Válasz az opponenseknek Köszönöm az opponensek elismer˝o szavait és a játékelmélet szerepének az értekezésen túlmutató pozitív értékelését. A bírálatra válaszaimat a bírálóknak külön-külön tételesen, az opponensi véleményben szerepl˝o sorrendben adom meg. D˝olt bet˝uvel az opponens megjegyzései szerepelnek. Válasz Páles Zsolt opponensi véleményére Az általános elismer˝o vélemény mellett külön örömömre szolgál, hogy oppnensem az értekezést „olvasmányosnak” is találta. Minthogy tételesen megválaszolandó kérdése és kritikája nincs, így természetesen nem is kell válaszolnom. Válasz Simonovits András opponensi véleményére A szerz˝o a bevezetésben jelzi, hogy folyamatosan számozza a tételeket és a definíció-kat. Bár ez megkönnyíti a keresést, arra kényszeríti a szerz˝ot, hogy ne csak a tételeket, hanem a definíciókat is kurziválja. Emiatt a szövegben a kívánatosnál sokkal nagyobb arányban szerepel d˝olt bet˝u. Érdemes lenne lemondani a definíciók számozásáról. Valóban esztétikusabb, ha a d˝olt, vastag és normál bet˝uk arányosan szerepelnek. A jöv˝oben erre jobban figyelek. A kiemelt képletek el˝ott és után felesleges üres sorok szerepelnek; emiatt a kívánatosnál szell˝osebbek az oldalak. Bár nagy híve vagyok a rövidítéseknek, túlzott mérték˝unek tartom itteni alkalmazásukat. Például a NEP-féle alapfogalom helyett mindig kiírnám a Nash-egyensúlyt, de a „pont”-ot elhagynám. Két dolgot kellett „kiegyensúlyoznom”. A szell˝os írás jobban áttekinthet˝ové teszi a szöveget és jobban el lehet helyezni a képleteket. Hogy fel se merülhessen a vád, hogy ezzel az értekezést hosszabbá teszem és ezáltal a több tartalom látszatát keltem, ezért választottam a rövidítéseket, amelyekb˝ol csakugyan elég sok van, de a terjedelem növekedése ellen hatnak. Ennek a két törekvésnek lett az ered˝oje a használt formai megoldás, ami biztosan lehetne esztétikusabb. De legalább ne lenne döntve: NEP. A kéziratot Scientific word-ben írtam. Ami rövidítés a nyomtatásban d˝oltnek látszik, az a kéziratban nem az, csak matematikai módban van írva, és minden ilyen pirosnak látszik. Ez megkönnyítette az írás során a visszakeresést. Hiba volt. Vagy miért kellene tudnunk, hogy az L-Nash jelz˝oben az L a limitet (határ) rövidíti. A rövidítésjegyzéknek pedig az ábécét kellene követnie, nem az el˝ofordulási sorrendet. 1
Nem kellene. Elfogadom a kritikát. A szövegben viszonylag sok elütés található, és zavaróan sok összetett szó van különírva. Például egzisztenciatétel, referenciapont. Jogos. A word helyesírás ellen˝ore nem szereti a hosszú összetett szavakat. Egyébként ez a legnehezebb a magyar helyesírásban, amit sajnos nem sikerült tökéletesen elsajátítanom. Igyekszem javulni. Válasz Tasnádi Attila opponensi véleményére
1. fejezet Megjegyzend˝o, hogy Novshek (1985,RES) egzisztencia tétele sem igényelte már a költségfüggvények konvexitását, hanem csak azok monoton növekedését és alulról félig folytonosságát, és a legáltalánosabb Cournot-egyensúly létezését garantáló tételt pedig Ewerhart (2014, GEB) közölte az értekezés beadásának évében. Ewerhart eredménye természetesen nem volt még publikálva az értekezés írásakor, s˝ot még a beadáskor sem. Más a helyzet Novshek eredményével. Noha teljes mértékben igaz, hogy egy nagyon általános egzisztencia tétel, amely akár le is nullázhatná a disszertációban ismertetett eredmények egy részét. Vannak azonban érvek amellett, hogy a két munka párhuzamosan létezzék. 1. Novshek bizonyítása nagyon hosszú és bonyolult, ellentétben az akár tankönyvben is szerepeltethet˝o, jól interpretálható, egyszer˝uen bizonyítható állításokkal (1.15-1.21 tételek). 2. A feltételezett el˝obb konkáv, majd konvex költségfüggvény kiemelten fontos, a legtöbb mikroökonómia könyvben központi szerepet játszik. Így az erre az esetre kihegyezett egzisztencia tételek (pl. az inflexiós pont elhelyezkedésére vonatkozó 1.20 tétel) közvetlen közgazdasági beágyazottsága jól látható. 3. Az minden olvasó számára nyilvánvaló, hogy a két munka független. A feltételeket végignézve szembet˝un˝o, hogy direktben Novshek sem a stratégiahalmazok korlátosságát, sem az árfüggvény pozitívságát nem teszi fel és így két különböz˝o modellr˝ol beszélhetünk. Novshek eredménye az egzisztencia bizonyítás szempontjából általánosabb. Annak a bizonyítása, hogy ez valóban így van, egyáltalán nem triviális. Opponensem, Tasnádi Attila szellemes bizonyítást adott arra, hogy Novshek modellje általánosabb (személyes kommunikáció). Az én bizonyításaimat átnézve, láthatjuk, hogy a költségfüggvény nemnegatívitása nincs sehol kihasználva, így akár pozitív externáliákat is megengedhetnénk, az adott többi feltétel mellett a Nash egyensúly létezik. 4. Az 1.22 tétel új eredmény, magához a kérdésfeltevéshez és a tétel "fordított állításához" még csak hasonlót sem találtam az irodalomban.
2
Az opponens hiányolja, hogy az el˝oszóban sugalltakkal ellentétben, a szerz˝o saját egzisztencia tétele (1.10. tétel) a fejezet hátralev˝o részében nem került alkalmazásra. A hiányérzetet pótolja, hogy a kérdéses tételt tartalmazó 1.1. alfejezetben a CF konkavitást felhasználó szakirodalomra vonatkozó utalások megtalálhatóak. A felvetés jogos. Inkább úgy pontosítanám, hogy a disszertációban nem szerepel kell˝o súllyal. A disszertációban nem szerepel a Forgó, F. and Joó, I. (1999b) Fixed point and equilibrium theorems in pseudoconvex spaces, Journal of Global Optimization 14: 27-54 cikkben bizonyított 13 fixpont és fixpontjelleg˝u tétel, amelyek mindegyikében valamilyen módon fel van használva az 1.10 egzisztencia tétel. Való igaz, hogy a Cournot egyensúly létezésére is lehetett volna használni. Ott azonban inkább a közgazdaságilag közvetlenül interpretálható, a közismert Brouwer tételb˝ol levezethet˝o egzisztencia tételeket választottam. Azért elbújtatva van az értekezésben ilyen jelleg˝u példa. Az 1.11-es példát lehet ugyanis úgy tekinteni, mint az 1.10 tétel alkalmazását egy duopolium szituációra. Idézzük fel a példát a disszertációból. 1.1. Példa Legyen G = {X, Y, f, g}, X = Y = [−1, 1], f (x, y) = x2 y + x, g(x, y) = −x2 y2 + y. Tegyük fel, hogy egy piacon két cég van, amelyek ugyanazt a terméket gyártják, de a cégek reputációja különböz˝o. Jó példa két borász, akik ugyanolyan min˝oség˝u bort termelnek, de az egyik reputációja magas, a másik pedig új a piacon. Mindkett˝o döntési változója az ár, ami a jelenlegi ártól való pozitív és negatív elmozdulás lehet a [−1, 1] intervallumban. A kifizet˝ofüggvények a profitfüggvények, amelyekb˝ol látszik, hogy a profit nem csak a saját ártól, hanem a másik ártól is függ. Látható, hogy f (., 1) nem kvázikonkáv és ezért az 1.3.Tételt nem tudjuk használni. Az A : (X×Y )×(X×Y ) aggregátor függvény ebben az esetben A(x, y, u, v) = f (x, v) + g(u, y) = x2 v + x − u2 y 2 + y. Legyen a ψ függvény a következ˝o: ψ(x1 , x2 , y1 , y2 , λ) =
2 2 λx1 + (1 − λ)x2 . λy12 + (1 − λ)y22
Elemi (de kicsit hosszadalmas) számolással igazolható, hogy az A aggregátor függvény CF -konkáv az X × Y halmazon az X × Y -ra vonatkozóan, így G-nek van N EP -je. Valóban, az x = − 12 , y = 1 egy N EP. Ezek szerint az els˝o borásznak árat kell csökkenteni, a másodiknak árat emelni, eltér˝o mértékben. Az oligopol játékok körében (is), nem csak példa szintjén, látok lehet˝oséget az 1.10 tétel alkalmazására az egzisztencia bizonyítására, els˝osorban általánosított árbevétel függvények illetve a profitfüggvényekre megadott, közgazdaságilag is interpretálható feltételek mellett. 2. fejezet
3
Az olvasóban felvet˝odik annak a lehet˝osége, hogy ily módon véges, de tetsz˝olegesen sok játékvezet˝ovel is lehet operálni. Az ezzel kapcsolatos kérdés, hogy milyen eredmények lennének várhatóak egy ilyen jelleg˝u kiterjesztést˝ol? Teljesen igaz, hogy akárhány játékvezet˝ovel is lehetne operálni, de ennek a gyakorlati megvalósítása nehéz és talán nem is éri meg. Ez a dolog majdnem, hogy csak ötlet szintjén van, a kés˝obbiekben fog kiderülni, hogy mennyire életképes. Az minden esetre elmondható, hogy a gyáva nyúl játékban van olyan társadalmi hasznossági függvény, amely szerint nagyobb társadalmi hasznosság érhet˝o el, mint az egy játékvezet˝os esetben. Egy apró megjegyzésem, hogy a 40.-t˝ol 45. oldalig terjed˝o rész olvasását megkönnyítené, ha a játékosokat más bet˝uvel jelölnék ( i játékos, míg jés k akciók). Igaz. Az axiómák felsorolásánál megjegyezném, hogy a szimmetria tulajdonság definíciója (90. oldal eleje és 91. oldal közepe) nehezen olvasható, jobban tagolható lett volna. Igaz. 3.fejezet Van-e valamilyen jól megfogható olyan intuitív érvelés, ami miatt a magasabb fokú tagokra nincsen szükség a határérték meghatározásához? Egyszer˝u oka van. Míg az els˝o fokú tag lineáris és így el˝ofordulhat, hogy nem egyértelm˝u a megoldás, addig a másodfokú tag kvadratikus és mindig egyértelm˝u megoldást szolgáltat. A többi tagra nincs szükség. A többkritériumú döntések kontextusában ez az érvelés inkább intuitív, mint általában, de így is inkább "matematikai jelleg˝u" marad. Egy más jelleg˝u kérdés, hogy skálafüggetlenség (illetve az EWM karakterizációban a homogenitás) mellett az egyet nem értési pontot origónak véve, viszont az F halmazt megfeleloen transzformálva ( F ∗ (α) = α(F + r)) egy (az elhúzódó alkudozás esetén a „ jöv˝obeli értékekhez” tartozó) ekvivalens problémasereg nyerhet˝o, amely megoldásainak egy „határiránya” vajon kölcsönösen egyértelm˝uen megfeleltethet˝o-e az eredeti megfogalmazás szerinti b0 L-Nash megoldásnak? A határirány esetleg a szerepl˝ok „súlyának” is felfogható. Legyen F a lehetséges kimenetelek halmaza, 0 az egyet nem értési pont és r > 0 az egyet nem értési irány. Parametrizáljuk ezt a következ˝oképpen: F ∗ (α) = α(F + r). Másképpen: F ∗ (α) = {y : y = α(x + r), x ∈ F }. Az ehhez tartozó Nash-feladat: max Πni=1 yi , y ∈ F ∗ (α), másképpen max αn Πni=1 (xi + ri ), 4
x ∈ F. Ennek a megoldása nem függ α-tól és általában nem egyenl˝o az (F, −r)L probléma L-Nash megoldásával. Az viszont igaz, hogy az egyet nem értési pont fixen hagyása mellett az F halmaz "tágitásával" F ∗∗ (α) = F + αr a (3.1) feladatot kapjuk meg és így ugyanahhoz a problémához jutunk. Skálafüggetlenség mellett intuitíven világos, hogy mindegy, hogy az egyet nem értési pontot toljuk negatív irányban, vagy a lehetséges kimenetelek halmazát pozitív irányban. Az interpretáció azonban különböz˝o. Az eredeti értelmezésben a tárgyalások elhúzódásával a negatív következmények súlyosbodnak, míg ebben az értelmezésben a lehet˝oségek tágulnak. Mindkett˝o elképzelhet˝o, de inkább az eredeti interpretáció passzol a legtöbb gyakorlati problémára. Az egyet nem értési irány mindkét esetben (illetve a komponensek reciproka az els˝o esetben) felfogható a szerepl˝ok súlyának. Forgó Ferenc
5
