VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014
1 1.1
Volné a vázané vektory v rovině a prostoru Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost bodů
Trojici přímek x , y , z v prostoru, které jsou k sobě po dvou navzájem kolmé a procházejí společným bodem O , nazýváme kartézskou soustavou souřadnic a označujeme ji Oxyz. Bod O se nazývá počátek, přímky x , y , z se nazývají souřadnicové osy. Na všech osách zvolíme stejnou jednotku délky a číslo nula umístíme do bodu O . Kladné poloosy zvolíme tak, aby tvořily pravotočivý systém. Nechť je dána kartézská soustava souřadnic Oxyz a libovolný bod A v prostoru. Kolmé průměty tohoto bodu na osy x, y, z (v tomto pořadí ) nám určí čísla a1 , a2 , a3 , která udávají vzdálenosti na osách od počátku. Tato čísla nazýváme (kartézské) souřadnice bodu A a zapisujeme je jako trojici [a1 , a2 , a3 ]. Píšeme rovněž A = [a1 , a2 , a3 ]. Tento zápis se běžně používá, i když není přesný (A je bod, tj. geometrický objekt, takže se nerovná trojici čísel), je třeba ho chápat tak, že bodu A přísluší souřadnice [a1 , a2 , a3 ]. Pro vzdálenost dvou bodů A = [a1 , a2 , a3 ] a B = [b1 , b2 , b3 ] v prostoru platí vzorec p d(A, B) = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 . Obdobně lze postupovat v rovině resp. na přímce, souřadnice bodů však budou dvojice čísel resp. jedno číslo. Také další pojmy, které budou vysvětleny níže, lze budovat zcela analogicky i v rovině a na přímce, my se však omezíme na (trojrozměrný) prostor.
1.2
Volné a vázané vektory v prostoru
−→ Vektor je standardně chápán jako orientovaná úsečka AB , která má počáteční bod A a koncový bod B . Takto zavedené vektory využíváme především ve fyzice při popisu fyzikálních veličin, u kterých je třeba určit nejenom velikost, ale i směr a orientaci. Takové veličiny se nazývají vektorové. −→ Předpokládejme nejprve, že body A a B jsou různé. Velikostí orientované úsečky AB rozumíme vzdálenost bodů A, B . Směrem rozumíme přímku, někdy jí říkáme nositelka, která je body A a B určená. Říkáme, že dva vektory mají stejný směr, jestliže jsou jejich nositelky rovnoběžné. Orientace je určena tím, že bod A prohlásíme za počáteční a bod B za koncový bod. U vektorů majících stejný směr, má smysl mluvit o souhlasné a opačné orientaci. Jestliže počáteční bod A splývá s koncovým bodem B , má tento vektor velikost nula, avšak ani směr ani orientaci mu nepřiřazujeme. Takto zavedené vektory budeme nazývat vázané vektory (vektory vázané k danému počátečnímu a koncovému bodu). Pro naše účely však budeme uvažovat kromě těchto vektorů ještě vektory, které nejsou vázány k žádné konkrétní dvojici bodů. Takovéto vektory budeme označovat jako volné vektory a budeme je obvykle značit malými tučnými skloněnými písmeny. −→ −→ Dvě orientované úsečky AB a CD určují týž volný vektor u, pokud lze jednu z druhé obdržet (rovnoběžným) posunutím; přitom počáteční bod přejde v počáteční a koncový v koncový. To lze (u úseček nenulové délky), právě když mají stejnou velikost, stejný směr a stejnou orientaci. V případě úseček nenulové délky budeme volný vektor u tedy chápat jako množinu všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, stejný směr a stejnou orientaci. Všechny úsečky nulové délky budou tvořit tzv. nulový vektor, který označujeme o. 2
−→ −→ Jestliže vázaný vektor AB určuje volný vektor u, platí AB ∈ u. Říkáme, že vázaný vektor −→ AB je umístěním volného vektoru u. Je zřejmé, že k tomu, abychom znali volný vektor u, stačí −→ znát jedno jeho umístění. Proto používáme i zápis AB = u. 1.2.1
Souřadnice vektoru, velikost vektoru
−→ Je-li volný vektor u určen orientovanou úsečkou AB , kde A = [a1 , a2 , a3 ] a B = [b1 , b2 , b3 ], lze ověřit, že rozdíly u1 = b1 −a1 , u2 = b2 −a2 , u3 = b3 −a3 , nezávisí na volbě konkrétního −→ umístění AB ∈ u. Trojici čísel (u1 , u2 , u3 ) nazýváme souřadnice volného vektoru u, a píšeme u = (u1 , u2 , u3 ). Tento zápis opět není přesný, množina orientovaných úseček není rovna trojici čísel, zápis je třeba chápat tak, že volnému vektoru u přísluší souřadnice (u1 , u2 , u3 ). −→ Používáme rovněž zápis AB = B − A = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ). Opět nejde o nějaké odčítání bodů, ale o rozdíl trojic, které jsou souřadnicemi bodů A a B . Velikostí neboli normou volného vektoru u rozumíme velikost libovolného zástupce z množiny všech orientovaných úseček. Označujeme ji kuk. Pro velikost volného vektoru u = = (u1 , u2 , u3 ) platí: p kuk =
u21 + u22 + u23 .
Je-li kuk = 1, pak se vektor u nazývá jednotkový vektor. 1.2.2
Součet vektorů
Operaci sečítání zavádíme pro volné vektory. Součtem vektorů u a v je opět volný vektor w = u + v . Vektor w určíme následovně: −→ 1. Zvolíme libovolné umístění AB vektoru u. −→ 2. Zvolíme umístění vektoru v , které má za počáteční bod B , tj. BC , kde C je vhodný bod. −→ 3. Vázaný vektor AC je umístěním volného vektoru w . −→ Lze ověřit, že výsledný volný vektor w nezávisí na volbě umístění AB . Pro souřadnice součtu volných vektorů u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ) platí
u + v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ). 1.2.3
Násobení vektoru číslem
Operaci násobení číslem zavádíme pro volné vektory. Násobek volného vektoru u reálným číslem k je opět volný vektor v = ku. Vektor v určíme následovně: 1. Je-li u nulový vektor, je pro libovolné k výsledkem zase nulový vektor, tj. ko = o. 2. Je-li k = 0, je pro libovolný vektor u výsledkem nulový vektor, tj. 0u = o. −→ 3. Je-li u nenulový vektor, zvolíme jeho libovolné umístění AB . Vektor v bude určen vázaným −→ vektorem AC , který určíme takto: −→ −→ a) Bude platit kAC k = |k| · kAB k. −→ −→ b) Pro k > 0 budou AB a AC souhlasně orientované. −→ −→ c) Pro k < 0 budou AB a AC nesouhlasně orientované. −→ Lze ověřit, že výsledný volný vektor v nezávisí na volbě umístění AB . 3
Pro souřadnice násobku volného vektoru u = (u1 , u2 , u3 ) číslem k platí
ku = (ku1 , ku2 , ku3 ). Vektor (−1)u se značí −u a nazývá se vektor opačný k vektoru u. Rozdíl vektorů u a v pak definujeme jako součet vektoru u a vektoru opačného k v , tj. u − v = u + (−v). 1.2.4
Kolineární a komplanární vektory
−→ −→ Nechť u a v jsou dva volné vektory. Zvolme jejich umístění AB = u a AC = v , která začínají −→ −→ ve stejném bodě A. Vektory u, v se nazývají kolineární, jestliže jejich umístění AB a AC leží na téže přímce. V opačném případě se nazývají nekolineární. Jestliže dva nenulové vektory jsou kolineární a mají stejnou orientaci, tj. jeden je kladným násobkem druhého, nazývají se souhlasně kolineární, v opačném případě, tj. když jeden je záporným násobkem druhého, se nazývají nesouhlasně kolineární. −→ −→ −→ Nechť u, v a w jsou tři volné vektory. Zvolme jejich umístění AB = u, AC = v , AD = w , která začínají ve stejném bodě A. Vektory u, v a w se nazývají komplanární, jestliže jejich −→ −→ −→ umístění AB , AC a AD leží v jedné rovině. V opačném případě se nazývají nekomplanární. O normě vektoru lze dokázat, že má následující vlastnosti: 1. kuk = 0, přičemž kuk = 0 právě tehdy, když u je nulový vektor. 2. kkuk = |k| · kuk pro libovolný volný vektor u a libovolné číslo k . 3. ku + vk 5 kuk + kvk pro libovolné volné vektory u a v . Tato vlastnost se nazývá trojúhelníková nerovnost. Rovnost nastane v této nerovnosti právě tehdy, když jeden z vektorů je nezáporným násobkem druhého. Tedy buď jsou vektory nenulové a souhlasně kolineární, nebo je aspoň jeden z nich nulový.
2
Vektorové prostory V 1 , V 2 a V 3
2.1
Pojem vektorového prostoru
Množinu všech volných vektorů v prostoru budeme značit symbolem V3 . Obdobně značíme V2 volné vektory v rovině a V1 volné vektory na přímce. O množině volných vektorů V3 a operacích sčítání a násobení číslem lze dokázat, že pro libovolné vektory u, v, w ∈ V3 a libovolná čísla k, l ∈ R platí: 1) u + v = v + u (komutativní zákon), 2) u + (v + w) = (u + v) + w 3) u + o = o + u = u
(asociativní zákon),
(existence nulového vektoru),
4) u + (−u) = −u + u = o
(existence opačného vektoru),
5) k(lu) = (k · l)u, 6) k(u + v) = ku + kv
(distributivní zákon),
7) (k + l)u = ku + lu (distributivní zákon), 8) 1 · u = u. 4
Přitom: i) Nulový vektor o je jediný vektor v takový, že pro něj platí u + v = v + u = u pro každý vektor u. ii) Pro libovolný vektor u je vektor −u jediný vektor v , pro nějž platí u + v = v + u = o. iii) Pro libovolný vektor u platí 0u = o. Říkáme, že množina V3 s operacemi sčítání a násobení čísly tvoří vektorový prostor. Tytéž vlastnosti mají i operace na V2 a V1 a také tyto množiny s příslušnými operacemi nazýváme vektorové prostory. Později se seznámíme s dalšími příklady vektorových prostorů.
2.2
Lineární kombinace vektorů
Předpokládejme, že je dáno n volných vektorů u1 , u2 , . . . , un ∈ V3 , kde n = 1 je přirozené číslo, a stejný počet reálných čísel α1 , α2 , . . . , αn ∈ R. Pak vektor
u = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un nazýváme lineární kombinace vektorů u1 , . . . , un s koeficienty α1 , . . . , αn . Příklad 2.1 Vektor u = (−5, 2, 0) zapište jako lineární kombinaci vektorů u1 = (1, −1, 3), u2 = (2, 0, 4) a u3 = (−2, 3, 5). Řešení. Hledáme čísla α1 , α2 , α3 tak, aby bylo splněno
u = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 . Pro souřadnice daných vektorů má tedy platit
(−5, 2, 0) = α1 (1, −1, 3) + α2 (2, 0, 4) + α3 (−2, 3, 5), takže po úpravě dostaneme (se souřadnicemi zacházíme jako s řádkovými maticemi)
(−5, 2, 0) = (α1 + 2α2 − 2α3 , −α1 + 3α3 , 3α1 + 4α2 + 5α3 ). Porovnáním složek trojic na pravé a levé straně předchozí rovnosti získáme následující systém lineárních rovnic: α1 + 2α2 − 2α3 = −5, −α1 + 3α3 = 2, (1) 3α1 + 4α2 + 5α3 = 0. Řešení nalezneme pomocí Gaussovy eliminační metody. Všimněte si, že souřadnice daných vektorů zapsané do sloupců tvoří sloupce rozšířené matice soustavy systému (1). Matici soustavy nejprve upravíme na schodovitý tvar. 1 2 −2 −5 1 2 −2 −5 −1 0 3 2 ∼ 0 2 1 −3 (2) + (1) ∼ 3 4 5 0 −2 11 15 (3) − 3(1) 0 1 2 −2 −5 ∼ 0 2 1 −3 0 0 12 12 (3) + (2) 5
Z posledního řádku obdržíme
12α3 = 12
⇒
α3 = 1.
Postupně najdeme i α2 a α1 .
2α2 + α3 = −3 α1 + 2α2 − 2α3 = −5
⇒ ⇒
2α2 + 1 = −3 α1 − 6 = −5
⇒ ⇒
α2 = −2, α1 = 1.
Tedy u = u1 −2u2 +u3 . Toto vyjádření je jediné, protože soustava (1) měla jediné řešení. N Vektory z V3 , které mají (kartézské) souřadnice (1, 0, 0), (0, 1, 0) a (0, 0, 1), značíme po řadě i, j a k . Tedy
i = (1, 0, 0),
j = (0, 1, 0),
k = (0, 0, 1).
Libovolný vektor u ∈ V3 , jehož souřadnice jsou (u1 , u2 , u3 ), pak můžeme zapsat jako lineární kombinaci u = u1 i + u2 j + u3 k. Vektory i, j a k jsou jednotkové. Jejich umístění do počátku O leží na kladných souřadnicových poloosách x , y a z.
2.3
Lineární závislost vektorů
Pro danou n-tici vektorů u1 , u2 , . . . , un ∈ V3 , n = 1, uvažujme rovnici
α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un = o
(2)
s neznámými α1 , α2 , . . . , αn ∈ R. Tato rovnice má vždy tzv. triviální řešení α1 = α2 = · · · = αn = 0. Pokud rovnice (2) jiné než triviální řešení nemá, nazývají se vektory u1 , u2 , . . . , un lineárně nezávislé. Má-li tato rovnice i jiné řešení, tj. takové, že aspoň jeden z koeficientů αi 6 = 0, nazývají se vektory lineárně závislé. Obdobně definujeme lineární nezávislost a závislost v prostorech V2 a V1 . Poznámka 2.2 Nechť V značí kterýkoli z vektorových prostorů V1 , V2 nebo V3 . 1. Je-li alespoň jeden z vektorů u1 , u2 , . . . , un ∈ V nulový, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. 2. Je-li některý z vektorů u1 , u2 , . . . , un ∈ V násobkem jiného z těchto vektorů, pak jsou tyto vektory lineárně závislé. To nastane zejména, když jsou dva vektory stejné. 3. Obecně platí, že vektory u1 , u2 , . . . , un ∈ V jsou lineárně závislé právě tehdy, když některý z nich je lineární kombinací ostatních vektorů. Podíváme se, jak velký počet vektorů ve V1 , V2 nebo V3 může být lineárně nezávislý a kdy tomu tak bude. 1) Jeden vektor u ∈ V1 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva a více vektorů jsou ve V1 vždy lineárně závislé. 6
2) Jeden vektor u ∈ V2 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva vektory u, v ∈ V2 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekolineární. Tři a více vektorů jsou ve V2 vždy lineárně závislé. 3) Jeden vektor u ∈ V3 je lineárně nezávislý, právě když je nenulový. Dva vektory u, v ∈ V3 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekolineární. Tři vektory u, v, w ∈ V3 jsou lineárně nezávislé, právě když jsou nekomplanární. Čtyři a více vektorů jsou ve V3 vždy lineárně závislé. Příklad 2.3 Rozhodněte, zda jsou vektory u = (1, −1, 2), v = (2, 3, 1) a w = (4, −2, 2) z vektorového prostoru V3 lineárně nezávislé nebo ne. Řešení. Máme rozhodnout, zda lineární kombinace zadaných vektorů je rovna nulovému vektoru pouze v případě, že všechny koeficienty jsou nulové, nebo ne. Tedy v našem případě, zda α1 u + α2 v + α3 w = o pouze pro α1 = α2 = α3 = 0 nebo ne. Do rovnice dosadíme souřadnice vektorů. Všimněte si, že ve V3 platí o = (0, 0, 0).
α1 (1, −1, 2) + α2 (2, 3, 1) + α3 (4, −2, 2) = (0, 0, 0). Porovnáním složek vektorů z levé a pravé strany předchozí rovnice dostaneme homogenní soustavu rovnic. α1 + 2α2 + 4α3 = 0, −α1 + 3α3 − 2α3 = 0, 2α1 + α2 + 2α3 = 0. Soustavu vyřešíme pomocí Gaussovy eliminační metody. Nejprve matici soustavy převedeme na schodovitý tvar. 1 2 4 0 1 2 4 0 1 2 4 0 −1 3 −2 0 ∼ 0 5 2 0 (2) + (1) ∼ 0 1 2 0 − 1 (3) ∼ 3 2 1 2 0 0 −3 −6 0 (3) − 2(1) 0 5 2 0 (2) 1 2 4 0 ∼ 0 1 2 0 0 0 −8 0 (3) − 5(2) Zpětným dosazením obdržíme, že řešením jsou čísla α1 = α2 = α3 = 0. Tedy vektory u, v a w jsou lineárně nezávislé. N
2.4
Báze a dimenze vektorového prostoru
Nechť V značí kterýkoli z vektorových prostorů V1 , V2 nebo V3 . Bází vektorového prostoru V nazveme takové vektory e1 , e2 , . . . , en ∈ V, pro které platí: 1) Jsou lineárně nezávislé. 2) Každý vektor u ∈ V lze napsat jako jejich lineární kombinaci, tj.
u = α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en pro vhodná čísla α1 , α2 , . . . , αn . Říkáme, že vektory e1 , e2 , . . . , en mající tuto vlastnost tvoří systém generátorů V. 7
Lze ukázat, že následující vlastnosti jsou ekvivalentní:
• e1 , e2 , . . . , en ∈ V je báze. • e1 , e2 , . . . , en ∈ V je maximální (co do počtu) lineárně nezávislá množina vektorů. • e1 , e2 , . . . , en ∈ V je minimální (co do počtu) systém generátorů. Číslo n, tedy počet prvků báze, nazýváme dimenze neboli rozměr vektorového prostoru V a značíme dim V. Z předchozího výkladu vyplývají následující důležité vlastnosti: 1) dim V1 = 1 a bází je libovolný nenulový vektor. 2) dim V2 = 2 a bází je libovolná dvojice nekolineárních vektorů. 3) dim V3 = 3 a bází je libovolná trojice nekomplanárních vektorů. Libovolný z prostorů V1 , V2 a V3 má tedy nekonečně mnoho bází, které obsahují vždy stejný počet vektorů. Jednou z bází ve V3 je např. trojice i, j a k .
2.5
Souřadnice vektoru vzhledem k bázi
Nechť e1 , e2 , . . . , en je báze ve V. Bázi budeme chápat jako uspořádanou n-tici vektorů a budeme ji značit E = he1 , e2 , . . . , en i. Podle definice báze víme, že každý vektor u ∈ V lze vyjádřit ve tvaru
u = α 1 e1 + α 2 e2 + · · · + α n en . Je snadné ověřit, že díky lineární nezávislosti vektorů tvořících bázi jsou koeficienty v předchozí lineární kombinaci určeny jednoznačně. Koeficienty α1 , α2 , . . . , αn se nazývají souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E = he1 , e2 , . . . , en i, což zapisujeme u = (α1 , . . . , αn )E . Souřadnice vektoru tudíž závisí na volbě báze. Souřadnice vektorů ve V3 , které jsme zavedli v kapitole 1, jsou vlastně souřadnice vzhledem k bázi hi, j, ki. V dalším textu budeme pracovat právě s těmito souřadnicemi. Příklad 2.4 Ověřte, že vektory e1 = (2, 1, 0), e2 = (1, −1, 1), e3 = (1, 2, 3) tvoří bázi ve vektorovém prostoru V3 . Dále najděte souřadnice vektoru u = (3, 2, 1) vzhledem k této bázi. Řešení. Dimenze vektorového prostoru je dim V3 = 3. Stačí tedy ověřit, že vektory jsou lineárně nezávislé, tj. že rovnice α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 = o je splněna jen pro α1 = α2 = = α3 = 0. Obdobně jako v příkladu 2.3 dostaneme soustavu homogenních rovnic
2α1 + α2 + α3 = 0, α1 − α2 + 2α3 = 0, − α2 + 3α3 = 0. Použijeme Gaussovu eliminační metodu. Matici soustavy upravíme na schodovitý tvar: 2 1 1 0 1 −1 2 0 (2) 1 −1 2 0 1 −1 2 0 ∼ 0 3 −3 0 (1) − 2(2) ∼ 0 1 3 0 (3) 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 −12 0 (2) − 3(3) Zpětným dosazením dostaneme, že systém má jen triviální řešení α1 = α2 = α3 = 0. Vektory e1 , e2 , e3 tedy tvoří bázi prostoru V3 . Označme ji E , tj. E = he1 , e2 , e3 i. 8
Dále máme nalézt souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E . Hledáme konstanty β1 , β2 a β3 takové, aby platilo β1 e1 + β2 e2 + β3 e3 = u. Získáme pro ně nehomogenní soustavu rovnic
2β1 + β2 + β3 = 3, β1 − β2 + 2β3 = 2, − β2 + 3β3 = 1. Všimněte si, že matice soustavy je stejná jako u předchozí homogenní soustavy, která sloužila k ověření lineární nezávislosti. Soustavu budeme opět řešit Gaussovou eliminační metodou. Matici soustavy upravíme na schodovitý tvar:
2 1 1 1 −1 2 0 1 3
3 2 (2) 1 −1 2 2 ∼ 0 3 −3 −1 (1) − 2(2) ∼ 1 0 1 3 1 2 1 −1 2 3 1 (3) ∼0 1 0 0 −12 −4 (2) − 3(3)
Jejím řešením získáme
1 β3 = , 3 β2 + 3β3 = 1 ⇒ β2 = 0, 4 β1 − 2β2 + 2β3 = 2 ⇒ β1 = . 3 Souřadnice vektoru u vzhledem k bázi E jsou u = 43 , 0, 13 E . −12β3 = −4
3 3.1
⇒
N
Skalární, vektorový a smíšený součin vektorů Skalární součin vektorů
Nechť u, v ∈ V3 jsou dva nenulové volné vektory. Jejich úhel definujeme takto: Zvolme jejich −→ −→ umístění u = AB a v = AC , která začínají ve stejném bodě A. Označme ϕ úhel, jehož ramena −→ −→ jsou určena vázanými vektory AB a AC , pro nějž platí 0 5 ϕ 5 π. Tento úhel nezávisí na volbě konkrétních umístění volných vektorů u a v . Proto můžeme definovat ](u, v) = = ϕ . Zřejmě platí, že jsou-li u, v souhlasně kolineární, je ](u, v) = 0 a jsou-li nesouhlasně kolineární, je ](u, v) = π. Pokud je některý z vektorů u, v nulový, jejich úhel nedefinujeme. Jsou-li u, v dva nenulové vektory a ϕ úhel, který svírají, pak skalární součin vektorů u, v je číslo u · v = kuk · kvk · cos ϕ. Je-li některý z vektorů (nebo oba) u, v nulový, definujeme, že u · v = 0. 9
Algebraické vlastnosti skalárního součinu Pro skalární součin platí následující pravidla (u, v, w ∈ V3 jsou libovolné vektory a k ∈ R je libovolné číslo): 1) u · v = v · u (skalární součin je komutativní), 2) (u + v) · w = u · w + v · w (skalární součin je distributivní vzhledem k součtu vektorů), 3) k · (u · v) = (ku) · v , 4) u · u = 0, přičemž u · u = 0, právě když u = o. V pravé straně vztahu 2) není nutné dávat závorky, předpokládáme, že skalární součin má přednost před sčítáním resp. odčítáním (čísel). Aplikace skalárního součinu 1. Pro velikost libovolného vektoru u platí:
kuk =
√ u · u.
2. Pro každé dva nenulové vektory u, v platí:
u · v = 0, právě když u, v jsou k sobě kolmé (značíme u ⊥ v ). Protože o · v = 0 pro každý vektor v , považujeme nulový vektor za kolmý (v širším slova smyslu) ke každému vektoru. 3. Pro velikost úhlu ϕ nenulových vektorů u, v platí:
cos ϕ =
u·v , kuk · kvk
0 5 ϕ 5 π.
Skalární součin v kartézské soustavě souřadnic Protože vektory i, j a k jsou jednotkové a po dvou kolmé, platí:
i · i = j · j = k · k = 1,
i · j = j · i = i · k = k · i = j · k = k · j = 0.
Odtud a z vlastností skalárního součinu se snadno odvodí vyjádření skalárního součinu vektorů pomocí jejich kartézských souřadnic. Je-li u = (u1 , u2 , u3 ) = u1 i + u2 j + u3 k , v = (v1 , v2 , v3 ) = v1 i + v2 j + v3 k , platí:
u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . Poznámka 3.1 Zcela analogicky se definuje skalární součin volných vektorů z V1 a V2 a má tytéž vlastnosti. Nenulové vektory ve V1 mohou mít ovšem pouze úhly ϕ = 0 nebo ϕ = π. Jsou-li u = (u1 , u2 ) = u1 i + u2 j, v = (v1 , v2 ) = v1 i + v2 j volné vektory ve V2 , platí u · v = u1 v1 + u2 v2 . Jsou-li u = (u1 ) = u1 i, v = (v1 ) = v1 i volné vektory ve V1 , platí u · v = u1 v1 . 10
Řešené příklady Příklad 3.2 Vypočtěte skalární součin vektorů u, v , je-li dáno: kuk = 4, kvk = 3, ](u, v) = = ϕ = π6 . Řešení. Z definice skalárního součinu u · v = kuk · kvk · cos ϕ dostaneme:
√ √ π 3 u · v = 4 · 3 · cos = 12 = 6 3. 6 2
N
Příklad 3.3 Vypočtěte skalární součin vektorů u a v , je-li u = (−1, 3, 4) a v = (−1, −2, 3). Řešení. Vektory jsou zadány souřadnicemi, proto pro výpočet využijeme vztah u·v = u1 v1 + + u2 v2 + u3 v3 . Tedy
u · v = −1 · (−1) + 3 · (−2) + 4 · 3 = 7.
N
Příklad 3.4 V prostoru jsou dány body A = [1, 2, 3], B = [−1, −2, −2] a C = [0, 2, 1]. −→ −→ Určete úhel vektorů u = AB a v = AC .
−→ −−−→ Řešení. Souřadnice vektorů jsou AB = B−A = (−2, −4, −5), AC =C−A = (−1, 0, −2). u·v Úhel nenulových vektorů vypočteme ze vztahu cos ϕ = kuk·kvk . Tedy −2 · (−1) + (−4) · 0 + (−5) · (−2) p cos ϕ = p = (−2)2 + (−4)2 + (−5)2 · (−1)2 + 02 + (−2)2 12 12 4 √ = =√ = . 15 5 45 · 5 0 . . Pomocí kalkulačky dopočteme ϕ = arccos 45 = 36◦ 52 = 0,6435 rad.
N
Příklad 3.5 Určete číslo t ∈ R tak, aby vektory u = (t, 6, −4), v = (2, −t, 3) byly navzájem kolmé. Řešení. Aby vektory byly kolmé, musí být splněna podmínka u · v = 0. Tedy v našem případě
2t − 6t − 12 = 0,
tedy
t = −3. N
Vektory budou kolmé pro t = −3. Příklad 3.6 Ukažte, že vektory u = 2i − 5j + k , v = 3i + 2j + 4k jsou k sobě kolmé.
Řešení. Souřadnice vektorů jsou u = (2, −5, 1) a v = (3, 2, 4). Skalární součin vypočteme ze vztahu u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . V našem případě dostaneme
u · v = 6 − 10 + 4 = 0. N
Vektory jsou tedy kolmé. 11
3.2
Vektorový součin vektorů
Vektorový součin je definován pouze pro vektory ve V3 . Vektorovým součinem dvou nenulových vektorů u a v nazveme vektor w = u × v , který má následující vlastnosti: i) Velikost vektoru w je dána vztahem
kwk = kuk · kvk · sin ϕ, kde ϕ je úhel vektorů u a v . ii) Vektor w je kolmý k vektoru u i k vektoru v . iii) Pokud je w nenulový, vektory u, v a w v tomto pořadí tvoří pravotočivý systém. Je-li některý z vektorů nulový, definujeme u × v = o. Algebraické vlastnosti vektorového součinu Pro vektorový součin platí následující pravidla (u, v, w ∈ V3 jsou libovolné vektory a k ∈ R je libovolné číslo): 1) u × v = −(v × u) (vektorový součin je antikomutativní). 2) (ku) × v = u × (kv) = k(u × v). 3) (u + v) × w = u × w + v × w (vektorový součin je distributivní vzhledem k součtu vektorů). V pravé straně vztahu 3) není nutné dávat závorky, předpokládáme, že vektorový součin má přednost před sčítáním resp. odčítáním (vektorů). Aplikace vektorového součinu 1. Pro dvojici vektorů u a v platí:
u × v = o, právě když jsou u a v kolineární. 2. Vektorový součin používáme při určování vektoru kolmého ke dvěma daným nekolineárním vektorům. 3. Pomocí vektorového součinu lze určit obsah rovnoběžníku ABCD a trojúhelníka 4ABC . −→ −→ Položíme-li u = AB a v = AC , pak pro obsah S rovnoběžníku a obsah S4 trojúhelníka platí: 1 S = ku × vk, S4 = ku × vk. 2 4. Pro úhel nenulových vektorů u, v platí:
sin ϕ =
ku × vk , kuk · kvk
0 5 ϕ 5 π.
Protože však funkce sinus není na intervalu h0, πi prostá, nelze z předchozího vztahu úhel ϕ jednoznačně určit. 12
Vektorový součin v kartézské soustavě souřadnic Vektorový součin dvou vektorů u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) lze určit pomocí symbolického determinantu, který rozvineme podle prvního řádku: i j k u2 u3 u1 u3 u1 u2 u × v = u1 u2 u3 = i − j v1 v3 + k v1 v2 = v v 2 3 v1 v2 v3
= i(u2 v3 − u3 v2 ) − j(u1 v3 − u3 v1 ) + k(u1 v2 − u2 v1 ). Řešené příklady Příklad 3.7 Vypočtěte vektorový součin vektorů u = (2, −4, −2), v = (1, −2, 5) a určete jeho velikost. Řešení. Vektorový součin u × v určíme následovně: i j k 2 −4 2 −2 −4 −2 +k −j u × v = 2 −4 −2 = i 1 −2 = 1 5 −2 5 1 −2 5
= i(−20 − 4) − j(10 − (−2)) + k(−4 − (−4)) = −24i − 12j + 0k, takže
p √ √ (−24)2 + (−12)2 + 02 = 720 = 12 5. √ Tedy u × v = (−24, −12, 0) a jeho velikost je ku × vk = 12 5. ku × vk =
N
Příklad 3.8 Vypočtěte obsah rovnoběžníku ABCD , víte-li, že platí A = [−1, 1, −5], B = = [−6, 5, −10] a C = [1, −2, −3]. Dále určete velikost výšky v na stranu AB .
−→ −→ Řešení. Označme u = AB = B − A = (−5, 4, −5), v = AC = C − A = (2, −3, 2). Obsah rovnoběžníku určíme jako velikost vektorového součinu vektorů u a v . Platí: i j k 4 −5 = i(8 − 15) − j(−10 − (−10)) + k(15 − 8) = u × v = −5 2 −3 2 = −7i − 0j + 7k. Obsah rovnoběžníku bude:
S = ku × vk =
p √ √ (−7)2 + 02 + 72 = 98 = 7 2.
−→ Obsah rovnoběžníku lze také vypočítat ze vztahu S = v · kAB k, kde v je výška na stranu AB . S S Odtud v = −→ . V našem případě je v = kuk . Tedy kAB k
√ 7 2
√ √ 7 2 7 33 v=p =√ = . 33 66 (−5)2 + (4)2 + (−5)2 13
N
3.3
Smíšený součin tří vektorů
Smíšený součin je definován pouze pro vektory ve V3 . Smíšeným součinem tří vektorů u, v , w nazýváme skalární součin vektoru w s vektorovým součinem u × v . Obvykle ho značíme [u, v, w]. Tedy
[u, v, w] = (u × v) · w. Algebraické vlastnosti smíšeného součinu Pro smíšený součin platí následující pravidla (u, v, w ∈ V3 jsou libovolné vektory): 1) [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]. 2) [u, v, w] = −[v, u, w] = −[w, v, u] = −[u, w, v]. Aplikace smíšeného součinu 1) Trojice nekomplanárních vektorů u, v , w určuje v prostoru těleso, tzv. rovnoběžnostěn. −→ −→ −→ Ten obdržíme takto: Zvolíme umístění AB = u, AD = v a AA0 = w vycházející ze −−→ −→ stejného bodu A. Zbývající vrcholy C, B 0 , C 0 , D 0 doplníme tak, aby BC = v , BB 0 = w , −−→ −−→ CC 0 = w a DD 0 = w . Objem V tohoto rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu. Tedy:
V = |[u, v, w]| = |(u × v) · w|. 2) Trojice nekomplanárních vektorů u, v , w určuje v prostoru čtyřstěn ABCD . Ten obdržíme −→ −→ −→ takto: Zvolíme umístění AB = u, AC = v a AD = w vycházející ze stejného bodu A. Objem V tohoto čtyřstěnu (trojbokého jehlanu) je roven jedné šestině absolutní hodnoty smíšeného součinu vektorů u, v a w . Tedy:
V =
1 1 |[u, v, w]| = |(u × v) · w|. 6 6
3) Pro trojici vektorů u, v a w platí:
[u, v, w] = 0, právě když jsou u, v a w komplanární. Smíšený součin v kartézské soustavě souřadnic Ze vzorců pro výpočet skalárního a vektorového součinu se snadno zjistí, že smíšený součin tří vektorů u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) a w = (w1 , w2 , w3 ) lze vypočítat ze vztahu
u1 u2 u3 [u, v, w] = (u × v) · w = v1 v2 v3 w1 w2 w3 14
.
Řešené příklady Příklad 3.9 Jsou dány body K = [2, 3, −1], L = [8, 4, −2], M = [0, 6, 0], O = [2, 1, 4]. a) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu KLMNOP QR . b) Vypočtěte výšku na stěnu určenou body K, L, M, N . −→ −−→ −→ Řešení. 1) Označme vektory u = KL , v = KM a w = KO . Pak u = (6, 1, −1), v = (−2, 3, 1) a w = (0, −2, 5). Objem rovnoběžnostěnu vypočteme pomocí smíšeného součinu těchto vektorů: 6 1 −1 3 1 = 108. [u, v, w] = (u × v) · w = −2 0 −2 5 Objem rovnoběžnostěnu je tedy V = |(u × v) · w| = 108. 2) Označme d výšku ke stěně určené body K, L, M, N . Její velikost vypočteme ze vztahu V = d · S , kde S je obsah stěny KLMN . S využitím předchozího označení vektorů platí S = ku × vk. Tedy: i j k u × v = 6 1 −1 = 4i − 4j + 20k. −2 3 1 Obsah stěny KLMN je
S=
p √ √ 42 + (−4)2 + 202 = 432 = 12 3
a výška d na tuto stěnu
d=
√ V 108 = √ = 3 3. S 12 3
N Příklad 3.10 Rozhodněte o komplanárnosti vektorů u = (1, 3, −1), v = (0, −1, 2) a w = = (2, 4, −1). Řešení. Stačí zjistit, zda je jejich smíšený součin roven nule: 1 3 −1 2 [u, v, w] = (u × v) · w = 0 −1 2 4 −1
= 3.
Protože smíšený součin je nenulový, vektory nejsou komplanární.
4 4.1
N
Rovnice roviny v prostoru Vektorová rovnice roviny
Je-li rovina ρ určena bodem A a dvěma nekolineárními vektory u a v , pak pro libovolný bod X roviny ρ platí −→ AX = su + tv, s, t ∈ R, a pro žádný jiný bod tento vztah neplatí. Uvedená rovnice se nazývá vektorová rovnice roviny. 15
−→ −→ −→ Poznámka 4.1 Vyjádříme-li vektor AX pomocí polohových vektorů rA = OA a r = OX −→ bodů A a X vzhledem k počátku O , platí AX = r − rA , takže lze vektorovou rovnici roviny zapsat ve tvaru r = rA + su + tv, s, t ∈ R.
4.2
Parametrické rovnice roviny
V kartézské soustavě souřadnic lze parametrické rovnice roviny ρ , která je určená bodem A = = [x0 , y0 , z0 ] a dvěma nekolineárními vektory u = (u1 , u2 , u3 ) a v = (v1 , v2 , v3 ), zapsat ve tvaru x = x0 + su1 + tv1 ,
y = y0 + su2 + tv2 , s, t ∈ R. z = z0 + su3 + tv3 , Zápis roviny v parametrickém vyjádření je sice jednoduchý, ale pro řešení řady příkladů zcela nepraktický. Proto si zavedeme další vyjádření roviny, a to obecnou rovnici roviny.
4.3
Obecná rovnice roviny
Je-li rovina ρ určena bodem A a normálovým vektorem n, tj. nenulovým vektorem kolmým k dané rovině, pak pro všechny body X , které v rovině leží, platí −→ n · AX = 0. V kartézské soustavě souřadnic po dosazení za A = [x0 , y0 , z0 ], X = [x, y, z] a n = = (a, b, c), dostaneme
(a, b, c) · (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) = 0 a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0, ax + by + cz − (ax0 + by0 + cz0 ) = 0. Označíme-li d = −(ax0 + by0 + cz0 ), pak rovnice
ax + by + cz + d = 0, se nazývá obecná rovnice roviny. Poznámka 4.2 Každá rovnice tvaru
ax + by + cz + d = 0, kde (a, b, c) 6 = (0, 0, 0), je rovnicí nějaké roviny. Je-li v obecné rovnici roviny i) koeficient a = 0, je rovina rovnoběžná s osou x , tj. kolmá k rovině yz, ii) koeficient b = 0, je rovina rovnoběžná s osou y , tj. kolmá k rovině xz, iii) koeficient c = 0, je rovina rovnoběžná s osou z, tj. kolmá k rovině xy . Jsou-li v obecné rovnici roviny i) koeficienty a = 0 a b = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou xy , tj. kolmá k ose z, ii) koeficienty a = 0 a c = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou xz, tj. kolmá k ose y , iii) koeficienty b = 0 a c = 0, je rovina rovnoběžná s rovinou yz tj. kolmá k ose x . 16
4.3.1
Obecná rovnice roviny dané třemi body
Rovina ρ je daná třemi body A = [x0 , y0 , z0 ], B = [x1 , y1 , z1 ], C = [x2 , y2 , z2 ], které −→ neleží na jedné přímce. Zvolíme si další libovolný bod roviny X = [x, y, z]. Pak vektory AX , −→ −→ AB , AC jsou komplanární, tedy jejich smíšený součin je roven nule. Obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x − x0 y − y0 z − z0 ρ : x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0. x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0 4.3.2
Obecná rovnice roviny dané dvěma body a vektorem
Rovina je daná dvěma body A = [x0 , y0 , z0 ], B = [x1 , y1 , z1 ] a nenulovým vektorem −→ u = (u1 , u2 , u3 ), který je nekolineární s AB . Zvolíme si další libovolný bod roviny X = −→ −→ = [x, y, z]. Vektory AX , AB a u jsou komplanární, tedy jejich smíšený součin je roven nule a obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x − x0 y − y0 z − z0 ρ : x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0 = 0. u1 u2 u3 4.3.3
Obecná rovnice roviny dané bodem a dvěma vektory
Rovina je daná bodem A = [x0 , y0 , z0 ] a dvěma nekolineárními vektory u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ). Opět zvolíme další libovolný bod X = [x, y, z] ležící v rovině. Pak vektory −→ AX , u a v jsou komplanární, a jejich smíšený součin je roven nule. Obecnou rovnici roviny dostaneme po úpravě determinantu x − x 0 y − y 0 z − z0 u2 u3 = 0. ρ : u1 v1 v2 v3 Poznámka 4.3 Ve všech předchozích případech lze určit normálový vektor roviny jako vektorový součin dvou nekolineárních vektorů z dané roviny a dosadit jeho souřadnice do obecné rovnice roviny. Parametr d pak dopočítáme dosazením libovolného bodu ležícího v rovině. Řešené příklady Příklad 4.4 Napište obecnou rovnici roviny, je-li rovina ρ určena třemi body A = [1, −1, 2], B = [3, 0, 4], C = [−2, −2, 1]. −→ Řešení. Zvolíme si další bod X = [x, y, z], který leží v rovině ρ . Potom vektory AX = −→ −→ = (x − 1, y + 1, z − 2), AB = (2, 1, 2) a AC = (−3, −1, −1) jsou komplanární, a jejich −→ −→ −→ smíšený součin (AB × AC ) · AX = 0. Tedy x − 1 y + 1 z − 2 1 2 = 0. ρ : 2 −3 −1 −1 Po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme ρ : x − 4y + z − 7 = 0. 17
N
Příklad 4.5 Napište obecnou rovnici roviny ρ , která prochází body A = [1, −1, 2], B = = [3, −1, −1] a je rovnoběžná s přímkou určenou body C = [0, 2, 1] a D = [1, 4, −3]. −→ Řešení. Body A a B leží v rovině ρ , tudíž vektor AB = (2, 0, −3) je s rovinou rovnoběžný. −→ Další vektor, který je s hledanou rovinou rovnoběžný, je směrový vektor přímky u = CD = = (1, 2, −4). Rovnice roviny ρ je tedy určena dvěma vektory a např. bodem A. Zvolme si opět obecný bod X = [x, y, z], který leží v rovině. Její rovnici získáme výpočtem determinantu x − 1 y + 1 z − 2 0 −3 = 0. ρ : 2 1 2 −4 Po výpočtu determinantu a úpravě dostaneme ρ : 6x + 5y + 4z − 19 = 0.
N
Příklad 4.6 Napište obecnou rovnici roviny ρ , je-li rovina dána parametrickými rovnicemi
x = −1 + 3s + 2t, 4t, ρ: y = z = −1 + 2s − t,
s, t ∈ R.
Řešení. Z parametrického vyjádření je zřejmé, že rovina je určena bodem A = [−1, 0, −1] a vektory u = (3, 0, 2) a v = (2, 4, −1), které jsou s rovinou rovnoběžné. Označme X = = [x, y, z] obecný bod roviny ρ . Pak obecnou rovnici roviny dostaneme výpočtem determinantu x + 1 y z + 1 0 2 = 0. ρ : 3 2 4 −1 Obecná rovnice je ρ : − 8x + 7y + 12z + 4 = 0.
N
Příklad 4.7 Napište obecnou rovnici roviny ρ , která prochází počátkem soustavy souřadnic, bodem A = [1, 2, 3] a je kolmá k rovině dané osami x a y . −→ Řešení. Rovina ρ je určená bodem A = [1, 2, 3] a počátkem O = [0, 0, 0], tedy vektor OA je s rovinou rovnoběžný. Dále je ρ kolmá k rovině dané osami x a y , tedy vektor u = (0, 0, 1) −→ je s ní rovnoběžný. Hledáme tedy rovnici roviny určenou např. bodem O a vektory OA a u. x y z ρ : 1 2 3 = 0. 0 0 1 Po úpravě dostaneme obecnou rovnici roviny ρ : 2x − y = 0.
4.4
N
Úsekový tvar rovnice roviny
Jsou-li v obecné rovnici roviny ax + by + cz + d = 0 všechny parametry a, b, c, d nenulové, lze tuto rovnici převést na úsekový tvar. Rovina má v tomto případě rovnici
x y z + + = 1, p q r
d d d kde p = − , q = − , r = − . a b c
Čísla p, q, r jsou po řadě úseky, které rovina vytíná na osách x , y , z. Úsekový tvar rovnice roviny je vhodný především pro její znázornění v kartézské soustavě souřadnic a k nalezení průsečíků roviny se souřadnicovými osami. 18
Řešené příklady Příklad 4.8 Určete souřadnice bodů P , Q a R , ve kterých rovina ρ : 3x − 2y − 4z + 2 = 0 protíná osu x , y a z. Řešení. Rovnici si přepíšeme do úsekového tvaru z y x ρ : −2 + + 1 = 1. 1 3 2 Čísla ve jmenovatelích jednotlivých zlomků jsou úseky vyťaté na osách x , y , z. Souřadnice hledaných bodů jsou P = [− 23 , 0, 0], Q = [0, 1, 0] a R = [0, 0, 21 ]. N
5 5.1
Rovnice přímky v prostoru Vektorová rovnice přímky
Je-li přímka p určena bodem A a směrovým vektorem u 6 = o, pak pro libovolný bod X přímky p platí −→ AX = tu, kde t ∈ R, a pro žádný jiný bod tento vztah neplatí. Uvedená rovnice se nazývá vektorová rovnice přímky p a t se nazývá parametr. −→ −→ −→ Poznámka 5.1 Vyjádříme-li vektor AX pomocí polohových vektorů rA = OA a r = XO −→ bodů A a X vzhledem k počátku O , platí AX = r − rA , takže lze vektorovou rovnici přímky zapsat ve tvaru r − rA = tu.
5.2
Parametrické rovnice přímky
V kartézské soustavě souřadnic parametrické rovnice přímky určené bodem A = [x0 , y0 , z0 ] a směrovým vektorem u = (u1 , u2 , u3 ) zapisujeme ve tvaru
x = x0 + tu1 , y = y0 + tu2 , z = z0 + tu3 ,
t ∈ R.
−→ Poznámka 5.2 Je-li přímka p určena dvěma body A a B , pak vektor AB je jejím směrovým vektorem. Poznámka 5.3 Jsou-li dány dva různé body A = [x0 , y0 , z0 ], B = [x1 , y1 , z1 ], pak parametrické rovnice přímky určené body A a B jsou
x = x0 + t (x1 − x0 ), y = y0 + t (y1 − y0 ), z = z0 + t (z1 − z0 ),
t ∈ R.
Omezíme-li t , pak 1. pro t ∈ h0, ∞) jsou to parametrické rovnice polopřímky s počátečním bodem A, která obsahuje bod B , 2. pro t ∈ h0, 1i jsou to parametrické rovnice úsečky AB . 19
5.3
Kanonické rovnice přímky
Je-li přímka p určena bodem A = [x0 , y0 , z0 ] a směrovým vektorem u = (u1 , u2 , u3 ) a jsou-li všechny souřadnice směrového vektoru u nenulové, lze vypočtením parametru t ze všech tří parametrických rovnic přímky získat kanonické rovnice přímky p
x − x0 y − y0 z − z0 = = . u1 u2 u3
5.4
Obecné rovnice přímky
V kartézské soustavě souřadnic lze přímku p zapsat jako společnou přímku (průsečnici) dvou rovin. V tomto případě říkáme, že přímka je určena obecnými rovnicemi ( a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0, p: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0. Poznámka 5.4 Aby předchozí rovnice určovaly přímku, je třeba, aby normálové vektory n1 = = (a1 , b1 , c1 ) a n2 = (a2 , b2 , c2 ) byly nekolineární. Pro další výpočty bude potřeba umět převést obecné rovnice přímky na parametrické. Budeme postupovat následovně: 1. Směrový vektor přímky p vypočteme pomocí vektorového součinu normálových vektorů daných rovin: přímka musí současně ležet v obou rovinách, tudíž její směrový vektor u musí být kolmý k oběma normálovým vektorům daných rovin n1 = (a1 , b1 , c1 ) a n2 = = (a2 , b2 , c2 ). Tedy u = n1 × n2 . 2. Libovolný bod A ležící na přímce p musí vyhovovat oběma rovnicím. Hledáme tedy řešení soustavy dvou rovnic pro tři neznámé. Taková soustava má v tomto případě nekonečně mnoho řešení, nám stačí pouze jedno z nich. Postupujeme tedy tak, že jednu neznámou x, y nebo z si zvolíme a zbylé dvě dopočteme tak, aby vyhovovaly zadaným rovnicím. Řešené příklady Příklad 5.5 Napište parametrické rovnice přímky p , která prochází bodem A = [−1, 2, 8] a je rovnoběžná s osou y . Řešení. Směrový vektor osy y je např. vektor u = (0, 1, 0). Parametrické rovnice přímky p jsou
x = −1, y = 2 + t, z = 8,
t ∈ R. N
Příklad 5.6 Napište parametrické rovnice úsečky AB , jestliže platí A = [−2, 4, 8] a B = = [3, 1, −2]. −→ Řešení. Sestrojíme vektor AB = (5, −3, −10). Parametrické rovnice úsečky AB pak jsou
x = −2 + 5t, y = 4 − 3t, z = 8 − 10t, 20
t ∈ h0, 1i. N
Příklad 5.7 Napište parametrické rovnice přímky p určené obecnými rovnicemi ( x − 3y + 2z − 8 = 0, p: 2x + 5y − 3z + 4 = 0. Řešení. 1. Nejprve si určíme souřadnice normálových vektorů daných rovin n1 = (1, −3, 2) a n2 = = (2, 5, −3). Směrový vektor u vypočteme pomocí jejich vektorového součinu, tedy i j k 2 = i(9 − 10) − j(−3 − 4) + k(5 + 6) = −i + 7j + 11k. u = n1 × n2 = 1 −3 2 5 −3 Souřadnice směrového vektoru přímky p jsou u = (−1, 7, 11). 2. Určíme souřadnice libovolného bodu A ležícího na přímce p . Zvolme např. y = 0, zbylé dvě souřadnice jsou řešením soustavy.
x + 2z − 8 = 0, 2x − 3z + 4 = 0. Řešením soustavy dostaneme x = 20 A = 16 , 0, 7 7 .
16 7
az =
20 7.
Tedy souřadnice hledaného bodu jsou
Parametrické rovnice přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u jsou
16 − t, 7 y = 7t, t ∈ R. 20 z= + 11t, 7 x=
N
Příklad 5.8 Napište rovnici přímky, která prochází bodem Q = [2, 6, −3] a je rovnoběžná s přímkou y−2 z x+1 p: = = . −5 3 −1 Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (−5, 3, −1). Hledaná přímka má být s přímkou p rovnoběžná, tedy vektor u je jejím směrovým vektorem, dále na ní leží bod Q. Parametrické rovnice této přímky tedy jsou
x = 2 − 5t, y = 6 + 3t, t ∈ R. z = −3 − t,
21
N
6
Polohové úlohy v prostoru
V následující kapitole budeme vyšetřovat vzájemnou polohu dvou geometrických útvarů.
6.1
Vzájemná poloha bodu a roviny
Je dán bod A = [x0 , y0 , z0 ] a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Bod A leží v rovině ρ , jestliže po dosazení jeho souřadnic do rovnice roviny dostaneme identitu. V opačném případě bod v rovině neleží. Řešené příklady Příklad 6.1 Zjistěte, zda bod M = [1, −2, 4] leží v rovině ρ : 3x − 2y − 3z + 5 = 0. Řešení. Do rovnice roviny ρ dosadíme souřadnice bodu M .
3 · 1 − 2 · (−2) − 3 · 4 + 5 = 0
⇒
0 = 0, N
tedy bod M ∈ ρ .
Příklad 6.2 Určete parametr d tak, aby bod K = [−3, 2, −1] ležel v rovině ρ : 2x + 6y − − 3z + d = 0. Řešení. Souřadnice bodu K dosadíme do rovnice roviny ρ a vypočteme parametr d .
2 · (−3) + 6 · 2 − 3 · (−1) + d = 0
6.2
⇒
d = −9.
N
Vzájemná poloha bodu a přímky
x = x1 + tu1 , y = y1 + tu2 , Je dán bod A = [x0 , y0 , z0 ] a přímka p : z = z + tu , 1 3
t ∈ R.
Po dosazení souřadnic bodu A do parametrických rovnic přímky p dostaneme soustavu tří lineárních rovnic pro t . Jestliže má tato soustava řešení, bod A na přímce p leží, v opačném případě na ní neleží. Tedy všechny tři rovnice musí dávat pro neznámou t tutéž hodnotu t0 ! Zejména má-li vektor u nenulové složky, musí platit
t0 =
y0 − y1 z0 − z1 x0 − x1 = = . u1 u2 u3
Řešené příklady Příklad 6.3 Je dána přímka p o parametrických rovnicích x = 1−2t , y = 2+3t , z = 3+2t , t ∈ R. a) Rozhodněte, zda bod K = [−1, 5, 4] leží na přímce p . b) Určete parametry r, s ∈ R tak, aby bod L = [r, 3r, s] ležel na přímce p .
22
Řešení. a) Dosadíme souřadnice bodu K do rovnice přímky a vypočteme ze všech rovnic parametr t .
−1 = 1 − 2t 5 = 2 + 3t 4 = 3 + 2t
⇒ ⇒ ⇒
t = 1, t = 1, t = 12 .
Protože parametr t nevyšel ze všech rovnic stejný, bod K neleží na přímce p . b) Postupovat budeme obdobně jako v bodě a). Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu L a dostaneme tak soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé. (Soustava může mít jedno, žádné, nebo nekonečně mnoho řešení. V našem případě jsou vždy v jedné rovnici svázány pouze dvě proměnné.) r = 1 − 2t, 3r = 2 + 3t, s = 3 + 2t . Řešením prvních dvou rovnic dostaneme t = 19 a r = 79 , dosazením do třetí rovnice vyjde 7 7 27 s = 27 N 9 . Souřadnice bodu jsou L = 9 , 3 , 9 .
6.3 Vzájemná poloha dvou rovin Dvě roviny mají právě jednu z následujících tří poloh: 1. Nemají společný žádný bod (jsou rovnoběžné různé). 2. Jsou totožné (splývají). 3. Mají společnou právě jednu přímku (jsou různoběžné). Jsou dány roviny ρ : a1 x+b1 y+c1 z+d1 = 0 a σ : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0. Označme jejich normálové vektory n1 = (a1 , b1 , c1 ) a n2 = (a2 , b2 , c2 ). Pak roviny ρ a σ jsou: 1. Rovnoběžné různé, jestliže n1 = λ · n2 (normálové vektory jsou kolineární), ale d1 6 = λd2 . 2. Splývající neboli totožné, jestliže n1 = λ · n2 a navíc platí, že d1 = λd2 . 3. Různoběžné, jestliže n1 6 = λ · n2 pro každé λ ∈ R (normálové vektory jsou nekolineární). Řešené příklady Příklad 6.4 Vyšetřete vzájemnou polohu rovin ρ a σ . a) ρ : 2x + y − 2z + 6 = 0, σ : 4x + 2y − 4z + 6 = 0, b) ρ : 2x + y − 2z + 6 = 0, σ : 4x − 2y − 2z + 6 = 0. Řešení. a) Normálový vektor roviny ρ je n1 = (2, 1, −2), normálový vektor roviny σ je n2 = = (4, 2, −4). Vidíme, že vektor n2 = 2n1 , ale parametr d2 6= 2d1 , takže roviny jsou rovnoběžné. b) Normálový vektor roviny ρ je n1 = (2, 1, −2), normálový vektor roviny σ je n2 = = (4, −2, −2). V tomto případě není jeden normálový vektor násobkem druhého, takže roviny jsou různoběžné. N 23
Příklad 6.5 Určete hodnoty parametrů b, c ∈ R tak, aby roviny ρ : x + by − z + 4 = 0 a σ : 4x + 12y + cz + 1 = 0 byly a) rovnoběžné, b) k sobě kolmé. Řešení. a) Normálový vektor roviny ρ je n1 = (1, b, −1), normálový vektor roviny σ je n2 = = (4, 12, c). Aby byly roviny rovnoběžné, musí platit n2 = λn1 pro vhodné λ ∈ R. Po rozepsání do složek dostaneme
4= λ 12 = λb c = −λ
⇒ ⇒ ⇒
λ = 4, b = 3, c = −4.
b) Aby byly roviny navzájem kolmé, musí být jejich normálové vektory rovněž kolmé, tj. jejich skalární součin musí být roven nule. Musí tedy platit 4 + 12b − c = 0, tj. c = 4 + 12b. Úloha má tudíž nekonečně mnoho řešení. N Příklad 6.6 Napište rovnici roviny ρ , ve které leží bod P = [3, −5, 2] a která je rovnoběžná s rovinou σ : x − 2y + 3z − 1 = 0. Řešení. Normálový vektor roviny σ je také normálovým vektorem roviny ρ . Rovina ρ je tedy určena bodem P a vektorem n = (1, −2, 3). Parametr d určíme dosazením bodu P do rovnice roviny σ . 3 − 2 · (−5) + 3 · 2 + d = 0 ⇒ d = −19. Rovnice hledané roviny je ρ : x − 2y + 3z − 19 = 0.
6.4
N
Vzájemná poloha dvou přímek
Dvě přímky v prostoru mají právě jednu z následujících čtyř poloh: 1. Mají společný právě jeden bod (jsou různoběžné). 2. Jsou totožné (splývají). 3. Nemají společný bod a leží v jedné rovině (jsou rovnoběžné různé). 4. Nemají společný bod a neleží v jedné rovině (jsou mimoběžné). Jsou dány přímky p(A, u), q(B, v). Přímka p je určena bodem A a směrovým vektorem u, přímka q je určena bodem B a má směrový vektor v . Přímky p , q jsou: 1. Rovnoběžné různé, jestliže u = λ · v pro vhodné λ ∈ R a A ∈ / q. 2. Splývající neboli totožné, jestliže u = λ · v pro vhodné λ ∈ R a navíc A ∈ q . −→ 3. Různoběžné, jestliže u a v jsou nekolineární a AB , u a v jsou komplanární, tedy u 6 = λ · v −→ pro každé λ ∈ R a AB · (u × v) = 0. −→ −→ 4. Mimoběžné, jestliže AB , u a v jsou nekomplanární, tedy AB · (u × v) 6 = 0. Řešené příklady Příklad 6.7 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q , kde p : x = 1 + t , y = 2 − 2t , z = t , t ∈ R a q : x = 4 − 2s , y = 1 + 4s , z = 3 − 2s , s ∈ R. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. 24
Řešení. Nejprve určíme směrové vektory přímek p , q . Směrový vektor přímky p je vektor u = (1, −2, 1), směrový vektor přímky q je vektor v = (−2, 4, −2). Protože platí v = −2u, přímky mohou být rovnoběžné nebo splývající. Označme A = [1, 2, 0] bod ležící na přímce p . Pokud A ∈ q , jsou přímky splývající, v opačném případě jsou rovnoběžné. Dosadíme souřadnice bodu A do rovnice přímky q a vypočteme z každé rovnice hodnotu parametru s .
1 = 4 − 2s
⇒
s=
2 = 1 + 4s
⇒
s=
0 = 3 − 2s
⇒
s=
3 2 1 4 3 2
, , .
Parametr s není stejný pro všechny rovnice, tedy přímky p a q jsou rovnoběžné různé.
N
Příklad 6.8 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q , kde p prochází body A a B a q prochází body C a D . Přitom A = [1, 2, −1], B = [3, 0, 1], C = [2, −1, 2] a D = [5, −6, 7]. Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku.
−→ Řešení. Směrový vektor přímky p je vektor AB = (2, −2, 2), směrový vektor přímky q je −→ −→ −→ vektor CD = (3, −5, 5). Je zřejmé, že AB 6 = λCB pro každé λ ∈ R. Přímky jsou tedy buď různoběžné nebo mimoběžné. −→ −→ −→ −→ Sestrojíme vektor AC = (1, −3, 3) a rozhodneme, zda je trojice vektorů AB , CD a AC komplanární. V případě, že budou vektory komplanární, leží v jedné rovině, a tudíž přímky p a q jsou různoběžné. V opačném případě jsou přímky mimoběžné. 2 −2 2 −→ −→ −→ (AB × AC ) · CD = 1 −3 3 = 0. 3 −5 5 Vektory jsou komplanární, jejich smíšený součin je roven nule, tedy přímky jsou různoběžné. Určíme průsečík P přímek p, q . Souřadnice průsečíku P musí vyhovovat parametrickým rovnicím obou přímek p : x = 1 + 2t , y = 2 − 2t , z = −1 + 2t , t ∈ R, q : x = 2 + 3s , y = −1 − 5s , z = 2 + 5s , s ∈ R. Odtud dostaneme následující rovnosti:
1 + 2t = 2 + 3s, 2 − 2t = −1 − 5s, −1 + 2t = 2 + 5s. Jejich řešením dostaneme t = s = −1. Souřadnice průsečíku P = [−1, 4 − 3] pak získáme dosazením za t resp. s do parametrického vyjádření přímek. N y−2 z Příklad 6.9 Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q , je-li p : x−1 3 = 2 = 1, q : y = −3 = z+2 2 . Jsou-li přímky různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku.
x+1 −1
=
Řešení. Směrový vektor přímky p má souřadnice u = (3, 2, 1), směrový vektor přímky q má souřadnice v = (−1, −3, 2). Protože u 6 = λv pro každé λ ∈ R, jsou přímky buď různoběžné nebo mimoběžné. Na přímce p leží bod A = [1, 2, 0], na přímce q leží bod B = [−1, 0, −2]. Vektor jimi −→ −→ určený je AB = (−2, −2, −2). Pomocí smíšeného součinu zjistíme, zda je trojice u, v a AB 25
komplanární. Platí
3 2 1 −→ 2 = −22. (u × v) · AB = −1 −3 −2 −2 −2 Smíšený součin je nenulový, vektory nejsou komplanární, tedy přímky p a q jsou mimoběžné. N
6.5
Vzájemná poloha přímky a roviny
Přímka je vzhledem k rovině právě v jedné ze tří poloh: 1. Leží v rovině. 2. Nemá s rovinou žádný společný bod (je s ní rovnoběžná, ale neleží v ní). 3. Má s rovinou společný právě jeden bod (je s ní různoběžná). Je dána rovina ρ : ax + by + cz + d = 0 a přímka p(A, u). Označme normálový vektor roviny n. Přímka je určena bodem A a směrovým vektorem u. 1. Přímka leží v rovině, jestliže n · u = 0 a navíc A ∈ ρ . 2. Přímka je rovnoběžná s rovinou ale neleží v ní, jestliže n · u = 0 a A ∈ / ρ. 3. Přímka je různoběžná s rovinou, jestliže n · u 6 = 0. Řešené příklady Příklad 6.10 Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p : x = 1 + t , y = 1 − 2t , z = −3 − t , t ∈ R a roviny ρ : 2x − y + 3z + 1 = 0. V případě, že je přímka různoběžná s rovinou, určete souřadnice průsečíku. Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (1, −2, −1), normálový vektor vektor roviny ρ je n = (2, −1, 3). Jejich skalární součin
n · u = (2, −1, 3) · (1, −2, −1) = 2 + 2 − 3 = 1, tedy přímka je s rovinou různoběžná. Průsečík P přímky a roviny vypočteme následovně: parametrické rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny a vypočteme hodnotu parametru t . Jeho dosazením do rovnic přímky získáme souřadnice průsečíku.
2(1 + t) − (1 − 2t) + 3(−3 − t) + 1 = 0
⇒
t = 7, N
a tedy P = [8, −13, −10].
Příklad 6.11 Určete hodnoty parametrů a, b tak, aby přímka p : x = a + 2t , y = 1 − bt , z = 2 + t , t ∈ R, byla s rovinou ρ : x + 2y − z + 2 = 0 a) různoběžná, b) rovnoběžná a ležela v ní, c) rovnoběžná, ale neležela v ní. Řešení. Ze zadání určíme směrový vektor u = (2, −b, 1) přímky p , normálový vektor n = = (1, 2, −1) roviny ρ a bod A = [a, 1, 2], který leží na přímce p. 26
a) Aby byla přímka s rovinou různoběžná, musí platit n · u 6 = 0. V našem případě dostaneme
2 − 2b − 1 6= 0
⇒
1 b 6= . 2
Hodnota parametru a může být libovolná, tedy a ∈ R. b) Aby přímka ležela v rovině, musí platit n·u = 0 a A ∈ ρ . S ohledem na předchozí výsledek musí být parametr b = 21 . Parametr a získáme vyřešením podmínky A ∈ ρ . Dosazením souřadnic bodu A do rovnice roviny ρ dostaneme
a+2−2+2=0
⇒
a = −2.
Přímka leží v rovině, pokud a = −2 a b = 12 . c) Aby byla přímka s rovinou rovnoběžná, ale neležela v ní, musí platit n · u = 0 a zároveň bod A neleží v ρ . Což je splněno, pokud b = 12 a a 6 = 2. N
7
Metrické úlohy v prostoru
V této kapitole budeme určovat vzdálenosti a odchylky dvou základních geometrických útvarů (bodů, přímek a rovin) v prostoru. Obecně vzdáleností dvou geometrických útvarů U1 ⊂ R3 a U2 ⊂ R3 rozumíme minimální vzdálenost mezi body obou útvarů, tj.
−−−→ d(U1 , U2 ) = min{kX1X2 k : X1 ∈ U1 , X2 ∈ U2 }. Dvojice nejbližších bodů nemusí vždy existovat (příkladem jsou dvě otevřené koule, které mají prázdný průnik). V tom případě je třeba v předchozím vzorci nahradit minimum infimem, které bude vždy existovat. Je zřejmé, že když U1 ∩ U2 6 = ∅, pak d(U1 , U2 ) = 0 (lze volit X1 = X2 = A, kde bod A − → leží v obou množinách; pak d(U1 , U2 ) = kAAk = 0).
7.1 Vzdálenost dvou bodů −→ Vzdálenost dvou bodů A, B je rovna délce vektoru AB resp. úsečky AB .
7.2 Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost bodu A od roviny ρ je vzdálenost bodu A a jeho pravoúhlého průmětu P do roviny ρ . Z geometrického hlediska je tedy potřeba sestrojit přímku kolmou k rovině ρ , která prochází bodem A, nalézt průsečík P této přímky s rovinou a vypočítat velikost úsečky kAP k. Je dán bod A = [x0 , y0 , z0 ] a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Vzdálenost bodu od roviny určíme v kartézské soustavě souřadnic ze vztahu d(A, ρ) =
|ax0 + by0 + cz0 + d| √ . a 2 + b2 + c2 27
(3)
Řešené příklady Příklad 7.1 Určete vzdálenost bodu A = [−4, 0, 2] od roviny ρ : x − 3y + 2z − 5 = 0. Řešení. Normálový vektor roviny ρ má souřadnice n = (1, −3, 2), parametr d = −5. Dosazením do vztahu (3) dostaneme
5 | − 4 + 0 + 4 − 5| =√ . d(A, ρ) = p 14 12 + (−3)2 + 22
7.3
N
Vzdálenost bodu od přímky
Vzdálenost bodu B od přímky p můžeme určit jako vzdálenost bodu od přímky v rovině ρ , která je určena bodem B a přímkou p . Vzdálenost je pak rovna délce úsečky BP , kde P je pata kolmice k vedené v rovině ρ bodem B k přímce p . Je dán bod B a přímka p(A, u). Pak vzdálenost bodu B od přímky p určíme ze vztahu −→ ku × AB k −→ (4) = ku0 × AB k, d(B, p) = kuk kde u0 je jednotkový vektor stejného směru jako vektor u. Řešené příklady Příklad 7.2 Vypočítejte vzdálenost bodu B = [2, 1, −3] od přímky p : x = 1 − 2t , y = 3t , z = −4 + t , t ∈ R. Řešení. Přímka p je určena bodem A = [1, 0, −4] a směrovým vektorem u = (−2, 3, 1). −→ −→ Sestrojíme vektor AB = (1, 1, 1). Vypočteme velikost vektorového součinu u×AB a velikost vektoru u. i j k −→ u × AB = −2 3 1 = i(3 − 1) − j(−2 − 1) + k(−2 − 3) = 2i + 3j − 5k. 1 1 1 p p √ √ −→ Pak ku × AB k = 22 + 32 + (−5)2 = 38 a kuk = (−2)2 + 32 + 12 = 14. Dosazením do rovnice (4) dostaneme r √ 38 19 d(B, p) = √ = . 7 14 N Příklad 7.3 Vypočtěte velikost výšky va v trojúhelníku ABC , je-li A = [3, −2, −2], B = = [6, 1, −3], C = [5, −6, 1]. Řešení. Velikost výšky va je rovna vzdálenosti bodu A od strany a . Strana a je určena vrcholy B a C . Máme tedy určit vzdálenost bodu A od přímky p, která prochází body B a C . Označme −→ −→ −→ BC směrový vektor přímky p; pak BC = (−1, −7, 4). Dále uvažme např. vektor AB = −→ −→ −→ = (3, 3, −1). Určíme velikost vektorového součinu vektorů BC a AB a velikost vektoru BC . i j k −→ −→ 4 = i(7 − 12) − j(1 − 12) + k(−3 + 21) = −5i + 11j + 18k. BC × AB = −1 −7 3 3 −1 28
√ √ −→ −→ −→ Tedy kBC × AB ]| = 470 a kBC ]| = 66. Dosazením do rovnice (4) dostaneme r √ 470 235 = va = √ . 33 66
7.4
Vzdálenost a odchylka dvou přímek
7.4.1
Vzdálenost dvou přímek
N
1. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p , q je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od druhé přímky. 2. Vzdálenost dvou mimoběžných přímek p , q je rovna délce úsečky PQ, kde body P , Q jsou průsečíky mimoběžek p , q s přímkou kolmou k oběma mimoběžkám (tzv. osa mimoběžek). 3. Vzdálenost dvou různoběžných přímek je nula (mají společný bod). Jsou-li p(A, u) a q(B, v) mimoběžné přímky, lze jejich vzdálenost vypočítat také jako −→ výšku v rovnoběžnostěnu, který je určen vektory AB , u a v . Velikost smíšeného součinu −→ AB · (u × v) udává objem V rovnoběžnostěnu a velikost vektorového součinu u × v udává obsah P jeho podstavy. Pak výška je určena vztahem
−→ V |AB · (u × v)| d(p, q) = = . P ku × vk Předchozí vzorec je platný i pro různoběžné přímky (vyjde V = 0), takže u přímek, které nejsou rovnoběžné, není nutné rozhodovat, zda jde o různoběžky nebo mimoběžky. 7.4.2
Odchylka dvou přímek
Jsou-li p(A, u), q(B, v) libovolné přímky, pak odchylkou dvou přímek p , q nazýváme číslo ϕ ∈ h0, π/2i, pro které platí |u · v| cos ϕ = . kuk · kvk 1. Jsou-li přímky p a q rovnoběžné (různé nebo splývající), je ϕ = 0. 2. Jsou-li přímky p a q různoběžné, je ϕ velikost ostrého nebo pravého úhlu, který spolu přímky svírají. V případě mimoběžek jednu z přímek rovnoběžně posuneme, aby protínala druhou. Tím se tento případ převede na případ různoběžek. 3. Je-li ϕ = π/2, říkáme, že přímky p , q jsou k sobě kolmé. V případě, že jsou přímky p , q různoběžné, protínají se v bodě P . Postup na lezení průsečíku P Souřadnice průsečíku P musí vyhovovat parametrickým rovnicím obou přímek. 1. Dosadíme souřadnice bodu P do rovnic přímek p a q . Získáme soustavu tří (závislých) rovnic o dvou neznámých. 2. Vypočítáme jeden z parametrů t , s . 3. Dosazením vypočítaného t (resp. s ) do rovnice příslušné přímky dostaneme souřadnice průsečíku P . 29
Řešené příklady Příklad 7.4 Vypočtěte vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p : x = 1 − 3t , y = −4 + 2t , y−1 z+5 z = −1 − t , t ∈ R a q : x+2 6 = −4 = 2 . Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (−3, 2, −1). Směrový vektor přímky q je v = = (6, −4, 2). Je zřejmé, že v = −2u, tedy vektory jsou nesouhlasně kolineární a přímky jsou rovnoběžné. Na přímce p leží bod A = [1, −4, −1], na přímce q leží bod B = [−2, 1, −5]. Vzdálenost přímek určíme jako vzdálenost bodu A ∈ p od přímky q . Sestrojíme vektor −→ AB = (−3, 3, −4). S využitím vztahu (4) vypočteme vzdálenost rovnoběžných přímek. Pro −→ velikost vektorového součinu AB × v platí i j k √ −→ −→ 3 −4 = −10i − 18j − 6k ⇒ kAB × vk = 460. AB × v = −3 6 −4 2 √ Velikost vektoru kvk = 56. Vzdálenost rovnoběžných přímek je r √ −→ kAB × vk 460 115 d(p, q) = = = √ . kvk 14 56 N Příklad 7.5 Vypočtěte vzdálenost a odchylku mimoběžek p : x = 2+2t , y = 1−t , z = 2+t , t ∈ R a q : x = 1 − s , y = 3 + s , z = 6, s ∈ R. Řešení. Přímka p je určena bodem A = [2, 1, 2] a směrovým vektorem u = (2, −1, 1). Přímka q je určena bodem B = [1, 3, 6] a směrovým vektorem v = (−1, 1, 0). Odchylku mimoběžek určíme jako odchylku jejich směrových vektorů, tedy platí
cos ϕ =
|u · v| , kuk · kvk
√ | − 2 − 1 + 0| 3 3 p cos ϕ = p =√ = 2 12 22 + (−1)2 + 12 · (−1)2 + 12 + 0
⇒
ϕ=
π . 6
−→ Vzdálenost mimoběžek určíme jako výšku v rovnoběžnostěnu tvořeného vektory AB , u −→ a v . Objem V rovnoběžnostěnu vypočteme ze vztahu V = |AB · (u × v)|. Tedy −1 2 4 −→ −→ AB · (u × v) = 2 −1 1 = 3 ⇒ |AB · (u × v)| = 3. −1 1 0 Pro obsah P podstavy rovnoběžnostěnu daný vztahem P = ku × vk dostaneme i j k √ u × v = 2 −1 1 = −i − j + k ⇒ ku × vk = 3. −1 1 0 Vzdálenost mimoběžek p , q je tedy rovna d(p, q) =
√ V 3 = √ = 3. P 3 30
N
Příklad 7.6 Vypočtěte odchylku a průsečík různoběžek p : x = 2+2t , y = 1−2t , z = 2+t , t ∈ R a q : x = 2s , y = −7 + 3s , z = 1 + s , s ∈ R. Řešení. Přímka p je určena bodem A = [2, 1, 2] a směrovým vektorem u = (2, −1, 1). Přímka q je určena bodem B = [0, −7, 1] a směrovým vektorem v = (2, 3, 1). Odchylku různoběžek určíme jako odchylku jejich směrových vektorů, tedy platí
cos ϕ =
|u · v| , kuk · kvk
|4 − 6 + 1| 1 1 cos ϕ = p =√ √ =√ √ 238 17 14 22 + (−1)2 + 12 · 22 + 32 + 12 1 ⇒ ϕ = arccos √ . 238
⇒
Souřadnice průsečíku P = [x0 , y0 , z0 ] musí vyhovovat rovnicím obou přímek, po jejich dosazení získáme soustavu tří rovnic pro dva neznámé parametry, z nichž jeden vypočteme.
2 + 2t = 2s, 1 − 2t = −7 + 3s, 2 + t = 1 + s,
⇒
3 = −7 + 5s
⇒
s = 2.
Dosazením za parametr s = 2 do rovnice přímky q získáme souřadnice průsečíku P :
x0 = 2 · 2 = 4, y0 = −7 + 3 · 2 = −1, z0 = 1 + 2 = 3. N
Průsečík přímek p a q je P = [4, −1, 3].
7.5
Vzdálenost a odchylka dvou rovin
7.5.1
Vzdálenost dvou rovin
Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin ρ a σ je rovna vzdálenosti libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny. Vzdálenost dvou různoběžných rovin je nula, protože mají společné body. 7.5.2
Odchylka dvou rovin
Odchylka dvou rovin ρ a σ je rovna odchylce přímek a , b, přičemž a ⊥ ρ a b ⊥ σ . Odchylku dvou rovin tedy snadno určíme pomocí normálových vektorů těchto rovin:
cos ϕ =
|n1 · n2 | , kn1 k · kn2 k
kde ϕ ∈ h0, π/2i. 1. Jsou-li roviny ρ a σ rovnoběžné (různé nebo splývající), je ϕ = 0. 2. Jsou-li roviny ρ a σ různoběžné, je ϕ velikost ostrého nebo pravého úhlu. 3. Je-li ϕ = π/2, říkáme, že roviny ρ a σ jsou k sobě kolmé. V případě, že jsou roviny ρ a σ různoběžné, mají společnou přímku (průsečnici). Její obecné rovnice jsou zadány rovnicemi rovin ρ a σ . 31
Řešené příklady Příklad 7.7 Vypočítejte odchylku rovin ρ : x + 2y + z + 3 = 0 a σ : 4x + 2y − 2z + 1 = 0 a napište rovnice jejich průsečnice. Řešení. Normálové vektory rovin jsou nρ = (1, 2, 1), nσ = (4, 2, −2). Odchylku dvou rovin vypočteme jako odchylku jejich normálových vektorů. Platí
|nρ · nσ | , knρ k · knσ k |4 + 4 − 2| 6 1 √ cos ϕ = √ = = 12 2 1 + 4 + 1 16 + 4 + 4 Průsečnice je přímka, jejíž obecné rovnice jsou ( x + 2y + z + 3 = 0, p: 4x + 2y − 2z + 1 = 0. cos ϕ =
⇒
ϕ=
π . 3
N Příklad 7.8 Určete hodnotu parametru a tak, aby roviny ρ : 2x + y − z + 4 = 0 a σ : ax − − 2y − 3z − 1 = 0 byly navzájem kolmé. Řešení. Roviny ρ a σ budou kolmé, pokud cos ϕ = 0. To nastane tehdy, když bude čitatel |n ·n | výrazu cos ϕ = knρ ρk·knσ σ k roven nule. Tedy
|2a − 2 + 3| = 0
⇒
1 a=− . 2
Roviny k sobě budou kolmé pro a = − 12 .
N
7.6
Vzdálenost a odchylka přímky a roviny
7.6.1
Vzdálenost přímky a roviny
Vzdálenost přímky p od roviny ρ s ní rovnoběžné určíme jako vzdálenost libovolného bodu přímky p od roviny ρ . Je-li přímka s rovinou různoběžná, je jejich vzdálenost nula (mají společný bod). 7.6.2
Odchylka přímky a roviny
Odchylka ϕ přímky p a roviny ρ je rovna odchylce přímky p a jejího pravoúhlého průmětu p 0 do roviny ρ . Při jejím početním určení se postupuje jinak. Nejprve se sestrojí přímka q kolmá k rovině ρ a vypočte se odchylka ψ přímek p a q . Pak pro odchylku ϕ přímky a roviny platí ϕ = π/2−ψ , takže s využitím goniometrických vzorců dostaneme cos ψ = cos(π/2 − ϕ) = sin ϕ . Tedy
sin ϕ =
|n · u| , knk · kuk
kde ϕ ∈ h0, π/2i. 1. Je-li přímka p s rovinou ρ rovnoběžná (a leží v ní nebo ne), je ϕ = 0. 2. Je-li přímka p s rovinou ρ různoběžná, je ϕ velikost ostrého nebo pravého úhlu. 3. Je-li ϕ = π/2, říkáme, že přímka p je kolmá k rovině ρ . V případě, že přímka p je s rovinou ρ různoběžná, protínají se v bodě P . 32
Postup nalezení průsečíku P Souřadnice průsečíku P musí vyhovovat rovnici přímky i roviny. 1. Z parametrického vyjádření rovnice přímky p dosadíme souřadnice bodu P do rovnice roviny. 2. Vypočteme hodnotu parametru t . 3. Dosazením vypočítaného t do rovnice přímky, dostaneme souřadnice průsečíku. Řešené příklady Příklad 7.9 Vypočítejte odchylku přímky p : − 3 = 0 a určete souřadnice průsečíku.
x−1 1
=
y−2 −2
z−9 −2
=
od roviny ρ : x + y + 4z −
Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (1, −2, −2), normálový vektor roviny ρ je n = |n·u| = (1, 1, 4). Odchylku přímky od roviny určíme ze vztahu sin ϕ = knk·kuk , dostaneme
√ 2 9 |1 − 2 − 8| √ = √ = sin ϕ = √ 2 18 · 9 9 2
⇒ϕ=
π . 4
Přímka svírá s rovinou úhel ϕ = π4 . Souřadnice průsečíku musí vyhovovat rovnici přímky i roviny. Napíšeme parametrické rovnice přímky: x = 1 + t,
p:
y = 2 − 2t, z = 9 − 2t,
t ∈ R.
Souřadnice průsečíku jsou P = [x, y, z] pro nějakou konkrétní hodnou parametru t . Rovnice dosadíme do rovnice roviny ρ : x + y + 4z − 3 = 0 a určíme hodnotu parametru t . Dosazením číselné hodnoty parametru do rovnic přímky získáme souřadnice průsečíku.
1 + t + 2 − 2t + 4(9 − 2t) − 3 = 0
⇒
t = 4.
Tedy souřadnice průsečíku jsou
x=1+4 y=2−8 z=9−8
⇒ ⇒ ⇒
x= 5 y = −6 z= 1
⇒
P = [5, −6, 1]. N
Příklad 7.10 Určete hodnotu parametru a tak, aby přímka p : x = 1 + t , y = 2 − 2t , z = −1 + at , t ∈ R, byla s rovinou ρ : x + y − z + 1 = 0 rovnoběžná. Řešení. Směrový vektor přímky p je u = (1, −2, a), normálový vektor roviny ρ je n = = (1, 1, −1). Aby byla přímka p s rovinou ρ rovnoběžná, musí pro odchylku jejich vektorů |n·u| platit sin ϕ = 0, což znamená, že ve vzorci sin ϕ = knk·kuk musí být |n · u| = 0. Odtud tedy dostaneme 1 − 2 − a = 0, tj. a = −1. Aby přímka byla s rovinou rovnoběžná, musí být a = −1. Přímka by za této podmínky mohla i v rovině ležet, ale po dosazení parametrických rovnic přímky do rovnice roviny nevyjde identita. Tedy přímka je s rovinou pouze rovnoběžná. N
33
