Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOSEČKY, KOLINEACE

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

KUŽELOSEČKY, KOLINEACE Deskriptivní geometrie

Krista Dudková Radka Hamříková

OSTRAVA 2005

OBSAH 1. Kuželosečky

5

1.1. Řezy na kuželové ploše

5

1.2. Elipsa

7

• Bodová konstrukce elipsy • Popis elipsy • Proužková konstrukce elipsy • Oskulační kružnice • Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s elipsou • Tečna elipsy • Ohniskové vlastnosti elipsy • Sdružené průměry elipsy • Rytzova konstrukce Úkoly k řešení Nápověda

8 9 9 11 13 14 15 19 19 21 22

1.3. Hyperbola

23

• Bodová konstrukce hyperboly • Popis hyperboly • Oskulační kružnice • Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s hyperbolou • Tečna hyperboly • Ohniskové vlastnosti hyperboly Úkoly k řešení Nápověda

23 24 26 27 28 29 33 34

1.4. Parabola

35

• Bodová konstrukce paraboly • Oskulační kružnice • Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s parabolou • Tečna paraboly • Ohniskové vlastnosti paraboly • Normála paraboly Úkoly k řešení Nápověda

35 36 37 38 39 41 43 44

1.5. Výsledky

45

• • •

Úkoly k řešení – elipsa (zadání na straně 21) Úkoly k řešení – hyperbola (zadání na straně 33) Úkoly k řešení – parabola (zadání na straně 43)

45 51 55

2. Kolineace

58

2.1. Nevlastní prvky

58

• •

Nevlastní bod přímky Nevlastní přímka roviny

58 60

2.2. Středová kolineace v prostoru • •

61

Typy kolineací Osová afinita v prostoru

63 64

2.3. Středová kolineace v rovině

65

Úkoly k řešení Nápověda

67 68

2.4. Osová afinita v rovině

69

Úkoly k řešení Nápověda

73 73

2.5. Výsledky

74

• •

Úkoly k řešení – středová kolineace v rovině (zadání na straně 67) Úkoly k řešení – osová afinita v rovině (zadání na straně 73)

Literatura

74 78

79

Poděkování Děkujeme doc. RNDr. Pavlu Burdovi, CSc. a Mgr. Jiřímu Doležalovi za pečlivou recenzi, svědomitou korekturu a cenné připomínky. Ostrava, prosinec 2004

Krista Dudková, Radka Hamříková

1. KUŽELOSEČKY


1. KUŽELOSEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše Je dána rotační kuželová plocha, která vznikne rotací dvou různoběžných přímek se společným bodem V kolem osy o jednoho z úhlů obou různoběžek. Rovina ρ je rovina kolmá k ose o neprocházející bodem V, rovina σ je rovina řezu a rovina ω je rovina rovnoběžná s rovinou řezu σ, která prochází bodem V (tzv. vrcholová rovina). Označme α odchylku povrchových přímek kuželové plochy od roviny ρ.

Kružnice ω

V

Je-li rovina řezu σ rovnoběžná s rovinou ρ, je řezem kružnice k. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společný pouze bod V, (obr. 1).

σ

k

α

ρ

Obr. 1 Elipsa ω

Je-li rovina řezu σ různoběžná s rovinou ρ a svírá s rovinou ρ úhel menší než úhel α, je řezem elipsa e. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společný pouze bod V, (obr. 2).

σ

V

e

α

ρ

Obr. 2

5

1. KUŽELOSEČKY


Parabola ω

Je-li rovina řezu σ rovnoběžná s povrchovou přímkou kuželové plochy, tedy svírá s rovinou ρ úhel α, je řezem parabola p. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společnou přímku, ω je tečná rovina kuželové plochy, (obr. 3).

σ

V

p α

ρ

Obr. 3 Hyperbola

Je-li rovina řezu σ různoběžná s rovinou ρ a svírá s rovinou ρ úhel větší než úhel α, je řezem hyperbola h. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společné dvě různoběžky, které se protínají v bodě V, (obr. 4).

ω

σ

V

h α

ρ

Obr. 4 Vyzkoušejte si Nalijte obarvenou tekutinu do sklenice kuželovitého tvaru, třeba na šampaňské, shora zakryjte sklenici tvrdou podložkou a naklánějte ji, postupně se vám ukáží všechny výše zmíněné kuželosečky. V analytické geometrii se kuželosečky popisují rovnicemi. V deskriptivní (konstruktivní) geometrii je sestrojujeme z daných geometrických prvků. Jedná se o tytéž kuželosečky, důkazy zde nebudeme uvádět.

6

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

1.2. Elipsa Elipsa je po kružnici pravděpodobně nejčastěji používaná křivka. Setkáte se s ní v promítacích metodách, kde se objeví jako průmět kružnice. Elipsa je také rovinným řezem rotační válcové plochy, rotační kuželové plochy (odtud název kuželosečky z úvodní kapitoly) a dalších ploch.

Vyzkoušejte si S elipsou se setkáte také v parcích a na zahradách, kde se záhon tvaru elipsy osadí okrasnými rostlinami. Jak takový zahradník udělá elipsu jednoduše a přitom přesně? Postačí mu 3 kolíky a provázek, konce provázku přiváže ke dvěma kolíkům, ty zapíchne do země, třetím kolíkem napne provázek a „kreslí“ elipsu na záhonku. Vy si můžete vzít dva špendlíky, nit, tužku a kousek polystyrenu. Na špendlíky přivážete konce niti, zapíchnete do polystyrenu a tužkou napínáte nit a kreslíte elipsu, (obr. 5).

2a

E

F

Obr. 5

7

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou pevně zvolených různých bodů E, F konstantní součet vzdáleností 2a, který je větší, než vzdálenost bodů E, F. •

Bodová konstrukce elipsy

Podle definice je elipsa určena dvěma body E, F a velikostí 2a. Zvolme si body E, F, jejichž vzdálenost je 8 cm. Sestrojme úsečku KL délky 2a = 10 cm . Mezi body KL zvolíme dělicí bod I, jehož vzdálenost od krajních bodů úsečky je minimálně 1 cm. Například IK = 3 cm , IL = 7 cm . Nyní sestrojíme oblouky kružnic k 1 (E, r = IK ), k 2 (F, r = IL ) . Pro průsečík M = k 1 ∩ k 2 platí: ME + MF = IK + IL = 10 cm = 2a , je tedy bod M bodem elipsy. Volbou jednoho dělicího bodu I získáme čtyři body elipsy, další bod je druhý průsečík kružnic k 1 , k 2 . Zbývající dva body získáme výměnou poloměrů obou kružnic. Volbou dalších dělicích bodů sestrojíme libovolné množství bodů elipsy. Na spojnici o1 bodů E, F sestrojíme střed S úsečky EF, dále body A, B tak, že platí: a = AS = BS . Bod A je bodem elipsy, protože AE + AF = AE + AE + EF = AE + EF + FB = AB = 2a , podobný vztah platí i pro bod B. V bodě S sestrojíme přímku o 2 ⊥ o1 . Body C, D , které leží na o2 a platí pro ně, že EC = CF = a , ED = DF = a , jsou zřejmě body elipsy.

K

k1

I

k2 M a

A

E

L

o2

C

b e

S

F

D Obr. 6

8

B

o1

1. KUŽELOSEČKY • S… A, B… C, D… E, F… o1 … o2…

1.2. Elipsa

Popis elipsy střed hlavní vrcholy vedlejší vrcholy ohniska hlavní osa vedlejší osa

a = AS = BS … b = CS = DS … e = ES = FS … přímky EM, FM …

délka hlavní poloosy délka vedlejší poloosy excentricita průvodiče bodu M

Pro a, b, e platí Pythagorova věta: e 2 + b 2 = a 2 . Elipsa je osově souměrná podle o1 a o2 a středově souměrná podle S. •

Proužková konstrukce elipsy Je dána elipsa délkou hlavní poloosy a a délkou vedlejší poloosy b. Sestrojíme osy o1 a o2 a vrcholy elipsy. Na proužek papíru si vyznačíme součet délek poloos a+b, koncový bod hlavní poloosy umístíme na vedlejší osu elipsy, koncový bod vedlejší poloosy umístíme na hlavní osu elipsy. Společný bod poloos určí jeden bod M elipsy. Posouváním proužku papíru po osách dostaneme jakýkoli bod elipsy. Tuto konstrukci nazýváme součtová proužková konstrukce elipsy. Obr. 7

Na proužek papíru si vyznačíme rozdíl poloos a-b, koncový bod hlavní poloosy umístíme na vedlejší osu elipsy, koncový bod vedlejší poloosy umístíme na hlavní osu elipsy. Společný bod poloos určí jeden bod M elipsy. Posouváním proužku papíru po osách dostaneme jakýkoli bod elipsy. Tuto konstrukci nazýváme rozdílová proužková konstrukce elipsy, (obr. 7). Vyzkoušejte si Pomocí jedné z proužkových konstrukcí se pokuste sestrojit elipsu.

9

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Příklad: Sestrojte elipsu, jsou-li dány hlavní vrcholy A, B elipsy a jeden její bod M. Určete osy elipsy, střed, vedlejší vrcholy a ohniska. Řešení: o2

M b

m

a

o1

A

S

V

B

K řešení použijeme rozdílovou proužkovou konstrukci, (obr. 8), (součtová se nemusí vejít na formát papíru). 1. o1 ; o1 = AB , A+B 2. S; S = střed úsečky AB, 2 3. o 2 ; o 2 ⊥ AB, S ∈ o 2 , 4. m; m(M, r = a = AS ) , 5. U; U = m ∩ o 2 , 6. V; V = MU ∩ o 1 ,

U

7. b; b = MV , Obr. 8

o2

m

8. C; C ∈ o 2 , CS = b ,

C

M

D; D ∈ o 2 , DS = b , 9. E; E ∈ o 1 , CE = a ,

b a A

E

V

S

F

o1 B

F; F ∈ o 1 , CF = a .

U D Obr. 9 Elipsu budeme považovat za určenou, budeme-li znát hlavní vrcholy a ohniska. Potřebujeme-li elipsu vyrýsovat, použijeme některou známou konstrukci (bodovou, proužkovou).

10

1. KUŽELOSEČKY •

1.2. Elipsa

Oskulační kružnice

Název oskulační pochází z latiny, oskulum znamená polibek. Elipsa má s oskulační kružnicí společný jen jeden bod - vrchol, kterým kružnice prochází, ale oblouk oskulační kružnice se nejvíc blíží tvaru elipsy v blízkém okolí vrcholu.

Oskulační kružnice nahrazují elipsu v okolí vrcholů. Uvedeme si dva postupy, jak najít středy oskulačních kružnic elipsy. 1. Hlavním vrcholem A vedeme rovnoběžku s vedlejší osou o2, vedlejším vrcholem C vedeme rovnoběžku s hlavní osou o1. Průsečík rovnoběžek označíme 1, dostaneme obdélník ASC1. Bodem 1 sestrojíme kolmici na úhlopříčku AC. Kolmice protíná hlavní osu v bodě OA a vedlejší osu v bodě OC. Toto jsou středy oskulačních kružnic oA a oC, které procházejí body A, C. S využitím souměrnosti elipsy sestrojíme středy OB a OD oskulačních kružnic oB a oD, (obr. 10). B

o2 OD

C

1

oC oB

oA

A

E

OA

S

D OC Obr. 10

11

OB

oD

F

B o1

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

2. Sestrojíme kružnice k 1 (A, r = b) a k 2 (C, r = a) . Průsečíky 1, 2 kružnic k 1 , k 2 spojíme a tato přímka protíná hlavní osu v bodě OA a vedlejší osu v bodě OC, (obr. 11). Dále je postup stejný jako v předchozím případě.

o2 k2 k1

OD

C

1

oB

oA

A

E

OA

oC

S

OB

F

B o1

2

D

oD

OC

Obr. 11 Vyzkoušejte si Elipsu v technické praxi může nahradit ovál. Je složený ze čtyř oblouků kružnic. Kružnice procházející hlavními vrcholy jsou oskulační kružnice, kružnice ve vedlejších vrcholech sestrojíme podle návodu: na vedlejší ose najdeme bod Y tak, aby ležel mezi body S, C a vzdálenost YC byla rovna poloměru oskulační kružnice o A . Pomocná kružnice o(Y, r = O A A ) , (obr. 12), protíná kružnici o A ve dvou bodech, průsečík jejich spojnice s vedlejší osou elipsy je bod X . Oblouk kružnice k (X, r = XC ) je další část oválu, k' sestrojíme souměrně.

12

o2

C o oA

k Y

OA

A

E

oB OB

S

F

k' D X

Obr. 12

B

o1


1.2. Elipsa

Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s elipsou

K

Elipsa e rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M ∈ e, ME + MF = 2a …body elipsy,

M

b) K, KE + KF > 2a …vnější body elipsy,

E

F

L

c)

L, LE + LF < 2a …vnitřní body elipsy.

Obr. 13

Přímka a elipsa e mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) p ∩ e = ∅ …nesečna, b) q ∩ e = {U, V}…sečna, UV je tětiva elipsy, c) t ∩ e = {T}…tečna; T je bod dotyku.

p T

U

t

V q

Obr. 14 Nesečna obsahuje pouze vnější body elipsy. Sečna obsahuje dva body U, V elipsy, vnitřní body elipsy i body vnější. Tečna má s elipsou společný bod T, ostatní body jsou vnější.

13


1.2. Elipsa

Tečna elipsy

Tečna elipsy je přímka, která má s elipsou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body elipsy. Pro konstrukci tečny nelze definici použít. K tomu slouží následující věta.

Věta

Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku.( Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten, který neobsahuje bod S.) o2

X

t

Q C

T P

A

E

S

F

B o1

D

Obr. 15 Důkaz: Na elipse si zvolíme bod T, sestrojíme jeho průvodiče TE, TF. Osu tohoto úhlu označíme t. Ukážeme, že se jedná o tečnu elipsy v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska E na přímku t. Bod Q je průsečík této kolmice a průvodiče TF. Trojúhelníky ΔETP a ΔQTP jsou podle věty usu shodné a ΔETQ je tedy rovnoramenný. Přímka t je osa souměrnosti tohoto trojúhelníka. Platí: ET = QT . Podle definice elipsy platí: 2a = ET + TF . Dosazením předchozí rovnosti dostaneme: 2a = QT + TF = FQ . Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky EQ, pak platí XE + XF = XQ + XF . Podle trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku ΔQXF platí: XQ + XF > QF = 2a . Je tedy bod X vnějším bodem elipsy. Protože jsme tento bod zvolili libovolně, je každý bod přímky t kromě bodu T vnějším bodem elipsy. Přímka t je tečna elipsy. Bod Q je obrazem bodu E v osové souměrnosti s osou t, proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem E podle tečny t. Věty, které budou následovat, plynou z předchozího tvrzení. 14


1.2. Elipsa

Ohniskové vlastnosti elipsy

o2

t

Q T

C

P

A

E

S

F

g1

o1

B

v

g2

D

Obr. 16

Věta

Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem E podle všech tečen elipsy je kružnice g1 (F, r = 2a ) . Podobně množina bodů souměrně sdružených s ohniskem F podle všech tečen elipsy je kružnice g 2 (E, r = 2a) .

Kružnice g1 (F, r = 2a ) a g 2 (E, r = 2a) se nazývají řídicí kružnice. Trojúhelníky Δ SEP a Δ FEQ jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je E a koeficient k = 2 ), proto je SP FQ a platí, že 2 ⋅ SP = FQ = 2a , je tedy SP = a , (obr. 16). (V trojúhelníku Δ FEQ je SP střední příčka.) Věta

Množina pat kolmic P spuštěných z ohnisek E, F na všechny tečny elipsy je kružnice v(S, r = a ) .

Kružnice v(S, r = a ) se nazývá vrcholová kružnice.

15

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Příklad: Vnějším bodem R elipsy veďte tečny k této elipse. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohnisky. Řešení pomocí vrcholové kružnice.

Th

P' o2

t R

C

T P

T'

t' A

E

S

F

B

o1

v D

Obr. 17 Řešení: 1. v; v(S, r = a ) …vrcholová kružnice, 2. Th …Thaletova kružnice nad průměrem RE, 3. P, P' ; v ∩ Th = {P, P'}…paty kolmic spuštěných z ohniska E na hledané tečny, 4. t; t = RP , t' ; t' = RP' …hledané tečny, 5. T; TF SP, T ∈ t ,

T'; T' F SP', T'∈ t' …body dotyku.

V řešení je použita vrcholová kružnice. Dále pak spojnice EP je kolmá k tečně a tedy trojúhelník EPR je pravoúhlý. Vrchol P leží na Thaletově kružnici nad přeponou ER tohoto trojúhelníka.

16

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Řešení pomocí řídicí kružnice.

Q' o2

R Q

t

C

T

k T' t'

A

S

E

F

B

o1

g1

D

Obr. 18 Řešení: 1. g1 ; g1 (F, r = 2a) …řídicí kružnice, 2. k; k (R, r = RE ) ,

3. Q, Q'; g 1 ∩ k = {Q, Q'} …body souměrně sdružené s ohniskem E podle hledaných tečen, 4. t …osa úsečky EQ , t' …osa úsečky EQ' , 5. T; QF ∩ t = {T} , T'; Q' F ∩ t' = {T'} …body dotyku.

Tato konstrukce je prostorově náročná (bod Q nemusí vyjít na formát papíru), pak je výhodnější použít obě řídicí kružnice g1 i g2.

17

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k elipse. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohnisky. Řešení pomocí vrcholové kružnice.

P s

r

o2

C T

t' A

E

F

S

B

t

P'

o1

v

T' D

Obr. 19 Řešení: 1. v; v(S, r = a ) …vrcholová kružnice, 2. r; E ∈ r, r ⊥ s , 3. P, P' ; v ∩ r = {P, P'} …paty kolmic spuštěných z ohniska E na hledané tečny, 4. t; t s, P ∈ t ,

t'; t' s, P'∈ t' …hledané tečny, 5. T; TF SP, T ∈ t ,

T' ; T' E SP, T'∈ t' …body dotyku.

Tuto úlohu můžeme řešit také pomocí řídicích kružnic g1 i g2, ale tato konstrukce je prostorově náročná.

18


1.2. Elipsa

Sdružené průměry elipsy M L S K N

Obr. 20

Tětiva elipsy, která prochází jejím středem, se nazývá průměr elipsy. Jestliže platí, že tečny v krajních bodech průměru MN jsou rovnoběžné s průměrem KL a tečny v krajních bodech průměru KL jsou rovnoběžné s průměrem MN, pak průměrům KL a MN říkáme sdružené průměry elipsy.

V některých úlohách, např. při konstrukcích řezů těles rovinou, se setkáte s elipsou zadanou sdruženými průměry. K sestrojení os a vrcholů elipsy slouží Rytzova konstrukce.

•

Rytzova konstrukce M

Elipsa je určena sdruženými průměry KL a MN, které se protínají ve středu S elipsy. Určete osy a vrcholy elipsy.

L

S

Jsou-li průměry k sobě kolmé, pak se jedná o osy elipsy a body K, L, M, N jsou vrcholy elipsy.

K N

Obr. 21a Řešení: R

1. n; n ⊥ KL … kolmice na delší průměr,

M

2. R; R ∈ n, RS = SL ,

L

3. RM … spojnice bodů,

S K

n N

Obr. 21b 19

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

U

R M

M+R …střed 2 úsečky MR, 5. k;k (O, r = OS ) ,

k

O

4. O; O = L

V

6. U, V; k ∩ MR = {U, V},

S n

K

N

Obr. 21c o2

7. o1 ; o1 = SV …hlavní osa, o 2 ; o 2 = SU … vedlejší osa, 8. a; a = MU = RV …

U k R M

O

C

hlavní poloosa, b; b = MV = RU …

L V A

B

S

K

vedlejší poloosa, 9. A; A ∈ o1 , SA = a ,

B; B ∈ o1 , SB = a ,

n D

o1

10. C; C ∈ o 2 , SC = b ,

N

D; D ∈ o 2 , SD = b .

Obr. 21d

Nevyjde-li bod U na formát papíru, sestrojíme vedlejší osu jako kolmici na hlavní osu středem S elipsy. Hlavní osa je v ostrém úhlu sdružených průměrů. Je vhodné sestrojit tečny v krajních bodech průměrů, konstrukce elipsy bude přesnější.

20

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Úkoly k řešení 1. Sestrojte elipsu, znáte-li její střed S, ohnisko E a jeden její bod M. 2. Sestrojte elipsu, znáte-li její vedlejší vrchol C, ohnisko E a velikost vedlejší poloosy b. 3. Sestrojte elipsu, znáte-li její ohniska E, F a tečnu t. 4. Sestrojte elipsu, znáte-li její ohnisko E, hlavní osu o1 a tečnu t s bodem dotyku T. 5. Sestrojte elipsu, znáte-li její střed S, tečnu t, velikost hlavní poloosy a, excentricitu e, a>e. 6. Sestrojte elipsu, znáte-li její střed S, velikost hlavní poloosy a, tečnu t s bodem dotyku T. 7. Sestrojte elipsu, znáte-li její ohnisko E a tři její tečny t, t' , t' ' .

Pokuste se úlohy vyřešit samostatně, použijte vlastnosti elipsy, které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte, že úloha je vyřešena, tzn. nakreslete si hotovou elipsu, vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další, které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky elipsy, abyste mohli určit její ohniska, vrcholy, na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je.

21

1. KUŽELOSEČKY

1.2. Elipsa

Nápověda 1. Střed a ohnisko leží na hlavní ose, druhé ohnisko je souměrné podle středu se zadaným ohniskem a platí definice elipsy. Součet vzdáleností bodu M od ohnisek je roven velikosti hlavní osy, tedy 2a. Najít hlavní a vedlejší vrcholy už nebude problém. 2. Vedlejší vrchol leží na vedlejší ose, ohnisko na ose hlavní, osy se protínají ve středu elipsy a protože osy jsou k sobě kolmé, je trojúhelník Δ CSE pravoúhlý. V tomto trojúhelníku známe přeponu CE . Bod S leží na Thaletově kružnici nad CE . Vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elipsy je rovna b. 3. Známe-li ohnisko a tečnu, automaticky sestrojíme kolmici na tečnu z ohniska a patu této kolmice. Vzdálenost paty kolmice od středu elipsy je rovna a. Na tečně vždy určíme bod dotyku. 4. Opět je dáno ohnisko a tečna. Sestrojte kolmici z ohniska na tečnu, patu kolmice a také bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny. Spojíte-li ho s bodem dotyku, budete moci najít druhé ohnisko. 5. Zde nám pomůže vrcholová kružnice, která protíná tečnu v patách kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu. Kolmice tedy sestrojíme a na nich budeme hledat ohniska. Vzdálenost ohnisek od středu je rovna e. Nezapomeňte na tečně najít bod dotyku. 6. Úloha bude mít podobný postup. Začneme vrcholovou kružnicí, najdeme paty kolmic a kolmice sestrojíme. Bodem dotyku povedeme rovnoběžku se spojnicí středu elipsy s jednou patou kolmice, dostaneme ohnisko. Druhé ohnisko bude souměrné podle středu. 7. Máme dány tři tečny. Můžeme sestrojit na každou z nich kolmici z ohniska. Tyto tři paty kolmic tvoří trojúhelník. Jimi prochází vrcholová kružnice. Její střed je střed elipsy, najdeme ho jako střed kružnice opsané trojúhelníku. Na tečnách nezapomeneme sestrojit body dotyku.

22

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

1.3. Hyperbola

Hyperbola je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou pevně zvolených různých bodů E, F konstantní kladný rozdíl vzdáleností 2a, který je menší, než vzdálenost bodů E, F. •

Bodová konstrukce hyperboly

Podle definice je hyperbola určena dvěma body E, F a velikostí 2a. Zvolme si body E, F, jejichž vzdálenost je 6,4 cm.(Viz obr. 22.) Sestrojme úsečku KL délky 2a = 5 cm . Před bodem K zvolíme dělicí bod I, jehož vzdálenost od krajních bodů úsečky je minimálně 0,7 cm. Například IK = 3,8 cm , IL = 8,8 cm . Nyní sestrojíme oblouky kružnic k 1 (E, r = IK ), k 2 (F, r = IL ) . Pro průsečík M = k 1 ∩ k 2 platí: ME − MF = IL − IK = 5 cm = 2a . Bod M je bodem hyperboly. Volbou jednoho dělicího bodu I získáme 4 body hyperboly, další bod je druhý průsečík kružnic k 1 , k 2 . Zbývající dva body získáme výměnou poloměrů obou kružnic. Volbou dalších dělicích bodů sestrojíme libovolné množství bodů hyperboly. Na spojnici o1 bodů E, F sestrojíme střed S úsečky EF, dále body A, B tak, že platí: a = AS = BS . Bod A je bodem hyperboly, protože AF − AE = EF − AE − FB = AB = 2a . Podobný vztah platí i pro bod B. V bodě S sestrojíme přímku o 2 ⊥ o1 . V hlavním vrcholu A sestrojíme kolmici k ose o1 a na ni naneseme vzdálenost SE od středu S hyperboly. Tento bod spojíme se středem a dostaneme přímku u. Podobně sestrojíme přímku v, která je souměrná podle osy o1 nebo osy o2.

23

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

I

K

L

o2

k2

M k1

e

E

A

b o1

a

S

B

F

v

u

Obr. 22 • S… A, B… u, v… E, F… o1 … o2…

Popis hyperboly střed hlavní vrcholy asymptoty ohniska hlavní osa vedlejší osa

a = AS = BS … b… e = ES = FS … EM, FM …

délka hlavní poloosy délka vedlejší poloosy excentricita průvodiče bodu M

Pro a, b, e platí Pythagorova věta: a 2 + b 2 = e 2 . Hyperbola je osově souměrná podle o1 a o2 a středově souměrná podle S.

24

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

Příklad: Sestrojte hyperbolu, jsou-li dána ohniska E, F hyperboly a její bod M. Určete osy hyperboly, střed, asymptoty a hlavní vrcholy.

o2

u

v

M Q E

A

S

o1 B

F

Obr. 23 Řešení: 1. o 1 ; o 1 = EF , E+F střed úsečky EF, 2. S; S = 2 3. EM, FM …průvodiče bodu M, 4. Q; Q ∈ EM, QM = FM , 1 EQ , 2 6. A, B; A ∈ o1 , B ∈ o1 , AS = BS = a ,

5. a; a =

7. u, v …asymptoty hyperboly (viz bodová konstrukce, obr. 22).

Hyperbolu budeme považovat za určenou, budeme-li znát hlavní vrcholy, ohniska a asymptoty.

25


1.3. Hyperbola


Oskulační kružnice nahrazují hyperbolu v okolí vrcholů. Hlavním vrcholem A vedeme rovnoběžku s vedlejší osou o2. Průsečíkem rovnoběžky s asymptotou sestrojíme kolmici k asymptotě. Kolmice protíná hlavní osu v bodě OA. To je střed oskulační kružnice oA, která prochází bodem A. S využitím souměrnosti hyperboly sestrojíme střed OB oskulační kružnice oB, (obr. 24).

o2 u

v

OA

OB E

A

S

oA

B

o1

F oB

Obr. 24

26


1.3. Hyperbola

Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s hyperbolou o2 u

L

v

M

o1

B E

A

F

S

K

Obr. 25 Hyperbola h rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M ∈ h, ME − MF = 2a …body hyperboly, b) K, KE − KF > 2a … vnitřní body hyperboly, c)

L, LE − LF < 2a … vnější body hyperboly. m

o2 q u

r

v M

T

p U

o1 E

A

B

S

F

R t

V N

Obr. 26 Přímka a hyperbola h mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) q ∩ h = ∅ , q × u, v …nesečna, obsahuje pouze vnější body hyperboly, b) p ∩ h = {U, V}…sečna, vnitřní body úsečky UV jsou vnější body hyperboly, m ∩ h = {M, N}…sečna, vnitřní body úsečky MN jsou vnitřní body hyperboly, c) t ∩ h = {T}…tečna; T je bod dotyku, ostatní body jsou vnější, d) u, v ∩ h = ∅ …asymptoty, obsahují pouze vnější body, mají vlastnosti tečny, e) r ∩ h = {R}…rovnoběžka s asymptotou, obsahuje vnější i vnitřní body a bod R hyperboly. 27


1.3. Hyperbola

Tečna hyperboly

Tečna hyperboly je přímka, která má s hyperbolou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body hyperboly. Věta

Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. (Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten, který obsahuje bod S.) o2

u

v

T Q P o1

E

A

B

S

F

X

t

Obr. 27 Důkaz: Na hyperbole zvolíme bod T a sestrojíme jeho průvodiče TE, TF. Osu tohoto úhlu označíme t. Ukážeme, že se jedná o tečnu hyperboly v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska F na přímku t. Bod Q je průsečík této kolmice a průvodiče TE. Trojúhelníky Δ FTP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné a Δ FTQ je rovnoramenný. Přímka t je osa souměrnosti tohoto trojúhelníka. Platí: FT = QT . Pro bod T platí podle definice hyperboly: 2a = ET − FT , dosazením rovnosti FT = QT dostaneme: 2a = ET − TQ = EQ . Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky FQ. Pak platí XF − XE = XQ − XE . Podle trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku Δ EXQ platí: XQ − XE < QE = 2a . Bod X je tedy vnějším bodem hyperboly. Protože jsme tento bod zvolili libovolně, je každý bod přímky t mimo bod T vnějším bodem hyperboly. Přímka t je tečna hyperboly. Bod Q je obrazem bodu F v osové souměrnosti s osou t, proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t. Věty, které budou následovat, plynou z předchozího tvrzení.

28


1.3. Hyperbola

Ohniskové vlastnosti hyperboly g1

g2

o2

u

v w T P

Q E

A

S

o1

B

F

P' t

Q'

Obr. 28

Věta

Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem F podle všech tečen hyperboly je kružnice g 1 (E, r = 2a ) . Podobně množina bodů souměrně sdružených s ohniskem E podle všech tečen hyperboly je kružnice g 2 (F, r = 2a ) .

Kružnice g 1 (E, r = 2a ) a g 2 (F, r = 2a ) se nazývají řídicí kružnice. Trojúhelníky Δ SFP a Δ EFQ jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je F a koeficient k = 2 ). Proto je SP EQ a platí, že 2 ⋅ SP = EQ = 2a , je tedy SP = a . (V trojúhelníku Δ EFQ je SP střední příčka.) Věta

Množina pat kolmic P spuštěných z ohnisek E, F na všechny tečny hyperboly je kružnice v(S, r = a ) .

Kružnice v(S, r = a ) se nazývá vrcholová kružnice.

29

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

Příklad: Vnějším bodem R hyperboly veďte tečny k hyperbole, která je určena ohnisky a vrcholy. Řešení pomocí řídicí kružnice. g1

o2

u

v

T Q

T'

E A

S

o1

B

F

R

Q' t

t'

k

Obr. 29 Řešení: 1. g 1 ; g 1 (E, r = 2a) …řídicí kružnice, 2. k; k (R, r = RF ) ,

3. Q, Q'; g 1 ∩ k = {Q, Q'} …body souměrně sdružené s ohniskem F podle hledaných tečen, 4. t …osa úsečky FQ, t' …osa úsečky FQ‘, 5. T; QE ∩ t = {T}, T'; Q' E ∩ t' = {T'}…body dotyku.

Jiné řešení úlohy je pomocí vrcholové kružnice. Toto řešení neuvádíme, můžete si je zkusit sami s využitím podobné úlohy u elipsy.

30

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k hyperbole, která je určena ohnisky, vrcholy a asymptotami. Řešení pomocí vrcholové kružnice. o2

s

k

t'

u

v

P'

w

T P o1

E

A

S

B

F

T'

t

Obr. 30 Řešení: 1. v; v(S, r = a ) …vrcholová kružnice, 2. k; F ∈ k, k ⊥ s , 3. P, P' ; v ∩ k = {P, P'}…paty kolmic spuštěných z ohniska F na hledané tečny, 4. t; t s, P ∈ t ,

t'; t' s, P'∈ t' …hledané tečny, 5. T; TF SP' , T ∈ t ,

T'; T' E SP', T'∈ t' …body dotyku.

Tuto úlohu můžeme řešit také pomocí řídicích kružnic g1 i g2.

31

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

Příklad: Sestrojte hyperbolu, znáte-li asymptoty u, v a bod M.

V řešení použijeme konstrukci a vlastnosti hyperboly, které vyplývají z vlastností rovinného řezu rotační kuželové plochy. l X

u o2 K

L

v

a P M b

b E A

a

B

S

Y

o1

F

l'

R

Obr. 31 Řešení: Sestrojíme velikost hlavní poloosy a: 1. S; S = u ∩ v , 2. o1 , o 2 ; osy různoběžek u, v, hlavní osa leží ve stejném úhlu jako bod M, 3. KL; KL ⊥ o 2 , M ∈ KL, K ∈ u, L ∈ v …platí vztah KM ⋅ LM = a 2 , 4. l; Thaletova půlkružnice nad KL, 5. X; LX ⊥ KL, X ∈ l , 6. a; a = MX …ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o odvěsně. Sestrojíme velikost vedlejší poloosy b: 1. S; S = u ∩ v , 2. o1 , o 2 ; osy různoběžek u, v, hlavní osa leží ve stejném úhlu jako bod M, 3. PR; PR ⊥ o1 , M ∈ PR, P ∈ v, R ∈ u …platí vztah PM ⋅ RM = b 2 , 4. l' ; Thaletova půlkružnice nad PR, 5. Y; MY ⊥ PR, Y ∈ l' , 6. b; b = MY …ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o výšce.

32

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

Úkoly k řešení 1. Sestrojte hyperbolu, znáte-li její ohniska E, F a jednu její tečnu t. 2. Sestrojte hyperbolu, znáte-li její hlavní osu o1, ohnisko E a tečnu t s bodem dotyku T. 3. Sestrojte kuželosečku, znáte-li její ohnisko E, její tečny t, t' a velikost hlavní poloosy a. 4. Sestrojte hyperbolu, znáte-li její ohnisko F, její tečnu t a asymptotu u.

Pokuste se úlohy vyřešit samostatně, použijte vlastnosti hyperboly, které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte, že úloha je vyřešena, tzn. nakreslete si hotovou hyperbolu, vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další, které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky hyperboly, abyste mohli určit její ohniska, vrcholy, asymptoty a na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je.

33

1. KUŽELOSEČKY

1.3. Hyperbola

Nápověda 1. Najdeme osy a střed hyperboly. Z ohnisek spustíme kolmice na tečnu, najdeme paty kolmic a body souměrně sdružené. Získáme a a na tečně bod dotyku. 2. Z ohniska spustíme kolmici na tečnu, najdeme patu kolmice a bod souměrně sdružený. Spojnice tohoto bodu s bodem dotyku protíná osu v druhém ohnisku. 3. Spustíme kolmice z ohniska na obě tečny a najdeme paty kolmic. Vzdálenost středu kuželosečky od pat kolmic je rovna velikosti hlavní poloosy. Střed je průsečík kružnic, které mají poloměr a a střed v patách kolmic. (Podle počtu průsečíků těchto kružnic máme dvě, jedno nebo žádné řešení, výsledkem může být i elipsa.) 4. Na asymptotu se díváme jako na tečnu. Vedeme tedy kolmice z ohniska k tečně a asymptotě. Dostaneme paty kolmic P, P' , střed hyperboly je průsečík osy úsečky PP' a asymptoty.

34

1. KUŽELOSEČKY

1.4. Parabola

1.4. Parabola

Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají od zvolené přímky d a zvoleného bodu F, který na přímce d neleží, stejnou vzdálenost. •

Bodová konstrukce paraboly

Zvolíme bod F a přímku d, bodem F vedeme kolmici o k přímce d. Průsečík přímek o a d označíme D. Na přímce o zvolíme bod X a sestrojíme bod M paraboly, jehož vzdálenost od bodu F i od přímky d je rovna velikosti úsečky DX. Množina bodů, které mají od bodu F vzdálenost DX, je kružnice se středem F a poloměrem DX. Množina bodů, které mají od přímky d vzdálenost DX, jsou dvě rovnoběžky s přímkou d. Použijeme rovnoběžku, která leží v polorovině dF. Průsečík kružnice s rovnoběžkou je bod M. Touto konstrukcí získáme dva body paraboly. Střed V úsečky FD splňuje definici a je tedy bodem paraboly.

d

D

•

M

Q

V

F

X

o

Popis paraboly

d…řídicí přímka F…ohnisko V…vrchol o…osa p = Fd = FD …parametr QM, FM …průvodiče bodu M , bod Q je pata kolmice spuštěné z bodu M na řídicí přímku d

Obr. 32 Parabola je nestředová kuželosečka, je osově souměrná pouze podle své osy o.

35

1. KUŽELOSEČKY

1.4. Parabola

Příklad: Sestrojte parabolu, je-li dáno ohnisko F paraboly, její bod M a osa o. Určete řídicí přímku a vrchol paraboly. d M

Q

Řešení: 1. k; k (M, r = FM ) ,

Q'

2. Q, Q'; Q, Q'∈ k, QQ' o, M ∈ QQ' ,

k V

F

o

V'

3. d; d ⊥ o, Q ∈ d , d' ; d' ⊥ o, Q'∈ d' …řídicí přímka, 1 1 4. V, V' ; VF = Fd , V' F = Fd' … 2 2 vrcholy parabol.

d'

Obr. 33 Parabolu budeme považovat za určenou, budeme-li znát vrchol, ohnisko a řídicí přímku.

•


Oskulační kružnice nahrazuje parabolu v okolí vrcholu. d

Poloměr oskulační kružnice je roven parametru. Střed O leží na ose paraboly ve vzdálenosti p od vrcholu V.

oV

o V

F

O

Obr. 34

36


1.4. Parabola

Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s parabolou

d

Parabola rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M, Md = MF …body paraboly,

M

Q

N

b) N, Nd > NF …vnitřní body paraboly, V

c)

o

F

L, Ld < LF …vnější body paraboly.

L

Obr. 35

d

t

U

T

s

S V

o

F

u

V V’

Přímka a parabola p mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) u ∩ p = ∅ …nesečna, obsahuje pouze vnější body paraboly, b) r ∩ p = {U, V'} …sečna, vnitřní body úsečky UV' jsou vnitřní body paraboly, c) t ∩ p = {T} …tečna; T je bod dotyku, ostatní body jsou vnější, d) o ∩ p = {V} , s ∩ p = {S} …osa a všechny rovnoběžky s osou, obsahují vnější i vnitřní body a bod paraboly V, S.

r

Obr. 36

37


1.4. Parabola

Tečna paraboly

Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body paraboly. Věta

Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. (Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten, který obsahuje vrchol V.) d

t

v T

Q P V X

F

o

R

Obr. 37 Důkaz: Na parabole zvolíme bod T a sestrojíme jeho průvodiče TF, TQ. Osu vnějšího úhlu průvodičů bodu T označíme t. Ukážeme, že se jedná o tečnu paraboly v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska F na přímku t. Bod Q je průsečík kolmice FP a řídicí přímky d. Trojúhelníky Δ FTP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné. Trojúhelník Δ FTQ je rovnoramenný a přímka t je osou souměrnosti tohoto trojúhelníka. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky FQ, pak platí XF = XQ . V pravoúhlém trojúhelníku Δ XRQ , bod R je průsečík kolmice vedené z bodu X k přímce d, je přepona XQ větší než odvěsna XR . Bod X je tedy vnějším bodem paraboly. Protože jsme tento bod zvolili libovolně, je každý bod přímky t mimo bod T vnějším bodem paraboly. Přímka t je tečna paraboly. Bod Q je obrazem bodu F v osové souměrnosti s osou t, proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem F podle tečny t. Věty, které budou následovat, plynou z předchozího důkazu. 38


1.4. Parabola

Ohniskové vlastnosti paraboly d

v

t T

Q P o D

V

F

Obr. 38 Věta

Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem F podle všech tečen paraboly je řídicí přímka d.

Trojúhelníky Δ DFQ a Δ VFP jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je F a koeficient k = 1 2 ), proto je VP DQ . A VP je vrcholová tečna paraboly.

Věta

Množina pat kolmic P spuštěných z ohniska F na všechny tečny paraboly je vrcholová tečna v.

39

1. KUŽELOSEČKY

1.4. Parabola

Příklad: Vnějším bodem R paraboly veďte tečny k této parabole, která je určena ohniskem a řídicí přímkou.

d t Q

k

Řešení: 1. k; k (R, r = RF ) , 2. Q, Q'; d ∩ k = {Q, Q'}…body souměrně sdružené s ohniskem F podle hledaných tečen, 3. t …osa úsečky FQ, t' …osa úsečky FQ‘, 4. T; QT ∩ t = {T}, QT ⊥ d , T'; Q' T'∩t' = {T'}, Q' T' ⊥ d …body dotyku.

T

R V

o

F

T'

Q'

t'

Obr. 39 Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k parabole, která je určena ohniskem a řídicí přímkou.

l

d

v

s

t

Řešení: 1. l; F ∈ l, l ⊥ s , 2. Q; l ∩ d = Q …bod souměrně sdružený s ohniskem F podle hledané tečny, 3. t; t s …osa úsečky FQ…hledaná tečna, 4. T; QT ∩ t = {T}, QT ⊥ d …bod dotyku.

T

Q P

o V

F

Obr. 40 40


1.4. Parabola

Normála paraboly

Normála paraboly je kolmice na tečnu paraboly v bodě dotyku. Normálu značíme n.

d

v

n

t T

Q P

K

D V

F

L

N

o

Označíme: K = t∩o, N = n∩o, L; TL ⊥ o, L ∈ o .

Obr. 41 Úsečku KL nazýváme subtangenta bodu T. Úsečku LN nazýváme subnormála bodu T. Věta

Subtangenta je půlena vrcholem. Velikost subnormály je rovna parametru. Součet subtangenty a subnormály je půlen ohniskem.

Důkaz: Protože Δ KPF je podle věty usu shodný s Δ TPQ , je KFTQ kosočtverec. Trojúhelníky Δ KDQ a Δ FLT jsou proto shodné a tedy KD = FL . Protože DV = VF , je bod V středem subtangenty KL. Trojúhelníky Δ QDF a Δ TLN jsou shodné a tedy LN = DF = p . Protože KD = FL a LN = DF , je bod F střed úsečky KN.

41

1. KUŽELOSEČKY

1.4. Parabola

Příklad: Sestrojte parabolu, znáte-li dvě její tečny s body dotyku t + T, t'+ T' . ( t, t' nejsou kolmé.) Řešení: T + T' 1. S; S = , 2 t d 2. R; t ∩ t' = {R}, Q l T 3. o' ; o' = SR , 4. l; l o', T ∈ l ,

f R

S V

o'

5.

o

F f'

Q' l'

6. 7.

T'

8. 9.

t'

l'; l' o', T'∈ l' …průvodiče bodů dotyku, f; l → f …v osové souměrnosti s osou t , f' ; l' → f' …v osové souměrnosti s osou t' , F; f ∩ f' = {F} , o; o o', F ∈ o , Q, Q' …body souměrné s ohniskem podle tečen, d; d = Q Q' .

Obr. 42 Konstrukce směru osy v předchozí úloze nevyplývá z ohniskových vlastností paraboly.

42

1. KUŽELOSEČKY

1.4. Parabola

Úkoly k řešení 1. Sestrojte parabolu, znáte-li její řídicí přímku d a dva body M, M' paraboly. 2. Sestrojte parabolu, znáte-li její ohnisko F a dva body M, M' paraboly. 3. Sestrojte parabolu, znáte-li její ohnisko F a její tečnu t s bodem dotyku T . 4. Sestrojte parabolu, znáte-li její osu o a tečnu t s bodem dotyku T .

Pokuste se úlohy vyřešit samostatně, použijte vlastnosti paraboly, které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte, že úloha je vyřešena, tzn. nakreslete si parabolu, vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další, které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky paraboly, abyste mohli určit její ohnisko, vrchol,řídicí přímku a na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je.

43

1. KUŽELOSEČKY

1.4. Parabola

Nápověda 1. Ohnisko má od bodu M stejnou vzdálenost jakou má bod M od řídicí přímky d. Rovněž vzdálenost ohniska od bodu M' je rovna vzdálenosti tohoto bodu od řídicí přímky. 2. Podobně jako v předchozím příkladě je vzdálenost řídicí přímky od bodů M, M' stejná jako vzdálenost těchto bodů od ohniska. Řídicí přímku sestrojíme jako společnou tečnu dvou kružnic. 3. a) Pomocí ohniskových vlastností paraboly. Sestrojíme bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečny. Průvodič TQ je rovnoběžný s osou. b) Pomocí vlastností subtangenty a subnormály. Sestrojíme normálu v bodě T. Kružnice se středem v ohnisku F a o poloměru FT je Thaletova kružnice nad součtem subtangenty a subnormály. 4. a) Pomocí vlastností subtangenty a subnormály. Sestrojíme normálu v bodě T. Na ose získáme součet subtangenty a subnormály. b) Pomocí ohniskových vlastností paraboly. Sestrojíme průvodiče bodu T. Jeden je rovnoběžný s osou, druhý je s ním souměrný podle tečny t.

44

1. KUŽELOSEČKY

1.5. Výsledky úloh

1.5. Výsledky Jestliže se vám nepodařilo vyřešit úlohy samostatně ani s nápovědou, zde najdete podrobný návod. Pro ty, kteří úlohy vyřešili, je zde kontrola. Samozřejmě, že se některé úlohy dají řešit více postupy. To, že se váš postup neshoduje s naším, nemusí znamenat, že ho máte špatně.

•

Úkoly k řešení – elipsa (zadání na straně 21)

Úloha 1

o2

k

E

2.

F; F ∈ o 1 , ES = FS ,

7.

k; k (M, r = ME ) , FM , Q; Q = FM ∩ k , F+Q …střed úsečky FQ , O; O = 2 a; a = FO ,

8.

A, B; A, B ∈ o1 , SA = SB = a ,

9.

o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 ,

4. 5.

C O

A

a o 1 ; o 1 = ES ,

3.

Q M

1.

6.

S

F

B

o1

10. C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a . D

Kružnice k protíná přímku FM ve dvou bodech, pro druhý průsečík neplatí definice elipsy. Úloha má tedy jediné řešení.

45

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 2

k

O

2.

O; O =

4. 5. 6.

o' 2

E

EC ,

3.

o2 C

S'

Th

1.

o1

S

7. o' 1

E+C …střed úsečky EC , 2 Th; Th(O, r = OC ) ,

k; k (C, r = b ) , S, S' ; Th ∩ k = {S, S'} , o 1 ; o 1 = ES , o'1 ; o'1 = ES' , o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 , o'2 ; o'2 ⊥ o'1 , S'∈ o'2 ,

B' F'

o2

D'

S'

Th

C

9.

A, B; A, B ∈ o1 , SA = SB = a ,

10. C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a , o' 2

A

B S

a; a = EC , A' , B'; A' , B'∈ o'1 , S' A' = S' B' = a ,

k

O

E

8.

F

C' , D'; C' , D'∈ o'2 , EC' = ED' = a .

o1

A' o' 1 D

Počet řešení závisí na počtu společných bodů kružnic k a Th. Je-li EC > b , pak má úloha dvě řešení. Je-li EC < b , pak má úloha nemá řešení. Je-li EC = b , pak se nejedná o elipsu.

46

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 3 1. o2

2. r

P

3. 4.

C

5. T

A

E

F

S

B

t

o1

v

o 1 ; o 1 = EF , E+F …střed úsečky EF , S; S = 2 r; r ⊥ t, E ∈ r , P; t ∩ r = {P} , v; v(S, r = SP ),

6. 7.

A, B; o1 ∩ v = {A, B} , o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 ,

8.

C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a ,

9.

T; T ∈ t, FT SP .

D

Úloha 4 Q

o2

t

r; r ⊥ t, E ∈ r , P; t ∩ r = {P} ,

3.

Q; Q ∈ r, PQ = EP , TQ , F; o 1 ∩ QT = {F}, E+F …střed úsečky EF , S; S = 2 v; v(S, r = SP ),

4. 5.

P r C

6.

T A

1. 2.

7. E

S

F B

o1

8. 9.

v

A, B; o1 ∩ v = {A, B} , o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 ,

10. C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a .

D

47

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 5

o2

r

o' 2

P

o' 1 A'

T' C

E'

A

T C'

t

E

F B

S v

D' D k

F' B'

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

v; v(S, r = a ) , P; t ∩ v = {P} , r; r ⊥ t, P ∈ r , k; k (S, r = e ) , E, E'; r ∩ k = {E, E'}, o 1 ; o 1 = ES , o'1 ; o'1 = E' S , o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 , o' 2 ; o'2 ⊥ o'1 , S ∈ o'2 , A, B; o1 ∩ v = {A, B} , A' , B'; o'1 ∩ v = {A' , B'} ,

9.

C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a , C' , D'; C' , D'∈ o' 2 , E' C' = E' D' = a ,

10. F; o 1 ∩ k = {F}, F' ; o'1 ∩k = {F'} ,

11. T; T ∈ t, FT SP , T'; T'∈ t, F' T' SP .

Počet řešení závisí na počtu společných bodů kružnice k a přímky r. Je-li přímka r sečna kružnice k, pak má úloha dvě řešení. Je-li přímka r tečna kružnice k, pak má úloha jedno řešení. Je-li přímka r nesečna kružnice k, pak úloha nemá řešení.

48

o1

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 6

o2

P

r

C T

P'

o1

A E

B

F

S

t v

D

4. 5.

v; v(S, r = a ) , P, P' ; t ∩ v = {P, P'}, r; r ⊥ t, P ∈ r , r' ; r' ⊥ t, P'∈ r' , SP , F; F ∈ r' , FT SP ,

6. 7. 8. 9.

o 1 ; o 1 = FS , E; r ∩ o 1 = {E}, o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 , A, B; o1 ∩ v = {A, B} ,

1. 2. 3.

r'

10. C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a .

49

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 7

r'

o2

P'

r

t C T

P

T' t'

E

A

S

t''

F

B

o1

v P''

T''

D

r''

4.

r, r' , r' ' ; r ⊥ t, E ∈ r, r' ⊥ t' , E ∈ r' , r' ' ⊥ t' ' , E ∈ r' ' , P, P' , P' '; r ∩ t = {P}, r'∩t' = {P'}, r' '∩t' ' = {P' '}, S …střed kružnice opsané trojúhelníku Δ PP' P' ' , sestrojíme ho tedy jako průsečík os stran PP' , PP' ' , o 1 ; o 1 = ES ,

5.

F; F ∈ o 1 , ES = FS ,

1. 2. 3.

6.

v; v(S, r = SP = a ) ,

7. 8.

A, B; o1 ∩ v = {A, B} , o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 ,

9.

C, D; C, D ∈ o 2 , EC = ED = a ,

10. T, T' , T' ' ; T ∈ t, FT SP, T'∈ t' , FT' SP' , T' '∈ t' ' , FT' ' SP' ' .

50



Úkoly k řešení – hyperbola (zadání na straně 33)

Úloha 1 o2 u

v w Q

T P o1

E

A

S

B

F

P' t Q'

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

o 1 ; o 1 = EF , E+F , S; S = 2 o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 , FP; FP ⊥ t, P ∈ t , EP' ; EP' ⊥ t, P'∈ t , w; w(S, r = SP = a ) ,

A, B; o 1 ∩ w = {A, B}, Q; Q ∈ FP, PQ = FP ,

9. T; T = EQ ∩ t , 10. u, v …asymptoty.

51

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 2 o2

u

v w T o1 E

A

B

S

F

P t

Q

1.

EP; EP ⊥ t, P ∈ t ,

2.

Q; Q ∈ EP, PQ = EP ,

3. 4.

F; F = TQ ∩ o 1 , FP; FP ⊥ t, P ∈ t , E+F , S; S = 2 o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 , w; w(S, r = SP = a ) ,

5. 6. 7. 8. 9.

A, B; o 1 ∩ w = {A, B}, u, v …asymptoty.

52

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 3

u t' w

v

h o2

P'

e

w

h

e

o2

l'

e

o1

A

C

e

A

T

e

S

h

S

E

h

T'

e

e

e

h

o1

e

F B

B T

D

h

h

F

h

e

e

P

l

T'

t

h

1. EP; EP ⊥ t, P ∈ t , 2. EP' ; EP' ⊥ t' , P'∈ t' , 3. l; l(P, r = a ) , 4. l'; l' (P' , r = a ) , HYPERBOLA 5. S h ; S h = l ∩ l' , 6. o 1h ; o 1h = ES h , 7. o h2 ; o h2 ⊥ o 1h , S h ∈ o h2 , 8. w h ; w h S h , r = a , 9. A h , B h ; o 1h ∩ w h = A h , B h , 10. F h ; F h ∈ o1h , S h F h = S h Eh ,

ELIPSA 5. S e ; S e = l ∩ l' , 6. o 1e ; o 1e = ES e , 7. o e2 ; o e2 ⊥ o 1e , S e ∈ o e2 , 8. w e ; w e S e , r = a , 9. A e , B e ; o 1e ∩ w e = A e , B e , 10. F e ; F e ∈ o 1e , S e F e = S e E e ,

11. u, v …asymptoty.

11. C e , D e ; C e , D e ∈ o e2 , C e E = D e E = a .

(

)

{

(

}

53

)

{

}

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 4 o2

u

v w T Q E

A

P o1

B F

S

s P'

t

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

FP; FP ⊥ t, P ∈ t , FP' ; FP' ⊥ u, P'∈ u , s; s ⊥ PP' …osa úsečky PP‘, S; S = s ∩ u , o 1 ; o 1 = SF , o 2 ; o 2 ⊥ o1 , S ∈ o 2 ,

w; w(S, r = SP = a ) ,

A, B; o 1 ∩ w = {A, B}, 9. E; E ∈ o 1 , ES = FS , 10. v …asymptota, 11. Q; Q ∈ FP, PQ = FP , 12. T; T = EQ ∩ t . 8.

54



Úkoly k řešení – parabola (zadání na straně 43)

Úloha 1 d

1. Q; Q ∈ d, MQ ⊥ d , 2. Q' ; Q'∈ d, M' Q' ⊥ d ,

M

Q

3. k; k (M, r = MQ ) ,

k

V

4. k'; k' (M' , r = M' Q' ) ,

F'

V'

5. F; k ∩ k' = {F} , 6. o; o ⊥ d, F ∈ o , 1 7. V; VF = Fd . 2

o' o

F k'

Q'

M'

V závislosti na počtu průsečíků kružnic k, k' dostaneme jedno, dvě nebo žádné řešení úlohy.

Úloha 2 d

d'

m

M

Q

1. m; m(M, r = MF ) ,

Q''

2. m'; m' (M' , r = M' F ) ,

Th o' V' V

o F

Q'''

Q'

T t

T' M' m''

m'

t'

55

3. d, d' … společné tečny kružnic m, m' , 4. o; o ⊥ d, F ∈ o , 5. o' ; o' ⊥ d' , F ∈ o' , 1 1 6. V, V' ; VF = Fd , V' F = Fd' . 2 2 Úloha má dvě řešení. V případě, že kružnice mají vnitřní dotyk, se nejedná o parabolu. (Řídicí přímka by procházela ohniskem.) Ke konstrukci společných tečen dvou kružnic využijeme stejnolehlosti nebo posunutí (viz obr.).

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 3 a) d

v

t

1. P; P ∈ t, FP ⊥ t ,

T Q

2. Q; Q ∈ FP, QP = FP , 3. d; Q ∈ d, d ⊥ TQ , 4. o; F ∈ o, o ⊥ d , 1 5. V; VF = Fd . 2

P o V

D

F

b) d

v

1. n; n ⊥ t, T ∈ n ,

t

2. Th; Th(F, r = FT ) ,

Th K

o

N D V

F

K; t ∩ Th = {K} , N; n ∩ Th = {N}, o; o = KN , L; L ∈ o, TL ⊥ o , L+K , 7. V; V = 2 8. D; D ∈ o, VD = FV , 9. d; D ∈ d, d ⊥ o . 3. 4. 5. 6.

T

L n

56

1. KUŽELOSEČKY


Úloha 4

d

v

t T

Q P

K

D V

F

L

n; n ⊥ t, T ∈ n , K; t ∩ o = {K}, N; n ∩ o = {N}, L; L ∈ o, TL ⊥ o , L+K 5. V; V = , 2 N+K 6. F; F = , 2 7. D; D ∈ o, VD = FV ,

1. 2. 3. 4.

o

N

8. d; D ∈ d, d ⊥ o .

n

Uvedli jsme řešení pomocí subtangenty a subnormály. Druhé řešení je zřejmé z obrázku.

57

2. KOLINEACE


2. Kolineace 2.1. Nevlastní prvky •

Nevlastní bod přímky

V∞

p

B

q

U

S

X=X' V'

q' B'

U' ∞ p'

Obr. 43 Mějme dány různoběžky p , p' a bod S , který neleží na žádné z nich. Bodům přímky p přiřadíme body přímky p' tak, aby spojnice odpovídajících si bodů procházela bodem S . Stejně přiřadíme bodům přímky p' body přímky p . Promítáme-li z bodu S bod B přímky p na přímku p' , zobrazí se jako B' ; B' = SB ∩ p' . (Viz obr. 43.) Chceme-li takto promítnout bod U přímky p na přímku p' , zjistíme, že spojnice SU je s přímkou p rovnoběžná a neprotíná přímku p v žádném bodě, neexistuje tedy průmět bodu U na přímku p' . Podobně, chceme-li zobrazit bod V' přímky p' na přímku p , je spojnice SV' rovnoběžná s přímkou p a hledaný průmět neexistuje. Zavedeme tedy pojem nevlastní bod přímky a problém s neexistujícími obrazy bude vyřešen. V∞

Nevlastním bodem přímky rozumíme množinu všech spolu rovnoběžných přímek, tedy směr (obr. 44). Bod U přímky p se zobrazí do nevlastního bodu přímek p' , q' . Označíme ho U'∞ . Podobně nevlastní bod V∞ přímek p , q se zobrazí do vlastního bodu V' přímky p' . Obr. 44

58

2. KOLINEACE


Příklad: Mějme dány různoběžky p , p' a bod S , který neleží na žádné z nich. Na přímce p jsou dány body A, B, C, D , (viz obr. 44). Sestrojte jejich obrazy, obraz průsečíku přímek p , p' a obrazy úseček AB, CD, UB, BC . V∞

p

B

A U D'

D S

X=X' C'

V'

B'

U' ∞

C A'

p'

Obr. 45 Řešení: 1. A' ; A' = SA ∩ p' … podobně body B' , C' , D' , 2. X' ; X' = X = p ∩ p' … samodružný bod, 3. U'∞ ; obraz bodu U , 4. V' ; obraz bodu V∞ , 5. obrazem úsečky AB je úsečka A' B' , 6. obrazem úsečky CD je úsečka C' D' , 7. obrazem úsečky UB je polopřímka B' A' , 8. obrazem úsečky BC není úsečka B' C' , ale polopřímky B' A' a C' D' . Protože bod U leží mezi body B, C , bude U' ∞ ležet „mezi“ body B' , C' . Proto se obraz úsečky BC „roztrhne“ na dvě polopřímky.

59

2. KOLINEACE •


Nevlastní přímka roviny

a

α

U∞

b a'

V∞

α'

b'

Obr. 46 Jsou dány rovnoběžné roviny α, α' . V rovině α zvolíme dvě různoběžky a, b , v rovině α' sestrojíme přímky a' , b' tak, že a a' a b b' . Přímky a, a' mají společný nevlastní bod U ∞ a přímky b, b' mají společný nevlastní bod V∞ . Tyto nevlastní body určují nevlastní přímku rovin α, α' . Nevlastní přímkou roviny rozumíme množinu všech spolu rovnoběžných rovin, tedy dvojsměr, (obr. 46).

60

2. KOLINEACE

2.2. Středová kolineace v prostoru


V∞

A

α

a S U

α'

a'

B'

B

U' ∞

o

V'

A'

I

Obr. 47 Jsou dány různoběžné roviny α, α' a bod S , který v žádné z nich neleží. Uvažujme zobrazení, které bodům roviny α přiřadí body roviny α' tak, že spojnice odpovídajících si bodů prochází bodem S . Na obr. 47 je bodu A přiřazen bod A' , bodu B přiřazen bod B' . Body A, B určují přímku a roviny α , jejím obrazem v rovině α' je přímka a' určená body A' , B' . Roviny α, α' se protínají v přímce o . Bodem S se přímka o zobrazuje sama na sebe, stejně se zobrazí sám na sebe každý její bod. Na obr. 47 je bod I průsečík přímky o a přímky a . Zobrazí se sám na sebe a přímka a' jím tedy prochází. Odpovídající si přímky a , a' se protínají na přímce o . Hledáme-li obraz bodu U přímky a , jehož spojnice SU je rovnoběžná s přímkou a' , dostaneme nevlastní bod U'∞ přímky a' . Hledáme-li obraz nevlastního bodu V∞ přímky a , vedeme bodem S rovnoběžku s a . Její průsečík V' s přímkou a' je hledaný bod.

61

2. KOLINEACE


V∞

α

A η

S

u U

U' ∞

μ

α'

B B'

o

A' v'

I

V'

Obr. 48 Tak jako jsme v obr. 47 vedli bodem S rovnoběžku s přímkou a' , povedeme nyní bodem S rovinu μ rovnoběžně s rovinou α' . Průsečnice u rovin α a μ se zobrazí bodem S do nevlastní přímky roviny μ . Obdobně povedeme bodem S rovinu η rovnoběžně s rovinou α . Průsečnice v' rovin α' a η je obrazem nevlastní přímky roviny η . Výše popsané zobrazení se nazývá středová kolineace v prostoru. Bod S nazýváme střed kolineace, přímku o nazýváme osa kolineace. Přímky u a v' se nazývají úběžnice. Každý bod U přímky u se nazývá úběžník. Každý bod V' přímky v' se také nazývá úběžník.

62

2. KOLINEACE •


Typy kolineací

Kolineace je dána dvěma různými rovinami a středem, který v žádné z nich neleží. Podle toho, jsou-li roviny různoběžné nebo rovnoběžné a je-li střed vlastní či nevlastní bod, dostáváme následující možnosti.

S α

α

s C

A

C

A

o

B

o C'

B'

B

A' B' A'

C'

α' α'

Obr. 49a

Obr. 49b

Různoběžné roviny a vlastní střed – středová kolineace (viz obr. 49a). Různoběžné roviny a nevlastní střed (směr) – osová afinita (viz obr. 49b).

S

C A α

C

A

α

B

B s C'

A'

C' α'

A' α'

B'

B'

Obr. 49c

Obr. 49d

Rovnoběžné roviny a vlastní střed – prostorová stejnolehlost (viz obr. 49c). Rovnoběžné roviny a nevlastní střed (směr) – prostorové posunutí (viz obr. 49d).

63

2. KOLINEACE •


Osová afinita v prostoru

α a b A

s

I

B

II

o

B' A' a'

b' α'

Obr. 50 V osové afinitě je s směr afinity a přímka o = α ∩ α' je osa afinity. Odpovídající si body leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity. Odpovídající si přímky se protínají na ose o . Obrazem rovnoběžek jsou rovnoběžky. (Viz obr. 50.)

64

2. KOLINEACE


2.3. Středová kolineace v rovině Středovou kolineaci v rovině získáme rovnoběžným promítnutím středové kolineace v prostoru do roviny. o S D

C

III

C'

B' A

IV

I

B

II

D'

A'

Obr. 51 Středová kolineace je dána středem S , osou o a párem odpovídajících si bodů B, B' , jejichž spojnice prochází bodem S . K obdélníku ABCD sestojíme kolineární čtyřúhelník A' B' C' D' . (Rovnoběžnost se nezachovává.) Při konstrukci použijeme následující vlastnosti kolineace: − odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace, − spojnice odpovídajících si bodů procházejí středem kolineace. Popis konstrukce: 1. I; I = BC ∩ o …samodružný bod, 2. SC , B' I , 3. C' ; C' = SC ∩ B' I , 4. II; II = BA ∩ o , 5. SA , B' II , 6. A' ; A' = SA ∩ B' II 7. III; III = CD ∩ o , 8. SD , C' III , 9. D' ; D' = SD ∩ C' III , 10. A' B' C' D' .

Bod D' jsme mohli také sestrojit pomocí přímky AD a jejího samodružného bodu IV .

65

2. KOLINEACE


Příklad: Středová kolineace je dána osou o , středem S a párem odpovídajících si bodů A, A' , jejichž spojnice prochází bodem S . Najděte obě její úběžnice V∞

p

V∞

A U

u o

X=X'

S v'

V'

A' p'

U' ∞ U' ∞

Obr. 52 Řešení: 1. p; A ∈ p, p × o …libovolně zvolená přímka, 2. p' ; A'∈ p' , p'∩ o = p ∩ o = X …obraz přímky p, 3. SU'∞ , 4. U; U = SU'∞ ∩ p …úběžník přímky p , 5. SV∞ , 6. V'; V' = SV∞ ∩ p' …úběžník přímky p' , 7. u; U ∈ u, u o …úběžnice, 8. v'; V'∈ v' , v' o …úběžnice.

Rovnoběžným promítnutím prostorové středové kolineace (viz obr. 48) do roviny se zachovává rovnoběžnost. Úběžnice u , v' jsou proto rovnoběžné s osou o . Dá se dokázat, že platí: vzdálenost jedné úběžnice od osy kolineace je stejná jako vzdálenost druhé úběžnice od středu kolineace.

66

2. KOLINEACE


Úkoly k řešení 1. Mějme dánu středovou kolineaci osou o , středem S a úběžnicí u . K trojúhelníku ABC sestrojte kolineární trojúhelník A' B' C' , jestliže a) trojúhelník ABC nemá s úběžnicí u žádný společný bod, b) trojúhelník ABC má s úběžnicí u společný vrchol C , c) strana BC trojúhelníku ABC leží na úběžnici u , d) úběžnice u protíná hranici trojúhelníka ABC ve dvou libovolných bodech různých od vrcholů.

Pokuste se úlohy vyřešit samostatně, pomoc hledejte v předchozím textu. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je.

67

2. KOLINEACE


Nápověda 1. a) Střed kolineace S spojíme s úběžníkem U jedné strany trojúhelníka, samodružným bodem této strany vedeme rovnoběžku s SU . Na ní sestrojíme kolineární body, třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. b) Střed kolineace S spojíme s úběžníkem C , samodružným bodem strany AC vedeme rovnoběžku s SC . Na ní sestrojíme kolineární body, třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! c) Střed kolineace S spojíme s úběžníkem C , samodružným bodem strany AC vedeme rovnoběžku s SC . Na ní sestrojíme kolineární body. Střed kolineace S spojíme s úběžníkem B , bodem A' vedeme rovnoběžku s SB . Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! d) Střed kolineace S spojíme s úběžníkem U jedné strany trojúhelníka, samodružným bodem této strany vedeme rovnoběžku s SU . Na ní sestrojíme kolineární body, třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník!

68

2. KOLINEACE


2.4. Osová afinita v rovině Je-li ve středové kolineaci v rovině střed S nevlastní, mluvíme o osové afinitě v rovině. Afinita je určena osou o a párem odpovídajících si bodů A, A' . Přímka s = AA' je směr afinity. C

B

o

IV

I

D

A

II

III

A' D'

s

B' C'

Obr. 53 Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů A, A' . Jejich spojnice je směr afinity s . K rovnoběžníku ABCD sestojíme afinní čtyřúhelník A' B' C' D' . Při konstrukci použijeme následující vlastnosti afinity: − odpovídající si přímky se protínají na ose afinity, − spojnice odpovídajících si bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity, − rovnoběžnost se zachovává. Popis konstrukce: 1. I; I = AD ∩ o …samodružný bod, 2. A' I , 3. D'; D'∈ A' I, DD' s , 4. II; II = BA ∩ o , 5. A' II ,

6. 7. 8. 9. 10.

B'; B'∈ A' II, BB' s III; III = CD ∩ o , D' III , C'; C'∈ D' III, CC' s , A' B' C' D' .

Bod C' jsme mohli také sestrojit pomocí přímky BC a jejího samodružného bodu IV . Také lze bod C' získat doplněním A' B' D' na rovnoběžník A' B' C' D' . 69

2. KOLINEACE


Příklad: Osová afinita je dána osou o . Sestrojte směr afinity s tak, aby obrazem rovnoběžníka ABCD byl čtverec A' B' C' D' , čtverec sestrojte. o

A'

V

B'

Th I

C'

D' k

III

D

A

II

B

C

s

IV

Obr. 54 Ve čtverci jsou strany k sobě kolmá a úhlopříčka svírá se stranou čtverce úhel 45°. Řešení: 1. I; I = CD ∩ o , 2. II; II = AD ∩ o , 3. III; III = BD ∩ o , 4. Th …Thaletova kružnice nad průměrem I II , 5. k …kružnice, jako množina bodů, ze kterých je úsečka II III vidět pod úhlem 45°, 6. D' ; D' = Th ∩ k , 7. s; s = DD' …směr afinity, 8. A'; A'∈ D' II, AA' s , 9. C'; C'∈ D' I, CC' s , 10. B'; B'∈ D' III, BB' s .

70

2. KOLINEACE


Příklad: Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů S, S' . Sestrojte ke kružnici o středu S a poloměru r její afinní obraz. Th

h B

III

C O II

S

C'

D v

A' IV I

A

S'

B'

s

h'

o v'

D'

Obr. 55 Obrazem kružnice bude elipsa. V kružnici si zvolíme dva kolmé průměry, jejich afinním obrazem budou sdružené průměry elipsy, tu sestojíme Rytzovou konstrukcí. Nebo se pokusíme najít v kružnici takové kolmé průměry, aby jim odpovídaly osy elipsy. Osy jsou k sobě kolmé, stejně jako průměry v kružnici, leží proto střed kružnice i elipsy na stejné Thaletově kružnici. Ta prochází samodružnými body kolmých průměrů. Řešení: 1. I, II …samodružné body kružnice, 2. s …osa úsečky SS' , 3. O; O = s ∩ o , 4. Th; Th(O, r = SO ) , 5. III, IV; Th ∩ o = {III, IV} , 6. v; v = S III , v' ; v' = S' III , h; h = S IV , h' ; h' = S' IV … h' , v' osy elipsy, 7. A, B, C, D …průsečíky přímek h, v s kružnicí, 8. A' B' C' D' …afinní obrazy bodů A, B, C, D jsou vrcholy hledané elipsy.

71

2. KOLINEACE


Příklad: Sestrojte průsečíky přímky s elipsou.

o2 p' X'

C' v' K'

C

p X

K

A

E

S

L

I

F

B

o1

D

L' D'

Obr. 56 Existuje afinní vztah mezi elipsou a vrcholovou kružnicí elipsy. Osou této afinity je hlavní osa elipsy, směr afinity je k ose kolmý. Řešení: 1. v'; v' (S, r = SA )…vrcholová kružnice elipsy, 2. C' ; C' = v' ∩ o 2 …obraz bodu C v afinitě, 3. I; I = p ∩ o 1 , 4. X; X ∈ p , 5. X' …obraz bodu X , 6. p' ; p' = X' I , 7. K' , L'; v'∩ p' = {K' , L'}, 8. K, L …obrazy bodů K' , L' - hledané průsečíky přímky s elipsou.

72

2. KOLINEACE


Úkoly k řešení 1. Sestrojte afinní obraz obdélníka ABCD , je-li afinita určena osou o a párem odpovídajících si bodů B, B' . Osa protíná hranici obdélníka, body B, B' leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou o . 2. Sestrojte afinní obraz pravidelného šestiúhelníku ABCDEF , je-li afinita určena osou o a párem odpovídajících si bodů D, D' . Osa protíná hranici šestiúhelníku, body D, D' leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou o .

Pokuste se úlohy vyřešit samostatně, pomoc hledejte v předchozím textu. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je.

Nápověda U obou úloh použijeme vlastností afinity: odpovídající si přímky se protínají na ose afinity a spojnice odpovídajících si bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity.

73

2. KOLINEACE


2.5. Výsledky Jestliže se vám nepodařilo vyřešit úlohy samostatně ani s nápovědou, zde najdete podrobný návod. Pro ty, kteří úlohy vyřešili, je zde kontrola. Samozřejmě, že se některé úlohy dají řešit více postupy. To, že se váš postup neshoduje s naším, nemusí znamenat, že ho máte špatně.

•

Úkoly k řešení – středová kolineace v rovině (zadání na straně 67)

Úloha 1 a) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

U

u

II

C

S

C' A A'

B B' U' ∞

I

74

o

U; U = AB ∩ u , SU , I; I = AB ∩ o , IU'∞ , A'; A' = SA ∩ IU'∞ , B'; B' = SB ∩ IU'∞ , II; II = AC ∩ o , IIA' , C' ; C' = SC ∩ IIA' .

2. KOLINEACE


b) III

S

A' A

I

B' C II

u B C' ∞ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

o C' ∞

SC , I; I = AC ∩ o , IC'∞ , A'; A' = SA ∩ IC'∞ , II; II = BC ∩ o , IIC'∞ , B'; B' = SB ∩ IIC'∞ .

Obrazem není trojúhelník, ale část rovinného pásu. Jeho hranici tvoří úsečka A' B' a rovnoběžné polopřímky A' I , B' II . Samodružné body I, II patří trojúhelníku ABC , musí patřit i obrazu tohoto trojúhelníka. Kontrola správnosti rýsování: přímky AB a A' B' se protínají na ose v samodružném bodě III .

75

2. KOLINEACE


c)

S

A'

C

I

B u C' ∞

A

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

II

B' ∞

o

B' ∞

SC , I; I = AC ∩ o , IC'∞ , A'; A' = SA ∩ IC'∞ , SB , II; II = AB ∩ o , IIB'∞ .

Obrazem není trojúhelník, ale úhel. Jeho vrcholem je bod A' a ramena jsou polopřímky A' I , A' II . Samodružné body I, II patří trojúhelníku ABC , musí patřit i obrazu tohoto trojúhelníka. Strana BC se zobrazí na nevlastní přímku. Kontrola správnosti rýsování: přímky SB a A' II jsou rovnoběžné.

76

2. KOLINEACE


d)

U' ∞

V' ∞

B' A'

o

S

u II

V

A

I

C' C

U

B V' ∞

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

U' ∞

U; U = BC ∩ u , SU , I; I = BC ∩ o , IU'∞ , B'; B' = SB ∩ IU'∞ , C'; C' = SC ∩ IU'∞ , V; V = AC ∩ u , SV , II; II = AC ∩ o , IIV'∞ , A'; A' = SA ∩ IIV'∞ .

Hranice trojúhelníka ABC protíná úběžnici, bude jeho obraz protínat nevlastní přímku. Proto se obraz trojúhelníka „roztrhne“ na dvě části. Trojúhelník VUC se zobrazí jako úhel (viz případ c). Čtyřúhelník ABUV se zobrazí jako část roviny ohraničená úsečkou A' B' a různoběžnými polopřímkami opačnými k polopřímkám A'C' a B' C' .

77

2. KOLINEACE

•


Úkoly k řešení – osová afinita v rovině (zadání na straně 73)

Úloha 1

D

o

C III

B' I

A

B

II

C'

s

1.

I; I = BC ∩ o ,

2.

C'; C'∈ B' I, CC' BB' ,

3.

II; II = AB ∩ o

4.

A'; A'∈ B' II, AA' BB' ,

5.

III; III = CD ∩ o ,

6.

D'; D'∈ C' III, DD' BB' .

Bod D' můžeme sestrojit i pomocí samodružného bodu IV , nebo doplněním A' B' C' na rovnoběžník A' B' C' D' .

IV

A' D'

Úloha 2

F'

A'

o V

IV

E

B'

E' I

D II

D'

III

F

C'

C

1.

I; I = DE ∩ o ,

2.

E' ; E'∈ D' I, CC' s ,

3.

II; II = CD ∩ o ,

4.

C'; C'∈ D' II, CC' s ,

5.

III; III = BC ∩ o ,

6.

B'; B'∈ C' III, BB' s ,

7.

IV; IV = EF ∩ o ,

8.

F' ; F'∈ E' IV, FF' s ,

9.

V; V = AF ∩ o ,

10. A'; A'∈ F' V, AA' s . s

A

B

VI

Bod A' můžeme sestrojit i pomocí samodružného bodu VI , nebo užitím rovnoběžnosti

78

Literatura Urban, A.: Deskriptivní geometrie I. SNTL Praha, 1965 Láníček, J.: Deskriptivní geometrie. VŠB-TU Ostrava 1990

79

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOSEČKY, KOLINEACE

Recommend Documents