Valószín¶ségszámítás gyakorlat
tehetjük ®ket sorba? Hányféleképpen rendezhetünk sorba 5 könyvet és 4 füzetet úgy, hogy a könyvek kerüljenek elölre? 3.) a. Hányféleképpen választhat egy tíz f®s társaság elnököt és alelnököt? b. És ha titkárt is szeretnének választani? 4.) Egy harminckét lapos kártyacsomagból hányféleképpen választhatunk ki három lapot (a sorrend mindegy)? 5.) Hány lottószelvényt kell kitöltenünk, hogy biztosan legyen öttalálatos? 6.) Hány olyan négyjegy¶ szám van, ami csupa különböz® számjegyb®l áll? 7.) Hányféleképpen olvashatjuk ki a MATEK ill. MATEMATIKA szavakat az alábbi ábrákon? (A bal fels® sorokból indulunk és a jobb alsóba érkezünk.) a. MAT b. MATEMAT
Földtudomány BsC
2.)
Játékszabályok
• Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki több-
ször hiányzik, nem kap gyakjegyet.
• 100 + x pontot lehet szerezni a félév során: · 50 pont: 1. ZH a félév közepén · 50 pont: 2. ZH a félév végén · x pont: szorgalmi feladatokkal • Mindkét ZH-n minimálisan teljesíteni kell a 30 %-ot, azaz a 15 pontot. • Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor
vizsgaid®szak els® hetén lesz lehet®ség a pótZH megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakUV-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. • A ZH-kon a kiosztott táblázatokon kívül használni lehet egy A4-es lapra (akár mindkét oldalára) KÉZZEL írott "puskát". 1 0 - 29,99 2 30 - 49,99 • Osztályozás: 3 50 - 64,99 4 65 - 79,99 5 80 - 1000
ATE TEK
Tekintsük az 1, 2, . . ., 10 számok bizonyos részhalmazait: A: páros számok, B : hárommal osztható számok, C : prímek (2, 3, 5, 7)
8.)
Adjuk meg, mely számok tartoznak a következ® halmazokba: a. A ∪ B b. A \ B c. C (C komplementere) d. A ∩ B e. (A ∪ C) ∩ B f. (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
Személyes adatok
Név Tanszék Szoba E-mail Honlap
Varga László Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) D 3-309
Két érmével dobunk egymás után. a. Mi az elemi események halmaza? b. Hány esemény van? c. Írjuk fel azt az eseményt, hogy a két dobás különböz®. Mi ennek az ellentett eseménye? d. Ha az érmék szabályosak, mi annak a valószín¶sége, hogy különböz®t dobtunk? e. Mi a valószín¶sége annak, hogy az els® fej, a második írás? 10.) Két kockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Tekintsük a következ® eseményeket: A: legalább az egyik dobás 2-es
9.)
[email protected] www.cs.elte.hu/~vargal4
Ajánlott irodalom
• Arató-Prokaj-Zempléni:
Valószín®ségszámítás elektronikus jegyzet (kés®bb: tankonyvtar.hu, most http://www.cs.elte.hu/~zempleni/ bev_val.pdf) • Denkinger Géza: Valószín¶ségszámítási gyakorlatok
1.)
ATEMATI TEMATIK EMATIKA
Van egy piros, egy kék, egy sárga és egy zöld golyónk. Hányféleképpen 1
B: C: D: E: F: G:
a két dobott szám összege 7 dobtunk páros számot pontosan egy 5-öst dobtunk a pirossal páratlant dobtunk mindkett®vel páratlant dobtunk a kékkel ötöst dobtunk Jellemezzük a következ® eseményeket: B·G
Igaz-e: D⊂G
F ·A D·A⊂B
B+C F ·A⊂B
C
lányok születési valószín¶sége, és az egyes születések függetlenek egymástól. Adjuk meg annak a valószín¶ségét, hogy a. a családban 1 ú született b. a családban több ú született, mint lány c. a családban nem született ú SZ1.) Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kenóhúzás során (80-ból 20 kihúzása) legalább több a páros, mint a páratlan? (2 pont) SZ2.) Mennyi az 1 és 2 számjegyekkel felírható ötjegy¶ számok összege? (3 pont) SZ3.) Legyenek az A1 , A2 és A3 események egymást kizáró események, melyek a P(A1 )=p1 , P(A2 )=p2 és P(A3 )=p3 valószín¶ségekkel következnek be. Mennyi a valószín¶sége, hogy n független kísérletet végezve, a kísérletek során az A2 el®bb következik be, mint az A1 vagy az A3 ? Számítsuk ki e valószín¶ség határértékékét, ha a kísérletek száma a végtelenhez tart! (3 pont) SZ4.) Egy urnában K fehér és M fekete golyó van. Visszatevés nélkül kihúztunk n golyót, s ebb®l k lett fehér és n − k fekete. Mi a valószín¶sége, hogy az els® húzás eredménye fehér golyó volt, ha a golyók számozottak? (3 pont) SZ5.) Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a kihúzott lottószámok a húzás sorrendjében monoton sorozatot alkotnak? Változik-e a válasz (és miért), ha azt követelem meg, hogy szigorúan monoton sorozatot alkossanak? (2+1 pont)
D+G B ⊂A+D
Egy érmével háromszor dobunk, vegyük a következ® eseményeket: B : a második dobás fej C : a harmadik dobás fej Írjuk fel A, B , C segítségével az alábbi eseményeket és számítsuk ki a valószín¶ségeiket: a. az els® két dobás fej b. dobtunk írást c. csak harmadszorra dobtunk írást d. dobtunk fejet és írást is e. mindháromszor egyformát dobtunk f. az els® fejet a második dobásnál kaptuk g. pontosan kétszer dobtunk fejet 12.) Két kockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Mekkora a valószín¶sége, hogy a piros kockával nagyobbat dobunk, mint a kékkel? 13.) Mekkora a valószín¶sége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám el®fordul? 14.) Egy ókban 10 egyforma pár keszty¶ van. Találomra kiveszünk négy darabot. Mekkora a valószín¶sége, hogy lesz köztük egy pár? 15.) Ha egy magyarkártya-csomagból visszatevés nélkül húzunk 3 lapot, akkor mi annak a valószín¶sége, hogy a. pontosan b. legalább egy piros szín¶ lapot húzunk? És mi a helyzet visszatevéses esetben? 16.) Lottóhúzás során (5-ös lottó) a. milyen eséllyel lesz két találatom? b. milyen eséllyel lesz legalább két találatom? 17.) Tegyük fel, hogy egy hatgyermekes családban mindig 12 - 21 a úk, ill. a 11.)
A: az els® dobás fej
Mik az elemi események? a. Három pénzérmét feldobunk. b. Hat szám közül kiszínezünk egyet pirossal, egyet kékkel. c. Megmértük egy fa magasságát. d. Megmértük két fa magasságát. 19.) Két kockával dobunk. Mekkora a valószín¶sége, hogy az összeg 7? Mekkora a valószín¶sége, hogy dobtunk páros számot? 20.) Egy dobókockát többször feldobtunk, és felírtuk táblázatba, hogy mi hányszor fordult el®: 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os 122 110 130 119 115 124 Mekkora a relatív gyakorisága annak az eseménynek, hogy páros számot dob-
18.)
2
tunk? Mekkora a relatív gyakorisága annak, hogy 1-est vagy 3-ast dobtunk? Mekkora ugyanezeknek az eseményeknek a valószín¶sége? 21.) Egy pakli franciakártyában 52 lap van. Vezessük be a következ® eseményeket: A: piros lapot húztunk (♥♦)B : ászt vagy számot húztunk (A,2,...,10)C : pikket vagy k®rt húztunk (♠♥) Számoljuk ki A + B + C valószín¶ségét a Poincaré-formulával. 22.) Három piros és két kék golyó közül kihúzunk kett®t vakon. Mekkora a valószín¶sége annak, hogy valamelyik (azaz legalább az egyik) kék? 23.) 1 és 600 között választunk egy pozitív egész számot. Minden számot egyforma valószín¶séggel választunk ki. Mekkora a valószín¶sége, hogy a kapott szám kett®, három és öt közül legalább az egyikkel osztható? 24.) Egy 32 tagú osztályban a diákok angolt, németet vagy franciát tanulhatnak. Tudjuk, hogy angolul 20-an tanulnak, németül 12-en, franciául pedig 9-en. Angolul és németül egyszerre 5-en, németül és franciául egyszerre 3an, angolul és franciául 2-en, és senki nem tanulja mind a három nyelvet. Mekkora a valószín¶sége annak, hogy egy véletlenszer¶en választott tanuló legalább az egyik idegen nyelvet tanulja? 25.) Öt ember a színházban beadta a ruhatárba a kabátját. Azonban az el®adás után a ruhatáros véletlenszer¶en osztotta szét köztük a kabátokat. Minden kiosztásnak egyforma volt a valószín¶sége. Mekkora a valószín¶sége, hogy senki sem kapta vissza a saját kabátját? Mi a válasz általánosan, n ember esetén? SZ6.) Mennyi a valószín¶sége, hogy 20 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? (2 pont)
másik is hatos? 29.) Választottunk egy véletlenszer¶ egész számot a. 1 és 54 között. b. 1 és 100 között. Észrevettük, hogy osztható 9-cel. Mekkora a valószín¶sége, hogy 6-tal is osztható? 30.) Van egy 52 lapos francia és egy 32 lapos magyar kártyánk. Egyforma valószín¶séggel kiválasztjuk az egyik paklit és húzunk egy lapot. Mennyi a valószín¶sége, hogy a. ászt húzunk? b. 2-est húzunk? 31.) Egy 32 f®s osztályban 13-an angolul, 10-en németül és 9-en franciául tanulnak (senki sem tanul legalább két nyelven). Ha találkoznak egy külföldi emberrel, akkor az angolosok 90%, a németesek 60%, a franciák pedig 40% valószín¶séggel tudnak vele kommunikálni. Mekkora a valószín¶sége, hogy egy véletlenszer¶en választott tanuló tud kommunikálni a külföldivel? 32.) Két pénzérme van egy zsákban, melyek ránézésre megkülönböztethetetlenek. Az egyik szabályos, a másikkal azonban 23 a fej, és 31 az írás dobás valószín¶sége. Bekötött szemmel kihúzzuk az egyik érmét, és dobunk vele kétszer egymás után. Mekkora a valószín¶sége, hogy a szabálytalan érmét húztuk ki, ha mindkét dobás írás lett? 33.) Egy kézilabdacsapat a bajnokságban minden mérk®zésén egymástól függetlenül 13 , 21 , illetve 53 valószín¶séggel arat gy®zelmet a mérk®zésein, attól függ®en, hogy gyenge, átlagos, illetve kiváló edz®je van. Új edz® érkezik, aki egyforma valószín¶séggel gyenge, átlagos, illetve kiváló. Mekkora a valószín¶sége, hogy a csapat megnyeri az els® mérk®zését? Az els® mérk®zésen a csapat nem tudott nyerni, a másodikon azonban igen. Ennek alapján mekkora annak valószín¶sége, hogy az új edz® kiváló képesség¶? És annak, hogy átlagos? 34.) Van 5 dobozunk, az i-edikben i piros és 1 kék golyóval (tehát az els®ben 1 piros és 1 kék, a másodikban 2 piros és 1 kék, stb.). Választunk véletlenszer¶en egy dobozt és húzunk bel®le. a. Mekkora a valószín¶sége, hogy kék? b. Ha tudjuk, hogy kéket húztunk, mekkora valószín¶séggel húztunk az els®b®l? 35.) Egy urnából, ami 10 piros és 5 kék golyót tartalmaz, egymás után hármat húzunk. Mennyi a valószín¶sége, hogy sorban piros, kék és piros lesz?
Három piros és két kék golyó közül kihúzunk kett®t egymás után anélkül, hogy az el®ször húzott golyót visszatennénk. Mekkora a valószín¶sége, hogy másodszorra kék golyót húzunk, ha a. az el®ször kihúzott golyó kék? b. az el®ször kihúzott golyó piros? 27.) Bálint egy szabályos érmével dobott háromszor egymás után, de csak annyit árult el, hogy összesen két dobás volt fej. Ennek alapján mekkora a feltételes valószín¶sége annak, hogy harmadszorra fejet dobott? 28.) Egy dobókockával kétszer dobtunk egymás után. Az els®ként dobott számot megnéztük, és láttuk, hogy hatos. Mekkora a valószín¶sége, hogy a
26.)
3
a. A: párost dobtunk B : hárommal oszthatót dobtunk b. A: párost dobtunk B : hárommal nem oszthatót dobtunk c. A: párost dobtunk B : páratlant dobtunk Igaz-e, hogy teljesen függetlenek az alábbi eseményrendszerek? d. A: párost dobtunk B : hárommal oszthatót dobtunk C : az 1, 5, 6 valamelyikét dobtuk e. A1 : 1-est dobtunk A2 : 2-est dobtunk . . . A6 : 6-ost dobtunk Hatszor dobtunk a kockával. Igaz-e, hogy teljesen független az alábbi eseményrendszer? f. A1 : az els® dobás 1-es A2 : a második dobás 1-es . . . A6 : a hatodik dobás 1-es 42.) Két kockával dobunk. Tekintsük a következ® három eseményt: A: dobtunk 1-est B : az összeg 7 C : dobtunk 6-ost Mely eseménypárok függetlenek? Igaz-e, hogy a három esemény teljesen független? 43.) Egy sakk-készlet 32 bábut tartalmaz, ebb®l 16 gyalog. Három bábut húzunk találomra. a. Mekkora valószín¶séggel húzunk két fehéret? b. Mekkora valószín¶séggel húzunk két gyalogot? c. Független-e a fenti két esemény? 44.) Egy pénzérmét feldobunk ötször. Mennyi a valószín¶sége, hogy a. dobtunk legalább két írást? b. minden írás után fejet dobtunk? c. az els® két és az utolsó két dobás közül ugyanannyi fej? 45.) Három kockával dobunk. Mennyi a valószín¶sége, hogy legalább egy teljesül a következ®kb®l? A: az els® dobás hármas vagy négyes B : az els® két dobás összege 7 C : a harmadik dobás nagyobb a másodiknál 46.) Egy csomag francia kártyából egy, két vagy három ászt kivettünk, egyforma valószín¶séggel. Mennyi a valószín¶sége, hogy királyt húzunk? Ha 10-est húzunk, mennyi a valószín¶sége, hogy csak egy ászt vettünk ki? SZ11.) Hány dobókocka esetén a legnagyobb annak a valószín¶sége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között pontosan egy hatos van? SZ12.) Piroska egy magyarkártya-csomagból húz n-szer egymás után visszatevéssel. Nézzük a következ® eseményeket:
Egy szabálytalan érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószín¶sége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmad akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószín¶sége? (2 pont) SZ8.) Iszákos Iván a nap 2/3 részét kocsmában tölti. Mivel a faluban 5 kocsma van, és nem válogatós, azonos eséllyel tartózkodik bármelyikben. Egyszer elindulunk, hogy megkeressük. Négy kocsmát már végigjártunk, de nem találtuk. Mi a valószín¶sége annak, hogy az ötödikben ott lesz? (1 pont) SZ9.) Hányszor kell két kockát feldobnunk, hogy 0,99-nél nagyobb valószín¶séggel legalább egyszer két hatost dobjunk? (2 pont) SZ10.) Két doboz közül az els®ben k piros és l zöld golyó van, a másodikban k zöld és l piros. Visszatevéssel húzunk az alábbi szabály szerint: ha a kihúzott golyó piros, akkor a következ® húzásnál az els® dobozb®l; ha zöld, akkor a második dobozból húzunk. El®ször az els® dobozból húzunk. Mennyi a valószín¶sége, hogy az n. húzásál piros golyót húzunk? Mihez tart ez a valószín¶ség, ha n → ∞? (3 pont) SZ7.)
Mennyi a valószín¶sége, hogy egy kockát hétszer feldobva pontosan háromszor lesz hatos? 37.) Egy írásbeli vizsgán, amelyen 100 hallgató vett részt, mindenki egyforma valószín¶séggel kaphatta az öt jegy bármelyikét. Megszámoljuk a vizsga után, hogy hány jeles született. a. Milyen eloszlású ez a szám? b. Melyik értéknek a legnagyobb a valószín¶sége? Mennyi ez a valószín¶ség? 38.) Mennyi a valószín¶sége, hogy három találatunk lesz a lottón? Milyen eloszlású a találatok száma? 39.) Egy véletlenszer¶en választott ember 95% valószín¶séggel szereti a csokit. Egy közvéleménykutatás során megkérdeztünk 100 embert. Mennyi a valószín¶sége, hogy pontosan 4-en nem szeretik közülük a csokit? 40.) A diákcsemegében a mazsolák eloszlása 10 paraméter¶ Poisson-eloszlású. a. Mennyi a valószín¶sége annak, hogy 3 mazsola van egy csomagban? b. Mennyi az esélye annak, hogy legfeljebb 3 mazsola van benne? c. És annak, hogy legalább 3? 41.) Dobunk egy kockával. Igaz-e, hogy függetlenek az alábbi eseménypárok? 36.)
4
A: a másodikként kihúzott lap ász B: a kihúzott lapok között legfeljebb 5 zöld van C: pontosan 1-szer húzta ki a piros ászt a. P(A)=? P(B)=? P(C)=? b. Van-e olyan n, amire A és C események függetlenek egymástól? (3 pont)
meg a feladatot közelítéssel is! Egy kalapban négy cédula van, rajtuk 1, 1, 2 és 4 áll. Kétszer húzunk visszatevéssel. Jelölje X az el®ször, Y a másodszor húzott számot. Számítsuk ki a következ® mennyiségeket:
50.)
E(X)
E(X + Y )
D(X + Y )
E(X · Y )
cov(X, Y )
Öt dobókockával dobunk egyszerre. Jelölje X azt, hogy hány hatost dobtunk. a. Mennyi P (X = 3)? b. Milyen eloszlású X ? c. Számítsuk ki X várható értékét és szórását! 52.) Egy társasjátékban két kockával dobnak, a dobott számok összege számít. a. Jelölje Z azt, hogy hányadik dobásnál jön ki az els® hetes. Mennyi E(Z) és D(Z)? b. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot, ha Z azt jelöli, hogy hányadik dobásnál jön ki az els® hatos. 53.) Egy boltban az egy óra alatt bejöv® vev®k száma 10 paraméter¶ Poissoneloszlású. Mekkora a valószín¶sége, hogy reggel 8 és 9 között legfeljebb ketten jönnek? Várhatóan hányan jönnek be reggel 8 és 9 között? Mennyi az ezalatt betér®k számának szórása? 54.) Egy dobókockával addig dobunk, amíg a harmadik hatosunkat nem dobjuk. Várhatóan hányszor kell dobni vele? Mennyi lesz a szórása a szükséges dobások számának? 51.)
Nevezetes diszkrét eloszlások: Eloszlás neve Karakterisztikus (indikátorvált.)
Jelölése Ind(p)
Geometriai (Pascal)
Geo(p)
EX
D2 X
P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 − p
p
p(1 − p)
P (X = k) = p(1 − p)k−1
1 p
1−p p2
Eloszlása
k=1,2,...
Hipergeometriai
Hipgeo(N, M, n)
M k
P (X = k) =
N −M
n−k N n
nM N
nM N
n−1 1− M 1− N N −1
k=0,1,...,n Binomiális
Bin(n, p)
n pk (1 − p)n−k k
P (X = k) =
k=0,1,...,n Negatív miális Poisson
bino-
NegBin(n, p)
P (X = k) =
k=n,n+1,... Poi(λ)
P (X = k) =
pn (1 − p)k−n
k−1 n−1
λk −λ e k!
k=0,1,...
np
np(1 − p)
n p
n(1−p) p2
λ
λ
El®fordulásuk: • Indikátor változó: egy p valószín¶ség¶ esemény bekövetkezik-e vagy sem • Geometriai: hányadikra következik be el®ször egy p valószín¶ség¶ esemény • Hipergeometriai: visszatevés nélküli mintavétel • Binomiális: visszatevéses mintavétel • Negatív binomiális: hányadikra következik be n. alkalommal egy p valószín¶ség¶ esemény
Egy szabályos dobókocka oldalaira két egyes, két hármas és két négyes van írva. Kétszer dobunk egymás után, jelölje X az els® dobást, Y a másodikat, és Z a két dobás közül a kisebbiket. Számoljuk ki a következ® mennyiségeket:
55.)
E(X) E(X + Y ) D(X + Y ) D(X − Y ) E(Z) R(X, Y ) cov(X, Z) E(X 2 · Y ) cov(2X + Y, Y + 5) R(2Z + 1, 3Z − 4) 56.) Egy céllöv® 70%-os valószín¶séggel találja el a céltábla közepét. Hatá-
Egy urnában 15 piros és 5 kék golyó van. Mennyi a valószín¶sége, hogy a negyedik húzásnál húzunk el®ször kéket, ha visszatevéssel húzunk? És ha visszatevés nélkül? 48.) Egy céllöv® 70% valószín¶séggel találja el a céltábla közepét. Mekkora a valószín¶sége, hogy az els® három lövéssel talál? És annak, hogy a harmadik lövése talál el®szörre? 49.) Az emberek 3%-a színtéveszt®. Mekkora a valószín¶sége, hogy száz véletlenszer¶en választott emberb®l pontosan 3 lesz színtéveszt®? Oldjuk 47.)
rozzuk meg, hogy 25 lövésb®l mennyi a sikeres találatok számának várható értéke és szórása! 57.) Egy szabályos dobókockával dobunk. Jelölje X , hogy hányadszorra dobunk el®ször egyest, és Y , hogy hányadik dobásnál jön ki a hatodik hatos. Számítsuk ki X és Y várható értékét és szórását! 58.) Két kockával dobva, mennyi a dobott számok maximumának és minimumának a várható értéke? 5
Egy pont az x tengelyen bolyong (minden lépésben 1/2 valószín¶séggel jobbra lépünk egységnyit, 1/2 valószín¶séggel pedig balra). Jelölje X a pontnak az origótól való távolságát 4 lépés után. Mennyi X szórása? 60.) Ha X B(n, p) eloszlású, és E(X) = 12, D(X) = 2, akkor mennyi n és p ? 61.) Egy 32 lapos magyar kártyából 6 lapot húzunk visszatevés nélkül. Határozzuk meg a kihúzott zöld lapok számának várható értékét és szórását! 62.) Egy évben átlagosan 3,42 alkalommal van jéges®. Feltételezzük, hogy a jéges®k éves száma Poisson-eloszlású. Ennek alapján határozzuk meg, hogy mennyi az egy év alatt bekövetkezett jéges®k számának szórása. 63.) Egy cukrászdában kis és nagy adagban árulnak fagyit. A kis adag ára 100, a nagy adag ára 200 forint. Jelölje X az egy nap alatt eladott kis adag, Y az eladott nagy adag fagyik számát. Feltételezzük, hogy X és Y egymástól független, Poisson-eloszlású, 300 paraméterrel. Számítsuk ki az egy nap alatt fagylaltot vásárlók számának és a napi, fagylalt eladásából származó bevétel korrelációját. 64.) Becsüljük meg annak valószín¶ségét, hogy 100 kockadobás összege több, mint 400. 65.) Becsüljük meg annak valószín¶ségét, hogy 1000 érmedobásból a fejek relatív gyakorisága legalább 0,6.
annak, hogy a relatív gyakoriság 0,15-nél kisebb hibával közelítse az esemény valószín¶ségét? 71.) Budapesten meg akarják állapítani, hogy a dohányzók mekkora arányban fordulnak el®. Ehhez megkérdeznek n egyént úgy, hogy minden választásnál mindenki ugyanakkora eséllyel jöhet szóba. Milyen nagyra kell n-et választani, hogy a megkérdezettek között a dohányosok aránya legalább a. 0,9 valószín¶séggel 0,1-nél nem nagyobb hibával b. 0,99 valószín¶séggel 0,01-nél nem nagyobb hibával közelítse meg a dohányosok valódi arányát.
59.)
Eloszlásfüggvények-e a következ®k a (−∞, +∞) intervallumon: F (x) = ex F (x) = 0, ha x ≤ 0, F (x) = x, ha 0 < x < 1, és F (x) = 1, ha x ≥ 1 F (x) = 0, ha x ≤ 0, F (x) = x2 , ha 0 < x < 1, és F (x) = 1, ha x ≥ 1 F (x) = 0, ha x ≤ 0, F (x) = 21 , ha 0 < x ≤ 1, F (x) = 1, ha x > 1 73.) Legyen X a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín¶ségi változó. Jelölje X eloszlásfüggvényét F , s¶r¶ségfüggvényét f . Határozzuk meg a 72.)
következ® mennyiségeket: P (X < 25 ) P X > 25
P (X ≤ 25 ) F 52 f 25 P 31 < X < 23 E(X) D(X) 74.) Legyenek X és Y független, a [−1, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín¶ségi változók. Jelölje X eloszlásfüggvényét F , s¶r¶ségfüggvényét f .
Legyen az X valószín¶ségi változó várható értéke 42, szórása 5. Becsüljük meg a következ® valószín¶ségeket: a. P ( 35 < X < 49 ) b. P ( 34 < X < 48 ) 67.) Legyen X ∼ Poisson(2007). Becsüljük meg annak a valószín¶ségét, hogy X > 3007. 68.)A táblázatban megadtuk X és Y együttes eloszlását. Y 1 3 X a. Igaz-e, hogy függetlenek? 2 14 38 b. Számoljuk ki a két esemény kovarianciáját. 4 14 18 c. Határozzuk meg a korrelációs együtthatót. 69.) Választunk egy számot 1-t®l 10-ig egyenletes eloszlással. Jelölje X a nála kisebb páros, Y pedig a hárommal osztható pozitív számok darabszámát. Számoljuk ki R(X, Y )-t. 70.) Hány kísérlet kell ahhoz, hogy 0,95-nél nagyobb legyen a valószín¶sége
66.)
Számoljuk ki a következ® mennyiségeket:
F ( 25 ) f ( 52 ) E(X + Y ) E(X · Y ) D(X) D(X + Y ) P ((X < 52 ) · (Y > 52 )) 75.) Legyen X normális eloszlású valószín¶ségi változó, melynek várható értéke 0, szórása 1. Jelölje X eloszlásfüggvényét F , s¶r¶ségfüggvényét f .
Határozzuk meg a következ® események valószín¶ségét:
X > −2 X < −2 −2 < X < 2 Mekkora Mennyi F (2), illetve f (2) értéke? Válaszoljunk ugyanezekre a kérdésekre, ha X normális eloszlású, de 2 várX<2
E(X 2 )?
ható érték¶ és 3 szórású, illetve 4 várható érték¶ és 2 szórású. 76.) Legyen X egy 3 paraméter¶ exponenciális eloszlású valószín¶ségi változó. Jelölje X eloszlásfüggvényét F , s¶r¶ségfüggvényét f . Határozzuk meg a következ® mennyiségeket: P (X < 3) 77.)
6
P (1 < X < 2)
F (2)
f (2)
f (3)
E(X)
D(X)
a. Az X val. változó várható értéke és szórása is 1. Becsüljük meg a
P (|X − 1| ≥ 2) valószín¶séget.
• • • • • •
b. Mennyi ez a valószín¶ség, ha X λ = 1 paraméter¶ exponenciális eloszlású val. változó?
Legyen X diszkrét valószín¶ségi változó.
De níció. X
várható értéke
: EX =
P
A várható érték jelentése: átlagos érték.
De níció. X
P i
De níció. X
szórásnégyzete
:
√
x2i P (X = xi ).
D2 X=E[(X-EX)]2
= EX2 -E2 X.
De níció. X szórása : DX= D2 X . A szórás jelentése: átlagos értékt®l való átlagos eltérés. Állítás. Legyenek X, Y valószín¶ségi változók; c, a, b ∈ R. Ekkor • E(X + Y ) = EX + EY ; • E(cX) = cEX ; • D2 (aX + b) = a2 D2 X .
De níció. X val.változó eloszlásfüggvénye: FX (x) = P (X < x). Amennyiben egyértelm¶, melyik val.változó eloszlásfüggvényér®l van szó, F(x)-et írunk. Állítás. Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: • 0 ≤ FX (x) ≤ 1; • monoton növ®; • balról folytonos; • lim F (x) = 0, lim F (x) = 1.
Állítás. Legyenek P P X és Y diszkrét valószín¶ségi változók. Ekkor E(XY ) = xi yj P (X = xi , Y = yj ). i
j
De níció. X és Y kovarianciája: Cov(X, Y ) = E [(X − EX)(Y − EY )]. Köv.: Cov(X, Y ) = E(XY ) − EXEY . Elnevezés: ha Cov(X, Y ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy X és Y korrelálatlanok.
x→−∞
⇔ ⇒
x→∞
Állítás. Tetsz®leges X val.változó esetén P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a). De níció.
Állítás.
• X, Y függetlenek • X, Y függetlenek
D2 (X + Y ) = D2 X + D2 Y + 2Cov(X, Y ) X,Y függetlenek ⇒ Cov(X, Y ) = 0
(X,Y ) De níció. X és Y korrelációja: R(X, Y ) = Cov DXDY . A korreláció két valószín¶ségi változó lineáris kapcsolatát méri: R > 0 ⇒ pozitív a kapcsolat • R < 0 ⇒ negatív a kapcsolat R2 ∼ 1 ⇒ er®s a kapcsolat 2 • R ∼ 0.5 ⇒ közepes a kapcsolat R2 ∼ 0 ⇒ gyenge a kapcsolat
xi P (X = xi ).
i
: EX 2 =
2. momentuma
Cov(X, X) = D2 X Cov(X, Y ) =Cov(Y, X) Cov(X, a) = 0 Cov(aX, bY ) = abCov(X, Y )
X val.változó abszolút folytonos,
vény, amelyre F (x) =
P (X = x, Y = y) = P (X = x) · P (Y = y) E(XY ) = EX · EY
hívjuk.
Állítás. • Ha X és Y függetlenek egymástól, akkor korrelálatlanok is. • Ha X és Y korrelálatlanok, akkor ebb®l nem következik, hogy függetlenek is!!!!!
Rx
−∞
ha létezik olyan f(x) függ-
f (t) dt. Ilyenkor f(x)-et s¶r¶ségfüggvénynek
Állítás. Legyen X abszolút folytonos eloszlású. Ekkor • f(x)=F'(x); • f(x) ≥ 0; •
Állítás. A kovariancia tulajdonságai: Legyenek X, Y valószín¶ségi változók, a, b ∈ R. Ekkor
R∞
−∞
f (x) dx = 1;
• P (X = x) = 0
7
∀x-re;
• P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a).
Abszolút folytonos val.változó várható értéke: EX =
R∞
Abszolút folytonos val.változó l. momentuma: EX l = Nevezetes abszolút folytonos eloszlások: Eloszlás neve
Jelölése
Eloszlásfüggvény ha x ≤ a 0 x−a ha a < x ≤ b b−a 1 ha b < x ( 1 − e−λx ha x ≥ 0 0 különben
Egyenletes
E(a, b)
Exponenciális
Exp(λ)
Standard normális
N(0, 12 )
Φ(x) = ...
N(m, σ 2 )
...
Normális
Állítás. Normálás Legyen X∼ N (m, σ 2 ). Ekkor
xf (x) dx.
−∞ R∞
−∞
xl f (x) dx.
S¶r¶ségfüggvény
(
1 b−a
ha a < x ≤ b 0 különben ( λe−λx ha x ≥ 0 0 különben
EX
D2 X
a+b 2
(b−a)2 12
1 λ
1 λ2
0
1
m
σ2
2
X−m σ
x √1 e− 2 2π
√1 e 2πσ
−
(x−m)2 2σ 2
x∈R x∈R
∼ N (0, 1).
Állítás. Φ(−x) = 1 − Φ(x) Állítás. Φ−1 (q) = −Φ−1 (1 − q) 0 < q < 1
Tétel. Markov-egyenl®tlenség: Legyen g : R → R monoton növ® függvény, X ≥ 0 val.változó, ε > 0 tetsz. Ekkor P(X ≥ ε) ≤ E[g(X)] g(ε) . Spec., ha g(x) = x ⇒ P(X ≥ ε) ≤ E(X) ε 2 Tétel. Csebiseb-egyenl®tlenség: P(|X − EX| ≥ ε) ≤ D ε(X) . 2
8
