VEKTORGEOMETRIA
Mit nevezünk vektornak? Olyan mennyiséget, amelynek iránya és nagysága van. Mit nevezünk egységvektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 1. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges. Mit nevezünk egy vektor ellentettjének? Olyan vektort, amelynek nagysága (abszolút értéke) ugyanaz, mint a vektor nagysága (abszolút értéke) és az iránya vele ellentétes. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek az i, j, k bázisvektorok? Páronként egymásra merőleges, az adott sorrendben jobbsodrású rendszert alkotó egységvektorok. Hogyan értelmezzük egy vektor szám szorosát (skalár szorosát)? Ha λ > 0, akkor | λa | = λ | a | és λa egyirányú a-val. 0a = 0 Ha λ < 0, akkor λa = (-λ) (-a), ahol (-a) az a ellentettje. Hogyan értelmezzük két vektor összegét?
Hogyan értelmezzük két vektor különbségét? a − b = a + (−b). Hogyan értelmezzük két vektor skaláris szorzatát (skalárszorzatát)? ab = abcosϕ, ahol ϕ az a és b vektor hajlásszögét jelöli. Igaz-e, hogy a skaláris szorzás kommutatív? Igaz. Igaz-e, hogy a skaláris szorzás asszociatív? Nem. Igaz-e, hogy a skaláris szorzás disztributív? Igaz.
Milyen kapcsolat van két vektor hajlásszöge és skaláris szorzatuk előjele között? Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor pozitív, ha a két vektor hegyesszöget zár be egymással. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor derékszöget zár be egymással. Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor negatív, ha a két vektor tompaszöget zár be egymással. Hogyan értelmezzük két vektor vektoriális szorzatát? Olyan vektor, amelynek a) Nagysága: a x b = a b sinϕ, ahol ϕ a két vektor hajlásszöge. b) Iránya: az a-ra és b-re is merőleges c) Az a, b és a x b vektorok (ebben a sorrendben) jobbsodrású rendszert alkotnak. Igaz-e, hogy a vektoriális szorzás kommutatív? Nem. Igaz-e, hogy a vektoriális szorzás asszociatív? Nem. Igaz-e, hogy a vektoriális szorzás disztributív? Igaz. Milyen kapcsolat van a x b és b x a között? Ellentetteik egymásnak! Mi a geometriai jelentése a x b -nek (ahol a x b az a és a b vektorok vektoriális szorzatának nagysága (abszolút értéke)? Megadja az a és a b vektorok által kifeszített paralelogramma terültét. Hogyan értelmezzük három vektor vegyes szorzatát? abc = (a x b)c. Az a, b és c vektoroknak hatféle sorrendje van. Írjon le ezek közül három olyat, amelyek értéke egyenlő! abc = bca = cab (vagy acb = cba = bac ). Igaz-e hogy ha az a, b és c vektorok vegyes szorzata negatív szám, akkor ezek a vektorok (ebben a sorrendben) jobbsodrású rendszert alkotnak? Nem. Igaz-e hogy ha az a, b és c vektorok vegyes szorzata pozitív szám, akkor ezek a vektorok (ebben a sorrendben) jobbsodrású rendszert alkotnak? Igen. Igaz-e hogy ha az a, b és c vektorok(ebben a sorrendben) jobbsodrású rendszert alkotnak akkor a vegyes szorzatuk nem negatív szám? Igaz.
Igaz-e hogy ha az a, b és c vektorok akkor és csak akkor egysíkúak, ha vegyes szorzatuk 0-tól különbözik? Nem. Mi a geometriai jelentése abc -nek (ahol abc az a, b és c vektorok vegyes szorzata)? Megadja az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatát. Írja fel egy vektor bázisvektoros alakját! a = a1i + a2 j+ a3 k . Mit nevezünk egy vektor koordinátáinak? Az a = a1i + a2 j+ a3 k felbontásban az a1 , a2 , a3 számokat. Hogyan kapjuk meg egy vektor koordinátáiból egy szám szorosának (skalár szorosának) koordinátáit? Mindegyik koordinátát megszorozzuk a számmal (skalárral). Hogyan kapjuk meg két vektor összegének (különbségének) koordinátáit a két vektor koordinátáiból? A megfelelő koordinátákat összeadjuk (kivonjuk egymásból). Hogyan kapjuk meg egy vektor nagyságát (abszolút értékét) a vektor koordinátáiból? A koordináták négyzetösszegéből négyzetgyököt vonunk. Hogyan kapjuk meg két vektor skaláris szorzatát a két vektor koordinátáiból? A megfelelő koordinátákat összeszorozzuk, és ezeket összeadjuk. Hogyan kapjuk meg két vektor vektoriális szorzatát a két vektor koordinátáiból? a × b =
i a1
j a2
k a3
b1
b2
b3
(ahol, a = [a1; a2 ; a3] és b = [b1; b2 ; b3]). Hogyan kapjuk meg három vektor vegyes szorzatát a három vektor koordinátáiból? abc
=
a1 b1
a b
c
c
1
2
a3 b3
2
c
2
3
(ahol a = [a1; a2 ; a3], b = [b1; b2 ; b3] és c = [c1; c2 ; c3]). Mit nevezünk egy egyenes egy irányvektorának? Olyan 0 vektortól különböző vektort, ami párhuzamos az egyenessel. Mit nevezünk a sík egy normálvektorának? Olyan 0 vektortól különböző vektor, amely merőleges a síkra.
Írja fel a sík egy egyenletét?
A (x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0 ,
ahol n(A; B; C) a sík egy normálvektora és Po(xo; yo; zo ) a sík egy pontja. Írja fel – a térben – az egyenes paraméteres egyenletrendszerét? x = x 0 + v1t
y = y0 + v2t z = z 0 + v3t
ahol, v (a; b; c) az egyenes egy irányvektora és Po(xo; yo; zo ) az egyenes egy pontja.
VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK Mit neveztünk vektor-skalár függvénynek? r ( t ) : T → R 3 , T ⊂ R függvényt. (R a valós számok, R3 a háromdimenziós vektorok halmaza). (Olyan függvényt, amely valós számok egy részhalmazának elemeihez háromdimenziós vektorokat rendel hozzá.) Mikor mondjuk, hogy az (an) (n = 1, 2,…) vektorsorozat határértéke az a vektor? Ha az a vektor bármely K környezetéhez található olyan N természetes szám, hogy n > N esetén a n ∈ K . (Ha bármely ε > 0 valós számhoz található olyan N természetes szám, hogy n > N esetén a n − a < ε .) Mikor mondjuk, hogy az r(t) vektor-skalár függvény határértéke a t0-ban az r0 vektor? Ha r(t) esetleg a t 0 -t kivéve, értelmezve van a t 0 egy környezetében és az r0 vektor bármely K r0 környezetéhez található a t 0 -nak olyan K t 0 környezete, hogy t ∈ K t 0 esetén r ( t ) ∈ K r0 . (Ha r(t) esetleg a t 0 -t kivéve, értelmezve van a t 0 egy környezetében és bármely ε > 0 valós
számhoz található olyan δ > 0 valós szám, hogy 0 < t − t 0 < δ esetén r ( t ) − r0 < ε .). (Ha r(t) esetleg a t 0 -t kivéve, értelmezve van a t 0 egy környezetében és bármely a t 0 -hoz tartó t n számsorozat esetén az r ( t n ) vektorsorozat határértéke r0 .) Milyen kapcsolat van az r(t) vektor-skalár függvény és koordinátafüggvényeinek a t0-ban vett határértéke között? r(t)-nek akkor és csak akkor van határértéke a t 0 -ban, ha mindhárom koordináta függvényének van határértéke a t 0 -ban és r(t)-nek a határértéke a t 0 -ban az a vektor, amelynek a koordinátái a koordináta függvényeinek határértékei. Mikor mondjuk, hogy az r(t) vektor-skalár függvény a t0-ban folytonos? Ha r(t) értelmezve t0-ban és lim r ( t ) = r ( t 0 ) . t →t 0
Milyen kapcsolat van az r(t) vektor-skalár függvény és koordinátafüggvényeinek a t0-ban való folytonossága között? r(t) akkor és csak akkor folytonos a t 0 -ban, ha mindhárom koordináta függvénye folytonos a t 0 -ban. Mikor mondjuk, hogy az r(t) vektor-skalár függvény a t0-ban differenciálható? r( t ) − r ( t 0 ) Ha r(t) értelmezve a t0 egy környezetében és a lim határérték létezik és véges. t →t 0 t − t0 Milyen kapcsolat van az r(t) vektor-skalár függvény és koordinátafüggvényeinek a t0-ban való differenciálhatósága között? r(t)-akkor és csak akkor differenciálható a t 0 -ban, ha mindhárom koordinátafüggvénye differenciálható a t 0 -ban. Hogyan írhatók fel a t0-ban differenciálható r(t) vektor-skalár függvény t0-ban vett deriváltjának koordinátafüggvényei az r(t) koordinátafüggvényeivel? Az r(t) t 0 -ban vett deriváltjának koordinátafüggvényei az r(t) koordinátafüggvényeinek a t0-ban vett deriváltjai. Milyen kapcsolat van az r(t) vektor-skalár függvény t0-ban való differenciálhatósága és folytonossága között? Ha r(t) a t 0 -ban differenciálható, akkor a t 0 -ban folytonos. Ha r(t) a t 0 -ban folytonos akkor nem biztos, hogy a t 0 -ban differenciálható. Hogyan értelmezzük az r(t) vektor-skalár függvény második(harmadik) deriváltját? r(t) második deriváltja az r(t) deriváltja. ( &r& = (r& ) ⋅ ) r(t) harmadik deriváltja az r(t) második deriváltjának a deriváltja. ( &r&& = (r&&) ⋅ ) Hogyan értelmezzük egy térgörbe adott P pontjában vett érintő egyenesét? A térgörbe két pontján átmenő egyenesek határ egyeneseként, ha a két pont tart a P-hez. Mit nevezzük egy térgörbe egy érintő vektorának a térgörbe egy adott P pontjában? Csak akkor értelmezzük, ha a térgörbének az adott P pontjában van érintő egyenese és ekkor olyan vektor, amely az érintő egyenesnek egy irányvektora. Mit nevezzük egy térgörbe adott P pontjában vett normálsíkjának? Csak akkor értelmezzük, ha a P pontban van érintő egyenes, és ekkor az a sík, amely átmegy a P ponton és merőleges az érintő egyenesre. Hogyan értelmezzük egy térgörbe adott P pontjában vett simulósíkját? A térgörbe három pontján átmenő síkok határsíkjaként, ha a három pont a P-hez tart.
Mit nevezünk egy térgörbe adott P pontjában vett binormális egyenesének? Csak akkor értelmezzük, ha a térgörbének az adott P pontjában van simulósíkja, és ekkor az az egyenes, amely átmegy a P ponton és merőleges a simulósíkra.. Mit nevezünk egy térgörbe egy binormális vektorának a térgörbe egy adott P pontjában Csak akkor értelmezzük, ha a térgörbének az adott P pontjában van simulósíkja, és ekkor olyan vektor, amely a simulósíknak egy normálvektora. (Olyan vektort, ami a binormális egyenesének egy irányvektora.) Hogyan értelmezzük egy térgörbe adott P pontjában vett rektifikáló síkját? Csak akkor értelmezzük, ha a P pontban van normálsík és simulósík is, és ekkor az a sík, amely átmegy a P ponton és a normálsíkra és a simulósíkra is merőleges. Mit nevezünk egy térgörbe adott P pontjában vett főnormális egyenesének? Csak akkor értelmezzük, ha a térgörbének az adott P pontjában van rektifikáló síkja, és ekkor az az egyenes, amely átmegy a P ponton és merőleges a rektifikáló síkra. Mit nevezünk egy térgörbe egy főnormális vektorának a térgörbe egy adott P pontjában Csak akkor értelmezzük, ha a térgörbének az adott P pontjában van rektifikálható síkja, és ekkor olyan vektor, amely a rektifikáló síknak egy normálvektora. (Olyan vektort, ami a főnormális egyenesének egy irányvektora.) Adjon egy elégséges feltételt arra, hogy az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbének legyen érintő egyenese a t0-paraméterű pontjában? Legyen r(t) a t0-ban differenciálható és r& ( t 0 ) ≠ 0 . Melyik egyenes lesz a t0-ban differenciálható r(t) ( r& ( t 0 ) ≠ 0 ) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbe érintő egyenese a t0-paraméterű pontjában? Az az egyenes, amelynek egyik pontja az r ( t 0 ) helyvektor végpontja és egy irányvektora: r& ( t 0 ) . Melyik vektort nevezzük a t0-ban differenciálható r(t) ( r& ( t 0 ) ≠ 0 ) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbe t érintő egységvektorának a t0-paraméterű pontjában? r& ( t 0 ) A t= vektort. r& ( t 0 ) Adjon egy elégséges feltételt arra, hogy az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbének legyen normál síkja a t0-paraméterű pontjában? Legyen a r(t) a t0-ban differenciálható és r& ( t 0 ) ≠ 0 .
Melyik sík lesz a t0-ban differenciálható r(t) ( r& ( t 0 ) ≠ 0 ) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbe normál síkja a t0-paraméterű pontjában? Az a sík, amelynek egyik pontja az r ( t 0 ) helyvektor végpontja és egy normálvektora: r& ( t 0 ) . Adjon egy elégséges feltételt arra, hogy az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbének legyen simulósíkja a t0-paraméterű pontjában? Legyen a r(t) a t0-ban kétszer differenciálható és r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) ≠ 0 . Melyik sík lesz a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektor–skalár függvénnyel adott térgörbe simulósíkja a t0-paraméterű pontjában? Az a sík, amelynek egyik pontja az r ( t 0 ) helyvektor végpontja és egy normálvektora: r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) . Adjon egy elégséges feltételt arra, hogy az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbének legyen binormális egyenese a t0-paraméterű pontjában? Legyen r(t) a t0-ban kétszer differenciálható és r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) ≠ 0 . Melyik egyenes lesz a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektor–skalár függvénnyel adott térgörbe binormális egyenese a t0-paraméterű pontjában? Az az egyenes, amelynek egyik pontja az r ( t 0 ) helyvektor végpontja és egy irányvektora: r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) . Melyik vektort nevezzük a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektorskalárfüggvénnyel adott térgörbe b binormális egységvektorának a t0-paraméterű pontjában? r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) A b= vektort. r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) Adjon egy elégséges feltételt arra, hogy az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbének legyen rektifikáló síkja a t0-paraméterű pontjában? Legyen a r(t) a t0-ban kétszer differenciálható és r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) ≠ 0 . Melyik sík lesz a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektor–skalár függvénnyel adott térgörbe rekifikálható síkja a t0-paraméterű pontjában? Az a sík, amelynek egyik pontja az r ( t 0 ) helyvektor végpontja és egy normálvektora: (r& ( t 0 ) x &r&( t 0 )) x r& ( t 0 ) . Adjon egy elégséges feltételt arra, hogy az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbének legyen főnormális egyenese a t0-paraméterű pontjában? Legyen r(t) a t0-ban kétszer differenciálható és r& ( t 0 ) x &r&( t 0 ) ≠ 0 .
Melyik egyenes lesz a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektor–skalár függvénnyel adott térgörbe főnormális egyenese a t0-paraméterű pontjában? Az az egyenes, amelynek egyik pontja az r ( t 0 ) helyvektor végpontja és egy irányvektora (r& ( t 0 ) x &r&( t 0 )) x r& ( t 0 ) . Hogyan írható fel a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektor-skalár függvénnyel adott térgörbe n főnormális egységvektora a t0-paraméterű pontjában? (r& ( t 0 ) x &r&( t 0 )) x r& ( t 0 ) . n = b x t . n = & & & & ( r ( t ) x r ( t )) x r ( t ) 0 0 0 Mit nevezünk a t0-ban kétszer differenciálható r(t) ( r& (t 0 ) x &r&(t 0 ) ≠ 0 ) vektor–skalár függvénnyel adott térgörbe kísérő triéderének a t0-paraméterű pontjában? A t, n, b rendezett vektorhármast. Mit mér egy térgörbe görbülete? Az egyenestől való eltérését. Mit mér egy térgörbe torziója? A síktól való eltérését. Hogyan értelmezzük egy térgörbe adott P pontjában vett simulókörét? A térgörbe három pontján átmenő kör határköre, ha a három pont tart a P ponthoz. Hogyan értelmezzük egy térgörbe adott P pontjában vett simulógömbjét? A térgörbe négy pontján átmenő gömb határgömbje, ha a négy pont tart a P ponthoz. Mikor nevezünk egy r(t) (a ≤ t ≤ b) görbeív egy ívhossz közelítő összegének? Ha a = t 0 < t 1 < ... < t n −1 < t n = b, akkor az ívhossz közelítő összeg:
n
∑ r(t ) − r(t ) . i =1
i
i −1
Hogyan értelmezzük egy r(t) (a ≤ t ≤ b) görbeív ívhosszát? Ívhossz közelítő összegeinek – minden határon túl finomodó felosztássorozat esetén vett határértékével. Mikor nevezünk egy r(t) (a ≤ t ≤ b) görbeívet rektifikálhatónak? Ha az ívhossz közelítő összegeinek – minden határon túl finomodó felosztássorozat esetén – véges határértéke van. Mikor nevezzük az r(t) vektor-skalár függvénnyel adott görbét simának? Ha r(t) folytonosan differenciálható (differenciálható és a differenciálhányadosa folytonos) és r& (t 0 ) ≠ 0 . Mikor mondjuk, hogy egy vektor-skalár függvénnyel adott térgörbe természetes paraméterezésű? Ha egy rögzített pontjától vett ívhosszát választjuk paraméternek.
KÉTVÁLTOZÓS VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK
Mit neveztünk kétváltozós (kétparaméteres) vektor-skalár függvénynek? r (u; v) : T → R 3 , T ⊂ R 2 függvényt. (R2 a valós számpárok, R3 a háromdimenziós vektorok halmaza). (Olyan függvényt, amely sík egy részhalmazának elemeihez háromdimenziós vektorokat rendel hozzá.) Mikor mondjuk, hogy az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény határértéke az (u0; v0) pontban az r0 vektor? Ha r(u;v) esetleg az (u 0 ; v 0 ) -t kivéve, értelmezve van az (u 0 ; v 0 ) egy környezetében és az r0 vektor bármely K r0 környezetéhez található az (u 0 ; v 0 ) -nak olyan K ( u 0 ; v 0 ) környezete, hogy ( u; v) ∈ K ( u 0 ; v 0 ) esetén r ( u; v) ∈ K r0 . (Ha r(u;v) esetleg az (u 0 ; v 0 ) -t kivéve, értelmezve van az (u 0 ; v 0 ) egy környezetében és
bármely ε > 0 valós számhoz található olyan δ > 0 valós szám, hogy 0 < ( u − u 0 ) 2 + ( v − v 0 ) 2 < δ esetén r (u; v) − r0 < ε .) (Ha esetleg az (u 0 ; v 0 ) -t kivéve, értelmezve van az (u 0 ; v 0 ) egy környezetében és bármely az u 0 -hoz tartó u n és a v 0 -hoz tartó v m számsorozatok esetén az r(u n ; v m ) vektorsorozat határértéke az r0 vektor.) Milyen kapcsolat van az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvénynek és a koordináta függvényeinek az (u0; v0)-ban vett határértéke között? r(u;v)-nek akkor és csak akkor van határértéke az (u 0 ; v 0 ) -ban, ha mindhárom koordináta függvényének van határértéke az (u 0 ; v 0 ) -ban, és r(u;v)-nek a határértéke az (u 0 ; v 0 ) -ban az a vektor, amelynek a koordinátái a koordináta függvényeinek határértékei. Mikor mondjuk, hogy az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény az (u0; v0)-ban folytonos? Ha r(u;v) értelmezve van az (u 0 ; v 0 ) -ban és lim r (u; v) = r (u 0 ; v 0 ) . u →u 0 v→ v 0
Milyen kapcsolat van az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvénynek és a koordináta függvényeinek az (u0; v0)-ban való folytonossága között? r(u;v) akkor és csak akkor folytonos az (u 0 ; v 0 ) -ban, ha mindhárom koordináta függvénye folytonos (u 0 ; v 0 ) -ban. Mikor mondjuk, hogy az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény az (u0; v0)-ban u szerint parciálisan differenciálható? Ha r ( u ; v 0 ) differenciálható u 0 -ban. r (u; v 0 ) − r (u 0 ; v 0 ) (A lim határérték létezik és véges.) u →u 0 u − u0
Mikor mondjuk, hogy az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény az (u0; v0)-ban v szerint parciálisan differenciálható? Ha r ( u 0 ; v ) differenciálható v 0 -ban. r ( u 0 ; v ) − r ( u 0 ; v) (A lim határérték létezik és véges.) v→ v 0 v − v0 Mikor mondjuk, hogy az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény a (u0; v0)-ban differenciálható? Ha értelmezve van az ( u 0 ; v 0 ) egy környezetében és találhatók olyan A és B vektorok, hogy a megváltozása ∆r felírható a következő alakban: ∆r = A ⋅ ∆u + B ⋅ ∆v + ε1 ⋅ ∆u + ε 2 ⋅ ∆v, ahol lim ε1 (∆u; ∆v) = 0 és lim ε 2 (∆u; ∆v) = 0 . ∆u → 0 ∆v → 0
∆u → 0 ∆v → 0
Milyen kapcsolat van az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény (u0; v0)-ban való u, ill. v szerint parciális differenciálhatósága és a koordináta függvényeinek az (u0; v0)-ban való u, ill. v szerinti parciális differenciálhatósága között? r(u;v) akkor és csak akkor differenciálható parciálisan u, ill. v szerint az ( u 0 ; v 0 ) -ban, ha koordináta függvényei u, ill. v szerint parciálisan differenciálhatók az ( u 0 ; v 0 ) -ban. Milyen kapcsolat van az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvény (u0; v0)-ban való differenciálhatósága az (u0; v0)-ban való u és v szerinti parciális differenciálhatósága között? Ha r(u;v) differenciálható az ( u 0 ; v 0 ) -ban, akkor u és v szerint is parciálisan differenciálható az ( u 0 ; v 0 ) -ban. Ha r(u;v) parciálisan differenciálható u és v szerint is az ( u 0 ; v 0 ) -ban, akkor nem biztos, hogy differenciálható az ( u 0 ; v 0 ) -ban. (Ha például r(u;v) u és v szerint is parciálisan differenciálhatók az ( u 0 ; v 0 ) -ban és ezek a parciális deriváltak folytonosak az ( u 0 ; v 0 ) -ban akkor r(u;v) differenciálható az ( u 0 ; v 0 ) -ban.) Mikor mondjuk, hogy egy felület Gauss-féle alakban van megadva? Ha kétváltozós vektor-skalár függvénnyel van megadva. Mikor mondjuk, hogy egy felület Euler-Monge-féle alakban van megadva? Ha z = f(x;y) kétváltozós valós függvénnyel van megadva. Mikor mondjuk, hogy egy felület egy skalár-vektor függvény szintfelületeként van megadva? Ha u(r) = c (ahol c valós állandó) alakban van megadva.) (Vagy ami ugyanaz u(x;y;z) = c, (ahol c valós állandó) alakban van megadva.) Mit nevezünk az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvénnyel adott felület (u0; v0)-hoz tartozó u-, ill. v- paramétervonalainak? Az r ( u; v 0 ) , ill. r ( u 0 ; v) vektor skalár függvényeket.
Mikor mondjuk, hogy az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvénnyel adott felület sima? Ha r ( u; v) az u és v szerint is parciálisan folytonosan differenciálható (azaz u és v szerint is parciálisan differenciálható és ezek a parciális deriváltak folytonosak) és ru′ x rv′ ≠ 0 . Hogyan értelmezzük egy felület érintősíkját a felület egy P pontjában? A felület három pontján átmenő síkok határsíkja, ha a három pont tart a P ponthoz Hogyan írható fel az r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvénnyel adott sima felület érintősíkjának egy normálvektora az (u0; v0)-hoz tartozó pontjában? ru′ (u 0 ; v 0 ) x rv′ (u 0 ; v 0 ) . Hogyan értelmezzük egy felület normálisát a felület egy P pontjában? Csak akkor értelmezzük, ha P-ben van érintősík és ekkor a normális a P-n átmenő és erre a síkra merőleges egyenes. Melyik egyenes lesz a r(u; v) kétváltozós vektor-skalár függvénnyel adott sima felület normálisa (normális egyenese) az (u0; v0)-hoz tartozó pontjában? Az az egyenes, amelynek egyik pontja az r (u 0 ; v 0 ) helyvektor végpontja és egy irányvektora: ru′ (u 0 ; v 0 ) x rv′ (u 0 ; v 0 ) . Hogyan értelmezzük egy felület felszínét? A felületbe beírt háromszöglapokból álló poliéder sorozat felszínének különböző feltételek mellett vett határértékeként.
SKALÁR-VEKTOR FÜGGVÉNYEK
Mit neveztünk skalár-vektor függvénynek? u (r ) : T → R, T ⊂ R 3 függvényt. (R a valós számok, R3 a háromdimenziós vektorok halmaza). (Olyan függvényt, amely háromdimenziós vektorok egy részhalmazának elemeihez valós számokat rendel hozzá.) Hogyan értelmezzük egy skalár-vektor függvény szintfelületeit? Az u(r) skalár vektor függvény szintfelületei az u(r) = C felületek, ahol C valós állandó. Mikor mondjuk, hogy az u(r) skalár-vektor függvény határértéke az r0 –ban A? Ha u(r) esetleg az r0 -t kivéve, értelmezve van az r0 egy környezetében és A bármely K A környezetéhez található az r0 -nak olyan K r0 környezete, hogy r ∈ K r0 esetén u (r) ∈ K A . (Ha u(r) esetleg az r0 -t kivéve, értelmezve van az r0 egy környezetében és bármely ε > 0
valós számhoz található olyan δ > 0 valós szám, hogy 0 < r − r0 < δ esetén u (r ) − A < ε .) (Ha u(r) esetleg az r0 -t kivéve, értelmezve van az r0 egy környezetében és bármely az r0 -hoz tartó rn vektorsorozat esetén az u (rn ) számsorozat határértéke A.)
Mikor mondjuk, hogy az u(r) skalár-vektor függvény az r0 –ban folytonos? Ha u(r) értelmezve r0 -ban és lim u (r ) = u (r0 ) . r →r0
Mikor mondjuk, hogy az u(r) skalár-vektor függvény az r0 –ban differenciálható? Ha értelmezve van az r0 egy környezetében és található olyan g vektorok, hogy a függvény ∆u megváltozása felírható a következő alakban: ∆u = g ⋅ ∆r + ε ( ∆r ), ahol lim ε( ∆r ) = 0 . ∆r → 0
Mit nevezünk az r0 –ban differenciálható u(r) skalár-vektor függvény gradiensének az r0 –ban? A függvény megváltozásának ∆u = g ⋅ ∆r + ε( ∆r ) felírásában szereplő g vektort. Milyen kapcsolat van az u(r) = u(x; y; z) skalár-vektor függvény parciális deriváltjai és gradiense között? Ha létezik u(r) gradiense, akkor létezik az u háromváltozós függvény x-, y. és z szerinti par ∂ u ∂u ∂u ciális deriváltja és grad u = ; ; . ∂x ∂y ∂z Ha léteznek az u háromváltozós függvény x-, y-. és z szerinti parciális deriváltjai, akkor nem biztos, hogy létezik a gradiense. (Ha pl. léteznek az u háromváltozós függvény x-, y-. és z szerinti parciális deriváltjai és ezek a parciális deriváltak folytonosak, akkor létezik a gradiense. Értelmezze a differenciálható u(r) skalár-vektor függvény iránymenti deriváltját az e egységvektor irányában? (grad u ) e . Értelmezze a differenciálható u(r) skalár-vektor függvény (teljes) differenciálját? du = (grad u ) dr . Adjon elégséges feltételt arra, hogy az u(r) skalár-vektor függvénynek az r0 helyvektor végpontján átmenő szintfelületének ebben a pontjában legyen érintősíkja! Legyen u(r) differenciálható az r0 -ban és grad u (r0 ) ≠ 0 ! Melyik sík lesz az r0-ban differenciáltató (gradu(r0) ≠0) u(r) skalár-vektor függvénynek az r0 helyvektor végpontján átmenő szintfelületének ebben a pontjában az érintősíkja! Az a sík, amely átmegy az r0 helyvektor végpontján és egy normálvektora grad u (r0 ) . Mit nevezünk ∇ (nabla) operátonak? ∂ ∂ ∂ ∇ = ; ; .(Szokták nabla vektornak vagy Hamilton operátornak is nevezni.) ∂x ∂y ∂z Hogyan írható fel egy differenciálható u(r) skalár-vektor függvény gradiense a ∇ (nabla) operátort segítségével? grad u = ∇u .
VEKTOR-VEKTOR FÜGGVÉNYEK
Mit neveztünk vektor-vektor függvénynek? v (r ) : T → R 3 , T ⊂ R 3 függvényt. ( R3 a háromdimenziós vektorok halmaza). (Olyan függvényt, amely háromdimenziós vektorok egy részhalmazának elemeihez háromdimenziós vektorokat rendel hozzá.) Hogyan értelmezzük egy vektor-vektor függvény áramvonalait? A v(r) áramvonalai azok az irányított görbék, amelyek érintői a v(r) értelmezési tartományának minden r eleme esetén egyirányúak v(r)-rel. Mikor mondjuk, hogy az v(r) vektor-vektor függvény határértéke az r0–ban A? Ha v(r) esetleg az r0 -t kivéve, értelmezve van az r0 egy környezetében és A bármely K A környezetéhez található az r0 -nak olyan K r0 környezete, hogy r ∈ K r0 esetén v(r) ∈ K A . (Ha v(r) esetleg az r0 -t kivéve, értelmezve van az r0 egy környezetében és bármely ε > 0
valós számhoz található olyan δ > 0 valós szám, hogy 0 < r − r0 < δ esetén v(r ) − A < ε .) (Ha v(r) esetleg az r0 -t kivéve, értelmezve van az r0 egy környezetében és bármely az r0 -hoz tartó rn vektorsorozat esetén az v (rn ) számsorozat határértéke A.) Mikor mondjuk, hogy az v(r) vektor-vektor függvény az r0 –ban folytonos? Ha v(r) értelmezve r0 -ban és lim v (r ) = v(r0 ) . r →r0
Mikor mondjuk, hogy az v(r) vektor-vektor függvény az r0 –ban differenciálható? Ha értelmezve van az r0 egy környezetében és található olyan D tenzor, hogy a függvény ∆v megváltozása felírható a következő alakban: ∆v = D ⋅ ∆r + ε ( ∆r ), ahol lim ε( ∆r ) = 0 . ∆r → 0
Mit nevezünk az v(r) vektor-vektor függvény deriválttenzorának? A v megváltozásának ∆v = D ⋅ ∆r + ε( ∆r ) felírásában szereplő D tenzort. Hogyan írható fel a v(r) vektor-vektor függvény deriválttenzorának mátrixa, a v(r) koordináta függvényeivel? ∂v1 ∂v1 ∂v1 ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v 2 ∂v 2 Ha v = [v1 ; v 2 ; v 3 ] , akkor [ D ] = 2 . ∂x ∂y ∂z ∂v 3 ∂v ∂v 3 3 ∂x ∂y ∂z
Hogyan értelmezzük a v(r) vektor-vektor függvény divergenciáját a v(r) koordináta függvényeivel? ∂v ∂v ∂v Ha v = [v1 ; v 2 ; v 3 ] , divv = 1 ; 2 ; 3 . ∂x ∂y ∂z Hogyan írható fel egy differenciálható v(r) vektor-vektor függvény divergenciája a ∇ (nabla) operátort segítségével? divv = ∇v . Mikor mondjuk, hogy a v(r) vektor-vektor függvénnyel adott vektortér forrásmentes? Ha divv = 0 . Hogyan értelmezzük a v(r) vektor-vektor függvény rotációját a v(r) koordináta függvényeivel, felhasználva a ∇ (nabla) operátort? i j k ∂ ∂ ∂ Ha v = [v1 ; v 2 ; v 3 ] , akkor rot v = ∇ x v = . ∂x ∂y ∂z v1 v 2 v 3 Mikor mondjuk, hogy a v(r) vektor-vektor függvénnyel adott vektortér örvénymentes? Ha rot v = 0 . Mit nevezünk Laplace-operátornak?
∂2 ∂2 ∂2 A ∇ vektor (abszolút értékének) négyzetét. Azaz ∆ = ∇ 2 = 2 + 2 + 2 . ∂x ∂y ∂z Mit nevezünk a v(r) vektor-vektor függvény egy görbe adott felosztásához tartozó görbementi (skalárértékű) vonalintegrál közelítő összegének? Ha a görbeívet a P0 , P1 , ..., Pn osztópontokkal osztjuk fel és c i a Pi −1 Pi ív egy pontjához tartozó helyvektor, továbbá ∆ri a Pi és Pi−1 ( i = 1, 2,..., n ) pontokhoz tartozó helyvektorok különbsége, akkor az integrálközelítő összeg:
n
∑ v(c ) ⋅ ∆r . i =1
i
i
Mikor mondjuk, hogy egy vektor-vektor függvény egy görbe mentén integrálható? Ha integrál közelítő összegeinek bármely minden határon túl finomodó felosztás sorozat esetén ugyanaz a véges határértéke van. Mit nevezünk egy vektor-vektor függvény görbementi vonalintegráljának? Az integrál közelítő összegeinek közös határértékét.
Mondjon elégséges feltételt arra, hogy a v(r) vektor-vektor függvény egy r(t) skalárvektor függvénnyel adott görbe mentén integrálható legyen? Legyen a görbe sima és v folytonos a görbén.
Mit nevezünk a v(r) vektor-vektor függvény egy F felületdarab adott felosztásához tartozó (skalárértékű) felületi integrál közelítő összegének? Ha F-et n részre osztjuk fel, és az i. rész egy pontjához tartozó helyvektor c i , továbbá ∆Fi olyan vektor, amely merőleges a c i -hez tartozó érintősíkra és abszolút értéke az i. rész felszíne ( i = 1, 2,..., n ) , akkor az integrálközelítő összeg:
n
∑ v(c )⋅ ∆F . i =1
i
i
Mikor mondjuk, hogy egy vektor-vektor függvény egy felület mentén integrálható? Ha integrál közelítő összegeinek bármely minden határon túl finomodó felosztás sorozat esetén ugyanaz a véges határértéke van. Mit nevezünk egy vektor-vektor függvény egy felületmenti felületi integráljának? Az integrál közelítő összegeinek közös határértékét.
Mondjon elégséges feltételt arra, hogy a v(r) vektor-vektor függvény egy r(u;v) kétváltozós skalár-vektor függvénnyel adott felület mentén integrálható legyen? Legyen a felület sima és v folytonos a felületen. Mit nevezünk az f háromváltozós valós függvény egy V térrész adott felosztásához tartozó integrál közelítő összegének? Ha V-t n részre osztjuk fel, és az i. rész egy pontja Pi , továbbá ∆Vi az i. rész térfogata ( i = 1, 2,..., n ) , akkor az integrálközelítő összeg:
n
∑ f (P )⋅ ∆V . i =1
i
i
Mikor mondjuk, hogy egy háromváltozós valós függvény egy térrészen integrálható? Ha integrál közelítő összegeinek bármely minden határon túl finomodó felosztás sorozat esetén ugyanaz a véges határértéke van. Mit nevezünk egy háromváltozós valós függvény egy térrészen vett hármas(térfogati) integráljának? Az integrál közelítő összegeinek közös határértékét.
Mit nevezünk xy-ra nézve térbeli normáltartománynak Vxy := (x; y; z) ∈ R 3 a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ y ≤ f 2 (x), f 3 (x; y) ≤ z ≤ f 4 (x; y) , ahol f1 ( x ) ≤ f 2 ( x )
{
}
x ∈ [a; b] és f 3 ( x; y) ≤ f 4 ( x; y) ( x; y) ∈ {a ≤ x ≤ b; f1 ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x )}, folytonos függvények.
Mit nevezünk yx-re nézve térbeli normáltartománynak Vyx := (x; y; z) ∈ R 3 c ≤ y ≤ d, g1 ( y) ≤ x ≤ g 2 ( y), g 3 (x; y) ≤ z ≤ g 4 (x; y) , ahol g1 ( y) ≤ g 2 ( y)
{
}
y ∈ [c; d ], g 3 ( x; y) ≤ g 4 ( x; y) ( x; y) ∈ {g 1 ( y) ≤ x ≤ g 2 ( y); c ≤ y ≤ d} , folytonos függvények.
Mit nevezünk xz-re nézve térbeli normáltartománynak Vxz := (x; y; z) ∈ R 3 a ≤ x ≤ b, f1 (x) ≤ z ≤ f 2 (x), f 3 (x; z) ≤ y ≤ f 4 (x; z) , ahol f1 ( x ) ≤ f 2 ( x )
{
}
x ∈ [a; b] és f 3 ( x; z) ≤ f 4 ( x; z) ( x; z) ∈ {a ≤ x ≤ b; f 1 ( x ) ≤ z ≤ f 2 ( x )} , folytonos függvények.
Mit nevezünk zx-re nézve térbeli normáltartománynak Vzx := (x; y; z) ∈ R 3 e ≤ z ≤ f , g1 (z) ≤ x ≤ g 2 (z), g 3 (x; z) ≤ y ≤ g 4 (x; z) , ahol g1 (z) ≤ g 2 (z)
{
}
z ∈ [e; f ], g 3 ( x; z) ≤ g 4 ( x; z) ( x; z) ∈ {g 1 (z) ≤ x ≤ g 2 (z); e ≤ z ≤ f }, folytonos függvények.
Mit nevezünk yz-re nézve térbeli normáltartománynak Vyz := (x; y; z) ∈ R 3 c ≤ y ≤ d, g1 ( y) ≤ z ≤ g 2 (y), g 3 ( y; z) ≤ x ≤ g 4 ( y; z) , ahol g1 ( y) ≤ g 2 ( y)
{
}
y ∈ [c; d ], g 3 ( y; z) ≤ g 4 ( y; z) ( y; z) ∈ {c ≤ y ≤ d; g 1 ( y) ≤ z ≤ g 2 ( y)}, folytonos függvények.
Mit nevezünk zy-ra nézve térbeli normáltartománynak Vzy := (x; y; z) ∈ R 3 e ≤ z ≤ f , g1 (z) ≤ y ≤ g 2 (z), g 3 (y; z) ≤ x ≤ g 4 ( y; z) , ahol g1 (z) ≤ g 2 (z)
{
}
z ∈ [e; f ], g 3 ( y; z) ≤ g 4 ( y; z) ( y; z) ∈ {g 1 (z) ≤ y ≤ g 2 (z); e ≤ z ≤ f }, folytonos függvények.
Mondjon elégséges feltételt arra, hogy az f háromváltozós valós függvény egy V térészen integrálható legyen? Legyen V térbeli normáltartomány és f folytonos ezen a tartományon. Mikor mondjuk, hogy egy vektortér (egy v(r) vektor-vektor függvény) egy tartományon konzervatív? Ha bármely a tartományban haladó zárt görbén vett vonalintegrálja 0. Mikor mondjuk, hogy egy vektortér (egy v(r) vektor-vektor függvény) potenciálos? Ha található olyan skalár-vektor függvény melynek a gradiense v(r). Mit nevezünk egy potenciálos vektortér (egy v(r) vektor-vektor függvény) potenciálfüggvényének? Olyan u(r) skalár-vektor függvény melynek a gradiense v(r). Milyen kapcsolat van egy vektortér (egy v(r) vektor-vektor függvény) potenciálfüggvényei között? Egy additív állandóban térnek el egy mástól. (Bármely kettő különbsége konstans.) Milyen kapcsolat van a következő négy fogalom között? a) A v(r) vektor-vektor függvény által definiált vektortér örvénymentes. b) a v(r) vektor-vektor függvény által definiált vektortér konzervatív, c) a v(r) vonalintegrálja nem függ az úttól, d) a v(r) vektor-vektor függvény által definiált vektortér potenciálos. Általában ekvivalensek egymással. (Ha pl. V térbeli normáltartomány és v(r) a V-n folytonosan differenciálható, akkor ekvivalensek egymással.) Ismertesse a Gauss-Osztrogradszkij tételt! Legyen a v(r) vektor-vektor függvény folytonosan differenciálható az F korlátos, zárt felület által határolt V térrészben és tegyük fel, hogy F-nek van felszíne! Ekkor a divv V-n vett térfogati integrálja egyenlő a v F-en vett felületi integráljával.
Ismertesse a Stokes tételt! Legyen a v(r) vektor-vektor függvény folytonosan differenciálható az irányított, F korlátos és sima felületen, és a g sima görbe az F felület zárt határgörbéje! Ekkor v-nek a zárt g-n vett vonalintegrálja egyenlő a rotv F-en vett felületi integráljával. (A g az F normálvektorának irányából nézve pozitív irányítású.) Irja fel a Green formulát! Ha a P(x;y) és Q(x;y) kétváltozós függvények elsőrendű parciális deriváltjai léteznek, és folytonosak a g sima zárt görbe által határolt T síkbeli tartományon, továbbá T-nek van ∂Q ∂P − dx dy. ∂x ∂y
területe, akkor: ∫ (P dx + Q dy) = ∫∫ g
T
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Mit nevezünk eseménynek? Egy kísérlettel kapcsolatos állítást. Mit nevezünk elemi eseménynek? Egy kísérlet egymást kizáró kimeneteleinek megfelelő eseményeket elemi eseménynek nevezzük. Mit nevezünk két esemény összegének? Azt az eseményt, amely akkor és csak akkor következik be, ha legalább az egyik esemény bekövetkezik. Mit nevezünk két esemény szorzatának? Azt az eseményt, amely akkor és csak akkor következik be, ha mindkét esemény bekövetkezik. Mit nevezünk két esemény különbségének? A−B az az esemény, amely akkor és csak akkor következik be, ha A bekövetkezik és B nem. Mit nevezünk egy esemény ellentettjének? Azt az esményt, amely akkor és csak akkor következik be, ha az esemény nem következik be. Mikor mondjuk, hogy két esemény kizárja egymást? Ha egyszerre nem következhetnek be (ha szorzatuk a lehetetlen esemény). Mit nevezünk lehetetlen eseménynek? Azt az eseményt, amely soha nem következik be. Mit nevezünk biztos eseménynek? Azt az eseményt, amely mindig bekövetkezik. Mit nevezünk egy esemény gyakoriságának? Ha egy kisérletet n-szer végrehajtunk és egy ezzel kapcsolatos esemény k-szor következik be, akkor a k számot az esemény gyakoriságának nevezzük.
Mit nevezünk egy esemény relatív gyakoriságának? Ha egy kisérletet n-szer végrehajtunk és egy ezzel kapcsolatos esemény k-szor következik be, akkor a k/n hányadost az esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Írja fel a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómáit! Egy eseménytér minden A eseményéhez hozzá van rendelve egy P(A) valós szám, az A esemény valószínűsége, amelyre 0 ≤ P(A) ≤ 1 teljesül. P(∅) = 0, P (I) = 1. Ha AB = ∅, akkor P(A+B) = P(A) + P(B). Ha az A1, A2 … eseményekre i≠k esetén AiAk = ∅, akkor P(A1+A2+ … +An+…) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) +… . Mikor beszélünk klasszikus valószínűségi mezőről? Ha egy kisérletnek véges sok kimenetele van és minden kimenetele egyformán valószínű. Mit nevezünk a valószínűség (klasszikus) kombinatorikus kiszámítási módjának? Ha egy kisérletnek véges sok kimenetele van és minden kimenetele egyformán valószínű, akkor egy esemény valószínűsége egy olyan tört amelynek számlálójában azon esetek száma áll, amikor az esemény bekövetkezik, nevezőjében pedig az összes esetek száma áll. Mit nevezünk egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének? P(AB) Az A esemány B-re vonatkozó feltételes valószínűsége: P(A B) = , ha P(B) ≠ 0. P(B) Mikor mondjuk, hogy két esemény független? Az A és B eseményeket függetleneknek nevezzük, ha: P ( AB) = P ( A ) P( B) . Mikor nevezünk n számú eseményt (teljesen) függetleneknek? Az A1 , A 2 , . . ., A n események (teljesen) függetlenek, ha P(A1 A 2 ⋅ . . . ⋅ A k ) = P(A1 ) ⋅ P(A 2 ) ⋅ . . . ⋅ P(A k ), 2 ≤ k ≤ n. Mit nevezünk teljes eseményrendszernek? Olyan, a lehetetlen eseménytől különböző, egymást páronként kizáró események rendszerét, amelyek összege a biztos esemény. Mit mond ki a teljes valószínűség tétele? Ha A tetszőleges esemény és B1 , B 2 , . . ., B n egy teljes eseményrendszer és n
P(B k ) ≠ 0 (1 ≤ k ≤ n ) , akkor: P(A ) = ∑ P(A B k ) ⋅ P(B k ) . k =1
Mit mond ki a Bayes-tétel? Ha A tetszőleges esemény és B1 , B 2 , . . ., B n egy teljes eseményrendszer és P(A B k ) ⋅ P(B k ) P(A) ≠ 0, P(B k ) ≠ 0 (1 ≤ k ≤ n ) , akkor: P({B k A ) = n , (1 ≤ k ≤ n ) . ∑ P( A B k ) ⋅ P (B k ) k =1
Mit nevezünk diszkrét valószínűség eloszlásnak? Olyan nem negatív számokból álló számsorozatot, amelynek az összege 1. Mit nevezünk valószínűségi változónak? Olyan függvényt, amelynek az értelmezési tartománya egy eseménytér és képhalamaza a valós számok halmaza. (Olyan függvényt, amely elemi eseményekhez valós számokat rendel hozzá.) Mit nevezünk diszkrét valószínűségi változónak? Olyan valószínűségi változót, amely legfeljebb megszámlálható sok értéket vesz fel. (Olyan valószínűségi változót, amelynek értékkészlete egy legfeljebb megszámlálható számosságú halmaz.) Mit nevezünk diszkrét valószínűségi változó eloszlásának? Ha a ξ valószínűségi változó felvett értékei xi (í =1, 2, …), akkor a pi = P(ξ = xí) (í =1, 2, …) valószínűségeloszlást. Hogyan értelmezzük egy diszkrét valószínűségi változó generátor függvényét? Ha a ξ valószínűségi változó eloszlása (pk) (k =1, 2, …), akkor G ξ ( x ) = ∑ p k x k . k
Mikor mondjuk, hogy két diszkrét valószínűségi változó független? Legyenek a ξ valószínűségi változó felvett értékei xi (í =1, 2, …) és az η valószínűségi változó felvett értékei yj (j =1, 2, …), továbbá Ai : = {ξ = xí}, Bj : = {ξ = yj}! Ekkor a ξ és az η valószínűségi változókat függetleneknek nevezzúk, ha az Ai és a Bj események minden lehetséges i és j esetén függetlenek. Mikor mondjuk, hogy n számú diszkrét valószínűségi változó (teljesen) független? Legyenek a ξk valószínűségi változó felvett értékei x km k és A km k : = {ξ k = x km k } (1 ≤ k ≤ n ,
m k = 1, 2, ...) ! Ekkor a ξ1, ξ2, …, ξn valószínűségi változókat függetleneknek nevezzúk, ha az A 1m1 , A 2 m 2 , . . ., A nm n események minden lehetséges m1 , m 2 . . ., m n esetén függetlenek.
Mit nevezünk folytonos eloszlású valószínűségi változónak? Olyan valószínűségi változót, amelynek az eloszlásfüggvénye folytonos. Mit nevezünk egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének? A ξ valószínüségi változó eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ<x). Mikor nevezzük a ξ és η folytonos eloszlású valószínűségi változókat függetleneknek? Ha P (ξ < x; η < y) = P (ξ < x ) ⋅ P (η < y), x , y ∈ R Mikor nevezzük a ξ1, ξ2, …, , ξn folytonos eloszlású valószínűségi változókat (teljesen) függetleneknek? Ha P(ξ1 < x 1 ; ξ 2 < x 2 ; . . .; ξ n < x n ) = P(ξ1 < x 1 ) ⋅ P(ξ 2 < x 2 ) ⋅ . . . ⋅ P(ξ n < x n ), x 1 , x 2 , . . ., x n ∈ R.
Sorolja fel egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének tulajdonságait! 1. Monoton növekvő. 2. Balról folytonos. 3. lim F( x ) = 0, lim F( x ) = 1 . x → −∞
x → +∞
Hogyan értelmezzük egy valószínűségi változó sűrűségfüggvényét? Ha található olyan f függvény, hogy a valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényére: x
F( x ) =
∫ f (t ) dt , akkor ezt az f függvényt a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének
−∞
nevezzük.
Hogyan írható fel a ξ + η valószínűségi változó h(x) sűrűségfüggvénye, ha a ξ és az η független valószínűségi változók sűrűségfüggvényei f(x) és g(x)? ∞ ∞ h (z) = ∫ f ( x ) g (z − x ) dx. h (z) = ∫ f (z − x )g ( x ) dx. .∞ .∞ Sorolja fel egy valószínűségi változó sűrűségfüggvényének tulajdonságait! 1. Értéke nem lehet negatív. 2. A számegyenesen vett improprius integrálja 1. Hogyan írható fel a P(ξ < b) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényével? P(ξ < b) = F(b). Hogyan írható fel a P(ξ ≥ a) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényével? P(ξ ≥ a) = 1−F(a). Hogyan írható fel a P(a ≤ ξ < b) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlás-függvényével? P(a≤ ξ
a) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényével, ha F(x) az a-ban folytonos? P(ξ > a) = 1−F(a). Hogyan írható fel a P(a ≤ ξ ≤ b) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfügg.vényével, ha F(x) a b-ben folytonos? P(a≤ ξ ≤ b) = F(b)−F(a). Hogyan írható fel a P(a < ξ < b) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényével, ha F(x) az a-ban folytonos? P(a < ξ < b) = F(b)−F(a).
Hogyan írható fel a P(a < ξ ≤ b) valószínűség a ξ valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényével, ha F(x) az a-ban és a b-ben is folytonos? P(a < ξ ≤ b) = F(b)−F(a). Ha a ξ valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye és ez f(x), akkor hogyan írhatók fel ezzel a P(ξ < b) és a P(ξ ≤ b) valószínűségek? b
P(ξ < b) = P(ξ ≤ b) = ∫ f ( x ) dx . −∞
Ha a ξ valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye és ez f(x), akkor hogyan írhatók fel ezzel a P(ξ ≥ a) és a P(ξ > a) valószínűségek? ∞
P(ξ ≥ a) = P(ξ > a) = ∫ f ( x ) dx a
Ha a ξ valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye és ez f(x), akkor hogyan írhatók fel ezzel a P(a ≤ ξ < b), P(a ≤ ξ ≤ b), P(a < ξ < b) és a P(a < ξ ≤ b) valószínűségek? b
P(a ≤ ξ < b) = P(a ≤ ξ ≤ b) = P(a < ξ < b) = P(a < ξ ≤ b) = ∫ f ( x ) dx a
Hogyan értelmezzük egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét? (Hogyan számoljuk ki egy diszkrét valószínűségi változó várható értékét?) Ha P(ξ = x i ) = p i , M (ξ) = ∑ x i p i , ha a sor abszolút konvergens. i
Hogyan értelmezzük egy f(x) sűrűségfüggvényű valószínűségi változó várható értékét? (Hogyan számoljuk ki egy f(x) sűrűségfüggvényű valószínűségi változó várható értékét?) +∞
+∞
−∞
−∞
M (ξ) = ∫ x f ( x ) dx , ha a ∫ x f ( x ) dx improprius integrál konvergens.
Hogyan értelmezzük egy valószínűségi változó szórásnégyzetét? D2(ξ) = M((ξ −M(ξ))2 (A szórásnégyzet pozitív négyzetgyökét szórásnak nevezzük.) Hogyan számoljuk ki egy diszkrét valószínűségi változó szórásnégyzetét? 2
Ha P(ξ = x i ) = p i , D (ξ) = ∑ x p − ∑ x i pi . i i 2
2 i i
Hogyan számoljuk ki egy f(x) sűrűségfüggvényű valószínűségi változó szórásnégyzetét? +∞
+∞ D (ξ) = ∫ x f ( x ) dx − ∫ x f ( x ) dx −∞ −∞ 2
2
2
Melyek a várható érték legfontosabb tulajdonságai? 1. M(c) = c, ahol c állandó 2. M(cξ) = cM(ξ), ahol c állandó 3. M(ξ +η) = M(ξ)+M(η)
Melyek a szórásnégyzet legfontosabb tulajdonságai? 1. D2(c) = 0, ahol c állandó 2. D2(aξ +b) = a2D2(ξ), ahol a és b állandók Mit nevezünk a ξ valószínűségi változó karakterisztikus függvényének? ϕ ξ ( t ) = M(e jξt ) (= M(ξ cos t ) + j ⋅ M(ξ sin t )). Hogyan írható fel egy f(x) sűrűségfüggvényű valószínűségi változó karakterisztikus függvénye? ϕ ξ (t ) =
∞
∫ f (x) ⋅ e
jtx
dx.
−∞
Mit nevezünk binomiális eloszlásnak? Az n-ed rendű, p paraméterű (n pozítiv egész, 0 < p < 1) binomiális eloszlás: n pk = pk(1−p)n-k, k = 0, 1, …, n. k Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó binomiális eloszlású? A ξ valószínűségi változót n-ed rendű, p paraméterű (n pozítiv egész, 0 < p <1) binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha: n P(ξ = k) = pk(1−p)n-k, k = 0, 1, …, n. k Mit nevezünk hipergeometrikus eloszlásnak? s m −s ⋅ k n − k pk = (max(0, n + s − m) ≤ k ≤ min(n , s)) . m n Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlású? A ξ valószínűségi változót hipergeometrikus eloszlásúnak nevezzük, ha: s m − s ⋅ k n − k P(ξ = k) = (max(0, n + s − m) ≤ k ≤ min(n , s)) . m n Mit nevezünk Poisson-eloszlásnak? A λ paraméterű (λ > 0 valós szám) Poisson-eloszlás: λk Pk = e − λ (k = 0, 1, 2, …). k! Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó Poisson-eloszlású? A ξ valószínűségi változót λ paraméterű (λ > 0 valós szám) Poisson-eloszlásúnak nevezzük, λk −λ e (k = 0, 1, 2, …). ha: P(ξ = k) = k!
Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó egyenletes eloszlású az ]a; b[ intervallumban? 1 , ha a < x < b, Ha sűrűségfüggvénye: f (x ) = b − a 0, máskor. Írja fel az ]a; b[ intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét? 0, ha x ≤ a , x − a F( x ) = , ha a < x ≤ b, b −a 1, ha x > b. Mennyi az ]a; b[ intervallumban egyenletes eloszlású ξ valószínűségi változó várható értéke? a+b . M ( ξ) = 2 Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó exponenciális eloszlású? Egy valószínűségi változó λ paraméterű (λ > 0 valós szám), exponenciális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye: λe − λx , ha x ≥ 0, f (x) = 0, ha x < 0. Írja fel a λ paraméterű, exponenciális eloszlású valószínűségi változó eloszlás-függvényét? 1 − e − λx , ha x > 0, F( x ) = 0, ha x ≤ 0. Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó (m, σ) paraméterű, normális eloszlású? Az ξ valószínűségi változó m, σ ( m ∈ R, σ ∈ R + ) paraméterű normális eloszlású valószínűségi változó, ha sűrűségfüggvénye: − 1 e 2π σ
f(x) =
( x −m )2 2σ2
− ∞ < x < +∞ .
(Jelölése: N (m, σ) ).
Írja fel az (m, σ) paraméterű, normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét? x
F(x) =
∫
−∞
− 1 e 2π σ
( t −m )2 2 σ2
dt
− ∞ < x < +∞ .
Mennyi az (m, σ) paraméterű, normális eloszlású ξ valószínűségi változó várható értéke? M (ξ ) = m .
Mennyi az (m, σ) paraméterű, normális eloszlású ξ valószínűségi változó szórása? D(ξ) = σ . Mikor mondjuk, hogy egy valószínűségi változó standard normális eloszlású? x2
Ha sűrűségfüggvénye:
1 −2 ϕ( x ) = e 2π
− ∞ < x < +∞ .
Írja fel a standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét? x
Φ(x) =
∫
−∞
1 2π
e
−
t2 2
dt
− ∞ < x < +∞ .
Mennyí a standard normális eloszlású ξ valószínűségi változó várható értéke? M (ξ) = 0 . Mennyí a standard normális eloszlású ξ valószínűségi változó szórása? D ( ξ) = 1 . Milyen kapcsolat van a standard normális eloszlású valószínűségi változó Φ eloszlásfüggvényének a Φ(x) és a Φ(−x) helyettesítési értékei között? Φ(x) + Φ(−x) = 1. Milyen kapcsolat van az (m, σ) paraméterű, normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye között? Ha az N (m, σ) eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x) és az N(0, 1) eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye Φ(x), akkor: x−m F( x ) = Φ . σ Mit mondhatunk két független normális eloszlású valószínűségi változó összegének az eloszlásáról? Normális eloszlás. ( Ha ξ N ( m 1 ; σ1 ) eloszlású és η N ( m 1 ; σ1 ) akkor, ξ + η N ( m 1 + m 2 ; σ12 + σ 22 ) eloszlású. )
Ismertesse a sztochasztikus konvergencia fogalmát! Valószínűségi változók egy (ξ n ) sorozata sztochasztikusan konvergál a ξ valószínűségi változóhoz, ha bármely pozitív ε számra lim P( ξ n − ξ ≥ ε) = 0 . n →∞
Mit mond ki a nagy számok Bernoulli-féle törvénye? Független kísérletek sorozatában egy esemény relatív gyakorisága sztochasztikusan konvergál az esemény valószínűségéhez. Ismertesse az 1 valószínűségű (majdnem biztos) konvergencia fogalmát! Valószínűségi változók egy (ξ n ) sorozata 1 valószínűséggel (majdnem biztosan) konvergál a ξ valószínűségi változóhoz, ha P ( lim ξ n = ξ) = 1. n →∞
Ismertessen az előadáson szereplő nagy számok erős törvényét! Ha (ξ n ) (teljesen) független azonos eloszlású valószínűségi változók egy sorozata, amelyek n
közös m várható értéke létezik, akkor az η n =
∑ξ k =1
n
n
valószínűségi változók sorozata 1 való-
színűséggel m-hez konvergál. Mit nevezünk egy valószínűségi változó standardizáltjának? Ha a ξ valószínűségi változó szórása létezik és nem nulla, akkor a standardizáltja:
ξ − M (ξ) . D( ξ)
Ismertesse az előadáson szereplő centrális határeloszlás-tételt! Ha (ξ n ) (teljesen) független azonos eloszlású valószínűségi változók egy sorozata, amelyek n
közös m várható értéke és ϭ > 0 szórása létezik, és Fn(x) a
∑ξ k =1
n
valószínűségi változó stan-
dardizáltjának eloszlásfüggvénye, akkor bármely x valós számra lim Fn ( x ) = Φ ( x ). n
MATEMATIKAI STATISZTIKA Mit nevezünk statisztikai mintának? Egy valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független mérés eredménye. Mit nevezünk statisztikának (statisztikai függvénynek)? Mintaelemek valamely függvényét. Hogyan szerkesztünk meg egy gyakorisági hisztogramot? Essenek az x 1 , x 2 , K, x n mintaelemek az [a; b[ intervallumba! Vegyük az intervallumnak egy k részre való felosztását: a = c 0 < c1 < K < c k = b , és jelölje gyi a [c i −1 ; c i [ intervallumba eső mintaelemek számát! Ezután mindegyik [c i −1 ; c i [ intervallumra téglalapot rajzolunk 1 ≤ i ≤ k ) !
gy i magasságú c i − c i −1
Hogyan szerkesztünk meg egy sűrűséghisztogramot? Essenek az x 1 , x 2 , K, x n mintaelemek az [a; b[ intervallumba! Vegyük az intervallumnak egy k részre való felosztását: a = c 0 < c1 < K < c k = b , és jelölje gyi a [c i −1 ; c i [ intervallumba eső mintaelemek számát! Rajzoljunk mindegyik [c i −1 ; c i [ intervallumra téglalapot 1 ≤ i ≤ k ) ! Hogyan értelmezzük egy statisztikai minta mintaközepét? 1 n Az X1 , X 2 , K, X n mintaelemek mintaközepe: X = ∑ X i . n i =1
gy i magasságú n (c i − c i −1 )
Hogyan értelmezzük egy statisztikai minta tapasztalati (empirikus) szórásnégyzetét? 1 n Az X1 , X 2 , K, X n mintaelemek tapasztalati szórásnégyzete: S 2n = ∑ (X i −X ) 2 ahol X a n i =1 mintaközép. Hogyan értelmezzük egy statisztikai minta korrigált tapasztalati (empirikus) szórásnégyzetét? Az X1 , X 2 , K, X n mintaelemek korrigált tapasztalati szórásnégyzete: 1 n S∗n2 = ( X i −X ) 2 , ahol X a mintaközép. ∑ n − 1 i =1 Mit értünk pontbecslés alatt? Ha egy valószínűségi változó valamely ismeretlen paraméterét egy számmal becsüljük. Mit értünk intervallumbecslés alatt? Ha egy valószínűségi változó valamely ismeretlen paramétere olyan intervallumot konstruálunk, amelybe nagy valószínűséggel bele esik. Mit nevezünk egy valószínűségi változó egy α paraméterére vonatkozó (1-ε) szintű konfidencia intervallumnak? Olyan [c1 ; c 2 [ intervallumot, melyre P(α ∈ [c1 ; c 2 [ ) = 1 − ε. Mit nevezünk statisztikai hipotézisnek? Egy valószínűségi változóval kapcsolatos feltevést. Mit nevezünk statisztikai hipotézisvizsgálat nullhipotézisének? Azt a feltevést, amelyet igaznak tételezünk fel. Mit nevezünk statisztikai hipotézisvizsgálat ellen(alternatív)hipotézisének? A nullhipotézistől eltérő bizonyos más lehetőségeket. Mikor beszélünk egy statisztikai hipotézisvizsgálatnál egyszerű hipotézisről? Ha a hipotézis a valószínűségi változó eloszlását egyértelműen meghatározza. Mikor beszélünk egy statisztikai hipotézisvizsgálatnál összetett hipotézisről? Ha a hipotézis a valószínűségi változó eloszlását nem határozza meg egyértelműen, azaz többféle eloszlást is megenged. Mit nevezünk statisztikai próbának? Olyan eljárást, melynek alapján egy statisztikai hipotézisről döntünk. Mikor nevezünk egy statisztikai próbát paraméteres próbának? Ha az eloszlás típusa ismert és a nullhipotézis ennek ismeretlen paramétereire vonatkozik Mikor nevezünk egy statisztikai próbát nem paraméteres próbának? Ha a nullhipotézis az eloszlásra vonatkozik.
Mit értünk egy statisztikai próbánál elsőfajú hibának? Ha a nullhipotézis elvetjük, holott az igaz. Mit értünk egy statisztikai próbánál másodfajú hibának? Ha a nullhipotézis elfogadjuk, holott az nem igaz. Mit értünk egy statisztikai próba (megbízhatósági) szintjének? Annak a valószínűsége, hogy a nullhipotézis elfogadjuk, amennyiben a nullhipotézis igaz. Mit nevezünk egy statisztikai próba szignifikancia szintjének? Annak a valószínűsége, hogy a nullhipotézis elvetjük, holott a nullhipotézis igaz. Mit nevezünk statisztikai próbánál elfogadási tartománynak? A próbastatisztika értékeinek az az E részhalmaza, amelyre az igaz, hogy a nullhipotézist akkor fogadjuk el, ha a próbastatisztika értéke E-be esik. Mit nevezünk statisztikai próbánál kritikus tartománynak? A próbastatisztika értékeinek olyan K részhalmaza, hogy ha próbastatisztika értéke K-ba esik, akkor a nullhipotézist elvetjük. Mikor alkalmazzuk az egymintás u-próbát? Ismert szórású (ismeretlen várható értékű) normális eloszlású sokaság esetén. Fogalmazza meg az egymintás u-próba (egyszerű) nullhipotézisét! H 0 : M (ξ) = m 0 (ahol m 0 adott valós szám). Fogalmazza meg az egymintás kétoldali u-próba hipotéziseit (egyszerű nullhipotézis esetén)! H 0 : M (ξ) = m 0 H 1 : M (ξ) ≠ m 0 (ahol m 0 adott valós szám). Fogalmazza meg az egymintás egyoldali u-próba hipotéziseit (egyszerű nullhipotézis esetén)! H 0 : M (ξ) = m 0 H 1 : M (ξ) > m 0 (ahol m 0 adott valós szám). vagy H 0 : M (ξ) = m 0 H 1 : M (ξ) < m 0 (ahol m 0 adott valós szám). Mikor alkalmazzuk az egymintás t-próbát? Ismeretlen szórású és ismeretlen várható értékű normális eloszlású sokaság esetén. Fogalmazza meg az egymintás t-próba (egyszerű) nullhipotézisét! H 0 : M (ξ) = m 0 (ahol m 0 adott valós szám).
Fogalmazza meg az egymintás kétoldali t-próba hipotéziseit (egyszerű nullhipotézis esetén)! H 0 : M (ξ) = m 0 H 1 : M (ξ) ≠ m 0 (ahol m 0 adott valós szám). Fogalmazza meg az egymintás egyoldali t-próba hipotéziseit (egyszerű nullhipotézis esetén)! H 0 : M (ξ) = m 0 H 1 : M (ξ) > m 0 (ahol m 0 adott valós szám). vagy H 0 : M (ξ) = m 0 H 1 : M (ξ) < m 0 (ahol m 0 adott valós szám). Mit nevezünk illeszkedésvizsgálatnak? Olyan statisztikai próbát, amikor azt szeretnénk eldönteni, hogy a minta adatai egy adott eloszlású (valószínűségi változóra vonatkozó) statisztikai sokaságból származnak vagy sem. Mikor beszélünk tiszta illeszkedésvizsgálatról? Ha a feltételezett eloszlás paraméterei ismertek. Mikor beszélünk becsléses illeszkedésvizsgálatról? Ha a feltételezett eloszlás egy vagy több paraméterét a mintából becsüljük. Hogyan változik a szabadsági fok, ha χ 2 -próbával becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk? A mintából becsült paraméterek számával csökken. Mit nevezünk homogenitásvizsgálatnak? Olyan statisztikai próbát, amikor azt szeretnénk eldönteni, hogy két statisztikai minta elemei azonos eloszlású (valószínűségi változókra vonatkozó) statisztikai sokaságból származnak vagy sem. Mikor nevezünk függetlenségvizsgálatnak? Olyan statisztikai próbát, amikor azt szeretnénk eldönteni, hogy két statisztikai minta elemei két független (valószínűségi változóra vonatkozó) statisztikai sokaságból származnak vagy sem.
