p05 – 1
5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je deformace chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů tělesa a změnami úhlů daných třemi body tělesa při dodržení jeho spojitosti. Tyto změny jsou však pozorovatelné jen na povrchu tělesa, zatímco v praxi se mohou vyskytnout i případy, u nichž dochází k deformacím jen uvnitř tělesa, aniž by se podstatně měnily jeho rozměry a tvar. Např. v případě lokálních objemových změn vlivem nerovnoměrnosti teploty nebo nerovnoměrných fázových přeměn v materiálu (svařování, kalení a jiné technologické operace) dochází k deformačním posuvům části vnitřních bodů tělesa. Jestliže okolní materiál je značně tuhý, mohou být změny tvaru a rozměrů tělesa zanedbatelné, i když deformační posuvy některých vnitřních bodů tělesa v důsledku těchto procesů jsou tak velké, že vedou ke vzniku mezních stavů (např. vznik trhlin při kalení nebo svařování). Deformaci tělesa je tedy třeba vymezit obecněji: Deformace tělesa je změna tvaru a rozměrů tělesa a změna tvaru a rozměrů každého jeho prvku vymezeného ve výchozím stavu. Abychom mohli deformaci matematicky popsat, potřebujeme definovat polohu bodů tělesa pomocí polohových vektorů jak ve výchozím (nedeformovaném), tak v zatíženém (deformovaném) stavu. OBSAH
další
p05 – 2 K popisu můžeme použít dvě různé vztažné soustavy, v nichž definujeme souřadnicové systémy, nejčastěji kartézské: a) globální – počátek spojen se základním tělesem, b) lokální – počátek spojen s libovolným vybraným bodem tělesa a osami vhodně orientovanými vzhledem k řešenému problému. (Takovýto souřadnicový systém jsme např. použili při rozkladu obecného napětí f~ v řezu na složku normálovou a smykovou.)
vztažný systém obecné napětí
Změna polohového vektoru kteréhokoli bodu tělesa znamená posuv tohoto bodu; protože těleso jako celek nekoná pohyb vůči globálnímu souřadnicovému systému, v němž definujeme polohové vektory, je tento posuv dán deformací tělesa a jedná se tedy o deformační posuv (~rd = ~rA0 − ~rA ). Posuv (deformační posuv) bodu tělesa je dán změnou jeho polohového vektoru. Je-li posuv dvou bodů tělesa různý, mění se vlivem deformace jejich vzdálenost; tuto změnu délky je možné vypočítat odečtením vektorů jejich posuvů. Definujeme-li na tělese jakýkoli úhel pomocí tří jeho bodů, vektorová algebra umožňuje ze změny polohových vektorů těchto tří bodů vypočítat změnu tohoto úhlu. Lze tedy říci, že z posuvů bodů tělesa lze určit jakýkoli jeho deformační parametr. Deformace tělesa je jednoznačně dána množinou posuvů všech jeho bodů. Posuvy bodů tělesa jsou jeho základními deformačními charakteristikami, které umožňují stanovit délkové a úhlové změny v tělese. předchozí
OBSAH
další
p05 – 3 posuv změna polohy bodu tělesa
délkové změny změna vzdálenosti dvou bodů
úhlové změny změna úhlu daného třemi body tělesa
Významnou vlastností deformace je, že ji lze omezeně pozorovat a měřit. Omezeně proto, že jsme schopni měřit jen konečný a prakticky značně omezený počet deformačních charakteristik tělesa. Pro posouzení deformačních mezních stavů tedy není nutné popisovat deformaci tělesa úplně, ale stačí vybrat pouze ty charakteristiky, které jsou důležité z funkčního hlediska. Například u rotujícího hřídele, na který je nasazeno kolo, je důležité posoudit – průhyb hřídele v místě rotoru, – úhel prohnutí v místě ložisek, – změnu průměru rotoru v důsledku odstředivých sil. předchozí
OBSAH
další
p05 – 4 Deformace tělesa je obecně v každém jeho bodě různá, proto k popisu lokální deformace zavádíme veličinu deformace v bodě tělesa. Zavedení této veličiny můžeme ilustrovat pomocí experimentu, znázorněného na obrázku. Na povrchu tělesa je narýsována pravidelná pravoúhlá síť, která se při zatěžování tělesa deformuje.
Při hrubé síti a nerovnoměrné deformaci tělesa dojde k tomu, že každý z původně stejných čtverců sítě bude mít po deformaci jiný tvar. Budeme-li tuto síť zhušťovat, dospějeme do stádia, kdy sousední čtverce zůstanou i po deformaci téměř geometricky podobné. Deformace uvnitř vyznačeného čtverce pak již bude prakticky homogenní → stejná ve všech jeho bodech. Nerovnoměrnost pole deformací v tělese rozhoduje o tom, při jaké jemnosti“ ” sítě k tomu dojde. Naprosto přesně to lze zajistit pouze nekonečným zmenšením délky hrany čtverce, tj. limitním přechodem a → 0. Protože v trojrozměrném prostoru představuje čtverec sítě elementární prvek ve tvaru krychle, můžeme pak deformaci této krychle ztotožnit s deformací v libovolném jejím bodě.
předchozí
OBSAH
další
p05 – 5 Deformace elementární krychle je dána poměrnými změnami délek tří jejích hran a tří úhlů mezi jejími stěnami, popsanými následujícími vztahy: – délková přetvoření (poměrná změna délek): 0 − dx , ε = dy 0 − dy , ε = dz 0 − dz εx = dx dx y z dy dz (ε > 0 → prodloužení, ε < 0 → zkrácení), – úhlová přetvoření – zkosy (změna pravých úhlů): π π γxy = π 2 − ϕxy , γxz = 2 − ϕxz , γyz = 2 − ϕyz .
Tyto veličiny lze podobně jako složky napětí uspořádat do čtvercové matice popisující v dané souřadnicové soustavě tenzor přetvoření Tε (někdy nepřesně nazývaný tenzor deformace).
εx
γyx Tε = 2
γzx 2
γxy 2
γxz 2
εy
γyz 2
γzy 2
εz
Tenzor přetvoření je tedy určen šesti souřadnicemi, a to třemi délkovými a třemi úhlovými přetvořeními. Pak lze vyslovit následující definici: Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního prvku tělesa, který tento bod tělesa obsahuje. Je popsána tenzorem přetvoření Tε .
předchozí
OBSAH
další
p05 – 6 Termín deformace“ může tedy znamenat dvě různé fyzikální veličiny: ” 1. deformační posuvy [mm], 2. přetvoření – poměrná bezrozměrná veličina. Mezi těmito významy je třeba přesně rozlišovat.
předchozí
OBSAH
otázka Kontrolní otázky
následující kapitola
