Vícekriteriální rozhodování Zabývá se hodnocením variant podle několika kritérií, přičemž varianta hodnocená podle jednoho kritéria zpravidla nebývá nejlépe hodnocená podle kritéria jiného. Metody vícekriteriálního rozhodování poté řeší konflikty mezi vzájemně protikladnými kritérii.
Typy kritérií Kritéria maximalizačního typu – žádoucí je vyšší hodnota kritéria (např. průměrná mzda, HDP/obyvatel, daňová výtěžnost, apod.).
Kritéria minimalizačního typu – žádoucí je nižší hodnota kritéria (např. míra nezaměstnanosti, podíl obyvatelstva bez maturity, intenzita ekologických zátěží, apod.).
1
Oblasti aplikace hodnocení hospodářské vyspělosti států a regionů, rozhodování o koupi výrobku či služby, výběr střední nebo vysoké školy, přijímací řízení na střední či vysokou školu,
výběr investiční varianty, výběrové řízení na nového pracovníka, pravidelné hodnocení výkonnosti pracovníků, volba dopravního prostředku, a další.
Cíle vícekriteriálního hodnocení 1. Výběr jedné – kompromisní – varianty, která je „nejlepší“ z hlediska použitých rozhodovacích kritérií. 2. Stanovení pořadí variant od nejlepší po nejhorší variantu. 3. Klasifikace variant do několika skupin (např. rozdělení zákazníků podle analýzy ABC do tří skupin dle významnosti pro podnik).
2
Základní pojmy Ideální varianta – varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepších možných hodnot. Dominovaná varianta – varianta, ke které lze nalézt variantu, která je ve všech kritériích lepší nebo alespoň stejně dobrá. Nedominovaná varianta – taková varianta, ke které neexistuje varianta, která ji dominuje podle všech kritérií. Nedominovaných variant bývá jich několik. Kompromisní (optimální) varianta – je vždy variantou nedominovanou, jedná se o variantu doporučenou k realizaci. Bazální varianta – varianta, která má všechny hodnoty kritérií na nejnižším stupni.
Obecný postup řešení 1. Vytvoření množiny hodnotících kritérií. 2. Stanovení vah kritérií hodnocení. 3. Určení vzorových hodnot vah kritérií. 4. Hodnocení dosažených výsledků variant. 5. Posouzení rizik spojených s případnou realizací variant. 6. Stanovení preferenčního pořadí variant a výběr „nejlepší“ varianty.
3
Stanovení vah kritérií Váhy vyjadřují relativní důležitost jednotlivých kritérií. Existuje několik metod pro stanovení váhy, např.: metoda pořadí,
bodovací metoda, Fullerův trojúhelník, Saatyho metoda.
Metoda pořadí Založena na uspořádání kritérií od nejdůležitějšího po nejméně důležité. Nejdůležitějšímu kritériu je přiřazena hodnota k, druhému kritériu v pořadí pak hodnota k – 1, atd. Nejméně důležité kritérium má přiděleno číslo 1. Váha i-tého kritéria vi se získá dle vztahu:
vi
pi
pi … hodnota přiřazená kritériu i
k
p i 1
i
4
Příklad 1 – zadání Seřaďte kritéria, podle kterých jste se rozhodovali při výběru vysoké školy, od nejdůležitějšího (10) po nejméně důležité (1). Množina kritérií: Pověst školy Blízkost k místu bydliště Složení pedagogického sboru Výše školného Nabídka praxí Vybavení školy moderní technikou Zázemí města, kde škola sídlí Studijní plán (skladba předmětů) Dostupnost ubytování Snadnost přijetí (přijímací zkoušky)
Bodovací metoda Založena na kvantitativním ohodnocení důležitosti kritérií pomocí bodovací stupnice, např. od 1 do 5. Čím je kritérium pro rozhodovatele důležitější, tím přidělí vyšší bodové ohodnocení, a opačně. Váha i-tého kritéria vi se získá dle stejného vztahu:
vi
pi
pi … celková bodová hodnota přiřazená kritériu i
k
p i 1
i
5
Příklad 2 – zadání Obodujte kritéria, podle kterých jste se rozhodovali při výběru vysoké školy, na stupnici: 1 – nedůležité, 2 – málo důležité, 3 – středně důležité, 4 – důležité, 5 – vysoce důležité. Množina kritérií: Pověst školy Blízkost k místu bydliště Složení pedagogického sboru Výše školného Nabídka praxí Vybavení školy moderní technikou Zázemí města, kde škola sídlí Studijní plán (skladba předmětů) Dostupnost ubytování Snadnost přijetí (přijímací zkoušky)
Fullerův trojúhelník Rozhodovatel postupně srovnává dvojici kritérií mezi sebou (binární komparace). Z každé dvojice vybere to kritérium, které je pro něj důležitější a označí ho. Jsou-li obě kritéria stejně důležitá, označí obě dvě. Sečte se počet označení u každého kritéria. Odhad váhy se získá stejným způsobem, jako u předchozích metod:
vi
pi
pi … počet označení u kritéria i
k
p i 1
i
6
Příklad 3 – zadání Párově porovnejte kritéria, podle kterých jste se rozhodovali při výběru vysoké školy. Použitá kritéria: K1 - Pověst školy K2 - Blízkost k místu bydliště K3 - Složení pedagogického sboru K4 - Výše školného K5 - Nabídka praxí K6 - Vybavení školy moderní technikou K7 - Zázemí města, kde škola sídlí K8 - Studijní plán (skladba předmětů) K9 - Dostupnost ubytování K10 - Snadnost přijetí (přijímací zkoušky)
Příklad 3 – řešení, krok 1 Fullerův trojúhelník K1 K2
K1 K3 K2 K3
K1 K4 K2 K4 K3 K4
K1 K5 K2 K5 K3 K5 K4 K5
K1 K6 K2 K6 K3 K6 K4 K6 K5 K6
K1 K7 K2 K7 K3 K7 K4 K7 K5 K7 K6 K7
K1 K8 K2 K8 K3 K8 K4 K8 K5 K8 K6 K8 K7 K8
K1 K9 K2 K9 K3 K9 K4 K9 K5 K9 K6 K9 K7 K9 K8 K9
K1 K10 K2 K10 K3 K10 K4 K10 K5 K10 K6 K10 K7 K10 K8 K10 K9 K10
7
Saatyho metoda Jedná se o komplexní postup odhadu vah kritérií. Rozhodovatel porovnává, podobně jako u Fullerova trojúhelníku, všechny možné dvojice kritérií. Stupeň důležitosti jednoho kritéria před druhým je ovšem vyjádřen pomocí stupnice 1 až 9, přičemž:
1 – obě kritéria jsou stejně důležitá, 3 – kritérium i je mírně důležitější než kritérium j, 5 – kritérium i je značně důležitější než kritérium j, 7 – kritérium i je velmi silně důležitější než kritérium j, 9 – kritérium i je absolutně důležitější než kritérium j.
Vybrané metody vícekriteriálního hodnocení variant
Metoda vah Metoda váženého součtu (WSA – Weighted Sum Approach)
Metoda TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)
8
Metoda vah Hodnocená varianta je posuzována podle množiny kritérií. Každému kritériu je přiřazena určitá váha. Jednotlivé varianty jsou pak ohodnoceny váženým průměrem za užití relativních významností kritérií a jejich hodnot.
n
SH U i v i i 1
SH … souhrnné hodnocení Ui … i-tý ukazatel vi … váha i-tého ukazatele
Příklad 4 – zadání Za účelem vymezení hospodářsky slabých regionů bylo provedeno MMR v roce 2003 hodnocení okresů podle těchto kritérií: U1 – souhrnné hodnocení nezaměstnanosti U2 – daňové příjmy na 1 obyvatele U3 – průměrná mzda U4 – podíl zaměstnanosti v zemědělství, lesnictví a rybolovu na celkové zaměstnanosti U5 - vývoj zaměstnanosti v zemědělství, lesnictví a rybolovu oproti základnímu roku 1995
U6 – hustota osídlení
9
Příklad 4 – pokračování zadání Výsledné hodnocení: SH = 0,3U1 + 0,2U2 + 0,2U3 + 0,1U4 + 0,15U5 + 0,05U6 Problém – kritéria jsou rozdílného typu: Maximalizační kritéria – daňové příjmy, průměrná mzda, hustota osídlení
Minimalizační kritéria – souhrnné hodnocení nezaměstnanosti, podíl zaměstnanosti v primárním sektoru, změna zaměstnanosti v primárním sektoru
Příklad 4 – pokračování zadání Řešení problému rozdílných typů kritérií: Statické hodnotě každého ukazatele v daném okrese byl přidělen odpovídající poměrný koeficient. Ten byl vypočítán jako podíl údaje v příslušném okrese a údaje za ČR. Podíl byl vypočten tak, aby výše vypočteného koeficientu charakterizovala situaci okresu podle zásady: čím vyšší hodnota koeficientu, tím horší situace v okrese. Úloha – proveďte srovnání hospodářské úrovně vybraných 10 okresů uvedených v tabulce.
10
Příklad 4 – primární data Ukazatele za vybrané okresy v roce 2001 Souhrn. hodn. nezaměst.
Okres Česká Lípa Jablonec n. Nisou Jičín Kolín Liberec Litoměřice Mělník Mladá Boleslav Nymburk Semily
55,5 45,5 42,9 74,7 62,7 98,9 53,7 22,6 64,7 43,4
U1 0,80 0,66 0,62 1,08 0,91 1,43 0,78 0,33 0,93 0,63
Daňové příjmy Kč 6 992 7 679 5 776 5 844 8 197 6 471 6 466 7 323 6 027 5 795
U2 1,23 1,12 1,49 1,48 1,05 1,33 1,33 1,18 1,43 1,49
Průměrná mzda Kč 13 681 13 120 13 004 13 476 13 938 13 103 14 946 16 799 12 962 12 506
U3 1,07 1,12 1,13 1,09 1,05 1,12 0,98 0,87 1,13 1,17
Zaměst. v zeměd. 1995 % U4 4,3 0,65 1,1 0,17 17,7 2,65 7,8 1,17 3,7 0,55 10,5 1,57 5,0 0,74 7,8 1,16 9,2 1,37 6,0 0,90
Zaměst. v zeměd. 01/95 % U5 68,4 1,05 56,2 1,28 61,5 1,17 67,0 1,08 58,0 1,24 76,8 0,94 66,8 1,08 66,0 1,09 90,9 0,79 95,4 0,76
Hustota osídlení obyv./km 93 219 87 113 171 111 133 108 96 108
2
U6 1,39 0,59 1,48 1,15 0,76 1,17 0,97 1,20 1,34 1,20
Zdroj: Usnesení vlády ČR č. 722/2003
Metoda váženého součtu Založena na konstrukci lineární funkce užitku na stupnici od 0 do 1. Nejhorší varianta podle daného kritéria bude mít užitek nula, nejlepší varianta užitek 1 a ostatní varianty budou mít užitek mezi oběma krajními hodnotami. Například u kritéria souhrnné hodnocení nezaměstnanosti je nejhorším okresem Litoměřice, naopak nejlepším je okres Mladá Boleslav. Varianty je potom možné uspořádat podle klesajících hodnot užitku u(Xi). k
u(Xi ) v j y*ij j1
vj ... váha j-tého kritéria
y*ij … hodnota j-tého kritéria pro i-tou variantu
11
Metoda váženého součtu Metoda může pracovat s původními hodnotami kritérií, je však nutno provést transformaci hodnot dle typu kritéria. Pro minimalizační kritéria:
y * ij
H j yij Hj Dj
Pro maximalizační kritéria:
y*ij
yij D j
yij … původní hodnota jtého kritéria Dj … minimální kriteriální hodnota Hj … maximální kriteriální hodnota
Hj Dj
Příklad 5 - zadání Zhodnoťte hospodářskou úroveň regionů (okresů) z předchozího příkladu pomocí metody váženého součtu. Okres Váha MIN/MAX Česká Lípa Jablonec n. Nisou Jičín Kolín Liberec Litoměřice Mělník Mladá Boleslav Nymburk Semily
SHN 0,30 MIN 55,5 45,5 42,9 74,7 62,7 98,9 53,7 22,6 64,7 43,4
DP 0,20 MAX 6 992 7 679 5 776 5 844 8 197 6 471 6 466 7 323 6 027 5 795
PM 0,20 MAX 13 681 13 120 13 004 13 476 13 938 13 103 14 946 16 799 12 962 12 506
ZZ 0,10 MIN 4,3 1,1 17,7 7,8 3,7 10,5 5,0 7,8 9,2 6,0
VZZ 0,15 MIN 68,4 56,2 61,5 67,0 58,0 76,8 66,8 66,0 90,9 95,4
HO 0,05 MAX 93 219 87 113 171 111 133 108 96 108
12
Metoda TOPSIS Založena na výběru varianty, která je nejblíže ideální variantě, tj. variantě, která je charakterizována vektorem nejlepších kriteriálních hodnot, a současně nejdále od bazální varianty, tj. varianty, která je reprezentována vektorem nejhorších kriteriálních hodnot. Předpokládá se, že jsou všechna kritéria maximalizačního typu. Z toho důvodu je nutno minimalizační kritéria přetransformovat na maximalizační tak, že nové kritérium udává rozdíl oproti nejhorší (tedy nejvyšší) kriteriální hodnotě. Je-li například kritériem míra nezaměstnanosti, zavede se nové kritérium udávající rozdíl ve srovnání s okresem s nejvyšší mírou nezaměstnanosti. Takové kritérium je svou povahou již maximalizační. Varianty lze potom uspořádat podle klesajících hodnot ukazatele ci, který udává relativní vzdálenost variant od bazální varianty. Hodnoty ukazatele ci nabývají hodnot z intervalu <0, 1>.
Metoda TOPSIS - algoritmus 1) Původní kriteriální hodnoty yij se transformují na hodnoty rij dle vztahu:
rij
y ij n
y i 1
2 ij
2) Vypočítají se prvky kriteriální matice W jako wij = vjrij.
3) Z prvků matice W se určí ideální varianta s kriteriálními hodnotami (H1, H2, …, Hk) a bazální varianta s hodnotami (D1, D2, …, Dk), kde Hj = max (wij) a Dj = min (wij).
13
Metoda TOPSIS - algoritmus 4) Vypočtou se vzdálenosti variant od ideální a bazální varianty podle vztahů:
d i i
d
k
(w j1
ij
H j )2
ij
D j )2
k
(w j1
5) Vypočte se ukazatel ci jako relativní vzdálenost variant od bazální varianty:
d i ci d i d i
Varianty se uspořádají sestupně podle hodnot ukazatele ci.
Příklad 6 - zadání Zhodnoťte hospodářskou úroveň regionů (okresů) z předchozího příkladu pomocí metody TOPSIS. Okres MIN/MAX Váhy Česká Lípa Jablonec n. Nisou Jičín Kolín Liberec Litoměřice Mělník Mladá Boleslav Nymburk Semily
U1 MIN 0,3 55,5 45,5 42,9 74,7 62,7 98,9 53,7 22,6 64,7 43,4
U2 MAX 0,2 6 992 7 679 5 776 5 844 8 197 6 471 6 466 7 323 6 027 5 795
U3 MAX 0,2 13 681 13 120 13 004 13 476 13 938 13 103 14 946 16 799 12 962 12 506
U4 MIN 0,1 4,3 1,1 17,7 7,8 3,7 10,5 5,0 7,8 9,2 6,0
U5 MIN 0,15 68,4 56,2 61,5 67,0 58,0 76,8 66,8 66,0 90,9 95,4
U6 MAX 0,05 93 219 87 113 171 111 133 108 96 108
14
