VÍCEKRITERIÁLNÍ ANALÝZA VARIANT ZA JISTOTY Základní pojmy Rozhodnutí – výběr jedné nebo více variant z množiny všech přípustných variant. Rozhodovatel –subjekt, který má za úkol učinit rozhodnutí. V úlohách vícekriteriální analýzy variant je dána konečná (diskrétní) množina m variant, které jsou hodnoceny podle n kritérií. Cílem je učinit rozhodnutí, která varianta je podle daných kritérií hodnocena nejlépe. Jedná se o tzv. optimální variantu. Varianty lze seřadit od nejlepší po nejhorší nebo je rozdělit na efektivní a neefektivní varianty. Varianty (alternativy) – konkrétní rozhodovací možnosti, které jsou realizovatelné. V následujícím textu je budeme značit ai (pro i = 1,2,..., m ). Kritéria – hlediska, ze kterých jsou varianty posuzovány. Dále je budeme značit kj (pro j = 1,2,..., n ). Kriteriální matice – je-li hodnocení variant podle kritérií kvantifikováno, údaje uspořádáváme do kriteriální matice Y = ( y ij ) . Prvky této matice vyjadřují hodnocení i-té varianty podle j-tého kritéria. Řádky odpovídají variantám, sloupce kritériím. Klasifikace kritérií dle povahy 1) maximalizační – nejlepší hodnoty mají nejvyšší hodnoty 2) minimalizační – nejlepší hodnoty mají nejmenší hodnoty Vhodné je před hodnocením převést všechna kritéria na jeden typ (minimalizační kritéria na maximalizační). Jsou různé možnosti, např. tak, že každý prvek ve sloupci příslušného kritéria odečteme od jeho nejhorší hodnoty a zjistíme, o kolik je každá varianta lepší než nejhorší varianta. dle kvantifikovatelnosti 1) kvantitativní – objektivně měřitelné údaje 2) kvalitativní – nelze objektivně měřit, je nutné užít různé bodovací stupnice či relativní hodnocení variant Pozn. Normalizace matice Preference kritéria – důležitost kritéria v porovnání s ostatními kritérii. Vyjádření preference 1) aspirační úroveň – hodnota kritéria, které má být dosaženo 2) pořadí kritérií (ordinální informace o kritériích) – posloupnost kritérií od nejdůležitějšího po nejméně důležité 3) váhy kritérií – kardinální informace o kritériích; váha je hodnota z intervalu 0;1 a vyjadřuje relativní důležitost kritéria v porovnání s ostatními 4) kompenzace kriteriálních hodnot – jsou vyjádřeny mírou substituce mezi kriteriálními hodnotami (možno vyrovnat špatné kriteriální hodnoty podle jednoho kritéria lepšími hodnotami podle jiného kritéria) Varianty se speciálními vlastnostmi Dominovaná varianta – pokud jsou všechna kritéria maximalizační, varianta ai dominuje variantu aj pokud existuje alespoň jedno kritérium kl, že y il > y jl , přičemž pro ostatní kritéria platí ( y i1 , y i 2 ,..., y in ) ≥ ( y j1 , y j 2 ,..., y jn ) . Pokud existuje v rozhodovací situaci jediná nedominovaná varianta, představuje optimální variantu. Pokud je nedominovaných variant více, je nutné aplikovat metody na výběr kompromisní varianty.
Ideální varianta – hypotetická či reálná varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepší možné hodnoty. Bazální varianta – hypotetická či reálná varianta, jejíž ohodnocení je nejhorší podle všech kritérií. Kompromisní varianta – jediná nedominovaná varianta doporučená k řešení. Vlastnosti, které by měl splňovat výběr varianty: nedominovanost, determinovanost, invariace vzhledem k pořadí kritérií, invariace vzhledem ke změně měřítka hodnot kritérií, nezávislost na identických hodnotách kritérií, invariace vzhledem k přidaným neoptimálním variantám, konvexnost, jednoznačnost Klasifikace úloh vícekriteriální analýzy dle cíle řešení 1) úlohy, jejichž cílem je výběr jedné varianty označené jako kompromisní 2) úlohy, jejichž cílem je úplné uspořádání (kvaziuspořádání) variant 3) úlohy, jejichž cílem je rozdělit množinu variant na efektivní a neefektivní dle typu informace, kterou máme k dispozici o preferencích mezi kritérii a mezi variantami 1) žádná informace – informace o preferencích mezi kritérii neexistuje 2) nominální informace – informace přípustná také jenom pro preference kritérií mezi sebou, preference kritérií jsou dány aspiračními úrovněmi, tj. nejhoršími hodnotami, při kterých jsou varianty podle daných kritérií ještě akceptovatelné 3) ordinální informace – uspořádání kritérií podle důležitosti nebo uspořádání variant podle toho, jak jsou hodnoceny podle příslušného kritéria 4) kardinální informace – tento typ informace má kvantitativní charakter; v případě preference kritérií se jedná o váhy, v případě preference variant podle kritéria o konkrétní (nejčastěji číselné) vyjádření tohoto hodnocení
METODY STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ Stanovení vah kritérií bez informace o preferenci kritérií Pokud rozhodovatel není schopen rozhodnout, jak je které kritérium důležité pro posouzení variant, nejjednodušší je každému kritériu přiřadit stejnou váhu. Tato váha se vypočte podle vztahu 1 v j = ; j = 1,2,..., n , n kde n je počet kritérií. Pokud rozhodovatel nechce přiřadit všem kritériím stejné váhy, může váhový vektor stanovit pomocí entropické metody.
Stanovení vah z ordinální informace o preferencích kritérií Rozhodovatel je schopen vyjádřit důležitost jednotlivých kritérií. Buď přiřadí všem kritériím jejich pořadová čísla, nebo porovnává každé kritérium s každým a určuje, které kritérium z dané dvojice je důležitější. V obou případech lze označit kritéria jako rovnocenná. Metoda pořadí Každé kritérium je ohodnoceno body (n, n-1,…1), kde n je počet kritérií. Nejdůležitější kritérium dostane n bodů, nejméně důležité 1 bod. Normované váhy kritérií se vypočtou podle vztahu b v j = n j , j = 1,2,..., n, ∑bj j =1
kde bj jsou body pro j-té kritérium. Metoda párového srovnávání Při použití metody párového srovnávání se porovnává každé kritérium s každým a zjišťuje se, které z dané dvojice je důležitější. Srovnání se provádí v tzv. Fullerově trojúhelníku. ⎛ n ⎞ n(n − 1) . Kritéria se očíslují od 1 do n a zapíší se do Fullerova Počet srovnání je N = ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⎝ 2⎠ trojúhelníku: 1 1 1 1 … 2 3 4 n … 2 2 2 … 3 4 n … … … … … n-1 n Z každé dvojice se vybere důležitější kritérium a označí se. Počet označení u j-tého n kritéria je nj, normovaná váha j-tého kritéria je v j = j , j = 1,2,..., n. N U plně konzistentní matice (viz Saatyho metoda) je hodnota nj pro nejméně významné kritérium rovna nule.
Stanovení vah z kardinální informace o preferencích kritérií Rozhodovatel je schopen určit nejen pořadí důležitosti, ale i poměr důležitosti mezi všemi dvojicemi kritérií. Bodovací metoda (Metfesselova alokace 100 bodů) Důležitost kritéria se ohodnotí počtem bodů od 0 do 100 (čím je kritérium významnější, tím více bodů je mu přiřazeno). Součet bodů přiřazených všem kritériím musí být 100. Normované váhy se spočítají jako podíl bodů přiřazených j-tému kritériu a součtu všech bodů (100). Metoda kvantitativního párového srovnávání (Saatyho metoda) Kromě výběru preferovaného kritéria se určuje pro každou dvojici kritérií také velikost této preference (SAATY,1990). K vyjádření velikosti preferencí SAATY doporučuje bodovou stupnici: 1…kritéria jsou stejně významná 3…první kritérium je slabě významnější než druhé 5…první kritérium je silně významnější než druhé 7…první kritérium je velmi silně významnější než druhé 9…první kritérium je absolutně významnější než druhé Sudý počet bodů vyjadřuje mezistupně a slouží k jemnějšímu rozlišení preferencí. Velikost preferencí i-tého kritéria proti j-tému můžeme uspořádat do Saatyho matice (S), jejíž prvky sij představují odhady podílů vah kritérií (kolikrát je jedno kritérium v významnější než druhé): sij ≈ i ; i, j = 1,2,..., n . vj Matice S je čtvercová řádu n×n a pro prvky matice S platí 1 sij = , s ji tedy matice S je reciproční. Na diagonále matice S jsou vždy hodnoty jedna (každé kritérium je samo sobě rovnocenné). Dříve než se počítají váhy jednotlivých kritérií, je nutné ověřit, zda zadaná matice párových porovnávání je konzistentní. Uvažujme ideální matici V = (vij ) , pro jejíž prvky by platilo vhj = vhi vij , pro h, i, j = 1,2,..., n . Taková matice by byla dokonale konzistentní. Prvky matice S nejsou většinou dokonale konzistentní, tzn. neplatí s hj = s hi sij , pro h, i, j = 1,2,..., n . Míra konzistence se měří např. indexem konzistence, který Saaty definoval takto λ −n , I S = max n −1 kde λmax je největší vlastní číslo matice S a n je počet kritérií. Matice S je dostatečně konzistentní, jestliže I S < 0,1 . Při stanovování vah můžeme vycházet z podmínky, že matice S by se měla od matice V lišit co nejméně. Potom minimalizujeme součet odchylek stejnolehlých prvků obou matic: 2
⎡ v ⎤ F = ∑∑ ⎢ sij − i ⎥ → min v j ⎥⎦ i j ⎢ ⎣ za podmínky
n
∑v
j
= 1 a v j ≥ 0 pro i, j = 1,2,..., n.
j =1
Další metoda, jak stanovit váhy je logaritmická metoda nejmenších čtverců.
Řešíme 2
[
]
F = ∑∑ ln sij − (ln vi − ln v j ) → min, n
n
i =1 j =1
za podmínky
n
∑v
j
= 1 a v j ≥ 0 pro i, j = 1,2,..., n.
j =1
Saaty navrhl početně jednoduchý způsob, jak spočítat váhy. Řešením je normalizovaný geometrický průměr řádků matice S: 1
⎡ n ⎤n ⎢∏ sij ⎥ j =1 ⎦ . vi = ⎣ 1 n ⎡ n ⎤n ⎢∏ sij ⎥ ∑ i =1 ⎣ j =1 ⎦ Pokud je matice S plně konzistentní, tzn. pro její prvky platí s hj = s hi s ij , váhy kritérií vypočítané podle vzorce (x) přesně odpovídají požadavkům na jejich preferenci. Pokud matice S není konzistentní, pomocí interaktivního postupu je možno zpřesňovat odhady a zlepšit jejich konzistenci. Rozhodovateli jsou předloženy prvky matice sij a vypočítané podíly vi/vj k porovnání a úpravě prvků sij, na jejichž základě se vypočtou nové odhady vah atd. Příklad: Výběr vhodného počítače různými metodami.
PC1 PC2 PC3 PC4
Cena (Kč) 15000 20000 18000 13000
Paměť (MB) 256 512 256 256
Procesor (MHz) 1800 2000 2200 1200
Pevný disk (GB) 80 120 80 40
Multimédia (pořadí) 3 1 2 4
Pozn. Pořadí u kritéria multimédia jsou určena podle následujících pravidel: 1. DVD-RW (vypalovačka DVD) 2. DVD, CD-RW (DVD a vypalovačka CD) 3. DVD 4. CD
Stanovení vah Stanovení vah bez informace o preferencích kritérií – všechna kritéria mají stejnou váhu 1 v j = ; j = 1,2,..., n, 5 Metoda pořadí Kritérium 1 Pořadí 5 Body Váhy
2 3 1 1/15
3 1 3 1/5
4 2 5 3/5
5 4 4 4/15
2 2/15
Fullerova metoda Tučně je označeno důležitější kritérium 1 1 1 1 2 3 4 2 2 3 4 3 4
1 5 2 5 3 5 4 5
Počet preferencí váhy 0 0 2
0,2
4
0,4
3 1
0,3 0,1
0.275507 1.201124 2.913693 1.888175 0.54928 6.82778
0.040351 0.175917 0.426741 0.276543 0.080448 1
Bodovací metoda K1 K2 K3 K4 K5 Body 5 15 40 30 10 váhy 0,05 0,15 0,4 0,3 0,1 Saatyho metoda 1.00 5.00 7.00 6.00 3.00
0.20 1.00 3.00 2.00 0.33
0.14 0.33 1.00 0.50 0.20
0.17 0.50 2.00 1.00 0.25
0.33 3.00 5.00 4.00 1.00
METODY VÝBĚRU KOMPROMISNÍCH VARIANT Metody nevyžadující informaci o preferencích kritérií Bodovací metoda Při této metodě je nejprve ohodnocena každá varianta podle každého kritéria určitým počtem bodů (bij). Pro kvantifikaci informací podle jednotlivých kritérií je nutné použít vždy stejnou stupnici. Maximální (minimální) počet bodů přiřazený nejlepší hodnotě kritéria musí být pro všechna kritéria stejný. Pro ohodnocení i-té varianty platí n
bi = ∑ bij ; i = 1,2,..., m . j =1
Varianty jsou uspořádány podle čísel bi vzestupně či sestupně.
Metody vyžadující aspirační úrovně kritérií Tento typ metod je založen na práci s nominální informací o preferencích mezi kritérii. Informace o důležitosti kritérií je vyjádřena aspirační úrovní kritérií. Porovnávají se kriteriální hodnoty všech variant s aspiračními úrovněmi všech kritérií. Obvykle se rozdělí skupina variant na dvě skupiny. Varianty, které mají horší kriteriální hodnoty, než je nastavená aspirační úroveň (neakceptovatelné, neefektivní) a varianty, které mají lepší nebo stejné kriteriální hodnoty, než je aspirační úroveň (akceptovatelné, efektivní). Při dostatečném zpřísnění aspiračních úrovní může v množině akceptovatelných variant zůstat varianta jediná, kterou označíme jako kompromisní.
Konjunktivní a disjunktivní metoda Při aplikaci těchto metod je nutné, aby byly známé aspirační úrovně všech kritérií a kardinální ohodnocení variant podle jednotlivých kritérií. Podle aspirační úrovně rozdělíme varianty na akceptovatelné a neakceptovatelné. V případě konjunktivní metody připustíme pouze varianty, které splňují všechny aspirační úrovně M = a i y ij ≥ z ij , pro všechna j = 1,2,..., n ;
{
}
zj je aspirační úroveň podle j-tého kritéria. V případě disjunktivní metody připustíme varianty, které splňují alespoň jeden požadavek M = a i y ij ≥ z ij , pro alespoň jedno j = 1,2,..., n ;
{
}
zj je aspirační úroveň podle j-tého kritéria. Pokud jsou požadavky vyjádřeny aspiračními úrovněmi příliš přísné, je množina akceptovatelných variant prázdná. V takovém případě je nutno zadat nové, mírnější aspirační úrovně. A naopak, budou-li požadavky mírné, množina variant bude příliš velká. Pak je nutné aspirační úrovně zpřísnit. Pozn.Vhodná je kombinace aspirační úrovně a na to navázat jinou metodou. Metoda PRIAM (Programme utilisatnt l´Intelligence Artificiele en Multicritere) Tato metoda je založena na heuristickém prohledávání množiny variant tak, aby bylo nalezeno jediné nedominované řešení. Požadované informace jsou ohodnocení variant podle jednotlivých kritérií.
Každá varianta ai je zobrazena vektorem kriteriálních hodnot y i ∈ Y . Aspirační úrovně kritérií jsou označeny z (sj ) a změny aspiračních úrovní v s-tém kroku δz (sj ) . Hledáme varianty, pro jejichž kriteriální hodnoty platí
y i ≥ z (s ) . Počet variant, splňující tento vztah udává číslo d. Vzhledem k hodnotě d rozhodovatel mění aspirační úrovně kritérií pro krok s + 1 z (s +1) = z (s ) + δz ( s ) . Rozohodovatel navrhne aspirační úrovně kritérií z (s ) = z1( s ) , z 2( s ) ,..., z n( s ) . Podle hodnoty čísla d nastávají tři případy: d > 1 ; rozhodovatel mění aspirační úroveň tak, aby snížil počet akceptovatelných variant d = 1 ; je nalezena kompromisní varianta d = 0 ; neexistuje žádná přijatelná varianta, hledá se nejbližší varianta k zadaným aspiračním úrovním, pro každou variantu se pak vypočte podle vztahu
(
n
z (js ) − y j
j =1
y ∗j
∑
)
odchylka od aspiračních úrovní, kde y ∗j pro j = 1,2,..., n jsou ideální kriteriální hodnoty. Jako přijatelnou variantu vybereme variantu s nejmenší odchylkou od aspiračních úrovní kritérií. Postup při řešení metodou PRIAM je možno znázornit graficky stromem.
Metody vyžadující ordinální informace U tohoto typu metod je nutné zadat pořadí důležitosti kritérií a pořadí variant podle jednotlivých kritérií. Lexikografická metoda Tato metoda vychází z předpokladu, že největší vliv na výběr kompromisní varianty má nejdůležitější kritérium. V případě, že existuje více variant se stejným hodnocením podle nejdůležitějšího kritéria, přichází v úvahu druhé nejdůležitější kritérium. Algoritmus se zastaví ve chvíli, kdy je vybraná jediná varianta, nebo když jsou vyčerpána všechna uvažovaná kritéria. Kompromisní varianty jsou potom všechny ty, které zůstaly stejně hodnoceny po zařazení posledního kritéria. Permutační metoda Při použití permutační metody jsou zkoumány všechny permutace pořadí p variant (p!). Metoda není vhodná pro rozsáhlé úlohy s velkými počty variant. Pro každou permutaci určíme pro každou uspořádanou dvojici variant (a i , a j ) kritéria, pro která platí ai P aj (varianta ai je preferována před aj), nebo jsou varianty vzhledem k těmto kritériím indiferentní (ai I aj). Množina indexů těchto kritérií je označována jako I ij . Pro každou uspořádanou dvojici určíme hodnoty cij = ∑ v j , h∈I ij
kde vh jsou indexy jednotlivých kritérií. Hodnoty cij jsou uspořádány do matice C. Měřítkem vhodnosti hypotézy pořadí variant je R = ∑ cij − ∑ cij . i< j
i> j
Za optimální je považována taková permutace, pro kterou je R maximální.
Metoda ORESTE (jen teoreticky, zadat do programu) Metoda má dvě části. V první části je určena vzdálenost každé varianty podle každého kritéria od fiktivního počátku. Fiktivní varianta a fiktivní kritérium mají pořadové číslo 0. Potom jsou varianty podle určitých pravidel uspořádány. Druhou částí metody ORESTE je preferenční analýza. Pro každou dvojici je prováděn test preference P, indiference I a nesrovnatelnosti N na základě preferenční intenzity. K tomuto účelu jsou zvoleny tři prahové hodnoty α , β , γ . Výsledek je závislý na rozhodovatelově volbě prahů α , β , γ . Pro horní meze prahů α , β se nechají odvodit následující hodnoty 1 1 α≤ ;β ≤ . 2(m − 1) n(m − 1) Pro práh γ lze určit dolní mez n−2 . γ≥ 4 Výsledky preferenční analýzy lze zachytit v matici, jejíž řádky i sloupce odpovídají variantám. Prvky matice informují o vzájemném vztahu každé dvojice variant (preference P, indiference I a nesrovnatelnosti N). Symbol „+“ znamená, že varianta ai je preferována před variantou aj, v opačném případě (aj je preferována před variantou ai) se použije znaménko „-“. Výsledky preferenční analýzy lze znázornit i graficky.
C Nji
a j Pai
N
I
0
ai Pa j
CijN
Pozn. CIJ jsou preferenční intenzity ( CijN jsou relativní preferenční intenzity vzhledem k jejich maximální hodnotě) viz Excel MCAKOSA
Hledání kompromisní varianty bodovací metodou Stanovení počtu bodů z příkladu Výběr počítače. Počet bodů Cena Paměť Procesor Pevný disk Multimédia (18 − 20 (0 − 128 (1000 − 1400 (0 − 40 (3 − 4 1 (16 − 18 (128 − 256 (1400 − 1800 ( 40 − 80 (2 − 3 2 (14 − 16 ( 256 − 512 (1800 − 2000 (80 − 120 (1 − 2 3 (10 − 14 (512 − 1024 ( 2000 − 2200 (120 − 160 (0 − 1 4 Počet bodů pro každou variantu z hlediska každého kritéria K1 K2 K3 K4 K5 Součet bodů PC1 3 2 2 2 2 11 PC2 1 3 3 3 4 14 PC3 2 2 4 2 6 13 PC4 4 2 1 1 1 9 Pokud by nebylo přihlíženo k váhám kritérií, pořadí variant by bylo následující: PC 2 f PC 3 f PC1 f PC 4
Pokud budou brány v úvahu váhy zjištěné např.bodovací metodou v1 = 0,05, v2 = 0,15, v3 = 0,4, v4 = 0,3, v5 = 0,1 (viz přednáška 6), výsledky budou
PC 2 f PC 3 f PC1 f PC 4 .
Hledání kompromisní varianty metodou PRIAM - vyhovují všechna PC Zpřísnit požadavek na K3, požadujeme alespoň 1800 z (1) (20000,256,1800,40,4) - nevyhovuje PC4 Zpřísnit požadavek na K4, požadujeme alespoň 120 z ( 2) = (20000,256,120,4) - vyhovuje pouze PC2 Z ( 0) = (20000,256,1200,40,4)
Hledání kompromisní varianty lexikografickou metodou Nejdůležitější je kritérium K3 (stanovení vah bodovací metodou) a podle tohoto kritéria nejsou žádné dvě varianty stejné. Z tohoto důvodu se vybere PC 3, které má hodnotu tohoto kritéria ze všech variant nejlepší.
Metody vyžadující kardinální informaci Tento typ metod vyžaduje zadání kardinální informace o kritériích v podobě vah a o variantách v podobě kriteriální matice s kardinálními hodnotami. Existují tři základní přístupy k vyhodnocení variant: a) maximalizace užitku b) minimalizace vzdálenosti od ideální varianty c) preferenční relace Metody založené na výpočtu hodnot funkce užitku
Při vícekriteriálním hodnocení variant můžeme každé hodnotě kritéria Kj přiřadit její užitek, tedy můžeme vytvořit dílčí užitkovou funkci uj, která pro variantu Ai nabývá hodnoty u ij = f ( y ij ); i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n . Definičním oborem této funkce je interval mezi nejlepší a nejhorší hodnotou příslušného kritéria. Oborem funkčních hodnot je interval 0;1 . Lineární funkce užitku Lineární funkce užitku předpokládá proporcionální zvyšování užitku se zlepšováním kriteriálních hodnot. Progresivní funkce užitku Vztah mezi kriteriálními hodnotami a užitkem je neproporcionální. Zpočátku vyvolá zvýšení hodnoty kritéria relativně malý přírůstek hodnoty dílčí funkce užitku na jednotku změny. Tempo růstu se při zlepšování hodnoty kritéria zvyšuje. Degresivní funkce užitku Vyjadřuje neproporcionální vztah mezi kriteriálními hodnotami a jejich užitkem. Zpočátku vyvolá zvýšení hodnoty kritéria relativně velký přírůstek hodnoty dílčí funkce užitku na jednotku změny. Tempo růstu se při zlepšování hodnoty kritéria postupně snižuje.
Metoda váženého součtu Tato metoda je vhodná především pro kvantitativní kritéria. Předpokládá lineární závislost užitku na hodnotách kritéria, přičemž nejhorší hodnotě j-tého kritéria (budeme značit d j ) přiřadíme hodnotu 0 a nejlepší hodnotě (budeme značit h j ) užitek 1. Pro dílčí užitek u ij hodnoty y ij platí u ij =
y ij − d j
; i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n . hj − d j Pro jednotlivé varianty vypočteme agregovanou funkci užitku podle vztahu n
u (ai ) = ∑ v j u ij . j =1
Varianty pak seřadíme podle hodnot u (a i ) .
Metoda bazické varianty Za bazickou variantu je považována varianta, která dosahuje nejlepších či předem stanovených hodnot z hlediska všech kritérií. Vytvoření užitkové funkce s využitím bazické varianty spočívá v porovnávání hodnot důsledků jednotlivých variant s odpovídajícími hodnotami v bazické variantě. Označíme-li y (bj ) hodnotu j-tého kritéria v bazické variantě, pro užitek kritéria výnosového typu při volbě i-té varianty platí
u ij =
yij y (bj )
a u kritéria nákladového typu je dílčí užitek dán vztahem y (jb ) u ij = . y ij
Pro jednotlivé varianty opět spočítáme agregované funkce užitku a podle jejich hodnot varianty seřadíme.
Metoda AHP Metoda AHP (Analytic Hierarchy Process) byla navržena prof. Saatym v roce 1980. Při řešení rozhodovacích problémů je třeba brát v úvahu všechny prvky, které ovlivňují výsledek analýzy, vazby mezi nimi a intenzitu, s jakou na sebe vzájemně působí. Rozhodovací problém lze znázornit jako hierarchickou strukturu. Je to lineární struktura obsahující s-úrovní, přičemž každá z těchto úrovní zahrnuje několik prvků. Uspořádání jednotlivých úrovní je vždy od obecného ke konkrétnímu. Pro obecnou úlohu vícekriteriálního hodnocení variant může být hierarchie následující: 1. úroveň – cíl vyjednávání 2. úroveň – experti, kteří se na hodnocení podílí 3. úroveň – kritéria vyhodnocování 4. úroveň – posuzované varianty Cíl analýzy
Úroveň 1
Expert 1
Expert 2
...
Expert h
Úroveň 2
Kritérium 1
Kritérium 2
...
Kritérium n
Úroveň 3
Varianta 1
Varianta 2
...
Varianta m
Úroveň 4
Obdobným způsobem, jako mezi kritérii při určování vah kritérií Saatyho metodou, lze určit vztahy mezi všemi komponentami na každé úrovni hierarchie. Pokud máme čtyřúrovňovou hierarchii, tzn. jeden cíl, h expertů, n kritérií a m variant, bude na druhé úrovni hierarchie jedna matice párového srovnávání o rozměrech h × h . Na třetí úrovni bude h matic o rozměrech n × n a na čtvrté úrovni n matic o rozměrech m × m . Pomocí propočtů (viz Saatyho metoda pro výpočet vah kritérií) v těchto maticích si varianty „rozdělují“ hodnotu váhy příslušného kritéria (kritéria si pak „rozdělují“ váhy příslušného experta). Hodnoty, které získáme se nazývají preferenční indexy variant z hlediska všech kritérií. Pokud tedy sečteme tyto preferenční indexy z hlediska všech kritérií, získáme hodnocení varianty z pohledu všech expertů a z hlediska všech kritérií.
Výběr kompromisní varianty metodou váženého součtu K1 PC1 PC2 PC3 PC4
K2
15000 20000 18000 13000
K3
256 512 256 256
K4
1800 2000 2200 1200
K5
80 120 80 40
3 1 2 4
váhy
min max max max min 0.040351 0.175917 0.426741 0.276543 0.080448
dj hj-dj
20000 -7000
256 256
1200 1000
40 80
4 -3 n
u (ai ) = ∑ v j u ij j =1
u(PC1) u(PC2) u(PC3) u(PC4)
0.714286 0 0.285714 1
0 1 0 0
0.6 0.8 1 0
0.5 0.333333 0.449954 1 1 0.874301 0.5 0.666667 0.630173 0 0 0.040351
Počítače lze seřadit tímto způsobem: PC 2 f PC 3 f PC1 f PC 4 .
Výběr počítače metodou bázické varianty Podle výše uvedených vztahů se opět vypočítá matice užitku: u(PC1) u(PC2) u(PC3) u(PC4) váhy
K1 K2 0.866667 0.5 0.65 1 0.722222 0.5 1 0.5 0.040351 0.175917
K3 0.818182 0.909091 1 0.545455 0.426741
K4 K5 u(PC) 0.666667 0.333333 0.683259 1 1 0.947083 0.666667 0.5 0.768428 0.333333 0.25 0.47337 0.276543 0.080448
pořadí PC2 PC3 PC1 PC4
Pořadí je opět: PC 2 f PC 3 f PC1 f PC 4 .
Pořadí stanovené metodou AHP (jeden expert) Stanovení vah Saatyho metodou K1 K2 K3 K4 K5
K1 1.00 5.00 7.00 6.00 3.00
K2 0.20 1.00 3.00 2.00 0.33
K3 0.14 0.33 1.00 0.50 0.20
K4 0.17 0.50 2.00 1.00 0.25
K5 0.33 3.00 5.00 4.00 1.00
GM WGM (váhy) 0.275507 0.040351 1.201124 0.175917 2.913693 0.426741 1.888175 0.276543 0.54928 0.080448 6.82778 1
Hodnocení variant podle všech kritérií Saatyho matice pro kritérium cena Cena 1 2 3 4
1 1 0.2 0.333333 3
2 5 1 3 7
3 4 GM WGM váhy 3 0.333333 1.495349 0.263378 0.010535 0.333333 0.142857 0.312394 0.055022 0.002201 1 0.2 0.66874 0.117786 0.004711 5 1 3.201086 0.563813 0.022553 5.677569 1 0.04
Graf rozdělení váhy tohoto kritéria
agreg.užitek 0.947083 0.768428 0.683259 0.47337
1 26% 1 2 4 56%
2 6%
3 4
3 12%
Saatyho matice pro kritérium paměť Paměť 1 2 3 4
1 1 3 1 1
2 0.333333 1 0.333333 0.333333
3 1 3 1 1
4 1 3 1 1
GM WGM váhy 0.759836 0.166667 0.028333 2.279507 0.5 0.085 0.759836 0.166667 0.028333 0.759836 0.166667 0.028333 4.559014 1 0.17
Graf rozdělení váhy tohoto kritéria
4 17%
1 17% 1 2
3 17%
3 4 2 49%
Saatyho matice pro kritérium procesor Procesor 1 2 3 1 1 0.333333 0.2 2 3 1 0.333333 3 5 3 1 4 0.333333 0.2 0.142857
Graf rozdělení váhy tohoto kritéria
4 3 5 7 1
GM 0.66874 1.495349 3.201086 0.312394 5.677569
WGM 0.117786 0.263378 0.563813 0.055022 1
váhy 0.050648 0.113253 0.242439 0.02366 0.43
4 6%
1 12% 1 2 26%
2 3 4
3 56%
Saatyho matice pro kritérium pevný disk Pevný disk 1 2 3 1 1 0.333333 1 2 3 1 3 3 1 0.333333 1 4 0.333333 0.2 0.333333
4 3 5 3 1
GM 1 2.59002 1 0.386097 4.976117
WGM 0.20096 0.52049 0.20096 0.07759 1
váhy 0.056269 0.145737 0.056269 0.021725 0.28
Graf rozdělení váhy tohoto kritéria 4 8%
1 20%
3 20%
1 2 3 4 2 52%
Saatyho matice pro kritérium multimédia Multimédia 1 2 3 1 1 0.2 0.333333 2 5 1 3 3 3 0.333333 1 4 0.333333 0.142857 0.2
4 3 7 5 1
GM 0.66874 3.201086 1.495349 0.312394 5.677569
WGM 0.117786 0.563813 0.263378 0.055022 1
váhy 0.009423 0.045105 0.02107 0.004402 0.08
Graf rozdělení váhy tohoto kritéria 4 6%
1 12%
3 26%
1 2 3 4 2 56%
Pořadí variant podle metody AHP PC1 PC2 PC3 PC4
Součet vah Pořadí 0.155208 3 0.391296 1 0.352823 2 0.100673 4
U všech matic byla ověřena konzistence v programu MAPLE.
Metody založené na minimalizaci vzdálenosti od ideálního řešení Tyto metody posuzují varianty z hlediska jejich vzdálenosti od fiktivní (ideální nebo bazální) varianty. Vyžaduje kardinální hodnocení variant podle jednotlivých kritérií a váhy těchto kritérií. Ke stanovení vzdálenosti od fiktivní varianty lze použít různých metrik, např. di =
n
∑v j =1
j
( y ij − y (j f ) ) 2 ,
n
d i = ∑ v j y ij − y (j f ) , j =1
d i = max v j y ij − y (j f ) , 1≤ j ≤ r
kde pro i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n ; d i je vzdálenost i-té varianty od fiktivní varianty v j je váha j-tého kritéria
y (j f ) je hodnota j-tého kritéria pro fiktivní variantu Aby se v uvedených výrazech vyloučil vliv různých měrných jednotek, místo absolutních odchylek lze použít relativní odchylky.
Metoda TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) Metoda TOPSIS je založena na výběru varianty, která je nejblíže k ideální variantě a nejdále od bazální varianty. Předpokládá se maximalizační charakter všech kritérií. Nejprve je nutno vytvořit normalizovanou kriteriální matici R = ( rij ) , kde pro i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n; y ij . rij = m
∑y i =1
2 ij
Sloupce v matici R představují vektory jednotkové délky. Dále se převede kriteriální matice R na normalizovanou kriteriální matici Z = ( z ij ) tak, že každý sloupec matice R vynásobíme vahou odpovídajícího kritéria podle vztahu z ij = v j rij . Pomocí prvků matice Z se vytvoří ideální varianta (h1 , h2 ,..., hn ) a bazální varianta (d1 , d 2 ,..., d n ) , kde h j = max z ij ; j = 1,2,..., n i
d j = min z ij ; j = 1,2,..., n. i
Vzdálenost od ideální varianty se počítá podle vztahu d i+ =
n
∑ (z
ij
− h j ) 2 ; i = 1,2,..., m
ij
− d j ) 2 ; i = 1,2,..., m .
j =1
a od bazální varianty d i− =
n
∑ (z j =1
Relativní ukazatel vzdálenosti variant od bazální varianty se vypočte podle vztahu d i− ci = + ; i = 1,2,..., m . d i + d i− Varianty jsou uspořádány podle nerostoucích hodnot ci.
Metody založené na vyhodnocení preferenční relace Metoda ELECTRE I. Cílem této metody je rozdělit množinu variant na dvě indiferenční třídy, na efektivní a neefektivní varianty. Předpokladem pro využití této metody je znalost kriteriální matice, vektoru normalizovaných vah a stanovení dvou prahových hodnot – prahu preference a prahu dispreference. Ohodnocení varianty ai podle kritéria h označíme symbolem yih (i = 1,2,..., m; h = 1,2,..., n). Pro každou dvojici variant a i , a j (i, j = 1,2,..., m) pak určíme množinu
{
}
C ij = h y ih ≥ y jh , h = 1,2,..., n ; i, j = 1,2,..., m ,
která obsahuje indexy kritérií, z jejichž hlediska je varianta ai hodnocena alespoň tak dobře jako varianta aj. Množina
{
}
Dij = h y ih < y jh , h = 1,2,..., n ; i, j = 1,2,..., m ,
obsahuje indexy zbývajících kritérií, tj. kritérií, ve kterých je varianta ai horší než varianta aj. Na základě normalizovaného vektoru vah v a množiny Cij pro každou dvojici variant a i , a j (i, j = 1,2,..., m) určíme číslo cij představující součet vah těchto kritérií, z jejichž hlediska je varianta ai hodnocena alespoň tak dobře jako varianta aj: cij = ∑ v h ; i, j = 1,2,..., m , pokud Cij není prázdná množina a h∈Cij
cij = 0 , pokud Cij je prázdná množina.
Hodnota cij představuje stupeň preference varianty ai před variantou aj. a platí cij ∈ 0;1 . Dále se pro každou dvojici variant a i , a j (i, j = 1,2,..., m) vypočte hodnota dij , která se označuje jako stupeň dispreference mezi těmito variantami: d ij = 0 , pokud Dij je prázdná množina, d ij =
max ( z ih − z jh ) h∈Dij
max ( z ih − z jh )
; i, j = 1,2,..., m , pokud Dij není prázdná množina.
h
Pro čísla dij platí d ij ∈ 0;1 . Pro určení celkové preference P mezi dvojicí variant musí rozhodovatel zadat práh preference c * a práh dispreference d * . Platí, že varianta ai je preferována před variantou aj tehdy, když cij ≥ c * ∧ d ij ≤ d * . Tyto párové preference můžeme zapsat do matice P = ( p ij ) . Pokud a i P a j , pak pij = 1 , jinak p ij = 0 (pro i, j = 1,2,..., m) .
Za efektivní jsou považovány takové varianty, ke kterým vzhledem k celkové preferenční relaci neexistuje žádná preferující varianta a samy jsou preferovány alespoň před jednou variantou. Množina efektivních variant E a neefektivních variant N jsou definovány na základě hodnot v matici P jako E = {ai p ji = 0 pro všechna j, pih = 1 pro alespoň jedno h},
N = A− E, kde A je množina všech variant. Výsledek závisí na stanovených hodnotách prahů preference a dispreference. Jejich stanovení není jednoduché, někdy se doporučuje vyjít z hodnot, které jsou průměrnými hodnotami prvků v množině C a D. Postupnými změnami hodnot prahových hodnot je možno dospět k jednoprvkové množině efektivních variant a vyřešit úlohy, jejichž cílem je najít jednu kompromisní variantu.
Hodnocení variant metodou TOPSIS K1 PC1 PC2 PC3 PC4
K2 5000 0 2000 7000
max váhy
K3 256 512 256 256
max 0,05
K4 1800 2000 2200 1200
max 0,15
K5 80 120 80 40
max 0,4
1 3 2 0 max
0,3
0,1
suma yij^2 78000000 458752 13520000 28800 14 odmoc. 8831,76087 677,3123 3676,955 169,7056 3,741657 R=(rij)
0,56613852 0 0,22645541 0,79259392
0,377964 0,755929 0,377964 0,377964
0,489535 0,543928 0,598321 0,326357
0,471405 0,267261 0,707107 0,801784 0,471405 0,534522 0,235702 0
Z=(zij)
0,02830693 0 0,01132277 0,0396297
0,056695 0,113389 0,056695 0,056695
0,195814 0,217571 0,239328 0,130543
0,141421 0,026726 0,212132 0,080178 0,141421 0,053452 0,070711 0
hj
0,0396297 0,113389 0,239328 0,212132 0,080178 0 0,056695 0,130543 0,070711
dj d i+
0,01309312 0,114425 0,00204389 0,045209 0,00972985 0,09864 0,04147718 0,203659
d i-
0,01077592 0,103807 0,03721682 0,192917 0,01981967 0,140782 0,00157051 0,03963
P 2 f P3 f P1 f P 4
ci
0 0,475673 0,810145 0,588008 0,162891
