

4


1.2 Voorbeeld 1 Bepaal lim xØ4

Dan lim xØ4

x -2 x 2 -16

x -2 x 2 -16

= 1.

x -2 xØ4 Hx-4L Hx+4L

= lim

x -2

xØ4 J x -2N J x +2N Hx+4L

= lim

xØ4 J x +2N Hx+4L

= lim

1

=

1 . 32

5

6


1.2 Voorbeeld 2 Bepaal lim xØ3

6 x 2 -9

-

6 xØ3 Hx-3L Hx+3L

Dan lim

1 . x-3

-

1 Hx-3L

6-x-3 xØ3 Hx-3L Hx+3L

= lim

-1 xØ3 x+3

= lim

= - 1. 6


1.2 Uitrekenen limieten Stelling 2

Gegeven lim f HxL = L , lim gHxL = M en k een constante. xØa

xØa

Dan geldt

lim Hf HxL + gHxLL = L + M

xØa

lim k f HxL = k L

xØa

lim f HxL gHxL = L M

xØa

f HxL gHxL xØa

lim

=

L M

mits M ∫ 0

lim Hf HxLLmên = Lmên , L ¥ 0, m en n in N

xØa

7

8


1.2 Insluitstelling Stelling 3 (Squeeze Theorem)

hHxL

gHxL

f HxL

L

a

Laat f HxL § gHxL § hHxL voor alle x in interval rond a. Laat lim f HxL = L en lim hHxL = L . xØa

xØa

Dan geldt dat lim gHxL = L

Voorbeeld: er geldt dat -x 2 § x 2 sinJ 1 N § x 2 voor x ∫ 0, dus lim x 2 sinJ 1 N = 0 . xØa

x

xØ0

x


1.2 Vraag 1 Gegeven lim

f HxL

= -2.

(a) Wat is lim f HxL ? 2 xØ0 x

f HxL xØ0 x xØ0

(b) Wat is lim

?

(a) Er geldt dat lim f HxL = lim f HxL xØ0 x xØ0

(b) Er geldt dat lim

xØ0

= lim

f HxL x2

f HxL

2 xØ0 x

ÿ x 2 = -2 μ 0 = 0 ÿ x = -2 μ 0 = 0

9

10


1.2 Vraag 2 Bepaal lim

x-1 - 3 x+1 x

xØ0

.

Merk op dat als x Ø 0, dat dan x - 1 = 1 - x en 3 x + 1 = 3 x + 1. Dus lim xØ0

x-1 - 3 x+1 x

1-x-H3 x+1L x xØ0

= lim

-4 x xØ0 x

= lim

= -4.


1.2 Eenzijdige limieten * Bestudeer dit onderdeel zelf. Beschouw onderstaande grafiek van een functie f . Y

f HxL

L

M

X

a Dan lim f HxL = lim f HxL = L en lim f HxL = lim f HxL = M . xØa-

xÆa

xØa+

x∞a

11

12


1.4 Inleiding Beschouw onderstaande grafiek van een functie f .

Y f HbL

f

L f HaL

a

b

c

X

Dan geldt het volgende:

lim f HxL = f HaL, lim f HxL = L ∫ f HbL, lim f HxL bestaat niet

xØa

xØb

xØc

Alleen in punt a sluit de grafiek mooi aan bij de functiewaarde f HaL.


1.4 Continuïteit

Gegeven een functie f en een punt a met a in het domein DHf L.

Als lim f HxL = f HaL, dan is de functie f continu in het punt a xØa

Als een functie continu is in ieder punt van een interval, dan is de functie continu op van het interval.

13

14


1.4 Combineren en continuïteit Stelling 6 Combineren van continue functies

Gegeven: lim f HxL = f HcL , lim gHxL = gHcL en een constante k. xØc

xØc

Dan geldt

é lim Hf HxL + gHxLL = f HcL + gHcL xØc

é lim k f HxL = k f HcL xØc

é lim f HxL gHxL = f HcL gHcL xØc

f HxL xØc gHxL

é lim

=

f HcL gHcL

mits gHcL ∫ 0

é lim Hf HxLLmên = f HcLmên , f HcL ¥ 0, m en n in N xØc

Dus als de functies f en g continu zijn in c, dan zijn de functies f + g, k f , f g, f g

mits gHcL ∫ 0 en f mên mits f HcL ¥ 0 continu in c.


1.4 Samenstellen en continuïteit Stelling 7 Samengestelde functies en continuïteit.

Gegeven functies f en g met c in DHgL en met b = gHcL in DHf L zodanig dat lim gHxL = gHcL en lim f HxL = f HbL. xØc

xØb

g b

f

c

b

Dan lim f HgHxLL = f HgHcLL ofwel f ëg is continu in punt c. xØc

15

16


1.4 Vuistregel Formulefuncties zijn continu op hun domein. De vuistregel is vooral gebaseerd op stelling 6 en 7 van deze sectie. De vuistregel wordt gebruikt bij het schetsen van functies. Het maken van grafieken mbv wiskundige software en grafische rekenmachines is gebaseerd op de vuistregel.


1.4 Voorbeeld 1 f HxL =

x ; x+1

DHf L = H-¶, -1L ‹ H-1, ¶L

3

2

1

-2

2 -1

4

17

18


1.4 Voorbeeld 2 f HxL =

x ; DHf L = @0, ¶L 3

2

1

-1

1

-1

2

3

4


1.4 Voorbeeld 3

f HxL = tanHxL; DHf L bestaat uit alle x in R behalve x =

p 2

+ k p, k in Z.

3

2

1

-2

2 -1 -2 -3

4

6

19

20


1.4 Tussenwaardestelling Stelling 9 (The Intermediate-Value Theorem) Gegeven is een continue functie f op een interval @a, bD met f HaL ∫ f HbL en een s tussen f HaL en f HbL.

f HbL

f

s

f HaL

a

c

b

Dan bestaat er een c in het interval Ha, bL zodanig dat f HcL = s. Opmerkingen: De stelling zegt alleen dat zo'n c bestaat; niet hoeveel het er zijn en hoe je ze kunt vinden. De grafiek van een continue functie kan altijd getekend worden zonder pen/potlood van het papier te lichten.


1.4 Voorbeeld De tussenwaardestelling wordt gebruikt bij zoeken van nulpunten. Beschouw de functie f HxL = x 3 - 3 x + 1. Deze functie is continu. Een derdegraads polynoom kan drie nulpunten hebben. Met wat uitproberen vinden we: f H-2L = -1, f H-1L = 3; dus in interval @-2, -1D is een nulpunt, f H0L = 1, f H1L = -1; dus in interval @0, 1D is een nulpunt, f H1L = -1, f H2L = 3; dus in interval @1, 2D is een nulpunt.

Omdat er hooguit drie nulpunten zijn, zit in ieder interval één nulpunt. De grafiek van f ziet er als volgt uit:

f

5

-3

-2

-1

1 -5

2

3

21

22


1.4 Minmax-stelling *

Stelling 8 Gegeven is een continue functie f op het interval @a, bD.

M f

f HbL f HaL m

a

p

q

b

Dan heeft de functie f een absoluut minimum m = f HpL en een absoluut maximum M = f HqL voor zekere p en q in het interval @a, bD. Opm1 Het absolute maximum en/of minimum kunnen op rand liggen. Opm2 De stelling zegt niets over aantal extrema en hun plaats. Opm3 Tussen twee nulpunten van een continue functie zal een extremum zijn.

Week 2_ Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels

Recommend Documents