PERTEMUAN 10 METODE PENDEKATAN VOGEL / VOGEL’S APPROXIMATION METHOD (VAM) Metode Pendekatan Vogel diperkenalkan oleh WR. Vogel tahun 1948. Prinsip dari metode ini adalah memilih harga-harga ongkos terkecil tiap-tiap baris kemudian menghitung selisih antara ongkos terkecil tersebut dengan ongkos terkecil berikutnya. Dalam hal ini yang selisihnya nol tidak diperhatikan. Hal yang sama diperlakukan terhadap kolom. Bilanganbilangan selisih tersebut dikenal dengan bilangan Vogel. Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut : 1. Hitung penalty untuk tiap baris dan kolom dengan jalan mengurangkan elemen ongkos terkecil dari yang kedua terkecil. 2. Selidiki kolom/baris dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuaikan supply dan demand, kemudian tandai kolom/baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada 2 buah baris/kolom yang terpenuhi secara simultan, pilih salah untuk ditandai, sehingga supply/demand pada baris/kolom yang tidak terpilih variabelnya adalah nol. Setiap baris/kolom dengan demand/supply sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi dalam penghitungan penalty berikutnya. 3. a. Bila tinggal 1 baris/kolom yang belum ditandai, STOP. b. Bila tinggal 1 kolom/baris dengan supply/demand positif yang belum ditandai, tentukan variabel basis pada baris/kolom dengan cara ongkos terkecil. c. Bila semua baris dan kolom yang belum ditandai mempunyai supply dan demand sama dengan nol, tentukan variabel-variabel basis yang berharga nol dengan cara ongkos terkecil. Kemudian STOP. d. Jika 3a, b dan c tidak terjadi, hitung kembali penalty untuk baris/kolom yang belum ditandai. Kembali ke langkah 2. Contoh 4: Diketahui Tabel Transprotasi sebagai berikut: T1 A1 A2 A3 A4
T2 3
X11
1 X12
2 X21 3 4
T4 2
X13 3
X22
X31
X41 bj 50 Tabel 1
T3
4 X14
2 X23
T5
ai 5
X15 2
4
X24 X25 4 5 x 2 1 X32 X33 X34 X35 3 1 2 1 X42 X43 X44 X45 40 45 75 40
75 30 65 80 250
Tentukan Ongkos Awalnya dengan Metode Pendekatan Vogel ! C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 1 dari 11
Jawab: Langkah-langkah pengisian variabel basisnya adalah sebagai berikut : a) Tentukan penalty baris dan penalty kolom dengan cara mengurangkan ongkos terkecil pada setiap baris dan atau setiap kolom dengan ongkos terkecil berikutnya pada setiap baris dan atau setiap kolom. Misalkan pada baris ke-1 ongkos yang terkecil adalah 1 dan yang terkecil selanjutnya adalah 2, maka selisihnya adalah 1, sehingga penalty baris ke-1 adalah 1. Sedangkan pada kolom ke-1 ongkos terkecilnya adalah 2 dan ongkos terkecil selanjutnya adalah 3 maka selisihnya adalah 1 maka penalty pada kolom ke-1 adalah 1, demikian juga untuk kolom dan baris yang lainnya, sehingga diperoleh penalty baris dan penalty kolom seperti dalam table berikut:: T1 A1 A2 A3 A4
Penalty Baris
bj
T2
T3
T4
T5
ai
3
1
2
4
5
2
3
2
2
4
3
4
5
2
1
4
3
1
2
1
50
40
45
75
40 40
1
2
1
2
3
Penalty Baris
75
1
30
1
65
1
80
1
250
Tabel-2 b) Pilih penalty baris atau penalty kolom yang terbesar yaitu 3 yang terletak pada kolom ke-5, maka penentuan variable basisnya dimulai dari kolom ke-5 dengan metode ongkos terkecil. Ongkos terkecil yang terdapat pada kolom ke-5 adalah 1 yang berada pada baris ke-3 dan ke-4, maka dapat dipilih nilai variable basisnya dengan: Max{Min{a3, b5},Min{a4, b5}} = Max[Min{65,40}, Min{80,40}] =Max{40,40} = 40. Berarti variabel basis dapat dimasukkan pada baris ke-3 kolom ke-5 (X35) atau baris ke-4 kolom ke-5 (X45) (dapat dipilih salah satu), Misalkan dipilih baris ke-4 kolom ke-5 (X45) jadi : X45 = 40 sehingga kolom ke-5 ( T5 ) terpenuhi (kolom-5 ditandai). Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut :
C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 2 dari 11
T1 A1 A2 A3 A4
Penalty Baris
bj
T2
T3
T4
T5
ai
3
1
2
4
5
2
3
2
2
4
3
4
5
2
1
4
3
1
2
50
40
45
75
1
2
1
2
1 40 40
Penalty Baris
75
1
30
1
65
1
80
1
250
3 x
Tabel-3
Bagaimana jika yang dipilih sebagai variable basis adalah X35 ? c) Hitung lagi penalty baris/kolom berikutnya tanpa melibatkan ongkos-ongkos yang terletak pada kolom ke-5, sehingga akan diperoleh hasil seperti pada tabel-4. d) Pilih penalty baris/kolom terbesar berikutnya yaitu pada kolom ke-2 dan ke-4 yaitu 2. (pilih salah satu) dipilih kolom ke-2 dimana ongkos terkecil yang terdapat pada kolom ke-2 adalah terdapat pada baris ke-1 yaitu 1, maka : X12 = Min{a1 , b2}= Min{75, 40} = 40. Maka X12 = 40 (T2 terpenuhi, kolom ke-2 ditandai), sehingga tabelnya menjadi T2
T1 3
A1
A3 A4
Penalty Baris
T4
T5
ai
1
2
4
5
2
3
2
2
4
3
4
5
2
1
4
3
1
2
40
A2
bj
T3
1
50
40
45
75
40 40
1 1
2 2 x
1 1
2 2
3 x
Penalty Baris
75
1
1
30
1
1
65
1
1
80
1
1
250
Tabel-4
Bagaimana jika yang dipilih sebagai penalty terbesarnya yang terletak pada kolom-4 ? C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 3 dari 11
e) Hitung lagi penalty selanjutnya tanpa melibatkan ongkos yang terletak pada kolom ke-5 dan ke-2. Sehingga diperoleh tabel berikut: T2
T1 3
A1
A3 A4
Penalty Baris f)
T4
T5
ai
1
2
4
5
2
3
2
2
4
3
4
5
2
1
4
3
1
2
1
40
A2
bj
T3
50
40
45
75
40 40
1 1 1
2 2 x
1 1 1
2 2 2
3 x x
Penalty Baris
75
1
1 1
30
1
1 0
65
1
1 1 x
80
1
1 1
250
Tabel-5
Penalty terbesar selanjutnya terdapat pada kolom ke-4 yaitu 2 dan ongkos terkecil yang terdapat pada kolom ke-4 ada di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 maka dapat ditentukan letak variable basisnya dengan cara memilih: Max[Min{a2, b4}, Min{a3, b4}, Min{a4, b4-X45}] = Max[Min{30, 75}, Min{65, 75}, Min{40, 75}] =Max[30,65,40] = 65 yaitu kemungkinan nilai variable basis yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-4, sehingga : X34 = 65 (A3 Habis maka baris ke-3 ditandai), Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut: T1 3
A1
A3
T4
T5
ai
1
2
4
5
2
3
2
2
4
3
4
5
2
1
65 4
A4
Penalty Baris
T3
40
A2
bj
T2
3
1
2
1
50
40
45
75
40 40
1 1 1
2 2 x
1 1 1
2 2 2
3 x x
Penalty Baris
75
1
1 1
30
1
1 0
65
1
1 1 x
80
1
1 1
250
Tabel-6
g) Hitung lagi penalty tanpa melibatkan ongkos yang terletak pada kolom ke-2, ke-5 dan baris ke-3. C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 4 dari 11
T1 3
A1
A3
T4
T5
ai
1
2
4
5
2
3
2
2
4
3
4
5
2
1
65 4
A4
Penalty Baris
T3
40
A2
bj
T2
50
3 40
1 1 1 1
2 2 x x Tabel-7
1
2
1
45
75
40 40
1 1 1 1
2 2 2 2
3 x x x
Penalty Baris
75
1
1 1 1
30
1
1 0 0
65
1
1 1 x
80
1
1 1 1
250
h) Penalty terbesar masih terdapat pada kolom ke-4 yaitu 2, maka letak variable basisnya dapat dipilih dengan : Max[Min{a2, b4-X34}, Min{a4-X45 ,b4-X34}] = Max
[
Min{30, 10},
Min{40, 10}] = Max[10, 10] = 10 (variable basisnya dapat berada pada baris ke-2 atau baris ke-4, pilih salah satu), jika dipilih yang berada pada baris ke-2, maka X24 = 10 (maka T4 terpenuhi, kolom-4 ditandai) hitung penalty lagi tanpa kolom ke-2, ke-3, ke-4 dan baris ke-3. T2
T1 3
A1
T4
1
2
3
2
T5
ai
4
5
2
4
2
1
40 2
A2
10 3
A3
4
5 65
4
bj
50
Penalty Baris
A4
i)
T3
1 1 1 1 1
3 40 2 2 x x x Tabel-8
1
2
1
45
75
40 40
1 1 1 1 1
2 2 2 2 x
3 x x x x
Penalty Baris
75
1
1 1 1 1
30
1
1 0 0 0
65
1
1 1 x x
80
1
1 1 1 3
250
Penalty terbesar terdapat pada baris ke-4 yaitu 3 dan ongkos terkecil pada baris ke-4 adalah 1 yang berada di kolom ke-3 maka : X44 = Min{a4 - X45 ,b3} = Min{80-40, 45} =
C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 5 dari 11
40 (A4 habis, baris-4 ditandai). Hitung penaltynya lagi tanpa kolom ke-2, ke-4, ke-5, baris ke-3, dan ke-4. T2
T1 3
A1
T3
T4
T5
ai
1
2
4
5
3
2
2
4
2
1
2
1
40 2
A2
10 3
A3
4
5 65
4
3
1
bj
50
40
40 45
Penalty Baris
A4
1 1 1 1 1 1
2 2 x x x x
1 1 1 1 1 0
75
40 40
2 2 2 2 x x
3 x x x x x
Penalty Baris
75
1
1 1 1 1 1
30
1
1 0 0 0 0
65
1
1 1 x x x
80
1
1 1 1 3 x
250
Tabel-9 j) Penalti terbesar selanjutnya adalah 1 yang terletak pada kolom ke-1 dan baris-1 (pilih salah satu), dipilih kolom ke-1 dimana ongkos terkecil terdapat di baris ke-2 yaitu 2, maka : X21 = Min{a2 – X24 , b1} = Min{30-10,50} = 20 (A2 habis, maka baris-2 ditandai). T1 3
A1 A2
T2
T3
T4
T5
ai
1
2
4
5
3
2
2
4
2
1
40 2 20
10 3
A3
4
5 65
4
3
1
bj
50
40
40 45
Penalty Baris
A4
1 1 1 1 1 1 3
2 2 x x x x x
1 1 1 1 1 0 2
2
1
75
40 40
2 2 2 2 x x x
3 x x x x x x
Penalty Baris
75
1
1 1 1 1 1 1
30
1
1 0 0 0 0 x
65
1
1 1 x x x x
80
1
1 1 1 3 x x
250
Tabel-10 k) Dilanjutkan ke baris ke-1 dimana ongkos terkecil yang tersisa terdapat di kolom ke-3 sehingga : X13 = Min{a1 - X12 ,b3 - X43} = Min{75-40,45-40) = 5 (T3 terpenuhi, kolom-3 ditandai). Dan yang terakhir yang belum terpenuhi adalah baris ke-1 dan kolom ke-1 sehingga X11 = a1 - X12 - X13 atau b1 - X22 = 30. Sehingga tabelnya menjadi: C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 6 dari 11
T1 A1 A2
T2 3
T3 1
40
30 2
T4 2
T5
ai
4
5
2
4
2
1
5 3
2
20
10 3
A3
4
5 65
4
3
1
bj
50
40
40 45
Penalty Baris
A4
1 1 1 1 1 1 3
2 2 x x x x x
1 1 1 1 1 0 2
2
1
75
40 40
2 2 2 2 x x x
3 x x x x x x
Penalty Baris
75
1
1 1 1 1 1 1
30
1
1 0 0 0 0 x
65
1
1 1 x x x x
80
1
1 1 1 3 x x
250
Tabel-11 Biaya awalnya adalah : Z = C11 X11 + C12 X12 + C13 X13 + C21 X21 + C24 X24 + C34 X34 + C43 X43 +C45 X45 = 3.30 + 1.40 + 2.5 + 2.20 + 2.10 + 2.65 + 1.40 + 1.40 = 90 + 40 + 10 + 40 + 20 + 130 + 40 + 40 = 410.
C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 7 dari 11
MENENTUKAN JAWAB OPTIMAL Untuk mencari Jawab Optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan, yaitu : 1. Metode Batu Loncatan (Stepping Stone). 2. Metode Faktor Pengali (Multiplier) / Metode MODI (Modified Distribution)
1. Metode Batu Loncatan / Stepping Stones Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut : 1.
Apakah jumlah variabel basis sama dengan n+m-1 ? Jika kurang dari m+n-1 maka akan terjadi kemerosotan (degeneracy). STOP. Tetapi
jika sama
maka dapat
dihitung Zij -Cij untuk sel-sel yang bukan basis, dengan cara sebagai berikut : a. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. b. Dihitung Zij−Cij = jumlahan para Cij pada loop dengan koefisien (+1) dan (−1) bergantian dengan koefisien variabel non basis (−1). 2.
Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan cara memilih nilai Zij−Cij yang terbesar atau Max{ Zij−Cij}. (Xst masuk menjadi basis bila dan hanya bila Zst−Cst = Max{Zij−Cij}).
3.
Menentukan variabel yang keluar dari basis, caranya : a. Dibuat loop yang memuat Xst. b. Diadakan pengamatan para Cij dalam loop yang mempunyai koefisien (+1). c. Variabel Xab yang keluar basis bila dan hanya bila Xab minimum dari langkah 3.
4.
Menentukan
harga
variabel
basis
(yang
berada
di
dalam
loop
yang
baru/penyesuaian untuk variabel basis yang baru). Xst = Xab = Xpq Sedangkan untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop. Xab(baru) = Xab + Xpq (untuk a+b = ganjil) Xab(baru) = Xab − Xpq (untuk a+b = genap) 5.
Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap. Hitung kembali nilai Zij−Cij untuk variable non basis seperti pada langkah 1.
6.
Diperoleh tabel optimal jika semua Zij−Cij ≤ 0.
7.
Jika masih ada nilai Zij−Cij > 0, maka dapat ditentukan kembali Entering Variable dan Leaving Variable seperti pada langkah yang ke-2.
C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 8 dari 11
Catatan: Untuk dapat menyelesaiakan persoalan Transportasi ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu harus dapat mengidentifikasi : 1. Jumlah sumber (n). 2. Jumlah tujuan (n). 3. Jumlah variable yang ada (m x n). 4. Jumlah fungsi kendala yang ada (m + n). 5. Syarat dalam menentukan Jawab Optimal adalah jumlah variable basis (m + n – 1). 6. Perbedaan antara variable basis dan variable non basis. 7. Membuat loop. 8. Perbedaan nilai Xij dengan Cij.
Contoh Soal: Diketahui table Transportasi sebagai berikut: T1 A1 A2 A3
T2 50
X11
100 X12
X21
100
300 X22
200 X23
100 X31
200 X32
150
ai
X13
200
bj Tentukan :
T3
300 X33
210
90
120 170 160 450
a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Baris Terkecil ! b). Jawab Optimal dengan Metode Batu Loncatan !
Jawab: a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Baris Terkecil : T1 A1 A2 A3 bj
T2 50
T3 100
x
120
x
200
30
300
50 200
160 150
200
90
100
x
100
210
300 x 90
ai 120 170 160 450
Zawal = 50.120 + 200.30 + 300.50 + 200.90 + 200.160 = 77.000 C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 9 dari 11
b). Jawab Optimal dengan Metode Batu Loncatan : 1). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Zij−Cij . Z12−C12 = C11 – C21 + C22 – C12 = 50 – 200 + 300 – 100 = 50 Z13−C13 = C11 – C21 + C32 – C13 = 50 – 200 + 200 – 100 = –50 Z31−C31 = C21 – C22 + C32 – C31 = 200 – 300 + 200 – 100 = 0 Z33−C33 = C23 – C22 + C32 – C33 = 200 – 300 + 200 – 300 = –200 2). Karena masih ada nilai dari Zij−Cij yang positif (Zij−Cij > 0) maka table belum Optimal. 3). Menentukan Variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai Max { Zij−Cij } = 50 yaitu nilai dari Z12−C12, maka X12 masuk menjadi basis. 4). Menentukan Variabel yang keluar dari basis dengan cara : *) Buat loop yang melalui variable yang baru masuk menjadi basis (X12) : X11 – X21 + X22 – X12 *) Variabel yang keluar basis adalah : Min {X11 , X22} = Min {120, 50} = 50, yang merupakan nilai dari X22, maka X22 keluar basis. *). Penyesuaian nilai variable dalam basis: X11 = 120 – 50 = 70
X21 = 30 + 50 = 80
X22 = keluar dari basis
X12 = 50 (masuk jadi basis).
Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini: T1 A1 A2 A3 bj
T2 50
70
T3 100
200
300
x
200
90
100
x
100 x
50
80
200
160 150
ai
210
300 x 90
120 170 160 450
Total Ongkosnya adalah : Z1 = 50.70 + 100.50 + 200.80 + 200.90 + 200.160 = 74.500 atau Karena nilai Z12−C12 = 50, maka akan setiap melakukan distribusi produk di sel (1, 2) akan terjadi penurunan ongkos sebesar 50 satuan, sehingga apabila nilai dari X12 = 50, maka akan terjadi penurunan ongkos sebesar 50 x 50 = 2.500. Jadi Z1 = ZAwal – (50 x 50) = 77.000 – 2.500 = 74.500. 5). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Zij−Cij . Z13−C13 = C11 – C21 + C32 – C12 = 50 – 200 + 200 – 100 = –50 C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 10 dari 11
Z22−C22 = C12 – C11 + C21 – C22 = 100 – 50 + 200 – 300 = –50 Z31−C31 = C11 – C12 + C32 – C31 = 50 – 100 + 200 – 100 = 50 Z33−C33 = C32 – C12 + C11 – C21 + C23 – C33 = 200–100+50–200+200–300 = –150 6). Karena masih ada nilai dari Zij−Cij yang positif (Zij−Cij > 0) maka table belum Optimal. 7). Menentukan Variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai Max { Zij−Cij } = 50 yaitu nilai dari Z31−C31, maka X31 masuk menjadi basis. 8). Menentukan Variabel yang keluar dari basis dengan cara : *) Buat loop yang melalui variable yang baru masuk menjadi basis (X31) : X11 – X12 + X32 – X31 *) Variabel yang keluar basis adalah : Min {X11 , X32} = Min {70, 160} = 70, yang merupakan nilai dari X11, maka X11 keluar basis. *). Penyesuaian nilai variable dalam basis: X11 = keluar dari basis
X12 = 50 + 70 = 80
X32 = 160 – 70 = 90
X31 = 70 (masuk jadi basis).
Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini: T1 A1 A2 A3 bj
T2 50
x
T3 100
80
300
x 100
70
100 x
120 200
200
90 200
300 x
90 150
ai
210
90
120 170 160 450
Total Ongkosnya adalah : Z2 = 100.120 + 200.80 + 200.90 + 100.70 + 200.90 = 71.000 atau Z2 = Z1 – (50 x 70) = 74.500 – 3.500 = 71.000. 9). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Zij−Cij . Z11−C11 = C31 – C32 + C12 – C11 = 100 – 200 + 100 – 50 = –50 Z13−C13 = C12 – C32 + C31 – C21 + C23 – C13 = 100–200+100–200+200–100 = –100 Z22−C22 = C21 – C31 + C32 – C22 = 200 – 100 + 200 – 300 = 0 Z33−C33 = C31 – C21 + C23 – C33 = 100 – 200 + 200 – 300 = –200 10). Karena semua nilai dari Zij−Cij ≤ 0, maka table sudah Optimal (Minimum) dengan ZOptimal = 71.000. C:\Documents and Settings\Pak Yusup\My Documents\BackUp FD\Materi TRO\Modul Kuliah TRO\PERTEMUAN 10.doc
Hal. 11 dari 11
