Lenzen 1 Van een lens is de beeldafstand b als functie van de voorwerpsafstand v bepaald en weergegeven in onderstaande grafiek.
300 250
b (in cm)
200 150 100 50 0 0
50
100
150
200
250
300
v (in cm) a.
Bepaal de brandpuntsafstand van de betreffende lens.
b.
Met deze lens wordt van een voorwerp een 4,0× vergroot beeld gemaakt. Bepaal de daarbij gebruikte voorwerpsafstand
A B
LENS Bijgaand een grafiek van de relatie tussen de beeldafstand en de voorwerpsafstand van een zekere lens. Bepaal de brandpuntsafstand van de betreffende lens. Bepaal grafisch de voorwerpstand bij een vergroting N = 4.
A B
A B
LENS Bijgaand een grafiek van de relatie tussen de beeldafstand en de voorwerpsafstand van een lens. Bepaal de brandpuntsafstand van de betreffende lens. Bepaal met behulp van de grafiek de vergroting als voorwerp en beeld 80 cm van elkaar verwijderd zijn. Teken daartoe de lijn v + b = 80.
Uitwerking Een punt van de grafiek is het punt v = 16 cm, b = 40 cm. Toepassing lenzenformule: f = 11,4 cm. Teken de lijn. De snijpunten geven de mogelijkheden waar een scherp beeld gevormd met deze lens.
b 67 5,2 v 13 , maar ook b 13 N 0,19 v 67 . N
2
CONSTRUCTIE Van een punt L gaat een lichtstraal door de lens naar O. Zie figuur. In de figuur zijn ook de hoofdas en een brandpunt aangegeven.
Construeer de straal van L naar O. Uitwerking Construeer eerst het beeld van L en bedenk dan dat alle stralen vanuit L die op de lens vallen via dat punt moeten, dus ook de straal naar O.
3
Constructie Construeer het verloop van de getekende straal via de lens.
Uitwerking Taktiek 1: De getekende straal beschouw als een uit een bundel evenwijdige stralen. Evenwijdige stralen zullen elkaar op brandpuntsafstand snijden. Een bundel evenwijdig aan de hoofdas in het hoofdbrandpunt F en een bundel evenwijdig aan een bijas in het bijbrandpunt F’. Taktiek 2: Doe net of een punt van de getekende straal een voorwerp is en construeer het beeld van dat voorwerp met behulp van de constructiestralen. Alle stralen, dus ook de reeds getekende, moet door het beeld.
4
CONSTRUCTIE Construeer de straal van L via lens naar O.
Uitwerking: Construeer eerst het beeld van L en trek de straal van dat beeld naar O.
5
OOG Mijn oog kan accommoderen van 30 cm tot 92 cm. Ik zet een bril met glazen van +2 dpt Bereken de grootste afstand waarop ik een voorwerp met die bril scherp kan zien.
6
BIJZIENDE Een bijziende heeft een nabijheidspunt op 18 cm en een vertepunt op 0,50 m van zijn ooglens. Hij zet een bril op van +1 dpt. Bereken waar zijn nabijheidspunt en vertepunt met bril liggen.
BEELD VAN TL-BALK OP TAFEL In een lokaal wil men met een lens met een sterkte van 5 dioptrie een afbeelding van de TLbalk op de tafel maken. De TL-balk hangt 2,50 m boven de tafel. Bereken/Bepaal waar men de lens moet houden. Uitwerking Berekening: 5 dioptrie betekent ƒ = 0,20 m = 20 cm en dus
1 1 1 1 1 1 v b f v b 20
Bovendien volgt uit het verhaal dat b + v = 250. Daarmee heb je twee vergelijkingen met twee onbekenden. Natuurkundig is de zaak daarmee opgelost. De kunst is nu het rekenwerk. Bepaling Deze vraag is dezelfde als bij opgave 1, maar dan grafisch. Teken de grafiek van b als functie van v.
300 250 200 b (in cm)
7
150 100 50 0 0
50
100
150
200
250
300
v (in cm) Trek de lijn met als vergelijking: b + v = 250 De b,v-grafiek van de lens is al getekend. Als aan beide is voldaan, dus op de snijpunten, dan voldoe je aan alle eisen. Er zijn dus twee oplossingen. De vergroting vind je uit b/v.
8 a b
SCHERPTEDIEPTE Om de scherptediepte te vergroten wordt de diameter van de pupil gehalveerd door de lichtintensiteit te vergroten.. Leg met een tekening uit dat daardoor de scherptediepte wordt vergroot. Met welke factor moet men de lichtsterkte opvoeren om toch dezelfde helderheid op het netvlies te krijgen? Uitwerking vraag b. We beschouwen de pupil als een cirkel met als oppervlakte r². Als je de diameter en dus ook de straal halveert, wordt de oppervlakte 4 keer zo klein vanwege dat kwadraat. Wil je evenveel licht, dan zul je de lichtsterkte vier keer zo groot moeten maken.
9
Met een lens (f = + 40 cm) wil men een beeld maken op een scherm. Het beeld mag maar half zo groot zijn als het 50 cm grote voorwerp . Bereken waar het voorwerp en de lens geplaatst moeten worden. Uitwerking:
1 1 1 v b f b 1 N v 2 10
1 1 1 v b 40 1 1 1 b 60 v 120 cm 2b b 40 b v 2b v
Stralengang Getekend zijn een lens met zijn brandpunt F, een voorwerp L en een schermpje P Construeer de bundel die vanuit L het schermpje verlicht.
11
Oog Een normale waarde voor de diameter van een oog, dat we gemakshalve maar als een bol beschouwen, is 17 mm. Op 20 cm voor dat oog bevindt zich een letter k, die 3,0 mm hoog is. De letter wordt scherp gezien. Maak een beargumenteerde schatting van de sterkte van de ‘lens’ van het oog kijkend naar die letter k.
12
Projector Bijgaand zie je een tekening van een projector uit het boek. Leg uit wat het effect op het beeld is, als we de condensorlens verwijderen uit de projector.
13
Lens Een lamp beschijnt via een lens een scherm AB. Zie de tekening hieronder met lamp L, lens, brandpunt F, scherm AB en hoofdas. Construeer en arceer de bundel die het scherm belicht.
Uitwerking Om de stralengang te kunnen tekenen moet je eerst het beeld van L construeren. Dit doe je met twee constructiestralen. Vanuit L door het optisch midden van de lens. Die straal gaat rechtdoor. Als tweede een straal evenwijdig aan de hoofdas; deze breekt door het brandpunt F. Het snijpunt van de twee uittredende stralen is het beeld. Je ziet dat er rechts van de lens geen snijpunt is. Je moet de stralen dus doorstippelen links van de lens tot ze elkaar snijden. Zo vind je het virtuele beeldpunt B van lamp L. Alle stralen die vanuit L vertrekken, lijken na breking uit B te komen. Zo ook de stralen die de gevraagde bundel begrenzen. Je stippelt de lijnen vanuit B naar A en B; zodra ze de lens passeren, kun je die lijnen gewoon trekken. Tenslotte trek je de lijnen vanuit L naar de beginpunten van de gebroken stralen op de lens en arceer je het gebied ertussen. Dat is de bundel. Ter vergelijking kijk je bijv. naar Newton 1a, verwerkingsboek blz. 76, opgave 38 e/o 39.
14
Oog – scherptediepte Leg uit hoe je bij het oog de scherptediepte kunt vergroten. Let op: de opdracht bestaat uit twee delen. A. Hoe kun je de scherptediepte vergroten? en B. Leg uit waarom dat werkt. Uitwerking:
De scherptediepte wordt vergroot door de pupil te verkleinen. De pupil is het diafragma van het oog. Een kleiner diafragma vergroot de scherptediepte. Een onscherp beeld ontstaat door de verkeerde plaats van het scherm. In het geval van het oog is dat het netvlies. In plaats van een punt geeft ieder voorwerpspunt een vlekje. Als je die vlekjes kleiner maakt, neemt de onscherpte af, dus diafragmeren. 15
Construeer de straal van L naar O in deze situatie:
Uitwerking: Een voorwerpspunt op brandpuntsafstand geeft een evenwijdige bundel. Dat het een evenwijdige bundel wordt, kun je ook vaststellen na zorgvuldige tekening in de standaardprocedure. De procedure is om eerst het beeld van L te construeren. Daartoe geef je eerst het brandpunt rechts van de lens aan.
16
Een oog met een nabijheidspunt op 40 cm van het oog krijgt een contactlens van 1,00 dpt. Bereken de kleinste afstand waarop het oog met contactlens nog scherp ziet. Uitwerking Het nabijheidspunt ligt op 40 cm. Dat betekent dat bij maximaal accommoderen het oog scherp stelt op 40 cm ervoor. Ook als daar een lens tussen zit. Dan kijkt het ook naar het virtuele beeld op 40 cm ervoor en is voor die lens b = 40 cm. S = 1,00 dpt f = - 1,00 m
1 1 1 1 1 1 v 67 cm v b f v 40 100
17
Construeer het verdere verloop van de bundel die door het diafragma op de lens valt zoals getekend.
Uitwerking: Ook hier is de standaardprocedure: beeld van L construeren. Helaas ligt dat niet op het papier. Je kunt er natuurlijk een blad aanplakken. Maar je kunt ook met de bij-assen en het brandvlak werken. Teken dus voor elk van de bundel-begrenzende stralen een lijn evenwijdig eraan door het optisch midden. Waar die het brandvlak snijdt, gaat ook de oorspronkelijke straal heen.
18
LAMP Van een lamp valt een bundel licht op een lens. Van die bundel zijn de twee stralen getekend die de bundel begrenzen. Tevens is de positie van de lens, de hoofdas en het brandpunt aangegeven. Zie figuur …. Construeer het verloop van de bundel voorbij de lens.
19
OOG Je bekijkt een voorwerp dat slechts 15 cm van je oog is verwijderd door een lens. De lens maakt een beeld van dat voorwerp. Dat beeld bevindt zich 30 cm van je oog. De afstand lens-oog is 2,0 cm Bereken de sterkte van de gebruikte lens.
20
DIA Een voorwerp op een dia is 20 mm groot en 12 mm breed. De dia bevindt zich 6,0 cm voor een lens met een brandpuntsafstand van 55 mm. De lens zorgt voor een scherp beeld op een scherm. Bereken de oppervlakte van het voorwerp op het scherm.
21
LENSCONSTRUCTIE Een puntvormige lamp L bevindt zich voor een positieve lens. Van twee stralen van de lamp is getekend hoe ze uit de lens komen. Zie figuur 4 op het antwoordblad. Daarin is ook een brandpunt van de lens en een punt P aangegeven.
Uitwerking: Construeer in figuur 4 op het antwoordblad de straal die vanuit L via de lens naar punt P gaat. Door de twee getekende stralen door te trekken vind je het beeld B. Alle stralen uit de lens komen daar vandaan, ook de straal door het optisch midden. De straal evenwijdig aan de hoofdas moet uit F komen. Deze snijdt de straal door het optisch midden in L. Nu trek je naar P de straal vanuit B. De komt in het begin uit L.
22
LENSBEREKENING Met behulp van een lens met een brandpuntsafstand van 135 mm wordt van een 20 cm groot voorwerp een foto gemaakt. Het beeld op het negatief blijkt 10 mm groot te zijn. Bereken de afstand van het voorwerp tot de lens. Uitwerking:
1 1 1 f Lens met brandpuntsafstand 135 mm: v b L b 10 N B LV v 200 L = 200 mm en L = 10 mm: V
B
1 1 1 ........(1) v b 135 b .........(2) v
Je hebt nu twee vergelijkingen met de onbekenden b en v. Oplossen hiervan levert v = 2,8 m 23
BIJZIENDE Een bijziende heeft een nabijheidsafstand van 15 cm en een vertepunt op 75 cm. Hij zet een bril op met een sterkte van 2 dioptrie. Bereken of hij een voorwerp op 2,00 m afstand scherp kan zien. Uitwerking: De bijziende kan scherp zien wat zich bevindt tussen 15 en 75 cm van zijn oog. Een voorwerp op 2,00 m voor de bril levert een beeld :
1 1 1 1 1 2 b 0,40 m v b f 2,00 b Het beeld, gevormd door de bril - en dat is waar het oog naar kijkt - bevindt zich 40 cm voor het oog. Dat ligt binnen de marge 15-75 cm en kan de bijziende dus scherp zien. SPIEGEL Ter gelegenheid van dit proefwerk heeft iemand zijn nabijheidspunt zonder bril bepaald en komt op 23 cm. Als bijziende moet hij een bril van 1,75 dpt dragen. Die heeft hij echter niet op, als hij ‘s morgens vroeg in de spiegel kijkt. Leid af op welke afstand hij van de spiegel moet staan, wil hij zichzelf scherp kunnen zien. Uitwerking: 1
Uit de gegevens volgt dat het nabijheidspunt op 23 cm en het vertepunt op 1,75 = - 57 cm ligt. Dat betekent dat het voorwerp zich tussen de 23 cm en 57 cm moet bevinden om scherp gezien te worden. Het voorwerp ligt even ver achter de spiegel als het voorwerp ervoor. Dus de ogen moeten zich minimaal 23:2 = 11,5 cm van de spiegel vandaan bevinden en maximaal 57:2 = 28,5 cm.
24 A
B
LENS MET KAARS Op een statief staat een lens met een brandpuntsafstand van 20 cm. Een kaars staat 1,00 m achter de lens. Bereken de vergroting van het door de lens gevormde beeld. In een verder grote lege ruimte bevindt zich op één lijn: kaars - lens - mijn oog. Ik kijk door de lens naar de kaars. De lens en de kaars staan nog op dezelfde plaats. Mijn nabijheidspuntafstand is 30 cm en mijn vertepunt ligt op 1,00 m. Bereken waar ik moet gaan staan om dat beeld scherp te kunnen zien. Geef dat ook in een schets weer. Uitwerking:
A
1 1 1 1 1 1 b 25 v b f 100 b 20 B
Het beeld wordt gevormd 25 cm van de lens vandaan. Ik moet daar weer 30 cm vandaan gaan staan om het beeld scherp te kunnen waarnemen, zodat ik tenminste 55 cm van de lens moet staan. Maar niet meer dan 1,25 m vanwege het vertepunt.
N
b 25 0,25 v 100
N = 0,25
25
Constructie BB’ is het beeld van voorwerp LL’, zoals dat gevormd wordt door een lens. De tekening is gemaakt met als schaal 1:10. Bepaal door constructie de positie van de lens. Construeer de positie van het brandpunt.
26
Berekening De afstand tussen een raam en de tegenoverliggende muur is 4,00 m. Je beschikt over een lens met een brandpuntsafstand van 25 cm.
A B
Bereken waar je de lens moet houden om een scherp beeld van het raam op de muur te krijgen. 27
Normaal oog met bril Iemand met een normaal oog heeft een nabijheidspuntafstand van 25 cm. Hij zet een bril op met S = 1,00 D. Bepaal op welke afstand van het oog een voorwerp moet staan als het scherp gezien moet worden.
28
Bijziende Ik ben bijziende en draag in de klas een voor mij geschikte bril met een sterkte van - 1,75 dioptrie. Als ik zonder bril 50 cm voor een spiegel sta, kan ik mijzelf dan scherp zien in de spiegel? Leid het antwoord op die vraag af. Uitwerking: Een bijziende heeft een bril om van voorwerpen die ‘oneindig’ ver weg zijn een beeld te maken in het vertepunt. De evenwijdige bundel uit het oneindige lijkt dan te komen uit het vertepunt, de lens is dan ‘plat’ en vormt met ongeaccommodeerd oog een scherp beeld. De brandpuntsafstand van de geschikte negatieve lens is gelijk aan de afstand oog-vertepunt. Zonder bril kan de bijziende scherp zien tot zijn vertepunt; in het gegeven geval dus tot 0,57
f
1 1 0,57 m S 1,75 .
m. Immers Als ik 50 cm voor de spiegel sta, staat mijn spiegelbeeld er 50 cm achter; dus 1,00 m van mij vandaan. Ik kan het dus zonder bril niet scherp zien. 29
Loep In een loep met een brandpuntsafstand van 2,5 cm zie ik een 4,00 maal vergroot beeld van een stuk van mijn nagel. Bereken de afstand tussen nagel en loep. Uitwerking: Als je door een loep naar een vergroot beeld kijkt, dan kijk je naar een virtueel beeld.
b 4 b 4v v 1 1 1 1 1 1 v 1,875 v b f v 4v 2,5 N
En dus is v = 1,9 cm 30
Kopie 1:1 Het blijkt dat een lens een beeld maakt van een voorwerp dat 40 cm voor een lens staat. Het beeld is even groot als het voorwerp, namelijk 12 cm. Bepaal de sterkte van de gebruikte lens. Uitwerking:
1 1 1 1 1 S 5,0 dpt v b f 0 , 40 0 , 40 N = 1 b = v = 0,40 m
LENS Een positieve lens kan als een vergrootglas/loep werken. Maak een constuctietekening waaruit dat blijkt. Uitwerking: Je maakt een van de onderstaande tekeningen van resp. een ‘vergrootglas’ en het juiste gebruik van een loep.
DIGITALE CAMERA In een aantal opzichten kun je een digitale camera vergelijken met een oog. Zoals een oog ‘kegeltjes’ en ‘staafjes’ heeft als sensoren, heeft een digitale camera pixels. Bij een bepaald type camera wordt het beeld opgebouwd uit 832 x 624 pixels. Een oog heeft een netvlies, waarvan de rol bij zo’n camera wordt vervuld door een chip. De 832 pixels op de chip van deze digitale camera beslaan 5,8 mm. De lens van de camera heeft een brandpuntsafstand van 7,0 mm; die van het oog is variabel. Een oog heeft een scheidend vermogen van 0,5'. 1
A
B
Je weet natuurlijk dat 1 boogminuut = 1' = 60 graad. Vergelijk het scheidend vermogen van deze camera met het scheidend vermogen van het oog. Met behulp van deze camera maak ik een scherpe foto van een 4,2 m hoge lantaarnpaal, waar ik 10 m vandaan sta. Bereken de grootte van het beeld van de lantaarnpaal op de chip. Uitwerking:
Het gaat om hoeken. Teken dan die hoeken. Er zitten 832 pixels op 5,8 mm. De afstand tussen twee pixels is dus 6,97 m. De hoek = 6,97106 / 7,00 mm = 1,00103 rad = 0,057 = 3,4' Dat is 7 keer zo groot. Het scheidend vermogen van het oog is dus 7 keer zo klein. De toren heeft v = en dus is b = 7,0 mm. N = b/v = BB’ / LL’ 0,0070 / 10 = BB’ / 4,2 BB’ = 2,9 mm
BIJZIENDE Als bijziende heb ik zonder bril wel problemen met kijken op afstand, maar lezen gaat zonder bril prima. Met bril gaat het kijken op afstand goed, maar het lezen geeft nu problemen. Leg dat laatste uit aan de hand van de stralengang van het licht van een voorwerp door de bril. Uitwerking: Een bijziende draagt een negatieve bril. Een negatieve lens maakt een verkleind virtueel beeld. Tekenen! Dat beeld is te klein om te lezen. Of: Als ik lees, houd ik het boek dichtbij. Het oog accommodeert maximaal. Als ik een negatieve lens voor mijn oog houd wordt de bundel nog divergenter, het oog krijgt dat niet meer geconvergeerd. LENS Een positieve lens kan een vergroot beeld maken van een voorwerp. Maak een constructietekening waaruit dat blijkt. Geef de richting van de stralen aan. DIGITALE CAMERA De lens van de camera heeft een brandpuntsafstand van 7,0 mm. In plaats van een filmpje zit er op die plaats een chip. Met behulp van deze camera maak ik een scherpe foto van een 4,2 m hoge lantaarnpaal, waar ik 10 m vandaan sta. Bereken de grootte van het beeld van de lantaarnpaal op de chip.
OPTIMATE Een optimate is een pincet met een ingebouwd lensje. Zie de figuren 2a en 2b. Figuur 2b geeft een schematische doorsnede van de optimate weer. Figuur 2a figuur 2b
A
Het apparaatje is zo geconstrueerd dat een gebruiker een voorwerpje bij de pincetpunten met een ongeaccommodeerd oog kan bekijken. In een horlogemakerij worden optimates verstrekt aan alle medewerkers die zich met kleine onderdelen van horloges moeten bezighouden. Een jonge medewerker probeert de optimate even uit, maar kan de kleine onderdelen zonder optimate even gedetailleerd zien. Geef een reden waarom het voor deze medewerker toch zinvol is de optimate bij zijn werk te gebruiken. In figuur 3 is nogmaals een doorsnede van de optimate weergegeven, maar nu in combinatie met het oog van een waarnemer. De lenzen van het oog en van de optimate zijn hierin schematisch weergegeven. Daarin is een lichtstraal getekend vanuit V tot de ooglens. Figuur3
B
De ooglens bevindt zich in ongeaccommodeerde toestand. Construeer en arceer in figuur 3 de volledige lichtbundel die vanaf punt V op het netvlies van het oog valt. De kwaliteit van het lensje blijkt tegen te vallen. Zo worden de verschillende kleuren van een witte lichtbundel verschillend gebroken. Dit verschijnsel heet chromatische aberratie. Het wordt veroorzaakt doordat de brekingsindex van het glas afhangt van de golflengte van het licht. De brekingsindex van het glas van het lensje is voor rood licht gelijk aan 1,514 en voor blauw licht gelijk aan 1,524. Om de chromatische aberratie van de optimate te onderzoeken, wordt op de hoofdas een puntvormige, witte lichtbron L voor het lensje geplaatst. Het licht van verschillende kleuren vormt op verschillende afstanden van de lens een beeldpunt. Zie figuur 4. In deze figuur zijn de randstralen van de bundels voor rood licht en blauw licht weergegeven. Figuur 4
C
A
Ergens in het gebied tussen P en Q wordt een wit scherm loodrecht op de optische as van de lens gehouden. Er wordt een nagenoeg witte cirkelschijf met een roodachtige rand waargenomen. Leg uit of het scherm dichter bij P of dichter bij Q wordt gehouden. Uitwerking: In beide gevallen, dus zowel met als zonder optimate, ziet de jonge medewerker even scherp en gedetailleerd. Alleen moet hij zonder optimate sterk accommoderen en dat is erg vermoeiend. Pas op: Als om een reden wordt gevraagd, wordt de eerste reden beoordeeld!!
B Tussen optimate en oog lopen de stralen evenwijdig, alsof ze komen uit het oneindige. de straal door het midden van het oog gaat rechtdoor en waar die terecht komt, komen alle stralen samen. Dat is eigen aan een scherp beeld. De bundel wordt begrensd door het diafragma en is gearceerd getekend.
CAMERA Met een camera, ƒ = 50 mm, wordt een 40 m van de fotograaf verwijderd gebouw gefotografeerd van 28 m hoogte. Bereken de grootte van het gebouw op het negatief. Uitwerking: v » f b f = 0,050 m
N
b BB' 0,050 BB' BB' 0,035 m v LL' 40 28
CONSTRUCTIE Vanuit een puntvormige lichtbron L valt licht op een positieve lens. Tegen deze lens staat een diafragma met een cirkelvormig gat. Daardoor ontstaat op de wand een lichtvlek met een diameter van 1,00 cm en wel 6,00 cm van het brandpunt vandaan. Getekend zijn de posities van de lichtvlek, lens, lichtbron en brandpunt. A Construeer de positie van het cirkelvormige gat. De grootte van het cirkelvormige gat in je constructie opmeten is niet nauwkeurig. B Bereken de grootte van het gat in het diafragma.
OOG Th.Pernot heeft ter gelegenheid van dit proefwerk zijn nabijheidspunt zonder bril bepaald en komt op 23 cm. Als bijziende moet hij een bril van 1,75 dpt dragen, maar zijn reservebril heeft een sterkte van 1,50 dpt. Leid af op welke afstand hij met de reservebril scherp kan zien. Variant: Leid af af of hij een voorwerp op 1,50 m met de reservebril scherp kan zien.
LOEP Bij goed gebruik van de loep door een normaal ziend persoon wordt een voorwerp in het brandpunt geplaatst. Uit de loep komt dan vanuit elk voorwerpspunt een evenwijdige bundel en hoeft de gebruiker van de loep niet te accommoderen. Th.Pernot heeft ter gelegenheid van dit proefwerk zijn nabijheidspunt bepaald en komt op 23 cm. Als bijziende zou hij een bril van 1,75 dpt moeten dragen. Hij gebruikt een loep met een brandpuntsafstand van 2,50 cm en houdt deze 10,0 cm van zijn oog. Bereken waar hij het te bekijken voorwerp moet houden om zonder accommoderen ernaar te kijken door de loep en het dan scherp te zien.
A B A
BEELD VAN LAMPJE Bij de volgende opticavraag gaat het om een lampje en een schermpje op 1,00 m daarvandaan. Tussen beide plaats ik een lens. Het gloeidraadje in het lampje is 10 mm lang en evenwijdig aan het scherm. Het blijkt dat ik een scherp beeld krijg, als de lens 11,3 cm van het scherm verwijderd is. Bereken de sterkte van de gebruikte lens. Bepaal waar ik de lens ook kan plaatsen om een scherp beeld van het lampje op het scherm te krijgen. Uit de tekst volgt dat b = 11,3 cm en dat v = 100 - 11,3 = 88,7 cm, zodat
1 1 1 1 1 S 9,98 v b f 0,887 0,113 S = 9,98 dpt of S = 10 dpt. B
In de lensvergelijking zijn de rol van v en b verwisselbaar. Dus ook v = 11,3 cm met b = 88,7 cm is een oplossing.
1 1 9,98 Je kunt natuurlijk ook combineren v b met v + b = 1,00 en gaan rekenen. NABIJHEIDSAFSTAND Je nabijheidsafstand is 20 cm en je vertepunt ligt op 100 cm. Je kijkt door een lens met een brandpuntsafstand van 50 cm en ziet een omgekeerd beeld van wat zich in de verte afspeelt. Leid af op welke afstand van de lens je je bevindt. Antw: 70 cm - 150 cm
CONSTRUCTIE Construeer de lichtstraal van A via de positieve lens met brandpunt F naar B. Zorg ervoor dat de opeenvolgende stappen van de constructie te herkennen zijn.
A B C
FOTO Je wilt een foto maken van een boom die 5,0 m hoog is. De lens van de camera die je gebruikt heeft een brandpuntsafstand van 5,0 cm. Je gaat 10 m van de boom staan. Bereken de beeldafstand. Bereken de vergroting. Bereken de grootte van het beeld van de boom op de film. PRACTICUM Je krijgt bij dit proefwerk een enveloppe met lensje. Bepaal zo goed mogelijk de brandpuntsafstand van jouw lensje en beschrijf hoe je dat gedaan hebt. Het is niet de bedoeling dat je samenwerkt of gaat wandelen. Lever jouw enveloppe met je lensje weer mee in. Mogelijk wil je graag weten dat de afstand tussen vloer en TL-buizen 2.80 m is. Maar misschien schijnt de zon ook wel. Als je de bomen in de verte als lichtbron gebruikt, komt het beeld op brandpuntsafstand: 17 cm. Als je de TL-lampen gebruikt als lichtbron, je houdt de lens horizontaal en je ontwerpt een scherp beeld op de tafel, dan moet je de tafelhoogte meten en aftrekken van de 2,80 m plafondhoogte om de afstand voorwerp-beeld te bepalen. De beeldafstand kun je direct meten. Je kent dan ook de voorwerpsafstand = lens-plafond en dan de lenzenformule invullen.
BEELD Je ziet hier een positieve lens met het beeld, zoals dat gevormd wordt van een ver verwijderde lichtgevende pijl met een lengte van 7,20 m.. Enige stralen van de punt van de pijl zijn getekend. De schaal van deze tekening is 1:1. Bepaal hoever de lichtgevende pijl van de lens verwijderd is. UITWERKING: Het voorwerp is 7,20 m; de pijl op het papier is 2,6 cm. Nameten!! De vergroting is dus 1/277. De beeldafstand is 5 cm Nameten!! het voorwerp stond dus 277×5 cm = 13,8 m van de lens.
a
LOEP Een normaal ziende kunstkenner, n = 25 cm, bekijkt een sieraad van 1,0 cm lengte en brengt het daarom op nabijheidsafstand van zijn oog. Bereken onder welke hoek hij het voorwerp bekijkt.
b
Om details nader te bekijken gebruikt hij een loep, f = 3,0 cm, en plaatst het sieraad 2,0 cm van de loep. Construeer het beeld gevormd door de loep.
c
Onze kunstkenner houdt vervolgens het sieraad op 3,0 cm van de loep, zoals het hoort. Construeer de lichtstraal die van de top A van het getekende sieraad door het optisch midden van zijn oog gaat. Het sieraad, de loep en het oog zijn schematisch in de tekening weergegeven.
UITWERKING: A B
C
=
s 1 0,040 rad = 2,29 ∘ r 25 .
De straal door het midden van de lens gaat rechtdoor. de bundel uit de lens is een evenwijdige bundel, omdat het voorwerp in F staat. De straal uit die evenwijdige bundel die midden door de ooglens gaat, gaat rechtdoor en is de gevraagde straal.
A B
NORMAALZIENDE MET BRIL Een normaal ziende (n = 25 cm) zet een bril op met een sterkte 1 dpt. Ziet hij een voorwerp op 40 cm scherp? Waar ligt zijn N met deze bril?
A
LERAAR Je leraar natuurkunde is bijziende. Hij heeft voor ver zien glazen nodig met S = 2,00 dpt. Je leraar natuurkunde is inmiddels ook oudziende en heeft daardoor een nabijheidspuntafstand van 25 cm. Terwijl hij dit tikt, bevinden zijn ogen zich 60 cm van het beeldscherm. Leid af of hij de letters op het beeldscherm zonder bril scherp kan zien.
B
Nadeel van negatieve lenzen is dat zij een verkleind beeld maken van een voorwerp. Bereken de grootte van het door mijn bril gevormde beeld van een 24 cm groot voorwerp op 60 cm afstand van de bril.
C
Om goed te kunnen zien is een scherp beeld niet voldoende. Ook het ‘oplossend vermogen’ is van belang. Kun je mij door een voorbeeld duidelijk maken wat ‘oplossend vermogen’ is?
a.
KAARSJE Een verjaardagskaarsje KK' is nog maar 1,5 cm lang en staat op 4,0 cm voor een lens met brandpuntsafstand f = 3,0 cm. Zie tekening. De lens zit in een ondoorzichtige lenshouder. De diameter van de lens is 2,0 cm. Construeer het beeld van het voorwerp KK'.
b. c. d.
Construeer het verloop van de bundel die vanuit top K door de lens gaat. Bereken de grootte van het beeld als het kaarsje op 3,5 cm voor de lens wordt geplaatst. Ga er gemakshalve maar vanuit dat de lengte van het kaarsje nog steeds 1,5 cm is. Bereken de verhouding van de verlichtingssterkten van de beelden van het kaarsje, zoals die ontstonden bij v = 4,0 cm en bij v = 3,5 cm.
a
b
c d
UITWERKING: We trekken de constructiestraal door het midden en evenwijdig aan de hoofdas. Die laatste stippelen we omdat deze niet door de lenshouder kan. Alle stralen uit K via de lens gaan naar het beeldpunt. Lenzenformule levert b = 21 cm. en vergrotingsformule geeft een grootte van het beeld van 9,0 cm Er zijn twee effecten. Effect 1. In de constructie is het beeld 4,5 cm lang. In de berekening van onderdeel c is het 9,0 cm lang. We hebben met een tweemaal zo lang beeld te maken. De oppervlakte is dus viermaal zo groot. Daardoor is de verlichtingssterkte viermaal zo klein. Effect 2. De kaars staat nu dichter bij de lens. Daardoor vangt de lens meer lichtop. De afstandsverhouding is 4,0 : 3,5 De oppervlakteverhouding is 4,0² : 3,5² = 1,31. Samen: Hij ontvangt ¼ * 1,31 = 0,33 zo weinig licht. De verlichtingssterkte is dus maar 0,33 keer de vorige waarde. Dat is 3,1 maal zo weinig. DIA Van een dia van 35 mm wil ik met een lens met f = 15 cm een beeld maken dat 1,00 m groot is. Bereken de afstand dia - beeld.
HET NORMALE OOG Als je een voorwerp binnen de brandpuntsafstand van een positieve lens zet, ontstaat een rechtopstaande vergroot beeld.
tekening 6
a.
De tekening hierboven is op schaal. De loep heeft een diameter, zoals getekend. Ook de positie en de grootte van de pupil, het minder dik getekende deel van het oog, heeft de juiste grootte. In dit vereenvoudigde model kun je ook net doen of de pupil samenvalt met de ooglens. Construeer het beeld dat door de loep van de pijl wordt gevormd in tekening 6. tekening 7
b. c.
Bij een juist gebruik van de loep plaatst men het voorwerp in het brandpunt, zoals in tekening 7. Teken in tekening 7 de bundel die vanuit de top van de pijl via de loep richting oog gaat. Construeer in tekening 6 de lichtstraal die vanuit de top van de pijl via de loep door het midden van de ooglens gaat.
d.
In tekening 6 bij vraag a, ontstaat van geen enkel punt van het voorwerp een scherp beeld op het netvlies. Leg uit waarom.
e
aanvullend: Leid af van welk deel van de pijl een scherp beeld op het netvlies ontstaat.
f
In tekening 6 bij vraag a, ontstaat van geen enkel punt van het voorwerp een scherp beeld op het netvlies. Leg uit waarom.
UITWERKING
a.
b. c.
a
LENS Getekend zijn een voorwerp en het door een lens ervan gemaakt beeld. Het kleine pijltje stelt het beeld voor. De schaal is 1:10. Bepaal door constructie waar de lens zich de lens bevond en bepaal de plaats van optisch midden en van de brandpunten.
Bereken met de te meten voorwerps- en beeldsafstand de brandpuntsafstand. Geef in de tekening de plaats aan waar je de lens eveneens kunt zetten om op dezelfde plaats een scherp beeld te vormen. Schrijf op hoe je die plaats gevonden hebt. UITWERKING: De stralen door het optisch midden gaan rechtdoor. Het snijpunt levert dus O. De brandpunten vind je dan door te bedenken dat de stralen evenwijdig aan de hoofdas door het brandpunt gaan.
1 1 1 1 1 1 f 30,6 cm v b f 106 43 f
b.
Je meet vanuit O resp. 10,6 cm en 4,3 cm en dus
c
In de lenzenformule komen v en b symmetrisch voor. Zet dus de lens even ver voor het voorwerp als hij nu voor het beeld staat.
a. b.
c.
a. b.
c
OOG MET LENS Ik ben bijziende, maar met mijn bril, f = - 50 cm, is dat probleem opgelost. Met bril is mijn nabijheidspunt 40 cm. Bereken de sterkte van mijn bril. Bereken waar mijn nabijheidspunt zonder bril ligt. Met een goede tekening levert deze opgave meer punten op. Ik zit 10 m van de achterwand van de klas verwijderd. Bereken de sterkte van de bril die ik nodig zou hebben om althans in de klas geen last van mijn bijziendheid te hebben. Uitwerking: S=1/f = 1/(-0,50)=-2,0 dpt Het nabijheidspunt speelt een rol bij maximale accommodatie. Door de negatieve bril komt dit verder weg te liggen. Zet je een voorwerp in N' dan maakt de negatieve bril er een beeld van in N. 1/v + 1/b = 1/f dus 1/40 + 1/b = 1/-50 dus b=-22 cm Mijn vertepunt zonder bril ligt op 50 cm. Met bril mag dat dus 10 m worden. Realiseer je dat v = 10 m en b = - 50 cm. lenzenformule geeft 1/10 + 1/(-50)=1.f=S dus S=-1,9 dpt LENS Een lens levert een 600 maal vergroot beeld op een 50 m van het voorwerp verwijderd scherm. Bereken de brandpuntsafstand.
a
b
c
LENS EN SPIEGEL Op brandpuntsafstand, ƒ = 4,0 cm, voor een positieve lens staat een pijlvormig voorwerp. Aan de andere kant van de lens bevindt zich, eveneens op brandpuntsafstand, een vlakke spiegel. Construeer het beeld van de pijl, gevormd door de combinatie van lens en spiegel. Construeer het verdere verloop van de getekende straal uit de top van de pijl. Bereken de plaats van het beeld als het voorwerp zich op 20,0 cm voor de lens bevindt. UITWERKING: In de meeste gevallen is het het gemakkelijkst om uit te gaan van een punt dat niet op de hoofdas ligt. In dit geval ben je het snelst klaar door dat juist wel te doen. Zie de vette 'open' streeplijn. Die gaat van brandpunt naar lens, dan evenwijdig aan hoofdas, komt net zo terug en eindigt dus in het brandpunt. De voet van de pijl wordt op zichzelf afgebeeld. Straal 1 levert ook geen problemen. Evenwijdig aan hoofdas, dus naar hoofdbrandpunt (2), kaatst terug (3) en gaat als straal uit F evenwijdig verder:4. Dus beeld van de punt moet op die 'hoogte' liggen. Beeld is omgekeerde pijl.
c.
Ga je op de 'gewone' manier te werk, dan teken je eerst straal 1-2-3-4. Om het beeldpunt te vinden heb je een tweede straal nodig. Daarvoor kies je a. a is evenwijdig aan bij-as b en breekt dus naar bijbrandpunt F'. Kaatst dan terug: d. d is evenwijdig aan bij-as e en breekt dus naar bijbrandpunt F''. Daarmee is het snijpunt en dus ook het beeld gevonden. Tevens is vraag b. beantwoord. lenzenformule: v1=20 cm en f=4 cm b1 = 5 cm na spiegeling: v2 = 8 cm en f= 4 cm b2 = - 12 cm Door de spiegel wordt het beeld dat 5 cm achter de lens terecht kwam, een beeld op maar 3 cm erachter. Het is dit beeld dat als voorwerp voor de 'terugweg' fungeert. Het uiteindelijke beeld is een virtueel beeld 12 cm achter de lens.
HURT Hieronder zie je een tekening. Deze is gemaakt naar een foto. We hebben dat gedaan omdat de opgave anders teveel geheugenruimte van de computer in beslag neemt. Het is de foto van een bekend politicus, Douglas Hurd, gedeeltelijk gezien door zijn eigen bril.
a. b.
c.
Is Douglas Hurd bijziend of verziend? Welk oog heeft de sterkste afwijking van een normaal oog? De foto werd gemaakt met een telelens, f = 200 mm. En het negatief, 24 mm × 36 mm, werd in zijn doka vergroot tot een foto van 16 bij 24 cm. In het vergrotingsapparaat zat een bolle lens met een brandpunmtsafstand van 5,0 cm. Bereken de afstand tussen het negatief en het fotografisch papier tijdens het vergroten in de doka.
d.
De breedte van de bril is op de foto 76 mm, maar in werkelijkheid 136 mm. Bereken hoever de fotograaf van de politicus stond tijdens het maken van de foto.
e. f.
Door het rechter brilleglas, links op de foto, zie je beide ogen en de neus van de minister sterk verkleind. Iemans zonder natuurkunde in zijn pakket snapt niet hoe dat kan. Jullie weten dat we het verkleinde virtuele beeld van zijn gezicht waarnemen. Douglas houdt de bril 20 cm vóór zijn gezicht vast. Bepaal door opmeten in de foto de vergroting bij deze waarneming. Bereken hieruit de sterkte van zijn rechter brilleglas.
a. b. c.
d.
Uitwerking: bijziend rechteroog foto 24 cm breed, maar negatief 36 mm, dus een vergroting 6,67 ×. De afstand van negatief tot fotopapier is b + v = 44 cm. b N 6,67 b 6,67 v v 1 1 1 1 1 1 v 5,8 cm en b 38,3 cm v b f v 6,67 v 5,0 76 mm 11,4 mm De breedte van de bril op het negatief is 6,67
N
b 11,4 b 0,0838 v 136 v
1 1 1 1 1 1 v b f v 0,0838 v 20,0
e.
Hieruit volgt v = 259 cm. Je kunt hier nog 22 cm voor b bijtellen. De afstand tot de bril moet dus 2,8 m zijn geweest. We meten de pupilafstand 'gewoon' en door het brilleglas: resp 23 en 8 mm.
f
N
b 8 0,35 v 23 b 8 b N b 6,96 cm v 23 20 1 1 1 1 1 9,4 m -1 f v b 0,20 0,0696
Dit betekent dus een sterkte S = - 9,4 dpt en een f = - 10,7 cm.
LENZENPAAR Twee lenzen, beide met een f = 3,0 cm, staan op 3,0 cm van elkaar. Op 2,0 cm voor de eerste lens staat een 1,0 cm groot voorwerp.
a. b. c. d.
Bereken de beeldafstand van het door de combinatie van beide lenzen gemaakte beeld. Bedenk hierbij dat het door de eerste lens gevormde beeld het voorwerp voor de tweede lens is. Construeer het beeld gevormd door de lenzencombinatie. De persoon waarvan alleen het oog geschetst is, is bijziende en heeft een nabijheidsafstand van 12 cm. Beredeneer of deze de pijl scherp kan zien in de getekende situatie. Geef globaal de positie van het stuk netvlies aan, waarop de pijl wordt afgebeeld. PUPIL Voor onderzoek krijgt een patiënt pupilverwijdende druppel toegediend. Deze druppels hebben geen invloed op de werking van het accommodatievermogen van het oog. Leg uit waarom het de patiënt verboden is om zelf achter het stuur van zijn auto te kruipen te naar huis te rijden.
VOOR DE SPIEGEL Als bijziende met een vertepunt op 1,00 m en nabijheidspunt op 0,15 m sta ik voor de spiegel en kijk mezelf in de ogen. Leid af op welke afstand ik van de spiegel moet staan om mijn ogen scherp te kunnen zien. Uitwerking:
Zaken die zich bevinden tussen 0,15 m en 1,00 m kan ik scherp zien. De spiegelbeelden waar ik naar kijk moeten zich dus tussen die twee afstanden bevinden. Het spiegelbeeld staat even ver achter de spiegel als het origineel ervoor. De afstand spiegel origineel is dus de helft van de afstand origineel-spiegelbeeld. Het origineel moet dus tussen de 0,15:2 = 0,075 m en 1,00:2 = 0,50 m van de spiegel zitten.
LENS De getekende lens heeft een brandpuntsafstand van 5,0 cm. Vóór deze lens staat als voorwerp een lamp L. De voorwerpsafstand is 3,0 cm. De diameter van de lens is 2,0 cm. Het licht van de lamp komt uiteindelijk op het scherm terecht. De afstand van het scherm tot de lens is 8,0 cm Construeer en arceer de bundel die vanuit de lamp door de lens gaat en op het scherm terecht komt.
TOREN Ten behoeve van een folder moet een gebouw van 40 cm hoogte in een maquette worden gefotografeerd. De lens van de camera staat 2,00 m van het gebouw vandaan. De lens heeft een diafragma-opening met een diameter van 4 mm Op het negatief is het gebouw 30 mm hoog. Bereken de brandpuntsafstand van de gebruikte lens. De camera wordt vervangen door een camera op dezelfde plaats met een lens van dezelfde sterkte, maar er wordt gebruik gemaakt van een diafragma van 20 mm. Leid af in welke opzichten het beeld anders zal zijn. Denk hierbij aan beeldgrootte, scherpte, scherptediepte en verlichtingssterkte. Uitwerking: N
b 3 3 b 200 15 cm v 40 40
1 1 1 1 1 1 f 13,9 cm v b f 200 15 f
v en f onveranderd, dus ook b en N. Aan de grootte van het beeld en de scherpte is dus niets veranderd. De scherptediepte hangt af van de grootte van de vlekjes die op het negatief ontstaan, omdat niet alle afgebeelde voorwerpen op de goede voorwerpsafstand staan. De grootte van deze vlekjes hangt direct af van de gebruikte lensdiameter. Als die 4× zo groot wordt, dan ook die vlekjes. De scherptediepte neemt dus af. Als de diafragma-opening 4× zo groot wordt en de gebruikte lensoppervlakte dus 4²× zo groot, komt er 16× zo veel licht op het negatief. De verlichtingssterkte ervan is dus 16× zo groot.
LENS – CONSTRUCTIE 2 Getekend is een lens met brandpunt en een voorwerp ervoor. Construeer het beeld dat de lens van het voorwerp vormt.
We construeren het beeld van de ‘bovenkant’ en kennen dan ook de positie van de ‘onderkant’ Het beeld is virtueel en moet dus gestippeld worden volgens de afspraak
LENS – CONSTRUCTIE 1 Getekend is een lens met zijn brandpunt. In de richting van de lens gaat een lichtstraal. Construeer het verdere verloop van de lichtstraal
Uitwerking: optie 1: De groene stralen. We beschouwen het begin van de getekende straal als een lamp. Daarvan hebben we via constructiestralen het beeld proberen te construeren; helaas net over de rand. Ook de gegeven straal moet daar doorheen. optie 2: Kies op de getekende straal het punt L op afstand ƒ van de lens. Van lampen in het brandpunt treedt een evenwijdige bundel uit de lens. Dus teken je de rode straal door het midden, dan weet je ook de richting van de andere stralen die uit de lens komen.
LENS – BEREKENING De camera waarmee ik foto’s maak, heeft een lens met een brandpuntsafstand van 50 mm. Het voorwerp dat ik fotografeer, komt met een vergroting N = 0,050 op het negatief. Bereken de afstand voorwerp – negatief. Uitwerking: 1 1 1 1 1 1 v b f v b 50
en N
b b 0,050 b 0,050v v v 1
1
1
vul dit laatste in in de lenzenformule: v 0,050v 50 v 1050 en b = 52,5. Alles in millimeters. De gevraagde afstand is b + v = 1102,5 mm = 1,1 m.
LENS – GRAFISCH Bij een bepaalde lens hoort onderstaande b,v-grafiek.
a b
Bepaal de brandpuntafstand van deze lens. Bepaal met behulp van deze grafiek bij welke beeldafstand een vergroting N = 3 hoort. Teken daartoe eerst in de grafiek de lijn die hoort bij N = 3 Uitwerking:
a
1 1 1 1 1 1 f 11 cm v b f 20 26 f
b
Voor een grotere nauwkeurigheid kun je van meer punten berekenen wat ƒ oplevert en dat middelen. N = 3 betekent b = 3v en dus een rechte door de oorsprong met hellingsgetal 3. Het snijpunt bij b = 44 cm is de gevraagde beeldafstand.
