VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA OBTÉKÁNÍ A ODPOR TĚLES

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

OBTÉKÁNÍ A ODPOR TĚLES

Jaroslav Janalík

Ostrava 2008

Janalík, J.: Obtékání a odpor těles

VŠB – TU Ostrava, Fakulta strojní

Obsah stran Předmluva....................................................................................................................................... 2 1. Úvod ........................................................................................................................................... 3 2. Mezní vrstva .............................................................................................................................. 4 2.1. Tloušťka mezní vrstvy .......................................................................................................... 4 2.2. Prandtlova rovnice pro mezní vrstvu ..................................................................................... 7 2.3. Odtržení proudu .................................................................................................................... 9 2.4. Úplav .................................................................................................................................... 9 3. Odpor těles .............................................................................................................................. 12 4. Užití věty o změně hybnosti ke stanovení odporu desku..................................................... 15 5. Obtékání desky ....................................................................................................................... 17 5.1. Laminární obtékání desky ................................................................................................... 17 5.2. Turbulentní obtékání desky ................................................................................................. 19 5.3. Obtékání desky kolmé na vektor rychlosti .......................................................................... 22 5.4. Obtékání desky šikmé k vektoru rychlosti ......................................................................... 23 6. Obtékání koule ........................................................................................................................ 26 6.1. Obtékání hladké koule ........................................................................................................ 26 6.2. Sedimentační rychlost......................................................................................................... 31 6.3. Obtékání míče ................................................................................................................... 39 7. Obtékání válce a vybrané aplikace ........................................................................................ 44 7.1. Obtékání válce .................................................................................................................... 44 7.2. Kármánova vírová cesta ..................................................................................................... 48 7.3. Potenciální obtékání válce .................................................................................................. 54 7.4. Magnusova síla................................................................................................................... 57 8. Obtékání profilů ...................................................................................................................... 60 8.1. Síly a momenty působící na profil ....................................................................................... 61 8.2. Polára profilu....................................................................................................................... 66 8.3. Křídlo .................................................................................................................................. 69 8.4. Obtékání profilů při nadzvukových rychlostech ................................................................... 73 9. Obtékání automobilů .............................................................................................................. 80 9.1. Velikost odporové a vztlakové síly ...................................................................................... 80 9.2. Obtékání karoserie automobilu ........................................................................................... 83 9.3. Obtékání automobilů v aerodynamickém tunelu .................................................................. 85 9.4. Spoilery a přítlačná křídla.................................................................................................... 88 10. Odpor vybraných těles ......................................................................................................... 92 11. Aerodynamické tunely ........................................................................................................ 100 Použitá označení ........................................................................................................................ 106 Literatura .................................................................................................................................... 108

1



Předmluva Obtékání těles se zabývá problémem, jak proudící tekutina působí v důsledku tohoto pohybu na pevné těleso vystavené dynamickému působení tekutiny. Pokud je proudící tekutina plyn, potom hovoříme o aerodynamice. Chování tekutiny – kapaliny nebo plynů se podstatně odlišuje od pevných těles. Členění látek (hmoty) na pevné látky a tekutiny vyplývá z jejich rozdílné odezvy na účinek síly, snažící se změnit původní objem a tvar hmotného elementu. Pevné látky vytvářejí značný odpor proti změnám objemu i tvaru vznikem vnitřních napětí, která s přihlédnutím na Hookův zákon jsou úměrná způsobeným deformacím. Tekutiny naopak podléhají deformacím bez ohledu na velikost působící síly, vnitřní napětí vyvolaná v tekutině jsou podle Newtonovy rovnice úměrná gradientu rychlosti. Kapaliny kladou malý odpor pomalým změnám tvaru a naopak, jejich odpor vůči změnám objemu je velký, protože kapaliny jsou téměř nestlačitelné. Plyn v porovnání s kapalinami podléhá snadno jak změnám objemu tak i „tvaru“. Vysvětlení rozdílných vlastností pevných látek, kapalin a plynů vyplývá z rozdílné velikosti přitažlivých mezimolekulárních sil, které jsou u pevných látek největší u plynů jsou naopak tyto síly velmi slabé. Tekutiny při řešení úloh z proudění považujeme za spojité kontinuum. Toto platí i pro plyny, protože v jednotce objemu plynu je velký počet molekul, nebo jinak řečeno Avogadrovo číslo je číslo velké. Pro spojité kontinuum předpokládáme, že je homogenní i isotropní, kapalina i plyn jsou charakterizovány svoji hustotou, která udává hmotnost všech molekul v jednotce objemu. V technických i praktických aplikacích je obtékání i odpor těles je úloha velmi častá a důležitá. Jedná se zejména o obtékání samostatných profilů v letectví, raket, projektilů, profilových mříží u hydrodynamických strojů, obtékání automobilů, budov, štíhlých staveb nebo míčů a pod. Obtékání těles je možné řešit pro proudění ideální nestlačitelné tekutiny, nebo nestlačitelné, ale vazké tekutiny, dále pro proudění ideální, ale stlačitelné tekutiny a pro proudění stlačitelné a současně i vazké tekutiny.

Recenzent: Doc.RNDr. Milada Kozubková, CSc.

2



1. Úvod Při obtékání těles či pohybu tělesa v tekutině vznikají síly a momenty. Výslednou sílu a moment lze rozložit obecně na tři složky, odpor Fx, vztlak Fy a boční sílu Fz a moment klopivý Mz, klonivý Mx a zatáčivý My - obr. 1.1. Při symetrickém obtékání těles pak budou některé z těchto složek rovny nule, obvykle boční síla, klonivý a zatáčivý moment.

Obr. 1.1 Síly a momenty působící na obtékané těleso Nachází-li se těleso v rozlehlém proudu tekutiny, nelze již tak snadno určit rychlostní a tlakové pole kolem tělesa a teoretické stanovení např. odporu a vztlaku je velmi obtížná úloha. Jestliže provádíme výpočet s modelem nevazké tekutiny, dostáváme nulový odpor, což je v rozporu s naší zkušeností (D'Alembertův paradox), neboť i při obtékání těles vzduchem, který má velmi malou viskozitu, vzniká vždy odpor, tj. složka paralelní s vektorem rychlosti. Experimentálně bylo zjištěno, že při velkých Reynoldsových číslech sahá vliv viskozity jen do malé vzdálenosti od povrchu tělesa a tato část proudu se nazývá mezní vrstva; úplav je odplavovaná mezní vrstva. Při obtékání těles se setkáváme s různě velkou rychlostí obtékání, nebo s různě velkou velikosti Machova čísla – Ma. Z praktického hlediska i názvosloví, je výhodné rozdělit proudění podle velikosti Machova čísla. Možné rozdělení uvádí tabulka 1.1 . Tabulka 1.1 Rozdělení proudění podle velikosti Machova čísla Machovo číslo

Druh proudění nestlačitelná tekutina

Ma £ 0,3 0,3 £ Ma £ 0,8 0,8 £ Ma £ 1,4 1,4 £ Ma £ 5 Ma ³ 5

subsonické proudění transsonické proudění supersonické proudění hypersonické proudění

3



2. Mezní vrstva Pojem mezní vrstva byl zaveden Prandtlem a má velký význam v aerodynamice i při obtékání těles, protože metody výpočtu třecího odporu jsou založeny na teorii mezní vrstvy. Pojem mezní vrstva se dá názorně vysvětlit na příkladu obtékání rovinné desky umístěné v rovnoběžném proudu tekutiny, pří čemž deska má stejný směr jako proudnice. Částice tekutiny před deskou mají všechny stejnou rychlost v∞ i směr. Částice, které ulpí na desce mají rychlost nulovou, v blízkosti desky jsou částice tekutiny brzděny pomalejšími částicemi u obtékaného povrchu. Část jejich kinetické energie se přeměňuje třením na teplo. Oblast v těsné blízkosti stěny desky, kde se mění rychlost nebo jinak řečeno, kde existuje gradient rychlosti a tedy platí nerovnost

¶v ¹ 0 se nazývá mezní vrstva. ¶y

Tření na desce stále zbrzďuje částice tekutiny, přinášejí se částice vzdálenější od povrchu do mezní vrstvy. Protože do mezní vrstvy vstupují další částice tekutiny, mezní vrstva směrem po proudu stále narůstá. Rychlostní profily mají spojitý přechod od nulové rychlosti na stěně do plné rychlosti ve vnějším proudu. Úloha je názorně uvedena na obr. 2.1

Obr. 2.1 Mezní vrstva na desce Pro další posouzení proudění v mezní vrstvě je vhodné zavést Reynoldsovo číslo Rex definované vztahem, označení veličin je zřejmé z obr. 2.1

Re x =

v¥ x . n

( 2.1)

V dostatečné vzdálenosti od náběžné hrany jsou si rychlostní profily podobné a nezávislé na vzdálenosti x. Má-li nabíhající proud nulovou turbulenci, vznikne na začátku desky laminární mezní vrstva, která pro Rex = 100 000 přechází v mezní vrstvu turbulentní s laminární podvrstvou. Mezi laminární a turbulentní mezní vrstvou existuje jistá přechodná oblast. Má-li nabíhající proud určitou turbulenci, potom na počátku desky laminární mezní vrstva nevznikne a turbulentní mezní vrstva se může nastavit již od náběžného bodu. 2.1. Tloušťka mezní vrstvy Na obr. 2.2 A je znázorněn vývoj mezní vrstvy při obtékání desky. Jsou znázorněny rychlostní profily pro laminární a turbulentní mezní vrstvu – obr.2.2 B, turbulentní rychlostní profil je plnější, toto je způsobeno turbulencí v mezní vrstvě. Gradient rychlosti na stěně je pro laminární mezní vrstvu menší než pro vrstvu turbulentní – obr 2.2 C. Tloušťka mezní vrstvy δ je obvykle malá ve srovnání s charakteristickým rozměrem obtékaného tělesa, dosahuje setiny nebo tisíciny charakteristické délky tělesa. Tloušťka mezní vrstvy δ – obr. 2.3 je kolmá vzdálenost od desky, kde rychlost dosáhne smluvní velikosti, obvykle 99% rychlosti v ¥ , proto platí v = 0,99.v ¥ . Tloušťka mezní vrstvy není 4



pojem přesně definovaný, protože rychlost v mezní vrstvě se od stěny blíží k rychlosti vnějšího proudu asymptoticky. Vedle konvenční tloušťky mezní vrstvy δ existují ještě další definice

Obr. 2.2 Rychlostní profil u laminární a turbulentní mezní vrstvy Posunovací (odtlačovací) tloušťka mezní vrstvy - δ* udává posunutí obtékaného profilu do proudu tekutiny tak, aby průtok skutečné tekutiny mezní vrstvou a průtok dokonalé

Obr. 2.3 Schéma mezní vrstvy pro určení posunovací tloušťky tekutiny kolem posunutého obrysu byl stejný. Je tedy měřítkem relativního úbytku průtoku v mezní vrstvě – obr. 2.3 5



Definujme objemový průtok, který protéká mezní vrstvou a tento porovnáme s průtokem, který protéká rychlostí v∞ posunovací tloušťkou d

Q = ò vdy = (d - d * ).1.v ¥ , 0

pro tloušťku δ platí d

d = ò dy , 0

úpravou těchto dvou rovnic stanovíme posunovací tloušťku d

d =d -ò *

0

¥ æ v v ö ÷dy . dy = ò çç 1 v¥ v ¥ ÷ø 0è

( 2.2)

Obr. 2.4 Schéma mezní vrstvy pro určení impulsní tloušťky Impulsová tloušťka - δ** je určena obdobně tak, aby se úbytek hybnosti částic skutečné tekutiny v mezní vrstvě vyrovnal hybnosti částic dokonalé tekutiny protékající mezi posunutým obrysem o δ** a skutečným obrysem. Udává tedy relativní úbytek hybnosti tekutiny. Při odvození vyjdeme z definice průtokové hybnosti - obr 2.4. 2

H = Qm .v ¥ = r .d * * .v ¥ .1.v ¥ = r .d * * .v ¥ . Hybnost v impulsové tloušťce a v celé mezní vrstvě musí být stejná, proto platí d

r.d * * .v ¥ .1.v ¥ = r.d * * .v ¥ = r.1ò (v - v ¥ )v .dy , 2

0

6



z této rovnice pro impulsovou tloušťku dostaneme

d

**

¥

æ v ö v ÷ .dy . = ò çç 1 v ¥ ÷ø v ¥ 0è

( 2.3)

Energetická tloušťka mezní vrstvy - J , která udává relativní úbytek energie se odvodí obdobným způsobem a je určena rovnicí ¥ æ v2 ö v J = ò çç 1 - 2 ÷÷ dy . v¥ ø v¥ 0è

( 2.4)

2.2. Prandtlova rovnice pro mezní vrstvu Proudění ideální (nevazké) tekutiny je popsáno Eulerovou rovnicí. Tato rovnice však nerespektuje vliv tření tekutiny na obtékaném povrchu tělesa, kde rychlost tekutiny je nulová. Prandtl předpokládal, že v tenké vrstvě tekutiny na povrchu tělesa roste rychle s rostoucí vzdáleností y od stěny tangenciální složka rychlosti z nulové hodnoty rychlosti na povrchu tělesa až k hodnotě rychlosti v nerozrušeném proudu na vnějším okraji této vrstvy. V proudovém poli vně této tzv. mezní vrstvy převažuje vliv setrvačných sil nad silami vazkými a zde k popisu proudění můžeme použít Eulerovu rovnici.

Obr. 2.5 Schéma mezní vrstvy na obtékaném tělese Proudění uvnitř mezní vrstvy je charakterizováno tím, že síly setrvačné a třecí jsou přibližně stejného řádu a proudění je proto popsáno Navierovou-Stokesovou rovnicí. Předpokládejme obtékané těleso, jehož řez je na obr. 2.5. Protože mezní vrstva je velmi tenká, můžeme zanedbat její křivost a pracovat v kartézských souřadnicích. Uvnitř mezní vrstvy uvažujeme ustálené dvourozměrné proudění nestlačitelné tekutiny, charakterizované složkami rychlosti vx a vy. Předpokládejme, že se dále zanedbá vliv vnějších objemových sil, Navierova-Stokesova rovnice se pak zjednoduší a ve vektorovém tvaru se zapíše

vgradv = -

1 gradp + u Dv r ,

a rovnice kontinuity

divv = 0 . 7



Pro dvojrozměrný případ obtékání tělesa, můžeme vektorové rovnice v kartézském souřadném systému psát

¶v x ¶v x ¶ 2v x ¶ 2v x 1 ¶p vx + +n ( 2 + vy = ), ¶x ¶y r ¶x ¶y 2 ¶x

( 2.5)

¶ 2v y ¶ 2v y 1 ¶p +n( 2 + ), r ¶y ¶x ¶y 2

( 2.6)

¶v y ¶x

vx +

¶v y ¶y

vy = -

¶v x ¶v y + =0 ¶x ¶y

( 2.7) Analytické řešení této soustavy nelineárních parciálních diferenciálních rovnic nám současné matematické prostředky neposkytují. V některých speciálních případech lze rovnice redukovat na obyčejné diferenciální rovnice. Možné je však numerické řešení, prakticky pro libovolné okrajové a počáteční podmínky. Jsou však také možná asymptotická řešení v limitních případech, a to pro tekutinu velmi vazkou nebo pro tekutinu málo vazkou, tedy pro proudění s vysokým Reynoldsovým číslem. Toto provedl Prandtl v roce 1904, získané rovnice nesou jeho jméno. Prandtl předpokládal, jak již bylo řečeno, že v mezní vrstvě proudí vazká tekutina a vně mezní vrstvy je možné zanedbat viskozitu tekutiny a proudění je zde popsáno rovnicí pro ideální tekutinu, tedy rovnicí Eulerovou. Při odvození rovnic Prandtl vychází z úvahy srovnat řád funkcí, jejichž argument nabývá určitých hodnot v uvažovaném oboru, při čemž zanedbává členy vyšších řádů. Dále předpokládá, že : - tlak podél desky (ve směru x) je konstantní a platí

¶p = 0, ¶x

- tlak v mezní vrstvě na kolmici k obtékanému povrchu je stejný (tlak je konstantní)

¶p =0 ¶y

Z toho vyplývá, že se tlak z vnějšího proudu přenáší přes mezní vrstvu k povrchu tělesa beze změny. Prandtl v rovnicích ( 2.5), ( 2.6) a ( 2.7) definoval velikosti jednotlivých členů a členy malé řádu δ zanedbal a pro mezní vrstvu dostal zjednodušenou rovnici mezní vrstvy, která nese jeho jméno.

¶v x ¶v x ¶ 2v x vx + vy = n , ¶x ¶y ¶y 2 ¶v x ¶v y + = 0. ¶x ¶y

( 2.8) ( 2.9)

Použijeme-li proudovou funkci Ψ jako novou proměnnou, která je definována vztahy známými z potenciálového proudění

vx =

¶Y , ¶y

vy =

¶Y , ¶x

transformují se obě Prandtlovy rovnice a další úpravou se dají převést na rovnici jedinou

¶Y ¶ 2 Y ¶Y ¶ 2 Y ¶ 2Y = 2 . ¶x ¶x¶y ¶x ¶ 2 y ¶ y

( 2.10)

Tato rovnice se dá upravit na obyčejnou diferenciální třetího řádu a je základem pro stanovení součinitele tření při obtékání desky a pro výpočet tloušťky mezní vrstvy na desce. Řešení se dá provést rozvojem v řadu, nebo numericky. 8



2.3. Odtržení proudu

Obr. 2.6 Odtržení mezní vrstvy na zakřiveném povrchu Při obtékání rovinné desky se statický tlak podél desky nemění, protože

¶p = 0 . Jiná ¶x

situace nastává při obtékání těles zaoblených (např. válec, koule, letecký profil apod.), kde dochází ke změně rychlosti na povrchu tělesa a protože platí Bernoulliho rovnice, mění se i tlak. Sledujme proudění na zakřiveném povrchu podle obr. 2.6. Předpokládejme, že se tlak vnějšího proudu podél povrchu na začátku zmenšuje a v bodě M dosáhne minima, pak se tlak začíná zvětšovat. V prvním úseku je tlakový gradient záporný -

¶p = 0 , rychlost uvnitř mezní vrstvy se zvětšuje. Ve druhém úseku je tlakový gradient kladný ¶x ¶p = 0 a rychlost uvnitř mezní vrstvy se zmenšuje. ¶x

V oblasti rostoucího tlaku jsou částice tekutiny ubrzďovány, a to vnitřním třením, ale též kladným tlakovým gradientem. Rychlost v mezní vrstvě klesá, rychlostní profil mezní vrstvy se tím deformuje, na rychlostním profilu se objeví inflexní bod, až dojde k tomu, že rychlostní profil svírá se stěnou pravý úhel (má směr normály). V tomto okamžiku se částice tekutiny zastavily. V dalším průběhu nastává účinkem kladného tlakového gradientu, směřujícího proti smyslu proudu u stěny. Při styku se základním proudem vzdalují se pohybující částice od stěny, což vede k odtržení mezní vrstvy. O tom, zda se mezní vrstva odtrhne a ve kterém místě, rozhoduje tlakový gradient podél povrchu tělesa a rovněž skutečnost, zda je v mezní vrstvě proudění laminární či turbulentní. V žádném případě však nemůže nastat odtržení mezní vrstvy při obtékání zakřivené stěny v její první části. Dá se dokázat, že poloha bodu odtržení S nezávisí u laminární mezní vrstvy na Rečísle. Je-li mezní vrstva turbulentní, vzniká intenzivní výměna hybnosti mezi částicemi tekutiny a proto i při zvýšeném tření částice tekutiny ztrácejí kinetickou energii pomaleji. V důsledku tohoto se turbulentní mezní vrstva odtrhne později než laminární. 2.4. Úplav Mezní vrstva, která se na povrchu obtékaného tělesa – profilu vytvoří se dá velmi zjednodušeně také představit tak, že na horní i spodní straně vznikají vírová vlákna (vírové provazce), při čemž smysl rotace vírových vláken na horním povrchu je opačný než na povrchu spodním. Vírová vlákna jsou proudící tekutinou unášena za těleso, kde zpomalené částice v mezní 9



vrstvě a částice z odtrženého proudu vytvářejí za tělesem úplav. Na obr. 2.7 jsou znázorněny rychlostní profily v úplavu, z obrázku je patrné, že s rostoucí vzdáleností od tělesa se přenosem impulzů mezi částicemi úplav rozšiřuje a vyplňuje.

Obr. 2.7 Úplav za obtékaným tělesem Když je těleso obtékáno bez odtržení mezní vrstvy, je úplav tvořen částicemi, které prošly mezi vrstvou tělesa a jejich rychlost je zmenšena. V úplavu není zpětných proudění, je v něm jen pokračování spojených mezních vrstev. V tomto případě je tvar úplavu prakticky stejný jak pro laminární tak i turbulentní mezní vrstvu. V turbulentní mezní vrstvě lze očekávat rychlejší rozšiřování a vyrovnání úplavu. Je-li rychlost nenarušeného proudu v∞, rychlost v libovolném místě úplavu v, protéká vrstvou tloušťky dy o jednotkové šířce elementární hmotnostní průtok

dQm = r.v .dy , elementární úbytek hybnostního toku je

dH = r.v (v ¥ - v ) . Odpor (síla způsobující úbytek hybnostního toku) je roven celkovému úbytku hybnostního toku +¥

F = r ò v (v ¥ - v )dy . -¥

Součinitel odporu c , vyjádříme-li charakteristickou plochu tělesa součinem délky profilu L a jednotkové šířky b = 1 pak je +¥

F F = = c= ppS pd L

r ò v (v ¥ - v )dy -¥

1 2 rv ¥L 2

+¥

2 v v = ò (1 )dy . L -¥ v ¥ v¥

( 2.11)

Na základě proměření rychlosti v úplavu, je tedy možné určit profilový odpor tělesa, aniž by bylo nutno určit měřením rozložení tlaků na povrchu obtékaného tělesa a počítat tření mezní vrstvy. Předpokladem je, že rychlostní profil je měřen ve vzdálenosti za tělesem, kde je statický tlak vyrovná a má původní hodnotu jako před tělesem. Jestliže tato podmínka není splněna, je nutné provést korekci. Úplav za tělesy obtékanými s odtržením má jiný charakter. Na zadní straně tělesa je podtlak, který se v úplavu za tělesem zvolna vyrovnává na hodnotu tlaku ve vnějším proudu. Celý úplav je prostoupen víry, tvořícími se za tělesem a odnášenými proudem tekutiny. 10



Při podkritickém obtékání tupých těles s laminárním odtržením proudu se setkáváme s pravidelným uspořádáním vírů. Víry, které se vytvářejí u stěny obtékaného tělesa za bodem odtržení, se odtrhnou od stěny, jakmile dostatečně narostou a to střídavě na obou stranách obtékaného tělesa. Za tělesem v úplavu se pak seřazují v pravidelnou dvojitou řadu, je to tak zvaná Kármánová vírová cesta. Při nadkritickém obtékání přechází mezní vrstva z laminární do turbulentní, ustává pravidelnost vírů v úplavu a proudění v úplavu je nepravidelné. Podmínky stability těchto vírů zkoumal Kármán. Z průběhu rychlostí v úplavu je patrno, že hybnost proudící tekutiny se snižuje. Tuto hybnost, která je předána obtékanému tělesu a projevuje se jako tvarový (profilový) odpor tělesa, můžeme určit výpočtem z naměřeného průběhu rychlosti za tělesem.

11



3. Odpor těles Je-li těleso obtékáno ideální tekutinou (viskozita je nulová), proudnice sledují povrch obtékaného tělesa – obr. 3.1, proudové pole je symetrické okolo svislé i vodorovné osy a proto je odpor nulový.

Obr. 3.1 Obtékání tělesa ideální tekutinou Při obtékání tělesa skutečnou tekutinou si celkový odpor rozkládáme na odpor třecí (vliv viskozity), daný integrálem tečných sil na povrchu a odpor tlakový, který je způsobený nesymetrickým rozložením tlaku na povrchu tělesa) se mění velikost i směr vektoru rychlosti tekutiny. V důsledku viskozity vznikají silové účinky dané integrálem tečných sil na povrchu obtékaného tělesa. Vzniká také nerovnoměrné rozdělení tlaku na povrchu obtékaného tělesa, což rovněž přispívá ke vzniku odporové síly. Odpor těles je určen rovnicí, kterou definoval Newton

Fx = c x S kde

cx S

v ¥2 r, 2

( 3.1)

- součinitel odporu - charakteristická plocha, u těles obvykle příčný průřez, u leteckých profilů pak nosná plocha křídla v¥ - rychlost nenarušeného proudu před obtékaným tělesem Jak již bylo uvedeno, odpor těles se skládá z třecího odporu, tvarového odporu a indukovaného odporu. Protože stanovení jednotlivých složek odporu je složité, při výpočtech nebo při měření se stanovuje obvykle pouze odpor celkový. Při obtékání desky, která má směr rychlosti - obr. 3.2, se uplatňuje v odporové síle především vliv třecího odporu. Součinitel odporu závisí na tvaru desky, Reynoldsově čísle, drsnosti povrchu a na turbulenci nabíhajícího proudu.

Obr. 3.2 Obtékání desky rovnoběžné s vektorem rychlosti 12



Pro desku postavenou kolmo na vektor rychlosti - obr. 3.3 dojde k odtržení mezní vrstvy na hranách, bod odtržení nemění v tomto případě svoji polohu. Před deskou je větší tlak než za deskou, vzniklý úplav je velký. V tomto případě je odporová síla tvořena především tvarovým odporem. Součinitel odporu závisí hlavně na tvaru obtékaného tělesa, méně na Reynoldsově čísle.

Obr. 3.3 Obtékání desky kolmé k vektoru rychlosti Při obtékání zakřivených těles je typické, že proudící tekutina v důsledku odstředivé síly nemusí sledovat povrch obtékaného tělesa, dochází odtržení mezní vrstvy a vzniká úplav. Rychlostní pole je v tomto případě nesymetrické, protože rychlost a tlak jsou vázány Bernoulliho rovnicí, je rozložení tlaku rovněž nesymetrické. Toto je příčinou tvarového odporu. V tomto případě se také uplatňuje vliv viskozity a vzniká proto i odpor třecí. Je obtížné stanovit podíl odporu tvarového a třecího, třecí součinitel je závislý na tvaru obtékaného tělesa a velikosti Reynoldsova čísla – obr. 3.4.

Obr. 3.4 Schéma obtékání zakřiveného tělesa Na zakřiveném povrchu dochází jak již bylo uvedeno k odtržení mezní vrstvy, zpravidla tehdy, když tekutina proudí do míst s vyšším tlakem na zadní části tělesa. Tlakové a třecí síly působící proti pohybu částice jsou překonávány setrvačností částice tekutiny, její rychlost proto klesá, až v určitém místě na povrchu tělesa má rychlost nulovou – obr. 3.5. Rychlostní profil v tomto místě má inflexní bod. Za tímto bodem mají rychlosti opačný smysl, než je tomu u hlavního proudu. U stěny vzniká zpětné proudění. Při velmi malých Reynoldsových číslech (např. u koule když Re < 1) převládá vliv vazkých sil nad tlakovými, proto nedochází k odtržení mezní vrstvy. Odporový součinitel závisí pouze na Reynoldsově čísle. Při takovém obtékání, často nazývaném plíživé proudění 13



Obr. 3.5 Schéma vývoje mezní vrstvy na zakřiveném tělese nelze hovořit o mezní vrstvě, neboť vliv viskozity sahá daleko od stěny tělesa. Tyto úlohy se dají řešit integrací Navierovy - Stokesovy rovnice. U těles osově symetrických postavených vzhledem k proudu pod úhlem větším než nula, dochází ke vzniku vztlakové síly – obr. 3.6 A. Vztlaková síla vznikne i u nesymetrických těles obtékaných rovnoběžným proudem – obr. 3.6 B a rovněž při obtékání šikmé desky – obr 3.6 C. Silové účinky obvykle dělíme na sílu vztlakovou, která působí kolmo na vektor rychlosti nenarušeného proudu a odpor těles, což je síla, která působí ve směru proudění, ale má opačný smysl.

Obr. 3.6 Obtékání tělesa se vztlakem a) symetrické těleso b) nesymetrické těleso c) šikmá deska Podle teorie potenciálního proudění je vztlaková síla určena Žukovského rovnicí

Fy = r .v ¥ .G , kde

G = ò v.ds

( 3.2) je cirkulace rychlosti

k

Rovnice ( 3.2) platí pro tekutinu ideální tak i skutečnou. Pro vztlakovou sílu platí také rovnice (Newtonova)

v ¥2 Fy = c y S r, 2

( 3.3)

2.G . v .S

( 3.4)

kde cy je součinitel vztlaku Porovnáním posledních dvou rovnic je součinitel vztlaku určen výrazem

cy =

14



4. Užití věty o změně hybnosti ke stanovení odporu desku Vzduch nabíhá na desku skloněnou pod úhlem a rychlostí v ¥ . Předpokládejme, že vzduch je tvořen diskrétními částicemi (hmotnými body), které se navzájem neovlivňují a při nárazu na desku se chovají jako plastické koule. Síla F, působící na desku o ploše S skloněnou vzhledem k vektoru v¥ nabíhajícího homogenního proudu pod úhlem náběhu a - obr. 4.1, je za předpokladu, že hmotnostní tok

Qm = r ∞ S v ∞ sin a ,

předá při plastickém nárazu na stěnu desce svou kolmou složku hybnostního toku 2 F = r ∞ S v∞ sin 2 a , F ⊥S ,

protože síla je rovna průtokové hybnosti H = Qm . v ¥ . Sílu můžeme rozložit na složku svislou - F y (vztlak) a složku vodorovnou Fx (odpor). Označme poměr c y / c x jako tzv. jemnost.

Obr. 4.1 Newtonův model vzniku výsledné síly při obtékání šikmé desky Pro výslednou sílu, která má směr normály platí

v ¥2 F = cn . S . r sin2 a 2 , odkud pro součinitel odporu c n platí cn =

( 4.1)

F p-p = 2 ¥ = 2 sin2 a . 2 v v¥ S . ¥ r¥ r¥ 2 2

( 4.2)

Obdobně můžeme definovat sílu svislou (vztlak)

Fy = F . cos a = c y .S

v ¥2 r sin2 a . cos a , 2

(4.3)

odkud pro součinitel vztlaku

cy =

F . cos a = 2 sin2 a . cos a . 2 v S. ¥ r 2

( 4.4)

15



Podobně platí i pro sílu vodorovnou (odpor)

v ¥2 Fx = F . sin a = c x . S r. sin3 a , 2

(4.5)

odkud pro součinitel odporu

cx =

F . sin a = 2 sin3 a . 2 v S. ¥ r 2

(4.6)

Následující obr. 4.2 uvádí závislosti cn , c x , c y , c y / c x na úhlu náběhu a,vypočtené podle předcházejících rovnic. Z obr. 4.2 je zřejmé, že max. součinitele vztlaku nastává při a = 54,70°.

Obr. 4.2 Závislost cn , c x , c y , c y / c x na úhlu náběhu desky a

Obr. 4.3 Šlírový snímek hypersonického obtékání modelu návratového modulu systému Apolo Zhruba pod stejným úhlem náběhu vstupují návratová tělesa z kosmu do atmosféry. Toto ukazuje šlírový snímek kosmické lodi APOLO pořízený v hypersonickém aerodynamickém tunelu – obr. 4.3

16



5. Obtékání desky 5.1. Laminární obtékání desky Při řešení tohoto problému vyjdeme z Prandtlových rovnic mezní vrstvy ( 5.1) a ( 5.2), předpokládáme ustálené proudění podél rovinné desky rovnoběžné s proudící tekutinou se stálým tlakem podél desky – obr. 5.1.

¶ 2v x ¶v ¶v x , vx + x vy =n ¶y ¶x ¶y 2 ¶v x ¶v y + = 0. ¶x ¶y

( 5.1) ( 5.2)

Obr. 5.1 Schéma mezní vrstvy na desce Použijeme-li proudovou funkci Ψ jako novou proměnnou, která je definována vztahy známými z potenciálového proudění

vx =

¶Y , ¶y

vy =

¶Y , ¶x

transformují se obě Prandtlovy rovnice a další úpravou se dají převést na rovnici jedinou

¶Y ¶ 2 Y ¶Y ¶ 2 Y ¶ 2 Y = 2 . ¶x ¶x¶y ¶x ¶ 2 y ¶ y

( 5.3)

Tato rovnice se dá upravit na obyčejnou diferenciální rovnici třetího řádu a je základem pro stanovení součinitele tření při obtékání desky a pro výpočet tloušťky mezní vrstvy na desce. Řešení se dá provést rozvojem v řadu, nebo numericky. Toto řešení provedl Blasius a pro laminární obtékání desky nalezl exaktní řešení. Při řešení této úlohy je možné také vyjít z integrální rovnice mezní vrstvy, odvozené Kármánem.

ts = r kde

δ* δ**

d 2 ** dv (v .d ) + r .d * .v , dx dx

( 5.4)

- posunovací tloušťka mezní vrstvy - impulsní tloušťka mezní vrstvy 17



Pro rychlostní profil při obtékání desky se dají aplikovat všechny poznatky Kármána, které učinil pro proudění tekutiny kruhovým potrubím. Rychlost je funkcí tangenciálního napětí na stěně trubky - τ0 ,hustoty ρ a kinematické viskozity n tekutiny. Pro drsnou desku je vliv viskozity malý, přistupuje však vliv absolutní drsnosti stěny – k. Řešením Kármán zjistil, že rychlostní profil je možné aproximovat logaritmickou funkcí, její experimentálně určený průběh je na obr. 5.2. Funkce na tomto obrázku silně připomíná podobnou funkci experimentálně stanoveno pro potrubí kruhového průřezu.

æ v *.y ö v ÷ Obr. 5.2 Závislost * = f ç ç n ÷ pro obtékanou desku v ø è V obrázku je v * = τ0 y

n

t0 - třecí rychlost r

- smykové napětí na stěně - vzdálenost od stěny - kinematická viskozita proudící tekutiny

Na hranici mezní vrstvy a potenciálního proudění pro rychlosti platí v = v ¥ Rychlostní profil v mezní vrstvě je aproximován polynomem 3 stupně

v = c1 + c2 .y + c3 .y 2 + c 4 .y 3 .

( 5.5)

Při řešení platí následující okrajové podmínky: Pro

y=0

→

v=0,

y=δ

→

v = v∞ ,

18


y=δ


¶v =0 , ¶y

→

y=0

¶ 2v = 0 , ¶y 2

→

dp =0 , dx

dp =0 . dy

Pro další řešení zavedeme pro obtékanou desku – obr. 5.1 dvě definice Reynoldsova čísla a to:

v .x n v .L ReL = n

Re x =

Reynoldsovo číslo vztažené k obecné souřadnici x Reynoldsovo číslo vztažené k celé délce desky L

Řešením Prandtlových rovnic, nebo integrální rovnice Kármánovy pro obtékání desky dojdeme k následujícím exaktním výsledkům. Relativní tloušťku mezní vrstvy

d 4,64 . = x Re x

( 5.6)

Vztah mezi tloušťkou mezní vrstvy a impulsní tloušťkou

d* =

39 d. 280

( 5.7)

Rychlostní gradient na stěně desky

æ ¶v ö v¥ . çç ÷÷ = 0,332.v ¥ n .x è ¶y ø y = 0

( 5.8)

Tečné napětí na stěně desky

t s = 0,332.h.v ¥

v¥ 1 = 0,332.r.v ¥2 . n .x Re x

( 5.9)

Lokální součinitel třecího odporu

cfx =

2.t s 0,664 = . 2 r .v ¥ Re x

( 5.10)

Střední hodnota součinitele odporu L

c x = cD = cf =

1 1,328 F . = cfx .dx = ò 1 L0 2 ReL r .v ¥b.L 2

( 5.11)

Síla působící na desku po její jedné straně (jinak je dvojnásobná) L

F = ò t s .b.dx = 0,664.b.r .v ¥2 0

n .L . v¥

( 5.12)

Poznámka: konstanta v rovnici ( 5.11) je (1,328) odvozená Blasiusem a má podle novějších měření velikost 1,292 - chyba je cca 3%. 5.2. Turbulentní obtékání desky Exaktní řešení tohoto problému není možné, vychází se z experimentálních výsledků a metod založených na větě o změně hybnosti (impulsové větě), je pochopitelně možné i numerické řešení. Při řešení je důležitá znalost rychlostního profilu na desce, předpokládejme, že rychlostní profil je určen mocninovou rovnicí 19



1

v x æ y ön =ç ÷ . v¥ è d ø

( 5.13)

S využitím impulsové věty a rovnice rychlostního profilu pro relativní tloušťku turbulentní mezní vrstvy, pro hladkou desku se odvodí rovnice 1

d = 0,381.Re x 5 . x

( 5.14)

Smykové napětí na stěně desky -

1 5

t s = 0,0297.v ¥ .Re x .

( 5.15)

Lokální součinitel třecího odporu -

1 5

cfx = 0,0593.Re x .

( 5.16)

Střední hodnota součinitele odporu 1

L

cx =

1 cfx .dx = 0,074.Re 5 . ò L0

( 5.17)

V okrajové podmínce výše uvedené rovnice se při odvození rovnice předpokládalo, že turbulentní mezní vrstva se začne vytvářet hned od náběžné hrany. Ve skutečnosti je však na určité počáteční délce mezní vrstva laminární a teprve po dosažení kritické hodnoty Reynoldsova čísla - Rekrit přechází na turbulentní. Tuto skutečnost je možné respektovat korekcí rovnice ( 2.17) ve tvaru

c x = 0,074.Re

-

1 5-

A , ReL

( 5.18)

kde A - je korekční parametr, který je funkcí kritického Reynoldsova čísla, hodnoty parametru „A“ jsou uvedeny v tabulce 5.1 Tabulka 5.1 Hodnoty korekčního parametru A A

300

600

1050

1700

3300

8700

v.L Re= n

105

1,9.105

3.105

5,3.105

106

3.106

Porovnání výše uvedených vztahů s experimentálními údaji pro hladkou desku je na obr. 5.3 Lepší shody s experimentem lze dosáhnout tím, že mocninový rychlostní profil nahradíme logaritmickým rychlostním profilem. V tomto případě obdržíme závislost, která je na předcházejícím obrázku vyznačena plnou čarou. Protože se jedná o vztah matematicky komplikovaný, nahradil jej Schlichting empirickou rovnicí

cx =

0,455 . (logReL )2,58

( 5.19)

Použitím logaritmického rychlostního profilu byla tedy získána závislost, která platí i pro vysoká ReL. Při respektování vlivu laminárního proudění v náběžné části desky je vhodné ve výše uvedené rovnici zavést korekční člen A uvedený v tabulce 5.1, takže dostaneme vztah

20


cx =


A 0,455 . 2,58 ReL (logReL )

( 5.20)

Obr. 5.3 Odporový součinitel hladké desky pro laminární a turbulentní proudění Pro desku hydraulicky drsnou a turbulentní proudění uvádí Schlichting pro c x graf, který je uveden na obr. 5.4

Obr. 5.4 Odporový součinitel drsné desky pro turbulentní proudění V obrázku je Reynoldsovo číslo definováno vztahem

ReL =

v ¥ .L , n

( 5.21) 21



relativní drsnost je definována zlomkem

e= kde

k

k , L - je absolutní drsnost stěny desky.

5.3. Obtékání desky kolmé na vektor rychlosti Při obtékání desky kolmo postavené na vektor nabíhající rychlosti dojde již při malých rychlostech (malá Re) k odtržení mezní vrstvy na horní a spodní hraně desky – obr. 5.5A. Rychlostní pole není symetrické okolo svislé osy, která je totožná s deskou. Proto podle Bernoulliho rovnice je na přední straně desky přetlak a naopak na zadní straně desky v úplavu je podtlak. Vlivem nesymetrie tlakového pole vzniká výsledná síla (tlakový odpor), jeho velikost je dána rovnicí

F = c x .S

v ¥2 r, 2

( 5.22)

kde plocha S pro obdélník podle obrázku v tabulce 5.2 – S = a . b

Obr. 5.5 Obtékání kolmé desky Velikost součinitel odporu cx pro kolmou desku když nabíhající proud má nulovou intenzitu turbulence uvádí tabulka 5.2. Vliv intenzity turbulence nabíhajícího proudu je na obr. 5.5B. Tabulka 5.2 Součinitel odporu pro obdélníkovou desku kolmou na vektor rychlosti Re = 103 až 105 a/b cx

1 1,1

2 1,15

4 1,19

5 1,2

10 1,29

18 1,4

20 1,5

oo 1,9

Součinitel odporu cx je závislý na poměru stran desky – tabulka 5.2. Se zmenšujícím se poměrem a/b odpor klesá a dosahuje nejnižších hodnot pro desku čtvercovou. Toto je způsobeno přitékáním tekutiny ze stran do úplavu, čímž se tento zmenšuje. Obr. 5.6 uvádí numericky vypočítané odtržení mezní vrstvy na hranách desky. Je pěkně vidět, že za deskou se tvoří soustava vírů připomínající Kármánovu vírovou cestu.

22



Obr. 5.6 Obtékání kolmé desky – odtržení mezní vrstvy 5.4. Obtékání desky šikmé k vektoru rychlosti Rychlostní pole při obtékání desky šikmo postavené k vektoru nabíhající rychlosti ukazuje obr. 5.7, pravá část tohoto obrázku byla získána numerickým modelováním.

Obr. 5.7 Obtékání šikmé desky U šikmé desky vedle odporu vzniká i vztlaková síla, velikosti těchto sil jsou dány rovnicemi

Obr. 5.8 Polára přímé a dvou prohnutých desek – Re = 4.105 23


Fx = c x .S


v ¥2 r , 2

Fy = c y .S

v ¥2 r , 2

F = cn .S

v ¥2 r 2

( 5.23)

kde součinitel cx nebo cy je možné stanovit z poláry šikmé desky – obr. 5.8. Tento obrázek uvádí i poláry pro dvě geometrie desek prohnutých. Pro šikmou desku podle obr. 5.9 s úhlem náběhu α = 0 až 8o velikost celkového odporového součinitele můžeme vypočítat z empirické rovnice

cn = 2.p . tan a .

( 5.24) Pro šikmou desku s úhlem náběhu α = 8 až 90 velikost celkového odporového součinitele je určena rovněž empirickou rovnicí

cn =

1 0,222 +

0,283 sin a

o

.

( 5.25)

Obr. 5.9 Šikmá deska – Re > 104 Mezi oporovými součiniteli platí známé vztahy

c x = cn . sina ,

c y = cn . cos a

( 5.26)

Sílu odporovou Fx nebo sílu vztlakovou Fy vypočítáme podle rovnice ( 5.23) Je-li deska (např. střecha) podle obr. 5.10 skloněna pod úhlem α > 90o, potom výpočet sil provedeme s využitím věty o změně hybnosti, stejně jako v kap. 4. Pro reakci R platí

R = r.Q.v1 - r.Q.v 2 = r.Q(v1 - v 2 ) Rovnici spojitosti podle obr. 5.10 zapíšeme ve tvaru

r1.Q1 = r2.Q2 = r.Q = r.S.v . sin a Reakci R podle obr. 5.10 můžeme definovat vztahem s využitím rovnice spojitosti

Fn = r1..Q1.v1. sin a = r .S.v ¥2 . sin 2 a = cn .S kde

S

v1 = v ¥

v ¥2 r, 2

- plocha střechy - rychlost přitékajícího vzduchu 24

( 5.27)



Z rovnice ( 5.27) pro cn jednoduchou úpravou dostaneme vztah

cn = 2. sin2 a .

( 5.28)

Obr. 5.10 Obtékání šikmé desky - střechy domu Vodorovná složka reakce je dána rovnicí

Fx = r.S.v ¥2 . sin3 a = c x S

v ¥2 r, 2

( 5.29)

odkud pro cx s přihlédnutím k rovnici ( 5.28) platí vztah

c x = cn . sin a = 2. sin3 a .

( 5.30)

Některé další vybrané geometrie desek a velikost cx nebo cy jsou uvedeny v kap. 10. Vývoj úplavu při obtékání šikmě desky získaný numerickou simulací uvádí obr. 5.11

Obr. 5.11 Obtékání šikmé desky – vývoj úplavu získaný numerickou simulací

25



6. Obtékání koule 6.1. Obtékání hladké koule Koule jako jednoduché geometrické těleso je z hlediska obtékání relativně velmi podrobně prozkoumáno, a to jak pro malá Re-čísla (plouživé proudění), tak i pro vysoká Re – čísla, kdy Machovo číslo Ma ≥ 1. Analytické řešení je možné pouze pro malá Re-čísla Re < 1, pro větší Rečísla je možné poznatky získat pouze experimentálním měřením, např. v aerodynamickém tunelu. Plouživé obtékání koule (Re < 1) řešil jako první Stokes. Při řešení vyšel z NavierovyStokesovy rovnice, ve které zanedbal setrvačnou sílu - v.gradv = 0 a obdržel rovnici, která nese jeho jméno a ve vektorovém zápise má tvar

∂ v = a0 t ∂

1 gradp + uDv . r

( 6.1)

Tato rovnice je parciální diferenciální rovnice druhého řádu, je však lineární, její řešení je proto snadnější než řešení rovnice Navierovy-Stokesovy. Stokes integroval tuto rovnici ve sférických souřadnicích pro ustálené proudění a zanedbal ještě vnější objemovou sílu. S přihlédnutím k rovnici spojitosti pro třecí odpor odvodil rovnici Ft = 4p .h.r .v = 2p .h.d .v , a podobně pro tlakový odpor

Fp = 2p .h .r .v = p .h.d .v . Celkový odpor je součet odporu třecího a tlakového

F = Ft + Fp = 6p .h.r .v = 3p .h.d .v .

( 6.2)

Tato rovnice je v literatuře uváděna jako Stokesův zákon. Reynoldsovo číslo je učeno známým vztahem

Re =

v.d , n

Porovnáme li Stokesovu rovnici s klasickou rovnicí pro celkový odpor

F = 3p .h .d.v = c x

p 2 v2 d r, 4 2

( 6.3)

odkud pro součinitel odporu dostaneme

c = cx =

24 . Re

( 6.4)

Tato rovnice platí přesně pro Re < 0,5, prakticky se používá pro Re < 1. Oseenova linearizace: úplné zanedbání setrvačných sil v Navierově-Stokesově rovnici je možné pouze při malých Re-číslech a v těsné blízkosti povrchu koule. Není však oprávněná v místech od povrchu koule dosti vzdálených, kde velikost vazkých a setrvačných sil je řádově stejná. Oseen linearizoval Navierovu-Stokesovu rovnici trochu jiným způsobem a sice tak, že setrvačný člen aproximoval výrazem

kde

¶v , v.gradv = v , ¶x

( 6.5)

x - je směr totožný se směrem rychlost v´ - jsou fluktuace rychlosti ve směru osy x Řešením takto zjednodušené Navierovy-Stokesovy rovnice pro součinitel odporu obdržel

c = cx =

24 æ 3 ö Re ÷ , ç1 + Re è 16 ø

( 6.6)

26



tato rovnice platí pro Re < 2. Závislost součinitele odporu pro kouli uvádí obr. 6.1, závislost pro Re > 1 byla stanovena měřením v aerodynamickém tunelu. Pro Re > 1 je možné součinitel odporu vypočítat z empirických rovnic uvedených v tab. 6.1.

Obr. 6.1 Závislost c x = f (Re) pro kouli Tabulka 6.1 Rovnice pro výpočet součinitele odporu pro hladkou kouli Číslo

Autor

1

Stokes

2

Allen

3

Goldstein

4

Schiler

5

Fair a Geyer

6

Bird

´ 7

Kasatkin

8

Mika

9

Brauer

10 Newton

Rovnice

cx =

Rozsah Rew

24 Re

Rew < 0,5

k Re 12 é 3 19 ù cx = 1+ ReRe 2 + .....ú ê Re ë 16 1280 û 12 cx = 1 + 0,15 Re0,687 Re 24 3 cx = + + 0,34 Re Re cx =

[

]

-

3 5

c x = 18,5. Re 18,5 cx = Re0,6 24 cx = 1 + 0,125 Re0,7 Re 24 4 cx = + + 0,4 Re Re c x = 0,44

(

27

Re = 10 až 1000 Re < 2 Re < 800 Re = 0,5 až 104 Re = 2 až 500 Re = 2 až 500

)

Re < 3.103 5

Re < 3.10

Re = 550 až 2.105



Obr. 6.2 Tlakový profil na kouli Rozložení tlaku na kouli při obtékání ideální i skutečnou tekutinou je na obr. 6.2. Na závislosti c x = f (Re) je možné pozorovat několik výrazných oblastí, které jsou v dalším textu podrobně popsány a jsou podle obr. 6.1 označeny písmeny 0 až F. Jejich popis je následující: Oblast „0“ pro Re < 1 – platí Stokesův zákon, jedná se o plouživé proudění, proudové pole je prakticky identické s obtékání koule ideální tekutinou – obr. 3.1. Oblast „A“ pro 1 < Re < 100 – jedná se o přechodnou oblast, odporový součinitel s rostoucím Re rychle klesá, převládá třecí odpor, pro Re = (5 - 25) se za koulí vytvářejí víry, tyto se však od koule neodtrhavají, stále převládá třecí odpor nad tlakovým.

Obr. 6.3 Závislost úhlu θ  = f (Re) a délky úplavu Lw = f (Re) pro kouli Oblast „B“ pro 100 < Re < 4.103 - je možné pro Re = (25 - 350) pozorovat odtrhávání vírů za koulí, tyto přecházejí pro Re > 350 v pravidelné a nepřetržité odtrhávání vírů, vzniká Kármánova vírová cesta. Odtrhávání vírů v zadní části koule má za následek pokles součinitele 28



odporu cx. Postupně začíná převažovat odpor tlakový nad odporem třecím. V přední části koule je stále laminární mezní vrstva. Bod odtržení mezní vrstvy „S“ s rostoucím Re-číslem se posouvá proti proudu - obr. 6.3. Délka úplavu se s rostoucím Re-číslem rovněž prodlužuje – obr. 6.3, velikost (objem) úplavu se zvětšuje. Vývoj úplavu za koulí stanovený numerickým modelováním pro Re = 1000 uvádí obr. 6.4.

Obr. 6.4 Vývoj úplavu za koulí pro Re = 1000 Oblast „C“ pro 4.103 < Re < 4.104 - je charakteristický mírný nárůst součinitele odporu cx, což je možné vysvětlit zvýšením víření v zadní části za koulí. Stále se vytváří Kármánova vírová cesta. Převažuje vliv tlakového odporu.V přední části koule je laminární mezní vrstva až do bodu odtržení mezní vrstvy – „S“ – obr. 6.5

Obr. 6.5 Úplav za koulí a vyznačení bodu odtržení mezní vrstvy „S“ Oblast „D“ pro 4.104 < Re < 3.105 - v této oblasti je cx = 0,44 a je prakticky konstantní, tuto velikost cx již znal Newton. V této oblasti dochází k výrazné změně ve způsobu obtékání koule. Laminární mezní vrstva v bodě „T“ přechází v turbulentní mezní vrstvu, při čemž s rostoucím Rečíslem se bod přechodu „T“ přemísťuje k bodu odtržení mezní vrstvy – „S“, neboť se zvyšuje turbulence v zadní vírové oblasti – obr. 6.6

Obr. 6.6 Úplav za koulí a vyznačení bodu odtržení mezní vrstvy „S“ a bodu přechodu mezní vrstvy z laminární na turbulentní „T“ 29



Oblast „E“ pro 3.105 < Re < 4.105 - po dosažení kritické hodnoty Re-čísla Rekr = 3.105 až 4.105 splyne bod přechodu mezní vrstvy „T“ s bodem odtržení „S“ - obr. 6.7

-

Obr. 6.7 Úplav za koulí – splynutí bodu „T“ a „S“ Turbulentní mezní vrstva má větší odolnost proti odtržení, protože turbulencí se přivádí do mezní vrstvy více energie, proto se bod odtržení „S“ přemísťuje ve směru proudu a současně se zmenšuje velikost úplavu. Součinitel odporu se z hodnoty cx = 0,5 prakticky skokem sníží na cx = 0,06, cx dosáhne minima pro Rekr = 4,5.105 – oblast „F“. S dalším zvyšováním Re-čísla se zvyšuje i součinitel odporu cx. Za kritické Reynoldsovo číslo se považuje taková jeho velikost, při které dosáhne součinitel odporu velikost cx = 0,3. Na obr. 6.8 je schématicky uveden úplav za koulí pro Re podkritické a pro Re kritické, rozdíl ve velikosti úplavu je výrazný.

Obr. 6.8 Úplavu za koulí pro Re podkritické a Re kritické Velikost kritického Reynoldsova čísla ovlivňují i další veličiny, hlavně drsnost stěny obtékané koule, turbulence nabíhajícího proudu a stlačitelnost proudící tekutiny. Drsnost povrchu koule výrazně ovlivňuje velikost Rekr, s rostoucí relativní drsností povrchu obtékané koule klesá velikost kritického Reynoldsova čísla, obr. 6.9 uvádí naměřené výsledky.

Obr. 6.9 Vliv relativní drsnosti povrchu koule na snížení kritické hodnoty Reynoldsova čísla 30



Má-li nabíhající proud větší turbulenci, křivka c x = f (Re) si svůj ráz podrží, posune se však vlevo, úloha se velmi podobá vlivu drsnosti. Pokles kritického Reynoldsova čísla jako funkce intenzity turbulence je na obr. 6.10.

Obr. 6.10 Vliv intenzity turbulence na velikost kritického Reynoldsova čísla Tohoto jevu se prakticky využívá při testování turbulence v aerodynamického tunelu. V tunelu se umístní koule, která je provedena podle obr. 6.11. Koule má v přední části otvor, který měří celkový tlak, v zadní části koule pod úhlem 22° jsou otvory pro odběr „statického“ tlaku.

Obr. 6.11 Úprava koule pro měření intenzity turbulence v aerodynamickém tunelu Při měření se vychází z předpokladu, že při kritickém Reynoldsově čísle má součinitel odporu koule velikost cx = 0,3. Této velikosti odpovídá poměr naměřeného celkového tlakového rozdílu a dynamického tlaku

Dp 1 2 v¥r 2

= 1,22 .

Rozdíl tlaku se měří mezi otvorem na přední straně koule a mezi otvory v zadní části koule, jak je patrné z obr. 6.11. 6.2. Sedimentační rychlost Pohybuje-li se kulová částice průměru d vlivem tíhového zrychlení ve stojící tekutině charakterizované hodnotami hustoty rv, a viskozity η , potom rychlost padání částice se také nazývá sedimentační (usazovací) rychlost. Tekutina zaujímá nekonečně velký poloprostor a na částici působí vedle tíhové síly G ještě vztlaková síla Fv a síla odporová Fo, tj. odpor částice proti pohybu - obr. 6.12.

31



Obr. 6.12 Rovnováha sil při pohybu částice Předpokládejme, že pevná částice se pohybuje rovnoměrnou rychlostí w, tzn. setrvačná síla Fs = 0, potom pro rovnováhu sil platí

G =Fv + Fo , a po dosazení za jednotlivé síly 2

pd 3 pd3 pd2 w g rp = g rv + c x rv , 6 6 4 2 kde

w

- sedimentační rychlost koule

ρp

- hustota částice

ρv

- hustota vody nebo vzduchu

(6.8)

Odpor proti pohybu je vyjádřen známou rovnicí

Fo =c x S

w2 2

2

rv =c x

pd 2 w rv . 4 2

Z rovnice ( 6.5) pro sedimentační rychlost dostaneme

w=

4.d ( r p - rv ).g 3.c x .rv

.

( 6.9)

Rozběh částice působením vlastní tíhy. Částice materiálu se nachází v tekutině, jejíž absolutní rychlost je rovna nule. Vlivem vlastní tíhy G se počne částice pohybovat ve svislém směru rychlostí vp., tato se mění od nulové hodnoty v čase t = 0, až po sedimentační rychlost w, které dosáhne teoreticky v čase nekonečně dlouhém. Relativní rychlost obtékání se rovná absolutní rychlosti pohybu částice. Z rovnováhy sil, které na částici působí

Fs = Fv + F0 - G , kde

Fs = m.a =

dv v .dv pd 3 pd 3 rv p = rv p p - setrvačná síla 6 6 dt dx 32



pd 3 g.rv - vztlaková (Archimedova) síla 6 2 pd 2 v p F0 = c x rv - odporová síla 4 2 pd 3 G = m.g = gr p - tíhová síla (tíha) 6 Fv =

pro dráhu částice odvodíme rovnici 2

æv ö w2 x =- ln1 - çç p ÷÷ , 2g èw ø kde

vp w

( 6.10)

rychlost částice ve směru x sedimentační rychlost

Rychlost částice vp z nulové hodnoty dosáhne sedimentační rychlosti w teoreticky na nekonečně dlouhé dráze, prakticky se uvažuje dráha konečné délky, může se volit podmínka, že vp = 0,99 . w. Po dosažení této dráhy se již částice nezrychluje a pohybuje se konstantní rychlostí w. Výpočet sedimentační rychlosti. Sedimentační (usazovací) rychlost jedné kulové částice závisí na průměru částice, součiniteli odporu, hustotě částice, dále závisí na hustotě a viskozitě kapaliny a na režimu obtékání. Výpočet sedimentační rychlosti podle rov. ( 6.6) vyžaduje znalost součinitele odporu cx a provádí se iterací, cx se může určit z obr. 6.1 nebo vypočítat z rovnic uvedených v tabulce 6.1. Aby se odstranila při výpočtu sedimentační rychlosti iterace, je vhodné zavést bezrozměrné Archimedovo číslo, které je závislé pouze na fyzikálních veličinách tekutiny a částice a nezávisí tedy na sedimentační rychlosti

p d 3 g r p - rv Ar = rv 6n 2

.

( 6.11)

Obr. 6.13 Závislost Re = f (Ar) 33



Závislost cx = f (Re) např. podle obr. 6.1 se přepočítá do nových souřadnic Re = f (Ar), tato závislost je uvedena na obr. 6.13. Praktický výpočet se provede tak, že se stanoví velikost Archimedova čísla Ar, z obr. 6.13 se odečte velikost Reynoldsova čísla sedimentace Rew a z něj se vypočítá sedimentační rychlost

Rew =

w .d , n

→

w=

n . Rew . d

Sedimentace nekulové částice. Sedimentační rychlost částice, která nemá kulový tvar, je dána v podstatě stejnými zákony, pouze s tím rozdílem, že její odpor v kapalině bude s ohledem na členitost povrchu větší než kulové částice a tedy sedimentační rychlost bude menší. Pro řešení různých materiálových skupin nelze dát všeobecný návod. Dosavadní experimentální výsledky umožnily sestavit pouze přibližné hodnoty koeficientů cx, zahrnujících vliv tvaru částice. Obvykle se obecná částice převede na ekvivalentní průměr kulové částice, při čemž se předpokládá, že ekvivalentní koule má stejnou hmotnost jako obecná částice. Pro Re < 1 je podle literatury částice orientována během usazování tak, jak byla do kapaliny vložena. Pro větší Reynoldsova čísla je u neizometrických částic naopak pozorována tendence docílit určité stabilní orientace. Např. plochá částice má tendenci se orientovat v prostoru při sedimentaci tak, aby její největší průřez byl kolmý na směr vektoru usazovací rychlosti. Částice může v této oblasti kmitat kolem střední rovnovážné polohy. Jisté zobecnění sedimentace je možné pro tzv. izometrický tvar částic u kterých jsou délkové rozměry ve třech na sobě kolmých směrech zhruba stejné. Definujme součinitel sféricity jako poměr

s =

povrch ekvivalent ní koule Se = , povrch obecné částice Sč

kde průměr ekvivalentní koule je definován vzorcem

kde

de = 3

6.V p

V

- je objem obecné částice.

,

( 6.12)

Obr 6. 14 Závislost c x = f (Re, s ) pro obecnou částici

34



Pro Re < 1 pak odporový součinitel lze vyjádřit empirickým vztahem

cx =

24 0,843. log

s Re 0,065

.

Tato rovnice pro σ = 1 přejde v rovnici Stokesovu

cx =

24 . Re

Pro Re > 1000 je odporový součinitel možné aproximovat empirickou rovnicí

c x = 5,31 - 4,88.s . Podle této rovnice je pro kulovou částici pro σ = 1 součinitel odporu cx = 0,43. Tato rovnice je omezena pro σ = 0,67 až 1. Na obr. 6.14 je závislost c x = f (Re, s ) . Pro vyjádření vlivu orientace částice v prostoru při sedimentaci na hodnotu cx je vhodné zavést poměr de / dN , kde de - ekvivalentní průměr částice podle objemu – rov.( 6.9) dN - ekvivalentní průměr částice podle průmětu, definovaný jako průměr kruhu, který má stejnou plochu jako průměr částice promítnutý do roviny kolmé na směr pohybu. Pro Re < 1 je součinitel odporu určen rovnicí

24 , K . Re æ d kde faktor K = f çç s , e è dN cx =

log K =

( 6.13)

ö ÷÷ . Korelací naměřených dat byla stanovena závislost ø

- 0,27 æd s çç e è dN

ö ÷÷ ø

0,435

ö ö æd æ de çç - 1÷÷ + logçç e s ÷÷ . ø ø è dN è dN

Tato rovnice platí pro částice, u kterých je průmětem do roviny kolmé na směr rychlosti pohybu kruh nebo rovnostranný obrazec. Když nejsou splněny výše uvedené podmínky, potom se doporučuje následující korelace

æd ö æd ö d log K = -0,25çç e - 1÷÷ s e + logçç e s ÷÷ . dN è dN ø è dN ø L Při usazování válečku s rozměry 0,1 £ £ 10 D

a

200 £ Re £ 6.104

dochází při

sedimentaci k významnému sekundárnímu pohybu – kmitání a rotaci. Součinitel odporu je dán empirickou rovnicí

ær c x = 0,99ç p ç rv è

ö ÷ ÷ ø

-0,12

æLö ç ÷ èDø

- 0,08

kde

ρp, ρv - hustota částice a vody L - délka válečku D - průměr válečku Pro poměr L/D > 1 při usazování válečku byla jeho podélná osa vodorovná, pro poměr L/D <1 byla osa válečku vertikální a pro poměr L/D = 1 je poloha válečku nestabilní, usazovací dráha se odchyluje od svislé přímky, váleček rotuje kolem osy kolmé k ose válečku.

35



Obr. 6. 15 Schéma omezeného usazování ve vertikální trubce a) neomezené prostředí b) omezené prostředí Omezené usazování - když se částice usazuje v ohraničeném prostoru, např. v potrubí, jehož charakteristický rozměr je srovnatelný s rozměrem částice – obr 6.15, potom sedimentační rychlost pro jednu částici vypočtenou pro nekonečně velký prostor je nutné násobit korekčním faktorem „k“. Pro malé hodnoty poměru d/D platí přibližná empirická rovnice

k = 1- 2,104

d , D

pro větší poměr d/D pak rovnice

æ dö k = ç1- ÷ è Dø

2,35

nebo

é æ d ö2 ù k = ê1 - ç ÷ ú , êë è D ø úû

pro Re > 1000 pak rovnice 1,5

æd ö k = 1- ç ÷ . èDø Vliv koncentrace

Obr. 6. 16 Rychlostní profil při sedimentaci dvou částic v potrubí Při sedimentační rychlosti více částic se nemůže plně vyvinout rychlostní profil, jak je patrné z obr. 6.16 při padání dvou částic. 36



Dalším důvodem zmenšené rychlosti je koagulace částic, sedimentační rychlost pak nezávisí na průměru samotné částice, ale na průměru shluku částic – obr 6.17.

Obr 6. 17 Sedimentace shluku částic a rychlostní profil v potrubí Tabulka 6. 2 Vliv koncentrace suspenze na sedimentační rychlost Číslo 1

Autor

Oliver

1ö æ 3 ç w c =w (1 - k1cv ) 1 - k2cv ÷ ÷ ç ø è

Meikl

w c =0,149w

Richardson

w c = w (1 - c v )

Zaki

Robinson

(1 - cv )3

konstanta

cv £ 0,4

k1,k2 - exp. konstanta

cv £ 0,3

(

kd2 rp - rv m

m = 4,8

Re £ 0,2

)g

m - viskozita suspenze k - konstanta

c v £ 0,4

Rouse

Steinour

w c = 0,123

8

Thomas

w c = w . exp(- 5,9cv )

9

Mande

w c = (1 - cv )

7

k - exp.

cv m

wc =

cv £ 0,35

Poznámka

cv £ 0,4

2ù é w ê æ cv ö 3 ú wc = 1- ç ÷ bê èaø ú úû ëê

6

-1

é 1 2kcv ù + w c =w ê 3ú ëê1 - cv (1 - cv ) ûú

3

5

Platnost

Loefler Ruth

2

4

Vzorec

a,b - exp. konstanty

w (1 - cw ) cv

3

0,3 £ cv £ 0,7 cv £ 0,43

b = f (Rew )

b

37



Pro další aplikace má pochopitelně největší význam sedimentační rychlost mraku wc. Znamená to, že sedimentační rychlost, vypočtenou již dříve podle rovnice ( 6.6), musíme ještě dále upravovat o vliv koncentrace c. Vzorce, které určují hledanou opravu jsou rovněž převážně empirické a jejich platnost je omezena na lineární zákon odporu. Přehled těchto vztahů udává tabulka 6.2 spolu s rozmezím platnosti. Elektrické síly mezi částicemi - pro částice s průměrem d < 100 μm se může výrazně projevit vliv elektrických sil. U částic s průměrem d < 1 μm zpravidla převládají elektrické odpudivé síly natolik, že znemožňují sedimentaci, jedná se o tzv. koloidní suspenze. Eliminace odpudivých sil změnou elektrického náboje částic se prakticky provádí přídavkem vhodného elektrolytu, nebo roztoku polymeru. Pak mezi částicemi převládnou van der Waalsovy přitažlivé síly, začne docházet k tvorbě shluků, tzv. koagulaci nebo flotaci. Ke koagulaci suspenze dochází přidáním látky, které narušují obalovou sféru kolem částice, vznikají přitažlivé síly, čímž se vytvářejí shluky částic. Tyto shluky mají pochopitelně větší charakteristický rozměr a proto se usazují rychleji. Obvyklými koagulanty jsou elektrolyty, nejčastěji roztoky solí, např. hliníku. Při flotaci dochází ke slepování částic, vytvářejí se tzv. vločky, tyto rychleji sedimentují. Jako flokulanty se používají polyakrylamid a aktivovaná kyselina křemičitá. Oba tyto způsoby se využívají při čistění vody. Vliv nespojitosti prostředí – pro sedimentaci částic jsme předpokládali spojité prostředí, tato podmínka hlavně u plynu není splněna. U plynů je volná dráha molekul za atmosférického tlaku a pokojové teploty 10-4 až 10-5 mm, u kapalin pak 10-7 mm. Pro vzduch za uvedených podmínek je volná dráha molekul λ = 0.8.10-4 mm, potom hranice použitelnosti Stokesova zákona platí pro částice s průměrem d > 10 μm. Pro tuto oblast lze v literatuře vyhledat korekční faktory. U částic s průměrem d < 0,1 μm se začne projevovat vliv Brownova pohybu, částice se pohybují všemi směry a prakticky se neusazují. Rychlost vznosu - podle obr. 6.18 je to taková rychlost kapaliny vv, když pevná částice nacházející se v této kapalině se nepohybuje, tedy platí vv = wv. Při výpočtu sedimentační rychlosti jsme předpokládali, že kapalina stojí a pevná částice se vlivem tíhové síly pohybuje. Odlišné poměry budou v opačném případě, kdy kapalina bude proudit a pevná částice se bude pohybovat v tomto proudu kapaliny. Je-li proudění laminární, potom sedimentace probíhá jako by kapalina se nepohybovala. Složitější je situace u proudění turbulentního.

Obr. 6.18 Rychlost vznosu Sedimentaci podstatně ovlivňují vertikální fluktuace rychlosti. Největší vliv turbulence je na malé částice, jejichž rozměr je srovnatelný s velikostí turbulentních vírů. V tomto případě mohou částice sledovat fluktuace tekutiny a sedimentace se nemusí uskutečnit. Protože ve většině případů je proudění vody i plynů turbulentní, nemusí být hodnota sedimentační rychlosti a rychlosti vznosu stejná. Pouze v oblasti laminárního obtékání jsou tyto dvě rychlosti tekutiny totožné.

38



6.3. Obtékání míče U sportů jako je fotbal, tenis, americký fotbal, ragby, ping pong a pod. je snaha, aby se míč pohyboval po zakřivené dráze, což se prakticky provést tak, že se míč uvede vhodným způsobem do rotace (spin). Když uvedeme do rotace kouli - míč, která se současně pohybuje přímým směrem rychlostí v, potom se při rotaci uplatní Magnusova síla, určená Žukovského rovnicí

F = r.v .G ,

( 6.14)

kde cirkulace Γ se dosáhne rotací koule - míče.

æ w.d ö ÷ , pomocí è 2.v ø

Obr. 6.19 uvádí pro rotující kouli experimentálně zjištěnou závislost c x , c y = f ç

které se dá určit velikost součinitele vztlaku i odporu a tedy i velikost síly Fx a Fy při pohybu koule rychlostí v, která současně rotuje úhlovou rychlostí ω.

æ w.d ö ÷ pro rotující kouli è 2.v ø

Obr. 6.19 Závislost c x , c y = f ç

Obtékání golfového míčku – u golfového míčku je snaha dosáhnout snížení odporu, aby míček měl delší let, uplatňuje se i změna směru letu, tato je však méně významná. Samotný golfový míček v průběhu let prodělal významné změny, hlavně z hlediska použitých materiálů. První míčky byly dřevěné, později kožené, které byly plněny husím peřím. Dalším používaným materiálem v minulosti byla přírodní a později i syntetická pryž. Míčky měly hladký povrch. Na začátku 20 století se začaly vyrábět míčky s drsným povrchem, k výrobě se používají nejrůznější plasty obr. 6.20. Tato revoluční změna měla na let míčku zásadní vliv. U míčku je aplikován poznatek, že snížení součinitele odporu pro drsný povrch obtékané koule nastává při nižších Re-číslech. Povrch golfového míčku je proveden jako drsný, obvykle pomocí důlků.

39



Obr. 6.20 Golfový míček provedený s různých materiálů a s důlky na jeho povrchu Podle provedených měření závislost cx = f (Re) pro drsnou kouli vykazuje snížení cx, při nižších Rečíslech než při obtékání hladké koule – obr. 6.21 .

Obr. 6.21 Závislost cx = f (Re) pro golfový míček Aby se využilo poklesu cx pro hladký golfový míček při Re = 450 000, musela by být rychlost golfového míčku při odpalu holí v = 576 km/hod. Takové rychlosti se odpálením golfového míčku holí nedá prakticky dosáhnout. Je-li však golfový míček drsný, lze jeho odpálením holí dosáhnout rychlosti v = 274 km/hod, tomu odpovídá Re = 214 000 a jak je patrné na obr. 6.21 při tomto Re-čísle se již uplatňuje výrazné snížení cx. Proto drsný golfový míček letí dále než míček hladký a současně jeho let je stabilnější.

Obr. 6.22 Let golfového míčku při jeho rotaci okolo svislé osy 40



Parametry golfových míčků jsou přesně stanoveny, tak např. průměr 42,67 mm, hmotnost 46,93 g, max. rychlost odpalu 274 km/hod., tomu odpovídá Reynoldsovo číslo 214 000, max. dolet je 254,6 m. Let golfového míčku výrazně ovlivňuje jeho rotace při odpalu – obr. 6.22. Má-li míček rotací okol svislé osy, pak na míček působí vodorovná síla, která míček vychýlí z vodorovného směru. Když je rotace proti směru hodinových ručiček (při pohledu na míček shora), potom se golfový míček odchyluje od přímého směru doleva a naopak. Je-li golfovému míčku udělena při odpalu rotace okolo vodorovné osy – obr. 6.23, potom na míček působí svislá síla – vztlaková síla, která působí proti gravitaci, míček je touto silou nadzvedáván a proto dráha letu míčku je delší. Když je však rotace míčku neúměrně velká, tento vystoupí do větší výšky, dráha letu však nemusí být maximální (obr. 6.23 modrá dráha). Je-li rotace malá, dráha letu míčku se mnoho neprodlouží (obr.6.23 zelená dráha). Optimální rotace míčku znamená i jeho max. dolet (obr.6.23 dráha červená).

Obr. 6. 23 Let golfového míčku při jeho rotaci okolo vodorovné osy Fotbalový míč - kterému při kopu byla udělena rotace okolo svislé osy, je jeho let uveden na obrázku - obr. 6.24 . Kop nebyl veden do středu míče, ale mimo jeho střed, tím se míč roztočí okolo svislé osy. Je li rotace míče proti směru hodinových ručiček, při pohledu na míč z hora potom se míč od přímky odchyluje doleva a naopak. Rotací míče okolo svislé osy vznikne cirkulace rychlosti a podle rovnice ( 6.14) tato cirkulace má za následek vznik Magnusovy síly, která let míče vychýlí z přímého směru a takovým způsobem je možné např. z rohového kopu dosáhnout gólu.

Obr. 6.24 Schéma pohybu fotbalového míče při jeho současné rotaci proti hodinovým ručičkám Tenisový míč - je možné úderem rakety uvést do rotace okolo vodorovné osy. Vzniklá Magnusova síla F ovlivní dráhu tenisového míčku tak, že tento padá k zemi rychleji než při pohybu bez rotace – obr. 6.25. 41



Obr. 6.25 Tenisový míč Baseballový míč – obdobná jako fotbalového míče je situace i u baseballového míčku – obr 6.26.

Obr. 6.26 Let baseballového míče Míč pro americký fotbal – obr. 6.27, podobně jako míč pro ragby může být při kopu uveden do rotace, vznikla Magnusova síle jej z přímého letu vychýlí podobně jako u fotbalového míče.

42



Obr. 6.27 Let míče pro americký fotbal (footbal) nebo ragby Úprava dráhy letu míče jeho rotací se asi v největší míře uplatňuje u stolního tenisu (pingpong), kde vhodným pohybem a postavením pálky se dá let míčku v prostoru různě dle potřeby korigovat – obr. 6.28. Míček pro stolní tenis je vyroben z celuloidu, jeho průměr činí 37,2 až 38,2 mm a má hmotnost 2,40 až 2,53 gramů

Obr. 6.28 Let míčku u stolního tenisu

43



7. Obtékání válce a vybrané aplikace 7.1. Obtékání válce Válec, stejně jako koule je těleso z jednoduchou geometrií a z hlediska obtékání je relativně velmi podrobně prozkoumáno stejně jako u koule, a to jak pro malá Re-čísla (plouživé proudění), tak i pro vysoká Re-čísla. Analytické řešení je možné pouze pro malá Re-čísla Re < 2, pro větší Re-čísla je možné poznatky získat pouze experimentálním měřením, např. v aerodynamickém tunelu. Pro plouživé obtékání nekonečně dlouhého válce, v nekonečně velkém prostoru a za předpokladu, že vektor rychlosti tekutiny je kolmý na osu válce, pro součinitel odporu odvodil Lamb rovnici

c = cx =

8p . Re(2,002 - ln Re )

( 7.1)

Reynoldsovo číslo je učeno známým vztahem

Re = kde

v.d n

d = 2.r - je průměr koule v = v∞ - rychlost obtékání koule - kinematická viskozita proudící tekutiny n Tato rovnice platí přesně pro Re < 0,5, prakticky se používá pro Re < 2. Obrázek 7.1 uvádí závislost c x = f (Re) , která pro Re > 1 byla stanovena měřením v aerodynamickém tunelu.

Obr. 7.1 Závislost c x = f (Re) pro válec Obtékání válce ideální tekutinou je možné řešit analyticky s využitím teorie potenciálního proudění (jedná se o proudění, které vznikne superpozicí rovnoběžného proudu a dipólu), závislost průběhu tlaku na povrchu válce je na obr. 7.2. Výsledky na tomto obrázku jsou však v rozporu s naměřenými hodnotami pro skutečnou tedy vazkou tekutinu. Viskozita tekutiny hraje dominantní úlohu při obtékání válce vazkou tekutinou, vývoj proudění je charakterizován velikostí bezrozměrného podobnostního Reynoldsova čísla Re.

44



Obr. 7.2 Tlakový profil při obtékání válce Tlakový profil za válcem uvádí obr. 7.2, čára pro obtékání válce ideální tekutinou – potenciální proudění je symetrická, nevzniká žádný odpor, což odporuje skutečnosti. Na závislosti cx = f(Re) – obr. 7.1, stejně jako při obtékání koule je možné pozorovat několik výrazných oblastí, popis provedený pro kouli v předcházející kapitole je prakticky možné použít i pro válec. Pro popis těchto výrazných oblastí je učiněn předpoklad, že nabíhající proud má nulovou turbulenci, potom v přední části válce se vytváří laminární mezní vrstva.

Obr. 7.3 Závislost úhlu j = f (Re) a délky úplav lw = f (Re) pro válec Oblast „0“ pro Re < 1 - jedná se o plouživé proudění, obtékání válce je symetrické, je to tzv. Stokesovo proudění u kterého byla zanedbána setrvačná síla. Rovněž Osenovo proudění zachovává symetrii proudění v blízkosti válce, ve větší vzdálenosti od válce je symetrie již narušena.

45



Oblast „A“ pro 1 < Re < 100 – jedná se o přechodnou oblast, odporový součinitel s rostoucím Re rychle klesá, převládá třecí odpor nad tlakovým. Re > 1 – proudění se s rostoucím Re stává postupně asymetrickým, podle obr. 7.3 se pro Re = 6,23 začnou za válcem symetricky k podélné ose vytvářet dvě oblasti s uzavřenými proudnicemi, tyto se projevují jako víry, jejich velikost s rostoucím Re podle obr. 7.3 roste a rovněž se zvětšuje úhel q , který charakterizuje bod odtržení mezní vrstvy. Re = 40 – začíná se projevovat malá asymetrie vírů za válcem. Re > 60 – v úplavu za válcem vznikají pravidelné oscilace spojené se střídavým zvětšováním vírů, tyto odplouvají, vytváří se Kármánova vírová cesta – úloha je podrobně popsána v dalším textu této kapitoly. Re < 100 – proudění je laminární, vírová řada se udrží cca 100 až 150 D za válcem, v důsledku vazké difuse se víry začnou rozpadat. Od Re > 200 vírová řada přejde na určité vzdálenosti do turbulentního úplavu. Oblast „B“ pro 100 < Re < 4.103 - odtrhávání vírů v zadní části koule má za následek pokles součinitele odporu cx. Postupně začíná převažovat odpor tlakový nad odporem třecím. V přední části válce je stále laminární mezní vrstva. Bod odtržení mezní vrstvy „S“ – obr. 7.4 s rostoucím Re-číslem se posouvá proti proudu, délka úplavu se s rostoucím Re-číslem rovněž prodlužuje, velikost (objem) úplavu se zvětšuje. – obr. 7.3. 100 < Re < 500 – vírová řada a úplav si nesou v sobě první projevy turbulence. Každý z odplouvajících vírů má v sobě zárodek nestability, což postupně vede ke vzniku turbulence, Při Re = 500 se víry stávají turbulentní, jejich vzdálenost se začne zmenšovat, zřetelný tvar vírové řady se začne ztrácet, vírová struktura úplavu však nezmizí. Re > 1000 – za válcem se začnou vytvářet původní dva víry, k odtrhávání těchto vírů však začíná již na povrchu válce. Pro Re < 100 byl původní mechanismus úplavu difuse vířivosti, potom pro Re > 100 se jedná o nestabilitu proudění. V tomto případě tekutina není schopna utlumit malé poruch, které se v proudovém poli zesilují a vytvářejí periodickou vírovou řadu. Na válci se vytváří mezní vrstva. Oblast „C“ pro 4.103 < Re < 4.104 - je charakteristický mírný nárůst součinitele odporu cx,, což je možné vysvětlit zvýšením víření v zadní části za válcem. Stále se vytváří Kármánova vírová cesta. Převažuje vliv tlakového odporu. V přední části válce je laminární mezní vrstva až do bodu odtržení mezní vrstvy – „S“ – obr.7.4 A. Oblast „D“ pro 4.104 < Re < 3.105 - pro tuto oblast je cx = 1,3 a je prakticky konstantní. V této oblasti dochází k výrazné změně ve způsobu obtékání válce. Laminární mezní vrstva v bodě „T“ přechází v turbulentní mezní vrstvu, při čemž s rostoucím Re-číslem se bod přechodu „T“ přemísťuje k bodu odtržení mezní vrstvy – „S“, neboť se zvyšuje turbulence v zadní vírové oblasti – obr.7.4 B. Pro Re < 3.105 – na celém povrchu válce je mezní vrstva laminární až do svého odtržení, úhel odtržení q má velikost cca 110o. Oblast „E“ pro 3.105 < Re < 5.105 - po dosažení kritické hodnoty Re-čísla - Rekr = 5.105 splyne bod přechodu mezní vrstvy „T“ s bodem odtržení „S“ – obr.7.4 C. Turbulentní mezní vrstva má větší odolnost proti odtržení, protože turbulencí se přivádí do mezní vrstvy více energie, proto se bod odtržení „S“ přemísťuje ve směru proudu a současně se zmenšuje velikost úplavu. Součinitel odporu se z hodnoty cx = 1,3 prakticky skokem sníží na cx = 0,3, cx dosáhne minima pro Rekr = 5.105.

Obr. 7.4 Vývoj bodu odtržení mezní vrstvy při obtékání válce 46



Oblast „F“ pro Re > 5.106 - s dalším zvyšováním Re-čísla se zvyšuje i součinitel odporu cx . Pro 5.105 < Re < 3.106 – dochází k nestacionárnímu přechodu laminární mezní vrstvy na turbulentní, úhel odtržení q = 80 až 50° , z úplavu se vytrácí periodicita – obr. 7.9. Pro Re > 3.106 – mezní vrstva je již zpravidla turbulentní, úhel odtržení q je cca 70°, znovu se obnoví periodická struktura úplavu – obr. 7.8. S dalším zvětšování Re úhel q se zvětšuje, odtržení mezní vrstvy se posouvá proti proudu. Z hlediska velikosti Machova čísla nabíhajícího proudu Ma∞ < 0,3 se popsaná struktura obtékání válce nemění, avšak při Ma∞ > 0,3 začnou na válci vznikat lokální supersonické oblasti uzavřené rázovou vlnou. Pro Ma∞ → 1 se uzavírací rázová vlna přesune až za válec, úplav se stabilizuje a rozšíří a stabilizuje se současně i bod odtržení. Pro Ma∞ > 1 vznikne před válcem odlehlá čelní rázová vlna, tzv. výstupní rázové vlny se posunou po proudu a zúží úplav. Periodická struktura úplavu se vyvine až ve větší vzdálenosti za válcem – obr. 7.5.

Obr. 7.5 Proudové pole při obtékání válce - Ma > 1 Numerickým řešením Navierovy-Stokesovy rovnice při obtékání válce byl stanoven bod odtržení mezní vrstvy a její vývoj za válcem ve směru proudění – obr. 7.6.

Obr. 7.6 Vývoj mezní vrstvy při obtékání válce pro Re = 100 000 Obr. 7.7 uvádí závislost c x = f (Re) pro kouli i pro válec, podobnost křivek pro obě tělesa je zřetelná.

47



Obr. 7.7 Závislost c x = f (Re) pro kouli a válec 7.2. Kármánova vírová cesta Za obtékaným tělesem dochází k odtržení mezní vrstvy a za tělesem se vytváří úplav, tento je při malých Re stabilní a neodtrhává se od tělesa. Od jisté velikosti Re-čísla se však začíná úplav odtrhávat a je proudící tekutinou unášen ve směru proudění. Odtrhávání vírů je střídavé – obr.7.8, toto je dáno tím, že je málo pravděpodobné, že oba víry se budou vyvíjet v čase naprosto stejně, obrázek uvádí několik zajímavých příkladů, jak jsou publikovány v odborné literatuře.

Obr. 7.8 Kármánova vírová cesta za válcem

48



Řadě vírů unášených proudící tekutinou za tělesem se říká „ Kármánova vírová cesta“, Kármán tuto úlohu studoval a podrobně popsal. Obrázek 7.9 uvádí vývoj Kármánovy vírové cesty s rostoucí velikostí Reynolssova čísla.

Obr. 7.9 Kármánova vírová cesta za válcem a její vývoj s rostoucím Reynolsovým číslem Kármánova vírová cesta je asi nejpodrobněji popsána při obtékání válce, první experimentální práce publikoval Roshko. Obr. 7.10 uvádí závislost Strouhalova čísla jako funkci Reynoldsova čísla – Sh = f (Re) podle původního měření Roshka a také stejnou závislost, ale vyhlazenou.

Obr. 7.10 Závislost Sh = f (Re) podle měření Roshka V obrázcích je Strouhalovo Sh a Reynoldsova číslo definováno zlomkem

Sh = kde

f d

f .d , n

Re =

v.d , n

( 7.2)

- frekvence odtrhávaných vírů - průměr válce 49


v

n


- rychlost proudění - kinematická viskozita proudící tekutiny

Podle experimentálních měření pro Reynoldsova čísla v oblasti 5.105 < Re < 3.106 v důsledku nestacionárního přechodu laminární mezní vrstvy na turbulentní se z úplavu vytrácí periodicita,tato se znovu obnoví pro Re < 3.106, závislost Sh = f (Re) již není konstantní, ale funkce začíná rychle stoupat – obr. 7.11.

Obr. 7.11 Závislost Sh = f (Re) Podle experimentálních měření obr. 7.3 je možné tvrdit, že víry za válcem se začínají vytvářet od velikosti Re > 6,23. Podle měření Roshka se odtrhávání vírů začalo objevovat od Re > 40, měření probíhala za válcem průměru 2,23 až 6,35 mm, rychlost proudění byla měřena žárovým anemometrem, frekvence odtrhávaných vírů byla určena z naměřené spektrální výkonové hustoty.

Obr. 7.12 Kármánova vírová cesta sejmutá rychlokamerou

50



Obr. 7.12 uvádí sérii snímků Kármánovy vírové cesty sejmuté rychlokamerou s frekvencí snímání 30 000 snímků/s, horní řada snímků je pro Ma = 0,45 a Re = 110 000, pro druhou řadu je Ma = 0,64 a Re = 1,35.106.

Obr. 7.13 Vývoj úplavu za obtékaným válce v závislosti na velikosti Machova čísla Následující obrázek uvádí vývoj úplavu a Kármánovy vírové cesty za válcem pro Machovo číslo Ma → 1. Pro Ma = 0,98 se z úplavu vytrácí periodicita, což rovněž potvrzuje obr. 7.11. Vývoj úplavu a vznik Kármánovy vírové cesty za obtékaným válcem získaný numerickým řešením Navierovy-Stokesovy rovnice uvádí obr. 7.14.

Obr. 7.14 Vývoj Kármánovy vírové cesty stanovený numerickým výpočtem Obr 7.15 pak uvádí 3D obtékání jednoho nebo dvou válců různé výšky při stejném Reynoldsově čísle a vznik Kármánovy vírové cesty, obrázky byly získány numerickým výpočtem.

Obr. 7.15 Obtékání jednoho nebo dvou válců – d – průměr válce, L – délka válce 51



Kármánova vírová cesta nevzniká pouze při obtékání koule nebo válce, ale vyskytuje se i při obtékání jiných těles či útvarů. Obr. 7.16 uvádí obtékání ostrova Guadalupe, za kterým se vytváří Kármánova vírová cesta, která je díky oblačnosti dobře viditelná. Snímky byly pořízeny z meteorologické družice.

Obr. 7.16 Kármánova vírová cesta při obtékání ostrova Guadalupe Odtrhávání vírů za obtékaným tělesem – válcem způsobí periodické změny rychlostního i tlakového pole, proto odporová síla není konstantní, ale má amplitudově namodulovanou periodickou složku s frekvencí f - obr. 7.17, velikost této frekvence odpovídá Strouhalovu číslu.

Obr. 7.17 Závislost odporové síly na čase Je li vlastní frekvence obtékaného tělesa fv určena vztahem

fv =

1 2p

k , m

( 7.3)

kde

k - tuhost tělesa m - hmotnost tělesa potom při řešení praktických úloh je nutné zajistit, aby nebyla stejná vlastní frekvence a frekvence odtrhávaných vírů – fv ≠ f. Tuto podmínku je nutné respektovat při návrhu štíhlých staveb jako jsou např. stožáry, věže, tovární komíny, chladící věže, mrakodrapy apod. V technické praxi jsou známé případy, kdy tato podmínka nebyla dodržena a vznikly problémy nebo i havárie. Asi nejznámější případem je zřícení kabelového mostu přes Taconskou úžinu v USA ve státě Washington. Most byl dlouhý 1,6 míle a ke zřícení došlo 1. 6. 1940 – obr. 7.17. Událost byla dobře zdokumentována jak formou fotografií, tak byla i zaznamenána filmovou kamerou.

52



Obr. 7.18 Foto mostu přes Tacomskou úžinu V ČR byl postaven v souvislosti se stavbou přehrad na Vltavě v Jižních Čechách obloukový most u Žďákova – obr 7.19. Most má celkovou délku 542,91 m, rozpětí oblouku je 379,6 m, most se stavěl v letech 1957 až 1965. Po jeho postavení při rychlosti větru cca 40 km/hod došlo ke kmitání svislých pilířů - podpěr, tyto byly zhotoveny z ocelové trubky průměru 900 mm. Tato nepředpokládaná událost se vyřešila tím, že do dutých pilířů byl nasypán štěrk. Podle rov. ( 7.3) se zvýšila štěrkem hmotnost, tím se snížila vlastní frekvence pilíře a bylo vyhověno podmínce fv ≠ f.

Obr. 7.19 Foto mostu u Žďákova Aby se eliminoval vliv periodické síly na komíny, případně jiné svislé a štíhlé stavby – věže a pod., opatřují se tyto stavby „límcem“ ve tvaru šroubovice, která byla zvolena proto, aby se eliminoval směr větru. Na hraně této šroubovice dojde k odtržení mezní vrstvy, což sníží vliv periodické síly. Názory v odborné veřejnosti se na tento problém však rozcházejí, aplikace límce na radarovou věž, nebo tovární komín je na obr. 7.20.

53



Obr. 7.20 Foto radarové věže a komínu se spirálovým límcem Kármánova vírová cesta se také uplatňuje při obtékání vrtných věží a plošin pro těžbu nafty z mořského dna. Stojiny těchto plošin, pokud jsou tyto postaveny na mořském dně a mají tvar válce (trubky), se opatřují rovněž límcem ve tvaru šroubovice – obr. 7.21. Touto úpravou se eliminuje vliv periodické síly, která vzniká v důsledku obtékání stojin mořskými proudy, efekt je stejný jako u komínu.

Obr. 7.21 Plošina pro těžbu nafty z mořského dna Když hloubka moře je velká, nedá se plošina postavit na mořském dně, potom je plošina pouze ukotvena a potrubím je spojena s vrtem na mořském dně. V důsledku obtékání tohoto potrubí mořskou vodou vzniká Kármánova vírová cesta, potrubí může kmitat, protože může být vybuzeno periodickou silo od Kármánovy vírové cesty – obr. 7.20

7.3. Potenciální obtékání válce Je li válec obtékán ideální tekutinou a proudění je nevířivé, hovoříme o potenciálním proudění, nebo též potenciální obtékání válce. Toto obtékání může být buď bez cirkulace nebo s cirkulací. Obtékání válce bez cirkulace – toto obtékání vznikne superpozicí rovnoběžného proudu a dipólu, tvar proudnic je uveden na obr. 7.22.

54



Obr. 7.22 Potenciální obtékání válce bez cirkulace – tvar proudnic Složky rychlosti ve směru osy x nebo y stanovíme z proudové funkce

é ¶F x2 - y 2 = v ¥ ê1 - ro2 vx = 2 ¶y êë x2 + y 2

(

¶Y 2.x.y v y= = -v ¥ro2 2 ¶x x + y2

(

)

ù é æ r ö2 ù ú = v ¥ ê1 - ç o ÷ cos 2j ú úû êë è r ø úû 2

)

2

ær ö = -v ¥ ç o ÷ sin 2j . èr ø

( 7.4)

Maximální rychlost bude na povrchu válce v bodě K a L, tyto body mají souřadnice

x = 0;

y = ±ro ,

dosazením pro složky rychlosti – rov. ( 7.4) dostaneme

v y = 0; v x = 2.v ¥ . V náběhovém bodě N a odtokovém bodě M jsou rychlosti vx = 0 a vy = 0, jsou to tzv. singulární body. Rozložení rychlosti na povrchu válce se určí z rovnice (7.4), když se dosadí r = ro, potom dostaneme

v xo = 2.v ¥ sin2 j;

v yo = -v ¥ sin 2j ,

( 7.5)

výsledná rychlost na povrchu válce je určena rovnicí 2 2 v o = v xo - v yo = 2.v ¥ sin j .

( 7.6)

Tlak na povrchu válce se bude měnit v důsledku změny rychlosti a jeho velikost stanovíme z Bernoulliho rovnice napsané pro nultou proudnici – obr. 7.22

p¥ v ¥2 po v o2 . + = + r 2 r 2 Tlak na plášti válce po se vypočte po dosazení výrazu pro rychlost vo tekutiny na povrchu válce

55


po = p¥ +


(

)

r.v ¥2 1 - 4. sin2 j , 2

( 7.7)

jeho průběh uvádí obr.7.2. Největší tlak je v náběhovém bodě N a teoreticky i v odtokovém době M, a jeho velikost činí

po max = p¥ +

v ¥2 r. 2

( 7.8)

Je-li největší tlak v náběhovém bodě N a nejmenší tlak je v bodě K nebo L, potom mezi těmito body musí existovat bod S, ve kterém je tlak stejný jako je tlak před válcem, platí tedy podmínka že po = ps = p∞. Poloha bodu S je určena podmínkou

1 - 4. sin2 js = 0 , odkud φ = 30°. Otvorem v bodě S by se dal změřit statický tlak proudu. Ze symetrie proudového pole a platnosti Bernoulliho rovnice lze usuzovat, že rozložení tlaků bude rovněž symetrické vůči oběma osám, proto výslednice tlakových sil na obtékaný válec je nulová. Obtékání válce s cirkulací - složením tří základních druhů potenciálního proudění a to rovnoběžného proudu, dipólu a cirkulace, získáme obtékání válce, proudové pole je na obr. 7.17, při čemž cirkulace rychlosti je definována vztahem

G = ò v.ds .

( 7.9)

k

Superponovaný krouživý pohyb částic tekutiny o potenciálního víru poruší symetrii v rozložení rychlosti na povrchu válce, a tím i rozložení tlaku. Účinkem cirkulace vznikne tlaková - vztlaková síla. U skutečné tekutiny lze cirkulaci rychlosti prakticky realizovat tak, že obtékaný válec rovnoběžným proudem bude rotovat. Pro Γ = 0 proudová funkce Ψo (nultá proudnice) opisuje kružnici a tvoří obrys válce obr. 7.22a. Je-li cirkulace Γ > 0, potom je rychlostní pole podél vodorovné osy x nesymetrické, proto vzniká vztlaková síla, vztah pro její výpočet odvodil Žukovský a rovnice nese jeho jméno

Fy = r .v .G .

( 7.10)

Tato rovnice byla odvozena pro proudění ideální tekutiny, platí však i pro proudění skutečných tekutin.

Obr. 7.23 Potenciální obtékání válce s cirkulací

56



Složky rychlosti vx nebo vy v libovolném bodě proudového pole získáme derivací proudové funkce

vx =

é ¶F x2 - y 2 = v ¥ ê1 - ro2 2 ¶y êë x2 + y 2

(

)

ù G y ú+ = úû 2p x 2 + y 2 ,

é æ r ö2 ù G = v ¥ ê1 - ç o ÷ cos 2j ú + sinj êë è r ø úû 2.p .r æ ¶Y G x 2.y çv r 2 =- 2 + v y= 2 ç ¥ o 2 2 ¶x 2.p x +y è x +y r2 G ö÷ cos j æç =2.v ¥ o sinj + r çè 2.p ÷ø r

(

)

(

)

ö ÷= ÷ ø

( 7.11)

Obdobným způsobem se dají odvodit rovnice pro složky rychlosti v radiálním vr nebo tečném směru vs

é æ r ö2 ù v r = v ¥ ê1 - ç o ÷ ú cos j ; êë è r ø úû

é æ r ö2 ù G v s = -v ¥ ê1 - ç o ÷ ú sinj + 2.p .r êë è r ø úû

.

( 7.12)

Z výrazu pro vs do které dosadíme r = ro určíme rychlost na povrchu válce

v o = v so = -2.v ¥ sin j -

G . 2.p .ro

( 7.13)

Velikost cirkulace Γ určuje tvar proudového pole. Stagnační body s rostoucí velikostí cirkulace Γ se posouvají po povrchu válce k ose y - obr. 7.23b. Pro náběhový bod platí vN = vso = 0 a po úpravě

sinjN = -

G . 4.p .ro .v ¥

( 7.14)

Souřadnice náběhového a odtokového bodu (singulární body) jsou určeny vztahy 2

xN = ro . cos jN = ± ro 1 - sin jN

y N = ro . sin jN = -

æ ö G ÷÷ = ± 1 - çç è 4.p .ro .v ¥ ø

G . 4.p .v ¥

2

( 7.15)

Cirkulace ovlivňuje polohu náběhového a odtokového bodu, a tím rozložení rychlostí i tlaků na povrchu obtékaného válce. Další zvětšení cirkulace vede ke splynutí stagnačních bodů – obr. 7.23c. Když cirkulace dále roste, potom stagnační bod se odtrhne od povrchu válce a začne se vzdalovat ve směru osy y – obr. 7.23d. Nultá proudnice v tomto případě není totožná s povrchem válce, tento však obepíná v jisté vzdálenosti od jeho povrchu. Jak ukazuje obr.7.23 proudové a rovněž i tlakové pole je symetrické okolo osy y, není však symetrické okolo osy x, toto je příčinou vzniku vztlakové síly, její velikost je dána rov. ( 7.10), rovnici odvodil Žukovský, proto rovnice nese jeho jméno. 7.4. Magnusova síla Podle rovnice ( 7.10) při obtékání tělesa s cirkulací vznikne vztlaková síla, tato se také často nazývá Magnusova. Vznik cirkulace při obtékání válce se dá prakticky realizovat jeho otáčení, musí však současně tekutina proudit (např. foukat vítr), Magnusova síla je potom kolmá na rychlost tekutiny (větru). V 19 století, před praktickým využití lodního šroubu, bylo pro pohon lodí využíváno rotujících válců. Loď byla opatřena jedním nebo více válci, tyto byly otáčeny okolo 57



svislé osy např. parním strojem. Při rotaci válců u skutečné tekutiny – vzduchu se vytvoří cirkulace rychlosti Γ, v důsledku této cirkulace působí na válec síla, v literatuře nazývaná Magnusova síla určená rov. ( 7.10).

Obr. 7.24 Velikost součinitele odporu a vztlaku pro rotující válec Závislost odporového součinitele cx a součinitele vztlaku cy podle provedených měření pro obtékaný rotující válec je na obr. 7.24. Několik praktických příkladů využití Magnusovy síly k pohonu lodí uvádí obr. 7.25.

Obr. 7.25 Použití rotujícího válce k pohonu lodí

58



Využití Magnusovy síly bylo také podle literatury aplikováno u letadel, kde klasické křídlo bylo nahrazeno rotujícím válcem, obr. 7.26 uvádí dvě aplikace.

Obr. 7.26 Magnusova síla a její využití u letadel

59



8. Obtékání profilů V technických aplikacích je využití profilů velmi rozsáhlé a rozmanité, jejich obtékání byla a dosud je věnována velká pozornost a to jak v oblasti teoretické, tak i experimentální včetně matematického modelování. Samostatně obtékané profily se uplatňují v letectví, při konstrukci křídel a ocasních ploch. Je-li obtékaná řada několika profilů, vzniká profilová mříž – obr. 8.1, jejích rozsáhlé uplatnění je u lopatkových (odstředivých) strojů, jako jsou např. axiální čerpadla a turbíny, parní a spalovací turbíny, turbokompresory apod.

Obr. 8.1 Profilová mříž V přírodě je možné pozorovat uplatnění profilů u semen rozličných rostlin nebo stromů, ale především u křídel ptáků – obr. 8.2. Samotný let ptáků je úloha velmi složitá a technickými prostředky prakticky nerealizovatelná. Profil křídla ptáků inspiroval na konci 19. století i tvary profilů použitých v letectví. Bylo vyvinuto velké množství profilů založených převážně na experimentech, profilů více či méně úspěšných.

Obr. 8.2 Profil křídla některých vybraných ptáků V technických aplikacích podle jejich tvaru je možné profily rozdělit následujícím způsobem: - podle průběhu střední křivky na profily souměrné a nesouměrné - podle spodní hrany profilu na rovné, vyduté, vypuklé a S – profily - podle geometrických charakteristik na profily klasické, laminární, rychlostní, nadzvukové a další S rostoucí rychlostí, nebo velikostí Machova čísla se tvar profilu mění, pro větší rychlosti se profil stává štíhlejší, některé vybrané tvary profilů a jejich aplikace jsou v tabulce 8.1.

60



Tabulka 8.1 Ukázka vybraných tvarů leteckých profilů

8.1. Síly a momenty působící na profil Profilů existuje velké množství, jejich geometrické nebo aerodynamické parametry jsou uváděny v katalogu, známé jsou např. profily NACA, Clark Y, Göttingen apod. Geometrické charakteristiky spolu s úhlem náběhu a velikosti Re-čísla nejpodstatněji ovlivňují síly, které na profilu vznikají při jeho obtékání. Geometrický tvar profilů je obvykle udáván relativními souřadnicemi, vyjádřenými v procentech hloubky tětivy, tyto údaje jsou nejčastěji zpracovanými do tabulky nebo jsou aproximovány polynomem. Základní geometrické charakteristiky profilu uvádí obr. 8.3.

Obr. 8.3 Geometrické charakteristiky profilů 61



Mezi základní charakteristiky patří, poloměr náběžné hrany, střední křivka, délka tětivy, maximální prohnutí fmax, maximální tloušťka profilu tmax, úhel odtokové hrany α, tloušťka odtokové hrany. Při obtékání profilu – obr. 8.4 sledujme částici tekutiny v nulté proudnici, tekutina dosáhne stagnační bod „A“, kde se jako „rozdělí na dvě poloviny“, jedna polovina proudí po horní ploše, druhá pak po spodní ploše profilu. Obě poloviny tekutiny se ve stejném čase musejí setkat na konci profilu v bodě „E“. Z této podmínky vyplývá, že částice tekutiny na horní ploše profilu se musí pohybovat větší rychlostí než částice tekutiny na spodní ploše profilu. Protože platí Bernoulliho rovnice, větší rychlosti tekutiny na horní ploše profilu odpovídá menší tlak než na spodní ploše profilu. Náběžný bod není na profilu pevný, s rostoucím úhlem náběhu se po spodní ploše nepatrně posouvá ve směru proudění. Protože nesymetrický profil vyvolá vznik cirkulace rychlosti a tedy vztlakovou sílu, z tohoto důvodu jsou proudnice před i za profilem tlačeny dolů, vzniká tzv. srážení proudu, jeho velikost se zvětšuje s rostoucím úhlem náběhu - obr. 8.4. Charakter proudění, rozložení tlaků, sil a momentů na profilu je velmi podobný obtékání koule či válce, úlohu můžeme sledovat na obr. 8.4. V náběžném bodě A poklesne rychlost prakticky na nulu, podle Bernoulliho rovnice stoupne v náběžném bodě tlak, tento dosáhne velikosti celkového tlaku. V bodě B na horní i spodní straně profilu je dosaženo max. rychlosti a také nejmenšího tlaku. Pak začíná rychlost klesat a tlak stoupat, v bodě C je dosaženo kritického Reynoldsova čísla, laminární mezní vrstva se začíná měnit na turbulentní. Mezi body C až D je turbulentní mezní vrstva, jejíž tloušťka rychle narůstá. Je-li úhel náběhu malý nebo nulový, potom bod D se může přesunout až k odtokové hraně do bodu E. Podstatně jiné proudění vznikne, je-li úhel náběhu velký. V tomto případě v bodě D má rychlost nulovou hodnotu, dojde k odtržení mezní vrstvy, dále má rychlost opačný smysl (záporné hodnoty), čímž vzniká zpětné proudění. Odtržený proud a zpětné proudění vytvářejí víry, které přecházejí do úplavu, ve kterém je nižší tlak než před obtékaným profilem. S rostoucím úhlem náběhu se body B, C, D posouvají směrem k náběžnému bodu A. Tento stav není z hlediska obtékání profilu příznivý, proto je vhodné volit takové úhly náběhu, při kterých je bod odtržení D totožný s odtokovou hranou E.

Obr. 8.4 Schéma obtékání profilu Obtékání leteckého profilu pro různé úhly náběhu stanovený numerickým modelováním je na obr. 8.5. Obrázek názorně ukazuje vývoj rychlostního pole a mezní vrstvy na horní (podtlakové) straně profilu v závislosti na úhlu náběhu, který se na jednotlivých obrázcích mění s krokem po 2 stupních. Je velmi dobře vidět místo odtržení mezní vrstvy, které pro malé úhly začíná u odtokové 62



hrany a s rostoucím úhlem náběhu se přesouvá k náběžné hraně. Je také pěkně vidět vznik vírů a jejich přechod do úplavu za křídlem.

Obr. 8.5 Numerická simulace vývoje mezní vrstvy při obtékání profilu v závislosti na úhlu náběhu Rozložení tlaků na povrch profilu schématicky uvádí obr. 8.6. Z Bernoulliho rovnice jak již bylo řečeno vyplývá, že na spodní straně profilu je přetlak, naopak na horní straně je podtlak. Integrací po celé ploše profilu získáme výslednou sílu, která působí na profil při jeho obtékání

F = ò p.dS = c.S S

kde

v ¥2 pd = r 2

v ¥2 r = c.S.pd , 2

( 8.1)

je dynamický tlak.

Výslednou sílu obvykle rozkládáme na složku vodorovnou Fx,která představuje odporovou sílu a složku svislou Fy, která představuje sílu vztlakovou. Obě složky můžeme vyjádřit vztahem

v ¥2 r = c x .S.pd , Fx = c x .S 2 v2 Fy = c y .S ¥ r = c y .S.pd . 2

( 8.2) ( 8.3)

Protože tyto dvě síly jsou na sebe kolmé , pro výslednou sílu platí

F = c .S

v ¥2 r = Fx2 + Fy2 2

( 8.4)

kde S – půdorysná plocha křídla (na rozdíl od ostatních těles, kde plocha je průmět tělesa do roviny kolmé na směr rychlosti)

63



Obr. 8.6 Rozložení tlaků na povrchu profilu a velikost působících sil na profilu Výslednou sílu F je možné také rozložit na složku normálovou – Fn, tato je kolmá na tětivu profilu a na složku tečnou - Ft, která je s tětivou rovnoběžná - obr. 8.7. Tyto složky jsou určeny rovnicemi

Fn = Fy .sosa + Fx . sina

Ft = Fx .sosa - Fy . sin a Vznik vztlaku je možné vysvětlit pomocí cirkulace rychlosti Γ okolo profilu. Odvození provedl Žukovký

Fy = r.v ¥ .G = c y .S

v ¥2 r . 2

( 8.5)

Z této rovnice pro cirkulaci platí vztah

G=

1 c y .S.v ¥ . 2

( 8.6)

Cirkulace rychlosti je vyvolána tím, že profil je nesymetrický, u symetrického profilu nebo desky pak tím, že je profil proti rychlosti postaven s jistým úhlem náběhu. Podle poslední rovnice cirkulace roste úměrně s velikostí plochy a rychlosti a je závislá na součiniteli vztlaku (tj. tvaru profilu, jakosti povrchu a úhlu náběhu). Dobře obtékané profily mají při malých rychlostech malý odpor tvarový a převažuje odpor třecí. Úhel náběhu má výrazný vliv na velikost odporu. S rostoucím úhlem náběhu mohou kladné gradienty tlaku dosahovat větších hodnot a tím může nastat odtržení mezní vrstvy (odtržení proudu), což vede ke zvětšení odporu. Nejmenší odpor je při úhlu náběhu, při němž je obtékání plynulé, tedy bez odtržení. Vztlaková síla – obr. 8.7 dává na rameni klopný moment, pro jeho velikost a smysl je důležité, ke kterému bodu bude moment určen. Obvykle se užívá náběžná hrana, 25% hloubky profilu, nebo aerodynamický střed, což je bod na profilu, ke kterému zůstává moment pro všechny úhly náběhu stálý při nezměněném charakteru obtékání profilu.

64



Obr. 8.7 Definice momentu na profilu Pro moment síly k náběžnému bodu můžeme psát

M = Fn .a = F 1.L , kde F1 - je fiktivní síla, tato působí na konci profilu a dává stejný moment k náběžné hraně jako síla normálová Fn – obr. 8.7. Může být definovaná rovnicí

F1 = cm .S

v ¥2 r, 2

kde cm - je momentový součinitel (součinitel klopivého momentu), stanovuje se stejně jako cx nebo cy měřením. Moment této síly vzhledem k náběžné hraně je

v ¥2 M = cm .S r.L . 2

( 8.7)

Pro malé úhly náběhu Fn » Fy , pak moment k náběžné hraně je

M » Fy .a = c y .S

v ¥2 r.a . 2

( 8.8)

Porovnáním posledních dvou rovnic

c y .S

v ¥2 v2 r.a »c m .S ¥ r.L , 2 2

odkud pro vzdálenost (rameno) a dostaneme

a»

cm .L . cy

Je-li délka křídla b a plocha křídla S = b.L, potom poměr L/b je určen rovnicí

l=

L S = . b b2

65



8.2. Polára profilu Součinitel odporu i vztlaku je závislý na geometrii profilu, úhlu náběhu a Reynoldsově čísle a obvykle se stanovuje měřením v aerodynamickém tunelu. Pro určitou geometrii profilu se naměřené hodnoty znázorňují v závislosti na úhlu náběhu. Této závislosti se říká rozložená polára, schématicky je uvedena pro jeden nesymetrický profil na obr. 8.8. Průběh součinitele vztlaku cy pro malé úhly náběhu je možné považovat za prakticky lineární, součinitel dosáhne svého maxima a od okamžiku kdy je narušena plynulost obtékání začne rychle klesat. Protože se jedná o profil nesymetrický, neprochází přímka počátkem souřadnic (u symetrického profilu by přímka procházela počátkem souřadného systému). Nesouměrné profily vykazují i při záporném úhlu náběhu jistý vztlak. Součinitel odporu cx s rostoucím úhlem náběhu rovněž roste, ne však lineárně, ale strměji.

Obr. 8.8 Rozložená polára nesymetrického profilu Jiný, ale velmi častý způsob znázornění součinitelů cx, cy a úhlu náběhu α je polára profilu, schématicky uvedená na obr. 8.9. Na svislou osu je vynášen součinitel vztlaku cy, na vodorovnou osu pak součinitel odporu cx, na vzniklé křivce se pak znázorňují jako parametr úhly náběhu α. Na poláře profilu je možné pozorovat několik významných bodů: 1maximální součinitel vztlaku cymax - při maximálním možném úhlu náběhu, tomu odpovídá minimální rychlost letounu. S úhlem nepatrně menším letoun startuje či přistává. Rychlost odvodíme z rovnice pro vztlak

Fy = c y .S

v ¥2 r = c y .S.pd = G = m.g , 2

odkud pro min. rychlost po jednoduché úpravě dostáváme rovnici

v min =

2.m.g r.c y max .S

66



Obr. 8.9 Polára nesymetrického profilu 2-

Poměr

cx c y3

= min , optimální rychlost při níž je dosažena nejmenší spotřeba paliva,

režim letu s min. výkonem motoru. Bod 2 se na poláře stanoví výpočtem. Definujme výkon motoru

P = Fx .v = c x .q.S.v a vztlakovou sílu

Fy = c y .S

v ¥2 r = c y .S.pd = G = m.g . 2

Řešením těchto dvou rovnic upravíme rovnici pro výkon a dostaneme

P=

cx 2.m.g c c .m.g.v = x .m.g. = 3x/ 2 cy cy r.c y .S c y

2.m.g . r.S

Protože m, g, ρ, S jsou konstanty, potom minimální výkon bude v bodě, kde

cx = min imá ln í c y3 / 2 3-

nebo

c y3 / 2 cx

= max imá ln í .

æ cy è cx

úhel náběhu, při kterém je poměr çç

ö ÷÷ maximální, tento bod na poláře vymezuje ømax

tečna vedená z počátku souřadného systému. Letadlo má v tomto bodě minimální odpor a proto největší klouzavost, při ní je dosažen max. dolet. Definujme odporovou sílu

Fx = c x .S

v ¥2 r = c x .S.pd 2

a sílu vztlakovou, která se rovná tíze letounu

Fy = c y .S

v ¥2 r = c y .S.pd = G = m.g . 2 67



Definujme z této rovnice součin dynamického tlaku a plochy

S.pd = m.g =

m.g . cy

Dosazením tohoto výrazu do rovnice pro odpor a malé úpravě dostaneme

Fx =

cx m.g , cy

protože součin m.g je konstantní, potom poměr

cx = min . cy

nebo

cy cx

= max .

4součinitel odporu při nulovém vztlaku, tento režim má omezené použití, např. při střemhlavém letu. 5minimální součinitel odporu cxmin a tomu odpovídající součinitel vztlaku, body 4 a 5 u letounů někdy bývají totožné.

Obr. 8.10 Vliv velikosti Re-čísla a drsnosti povrchu profilu na průběh poláry

Obr. 8.11 Vliv velikosti Re- čísla na průběh poláry pro letecký profil a prohnutou desku

68



Tvar poláry nejvíce ovlivňuje geometrie profilu, velikost Reynoldsova čísla, Machova čísla a drsnost povrchu profilu. Velikost Reynoldsova čísla pro dobře obtékané profily jen nepatrně zvyšuje tlakový odpor a současně se s jeho zvýšením mírně snižuje odpor třecí. S rostoucí Reynoldsovým číslem se zvyšuje turbulence v mezní vrstvě, což přispívá k posunutí odtržení mezní vrstvy blíže k odtokové hraně. Následující obr. 8.10 uvádí schématicky vliv Reynoldsova čísla na průběh poláry pro jednu danou geometrii profilu. S rostoucím Re je vidět, že velikost největšího vztlaku a jemu odpovídající velikost odporu se zvětšuje. Z obrázku je rovněž patrný vliv drsnosti povrchu profilu. Další obr. 8.11 ukazuje vliv velikosti Re na letecký profil a prohnutou desku, u které je vliv Re menší než u profilu. 8.3. Křídlo Při obtékání křídla na jeho horní ploše je podtlak a na spodní pak přetlak. Je pochopitelné, že vzduch ze spodní části křídla má tendenci proudit na jeho horní část, nejvíce je tento efekt zřetelný na koncích křídel – obr. 8.12A. Toto přetékání vzduchu ze spodní na horní plochu křídla se jeví jako další přídavný odpor, často nazývaný indukovaný odpor. Indukovaná rychlost je největší na konci křídla, nejmenší pak u trupu, kde je křídlo připojeno. Při vizualizaci proudění se tento efekt projevují na konci křídla jako tzv. koncový vír – obr. 8.12B. Snížení indukovaného odporu se provádí různou úpravou konce křídla. Snížit indukovaný odpor znamená omezit přefukování vzduchu ze spodní části křídla na horní část křídla. Toto se dá praktický provést tak, že na konci křídla se přidají malá křídélka (winglety) – obr. 8.12C - umístěné téměř kolmo nahoru ke koncům křídla. Touto úpravou se zabrání přefukování, čímž se sníží velikost přefukování. Stoupne sice přídavný odpor křídla, ale celkový přínos této úpravy je však pozitivní.

Obr. 8.12 Vznik indukované rychlosti na křídle Křídlo má konečnou délku, je připojeno k trupu letadla, proto polára samotného profilu, křídla konečné délky nebo celého letounu se od sebe mohou značně lišit, což ukazuje obr. 8.13.

69



Obr. 8.13 Polára profilu, křídla a celého letounu U letadla je obvykle cestovní rychlost značně větší než je rychlost při startu nebo přistání. Obě poslední rychlosti je vhodné volit co nejmenší. Aby startovací nebo přistávací rychlost byla co nejmenší, používá se tzv. vztlaková mechanizace, pomocí které se při startu nebo přistání tvar křídla změní, toto se provádí pomocí vztlakových klapek nejrůznějších konstrukcí - obr. 8.14.

Obr. 8.14 Provedení křídla se vztlakovou klapkou Těmito úpravami se zvětší plocha křídla, nebo i jeho prohnutí, všechny tyto úpravy zvětšují součinitel vztlaku, což je při startu a přistání žádoucí - obr. 8.15 Zvýšené vztlakové síly se dá dosáhnout také klapkou na náběžné hraně křídla (sloty) – obr. 8.14. Díky vzniklé štěrbině a stočení proudu na slotu se dosáhne na křídle většího úhlu náběhu a tím i zvětšení vztlakové síly.

70



Obr. 8.15 Účinek vztlakové klapky na aerodynamické vlastnosti křídla Při přistávání letadla vzniká i potřeba zvýšení odporu, aby se dosáhlo snížení rychlosti. K tomuto účelu se používají brzdící klapky umístěné přímo na křídle, např. podle obr. 8.16, mohou být v provedení výsuvné nebo odklápěcí.

Obr. 8.16 Brzdící klapky na křídle letadla Pro snížení rychlosti letadla při přistání se vedle brzdících klapek používá padák (např. vojenská letadla, raketoplán), u vrtulových letadel se přestaví vrtule na záporný úhel, u letadel proudových se používá tzv. obraceč proudu, který pomocí klapek změní směr výfukových plynů o 180 stupňů. Často se výše uvedené systémy i různě kombinují.

Obr. 8.17 Tvary vybraných profilů

71



Na obr. 8 17 jsou uvedeny některé vybrané profily, obr. 8.18 pak uvádí poláry některých vybraných profilů.

Obr. 8.18 Poláry vybraných profilů NACA Následující tabulka 8.2 uvádí pro několik vybraných letadel součinitel odporu cx. Je přirozené, že letadlo, např. F4 při Ma > 1 má asi 2 krát větší součinitel odporu než při podzvukových rychlostech – Ma < 1. Tabulka 8. 2 Součinitel odporu některých vybraných letadel

72



8.4. Obtékání profilů při nadzvukových rychlostech Obtékání profilů se v technických aplikacích realizuje při různě velikých rychlostech proudícího média, jinak řečeno při různých velikostech Machova čísla, pomocí kterého můžeme rozhodnout, zde se jedná o proudění stlačitelné tekutiny. Ačkoliv hranice stlačitelnosti není přesně definovaná, od velikosti Machova čísla Ma < 0,25 (v = 80 m/s) je možné tekutinu při proudění považovat za nestlačitelnou. V letectví nebo při proudění plynů (páry) v odstředivých strojích se však vyskytují rychlosti výrazně větší – Ma > 0,25, v těchto případech se pak proudící tekutina považuje za stačitelnou. Zvyšování rychlosti tekutina na velikost, kdy Machovo číslo Ma → 1 a vyšší přináší sebou problém výrazného zvýšení aerodynamického odporu. S tímto problémem se v období 2. světové války (po r. 1945) setkávali piloti letedel, kteří se snažili dosáhnout rychlosti zvuku, případně tuto hranici překonat. V cestě ji stal problém, který uvádí obr. 8.19, kde je uvedeno zvýšení součinitele odporu vrtulové stíhačky Spitffire, která má max. rychlost 531 km/hod (147 m/s), podle uvedeného obrázku je zvýšení součinitele odporu velmi strmé.

Obr. 8.19 Zvýšení součinitele odporu stíhačky Spitffire v závislosti na zvyšování Ma-čísla

Obr. 8.20 Závislosti součinitele odporu obtékaných těles na Machově čísle nabíhajícího proudu

73



Obr. 8.20 uvádí možné rozdělení proudění podle velikosti Machova čísla. Z praktického hlediska je velmi zajímavé tzv. transsonické proudění, jehož některé vlastnosti jsou dále podrobněji popsány. Pod pojmem „transsonické proudění“ se rozumí pohyb stlačitelných tekutin v oblasti, v jejíž části je rychlostní pole subsonické Ma < 1 a ve zbývající části supersonické Ma > 1. Při obtékání těles vazkou tekutinou je odpor těles úměrný druhé mocnině rychlosti nabíhajícího proudu, tzv. Newtonův kvadratický zákon. Tento zákon spolehlivě platí pro Ma∞ < 0,7 a znovu při nadzvukových rychlostech při Ma∞ > 1,5. V oboru 0,7 < Ma∞ > 1,5 se objevuje anomálie nazývaná také „transsonická divergence“, v letectví se také uvádí pojem tzv. „zvuková bariéra“ Základní vlastností transsonického proudění je výrazné zvětšení součinitele odporu při změně Machova čísla v relativně úzkém intervalu - 0,7 < Ma < 1,5. Obr. 8.20 uvádí závislost cx = f(Ma). Tak např. koule má v podzvukové oblasti velikost součinitele odporu cx = 0,44, pro Ma = 1 se odporový součinitel zvýší asi na dvojnásobek - cx = 0,82, s dalším zvětšováním Machova čísle cx dále roste, max. cx = 1,02 dosáhne při Ma = 1,5. Pak se začne cx zmenšovat a pro Ma > 5 je součinitel odporu již konstantní - cx = 0,9. Obdobně jako koule se chovají i jiná tělesa. Transsonické proudění vzhledem k výše uvedeným vlastnostem je předmětem podrobného sledování a jeho některé vlastnosti jsou dále popsány.

Obr. 8.21 Transsonické proudění – vznik rázové vlny λ na profilu Na obr. 8.21A je letecký profil obtékaný vysokou podzvukovou rychlostí s Ma∞ < 1. Na sací straně profilu dochází k nárůstu rychlosti, při čemž byla překročena lokální rychlost zvuku – Ma = 1. V místě změny vektoru lokální rychlosti do záporných úhlů vznikne tzv. uzavírací zhruba kolmá rázová vlna, která zaniká v proudovém poli v místě zvukové rychlosti. Kdyby tekutina byla nevazká, vnikala by rázová vlna na stěně, vazká mezní vrstva však způsobí, že ve skutečnosti vlna vznikla až v malé vzdálenosti od stěny. Rázová vlna jako kompresní jev však výrazně ovlivňují vazkou mezní vrstvu, může způsobit její odtržení. Tím vznikne vzájemná interakce, která vede k vytvoření charakteristického tvaru rázové vlny u stěny, který ji dal název „vlna tvaru λ“ - obr. 8.21B. Na obr. 8.21C je rázová vlna λ na profilu s laminární mezní vrstvou, je vidět odtržení mezní vrstvy před vlnou λ a její přechod do turbulence. na obr. 8.21D je rázová vlna λ na profilu s turbulentní mezní vrstvou. Podrobněji je vznik rázové vlny a její vývoj s rostoucí velikostí Machova čísla uveden na obr. 8.22. Při proměřování rozložení tlaku podél leteckého profilu se zjistilo, že při hodnotách Ma¥ Þ 1 dochází na profilu k nečekanému odtržení mezní vrstvy, situace je znázorněna na obr. 8.22. Je-li Ma∞ ≤ 0,8 – obr. 8.22A, potom v celé oblasti je podzvukové (subsonické) proudění. Je-li Ma∞ = 0,8, obr. 8.22B, na sací straně profilu dochází v proudovém poli k nárůstu rychlosti, při čemž byla překročena lokální rychlost zvuku, v jednom bodě se objeví v některém místě lokální hodnota Ma = 1. V takovém případě Machovo číslo nabíhajícího proudu se nazývá Machovo číslo kritické Ma∞krit Jestliže dále zvyšujeme rychlost nabíhajícího proudu, potom se lokální hodnota Ma = 1 z jednoho bodu rozšiřuje na jistou oblast – obr. 8.22C. S dalším zvětšováním nabíhající rychlosti se tato oblast zvětšuje – obr. 8.22D a stejný efekt se začíná objevovat i spodní přetlakové straně profilu. Pro Ma∞ = 0,95 je prakticky nad celým profilem oblast nadzvukového proudění – Ma = 1 – obr. 8.22E.

74



U nevazké tekutiny jak již bylo uvedeno by rázová vlna vznikala na stěně profilu. Pro vazkou tekutinu v důsledku interakce s mezní vrstvou rázová vlna vznikne v malé vzdálenosti od stěny. Rázová vlna jako kompresní jev výrazně ovlivňuje vazkou mezní vrstvu a může způsobit její odtržení. Vzájemná interakce mezní vrstvy a rázové vlny vede k charakteristickému tvaru této rázové vlny, který ji dal název „vlna tvaru λ“ .

Obr. 8.22 Vznik rázové vlna typu „l“ a její vývoj s rostoucím Machovým číslem Při dalším zvýšení rychlosti nabíhajícího proudu - Ma∞ ≥ 1, - obr. 8.22F vznikne před přídí profilu odlehlá oblá rázová vlna, která v oblasti osy profilu (čela profilu) má vlastnosti kolmé rázové vlny. Za touto rázovou vlnou je oblast podzvukového proudění, vně této oblasti je proudění nadzvukové, což svědčí o tom, že zde má rázová vlna vlastnosti vlny šikmé. Subsonické proudění se v současné době velmi často řeší numericky, ukázka taktu vypočteného proudového pole je na obr. 8.23.

Obr.8.23 Proudové pole na profilu při subsonickém proudění 75



Obr. 8.24 ukazuje rázovou vlnu u letadla F18 a raketoplánu. V rázové vlně dojde ke snížení teploty a následné kondensaci vodní páry ve vzduchu, čímž se stane rázová vlna viditelná.

Obr. 8.24 Rázová vlna u letedla a raketoplánu Šikmé křídlo umožňuje zmírnit vliv Ma∞ na velikost odporu – obr. 8.25 a sice tak, že pro velikost Machova čísla je rozhodující složka rychlosti kolmá na křídlo - v∞.cosφ.

Obr. 8.25 Zjednodušená představa o vlivu šípového křídla na posunutí vlivu transsonické divergence

Obr. 8.26 Závislost cD = f(Ma) - vliv šípu náběžní hrany křídla

76



Letadlo s proměnnou geometrií křídla spojila vlastnosti přímého křídla (má dobré letové vlastnosti Ma∞ < 1 a šípového křídla, která má dobré letové vlastnosti při Ma∞ > 1 - obr. 8.26. Ukázka nadzvukového letounu TU 22 s nastavitelnou geometrií křídel je na obr. 8.27.

Obr. 8.27 Letadlo TU-22 M s proměnnou geometrií křídla Rázová vlna byla poprvé pozorována a fotografována E. Machem při letu střely. Vývoj rázové vlny u střely s rostoucím Machovým číslem je na obr. 8.28.

Obr. 8.28 Vývoj rázové vlny u střely s rostoucím Machovým číslem Vizualizaci proudového pole při nadzvukovém obtékání koule uvádí obr.8.29. Na obr.8.29A je obtékání koule při Ma = 1,53, je pěkně vidět před koulí odlehlou oblou rázovou vlnu, mezi koulí a vlnou pod úhlem asi 45 stupňů je podzvukové proudění. Z koule se odtrhává pod úhlem 90 stupňů laminární mezní vrstva, která rychle přechází ve vrstvu turbulentní. V místě odtržení mezní vrstvy vzniká šikmá rázová vlna. Oscilující úplav generuje druhou šikmou rázovou vlnu. Na obr. 8.29B je obtékání koule při Ma = 4,01, v místě odtržení mezní vrstvy jsou generovány slabé rázové vlny.

77



Obr. 8.29 Obtékání koule při vyšších Machových číslech Obr. 8.29C pro Ma = 3 uvádí proudové pole při letu koule nad perforovanou deskou. Vzniklá oblá přiléhající rázová vlna se na této podložce odrazí, ale v důsledku otvorů v desce se každého otvoru v desce vytvářejí vířící kružnice (Haygensův princip), tyto se zvětšují s unášením po proudu. Obr. 8.29D uvádí proudové pole při obtékání koule s Machovým číslem Ma = 7,6. Oblá přilehlá rázová vlna se přimyká ke kouli, na zadní hranici dozvukové oblasti vznikají Machovy rázové vlny, které jsou unášeny proudem tekutiny za koulí.

Obr. 8.30 Hranice mezi supersonickým a hypertonickým prouděním

78



Je-li rychlost nabíhajícího proudu Ma ≥ 5, potom mluvíme o hypertonickém proudění. Pro hranici mezi supersonickým a hypertonickým prouděním se uvádí rovnice

B Ma2 - 1 = 1 2L

kde B, L - jsou rozměry – rozpětí a délka křídla. Tato rovnice pro letadla je uvedena na obr. 8.30. Toto proudění je typické pro kosmonautiku při návratu kosmických sond zpět na Zemi. Pro let vysokou nadzvukovou rychlostí je charakteristický jev, nazývaný „dynamický ohřev„ obtékané stěny. Odhad teploty dostaneme, budeme-li kompresní děj na přídi tělesa považovat za isoentropický, probíhající v ideálním plynu. Teplotu můžeme vypočítat z rovnice pro adiabatickou změnu (Poissonův zákon). k

po æ To ö k -1 =ç ÷ p¥ çè T¥ ÷ø kde index ∞ značí stav nabíhajícího proudu, index o značí stav v místě nulové rychlosti. Zavedením Machova čísla do předcházející rovnice a po úpravě dostaneme ;

To Ma(k - 1) + 2 = T¥ 2

Tak např. pro letadlo Concorde jehož rychlost je Ma = 2,1 dosahuje teplota v místě nulové rychlosti (stagnačním bodě) asi 150°C. Při návratu raketoplánu z oběžné dráhy do atmosféry Země dosahuje teplota až 1350 oC. Kosmické lodě vracející se do zemské atmosféry mají rychlost asi Ma = 25, návratová část kosmické lodě Apolo se vracela od Měsíce do zemské atmosféry při Ma = 3.

79



9. Obtékání automobilů Řešení optimální aerodynamiky automobilů patří u výrobců hlavně osobních automobilů k velmi sledovaným problémům, protože velikost odporového součinitele cx patří ke kritériím, které přispívají ke snižování spotřeby paliv a mohou také ovlivňovat prodejnost automobilů. 9.1. Velikost odporové a vztlakové síly Stanovení součinitele odporu u automobilů se provádí následujícím způsobem: - měřením zmenšených modelů automobilů v aerodynamickém tunelu - měřením skutečných automobilů v aerodynamickém tunelu - numerickými výpočty Osobní automobil se svým tvarem podobá tlustému leteckému profilu křídla. Vzhledem ke spodní hraně se jedná o profil rovný, vzhledem k průběhu střední křivky jde o profil nesouměrný. Automobil v porovnání s křídlem je však úzký (jedná se o krátké křídlo), šířka automobilu je srovnatelné řádově s polovinou délky tětivy profilu.

Obr. 9.1 Schéma vzniku víru u krátkého křídla a automobilu Při obtékání krátkého křídla – profilu podle obr. 9.1A na jeho spodní části vzniká přetlak a naopak na horní části podtlak. Vzhledem ke vzniklému tlakovému rozdílu na bocích profilu (na bocích automobilu) přefukuje vzduch z oblasti přetlaku (spodní části profilu) do oblasti podtlaku (horní části profilu). V aerodynamice se tato rychlost nazývá indukovaná rychlost (podrobněji je tento problém popsán v kap.8). Důsledkem indukované rychlosti je vznik dvou vírů na bocích automobilu, což ukazuje obr. 9.1B.

Obr. 9.2 Rozložení statického tlaku na povrchu karoserie osobního automobilu Při obtékání automobilu vzniká vzhledem ke geometrickému tvaru karoserie rychlostní pole, podle Bernoulliho rovnice se na povrchu karoserie ustaví odpovídající rozložení statického tlaku, které je schématicky uvedeno na obr. 9.2. Porovnání rozložení tlaku v rovině procházející podélnou osou automobilu pro osobní a nákladní automobil pak uvádí obr. 9.3, rozdíl mezi oběma druhy automobilů je z obrázku zřetelný. 80



Rozložení statického tlaku pak určuje velikost celkové síly F, která působí na automobil. Výslednou sílu získáme integrací přes celou plochu karoserie

F = ò ps .dS = c.S S

v2 r. 2

( 9.1)

Obr. 9.3 Porovnání rozložení statického tlaku na povrchu karoserie pro osobní a nákladní automobil Jak je v aerodynamice obvyklé, rozložíme tuto výslednou sílu na složku vodorovnou Fx, která představuje odporovou sílu a na složku svislou Fy, což je síla vztlaková. Obě tyto složky síly vyjádříme známými rovnicemi

v2 r, 2 v2 Fy = c y .S r, 2 Fx = c x .S

( 9.2) ( 9.3)

kde S - je plocha, kterou získáme promítnutím automobilu do roviny kolmé na vektor rychlosti (silueta automobilu vzniklá průmětem do roviny kolmé na jeho podélnou osu).

Obr. 9.3A Změna součinitele odporu a vztlaku při jízdě dvou automobilů za sebou Obr. 9.3A uvádí změnu součinitele odporu a vztlaku při jízdě dvou automobilů za sebou. Jak se dalo předpokládat, součinitel odporu cx při malé vzdálenosti mezi auty se výrazně snižuje, 81



součinitel vztlaku uváděný pro přední a zadní nápravu samostatně, je rovněž závislý na vzdálenosti mezi auty. Výkon, který musí dodat automobilu motor, aby se tento pohyboval zvolenou rychlostí a překonal pouze aerodynamický odpor je

P1 = Fx .v = c x .S

v3 r. 2

( 9.4)

Obr. 9.4 Vliv rychlosti větru na velikost součinitele odporu automobilu Při jízdě proti větru, jehož rychlost je w , do rovnice pro odporovou sílu se musí dosadit relativní rychlost vrel, jak je patrné z obr. 9. 4. Na základě provedených experimentů se při jízdě automobilu proti větru, který vzhledem k ose automobilu fouká pod úhlem α mění i velikost součinitele odporu – obr. 9.4. V obrázku je cx,o - součinitel odporu, když vítr fouká stejným směrem jako je rychlost automobilu, cx,α je součinitel odporu, když vítr fouká pod úhlem α. Funkce na výše uvedeném obrázku má maximum pro osobní automobil α = 35 – 40° , pro nákladní automobil pak α = 15 - 20o, zvýšení součinitele odporu v této oblasti je až 60%. Pro odporovou sílu při jízdě proti větru platí tedy rovnice 2 v rel Fx = c x,a .S r. 2

Rychlost větru má také nezanedbatelný vliv na sílu vztlakovou Fy a sílu boční Fz – obr. 9.4B Celkový výkon motoru potřebný pro jízdu automobilu je však větší, je nutné ještě uvážit výkon potřebný na překonání válivého odporu pneumatik, tento můžeme v nejjednodušším případě vyjádřit rovnicí

Fr = f .G , kde

f G

- součinitel válivého tření pneumatik - tíha automobilu

Pro celkový výkon motoru platí rovnice

P=

(Fx + Fr )v , h p .h n

82


kde

ηp ηn


- účinnost převodovky - účinnost pohonu náprav

Takto definovaný výkon motoru je nutné ještě zvýšit o případný výkon potřebný na překonání tíhové síly při jízdě do kopce. Při rozjezdu, předjíždění a zrychlování automobilu se musí ještě uvážit i vliv setrvačné síly, její velikost výrazně ovlivňuje potřebný výkon motoru automobilu. Z uvedeného výkladu vyplývá důležitý poznatek, že při jízdě automobilu vzniká vedle odporové síly i síla vztlaková. V obr. 9.2 je zakreslena tíhová síla automobilu a obě složky aerodynamické síly. Působiště této síly „P“ nemusí být totožné s těžištěm automobilu „T“, vznikající momenty mohou ovlivňovat jízdní vlastnosti automobilu. Vztlaková síla snižuje velikost tíhy, tím dochází ke snížení adhese. 9.2. Obtékání karoserie automobilu

Obr. 9.5 Vznik úplavu při obtékání automobilu Za obtékaným automobilem se vytváří úplav, který podstatným způsobem ovlivňuje velikost odporového součinitele cx. Nejlepší aerodynamické vlastnosti vykazuje automobil, který má tvar leteckého profilu podle obr. 9.5. V tomto případě je úplav malý, odtržení mezní vrstvy se posouvá do zadní části karoserie, délka automobilu je však neúměrně dlouhá. Z praktických důvodů není možné zhotovit takovou hladkou a dlouhou karoserii. Je nutné vytvořit přední a zadní okno se sklem – obr. 9.5, odtržení mezní vrstvy se u takového tvaru posune do přední části karoserie a velikost úplavu se výrazně zvětší, což pochopitelně vede ke zvětšení odporového součinitele. Tvar karoserie se nedá navrhnout pouze podle kritéria minimálního odporu, ale musí se přihlédnout i k jiným konstrukčním i praktickým možnostem. Při obtékání karoserie automobilu se vytváří mezní vrstva mezi vozovkou a podlahou automobilu, její tvar je schématicky uveden na obr. 9.6. Nízká mezera vede ke zmenšení vztlakové síly, rovněž mezera ve tvaru klínu, při čemž mezera větší v zadní části auta vede rovněž ke snížení vztlakové síly, kdy s rostoucí mezerou se podle rovnice spojitosti snižuje rychlost a podle Bernoulliho rovnice se podél mezery snižuje tlak na podlahu.

83



Obr. 9.6 Vznik mezní vrstvy mezi podlahou auta a vozovkou Podle tvaru karoserie se na přechodu mezi karoserií a předním sklem vytváří vírová oblast, rovněž na přechodu střechy karoserie a zadního skla se vytváří vírová oblast, tato je výrazně větší a obvykle přechází do úplavu za automobilem – obr. 9.7.

Obr. 9. 7 Vizualizace proudového pole při obtékání automobilu Matematickým modelováním a to pro úlohy 2D nebo 3D je možné získat zajímavé výsledky a to jak pro rozložení rychlosti tak i tlaku při obtékání karoserie automobilu.

Obr. 9.8 Vývoj úplavu za automobilem

84



Příkladem může být např. vývoj úplavu za obtékaným automobilem, získaný numerickým modelováním - obr. 9.8, nebo tvar rychlostního pole při obtékání kamionu – obr. 9.9.

Obr. 9.9 Rychlostní pole při obtékání tahače 9.3. Obtékání automobilů v aerodynamickém tunelu Vizualizace rychlostního pole za obtékaným automobilem různých typů, získaný modelováním v aerodynamickém tunelu je na obr. 9.10.

Obr 7.10 Vizualizace rychlostního pole při obtékání osobního automobilu Na obr. 9.11 je uvedena vizualizace rychlostního pole osobního automobilu, který jede před kamionem.

Obr. 9.11 Vizualizace rychlostního pole osobního automobilu, který jede před kamionem Stanovení součinitele odporu cx, součinitele vztlaku cy, tvaru rychlostního pole při obtékání automobilu nebo průběh statického tlaku na povrchu karoserie se nejčastěji provádí v aerodynamickém tunelu. Na modelech často v měřítku 1:1, tzn., že se měření provádí na skutečných automobilech.

85



Automobil představuje v aerodynamickém tunelu zvláštní problém, který spočívá ve vytvoření mezní vrstvy mezi vozovkou a podlahou auta. Reálnému přiblížení ke skutečnosti se blíží umístění automobilu na pásový dopravník, který simuluje v tunelu jeho jízdu po vozovce – obr. 9.12 C. Další možnost je ovlivnění mezní vrstvy pod autem odsáváním vzduchu – obr. 9.12 D nebo tangenciálním foukáním vzduchu podle obr. 9.12 B

Obr. 9.12 Možnosti eliminace vlivu vozovky Tunely mají rozměr měřícího prostoru cca 5 m, rychlost proudění vzduchu až 90 m/s, příkon ventilátoru 2,5 MW. K měření středních rychlostí nebo turbulentních fluktuací se používají jedno, dvou i tříbarevné systémy LDA ( Laser Dopler Anemometr), nebo žárový anemometr s 3D suportem. Pro přímé měření rychlostního pole se využívá optická metoda PIV (Particle Image Velocitymetry). K vizualizaci proudění se používají nejrůznější metody vizualizace, např. metoda využívající kouře a pod. Na obr. 9.13 je několik příkladů měření automobilů v aerodynamickém tunelu.

Obr. 9.13 Měření obtékání automobilu v aerodynamickém tunelu K měření sil, které působí na auto při jeho obtékání se použije zařízení podle obr. 9.14. Auto je v tunelu postaveno tak, že pod každým kolem je snímač síly, kterým se měří reakce na každém kole.

86



Obr. 9.14 Zařízení pro měření síly v aerodynamickém tunelu Pro snižování spotřeby paliva a tím nepřímo i snižování emisí např. CO2 je při konstrukci automobilu potřeba řešit celou řadu náročných problémů, z nichž jedna část se také dotýká obtékání karoserie. Karoserie automobilu není nikdy hladká, přes plochu karoserie přesahují nejrůznější detaily, jako např. zrcátka, stěrače, nárazníky, zařízení pro otevírání dveří, vtok vzduchu k chladiči motoru a pod. Všechna tato zařízení přispívají ke zvětšení odporového součinitele cx, proto při obtékání karoserie je velká pozornost věnována i těmto detailům. Bylo prokázáno, že při jízdě po dálnici je možné snížit spotřebu paliva použitím aktivní aerodynamické klapky umístěné v masce chladiče, která volí optimální poměr mezi množstvím přiváděného chladícího vzduchu a nízkým aerodynamickým odporem dle zatížení motoru. I takové malé úpravy mohou velmi pozitivně přispět ke snížení spotřeby paliva a některé automobilky takové úpravy již zahrnují do konstrukcí automobilů. Přes obrys karoserie z praktických důvodů musí přesahovat zpětná zrcátka, jejich optimálnímu umístění i tvaru se věnuje velká pozornost, úloha se řeší v aerodynamickém tunelu, možné je i řešení numerickým výpočtem - obr. 9.15.

Obr. 9. 15 Obtékání zpětného zrcátka řešené numerickým výpočtem Na obr. 9.16 je tlakové a proudové pole při obtékání rotujícího kola. Rotací kola se vytvoří cirkulace rychlosti, což má za následek, že podle Žukovského rovnic ( 7.4) vznikne vztlaková síla, tato působí vzhůru. Rotující kola u běžného osobního automobilu přispívají ke zvětšení velikosti odporového součinitele asi hodnotou 0,02, u automobilů s otevřeným kolem, jako např. u formule F1 je tento příspěvek větší.

Obr. 9.16 Rozdělení statického tlaku a obraz obtékání rotujícího kola Vizualizace proudového pole při obtékání automobilu se v aerodynamickém tunelu často provádí tak, že se pomocí trubky nebo soustavy trubek zavede kouř před automobil. Tímto 87



kouřem, který sleduje proudnice je pak zviditelněno proudové pole – obr. 9.17. Vizuálním pozorováním se dá usoudit na kvalitu obtékání, dá se určit zda nedochází k odtržení proudu, nebo se dá usoudit na vírovou oblast apod.

Obr 9.17 Vizualizace obtékání automobilu kouřem Testování automobilů v extrémních teplotách prověřuje výkon chladící soustavy, schopnosti klimatizační jednotky i prostý fakt zda je automobil, například při nízkých teplotách, schopen vůbec nastartovat. Většina automobilek k takovým testům používá vybraná místa na Zemi, oblasti severu Evropy za polárním kruhem jsou hojně využívány pro testy v extrémně nízkých teplotách, blízký východ nebo známé Údolí smrti v USA slouží k testům v teplotách vysoko nad nulou. V aerodynamickém tunelu se vedle obtékání automobilu provádí celá řada dalších měření, která simulují celou řadu typických povětrnostních podmínek, které mohou uživatele vozu potkat. V aerodynamickém tunelu, který patří vídeňské firmě RTA Rail Tec Arsenal GmbH, lze simulovat různou teplou okolí od -30°C do 40°C, přičemž za hodinu lze teplotu snížit asi o 10°C, takže proměna ze zimy do parného léta trvá pouze několik hodin. Rychlost proudění vzduchu může dosahovat až 300 km/h, může pršet jako v tropech (až 80 litrů vody na m2), může být nastaveno umělé slunce s výkonem až 1000 W na m2 plochy vozu nebo může padat sníh při teplotách -5°C až -25°C. Tunel je využitelný jak pro auta, tak i pro vlaky, lokomotivy, autobusy nebo kamiony. Zařízení dlouhé 140 m, široké 50 m a vysoké 20 m obsahuje dva samostatně ovládané tunely.

Obr. 9.18 Testování automobilu Mercedes v tunelu za zimních podmínkách V tom větším 100 metrů dlouhém tunelu je dynamometr o výkonu 850 kW. Testovat lze třeba vlaky jezdící až 300 km/h při teplotách -50°C až 60°C. Menší tunel měří na délku 31 m a je vybaven dynamometrem o výkonu 250 kW, na němž jsou testovány silniční vozidla do rychlosti 120 km/h. Testovací středisko má při plném provozu spotřebu elektrické energie přibližně 15 MW. Testování automobilu zn. Mercedes v uvedeném tunelu je na obr. 9.18. 9.4. Spoilery a přítlačná křídla Pro rychlá např. závodní auta protože podle rov. ( 9.3) roste vztlaková síla s kvadrátem rychlosti, potom by mohlo dojít k výraznému snížení adheze, což by na druhé straně ohrožovalo bezpečnost jízdy. Aby se tento problém kompenzoval, tvar karoserie se provede tak, že v rovině procházející podélnou osou auta má karoserie tvar klínu. Tato úprava z hlediska proudění se jeví 88



jako šikmo obtékaná deska, výsledná síla působí do vozovky, úloha je podrobně popsána v kap. 5. Další variantou omezení vztlakové síly jsou spoilery nebo přítlačná křídla montovaná v přední i zadní části automobilu. Křídla jsou postavena tak, aby vztlaková síla měla směr do vozovky – obr. 9.19C. Velikostí úhlu náběhu se dá volit různá velikost této síly. Takové úpravy se provádějí nejčastěji u závodních automobilů, např. u formule F1, kde v přední i zadní části je dvojice křídel – obr. 9.19A, jejich příspěvek k přítlačné síle je na obr. 9.19B. Obtékání přítlačných křídel je zkoumáno v aerodynamickém tunelu, je rovněž řešeno matematickým modelováním – obr. 9.19D.

Obr. 9.19 Přítlačné křídlo Pro formuli F1 dosahuje přítlačná síla při max. rychlosti až 15 kN, což je cca 150% tíhy automobilu. Aplikace spoilerů čí přítlačných křídel u automobilů prochází náročným vývojem a každý rok se objevují stále nová originální řešení. Obr. 9.20 uvádí některé aplikace, které byly realizovány u formule F1.

Obr. 9.20 Ukázka závodních automobilů s přítlačným křídlem v přední i zadní části Prakticky každý vyrobený typ automobilu má obvykle měřením v aerodynamickém tunelu stanovenou velikost součinitele odporu cx, jeho velikost pro několik vybraných modelů automobilů uvádí obr. 9.21. Na tomto obrázku je také uveden automobil TATRA 77, jehož součinitel odporu činí pouze cx = 0,212. Vzhledem k tomu, že automobil byl postaven v roce 1935, ve své době se jednalo o karoserii avantgardní, ale také velmi elegantní, která přispěla k vývoji karoserií v dalších letech.

89



Obr. 9.21 Součinitel odporu u vybraných modelů automobilů Následující tabulka 9.1 uvádí rámcové velikosti součinitele odporu pro vybrané skupiny automobilů, tabulka 9.2 pak ukazuje vývoj velikosti součinitele odporu u osobních automobilů vyrobených v různých časových období. Tabulka 9.1 Součinitel odporu pro jednotlivé skupiny automobilů

90



Tabulka 9.2 Vývoj součinitel odporu v čase pro osobní automobily

91



10. Odpor vybraných těles Při obtékání těles nejrůznějších tvarů lze tvrdit, že odporová síla je tvořena jak odporem třecím, tak i tlakovým (tvarovým, profilovým, čelním apod.). Má-li obtékané těleso takový tvar, že je přesně definován bod odtržení mezní vrstvy, potom převládá odpor tlakový a vliv Reynoldsova čísla je obvykle malý. V ostatních případech je třeba počítat s tím, že odporový součinitel bude funkcí Reynoldsova čísla. V níže uvedených tabulkách je uvedena velikost součinitele odporu pro různá vybraná 2D nebo 3D tělesa a velikost Reynoldsova čísla. Tabulka 10.1 Odporový součinitel vybraných 3D těles

92



Pokračování tabulky 10. 1

93



Tabulka10.2 Odporový součinitel vybraných 2D těles

94



Pokračování tabulky 10.2

95



Tabulka 10.3 Odporový součinitel vybraných těles pro malá Re

Tabulka 10.4 Součinitel odporu vybraných těles: Obtékané těleso Cyklista Člověk svislý Lyžař Empire State Bulding Eiffelova věž Parašutista

Odporový součinitel cx = 0,90 cx = 1,0 - 1,3 cx = 1,0 - 1,1 cx = 1,3 - 1,5 cx = 1,8 - 2,0 cx = 1,4

Tabulka 10.5 Součinitel odporu vybraných 3D těles pro Re > 104

96



Tabulka 10.6 Součinitel odporu cx = f (Re) pro desku, válec, elipsoid a profil

Tabulka 10.7 Součinitel odporu cx = f (α) pro kužel a trojúhelníkový žlab

97



Tabulka 10.8 Součinitel odporu cx = f (α) pro čtvercový válec s různou intenzitou turbulence nabíhajícího proudu (Vickerg 1966)

Tabulka 10.9 Součinitel odporu cx = f (D/W,H/W) pro svislou stěnu (Bedi 1971) H – výška stěny, W – šířka, D - hloubka

98



Tabulka 10.10 Součinitel odporu cx pro vybraná 3D a 2D tělesa – Re = 104 až 105

Tabulka 10.11 Součinitel odporu vybraných druhů automobilů

99



11. Aerodynamické tunely Aerodynamický tunel je zařízení ve kterém pomocí ventilátoru nebo kompresoru proudí vzduch zvolenou rychlostí, při čemž vektory rychlostí jsou rovnoběžné a velikost turbulence je velmi nízká, nebo přesně definovaná. Aerodynamické tunely se podle rychlosti proudění dají rozdělit na subsonické, ve kterých je rychlost menší než je rychlost zvuku – Ma < 1 a na tunely nadzvukové kde Ma > 1.

Obr. 11.1 Aerodynamický tunel otevřený Tunely umožňují měřením stanovit síly a momenty, které působí při obtékání těles. Dále umožňují pomocí vhodné měřící techniky (žárový anemometr, LDA, PIV a pod) stanovit rychlostní pole v mezní vrstvě i vně obtékaného tělesa. Umožňují také měření tlakového pole na povrchu obtékaného tělesa. Aerodynamický tunel je charakterizován velikostí rychlosti, parametry turbulence a rozměrem měřícího prostoru, kterému potom odpovídá velikost celého tunelu. Tunely se nejčastěji používají pro stanovení parametrů leteckých profilů, mříží, automobilů, budov, používají se také pro řešení úloh ze sportu jako je sjezdové lyžování, skoky na lyžích, jízda na bobech apod.

Obr. 11.2 Aerodynamický tunel uzavřený Aerodynamické tunely se staví ve dvou provedeních: - s otevřeným okruhem v němž proud vzduchu po průchodu tunelem není veden zpět do jeho okruhu, - obr. 11.1 – tzv. tunel Eiffelův. Tyto tunely mají větší energetickou náročnost, jsou však ekonomicky méně nákladné, musí se zajistit těsnost měřícího prostoru a při měření je zapotřebí se vyrovnat s vlhkostí nasávaného vzduchu z okolí. - s uzavřeným okruhem tzv. aerodynamický tunel cirkulační (uzavřený ), nazývaný také Prandtlův nebo Göttingenský, v němž vzdušina proudí v uzavřeném okruhu bez velkých ztrát tlaku a 100



kinetické energie – obr. 11.2. Tyto tunely mají vlastní měřící prostor uzavřený – obr. 11.2A, nebo měřící prostor otevřený – obr. 11.2B. Uzavřený tunel má menší energetickou náročnost, má obvykle větší turbulenci v měřícím prostoru, při měření stoupá teplota v čase a je náchylný na zvětšování počtu prachových části po dobu měření. Podle rychlosti protékající vzdušiny je aerodynamický tunel: a) nízkorychlostní, v němž rychlost proudu vzdušiny v měřicím prostoru aerodynamického tunelu je tak nízká, že se ještě neprojevují význačněji vlivy stlačitelnosti - Ma < 0,25 b) vysokorychlostní, v němž rychlost proudu vzdušiny v měřicím prostoru je dostatečně vysoká, aby bylo možno pozorovat vlivy stlačitelnosti - 0,25 < Ma < 0,8 c) podzvukový (subsonický), v němž rychlost nerušeného proudu vzdušiny v měřicím prostoru je dostatečně vysoká, aby se mohl projevit vliv stlačitelnosti, ale je vždy nižší než rychlost zvuku 0,8 < Ma < 1. U tohoto tunelu vznikají problémy s odrazem rázových vln od stěny tunelu. d) nadzvukový (supersonický), v němž rychlost nerušeného proudu vzdušiny v měřicím prostoru přesahuje rychlost zvuku – Ma > 1 Hlavními částmi aerodynamického tunelu jsou: - měřicí prostor , část do které se umisťují měřená tělesa, proud v této části má obvykle maximální rychlost a je homogenní, rychlostní profil se velmi blíží obdélníku. U uzavřených aerodynamických tunelů tento prostor může být uzavřený – obr. 11.2A, nebo volný- obr 11.2B. - dýza - u nízkorychlostního a podzvukového aerodynamického tunelu část tunelu před měřicím prostorem, u vysokorychlostního aerodynamického tunelu rozšiřující se část tunelu před měřicím prostorem. Dýza může být pevná, nebo stavitelná. Dýza má tu vlastnost, že výrazně snižuje turbulenci vzduchu, který přes ní protéká. - kolektor - konvergentní nálevkovité ústí před dýzou nebo difuzorem tunelu. - ohybové lopatky a usměrňovače k usměrnění proudu vzdušiny v obloucích. - tepelný a vzduchový výměník. - aerodynamické váhy nebo elektronické siloměry pomocí kterých se měří aerodynamické síly a momenty. Aerodynamické váhy mohou měřit tři síly pro tři směry, při čemž rozliší smysl síly, nazývají se také 6-ti komponentní váhy. Jedno z možných provedení vah pro tunel uvádí obr. 11.3.

Obr. 11.3 Schéma vah pro aerodynamický tunel Pro měření na modelech v aerodynamických tunelech a přenesení kvantitativních výsledků z modelu na dílo při respektováni stlačitelnosti tekutiny je nutné dodržet stejnou velikost Machova a Poisonova čísla na modelu a na díle, musí tedy platit Ma¥ mod el = Ma¥ dílo ; k mod el = k dílo ( 11.1) Obvykle se požaduje, aby byl respektován i vliv viskozity, potom musí platit i stejná velikost Reynoldsových čísel Remod el = Redílo , ( 11.2) 101



kde Reynoldsovo číslo je definováno známým vztahem

Re =

v ¥ .L . n

( 11.3)

Aby se splnila výše definovaná podobnostní čísla, postupuje se obvykle tak, že se mění velikost modelu, tato je však omezena velikostí měřícího prostoru tunelu. Další možností je měnit hustotu proudícího vzduchu a tím měnit i jeho kinematickou viskozitu a nepřímo i velikost Reynoldsova čísla. Řešení se provede tak, že uzavřený cirkulační tunel se dá do tlakové nádoby, v níž je možné vytvořit podtlak nebo přetlak a tím měnit hustotu proudícího vzduch nebo i jiného plynu s vyhovující hodnotou κ. V tunelech tohoto provedení, jejichž měřící prostor byl 4,8 x 3,6 m, příkon pak dosahoval velikosti 3 MW. Tlak u těchto tunelů se měnil v intervalu 10 kPa až 0,4 MPa a bylo dosaženo při největším tlaku Reynoldsova čísla Re∞ = 3.106, nebo při nejmenším tlaku pak bylo Machovo číslo Ma∞ = 0,8. Pomocí těchto tunelů bylo za druhé světové války dosaženo pozoruhodných výsledků při vývoji profilů rychlých podzvukových letadel. Supersonický tunel - obr. 11.4 se používá pro nadzvukové rychlosti. Pro dosažení vysokých rychlostí se použita Lavalova tryska. Je –li požadována rychlost Ma > 3, potom tunel obvykle mívá přerušovaný provoz, v němž akumulovaná zásoba energie ve vzdušnících vystačí jen pro relativně krátkou dobu provozu. Příkon u těchto tunelů dosahuje velikosti 50 MW na metr čtvereční měřícího prostoru, dochází také k ochlazování proudícího plynu, často se musí tunel vybavit ohřevem. Pro speciální účely se staví například aerodynamické tunely nízkoturbulentní nebo s přesně definovanou turbulencí a tunely s dalšími přesně definovanými vlastnostmi.

Obr. 11.4 Supersonický aerodynamický tunel Aerodynamické tunely okolo Ma∞ = 1 selhávají, což způsobuje skutečnost, že v oblasti vysokých podzvukových rychlostí porucha vyvolaná konečnou tloušťkou tělesa zasahuje mnohem hlouběji do proudu, než v tekutině nestlačitelné. Podle obr. 11.5 se objevuje na odtokové straně supersonické oblasti zhruba kolmá rázová vlna, která může dosáhnout až ke stěně měřícího prostoru a měřící prostor „ucpala“. Pro vyznačenou oblast „1“ a „2“ platí, že Ma∞1 < Ma∞2. Navíc odražená vlna od stěny může zasáhnout model a tím znehodnotit výsledky měření. Jednou z možností jak tento problém odstranit je provedení perforování stěny tunelu, účinek se dá zvýšit odstáváním vzduchu z perforovaní stěny.

102



Obr. 11.5 Ucpání měřícího prostoru aerodynamického tunelu závěrnou rázovou vlnou lokální nadzvukové oblasti Aerodynamické tunely se začaly používat s rozvojem letectví. Tak např. již v roce 1901 tedy 4 roky před svým prvním letem motorového letadla bratři Wrightové si postavili otevřený tunel – obr. 11.6A, na obr. 11.6B je malý otevřený tunel na VŠB TU Ostrava, obr. 11.6C pak uvádí pěkně vypracovaný dřevěný uzavřený tunel.

Obr. 11.6 Příklady malých aerodynamických tunelů Následující obr. 11.7 uvádí několik starších aerodynamických tunelů NACA, používaný při modelování letadel a leteckých profilů.

Obr. 11.7 Ukázky modelů letadel měřených v aerodynamickém tunelu NACA Aerodynamické tunely novějšího provedení pak uvádí obr. 11.8. Aerodynamické tunely jsou z hlediska rozměru velké stavby, jejich rozměry dosahují stovek metrů, měřící prostor dosahuje pět i více metrů, příkon ventilátoru nebo kompresoru může být i několik desítek MW. V zemích jako např. USA, Rusko, Francie, Anglie, Německo a další bylo postaveno několik stovek aerodynamických tunelů různých vlastností a velikostí. Následující obr. 11.9 uvádí několik aerodynamických tunelů větších rozměrů.

103



Obr. 11.8 Ukázky modelů měřených v aerodynamickém tunelu

Obr. 11.9 Ukázky aerodynamickém tunelů větších rozměrů Aerodynamické tunely se ve své historii nejvíce uplatnily v letectví a ve vnitřní aerodynamice nejrůznějších odstředivých strojů, jako jsou turbokompresory, spalovací i parní turbíny, odstředivá čerpadla a vodní turbíny. V poslední době se rovněž používají pro měření aerodynamiky automobilů všech typů, lokomotiv, vlaků a pod. Samozřejmě sehrály nenahraditelnou úlohu při řešení aerodynamických úloh v raketové technice a kosmonautice. Klasickým a nesmírně náročným problémem se stal výzkum raketoplánů, který v současnosti dále pokračuje, protože se vyvíjejí nové progresivnější a spolehlivější kosmické dopravní systémy. Aerodynamické tunely jsou často využívány i pro řešení úloh ve sportu – obr. 15.10. Jedná se zejména o cyklistiku, sjezdové lyžování, jízda na bobech i saních a řešení obtékání míčů pro nejrůznější sporty. Asi největší zájem je o obtékání golfového míčku, kterému bylo pravděpodobně věnováno největší úsilí. Rozsáhlé využití aerodynamických tunelů je také při obtékání mostů, věží, stožárů, budov, ulic, křižovatek, městských částí,stromů, při řešení rozptylu emisí a pod. Tunely pro tyto účely mají obvykle delší měřící úsek, jsou upraveny tak, že se dá simulovat rychlostní profil u přízemní mezní vrstvy, lze nastavit požadovanou intenzitu turbulence a dá se rovněž v tunelu realizovat stratifikované proudění např. z hlediska teploty. Příklad takového tunelu je na obr. 11.11, aplikace při obtékání staveb nebo stromů a pak je na obr. 11.12.

104



Obr. 11.10 Ukázky aplikací aerodynamických tunelů ve sportu

Obr. 11.11 Aerodynamický tunel pro měření obtékání staveb

Obr. 11.12 Ukázka řešení obtékání domů nebo stromů Proudícím mediem v aerodynamických tunelech je obvykle vzduch, pro některé speciální úlohy však byly použity i vodní tunely. Vedle fyzikálních experimentů v aerodynamických tunelech které jsou finančně velmi náročné se v posledních letech začalo užívat i matematické modelování. Do budoucna se dá očekávat stále četnější uplatnění matematických modelů, tyto však budou ještě dlouho doplňovány měřením v aerodynamickém tunelu .

105



Použitá označení Označení D F F0 Fp Fs Ft G H L M Qm Qv S T V a b c c c c cv d dh f g h i,j,k k l m p pd ps r r t t u v v* vp w wc x y z Γ Φ Ψ a β δ δ* ** δ ζ η k

Jednotka - rozměr m –2 N = kg . m . s N N N N N kg . m . s –2 m N.m kg . s –1 m3 . s –1 m2 K 3 m –1 m.s m m . s –1 1 1 1 1 m m s-1 –2 m.s m 1 m m kg Pa = N . m –2 Pa Pa –1 –1 J . kg . K m o C s –1 m.s m . s –1 m . s –1 –1 m.s m . s –1 m . s –1 m m m m 2 . s –1 2 –1 m .s 2 m . s –1 rad rad m m m 1 Pa . s 1

Význam průměr síla odporová síla tlaková síla – plošná síla setrvačná síla tečná síla, třecí síla tíha ( = Fg ) průtoková hybnost délka moment síly hmotnostní průtok objemový průtok plocha absolutní teplota objem rychlost zvuku šířka rychlost součinitel odporu koncentrace tlakové číslo objemová koncentrace průměr, průměr částice hydraulický průměr frekvence tíhové zrychlení výška, svislá vzdálenost, hloubka jednotkové vektory absolutní drsnost stěny délka, vzdálenost hmotnost tlak, celkový tlak dynamický tlak statický tlak měrná plynová konstanta poloměr teplota čas rychlost v bodě rychlost třecí rychlost rychlost pevné částice sedimentační rychlost, rychlost vznosu sedimentační rychlost mraku souřadnice souřadnice souřadnice cirkulace rychlosti rychlostní potenciál proudová funkce úhel úhel, směrový úhel tloušťka mezní vrstvy posunovací tloušťka impulzní tloušťka ztrátový součinitel dynamická viskozita izoentropický exponent

106


ν ρ t Dolní index n x y z o t p max min 0,1,2....

∞

m 2 . s –1 kg . m –3 Pa, N . m –2


kinematická viskozita hustota tečné - smykové napětí

směr normály směr x směr y směr z stagnační bod třecí tlakový maximální minimální místo na proudnici, stav v bodě bod před obtékaným tělesem v nerozrušeném proudu

Bezrozměrná čísla Fr Froudovo číslo Ma Machovo číslo Re Reynoldsovo číslo Sh Strouhalovo číslo Ar Archimedovo číslo

107



Literatura Bauer,F.a kol.: Letecký průvodce 2–Základy proudění, Věd technické nakladatelství Praha 1950, 231 s. Brož, B. Daněk,V. Filakovský,K.: Základy aerodynamiky, Cerm Brno 2003, ISBN 80-7204-316-1, 163 s. Brož,V.: Aerodynamika nízkých rychlostí, skripta ČVUT Praha 2001, ISBN 80-01-02347-8, 182 s. Brož,V.: Aerodynamika vysokých rychlostí, skripta ČVUT Praha 2001, ISBN 80-01-02348-6, 290 s. Bohl ,V. : Technische Stromungslehre, VEB Fachbuchverlag Lipsko 1971, s Douglas,J.F.,Gasiorek,J.M.,Swaffield,J..A.,Jack,L.B. : Fluid Mechaniics Dvořák,R.: Vnitřní aerodynamika, skripta ČVUT Praha 1987, 166s. Dvořák,R, Kozel,K.: Matematické metody v aerodynamice, skripta ČVUT Praha 1992,153s. ISBN 80-01-00851-7 Dyke,M. : An Album of Fluid Motion, The Parabolic Press, Stanford California1982, 181 s. Fox,R.W.,Mc Donald,A.T.: Introduction to Fluid Mechanics, J. Wiley & sons, New York, 1994 Grybos, R.: Postavy mechaniky plynow. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998 ISBN 8301-12554-3 Harašta,I., a kol. : Učebnice pilota, nakladatelství Svět křídel, Cheb 2003, ISBN-80-8-85280-89-2 Janalík,J.,Štáva,P.: Mechanika tekutin, skripta VŠB TU Ostrava 2001 Katz, J.: Race Car Aerodynamics, Robert Bentley Publishers 1995 Noskievič,J. a kol.: Mechanika tekutin. SNTL/ALFA Praha 1990, 354s. Nožička,J.: Ttermodynamika. ČVUT, Praha 2001,179 s, ISBN 80-01-01836-9 Nožička,J.: Historický pohled na dynamiku plynů, Gradient Praha ,1998, 147s. Prandtl,L.,Oswatitsch,K, Wieghardt,K.: Fuhrer durch die Strömungslehre Vieweg. Braunschweig, 1969 Shauphnossy.E.J.,Katz,I.M.,Schaffer,J.P. : Fluid Mechanics Schlichting,H.: Grenzschittheorie, Krlsruhe, Verlag A. Braun 1965 Spurk,J.H.: Strömungslehre, Springer, Berlin 1989 Streeter, V.L.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1971 Šesták,J.,Eiegel,F. : Přenos hybnosti, tepla a hmoty, Skripta ČVUT Praha , 1993, 299 s.,, ISBN 80-01-00957-2 White, F.M.: Fluid Mechanics, Mc Graw-Hill, New York, 1986 www.nasa.gov www.thomasnet.com www.flowserve.com www.gaso.com www.princeten.edu www.iihr.uiowa.edu www.efluid.com www.uni-karlsruhe.de

108



Číslo skladové:

2304

Určeno pro posluchače:

2. r. bc. FS

Autor:

300

Jaroslav Janalík, prof., Ing., CSc.

Katedra, institut:

hydromechaniky a hydraulických zařízení

Název:

Obtékání a odpor těles

Místo, rok, vydání:

Ostrava, 2008, 1. vydání

Počet stran:

108

Vydala:

VŠB – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA 17. listopadu 15/2172 708 33 Ostrava-Poruba

Tisk:

Ediční středisko VŠB - TU Ostrava

Náklad:

20 CD

Tématická skupina:

17

ISBN 978-80-248-1911-2

109

338

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA OBTÉKÁNÍ A ODPOR TĚLES

Recommend Documents