Přehled příkladů 1) Valivý pohyb, zákon zachování energie 2) Těžiště tělesa nebo moment setrvačnosti – výpočet integrací - viz http://kf.upce.cz/dfjp/Momenty_setrvacnosti.pdf
Nejčastější chyby: záměna „momentu setrvačnosti“ za „těžiště“ špatně zvolený způsob integrace (rozdělení tělesa na elementární dílky) nesprávná volba souřadného systému
3) Volné kmity nebo kyvadlo kmitání ve vodorovném směru jsme dělali už v základech fyziky, je tam stejná finta jako u kmitání vertikálního, jen proti setrvačné síle nepůsobí tíhová, ale třecí; u fyzikálního kyvadla si jen DVA!!!!! studenti ráčili zapamatovat, že ve třetí písmeno ve jmenovateli pod odmocninou (kromě m-hmotnosti a g-tíhového zrychlení) je
vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace 4) Tlumené kmity včetně výpočtu rezonanční frekvence nuceného kmitání Nejčastější chyby: záměna energie a amplitudy záměna „o“ a „na“ vynechání výpočtu rezonanční úhlové frekvence nebo periody volných kmitů, tj. nesplnění všech otázek zadání 5) Vlnění - výpočet vlnové délky a frekvence vlnění ze známé hodnoty výchylky zadaného bodu v zadaném čase Nejčastější chyby: špatně zapsané zadání neznalost vzorců záměna úhlové a obyčejné frekvence!!! 6) Coriolisova síla – nemám slov, hlášky typu „to je to jediné, co jsem pochopil(a)“ byly zcela mimo realitu bez obrázku se to většinou správně vypočítat nedá, do vzorce je třeba dosadit skutečný úhel mezi rychlostí a úhlovou rychlostí Země a ne to, co vás zrovna napadne chybějící dvojka ve vzorci podstatně mění výsledek není na škodu umět spočítat rychlost volného pádu nestačí číslo, je třeba i uvést směr a orientaci síly rozdíl tři řády ve výsledku nelze přehlédnout
„záchranné“ vzorečky v žádném případě nesmí obsahovat řešené příklady
Valivý pohyb, zákon zachování energie
Zadání: Na vrchol dokonale hladkého válce o poloměru R se ve směru kolmém k podélné ose válce po vodorovné příčce přivalí rychlostí v0 menší dutý válec s poloměrem r (osy obou těles jsou rovnoběžné). Určete jaký úhel (ve stupních), svírá v kolmém řezu spojnice os obou válců se svislou rovinou v okamžiku, kdy se menší válec oddělí od stěny válce, jestliže předtím se bez prokluzování valí po povrchu většího válce.
Řešení: 1)
ZZE (pohybuje se malý válec, pro něj budeme řešit zákon zachování energie):
Celková mechanická energie se zachovává. Na začátku děje se malý válec valí po vodorovné rovině, jeho výška nad Zemí je rovna (2R+r), jeho celková energie je součtem energie kinetické energie Ek0 a potenciální energie Ep0. potenciální energie
E p0
mg 2 R
kinetická energie
Ek 0
1 mv02 2
1 J 2
2 0
Kdykoli se těleso valí, jeho kinetická energie má dvě části – energii translační a energii rotační!!!
v (měli bychom vědět, že pokud r těleso neprokluzuje, je rychlost bodů na jeho obvodu stejně velká jako rychlost pohybu jeho těžiště, pokud Vám to není jasné na první pohled, promyslete si to, případně nakreslete); Úhlovou rychlost vyjádříme pomocí rychlosti obvodové, tj.
za moment setrvačnosti dosadíme zadané těleso, v tomto případě dutý válec, tj. J
mr 2 .
Celková kinetická energie při valivém pohybu je tedy pro dutý válec vyjádřena vztahem
Ek
1 2 mv 2
1 mr 2 2
v r
2
mv 2
(Pozn.: vypočítejte si celkovou kinetickou energii pro ostatní možná tělesa (plný válec a koule); víc možností pro valení nemáme ) Na začátku děje má tedy valící se dutý válec celkovou kinetickou energii Ek 0
mv02 (vypočítejte si
z cvičných důvodů celkovou kinetickou energii pro ostatní tělesa, která jsme probírali). Tím, jak se valí po velkém válci dolů, klesá jeho výška nad Zemí a tedy potenciální energie. Označme celkový pokles těžiště valícího se válce od počátku pohybu až do okamžiku, který nás zajímá, jako h. Úbytek potenciální energie se přemění na energii kinetickou, tj. na nárůst rychlosti pohybu menšího válce.
mv0 2
v2
mgh
v0 2
mv 2
gh
(V případě pohybu po nakloněné rovině směrem dolů je úvaha obdobná, pro pohyb směrem nahoru je na pravé straně „-gh“, protože potenciální energie roste na úkor původní kinetické energie.)
Valivý pohyb, zákon zachování energie 2) analýza působících sil - nyní je třeba upřesnit, kdy se vlastně těleso oddělí od válce. Jestliže se menší válec valí po kružnici, koná jeho těžiště křivočarý pohyb. Tento pohyb je zrychlený, protože na válec působí síla (tečná složka tíhové síly). Zakřivení trajektorie je působeno normálovou složkou tíhové síly. (Pozn.:
Tíhová síla působí na každé těleso v homogenním tíhovém poli Země a je rovna mg. Pokud svislým směrem není žádné jiné těleso ani na těleso nepůsobí žádná vazba, využije se celá na zrychlený pohyb tělesa. V našem případě ale válec svisle dolů nemůže, brání mu v tom přítomnost velkého válce. Působící sílu si proto musíme rozdělit na složku pohybovou (ve směru tečny – tam válec může) a složku normálovou (tam válec nemůže, tato složka působí zakřivení trajektorie); zamyslete se nad tím, jak se mění velikosti těchto dvou složek, do kterého nejvzdálenějšího okamžiku může teoreticky normálová složka tíhové síly trajektorii těžiště zakřivovat).
tečná složka
Ft
mg sin
normálová složka
FN
mg cos
(Pozn.:
obrázek viz. příklad řešený na cvičení
úhel, se kterým pracujeme, je úhel mezi průvodičem těžiště a svislou přímkou procházející bodem na ose velkého válce.)
Protože menší válec se pohybuje po kružnici o poloměru (R+r), působí na něj setrvačná odstředivá síla Fod
m
v2 R r
Dokud je normálová síla větší než síla odstředivá, válec se valí po podložce; od okamžiku, kdy nastane rovnost, těleso opouští povrch velkého válce a pohybuje se dál šikmým vrhem. Pro řešení příkladu je tedy klíčová podmínka rovnosti obou sil
FN
Fod
mg cos
m
v2 R r
v2 R r
g cos
Rychlost dosadíme ze zákona zachování energie, kosinus hledaného úhlu z pravoúhlého trojúhelníka
cos (Pozn.:
R r h R r
těžiště menšího válce se pohybuje po kružnici zvětšené o poloměr menšího válce.)
g
R r h R r
v02 gh R r
Po jednoduchých algebraických úpravách dostáváme konečný vztah, z něhož můžeme vypočítat h a potom i požadovaný úhel (Pozn.:
g R r
v02
2 gh
pro jiná valící se tělesa bude vztah odlišný - vypočítejte si ho!)
Valivý pohyb, zákon zachování energie R r 2
v02 2g
h
h
R r 2
v02 2g
Hledaný úhel můžeme buď číselně vypočítat (přes h a kosinus), nebo nejdříve obecně vyjádřit pomocí kosinu, který jsme předtím použili pro výpočet
R r h h 1 R r R r
cos
cos
1
h R r
1
1 2
v02 2g R r
1 2
v02 2g R r
(Pozn.: příklad je složitější než písemkové, zahrnuje jak návod na křivočarý pohyb, tak pohyb po nakloněné rovině; při přípravě na písemku doporučuji zvolit si „písemkovou variantu“ a řešení hned od začátku zjednodušit)
Tenká tyč jako fyzické kyvadlo
Zadání: V trojrozměrném prostoru mějme přímku o a tenkou homogenní tyč hmotnosti m a délky L, jejíž těžiště leží pod osou otáčení (ne nutně přímo svisle pod ní, ale v menší výšce nad zemí, než je osa). Proveďte rozbor všech možných umístění tyče vzhledem k ose otáčení a určete, jak vzájemná poloha tyče a osy otáčení ovlivní moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose o. Jaká bude doba kmitu fyzického kyvadla tvořeného touto tyčí, případně několika tyčemi?
Řešení: 3) osa otáčení je rovnoběžná s tyčí a. Osa otáčení prochází tyčí všechny body tyče mají nulovou vzdálenost od osy otáčení, moment setrvačnosti je nulový. b. Tyč je rovnoběžná s osou otáčení, leží ve vzdálenosti d od osy všechny body tyče mají stejnou vzdálenost d od osy otáčení, moment setrvačnosti je md 2 (nezávisle na délce tyče!!!).
(Pozn.: výška rovnostranného trojúhelníka se stranou délky L opravdu není rovna L a není ani
2 ; 2
úhel mezi stranami rovnostranného trojúhelníka není ani 45 ani 90 ) 4) osa otáčení a tyč leží ve stejné rovině, svírají spolu úhel 0 90 a. osa prochází koncovým bodem tyče - příklad jsme řešili na cvičení b. osa neprochází koncovým bodem tyče – počítá se vždy přes Steinerovu větu, je ale, kromě případu 90 , vždy nutno zohlednit, že tyč svírá s osou nějaký úhel, takže vzdálenost jejích bodů od osy otáčení není přímo rovna jejich poloze na tyči 5) osa otáčení a tyč jsou mimoběžné počítá se přes Steinerovu větu, základní moment setrvačnosti J0 počítáme tak, že si tyč posuneme tak, aby její střed ležel na ose otáčení; mohou nastat obdobně jako v předchozím případě vlastně jen dvě možnosti, z nichž druhá je speciálním případem první 1 2 2 a. J0 ml sin 12 1 2 b. J0 ml 12 Vysvětlení už snad každý zvládne sám . Moment setrvačnosti těžiště je samozřejmě dán tím posunutím, které jsme museli použít.
Závěr: Pokud z několika tyčí vytvoříme těleso a budeme počítat dobu kyvu tohoto tělesa, platí a) Moment setrvačnosti je součtem momentů setrvačnosti všech částí (pokud jsme je počítali vůči stejné ose). b) Třetí písmeno ve jmenovateli pod odmocninou (kromě m-hmotnosti a g-tíhového zrychlení)
vzdálenost těžiště (myslí se tím těžiště celého tělesa a ne jeho jednotlivých částí) od osy rotace. je
