V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Feszültség előállítása indukcióval Forgási (mozgási) indukció: forgási indukált feszültség keletkezik, amikor egy vezető és a mágneses tér között viszonylagos elmozdulás „erővonalmetszés” jön létre. Az unipoláris (homopoláris) villamos gép elve Ha a vezetők a mágneses tér erővonalaira merőleges síkban, a mágneses térhez viszonyítva folyamatosan azonos irányban mozognak (a mozgás során a mágneses tér iránya azonos), akkor bennük a forgó mozgás során változatlan polaritású feszültség indukálódik.

Ω ui

D dα

B

R

+

É

V –

Az unipoláris (homopoláris) villamos gép elvi vázlata Az unipoláris villamos gép vezetői a mozgásuk (körülfordulásuk) során azonos irányú mágneses térben vannak. A homogénnek tekintett B indukciójú mágneses térben körbeforgó vezető által dα szögelfordulás során súrolt dA felület dα R 2 2 dA = R π = dα , 2π 2 ahol R – a vezető hossza (a körpálya sugara). Az elfordulás ideje alatt a dφ fluxusváltozás BR 2 dφ = BdA = dα . 2 Az egy vezető rúdban indukálódó Ui1 feszültség Ω szögsebesség mellett dφ BR 2 dα BR 2 U i1 = = = Ω. dt 2 dt 2 Ebben az elrendezésben a vezetők párhuzamos kapcsolása viszonylag egyszerű, azokat sorba kapcsolni és így az egyes „küllőkben” indukálódó feszültségeket összegezni csak nagyon bonyolult megoldással lehet. Ezért a homopoláris gépekre főleg a kis feszültség és a nagy áram jellemző (pl. elektrolízisnél használt galvándinamó). Példa Legyen B=1 T, R=0,1 m és Ω =2π50=314/s (T=0,02 s, n=50 fordulat/sec), akkor az egy vezetőben indukált feszültség Ui1=1,57 V.

VIVEA002 Elektrotechnika

2014

A heteropoláris villamos gép elve Amikor a vezetők a mágneses térhez viszonyítva változó irányban mozognak (a mozgás során a mágneses tér iránya változik), az indukált feszültség polaritása is változik. Az ábra szerinti elrendezésben a vezetők egy henger palástja mentén váltakozva az északi és a déli mágneses pólus alatt haladnak el. A pólus középvonala alatti elhaladás pillanatában az egyetlen vezetőben indukálódó feszültség: Ui1=Blv =BlRΩ, ahol R – a henger sugara, l – egy vezető mágneses hatás alatt lévő (aktív vagy effektív) hoszsza, v – a kerületi sebesség, Ω – a szögsebesség. N sorbakapcsolt vezetőből álló tekercsben az eredő indukált feszültség: Ui=NUi1=NBlRΩ .

É

v

τp

Ω ui

B

É

D

ui

R

i

l +

D

–

A heteropoláris villamos gép elvi felépítése (perspektivikus és kiterített vázlata) A tekercseket úgy alakítják ki, hogy az egy menetet képező 2 vezető egymástól pólusosztásnyira helyezkedjen el, vagyis egymáshoz képest ellenkező irányú mágneses térben legyenek, így bennük ellentétes polaritású feszültség indukálódik. Ezért a vezetők sorba kapcsolásakor a feszültségek összegeződnek. Az ellenkező mágneses pólusok középvonala közötti távolságot nevezik pólusosztásnak és leggyakrabban τp-vel jelölik. Az indukált feszültség pillanatértéke a definíciós képlet – ui (t ) = (B × v )l – szerint akkor a legnagyobb, amikor a v kerületi sebesség merőleges a B indukcióra, a pillanatérték zérus, amikor a kerületi sebesség párhuzamos az indukcióval. Amennyiben a mágneses tér (a B indukció) a vezető bármelyik helyzetében merőleges a v kerületi sebességre (pl. sugár irányú), akkor a fenti képletek szerint számított indukált feszültség nagysága független a vezető helyzetétől a henger palástja mentén, de pólusváltozáskor előjelet vált. Az egyes pólusok alatt elhaladó vezetőkben a mágneses térnek megfelelő irányú indukált feszültség jön létre, ezért minden vezetőben félfordulatonként megváltozik a feszültség iránya, váltakozó (irányú) feszültség keletkezik.

2

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Példa Legyen B=1 T, R=0,1 m, l = 0,5 m és Ω = 314/s (50 fordulat/sec), akkor az egy vezetőben indukált feszültség maximális értéke Ui1= 15,7 V, az egy menetben (2 vezetőben) indukálódó feszültség Ui1m= 31,4 V. Időben szinusz függvény szerint változó feszültség előállítása

É d

Ω

ui1(t)

B

I

l ui1(t)

+ (–) I R – (+)

D Elvi vázlat, a csúszógyűrű alkalmazása A vázlat szerinti keret vezetőiben indukálódó feszültség polaritása pozíció-függő. A forgó vezetők csúszó kontaktusokon keresztül érhetők el csúszógyűrűk segítségével.

É

Ω

v

B

d

ui(t)

φ(t)

Ωt π

α=Ω t

D A fluxus és az indukált feszültség időbeli változása

3

2π


2014

Ha egy vezető keret egyenletes Ω szögsebességgel forog a B=áll. indukciójú homogén mágneses térben akkor a B indukció keretre merőleges Bn összetevőjének nagysága a forgás során változik, Bn(t)=Bcosα=BcosΩ t, így a keret által átfogott fluxus nagysága φ(t)=BnA=Bnld is változik: φ(t)=BldcosΩ t=ΦmcosΩ t, itt Φm=Bld – a fluxus amplitúdója.

B

α Bn

α vx

Bt

v vy

α A B indukció és a v kerületi sebesség merőleges összetevői Az indukált feszültség N számú sorbakapcsolt vezető esetén: dφ π π   ui (t ) = N = − NΩΦ m sin Ω t = NΩΦ m cos Ω t +  = U m cos Ω t +  .   dt 2 2 Az ui indukált feszültség időfüggvénye 90°-kal eltolt a fluxushoz képest (siet). Amikor a keret által átfogott fluxus a legnagyobb, akkor a fluxusváltozás – és ezért az indukált feszültség is – a legkisebb (t=0, α=0), amikor az átfogott fluxus a legkisebb, a változás és az indukált feπ     π o 2 szültség is a legnagyobb  t = = , α = 90  . Ω 2Ω     A keret egy teljes körülfordulása alatt az indukált feszültség egy teljes szinuszgörbét ír le. Az indukált feszültség más megfontolással, a mozgási indukcióval is értelmezhető: a vezetőnek a mágneses erővonalakra merőleges sebesség komponense vy=vsinΩ t, így az egy vezetőben indukálódó ui1 feszültség a felvett pozitív iránynak megfelelő előjellel: ui1 = l(B × v ) = lBv y = − lBv sin Ω t . dα d = RΩ = Ω , az indukálódó feszültség: dt 2 ld Φ ui1 = −Ω B sin Ω t = −Ω m sin Ω t , 2 2 itt is Φm=Bld. A 2 vezetőből álló keretben ui1 kétszerese indukálódik, N menetű keretben pedig π π   ui (t ) = − NΩ Φ m sin Ω t = NΩΦ m cos Ω t +  = U m cos Ω t +  .   2 2 Mivel v = R

A frekvencia fogalma Az időegység alatt lezajló teljes (változási) ciklusok (ismétlődések, periódusok) száma a frekvencia. A frekvencia jele f, SI mértékegysége Hertz1 tiszteletére 1

Hertz, Heinrich Rudolf (1857-1894) német fizikus

4

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye 1

[ f ] = Hz = hertz = s . Az ábrán vázolt esetben az indukált feszültség egy ciklusa a vezető keret egy teljes mechanikai fordulata alatt zajlik le, így a ciklusok száma megegyezik a fordulatok számával:  1    s

 1    s

f =n . A villamosmérnöki gyakorlatban a fordulatszám rendszerint a percenkénti fordulatok számát jelenti, ebben az esetben: f

 1    s

=

n

 1     min 

60

.

A körfrekvencia fogalma A szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvény periodikus, argumentuma a szög. Egy periódus 2π (=360°) terjedelmű, vagyis sin(2π+α)=sin(α), vagy cos(2π+α)=cos(α). Ha 1 változási ciklus (1 periódus) argumentuma 2π (=360°), azaz egy teljes kör, akkor másodpercenként f periódushoz 2πf szög, vagyis f számú teljes kör tartozik. Ezért az 2πf szorzatot körfrekvenciának nevezik (tulajdonképpen szögfrekvencia), jele ω, SI mértékegysége 1 [ω ] = s (a gyakorlatban elterjedt ezen kívül a rad/s is). A körfrekvencia tulajdonképpen az időegység alatt érintett szögtartomány. A körfrekvencia kapcsolatot teremt az idő és a szög között: α=ωt. Az egy periódus lefolyásához szükséges idő a T periódusidő: α=2π=ωT, illetve 2π 2π 1 T= = = . ω f 2π f Kétpólusú gépeknél a kerület mentén 1 db É és 1 db D mágneses pólus van, az Ω mechanikai szögsebesség megegyezik vezetőkben indukálódó szinuszos feszültség ω körfrekvenciájával ω=Ω, mivel egy villamos periódus egy mechanikai fordulat alatt zajlik le.

É

É

Ω D

D Ui

D

É

D

v 2π

π

0

4π ωt 2π Ω t

É 4 pólusú (p=2) gép elvi vázlata Többpólusú gépeknél, amelyeknél a kerület mentén p-számú póluspárt helyeznek el, a vezetők minden körülfordulás alatt p-szer haladnak el É és D pólus terében, egy mechanikai fordu-

5


2014

lat alatt p számú villamos periódus zajlik le ω=pΩ. Ennek figyelembevételével a forgási indukált feszültség általánosabb alakja: ui=pNΩΦmsinpΩ t. ui(ωt)

2π

ωt Ωt

2π p

Az indukált feszültség a villamos és a mechanikai szögelfordulás függvényében (p=1)

A frekvencia és a fordulatszám közötti általános összefüggés f

 1    s

= p

n

 1     min 

, ekkora egy n 60 fordulattal járó, p póluspárú (szinkron) generátor indukált feszültségének frekvenciája. Ebből az összefüggésből számítható az f frekvenciájú feszültségről táplált motor n0 (szinkron) fordulatszáma (a mágneses mező fordulatszáma): 60 f n0 = . p 3000 f=50 Hz tápfrekvencia esetén a szinkron fordulatszám: n0 = , f=60 Hz esetén p 3600 n0 = . p A szinkron generátor működési elve d

d

τp

q

τp

q

a)

b)

Hengeres a) és kiálló pólusú b) forgórészű szinkron gép vázlata (p=1)

6

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye A villamos energia előállítására alkalmazott szinkron generátorokban az a szokásos elrendezés, hogy egy szinuszos eloszlású mágneses tér forog, a vezetőket pedig, amelyekben a feszültség indukálódik, az állórész hornyaiban helyezik el. A mágneses teret a forgórész egyenárammal gerjesztett tekercsével állítják elő, a szinuszos eloszlás a gerjesztő tekercs vezetőinek megfelelő térbeli eloszlásával, vagy a légrés megfelelő kialakításával érhető el, illetve közelíthető. A mágneses tér a forgórésszel együtt forog. A szinuszos térbeli eloszlású indukcióval való erővonalmetszés mértéke időben szinuszos (vagy koszinuszos). Ha a vezetőkeret (tekercs) által átfogott fluxus változása szinuszos, akkor a vezetőkben indukálódó feszültség időbeli változása is szinuszos (vagy koszinuszos). Transzformátoros (nyugalmi) indukció: transzformátoros indukált feszültség akkor keletkezik, amikor egy nyugalomban lévő vezető keret által átfogott mágneses tér nem a keret mozgása miatt változik. Az ábra szerinti elrendezésben a B(t) indukció az i(t) koszinusz függvény szerint változó gerjesztő áram hatására időben koszinusz függvény szerint változik: i(t)=Imcosωt és B(t)=Bmcosωt. A fluxus is koszinusz függvény szerint változik: φ(t)=Φmcosωt, az indukált feszültség pedig dφ (t ) ui (t ) = N = − NωΦ m sin ωt . dt

φ(t) ui(t)

N i(t)

A transzformátoros indukált feszültség illusztrációja A térben álló tekercsek közötti elektromágneses kapcsolatban transzformátoros indukció jön létre, villamos forgógépekben általában forgási, de mindkét fajta indukált feszültség egyszerre is jelen lehet, ha a vezető időben nem állandó mágneses térben mozog. A transzformátor működési elve A transzformátor egy olyan csatolt tekercsekből álló elektromágneses energia-átalakító, amelyik a primer oldal (tekercs) által felvett, u1 feszültséggel és i1 árammal jellemezhető villamos energiát a szekunder oldal (tekercs) által leadott, más feszültségű (u2) és más áramú (i2) de azonos frekvenciájú villamos energiává alakítja át. Ha az egyszerűsítés érdekében elhanyagoljuk a primer tekercs ohmos ellenállását (amit olyan esetben tehetünk, amikor R1 « XL1), akkor a primer oldal kapocsfeszültsége megegyezik az indukált feszültséggel: di (t ) u1 (t ) = U1m sin ω t = L1 1 . dt Ebből az i1 primer áram

7


2014

U 1 π  u1 (t )dt = − 1m cos ω t = − I1m cos ω t = I1m sin ω t −  . ∫  L1 L1ω 2 A primer tekercs i1 árama által létrehozott B1 indukció és φ1 fluxus időbeli változása: π  B1(t)=-B1mcosωt és ezért φ1(t)=-Φ1mcosωt = Φ 1m sin ω t −   2 i1 (t ) =

Árammentes szekunder tekercsnél a primer tekercs által létrehozott φ1 fluxus szekunder tekerccsel kapcsolódó φm1 része a σ szórástól függően kisebb a primer tekercs fluxusánál, a térelméleti felbontást alkalmazva: φm1(t) ≤ φ1(t), φ2(t) = (1-σ)φ1(t) =-(1-σ)Φ1mcosωt=-Φ2mcosωt.

φm1(t) i1(t) u1(t)

N1

φm2(t)

i2(t) u2(t)

N2

A transzformátor elvi felépítése A szekunder tekercsben indukálódó u2(t) feszültség: dφ 2 (t ) u2 (t ) = N 2 = N 2Φ 2 mω sin ω t . dt Terhelés (fogyasztó) rákapcsolásakor a szekunder áramkör záródik és a kialakuló i2 áram az ábrán láthatóan legerjesztő hatású, i1-el ellenkező irányú (ellenfázisú) fluxust hoz létre. A kisebb φm(t)= φm1(t)+φm2(t) eredő mágnesező fluxus miatt csökken a primer tekercsben indukálódó feszültség (ami egyensúlyt tart a tápfeszültséggel), emiatt nő az i1 primer áram. Ez biztosítja az energetikai egyensúlyt: a szekunder oldal leadott energiáját a primer oldal veszi fel a táphálózatból. A villamos és a vasveszteségek miatt P2< P1, a leadott teljesítmény mindig kisebb a felvettnél. Szinusz függvény szerint változó mennyiségek fázisviszonyai Az ábrán egy kétpólusú (p=1) mágneses térben három, azonos Ω mechanikai szögsebességgel körbe forgó vezető keret vázlata és a keretekben indukálódó feszültség időfüggvénye látható a t=0-nak választott időpontnak megfelelően. Az egyes keretek szöghelyzetét a vízszintes tengelyhez képest az α szögek mutatják, α=Ω t és Ω=ω (a kétpólusú tér miatt a szögsebesség megegyezik a körfrekvenciával). Az egyes keretek szöghelyzete időben egyformán változik, a közöttük lévő ϕ szögek – és ezért az indukált feszültségek közötti fázisbeli különbségek is – állandóak.

8

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

É B

Ω

α3 ϕ13

ϕ12

2

α2

1

u1(t)

u3(t)

u2(t)

α1 ωt

π

α1

α2

2π

α3 3 D

t=0 t'=0 Eltérő fázishelyzetű feszültségek előállítása

Az egyes indukált feszültség időfüggvények: u1(t)=Umsin(ωt+α1), u2(t)=Umsin(ωt+α2), u3(t)=Umsin(ωt+α3). A szinusz függvények (ωt+α) argumentumai a fázisszögek (fázisok), az adott pillanathoz tartozó szögértékek. Az α kezdeti fázisszög a megfigyelés kezdő időpontjától, a t=0 pillanat megválasztásától függ: u1(t=0)=Umsinα1. Az u(t) feszültség esetében a pozitív nulla-átmenet pillanatának meghatározása: u(t)=0, ha sin(ωt+α1)=0, vagyis ωt+α1=0, vagyis ωt=-α1. Ha egyetlen jelet vizsgálunk, akkor a t=0 időpont megválasztásának állandósult állapotban nincs jelentősége. Több vizsgált jel esetén t=0-t célszerű ahhoz a jelhez illeszteni, amelyikhez a többi jel helyzetét viszonyítják (referencia jel). Legyen u1(t) a referencia (az ábrán t'=0), akkor α2=α1-ϕ12, α3=α1+ϕ13. Behelyettesítve a feszültségek képletébe: u1(t)=Umsin(ωt+α1), u2(t)=Umsin(ωt+α1-ϕ12), u3(t)=Umsin(ωt+α1+ϕ13). A t=0 időpontot α1=0 választással jelöljük ki (az ábrán szaggatott vonallal rajzolt függőleges tengely), így u1(t)=Umsinωt, u2(t)=Umsin(ωt-ϕ12), u3(t)=Umsin(ωt+ϕ13).

9


2014

u2 szöghelyzete u1-hez viszonyítva: ϕ12=α2-α1<0, u2 késik u1-hez képest (később van pozitív nulla-átmenete), u3 szöghelyzete u1-hez viszonyítva: ϕ13=α3-α1>0, u3 siet u1-hez képest. Az időtengely jobb felé mutat, a korábbi időpontok balra, a későbbiek jobbra esnek. Egy esemény (pl. nulla-átmenet) annál inkább jobbra kerül az időtengelyen, minél később következik be. A feszültséghez hasonlóan írható le és ábrázolható más szinuszos mennyiség is, pl. az áram: i(t)=Imsin(ωt+ϕi). Az áram szöghelyzetét a saját fázisfeszültségéhez képest szokták felírni. Ha u(t)=Umsin(ωt+ϕu), akkor az áram ϕ szöghelyzete a feszültségéhez képest: ϕ = ϕi – ϕu, azaz: i(t)=Imsin(ωt+ϕu+ϕ). Amennyiben a feszültség a referencia, akkor ϕu=0, ϕ <0-nál az áram késik, ϕ >0 esetén az áram siet a feszültséghez képest. A váltakozó mennyiségek jellemzői A független változó megválasztásának lehetősége Az u(t)=Umsin(ωt+ϕ) alak használatakor a független változó az idő, így differenciálásnál az ω körfrekvencia szorzóként, integráláskor osztóként szerepel: du(t ) U = U mω cos(ω t + ϕ ) és ∫ u(t )dt = − m cos(ω t + ϕ ) . ω dt Az u(ωt)=Umsin(ωt+ϕ) változatban a független változó a szög, differenciálásnál nincs szorzó, integráláskor nincs osztó: du(ω t ) = U m cos(ω t + ϕ ) és ∫ u(ω t )dω t = −U m cos(ω t + ϕ ) . dω t Megjegyzés Az indukált feszültséget – a definíció szerint – idő szerinti deriválással kell d számítani: ui = ψ (t ) . dt Fontosabb definíciók Pillanatérték: a váltakozó mennyiség nagysága a független változó adott értékénél (adott időpillanatban, adott szögértéknél), mérése regisztráló műszerrel (pl. oszcilloszkóp) lehetséges. Jelölése kisbetűvel, pl. feszültség esetén: u, u(t) , u(ωt). A pillanatérték tetszőleges függvénynél értelmezhető. Fázisszög (fázis, fázishelyzet): trigonometrikus függvény esetén a radiánban vagy fokban kifejezett szög érték, időben változik. Jelölése pl. ϕ =ωt. Kezdeti fázisszög (fáziseltolás): trigonometrikus függvény esetén radiánban vagy fokban kifejezett szög érték a t=0 referencia időpontban, konstans érték. Jelölése pl. ϕ0. Csúcsérték, amplitúdó, maximális érték: a periódusidő alatt elért legnagyobb (vagy legkisebb) pillanatérték. jelölése pl. feszültség esetén: U$ , Um, Umax. A maximális érték tetszőleges periodikus függvénynél értelmezhető. Effektív érték: áram esetén egyszerű az értelmezése, annak az egyenértékű egyenáramnak a nagysága, amelyik egy adott R ellenálláson ugyanakkora veszteségi energiát termel, mint valamilyen váltakozó áram egy periódus alatt. Az effektív érték tetszőleges periodikus függvénynél értelmezhető. Egy R ellenálláson I egyenáram esetén a dt idő alatti veszteség dW=I2Rdt, ennek a T periódusidőre (az összehasonlításban szereplő váltakozó áram periódusidejére) számított integrálja W=I2RT. 10

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye A veszteség váltakozó áram esetén dt idő alatt: T

dW=i(t)2Rdt, aminek a T periódusidőre számított integrálja W = R ∫ i(t ) dt , ez a definíció 2

0

2

szerint meg kell egyezzen az egyenáram esetén kapott W=I RT értékkel, T

W = R ∫ i(t ) dt = I 2 RT , 2

0

így az I egyenértékű egyenáram, vagyis a váltakozó áram effektív értéke: T

I = I eff

1 2 = i(t ) dt . ∫ T 0

Az effektív érték jelölése pl. feszültség esetén: U, Ueff. Egyenáramú mennyiségeknél a pillanatérték, a maximális- és az effektív érték megegyezik: u(t)=Ueff=Umax. Szinusz függvény szerint változó mennyiség effektív értéke, ha i(t)=Imsinωt: T T T T 1 1 2 1 I m2 1 − cos 2ω t I m2  t 2  2 2 − I eff = ∫ i(t ) dt = ∫ I m sin ω tdt = dt = sin 2ω t  = 2 T 0 T 0 T ∫0 T  2 4ω 0 I2 = m T

T

1 t I m2 t − sin 4 π = .  2 4ω T  0 2 I eff = I =

Im = 0,707Im. 2

Példa U=Ueff=230 V ⇒ Umax= 325,27 V, U=Ueff=400 V ⇒ Umax= 565,68 V. Csúcstényező: a váltakozó mennyiség csúcsértékének és effektív értékének a viszonya, hányadosa, például feszültségre U k cs = m . U eff Egyenáramú mennyiségeknél kcs=1, szinuszosan váltakozó mennyiségeknél k cs = 2 . A különböző váltakozó áramú villamos készülékek, berendezések névleges adataiként rendszerint az effektív értékeket adják meg, mérésnél is általában az effektív értékeket határozzák meg. Szigetelés szempontjából viszont a feszültség csúcsértéke a mérvadó, elektronikus eszközöknél (pl. erősítők) a bemenetre előírt korlát a pillanatértékre vonatkozik, tehát periodikus jel esetén szintén a csúcsérték. Az indukált feszültség effektív értékének számítása A p-pólusú gépben indukált forgási feszültségre kapott ui=pNΩΦmsinpΩ t összefüggésben n2π Ω= , ahol n – a percenkénti fordulatok száma. 60 n 2π n2π Ω fenti behelyettesítésével: ui (t ) = pN Φ m sin p t = U m sin ω t . 60 60 n2π Az amplitúdó: U m = pN Φ m , az effektív érték ennek 2 -ed része: 60 n 2π U eff = pN Φ m = 4,44 NfΦ m , 260 11


2014

pn 2π és = 2π = 4 ,44 . 60 2 A transzformátoros indukált feszültségre kapott ui=NωΦmsinωt összefüggésben az amplitúdó: Um=NωΦm, az effektív érték pedig: 2π f U eff = N Φ m = 4,44 NfΦ m , 2 ami megegyezik a forgási indukált feszültségre kapott értékkel. Példa N=100, f=50 Hz, Φm=10-3 Vs ⇒ Ueff=22,2 V (Um=31,39 V). mivel a frekvencia f =

Szinusz függvény szerint váltakozó feszültségről táplált egyszerű áramkörök számítása Előjel konvenciók Általában az ún. fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a ϕ fázisszög az áram helyzete a feszültség szinusz hullámához képest, - a fogyasztott P hatásos teljesítmény pozitív, a termelt negatív, - az induktív fogyasztó Q meddő teljesítménye pozitív, a kapacitívé negatív. 1. Ohmos ellenállás Váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás i(t)R feszültségesése minden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) hálózati (táp)feszültséggel. u(t)-i(t)R=0 ⇒ u(t)=i(t)R Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt (a kezdeti fázisszög ϕu=0), akkor az előző egyenletből: u(t ) U m U i(t ) = = sin ω t = I m sin ω t , itt I m = m . R R R i(t)

u(t)

∼

R

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt R ellenállás áramköri vázlata Ohmos ellenálláson az áram fázisban van a feszültséggel, ϕi=ϕu, így ϕ=0. U U Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff = eff , vagy I = . R R Az ellenállás teljesítményének pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin ω t ⋅ I m sin ω t = U m I m sin 2 ω t = U I U I cos 2ω t U m I m = m m− m m = (1 − cos 2ω t ) . 2

2

2

12


p(t) u(t) i(t) wt

Az ellenállás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye A teljesítmény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint leng, lüktet. Előjele mindig pozitív, tehát az energiaáramlás iránya minden pillanatban azonos. U m Im U2 A teljesítmény középértéke: P = = U eff I eff = UI = = I2R . 2 R Az ellenállás teljesítménye hatásos teljesítmény, SI mértékegysége [P]=W=watt. Példa Egy R nagyságú ellenállást u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram és a teljesítmény? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s i(t ) = 2 ⋅ 2,3 sin(314t ) = 3,2527 sin(314t ) A, I=2,3 A, p(t)=230⋅2,3(1-cos 2⋅314t)=529(1-cos 628t), P=529 W.

2. Induktivitás Ideális (ellenállás mentes) induktivitásra (tekercsre) kapcsolt u(t) váltakozó feszültség hatására folyó i(t) áram váltakozó mágneses teret hoz létre. A váltakozó mágneses tér az induktivitáson önindukciós feszültséget indukál. Ez a feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel. i(t)

u(t)

∼

L

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt L induktivitás áramköri vázlata u(t ) − L

di(t ) di(t ) = 0 ⇒ u(t ) = L . dt dt

13


2014

Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt (a kezdeti fázisszög ϕu=0), akkor az előző egyenletből: U U π U  i(t ) = m ∫ sin ω tdt = − m cos ω t = − I m cos ω t = I m sin  ω t −  , itt I m = m .  2 L Lω Lω π Az áram 90°-os fáziskéséssel követi a feszültséget ϕ i = ϕ = − . 2 U U Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff = eff , vagy I = . Lω Lω XL

f

Az induktív reaktancia frekvencia-függése A kapott képletben ωL=XL – a váltakozó áramú induktív ellenállás (induktív reaktancia), aminek SI mértékegysége [XL]=Ω=ohm. Az induktív reaktancia XL =ωL=2πfL arányos a frekvenciával és az induktivitással. A tekercsben a mágneses tér változása miatt indukálódó feszültséget az áramkörben az induktív ellenálláson eső feszültség helyettesíti, uL=iXL, vagy UL=IXL. Az induktivitás teljesítményének pillanatértéke: sin 2ω t p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = −U m sin ω t ⋅ I m cos ω t = −U m I m 2 kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik.

u(t) i(t)

p(t)

wt

Az induktivitás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye A tekercsben negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felhalmozódó energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáramlik a tápforrásba. A tekercsben energia nem 14

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye használódik fel, munkát nem végez, ezért ezt a teljesítményt meddő teljesítménynek nevezik és a maximális (csúcs) értékével jellemzik. Az ún. fogyasztói pozitív irányok mellett az induktivitás meddő teljesítménye pozitív előjelű: U m Im U2 QL = = U eff I eff = UI = = I 2 X L , SI mértékegysége [Q]=var=voltamper reaktív. XL 2 A meddő teljesítmény fenti értelmezése csak szinuszos táplálás esetén igaz. Nemszinuszos vagy többhullámú táplálásnál járulékos veszteségek jelennek meg, ezeket gyakran a meddővel összevonják, pl. impulzus-szerű táplálásnál. Példa Egy L nagyságú induktivitást (tekercset) u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram és a teljesítmény? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, L=10,36 mH, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅10,36⋅10-3=3,25304 Ω, i(t)=100sin(314t-π/2), Ieff=70,71 A, 325,27 ⋅ 100 p(t ) = − sin(628t ) = −16263,5 sin(628t ) , Q=16,263 kvar. 2

3. Kapacitás Egy kondenzátorban a tárolt töltés minden pillanatban arányos a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)=Cu(t). Ha a feszültség változik, változik a tárolt töltés és a töltés változásának megfelelő áram folyik az elektródokhoz (vezetési áram), illetve a dielektrikumon át (eltolási áram) dq(t ) du(t ) i(t ) = =C . dt dt i(t)

u(t)

∼

C

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt C kapacitás áramköri vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt (a kezdeti fázisszög ϕu=0), akkor az előző egyenletből: du(t ) d π π   i(t ) = C = CU m sin ω t = Cω U m cos ω t = Cω U m sin ω t +  = I m sin ω t +  ,    dt dt 2 2 U U itt I m = Cω U m = m = m . 1 XC ωC π Az áram fázisban 90°-kal siet a feszültséghez képest ϕ i = ϕ = . 2 U eff U Az áram és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: I eff = , vagy I = . XC XC

15


2014 XC

f

A kapacitív reaktancia frekvencia-függése 1 = X C a váltakozó áramú kapacitív ellenállás (kapacitív ωC reaktancia), aminek SI mértékegysége [XC]=Ω=ohm. 1 1 = fordítottan arányos a frekvenciával és a kapaciA kapacitív reaktancia X C = ω C 2π f C tással. A villamos térben létrejövő potenciál-különbséget az áramkörben a kapacitív ellenállásra eső feszültség helyettesíti. A kapacitás teljesítményének pillanatértéke: sin 2ω t p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin ω t ⋅ I m cos ω t = U m I m 2 kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik. A kondenzátorban az áram által szállított töltések építik fel a villamos teret. A negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felépülő villamos tér a következő negyed periódus alatt lebomlik (negatív szakasz). A kondenzátorban energia nem használódik fel, munkát nem végez, ezért ezt a teljesítményt meddő teljesítménynek nevezik és a maximális (csúcs) értékével jellemzik, amit Q-val jelölnek. A kapott képletben szereplő

u(t)

p(t)

i(t)

wt

A kapacitás feszültségének, áramának és teljesítményének időfüggvénye Az ún. fogyasztói pozitív irányok mellett a kapacitív meddő teljesítmény negatív előjelű: U I U2 QC = − m m = −U eff I eff = −UI = = −I 2 XC . 2 XC

16


Példa Egy C nagyságú kapacitást (kondenzátort) u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram és a teljesítmény? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, C=318,5 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XC=1/(ωC)=1/(314⋅318,5⋅10-6)=10 Ω, i(t)=32,52sin(314t+π/2), Ieff=23 A, 325,27 ⋅ 32,52 p(t ) = sin(628t ) = 5289 sin(628t ) , Q=-5,289 kvar. 2

4. Soros R-L kör Ebben az áramkörben az ellenállás feszültségesése és a vele sorosan kapcsolt induktivitás önindukciós feszültsége minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: di(t ) di(t ) u(t ) − uR (t ) − uL (t ) = u(t ) − i(t )R − L = 0 ⇒ u(t ) = i(t )R + L . dt dt R i(t) XL=ωL

u(t)

∼

uR(t)

uL(t)

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-L kör vázlata A soros áramkör elemein azonos az áram, ha szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt (ϕi=0), akkor az előző egyenletből: u(t)=ImRsinωt+ImωLcosωt=Im(Rsinωt+ωLcosωt)=ImZsin(ωt+ϕu)=Umsin(ωt+ϕu), Z – az összetett áramkör eredő látszólagos váltakozó áramú ellenállása, impedanciája, aminek SI mértékegysége [Z]=Ω ohm, U U Um=ImZ vagy Z = m = . Im I

Z=

R 2 + X L2 XL=ωL

ϕu R Az R ellenállás, az XL impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása A feszültség egyenlet alapján Rsinωt+ωLcosωt=Rsinωt+XLcosωt=Zsin(ωt+ϕu).

17


2014

Z meghatározásához helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/2 értéket: ωt=0 esetén XL= Zsinϕu, ωt=π/2 esetén R= Zsin(π/2+ϕu)= Zcosϕu. X X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: L = tgϕ u , ϕ u = arctg L (ϕu mindig pozitív, hiszen R R az eredő feszültség az induktivitás miatt siet az áramhoz képest). A két egyenlet négyzetének összegéből: R2+XL2= Z2, vagy Z =

R 2 + X L2 .

Az ohmos-induktív áramkörben az u(t) feszültség ϕu szöggel siet az i(t) áramhoz képest. Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, az áram késik a feszültX séghez képest (a fázisszög negatív), ϕ = −arctg L . R Ezzel R= Zcosϕ és XL= Zsin(-ϕ). u(t) uR(t)

uL(t)

i(t)

wt

Soros R-L kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye Amennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: U i(t ) = m sin(ω t + ϕ ) , (itt az induktivitás miatt ϕ<0). Z

u(t)=Umsinωt

p(t) pR(t)

wt pL(t)

i(t)

Soros R-L kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye

18

(ϕu=0),

akkor

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m sin(ω t + ϕ u )I m sin ω t = I m ( R sin ω t + X L cos ω t )I m sin ω t 1 − cos 2ω t sin 2ω t = I m2 R sin 2 ω t + I m2 X L cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R + I m2 X L . 2 2 A p(t) teljesítménynek van egy I2R középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint lengő pR(t) és egy kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változó pL(t) összetevője. A teljesítmény középértékének különböző alakjai: I2R R R P = m = I eff2 R = I 2 R = UI = UI = UI cos ϕ , 2 Z 2 R + X L2 míg a meddő teljesítmény: I m2 X L X Q= = I eff2 X L = I 2 X L = UI L = UI 2 Z

XL 2

R + X L2

= UI sin(−ϕ ) , (itt ϕ<0).

S Q

ϕu P A P hatásos, a Q meddő és az S látszólagos teljesítmény összefüggésének illusztrálása Mind a munkát (pl. hőfejlesztést, mechanikai elmozdulást) végző hatásos teljesítmény, mind a meddő teljesítmény kisebb az egyenáramú körben számított UI szorzatnál, amely szorzatot látszólagos teljesítménynek nevezik és S-el jelölik: S=UeffIeff=UI, SI mértékegysége [S]=VA=voltamper. A hatásos, a meddő és a látszólagos teljesítmény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scosϕ, Q=Ssin(-ϕ), illetve P2+Q2=S2. A hatásos és a látszólagos teljesítmény közötti szorzót teljesítmény tényezőnek nevezik és P rendszerint ε-al vagy PF-el (=Power Factor) jelölik PF = , P=S⋅PF. S Szinusz függvény szerint változó, csak szinusz függvény szerint változó feszültség és áram esetén a teljesítménytényező PF=cosϕ, így P=S⋅cosϕ. A villamos és az elektromechanikai eszközök, berendezések (pl. villamos forgógépek) modellezésénél a helyettesítő áramkörökben a hatásos teljesítményt (mechanikai teljesítmény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb.) egyenértékű ohmos veszteségi teljesítménnyel képezik le, megfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával. A fogyasztott hatásos teljesítmény a hővé vagy más fajta energiává alakuló teljesítmény középértéke, ami a tápforrásba nem tér vissza. Példa Egy R nagyságú ellenállásból és L nagyságú induktivitásból álló soros áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, f=50 Hz. 19


2014

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, Z = 100 2 + 62,8 2 = 118,084 Ω, ϕ=-arctg(62,8/100)=-0,56(rad)=-32,13° (induktív), cosϕ=0,847, sinϕ=-0,532, i(t)=(325,27/118,084)sin(314t-0,56)=2,754sin(314t-0,56) A, Ieff=1,947 A, UR=1,947⋅100=194,7 V, UL=1,947⋅62,8=122,27 V, 1 − cos(628t ) sin(628t ) p(t ) = 2,754 2 ⋅ 100 + 2,754 2 ⋅ 62,8 = 2 2 1 − cos(628t ) sin(628t ) = 758 ,45 + 476 ,3 , 2 2 P=379,225 W, Q=238,15 var, S=447,81 VA. 5. Soros R-C kör A soros R-L körhöz hasonlóan számítható. i(t) X C =

R

u(t)

∼

uR(t)

1 ωC

uC(t)

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-C kör vázlata Az ellenállás feszültségesése és a kondenzátoron az áram (töltésváltozás) okozta feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: 1 1 u(t ) − uR (t ) − uC (t ) = u(t ) − i(t )R − ∫ idt = 0 ⇒ u(t ) = i(t )R + ∫ idt . C C u(t)

uC(t)

uR(t) i(t)

wt

Soros R-C kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye Ha az áram szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből:

20

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Im cos ω t = I m Z sin(ω t + ϕ u ) = U m sin(ω t + ϕ u ) , ωC Z – az összetett áramkör eredő látszólagos váltakozó áamú ellenállása, impedanciája, U U [Z]=Ω ohm, Um=ImZ vagy Z = m = . Im I A feszültség egyenlet alapján 1 R sin ω t − cos ω t = R sin ω t − X C cos ω t = Z sin(ω t + ϕ u ) . ωC Z meghatározásához helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/2 értéket: ωt=0 esetén -XC= Zsinϕu, ωt=π/2 esetén R= Zsin(π/2+ϕu)= Zcosϕu. X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: − C = tgϕ u , vagy másképpen: R X  − XC  ϕ u = arctg   = − arctg C (ϕu mindig negatív, hiszen az eredő feszültség a kapacitás  R  R miatt késik az áramhoz képest). u(t ) = I m R sin ω t −

A két egyenlet négyzetének összegéből: R2+XC2= Z2, vagy Z =

R 2 + X C2 .

R

ϕu -XC=-1/ωC Z=

R 2 + X C2

Az R ellenállás, az XC impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohmos-kapacitív áramkörben az u(t) feszültség ϕu szöggel késik az i(t) áramhoz képest. Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, az áram siet a feszültX séghez képest (a fázisszög pozitív), ϕ = arctg C . R Amennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t)=Umsinωt (ϕu=0), akkor U i(t ) = m sin(ω t + ϕ ) , (itt a kapacitás miatt ϕ>0). Z A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m ( R sin ω t − X C cos ω t )I m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = I m2 R sin 2 ω t − I m2 X C cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R − I m2 X C . 2 2 A p(t) teljesítménynek van egy I2R középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint lengő pR(t) és egy kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változó pC(t) összetevője. Az ellenállás teljesítményének középértéke a soros R-L körhöz hasonlóan:

21


2014

I m2 R R = I eff2 R = I 2 R = UI = UI Z 2

R

= UI cos ϕ , R + X C2 míg a meddő teljesítmény különböző alakjai: I m2 X C X XC Q=− = − I eff2 X C = − I 2 X C = −UI C = −UI = −UI sin ϕ , (ϕ>0). 2 Z 2 R + X C2 P=

2

p(t) pR(t)

wt i(t)

pC(t)

Soros R-C kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye Példa Egy R nagyságú ellenállásból és C nagyságú kapacitásból álló soros áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, Z = 100 2 + 31,84 2 = 104,9 Ω, ϕ=arctg(31,84/100)=0,31(rad)=17,66° (kapacitív), cosϕ=0,953, sinϕ=0,303, i(t) =(325,27/104,9)sin(314t+0,31)=3,1sin(314t+0,31) A, Ieff=2,19 A, UR=2,19⋅100=219 V, UC=2,19⋅31,84=69,73 V, 1 − cos(628t ) sin(628t ) p(t ) = 31 , 2 ⋅ 100 − 31 , 2 ⋅ 31,84 = 2 2 sin(628t ) 1 − cos(628t ) = 961 − 305,98 , 2 2 P=480,5 W, Q=-153 var, S=503,7 VA.

6. Soros R-L-C kör A soros R-L és R-C körhöz hasonlóan számítható. Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kondenzátoron az áram (töltésváltozás) okozta feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: R

u(t)

i(t)

∼

22

XL

XC

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros R-L-C kör vázlata u( t ) − u R (t ) − uL (t ) − uC (t ) = u(t ) − i(t ) R − L

di(t ) 1 − ∫ idt = 0 , ebből dt C

di(t ) 1 + ∫ idt . dt C Ha az áram szinusz függvény szerint változik, i(t)=Imsinωt, ϕi=0, akkor az előző egyenletből:    I I  u(t ) = I m R sin ω t + I mω L cos ω t − m cos ω t = I m  R sin ω t +  ω L − m  cos ω t  ωC ω C    = I m R sin ω t + ( X L − X C ) cos ω t = I m ( R sin ω t − X cos ω t ) = u(t ) = i(t )R + L

[

]

=ImZsin(ωt+ϕu)=Umsin(ωt+ϕu), itt ϕu – az eredő feszültség fázishelyzete a áramhoz képest, 1 X =ω L− = X L − X C - az eredő reaktancia. ωC

Z=

R2 + X 2 X=XL- XC

ϕu R Az R ellenállás, az X impedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az előzőekhez hasonlóan az eredő impedancia: Z2=R2+X2, illetve Z =

R2 + X 2 , X − XC X − XC X X és a fázisszög tgϕ u = L = , vagy ϕ u = arctg L = arctg . R R R R uL(t) u(t)

uC(t) uR(t)

i(t)

wt

23


2014

Soros R-L-C kör áramának és feszültségeinek időfüggvénye Mivel ϕi=0, az áram fázisszöge a feszültséghez képest ϕ=ϕi-ϕu=-ϕu, i(t)=Imsin(ωt+ϕ), 1 ϕ < 0, ha X > 0, azaz ω L > – az eredő áram késik a feszültséghez képest (R-L jellegű), ωC 1 ϕ = 0, ha X = 0, azaz ω L = – az eredő áram fázisban van a feszültséggel (R jellegű), ωC 1 ϕ > 0, ha X < 0, azaz ω L < – az eredő áram siet a feszültséghez képest (R-C jellegű). ωC A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = I m R sin ω t + ( X L − X C ) cos ω t I m sin ω t =

[

]

= I m2 R sin 2 ω t + I m2 X cos ω t ⋅ sin ω t = I m2 R

1 − cos 2ω t sin 2ω t + I m2 X . 2 2

p(t) pR(t)

wt pC(t)

pL(t) i(t)

Soros R-L-C kör áramának és teljesítményeinek időfüggvénye Részletezve:

1 − cos 2ω t , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = I m2 X L , 2 sin 2ω t a kapacitás teljesítménye: pC (t ) = − I m2 X C . 2 A pR(t) hatásos teljesítmény minden pillanatban pozitív, középértéke P=I2R. pL(t) és pC(t) egyformán kétszeres frekvenciával, de ellenfázisban leng, középértékük zérus, eredőjüket a kettő előjeles összegével számíthatjuk: sin 2ω t q(t ) = p L (t ) + pC (t ) = I m2 ( X L − X C ) . 2 I2 Az eredő meddő teljesítmény: Q = m ( X L − X C ) = I 2 ( X L − X C ) = I 2 X . 2 A meddő teljesítmény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a másik részét az áramkör a táphálózatból veszi fel és oda juttatja vissza. az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = I m2 R

24

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Példa Egy R nagyságú ellenállásból, L nagyságú induktivitásból és C nagyságú kapacitásból álló soros áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, X= XL-XC=30,96 Ω, Z = 100 2 + 30 ,96 2 = 104,68 Ω, ϕ=arctg(-30,96/100)=-0,3 (rad) =-17,2° induktív, cosϕ=0,955, sinϕ=0,295, i(t) =(325,27/104,68)sin(314t-0,3)=3,107sin(314t-0,3) A, Ieff=2,197 A, UR=2,197⋅100=219,7 V, UL=2,197⋅62,8=137,97 V, UC=2,197⋅31,84=69,95 V, 1 − cos(628t ) sin(628t ) sin(628t ) p(t ) = 3107 , 2 ⋅ 100 + 3107 , 2 ⋅ 62 ,8 = −3107 , 2 ⋅ 31,84 = 2 2 2 1 − cos(628t ) sin(628t ) sin(628t ) = 965 + 606,23 − 307,37 , 2 2 2 P=482,5 W, QL=303,1 var, QC=-153,68 var, Q=149,42 var, S=505,31 VA.

A soros rezonancia Induktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás mágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrosztatikus energiájává (vagy annak egy részévé). Amennyiben az induktivitás és a kapacitás energiájának maximuma megegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkora energia halmozódik fel, mint a kapacitásban, akkor ez a két áramköri elem ellátja egymást energiával és az R-L-C áramkör a táphálózatból nem vesz fel meddő teljesítményt és nem is ad oda le. Ez a rezonancia jelensége. A rezonanciára méretezett áramkört rezgőkörnek nevezik. Soros áramkörben soros (vagy feszültség-) rezonanciáról és soros rezgőkörről beszélünk. 1 Jelen áramkörben a rezonancia feltétele: X L = ω L = = XC . ωC Így az eredő impedancia: Z=R (mivel XL-XC=0), ezért az áram és a feszültség fázisban van, a tápforrásból csak hatásos teljesítmény felvétel van, nincs meddő teljesítmény felvétel és a tápforrás felé nincs meddő teljesítmény leadás. Az induktivitás (a mágneses tér) energiája teljes egészében átalakul a kapacitás (villamos tér) energiájává és fordítva. Az induktivitáson és a kapacitáson eső feszültség minden pillanatban megegyezik egymással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így rövidzárként viselkedik. A pillanatértékekre: uL(t)=i(t)XL=-i(t)XC=uC(t) ezért uL(t)+uC(t)=0, illetve pL(t)=i(t)uL(t) =-i(t)uC(t)=-pC(t), pL(t)+pC(t)=0. XL

XC

f f0

A rezonancia frekvencia értelmezése

25


2014

A reaktanciák frekvencia-függése miatt a rezonancia jelenség – adott L induktivitás és C kapacitás esetén – csak egyetlen frekvencián, az ún. rezonancia frekvencián (vagy a rezonancia körfrekvencián) alakul ki, aminek jelölése fr, f0 vagy fs (illetve ωr, ω0 vagy ωs). Számításuk a reaktanciák egyezése alapján történik: 1 1 1 1 ω 0L = , amiből ω 20 = vagy ω 0 = és f 0 = . ω 0C LC 2π LC LC Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a rezonancia frekvencia csökken. Minél alacsonyabb a szükséges rezonancia frekvencia, annál nagyobb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani. Példa Egy soros R-L-C áramkörben R=100 Ω, L=200 mH, C=100 µF. 1 1 1 f0 = = 35,588 Hz, ω 0 = = = 223,6 1/s. LC 2π 200 ⋅ 10 −3 ⋅ 100 ⋅ 10 −6 200 ⋅ 10 −3 ⋅ 100 ⋅ 10 −6 7. Párhuzamos R-L kör A feszültség a két áramköri elemen azonos, így u(t ) = iR (t )R = L

diL (t ) , dt

i(t)

u(t)

∼

iR(t)

iL(t) R

XL

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-L kör vázlata az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+iL(t), u(t ) 1 i(t ) = + ∫ u(t )dt . R L Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt (ϕu=0), akkor az előző egyenletből: U U i(t ) = m sin ω t − m cos ω t = U m (G sin ω t − BL cos ω t ) = R ωL = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .

Itt ϕ=ϕi – a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a tápfeszültséghez képest, 1 G= – az ellenállás vezetése (konduktancia), R 1 1 BL = = – az induktívitás váltakozó áramú vezetése (induktív szuszceptancia), SI ω L XL mértékegysége [BL]=S=Siemens, Y – az összetett áramkör eredő látszólagos váltakozó áramú vezetése, admittanciája, aminek SI mértékegysége [Y]=S=Siemens.

26

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye u(t) i(t) iR(t)

iL(t)

wt

Párhuzamos R-L kör feszültségének és áramainak időfüggvénye Az áram egyenletből: Gsinωt-BLcosωt=Ysin(ωt+ϕ). Y meghatározásához helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/2 értéket: ωt=0 esetén -BL= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. G

ϕ - BL Y = G 2 + BL2

A G konduktancia, a BL szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása − BL = tgϕ , ebből G 1 −  R  −B ωL ϕ = arctg L = arctg = arctg  − , 1 G  ω L R

Az utóbbi két egyenlet hányadosából:

a két egyenlet négyzetének összegéből: GL2+B2= Y2, vagy Y = G 2 + BL2 . A párhuzamos R-L kör fázisszöge negatív, az eredő áram ϕ szöggel késik a feszültséghez képest. 1 1 Az induktív szuszceptancia BL = = fordítottan arányos a frekvenciával és az inω L 2π fL duktivitással.

27


2014 BL

f

Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t − BL cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t − U m2 BL cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G − U m2 BL . 2 2 p(t)

u(t)

pR(t)

wt pL(t)

Párhuzamos R-L kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye Részletezve:

1 − cos 2ω t , 2 sin 2ω t . az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = −U m2 BL 2 A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U 2 G U eff U P= m = = = UI cos ϕ , 2 R R a meddő teljesítmény: U eff2 U2B U2 Q= m L = = = UI sin(−ϕ ) . 2 XL XL Példa Egy R nagyságú ellenállásból és L nagyságú induktivitásból álló párhuzamos áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög?

az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G

28

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, G=0,01 S, BL=0,0159 S, Y = 0,012 + 0 ,01592 = 0 ,0188 S, Z=53,28 Ω, ϕ=arctg(-0,0159 /0,01)=-1,01 (rad)=-57,83° (induktív), cosϕ=0,532, sinϕ=-0,846, i(t)=(325,27⋅0,0188)sin(314t-1,01)=6,115sin(314t-1,01) A, Ieff=4,32 A, IR=230⋅0,01=2,3 A, IL=230⋅0,0159=3,657 A, 1 − cos(628t ) sin(628t ) p(t ) = 325,27 2 ⋅ 0,01 − 325,27 2 ⋅ 0,0159 = 2 2 1 − cos(628t ) sin(628t ) = 1058 − 1682,23 , 2 2 P=529 W, Q=841,115 var, S=993,6 VA. 8. Párhuzamos R-C kör A feszültség a két áramköri elemen azonos, így u(t ) = iR (t )R =

1 iC (t )dt , C∫

i(t)

u(t)

∼

iR(t)

iC(t) R

XC

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-C kör vázlata az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+ iC(t), vagy u(t ) 1 du(t ) i(t ) = + ∫ u(t )dt + C . R L dt u(t)

i(t)

iR(t) iL(t) wt

Párhuzamos R-C kör feszültségének és áramainak időfüggvénye

29


2014

Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt (ϕu=0), akkor az előző egyenletből: U i(t ) = m sin ω t + U m Cω cos ω t = U m (G sin ω t + BC cos ω t ) = R = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .

Itt ϕ=ϕi – a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest, BC=ωC – a kapacitás váltakozó áramú vezetése, a kapacitív szuszceptancia.

Y = G 2 + BC2

BC

ϕ G A G konduktancia, a BC szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása Az áram egyenletből: Gsinωt+BCcosωt=Ysin(ωt+ϕ). Y meghatározásához helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/2 értéket: ωt=0 esetén BC= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ. B Az utóbbi két egyenlet hányadosából: C = tgϕ , amiből G BC ωC ϕ = arctg = arctg = arctgRωC , 1 G R a két egyenlet négyzetének összegéből: GC2+B2= Y2, vagy Y = G 2 + BC2 . A párhuzamos R-C kör fázisszöge pozitív, az eredő i(t) áram ϕ szöggel siet az u(t) feszültséghez képest. A kapacitív szuszceptancia arányos a frekvenciával és a kapacitással. BC

f

A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t + BC cos ω t )U m sin ω t =

30

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye 1 − cos 2ω t sin 2ω t + U m2 BC , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G , 2 sin 2ω t az induktivitás teljesítménye: pC (t ) = U m2 BC . 2 A teljesítmény középértékének különböző alakjai: U 2 G U eff U P= m = = = UI cos ϕ = S cos ϕ , R R 2 a meddő teljesítmény: U eff2 U2B U2 Q=− m C =− =− = UI sin(−ϕ ) = S sin(−ϕ ) . 2 XL XL = U m2 G sin 2 ω t + U m2 BC cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G

u(t)

p(t)

pR(t)

pC(t) wt

Párhuzamos R-C kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye Példa Egy R nagyságú ellenállásból és C nagyságú kapacitásból álló párhuzamos áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, G=0,01 S, BC=0,0314 S, Y = 0,012 + 0,0314 2 = 0,03295 S, Z=30,395 Ω, ϕ=arctg(0,0314/0,01)=1,26 (rad)=72,33° (kapacitív), cosϕ=0,303, sinϕ=0,953, i(t) =(325,27⋅0,03295)sin(314t+1,26)=10,717sin(314t+1,26) A, Ieff=7,578 A, IR=230⋅0,01=2,3 A, IC=230⋅0,0314=7,222 A, 1 − cos(628t ) sin(628t ) p(t ) = 325,27 2 ⋅ 0,01 + 325,27 2 ⋅ 0.0314 = 2 2 1 − cos(628t ) sin(628t ) = 1058 − 3322 , 2 2 P=529 W, Q=-1661 var, S=1742,94 VA.

31


2014

9. Párhuzamos R-L-C kör A feszültség mindhárom elemen azonos

diL (t ) 1 = ∫ iC (t )dt , dt C az áramok összeadódnak a csomóponti törvény szerint i(t)=iR(t)+iL(t)+iC(t) vagy u(t ) 1 du(t ) i(t ) = + ∫ u(t )dt + C . R L dt u(t ) = iR (t )R = L

i(t)

u(t)

∼

iR(t)

iL(t) R

iC(t) XL

XC

Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzamos R-L-C kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)=Umsinωt, ϕu=0, akkor az előző egyenletből:  U U U 1  i(t ) = m sin ω t − m cos ω t + U m Cω cos ω t = m sin ω t + U m  Cω −  cos ω t = R ωL R ω L  = U m (G sin ω t + B cos ω t ) = U mY sin(ω t + ϕ ) = I m sin(ω t + ϕ ) .

Itt ϕ – a fázisszög, az eredő áram fázishelyzete a feszültséghez képest, 1 B=ω C− = BC − BL - az eredő szuszceptancia. ωL Az áramegyenletből Gsinωt+Bcosωt=Ysin(ωt+ϕ), ωt=0 esetén B= Ysinϕ, ωt=π/2 esetén G= Ysin(π/2+ϕu)= Ycosϕ.

Y = G 2 + BC2

B= BC- BL

ϕ G A G konduktancia, a B szuszceptancia és az Y admittancia összefüggésének illusztrálása Az utóbbi két egyenlet hányadosából:

B = tgϕ , ebből G

32


ϕ = arctg

B = arctg G

ω C− 1 R

1 ωL

= arctgR

ω 2 LC − 1 , ωL

a két egyenlet négyzetének összegéből: G2+B2= Y2, vagy Y = G 2 + B 2 . Mivel ϕu=0, az áram ϕi fázisszöge a feszültséghez képest 1 ϕ > 0, ha B > 0, azaz ω C > – az eredő áram siet a feszültséghez képest (R-C jellegű), ωL 1 ϕ = 0, ha B = 0, azaz ω C = – az eredő áram fázisban van a feszültséggel (R jellegű), ωL 1 ϕ < 0, ha B < 0, azaz ω C < – az eredő áram késik a feszültséghez képest (R-L jellegű). ωL u(t) iR(t)

iL(t)

i(t) wt

iC(t)

Párhuzamos R-L-C kör feszültségének és áramainak időfüggvénye A teljesítmény pillanatértéke: p(t ) = u(t ) ⋅ i(t ) = U m (G sin ω t + B cos ω t )U m sin ω t = 1 − cos 2ω t sin 2ω t = U m2 G sin 2 ω t + U m2 B cos ω t ⋅ sin ω t = U m2 G + U m2 B , részletezve: 2 2 1 − cos 2ω t az ellenállás teljesítménye: p R (t ) = U m2 G , 2 sin 2ω t , az induktivitás teljesítménye: p L (t ) = −U m2 BL 2 sin 2ω t a kapacitás teljesítménye: pC (t ) = U m2 BC . 2 A pR(t) hatásos teljesítmény minden pillanatban pozitív, középértéke P=U2G. pL(t) és pC(t) egyformán kétszeres frekvenciával ellenfázisban leng, középértékük zérus. Eredőjüket a kettő előjeles összegezésével számítjuk: sin 2ω t q(t ) = p L (t ) + pC (t ) = U m2 ( BC − BL ) . 2

33


2014 u(t)

pL(t)

p(t) pR(t)

wt

pC(t)

Párhuzamos R-L-C kör feszültségének és teljesítményeinek időfüggvénye A teljesítmény középértékének különböző alakjai: 2 U 2 G U eff U 2 P= m = = = UI cos ϕ , 2 R R a meddő teljesítmény: U 2 ( B − BC )  1 1  2 Q= m L = U eff2  −  = U ( BL − BC ) = UI sin(−ϕ ) . 2  XL XC  Példa Egy R nagyságú ellenállásból, L értékű induktivitásból és C nagyságú kapacitásból álló párhuzamos áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, G=0,01 S, BL=0,0159 S, BC=0,0314 S, B=0,0155 S, Y = 0,012 + 0,01552 = 0,01844 S, Z=54,23 Ω, ϕ=arctg(0,0155/0,01)=0,9978 (rad)=57,17° kapacitív, cosϕ=0,542, sinϕ=0,84, i(t) =(325,27⋅0,01844)sin(314t+0,9978)= 6sin(314t+0,9978) A, Ieff=4,24 A, IR=230⋅0,01=2,3 A, IL=230⋅0,0159=3,657 A, IC=230⋅0,0314=7,222 A, 1 − cos(628t ) sin(628t ) sin(628t ) p(t ) = 325,27 2 ⋅ 0,01 − 325,272 ⋅ 0,0159 + 325,272 ⋅ 0,0314 = 2 2 2 1 − cos(628t ) sin(628t ) sin(628t ) = 1058 − 1682 + 3322 , 2 2 2 P=529 W, QL=841 var, QC=-1661 var, Q=820 var, S=975,2 VA. A párhuzamos rezonancia Párhuzamos áramkörben párhuzamos rezonanciáról és párhuzamos rezgőkörről beszélünk. 1 Jelen áramkörben a rezonancia feltétele: BC = ω C = = BL , vagy XC=XL. ωL 34

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Rezonancia esetén Y=G (mivel BC-BL=0), ezért az áram és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs meddő teljesítmény felvétel és a tápforrás felé nincs meddő teljesítmény leadás. Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva. Az induktivitáson és a kapacitáson folyó áram minden pillanatban megegyezik egymással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így szakadásként viselkedik. Párhuzamos áramkörben párhuzamos (vagy áram-) rezonanciáról és párhuzamos rezgőkörről beszélünk. A párhuzamos rezgőkör sajátfrekvenciája és saját-körfrekvenciája ugyanúgy számítható, mint a soros körben. Példa Egy párhuzamos R-L-C áramkörben R=100 Ω, L=200 mH, C=100 µF. 1 1 1 f0 = = 35,588 Hz, ω 0 = = = 223,6 1/s. LC 2π 200 ⋅ 10 −3 ⋅ 100 ⋅ 10 −6 200 ⋅ 10 −3 ⋅ 100 ⋅ 10 −6

35


2014

Szinusz függvény szerint váltakozó mennyiségek számítási eszközei és módszerei Körpályán egyenletes sebességgel mozgó pont vagy forgó síkvektor végpontjának tetszőleges egyenesre vetett vetülete időben szinusz függvény szerint változik. Ez a kapcsolat lehetőséget ad a szinusz függvényekkel végzett bizonyos műveletek helyettesítésére szemléletesebb és egyszerűbb, síkvektorokkal végzett műveletekkel. Azok a műveletek helyettesíthetők, amelyekre a vektor-vetületekkel végzett művelet eredménye megegyezik a vektorokkal végzett művelet eredményének vetületével. a) forgó vektorok (síkvektorok) használata álló koordináta rendszerben Az ábrán látható két áram időfüggvénye i1(t)=I1msin(ωt+ϕ1) és i2(t)=I2msin(ωt+ϕ2), illetve ϕ=ϕ1-ϕ2 (ha az i2 áramot tekintjük referenciának). i1

I1m

ω

I2m

ϕ ϕ2

ϕ1

i2

ωt

ϕ2 ϕ

ϕ1

Forgó síkvektorok vetületének illusztrációja A síkvektor hossza az ábra szerint megegyezik a szinusz hullám csúcsértékével, szögsebessége pedig a szinusz hullám körfrekvenciájával. Két azonos szögsebességgel forgó vektor esetén az egymáshoz képesti szögeltérés állandó és megegyezik a megfelelő azonos frekvenciájú (körfrekvenciájú) vetületek (szinusz hullámok) időbeli fáziseltolási szögével. A siető vektor a forgás irányában előbbre helyezkedik el, az időben siető szinusz függvény az azonos argumentumhoz tartozó értéket (pl. pozitív nullaátmenet, maximum) kisebb szögnél éri el. A két azonos szögsebességgel forgó vektor tehát minden fontos információt tartalmaz a két szinusz hullámról: az amplitúdót, a körfrekvenciát, a fáziskülönbséget, a kezdeti fázisszöget. b) álló vektorok (síkvektorok) használata Állandósult állapot feltételezésével a vektorokkal együttforgó koordináta rendszert használhatunk, amiben a síkvektorok nem mozognak. Ilyenkor a szinusz függvény körfrekvenciája megegyezik a koordináta rendszer szögsebességével, a síkvektorok pedig az amplitúdót és a fázisszöget reprezentálják. Ebből következik, hogy álló vektorokkal, közös koordináta rendszerben csak azonos frekvenciájú szinuszos mennyiségek ábrázolhatók. A teljesítmény pillanatérték függvénye például nem ábrázolható az áram vagy a feszültség pillanatértékével együtt, mert kétszeres frekvenciájú komponenst tartalmaz. I1

ϕ

I2

ϕ

I2 I1

I2

I1

Egyenértékű síkvektoros ábrázolások

36

ϕ

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye A fenti ábrázolások egyenértékűek, csak a kezdeti fázisszögben (a t=0 időpont megválasztásában) térnek el. Az ilyen, szinuszos mennyiségeket leíró, fázishelyzetet is kifejező síkvektorokat fázisvektoroknak vagy fázoroknak nevezik. c) álló vektorok komplex koordináta rendszerben A sík pontjai – így a fázorok végpontjai is – komplex koordináta rendszerben számpárokkal, komplex számokkal leírhatók, a velük való matematikai műveletek a komplex algebra szabályai szerint elvégezhetők. Az elektrotechnikai gyakorlatban sokszor 90°-kal elfordított koordináta rendszert használnak a matematikaihoz képest, de a pozitív képzetes tengely minden esetben (pozitív forgásirány szerint) megelőzi a pozitív valós tengelyt. +i Im

+ Re A = Av + jAk

A = Av + iAk

Ak

ϕ

Av

+ Re

Im +j

Av

ϕ Ak

A valós- és a képzetes tengely jellemző elhelyezése matematikában elektrotechnikában Az ábrán v index jelöli a valós, k index a képzetes összetevőt. Egy tetszőleges A komplex szám leírására három forma használatos: - algebrai alak: A = Av + jAk , pl. A = 3 + j 4 ,

(

)

- trigonometrikus alak: A = A (cos ϕ + j sin ϕ ) , pl. A = 5 cos 5313 , o + j sin 5313 , o , itt A =

Av2 + Ak2 , Av = A cos ϕ , Ak = A sin ϕ , o

- exponenciális alak: A = A e jϕ , pl. A = 5e j 53,13 , itt e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ , A =

Av2 + Ak2 , ϕ = arctg

Ak . Av

A továbbiakban a komplex vektor abszolút értékét A helyett egyszerűen A-val jelöljük. Műveletek álló komplex vektorokkal Legyen A = Av + jAk = Ae jϕ A , B = Bv + jBk = Be jϕ B és C = Cv + jCk = Ce jϕ C . c1 forgatás A komplex vektorok pozitív vagy negatív irányú forgatása tetszőleges α szöggel a fázisszög növelésével vagy csökkentésével érhető el, legegyszerűbben exponenciális alakban. A 90°-os elforgatás pozitív irányban j-vel való szorzást, negatív irányban -j-vel való szorzást (vagy j-vel való osztást) jelent: π π −j j π π  π  π 2 e = cos + j sin = j , illetve e 2 = cos −  + j sin −  = − j .  2  2 2 2

37


2014

c2 összeadás Az összeadás (és a kivonás) egyszerűen algebrai alakban végezhető el: C = A + B = Av + jAk + Bv + jBk = ( Av + Bv ) + j ( Ak + Bk ) = Cv + jCk ,

[D = A − B = A

v

]

+ jAk − (Bv + jBk ) = ( Av − Bv ) + j ( Ak − Bk ) = Dv + jDk ,

az eredő (jelen esetben az összeg) vetületei megegyeznek a vetületek összegével. Példa Ha A = 3 + j 4 és B = 2 + j 2 , akkor C = A + B = 5 + j 6 D = A − B = 1 + j 2 .

(

)

A további műveletek legegyszerűbben exponenciális alakban végezhetők el: c3 szorzás Két komplex szám szorzatát az abszolút értékek összeszorzásával és a fázisszögek összeadásával kapjuk: C = A ⋅ B = Ae jϕ A Be jϕ B = ABe j (ϕ A +ϕ B ) = Ce jϕ C . Példa o o o Ha A = 5e j 60 és B = 10e j 20 , akkor C = A ⋅ B = 50e j 80 . c4 osztás Két komplex szám hányadosa az abszolút értékek osztásával és a fázisszögek kivonásával kapjuk: A Ae jϕ A A j (ϕ A −ϕ B ) C= = = e = Ce jϕ C . jϕ B B Be B Példa o o o A Ha A = 5e j 60 és B = 10e j 20 , akkor C = = 0 ,5e j 40 . B c5 hatványozás Komplex szám n-dik hatványa az abszolút érték n-dik hatványa, a fázisszög pedig n-szeres A n = A n e jnϕ A . Példa o o Ha A = 5e j 60 , akkor A 2 = 25e j120 . c6 gyökvonás Komplex szám n-dik gyöke a (-n-dik) hatványa, az abszolút érték n-dik gyöke, a fázisszög 1/n-szerese j

n

ϕA

A = n Ae n . Megjegyzés: a 2π-szerinti periodicitás miatt többszörös gyökök vannak n

Példa Ha A = 9 ⋅ e

j 70o

, akkor

A = n Ae

A = 9⋅e

j

ϕ A + k 2π n

j 70o

is gyöke A -nak, k < n-re.

= 3e

j 35o

és 3e

j

70+360 2

o

= 3e j 215 a két gyök.

c7 exponens Komplex szám exponenciális függvénye a valós és a képzetes rész exponenciális függvényeinek szorzata:

38

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye e A = e Av + jAk = e Av e jAk . c8 logaritmus Komplex szám e-alapú logaritmusa az abszolút érték logaritmusának (valós rész) és a fázisszögnek (képzetes rész) az összege: ln A = ln Ae jϕ A = ln A + jϕ A ,

(

)

illetve a 2π-szerinti periodicitás miatt ln A = ln A + j(ϕ A + k 2π ) . d) forgó vektorok komplex koordináta rendszerben Egy forgó vektor ϕ szöghelyzete időben egyenletesen változik ϕ(t)=ωt. Például áram esetén: I = Ie jϕ = Ie jω t , itt I lehet effektív vagy maximális érték is. Ennek a forgó vektornak az idő szerinti differenciál hányadosa: d jω t Ie = jω Ie jω t , dt ahol a j–vel való szorzás +90°-os elforgatást jelent. A forgó vektor idő szerinti integrálja: I jωt I jωt jωt ∫ Ie dt = jω e = − j ω e , ahol a j–vel való osztás (-j–vel való szorzás) -90°-os elforgatást jelent. Ez megegyezik a szinusz függvénnyel végzett hasonló műveletek eredményével: a 90°-os eltolásnak 90°-os elforgatás felel meg. A forgó vektor álló vektorként, együttforgó koordináta rendszerben ábrázolható, ami formálisan az e jω t tényező elhagyását jelenti (tulajdonképpen e − jω t -val történő szorzást). Időben szinusz függvény szerint változó mennyiségek kifejezése komplex számokkal Az álló és az egyenletesen forgó síkvektorok közötti kapcsolatot az 1 e jω t forgó egységvektor teremti meg. Egy A komplex szám mint álló síkvektor (forgó koordináta rendszerben): A = Ae jϕ A , A ′ mint forgó síkvektor (álló koordináta rendszerben): A ′ = A ⋅ 1e jω t = Ae jϕ A e jω t = Ae j (ω t +ϕ A ) . Az A ′ forgó síkvektor valós- és képzetes tengelyre eső vetülete: Re{ A ′ }=Acos(ωt+ϕA), Im{ A ′ }=Asin(ωt+ϕA). A két vetület egyenértékű, általában a sin forma használatos, de az Im{} jelölést el szokták hagyni. Mivel az e jω t szorzó az időfüggvényre (pillanatértékre) felírt egyenletek minden tagjában szerepel (mivel az ω körfrekvencia azonos), és a forgó vektoroknak az egymáshoz viszonyított helyzete tartalmazza az egyik lényeges információt (a fáziskülönbséget), ezért az e jω t szorzó elhagyható, a szinuszos mennyiségek álló síkvektorokkal jelképezhetők. Az e jω t szorzó elhagyása lényegében egy koordináta transzformációt jelent, az ábrázolás az időben álló koordináta rendszer helyett a vektorokkal együtt forgó rendszerben történik. (Úgy is felfoghatjuk, hogy az álló vektor mellett az a tengely forog ellenkező irányban, amelyikre vetítünk.) Az A ′ = Ae j (ω t +ϕ A ) formát teljes alaknak, az A ′ = Ae jϕ A formát redukált alaknak nevezik. Az utóbbi is szinusz függvény szerint változó mennyiséget ír le, de egyszerűben.

39


2014

Az áramköri számítások egy része elvégezhető komplex vektorokkal (fázorokkal), azok a számítások, amelyeknél a matematikai művelet és az imaginárius (vagy a reális) rész képzése felcserélhető. Vagyis azok a számítások, amelyekre a vektorokkal végzett művelet eredményének vetülete megegyezik a vektorok vetületével végzett művelet eredményével. Komplex fázorokkal elvégezhető matematikai műveletek 1) összeadás (kivonás) Legyen a c(t) összetett szinusz függvény két komponense a(t) és b(t), mindkettő szinusz függvény: a(t)=Asin(ωt+ϕA), b(t)=Bsin(ωt+ϕB), c(t)=a(t)+b(t)= Asin(ωt+ϕA)+Bsin(ωt+ϕB)=Csin(ωt+ϕC). Az ωt=0 időpontban: c(ωt=0)= AsinϕA+BsinϕB=CsinϕC, π az ω t = időpontban: 2 π c(ωt = )= AcosϕA+BcosϕB=CcosϕC. 2 A két fenti egyenlet négyzetének összegéből: 2 2 C 2 = ( A sin ϕ A + B sin ϕ B ) + ( A cos ϕ A + B cos ϕ B ) , A sin ϕ A + B sin ϕ B ϕ C = arctg . A cos ϕ A + B cos ϕ B + Re Cv

C

B Bv Av ϕ B

A Im +j

ϕA Ck Ak

ϕC

Bk

Fázorok összeadásának szemléltetése Komplex fázorok vetületeivel is ugyanerre az eredményre jutunk, de egyszerűbben: A = Av + jAk = A cos ϕ A + jA sin ϕ A és B = Bv + jBk = B cos ϕ B + jB sin ϕ B , C  C2= Cv2+ Ck2, ϕ C = actg k  ,  Cv  Cv=Av+Bv=CcosϕC, Ck=Ak+Bk=CsinϕC. 2) állandóval való szorzás (osztás) Ha a(t)=Asin(ωt+ϕA), akkor ka(t)=kAsin(ωt+ϕA). komplex alakban: ha A = Av + jAk , kA = kAv + jkAk , vagy ha A = Ae jϕ A , akkor kA = kAe jϕ A .

40


3) differenciálás idő szerint Ha a(t)=Asin(ωt+ϕA), akkor d π  a(t ) = Aω cos(ω t + ϕ A ) = Aω sin ω t + ϕ A +  ,  2 dt komplex alakban: 

π

j  ω t +ϕ A +  dA 2 A = Ae , = jAω e j (ω t +ϕ A ) = Aω e  = jAω e j (ω t +ϕ A ) , dt vagyis a differenciálás eredménye egy ω-szoros amplitúdójú, 90°-kal siető szinusz függvény, komplex alakban egy ω-szoros vektor-hosszúságú, 90°-kal előre forgatott fázor. A 90°-os előre forgatás j-vel való szorzást jelent. A differenciálás művelete többszörösen is elvégezhető. j (ω t +ϕ A )

+ Re A

∫ Adt

Im +j dA dt Differenciálás és integrálás a komplex síkon 4) integrálás idő szerint Ha a(t)=Asin(ωt+ϕA), akkor A A  ∫ a(t )dt = − ω cos(ω t + ϕ ) = ω sin ω t + ϕ A

A

π − , 2

komplex alakban: 

π

A j (ω t +ϕ A ) A j  ω t +ϕ A − 2  A e = e = − j e j (ω t +ϕ A ) , ∫ ω ω jω 1 vagyis az integrálás eredménye egy -szoros amplitúdójú, 90°-kal késő szinusz függvény, ω 1 komplex alakban egy -szoros vektor-hosszúságú, 90°-kal visszaforgatott fázor. A 90°-os ω visszaforgatás j-vel való osztást jelent. Az integrálás művelete többszörösen is elvégezhető. Szorzás és osztás művelet időfüggvényeket kifejező komplex fázorokkal nem végezhető. Szorzásnál, például a teljesítmény számítás p(t)=u(t)⋅i(t) szorzatánál, az eredmény kétszeres frekvenciájú szinusz komponenst ad, osztásnál pedig a nevező pillanatértéke nem lehet zérus (ezért az impedancia pillanatértéke nem értelmezhető váltakozó mennyiségekkel). A teljesítményt és az impedanciát is az időben szinusz függvény szerint változó mennyiségek időben állandó jellemzőiből, effektív- vagy csúcsértékekből kell számítani. Az időben állandó mennyiségek szorzata (pl. teljesítmény) és hányadosa (pl. impedancia, admittancia) képezhető komplex fázorokból és ábrázolható a komplex síkon álló síkvektorokkal. Ezeknek síkvektoroknak a fázishelyzete viszont nem választató meg tetszőlegesen, a hatásos teljesítmény és az A = Ae j (ω t +ϕ A ) ,

Adt =

41


2014

ellenállás vagy a vezetés mindig a valós, a meddő teljesítmény és a reaktancia vagy a szuszceptancia pedig mindig a képzetes tengelyre eső vetület. A komplex impedancia és admittancia Az impedancia és az admittancia két azonos frekvenciájú szinusz függvény szerint változó mennyiség maximális vagy effektív értékének hányadosa. Nem időfüggvény, nem szinuszos, időben állandó, kifejezi a feszültség és az áram viszonyát (matematikai operátor). Az u feszültség és az i áram komplex alakjából felírható az impedancia komplex alakja: U U m e jϕ u U m j (ϕ u −ϕ i ) Z= = = e = Ze jϕ Z , jϕ i I I me Im U eff U ahol Z = m = és ϕZ=ϕu-ϕi. Im I eff A ϕ fázisszög definíciója szerint az áram fázishelyzete a feszültséghez képest ϕ =ϕi-ϕu, ezért ϕZ=-ϕ. + Re U

I

Im +j

ϕ

Z

+ Re U

+ Re U Y

I

ϕu ϕi

Im +j

-ϕ

ϕ

Im +j

ϕ

I

A fázisszög, a komplex impedancia és admittancia fázisszöge Az U = IZ összefüggés szerint például a feszültséghez képest fázisban késő áramot az impej dancia „előre hozza”: U = Ie jϕ i Ze jϕ Z = Ie jϕ i Ze (ϕ u −ϕ i ) = Ue jϕ u . Komponenseivel az impedancia: X Z = R + jX , ahol Z = R 2 + X 2 és R=ZcosϕZ, X=ZsinϕZ, ϕ Z = arctg . R + Re Z

Im +j

+ Re

R

Y

G

-ϕ

Im +j

jX

ϕ -jB

A komplex impedancia és admittancia összetevői Hasonlóképpen az admittancia komplex alakja az u feszültség és az i áram komplex alakjából: I m e jϕ i I I Y = = = m e j (ϕ i −ϕ u ) = Ye jϕ Y , jϕ u U U me Um I eff I ahol Y = m = és ϕY=ϕi-ϕu=ϕ. U m U eff Komponenseivel az admittancia:

42

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Y = G + jB , ahol Y = G 2 + B 2 és G=Ycosϕ, B=Ysinϕ, ϕ Y = ϕ = arctg

B . G

1 és ϕY=-ϕZ. Z Például egy soros ohmos-induktív áramkör admittanciája, ha Z = R + jX : 1 1 R − jX R X R X Y = = = 2 = 2 − j 2 = 2 − j 2 = G − jB . 2 2 2 Z R + jX R + X R +X R +X Z Z A Z impedancia és az Y admittancia inverz vektorok: Y =

Az egyszerű példából láthatóan összetett áramkörökben az eredő vezetés G ≠ szuszceptancia B ≠

1 és az eredő R

1 . X

A komplex teljesítmény A teljesítmény pillanatértékét nem, a leggyakrabban használt integrális P hatásos-, Q meddőés S látszólagos teljesítményt viszont egyszerűen számítani lehet komplex alakban felírt mennyiségekből. A definíció szerint: S=UI, P=UIcosϕ, Q=UIsin(-ϕ)=−UIsinϕ. + Re U S Im +j

P -ϕ ϕ

I

Q

A komplex teljesítmény (induktív fogyasztó esetén) A ϕ fázisszög azért szerepel negatív előjellel, mert fogyasztói pozitív irányok mellett a Q meddő teljesítmény induktív fogyasztó (ϕ <0) esetén pozitív, kapacitívnál (ϕ >0) negatív. A negatív fázisszög komplex számításnál azt jelenti, hogy az UI skalár szorzat helyett az áram fázor I ∗ konjugáltjával kell számolni: S = UI ∗ , ha I = Ie jϕ i akkor I ∗ = Ie − jϕ i . S = UI ∗ = Ue jϕ u Ie − jϕ i = UIe j (ϕ u −ϕ i ) = UIe − jϕ . P=UIcos(-ϕ)=UIcosϕ=Scosϕ=Re{ S }, Q=UIsin(-ϕ)=−UIsinϕ=−S sinϕ=−Im{ S }, ϕ>0 (kapacitív) esetén Q<0, illetve ϕ<0 (induktív) esetén Q>0. A teljesítmény kifejezésének további alakjai: 2

∗

U  U∗ U UU ∗ U az áram behelyettesítésével I = , I ∗ =   = ∗ , ebből S = = ∗ , Z Z Z Z∗ Z 2

a feszültség behelyettesítésével U = IZ , ebből S = IZI ∗ = I Z Az áram fázor helyzetét a komplex síkon, illetve a P hatásos és a Q meddő teljesítmény előjelét szemlélteti az alábbi ábra különböző áramköröknél, a feszültség fázor pozitív valós iránya mellett. 43


2014 + Re U

P>0 Im +j P<0

∼

Q<0

Q>0

Az áram fázor elhelyezkedése a komplex síkon (fogyasztói pozitív iránynál) Egyszerű áramkörök számítása komplex fázorok használatával Példák 1. Ohmos ellenállás Egy R nagyságú ellenállást u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram és a teljesítmény? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, f=50 Hz,

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , U U 230 I= = = = I = 2 ,3 A, R R 100 S = UI ∗ = UI = P = 529 W, Q=0.

2. Induktivitás Egy L nagyságú induktivitást (tekercset) u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram és a teljesítmény? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, L=10,36 mH, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅10,36⋅10-3=3,253 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , U U 230 I= = = = − j 70 ,7 A, jX L jX L j3,253 S = UI ∗ = 230 ⋅ j 70,7 = j16261 VA, P=0, Q=16,261 kvar.

3. Kapacitás Egy C nagyságú kapacitást (kondenzátort) u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram és a teljesítmény? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, C=318,5 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XC=1/(ωC)=1/(314⋅318,5⋅10-6)=10 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , U U 230 I= = = j = j 23 A, − jX C − jX C 10 S = UI ∗ = −230 ⋅ j 23 = − j5290 VA, P=0, Q=-5290 var.

44


4. Soros R-L kör Egy R nagyságú ellenállásból és L nagyságú induktivitásból álló soros áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, Z = R + jX L = 100 + j 62,8 Ω, Z = 100 2 + 62,8 2 = 118,084 Ω, ϕZ=arctg(62,8/100)= 32,13°, ϕ=arctg(-62,8/100)=-ϕZ=-32,13°, Z = 118,084e j 32 ,13 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , U U 230 100 - j 62,8 23000 - j14444 I= = = = 230 = = 1,65 − j1,036 A, 100 2 + 62,8 2 13943,84 Z Z 100 + j 62,8 U U − j 32 ,13 I= = e = 1,948e − j 32 ,13 A, Z Z I = 1,652 + 1,0652 = 1,948 A, o

o

o

o

o

U R = RI = 100 ⋅ 1,948e − j 32 ,13 = 194 ,8e − j 32 ,13 V, o

o

U L = jX L I = j 62 ,8 ⋅ 1,948e − j 32 ,13 = 122 ,33e j 57 ,87 V, S = UI ∗ = 230 ⋅ (1,65 + j1,036) = 379,5 + j 238 ,28 VA, o

o

S = UI ∗ = 230 ⋅ 1,948e j 32 ,13 = 448e j 32 ,13 VA, P=379,5 W, Q=238,28 var, S=448 VA. 5. Soros R-C kör Egy R nagyságú ellenállásból és C nagyságú kapacitásból álló soros áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, Z = R − jX C = 100 − j31,84 Ω, Z = 100 2 + 31,84 2 = 104 ,9 Ω, ϕZ=arctg(-31,84/100)=-17,66°, ϕ=arctg(31,84/100)=-ϕZ=17,66°, Z = 104,9e − j17 ,66 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , 100 - j 31,84 23000 - j 7323 U U 230 I= = = = 230 = = 2,088 − j 0,665 A, Z Z 100 − j31,84 100 2 + 31,84 2 11013,78 U U j17 ,66 I= = e = 2,19e j17 ,66 A, Z Z I = 2,088 2 + 0,6652 = 2,19 A, o

o

o

o

o

U R = RI = 100 ⋅ 2 ,19e j17 ,66 = 219e j17 ,66 V, o

o

U C = − jX C I = − j31,84 ⋅ 2 ,19e j17 ,66 = 69,73e − j 72 ,34 V, S = UI ∗ = 230 ⋅ (2,088 − j 0,665) = 480,24 − j153 VA, o

o

S = UI ∗ = 230 ⋅ 2,19e − j17 ,66 = 503,7e − j17 ,66 VA, P=480,24 W, Q=-153 var, S=503,7 VA.

45


2014

6. Soros R-L-C kör Egy R nagyságú ellenállásból, L nagyságú induktivitásból és C nagyságú kapacitásból álló soros áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, X= XL-XC=30,96 Ω (induktív), Z = R + jX = 100 + j 30,96 Ω, Z = 100 2 + 30,96 2 = 104,68 Ω, ϕZ=arctg(30,96/100)= 17,2°, ϕ=arctg(-30,96/100)=-ϕZ=-17,2°, Z = 104,68e j17 ,2 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , 100 - j 30,96 23000 - j 7121 U U 230 I= = = = 230 = = 2,099 − j 0,65 A, 100 2 + 30 ,96 2 10958,5 Z Z 100 + j30,96 U U − j17 ,2 I= = e = 2 ,197e − j17 ,2 A, Z Z U R = RI = 100 ⋅ 2 ,197e − j17 ,2 = 219 ,7e − j17 ,2 V, o

o

o

o

o

o

o

U L = jX L I = j 62,8 ⋅ 2,197e − j17 ,2 = 137 ,97e j 72 ,8 V, o

o

o

U C = − jX C I = − j31,84 ⋅ 2 ,197e − j17 ,2 = 69 ,95e − j107 ,2 = −69,95e j 72 ,8 V, S = UI ∗ = 230 ⋅ (2,099 + j 0,65) = 482,77 + j149,5 VA, o

o

S = UI ∗ = 230 ⋅ 2,197e j17 ,2 = 505,3e j17 ,2 VA, P=482,77 W, QL=303,12 var, QC=-153,68 var, Q=149,5 var (induktív), S=505,3 VA. 7. Párhuzamos R-L kör Egy R nagyságú ellenállásból és L nagyságú induktivitásból álló párhuzamos áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, G=0,01 S, BL=0,0159 S, Y = G − jBL = 0 ,01 − j 0 ,0159 S, Y = 0 ,012 + 0 ,01592 = 0 ,0188 S, Z=53,19 Ω, ϕY=arctg(-0,0159 /0,01)=-57,83°, ϕ=arctg(-0,0159 /0,01)=ϕY=-57,83°, Y = 0,0188e − j 57 ,83 S, Z = 5319 , e j 57 ,83 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , I = UY = 230 ⋅ 0 ,0188e − j 57 ,83 = 4,324e − j 57 ,83 A, I = 2,3 − j3,657 A, I R = UG = 230 ⋅ 0 ,01 = 2,3 A, I L = − jUBL = − j 230 ⋅ 0 ,0159 = − j 3,657 A, S = UI ∗ = 230 ⋅ (2,3 + j3,657) = 529 + j841 VA, o

o

o

o

o

o

S = UI ∗ = 230 ⋅ 4 ,324e j 57 ,83 = 994 ,5e j 57 ,83 VA, P=529 W, Q=841 var, S=994,5 VA. 8. Párhuzamos R-C kör Egy R nagyságú ellenállásból és C nagyságú kapacitásból álló párhuzamos áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, C=100 µF, f=50 Hz. 46


ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, G=0,01 S, BC=0,0314 S, Y = G + jBC = 0,01 + j 0,0314 S, Y = 0,012 + 0,0314 2 = 0,03295 S, Z=30,349 Ω, ϕY=arctg(0,0314/0,01)=72,33°, ϕ=arctg(0,0314/0,01)=ϕY=72,33°, Y = 0,03295e j 72 ,33 S, Z = 3,349e − j 72 ,33 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , I = UY = 230 ⋅ 0 ,03295e j 72 ,33 = 7,5785e j 72 ,33 A, I = 2,3 + j 7,222 A, I R = UG = 230 ⋅ 0 ,01 = 2,3 A, I C = jUBC = j 230 ⋅ 0 ,0314 = j 7,222 A, S = UI ∗ = 230 ⋅ (2,3 − j 7,222) = 529 − j1661 VA, o

o

o

o

o

o

S = UI ∗ = 230 ⋅ 7,5785e j 72 ,33 = 1743e j 72 ,33 VA, P=529 W, Q=-1661 var, S=1743 VA. 9. Párhuzamos R-L-C kör Egy R nagyságú ellenállásból, L értékű induktivitásból és C nagyságú kapacitásból álló párhuzamos áramkört u(t) feszültségre kapcsolunk, mekkora az áram, a teljesítmény és a fázisszög? u(t ) = 2 ⋅ 230 sin(314t ) = 325,27 sin(314t ) V, R=100 Ω, L=200 mH, C=100 µF, f=50 Hz.

ω=2πf=2π50=100π=314 1/s, XL=ωL=314⋅200⋅10-3=62,8 Ω, XC=1/(ωC)=1/(314⋅100⋅10-6)=31,84 Ω, X= XL-XC=30,96 Ω, G=0,01 S, BL=0,0159 S, BC=0,0314 S, B=0,0155 S, Y = G + jB = 0 ,01 + j 0,0155 S, Y = 0,012 + 0 ,01552 = 0 ,01844 S, Z=54,23 Ω, ϕY=arctg(0,0155/0,01)=57,17°, ϕ=arctg(0,0155/0,01)=ϕY=57,17°, Y = 0 ,01844e j 57 ,17 S, Z = 54 ,23e − j 57 ,17 Ω. Legyen a feszültség fázor valós, U = U , I = UY = 230 ⋅ 0 ,01844e j 57 ,17 = 4 ,24e j 57 ,17 A, I = 2,3 + j3,565 A, I R = UG = 230 ⋅ 0 ,01 = 2,3 A, I L = − jUBL = − j 230 ⋅ 0,0159 = − j 3,657 A, I C = jUBC = j 230 ⋅ 0,0314 = j 7,222 A, S = UI ∗ = 230 ⋅ (2,3 − j3,565) = 529 − j820 VA, o

o

o

o

o

o

S = UI ∗ = 230 ⋅ 4,24e − j 57 ,17 = 975e − j 57 ,17 VA, P=529 W, QL=841 var, QC=-1661 var, Q=-820 var, S=975 VA.

47


2014

A Kirchhoff törvények alkalmazása komplex alakú ábrázolásnál a) Csomóponti törvény Az ágáramok pillanatértékeinek eredője nulla, vagyis a vektorok vetítésével nyert vetületek algebrai összege nulla. Ez akkor lehetséges, ha az ágáramok záródó vektorsokszöget alkotnak. A csomópont felé mutató pozitív irány választással: I1 − I 2 + I 3 = 0 , az ábra szerint I1 + I3 = I 2 . pozitív irányok I3 I1

I1

− I2

-I2

I2

I3

I2

Kirchhoff csomóponti törvényének vektoros illusztrációja Az áram vektorok eredője zérus. b) Huroktörvény U3 U3

Z3

U2 Z2

+ Z1

Z4

U2

−U 4

U4 U1

U1

U4

Kirchhoff huroktörvényének vektoros illusztrációja Zárt hurok mentén a feszültség pillanatértékeinek összege nulla, vagyis a vektorsokszögnek záródnia kell. A feszültség vektorok eredője a hurok mentén zérus, vagyis záródó vektorsokszöget alkotnak. A választott körüljárási irány mellett: U1 + U 2 + U 3 − U 4 = 0 , az ábra szerint U1 + U 2 + U 3 = U 4 . A feszültség vektorok eredője zérus. A meddő teljesítmény kompenzálása Az ábra szerinti soros R-L áramkört U=áll. állandó amplitúdójú feszültséggel táplálva a hatásos teljesítmény csak az I áram feszültség irányú összetevőjétől függ P=UIcosϕ, független az áram meddő teljesítménnyel arányos Isinϕ induktív komponensétől. A táphálózat vesztesége viszont – Joule törvényének megfelelően – az eredő Ie áram négyzetével arányos. Emiatt arra törekszenek, hogy a meddő teljesítmény, az áram feszültségre merőleges komponense (és ezzel az eredő áram is) minél kisebb legyen.

48

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye + Ie

I IC C

U

R

L

UR

UL

U

Ic

Icosϕ ϕe Ie

I

Ic

+j

Isinϕ

ϕ

A meddő teljesítmény kompenzálásának elve A párhuzamosan kapcsolt kondenzátoron folyó Ic áram 90°-kal siet a feszültséghez képest, így az Isinϕ áramkomponenssel ellentétes irányú, azt csökkenti. A kondenzátor hatására az eredő Ie áram fázisszöge csökken, ϕe<ϕ, de a feszültség irányú összetevője és a hatásos teljesítmény változatlan marad. Megfelelő kondenzátor választással elérhető, hogy az eredő áram fázisban legyen a tápfeszültséggel, ϕe=0 legyen, ami minimálisra csökkenti a hálózat ohmos veszteségét. Ezt a megoldást meddőkompenzálásnak, a kondenzátort pedig fázisjavító kondenzátornak nevezik. Fizikailag úgy értelmezhető, hogy a fázisjavító kondenzátor részben vagy egészben biztosítja az induktív fogyasztó meddő teljesítmény szükségletét. Egyenértékű soros és párhuzamos áramkörök Ha egy váltakozó áramú fogyasztó árama, feszültsége és fázisszöge ismert, számítható a fogyasztó lehetséges helyettesítő áramköre. A soros és a párhuzamos helyettesítő áramkör paraméterei különböznek, de a két áramkör egyenértékű. i(t) u(t)

Ismeretlen áramkör ismert változói i(t) i(t)

UR R

u(t)

UL iR(t)

XL=ωL

+

+

UR ϕ I

U +j

iL(t) R

u(t)

U +j

UL

IR ϕ

I

IL Egyenértékű soros és párhuzamos áramkör

49

XL


2014

ϕZ=-ϕ U U Z = e jϕ = e − jϕ I I U R=Zcosϕ = cos ϕ I U XL=Zsinϕ= sin ϕ I X L= L ω

ϕY =ϕ I jϕ Y I e = e jϕ U U I 1 U G=Ycosϕ= cos ϕ , R = = G I cos ϕ U 1 U I BL=Ysinϕ= sin ϕ , X L = = BL I sin ϕ U 1 L= ω BL Y =

Z

UR=IR=Ucosϕ UL=IXL=Usinϕ

IR=UG=Icosϕ IL=UBL=Isinϕ

P=UIcosϕ=URI=I2R Q=UIsinϕ=ULI=I2XL S=UI

P=UIcosϕ=UIR=U2G Q=UIsinϕ=UIL=U2BL S=UI

Egyenértékű soros és párhuzamos helyettesítő áramköri paraméterek

50


3 fázisú szimmetrikus rendszerek 3 fázisú szimmetrikus feszültségrendszer előállítása Három, térben szimmetrikusan (egymáshoz képest 120°-ra) elhelyezett vezető keretet 1 póluspárú homogén mágneses térben – a korábban vizsgált módon – egyenletes szögsebességgel forgatva, bennük időben szinusz függvény szerint változó, egymáshoz képest kölcsönösen 120°-kal eltolt fázishelyzetű feszültségek (fázis feszültségek) indukálódnak. A feszültségek amplitúdója és frekvenciája (így periódusideje is) megegyezik.

É

Ω

B

3

u (ωt) Um

1

0

u1(ω t)

u2(ω t)

u3(ω t)

ωt π/2

0

π

3π/2

2π

π/6

2

π/3 2π/3

D

2π/3

Háromfázisú feszültségrendszer előállításának elve és időfüggvénye Ugyanerre az eredményre jutunk, ha térben szimmetrikusan eltolt álló vezető kereteket helyezünk térben szinusz függvény szerinti eloszlású, egyenletes szögsebességgel forgó mágnes terébe, mint ahogy a villamos energia előállítására alkalmazott szinkron generátoroknál történik. Vezető keretek helyett ténylegesen több menetű tekercsek (fázis tekercsek) vannak a generátorokban. Az egyes fázisokat a, b, c vagy 1, 2, 3 index-szel különböztetjük meg, az indexelés a fázisok követési sorrendjét is mutatja. Ω 3 1

2

Háromfázisú szinkron generátor tekercseinek elrendezési vázlata 51


2014

Az egyes fázis feszültségek fázorábrája és matematikai időfüggvénye, ha a fázorok vízszintes tengelyre eső vetületeit (a képzetes komponenseket) tekintjük és az amplitúdót Um-el jelöljük:

+

a fázis feszültségek pillanatértékei: ua(ωt)=Umsinωt, ub(ωt)=Umsin(ωt–2π/3), uc(ωt)=Umsin(ωt+2π/3).

Ua

az egyes amplitúdók fázorai (együttforgó koordináta rendszerben): o U a = U me + j 0 ,

+j Uc

o

U b = U m e − j120 , o

U c = U m e + j120 .

Ub

Háromfázisú feszültségrendszer fázorábrája és időfüggvényei A fázis sorrend értelmezése Pozitív fázis sorrendről akkor beszélünk, ha a szimmetrikus 3 fázisú rendszer egyes feszültségei és áramai időben a–b–c, illetve 1-2-3 sorrendben követik egymást. u

wt

Uc

ua(wt)

+

ub(wt)

uc(wt)

Ua

+j

wt 0

π/2

π

3π/2

2π

Ub Pozitív sorrendű feszültségrendszer illusztrálása Negatív fázis sorrendnél a szimmetrikus 3 fázisú rendszer feszültségeinek és áramainak időbeli követési sorrendje a–c–b, illetve 1-3-2.

52

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye u

Ub

wt

ua(wt)

+

uc(wt)

ub(wt)

Ua

+j

wt 0

π/2

π

3π/2

2π

Uc Negatív sorrendű feszültségrendszer illusztrálása A 3 fázisú források legelterjedtebb jelölését a következő ábra mutatja, a térbeli elhelyezkedést akkor is szimmetrikusnak feltételezzük, ha a jelölés ezt nem szemlélteti.

a

a ∼

∼ c

b

∼

∼

∼

c a b c

a

∼

b

c

b

3 fázisú források szimbolikus jelölése A háromfázisú forrás mindegyik fázisára fogyasztót lehet kapcsolni, a kialakuló áramok nagyságát és fázishelyzetét az egyes terhelő impedanciák jellege határozza meg. A 3 fázisú fogyasztók elterjedt jelölését az ábra mutatja. Za Zb Zc

Za Zb Zc

3 fázisú fogyasztók szimbolikus jelölése Amennyiben az egyes fázisok egymástól függetlenek (villamos kapcsolat nincs közöttük), úgy az azonos fázishoz tartozó források és fogyasztók összekötéséhez összesen 6 vezetékre van szükség.

53


2014

Ia

Ua

∼

∼

∼

c

Ub

Ib

Uc

Ic

Za

Zb Zc

3 fázisú, 6 vezetékes rendszer A három forrás egy-egy pontját egyesítve ún. csillagkapcsolást kapunk, a közös pontot, egyben a fázis feszültségek vonatkoztatási pontját, csillagpontnak nevezik. Ebben az esetben az egyes fázisok egymástól nem függetlenek, viszont az azonos fázishoz tartozó források és a fogyasztók összekötéséhez csak 4 vezetékre van szükség. A csillagpontokat összekötő vezetőt nullavezetéknek (vagy nullavezetőnek) nevezik, a benne folyó áramot I0-al vagy IN-el jelölik.

Ia

Ib ∼

Ua Ub Uv Uc

Ic ∼

Ia Ib Ic Zc Zb Za

Uf

∼ I0=IN

0

3 fázisú, csillag kapcsolású, 4 vezetékes rendszer A háromfázisú, szimmetrikus, szinusz függvény szerint változó rendszer egyes fázis mennyiségeinek összege minden pillanatban zérus. Szimmetrikus feszültségrendszer és azonos terhelő impedanciák (Za = Zb = Zc ) esetén az áramok is szimmetrikus rendszert képeznek, melyben a pillanatértékek összege: ia(ωt)+ ib(ωt)+ ic(ωt)= Imsinωt+ Imsin(ωt-2π/3)+ Imsin(ωt+2π/3)= =Im[sinωt+ sin(ωt-2π/3)+ sin(ωt+2π/3)] = =Im[sinωt+ sinωtcos(2π/3)– cosωtsin(2π/3) + sinωtcos(2π/3)+ cosωtsin(2π/3)]=   3 3 = I m  sin ω t − 0,5 sin ω t − cos ω t − 0,5 sin ω t + cos ω t  = 0 . 2 2   Ebből következik, hogy szimmetrikus rendszerben a fázis áramok összege minden pillanatban zérus és a csomóponti törvény szerint a forrás és a fogyasztó csillagpontját összekötő vezetőben nem folyik áram. Tehát a nullavezető elhagyható. A csillagpontokat forrás és fogyasztó oldalon is gyakran földelik, ilyen elrendezésnél a fázis tekercsek, illetve az egyes terhelő impedanciák feszültsége a földpotenciálhoz (csillagponti potenciál) képest jelentkezik. 54


Ia

Ib ∼

Ua Ub Uv Uc

Ic ∼

Ia Ib Ic Zc Zb Za

Uf

∼

3 fázisú, 3 vezetékes, földelt csillagpontú rendszer A forrásokat és a fogyasztókat összekötő vezetők (vonalak – line) közötti feszültség a vonali feszültség. Szimmetrikus rendszerben az egyes fázis feszültségek és az egyes vonali feszültségek is azonosak, effektív értékekre Uf, illetve Uv: Ua=Ub=Uc=Uf és Uab=Ubc=Uca=Uv. 3 vezetékes rendszerben a források és a fogyasztók ún. háromszög (vagy delta) elrendezés szerint is összeköthetők. A források és a fogyasztók kapcsolási elrendezése eltérhet egymástól, pl. a csillag–delta és a delta–csillag kapcsolás ugyanúgy működőképes, mint a csillag– csillag, vagy a delta–delta.

Ua ∼

∼ ∼

Uf

Ua

Ub

Uc

∼

∼

∼

Uv Ub Uc

3 fázisú források háromszög kapcsolása A vonali feszültségeket

uab(ωt)= ub(ωt) – ua(ωt), ubc(ωt)= uc(ωt) – ub(ωt), uca(ωt)= ua(ωt) – uc(ωt) pozitív irányokkal definiálva a vonali feszültségek a fázis feszültségekhez képest eltolt szinusz függvények szerint változnak. Például uab(ωt)= ub(ωt)–ua(ωt)= Umsin(ωt–2π/3)–Umsinωt=Um[sinωtcos2π/3–cosωtsin2π/3–sinωt]=   3 5π   cos ω t  = 3U m sin ω t −  , U m −1,5 sin ω t −  2 6  

vagyis az uab(ωt)=ub(ωt)–ua(ωt) vonali feszültség 150°-kal késik a referencia ua(ωt)-hoz képest, amplitúdója pedig annak 3 -szorosa.

55

VIVEA002 Elektrotechnika u

2014 uca

ubc

uab

ua

ub

uc

wt π/6

5π/6 A fázis- és vonali feszültségrendszer időfüggvénye A fázis effektív értékekre rajzolt fázorábrából a vektor szerkesztés szabályai szerint kapjuk a csillag kapcsolás vonali feszültségeinek fázorait, amelyek párhuzamos eltolással az origóba helyezhetőek. Szimmetrikus esetben a vonali feszültségek olyan szimmetrikus háromfázisú feszültségrendszert képeznek, amelyik a fázis feszültségekhez képest fázisban eltolt, az amplitúdója (és az effektív értéke is) a fázis feszültség amplitúdójának (és effektív értékének) a 3 -szorosa, Uv = 3 Uf. + wt

Ua

Uacos30°

30° 30° Uca

+j Ubc

Uca

Uab

150°

Uc Ubc

Ub

Uab A fázis- és vonali feszültségrendszer fázorábrája (csillag kapcsolás) A háromszög kapcsolás vonali áramai ugyancsak szimmetrikus háromfázisú rendszert képeznek, amelyik a fázisáramok rendszeréhez képest fázisban eltolt, a vonali áramok amplitúdója (és effektív értéke is) a fázisáramok amplitúdójának (és effektív értékének) 3 -szorosa, I v= 3 I f . 56

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye +

wt

Ibc Ic

∼

∼ ∼ Ia

Iab=Ib–Ia,

Ib Iab

Ia

Iacos30° 30°

Ibc=Ic–Ib, Ica=Ia–Ic.

Iab

Ica

+j

Ica Ic Ibc

Ib

A háromszög kapcsolású rendszer fázis- és vonali áramai A fázis- és a vonali mennyiségek közötti összefüggés a két alapkapcsolásra: Uv Iv If Y 3 Uf Uf ∆ 3 If A 3 fázisú teljesítmény számítása A háromfázisú rendszer teljesítménye az egyes fázisok teljesítményének összege. Az eredő látszólagos teljesítmény a fázis feszültségekből és a fázis áramokból: S3f=Sa+Sb+Sc=UaIa+UbIb+UcIc, az eredő hatásos teljesítmény: P3f=Pa+Pb+Pc=UaIacosϕa+UbIbcosϕb+UcIccosϕc, az eredő meddő teljesítmény: Q3f=Qa+Qb+Qc=UaIasinϕa+UbIbsinϕb+UcIcsinϕc. Szimmetrikus rendszer esetén Ua=Ub=Uc=Uf, Ia=Ib=Ic=If, Za=Zb=Zc=Zf és ezért ϕa=ϕb=ϕc=ϕ, így az egyes fázisok teljesítménye is megegyezik, ezért a háromfázisú teljesítmény az egyfázisú háromszorosa: S3f=3S1f=3UfIf, P3f=3P1f=3UfIf cosϕ, Q3f=3Q1f=3UfIf sinϕ. A teljesítményt a vonali mennyiségekkel is felírhatjuk. U Csillag kapcsolásban U f = v és If=Iv, ezt behelyettesítve az előző összefüggésekbe 3 S3f= 3 UvIv, P3f= 3 UvIvcosϕ, Q3f= 3 UvIvsinϕ. I Delta kapcsolásban Uf=Uv és I f = v , behelyettesítve 3 S3f= 3 UvIv, P3f= 3 UvIvcosϕ, Q3f= 3 UvIvsinϕ. Vagyis vonali mennyiségekkel számítva a teljesítmények összefüggése független a kapcsolási módtól. A képletekben vonali feszültség és áram szerepel, de ϕ a fázis mennyiségek közötti szöget jelöli. A hálózat ellenállásának hatása a fogyasztó feszültségére Egy generátor U ga ,U gb ,U gc feszültségei szimmetrikus 3 fázisú rendszert képeznek.

57


2014

A fogyasztó a csillag kapcsolású Za , Zb , Zc impedanciákból áll. A tápforrás és a fogyasztó közötti vezeték impedanciája Zv, de az egyszerűsítés érdekében csak az Rv ellenállást vesszük figyelembe. Mekkora U Za ,U Zb ,U Zc feszültség jut a fogyasztóra? Mivel az áramok fázisban eltérőek, a vezetéken eső feszültség a három ellenálláson szintén fázisban eltérő. Ia Ib Ic

Uv

Rv Rv Rv Zc

∼ U ga

∼ U gb

Zb

Za

Uf

∼ U gc

U Zc U Zb U Za

Véges ellenállású hálózatról táplált fogyasztók Teljes szimmetria esetén a generátor és a fogyasztó csillagpontja azonos potenciálú, ezért galvanikusan összeköthető, így egy-egy fázis feszültségei számíthatók. A huroktörvény alapján az a fázisra U ga − U Za − I a Rv = 0 , amiből U Za = U ga − I a Rv . + U ga

Ia Rv U Za +j

Ic U gc Ic Rv

Ia

ϕ

ϕ ϕ U Zc

Ib

U Zb Ib Rv U gb

Véges ellenállású hálózat hatása a fogyasztói feszültségre A vezetéken eső feszültség a vezeték ellenállásától és az áram nagyságán kívül annak fázisától is függ. Összeállította: Kádár István 2014. november

58


Ellenőrző kérdések 1. Hogyan állítható elő időben szinusz függvény szerint változó feszültség forgási indukcióval? 2. Hogyan állítható elő időben szinusz függvény szerint változó feszültség nyugalmi indukcióval? 3. Mi a frekvencia, a periódusidő és a körfrekvencia fogalma, a pólusszám értelmezése? 4. Melyek a szinusz függvény szerint váltakozó mennyiségek legfontosabb jellemzői? 5. Mi a kezdeti fázisszög, a frekvencia, a körfrekvencia, az effektív- és csúcsérték? 6. Értelmezze az időben szinusz függvény szerint változó mennyiségek fázisviszonyait, a fázisbeli sietést, késést. 7. A szinuszosan váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás, induktivitás és kondenzátor árama és teljesítménye, a reaktancia fogalma. 8. Soros és párhuzamos R-L, R-C és R-L-C körök szinuszos váltakozó áramú táplálása, az impedancia fogalma. 9. Mi a soros és a párhuzamos rezonancia, a rezgőkör, a rezonancia frekvencia? 10. Síkvektorok alkalmazása szinuszosan váltakozó áramú mennyiségek leírására. 11. Síkvektorral ábrázolt, időben szinuszosan váltakozó mennyiségek kifejezése komplex számokkal. 12. Időben szinuszosan váltakozó mennyiségek ábrázolása komplex síkon. 13. Komplex impedancia, komplex teljesítmény. 14. Soros és párhuzamos R-L, R-C és R-L-C kör mennyiségeinek és paramétereinek számítása komplex számokkal, ábrázolásuk és értelmezésük a komplex síkon. 15. Mi a fázisjavítás (meddőkompenzálás) célja? 16. Többfázisú feszültségrendszerek előállítása. 17. Szimmetrikus háromfázisú feszültségek és fogyasztók kapcsolása, vonali- és fázismennyiségek. 18. A fázissorrend értelmezése, a háromfázisú teljesítmény számítása.

59


2014

Példák, feladatok 1. Az ábrán látható kapcsolásban szereplő feszültségmérő műszerek effektív értéket mérnek. Mindhárom voltmérő 100 V-ot mutat. A tápfrekvencia f=50 Hz, az ellenállás értéke R=10 Ω. Számítsa ki az I áramot, az U feszültséget, az L induktivitást, C kapacitást, az eredő S, P, Q teljesítményeket és a teljesítménytényezőt (cosϕ). Rajzolja fel az áramkör fázorábráját. + V

V

V

R

L

C

UR = U

I

I

+j

U

UL

UC

{ I=10 A, U=100 V, L=31,84 mH, C=318,47 µF, S=1 kVA, P=1 kW, Q=0, cosϕ=1} 2. Az ábrán látható áramkört U=230 V feszültségű (effektív érték), f=50 Hz frekvenciájú forrásról tápláljuk. Az effektív értéket mérő két műszer UR=100 V-ot illetve I=0,5 A-t mutat. Számítsa ki az R ellenállást, az L induktivitás értékét és UL feszültségét, az eredő S, P, Q teljesítményeket és a teljesítménytényezőt (cosϕ). Rajzolja fel az áramkör fázorábráját. + V R

U

UR ϕ I

U

A

+j

L

UL

{R=200 Ω, L=1,319 H, UL=207,12 V, S=115 VA, P=50 W, Q=103,56 var, cosϕ=0,43479} 3. Az ábrán látható áramkörben R1=10 Ω, R2=75 Ω, C=60 µF, a tápfrekvencia f=50 Hz, a kondenzátor ágban lévő, effektív értéket mérő ampermérő IC=2 A mutat. Számítsa ki az eredő I áramot, az U tápfeszültséget és a ϕ fázisszöget, rajzolja fel az áram és feszültség vektorábrát. R2 U + I R1 U C = U R2 C A U R1 ϕ I R2 Ic U +j IC {I=2-j1,4147 A (2,449 A), U=20-j120,247 V (121,89 V), ϕ=45,287°(kap)}

60

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye 4. Az ábrán látható soros R-L kört U=230 Veff feI R szültségről tápláljuk. Ha a tápfrekvencia f1=45 Hz, A az effektív értéket mérő ampermérő I=4 A-t, f2=91 Hz esetén I=2 A-t mutat. U Számítsa ki az ellenállás és az induktivitás értékét, valamint az ellenálláson és az induktivitáson lévő feszültséget f1 és f2 esetén. {R=9,78 Ω, L=0,2 H, UR1=39,12 V, UR2=19,56 V, UL1=226,195 V, UL2=228,71 V }

L

5. Az ábrán látható áramkörben a tápfeszültV V ség U=200 V (effektív), a frekvencia f=50 Hz, az induktivitás értéke L=200 mH, a R L kondenzátor feszültségét (effektív értéket) mérő műszer UC=91,2 V-ot mutat, az ampermérő pedig I=4 A-t (effektív). V C U Számítsa ki az ellenállás UR és az induktiviI tás UL feszültségét, az R ellenállás, a C konA denzátor értékét, a P hatásos-, a Q meddőés az S látszólagos teljesítményt, a cosϕ-t. Rajzolja fel feszültség és az impedancia fázorábrát. {UR= 120 V, UL= 251,2 V, R=30 Ω, C=139,68 µF, P=480 W, Q=640 var, S=800 VA, cosϕ=0.6} + + U

ϕ +j

Z

UR

−U C

ϕ

I +j

UL

R

UC

-jXC jXL

-jXC

6. Az ábrán látható áramkörben az áram effektív V értékét mérő műszer I=2,5 A-t mutat, a teljesítI L ménytényező cosϕ=0,4 induktív, a frekvencia A f=50 Hz, az ellenállás R=230 Ω, az induktivitás IL L=350 mH. Számítsa ki az ellenállás IR és az induktivitás IL U R IR áramát, az U tápfeszültséget, az induktivitás UL feszültségét, a kondenzátor UC feszültségét és C kapacitását, az S látszólagos-, a P hatásos- és a Q meddő teljesítményt. Rajzolja fel feszültség és az admittancia fázorábrát. + Y + G I I

C

L

+j

UL −U C

IR ϕ U

jBC

+j jXL

ϕ

-XC= jXC UC

X=j(XL-XC)

61

B -jXC

-BC -jBL

V


2014

{IR=1 A, IL=2,29 A, U=230 V, UL= 251,9 V, UC= 21,9 V, C=333 µF, S=575 VA, P=230 W, Q=526,7 var} 7. Az ábrán látható áramkörben a tápfeszültség VL VR U=170 V (effektív), az ellenállás értéke R=8 Ω. R L f1=50 Hz frekvenciájú táplálás esetén az effektív értéket mérő ampermérő I1=10 A-t mutat. Mekkora az induktív reaktancia értéke? Mit mutat a VR és a VL effektív értéket mérő voltmérő? Mekkora f2 frek- U venciánál lesz az áram I2=17 A? Mekkora az indukI tív reaktancia értéke f2 frekvenciánál, mit mutat a VR A és a VL voltmérő? Rajzolja fel feszültség és az impedancia fázorábrát. {XL1=15 Ω, UR1=80 V, UL1=150 V, f2=20 Hz, XL2=6 Ω, UR2=136 V, UL2=102 V} + + I U Z ϕ UR ϕ R +j +j jXL

UL

8. Az ábrán látható áramkörben a tápfeszültség U=325 V VR (effektív), az ellenállás értéke R=24 Ω. f1=50 Hz frekvenciáR ról történő táplálás esetén az effektív értéket mérő ampermérő I1=13 A-t mutat. Mekkora a kapacitív reaktancia értéke? Számítsa ki a P hatásos-, a Q meddő- és az S látszólagos telVC C jesítményt, valamint a cosϕ értékét? U Mekkora lesz az áram f2=35 Hz frekvenciájú táplálás esetén I A és a kapacitív reaktancia értéke? Számítsa ki f2 frekvencián a P hatásos-, a Q meddő- és az S látszólagos teljesítményt, valamint a cosϕ értékét? Rajzolja fel a teljesítmény és az impedancia fázorábrát. Számítsa ki az ellenállás UR és a kapacitás UC feszültségét f1 és f2 frekvencián. Rajzolja fel feszültség fázorábrát. + + + U Z S UR R P +j

I

ϕ

ϕ

+j

ϕ

+j

-jXC -jQ UC {I2=12,5 A, XC=10 Ω, P2=3,75 kW, Q2=−1,5625 kvar, S2=4,0625 kVA, cosϕ =0,923, UR1=312 V, UR2=300 V, UC1=91 V, UC2=125 V}

62

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye 9. Az ábrán látható párhuzamos R-L kört U=173 Veff feszültségről tápláljuk, a tápfrekvencia f=50 Hz. Az ellenállás nagysága R=17,3 Ω, induktivitáson folyó áram effektív értéke ILeff=17,3 A. Számítsa ki az L induktivitás értékét, az eredő I áramot, U az áramkör Z impedanciáját és Y admittanciáját, az S látszólagos-, a P hatásos-, a Q meddő teljesítményt és a cosϕ-t.

R

IR

I

L IL

10. Az ábrán látható váltakozó áramú körben az R I L induktivitás L=68 mH, az ellenállás értéke R=20 Ω, a tápfrekvencia f=50 Hz, az ellenálláUR UL son mérhető feszültség effektív értéke UR=200 C UC V, a kondenzátor feszültségének effektív értéke U UC=100 V. Számítsa ki az I áramot, a kondenzátor C kapacitását, az induktivitás feszültségének UL effektív értékét, U feszültség effektív értékét, a Z impedanciát, a ϕ fázisszöget, valamint az S látszólagos, a P hatásos és a Q meddő teljesítményt. {I=10 A, C=318,3 µF, UL=213,6 V, U=230 V, Z=23 Ω, ϕ=29,6°ind, S=2,3 kVA, P=2 kW, Q=1,136 kvar} 11. Az ábrán látható R1-L áramkört U=170 V feszültségű (effektív érték), f=50 Hz frekvenciájú forrásról tápláljuk. Az effektív értéket mérő két műszer U=150 V-ot illetve I=10 A-t mutat. a) Számítsa ki az R1 ellenállást, az L induktivitást és a teljesítménytényezőt (cosϕ), írja fel a komplex impedanciát és a komplex teljesítményt, rajzolja fel az áramkör feszültség és áram fázorábráját. o {R1=15 Ω, L=25,47 mH, cosϕ=0,8823, Z = 15 + j8 = 17e j 28, 072 Ω, o

S = 1499,9 + j 799,85 = 1700e j 28, 072 VA}, V

+

U

UR

R1 A U

ϕ R2

L

I

+j UL

b) Az L induktivitással egy R2=6 Ω értékű ellenállást kapcsolunk párhuzamosan. Mennyi lesz ebben az esetben az áram, mekkora az R1 ellenálláson mérhető feszültség és az eredő teljesítménytényező? Rajzolja fel a kör admittancia-impedancia fázorábráját. Számítsa ki az eredő S, P, Q teljesítményeket. o {I=8,919 A, U1=133,8 V, cosϕ=0,988, S = 1498,6 + j 229,09 = 1516e j 8, 686 VA, P=1498,6 W, Q=229,09 var (ind)}

63


2014

ZLR2

Ze

+

1 = YLR2

R1

+j

ϕ jXL

YLR2 G2 -jBL

R1 12. Az ábrán látható áramkörben R1=16 Ω, A C=80 µF, a tápfrekvencia f=50 Hz, a kondenzáI toron lévő, effektív értéket mérő voltmérő Uc V UC=240 V-ot, az ugyancsak effektív értéket Uk R2 C mérő ampermérő I=10 A-t mutat. Rajzolja fel a teljes impedancia-admittancia, valamint áramfeszültség fázorábrát. Számítsa ki az R2 ellenállás értékét, írja fel az eredő komplex impedanciát, határozza meg az Uk kapocsfeszültség effektív értékét. Számítsa ki az (I áram és az Uk feszültség közötti) eredő fázisszöget és az eredő komplex teljesítményt. + + Ze

U R1 +j

I

ϕ

R1

U C = U R2 I R2

+j

IC

YCR2

G2

ϕ

ZCR2

jBC

{R2=30 Ω, Ze = 35,167 − j14,44 = 38e − j 22,32 , Uk=380 V, ϕ=22,33°, o

o

S = 3515 − j1443,77 = 3800e − j 22,33 VA} 13. Egy 3 fázisú, szimmetrikus, csillag kapcsolású generátor feszülsége 3x10 kV, terhelése cosϕ=0,8 mellett 5 MW. Mekkora az áram? Mekkora a hatásos teljesítmény változatlan nagyságú áram és cosϕ=0,9 mellett? {I=360,8 A, P=5,624 MW} 14. 3 fázisú szimmetrikus hálózat vonali feszültsége 230 V, f=50 Hz, a szimmetrikus csillag kapcsolású terhelés fázisonkénti impedanciája Z = 8+j6. Mekkora a fázisáram, a vonali áram, a fázisszög, a hatásos-,a meddő- és a látszólagos teljesítmény? {If=Iv=13,28 A, ϕ=36,87°, P=4232,3 W, S=5290 VA, Q=3174 var} 15. Egy 3 fázisú, szimmetrikus hálózat vonali feszültsége 1100 V, frekvenciája 50 Hz, a szimmetrikus csillag kapcsolású fogyasztó teljesítménye 150 kW, árama 100 A, az áram siet.

64

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye Határozza meg a fogyasztó párhuzamos kapcsolással modellezett áramköri elemeit. {S=190,5 kVA, cosϕ=0,789, R=5 ohm, Q=116,967 kvar, C=816,6 µF} 16. Egy 3 fázisú szimmetrikus hálózat vonali feszültsége 380 V, f=50 Hz, a szimmetrikus háromszög kapcsolású ohmos fogyasztó fázisonkénti ellenállása 45 Ω. Mekkora a fázisáram, a vonali áram, a fázisszög, a fázisonkénti és a 3 fázisú teljesítmény? {If=8,44 A, Iv=14,62 A, cosϕ=1, P1f=3207,2 W, P3f=9621,6 W} 17. Egy 3 fázisú motor adattábláján a következők olvashatók: U=3x380 V, f=50 Hz, I=4,6 A, cosϕ=0,82 (induktív), P=2 kW (leadott), kapcsolás: Y. Mekkora a hálózati P, Q, S, a hatásfok, a párhuzamos kapcsolással modellezett helyettesítő áramköri (fázis) elemek? {Pfel=2482,6 W, Q=1731,8 var, S=3027,6 VA, η=0,8056, R=58,19 Ω, L=0,265 H} 18. Egy 3 fázisú szimmetrikus hálózat feszültsége 3x380 V, f=50 Hz, vonali árama 30A, a fázisszög 30° (késő). Mekkora a hálózati P, Q, S? {P=18 kW, Q=10,392 kvar, S=20,784 kVA} 19. Egy 3x400 V, f=50 Hz feszültségű szimmetrikus hálózatról 3 tekercset táplálnak. A térben szimmetrikusan elhelyezett, Y-kapcsolású tekercsek ellenállása R=100 Ω, önindukciós tényezője L=0,8 H, az egyes tekercsek közötti kölcsönös indukciós tényező M=0,3 H. Mekkora az áram és a teljesítménytényező? {I=1,236 A, cosϕ=0,537} 20. Egy 3x400 V, f=50 Hz feszültségű szimmetrikus hálózat ∆-kapcsolású, szimmetrikus fogyasztót táplál, a fázisáram 20 A, a fázisszög 40° (késő). Mekkora a vonali áram és a hálózati P, Q, S? {Iv=34,64 A, P=18,385 kW, Q=15,426 kvar, S=24 kVA } 21. Egy 3x230 V, f=50 Hz feszültségű szimmetrikus hálózatról három Z f = 8+j6 Ω impedanciájú, ∆-kapcsolású fogyasztót táplálnak. Mekkora a vonali áram és a hálózati P, Q, S? {Iv=40 A, P=12,74 kW, Q=9,56 kvar, S=15,93 kVA } 22. Egy szimmetrikus háromfázisú ohmos-induktív fogyasztót 3x415 V, f=50 Hz feszültségű szimmetrikus hálózatról táplálnak. Két-két csatlakozási pont között 3 Ω egyenáramú (ohmos) ellenállás mérhető, a vonali áram 100 A. Mekkora a teljesítmény tényező? Mekkora a fogyasztó egyes fázisainak ellenállása és reaktanciája csillag és háromszög kapcsolás feltételezésével? {S=71,88 kVA, P=45 kW, Q=56,05 kvar, cosϕ=0,626, RY=1,5 Ω, XLY=1,868 Ω, R∆=4,5 Ω, XL∆=5,6 Ω}

65

V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

Recommend Documents