Variace
1
Poměr, trojčlenka Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
Poměr, trojčlenka
1
1. Poměr Poměr je matematický zápis ve tvaru zlomku, případně ve tvaru dělení. Např.:
7:5
(čteme sedm ku pěti)
Jednotlivá čísla nazýváme členy poměru. Poměr může mít dva, ale i více členů. Má-li poměr více než dva členy, nazýváme ho poměr postupný. Poměr můžeme rozšiřovat a krátit, podobně jako zlomky. Platí zde i stejná pravidla, protože vlastně každý poměr můžeme napsat i ve tvaru zlomku. Poměr je v základním tvaru, jsou-li jeho členy čísla navzájem nesoudělná. Příklad 1: Poměr 2,4 : 7,2 uveďte do základního tvaru. Řešení:
2,4 : 7,2
/* 10
24 : 72
/: 8
3: 9
/:3
1: 3 Příklad 2: Následující poměr uveďte do základního tvaru:
Řešení: /* 24 (společný násobek jmenovatelů) 16 : 3 ---------------------------------------------------------
Změna čísla v poměru: Změnit dané číslo v poměru, znamená vynásobit toto číslo poměrem ve tvaru zlomku. Příklad 3: Číslo 25 změňte v poměru 7 : 2 Řešení:
Výsledné číslo je 87,5. Je-li první člen poměru větší než druhý, jedná se o zvětšení. Je-li první člen poměru menší než druhý, jedná se o zmenšení. ----------------------------------------------------------
Rozdělení čísla v poměru: 26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
2
Poměr, trojčlenka
1
Pokud máme dané číslo rozdělit v poměru, musíme nejprve jednotlivé členy poměru sečíst. Následně určíme hodnotu jednoho dílu, a to tak, že původní číslo dělíme získaným součtem. Na závěr spočteme hodnoty jednotlivých dílů, které vyjadřuje poměr. Příklad 4: Číslo 81 rozdělte v poměru 2 : 7 Řešení: 2+7=9
...
počet dílů
81 : 9 = 9
...
hodnota jednoho dílu
2 . 9 = 18
...
hodnota odpovídající prvnímu členu poměru
7 . 9 = 63
...
hodnota odpovídající druhému členu poměru
Dané číslo jsme tedy rozdělili na dvě čísla, a to 18 a 63. Jsou v poměru 2 : 7. ------------------------------------------------------------
Změna jednoduchých poměrů na postupný: Máme-li dva nebo více poměrů jednoduchých, můžeme z nich vždy vytvořit poměr postupný. Příklad 5: Jsou dány jednoduché poměry 2 : 7 a 3 : 8. Vytvořte z nich jeden poměr postupný. Řešení: Jednoduché poměry musíme nejprve upravit rozšířením nebo krácením tak, aby jeden z členů měly společný. Tedy např. 2:7 /*4 8 : 28 Nyní máme v obou poměrech člen 8 a toho využijeme: 8 : 28 3:8 Závěr: Hledaný postupný poměr může být 3 : 8 : 28.
2. Poměr - procvičovací příklady 1. OK
2. OK
3. OK
4.
OK
Číslo 6 zvětšete tak, aby bylo s hledaným číslem v poměru 3 : 7. 14
2234
2212
Na záhonu kvetou bílé a žluté narcisy. Bílých je o 12 více než žlutých. Poměr počtu bílých a počtu žlutých je 7 : 4. Kolik kvete na záhonu narcisů celkem? 44 narcisů
2220
Jaká je výměra obdélníkové zahrady, když plot kolem celé zahrady měří 160 m a sousední strany jsou v poměru 3 : 2? 1 536 m2
2223
Rodina Novákova měla roční spotřebu cukru 60 kg. Rozhodla se ji v následujícím roce snížit v poměru 5 : 8. Skutečná spotřeba však činila 45 kg. O kolik procent byla plánovaná spotřeba překročena? 20 %
26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
3
Poměr, trojčlenka
5. OK
6. OK
7. OK
8. OK
9. OK
1 2236
Zemědělské družstvo zaselo na 192 ha oves, ječmen, žito a pšenici v poměru 1 : 1,4 : 1,8 : 2,2 . Kolik hektarů každého druhu obilí zaseli? 30 ha ovsa, 42 ha ječmene, 54 ha žita, 66 ha pšenice
2237
Plán má měřítko 1 : 2 500 . Jakými rozměry bude na plánu zakreslena ovocná zahrada, má-li ve skutečnosti délku 425 m a šířku 240 m? 17 cm a 9,6 cm Jestliže lA'B'l : lABl = 2 : 3 a délka úsečky AB je 24 cm, kolik pak bude velikost úsečky A'B'? 16 cm
2233
2229
Počet odpracovaných hodin dvou dělníků při stejné hodinové mzdě byl v poměru 5 : 7. Vypočtěte, kolik každý z nich dostal po 15% srážce daně, jestliže hrubá mzda pro oba dělníky činí 6 960 Kč. První vydělal 2 465 Kč, druhý vydělal 3 451 Kč.
2224
Na plánu v měřítku 1 : 2 500 je zanesen pozemek tvaru obdélníka o rozměrech 2 cm, 4 cm. Vypočtěte, kolik hektarů je výměra pole. 0,5 ha
2221
10. Na plánu města zhotoveném v měřítku 1 : 1 500 má parcela tvaru lichoběžníku délku základen OK
40 mm a 56 mm a výšku 30 mm. Vypočtěte skutečnou výměru této parcely. 3 240 m2 2230
11. Na těleso působí dvě navzájem kolmé síly F , F , které jsou v poměru 3 : 4. Menší síla (F ) má 1 2 1 OK
12.
OK
velikost 12 N. Najděte výslednici F početně i graficky. F = 20 N
Počet žáků, kteří do školy dojíždějí, k počtu žáků, kteří docházejí pěšky, je dán poměrem 2 : 7 . a) Kolik žáků má škola, když dojíždějících je 96? b) Kolik procent žáků školy dojíždí (zaokrouhlete na jedno desetinné místo)? Ve škole je 432 žáků, dojíždí jich 22,2 %.
2225
13. Číslo 40 rozdělte v poměru 3 : 5. OK
14.
OK
2213
1. díl ... 15; 2. díl ... 25 2231
Směs s bodem tuhnutí -32 °C můžeme připravit smísením vody, lihu a glycerínu v poměru objemů 4,3 : 4,2 : 1,5. Kolik vody a lihu je třeba přidat ke 4,5 litrům glycerínu, aby vznikla směs s daným bodem tuhnutí? 12,9 litru vody, 12,6 litru lihu
2216
15. 120 kg pomerančů se má rozdělit na dvě části tak, aby byly v poměru 12,6 : 9 . Určete hmotnosti OK
obou částí. 50 kg a 70 kg 2222
16. Barva se míchá s ředidlem v poměru 5 : 2. Kolik bude potřeba barvy a kolik ředidla, má-li být OK
výsledné směsi 1,4 litru? 1 litr barvy a 0,4 litru ředidla
3. Trojčlenka Jak už sám název napovídá, jedná se o výpočet, kde figurují tři členy; přesněji řečeno tři členy známe a čtvrtý budeme počítat. Jedná se o postup, který má obrovské praktické využití, proto ho musí každý bezpečně ovládat. Pokud řešíme příklad pomocí trojčlenky, vždy nejprve sestavíme zápis, a to tak, že stejné veličiny musí být pod sebou a neznámou doporučuji vždy ponechat ve druhém řádku. V dalším kroku rozhodneme, zda jsou veličiny ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zobrazíme si pomocné šipky. Bez jakéhokoliv dlouhého uvažování tam, kde máme neznámou (ve druhém řádku), uděláme šipku směrem nahoru. Jedná-li se o úměrnost přímou, pak na druhé straně bude šipka stejným směrem (tedy též nahoru) a jedná-li se o úměrnost nepřímou, bude na druhé straně šipka opačným směrem (tedy dolů). 26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
4
Poměr, trojčlenka
1
Na základě šipek sestavíme výpočet, po jehož vyřešení obdržíme výsledek.
Příklad 1: Tři kilogramy pomerančů stojí 66,- Kč. Kolik korun bude stát pět kilogramů pomerančů? Řešení: 3 kg pomerančů.....
66,- Kč
5 kg pomerančů.....
x Kč
(šipky by v tomto případě vedly obě vzhůru)
--------------------------------------------------
x = 110,- Kč Pět kilogramů pomerančů bude stát 110,- Kč. Příklad 2: Pět zaměstnanců postaví přístřešek za 7 dní. Kolik zaměstnanců musíme na práci přibrat, má-li stavba být hotova už za 4 dny? Řešení: 5 zaměstnanců ...
7 dní
x zaměstnanců ...
4 dny
(šipky by v tomto případě vedly vlevo vzhůru a vpravo dolů)
-------------------------------------------------
x = 8,75 zaměstnance
8,75 - 5 = 3,75
Přibrat bychom tedy měli 3,75 zaměstnance, což znamená z praktických důvodů, že musíme přibrat ještě 4 zaměstnance. ------------------------------------------------------------
Složená trojčlenka Jedná se vlastně o dva nebo více výpočtů spojených do jednoho. Místo použití složené trojčlenky můžeme většinou bez problémů použít dvakrát nebo vícekrát za sebou trojčlenku obyčejnou. Příklad 3: Šest dělníků opracuje za 5 směn 1020 součástek. Za jak dlouho opracuje 10 dělníků 2000 součástek při stejném výkonu? Řešení: 6 dělníků
...
5 směn ...
1020 součástek
10 dělníků
...
x směn
...
2000 součástek
-----------------------------------------------------------------------------Střední šipka - bez uvažování směrem vzhůru. Pak musíme rozhodnout, zda okrajové veličiny jsou s veličinou střední postupně ve vztahu přímé nebo nepřímé úměrnosti. Zde vychází u levé veličiny šipka dolů a u pravé šipka vzhůru. 26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
5
Poměr, trojčlenka
1
x = 5,9 směny (přibližně) Deset dělníků opracuje 2000 součástek zhruba za 5,9 směny.
4. Trojčlenka - procvičovací příklady 1. OK
2. OK
3. OK
4. OK
5. OK
6. OK
7. OK
8. OK
9. OK
Šest lidí splní určitý úkol za 12 hodin. Kolik času by potřebovalo na tuto práci 9 lidí? 8 hodin 4,5 kg jablek stojí 81 Kč. Kolik stojí 2,5 kg? 45 Kč
2232
2211
2227
Šest strojů zpracuje zásobu materiálu za 15 směn. Za kolik směn zpracuje tuto zásobu materiálu osm stejných strojů? 11,25 směny
2215
Dva stroje vyrobí za 50 hodin 2 000 výrobků. Kolik strojů potřebujeme přikoupit, abychom za 30 hodin vyrobili 15 000 výrobků? 23 strojů
2214
Tři stejně výkonná čerpadla naplní nádrž za 72 minut. Za kolik minut se naplní nádrž osmi stejně výkonnými čerpadly? 27 minut
2235
Čtyři dělníci vyhloubí příkop za 18 dní. Kolik dělníků musíme přidat do pracovní skupiny, aby byl příkop hotov už za 12 dní? 2 dělníky Jestliže píce vystačí 300 kusům dobytka na dva týdny, kolika kusům vystačí na tři týdny? 200 kusům
2228
2219
6 dělníků by vykonalo práci za 30 dnů. Práce má být hotová za 20 dnů. Kolik dělníků se musí na práci přibrat? 3 dělníci Za 0,75 hodiny se vyfrézuje 36 zubů. Kolik minut trvá vyfrézování 50 zubů? 62,5 minuty
2226
2217
10. Tři stejně výkonní sklenáři opravili okna školní budovy za 32 hodin. Za kolik hodin by tuto opravu OK
provedli čtyři stejně výkonní sklenáři? 24 hodin
11. K upečení bábovky ze 4 vajec je potřeba 160 g tuku, 240 g mouky, 200 g cukru. Kolik g tuku, OK
2218
mouky a cukru je potřeba na upečení bábovky ze 3 vajec? 120 g tuku, 180 g mouky, 150 g cukru
26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
6
Poměr, trojčlenka
1
Obsah 1. Poměr
2
2. Poměr - procvičovací příklady
3
3. Trojčlenka
4
4. Trojčlenka - procvičovací příklady
6
26.12.2012 13:42:41
Powered by EduBase 2
7
