EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR
Végeselem módszerek és alkalmazásaik Szakdolgozat
Írta: Orbán Barbara Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető:
Horváth Tamás Tudományos segédmunkatárs Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar
Budapest, 2012
Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretném megköszönni témavezetőmnek, Horváth Tamásnak, hogy másodévben felkeltette az érdeklődésemet a differenciálegyenletek iránt, valamint ezen szakdolgozat megírását is elősegítette a téma felvetésével, később pedig észrevételeivel, tanácsaival. Külön köszönöm Neki az alkalmazásban felhasznált Matlab program megírásában nyújtott segítségét.
Tartalomjegyzék
Bevezetés
3
1. Végeselemek egy dimenzióban
4
1.1 Alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Homogén Dirichlet-peremfeltétel
...............................6
1.3 A diszkrét probléma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.4 A
esete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Megvalósítás elsőrendű végeselemmel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Inhomogén Dirichlet-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Inhomogén Neumann-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Homogén kevert peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2. Végeselemek magasabb dimenzióban
18
2.1 Alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Parciális differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 A
és
terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Homogén Dirichlet-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Neumann-peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Kevert peremfeltétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 3. Végeselem módszer a gyakorlatban
27
3.1 Tüzelőanyag-cellák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 3.2 Eredmények VEM segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Irodalomjegyzék
34
2
Bevezetés A
körülöttük
lévő
világ
fizikai
történéseinek
megfogalmazására
a
természettudományok, a közgazdaságtan, és a mérnöki tudományok gyakran alkalmazzák a differenciálegyenleteket. Ezen egyenleteknek ha a pontos megoldására vagyunk kíváncsiak, akkor leginkább olyan módszerek állnak rendelkezésünkre, amelyek bonyolultabb, életszerű alkalmazásokban nem használhatóak hatékonyan. Azonban kereshetjük a megoldást numerikus alakban is, amely ugyan csak egy közelítő eredményt ad, de előnye, hogy szinte minden esetben eredményre vezet. Dolgozatomban
az
elliptikus
parciális
differenciálegyenletek
numerikus
megoldására használt végeselem módszert szeretném bemutatni. Először matematikai szempontból közelítem meg a módszert. Az első két fejezetben a teljesség igénye nélkül ismertetem a legfontosabb funkcionálanalízisbeli tételeket és összefüggéseket, majd a konstrukciót egy, illetve magasabb dimenziókban. A harmadik fejezetben bemutatom a végeselem módszer egy gyakorlati alkalmazását, egy mérnöki megoldáson keresztül. Ezt az alkalmazást az Egyetemünkön működő Fuelcell.hu kutatócsoport motiválta, amely protoncsere-membrános tüzelőanyag-cellák matematikai és számítógépes szimulációjával foglalkozik 2006 óta. Látni fogjuk, hogy ezeknek a celláknak a matematikai leírása is parciális differenciálegyenlet-rendszereken és az ezekhez tartozó numerikus modelleken alapul.
3
1. Végeselemek egy dimenzióban – 1.1 Alapismeretek
1. Fejezet Végeselemek egy dimenzióban Ebben
a
fejezetben
másodrendű
közönséges
differenciálegyenletek
megoldhatóságáról lesz szó, ennek segítségével összefüggések hosszú során át eljutunk az elsőrendű végeselem konstrukciójáig.
1.1 Alapismeretek Először is szükségünk lesz néhány definícióra. Jelöljön I ⊂ ℝ egy intervallumot. 1.1.1. Definíció.
{
∫ | |
{
{
-
}
esetén. 1.1.2. Definíció. }
-
} {
Definíció.
1.1.3.
| |
ℝ
-
} 1.1.4. Definíció.
{
Az egyszerűség kedvéért jelöljük
}
ℝ -vel a fenti
-t.
Mostantól foglalkozzunk az alábbi típusú másodrendű differenciálegyenlettel: ℝ
ahol
.
Ennek a megoldását különböző peremfeltételek egyértelműsítik, melyek közül 3 típust mutatok be:
Dirichlet-peremfeltétel:
Neumann-peremfeltétel:
Kevert-peremfeltétel: 4
1.1 Alapismeretek Mindhárom esetben a és b rögzített valós számok, amennyiben
, akkor
homogén feladatról beszélünk, különben pedig inhomogénről. 1.1.6. Megjegyzés. Megkülönbözetünk még egy ún. harmadfajú peremfeltételt, amikor is a vizsgált probléma:
Dolgozatomban ennek az esetnek a tárgyalásától eltekintek.
ahol 1.1.7. ‖‖
Definíció. (Norma). Legyen
vektortér
felett, ahol
ℝ vagy
. Egy
ℝ függvényt normának nevezünk, ha teljesíti az alábbi ún. normaaxiómákat: esetén ‖ ‖
és ‖ ‖
esetén ‖
és
esetén ‖
⇔
‖ ‖
;
| |‖ ‖; ‖ ‖
‖ ‖, azaz teljesül a háromszög-
egyenlőtlenség. ‖ ‖ párt, azaz az
1.1.8. Definíció. (Normált tér). Az
vektorteret a ‖ ‖ normával
ellátva normált térnek nevezzük. 1.1.9.
Definíció. (Banach-tér). Egy normált tér akkor Banach-tér, ha teljes, azaz ha
minden Cauchy-sorozata konvergens. 1.1.10.
Definíció. (Skalárszorzat). Legyen
feletti vektortér. Egy 〈 〉
egy
leképezést skalárszorzatnak hívunk, ha 〈
az
〉 leképezés lineáris funkcionál
〈
〉
〈̅̅̅̅̅̅̅〉;
〈
〉
és 〈
〉
⇔
A skalárszorzat jelölésére általában a 〈 〉 és a 1.1.11.
esetén:
jeleket használjuk.
Definíció (Hilbert-tér). Egy vektorteret Hilbert-térnek nevezünk, ha
értelmezett rajta egy skalárszorzat, valamint egy abból származtatott norma, mely normával a tér teljes, azaz Banach-tér. {
1.1.12. Definíció. skalárszorzat ⟨ a 1.1.13.
⟩
} és legyen az ezen értelmezett
ℝ
∫
-re. Ezzel a skalárszorzattal
tér Hilbert-tér. Állítás. A
tér elemei folytonosak. 5
1.2 Homogén Dirichlet-peremfeltétel 1.1.14.
Definíció.
teljes a 〈
〉
{
[
]}, ez a tér
skalárszorzattal.
1.2 Homogén Dirichlet-peremfeltétel Tekintsük az alábbi közönséges differenciálegyenletet:
, ℝ
ahol
.
Ez a kezdeti (1.1.5) egyenletünk, homogén Dirichlet-peremfeltétellel ellátva. Ezen feladat klasszikus megoldásán egy tetszőleges
függvényt értünk. Ha választunk egy
függvényt, melyre teljesül a fenti peremfeltétel, akkor ezzel
beszorozva az egyenletet, majd 0-tól 1-ig integrálva azt, a következőt kapjuk: ⏟[
∫ ∫ ⏟
∫
]
∫ [
∫ ⏟
Itt azonban már elég, ha -t egy gyengébb térből, a azt az
-ból, amelyre
-t a
]
-ből választjuk. Keressük
teljesül, és ekkor
vagy gyenge megoldásnak nevezzük. Az
-t általánosított
egyenlőséget variációs
feladatnak nevezzük. 1.2.1. Megjegyzés. A variációs feladat klasszikus megoldása egyben gyenge megoldás is, illetve ha a gyenge megoldás
[
]-beli, akkor az klasszikus is.
1.2.2. Tétel. (Sztyeklov-egyenlőtlenség). gy Itt | |
‖ ‖
e e ‖ ‖
∫
| | ‖ ‖
∫ | |
∫ | | ∫
1.2.3. Tétel. (Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség). Legyen H Hilbert-tér, 〈
〉 pedig a rajta értelmezett skalárszorzat. Ekkor 〈
〉
‖ ‖‖ ‖
1.2.3. Tétel. (Riesz-féle reprezentációs tétel). 6
esetén.
‖ ‖
1.2 Homogén Dirichlet-peremfeltétel ℝ folytonos lineáris funkcionálhoz
Tetszőleges H Hilbert-téren értelmezett egyértelműen létezik
〈
, melyre
〉
esetén. Ezt az -t Riesz-
féle reprezentáló vektornak nevezzük. Definíció. (Folytonosság). |
1.2.4.
|
‖ ‖ ‖ ‖
, azaz
korlátos. Definíció.
1.2.5.
(V-elliptikus
koercitív).
|
|
‖ ‖
számokra.
valamilyen Ekkor 〈
vagy
〉
skalárszorzat, és az indukált norma: ‖ ‖
√〈
〉 . Ez
ekvivalens az eredeti skaláris szorzatból származtatott normával. Továbbá legyen ℝ adott lineáris funkcionál. A most következő tételben bebizonyítjuk, hogy az egyenletnek mindig létezik egyértelmű gyenge megoldása. 1.2.6. Tétel. ℝ , hogy
függvények, melyekre
Legyenek
esetén. Ekkor
Lebesgue majdnem minden
esetén
létezik egyértelmű gyenge megoldása a peremérték feladatnak. Bizonyítás. Tekintsük a
∫
teret az ℝ funkcionált, melyre
|
|
|∫
‖‖
∫
| ⏟ ∫ | | ∫ | | ∫ | |
és ‖ ‖
∫
, azaz
| |
skalárszorzattal. Vegyünk egy
. Ez lineáris és korlátos, hiszen {| | } ∫ | |
⏟ ‖ ‖
-ben. A Riesz-féle reprezentációs tétel
folytonos
, azaz ∫
szerint ekkor ∫
1.2.7.
Definíció. (Absztrakt variációs feladat) Keressük
hogy 7
-t, amire teljesül,
1.3 A diszkrét probléma 1.2.8. Tétel. Minden
ℝ folytonos lineáris funkcionál esetén létezik az absztrakt
variációs feladatnak egyértelmű megoldása, ha
a fenti tulajdonságokkal
rendelkezik. Bizonyítás. folytonossága miatt a Riesz-reprezentációs tétel szerint 〈
〉
melyre
Az egyértelműség igazolásához tegyük fel, hogy
megoldások.
Ekkor
azaz ‖
is is
‖
fennáll. Ekkor a koercitivitás miatt akkor lehetséges, ha ‖
és
‖ , ami csak
, azaz a két megoldás megegyezett.
Az alábbi állítást bizonyítás nélkül közlöm, az Olvasó azt megtalálhatja az [ ] jegyzetben. 1.2.9. Állítás. A variációs feladatnak mindig létezik egyértelmű megoldása.
1.3 A diszkrét probléma ⊂
Vegyünk egy véges dimenziós úgy, hogy
teljesüljön
problémának, megoldásával az
teret, keressünk ezen egy
megoldást
esetén. Ezt nevezzük diszkrét
peremértékprobléma egy közelítő megoldását
kapjuk meg. Erre a diszkretizálásra azért van szükség, mert
végtelen dimenziós, így
azt konkrét feladatmegoldások során nem tudjuk kezelni. 1.3.1.
Tétel. A diszkrét problémának mindig létezik egyértelmű megoldása, mivel a
véges dimenziós
téren értelmezett
is rendelkezik az ehhez szükséges
tulajdonságokkal. 1.3.2. Állítás.
merőleges a
térre, az -skaláris szorzatra nézve, azaz:
8
1.4 A
esete
1.3.3. Lemma. (Céa-lemma) ‖
‖
‖
‖ teljesül, ahol
kvázioptimális
, azaz
-
beli közelítése -nak a -norma szerint is. 1.3.4. Következmény.
az
-beli vetülete az -norma szerint.
legjobb
Az alábbiakban bizonyítással együtt bemutatok egy másik, de az előzővel lényegileg azonos módszert a konvergencia meghatározására.
1.4 A
esete
Keressünk egy olyan esetén. Tekintsük a polinomok terének. Teljesüljön
függvényt, melyre
teljesül
teret az elemenként legfeljebb
-adfokú
-ra a következő három feltétel:
koercitív, illetve konzisztens (azaz
legyen korlátos,
). Továbbá rendelkezzünk
egy közelítési tétellel: ‖ Itt
‖
| |
jelöli a felosztásban szereplő legnagyobb intervallum hosszát,
polinom foka. A szakasz címében szereplő „
pedig a közelítő
” a fenti három tulajdonságra, illetve a
közelítési tételre utal. A +1. -t pedig következményként kapjuk meg, ha az előbbiek teljesülnek, ugyanis ekkor a konvergencia a polinomfokkal exponenciálisan változik: ‖
‖
(
| |
)
Bizonyítás. Most ‖ ‖ jelölje a ‖ ‖
normát. A feltételekből adódik:
‖
‖ ‖
|
|
‖‖
‖
|
| | |
‖
azaz: ‖
‖
| |
9
.
‖
1.5 Megvalósítás elsőrendű végeselemmel Alkalmazva a háromszög-egyenlőtlenséget: ‖
‖
‖
‖
‖
‖
(
)
-normában a következő teljesül: ‖
1.4.1. Megjegyzés.
| |
‖
| |
.
1.5 Megvalósítás elsőrendű végeselemmel Mostanra már rendelkezünk a szükséges elméleti ismeretekkel, így azokat felhasználva meg tudjuk konstruálni az egydimenziós, elsőrendű végeselemet. Célunk egy olyan eljárást adni, amely számítógéppel jól programozható, így a mérnöki alkalmazásokban valóban használható. Egy
numerikus megoldást keresünk, amely
most egy szakaszonként elsőfokú folytonos függvény lesz. Ehhez azonban nem véges dimenziós teret hogyan választjuk meg.
mindegy, hogy a [
Az
] intervallumnak vegyük az egyenletes felosztását:
Legyen hozzá egy
ponthoz rendeljünk
Minden
függvényt az alábbi módon: [
]
[
]
{ -t az i-edik bázisfüggvények vagy kalapfüggvénynek nevezik. Ekkor
( )
,
azaz éppen a Kronecker-delta. terünk az N-1 bázisfüggvény által generált tér, azaz
Legyen a {
}. A közelítő megoldást
keressük, feladatunk a (∑ együtthatókra
) egy
együtthatók meghatározása. Ekkor
∑
∑
alakban (
és ezt minden alakú
lineáris 10
egyenletrendszert
)
(
)
-re felírva az kapunk,
ahol
1.6 Inhomogén Dirichlet-peremfeltétel (
)
és
,
.
Könnyű meggondolni, hogy ( ( tridiagonális mátrix, ezért az egyenletrendszer
))
|
|
esetén, így
időben megoldható. Ahogy az 1.3
szakaszban kiderült, végtelen dimenziós esetben úgy oldhatjuk meg a problémát, hogy veszünk egy véges dimenziós alteret, és az azon kapott megoldás a legjobb lesz abból az altérből.
1.1. Ábra. Elsőfokú
és
kalapfüggvények
Megjegyezzük, hogy most csak az elsőfokú kalapfüggvényekkel foglalkoztunk, magasabb rendű elemekkel jobb közelítést kaphatunk. Ezeket p-végeselemnek nevezzük, ahol p a bázisfüggvény fokszámát jelöli. Az elsőfokú kalapfüggvények a Schander-féle
függvények
általánosításai,
melyek
a
Haar-függvények
integrálfüggvényei. Ezekről részletesen a [ ] könyvben olvashatunk.
1.6 Inhomogén Dirichlet-peremfeltétel A kiindulási (1.1.5.) egyenletet lássuk el inhomogén Dirichlet-peremfeltétellel, azaz legyen valamint
és
Legyen
, (1.1.5.)-öt szorozzuk meg egy
, ahol
-vel, majd integráljuk 0-tól 1-ig: 11
,
1.6 Inhomogén Dirichlet-peremfeltétel
∫
∫
∫
Kihasználva, hogy
∫
, adódik, hogy: [ ⏟
∫ Hasonlóan
∫
helyett
]
∫
∫
-re is igaz az egyenlőség: [⏟
∫
]
∫
Így a következőt kapjuk: ezt átrendezve:
ahol
ismert, így a
megoldást kell megtalálnunk. ̃
is folytonos lineáris funkcionál, ugyanis
továbbra
folytonos, lineáris és egy valós
skalárszorzat pedig szintén folytonos, és lineáris mindkét változójában, így az ezek különbségeként kapott funkcionál is rendelkezik ezen két tulajdonsággal. Továbbá a klasszikus megoldás egyben általánosított megoldás is, és ez visszafelé akkor igaz, ha az általánosított megoldás elég sima. 1.6.1. Lemma. A megoldás független
választásától.
Az előző szakaszban tárgyalt bázisfüggvények ebben az esetben is használhatóak a gyakorlati megvalósításnál, annyi kiegészítéssel, hogy még definiáljuk a 0 és az 1 ponthoz bázisokat: [
]
{
[
]
{
Ekkor megkapjuk
a belső függvények összege és -t. 12
, ezek alapján pedig
1.7 Inhomogén Neumann-peremfeltétel
1.7 Inhomogén Neumann-peremfeltétel Az (1.1.5.) egyenletünket lássuk el a következő peremfeltétellel:
A peremfeltételbe azért vesszük most bele -t is, mert értelmes fizikai jelentése a
-
nek lesz. Tekintsük a következő
teret: {
Legyen
}
ekkor: ∫
∫
∫
Most: ∫
[
]
∫
∫
∫
ahol
a 0-hoz tartozó Dirac-delta. Így a variációs feladatra a következőt kapjuk:
∫ ⏟
1.7.1.
∫
∫
∫ ⏟
Megjegyzés. A fenti variációs feladatnak egyértelműen létezik megoldása, és
ennek belátásához
folytonosságát és linearitását kell igazolni.
A konstrukció megvalósításához most is használhatóak a kalapfüggvények.
13
1.8 Homogén kevert peremfeltétel
1.8 Homogén kevert peremfeltétel Most az (1.1.5.) egyenlethez csatoljuk az alábbi peremfeltételt:
Az előző szakaszban definiált
téren dolgozzunk.
1.8.1. Lemma. -ben érvényes marad a Sztyeklov-egyenlőtlenség, azaz ‖ ‖ Az egyenletünket szorozzuk egy tetszőleges ∫
∫
| |
-vel, majd integráljuk: ∫
Ez látszólag megegyezik a homogén Dirichlet-peremfeltételnél tárgyalt variációs feladattal, de valójában különbözik, hiszen most másik téren dolgozunk. Felhasználva, hogy: [ ⏟
∫
]
∫
∫
(hiszen
és
kapjuk, hogy: ∫ ⏟
∫
∫ ⏟
Ha ennek létezik klasszikus megoldása, akkor az általánosított megoldás is, illetve ez visszafelé akkor igaz, ha az általánosított megoldás elég sima. 1.8.2.
Megjegyzés. A kapott
folytonos, koercitív, szimmetrikus és bilineáris,
pedig folytonos lineáris.
14
1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel
1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel Az egydimenziós végeselem előállítása nem csak kalapfüggvényekkel lehetséges, hanem sokféle magasabb rendű elem közül választhatunk. Ennek a gyakorlatban nagy jelentősége van, ugyanis ezekkel jobb közelítést kaphatunk a pontos megoldásra. Ebben a szakaszban röviden bemutatom a legfontosabb magasabb rendű végeselemeket. Ezek tanulmányozása előtt ajánlott megismerni a numerikus analízis bizonyos fejezeteit, különös tekintettel az ortogonális polinomokra, a numerikus integrálásra, illetve a Lagrange-interpolációra. Célunk a diszkrét variációs egyenletet lineáris függvények helyett magasabb fokú polinomokkal megoldani. Erre egy jó módszer, hogy a [
] intervallumon
magasabb fokú bázisfüggvényeket választunk. Most már ne csak az intervallum két végpontjához rendeljünk függvényeket, hanem közbeeső pontokhoz is, melyeket az egyenletes felosztás ad. Így az alábbi másodfokú bázishoz jutunk: ̃
(
)
̃
(
)
̃
Az első két függvény az intervallum végpontjában nemnulla, csúcsfüggvénynek (node function) nevezzük őket, a harmadik pedig a peremen nulla értéket vesz fel, neve buborékfüggvény (bubble function). A harmadfokú bázis: ̃
(
)(
̃
(
)
̃
(
)
̃
(
)
)
A magasabb fokú báziselemeket Lagrange-interpolációval készítjük el. 15
1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel az [
1.9.1. Tétel. (Lagrange-interpoláció). Legyen intervallum egy felosztása. Adottak még az legfeljebb teljesül
-edfokú, [
párok,
]-n értelmezett
{
]
}. Az a
polinom, melyre minden
esetén
, az alábbi alakban írható fel: ∏ ∑
∏
Általánosan az m-edfokú bázis úgy készül, hogy minden [
] intervallumot
felosztunk m részre, és a csúcsfüggvények az osztópontokban és a végpontokban 0-k lesznek, [
]-en kívül szintén, és
-ben 1. A j-edik osztóponthoz tartozó
buborékfüggvény a j-edik osztópontban 1, a többi osztópontban és az [
]
végpontjaiban, valamint az intervallumon kívül 0. Ennek a módszernek az az előnye, hogy a báziselemek 1-1 adott ponthoz tartoznak. Hátránya, hogy magas polinomfok esetén az ún. Lebesque-konstansuk nagy, például az alábbi ábrán is látszik, hogy a maximumuk nagyobb, mint 1. Ebből a szempontból is egy jobb módszert kapunk, ha az alappontokat nem egyenletes elosztás szerint választjuk. Számos jól használható eljárás létezik még, például ha a báziselemeknek az Hermite-polinomokat választjuk. Ezekről bővebben a [ ] könyvben olvashatunk.
16
1.9 Megvalósítás magasabb rendű végeselemmel
1.2. Ábra. Lagrange-elemek egyenletes lépésközzel balra: csúcsfüggvények, jobbra: buborékfüggvények.
17
2. Végeselemek magasabb dimenzióban – 2.1 Alapismeretek
2. Fejezet Végeselemek magasabb dimenzióban Ebben a fejezetben az előző részben tárgyalt VEM-t általánosítjuk a többváltozós esetre. Részletesen a 2-dimenziós változatra térünk ki. Először azonban szükségünk lesz néhány többváltozós analízisbeli eredményre.
2.1 Alapismeretek ℝ
Mostantól legyen szerinti parciális deriváltat,
ℝ
ℝ
ℝ és
jelölje az i-edik változó
pedig az -hoz tartozó kifelé mutató felületi normálist.
2.1.1. Definíció. (Gradiensvektor). 2.1.2. Definíció. (Divergencia).
, ahol
az
ℝ -beli skaláris szorzást jelöli. 2.1.3. Definíció. (Rotáció). , ahol
a vektoriális szorzást jelöli.
2.1.4. Definíció. (Laplace). Könnyen meggondolható az alábbi három állítás: 2.1.5. Állítás. 2.1.6. Állítás. 2.1.7. Állítás. 2.1.8.
⊂ℝ
Tétel. (Gauss-Osztogradszkij tétel). Legyen
korlátos tartomány,
melynek peremét jelölje 𝛤 és ez legyen szakaszonként folytonosan differenciálható, ̅
ℝ folytonosan differenciálható. Ekkor: ∫
2.1.9. Tétel. (I. Green tétel). Legyen
∫ 〈 ⊂ℝ
̅ Ekkor:
18
〉ℝ
𝛤 ̅
̅
̅ és
2.2 Parciális differenciálegyenletek
∫
2.1.10.
〈
∫
〉ℝ
∫
𝛤
Megjegyzés. A fenti két tétel a Poincaré-Stokes tétel speciális esetei, erről
részletesebben a [ ] könyvben olvashatunk.
2.2 Parciális differenciálegyenletek Az m-edrendű lineáris parciális differenciálegyenlet általános alakja: ∑| ∑
egész, | |
ℝ
ahol
|
és
Mostantól
másodrendű
lineáris
parciális
differenciálegyenletekről lesz szó, tehát a következő alakú egyenletekről: ∑ ahol olyan
∑
-t keresünk, ami kétszer folytonosan differenciálható és feltehető, hogy
. Tekintsük tetszőleges rögzített x esetén a főrész együtthatóiból álló valós szimmetrikus mátrixot:
(
)
Ismeretes, hogy ennek a sajátértékei valósak. Jelölje
és
az
mátrix
pozitív, negatív, illetve nulla sajátértékeinek számát, multiplicitással tekintve. Ekkor a dimenzió megkapható ezek összegeként, azaz
Ezek alapján három
nagy csoportját különböztetjük meg a parciális differenciálegyenleteknek: 2.2.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a fenti parciális differenciálegyenlet (pontosabban az egyenlet bal oldalán álló differenciáloperátor) az elliptikus típusú, ha hiperbolikus típusú, ha
vagy
pontban
, és
parabolikus szigorú értelemben, ha
vagy és
illetve tágabb értelemben, ha csak azt tesszük fel, hogy 19
és vagy
, ,
2.2 Parciális differenciálegyenletek
A továbbiakban feltesszük, hogy a parciális differenciálegyenlet
minden
pontjában azonos típusú, és csak az elliptikus típussal fogunk foglalkozni. Speciálisan, ha állandó együtthatós az egyenlet, akkor az nyilván az egész
-n ugyanolyan típusú.
Az állandó együtthatós elliptikus egyenletek kanonikus alakja: ∑ Ennél általánosabb, ha a következő feladatot vizsgáljuk: legyen
-n. Ez valóban elliptikus
-ra, ugyanis: ∑
ez alapján
(2.2.2.)
∑
∑
ahol I az n-dimenziós egységmátrix, így
minden
sajátértéke negatív, tehát az egyenlet elliptikus. Ugyanúgy, mint az egydimenziós problémánál, itt is egyértelmű megoldásra törekedünk, így (2.2.2.)-hez 4 féle peremfeltételt társíthatunk: Dirichlet-peremfeltétel: | Neumann-peremfeltétel: Harmadfajú-peremfeltétel:
| |
|
Kevert-peremfeltétel: |
|
ahol
𝛤
𝛤
𝛤
adottak. A peremfeltételt homogénnak nevezzük, ha a jobb oldala azonosan 0. 2.2.3.
Megjegyzés. A harmadfajú peremfeltétel esetére ezen dolgozat nem tér ki, azt
elolvashatjuk az [ ] jegyzetben.
20
és
2.3 A
és
2.3 A
terek – 2.4 Homogén Dirichlet-peremfeltétel
terek
Az egydimenziós esetnél már definiáltuk a
teret, ezt most kiterjesztjük
több dimenzióra: {
2.3.1. Definíció.
}
⊂ ℝ Ez
Hilbert-tér a rajta értelmezett skaláris szorzattal: 〈
〉
〈
∫
〉ℝ
.
Az ebből származtatott norma: ‖ ‖ 2.3.2. Állítás. A ‖ ‖
normával a
2.3.3. Állítás. A
∫ |
|
tér teljes.
tér elemei nem feltétlenül folytonosak. {
2.3.4. Definíció. 2.3.5. Jelölések. ‖ ‖ | | ‖ ‖ 2.3.6.
∫ | |
|
‖ ‖ ‖
}
∫ ‖
∫ |
‖ ‖
|
‖ ‖
| |
Tétel. (Magasabb dimenziós Sztyeklov-egyenlőtlenség).
-ban is igaz
marad a Szteklov-egyenlőtlenség, azaz ‖ ‖ 2.3.7. Következmény. | |
‖‖
| | zárt altéren.
2.4 Homogén Dirichlet-peremfeltétel Tekintsük a
egyenletünket a homogén Dirichlet-peremfeltétellel ellátva: |
Ahogy az egydimenziós esetnél is láttuk, vegyünk egy elég sima függvényt, ezzel szorozzuk meg az egyenletet, majd integráljunk -n: ∫
∫
21
2.5 Neumann-peremfeltétel Alkalmazva az I. Green-tételt az alábbi alakot kapjuk: ∫
〈
∫
〈
Így ∫ ⏟
〉ℝ
〉ℝ
∫ ⏟
∫ ⏟
Ez alapján ha az
megoldás, akkor
teljesül rá, és ekkor u-t a
homogén Dirichlet-feladat gyenge megoldásának nevezzük, 2.4.1. Megjegyzés. 2.4.2. Állítás.
𝛤
skalárszorzat
-ra.
-n.
folytonos lineáris funkcionál.
Bizonyítás. |
|
| ⏟ ∫ | |
|∫
∫ ‖
∫ | |
‖ℝ
⏟
| |
{| | } ∫ | |
‖ ‖
azaz a folytonosság teljesül. Nézzük a linearitást: 2.4.3.
.
Következmény. A fenti homogén Dirichlet-feladatnak egyértelműen létezik
megoldása, mivel az előző eredményeket és a Riesz-reprezentációs tételt alkalmazva -nek
megoldása.
2.5. Neumann-peremfeltétel Vegyük a Neumann-peremfeltételt egy tetszőleges
-re. Ha az egyenletet megszorozzuk
függvénnyel, integráljuk
-n, majd a homogén Dirichlet-
peremfeltételnél látottakhoz hasonló módon alkalmazzuk az I. Green-tételt, akkor a következő alakot kapjuk:
22
2.6 Kevert peremfeltétel
∫ ⏟
〈
〉ℝ
∫ ⏟
∫
𝛤
̃
ismét skalárszorzat lesz, ̃
Ebben az esetben
pedig folytonos lineáris
funkcionál, így alkalmazva a Riesz-reprezentációs tételt, a feladatnak egyértelműen létezik
megoldása.
2.6 Kevert peremfeltétel Legyen a feladatunk a következő: | | 𝛤
ahol
𝛤
𝛤
A feladat tárgyalásához vezessünk be egy új teret: |
{
2.6.1. Definíció.
} Ez zárt altere
-nak.
térben is igaz a Sztyeklov-egyenlőtlenség, továbbá | |
2.6.2. Tétel. A
‖‖
zárt altéren.
a
Most
is
belátjuk
a
kevert
egyértelműségét. Szorozzuk meg
peremfeladat
megoldásának
-t egy tetszőleges
létezését
függvénnyel,
majd integráljuk -n: ∫
∫
Felhasználjuk a következőket: ∫ |
és ∫ ∫ ⏟
𝛤
∫ ∫
∫
∫
𝛤 Így azt kapjuk, amit vártunk: ∫ ⏟
∫
23
és
𝛤
𝛤
2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel
2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel Mivel láttuk, hogy a különböző peremfeltételek mellett létezik egyértelmű megoldás, így meg is kereshetjük azt. Ebben a szakaszban is érvényesek lesznek az előző fejezet 1.3 pontjában, azaz a diszkrét probléma esetében leírtak, így tudjuk, hogy a keresett megoldás legjobb közelítése most mi lesz ez a Az
-ban van. Hamarosan azt is látni fogjuk, hogy
tér.
egydimenziós
esetben
az
-en
kerestük
a
megoldást,
bázisfüggvények segítségével. Most a kétdimenziós esetben a tartományunk legyen az , azaz az egységnégyzet. Meg szeretnénk állapítani, hogy mi lesz a tér és annak bázisa. Azt tudjuk, hogy a perempontokban a megoldás értéka nulla, így most gúlákat próbálunk illeszteni a belső pontokra. Osszuk fel a tartományt diszjunkt poligonokra, például az ábrán látható módon:
2.1. Ábra. Háromszögrács. Ez egy reguláris háromszögrács, azaz nem tartalmaz olyan háromszöget, amelynek egy csúcsa egy másik háromszög oldalának belső pontjára esik. Számozzuk meg ezeket a háromszögeket, majd vegyünk egy
pontot. Ehhez az i-hez keressük a hozzá 24
2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel rendelt
bázisfüggvényt. i-t háromszögek határolják, így
ezekből a határoló síkból
fog állni, mégpedig úgy, hogy az i pontban 1, a többi pontban nulla értéket vesznek fel. Tehát
egy gúlát határoz meg.
2.2. Ábra. A
bázisfüggvény.
A bázisfüggvények konstrukciójához szükségünk lesz a gúla oldalait tartalmazó síkok egyenletére. Az egydimenziós esethez hasonlóan most is van egy referenciaelem, amit most referenciaháromszögnek nevezünk, jelölje ezt
. Ennek minden pontjához
rendeljünk egy függvényt, úgy, hogy az az adott pontban 1, a másik két pontban pedig nulla
értéket
transzformáljuk
vegyen
fel.
Ezután
lineáris
transzformációk
alkalmazásával
-t az adott háromszögre, és így az i-vel megegyező csúcsához rendelt
függvény lesz a keresett
bázisfüggvény egyenlete,
pedig az ezek által generált
véges dimenziós altér. A numerikus megoldást az alábbi alakban keressük: ∑ ahol n a rácspontok számát jelöli. Célunk a
alakú lineáris egyenletrendszer adódik, mivel:
egy (
együtthatók meghatározása. Ezekre ismét
)
(
)
(∑
)
∑ 25
ahol
2.7 Megvalósítás kétdimenziós végeselemmel (
Most A
)
kétdimenziós
és végeselemek
közül
. most
csak
a
háromszögráccsal
ismerekedtünk meg, mivel a következő fejezetben ezt fogjuk alkalmazni. Azonban számos már alternatíva is létezik magasabb dimenziós végeselem konstruálására, melyekről bővebben a [ ] könyvben olvashatunk.
26
3. Végeselem módszer a gyakorlatban – 3.1 Tüzelőanyag-cellák
3. Fejezet Végeselem módszer a gyakorlatban Az előző két fejezetben a VEM matematikai alapjairól és a konstrukcióról volt szó, most pedig megnézzük a módszer egy olyan alkalmazását, amit a XXI. század egyik legnagyobb környezeti problémájának megoldására használnak fel. Mint tudjuk, napjainkban a globalizáció egyik kedvezőtlen hatása a rohamosan fogyó energiaforrás-készlet. Ezt a problémát mesterséges villamos energia előállításával próbálják kiküszöbölni, és ennek a technikai fejlesztéseknek köszönhetően egyre hatékonyabb a termelése. Azonban felmerül az a kérdés, hogy az erőművekből hogyan lehet eljuttatni a megtermelt villamos energiát a felhasználás helyére, illetve hogyan lehetséges azt tárolni. Erre az egyik megoldást a tüzelőanyag-cellák jelentik. Segítségükkel a bennük tárolt vegyületekben lévő energiát a kellő időpontban és helyen elektrokémiailag „elégetve” környezetbarát módon nyerhetünk elektromosságot. A korábbi, hasonló elképzeléseken alapuló technológiákkal szemben a módszer előnye, hogy ezek a cellák újrahasználhatóak, azaz új üzemanyaggal lehet utántölteni őket a használatuk után, így sokáig lehet velük elektromos energiát előállítani.
3.1 Tüzelőanyag-cellák Most röviden ismertetjük a tüzelőanyag-cellák felépítését és működését. A cellák két elektródából - az anódból, illetve a katódból- és a köztük lévő elektrolitból állnak. Katalizátorként általában platina van beépítve. A cella működtetése során a katalizátor segítségével a rendszerbe juttatott hidrogén molekulák kettébomlanak protonokra és elektronokra. A protonok az elektroliton haladnak keresztül, az elektronokból pedig elektromos áram keletkezik, melyet a fogyasztó hasznosítani fog. Ezután a maradék elektronok továbbhaladnak a katódra, ahol egyesülnek a protonokkal és a bejuttatott oxigénnel, és így víz keletkezik. A működés egy fázisa látható a 3.1. ábrán:
27
3.2 Eredmények VEM segítségével
3.1. Ábra. Tüzelőanyag-cella működése A protoncsere membrános cellák - amelyekkel a bevezetőben említett Fuelcell.hu kutatócsoport is foglalkozik - nevüket a bennük elektrolitként alkalmazott protonáteresztő membránról kapták. Ennek a cella típusnak a hatásfoka kb. 50-70%, ami nagyon jónak mondható másfajta cellákhoz képest (pl. direkt metanol membrános vagy olvadt karbonátos tüzelőanyag-cella).
3.2 Eredmények VEM segítségével A továbbiakban a rendszer anód részét fogjuk megvizsgálni, tanulmányozva a rajta történő részecskeáramlást. Témavezetőmmel Matlabban megírt VEM segítségével modelleztük az anódon lévő porózus közegbeli áramlást, melyet a Darcy-törvény ír le. A
Matlab
program
rendelkezik
parciális
differenciálegyenletekhez
szükséges
eszköztárral, ezt a háromszögrács előállításához használtuk. Ebben az esetben kevert peremfeltételt kellett alkalmazni, azaz ahol a részecskék be- és kilépése történik az anódon, ott Dirichlet-peremfeltétel áll fenn (ezek a peremek), a többi peremen pedig Neumann-peremfeltétel. 28
Ábrán a pirossal jelölt
3.2 Eredmények VEM segítségével
3.2. Ábra. Az anód modellje, az általunk alkalmazott méretezéssel. A szükséges input a rácsot alkotó háromszögek csúcsainak száma és ezek koordinátái. Tekintsük az alábbi, a
szakaszban tárgyalt alakú parciális differenciálegyenletet,
amely a részecskék mozgását írja le az anódon: (
) | |
Itt
a nyomást jelöli, a
együtthatót pedig diffúziós együtthatónak nevezzük, és a
rendszer elektromos folyadék-áteresztő képességét jellemzi. Az értéke a pontos modellben:
. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a diffúziós együttható különböző
megválasztásai, illetve a Dirichlet-perem nagysága hogyan befolyásolja a (3.2.1.) parciális differenciálegyenlet VEM által közelített megoldásának hibáját a pontos megoldáshoz képest. Ehhez a hibák
- és
-normáit fogjuk összehasonlítani.
Először állítsuk be mindkét Dirichlet-perem nagyságát
m méretűre, a
diffúziós együtthatónak pedig válasszunk különféle értékeket, és nézzük meg, hogy a VEM mit ad a hibák normáira. Három különböző tesztfüggvénnyel leírt áramlás esetén vizsgálódunk, ezek a következőek:
( (
)
)
(
29
)
3.2 Eredmények VEM segítségével Megnézzük azt is, hogy az eredmények hogyan változnak, ha a háromszögrácsot finomítjuk úgy, hogy végeselem módszerrel „megfelezzük” a háromszögeket. A három tesztfüggvényre kapott hibák megfelelő normáit a táblázatok tartalmazzák. Diffúziós együttható: Eredeti
‖‖
rácsozás
‖‖
Felezett
‖‖
rácsozás
‖‖
3.2. Táblázat.
10
1
0.1
tesztfüggvényre Matlabbal kapott hibanormák.
A következő két ábrán láthatjuk a pontos és az általunk számolt megoldást x-ytengelyre vetítve, a fenti paraméterek esetén. A színezésnek megfelelően a harmadik koordinátákat leolvashatjuk a színskáláról.
3.3. Ábra. Az eredeti rácsozás.
30
3.2 Eredmények VEM segítségével
3.4. Ábra. A finomított rácsozás. Diffúziós együttható:
10
1
0.1
‖‖
Eredeti
rácsozás ‖ ‖ Felezett
‖‖
rácsozás ‖ ‖
3.5. Táblázat.
Diffúziós együttható:
tesztfüggvényre Matlabbal kapott hibanormák.
10
1
0.1
‖‖
Eredeti
rácsozás ‖ ‖ Felezett
‖‖
rácsozás ‖ ‖
3.6. Táblázat.
tesztfüggvényre Matlabbal kapott hibanormák. 31
3.2 Eredmények VEM segítségével
Mindhárom táblázatból látszik, hogy külön-külön a rácsozásoknak megfelelően a hibák normái megegyeznek négy tizedesjegyre kerekítve, bárhogy is válasszuk meg a diffúziós együtthatót. A számításainkból kiderült, hogy az első eltérések a nyolcadik tizedesjegy körül lépnek fel, de ez már nem számottevő. Ez azt jelenti, hogy
nem
befolyásolja az eredményt, ezzel választ kaptunk az egyik kérdésünkre. Az is látszik, hogy a felezett rácsozásnál kapott eredmények rácsozásnál kapottak fele,
-norma esetében az eredeti
-normánal pedig a negyede. Ennek oka a következő két
egyenlőtlenség teljesülése: ‖ Most
‖
megnézzük,
| | , illetve ‖ hogy
a
‖
| | .
Dirichlet-peremfeltétellel
ellátott
peremek
nagyságának változtatása milyen hatással van a hibák normáira. A tesztfüggvényünk legyen a (3.2.2.) egyenletű
, a választott méreteket pedig a táblázatok első sora
tartalmazza. Az eredeti és a felezett rács esetén is vizsgáljuk meg az eredményeket. Perem mérete (m): ‖‖ ‖‖
3.7. Táblázat. Hibák normái különböző peremnagyságokra, eredeti rácsozás esetén. Perem mérete (m): ‖‖ ‖‖
3.8. Táblázat. Hibák normái különböző peremnagyságokra, finomított rácsozás esetén.
32
3.2 Eredmények VEM segítségével A fenti két táblázat adatait összevetve a második fontos kérdésünkre is megkapjuk a választ: a pontos és a számolt eredmény különbségére vett normák nem függenek a Dirichlet-peremfeltétellel ellátott perem nagyságától, a minimális eltérés, amit tapasztaltunk, nem számottevő. A hibák egyes normái nagyságrendileg megegyeznek, így azokat nagyjából egyenlőknek mondhatjuk. Látszik, hogy minél jobban finomítjuk a háromszögrács szerkezetét, a hibák normái az egyes méretezésekre annál nagyobb eltérést mutatnak. A
-normák feleződése és az
-normák negyedelődése a
rácsszerkezet felezése után itt is megfigyelhető. Tehát azt kaptuk, hogy a részecskék áramlása az anódon nem függ annak a két peremnek a nagyságától, amelyen keresztül be- illetve kilépnek az elektródából. Következtetésként tehát elmondható, hogy a végeselem módszer valóban jól használható nem csak tisztán matematikai, hanem a valós életben előforduló, mérnöki problémák megoldásában is. A fenti alkalmazás egy példa arra, hogy még a manapság nagyon népszerű környezetbarát technológiák kialakításában is alkalmaznak végeselem módszert.
33
Irodalomjegyzék [ ]
Gergó Lajos: Numerikus módszerek, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (2000)
[ ]
Horváth Tamás: Végeselem módszerek alapjai, elektronikus jegyzet, Budapest (2011)
[ ]
Karátson János: Numerikus funkcionálanalízis, elektronikus jegyzet, Budapest (2010)
[ ]
Pavel Solin: Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Wiley-Interscience, New Jersey (2006)
[ ]
Simon László, E. A. Baderko: Másodrendű differenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest (1983)
[ ]
Simon Péter: Analízis V., ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (1996)
[ ]
Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest (1977)
[ ]
http://fuelcell.hu
34
lineáris
parciális
