VEKTOR Mata Kuliah
: Calculus (MF113)
Oleh
: Hanung N. Prasetyo
Information System Department TELKOM Polytechnic Bandung
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
2
1. Vektor di Ruang 2
Besaran Skalar dan Besaran Vektor
Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai)
Besaran Vektor-> memiliki besar dan arah
Ex: waktu, suhu, panjang, luas, volum, massa Ex: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik
Notasi Vektor
Ruas garis berarah yg panjang dan arahnya tertentu. Vektor dinyatakan dg huruf ū, u, u (bold), atau u (italic). Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang u = AB Notasi u dibaca “vektor u” Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
3
Penyajian Vektor
Vektor sbg pasangan bilangan
u = (a,b)
a : komponen mendatar, b : komponen vertikal
Vektor sbg kombinasi vektor satuan i dan j
a u = b
u = ai + bj
Panjang vektor u ditentukan oleh rumus
| u |= a 2 + b 2 Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
4
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka
|u| = |v| arah u = arah v a=c dan b=d
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
5
a
b
Dua vektor sama, a=b
a
b
a
b
Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama, besaran beda
Dua Vektor besar dan arah berbeda
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
6
Penjumlahan Vektor u
v
w=u+v
v
w=u+v
u
Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang u = Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
a c u = dan v = b d a c a + c u + v = + = b d b + d Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
7
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas u+0=0+u=u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. u – u = u + (-u) = 0 Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
8
Pengurangan Vektor
Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v) Dalam bentuk pasangan bilangan
a c u = dan v = b d a c a − c u − v = − = b d b − d
v u
u w=u-v
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
-v
9
Perkalian Vektor dengan Skalar mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m < 0. a Jika u = dan m ∈{bilangan real}, b a ma maka : mu = m = b mb
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
u 2u
10
Sifat-Sifat Operasi Vektor
Komutatif a + b = b + a Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0 Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
11
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
(mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
12
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Penjumlahan
Pengurangan
c a Jika u = dan v = d b a c a + c u + v = + = b d b + d
a c Jika u = dan v = b d a c a − c u − v = − = b d b − d
| u + v |= (a + c) 2 + (b + d ) 2
| u − v |= (a − c) 2 + (b − d ) 2
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
13
Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan v
u+v
| u + v |= | u |2 + | v |2 +2 | u || v | cos θ
θ u
u-v v
| u − v |= | u |2 + | v |2 −2 | u || v | cos θ
θ u
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
14
Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan v
|u+v| |u| |v| = = sin α sin(α − β ) sin β β : arah vektor hasil penjumlahan
u+v β
α u
u-v v β
α u
|u −v| |u| |v| = = sin α sin( β − α ) sin β β : arah vektor hasil pengurangan
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
15
Vektor Posisi
Y
A
OA = a dan OB = b adalah vektor posisi. AB = AO + OB = OB – OA =b–a
B
a b 0
X
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
16
Dot Product (Inner Product) Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
a • b =| a || b | cos γ
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
a • b = a1b1 + a2b2 + c3c3
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o} Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
17
Vektor Ortogonal
Teorema
Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus
Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a. Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor. Untuk vektor bukan-nol
a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 γ = 90o = π/2
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
18
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
a •b a •b cos γ = = | a || b | a•a b•b
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
19
Contoh Perkalian Dot Product
a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1] Hitung sudut antara dua vektor tsb
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
20
Applications of Vector Product Moment of a force
Find moment of force P about the center of the wheel.
|P|=1000 lb 30o
1,5 ft
P = [1000 cos 30°, 1000 sin 30°, 0] = [866, 500, 0] r = [0, − 1.5, 0] (pusat roda pada titik y = 1,5) i j k 0 1.5 m = r × p = 0 1.5 0 = 0i + 0 j + k = [0, 0, − 1299] 866 500 866 500 0
Vektor moment (m) tegak lurus thd bidang roda (sumbu z negatif ).
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
21
Scalar Triple Product Scalar triple product dari tiga vektor a = [a1 , a2 , a3 ], b = [b1 , b2 , b3 ], c = [c1 , c2 , c3 ] ditulis (a b c) didefiniskan sebagai (a b c) = a • (b × c)
andaikan b × c = v = [v1 , v 2 , v 3 ]
a • (b × c) = a • v = a1v1, a2 v2 , a3v3 b3 b1 b1 b2 = a1 − a2 − + a3 c2 c3 c1 c2 c3 c1 Ini mrpk ekspansi determinan orde 3 mnrt brs pertama, shg b2
b3
b1 b2
b3
(a b c) = a • (b × c) = b1 b2 c1 c2
b3 c3
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
22
Scalar Triple Product Geometric representation
bxc
a β
h
c
a,b,c vektor β sudut antara (bxc) dan a h tinggi parallelogram
b
Besar a • (b × c) | a • (b × c) |=| a || b × c | cos β | a | cos β = height h jajaran genjang alas dg sisi b dan c mempunyai luas area | b × c | Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
23
Referensi
Advanced Engineering Mathematic, chapter 8 Aljabar Linier Elementer, Howard Anton Fisika Mekanika Jilid 1, Faraday
Calculus/Hanung NP/Politeknik Telkom
24
