Švarc - Automatizace automatickéřízení, skriptum FSI VUT Brno, 2002, 2005

LITERATURA A u t o

Švarc, Šeda, Vítečková – Automatické řízení, skriptum FSI VUT Brno, 2007

m a t i z a

Švarc - Automatizace – automatické řízení, skriptum FSI VUT Brno, 2002, 2005 Hlavní části přednášek v eLearningu

c e

1. Ú V O D D O A U T O M A T I Z A C E A u

AUTOMATIZACE

t o m a

Definice: Automatizace je proces, při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení.

t i

Mechanizace

z a

Automatizace

c e

Komplexní automatizace

1


Kybernetika

t o

Zakladatel Norbert Wiener (1948)

m a t

Původní definice: Věda o řízení a sdělování v živých organismech a strojích.

i z a c

Definice: Věda, která zkoumá obecné vlastnosti a zákonitosti řízení v biologických, technických a společenských systémech.

e

1. Ú V O D D O A U T O M A T I Z A C E A u t o m a t i z

Dělení kybernetiky: - teoretická kybernetika ► teorie řízení ► teorie systémů ► teorie informace ► ...

- aplikovaná kybernetika

a c e

► technická kybernetika ► vojenská kybernetika ► biologická kybernetika ► ...

2

1. Ú V O D D O A U T O M A T I Z A C E A

Řízení

u t o m a t

Definice: Řízení je cílevědomá činnost, při které se působí na řízený objekt tak, aby se dosáhlo požadovaného cíle. Dělení řízení: ruční automatické

i z a c

► ovládání ► regulace

e

● přímé ● nepřímé ► optimální řízení ► adaptivní řízení ► učení ► umělá inteligence

1. Ú V O D D O A U T O M A T I Z A C E A u t

Ovládání je řízení bez zpětné vazby

o m

vnější působení

a t i z a

vstup

Řídicí systém

ovládání řízení

Řízený systém

výstup

c e

3

1. Ú V O D D O A U T O M A T I Z A C E A u t

Regulace je řízení se zpětnou vazbou

o m

vnější působení

a t i z

vstup

regulace

Řídicí systém

řízení

Řízený systém

výstup

a

zpětná vazba

c e

informace o stavu řízeného systému


Automatické řízení

t o

Logické řízení

m a

Spojité řízení

t i z a c

Diskrétní řízení Fuzzy řízení

e

4

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m a

LOGICKÉ ŘÍZENÍ Definice: Logické řízení je cílevědomá činnost, při níž se logickým obvodem zpracovávají informace o řízeném procesu a podle nich se ovládají příslušná zařízení tak, aby se dosáhlo požadovaného cíle.

t i z a c e

Logický obvod Definice: Logický obvod je fyzikální systém, který se skládá z logických prvků propojených mezi sebou logickými veličinami.

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m

Logický obvod: - kombinační - sekvenční

a t i z a c

Logické veličiny - dvouhodnotové proměnné - Booleova algebra

e

5

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m a t i

Logická funkce y = f ( x1 , x2 ,....., xn ) Definice: jednoznačné přiřazení hodnot 0 a 1 logické proměnné y ke kombinacím hodnot nezávislých logických proměnných x1, x2,…,xn Logické funkce jedné proměnné

z název funkce

NEGACE

falsum

verum

aserce

algebraický zápis

y=x

y=0

y =1

y=x

a c e pravdivostní tabulka

x

y

x

y

x

y

x

y

0 1

1 0

0 1

0 0

0 1

1 1

0 1

0 1

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t

Logické funkce dvou proměnných název funkce

o m

disjunkce

algebraický zápis

pravdiv. tabulka

y = x1 + x2

x1 x2

y

0 1 0 1

0 1 1 1

y = x1 ∨ x2

a t i

konjunkce

y = x1. x2 y = x1 ∧ x2

z a c

negace disjunkce

y = x1 + x2 y = x1 ∨ x2

e negace konjunkce

y = x1 . x 2 y = x1 ∧ x 2

0 0 1 1

x1 x2

y

0 1 0 1

0 0 0 1

0 0 1 1

x1 x2

y

0 1 0 1

1 0 0 0

0 0 1 1

x1 x2

y

0 1 0 1

1 1 1 0

0 0 1 1

název funkce

ekvivalenc e

dilema neekvivalence

implikace

implikace

algebraický zápis

pravdiv. tabulka

y = x1 ≡ x2

x1 x 2 0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 1

y = x1 ≡ x2

x1 x 2 0 0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0

y = x1 → x2

x1 x 2 0 0 0 1 1 0 1 1

1 1 0 1

y = x2 → x1

x1 x 2 0 0 0 1 1 0 1 1

1 0 1 1

y

y

y

y

6

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A

Schématické značky logických funkcí

u t o

název funkce

synonymní názvy

m

negace

NOT

disjunkce

OR logický součet

i

konjunkce

AND logický součin

synonymní názvy

schématická značka

negace disjunkce

NOR negace logického součtu

x1 x2

1

x1+x2

negace konjunkce

NAND negace logického součinu

x1 x2

&

x 1x 2

x

x

a t

název funkce

schématická značka

x1 x2

1

x1+x2

z a c

x1 x2

&

x 1x 2

e


Booleova algebra

u t

- používá negaci, disjunkci, konjunkci

o

- minimalizace logických funkcí

m a

Pravidla Booleovy algebry:

t i

●

●

x + x =1

z a

zákon vyloučeného třetího

●

c

logický rozpor

x⋅x = 0

zákon dvojité negace

x=x

e ●

zákony opakování

x+x= x

x⋅x = x

7


●

x1 + x2 = x2 + x1

u t o

komutativní zákony

●

x1 ⋅ x2 = x2 ⋅ x1

asociativní zákony

x1 + ( x2 + x3 ) = x1 + x2 + x3

m

x1 ⋅ ( x2 ⋅ x3 ) = x1 ⋅ x2 ⋅ x3

a t

●

x1 ⋅ ( x2 + x3 ) = x1 x2 + x1 x3

i

x1 + x2 ⋅ x3 = ( x1 + x2 ) ⋅ ( x1 + x 3 )

z a c

distributivní zákony

●

absorpční zákony

x1 ⋅ ( x1 + x2 ) = x1

x1 + x1 ⋅ x2 = x1

e

x1 ⋅ (x1 + x2 ) = x1 ⋅ x2

x1 + x1 ⋅ x2 = x1 + x2


●

u

0+ x = x

t o

●

m

i z

●

1⋅ x = x

zákony agresivnosti 0 a 1

0⋅ x = 0

a t

zákony neutrálnosti 0 a 1

1+ x = 1

de Morganovy zákony

x1 + x2 = x1 ⋅ x2

x1 ⋅ x2 = x1 + x2

a c e

- aplikace de Morganových zákonů

a + b + c = a ⋅b⋅c

a ⋅b⋅c = a + b + c

8


Vyjádření Booleovských funkcí

u t o m a t i z a c e

Slovní zadání Pravdivostní tabulka - ze slovního zadání - počet řádků tabulky

2n - n počet vstupních proměnných

Algebraický výraz - z pravdivostní tabulky - logický součet logických součinů

x1 0 0 0 0 1 1 1 1

x2 0 0 1 1 0 0 1 1

x3 0 1 0 1 0 1 0 1

y 0 0 1 0 0 1 1 1

y = x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3 + x1 ⋅ x2 ⋅ x3

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m a

Karnaughova mapa - z pravdivostní tabulky nebo algebraického výrazu - počet políček mapy 2 n

x2

x1

x2 x4 x1 x3

t i z a c

x2 x x3 1

1

e

1

1

1

9

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t

Blokové schéma - z minimalizovaného tvaru - užitím schématických značek pro logické členy

o m

y = x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3

a t i z a

&

x1 x2

1

c e

x1. x3

x3

x3

&

y

x2. x3


Minimalizace logických funkcí

u t

Pravidla Booleovy algebry

o m a t i z a c e

Karnaughova mapa - sousední políčka s jedničkami spojit do smyček - smyčky mocniny dvou (1, 2, 4, 8…) - začínáme od největších smyček - smyček co nejmíň - jedna jednička může být součástí libovolného počtu smyček - všechny jedničky nutno zakroužkovat

10

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o

- při vytváření minimálního výrazu jedna smyčka tvoří jeden součtový člen, který obsahuje ty proměnné, jejichž hodnota ( 0 nebo 1 ) se v rámci dané smyčky nemění

m a

- varianty dvojic

t

x x4 2 x1 x3

i z

1 1

a c e

1 1

1

1 1

1


x x4 2 x1 x3

- varianty čtveřic

u t o m a t i z a c

x4

x2 x3

1 1 1

x1 1 1 1 1

1

1

x4 1

1

1

1

x2 x x3 1

1

1 1 1

e

1

1 1 1

1 1 1

11


Realizace logických funkcí

u t o m

Booleovskými funkcemi Prvky NAND &

x1 x2

a t

y=x1. x2

i z

- převod : zákon dvojité negace, de Morganovy zákony

a c

- negace použitím NAND

x

e

&

y=x.x.x=x x====x==

x 1 1

&

y=x.1.1=x


Prvky NOR

x1 x2

1

y=x1+ x2

a t

- převod : zákon dvojité negace, de Morganovy zákony

i z a c e

- negace použitím NOR

x

1

y=x+x+x=x x====x==

x 0 0

1

y=x+0+0=x

1


Kombinační logické obvody

u t o m a t i z

Definice 1: Každé kombinaci vstupních proměnných x1,…, xn odpovídá jednoznačně jen jedna kombinace výstupních proměnných y1 ,…, ym. Definice 2: Hodnoty výstupů y1 ,…, ym závisí jen na okamžitých hodnotách vstupů x1,…, xn .

a c e

x1 ...

y1 ...

xn

ym


Kombinační logické obvody: - realizují kombinační logické funkce - jednodušší úlohy řízení

a t i z a

- technická realizace integrovanými obvody programovatelnými automaty

c e

2


PŘÍKLAD

u

Tři nádrže jsou propojeny do společné výpusti. Stav každé nádrže je hlídán senzorem, který v přítomnosti kapaliny dává logickou 1. Navrhněte logický obvod tak, aby se rozsvítila žlutá kontrolka v případě, že je jedna nádrž prázdná a červená kontrolka, jestliže jsou dvě nádrže prázdné.

t o m a t i z

nádrž 3

a

senzor 3

nádrž 2 senzor 2

nádrž 1 senzor 1

c e

x3

x2

x1

y1 LOGICKÝ OBVOD

y2

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m a t

Sekvenční logické obvody Definice 1: Hodnoty výstupních proměnných y1,…, ym závisejí nejen na okamžitých hodnotách vstupních proměnných x1,…, xn, ale i na jejich minulých hodnotách (na jejich časovém sledu).

i z a c

Definice 2: Jestliže některé kombinaci vstupů odpovídají dvě nebo více kombinací výstupů, pak se jedná o sekvenční logický obvod.

e

3

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z

x1 vstupní x2 proměnné . . . xn vnitřní (stavové) proměnné

kombinační obvod

y1 y2 ... ym

výstupní proměnné

.. paměťová

...

a

část c e

sekvenční obvod

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c e

Sekvenční logické obvody: - realizují sekvenční logické funkce - řízení složitějších zařízení - popis funkce sekvenčního obvodu pravdivostní tabulkou grafem přechodů - technická realizace integrovanými obvody klopnými obvody programovatelnými automaty

4


PŘÍKLAD

u

Navrhněte logický obvod pro řízení činnosti topného tělesa žehličky (termostat). Topné těleso je zapnuto až do okamžiku, kdy teplota T dosáhne hodnoty vypínací teploty T2 a zůstává vypnuto až do vychladnutí teploty T na hodnotu spínací teploty T1.

t o m a t i z a c e

x1=1 x1=0

teplota T>T1 teplota T≤T1

x2=1 x2=0

teplota T≥T2 teplota T
y=1 y=0

topné těleso zapnuto topné těleso vypnuto


Programovatelné automaty

u t o m

- PLC (Programmable Logic Controller) - malá odolnost počítačů v průmysl. prostředí

a t i

- dříve pouze pro logické řízení - dnes i pro analogové a číslicové řízení

z a c e

- univerzálnost - činnost dána programem

5

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u

Datová SB Adresová SB Řídicí SB

Paměťový modul EEPROM(EPROM)

t o m

Paměť RAM

Binární vstupy

Analogové vstupy

Komunikace

Binární výstupy

Analogové výstupy

Speciální jednotky

a t

Mikroprocesor

i z a

CPU

c e

Programovací přístroj, počítač

2. L O G I C K É Ř Í Z E N Í A u t o

HW programovatelných automatů - kompaktní PA - stavebnicové (modulární) PA

m a t i z a c e

SW programovatelných automatů - norma IEC 61131 - jazyk: mnemokódů kontaktních schémat logických schémat strukturovaného textu sekvenčního programování

6

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z

SPOJITÉ ŘÍZENÍ - spojitě proměnné veličiny - řízení se zpětnou vazbou (regulace)

Regulace Definice: Regulace je udržování zvolené fyzikální veličiny na konstantní hodnotě nebo jinak podle nějakého pravidla se měnící hodnotě.

a c e

Regulační obvod Regulátor (řídicí systém) Regulovaná soustava (řízený systém)

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A

v

u

w

t o

y

m

u

a t i z a c e

Veličiny : y(t) w(t) e(t) u(t) v(t)

- regulovaná veličina - žádaná hodnota - regulační odchylka - akční veličina - poruchová veličina

e(t ) = w(t ) − y(t )

1


Blokové schéma regulačního obvodu

u t o m a

poruchové v (t) 1 veličiny

žádaná regulační hodnota odchylka ičina

w(t)

e(t)

Regulátor

u(t)

regulovaná veličina

y(t)

Regulovaná soustava

akční veličina

y(t)

v2(t)

t i v 1 (t)

z a c

u (t)

v 2 (t) y(t)

R eg u lo v a n á so u sta v a

e e(t)

R eg u lá to r

w (t)

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o

Laplaceova transformace - francouzský matematik Laplace 1820 - popis přenosy

m a t i z a c e

Přímá a zpětná Laplaceova transformace Pojem transformace: každé funkci f(t) z jedné množiny proměnných t se přiřadí funkce F(s) z množiny funkcí komplexní proměnné s.

přímá transformace

L{ {

} obraz F(s)

originál f(t) L-1{ }

zpětná transformace časová oblast

oblast s

2

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u

Přímá Laplaceova transformace

t

- originál → obraz

o

- definiční vztah ∞

m

F (s ) = L{ f (t )} = ∫ f (t )e − st dt

a

0

t i

Zpětná Laplaceova transformace

z

- obraz → originál

a

- definiční vztah

c e

f (t ) = L−1{F (s )} =

1 F (s )e st ds ∫ 2πj c


Slovník Laplaceovy transformace

f (t )

F (s )

1

δ (t )

1

2

η (t )

3

a

4

t

5

tn

u t o

f (t ) 6

e −at

m a t i z a c e

1 s a s 1 s2 n! s n+1

7

1 (1 − e−at ) a

8

sin bt

9

cos bt

10

e −at − e−bt

F (s ) 1 s+a 1 s (s + a ) b 2 s + b2 s s 2 + b2 b−a (s + a )(s + b )

3

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t

Rozklad na parciální zlomky - různé kořeny jmenovatele

o m

F (s ) =

a t

=

i z

M (s ) = K 0 (s − s1 )(s − s 2 )...(s − sn ) K1 K K + 2 + ... + n s − s1 s − s2 s − sn

a

K i = [(s − si )F (s )]s = si

c e


- násobné kořeny jmenovatele

u t o m a t

F (s ) = =

M (s ) = n K 0 (s − s1 ) (s − s 2 )...(s − sm )

C1 C2 Cn K2 K + + ... + m 2 + ... + n + s − s1 (s − s1 ) s − sm (s − s1 ) s − s2

i z a c e

Ki = [(s − si )F (s )]s = si

[

]

Cn = (s − si ) F (s ) n

s = si

1 d n Cn−1 =  (s − si ) F (s ) 1!  ds  s = si

4


Věty Laplaceovy transformace


• věta o linearitě

L{af1 (t ) + bf 2 (t )} = aF1 (s ) + bF2 (s ) • věta o obrazu derivace

L{ f ( n ) (t )} = s n F (s ) − s n −1 f (0) −

− s n−2 f ′(0) − ... − f ( n−1) (0 )

• věta o obrazu integrálu

t  1 L ∫ f (t )dt  = F (s ) 0  s


• věta o počáteční hodnotě

f (0 ) = lim f (t ) = lim sF (s ) t →0

s →∞

m a t i

• věta o konečné hodnotě

f (∞ ) = lim f (t ) = lim sF (s ) t →∞

s →0

z a c e

• věta o posunutí

L{ f (t − a )} = e−as F (s )

5

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m

Vlastnosti a popis regulačních systémů u(t)

Regulační systém

vstupní veličina

y(t) výstupní veličina

a t i z a

Statické vlastnosti systému Ustálený stav - ustálená hodnota vstupní veličiny

u = lim u (t )

c e

t →∞

- ustálená hodnota výstupní veličiny

y = lim y (t ) t →∞


Statická charakteristika

t

- lineární

o

- nelineární

y

nelineární

lineární

m

u

a t i z a c e

Dynamické vlastnosti systému Přechodný stav Vnější popis - vstup → výstup

Vnitřní popis - vstup → stav systému → výstup

6


Diferenciální rovnice

u

an y ( n ) (t ) + an−1 y ( n −1) (t ) + ... + a1 y′(t ) + a0 y (t ) =

t o

= bmu ( m ) (t ) + bm−1u ( m−1) (t ) + ... + b1u′(t ) + b0u (t )

m a

ai , i = 1,..., n b j , j = 1,..., m

t

- konstantní koeficienty

i

Podmínka fyzikální realizovatelnosti

z

m≤n

a c

Počáteční podmínky

e

y (0 ), y′(0 ),..., y ( n−1) (0 )

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a

PŘÍKLAD Sestavte diferenciální rovnici pneumaticko-elektrického převodníku. Vstupní veličinou u(t) je tlak vzduchu v MPa a výstupní veličinou y(t) je poloha bodu, od kterého je odvozen pohyb jezdce potenciometru. u(t)

t

Dáno : ● plocha pístu a=8 cm2

i

●

konstanta tlumení olejového tlumiče b=0,5 Ns/cm

●

tuhost pružiny c=40 N/cm

●

hmota pohybujících se částí m=0,003 kg

z a

a

y(t)

c e

c b

7


Řešení diferenciálních rovnic Laplaceovou transformací

t o m

diferenciální rovnice

a t

L{ }

řešení algebraické rovnice

klasické řešení diferenciální rovnice

i

algebraická rovnice

z a

řešení ŘEŠENÍ

c

L-1{ }

obraz řešení

e

časová oblast

oblast s


Přenos

u t o m

Definice: Přenos je roven poměru Laplaceova obrazu výstupní veličiny k Laplaceovu obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách.

a t i

G (s ) =

L{y (t )} Y (s ) = L{u (t )} U (s )

z a c e

Vyjádření přenosu - pomocí koeficientů diferenciální rovnice

bm s m + ... + b1s + b0 G (s ) = an s n + ... + a1s + a0

8


- pomocí pólů a nul

u t o

G (s ) =

m a

- pomocí časových konstant

t i z

bm (s − n1 )(s − n2 )...(s − nm ) an (s − p1 )(s − p2 )...(s − pn )

G (s ) =

a

b0 (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)...(τ m s + 1) a0 (T1s + 1)(T2 s + 1)...(Tn s + 1)

c e

τj =−

1 nj

Ti = −

1 pi

b0 =k a0


Určení odezvy - základní úloha regulace

o m

u(t)

a

G(s)

y(t) = ?

t i z a c e

• obraz odezvy

Y (s ) = G ( s ) ⋅ U ( s ) • odezva

y (t ) = L−1{Y (s )} = L−1{G (s ) ⋅ U (s )}

9


Impulsní funkce a charakteristika


Definice: Impulsní funkce g(t) je odezva systému na Diracův (jednotkový) impuls při nulových počátečních podmínkách. Definice: Impulsní charakteristika je grafické zobrazení impulsní funkce. Definice: Diracův impuls δ(t) je idealizovaná fyzikálně nerealizovatelná funkce, která se jeví jako nekonečně krátký impuls o nekonečně velké amplitudě, jehož plocha je jednotková.


Regulační systém

δ(t)

o m

y(t)

u(t)

g(t) impulsní funkce

Diracův impuls

a t i

δ(t)

g(t)

z

impulsní charakteristika

a c e

t

t

1


Diracův impuls

δ (t ) =

∞ pro t = 0

∞

0 pro t ≠ 0

−∞

∫ δ (t ) = 1

L{δ (t )} = 1

a t i z a c

Určení impulsní funkce - zpětnou Laplaceovou transformací

g (t ) = L−1{G (s )}

e

- řešením diferenciální rovnice


Přechodová funkce a charakteristika

u t o m a t i z

Definice: Přechodová funkce h(t) je odezva systému na jednotkový skok při nulových počátečních podmínkách. Definice: Přechodová charakteristika je grafické zobrazení přechodové funkce.

a c e

Definice: Jednotkový skok η(t) je funkce, která do času t=0 má nulovou hodnotu a v čase t=0 skočí její hodnota na jednotku, kterou pak stále udržuje.

2


Regulační systém

η(t)

o m

y(t)

u(t)

h(t) přechodová funkce

jednotkový skok

a t

přechodová charakteristika

i z a c

η(t)

h(t)

1

e

t

t


Jednotkový skok

η (t ) =

0 pro t < 0 1 pro t ≥ 0

L{η (t )} =

1 s

a t i z a c e

Určení přechodové funkce - zpětnou Laplaceovou transformací

1 h(t ) = L−1{H (s )} = L−1  G (s ) s  - řešením diferenciální rovnice

3


Vztah mezi impulsní a přechodovou funkcí

t

g (t ) =

o m

dh(t ) dt

t

h(t ) = ∫ g (t )dt 0

a t i z a c e


Frekvenční přenos - použití sinusového průběhu

o m

u(t)

a

u (t ) = u0 sin ωt

t

Regulační systém

y(t)

y (t ) = y0 sin (ωt + ϕ )

i z a

u (t)

y (t)

u0

y0

c e

t

φ

t

4


Vyjádření funkcí v komplexním tvaru

u(t ) = u0e jωt

y (t ) = y0e j (ωt +ϕ )

m a t i z a c e

Definice: Frekvenční přenos G(jω) je roven poměru vektorů rotujících v komplexní rovině úhlovou rychlostí ω.

y (t ) y0e j (ωt +ϕ ) y0 jϕ G ( jω ) = = = e u(t ) u0e jωt u0


Vyjádření frekvenčního přenosu - pomocí koeficientů diferenciální rovnice

o m a t i z a c e

b ( jω ) + ... + b1 jω + b0 G ( jω ) = m n an ( jω ) + ... + a1 jω + a0 m

Převod - přenos → frekvenční přenos

G ( jω ) = G ( s ) s = jω

5


Frekvenční charakteristika v komplexní rovině

o m a t i

Definice: Frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenčního přenosu G(jω) v komplexní rovině. Proměnným parametrem je úhlová frekvence ω.

z a

Složkový tvar komplexního čísla

c

G ( jω ) = Re[G ( jω )] + j Im[G ( jω )]

e


Exponenciální tvar komplexního čísla

u

G ( jω ) = A(ω ) ⋅ e jϕ (ω )

t o

ϕ (ω ) = arctg

A(ω ) = G ( jω )

m a t i z

Charakteristiky Im

ω=0

∞ ω=∞

Im( ω)

a c e

Im[G ( jω )] Re[G ( jω )]

Re(ω) G(j ω)

Im

∞ ω=∞

Re

φ(ω) A(ω)

ω

ω=0 Re

ω

G(jω)

6


Experimentální určení frekvenční charakteristiky

u t o

ω G

u0

měřený objekt

G(jω)

m

y0

a

měření ϕ

t i z a c

u (t ) = u0 sin ωt

Im

y (t ) = y0 sin (ωt + ϕ )

φ

Re

e

G ( jω ) =

y0 j ϕ e u0

y0/u0

ω


Logaritmické frekvenční charakteristiky Frekvenční char. v lineárních souřadnicích

m

- amplitudová

a

A = A(ω )

t

A [-]

20 15 10

i

5

z

0

a c e

- fázová

ϕ = ϕ (ω )

φ

0

0.1

0.2 0.3 0.4 ω [s-1]

[o] -20 -40 -60

7


Frekvenční char. v logaritmických souřadnicích

G ( jω ) = A(ω ) ⋅ e jϕ (ω )

o m

- amplitudová

A 25 [dB]

a

20 15

t

10

i

5

z a c

0

0.01 0.1

1

-1 10 ω [s ]

φ [o] -45

- fázová

-90

e

-135 -180


- amplituda v decibelech

u t o

A(ω ) = G ( jω ) =

y0 j ϕ y0 ⋅e = u0 u0

m a t i

● Decibel je dvacetinásobek dekadického logaritmu zesílení

A[dB ] = 20 log A[−] = 20 log

z

y0 u0

a c e

- fáze ve stupních nebo radiánech

ϕ (ω ) = arctg

Im[G ( jω )] Re[G ( jω )]

8

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c e

Regulátory Definice: Regulátor je zařízení, kterým se uskutečňuje regulace. e(t) E(s)

GR(s)

u(t) U(s)

Činnost regulátoru: regulátor změří regulovanou veličinu y(t), porovná ji s žádanou hodnotou w(t) a vytvoří regulační odchylku e(t). Odchylku zpracuje a prostřednictvím akční veličiny u(t) působí na regulovanou soustavu tak, aby se odchylka zmenšovala.


Dělení regulátorů Podle potřebné pomocné energie - direktní - indirektní

Podle druhu pomocné energie - pneumatické - hydraulické - elektrické

Podle průběhu výstupního signálu - spojité - nespojité

Podle statické charakteristiky - lineární - nelineární

1


Blokové schéma regulátoru

u t

y

regulovaná soustava

o m a

i

c

y

akční člen

z a

měřicí člen

snímač a převodník

t

regulační orgán

u

pohon

u

ústřední člen

e

porovnáv. člen

w

převodník

w

e


Měřicí člen - snímač - převodníky - porovnávací člen

a t

Ústřední člen regulátoru

i z a c e

Akční člen - pohon - regulační orgán

2

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í

Dynamické vlastnosti regulátoru

A u t o

typ diferenciální rovnice reg.


u (t ) = r0 e(t )

P

r0

r0

t

a

r0 Re

t

i z

frekvenční charakteristika

Im

u(t)

m a

přenos GR(s)

u (t ) = r−1 ∫ e(t )

I

c e

u (t ) = r1 e′(t )

D

r−1 r0 , s Ti s

Im

u(t)

ω=∞

Re t u(t)

ω=0

Im ω=∞

r1 s , r0Td s

ω=0

t

Re


typ reg.

o m

PI

a

diferenciální rovnice

u (t ) = r0 e(t ) +

+ r−1 ∫ e(t )

přenos GR(s)


u(t)

 1  r0 1 +  r0  Ti s 

Im

z

PD

a c e

PID

u (t ) = r0 e(t ) + + r1 e′(t )

Re ω=∞ ω=0

Im

u(t)

r0 (1 +T d s )

r0

t

t i

frekvenční charakteristika

ω=∞

r0

1 + 1  u(t)   r0  Ti s  r0 + r−1 ∫ e(t ) + r1 e′(t ) +T s   d 

r0 t

Re Im

u (t ) = r0 e(t ) +

ω=0

ω=∞

r0 Re t

ω=0

3


Stavitelné parametry regulátoru

t

- proporcionální konstanta r0

o

- integrační časová konstanta Ti

m a t i

- derivační časová konstanta Td

Pásmo proporcionality

a

udává o kolik procent z celého rozsahu se musí změnit vstupní signál, aby se výstup změnil v celém

c

rozsahu

z

e

p. p. =

1 ⋅100 [%] r0


Popis regulátorů

u t

P regulátor

o m

I regulátor

a t

D složka regulátoru

i z

PI regulátor

a c

PD regulátor

e

PID regulátor

4


Regulační obvod Změna žádané hodnoty

o m a

W(s)

E(s)

GR(s)

U(s)

GS(s)

t

Y(s)

i z a c e

Přenos řízení

Gw (s ) =

Y (s ) GR (s ) ⋅ GS (s ) GO (s ) = = W (s ) 1 + GR (s ) ⋅ GS (s ) 1 + GO (s )


Působení poruchové veličiny V(s)

GS(s)

Y(s)

m a

U(s)

t i

GR(s)

E(s)

W(s)

z a c e

Přenos poruchy

Gv (s ) =

Y (s ) GS (s ) GS (s ) = = V (s ) 1 + GR (s ) ⋅ GS (s ) 1 + GO (s )

5


Rozpojený (otevřený) regulační obvod Přenos rozpojeného obvodu

GO (s ) = GR (s ) ⋅ GS (s )

a t i

Uzavřený regulační obvod

z a c e

Charakteristická rovnice

1 + GO (s ) = 0

M O (s ) + N O ( s ) = 0


Ziegler-Nicholsova metoda V provozním zapojení (simulací)

m

- vyřazení integrační a derivační složky regulátoru

a

- zvětšováním zesílení r0 dosažení netlumených kmitů o konstantní amplitudě a konst. periodě → kritické hodnoty r0k , Tk

t i z a

- optimální parametry regulátoru z kritických hodnot podle tabulky

c e

6


Ziegler-Nicholsova tabulka

t o

typ regulátoru

r0

Ti

Td

P

0,5 r0 k

--

--

PI

0,45 r0 k

0,83Tk

--

PD

0,4 r0 k

--

0,05Tk

PID

0,6 r0 k

0,5Tk

0,12 Tk

I

--

2 Tik

--

m a t i z a c e


Bloková algebra

u t

- určení výsledného přenosu na základě dílčích přenosů

o m a t i z a c e

Základní typy zapojení Sériové zapojení U(s)

G1 (s )

G2 (s )

...

Gn (s )

Y(s)

n

G (s ) = ∏ Gi (s ) i =1

• Výsledný přenos je roven součinu přenosů jednotlivých členů

7


Paralelní zapojení

u

G1 (s )

t o m

U(s)

a

G2 (s )

...

t

Y(s)

... Gn (s )

i z a c

n

G (s ) = ∑ Gi (s ) i =1

e

• Výsledný přenos je roven součtu přenosů jednotlivých členů


Antiparalelní zapojení

u t

U(s)

o

G1 (s )

Y(s)

m

G2 (s )

a t i z a

G (s ) =

G1 (s ) 1 + G1 (s ) ⋅ G2 (s )

c

přenos přímé větve

e

G(s) = 1±(přenos přímé větve)·(přenos zpětné vazby)

8


Řešení překřížených vazeb

u t o m a t

Přesun místa rozvětvení - proti směru signálu G(s)

G(s)

i

G(s)

z a

- po směru signálu

c

G(s)

e

G(s) 1/G(s)


Přesun místa sumace

u t

- proti směru signálu

o m

G(s)

G(s)

a

1/G(s)

t i z

- po směru signálu

a c

G(s)

G(s)

e

G(s)

9


Dělení regulačních členů

u t o m a t i

Ustálená hodnota přechodové funkce

h(∞ ) = lim h(t ) = lim s H (s ) = lim G (s ) t →∞

s →0

s →0

bm s m + ... + b1s + b0 b0 h(∞ ) = lim = s →0 a s n + ... + a s + a a0 n 1 0

z a c

Regulační členy - proporcionální

a0 ≠ 0; b0 ≠ 0

- derivační

a0 ≠ 0; b0 = 0

- integrační

a0 = 0; b0 ≠ 0

e


Přenos a přechodové charakteristiky regulačních členů

u t o

Proporcionální typ členu

přenos

m a

bez setrvačnosti

t i z a c e

se setrvačností 1. řádu obecný se setrvačností n-tého řádu

b G (s ) = 0 = k a0 k G (s ) = (Ts + 1)

přechodová char. h(t)

k t

h(t)

k t

bm s m + ... + b1s + b0 G (s ) = an s n + ... + a1s + a0

1


typ členu

přenos

přechodová char.

u t o

se setrvačností 2. řádu

G (s ) =

k T 2 s 2 + 2ξTs + 1

aperiodický

G (s ) =

k

m a t i z a

mezní aperiodický

c e

kmitavý

konzervativní

k

(T1s + 1)(T2 s + 1)

G (s ) =

k (Ts + 1)2

k T s + 2ξTs + 1 k G (s ) = 2 2 T s +1

G (s ) =

h(t)

t h(t)

k t

h(t)

k

2 2

t h(t)

k t


Derivační

u t

typ členu

o m

bez setrvačnosti

přenos

G (s ) = k s

i


z a


c e

h(t) t

a t

přechodová char.

obecný

ks (Ts + 1) ks G (s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1) G (s ) =

h(t) t h(t)

s r (bm s m−r + ... + br ) G (s ) = an s n + ... + a1s + a0

t

2


Integrační

u t

typ členu

přenos

o m

k G (s ) = s k G (s ) = s (Ts + 1)

bez setrvačnosti

a t i


z a


G (s ) =

c e

k s(T1s + 1)(T2 s + 1)

G (s ) =

obecný

přechodová char. h(t) t h(t) t h(t) t

bm s + ... +b1 s + b0 s q (an s n −q + ... + aq ) m


Frekvenční charakteristiky regulačních členů Proporcionální typ členu

přenos

m a

bez setrvačnosti

G (s ) = k


k G (s ) = (Ts + 1)

frekvenční char. Im

k Re

t i z a c e


G (s ) =

k

Im

Im

k

k

Re

Re

(T1s + 1)(T2 s + 1)

3


Integrační typ členu

přenos

frekvenční char.

t o m

Im

G (s ) =

bez setrvačnosti

a

Re

k s

t

Im

i z


a

Re

k G (s ) = s(Ts + 1)

c

Im

e


k G(s ) = s(T1s + 1)(T2 s + 1)

Re


Stabilita regulačního obvodu

t o m a t i

Definice: Regulační obvod je stabilní, jestliže po jeho vychýlení z rovnovážného stavu vlivem změny žádané hodnoty w(t) nebo vlivem poruchové veličiny v(t) a po skončení příčiny vychýlení, je schopen se ustálit v rovnovážném stavu.

z a c e

y hom (t ) = 0 lim t →∞

4


Obecná podmínka stability

u t o m a t

Přenos řízení

Y (s ) GO (s ) bm s m + ... + b1s +b 0 Gw (s ) = = = W (s ) 1 + GO (s ) an s n + ... + a1s + a 0

i z

Diferenciální rovnice řízení

a c e

an y ( n ) (t ) + ... + a1 y′(t ) + a0 y (t ) = = bm w( m ) (t ) + ... + b1w′(t ) + b0 w(t )


Řešení diferenciální rovnice

y (t ) = yhom (t ) + y part (t ) Homogenní rovnice

an y ( n ) (t ) + ... + a1 y′(t ) + a0 y (t ) = 0 Charakteristická rovnice

an s n + ... + a1s + a0 = 0

5

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a t i

- kořeny reálné různé n

yhom (t ) = C1e s1t + C2e s2t + ... + Cn e snt = ∑ Ci e sit i =1

lim yhom (t ) = lim(C1e s1t + C2e s2t + ... + Cn e snt ) = t →∞

t →∞

= C1 lim e s1t + C2 lim e s2t + ... + Cn lim e snt t →∞

z a c e

t →∞

t →∞

- kořeny komplexní

yhom (t ) = ... + e at (Ck sin bt + Ck +1 cos bt ) + ...


Definice obecné podmínky stability: Regulační obvod je stabilní, jestliže všechny kořeny charakteristické rovnice mají zápornou reálnou část, tj. leží-li v levé komplexní polorovině.

a t i z a c e

Nutná podmínka stability Definice nutné podmínky stability: Všechny koeficienty charakteristické rovnice musí být kladné.

ai > 0, i = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, n

6


Poloha pólů a nul přenosu

u t o m

Přenos vyjádřený pomocí pólů a nul

G (s ) =

a

bm (s − n1 )(s − n2 )...(s − nm ) an (s − p1 )(s − p2 )...(s − pn )

t i

Znázornění v komplexní rovině

z

Im

a

x

c e

x

x Re

x


Dynamické vlastnosti systému - čím jsou póly dále od imaginární osy, tím je přechodný děj více tlumen a tím je kratší

m a t i

- komplexní póly → přechodný děj má kmitavou složku - nuly blíže k imaginární ose než póly → převládá derivační složka

a

- póly v počátku → integrační charakter, nuly v počátku → derivační charakter systému

c

- póly v pravé komplexní polorovině → nestabilní pochod

z

e

7

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a t

Kritéria stability Hurwitzovo kritérium Charakteristická rovnice

an s n + ... + a1s + a0 = 0

i z a c e

Definice: Obvod je stabilní, je-li determinant Hn-1 a všechny subdeterminanty Hn-2 až H2 kladné. Pokud je některý determinant nulový je obvod na hranici stability.


Hurwitzův determinant

t o m

an −1 an−3 an −5 an −7 ⋅ ⋅ ⋅ 0

a

an

an −2 an −4 an −6 ⋅ ⋅ ⋅ 0

t

0

an−1 an−3 an −5 ⋅ ⋅ ⋅ 0

i z a c e

H n−1 = 0 ⋅⋅⋅ 0

an ⋅⋅⋅ 0

an−2 an −4 ⋅ ⋅ ⋅ 0 ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ 0

0

0

⋅ ⋅ ⋅ a0

1


Routh-Schurovo kritérium Charakteristická rovnice

an s n + ... + a1s + a0 = 0

m a t i z a

Definice: Obvod je stabilní, jsou-li kladné koeficienty výchozí charakteristické rovnice a jsou-li kladné také koeficienty všech rovnic při postupné redukci charakteristické rovnice.

c e


Routh-Schurův algoritmus

t o m a t i

an

an−1

an an −1 an−1

z a c

0

an −1

an −2

an −3

an an −3 an −1 an −2 −

an an −3 an−1

an−4

an an −5 an −1 an−3

an −4 −

an an −1

an an−5 an −1

e

2


Michajlov-Leonhardovo kritérium

t o


m

an s n + ... + a1s + a0 = 0

a t i z a c e

Charakteristický polynom

H (s ) = an s n + ... + a1s + a0 s = jω

H ( jω ) = an ( jω ) + ... + a1 jω + a0 n


Definice: Obvod je stabilní, jestliže křivka H(jω) začíná na kladné reálné poloose komplexní roviny a s rostoucí hodnotou ω od 0 do ∞ projde postupně (v pořadí) v kladném smyslu (proti pohybu hodin. ručiček) tolika kvadranty, kolikátého stupně je charakteristická rovnice.

z a c e

3


Im

Im

Im

u

H(jω)

t ω=0

o m

ω=0 Re

Re

H(jω)

ω=0 Re ω=∞

H(jω) ω=∞

a

ω=∞

t i

Im

z

e

Im ω=∞ ω=0

a c

Im

ω=∞

ω=0

ω=0 Re

Re

H(jω)

H(jω)

Re

H(jω) ω=∞


Nyquistovo kritérium - stabilita uzavřeného regulačního obvodu na základě frekvenční charakteristiky otevřeného regulačního obvodu

m a

Přenos rozpojeného obvodu

t i z a c e

GO (s ) = GR (s ) ⋅ GS (s ) =

M O (s ) N O (s )

Frekvenční přenos rozpojeného obvodu

GO ( jω ) =

Re[GO ( jω )] Im[GO ( jω )]

4


V(s)=0

u

Y(s)

GS(s)

t o m

W(s)=0

GR(s)

a

M1 M2

t i z a c

M1

e

GR(s)

GS(s)

Y(s) -Y(s)

M2

GO(s)


G0 ( jω ) =

y 0 jϕ .e = 1.e jπ = cos π + j sin π = −1 u0

m a t i z a

Definice: Uzavřený obvod je stabilní, jestliže kritický bod [-1, 0j] leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu GO(jω) pro frekvence ω od 0 do ∞.

c e

5


t

Im

Im

u

-1

Re

-1

o m

Im

Re

Re

-1 GO(jω)

a

GO(jω)

GO(jω)

t i z a

Nyquistovo kritérium

c

- zjednodušené

e

- obecné

6


Přesnost regulace

u t

- přesnost regulace v ustáleném stavu

o

- pouze u stabilních regulačních obvodů

m a t i z

v(t) w(t)

e(t)

GR(s)

u(t)

a

GS(s)

y(t)

c e


Požadavky na přesnost

u t o m a t

Při změně žádané hodnoty

y (∞ ) = w(∞ )

ew (∞ ) = 0

i z a c e

Při působení poruchové veličiny

y (∞ ) = w(∞ ) ev (∞ ) = 0

1


Trvalá regulační odchylka Regulační odchylka

e(t ) = w(t ) − y(t )

m a t i z

Obraz regulační odchylky

E (s ) = W (s ) − Y (s ) = W (s ) − GS (s )[U (s ) + V (s )] = = W (s ) − GS (s )GR (s )E (s ) − GS (s )V (s ) = L

a c e

E (s ) =

1 G S (s ) W (s ) − V (s ) 1 +G R (s )GS (s ) 1 +G R (s )GS (s )

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a t

Velikost trvalé regulační odchylky

e(∞ ) = lim e(t ) = lim sE (s ) = t →∞

= lim s s →0

s →0

1 G (s ) W (s ) − lim s S V (s ) = ew (∞ ) − ev (∞ ) s →0 1 + G 0 ( s ) 1 +G 0 ( s )

i z a

ew (∞ ) = lim s

1 W (s ) 1 +G 0 ( s )

ev (∞ ) = lim s

GS (s ) V (s ) 1 +G 0 (s )

s →0

c e

s →0

2


Testovací signály

u t o m

w(t) v(t)

a t

skok polohy

testovací signál

graf

z a

rovnice

c e

Laplaceův obraz

skok zrychlení (kvadratická funkce)

w(t) v(t)

1 0

i

skok rychlosti (lineární funkce)

t

t

w(t ) = v(t ) = 1

w(t) v(t) t

w(t ) = v(t ) = t w(t ) = v(t ) = t

2

2

1 1 1 W (s ) = V (s ) = W (s ) = V (s ) = 2 W (s ) = V (s ) = 3 s s s


Typy regulačních obvodů Přenos rozpojeného (otevřeného) obvodu

G0 (s ) =

k (τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)L(τ m s + 1) s n (T1s + 1)(T2 s + 1)L(Tn s + 1)

Regulační obvod 0.typu - proporcionální soustava + regulátor P,PD

Regulační obvod 1.typu - proporcionální soustava + regulátor I, PI, PID - integrační soustava + regulátor P, PD

Regulační obvod 2. typu - integrační soustava + regulátor I,PI,PID

3


Tabulka pro určení trvalé regulační odchylky

u t o m a

Vstupní signál w(t) typ obvodu

w(t ) = 1

w(t ) = t

0

1/(1+k)

∞

∞

1

0

1/k

∞

2

0

0

1/k

w(t ) = t

2

2

t i z a c e

3. S P O J I T É Ř Í Z E N Í A u t o m a

Vstupní signál v(t)

v(t ) = t

typ obvodu

v(t ) = 1

v(t ) = t

r=0 s=0

kS/(1+k)

∞

∞

r=0 s>0

1/kR

∞

∞

r=1 s=0

0

1/kR

∞

r=1 s>0

0

1/kR

∞

2

2

t i z a c e

4


Kvalita regulace Posouzení kvality regulace

m

- v časové oblasti

a

- v kmitočtové oblasti

t

- v komplexní rovině

i

- ve stavovém prostoru

z a c e

Posouzení kvality regulace v časové oblasti - z průběhu regulované veličiny y(t)


y(t) + 5% y(∞)

t o

y(∞)

m a

- 5% y(∞)

ym

tr

t i

t

tm

z a c e

Rozhodující parametry - doba regulace tr - relativní překmit κ

κ=

ym − y (∞ ) y (∞ )

5


Ziegler-Nicholsova metoda Výpočtem

m

- použití P regulátoru

a

- určení charakteristické rovnice

t i z

- hranice stability → r0k - určení úhlové frekvence kmitů na hranici stability

a

- výpočet kritické periody Tk

c

- optimální parametry regulátoru z kritických hodnot podle tabulky

e


Ziegler-Nicholsova tabulka

t o

typ regulátoru

r0

Ti

Td

P

0,5 r0 k

--

--

PI

0,45 r0 k

0,83Tk

--

PD

0,4 r0 k

--

0,05Tk

PID

0,6 r0 k

0,5Tk

0,12 Tk

I

--

2 Tik

--

m a t i z a c e

6


Metoda přechodové charakteristiky regulované soustavy

o m a

Přechodová charakteristika nekmitavé regulované soustavy

t

h(t) k

i z a c e

Určení hodnot - doba průtahu - Tu - doba náběhu - Tn - konstanta soustavy - k

0 T u

Tn

t


Tabulka pro určení optimálních parametrů regulátorů typ regulátoru

m a

P

t i

r0

Ti

Td

1 Tn k Tu

--

--

PI

0,9

1 Tn k Tu

PD

1,2

1 Tn k Tu

PID

1,2

1 Tn k Tu

z a c e

3,5Tu --

2Tu

--

0,25Tu 0,5Tu

7


Dopravní zpoždění

u t o m a t

Definice: Dopravní zpoždění TD je zpožděná reakce výstupní veličiny regulované soustavy (regulovaná veličina y(t)) na změnu vstupní veličiny (akční veličina u(t)).

i z a

u(t)-akční

Regulátor

veličina

c

y(t) –regulovaná

e

veličina


Diferenciální rovnice

an y ( n ) (t ) + ... + a1 y′(t ) + a0 y (t ) = = bmu ( m ) (t − TD ) + ... + b1u′(t − TD ) + b0u (t − TD ) Přenos a frekvenční přenos

bm s m + ... + b1s + b0 −TD s G (s ) = ⋅e an s n + ... + a1s + a0

b ( jω ) + ... + b1 jω + b0 −TD jω G ( jω ) = m ⋅e n an ( jω ) + ... + a1 jω + a0 m

1


Impulsní funkce a charakteristika δ(t)

g(t)

TD=0 TD≠0

o m a

i z a c

TD

t

t

t

Přechodová funkce a charakteristika η(t)

h(t)

TD=0

1

e

TD≠0

TD

t

t


Frekvenční charakteristiky

G ( jω ) = Ae jϕ ⋅ e−TD jω = A ⋅ e j (ϕ −TDω )

o m

Im

a

TD=0

t i z

-T Dω A

a

A

c e

TD≠0

ω

Re

ω

2


Syntéza regulačního obvodu

u t

K regulované soustavě

o m

- navrhnout regulátor

a

- nastavit jeho parametry

t i z

Podmínky pro správnou činnost regulačního obvodu

a

- stabilita

c

- přesnost regulace

e

- kvalita regulace


Volba typu regulátoru podle regulované soustavy P - proporcionální i integrační soustavy se setrvačností 1.ř., se střední časovou konstantou, příp.menším dopravním zpožděním, při malých změnách zatížení. U proporc. soustav trvalá regulační odchylka. I - proporcionální soustavy se setrvačností 1.ř., s malou časovou konstantou, bez dopravního zpoždění, při pomalých a malých změnách zatížení. PI - proporcionální i integrační soustavy se setrvačností vyššího řádu s libovolnými časovými konstantami, s velkým dopravním zpožděním, při velkých a pomalých změnách zatížení.

3


PD - proporcionální i integrační soustavy se setrvačností vyššího řádu se středními časovými konstantami, s velkým dopravním zpožděním, při malých změnách zatížení. U proporc. soustav trvalá regulační odchylka. PID - proporcionální i integrační soustavy se setrvačností vyššího řádu s libovolnými časovými konstantami, i delším dopravním zpožděním, při velkých a rychlých změnách zatížení.

z a c e

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A

DISKRÉTNÍ ŘÍZENÍ


- diskrétní veličiny

Diskrétní regulační obvod Definice: Diskrétní regulační obvod je obvod, ve kterém alespoň jeden člen pracuje diskrétně, tzn. informaci přijímá nebo vydává (příp. obojí) v diskrétních časových okamžicích, které jsou většinou rovnoměrné (ekvidistantní). Definice: V diskrétním regulačním obvodu alespoň jedna veličina je k dispozici pouze ve tvaru posloupnosti diskrétních hodnot.

4

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z

Diskrétní funkce Definice: Diskrétní funkce je tvořena posloupností hodnot f(0T), f(1T), f(2T),…, které jsou definovány v časově ekvidistantních vzorkovacích okamžicích t=kT. Diskrétní čas

f(2T)

f(kT) f(1T)

t = kT , kde k = 0,1, 2, ...

f(3T)

f(4T)

a c e

Vzorkovací perioda, vzorkovací frekvence

2π T [s ] , ωV = T

f(0T) 0T

1T

2T

3T

4T

kT

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u

Použití diskrétního regulačního obvodu

t o m

Regulační obvod s diskrétním charakterem použitých technických zařízení

a t i z

Regulační obvod se spojitými veličinami, které nelze měřit spojitě

a c

Počítač ve funkci regulátoru

e

5


Blokové schéma diskrétního regulačního obvodu

u t

v(t)

o m a

w(kT)

e(kT) Počítač u(kT) ve funkci regulátoru

t

uT(t) Regulovaná y(t)

D-A

soustava

(tvarovač)

(spojitá)

i z a

y(kT) A-D

c

(vzorkovač)

e


Vzorkovač

u t o

- spojitá veličina → diskrétní veličina

y(t)

T

y(kT)

y(t)

m a t i z a c e

Vstup do vzorkovače - spojitý signál y (t )

t y(kT)

Výstup ze vzorkovače - vzorkovaný signál

y (kT ), k = 0,1, 2,... 0T

1T

2T

3T

4T

kT

6

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m

Volba vzorkovací periody - dynamika regulované soustavy

1 1 T ≅  ÷  ∑τ i  4 2

T ≅ 0,5τ min

a t i

1 1 T ≅  ÷  TD 8 4

z a

- Shannonova podmínka vzorkování

c e

T≤

π ωm


Tvarovač - diskrétní veličina → spojitá veličina

t o m

u(kT) GT(s)

uT(t)

u(kT)

a t i z a

Vstup do tvarovače - vzorkovaný signál

u (kT ), k = 0,1, 2,...

0T

1T

2T

3T

4T

kT

0T

1T

2T

3T

4T

t

uT(t)

c e

Výstup z tvarovače - tvarovaný signál uT (t )

7


Přenos tvarovače 0-tého řádu

1 − e −Ts GT (s ) = s

a t i

Úkol signálu z tvarovače - předání informace

z a

- předání potřebné energie

c e

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o

Z-transformace - obdoba Laplaceovy transformace - popis Z-přenosy

m a

přímá Z-transformace

t

Z{ { }

i z

obraz F(z)

originál f(t)

a

Z-1 { }

c

zpětná Z-transformace

e

časová oblast

oblast z

8


Přímá Z-transformace

u t

Odvození definičního vztahu

o

∞

L{ f (t )} = ∫ f (t ) e

m

∞

L{ f (kT )} = ∑ f (kT ) e − skT

t i

k =0

z

z = e sT

a

e

dt

0

a

c

− st

Definiční vztah ∞

F ( z ) = Z { f (kT )} = ∑ f (kT ) z −k = f (0 ) + f (T )z −1 + f (2T )z −2 + ... k =0


Slovník Z-transformace

f (t )

F (z )

1

δ (t )

1

2

η (t )

3

t

u t o

f (t ) 4

e −at

5

1 (1 − e−at ) a

6

t e −at

m a t i z a

z z −1 Tz ( z − 1)2

F (z ) z z − e −aT 1 (1 − e −aT )z a ( z − 1)(z − e −aT ) Tze −aT

(z − e )

− aT 2

c e

Řešení přímé Z-transformace - užitím definičního vztahu - užitím slovníku Z-transformace

9


Zpětná Z-transformace

u t o m

Definiční vztah

f (kT ) =

1 F ( z ) z k −1 dz ∫ 2πj c

a t i z a c e

Řešení zpětné Z-transformace - užitím definičního vztahu - užitím slovníku Z-transformace - dělením polynomů

F ( z ) = f 0 + f 1 z −1 + f 2 z −2 + ... F ( z ) = f (0 ) + f (T )z −1 + f (2T )z −2 + ...

f (0) = f 0 , f (T ) = f1 , f (2T ) = f 2 , ...


Věty Z-transformace

u t o m

• věta o linearitě

Z {af1 (k ) + bf 2 (k )} = aF1 ( z ) + bF2 ( z )

a t i z a c e

• věta o počáteční hodnotě

f (0 ) =lim f (k ) = lim F ( z ) k →0

z →∞

• věta o konečné hodnotě

f (∞ ) = lim f (k ) = lim k →∞

z →1

z −1 F (z ) z

10


Popis diskrétních členů

u t o m a

u(kT) diskrétní vstupní veličina

Diskrétní regulační systém

y(kT) diskrétní výstupní veličina

t i

Diferenční rovnice v diferenčním tvaru

z a c e

Diference funkce - dopředná diference

∆f (k ) = f (k + 1) − f (k ) ∆2 f (k ) = ∆f (k + 1) − ∆f (k ) = f (k + 2 ) − 2 f (k + 1) + f (k )


- zpětná diference

∇f (k ) = f (k ) − f (k − 1) ∇ 2 f (k ) = ∇f (k ) − ∇f (k − 1) = f (k ) − 2 f (k − 1) + f (k − 2)

m a t i z

Diferenční rovnice s dopřednými diferencemi

α n ∆n y(k ) + α n−1∆n−1 y (k ) + ... + α1∆y (k ) + α 0 y (k ) =

= β m ∆mu (k ) + β m −1∆m −1u (k ) + ... + β1∆u (k ) + β 0u (k )

a c e

Diferenční rovnice se zpětnými diferencemi

α n∇ n y (k ) + α n−1∇ n−1 y (k ) + ... + α1∇y (k ) + α 0 y (k ) =

= β m∇ mu (k ) + β m−1∇ m−1u (k ) + ... + β1∇u (k ) + β 0u (k )

1

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c e

Diferenční rovnice v rekurentním tvaru Diferenční rovnice s kladným posunutím

an y (k + n ) + ... + a1 y (k + 1) + a0 y (k ) =

= bmu (k + m ) + ... + b1u (k + 1) + b0u (k )

- podmínka fyzikální realizovatelnosti

n≥m - počáteční podmínky

y(0), y(1),..., y(n − 1)

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c e

Diferenční rovnice se záporným posunutím

a0 y (k ) + a1 y (k − 1) + ... + an y (k − n ) =

= b0u (k ) + b1u (k − 1) + ... + bmu (k − m )

- v regulační technice

a0 = 1 - podmínka fyzikální realizovatelnosti

je − li b0 ≠ 0 musí a0 ≠ 0 totéž platí i pro první nenulové odpovídající si koeficienty bi a ai

2

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t

- počáteční podmínky

y(− 1), y(− 2),..., y(− n )

o m a t i z a c

Řešení diferenčních rovnic - klasickým způsobem - Z-transformací - numerickým (rekurentním) způsobem

e


Z-přenos


Definice: Z-přenos je roven poměru Z-obrazu výstupní veličiny a Z-obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách.

G( z ) =

Z {y (k )} Y ( z ) = Z {u (k )} U ( z )

Vyjádření přenosu - pomocí koeficientů diferenční rovnice

bm z m + ... + b1 z + b0 G( z ) = an z n + ... + a1 z + a0

b0 + b1 z −1 + ... + bm z −m G( z ) = 1 + a1 z −1 + ... + an z −n

3


Určení odezvy - základní úloha regulace

o m

u(k)

G(z)

a

y(k) = ?

t i z a c e

• obraz odezvy

Y (z ) = G(z ) ⋅U (z ) • odezva

y (k ) = Z −1{Y ( z )} = Z −1{G ( z ) ⋅ U ( z )}


Diskrétní impulsní funkce a charakteristika

u t o m

Definice: Diskrétní impulsní funkce g(k) je odezva systému na diskrétní jednotkový impuls δ(k).

a t i

Definice: Diskrétní impulsní charakteristika je grafické zobrazení diskrétní impulsní funkce.

z a

Diskrétní jednotkový impuls

c e

δ (k ) =

1 pro k = 0 0 pro k ≠ 0

Z {δ (k )} = 1

4


u(k)

t

δ(k)

o m a

y(k)


g(k) diskrétní impulsní funkce

diskrétní jednotkový impuls

t i z a

δ(k)

diskrétní impulsní charakteristika

g(k)

1

c e 0

1

2

3

k

0

1

2

3

4

k

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a

Určení diskrétní impulsní funkce - zpětnou Z-transformací

g (k ) = Z −1{G ( z )}

t i

- numerickým řešením diferenční rovnice

z a c e

5


Diskrétní přechodová funkce a charakteristika

u t o m

Definice: Diskrétní přechodová funkce h(k) je odezva systému na diskrétní jednotkový skok η(k).

a t i

Definice: Diskrétní přechodová charakteristika je grafické zobrazení diskrétní přechodové funkce.

z a

Diskrétní jednotkový skok

c e

η (k ) =

1 pro k = 0,1,2... 0 pro k < 0

Z {η (k )} =

z 1 = z − 1 1 − z −1


u(k)

t

η(k)

o m a

y(k)


h(k) diskrétní přechodová funkce

diskrétní jednotkový skok

t i z a

η(k)

diskrétní přechodová charakteristika

h(k)

1

c e 0

1

2

3

k

0

1

2

3

4

k

6

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z

Určení diskrétní přechodové funkce - zpětnou Z-transformací

H (z ) =

z G(z ) z −1

z h(k ) = Z −1{H ( z )} = Z −1  G ( z ) z −1  - numerickým řešením diferenční rovnice

a c e

Vztah mezi impulsní a přechodovou funkcí

g (k ) = h(k ) − h(k − 1)

k

h(k ) = ∑ g (i ) i =0

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a

Konečná hodnota přechodové funkce

z −1 H ( z ) = lim G ( z ) k →∞ z →1 z →1 z −1 −2 b + b z + b2 z + .. b0 + b1 + b2 + .. = lim 0 1 −1 = z →1 1 + a1 z + a2 z −2 + .. 1 + a1 + a2 + ..

h(∞ ) = lim h(k ) = lim

Ustálená hodnota přechodové charakteristiky - proporcionální

h(∞ ) ≠ 0

∑ a i ≠ 0, ∑ bi ≠ 0

- diferenční

h(∞ ) = 0

∑ a i ≠ 0, ∑ bi = 0

- sumační

h(∞ ) = ∞

∑ a i = 0, ∑ bi ≠ 0

c e

7


Frekvenční přenos

u t o m a t i z a

Definice 1: Frekvenční přenos diskrétního systému G(jωT) je roven podílu symbolického vyjádření výstupní harmonické a vstupní harmonické funkce. Definice 2: Frekvenční přenos diskrétního systému G(jωT) je roven podílu Fourierova obrazu výstupní a Fourierova obrazu vstupní funkce.

c e

G ( j ωT ) =

Y ( j ωT ) U ( jωT )


Frekvenční přenos

u t

- komplexní funkce bezrozměrné frekvence ωT

o

- periodická funkce frekvence ωT s periodou 2π

m a

G ( jωT ) = G[ j (ωT + 2kπ )]

t i z a c e

Určení ze Z-přenosu

bm z m + ... + b1 z +b 0 G( z ) = an z n + ... + a1 z + a 0

z = e jωT

G ( jωT ) = G ( z ) z =e jωT

1

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i z a c

Frekvenční charakteristika Definice: Frekvenční charakteristika diskrétního systému v komplexní rovině je grafické znázornění frekvenčního přenosu G(jωT) v závislosti na bezrozměrné frekvenci ωT. Rozsah znázornění

0 ≤ ωT ≤ π

e

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í A u t o m a t i

Bloková algebra Pravidlo 1: Z-přenos lze definovat pouze pro člen s diskrétním vstupem. Pravidlo 2: Pokud není spojitý signál před prvním spojitým členem oddělen vzorkovačem, lze určit jen Z-obraz výstupu.

z a c e

Pravidlo 3: U sériově řazených bloků se spojitou činností neoddělených vzorkovačem je nutno nejprve určit výsledný přenos spojité části systému v Laplaceových obrazech a k němu určit z-přenos.

2


Rozpojené obvody

u t

Diskrétní člen

Y ( z ) = G ( z )U ( z )

o m

U(z)

a

Y(z)

G(z)

G( z ) =

t

Y (z ) U (z )

i z

Spojitý člen - vzorkovač na vstupu, fiktivní na výstupu

a

T

c

Y ( z ) = G ( z )U ( z )

Y(z)

T

e

U(z)

U(s)

G(s)

Y(s)

G( z ) =

Y (z ) U (z )


Spojitý člen - vzorkovač na vstupu i výstupu

Y ( z ) = G ( z )U ( z )

t

T

o m a

U(s)

T

U(z)

G(s)

G( z ) =

Y(z)

t

Y (z ) U (z )

i z

Spojitý člen - bez vzorkovače na vstupu

a

T

c

Y(z)

e

U(s)

G(s)

Y(s)

Y (s ) = G (s )U (s ) Y ( z ) = Z {G (s )U (s )} = GU ( z )

3


Spojité členy v sérii - vzorkovač na vstupu i výstupu

u

T

Y(z)

t

T

o m

U(z)

U(s)

G2(s)

G1(s)

Y(s)

a t i z a

G ( z ) = G1G2 ( z )

Y ( z ) = G1G2 ( z )U ( z )

Spojité členy v sérii - bez vzorkovače na vstupu T

c

Y(z)

e

U(s)

G1(s)

G2(s)

Y(s)

Y ( z ) = G1G2 U ( z ) G (s ) = G1 (s )G2 (s )


Spojité členy v sérii - vzorkovač uprostřed

t

T

o

a

T

T

m

U(s)

Y(z)

U(z)

G1(s)

G2(s)

Y(s)

t i z

Y ( z ) = G1 ( z )G2 ( z )U ( z )

G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z )

a c e

4


Uzavřené obvody Varianta 1

T

E(s)

W(s)

T

Y(z) Y(s)

GS(s)

a t i

e(t ) = w(t ) − y(t )

z a

E(z ) = W (z ) − Y (z )

Y ( z ) = GS ( z ) E ( z ) = GS ( z )W ( z ) − GS ( z )Y ( z )

c e

Y (z ) =

GS ( z ) ⋅W ( z ) 1 + GS ( z )

Gw ( z ) =

Y (z ) GS ( z ) = W ( z ) 1 + GS ( z )


Varianta 2 T

u t o

W(s)

E(s)T

m

T

Y(s)

GS(s)

GR(z)

Y(z)

a t i z

Varianta 3 T

a c

W(z)

E(z)

e

Y(z)

T

GR(z)

GS(s)

Y(z) Y(s)

T

5


- z-obraz výstupu

Y ( z ) = GR ( z )GS ( z ) E ( z ) =

= GR ( z )GS ( z ) E ( z ) − GR ( z )G S ( z )Y ( z )

Y (z ) =

GR ( z )GS ( z ) ⋅W (z ) 1 + GR ( z )GS ( z )

z a

- přenos řízení

c e

Gw ( z ) =

Y (z ) GR ( z )GS ( z ) = W ( z ) 1 + GR ( z )GS ( z )


Číslicové regulátory - stejná funkce jako spojité regulátory - odvození algoritmu číslicového regulátoru ze spojitého

a t i z

 1t de(t ) u (t ) = r0 e(t ) + ∫ e(t ) dt + Td Ti 0 dt  

a c e

GR (s ) =

  U (s ) 1 = r0 1 + + Td s  E (s )  Ti s 

6


Polohový algoritmus číslicového regulátoru

u t

Diskretizace integrace

o m

- stupňovitá náhrada obdélníky zleva

a

- stupňovitá náhrada obdélníky zprava

t

- sečná náhrada lichoběžníky

i z a c

kT

k

0

i =1

∫ e(t ) dt ≅ T ∑ e(i )

e(t) e(kT)

….

e

t kT 0T

1T

2T

3T

4T

4. D I S K R É T N Í Ř Í Z E N Í

t o m a t

- nahrazením diferencemi

de(t ) e(k ) − e(k − 1) ≅ dt T

e(t) e(kT)

e(k)-e(k-1)

0

(k-1)T

e(k)

u

Diskretizace derivace

e(k-1)

A

t kT

kT

i z a

Rovnice polohového algoritmu Proporcionálně-Sumačně-Diferenčního regulátoru

c e

  T k T u (k ) = r0 e(k ) + ∑ e(i ) + d [e(k ) − e(k − 1)] Ti i =1 T  

7


Z-transformace rovnice

  T z T z −1 U ( z ) = r0  E ( z ) + E(z ) + d E ( z ) T i z −1 T z  

m a t i z

k z Z ∑ f (iT ) = F ( z ), i = 0  z −1

f (0) = 0

Z {∇f (kT )} = Z { f (kT ) − f (k − 1)T } =

z −1 F (z ) z

a c e

Přenos polohového algoritmu PSD regulátoru

GR ( z ) =

 T z U (z ) T z − 1 = r0 1 + + d  E(z ) T z − 1 T z   i

8


Přírůstkový algoritmus číslicového regulátoru


Hodnota akční veličiny v předchozím kroku

  T k −1 T u (k − 1) = r0 e(k − 1) + ∑ e(i ) + d [e(k − 1) − e(k − 2 )] Ti i =0 T   Přírůstek akční veličiny

∇u (k ) = u (k ) − u (k − 1)

e(k ) − e(k − 1) + T k e(i ) − T k −1 e(i ) +  ∑ ∑   Ti i =1 Ti i =1 u (k ) − u (k − 1) = r0   T T + d [e(k ) − e(k − 1)] − d [e(k − 1) − e(k − 2 )]  T  T


u (k ) − u (k − 1) =   T T = r0 e(k ) − e(k − 1) + e(k ) + d [e(k ) − 2e(k − 1) + e(k − 2 )] Ti T  

m a t i

  T T ∇u (k ) = r0 ∇e(k ) + e(k ) + d ∇ 2e(k ) Ti T  

z a c e

 T T  T u (k ) − u (k − 1) = r0 1 + + d e(k ) − ro 1 + 2 d e(k − 1) + T   Ti T  T + r0 d e(k − 2 ) T

1


Koeficienty

 T T  q0 = r0 1 + + d   Ti T 

t o

T q1 = −r0 1 + 2 d  T 

q2 = r0

Td T

m a t

Rovnice přírůstkového algoritmu PSD regulátoru

u (k ) − u (k − 1) = q0e(k ) + q1e(k − 1) + q2e(k − 2)

i z a c

Z-přenos PSD regulátoru

q0 + q1 z −1 + q 2 z −2 GR ( z ) = 1 − z −1

e


Přehled typů číslicových regulátorů

t o m

typ reg.

koeficient q0

koeficient q1

koef. q2

přenos GR(z)

P

r0

0

0

q0

0

0

q0 1 − z −1

a t i z a c e

S

r0

T Ti

2


typ reg.

koeficient q0

PS

 T r0 1 +   Ti 

PD

T r0 1 + d   T

koeficient q1

koef. q2

přenos GR(z)

− r0

0

q0 + q1 z −1 1 − z −1

Td T

0

q0 + q1 z −1

T r0 d T

q0 + q1 z −1 + q 2 z −2 1 − z −1

t o m a t i z

− r0

a c e

PSD

 T T  r0 1 + + d  − r0 1 + 2 Td  T  Ti T  


Stabilita diskrétního regulačního obvodu

t o m a t i

Definice: Systém je stabilní, jestliže se po odeznění budícího signálu vrátí do rovnovážného stavu.

y hom (k ) = 0 lim k →∞

z a c e

Definice: Diskrétní regulační obvod je stabilní, jestliže jeho odezva na omezenou (konečnou) vstupní veličinu je opět omezená (konečná) výstupní veličina.

3


Obecná podmínka stability

u

T

t o

T

T

GR(z)

m a

W(s)

Y(z)

E(s)

GS(s)

Y(s)

t i z a c e

Přenos řízení

Y (z ) GR ( z )GS ( z ) bm z m + ... + b1 z +b0 Gw ( z ) = = = W ( z ) 1 + GR ( z )GS ( z ) an z n + ... + a1 z + a 0


Diferenční rovnice řízení

an y (k + n ) + ... + a1 y (k + 1) + a0 y (k ) =

= bm w(k + m ) + ... + b1w(k + 1) + b0 w(k )

a t i z

Řešení diferenční rovnice

y (k ) = yhom (k ) + y part (k )

a c e

Homogenní rovnice

an y(k + n ) + ... + a1 y (k + 1) + a0 y(k ) = 0

4



1 + GR ( z )GS ( z ) = 0

an z n + ... + a1 z + a0 = 0

o m a t i z a

- kořeny různé (nenásobné)

yhom (k ) = C1 z1 + C2 z2 + ... + Cn zn k

k

k

lim yhom (k ) = C1 lim z1k + C2 lim z2k + ... + Cn lim znk k →∞

k →∞

k →∞

k →∞

c e

- kořeny charakteristické rovnice

zi < 1

pro i = 1, 2, ..., n


Definice obecné podmínky stability: Diskrétní regulační obvod je stabilní, jestliže kořeny charakteristické rovnice leží uvnitř jednotkové kružnice.

m a

Im

t i z a

nestabilní j

hranice stability

-1

1

Re

c e

-j

stabilní

5


Kritéria stability Routh-Schurovo kritérium Charakteristická rovnice

an z n + ... + a1 z + a0 = 0

t i z a c e

Definice: Diskrétní regulační obvod je stabilní, je-li koeficient |k|<1 při všech snižováních stupně charakteristické rovnice (až zůstane jeden koeficient).


Algoritmus redukce charakteristické rovnice

t o m a t

an

an −1

......

a2

a1

a0

a0

a1

......

an−2

an −1

an

ka0

ka1

......

kan−2

kan −1

k =−

a0 an

i z

ka n

a c e

= −a0

an + ka0 a n−1+ ka1 ...... a2 + kan−2 a1 + kan−1 0

6


Michajlov-Leonhardovo kriterium

t o m a


an z n + ... + a1 z + a0 = 0

t i z a c e

Charakteristická funkce

H ( z ) = an z n + ... + a1 z + a0 z = e sT = e jωT = cos ωT + j sin ωT


Funkce bezrozměrné proměnné ωT

H ( jωT ) = an e jnωT + ... + a1e jωT + a0 = = an (cos nωT + j sin nωT ) + ... + (cos ωT + j sin ωT ) + a0 = = an cos nωT + ... + a1 cos ωT + a0 + j (an sin nωT + ... + a1 sin ωT ) 1444442444443 14444244443 Re (ωT )

Im (ωT )

z a c e

Definice: Regulační obvod je stabilní, když Michajlovova charakteristika H(jωT) začíná na kladné reálné poloose a průvodič H opíše v kladném smyslu úhel nπ (n krát 180o).

1


Nyquistovo kriterium

u t

Přenos rozpojeného obvodu

o m a

Go ( z ) = GR ( z ) ⋅ GS ( z ) =

M o (z ) No (z )

t i z a

Frekvenční přenos rozpojeného obvodu

z = e jωT = cos ωT + j sin ωT

c e

Go ( jωT ) =

M o ( jωT ) N o ( jω T )


Definice: Uzavřený regulační obvod je stabilní, jestliže kritický bod [-1, 0j] leží vlevo od frekvenční charakteristiky rozpojeného obvodu Go(jωT) pro bezrozměrné frekvence ωT od 0 do π.

t i z a c e

2


Bilineární transformace

u t o m a t i z

Definiční vztah w +1 z= w −1 Charakteristická rovnice

an z n + ... + a1 z + a0 = 0

a c e

Přetransformovaná charakteristická rovnice

w + 1 w +1 an  + a0 = 0  + ... + a1 w −1  w − 1 n


z-rovina

t

w +1 z= w −1

Im

o

j

w-rovina

Im

m a t

-1

1

Re

Re

i z

-j

a c e

w= kořeny

z +1 z −1 kořeny

3

Švarc - Automatizace automatickéřízení, skriptum FSI VUT Brno, 2002, 2005

Recommend Documents