Vizsgafeladatok 1. Feladat (10+3+3+3=19 pont) (2012. május 29.) Véletlenszerűen kiválasztott 100 felnőttkorú esetében vizsgálták az életkor és a vér koleszterin koncentrációjának (gramm/liter) összefüggését. A számítások részeredményei a következők: ∑ x =4000; ∑ d 2x =22275; ∑ xy =8450; ∑ y =200; ∑ y 2 =424,75 Feladat: a) Jellemezze szövegesen az életkor és a vér koleszterin koncentrációja közötti kapcsolatot korrelációs mérőszámok segítségével! Vizsgálja meg a kapcsolat természetét lineáris regresszió fügvénnyel és értelmezze a paramétereket! b) Számítsa ki és értelmezze a 74 éves életkorhoz tartozó rugalmasságot! c) Határozza meg és értelmezze a regresszó függvény relatív hibáját (relatív reziduális szórást)! d) Becsülje meg 90%os megbízhatósági szinten egy olyan személynek a koleszterin szintjét, aki idén tölti be 48. életévét! 2. Feladat (12+6+3=21 pont) (2014. január 7.) Egy laptopokat forgalmazó cég 30 elemű minta alapján kereste az összefüggést egy bizonyos típusú gép kora (év) és értéke (ezer Ft) között. Az alábbi adatokat és számítási részeredményeket kapták: Érték (e Ft)
Kor (év)
100
2
112
1
….
….
65
5
70
4
Számítási részeredmények
∑ x =90; ∑ y ∑ x 2 =280,5; ∑ xy =7042,5;
=2400
s y =10
Feladat: a) Korreláció és regressziószámítás segítségével jellemezze szövegesen a kor és az érték közötti kapcsolat szorosságát, valamint természetét, jellegét! b) Becsülje meg 90%os megbízhatósággal egy átlagos korú laptop értékét! c) Határozza meg és értelmezze a rugalmasságot az előző pontban! d) A laptopok harmada 1 évnél fiatalabb, a többi ennél idősebb. Ez utóbbiak forgalmi értéke 75e Ft. Számítsa ki és értelmezze a korrelációs és determinációs hányados értékét! 3. feladat (6 pont) Egy új wellness szállodában megvizsgálták a vendégek jövedelme (eFt/fő/hó) és az egyéb szolgáltatásokra költött öszeg (Ft/fő) közötti kapcsolatot, s az alábbi összefüggést kapták: lgŷ=lg21,83+1,0086∙lgx η=0,567 Feladat: Határozza meg a megfelelő regressziófüggvényt, és értelmezze a kapott eredményeket!
4. Feladat (12+6+3=21 pont) (2014. január 14.) Megvizsgálták 30 pest megyei újépítésű ház négyzetméterár és Budapesttől mért távolságát. Az alábbi adatokat és számítási részeredményeket kapták: Négyzetméterár (e Ft) Távolság Budapesttől (km) Számítási részeredmények 320
17
310
21
….
….
240
46
220
51
∑ x =1050; ∑ y ∑ x 2 =39650; ∑ d x d y =3915;
=8400
s y =20
Feladat: a) Korreláció és regressziószámítás segítségével jellemezze szövegesen a négyzetméterár és az Budapesttől mért tárvolság közötti kapcsolat szorosságát, valamint természetét, jellegét! b) Becsülje meg 90%os megbízhatósággal egy átlagos távolságra lévő ház négyzetméterárát! c) Határozza meg és értelmezze a rugalmasságot az előző pontban! 5. feladat (12+5=17 pont) (2014. május 10.) Egy cukrászdinasztia családi vállalkozásában a legfiatalabb tag üzleti tanulmányokat folytat. A nyári szakmai gyakorlaton azt a feladatot kapta, hogy vizsgálja meg, milyen tényezők befolyásolják az üzleteik forgalmát. A legkisebb fiú az elemzésében a nyári szezon forgalmát vizsgálva összevetette a napi hőmérséklet és az eladott fagylaltmennyiség alakulását is véletlenszerűen kiválasztott 30 nyári napon. Az alábbi adatokat és számítási részeredményeket kapta: Napi maximális hőmérséklet(°C)
Értékesített fagylalat mennyisége (kg)
25
16,4
32
19,7
….
….
36
34,5
31
26,2
Számítási részeredmények
∑ x =960; ∑ y ∑ x 2 =31764; ∑ xy =27979;
=855
s y =6,5
Feladat: a) Korreláció és regressziószámítás felhasználásával jellemezze szövegesen, hogy milyen erős és milyen jellegű, természetű a kapcsolat a napi maximális hőmérséklet és az értékesített fagylalt mennyisége között! b) Becsülje meg 90%os megbízhatósággal, hogy a legforróbb – azaz 38°Cos – nyári napokon átlagosan mennyi fagylaltot adnak el!
6. Feladat (12 pont) (2013. június 22.) Megvizsgálták néhány kísérleti parcellán a talaj mésztartalmának (g/dm²) és egy bizonyos növényfajta növekedési ütemének (mm/nap) kapcsolatát. Az alábbi adatokat és számítási részeredményeket kapták: ∑ x =250; ∑ d 2x =70,56; ∑ x 2 =1320,56; ∑ xy =265,445; ∑ y =55; ∑ y 2 =63,5625 Feladat: Korreláció és regresszószámítás felhasználásával jellemezze szövegesen a vizsgált két tényező kapcsolatának alakulását! 7. Feladat (12+3+3+4=22 pont) Egy gyárban a gyártást megelőző tesztidőszakban minden nap feljegyezték a futószalagon óránként előállított termékek számát és a selejtarányt (%). Az alábbi részeredményeket ismerjük: ∑ x =3720; ∑ d 2x =6100; ∑ x 2 =229300; ∑ xy =11700; ∑ y =186; s y =1,1 Feladat: a) Korreláció és regressziószámítás segítségével jellemezze szövegesen a teljesítmény és a selejtarány közötti kapcsolat szorosságát, valamint természetét, jellegét! b) Becsülje meg 98%os megbízhatósággal, hogy átlagos szalagsebesség esetén mekkora a selejtarány! c) Határozza meg és értelmezze a selejtarány rugalmasságát 100 darabos óránkénti termelés esetén! d) Számítsa ki és értelmezze a reziduális szórást és a relatív reziduális szórást! 8. feladat (6+3+3=12 pont) (2014. január 14. ) Egy balatoni büfé üdítőforgalma (liter) és a napi középhőmérséklet (°C) között a következő összefüggés tapasztalható: lgŷ=1,1761+0,041392685x. Feladat: a) Határozza meg a megfelelő regressziófüggvényt, és értelmezze a paramétereket! b) Értelmezze az η²=0,7467! 9. feladat (6+3+3=12 pont) Egy használtautó kereskedőnél megvizsgáltunk 15 ugyanolyan típusú autót kor (év) és eladási ár (Mft) alapján. A következő összefüggést kaptuk: lgŷ=0,602061,03∙lgx Határozza meg a megfelelő regressziófüggvényt, és értelmezze a paramétereket! Nevezze meg és értelmezze a következő mutatót: η=0,89 A két ismérv közötti számszerű kapcsolat kimutatására többféle regressziófüggvényt számoltunk. Lineáris regresszófüggvény
Exponenciális regresszófüggvény
SSE=2,941
SSE=2,542
Hatványkitevős regresszófüggvény SSE=1,934
Döntse el, a fenti három függvény közül melyik illeszkedik a legjobban az adatsorra? Miért?
10. feladat (4+4+5=13 pont) (2013. június 15.) Száz nyílt végű befektetési alap esetén az állampapírok aránya (x %) és a várható éves hozam (y %) kapcsolatát vizsgáltuk többféle regressziófügvénnyel. ( y =10) Feladat: a) Az lgŷ=1,1139430,022276x közelítés esetén írja fel a megfelelő regresszió függvényt, és értelmezze a paramétereit! ( s e =0,2020305) b) Az lgŷ=1,0413931,2lgx közelítés esetén írja fel a megfelelő regresszió függvényt, és értelmezze a paramétereit! ( v e =0,0225877) c) A lineáris regressziófüggvény ŷ=120,14x és ebben az esetben SSE=3. Melyik regressziófüggvény illeszkedik legjobban az adatokra? Válaszát indokolja! A legjobban illeszkedő függvény felhasználásával válaszolja meg, hogy a 8% várható hozamú befektetési alapokban mennyi az állampapírok aránya! 11. feladat (16+4=20 pont) (2013. június 22.) Megvizsgálták 80 véletlenszerűen kiválasztott porszívóügynök esetében az értékesítés eredményessége (havonta eladott mennyiség), a cégnél eltöltött idő (hónap) és a cég marketing stratégiáját súlykoló tanfolyamon részvételek száma közti kapcsolat alakulását. A következő eredményekre jutottak: • egy ügynök havonta átlagosan 22 porszívót értékesít • eredményesség és a tanfolyami részvétel kapcsolata v e =0,38 lgŷ=1,1139+0,00647x η=0,42 • eredményesség és a cégnél eltöltött idő kapcsolata s e =5 lgŷ=1,2553+0,75lgx ρ=0,57 Feladat: a) Határozza meg a vizsgált kapcsolatokat leíró függvényeket, értelmezze a paramétereket! Nevezze meg és értelmezze az összes többi közölt mutatót is! b) Határozza meg, hogy várhatóan hány porszívót ad el ebben a hónapban egy olyan ügynök aki még csak 2 hónapja van a cégnél, illetve egy olyan, aki már 5 tanfolyamon is részt vett! Melyik függvényt tartja alkalmasabbnak az értékesítési teljesítmény becslésére? Válaszát számítással támassza alá! 12. feladat (4 pont) (2014. január 7.) A magyar felsőoktatási intézmények rangsorának elkészítése során oktatáspolitikával foglalkozó szakemberek azt tapasztalták, hogy a munkáltatók és a hallgatók véleménye jelentősen eltér egymástól. Az alábbi táblázatban látható a legjobb 15 intézménynek a munkáltatók és a hallgatók által összeállított rangsora. Szempont
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
Hallgatók
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Munkáltatók
4
3
2
7
1
5
9
11
8
6
13
15
12
10
14
Feladat: Megfelelő mutatószám kiszámítása és értelmezése alapján támassza alá vagy cáfolja meg a szakemberek véleményét!
13. feladat (6+2+2=10 pont) (2012. május 29.) Adott a következő regressziófüggvény, mely a termésátlag (t/ha) és a felhasznált műtrágya (t/ha) kapcsolatát jellemzi: ^y =3,25 x 1,02 Feladat: a) Értelmezze a függvény paramétereit! b) Határozza meg a függvény segítségével, hogy 15 t/haos termésátlag eléréséhez mennyi műtrágya felhasználásra van szükség! c) Nevezze meg és magyarázza meg mit jelent az adott feladatban az η²=0,38! 14. feladat (6 pont) (2010. május 10.) Véletlenszerűen kiválasztott pályakezdő diplomás esetén – egy év elteltével – megvizsgálták a jövedelem és az egy hónapban ledolgozott túlórák száma közötti kapcsolatot. Az alábbi számítási részeredmények ismertek: Jövedelem (ezer Ft/fő/hó)
Megkérdezettek száma (fő)
Túlórák száma (ó/fő)
180 200
15
6
201 220
20
12
221 250
10
17
251
5
…..
Összesen
50
12
Milyen mértékben befolyásolja a jövedelem a túlórák számát? Megfelelő mutatószám alapján válaszoljon, ha ismert, hogy az egyes túlórák négyzetösszege 8850! 15. feladat 60 véletlenszerűen kiválasztott hallgató esetén megvizsgálták a felkészülési idő és a vizsgán elért pontszám közötti kapcsolatot. Az alábbi adatok és számítási részeredmények ismertek: Felkészülési idő (nap)
Megvizsgált hallgatók száma (fő)
Vizsgán elért átlagos pontszám (pont/fő)
5
…...
30
6 10
15
…..
11 15
25
55
16
10
71
Összesen
51
Milyen mértékben befolyásolja a felkészülési idő a vizsgán elért eredményt? Megfelelő mutatószámok kiszámítása alapján válaszoljon, ha ismert, hogy az egyes pontszámok szórása 13,8!
16. feladat (4 pont) A Központi Statisztikai Hivatal adatai szerint 2012ben a következőképpen alakult Magyarországon a napsütéses órák száma, valamint a középhőmérséklet (°C): Hónap
Napsütéses órák száma
Középhőmérséklet (°C)
Január
125
2,6
Február
118
1,2
Március
261
9,6
Április
227
13,2
Május
287
18,5
Június
304
22,4
Július
310
24,6
Augusztus
344
24,4
Szeptember
207
19,7
Október
162
12,6
November
68
8,8
December
60
0,7
Feladat: Megfelelő mutatószám segítségével hasonlítsa össze a napsütéses órák számának és a középhőmérsékletnek a rangsorát! 17. feladat (12+3+3=18 pont) (2014. június 17.) Egy nagyvárosban százötven elemű véletlen minta alapján három féle közelítéssel is vizsgálták a környékbeli bűnözésnek (ezer lakosra jutó bűncselekmények száma) a lakosok biztonságérzetére (%) gyakorolt hatását: ŷ=1030,32∙x lgŷ=1,954240,11∙x lgŷ=1,97772+lg0,994∙x Feladat: a) Határozza meg a nemlineáris regresszió függvényeket és értelmezze a paramétereket! b) A vizsgálat során meghatároztak egy további mutatót is: ρ=0,32 Nevezze meg, és értelmezze a mutatót! c) Határozza meg és értelmezze az adatokra legpontosabban illeszkedő függvény reziduális szórásást! SSE exp =680 ∑ ( y− y^lin )2 =592 ∑ e 2hatv =1087
18. feladat (2+7+5+7=21 pont) (2014. június 17.) Egy felmérés során megvizsgálták 25 vállalat reklámköltségét és bevételét. Az alábbiakat tapasztalták: • A regresszófüggvény szerint 29,4 M Ft a bevétele egy olyan vállalatnak, amely nem költ reklámra. • A regresszófüggvény szerint egy reklámra 1 M Fttal többet költő vállalat bevélele átlagosan 1,1 M Fttal nagyobb. • A reklámköltségek átlagosan 41,195%kal térnek el az átlagos reklám költségektől. • A bevételek átlagosan 7,605%kal térnek el az átlagos bevételtől. • A reklámköltség és a bevétel közötti kovariancia 4,85045. Feladat: a) Írja fel a lineáris regresszió függvényt! b) Számítsa ki és értelmezze a lineáris korrelációs és determinációs együtthatót! c) 90%os megbízhatósági szinten becsülje meg az átlagos reklámköltségű vállalatok átlagos bevételét! d) A megvizsgált vállalatok 40%a több mint 6 M Ftot költött reklámra, míg a többi vállalat körében 50%kal nagyobb a reklámra legfeljebb 4 M Ftot költő vállalatok száma, mint a 4 és 6 M Ft közöttiek száma. Töltse ki a lenti táblázatot, majd számítsa ki és értelmezze a korrelációs és determinációs hányadost! Reklámköltség (M Ft)
Vállalatok száma
Átlagos bevétel (M Ft)
4
32,3444
4,1 6
35,1167
6,1 Együtt
19. feladat (12+3=15 pont) (2014. június 3.) Az „Eat & Fly Ltd.” önkiszolgáló éttermet működtet egy forgalmas európai repülőtéren. 2013. decemberében minden nap megfigyelték az éttermekben étkezők számának és a reptérről aznap induló járatok számának az alakulását és a következőket találták: • A vendégek számának relatív szórása 16,97%. • A megfigyelési időszak alatt a naponta indított járatok száma az átlagtól átlagosan harminccal, azaz tizenöt százalékkal tért el. • Egy átlagos járatszámú napon az étteremben megfordulók száma 95%os megbízhatósággal a [ 3730; 6290 ] intervallumba esik. Feladat: a) Korreláció és regressziószámítás felhasználásával jellemezze szövegesen a vizsgált két tényező közötti kapcsolat alakulását! b) Határozza meg és értelmezze a vendégek számának rugalmasságát, ha egy napon 300 járatot indít a reptér!
