ÚVOD DO PŘENOSOVÝCH JEVŮ PRO INTELIGENTNÍ BUDOVY
Ing. Martin Barták, Ph.D.
Praha, červenec 2010 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
OBSAH Přehled základního značení...............................................................................................4 1. Úvod ............................................................................................................................6 2. Základní pojmy............................................................................................................7 3. Statika tekutin ............................................................................................................11 3.1 Eulerova rovnice hydrostatiky ..........................................................................11 3.2 Statický tah v komíně........................................................................................12 3.3 Účinný vztlak v budově ....................................................................................13 4. Rovnice kontinuity ....................................................................................................15 4.1 Průtok kapaliny potrubím..................................................................................15 4.2 Rovnice kontinuity při proudění kapaliny potrubím.........................................16 4.3 Rovnice kontinuity při proudění stlačitelné tekutiny potrubím ........................17 4.4 Rovnice kontinuity pro prostorové proudění stlačitelné tekutiny .....................19 5. Materiální derivace ....................................................................................................21 5.1 Lokální a konvektivní změna veličiny ..............................................................21 5.2 Derivace sledující pohyb tekutiny.....................................................................22 5.3 Materiální derivace skaláru a vektoru ...............................................................23 6. Bernoulliho rovnice ...................................................................................................25 6.1 Bernoulliho rovnice podél proudnice v ideální tekutině ...................................25 6.2 Bernoulliho rovnice pro proudění reálné kapaliny potrubím............................27 6.3 Tlakové ztráty v potrubí ....................................................................................28 6.4 Střední rychlosti ................................................................................................30 7. Energetická rovnice ...................................................................................................33 7.1 Základy technické termodynamiky ...................................................................33 7.2 Energetická rovnice pro pevný kontrolní objem protékaný tekutinou..............37 7.3 Význam druhého termodynamického zákona...................................................38 7.4 Vztah energetické a pohybové (Bernoulliho) rovnice ......................................38 8. Transportní rovnice v prostoru ..................................................................................39 8.1 Eulerova pohybová rovnice...............................................................................39 8.2 Navierova-Stokesova pohybová rovnice...........................................................41 8.3 Bilance v pevném kontrolním objemu ..............................................................42 8.4 Transportní rovnice pro nestlačitelnou tekutinu v prostoru ..............................44 9. Turbulentní proudění .................................................................................................46 9.1 Základní vlastnosti turbulence ..........................................................................46 9.2 Reynoldsův statistický popis turbulence...........................................................47 9.3 Turbulentní (vírová) viskozita ..........................................................................50 10. Podobnost a modelování............................................................................................52 10.1 Metody řešení úloh z přenosových jevů............................................................52 10.2 Analogie a podobnost molekulárního přenosu hybnosti, tepla a hmoty ...........53 10.3 Kriteria podobnosti při nestacionárním vedení tepla ........................................56 10.4 Kriteria dynamické podobnosti ve větrání ........................................................58
2
11. Vedení a prostup tepla ...............................................................................................60 11.1 Fourierův zákon ................................................................................................60 11.2 Fourierova-Kirchhoffova rovnice vedení tepla.................................................60 11.3 Stacionární prostup tepla rovinnou a válcovou stěnou .....................................63 11.4 Ochlazování a ohřev těles při malém Biotově čísle ..........................................68 12. Přenos tepla prouděním – konvekce ..........................................................................70 12.1 Základní klasifikace případů konvekce.............................................................70 12.2 Newtonův ochlazovací zákon ...........................................................................71 12.3 Kriteriální rovnice pro výpočet součinitele konvekce ......................................72 12.4 Význam Nusseltova čísla ..................................................................................73 12.5 Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci ........................................................74 12.6 Kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci.....................................................75 13. Přenos hmoty (se zaměřením na vlhkost)..................................................................76 13.1 Základy termodynamiky vlhkého vzduchu.......................................................76 13.2 Přenos vlhkosti difúzí (molekulární přenos) .....................................................79 13.3 Přenos vlhkosti difúzí na hladině vody .............................................................80 13.4 Přenos vlhkosti konvekcí ..................................................................................80 13.5 Význam Sherwoodova kritéria..........................................................................81 13.6 Lewisův vztah ...................................................................................................83 14. Přenos tepla zářením – radiace ..................................................................................84 14.1 Záření dokonale černého tělesa.........................................................................85 14.2 Spektrální a směrové vlastnosti povrchů těles ..................................................86 14.3 Přenos tepla zářením mezi dvěma povrchy.......................................................88 14.4 Současný přenos tepla konvekcí a radiací.........................................................89 14.5 Sluneční záření ..................................................................................................90 15. Základy tepelné techniky staveb................................................................................93 15.1 Tepelné zisky průsvitnými stěnami (zasklením) ...............................................94 15.2 Prostup tepla vnějšími neprůsvitnými stěnami ..................................................95 15.3 Vzájemné sálání Země a oblohy........................................................................98 16. Výměníky tepla..........................................................................................................99 16.1 Základní pojmy .................................................................................................99 16.2 Rekuperační výměníky ...................................................................................100 16.3 Regenerační výměníky....................................................................................103 16.4 Směšovací výměníky ......................................................................................105 Literatura k dalšímu studiu............................................................................................107
3
PŘEHLED ZÁKLADNÍHO ZNAČENÍ a a C& cp D DAB E Eλ F G g H H& h& h hk hr IT I i K kT L M M& m& n p Q Q& q& q& L R RL r S T t U UL u V x y z
[m·s–2] [m2·s–1] [W·K–1] [J·kg–1·K–1] [m] [m2·s–1] [W·m–2] [W·m–2·m–1] [N] [W·m–2] [m·s–2] [kg·m·s–1] [N] [N·m–2] [m] [W·m–2·K–1] [W·m–2·K–1] [-] [J] [J·kg–1] [m·s–2] [m2·s–2] [m] [kg] [kg·s–1] [kg·s–1·m–2] [kmol] [Pa] [J] [W] [W·m–2] [W·m–1] [m2·K·W–1] [m·K·W–1] [J·kg–1·K–1] [m2] [K], [°C] [s] [W·m–2·K–1] [W·m–1·K–1] [m·s–1] [m3] [m] [m] [m]
zrychlení součinitel teplotní vodivosti (termální difuzivita) průtočná tepelná kapacita měrná tepelná kapacita (při stálém tlaku) průměr součinitel binární difúze (koncentrační difuzivita) hustota zářivého toku (integrální) spektrální hustota zářivého toku síla sluneční ozáření tíhové zrychlení hybnost hybnostní tok (průtočná hybnost) hustota hybnostního toku výška součinitel přenosu tepla konvekcí (prouděním) součinitel přenosu tepla radiací (sáláním) intenzita turbulence entalpie měrná entalpie intenzita silového pole specifická kinetická energie turbulence délka hmotnost hmotnostní tok hustota hmotnostního toku látkové množství tlak teplo tepelný tok hustota tepelného toku tepelný tok válcovou stěnou vztažený na její délku tepelný odpor tepelný odpor válcové stěny vztažený na její délku měrná plynová konstanta plocha teplota čas součinitel prostupu tepla součinitel prostupu tepla válcové stěny vztažený na její délku rychlost objem souřadnice polohy souřadnice polohy souřadnice polohy
4
α β ε ζ η ϑ λ λF μ μΤ ν νΤ ξ ρ ρ τ τ
[-] [K–1] [-] [-] [-] [-] [W·m–1·K–1] [-] [Pa·s] [Pa·s] [m2·s–1] [m2·s–1] [m] [kg·m–3] [-] [Pa] [-]
součinitel pohltivosti tepelné radiace součinitel teplotní roztažnosti součinitel emisivity (zářivosti) tepelné radiace součinitel lokální (tlakové) ztráty tepelná účinnost výměníku teplotní faktor výměníku součinitel tepelné vodivosti součinitel třecí (tlakové) ztráty dynamická viskozita turbulentní dynamická viskozita kinematická viskozita (hybnostní difuzivita) turbulentní kinematická viskozita souřadnice polohy hustota; hmotnostní koncentrace součinitel odrazivosti tepelné radiace smykové napětí součinitel propustnosti tepelné radiace
5
1. ÚVOD Příručka Úvod do přenosových jevů je určena studentům magisterského programu Inteligentní budovy. Cílem výuky Přenosové jevy, a tedy i tohoto studijního textu, je poskytnout teoretický základ především pro další předměty z oblasti tepelné techniky budov a zařízení techniky prostředí (vytápění, větrání, klimatizace), s nimiž se studenti programu Inteligentní budovy setkají během studia. Přenosovými jevy se v mechanice souhrnně označuje přenos hybnosti, tepla a hmoty. Tyto dílčí procesy často probíhají současně, existují mezi nimi analogie a podobnosti, navzájem se ovlivňují a často není ani možné studovat je odděleně. Z těchto důvodů je pro ně vyvinuta jednotná teorie přenosových jevů. Protože však výuka předmětu Přenosové jevy počítá s účastí studentů, kteří se např. s Bernoulliho rovnicí setkali naposledy na střední škole (pokud vůbec), je výklad uspořádán zvlášť pro mechaniku tekutin, sdílení tepla a přenos hmoty, což je názornější a vhodnější pro postupné získání představy o fyzikální podstatě studovaných dějů. Obsah příručky vychází z toho, že by úroveň znalostí z přenosových jevů u studentů programu Inteligentní budovy měla přibližně odpovídat znalostem absolventa bakalářského studia na strojní fakultě, přičemž jsou určitá témata rozšířena a prohloubena s ohledem na zaměření studijního programu, některá jsou naopak vyložena velmi stručně nebo naopak z výuky zcela vypuštěna. Kapitoly 3 až 9 jsou věnovány především mechanice tekutin. V kapitole 7, zaměřené na energetickou rovnici, jsou stručně vyloženy některé obecné poznatky z termodynamiky, které jsou důležité také pro pochopení úprav stavu vlhkého vzduchu. Kapitola 8 ukazuje univerzální tvar základních rovnic, které používáme pro řešení přenosových jevů, a je tedy náhledem do jednotného pojetí teorie přenosových jevů. Kapitola 10 pojednává o podobnosti a modelování, které jsou nezbytným nástrojem pro řešení úloh z přenosu tepla a hmoty, kterým jsou věnovány další čtyři kapitoly 11 až 14. Kapitola 13 obsahuje mimo jiné základy termodynamiky vlhkého vzduchu. Dvě poslední kapitoly příručky jsou věnovány aplikacím probrané teorie v tepelné technice staveb a ve výměnících tepla. Pro zájemce o širší a hlubší poznatky v dané oblasti je na konci příručky uveden seznam skript vydaných na Fakultě strojní ČVUT v Praze, v nichž se lze seznámit s podrobnějším teoretickým výkladem některých partií přenosových jevů, případně s tématy, která se nevešla do tohoto studijního textu. Přenosové jevy jsou samozřejmě předmětem řady kvalitních zahraničních učebnic a monografií, za všechny je třeba jmenovat dnes již legendární knihu Transport phenomena autorů R. B. Birda, W. E. Stewarta a E. N. Lightfoota.
6
2. ZÁKLADNÍ POJMY Kontinuum Při řešení úloh z přenosových jevů zanedbáváme molekulární (nespojitou) strukturu látek a považujeme je za spojité prostředí – kontinuum, které je běžně izotropické, tzn. že má stejné vlastnosti ve všech směrech. Kontinuum umožňuje popsat stav látky a procesy, které vedou k jeho změně, spojitými funkcemi, k jejichž vyšetřování používáme matematický aparát diferenciálního a integrálního počtu. Pod pojmem částice látky rozumíme velmi malý objem zaplněný značným počtem molekul látky. Změny veličin ve spojitém prostředí vyjadřujeme diferenciálem funkce prvního řádu. Z matematického hlediska je to pouze přibližné vyjádření, které si lze představit jako náhradu přírůstku funkce, jejímž grafem je křivka, přírůstkem na tečně k této křivce. V obecném případě je jakákoliv veličina funkcí polohy v prostoru (popsané např. třemi kartézskými souřadnicemi) a času
φ = φ ( x, y, z , t )
(2.1)
a její změna (tj. diferenciál) ve zvoleném směru, např. ve směru osy x je d xφ =
∂φ dx ∂x
(2.2)
Kontrolní objem Bilancování toků veličin v látce provádíme na vymezené oblasti, kterou nazýváme kontrolním objemem (kontrolní oblastí). Hranice kontrolního objemu mohou být propustné nebo nepropustné, pohyblivé nebo nepohyblivé, celý kontrolní objem se může pohybovat nebo být nepohyblivý. Nejčastěji se používají dvě formy kontrolního objemu: - pevný kontrolní objem, který je nepohyblivý a nemění svůj tvar, může mít propustné některé hranice, takže se přes ně mohu pohybovat částice látky (kontrolní objem protékaný tekutinou); - materiální kontrolní objem, který je pohyblivý (jeho aplikace má tedy smysl pouze pro tekutiny) a může měnit svůj tvar, obsahuje však stále tytéž částice látky. Základní zákony Základní rovnice popisující přenosové děje vycházejí ze zákonů zachování hmoty, hybnosti a energie. Názvosloví rovnic a přiřazení k základním zákonům je následující - zákon zachování hmoty: rovnice kontinuity - zákon zachování hybnosti (2. Newtonův pohybový zákon): pohybová rovnice - zákon zachování energie (1. termodynamický zákon): energetická rovnice Při odvození rovnice kontinuity nebo energetické rovnice vycházíme z bilance příslušné veličiny pro kontrolní oblast. Bilanční úvahu lze slovy vyjádřit tak, že rozdíl přívodu a odvodu příslušné veličiny přes hranice kontrolní oblasti je roven akumulaci (tj. změně obsahu) této veličiny v kontrolní oblasti. Při odvození pohybových rovnic (které přicházejí v úvahu jen pro tekutiny) vycházíme z 2. Newtonova zákona a provádíme bilanci sil působících na částici tekutiny (vnějších a setrvačných podle d'Alembertova principu). Síly působící na částici tekutiny Vnější síly, kterými působí okolí na částici tekutiny, lze rozdělit na objemové, působící v celém objemu částice, a povrchové, působící pouze na povrchu částice (obr. 2.1).
7
objemové
tíhová síla Fg = M·g (...) (...)
síly povrchové
kolmé ... tlaková síla Fp = p·S tečné ... třecí síla Ft = τ ·S
Obr. 2.1 – Rozdělení sil působících na částici tekutiny Objemové síly jsou úměrné hmotnosti M tekutiny, na kterou působí; příkladem je síla vyvolaná tíhovým polem Země. Působiště objemové síly je v těžišti tělesa (zvoleného objemu nebo částice tekutiny). Vyjádření objemové síly můžeme zobecnit do tvaru r r Fo = K ⋅ M (2.3) r r r r kde K = K x i + K y j + K z k je vektor intenzity vnějšího silového pole vyjádřený složkami v kartézském systému souřadnic. Má fyzikální rozměr zrychlení [m·s–2]. Povrchové síly jsou úměrné ploše S povrchu, na který působí. Můžeme je rozdělit podle směru působení vzhledem k příslušnému povrchu na kolmé a tečné. Tlaková síla působí kolmo na povrch a platí pro ni r r Fp = − p ⋅ S ⋅ n (2.4) r kde n je vektor tzv. vnější normály – kolmice směřující ven z objemu tekutiny, na který působí okolní tlak p [Pa]. Záporné znaménko vyjadřuje skutečnost, že tlaková síla působí směrem dovnitř částice tekutiny. Vyjádřit třecí sílu jako vektor není tak jednoduché, jako v případě síly tlakové, protože napětí působící v tekutině je ve skutečnosti tenzorem 2. řádu. Můžeme alespoň vyjádřit velikost tečné síly r Ft = τ ⋅ S (2.5) kde τ [Pa] je tečné (smykové) napětí způsobené viskozitou tekutiny. V newtonské tekutině může třecí síla vzniknout pouze při pohybu – buď vzájemným pohybem částic tekutiny nebo když tekutina obtéká jiné těleso. Tok a hustota toku veličiny Množství látky (hmoty) popisujeme hmotností M [kg]. Rychlost přenosu hmoty vyjadřujeme hmotnostním tokem, jehož průměrná hodnota je dána množstvím přenesené hmoty ΔM za časový úsek Δt. V limitním případě, kdy časový interval zkrátíme téměř k nule, získáme okamžitou hodnotu hmotnostního toku [kg/s] ΔM dM = M& = lim Δt → 0 Δt dt
(2.6)
Hmotnostní tok je tedy vyjádřen derivací hmotnosti podle času (tato derivace se označuje tečkou nad derivovanou veličinou). Intenzitu neboli hustotu hmotnostního toku získáme dělením hmotnostního toku plochou povrchu Sn, přes který se látka přenáší a který je kolmý na směr jejího toku. Průměrná hodnota hustoty hmotnostního toku je
8
m& =
M& Sn
(2.7)
⎡ hmotnost ⎤ kg a fyzikální rozměr této veličiny je ⎢ = . ⎥ s ⋅ m2 ⎣ čas ⋅ plocha ⎦ Hustota hmotnostního toku může být různá v různých místech, lokální hodnota této veličiny je dána podílem části průtoku připadajícího na element povrchu v daném místě a velikosti tohoto povrchu
m& =
dM& dS n
(2.8)
Hmotnostní tok celým povrchem pak bude M& = ∫ m& dS n
(2.9)
Sn
Teplo je množství energie [J], kterou musíme dodat látce o hmotnosti M [kg] a měrné teplené kapacitě cp [J·kg–1·K–1], aby se její teplota změnila o ΔT [K nebo °C]
Q = M c p ΔT
(2.10)
Časovou derivací tohoto součinu je tepelný tok [J·s–1] = [W] dQ Q& = dt
(2.11)
Dělením tepelného toku plochou kolmého povrchu, přes který se teplo přenáší, obdržíme hustotu tepelného toku. Průměrná hodnota hustoty tepelného toku je
q& =
Q& Sn
(2.12)
⎡ teplo ⎤ J W a má fyzikální rozměr ⎢ = = 2. ⎥ 2 s⋅m m ⎣ čas ⋅ plocha ⎦ Lokální hodnota hustoty tepelného toku je q& =
dQ& dS n
(2.13)
a tepelný tok celým povrchem je
Q& = ∫ q& dS n
(2.14)
Sn
Hybnost [kg·m·s–1] je dána součinem hmotnosti a rychlosti (tělesa, částice tekutiny apod.) H = M ·u
(2.15)
Tok hybnosti [kg·m·s–2] získáme jako časovou derivaci hybnosti dH H& = dt
(2.16)
Hustotu (intenzitu) toku hybnosti získáme dělením toku hybnosti plochou, přes kterou se hybnost přenáší. Průměrná hodnota hustoty hmotnostního toku je
9
H& h& = Sn
(2.17)
a její lokální hodnota je dH& h& = dS n
(2.18)
Tok hybnosti přes celou plochu Sn bude H& = ∫ h& dS n
(2.19)
Sn
⎡ hybnost ⎤ kg ⋅ m ⋅ s –1 kg ⋅ m ⋅ s –2 N = = = 2 Fyzikální rozměr hustoty toku hybnosti ⎢ ⎥ 2 2 s⋅m m m ⎣ čas ⋅ plocha ⎦ odpovídá napětí, konkrétně smykovému napětí τ [Pa], které vzniká mezi vrstvami tekutiny pohybujícími se různou rychlostí. Vlastnosti tekutin Tekutiny jsou látky s malou soudržností mezi částicemi. Nemají vlastní tvar a jejich částice lze uvést do vzájemného pohybu působením i velmi malých tečných sil. Stlačitelnost je schopnost tekutiny měnit svůj objem a tím i hustotu při změně tlaku. Tekutiny rozdělujeme na kapaliny, které pod vlivem tlaku mění svůj objem nepatrně – jsou téměř nestlačitelné, a vzdušiny (plyny a páry), které se vyznačují velkou stlačitelností. Kapaliny se od plynů a par odlišují také tím, že vytvářejí volnou hladinu a v malých objemech kapky. Kapaliny považujeme v technické praxi za nestlačitelné až do tlaků 10 MPa. Při tlakových kmitech v potrubí (hydraulických rázech) je však nutno stlačitelnost kapaliny respektovat. Plyny a páry se vyznačují velkou stlačitelností, takže výpočty proudění vzdušin jsou komplikovanější než v případě kapalin. Avšak při relativně malých změnách tlaku jsou i změny hustoty plynů a par tak malé, že můžeme stlačitelnost zanedbat. Vzduchu se považuje za nestlačitelný při rychlostech proudění menších než 70 m/s (někdy se uvádí až 100 m/s). Teplotní roztažnost se projevuje změnou objemu a hustoty tekutiny s teplotou. Teplotní roztažnost tekutin musíme respektovat při neizotermním proudění, kdy je příčinou vzniku vztlakových sil. Viskozita se projevuje odporem proti vzájemnému posuvu částic tekutiny a vznikem tečného (smykového) napětí mezi vrstvami proudící tekutiny a na rozhraní mezi proudící tekutinou a stěnou. Viskózní tření způsobuje odpor při průtoku tekutin potrubím a při obtékání těles. Ve větrání a vytápění budov se setkáváme vesměs s tzv. newtonskými tekutinami, u nichž existuje lineární závislost mezi tečným napětím a příčným gradientem rychlosti (Newtonův třecí zákon). Z hlediska respektování nebo zanedbání stlačitelnosti a viskozity můžeme vytvořit čtyři různě idealizované modely tekutiny: - ideální kapalina – nestlačitelná tekutina bez viskozity - ideální plyn – stlačitelná tekutina bez viskozity - vazká kapalina – nestlačitelná tekutina s viskozitou - vazký plyn – stlačitelná tekutina s viskozitou Nahrazením reálné tekutiny idealizovaným modelem můžeme výpočet proudění zjednodušit, a přitom vhodným výběrem stupně idealizace tekutiny získáme použitelné výsledky.
10
3. STATIKA TEKUTIN 3.1 Eulerova rovnice hydrostatiky Uvažujme nestlačitelnou newtonskou tekutinu v klidu, jejíž částice o velmi malých rozměrech dx, dy a dz má hmotnost dM = ρ ·dV = ρ ·dx·dy·dz. Částice je v klidu, takže síly na ni působící musí být v rovnováze (jejich výslednice je nulový vektor). Navíc platí, že v newtonské tekutině, která je v klidu a jejíž částice se navzájem nepohybují, mohou z povrchových sil působit pouze tlakové, třecí jsou vyloučeny. Na obr. 3.1 jsou znázorněny síly působící ve směru osy x. Zleva působí na částici síla vyvolaná tlakem p na plošku dy·dz, vpravo působí tlak, který se v důsledku změny polohy o dx liší od p o malou hodnotu dxp (tj. diferenciál tlaku ve směru x). Tlaková síla zprava je orientovaná proti směru osy x, budeme ji dále uvažovat jako zápornou. Objemová síla ve směru osy x je dána součinem příslušné složky intenzity vnějšího silového pole Kx a hmotnosti částice dM. p·dydz
Kx dM
(p + dxp)·dydz dy dz
dx Obr. 3.1 – Tlakové a objemové síly působící na částici tekutiny ve směru osy x Protože výslednice sil je nulový vektor, musí být každá jeho složka rovna nule, tedy i složka do směru osy x, takže platí K x ρ dV + p dydz − ( p + d x p)dydz = K x ρ dV − d x p ⋅ dydz = 0 , ∂p kde za diferenciál tlaku ve směru osy x dosadíme d x p = dx . ∂x ∂p ∂p K x ρ dV − dxdydz = K x ρ dV − dV = 0 ∂x ∂x a po vydělením rovnice hustotou ρ a objemem dV obdržíme Kx −
1 ∂p =0 ρ ∂x
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Obdobným způsobem lze vyjádřit rovnováhu sil do směrů osy y a z: Ky −
1 ∂p =0 ρ ∂y
(3.4)
Kz −
1 ∂p =0 ρ ∂z
(3.5)
Poslední tři rovnice jsou složkovým vyjádřením Eulerovy rovnice hydrostatiky. Vektorový tvar rovnice získáme, když každou z rovnic vynásobíme příslušným směrovým vektorem souřadnicové osy a všechny tři sečteme ⎛ 1 ∂p ⎞ r ⎛ 1 ∂p ⎞ r ⎛ 1 ∂p ⎞ r r ⎟⎟ ⋅ j + ⎜⎜ K z − ⎜⎜ K x − ⎟⎟ ⋅ i + ⎜⎜ K y − ⎟⋅k = 0 ρ ∂x ⎠ ρ ∂y ⎠ ρ ∂z ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝
11
(3.6)
Dále přeskupíme členy na levé straně: r 1 ⎛ ∂p r ∂p r ∂p r ⎞ r r r K x ⋅ i + K y ⋅ j + K z ⋅ k − ⎜⎜ ⋅ i + ⋅ j+ ⋅k ⎟ = 0 (3.7) ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ Výraz v závorce vyjadřuje vektor gradientu tlaku, který lze zapsat pomocí Hamiltonova r r ∂ r ∂ r ∂ + j + k . Vektorový zápis Eulerovy rovnice (ER) vektorového operátoru ∇ = i ∂x ∂y ∂z hydrostatiky bude r r 1 r 1 r K − grad p = K − ∇p = 0 (3.8)
ρ
ρ
V zemském tíhovém poli uvažujeme jako objemovou sílu pouze tíhu, která působí svisle. Intenzita pole vnějších sil bude mít složky Ky = –g = –9,81 m/s2 a Kx = Kz = 0. Ze tří složkových rovnic vypadnou dvě, do směrů x a z. V tíhovém poli Země se tlak nemění ve vodorovném směru. Složková rovnice do svislého směru y má charakter obyčejné diferenciální rovnice, protože tlak se mění pouze s výškou: −g−
1 dp = 0 ⇒ dp = − ρ g dy ρ dy
(3.9)
Z integrace poslední rovnice vyplývá, že rozdíl tlaků mezi místy (1) a (2) v nestlačitelné tekutině je úměrný rozdílu výšek těchto míst nad pevně zvolenou vodorovnou rovinou:
p 2 − p1 = − ρ g (y 2 − y1 )
(3.10)
Vidíme, že tlak v nestlačitelné tekutině klesá lineárně s rostoucí výškou nad vztažnou rovinou. Rovnice má přívlastek hydrostatiky, ale platí pro jakoukoliv nestlačitelnou tekutinu, nejen pro vodu. Pro atmosférický vzduch v klidu můžeme uvažovat nezávislost hustoty na tlaku (nestlačitelnost) při rozdílu výšek do 100 m.
3.2 Statický tah v komíně Tzv. komínový efekt nebo přirozený tah vzniká jako rozdíl statického tlaku v komíně (také ve svislé větrací šachtě, ve vytápěné budově apod.) a statického tlaku okolního vzduchu. Tento rozdíl tlaků narůstá s výškou komínu (šachty, budovy). Statický tlak spalin v komíně i tlak okolního vzduchu klesají s výškou podle rovnice (3.10), avšak každý s jiným sklonem, protože okolní vzduch má obvykle nižší teplotu a proto vyšší hustotu než spaliny v komíně (výjimkou je tzv. obrácený tah, se kterým se můžeme setkat např. při zapalování paliva v krbu v létě). Pro jednoduchost budeme uvažovat konstantní teplotu okolního vzduchu i spalin v komíně, takže jejich hustoty budou také konstantní, přičemž hustota vzduchu bude větší než hustota spalin: ρa > ρs. Pro tlak okolního vzduchu platí lineární závislost p a = p0 − ρ a g y
(3.11)
a podobně pro tlak spalin je p s = p0 − ρ s g y .
(3.12)
Jedná se o tekutiny v klidu, proudění spalin neuvažujeme (můžeme si představit, že je výstup z komínu na chvíli uzavřen). Průběh tlaků je znázorněn na obr. 3.2.
12
y
y Δpmax
Δpmax pa
⊕ Δps
ps
h
⇒
p0
p
(p – pa)
Obr. 3.2 – Průběh statického tlaku v komíně a jeho okolí Na úrovni, kde jsou oba plyny tlakově propojeny (vodorovná čerchovaná čára v ose kouřovodu), zvolíme základní hladinu tlaku p0. Od této úrovně měříme polohu y. Vidíme, že tlak okolního vzduchu pa klesá s výškou y rychleji než tlak spalin ps. Příčinou je vyšší hustota vzduchu ρa než je hustota spalin ρs – viz rovnice (3.11) a (3.12). Z grafu vlevo můžeme odečíst rozdíl tlaků (ps – pa) v jakékoliv výšce y nad základní úrovní, Δp = ps − pa = p0 − ρ s g y − ( p0 − ρ a g y ) = ( ρ a − ρ s ) g y = Δρ g y
(3.13)
Maximální rozdíl tlaků je ve výšce h a udává tzv. statický tah v komíně: Δp max = ( ρ a − ρ s ) g h = Δρ g h ,
(3.14)
který obvykle činí jednotky (3 a více) Pa na 1 m výšky komínu. Je zvykem znázorňovat popsané tlakové poměry jedinou přímkou, která ukazuje přetlak spalin proti tlaku okolního vzduchu Δps = (ps – pa) v závislosti na poloze y – viz graf vpravo na obr. 3.2. Jedná se pouze o transformaci původního grafu ze souřadnic {y; p} do souřadnic {y; p – pa}. Poznámka: Uvedený popis se týká stavu, kdy jsou spaliny v klidu. Jakmile dojde k jejich proudění, průběh tlaku v komíně se změní, to však již není předmětem statiky tekutin.
3.3 Účinný vztlak v budově Podobně jako se vytváří tah v komíně, vzniká rozdíl statických tlaků mezi interiérem a exteriérem budovy. Předpokládejme typickou situaci v zimě. Ve vytápěné budově bude teplota vzduchu Ti větší než teplota venkovního vzduchu Te, z toho vyplývají rozdílné hustoty a jejich vztah ρe > ρi. Představme idealizovanou situaci, kdy je v přízemí budovy otevřeno okno a jinak je budova absolutně těsná, navíc se teplota vzduchu v budově nemění s výškou (obvykle teplota vzduchu v budově s výškou roste). Změnu teploty venkovního vzduchu s výškou lze zanedbat. Pak lze hustoty vzduchu považovat za konstantní (ρe = konst., ρi = konst.). Statický tlak v budově a v jejím okolí se mění s výškou podle rovnic obdobných vztahům (3.11) a (3.12), což je znázorněno na obr. 3.3. Základní hladina tlaku p0, na které je propojeno vnitřní a vnější prostředí, probíhá v úrovni otevřeného okna v přízemí. Jakmile se posuneme nad tuto základní úroveň, tlak vzduchu v budově bude větší než tlak venku, tzn. v budově bude přetlak vůči okolí a tento přetlak dále
13
poroste s výškou. Maximální přetlak Δpmax ve výšce h se nazývá účinný vztlak. Dosahuje poměrně malých hodnot (obvykle méně než 2 Pa na 1 m výšky budovy), dostačuje však na to, aby způsobil v budově přirozené větrání. y
y Δpmax
Δpmax pe
pi
⊕
h
Δpi
⇒
p
p0
(p – pe)
Obr. 3.3 – Průběh statického tlaku v budově a jejím okolí Podobně jako u komínového tahu, i v tomto případě platí uvedené výsledky jen pro těsnou budovu (s otvorem v přízemí) a vzduch v klidu. Ve skutečnosti účinný vztlak způsobí proudění vzduchu – přirozené větrání budovy, při kterém se průběh tlaku uvnitř budovy změní. I když tato situace již nespadá pod statiku tekutin, popíšeme stručně idealizovaný případ těsné budovy se dvěma otvory, jejichž výškový rozdíl je h {viz obr. 3.4). Přetlak v horní části budovy způsobí výtok vzduchu do okolí, tím bude zároveň vyvoláno nasávání vzduchu do budovy v přízemí. V přízemí vznikne podtlak (pi < pe) a při určitém zjednodušení lze předpokládat pouze vzájemný posun původních přímek tlakových průběhů tak, že se rovnováha tlaků pi = pe ustanoví v tzv. neutrální rovině, jejíž výšku h1 (příp. h2) určuje rozdělení účinného vztlaku Δpmax (3.14) na části „spotřebované“ průtokem vzduchu dolním a horním otvorem. Δp max = ( ρ a − ρ s ) g h = Δρ g h = Δp1 + Δp 2 Δp1 Δp 2
=
(3.15)
h1 h1 = h2 h − h1
(3.16) Δpmax y
y pe
Δp2 ⊕ Δpi
pi h2
h
⇒
neutrální rovina
h1 p
0 Δp1
(p – pe)
Obr. 3.4 – Schématický průběh tlaků při přirozeném větrání budovy
14
4. ROVNICE KONTINUITY 4.1 Průtok kapaliny potrubím Proudění tekutiny potrubím obvykle sledujeme v závislosti na jediné prostorové souřadnici, kterou měříme podél osy potrubí. Změny ve směrech kolmých na tuto souřadnici (např. tvar rychlostního profilu) přitom zanedbáváme. Jedná se tedy o velmi zjednodušený model jednorozměrného (1D) proudění, který však v praktických výpočtech poskytuje dostatečně přesné výsledky. Z kapitoly věnované základním pojmům si nejdříve připomeňme definici hmotnostního průtoku M& [kg/s]. Ze vztahu mezi hmotností a objemem pak vyplývá objemový průtok V& [m3/s] kapaliny (ρ = konst.):
ΔM dM d dV M& = lim = = (ρ V ) = ρ = ρ V& Δt → 0 Δt dt dt dt
(4.1)
Předpokládejme nejdříve stacionární proudění ideální kapaliny (ρ = konst. a μ = 0) dlouhou vodorovnou trubkou, která má stálý vnitřní průměr. Souvislou část objemu kapaliny označíme (např. obarvíme) a pohyb označeného objemu kapaliny sledujeme (stěna trubky může být průhledná) v závislosti na čase. Označený objem kapaliny vytvoří v trubce válec délky L [m] a průřezu S [m2] rovném vnitřnímu průřezu trubky (viz obr. 4.1).
S ΔL
L t = t0 + Δt
t = t0
Obr. 4.1 – Pohyb označeného objemu kapaliny potrubím stálého průřezu Za čas Δt se tento válec posune o ΔL, takže kolem pozorovacího místa proteče objem kapaliny ΔV = S·ΔL, kterému odpovídá hmotnost ΔM = ρ ·S·ΔL. Okamžitý hmotnostní průtok bude
dL ΔM ΔL M& = lim = lim ρ ⋅ S ⋅ = ρ ⋅S ⋅ = ρ ⋅ S ⋅u Δt → 0 Δt Δt →0 dt Δt
(4.2)
kde u [m/s] je rychlost pohybu označeného objemu, tzn. rychlost proudění. Nevazká kapalina neulpívá na stěnách trubice, která má stálý vnitřní průřez S = konst., takže všechny částice tekutiny se pohybují se stejnou a stálou rychlostí u = konst. Porovnáním posledního vztahu s rovnicí (4.1) vidíme, že objemový průtok je dán součinem průřezu trubice a rychlosti proudění V& = S ⋅ u
(4.3)
Podrobnější rozbor dále ukazuje, že objemový průtok je dán součinem rychlosti a průřezu kolmého na směr rychlosti. Na obr. 4.2 je část vodorovného potrubí (vektor rychlosti je také vodorovný), které přetíná rovinný řez o ploše S, jehož sklon popíšeme úhlem α měřeným od r roviny kolmé na rychlost (zde je to svislá rovina). Vektor rychlosti u můžeme rozložit na dvě r r složky, jednu kolmou un a druhou tečnou ut k danému řezu. Pro velikost složek rychlosti platí un = u cosα (4.4a) ut = u sin α
(4.4b)
15
r ut Sn
α
r u
r un
S
Obr. 4.2 – Průtok rovinným řezem vedeným šikmo ke směru rychlosti Objemový průtok kapaliny můžeme vyjádřit jako součet průtoků způsobených jednotlivými složkami rychlosti V& = u n S + u t S
(4.5)
Je zřejmé, že složka rychlosti ut tečná k rovině řezu se nepodílí na průtoku kapaliny daným řezem, tj. ut·S = 0. Pro objemový průtok tedy platí
V& = u n S = u cos α ⋅ S = u ⋅ S n
(4.6)
kde Sn = S·cosα je průmět plochy S do roviny kolmé na směr rychlosti u. Objemový průtok v potrubí počítáme jako součin rychlosti a rovinného průřezu kolmého na rychlost. Objemový průtok kapaliny přes obecnou zakřivenou plochu S vypočteme jako integrál r r V& = ∫ u ⋅ n ⋅ dS (4.7) S
r kde n je vektor tzv. vnější normály elementu plochy dS (viz obr. 4.3). Výsledkem skalárního r součinu vektoru rychlosti a této vnější normály je průmět vektoru u do směru kolmého na plochu dS. r S n r u
dS
Obr. 4.3 – Průtok obecnou plochou
4.2 Rovnice kontinuity při proudění kapaliny potrubím
K rovnici kontinuity pro ustálené proudění kapaliny (ρ = konst.) potrubím proměnného průřezu dospějeme jednoduchou úvahou. Z předchozího výkladu víme, že objemový průtok je dán součinem rychlosti a vnitřního průřezu potrubí kolmého na směr rychlosti. Ve dvou místech potrubí s různými průřezy bude V&1 = u1 S1
(4.8a)
V&2 = u 2 S 2
(4.8b) u1
S2
u2
S1 Obr. 4.4 – Proudění kapaliny potrubím proměnného průřezu
16
V oblasti vymezené řezy 1 a 2 a tuhými a nepropustnými stěnami potrubí nemůže docházet k žádnému zadržování ani úniku kapaliny. Kapalina nemůže měnit hustotu, takže její stlačování mezi místy 1 a 2 je rovněž vyloučeno. Z toho vyplývá, že co do oblasti řezem 1 vtéká, musí řezem 2 vytékat: V&1 = V&2 = V& = konst.
(4.9)
u1 S1 = u 2 S 2 = u S = konst.
(4.10)
Při stacionárním proudění kapaliny potrubím každé poloze měřené podél osy potrubí přísluší určitá konstantní rychlost, která je dána podílem objemového průtoku a průtočného průřezu potrubí v daném místě. Menšímu průřezu přísluší větší rychlost a naopak v místě s větším průřezem bude rychlost proudění nižší. Diferenciální tvar rovnice kontinuity pro tento případ jednorozměrného proudění získáme následujícím postupem (použijeme pravidlo pro derivaci součinu): V& = konst. ⇒ dV& = 0
(4.11a)
d(u S ) = 0
(4.11b)
du ⋅ S + u ⋅ dS = 0
(4.11c)
du dS + =0 u S
(4.11d)
Při nestacionárním proudění kapaliny je objemový průtok V& (t ) závislý na čase. Rovnice kontinuity má v tomto případě stejný formální tvar jako při ustáleném proudění s jediným rozdílem – rychlosti závisí na čase (u tuhého potrubí se průřezy S1 a S2 v čase nemění). V daném okamžiku je objemový průtok ve všech místech potrubí stejný a platí u1(t ) ⋅ S1 = u 2 (t ) ⋅ S 2
(4.12)
4.3 Rovnice kontinuity při proudění stlačitelné tekutiny potrubím Zatímco u kapaliny jsme zákon zachování hmoty mohli vyjádřit jako zachování objemového průtoku, u stlačitelné tekutiny (ρ ≠ konst.) musíme důsledně počítat s hmotnostním průtokem, který je dán součinem místní hodnoty průřezu, rychlosti a hustoty tekutiny podle vztahu (4.2).
M& + dM&
M& dξ
ξ
Obr. 4.5 – Průtok stlačitelné tekutiny kontrolní oblastí Podle obr. 4.5 odvodíme rovnici kontinuity pro nestacionární proudění stlačitelné tekutiny tuhým potrubím. Budeme sledovat hmotnostní průtoky ve dvou řezech, navzájem vzdálených o diferenciál souřadnice polohy dξ. Tyto řezy vymezí v potrubí pevnou kontrolní oblast o objemu S·dξ, ve kterém je tekutina o hmotnosti ρ ·S·dξ. Stěny potrubí považujeme za tuhé a nepropustné. V libovolně zvoleném časovém okamžiku změříme současně průtoky v obou
17
průřezech. Obecně se mohou lišit o hodnotu dM& , která vyplývá jen ze změny polohy o dξ (průtoky měříme současně, takže vliv času na jejich rozdíl můžeme vyloučit). Za nekonečně malý časový interval dt přiteče do kontrolní oblasti tekutina o hmotnosti
M& ⋅ dt = ρ u S ⋅ dt
(4.13)
a z kontrolní oblasti vyteče tekutina o hmotnosti
⎡ ∂( ρ u S ) ⎤ ( M& + dM& ) ⋅ dt = ⎢ ρ u S + dξ ⎥ ⋅ dt ∂ξ ⎣ ⎦
(4.14)
Pevná kontrolní oblast nemůže měnit svůj objem (ani svou polohu). Tekutina je však stlačitelná, takže se její hmotnost v kontrolní oblasti může za časový interval dt změnit o
∂ ( ρ S dξ ) ∂ρ dt = dt ⋅S dξ ∂t ∂t
(4.15)
Pro výše popsanou kontrolní oblast použijeme základní bilanční úvahu, že rozdíl přívodu (4.13) a odvodu (4.14) je roven akumulaci (4.15):
⎡
ρ u S ⋅ dt − ⎢ ρ u S + ⎣
∂( ρ u S ) ⎤ ∂ρ dξ ⎥ ⋅ dt = dt ⋅S dξ ∂ξ ∂t ⎦
(4.16)
a po odečtení stejných členů a převodu na jednu stranu rovnice obdržíme
∂ρ ∂( ρ u S ) dt ⋅S dξ + dξ ⋅ dt = 0 ∂t ∂ξ
(4.17)
Po vydělení diferenciálem času a polohy dostaneme rovnici kontinuity pro jednorozměrné proudění stlačitelné tekutiny tuhým potrubím:
S
∂ρ ∂ + (ρ u S ) = 0 ∂t ∂ξ
(4.18)
Pro stacionární proudění je vyloučena závislost na čase, takže průtok závisí pouze na poloze: d ( ρ u S ) = 0 ⇒ d( ρ u S ) = 0 , dξ
(4.19a)
což lze upravit (s užitím pravidla pro derivaci součinu) do tvaru diferenciální rovnice dρ
ρ
+
du dS + =0 u S
(4.19b)
Integrací (4.19a) dostáváme M& = konst., takže ve dvou místech podél potrubí musí platit
M& 1 = M& 2
(4.20a)
ρ1 S1 u1 = ρ 2 S 2 u2
(4.20b)
∂ρ = 0, z rovnice (4.18) můžeme dále vyloučit ∂t hustotu a integrací obdržíme již dříve uvedený tvar rovnice kontinuity (4.10), resp. (4.12). Pro nestlačitelnou tekutinu (ρ = konst.) je
18
4.4 Rovnice kontinuity pro prostorové proudění stlačitelné tekutiny Při prostorovém (3D) proudění je rychlost vektor, který v kartézských souřadnicích popíšeme třemi složkami: r r r r u = u xi + u y j + uz k , (4.21) r r r kde i , j , k jsou jednotkové směrové vektory souřadnicových os x, y, z. Při odvození rovnice kontinuity budeme postupovat podobně jako v předchozí kap. 4.3, avšak kontrolní oblastí (KO) je nyní pravoúhlý hranol o rozměrech dx, dy a dz dle obr. 4.6. Průtočné průřezy kolmé k dané složce rychlosti jsou stejné (na rozdíl od měnícího se průřezu potrubí), např. velikost průřezu dydz je stejná v místě x i v místě x+dx. Poněvadž je změna průřezu ve směru dané složky rychlosti vyloučena, budeme uvažovat změnu hustoty hmotnostního toku [kg·s–1·m–2], která je dána součinem rychlosti a hustoty, např. ve směru osy x to bude ρ ux (pro 1D proudění v potrubí jsme uvažovali změnu hmotnostního toku ρ u S ).
(ρ ux)·dydz
[ρ ux + dx(ρ ux)]·dydz dy dz dx
Obr. 4.6 – Průtok tekutiny kontrolní oblastí ve směru osy x Ve stejný časový okamžik změříme hmotnostní toky ve směru osy x. Výtok z KO pravým průřezem se liší od přítoku do KO levým průřezem o malou hodnotu dx(ρ ux)·dydz, kde diferenciál vyjadřuje změnu hustoty hmotnostního toku ρ ux vlivem posunutí o dx, zatímco změna vlivem času je vyloučena současností obou zjištěných průtoků. Za velmi krátký časový interval dt přiteče ve směru x do KO tekutina o hmotnosti (ρ ux)·dydz·dt
(4.21)
a z KO odteče ve směru x tekutina o hmotnosti ∂( ρ ux ) ⎤ ⎡ [ρ ux + dx(ρ ux)]·dydz·dt = ⎢ ρ u x + dx ⎥ ⋅ dydz ⋅ dt ∂x ⎣ ⎦
(4.22)
Rozdíl přítoku do KO a výtoku z KO ve směru x je roven ∂( ρ ux ) dx ⋅ dydz ⋅ dt (4.23) − ∂x Bez podrobnějšího rozboru uvedeme analogický rozdíl přítoku a výtoku do dalších směrů: ∂( ρ u y )
dy ⋅ dxdz ⋅ dt ∂y ∂( ρ uz ) − dz ⋅ dxdy ⋅ dt ∂z
−
(4.24) (4.25)
a tedy (přítok – výtok) ve všech třech směrech celkem bude −
∂( ρ u y ) ∂( ρ u x ) ∂( ρ u z ) dx ⋅ dydz ⋅ dt − dy ⋅ dxdz ⋅ dt − dz ⋅ dxdy ⋅ dt ∂x ∂y ∂z
19
(4.26)
Pevná KO nemůže měnit svou polohu ani svůj objem dV = dx·dy·dz. Může se v ní ale měnit hmotnost stlačitelné tekutiny. Za časový úsek dt se hmotnost tekutiny změní o ∂ ( ρ dV ) ∂ρ dt = dt ⋅ dV ∂t ∂t
(4.27)
Z bilanční úvahy, že rozdíl přítoku a výtoku (4.26) je roven akumulaci (4.27) vyplývá −
∂( ρ u y ) ∂( ρ u x ) ∂( ρ u z ) ∂ρ dxdydz ⋅ dt − dydxdz ⋅ dt − dzdxdy ⋅ dt = dt ⋅ dV ∂x ∂y ∂z ∂t
(4.28)
V každém členu na levé i pravé straně je obsažen objem dV, kterým můžeme rovnici vydělit, stejně jako diferenciálem času dt. Po převedení všech členů na jednu stranu rovnice pak bude ∂ρ ∂ ( ρ u x ) ∂ ( ρ u y ) ∂ ( ρ u z ) = 0, + + + ∂z ∂y ∂x ∂t
(4.29)
což je rovnice kontinuity pro nestacionární prostorové proudění stlačitelné tekutiny. Je to rovnice skalární a každý její člen je proto skalár. S využitím vektorového operátoru r r ∂ r ∂ r ∂ ji můžeme přepsat do tvaru +k + j ∇=i ∂z ∂y ∂x ∂ρ r r + ∇( ρ u ) = 0 ∂t
(4.30)
Pro nestlačitelnou tekutinu je možné z rovnice vyloučit hustotu ρ = konst. a dostáváme rr ∂u r ∂u ∂u ∇u = div u = x + y + z = 0 ∂x ∂y ∂z
(4.31)
V nestlačitelné tekutině je divergence rychlosti nulová a platí to pro stacionární i nestacionární proudění. Rozdíl je pouze v tom, ze při stacionárním proudění jsou složky rychlosti pouze funkcí polohy, při nestacionárním navíc závisí také na čase.
20
5. MATERIÁLNÍ DERIVACE 5.1 Lokální a konvektivní změna veličiny Z rovnice kontinuity (kap. 4) vyplývá, že tekutina se při pohybu potrubím může urychlovat nebo zpomalovat i při stacionárním průtoku. Zrychlení či zpomalení tekutiny způsobí měnící se průřez potrubí. Při jednorozměrném nestacionárním proudění potrubím proměnného průřezu je rychlost tekutiny závislá na poloze ξ a na čase t. Velmi malou změnu rychlosti u = u (ξ, t) lze vyjádřit jako úplný (totální) diferenciál funkce dvou proměnných du =
∂u ∂u dξ + dt ∂ξ ∂t
(5.1)
Protože zrychlení definujeme jako derivaci rychlosti podle času, vyplývá z předchozího výrazu, že † a=
du ∂u ∂u dξ ∂u ∂u = + = +u , dt ∂t ∂ξ dt ∂t ∂ξ
(5.2)
kde jsme vzali v úvahu, že derivace dráhy ξ podle času t je rychlost proudění u.Vidíme, že ∂u ∂u zrychlení tekutiny má dvě složky – nazývají se lokální a konvektivní u . I když bude ∂t ∂ξ proudění stacionární (časově stálé) a lokální zrychlení bude nulové (tzn. v daném místě potrubí bude konstantní rychlost), tekutina přesto vykazuje zrychlení konvektivní, které je důsledkem pohybu tekutiny potrubím proměnného průřezu – při průtoku zužujícím se průřezem rychlost roste a naopak. Popsaný rozbor se netýká pouze rychlosti (tj. přenosu hybnosti), ale jakékoliv veličiny transportované proudící tekutinou, např. energie nebo koncentrace příměsi. Představme si, že chceme monitorovat takovou veličinu ϕ v tekutině proudící potrubím. Hodnota veličiny je funkcí polohy a času ϕ = ϕ (ξ, t) a její úplný diferenciál vyjádříme jako pro kteroukoliv funkci dvou proměnných dϕ =
∂ϕ ∂ϕ dt + dξ ∂t ∂ξ
(5.3)
Jestliže tuto rovnici vydělíme dt, obdržíme derivaci veličiny ϕ podle času t: d ϕ ∂ϕ ∂ϕ d ξ ∂ϕ ∂ϕ = + = +u dt ∂t ∂ξ d t ∂t ∂ξ
(5.4)
dξ může být funkcí polohy ξ a času t. dt Pokud na zvoleném místě vložíme do potrubí nepohyblivé čidlo, které bude zaznamenávat ∂ϕ . Tato hodnotu veličiny ϕ, můžeme z tohoto měření vyhodnotit lokální změnu ϕ v čase, tj. ∂t parciální derivace podle času bude nenulová jen při nestacionárním průtoku tekutiny potrubím. Kdybychom při stacionárním průtoku rozmístili podél potrubí velké (ideálně nekonečné) množství čidel, mohli bychom vyhodnotit konvektivní změnu ϕ vlivem proudění ∂ϕ tekutiny, tj. u , kde při ustáleném průtoku bude rychlost u pouze funkcí polohy ξ. ∂ξ
kde rychlost proudění u =
†
Kvůli dalšímu výkladu a v souladu s obvyklým zápisem je nejdříve prohozeno pořadí členů v (5.1).
21
5.2 Derivace sledující pohyb tekutiny Poznatky z předchozího odstavce ilustruje obr. 5.1 na případu 1D proudění tekutiny potrubím. V tekutině si zvolíme kontrolní objem označený čárkovanou hranicí. Vyznačená oblast se pohybuje s tekutinou, kontrolní objem obsahuje stále stejné částice a je to tedy materiální kontrolní objem. Za čas Δt se tento kontrolní objem posune o vzdálenost Δξko. V potrubí jsou tři pozorovatelé, kteří se pohybují různým způsobem a při tom měří veličinu ϕ, která je závislá na poloze ξ a čase t. Δξ2 d
e
c
Δξ3 = Δξko Obr. 5.1 – Sledování změn veličiny v proudící tekutině Pozorovatel (1) se nepohybuje, změna jeho polohy za čas Δt je Δξ1 = 0, takže může zjišťovat jen takové změny, které vyplývají pouze ze závislosti na čase t (nehybnost vylučuje závislost pozorování na poloze) a podle tohoto pozorovatele má derivace ϕ podle času jen ⎛ dξ ⎞ lokální složku, protože ⎜ ⎟ = 0. ⎝ d t ⎠1 ⎡ d ϕ ⎤ ∂ϕ ∂ϕ ⎛ d ξ ⎞ ∂ϕ ⎢⎣ d t ⎥⎦ = ∂t + ∂ξ ⎜⎝ d t ⎟⎠ = ∂t 1 1
(5.5)
Pozorovatel (2) se pohybuje obecnou rychlostí, která se liší od rychlosti tekutiny, takže za čas Δt změní polohu o Δξ2. Tento pozorovatel monitoruje změny, které vyplývají jak ze závislosti na čase t, tak i ze závislosti na poloze ξ: ∂ϕ ∂ϕ ⎛ d ξ ⎞ ⎡dϕ ⎤ ⎢ d t ⎥ = ∂t + ∂ξ ⎜ d t ⎟ ⎣ ⎦2 ⎝ ⎠2
(5.6)
⎛ dξ ⎞ Rychlost pozorovatele (2), tj. derivace ⎜ ⎟ se liší od rychlosti proudění u, tento pozoro⎝ d t ⎠2 vatel při monitorování ϕ nesleduje pohyb tekutiny.
Pozorovatel (3) se pohybuje stejnou rychlostí jako kontrolní objem tekutiny, takže za čas Δt se posune z původního místa o stejnou vzdálenost Δξ3 = Δξko jako kontrolní objem. Také tento pozorovatel monitoruje změny ϕ vyplývající ze závislosti na čase t a na poloze ξ. Protože však zároveň sleduje pohyb kontrolního objemu, odpovídá rychlost jeho pohybu rychlosti proudění. Derivaci ϕ podle času t získáme podobně jako v předchozím případě, nyní ⎛ dξ ⎞ ⎛ dξ ⎞ ovšem platí, že rychlost pozorovatele ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = u. ⎝ d t ⎠3 ⎝ d t ⎠ ko ∂ϕ ∂ϕ ⎛ d ξ ⎞ ∂ϕ ∂ϕ ⎡ dϕ ⎤ (5.7) ⎢⎣ d t ⎥⎦ = ∂t + ∂ξ ⎜⎝ d t ⎟⎠ = ∂t + u ∂ξ 3 3 Z porovnání (5.7) a (5.4) vidíme, že jediný pozorovatel (3) „vidí“ lokální i konvektivní část derivace ϕ podle času. Chceme-li jediným čidlem změřit lokální i konvektivní změnu ϕ, musí
22
se čidlo v tekutině pohybovat tak, aby sledovalo její vlastní pohyb (musí být unášeno proudem). Rychlost pohybu takového čidla musí v každém místě i čase souhlasit s rychlostí proudění u. Vztah (5.7) vyjadřuje zvláštní případ derivace sledující pohyb tekutiny. Nazývá se materiální derivace nebo substanciální derivace a odlišujeme ji velkým písmenem v symbolu derivace: Dϕ ∂ϕ ∂ϕ = +u Dt ∂t ∂ξ
(5.8)
Použitý postup můžeme zobecnit na prostorové (3D) proudění tekutiny. Veličina přenášená tekutinou bude nyní funkcí tří souřadnic polohy a času ϕ = ϕ (x, y, z, t) a její úplný diferenciál bude dϕ =
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx+ dy+ dz+ dt ∂z ∂t ∂x ∂y
(5.9)
Derivace ϕ podle času t pak je d ϕ ∂ϕ ⎛ d x ⎞ ∂ϕ ⎛ d y ⎞ ∂ϕ ⎛ d z ⎞ ∂ϕ = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ dt ∂x ⎝ dt ⎠ ∂y ⎝ dt ⎠ ∂z ⎝ dt ⎠ ∂t
(5.10)
Její speciální případ, kdy derivace souřadnic podle času v závorkách na pravé straně budou rovny složkám rychlosti proudění, bude derivace sledující pohyb tekutiny neboli materiální derivace Dϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = ux + uy + uz + Dt ∂x ∂y ∂z ∂t
(5.11)
Materiální derivaci zapisujeme také v upraveném tvaru r r Dϕ ∂ϕ = + (u ⋅ ∇)ϕ Dt ∂t
(5.12)
kde první člen na pravé straně vyjadřuje lokální složku a druhý konvektivní složku. Zkrácený r zápis konvektivního členu pomocí operátoru ∇ vyplývá z následující úvahy: ux
r r r ⎛ r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ ⎞ r r ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎟ = (u ⋅ ∇)ϕ + uy + uz = (i u x + j u y + k u z ) ⋅ ⎜⎜ i + j +k ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x
(5.13)
5.3 Materiální derivace skaláru a vektoru Na základě předchozího rozboru můžeme zavést operátor materiální derivace D{} ∂{} r r = + (u ⋅ ∇){} , Dt ∂t
(5.14)
který aplikujeme na skalární nebo vektorovou veličinu tak, že ji formálně vložíme do složené závorky {}. Např. rovnice přenosu tepla při proudění nestlačitelné tekutiny konstantních vlastností lze upravit na parciální diferenciální rovnici pro teplotu, což je skalár. Použitím operátoru materiální derivace na teplotu T obdržíme skalární výraz r r ∂T ∂T DT ∂T ∂T ∂T = + (u ⋅ ∇)T = + ux + uy + uz , (5.15) ∂z Dt ∂t ∂t ∂x ∂y
23
kde parciální derivace T podle času je lokální změna teploty a zbytek výrazu vpravo vyjadřuje konvektivní změnu teploty (jejíž podstatou je konvektivní přenos tepla). Aplikace operátoru (5.14) na vektor je složitější. Např. zrychlení částice tekutiny vyjadřujeme jako materiální derivaci rychlosti podle času, kde rychlost je vektor r r r r u = u x i + u y j + u z k , takže r r r Du ∂u r r r a= = + (u ⋅ ∇) u (5.16) Dt ∂t r r r r r r D(u x i + u y j + u z k ) ∂ (u x i + u y j + u z k ) = Dt ∂t r r r (5.17) r r r r r r ∂ (u x i + u y j + u z k ) ∂(u x i + u y j + u z k ) ∂ (u x i + u y j + u z k ) + ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z r r r Vektory i , j a k jsou konstantní do směru i velikosti a lze je tedy vytknout před derivace. Např. první člen na pravé straně rovnice (5.17) je možné upravit do tvaru r r r ∂ (u x i + u y j + u z k ) r ∂u x r ∂u y r ∂u z =i +j +k (5.18) ∂t ∂t ∂t ∂t V tomto případě je výsledkem materiální derivace rychlosti vektor zrychlení, který můžeme rozepsat po složkách do směrů souřadnicových os. Kterému směru jednotlivé členy rovnice (5.17) přísluší, poznáme podle jednotkových směrových vektorů. Parciální derivace podle času ve složkových rovnicích (5.19) až (5.21) vyjadřují lokální zrychlení, zbylé části výrazů na pravé straně jsou konvektivní zrychlení. ax = ay =
az =
∂u Du x ∂u x ∂u ∂u = + ux x + u y x + uz x Dt ∂t ∂x ∂y ∂z Du y Dt
=
∂u y ∂t
+ ux
∂u y ∂x
+ uy
∂u y ∂y
+ uz
∂u y ∂z
Du z ∂u z ∂u ∂u ∂u = + ux z + u y z + uz z Dt ∂t ∂x ∂y ∂z
(5.19) (5.20) (5.21)
Pochopení operátoru materiální derivace a jeho aplikace je důležité pro zvládnutí výkladu základních rovnic popisujících transport hybnosti, energie a hmoty.
24
6. BERNOULLIHO ROVNICE Bernoulliho rovnice zastupuje v systému rovnic pro jednorozměrné proudění zákon zachování hybnosti, resp. druhý Newtonův pohybový zákon. Řadíme ji proto mezi pohybové rovnice.
6.1 Bernoulliho rovnice podél proudnice v ideální tekutině Při stacionárním proudění se částice tekutiny pohybují po drahách, které jsou zároveň vektorovými čarami rychlostního pole – proudnicemi. Rychlost částice má k proudnici vždy tečný směr. Na částici ideální tekutiny (μ = 0), jejíž pohyb po proudnici v zemském tíhovém poli je znázorněn na obr. 6.1 (proudnicí je modrá orientovaná křivka), aplikujeme druhý Newtonův pohybový zákon. Částice má rozměry měřené ve směru tečném k proudnici dξ, ve směru kolmém na proudnici dn a ve směru kolmém na rovinu nákresu dz. Výslednice vnějších sil působících na částici o hmotnosti dM = ρ ·dV = ρ ·dξ dn dz změní její pohybový stav, tj. způsobí zrychlení a platí r r a ⋅ dM = ∑ dF j (6.1) j
Z této vektorové rovnice nás dále zajímá pouze složka ve směru tečny proudnice, tzn. ve směru podélné souřadnice ξ
aξ ⋅ dM = ∑ dF jξ
(6.2)
j
y
α r g
(p + dξ p)·dndz
dn
`
g·dM
p·dndz
ξ
dξ
α
dy
dξ
Obr. 6.1 – Síly působící na částici ideální tekutiny při pohybu po proudnici Protože se jedná o nevazkou tekutinu, mohou se z povrchových sil projevit pouze síly tlakové. Z vnějších objemových sil uvažujeme sílu vyvolanou gravitačním polem Země, r kterou charakterizuje svislé tíhové zrychlení g . Svislý směr je určen osou y, tíhové zrychlení je orientováno opačně než tato osa. Zrychlení částice ve směru proudnice má při stacionárním proudění pouze konvektivní složku, rychlost se mění jen v závislosti na poloze ξ měřené podél proudnice: aξ =
∂u dξ ∂u =u ∂ξ dt ∂ξ
(6.3)
25
Výslednice tlakových sil ve směru proudnice bude dFpξ = p ⋅ dndz − ( p + dξ p) ⋅ dndz = − dξ p ⋅ dndz kde diferenciál dξ p = dFpξ = −
(6.4)
∂p dξ vyjadřuje změnu tlaku ve směru ξ a platí tedy ∂ξ
∂p ∂p dξ ⋅ dndz = − ⋅ dV ∂ξ ∂ξ
(6.5)
Průmět tíhové síly do směru tečného k proudnici bude
dFgξ = − g sinα ⋅ dM = − g sinα ⋅ ρ dV
(6.6)
Nyní již můžeme dosadit (6.3), (6.5) a (6.6) do rovnice (6.2): u
∂u ∂p ⋅ ρ dV = − ⋅ dV − g sinα ⋅ ρ dV ∂ξ ∂ξ
(6.7)
Rovnici vydělíme objemem částice dV a dle pomocného pravoúhlého trojúhelníku na obr. 6.1 dy položíme sinα = . dξ
ρu
∂u ∂p dy =− − ρg ∂ξ ∂ξ dξ
(6.8)
Dále rovnici vynásobíme dξ.
ρu
∂u ∂p dξ = − dξ − ρ g dy ∂ξ ∂ξ
(6.9)
Protože nás zajímají změny pouze podél proudnice, můžeme zjednodušeně zapsat ∂p dξ = dp ∂ξ u
(6.10)
∂u 1 dξ = u du = d(u 2 ) ∂ξ 2
(6.11)
Zavedením posledních vztahů, vydělením hustotou a převodem všech členů na jednu stranu obdržíme diferenciální Bernoulliho rovnici, která platí podél proudnice při stacionárním proudění ideální tekutiny v zemském tíhovém poli dp
1 + d(u 2 ) + g dy = 0 ρ 2
(6.12)
Integrál rovnice (6.12) je ⎛ dp ⎞ 1 2 ⎜⎜ ∫ ⎟⎟ + u + g y = C ⎝ ρ ⎠ 2
(6.13)
kde C je integrační konstanta, která je určena známými podmínkami v libovolném bodě na proudnici. U stlačitelné tekutiny závisí složitost integrace prvního členu na levé straně na vztahu mezi hustotou a tlakem. Pro nestlačitelnou tekutinu (kapalinu, ρ = konst.) můžeme rovnici dále přepsat do tvaru
26
p1
p 1 1 + u12 + g y1 = 2 + u 22 + g y 2 = konst. ρ 2 ρ 2
(6.14)
I když jsme Bernoulliho rovnici odvodili jako pohybovou rovnici (z bilance sil), přešli jsme vynásobením dξ (diferenciálem dráhy částice) v kroku mezi (6.8) a (6.9) od původního fyzikálního rozměru rovnice (6.1) jako síly k rozměru rovnice (6.14) v podobě práce vykonané různými silami, resp. mechanické energie v různé formě. Všechny členy rovnice (6.14) mají rozměr [m2/s2] = [J/kg], tzn. měrné energie, vztažené na 1 kg látky. Rovnice tedy vyjadřuje to, že se mechanická energie částice tekutiny zachovává, pouze se přerozděluje do tří forem, které odpovídají měrné práci tlakových sil (p /ρ ), měrné práci tíhových sil (g y) a měrné kinetické energii (u2/2). Bernoulliho rovnici však nelze chápat jako energetickou rovnici z obecnějšího pohledu, tj. z hlediska termodynamiky. Ve skutečnosti je energetická rovnice vyjádřením prvního termodynamického zákona (viz kap. 9). Rovnici (6.14) můžeme po vydělení tíhovým zrychlením vyjádřit v rozměru výšek [m] p1 u12 p u2 + + y1 = 2 + 2 + y 2 = konst. ρ g 2g ρ g 2g
(6.15)
nebo po vynásobení (6.14) hustotou získáme tvar v rozměru tlaků [Pa]
p1 +
ρ 2
u12 + ρ g y1 = p 2 +
ρ 2
u 22 + ρ g y 2 = konst.
(6.16)
Poslední tvar (6.16) obsahuje členy, které reprezentují (zleva doprava) tlak statický, dynamický (ve stlačitelné tekutině kinetický) a polohový. Při proudění ve vodorovném směru je změna výšky nulová, při proudění plynů rozdíl polohových tlaků zanedbáváme. V těchto případech pracujeme s rovnicí ve tvaru p1 +
ρ 2
u12 = p 2 +
ρ 2
u 22 = p 0
(6.17)
kde p0 je tzv. celkový tlak, který je součtem tlaku statického a dynamického. Při proudění ideální tekutiny se podle (6.17) celkový tlak podél proudnice nemění, pouze se mění velikost statického a dynamického tlaku. Tam, kde je vyšší rychlost proudění (tj. vyšší dynamický tlak), bude nižší statický tlak a naopak. Výše uvedené formy Bernoulliho rovnice lze použít pro případy, kdy nehraje významnou roli viskozita kapaliny, např. při výpočtu rychlosti z měření dynamickými rychlostními sondami (Prandtlova trubice) nebo při výtoku kapaliny malým otvorem z nádoby. Pro výpočet proudění potrubím však výše uvedené formy ne vždy vyhovují.
6.2 Bernoulliho rovnice pro proudění reálné kapaliny potrubím Jednorozměrný model proudění tekutiny potrubím předpokládá změny pouze podél osy potrubí. Tuto osu můžeme považovat za jednu z proudnic, které potrubím probíhají. Protože se v jednorozměrném modelu neuvažují žádné rozdíly veličin kolmo na proudnici, tedy ani kolmo na osu potrubí, můžeme Bernoulliho rovnici ve formách (6.14) až (6.16) po určité úpravě použít i pro proudění potrubím. Zkušenost z měření v potrubí ukazuje, že součet tlaku statického, dynamického a polohového podél potrubí vždy klesá po směru proudění – říkáme, že vznikají tlakové ztráty. Příčinou tlakových ztrát při proudění skutečných tekutin potrubím je disipace mechanické energie, tj. nevratná přeměna části mechanické energie proudící tekutiny na teplo. Je to způsobeno buď třením tekutiny o vnitřní povrch potrubí nebo vířením tekutiny. Základní
27
Bernoulliho rovnice (6.14) až (6.16) pro výpočty proudění reálné kapaliny v potrubí nevyhovuje a používá se její rozšířená verze, dále uvedená v rozměru tlaku: p1 +
ρ 2
u12 + ρ g y1 = p 2 +
ρ 2
u 22 + ρ g y 2 + Δp z12
(6.18)
kde Δpz12 [Pa] je tlaková ztráta, která vznikne mezi místy (1) a (2). Člen tlakové ztráty píšeme na tu stranu rovnice, která popisuje parametry proudění dále po proudu. Obdobně lze zapsat rozšířenou Bernoulliho rovnici v rozměru výšky (ztrátový člen je pak ztrátová výška hz) nebo měrné energie (kde se používá poněkud zavádějící termín ztrátová energie, přesněji jde o disipovanou mechanickou energii ez). Ztrátový člen v rozšířené Bernoulliho rovnici mimo jiné odhaluje, že nemůže jít o rovnici energetickou. Rovnice (6.18) nevyjadřuje už ani zachování mechanické energie jako rovnice pro ideální kapalinu (6.16), protože v rozšířené formě (6.18) se část mechanické energie „ztrácí“. Z termodynamického hlediska k žádné ztrátě energie nemůže dojít, energie se zachovává a pouze mění svoji formu z mechanické na tepelnou. Proto je nutné chápat Bernoulliho rovnici v systému základních rovnic mechaniky tekutin jako rovnici pohybovou.
6.3 Tlakové ztráty v potrubí Tlakové ztráty rozdělujeme podle jejich příčiny na ztráty třením, a ztráty místní (vířením). Velikost tlakových ztrát je výrazně ovlivněna režimem proudění – laminárním nebo turbulentním, případně přechodovým. Důvodem je různá intenzita přenosu hybnosti, která je v turbulentním proudění vyšší než v laminárním. Kritériem pro posouzení režimu proudění je kritická hodnota bezrozměrného Reynoldsova čísla † Re = u·D /ν, kde u [m/s] je průtočná rychlost, D [m] je průměr potrubí a ν [m2/s] je kinematická viskozita tekutiny. Pro potrubí kruhového průřezu je obvykle uváděna hodnota Rekrit = 2300. Při Re < Rekrit považujeme proudění za laminární, jinak za turbulentní (ve skutečnosti lze dosáhnout obou režimů proudění v určitém rozmezí Re). Ztráty třením vznikají po celé délce potrubí a kumulují se po směru proudění tekutiny. Tlaková ztráta třením na úseku kruhového potrubí stálého průměru se určí podle DarcyhoWeissbachova vztahu u2 L Δp z = λ F ⋅ ρ D 2
(6.19)
kde λF [-] je součinitel třecích ztrát a L [m] je délka úseku potrubí o průměru D [m]. Součinitel λF závisí obecně na Re a na relativní drsnosti k/D stěn potrubí, která je dána podílem střední (ekvivalentní) drsnosti k [m] a průměru potrubí D [m]. Při laminárním proudění (Re < 2300) nemá drsnost stěny potrubí na ztráty vůbec vliv, protože jsou nerovnosti na vnitřním povrchu potrubí „zality“ zabrzděnou vrstvou tekutiny a platí
λF =
A Re
(6.20)
kde A [-] závisí na tvaru rychlostního profilu a průřezu potrubí, např. pro osově symetrický rychlostní profil v kruhovém průřezu je A = 64, pro rovinné proudění ve štěrbině A = 96. Při turbulentním proudění se u stěny potrubí vytváří vazká podvrstva tekutiny, která za určitých podmínek (konkrétně pro Re k D λ F < 14,1 ) překrývá nerovnosti povrchu. Za této situace hovoříme o hydraulicky hladkém potrubí a součinitel λF závisí pouze na Re. †
Blíže o Reynoldsově čísle pojednává kapitola 10 – Podobnost a modelování.
28
Pro hydrualicky hladké potrubí a (2300 < Re < 105) platí Blasiův vztah
λ F = 0,316
4
Re
(6.21) 5
6
Pro vyšší rozsah Re od 10 do 10 lze použít vzorec
λ F = 0,184
5
Re
(6.22)
V přechodové oblasti, kde není turbulentní proudění plně vyvinuto, závisí součinitel třecí ztráty λF na Re i na relativní drsnosti stěn k/D a podle Coolebroka je vyjádřen implicitně 1
λF
⎛ 2,51 k D⎞ ⎟⎟ = −2 log⎜⎜ + ⎝ Re λ F 3,71 ⎠
(6.23)
V oblasti plně vyvinutého turbulentního proudění, když je drsnost stěn tak velká, že její vliv již nedokáže vazká podvrstva ztlumit (pro Re k D λ F > 198 , hydraulicky zcela drsné potrubí), je součinitel λF závislý pouze na relativní drsnosti k/D dle Nikuradseho: 1
λF
= 1,138 − 2 log(k D )
(6.24)
Souhrnný graf uvedených závislostí λ = f (Re, k/D) – Moodyho diagram je na obr. 6.2. Výše uvedené vztahy pro ztráty třením lze použít i pro potrubí nekruhového průřezu, jestliže jako charakteristický rozměr do Darcyho-Weissbachova vztahu (6.19), Reynoldsova čísla Re a rela-tivní drsnosti k/D dosadíme hydraulický průměr Dh [m], vypočtený z průřezu potrubí S [m2] a jeho vnitřního obvodu o [m] (příp. obvodu smáčeného tekutinou) podle vzorce Dh =
4⋅S o
(6.25)
0.10 0,08
přechodová oblast
laminární proudění
k/D [-] plně turbulentní proudění
λ F [-]
0,01 64/Re
0,001
0,316/Re0,25
0,184/Re0,2
0.01 1E+02
1E+03
1E+04
1E+05
0,0001 1E+06
1E+07
Re [-]
Obr. 6.2 – Moodyho diagram třecích ztrát v potrubí
29
1E+08
Místní ztráty jsou způsobeny rozvířením tekutiny v místech, kde dochází ke změně směru nebo změně průřezu potrubí. Takovými místními tlakovými odpory jsou kolena, oblouky, odbočky, šoupátka, ventily, náhlá rozšíření nebo zúžení průřezu apod. Tlakovou ztrátu způsobenou místním odporem počítáme podle vztahu
u2 (6.26) 2 kde ζ [-] je součinitel místní ztráty, který je možné zjistit ve většině případů pouze experimentálně. Je závislý na geometrii konkrétního prvku, v laminární a přechodové oblasti proudění rovněž na Re. Součinitel místní tlakové ztráty může být vztažen k rychlosti v místě hydraulického odporu nebo k rychlosti v libovolném místě potrubí. S použitím rovnice kontinuity u1 S1 = u 2 S 2 můžeme pro nestlačitelné tekutiny přepočítat součinitel ζ na rychlost v jiném místě potrubí Δp z = ζ ⋅ ρ
2
4
⎛D ⎞ ⎛S ⎞ (6.27) ζ 2 = ζ 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = ζ 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ D1 ⎠ ⎝ S1 ⎠ Celková tlaková ztráta úseku potrubí, reprezentovaná v Bernoulliově rovnici (6.18) členem Δpz12 , je rovna součtu ztrát třením a ztrát způsobených jednotlivými místními tlakovými odpory. Jestliže jsou všechny dílčí ztráty (třecí i místní) vztaženy k jediné místní rychlosti proudění, např. u2, platí
Δp z12 = ζ c12
ρ u 22
(6.28) 2 kde ζc12 [-] je celkový ztrátový součinitel, který lze stanovit algebraickým součtem všech ztrátových součinitelů přepočtených na rychlost u2 podle vztahu 4
4
⎛D ⎞ ⎞ ⎟⎟ + ∑ ζ j ⎜ 2 ⎟ (6.29) ζ c12 ⎜D ⎟ j j ⎠ ⎝ ⎠ 3 Je-li dán objemový průtok V& [m ] nestlačitelné tekutiny potrubím, je celková tlaková ztráta úměrná jeho druhé mocnině 8 1 (6.30) Δp z12 = ζ c12 2 4 ρ V& 2 π D2 L = ∑ λi i Di i
⎛ D2 ⎜⎜ ⎝ Di
a v plně turbulentní oblasti bude Δp z12 = K ⋅ V& 2 , kde K je konstanta.
6.4 Střední rychlosti Rovnice kontinuity i Bernoulliho rovnice pro 1D proudění potrubím předpokládají, že v daném místě potrubí má každá veličina jedinou hodnotu. Pro rychlost to znamená, že by její příčný profil měl být konstantní (obdélníkový, nezávislý na souřadnici kolmé na osu potrubí). Reálná tekutina se však vlivem viskozity na stěně potrubí zabrzdí, její rychlost na stěně je nulová, v příčném směru pak postupně narůstá až do osy potrubí, kde je maximální (obr. 6.3).
Obr. 6.3 – Konstantní a skutečný profil rychlosti
30
Tvar rychlostního profilu je ovlivněn režimem proudění (laminární nebo turbulentní rychlostní profil) ale také geometrií potrubí. Např. za ohybem potrubí bude rychlostní profil nesymetrický, maximum rychlosti bude posunuto z osy potrubí směrem k vnější straně ohybu. Popsaný rozpor mezi skutečností a 1D modelem proudění se řeší zavedením střední rychlosti, která pak určuje konstantní rychlostní profil v daném místě potrubí. Bližší pohled ukazuje, že pro stanovení střední rychlosti je důležité, k jaké veličině se střední hodnota vztahuje. Obecně elementem průřezu dS protéká tekutina rychlostí, která je v různých místech průřezu různá. Zaměříme-li se na průtok tekutiny, pak každému elementu průřezu přísluší určitá hustota hmotnostního toku m& = ρ u. Celému průřezu o ploše S odpovídá průtok M& = ∫ m& dS = ∫ ρ u dS S
(6.31)
S
Při konstantním profilu s rychlostí uS a pro nestlačitelnou tekutinu bude tento průtok M& = ρ u S S
(6.32)
Z rovnosti obou průtoků vyplývá výpočet střední rychlosti podle průtoku uS. Pro nestlačitelnou tekutinu (kapalinu) můžeme z integrálu (6.31) vytknout konstantní hustotu a po úpravě dostaneme
uS =
M& 1 = ∫ u dS ρS S S
(6.33)
Při přenosu hybnosti sledujeme v každém elementu průřezu dS hustotu toku hybnosti & h = m& u = ρ u 2. Tok hybnosti celým průřezem je dán integrálem H& = ∫ h& dS = ∫ ρ u 2 dS S
(6.34)
S
Pro kapalinu (ρ = konst.) můžeme opět vytknout hustotu před integrál. Při konstantním profilu s rychlostí uH bude H& = M& u H
(6.34)
Z rovnosti obou toků hybnosti vyplývá (při ρ = konst) střední rychlost podle hybnosti uH uH =
H& H& 1 1 = = ∫ u 2 dS = u 2 dS u S S ∫S ρ V& V& S M&
(6.35)
kde objemový průtok vypočteme jako součin stř. rychlosti podle průtoku uS a průřezu S. Poledním důležitým případem pro výpočet střední rychlosti je přenos kinetické energie proudící tekutinou. Každému elementu průřezu dS přísluší hustota toku kinetické energie 1 1 m& u 2 = ρ u 3. Celkový průtok kinetické energie průřezem S je 2 2 1 1 E& = ∫ m& u 2 dS = ∫ ρ u 3 dS 2S 2S
(6.36)
Při obdélníkovém rychlostním profilu s rychlostí uE bude tok kinetické energie 1 E& = M& u E2 2
(6.37)
Obdobně jako v předchozích případech odvodíme pro střední rychlost podle energie uE vztah
31
u E2 = 2
E& E& 1 1 =2 = ∫ u 3 dS = u 3 dS ∫ & & & uS S S ρV V S M
(6.38)
Do rovnice kontinuity, jejímž předmětem jsou hmotnostní, resp. objemové průtoky tekutiny se v případě 1D modelu proudění dosadí střední rychlosti podle průtoku uS. V případech, kdy se zaměřujeme na bilance hybnosti tekutiny (např. věta o změně hybnosti nebo výpočet hybnosti zatopených proudů) použijeme střední hodnotu rychlosti uH. Členy Bernoulliho rovnice mají fyzikální význam měrné mechanické energie (viz kapitola 6.1), proto zde použijeme střední rychlosti podle energie uE. Pro přepočet středních rychlostí zavádíme opravné součinitele Coriolisův
α=
u E2 u S2
(6.39)
a Boussinesqův
β=
uH uS
(6.40)
Jejich hodnota závisí na skutečném tvaru rychlostního profilu. Lze dokázat, že vždy platí α > β > 1 neboli u E > u H > u S . Rozdíl ve středních rychlostech podle průtoku uS a podle energie uE komplikuje současné použití rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice při výpočtech proudění v potrubí. Použijeme-li v Bernoulliho rovnici střední rychlosti podle průtoku (abychom mohli zároveň počítat se stejnými rychlostmi v rovnici kontinuity), měly by rychlostní členy obsahovat Coriolisův součinitel: p1 + α 1
ρ 2
u12 + ρ g y1 = p 2 + α 2
ρ 2
u 22 + ρ g y 2 + Δp z12
(6.41)
Při turbulentním a symetrickém profilu rychlosti se hodnota rychlostních součinitelů příliš neliší od 1, např. při Re = 2,3·104 bude v potrubí kruhového průřezu α = 1,06 a β = 1,02. Proto se rozdíl mezi uS a uE v Bernoulliho rovnici většinou zanedbává (uvažujeme α = 1). V případech, kdy je profil rychlosti nerovnoměrný (např. za ohybem potrubí) můžeme užitím správných hodnot α a β zpřesnit výpočet např. součinitele místní ztráty.
32
7. ENERGETICKÁ ROVNICE Energetická rovnice vyjadřuje zákon zachování energie v proudící tekutině. Zde je odvozena v podobě 1. termodynamického zákona pro pevný kontrolní objem jednorozměrně protékaný tekutinou. Kapitola o energetické rovnici je do této příručky zařazena hlavně kvůli úplnosti výkladu základních rovnic. V dalším textu se s energetickou rovnicí nepracuje, až na jedinou výjimku, kterou je stať věnovaná výměníkům (kde je ovšem použita v jednoduché podobě). Na základy termodynamiky ideálního plynu částečně navazuje kapitola o přenosu hmoty (vlhkosti). V rámci jediné kapitoly nelze probrat základy termodynamiky do větší hloubky a pro podrobnější studium tohoto tématu lze doporučit skripta zaměřená na termomechaniku [3], [4]. Právě kvůli návaznosti na uvedené učebnice se tato kapitola liší od zbytku příručky v použité symbolice, konkrétně se to týká označení následujících veličin: c rychlost [m/s] u měrná vnitřní energie [J/kg] A plocha [m2] S entropie [J]
7.1 Základy technické termodynamiky Termodynamika se zabývá sdílením a změnami forem energie, ke kterým dochází uvnitř termodynamických systémů a mezi nimi. Termodynamickým systémem rozumíme látku ve vymezeném prostoru, který je uzavřen skutečnou nebo myšlenou plochou – hranicí systému. Tato hranice může být pevně daná ale i pohyblivá nebo tvarově proměnná, může být nepropustná nebo přes ni může proudit tekutina. Vše co je vně hranice, nazýváme okolím systému. Termodynamický stav systému, který obsahuje určité množství jednosložkové látky (např. plynného kyslíku) popisujeme teplotou T [K], tlakem p [Pa] a objemem V [m3], přičemž pouze dvě z těchto veličin lze nezávisle volit, třetí je již na nich závislá, tj. platí buď T = f (p,V) nebo p = f (T,V) nebo V = f (p,T) – tyto závislosti popisují tzv. stavové chování látek a říkáme jim stavové rovnice. Jako nezávislé veličiny volíme nejčastěji dvojici p, T a nejjednodušší stavovou rovnici V = f (p,T) má model ideálního plynu p ⋅V = M ⋅ r ⋅ T
(7.1)
kde M [kg] je hmotnost plynu, T [K] termodynamická teplota (platí T [K] = T [°C] + 273,15) a r [J/(kg·K)] je měrná plynová konstanta. Měrná plynová konstanta má pro každý plyn jinou hodnotu a lze ji vypočítat z univerzální plynové konstanty R = 8314,41 J/(kmol·K) a molární hmotnosti Mm [kg/kmol] podle vztahu r = R /Mm. Termodynamické veličiny dělíme na intenzitní a extenzitní. Hodnota intenzitních veličin (např. teplota, tlak) nezávisí na množství látky, do druhé skupiny řadíme naopak ty veličiny, které závisí na množství látky a z nichž lze vydělením hmotností vypočítat tzv. měrné hodnoty vztažené na 1 kg. Jestliže např. vydělíme výše uvedenou stavovou rovnici hmotností, získáme (protože objem je v této rovnici jediná extenzitní veličina) (7.2) p ⋅ v = r ⋅T kde v = V /M [m3/kg] je měrný objem, jehož převrácenou hodnotou je hustota ρ = 1/v [kg/m3]. Stavovou rovnici ideálního plynu můžeme tedy zapsat také ve tvaru
ρ=
p r ⋅T
(7.3)
Extenzitní veličinou je také energie E [J]. Měrné veličiny zapisujeme malým písmenem, měrná energie bude tedy e = E /m [J/kg].
33
První termodynamický zákon (1. TDZ) vyjadřuje zachování energie při změně termodynamického stavu systému. Energie nevzniká ani nezaniká, pouze přechází z jedné formy na druhou. Změna vnitřní energie termodynamického systému U [J] je možná jen sdílením tepla Q [J] a práce W [J] s okolím (přeměnou na teplo a/nebo práci), přičemž platí
U 2 − U 1 = Q12 − W12
(7.4)
kde indexy označují výchozí (1) a konečný (2) stav. Uvedený zápis 1. TDZ používá znaménkovou konvenci technické termodynamiky, která vychází z logiky parního stroje: jako kladné se bere přivedené teplo (ohřátí páry) a odvedená práce (pohyb pístu). Tento zápis 1. TDZ užívá extenzitní veličiny a můžeme jej vydělením hmotností látky převést do tvaru měrných veličin [J/kg]
u 2 − u1 = q12 − w12
(7.5)
Obě uvedené rovnice představují integrální tvar 1. TDZ. Pro nekonečně malou změnu dU (nebo du) můžeme napsat 1. TDZ také v diferenciálním tvaru dU = δQ − δW
(7.6)
du = δ q − δ w.
(7.7)
Zvláštní označení diferenciálů Q a W bude dále vysvětleno. Vnitřní energie U [J] (nebo její měrná hodnota u [J/kg]) je akumulovaná energie neuspořádaného pohybu molekul látky. Nezahrnuje např. kinetickou nebo polohovou energii proudící tekutiny. Pro ideální plyn je vnitřní energie pouze funkcí teploty, obecně závisí na tlaku a teplotě. Při změně termodynamického stavu je změna vnitřní energie dána pouze rozdílem hodnot v konečném a počátečním stavu ΔU = U2 – U1 a nezávisí na způsobu (říkáme také na cestě), jakým bylo změny stavu dosaženo. Veličiny, jejichž změna je dána pouze rozdílem hodnot v konečném a počátečním stavu, nazýváme stavovými. Vnitřní energie je tedy stavová veličina, její integrál 2
∫ dU = U
2
− U1
(7.8)
1
nezávisí na cestě a dU (příp. du) je tzv. úplný diferenciál. Meze integrálu formálně označují počáteční (1) a konečný (2) stav systému. Také veličiny, kterými určujeme termodynamický stav systému (tlak p, teplota T, objem V) jsou stavové, takže jejich diferenciály jsou úplné a platí např. 2
∫ d( p ⋅ V ) = p
2
⋅ V2 − p1 ⋅ V1
(7.9)
1
Narozdíl od změny vnitřní energie je práce vykonaná mezi dvěma stavy W12 na cestě závislá. Na obr. 7.1 je pístem ve válci o průřezu A [m2] uzavřen plyn, který necháme jednorázově expandovat, takže se píst bude pohybovat směrem doprava z polohy x1 do polohy x2. Dejme tomu, že stěny válce a píst dokonale tepelně izolují plyn od okolí (adiabatický děj); pak se bude tlak p ve válci zmenšovat s rostoucím objemem V plynu, jak je ukázáno na tzv. pracovním p-V diagramu vlevo. Na píst v každé poloze působí plyn (postupně klesajícím) tlakem p, který vyvolává sílu F = p·A. Diferenciál práce je dán součinem síly a elementární dráhy, tj. F·dx = p·A·dx = p·dV.
34
p
1
p
1’
W12
2 W12
1
V
2 V
Obr. 7.1 – Schéma a diagram k výkladu objemová práce
Δx
Práce vykonaná plynem při posunutí pístu o celkovou dráhu Δx bude (meze integrálu opět formálně označují stavy 1 a 2) 2
W12 = ∫ p ⋅ dV
(7.10)
1
kde p = f (T, V). Tuto práci nazýváme prací objemovou, též prací jednorázového děje, kterou systém koná, jestliže zvětšuje svůj objem. Její velikost odpovídá ploše pod křivkou 1-2 v pracovním diagramu p-V. Termodynamického stavu 2 bychom ovšem mohli dosáhnout i jiným způsobem, např. současným ohříváním a zvětšováním objemu plynu při stálém tlaku p1 (izobarický děj) ze stavu 1 do 1’ a po dosažení objemu V1’ = V2 bychom ochlazením plynu snížili jeho tlak na hodnotu p2 (izochorický děj). Tento postup je znázorněn v pracovním diagramu vpravo. Píst urazil stejnou dráhu Δx, počáteční (1) a konečný (2) stav odpovídají předchozímu případu, avšak plocha pod křivkou 1-1’-2 je nyní větší než v předchozím případě. Vidíme tedy, že objemová práce závisí na cestě, její diferenciál není úplný, což vyjadřujeme odlišným značením δW. Platí δW = p·dV. Integrál z δW nelze vyjádřit rozdílem W2 – W1. Objemová práce není stavovou veličinou, není dána p termodynamickým stavem systému, nýbrž jeho změnou. Totéž platí pro teplo Q: také není 0 1 stavovou veličinou, jeho diferenciál δQ není úplný a hodnota tepla Q12 přeneseného při změně mezi stavy 1 a 2 závisí na cestě (tj. na způsobu termodynamické změny). 3 2 Zařízení použité v předchozím příkladě V neumožňuje získávat práci opakovaně. Musíme jej rozšířit tak, aby bylo možné válec opakovaně plnit a vyprazdňovat. Schématicky je to znázorněno na obr. 7.2. Válec je vybaven plnicím a vypouštěcím ventilem. Přes napouštěcí ventil vpustíme do válce x1 ohřátý plyn, ventil zavřeme, necháme plyn x2 expandovat, čímž se ochladí. Otevřeme vypouštěcí ventil a ochlazený plyn vytlačíme zpět do ohřívače Obr. 7.2 – Schéma a diagram plynu. Zavřeme vypouštěcí ventil a můžeme celý postup zopakovat. k výkladu technické práce
35
K plnění válce při stálém tlaku p1 (děj 0-1) musíme dodat tzv. vtlačovací práci p1·A·x1 = p1·V1. Odpovídá jí plocha obdélníku pod úsečkou 0-1. Ze stavu 1 (p1, V1) plyn expanduje do stavu 2 (p2, V2) a při tomto ději (1-2) vykoná objemovou práci W12. Pro vyprázdnění válce při stálém tlaku (děj 2-3) potřebujeme pístem pohnout doleva, musíme dodat vytlačovací práci p2·A·x2 = – p2·V2 (pohyb je proti směru x). Velikosti této práce odpovídá plocha obdélníku pod úsečkou 2-3. Součet všech prací „na jednu otáčku stroje“ bude W12 + p1·V1 – p2·V2 . Tuto práci můžeme získávat opakovaně, je to tzv. technická práce (též tlaková) Wt12 a je dána objemovou prací sníženou o rozdíl vytlačovací a vtlačovací práce. Stejně jako objemová práce i technická práce se může sdílet při změně termodynamického stavu a je závislá na způsobu této změny. Platí tedy Wt12 = W12 − ( p 2V2 − p1V1 )
(7.11)
a převedeme-li poslední vztah do diferenciálního tvaru, získáme vyjádření neúplného diferenciálu technické práce
δWt = δW − d( pV ) = δW − pdV − Vdp = pdV − pdV − Vdp = − Vdp
(7.12)
Pro měrné veličiny platí wt12 = w12 − ( p 2 v 2 − p1v1 )
(7.13)
δ wt = δ w − d( pv ) = −vdp
(7.14)
Je tedy zřejmé, že technickou práci systém koná, jestliže snižuje svůj tlak a velikost technické práce odpovídá ploše pod křivkou změny 1-2 v pracovním diagramu, ovšem směrem ke svislé ose tlaku. Energetický stav průtočných systémů charakterizujeme nejčastěji entalpií I [J], která je definována jako součet vnitřní energie U a vnější energie vyjádřené součinem tlaku p a objemu V: I = U + p ⋅V
(7.15)
nebo v měrných veličinách [J/kg] i = u + p⋅v = u +
p
(7.16)
ρ
V diferenciálním tvaru pak
dI = dU + d( pV )
(7.17)
⎛ p⎞ di = du + d( pv) = du + d⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ρ⎠
(7.18)
Z původního diferenciálního tvaru 1. TDZ (7.6) získáme přičtením d(pV) k oběma stranám rovnice
dU + d( pV ) = δQ − δW + d( pV )
(7.19)
dI = δ Q − [δ W − d( pV )] = δ Q − δWt
(7.20)
Změna entalpie ΔΙ = I2 – I1 je tedy dána přeneseným teplem Q12 a technickou prací Wt12. To je druhý způsob vyjádření 1. TDZ: I 2 − I 1 = Q12 − Wt12
(7.21)
nebo v měrných veličinách
36
i2 − i1 = q12 − wt12
(7.22)
a v diferenciálním tvaru s měrnými veličinami di = δ q − δ wt .
(7.23)
7.2 Energetická rovnice pro pevný kontrolní objem protékaný tekutinou Celková energie proudící tekutiny E = I + Ek + Ep [J] zahrnuje entalpii I, kinetickou energii Ek a polohovou (potenciální) energii Ep. Pro úsek potrubí 1-2 na obr. 7.3, v němž uvažujeme jednorozměrné proudění tekutiny (tzn. parametry jako rychlost, tlak aj. se mění pouze podél osy potrubí, nikoliv kolmo na tuto osu) lze sestavit obecnou bilanční rovnici energetických toků v rozměru [J/s] = [W]: ∂E + M& 2 e2 − M& 1e1 = Q& 12 − W& t12 ∂t
(7.24)
kde Q& 12 > 0 je tepelný tok přiváděný do tekutiny z okolí, W& t12 > 0 je výkon na hřídeli, který z tekutiny odvádíme (což je naznačeno schématem turbíny). Tepelný tok tekutině odebíraný (při ochlazování tekutiny) by měl záporné znaménko stejně jako mechanický výkon dodávaný tekutině (např. ventilátor ve vzduchotechnickém potrubí).
M& 2 e2
M& 1e1
1
2 Q& 12
W& t12
Obr. 7.3 – Toky energie přes hranice kontrolní oblasti Pro stacionární proudění platí ∂E ∂t = 0 a M& 1 = M& 2 , takže rovnici můžeme vydělit hmotnostním průtokem M& a získáme její tvar v rozměru měrné energie [J/kg] e2 − e1 = q12 − wt12
(7.25)
kde e = i + ek + ep, nebo v diferenciálním tvaru de = δ q − δ wt
(7.26)
kde de = di + dek + de p . Jestliže uvažujeme změnu potenciální energie pouze se změnou výšky y v gravitačním poli Země, pak
⎛ p ⎞ ⎛ c2 ⎞ di + dek + de p = du + d⎜⎜ ⎟⎟ + d⎜⎜ ⎟⎟ + g dy ⎝ρ⎠ ⎝ 2 ⎠
(7.27)
kde u je měrná vnitřní energie a c je rychlost proudění. Pro stacionární jednorozměrné proudění nestlačitelné tekutiny (ρ = konst.) tedy platí 1. TDZ ve tvaru
du +
⎛ c2 + d⎜⎜ ρ ⎝ 2
dp
⎞ ⎟⎟ + g ⋅ dy = δ q − δ wt ⎠
(7.28)
37
Energetická rovnice (7.28) platí pro proudění s disipací i bez disipace energie, rozdíl se projeví v integrační cestě (na pravé straně rovnice jsou neúplné diferenciály). Při proudění s disipací energie – např. s tlakovými ztrátami – vzrůstá entropie, čímž se zabývá druhý termodynamický zákon.
7.3 Význam druhého termodynamického zákona Zatímco 1. TDZ se týká bilance energie v různých formách při změně stavu systému, 2. TDZ ukazuje, jakým směrem tato změna může probíhat. K tomu se používá další stavová veličina, kterou je entropie S [J]. Entropii lze chápat mj. jako vyjádření stability systému: čím vyšší entropie, tím větší stabilita. Pravděpodobnější jsou pak ty děje, které směřují k vyšší stabilitě. Změna entropie dS vyjadřuje vratnost či nevratnost děje. Skutečné termodynamické děje jsou vždy nevratné, tzn. jejich přirozený průběh je jednosměrný a entropie při nich vzrůstá. Názorným příkladem nevratnosti přirozeného děje je kolo na hřídeli, které roztočíme a necháme otáčet bez dalšího pohonu, takže se zastaví vlivem tření v ložiskách (příp. třením kola o vzduch). Teplo v ložiskách, na které se třením přemění mechanická energie otáčivého pohybu, nelze zpětně využít pro samovolné roztočení kola. I kdybychom ložiska intenzivně zahřívali (např. ohněm), kolo se neroztočí. 2. TDZ lze matematicky vyjádřit vztahem mezi změnou entropie (úplný diferenciál) a přeneseným teplem (neúplný diferenciál): δQ (7.29) dS ≥ T nebo v měrných veličinách δq (7.30) ds ≥ T kde rovnost platí pro vratný děj a nerovnost pro děj nevratný. V proudění bez sdílení tepla s okolím (δq = 0) nárůst entropie (ds > 0) vyjadřuje existenci nevratné degradace energie pohybu tekutiny (tj. proudění) na neuspořádaný (tepelný) pohyb molekul (tzv. disipace energie) vlivem tření (případně víření) vazké tekutiny. Přestože s 2. TDZ běžně nepracujeme, respektujeme ho např. tím, že do Bernoulliho rovnice zapisujeme členy vyjadřující tlakové ztráty na stranu, která popisuje konec zkoumaného úseku potrubí, tj. uvažujeme tak, že součet tlaku statického, dynamického a polohového je na konci úseku potrubí o tlakovou ztrátu menší než na jeho začátku.
7.4 Vztah energetické a pohybové (Bernoulliho) rovnice Obecně jsou energetická a Bernoulliho (pohybová) rovnice na sobě nezávislé, každá vyjadřuje jiný základní zákon a nelze jednu za druhou zaměňovat. Splývají jen v případech, kdy dochází ke vzájemným přeměnám pouze mechanické energie, např. při stacionárním proudění nestlačitelné tekutiny bez sdílení tepla a technické práce a bez disipace energie, kdy z energetické rovnice (7.28) „vypadnou“ členy du, δq, δwt a dostaneme
⎛ c2 ⎞ + d⎜⎜ ⎟⎟ + g ⋅ dy = 0 ρ ⎝ 2⎠ a po integraci dp
p1
ρ
+
(7.31)
c12 p c2 + gy1 = 2 + 2 + gy 2 = konst. 2 2 ρ
(7.32)
což jsou tvary Bernoulliovy rovnice pro proudění ideální kapaliny (srovnej s kap. 6.1).
38
8. TRANSPORTNÍ ROVNICE V PROSTORU V této kapitole jsou odvozeny pohybové rovnice pro prostorové proudění nestlačitelné nevazké tekutiny, pro vazkou tekutinu jsou tyto rovnice pouze uvedeny bez odvození. Dále je vysvětlena bilance přenášené veličiny v pevném kontrolním objemu, pro který jsou nakonec uvedeny transportní rovnice hybnosti, tepla a hmoty, které se používají pro numerické řešení přenosových jevů v nestlačitelných tekutinách.
8.1 Eulerova pohybová rovnice
Eulerova pohybová rovnice popisuje dynamiku proudění ideální tekutiny (μ = 0), neuvažuje proto vliv třecích sil. Odvodíme ji z 2. Newtonova pohybového zákona pro částici ideální nestlačitelné tekutiny. Částice má rozměry dx×dy×dz a hmotnost dM = ρ · dV = ρ · dx·dy·dz. Podle 2. Newtonova zákona je výslednice vnějších sil působících na těleso příčinou změny jeho pohybového stavu, tj. zrychlení a platí r r a ⋅ dM = ∑ dF j (8.1) j
Tuto vektorovou rovnici lze rozepsat do tří složkových rovnic, dále budeme pracovat s rovnicí do směru osy x
a x ⋅ dM = ∑ dF jx
(8.2)
j
Na obr. 8.1 jsou znázorněny síly působící na částici tekutiny ve směru osy x. Zleva působí na částici síla vyvolaná tlakem p na plošku dy·dz, vpravo působí tlak, který se v důsledku změny polohy o dx liší od p o malou hodnotu dxp (tj. diferenciál tlaku ve směru x). Tlaková síla zprava je orientovaná proti směru osy x, budeme ji počítat jako zápornou. Objemová síla ve směru osy x je dána součinem příslušné složky intenzity vnějšího silového pole Kx a hmotnosti částice dM.
p·dydz
Kx dM
(p + dxp)·dydz dy dz
dx Obr. 8.1 – Tlakové a objemové síly působící na částici tekutiny ve směru osy x Dosazením jednotlivých sil znázorněných na obr. 8.1 do rovnice (8.2) dostaneme a x ⋅ d M = K x d M + p d y d z − ( p + d x p ) d yd z = K x d M − d x p ⋅ d y d z kde za diferenciál tlaku ve směru osy x dosadíme d x p = a x ⋅ dM = K x dM −
∂p ∂p dxdydz = K x dM − dV ∂x ∂x
∂p dx . ∂x
Po vydělením rovnice hmotností částice dM = ρ · dV obdržíme 1 ∂p ax = K x − ρ ∂x
39
(8.3)
(8.4)
(8.5)
Obdobným způsobem lze vyjádřit rovnováhu sil do směrů osy y a z: ay = K y −
1 ∂p ρ ∂y
(8.6)
az = K z −
1 ∂p ρ ∂z
(8.7)
Poslední tři vztahy jsou složkovým vyjádřením vektorové rovnice, kterou získáme, když každou z rovnic (8.5) až (8.7) vynásobíme příslušným směrovým vektorem souřadnicové osy a všechny tři sečteme: r ⎛ r r 1 ∂p ⎞ r ⎛ 1 ∂p ⎞ r ⎛ 1 ∂p ⎞ r ⎟⎟ ⋅ j + ⎜⎜ K z − ⎟⎟ ⋅ i + ⎜⎜ K y − ⎟⋅k a x ⋅ i + a y ⋅ j + a z ⋅ k = ⎜⎜ K x − ρ ∂x ⎠ ρ ∂y ⎠ ρ ∂z ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝
(8.8)
Dále přeskupíme členy na pravé straně: r 1 ⎛ ∂p r ∂p r ∂p r ⎞ r r r (8.9) a = K x ⋅ i + K y ⋅ j + K z ⋅ k − ⎜⎜ ⋅ i + ⋅ j+ ⋅k ⎟ ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎟⎠ Výraz v závorce vyjadřuje vektor gradientu tlaku, který lze zapsat pomocí Hamiltonova r vektorového operátoru ∇. r 1 r r r 1 (8.10) a = K − grad p = K − ∇p
ρ
ρ
Z kap. 5 víme, že zrychlení částice proudící tekutiny je rovno materiální derivací rychlosti proudění r r r Du ∂u rr r a= = + (u ∇) u (8.11) Dt ∂t Vektorový zápis Eulerovy pohybové rovnice pro částici tekutiny tedy bude r r 1 r rr r r 1 ∂u + (u ∇) u = K − grad p = K − ∇p ∂t ρ ρ a ve složkách do směrů kartézských souřadnic x, y a z ∂u x ∂u ∂u ∂u 1 ∂p + ux x + u y x + uz x = K x − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂u y
∂u y
∂u y
∂u y
(8.12)
(8.13a)
1 ∂p ρ ∂y
(8.13b)
∂u ∂u z ∂u ∂u 1 ∂p + ux z + uy z + uz z = K z − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z
(8.13c)
∂t
+ ux
∂x
+ uy
∂y
+ uz
∂z
= Ky −
V tíhovém poli Země, pokud zvolíme směr osy y za svislý, bude Kx = Kz = 0 a Ky = –g. ∂u x ∂u ∂u ∂u 1 ∂p (8.14a) + ux x + u y x + uz x = − ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂t ∂u y ∂t
+ ux
∂u y ∂x
+ uy
∂u y ∂y
+ uz
∂u y ∂z
= −g −
1 ∂p ρ ∂y
∂u z ∂u ∂u ∂u 1 ∂p + ux z + u y z + uz z = − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z
(8.14b) (8.14c)
40
Eulerova pohybová rovnice ve tvaru (8.12) nebo (8.13) popisuje dynamiku částice ideální nestlačitelné tekutiny při nestacionárním prostorovém (3D) proudění. Pro stacionární proudění budou parciální derivace rychlosti podle času na levé straně rovny nule.
8.2 Navierova-Stokesova pohybová rovnice Navierova-Stokesova rovnice (NSR) popisuje dynamiku částice reálné newtonské tekutiny, takže uvažuje vliv viskozity, tj. třecích sil. Její odvození není možné bez užití tenzorové algebry a jde nad rámec této příručky. Alespoň velmi přibližnou představu o členech reprezentujících třecí síly získáme z obr. 8.2, na kterém jsou znázorněny třecí síly působící na vodorovné podstavy částice tekutiny ve směru osy x. (τ +
∂τ dy ) dxdz ∂y
dy
τ dxdz
dz
dx Obr. 8.2 – Zjednodušená představa působení třecích sil na částici tekutiny Třecí síly na obr. 8.2 jsou vyjádřeny jako součin smykového napětí a plochy dxdz, na kterou toto napětí působí. Na horní podstavu působí napětí, které se vlivem posunutí o dy liší od napětí τ na dolní podstavě o hodnotu (∂τ /∂y)dy. Směr třecích sil vyplývá z předpokladu, že velikost vodorovné složky rychlosti ux roste ve směru y (vzhůru). Výslednice těchto sil je (τ +
∂τ ∂τ ∂τ dy ) dxdz − τ dxdz = dy dxdz = dV ∂y ∂y ∂y
(8.15)
Protože v pohybových rovnicích mají členy rozměr síly vztažené na jednotku hmotnosti, vydělíme výsledek (8.15) hmotností částice dM = ρ ·dV a obdržíme 1 ∂τ (8.16) ρ ∂y Pro newtonskou tekutinu platí vztah mezi smykovým napětím a příčným gradientem rychlosti ∂u τ =μ x (8.17) ∂y takže výraz (8.16) lze přepsat do tvaru 1 ∂τ 1 ∂ ⎛ ∂u x ⎜μ = ρ ∂y ρ ∂y ⎜⎝ ∂y
∂ 2u x ⎞ μ ∂ 2u x ⎟⎟ = ν = 2 ∂y 2 ⎠ ρ ∂y
(8.18)
kde μ [Pa·s] je dynamická viskozita a ν [m2/s] je kinematická viskozita tekutiny. Je nutné zdůraznit, že popsané vyjádření účinku třecí síly je velmi zjednodušené a vzdálené exaktnímu postupu odvození NSR. Uvažovali jsme pouze napětí působící na vodorovné plochy a pouze ve směru x. Ve skutečnosti je napětí v tekutině popsáno tenzorem 2. řádu. Navierova-Stokesova rovnice pro nestacionární 3D proudění nestlačitelné newtonské tekutiny ve vektorovém tvaru je r rr r r 1 r r ∂u (8.19) + (u ∇) u = K − ∇p + ν ∇ 2 u ρ ∂t
41
r r ⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞ ⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞ ∂2 ∂2 ∂2 + j + k ⎟⎟·⎜⎜ i +j + k ⎟⎟ = 2 + 2 + 2 . kde operátor ∇ 2 = ∇·∇ = ⎜⎜ i ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x 2r Vidíme, že se NSR liší od rovnice (8.12) tzv. třecím členem ν ∇ u , který vyjadřuje účinek vazkého tření na pohyb částice tekutiny. Tyto třecí členy snadno identifikujeme porovnáním (8.18) a NSR rozepsané do složek ve směru x, y a z: ⎛ ∂ 2u x ∂ 2u x ∂ 2u x ∂u x ∂u x ∂u x ∂u x 1 ∂p + ux + uy + uz = Kx − + ν ⎜⎜ 2 + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ∂x
⎞ ⎟⎟ ⎠
(8.20a)
⎛ ∂ 2u y ∂ 2u y ∂ 2u y 1 ∂p + uz = Ky − +ν ⎜ 2 + + 2 ⎜ ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂ y ∂z 2 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(8.20b)
∂u y ∂t
+ ux
∂u y ∂x
+ uy
∂u y
∂u y
⎛ ∂ 2u z ∂ 2u z ∂ 2u z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z 1 ∂p + ux + uy + uz = Kz − + ν ⎜⎜ 2 + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂y 2 ∂z 2 ⎝ ∂x
⎞ ⎟⎟ ⎠
(8.20c)
V tíhovém poli Země (osa y určuje svislý směr) bude Kx = Kz = 0 a Ky = –g. Pro stacionární proudění budou parciální derivace rychlosti podle času na levé straně rovny nule.
8.3 Bilance v pevném kontrolním objemu Rovnice kontinuity (4.30) vyjadřuje lokální změnu množství látky v pevném kontrolním objemu (akumulaci) a změnu způsobenou prouděním tekutiny přes hranice tohoto kontrolního objemu (KO), tj. konvektivní změnu. Postup při odvození rovnice kontinuity, který byl založen na bilanci hmotnostních toků, použijeme pro vyjádření tepelných toků prouděním (konvekcí). Tepelný tok konvekcí Q& [W] je dán součinem hmotnostního toku [kg·s–1], měrné tepelné kapacity cp a teploty T tekutiny. Hustota tepelného toku q& [W/m2] je dána součinem hustoty hmotnostního toku [kg·s–1·m–2], cp a T, kde hustota hmotnostního toku je určena součinem hustoty ρ tekutiny a rychlosti proudění u. Na obr. 8.3 jsou znázorněny tepelné toky způsobené prouděním tekutiny přes hranici pevného kontrolního objemu ve směru osy x; uvažujeme tedy složku rychlosti ux a plochu, kterou proudí teplo, o velikosti dydz.
(ρ cpT ux)·dydz
[ρ cpT ux + dx(ρ cpT ux)]·dydz dy dz dx
Obr. 8.3 – Proudění tepla pevným kontrolním objemem Ve směru x vyjádříme rozdíl přivedeného a odvedeného tepla za čas dt. ⎡
∂( ρ c pT u x )
⎣
∂x
ρ c p T u x ·dy dz·dt − ⎢ ρ c p T u x +
∂( ρ c pT u x ) ⎤ dx ⎥·dydz·dt = − dxdydz·dt ∂x ⎦
Obdobně lze zapsat rozdíl přívodu a odvodu tepla ve směru osy y a z:
42
(8.21)
−
−
∂( ρ c pT u y ) ∂y
∂( ρ c pT u z ) ∂z
dydxdz·dt
(8.22)
dzdxdy·dt
(8.23)
a celkový rozdíl způsobený prouděním (konvekcí) je r ⎡ ∂( ρ c pT u x ) ∂( ρ c pT u y ) ∂( ρ c pT u z ) ⎤ r + + −⎢ ⎥ d V d t = −∇ ( ρ c p T u ) d V d t ∂z ∂y ∂x ⎣ ⎦
(8.24)
Za čas dt se v pevném KO akumuluje teplo ∂( ρ c pT ) ∂t
(8.25)
dV dt
Výrazy (8.24) a (8.25) po vydělení objemem dV a časem dt reprezentují změnu tepelného obsahu KO vlivem konvekce r r − ∇ ( ρ c pT u ) (8.26) a lokální změnu v čase (akumulaci) tepla v KO ∂ ( ρ c pT )
(8.27)
∂t Porovnáme-li tyto výrazy s rovnicí kontinuity z kap. 4 ∂ρ r r + ∇( ρ u ) = 0 ∂t
(4.30)
vidíme analogický tvar členu lokálního (parciální derivace podle času) i konvektivního (člen s vektorovým operátorem). Na základě uvedeného příkladu zobecníme součet lokálního a konvektivního členu pro pevný kontrolní objem do tvaru ∂( ρφ ) r r (8.28) + ∇( ρφ u ) ∂t kam bychom za φ dosadili pro přenos tepla φ = cpT (tj. měrnou entalpii v J/kg) a pro přenos hmoty φ = 1 (viz rovnici kontinuity). Symbol φ tedy zastupuje přenášenou veličinu vztaženou na 1 kg látky. Při sledování příměsi A v tekutině bychom dosadili φ = ρA /ρ = cA, kde hmotnostní koncentraci příměsi ρA [kg A/ m3 směsi] dělíme hustotou směsi (A + tekutina) a cA [kg A/ kg směsi] je hmotnostní zlomek příměsi A: ∂ρ A r ∂( ρ c A ) r r r + ∇( ρ A u ) + ∇( ρ c A u ) = ∂t ∂t
(8.29)
Do tohoto konceptu zapadají i pohybové rovnice, pokud je vyjádříme ve složkové formě (tj. jako tři skalární rovnice do směru x, y a z). Složky rychlostí (jsou skalární!) můžeme chápat jako složky měrné hybnosti v daném směru, protože hybnost je dána součinem hmotnosti a rychlosti. Pro pohybovou rovnici do směru x tak získáme dosazením φ = ux ve výrazu (8.28) ∂( ρ u x ) r r + ∇( ρ u x u ) ∂t
(8.30)
43
Jaký je vztah materiální derivace, která popisuje změnu v materiálním KO, a vyjádření změny (8.28) pro pevný KO? Zapíšeme materiální derivaci pro obecnou veličinu φ přenášenou v tekutině (vztaženo na 1 kg tekutiny) Dφ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ r r = + ux + uy + uz = + u ∇φ (8.31) Dt ∂z ∂t ∂t ∂x ∂y a porovnáme ji s výrazem (8.28), který rozepíšeme podle pravidla o derivování součinu r r r rr ∂( ρφ ) r ∂φ ∂ρ (8.32) + ∇( ρ φ u ) = ρ +φ + ρ u ∇φ + φ ∇ ( ρ u ) ∂t ∂t ∂t ∂( ρφ ) r r ⎡ ∂φ r r ⎤ ⎡ ∂ρ r r ⎤ + ∇( ρ φ u ) = ρ ⎢ + u ∇φ ⎥ + φ ⎢ + ∇( ρ u )⎥ ∂t ⎣ ∂t ⎦ ⎣ ∂t ⎦
(8.33)
kde poslední závorka vpravo je rovna nule, protože platí rovnice kontinuity (4.30). Z toho vyplývá vztah mezi (8.28) a materiální derivací (8.31) ∂( ρφ ) r r Dφ ⎡ ∂φ r r ⎤ + ∇( ρφ u ) = ρ ⎢ + u ∇φ ⎥ = ρ ∂t Dt ⎣ ∂t ⎦
(8.34)
8.4 Transportní rovnice pro nestlačitelnou tekutinu v prostoru
Po vynásobení složkových pohybových rovnic (8.20) hustotou ρ můžeme podle (8.34) přepsat jejich levé strany a získáme tak transportní rovnice hybnosti pro pevný kontrolní objem protékaný vazkou tekutinou. Protože se zabýváme pouze prouděním nestlačitelných tekutin, můžeme dále konstantní hustotu vytknout před derivace a rovnice hustotou vydělit. Zároveň z vnějších objemových sil zohledníme pouze působení zemského tíhového pole (zrychlení g = 9,81 m/s) proti směru svislé osy y. ∂u x r r 1 ∂p (8.35a) + ∇ (u x u ) = − +ν ∇ 2u x ρ ∂x ∂t ∂u y
r r 1 ∂p + ∇ (u y u ) = − g − + ν ∇ 2u y ∂t ρ ∂y ∂u z r r 1 ∂p + ∇ (u z u ) = − +ν ∇ 2u z ρ ∂z ∂t
(8.35b) (8.35c)
Bez odvození (je naznačeno v kap. 11 – Vedení a prostup tepla) uvedeme dále transportní rovnici pro energii, přičemž uvažujeme látku konstantních vlastností (ρ, λ, cp = konst.), vnitřní zdroj tepla a zanedbáme tzv. viskózní ohřev způsobený disipací mechanické energie tekutiny třením. ∂T r r q& (V ) 2 + ∇(T u ) = a∇ T + (8.36) ∂t ρ cp Rovnice má smysl jen pro neizotermické proudění, pak však nebude hustota tekutiny konstantní. Pro nestlačitelné tekutiny ρ ≠ f (p) se používá zjednodušený model vlivu teploty na hustotu, tzv. Boussinesqova aproximace. Podle ní hustotu tekutiny považujeme ve všech rovnicích za konstantní, pouze v pohybové rovnici do svislého směru zohledníme vliv teploty na vznik vztlaku. Závislost ρ = ρ (T) se pro tyto účely linearizuje vztahem ρ (T ) = ρ [1 − β (T − T0 )] = ρ [1 − β ⋅ ΔT )] (8.37)
Δρ = ρ (T ) − ρ = ρ β ΔT
(8.38)
44
kde ρ je hustota tekutiny při referenční teplotě T0, β je součinitel roztažnosti při ref. teplotě T0 a ΔT je rozdíl teploty částice T od referenční teploty T0. Bude-li teplota částice vyšší než referenční (ΔT >0 ⇒ Δρ < 0), působí vztlak vzhůru. Je-li naopak teplota částice nižší než T0 (ΔT <0 ⇒ Δρ > 0), jedná se o negativní vztlak působící směrem dolů. Příslušná pohybová rovnice do svislého směru po této úpravě je ∂u y
r r 1 ∂p + ∇ (u y u ) = − g − + ν ∇ 2 u y + g β ΔT ∂t ρ ∂y
(8.35bb)
Rovnice pro přenos příměsi v proudící tekutině bude zcela analogická rovnici pro energii. ∂ρ A r r + ∇( ρ A u ) = D AB ∇ 2 ρ A + r& (V ) ∂t
(8.39)
Soustavu rovnic (8.35), (8.36) a (8.39) doplňuje rovnice kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu (viz kap. 4) rr ∇u = 0 (4.31)
Porovnáme-li transportní rovnice pro rychlosti, teplotu a koncentraci, najdeme několik analogických členů. Jako nestacionární člen (vyjadřuje akumulaci v KO) se označuje parciální derivace podle času na levé straně. Další člen na levé straně rovnic je konvektivní (obsahuje Hamiltonův vektorový operátor). Na pravé straně pak najdeme člen difúzní, ve kterém je kvadrát vektorového operátoru (tj. Laplaceův operátor). Zbytek výrazů na pravé straně rovnice lze formálně shrnout do skupiny tzv. zdrojových členů. Po převedení konvektivních členů na pravou stranu rovnic můžeme slovně vyjádřit obecnou transportní rovnici: lokální změna (akumulace v KO) = transport konvekcí přes hranici KO + transport difúzí přes hranici KO + zdroj uvnitř KO
45
9. TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ 9.1 Základní vlastnosti turbulence Na rozdíl od laminárního proudění, jehož strukturu lze popsat jako relativně jednoduchou soustavu vrstev tekutiny, které se po sobě posouvají, aniž by mezi nimi migrovaly částice (shluky molekul) tekutiny, v turbulentním proudění takové vrstvení vůbec nenajdeme, částice vytvářejí prostorově složité vírové struktury, které mění svůj tvar a velikost, vznikají a zase se rozpadají a tekutina je v celém objemu těmito pohyby částic, příp. jejich shluků intenzivně promíchávána (viz obr. 9.1). Jako první demonstroval tento rozdíl ve struktuře laminárního a turbulentního proudění Reynolds † v r. 1883.
Obr. 9.1 – Struktura turbulentního proudění Green, M. A., Rowley, C. W. & Haller, G. Detection of Lagrangian coherent structures in three-dimensional turbulence, Journal of Fluid Mechanics, 572, 2007, 111-120.
Při proudění v potrubí se uvedené rozdíly mimo jiné projeví ve tvaru rychlostního profilu, který je v turbulentním režimu vyrovnanější a více přilehlý ke stěnám než profil laminární (na obr. 9.2 jsou v turbulentním profilu zobrazeny rychlosti středního pohybu). V potrubí kruhového průřezu je při turbulentním proudění poměr maximální rychlosti v ose a střední rychlosti podle průtoku (umax / uS) přibližně 1,2, při laminárním proudění je roven 2.
Obr. 9.2 – Laminární (vlevo) a turbulentní (vpravo) rychlostní profil při stejné hodnotě střední průtočné rychlosti (čárkovaně) †
Ukázku Reynoldsova pokusu je možné shlédnou na http://www.youtube.com/watch?v=KqqtOb30jWs (laminární proudění v trubce) http://www.youtube.com/watch?v=NplrDarMDF8 (turbulentní proudění v trubce)
46
Podobně se bude v turbulentním proudu chovat teplotní nebo koncentrační pole. Turbulence je velmi účinný mechanizmus pro vyrovnávání rozdílů (gradientů) veličin přenášených proudící tekutinou. Jestliže je proudění turbulentní, probíhají v něm přenosové děje vždy s podstatně větší intenzitou než v proudění laminárním. Turbulentní přenos (hybnosti, tepla a hmoty) však nelze zaměňovat s konvektivním přenosem, který je založen na uspořádaném pohybu částic tekutiny (tj. proudění). Pro svůj náhodný charakter se turbulentní přenos blíží molekulárnímu (difúznímu) přenosu, probíhá ovšem na makroskopické úrovni. Zatímco difúzní přenos se uskutečňuje prostřednictvím molekul látky, turbulentní přenos zprostředkují makroskopické částice (tj. shluky molekul) tekutiny. S turbulentním režimem se setkáme ve většině případů proudění v budovách (příp. při obtékání budov), ať se jedná o proudění vzduchu v místnostech a ve vzduchotechnických zařízeních nebo vody v teplosměnných okruzích. Existují samozřejmě výjimky, např. laminární proudění vzduchu v komorách čistých prostorů nebo průtok kapaliny v kapilárních rohožích používaných v chlazení a vytápění.
9.2 Reynoldsův statistický popis turbulence Protože výskyt „nepravidelností“ v turbulentním proudění je víceméně náhodný, nabízí se využití statistického přístupu k popisu turbulence. Na obr. 9.3 je záznam rychlosti naměřený citlivým anemometrem v turbulentním proudu vzduchu. Vodorovná čára ukazuje průměr z naměřených hodnot a reprezentuje střední rychlost (také rychlost středního pohybu), kterou můžeme definovat jako časově průměrnou hodnotu 1 u= Δt
t + Δt
∫ u (t ) dt
(9.1)
t
kde u(t) je okamžitá rychlost. Střední hodnotu označujeme pruhem nad veličinou. Podmínkou správného určení střední rychlosti je dostatečná délka intervalu Δt v rovnici (9.1); teoreticky je to nekonečně dlouhý interval, prakticky postačuje poměrně krátká doba, např. ve větraných místnostech se při zjišťování tepelné pohody měří rychlost proudění po dobu 180 s. 1.10
rychlost [m/s]
1.08
1.06
1.04
1.02
1.00 0
20
40
60
80
100
120
čas [s]
Obr. 9.3 – Záznam rychlosti turbulentního proudění při frekvenci vzorkování 5 Hz
47
Na obr. 9.3 je střední rychlost konstantní, jedná se o turbulentní proudění s ustáleným středním pohybem. Můžeme se samozřejmě setkat i s turbulentním prouděním s neustáleným středním pohybem, kdy rychlost středního pohybu klesá stoupá nebo periodicky kolísá (proudění v pístech kompresoru). Pak nemůžeme určit střední rychlost časovým průměrováním a definujeme ji jako tzv. souborový průměr. Principy dále popsané v této kapitole se pro oba způsoby průměrování neliší a pro lepší názornost budeme dále uvažovat ustálený střední pohyb tekutiny. V libovolném čase můžeme vyhodnotit rozdíl okamžité a střední rychlosti, který se nazývá fluktuace rychlosti (fluktuační složka rychlosti) označená čárkou:
u′(t ) = u (t ) − u
(9.2)
Fluktuace rychlosti jsou samozřejmě funkcí času a mohou mít kladnou nebo zápornou velikost (ve smyslu odchylky od střední rychlosti). Protože průměr součtu nebo rozdílu je roven součtu nebo rozdílu průměrů, je střední hodnota fluktuací u′(t ) = u (t ) − u = u − u = 0
(9.3)
Výsledek lze zdůvodnit i tak, že fluktuace jsou rovnoměrně rozloženy kolem střední hodnoty, takže při průměrování se navzájem odečtou jejich kladné a záporné hodnoty. Abychom mohli posuzovat velikost fluktuací v různých případech, zavádíme střední hodnotu kvadrátu fluktuací, jejíž hodnota je obecně nenulová u′2 = (u (t ) − u ) = u 2 (t ) − 2 u (t ) u + u 2 = u 2 (t ) − u 2 ≠ 0 2
(9.3)
Nenulovou hodnotu lze také zdůvodnit tím, že kvadrátem se mění znaménko všech odchylek od u na kladné, takže se při průměrování navzájem neodečtou. Dosud jsme pracovali pouze s velikostí rychlosti u, víme však, že rychlost je vektorová r r r r veličina u = u x i + u y j + u z k . Každá složka tohoto vektoru vykazuje fluktuace a její okamžitou hodnotu lze rozložit na střední a fluktuační část, takže např. u x (t ) = u x + u′x (t ). Bez podrobnějšího rozboru si lze představit, že fluktuace se neprojevují jen ve velikosti, ale také ve směru rychlosti. Turbulence je tedy prostorově velmi složitý jev. Typické je, že i při proudění, jehož střední pohyb je rovinný, např. při obtékání rovinné stěny proudem vzduchu přiváděným úzkou štěrbinou, mají fluktuace rychlosti prostorový charakter, tj. mohou se lišit ve všech třech směrech. Je to mj. způsobeno různým tlumením fluktuačních pohybů ve směru kolmém na obtékanou desku a ve směru podélném. Stejně tak v proudění, které se makroskopicky jeví jako ustálené, např. výtok vody z vodovodní baterie, nalezneme při podrobnějším zkoumání rychlosti měnící se v čase. Turbulence je vždy prostorová (3D) a vždy nestacionární. Z Reynoldsova rozkladu se odvozují různé veličiny, používané při popisu, modelování a měření turbulence. Dále si uvedeme dvě z nich – kinetickou energii turbulence a intenzitu turbulence. Kinetická energie turbulence Střední hodnota měrné kinetická energie [m2/s2] turbulentně proudící tekutiny je rr r r 1rr 1 r r r r 1 rr 1rr rr 1r r k = u ·u = (u + u′)·(u + u′) = (u ·u + 2u ·u′ + u′·u′) = u ·u + u ·u′ + u′·u′ 2 2 2 2 2
(9.3)
Rozepíšeme jednotlivé členy v posledním výrazu s užitím pravidla o skalárním součinu vektorů:
48
rr 2 2 2 2 2 2 u ·u = u x + u y + u z = u x + u y + u z
(9.4)
rr u ·u′ = u x ·u′x + u y ·u′y + u z ·u′z = u x ·u′x + u y ·u′y + u z ·u′z = u x ·u′x + u y ·u′y + u z ·u′z = 0
(9.5)
r r 2 2 2 2 2 2 u′·u′ = u′x + u′y + u′z = u′x + u′y + u′z
(9.6)
a dosadíme do původního vyjádření 1rr 1 2 1 2 2 2 2 2 k = u ·u = (u x + u y + u z ) + (u′x + u′y + u′z ) 2 2 2
(9.7)
První člen je kinetická energie středního pohybu a druhý člen kinetická energie fluktuací, která se v literatuře běžně označuje jako kinetická energie turbulence 1 2 2 2 kT = (u′x + u′y + u′z ) 2
(9.8)
Pro izotropickou (směrově stejnou) turbulenci platí u′x = u′y = u′z = u′2 2
2
2
(9.9)
a v takovém případě bude kinetická energie turbulence kT =
3 2 u′ 2
(9.10)
V inženýrských výpočtech proudění metodami počítačové mechaniky tekutin (CFD) se uplatňují modely turbulence, které nepracují s jednotlivými složkami fluktuačních rychlostí, ale používají pro popis turbulence její kinetickou energii kT, čímž zanedbávají anizotropii turbulence. Tento přístup znamená podstatné zjednodušení (a v některých případech i velké zkreslení) skutečných procesů, které probíhají v turbulentním proudění. Intenzita turbulence Intenzita turbulence IT [-] vyjadřuje poměr velikosti fluktuací rychlosti a její střední hodnoty. Uvádí se většinou v procentech. Za předpokladu izotropické turbulence bude
IT =
u′2 u
(9.11)
Vezmeme-li v úvahu anizotropii turbulence, můžeme buď vyjádřit intenzitu turbulence v různých směrech, např. IT , x
u′x = ux
2
(9.12)
nebo můžeme IT definovat na základě průměrné velikosti fluktuací do všech tří směrů
IT =
1 2 2 2 (u′x + u′y + u′z ) 3 u x2 + u y2 + u z2
(9.13)
Porovnáním (9.8) a (9.13) získáme vztah mezi kinetickou energií turbulence a intenzitou turbulence
49
2 kT 3 = IT = u x2 + u y2 + u z2
2 kT 3 u2
(9.14)
9.3 Turbulentní (vírová) viskozita Při aplikaci Reynoldsova rozkladu a průměrování v Navierových-Stokesových rovnicích vznikají kvůli nelinearitě konvektivních členů nové neznámé v podobě středních hodnot součinů fluktuací rychlosti. Uvedeme pouze výsledek této operace bez odvození. Jsou to tzv. Reynoldsovy rovnice, zde pro stacionární izotermické proudění nestlačitelné tekutiny bez uvažování tíhové síly: ∂u x ∂u x ∂u x ⎤ 1 ∂p μ ⎛ ∂ 2 u x ∂ 2 u x ∂ 2 u x ⎞ ⎡ ∂ ∂ ∂ ⎟ − ⎢ (u ′x u ′x ) + (u ′x u ′y ) + (u ′x u ′z )⎥ + uy + uz =− + ⎜⎜ 2 + ux + 2 2 ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ρ ∂x ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎣ ∂x ⎦ (9.15a) 2 2 2 ∂u y ∂u y ∂u y ⎤ 1 ∂p μ ⎛⎜ ∂ u y ∂ u y ∂ u y ⎞⎟ ⎡ ∂ ∂ ∂ + uy + uz =− + + + ux − ⎢ (u ′y u ′x ) + (u ′y u ′y ) + (u ′y u ′z )⎥ 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂y ρ ∂y ρ ⎜⎝ ∂x ∂z ∂y ∂z ⎟⎠ ⎣ ∂x ⎦ (9.15b) 2 2 2 ∂u ∂u ∂u ⎤ 1 ∂p μ ⎛ ∂ u z ∂ u z ∂ u z ⎞ ⎡ ∂ ∂ ∂ ⎟ − ⎢ (u ′z u ′x ) + (u ′z u ′y ) + (u ′z u ′z )⎥ + ⎜⎜ 2 + ux z + u y z + uz z = − + 2 2 ⎟ ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ρ ∂z ρ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎣ ∂x ⎦ (9.15c) Střední hodnoty součinů fluktuací rychlosti na pravé straně rovnic mají po vynásobení hustotou fyzikální rozměr napětí [(m2/s2)·(kg/m3)] = [Pa] a nazývají se Reynoldsova turbulentní napětí. Tyto členy můžeme chápat jako složky tenzoru 2. řádu rij = − ρ ⋅ (ui′u′j )
(9.16)
kde i, j = x, y, z (všechny kombinace). Tenzor Reynoldsových napětí má 9 složek, je sice symetrický (platí u i′u ′j = u ′j u i′ ), přesto však máme v pohybových rovnicích 6 nových neznámých členů, které je nutno poloempiricky modelovat (odtud pojem model turbulence). Velká skupina modelů používaných v praktických úlohách je založena na Boussinesqově hypotéze o analogii mezi laminárním a turbulentním přenosem hybnosti. Newtonův třecí zákon pro laminární proudění popisuje úměru mezi smykovým napětím a du příčným gradientem rychlosti τ = μ x , kde μ je dynamická viskozita. Analogicky s tímto dy vztahem má být Reynoldsovo napětí úměrné příčnému gradientem střední rychlosti
− ρ ⋅ u ′x u ′y = μ T
du x dy
(9.17)
kde μT [Pa·s] je turbulentní (vírová) viskozita. Turbulentní napětí je tedy vyjádřeno jako funkce příčného gradientu střední rychlosti u x , která patří mezi „normální“ neznámé v pohybových rovnicích. Avšak μT už není látková vlastnost jako μ v Newtonově zákoně, ale parametr závislý na stavu proudění v daném místě (a příp. čase). Výše uvedený Newtonův zákon pro smykové napětí platí jen pro rovinné laminární (Couettovo) proudění nestlačitelné tekutiny, při kterém se rychlost mění pouze v příčném
50
směru. Zobecněním tohoto vztahu pro trojrozměrné laminární proudění dojdeme k tzv. konstitutivní rovnici newtonské nestlačitelné tekutiny ⎛ ∂u i
τ ij = − μ ⋅ ⎜⎜
⎝ ∂x j
+
∂u j ⎞ ⎟ ∂xi ⎟⎠
(9.18)
kde τij (i, j = x, y, z) je složka tenzoru dynamických (vazkých) napětí. Analogicky k tomu lze zobecnit i Boussinesqovu hypotézu, jejíž výše uvedený tvar platí opět pro nejjednodušší případ rovinného turbulentního proudění s příčným rychlostním gradientem. Obecnější vztah pro tenzor Reynoldsových napětí tedy bude ⎛ ∂u ∂u j rij = − ρ ⋅ u i′u ′j = μ T ⎜ i + ⎜ ∂x ⎝ j ∂xi
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(9.19)
V souvislosti s využitím kinetické energie turbulence kT v turbulentních modelech se používá tzv. rozšířená Boussinesqova hypotéza ve tvaru ⎛ ∂u ∂u j − ρ ⋅ u i′u ′j = μ T ⎜ i + ⎜ ∂x ⎝ j ∂xi
⎞ 2 ⎟ − ρ k T δ ij ⎟ 3 ⎠
(9.20)
kde δij je Kroneckerovo delta (pro i = j je δij =1, jinak δij = 0). Zavedením vírové viskozity μT a jejího vyjádření pomocí kinetické energie turbulence kT se zbavujeme rozlišení mezi jednotlivými složkami fluktuace rychlosti, čím se numerické modelování a simulace turbulentního proudění podstatně zjednodušují, přicházíme ovšem o část informace o zkoumaném fyzikálním jevu. Analogicky k μT (resp. νT [m2/s]) se pro turbulentní přenos tepla používá turbulentní teplotní vodivost aT [m2/s] a pro přenos hmoty turbulentní difuzivita DT [m2/s]. Všechny tyto turbulentní součinitele přenosu jsou závislé na lokální situaci v proudící tekutině.
51
10. PODOBNOST A MODELOVÁNÍ 10.1 Metody řešení úloh z přenosových jevů Pro řešení úloh z přenosových jevů (obecně jakýchkoliv fyzikálních dějů) máme k dispozici dva typy metod – analytické a experimentální. Analytické metody jsou založeny na teoretickém rozboru úlohy, jehož výsledkem je popis příslušného děje v podobě matematické rovnice, jejíž řešení hledáme v obecném tvaru (např. integrace diferenciální rovnice) nebo numerickým výpočtem. Bohužel právě rovnice popisující transportní jevy v proudících tekutinách jsou natolik složité (komplikaci představuje především nelinearita konvektivních členů v pohybových rovnicích a dále turbulence), že jejich obecné řešení neznáme a známá řešení se omezují na poměrně úzkou skupinu případů, často idealizovaných nebo podstatně zjednodušených. Ani numerické metody nejsou dostatečně výkonným a univerzálním nástrojem. I když např. existuje metoda přímého numerického řešení Navierových-Stokesových rovnic (metoda DNS – Direct Numerical Simulation), vzhledem k nárokům na výkon a paměť počítačů nelze od této metody v dohledné době očekávat řešení úloh typu „proudění vzduchu ve větrané místnosti“. Experimentální metody jsou založeny na empirickém přístupu. V řadě případů je jednodušší a účinnější příslušný děj prozkoumat pozorováním a měřením. Vzniká však dvojí problém – zaprvé k vůli časovému omezení nemůžeme empiricky prozkoumat všechno, co bychom si přáli, zadruhé některé úlohy jsou prostorově tak náročné (příliš malé nebo příliš velké), že je změřit nelze. Z těchto důvodů byly vyvinuty teorie podobnosti a metody modelování, které umožňují převádět výsledky měření mezi navzájem podobnými případy a využít měření na modelu v laboratoři pro predikci chování reálných objektů, tj. přenášet výsledky z modelu na dílo. Skutečný a modelovaný děj přitom musí splňovat podmínky podobnosti. Fyzikálně podobné děje jsou takové, které můžeme vyjádřit rovnicemi stejného tvaru a obsahu a jejich podmínky jednoznačnosti jsou podobné. Analogické (matematicky podobné) děje lze popsat rovnicemi stejné formy, ale rozdílného obsahu. Příkladem analogie jsou rovnice vyjadřující - vedení tepla v rovinné stěně a vedení elektrického proudu vodičem, - základní zákony molekulárního přenosu hybnosti, tepla a hmoty. Podmínky jednoznačnosti vymezují ze všech případů popsaných danou rovnicí jeden konkrétní děj a lze je rozdělit na - geometrické (tvar a rozměry prostoru, kde děj probíhá), - fyzikální (vlastnosti látek: ρ, λ, cp, ν, ...), - okrajové (popis vlivu okolí na děj), - počáteční (popis stavu na počátku děje). Z podmínek fyzikální podobnosti (stejná forma a obsah rovnice, podobné podmínky jednoznačnosti) vyplývají veličiny, které o podobnosti rozhodují. Tyto veličiny z důvodů daných zavedenými zvyklostmi a požadavky na zjednodušení matematického popisu slučujeme do bezrozměrných komplexů – kriterií podobnosti. Kriteria lze rozdělit na určující, která jednoznačně vymezují příslušný děj, a určená, která obsahují hledané veličiny. Vztah mezi určeným a určujícími nazýváme kriteriální rovnicí. Např. přenos tepla konvekcí je obecně popsán kriteriální rovnicí Nu = f (Re, Gr, Pr) = C·Rek·Grl·Prm
(10.1)
kde určené kriterium – Nusseltovo číslo obsahuje hledanou veličinu – součinitel přestupu tepla hk. Určujícími kriterii jsou Reynoldsovo (Re), Grashofovo (Gr) a Prandtlovo (Pr) číslo. Parametry rovnice C, k, l, m se určují kombinací analytických a experimentálních metod. Podrobnější rozbor k rovnici (10.1) je uveden v kapitole 12 o přenosu tepla konvekcí.
52
Ke stanovení kriterií podobnosti se používají různé metody. Nejobecnější je postup založený na Buckinghamovu π-teorému: Funkční závislost mezi rozměrovými parametry p1, p2, ..., pm v počtu m, které obsahují n základních fyzikálních rozměrů, je možné vyjádřit (m – n) bezrozměrnými komplexy parametrů ve tvaru π j = p1k1 ⋅ p1k1 ⋅ ... ⋅ pmk m , kde k1, k2, ..., km jsou exponenty z oboru reálných čísel takové, aby výsledek součinu byl bezrozměrný. V přenosu hybnosti, tepla a hmoty přichází v úvahu 4 základní fyzikální rozměry: m, kg, s, K; takže počet bezrozměrných kriterií πj bude (m – 4). Postup spočívá v identifikaci rozměrových parametrů p1 až pm zkoumaného děje, stanovení počtu bezrozměrných kriterií j = m – 4, sestavení rovnice vyjadřující obecný tvar kriterií a stanovení exponentů k1 až km na základě rozměrové analýzy, kdy výsledný součet exponentů každého ze základních fyzikálních rozměrů (m, kg, s, K) musí být roven nule. V dalším výkladu si ukážeme jiné postupy, které nejsou tak rigorózní jako výše uvedená metoda, avšak poskytují názornější vhled do podstaty věci.
10.2 Analogie a podobnost molekulárního přenosu hybnosti, tepla a hmoty Podmínkou jakéhokoliv ze jmenovaných přenosových jevů je nenulový rozdíl, přesněji gradient určité veličiny. Základní zákony, které popisují jednoduché případy molekulárního přenosu, mají empirický charakter – vznikly matematickým popisem pozorování. Všechny vyjadřují formálně totéž: intenzita přenosu je úměrná potenciálu přenosu.
hustota toku přenášené veličiny
=
součinitel přenosu
•
potenciál přenosu
Mají tedy formálně jednotný zápis, avšak obsahově se budou lišit veličinami, které přísluší různým přenosovým jevům. Přenos hybnosti Hybnost je dána součinem hmotnosti a rychlosti M·u [kg·m·s–1]. Tok hybnosti je součinem hmotnostního toku a rychlosti M& ·u [kg·m·s–2]. Hustota (tzn. intenzita) toku hybnosti je tok hybnosti vztažený na jednotku plochy kolmé ke směru toku. Rozměrově bude tedy hustota toku hybnosti odpovídat napětí: ⎡ hybnost ⎤ kg ⋅ m ⋅ s –1 kg ⋅ m ⋅ s –2 N = 2 = Pa ⎢ čas ⋅ plocha ⎥ = s ⋅ m 2 = 2 m m ⎣ ⎦
Konkrétně odpovídá hustota toku hybnosti velikosti smykového napětí τ [Pa], které vzniká mezi vrstvami tekutiny pohybujícími se různou rychlostí (molekulární přenos se týká pouze laminárního proudění). Potenciál přenosu, kterému je úměrné smykové napětí τ , vyjádříme jako gradient hybnosti vztažené na jednotku objemu
grad( M · u V ) = grad( ρ · u ) =
d( ρ · u ) dn
(10.2)
Součinitelem přenosu (konstantou úměrnosti) je kinematická viskozita ν [m2/s]. Dostáváme Newtonův třecí zákon
τ = –ν
d( ρ · u ) dn
(10.3)
Pro nestlačitelnou tekutinu (ρ = konst.) můžeme hustotu vytknout před gradient:
53
τ = – ρ ⋅ν
du du = –μ dn dn
(10.4)
kde μ [Pa·s = kg·m–1·s–1] je dynamická viskozita. Záporné znaménko na pravé straně ukazuje, že hybnost se přenáší ve směru klesající rychlosti (např. při proudění v trubce směrem od osy trubky ke stěně). Derivace podle n naznačuje tzv. příčnou derivaci neboli derivaci ve směru kolmém k čarám (plochám) konstantní hybnosti (v tomto případě kolmo k proudnicím). Tekutiny vyhovující Newtonovu třecímu zákonu nazýváme newtonské a patří mezi ně voda a vzduch. Přenos tepla Molekulární přenos se uskutečňuje při vedení tepla, převážně tedy v pevných látkách. Entalpii obsaženou v určitém množství pevné látky vyjádříme součinem hmotnosti, měrné tepelné kapacity a teploty M·cp·T [J]. Časovou derivací tohoto součinu je tepelný tok [J·s–1] = [W] a jeho plošnou hustotu (intenzitu) získáme vztažením na jednotku plochy kolmé ke směru toku tepla, rozměrově ⎡ teplo ⎤ J W ⎢ čas ⋅ plocha ⎥ = s ⋅ m 2 = m 2 ⎣ ⎦
Potenciál přenosu vyjádříme jako gradient entalpie obsažené v jednotce objemu látky, tj. d ( ρ ·c p ·T ) ⎛ M ·c p ·T ⎞ ⎟⎟ = grad( ρ ·c p ·T ) = grad⎜⎜ dn ⎝ V ⎠
(10.5)
Tomuto gradientu je úměrná hustota toku tepla, přičemž součinitelem přenosu je teplotní vodivost a [m2/s] q& = – a
d ( ρ ·c p ·T )
(10.6)
dn
Pro látku konstantních vlastností (ρ, cp = konst.) platí q& = – a ⋅ ρ ⋅ c p
dT dT = –λ dn dn
(10.7)
což je Fourierův zákon vedení tepla a λ [W·m–1·s–1] je součinitel tepelné vodivosti. Záporné znaménko na pravé straně ukazuje, že teplo se přenáší ve směru od vyšší teploty k nižší. Derivace podle n naznačuje směr kolmý k izotermám (čarám nebo plochám konst. teploty). Přenos hmoty Nejjednodušším případem molekulárního přenosu hmoty je jednorozměrná binární difúze, kdy do sebe navzájem pronikají dvě látky A a B, čímž se vytváří jejich směs. Difúze probíhá, pokud je rozložení látek A a B ve směsi nerovnoměrné. Celková hmotnost směsi je dána součtem hmotností složek M = MA + MB [kg] a hmotnost složky A lze vyjádřit M A = M ·ω A
(10.8)
kde ωA je tzv. hmotnostní zlomek [kg látky A na 1 kg směsi]. Hmotnostní tok látky A získáme derivací MA podle času a hustota toku je tok vztažený na jednotku plochy kolmé ke směru toku, rozměrově ⎡ hmotnost A ⎤ kg ⎢ čas ⋅ plocha ⎥ = s ⋅ m 2 ⎣ ⎦
54
Potenciálem přenosu je gradient hmotnosti látky A vztažené na jednotku objemu. Hmotnost látky A v jednotkovém objemu směsi ρA = MA /V [kg látky A na 1 m3 směsi] nazýváme hmotnostní koncentrací látky A. Platí ρA = ρ ·ωA , kde ρ je hustota směsi [kg směsi na 1 m3 směsi]. dρ ⎛M ⎞ grad⎜ A ⎟ = gradρ A = A dn ⎝ V ⎠
(10.9)
Konstantou úměrnosti mezi hustotou hmotnostního toku a gradientem hmotnostní koncentrace je součinitel difúze DAB [m2/s] a příslušný vztah se nazývá Fickův zákon difúze m& A = – DAB
dρ A dn
(10.10)
Záporné znaménko na pravé straně ukazuje, že látka A se přenáší ve směru od vyšší koncentrace ρA k nižší. Derivace podle n naznačuje směr kolmý k čarám nebo plochám konstantní koncentrace. Součinitel difúze má index AB vyjadřující vztah k binární obousměrné difúzi látek A a B. Porovnáme-li fyzikální rozměry součinitelů molekulárního přenosu – kinematické viskozity, teplotní vodivosti a součinitele difúze, vidíme, že [ν] = [a] = [DAB] = m2/s. V literatuře se pro tyto součinitele někdy používá společný název difuzivita (hybnostní, tepelná, hmotnostní), čímž se zároveň připomíná molekulární, tj. „difúzní“ mechanizmus přenosu (oproti přenosu prouděním, tj. konvektivnímu). Všechny difuzivity patří k tzv. látkovým vlastnostem a jejich hodnoty lze nalézt v příslušných tabulkách, většinou v závislosti na teplotě, příp. i tlaku. Ze stejného typu mechanizmu přenosu a vzájemného vlivu dílčích procesů vyplývá podobnost rychlostních, teplotních a koncenračních polí při současném molekulárním transportu hybnosti a tepla, hybnosti a hmoty, tepla a hmoty. Bezrozměrná kriteria podobnosti jsou definována poměrem příslušných difuzivit: Prandtlovo
Pr =
Schmidtovo Sc =
ν
a
... vyjadřuje podobnost rychlostních a teplotních polí,
ν
... vyjadřuje podobnost rychlostních a koncentračních polí, D AB a Le = Lewisovo ... vyjadřuje podobnost teplotních a koncentračních polí. D AB Z popsané podobnosti vyplývá např. to, že při laminárním proudění u stěny jsou tloušťky mezní vrstvy δu (rychlostní), δt (teplotní) a δc (koncentrační) v poměru δ u δ t ≈ Pr1 3,
δ u δ c ≈ Sc1 3 a δ t δ c ≈ Le1 3. Pro uvedená kriteria platí Pr ·Le =1 Sc
(10.11)
Jak už bylo zmíněno, v proudící tekutině se molekulární mechanizmus přenosu (přenos zprostředkovaný pouhou interakcí nebo pohybem molekul tekutiny) uplatní jen při laminárním proudění. V případě turbulentního režimu proudění dochází k neuspořádanému promíchávání makročástic tekutiny a nekonvektivní transport hybnosti, tepla a hmoty je výrazně intenzivnější než v laminárním režimu. Pro turbulentní transport se sice používají obdobné součinitele přenosu, ty však již nejsou látkovými vlastnostmi a závisí také na proudění v daném místě. Pro tyto turbulentní difuzivity je obvyklé značení νT, aT, DT a pro příslušná podobnostní čísla PrT , ScT a LeT .
55
10.3 Kriteria podobnosti při nestacionárním vedení tepla Kriteria podobnosti lze také stanovit rozborem základních diferenciálních rovnic a jejich okrajových podmínek. Ukážeme to na rovnici pro jednorozměrné nestacionární vedení tepla v tělese s okrajovou podmínkou III. druhu. Reálný děj (tzv. dílo) je popsán rovnicí ∂T ∂ 2T =a 2 ∂t ∂x
(10.12)
a okrajovou podmínkou, kdy známe teplotu T∞ tekutiny obklopující těleso a platí, že hustota toku tepla vedením stěnou na povrchu (index s) odpovídá hustotě toku tepla konvekcí ze stěny do tekutiny –λ
∂T = hk ⋅ (Ts – T∞ ) ∂x s
(10.13)
Řešením těchto rovnic získáme popis rozložení teploty v místě a čase T = f (x, t). Pro model zavedeme označení veličin s indexem M a stanovíme bezrozměrná měřítka všech veličin vystupujících v uvedených rovnicích: měřítko teploty MT , takže teploty na modelu a díle budou ve vztahu TM = MT · T, měřítko času Mt, takže bude tM = Mt ·t, měřítko délky (souřadnice) Mx , xM = Mx · x, měřítko teplotní vodivosti Ma , aM = Ma · a, měřítko tepelné vodivosti Mλ , λM = Mλ · λ, měřítko součinitel přestupu tepla Mhk, hkM = Mhk · hk. Protože všechna měřítka jsou konstanty † , můžeme s jejich pomocí zapsat rovnici vedení tepla pro model ∂TM ∂ 2TM = aM ∂t M ∂xM2
(10.14)
M T ∂T M T ∂ 2T = Ma a ⋅ 2 2 M t ∂t M x ∂x
(10.15)
a její jednoduchou úpravou získáme ∂T ⎛ M a ⋅ M t =⎜ ∂t ⎜⎝ M x2
⎞ ∂ 2T ⎟⎟ a 2 ⎠ ∂x
(10.16)
kde vzhledem k platnosti původní rovnice (10.12) musí být bezrozměrný výraz v závorce na pravé straně roven 1. aM t M ⋅ Ma ⋅ Mt a t =1 ⇒ = 2 M x2 ⎛ xM ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠
aM ⋅ t M a ⋅ t = 2 = Fo xM2 x
(10.17)
Mají-li být skutečný děj (dílo) a model podobné, musí být zachována hodnota bezrozměrného a ⋅t komplexu – Fourierova čísla Fo = 2 . x
†
Derivace součinu konstanty a proměnné je rovna součinu konstanty a derivace proměnné.
56
Obdobný postup použijeme pro vyjádření okrajové podmínky v modelu – Mλ λ ⋅
M T ∂T = M hk ⋅ M T ⋅ hk ⋅ (Ts – T∞ ) M x ∂x s
(10.18)
a po úpravě –λ
⎛ M ⋅ Mx ⎞ ∂T ⎟ ⋅ hk ⋅ (Ts – T∞ ) = ⎜⎜ hk ∂x s ⎝ M λ ⎟⎠
(10.19)
kde opět vzhledem k okrajové podmínce pro skutečný děj musí být bezrozměrný výraz v závorce na pravé straně roven 1, z čehož vyplývá další kriterium podobnosti – Biotovo číslo.
α M xM Mα ⋅ M x α M ⋅ xM α ⋅ x = α x =1 ⇒ = = Bi λM λM λ Mλ λ
(10.20)
Součinitel tepelné vodivosti λ v Biotově čísle se týká vlastnosti stěny (tělesa). Poznámka: Biotovo číslo lze také chápat jako poměr konduktivního Ri a konvektivního Re, resp. vnitřního Ri (stěna) a vnějšího Re (mezní vrstva tekutiny) tepelného odporu při přenosu tepla mezi stěnou a tekutinou Bi =
hk ⋅ x
λ
=
1λ R = i 1 (hk · x) Re
(10.21)
Rovnici vedení tepla a okrajovou podmínku III. druhu můžeme nyní přepsat do bezrozměrného tvaru, který bude platit pro dílo i pro model 2 ∗ ∂T ∗ ∗ ∂ T Fo a = ⋅ ∂t ∗ ∂( x∗ ) 2
(10.22)
∂T ∗ –λ ∂x∗
(10.23)
∗
∗
= Bi ⋅ hk ⋅ (Ts∗ – T∞∗ ) w
kde hvězdičkou jsou označeny bezrozměrné veličiny, které získáme dělením teploty, času, souřadnice a dalších veličin nenulovými referenčními hodnotami. Volba referenčních hodnot není libovolná, musíme zachovat jejich poměr v určujících kriteriích Bi a Fo. Teploty v tělese můžeme popsat buď přímo nebo rozdílem proti vhodně zvolené referenční teplotě, např. teplotě okolní tekutiny T∞ – místo teploty T tedy použijeme rozdíl ΔT = T – T∞, přičemž platí ∂T ∂ (T – T∞ ) ∂ 2T ∂ 2 (T – T∞ ) = = a , protože T∞ = konst. Řešení Fourierovy rovnice s OP III. ∂t ∂x 2 ∂t ∂x 2 druhu je pak možné vyjádřit v bezrozměrném tvaru jako kriteriální rovnici T − T∞ = ΔT ∗ = f (Bi, Fo ) T0 − T∞
(10.24)
kde bezrozměrný teplotní rozdíl ΔT* = ΔT /ΔT0 je kriterium určené (obsahuje hledanou veličinu – teplotu) a Bi, Fo jsou kriteria určující. Jako referenční teplotní rozdíl lze volit např. ΔT0 na počátku děje.
57
10.4 Kriteria dynamické podobnosti ve větrání Provedeme nejdříve základní klasifikaci způsobů větrání a posoudíme význam různých sil působících na proudící vzduch. větrání
přirozené (vždy neizotermické) izotermické nucené neizotermické
Přirozené větrání vzniká účinkem vztlakových sil, které jsou důsledkem rozdílu hustot vzduchu a ty zase důsledkem rozdílu teplot v různých částech prostoru, tzn. že toto větrání je ze své podstaty neizotermické. Z této kategorie vyloučíme větrání způsobené tlakem větru, které se v literatuře uvádí také jako přirozené, důsledně vzato je však nucené, protože pohyb vzduchu nevzniká přirozeným vznikem hnací síly (vztlaku), ale pod vnějším vlivem tlaku větru. Kromě vztlakových sil budou hrát v přirozeném větrání důležitou roli síly třecí, které budou bránit vzniku přirozeného pohybu vzduchu. Nucené izotermické větrání bude především záviset na silách setrvačných, které reprezentují účinek vnější příčiny proudění (dopravní tlak ventilátoru). Např. dosah proudu vzduchu vstupujícího do klidného prostředí v místnosti (o stejné teplotě) bude záviset na jeho počáteční hybnosti. Proti silám setrvačným budou opět působit síly třecí. Nucené neizotermické větrání kombinuje oba předchozí případy. Vezmeme-li příklad proudu vzduchu přiváděného do místnosti, tentokrát při určitém rozdílu teplot, bude pohyb vzduchu určen působením setrvačnosti a vztlaku. Vztlakové síly budou proud vzduchu ohýbat nahoru nebo dolů podle toho, zda je přiváděný vzduch chladnější nebo teplejší než vzduch v místnosti. Hledáme kriteria podobnosti pouze vzhledem k silám působícím na proudící vzduch (proto dynamická podobnost). Dynamiku pohybu vzduchu popisují Navierovy-Stokesovy rovnice. Další analýzu provedeme pro stacionární rovinné (2D) proudění nestlačitelné tekutiny a použijeme N-S rovnici do směru y, jejíž členy reprezentují síly: setrvačné ux
∂u ∂u x + uy y ∂y ∂x
tlakové = −
1 ∂p ρ ∂y
+
vztlakové
třecí
Δρ
μ ⎛⎜ ∂ u y ∂ u y ⎞⎟ + 2 ⎟ ∂y ⎠ ρ ⎜⎝ ∂x 2
g
ρ
2
+
2
(10.25)
Každou veličinu v rovnici vyjádříme jako součin vhodné charakteristické hodnoty † (označené indexem 0) a bezrozměrné veličiny (označené hvězdičkou), přičemž ux = u0·ux*, uy = u0·u y *, x = L0·x*, y = L0·y*, p = p0·p*, ρ = ρ0·ρ*, μ = μ0·μ* atd. Pro veličiny stejného druhu používáme jednu charakteristickou hodnotu, např. u0 pro svislou i vodorovnou složku rychlosti, L0 je charakteristický rozměr pro obě souřadnice x a y. Zavedením této lineární transformace získáme rovnici ve tvaru u02 L0
2 ∗ 2 ∗ ∗ ⎡ ∗ ∂u ∗y ⎤ p0 ⎡ 1 ∂p∗ ⎤ g 0 Δρ0 ⎡ ∗ Δρ ∗ ⎤ μ0 u0 ⎡ μ ∗ ⎛⎜ ∂ u y ∂ u y ⎞⎟⎤ ∗ ∂u y + + g + − ⎢ ⎥ ⎢u x ∗ + u y ∗ ⎥ = ∂y ⎥⎦ ρ0 L0 ⎢⎣ ρ ∗ ∂y ∗ ⎥⎦ ρ0 ⎢⎣ ρ∗ ⎥⎦ ρ0 L20 ⎢⎣ ρ ∗ ⎜⎝ ∂x∗2 ∂y ∗2 ⎟⎠⎦⎥ ⎢⎣ ∂x
(10.26) kde výrazy v hranatých závorkách jsou bezrozměrné a velikost (význam) jednotlivých členů rovnice určují komplexy charakteristických hodnot před hranatými závorkami.
†
Charakteristické hodnoty jsou konstantní pro daný případ.
58
Všechny členy rovnice (10.25), tedy i komplexy charakteristických hodnot před hranatými závorkami v rovnici (10.26) mají stejný fyzikální rozměr síly vztažené na 1 kg látky, tj. zrychlení [m/s2]. Proto podíly těchto komplexů budou bezrozměrné. Hodnoty podílů vyjadřují poměry sil, které komplexy charakteristických hodnot reprezentují – viz popis (10.25). Reynoldsovo kriterium vyjadřuje poměr sil setrvačných a třecích u 02 L0 ρ u L u L Re = = 0 0 0 = 0 0 μ0 u0 μ0 ν0 2 ρ 0 L0
(10.27)
kde μ0 [Pa·s] je dynamická viskozita, ν0 [m2/s] kinematická viskozita (resp. jejich charakteristické hodnoty). Re je kriteriem dynamické podobnost při nuceném izotermickém větrání. Archimédovo kriterium vyjadřuje poměr vztlakových a setrvačných sil g 0 Δρ 0 g L Δρ 0 g 0 L0 ρ0 (10.28) Ar = = 02 0 = 2 β 0 ΔT0 2 u0 u0 ρ 0 u0 L0 Účinek vztlaku je vyjádřen součinitelem roztažnosti β0 a rozdílem teplot ΔT0. Pro vzduch je možné dostatečně přesně stanovit β0 jako převrácenou hodnotu charakteristické termodynamické teploty T0 [K] (platí to přesně pro ideální plyn). Ar je kriteriem dynamické podobnosti při nuceném neizotermickém větrání. Poslední kategorií je větrání přirozené, u kterého je rozhodující poměr vztlakových a třecích sil, tj. g 0 Δρ 0 g L Δρ 0 ρ 0 u 0 L0 g 0 L0 Δρ 0 u 0 L0 ρ0 (10.29) = 020 ⋅ = 2 ⋅ = Ar ⋅ Re μ0 u0 μ0 u0 ρ 0 u0 ρ 0 ν 0 ρ 0 L20 V součinu Ar a Re je explicitně zastoupena rychlost u0 kterou však v případě přirozeného proudění předem neznáme, protože pohyb tekutiny vzniká až v důsledku nerovnováhy vztlakových a třecích sil. Rychlost vyloučíme vynásobením výrazu (10.29) Reynoldsovým číslem. Výsledek bude opět bezrozměrný.
Ar ⋅ Re 2 =
g 0 L0 Δρ 0 u 0 L0 u 0 L0 g 0 L30 Δρ 0 g 0 L30 ⋅ ⋅ = 2 = 2 β 0 ΔT0 = Gr ν0 ν0 u 02 ρ 0 ν 0 ρ0 ν0
(10.30)
což je Grashofovo kriterium dynamické podobnosti při přirozeném větrání. V popsaném postupu jsme brali v úvahu vždy jen rozhodující síly pro daný případ, proto se jedná o tzv. přibližné modelování. Např. u nuceného neizotermického proudění vazkého vzduchu budou působit i třecí síly, jejich účinek ale zanedbáváme a Ar neobsahuje žádný člen reprezentující tření.
Poznámka Použité postupy (kap. 10.3 a 10.4) nejsou jednoznačné, ale ani aplikace Buckinghamova teorému nevede k jednoznačnému určení kriterií podobnosti. Je například zřejmé, že bychom mohli na základě stejných principů odvodit také kriteria v převráceném tvaru, tj. odpovídající 1/Pr, 1/Fo, 1/Bi, 1/Re atd. Taková kriteria by byla platná, jejich nevýhodou by ovšem bylo to, že je nikdo nepoužívá.
59
11. VEDENÍ A PROSTUP TEPLA Přenos tepla vedením (kondukce) se uskutečňuje v makroskopicky nehybném prostředí na základě interakce molekul materiálu, proto jej řadíme mezi molekulární (též difúzní) přenosové mechanizmy. Vedení tepla je tedy zásadně vázáno na přítomnost hmoty a setkáme se s ním především v pevných látkách, příp. v nepohyblivých tekutinách (ve velmi úzkých mezerách nebo malých dutinách, v těsné blízkosti stěny apod.).
11.1 Fourierův zákon Pozorováním je zjištěno, že základní podmínkou pro vedení tepla je rozdíl teplot a že je teplo vedeno směrem od vyšší teploty k nižší. Na základě experimentů formuloval Fourier základní zákon vedení tepla: r q& = −λ gradT (11.1)
tj. hustota tepelného toku [W/m2] je úměrná zápornému gradientu teploty T a konstantou úměrnosti je skalární součinitel tepelné vodivosti λ [W·m–1·K–1]. Protože gradient skaláru je vektor, musí být hustota tepelného toku vektorovou veličinou a má kromě velikosti i směr, resp. má složky do směrů souřadných os. S užitím Hamiltonova vektorového operátoru můžeme Fourierův zákon přepsat do tvaru r r r r ⎛ r ∂T r ∂T r ∂T ⎞ r ⎟⎟ = i q& x + j q& y + k q& z q& = −λ ∇T = −λ ⎜⎜ i + j +k ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
(11.2)
z kterého je zřejmý vztah mezi jednotlivými složkami hustoty tepelného toku a parciálním derivacemi teploty v různých směrech: q& x = −λ
∂T ∂T ∂T ; q& y = −λ ; q& y = −λ ∂x ∂y ∂y
(11.3)
Velikost tepelného toku Q& [W] v nejjednodušším případě, kdy je q& = konst., vypočteme jako součin hustoty tepelného toku q& [W/m2] a teplosměnné plochy S [m2], která je kolmá na směr toku tepla
Q& = q&·S
(11.4)
V obecnějším případě ustáleného vedení tepla může být hustota tepelného toku závislá na poloze a teplosměnná plocha může mít složitý tvar. Pak bude rr Q& = ∫ q& ·n·dS (11.5) S
r kde n je vektor vnější normály plochy. Pro velikost tepelného toku je tedy rozhodující průmět r vektoru q& do směru kolmého na element dS teplosměnné plochy neboli velikost tepelného r toku určuje průmět plochy kolmý na směr q& † .
11.2 Fourierova-Kirchhoffova rovnice vedení tepla Fourierova-Kirchhoffova diferenciální rovnice popisuje nestacionární vedení tepla v prostoru. Odvodíme ji v systému kartézských souřadnic, v nichž zvolíme pevnou kontrolní oblast (KO) ve tvaru pravoúhlého hranolu o rozměrech dx, dy a dz dle obr. 11.1. †
Všimněte si analogie (11.5) s objemovým průtokem kapaliny přes zakřivenou plochu (4.7).
60
(q& x + dq& x )· dydz
q& x · dydz
dy dz dx
Obr. 11.1 – Vedení tepla kontrolní oblastí ve směru osy x Plochy stěn KO kolmé k dané ose jsou vždy stejné, např. velikost povrchu dydz je stejná v místě x i v místě x+dx. I když je v daném směru vyloučena změna průřezu KO, může se měnit hustota tepelného toku a tím i tepelný tok. Změnu hustoty tepelného toku např. ve ∂q& směru osy x (vlivem posunutí o dx) vyjádříme jako diferenciál dq& x = x dx. ∂x V tomtéž okamžiku zjistíme na hranici KO tepelné toky ve směru osy x. Odvod tepla z KO pravým průřezem se vlivem posunutí o dx liší od přívodu tepla do KO levým průřezem o malou hodnotu dq& x · dydz, zatímco změna vlivem času je vyloučena současností obou zjištěných toků tepla. Za velmi krátký časový interval dt je ve směru x do KO přivedeno teplo [J]
q& x ⋅ dydz ⋅ dt
(11.6)
a z KO je ve směru x odvedeno teplo [J] ∂q& ⎛ ⎞ (q& x + dq& x ) ⋅ dydz ⋅ dt = ⎜ q& x + x dx ⎟ ⋅ dydz ⋅ dt ∂x ⎝ ⎠
(11.7)
Rozdíl přívodu tepla do KO a odvodu tepla z KO ve směru x je roven ∂q& ∂q& ⎛ ⎞ q& x ⋅ dydz ⋅ dt − ⎜ q& x + x dx ⎟ ⋅ dydz ⋅ dt = − x dx ⋅ dydz ⋅ dt ∂x ∂x ⎠ ⎝
(11.8)
Bez opakování postupu uvedeme analogický rozdíl přívodu a odvodu tepla v dalších směrech: ∂q& y − dy ⋅ dxdz ⋅ dt (11.9) ∂y ∂q& z dz ⋅ dxdy ⋅ dt ∂z a tedy (přívod – odvod) ve všech třech směrech celkem bude −
−
∂q& y ∂q& x ∂q& dx ⋅ dydz ⋅ dt − dy ⋅ dxdz ⋅ dt − z dz ⋅ dxdy ⋅ dt ∂x ∂y ∂z
(11.10)
(11.11)
Pevná KO nemůže měnit svou polohu ani svůj objem dV = dx·dy·dz. Může se ale měnit její tepelný obsah (entalpie). Za časový úsek dt dojde v KO k akumulaci tepla [J] ∂ (dM c p T ) ∂t
dt =
∂ ( ρ dV c p T ) ∂t
dt =
∂( ρ c p T ) ∂t
dt ⋅ dV
(11.12)
kde dM je hmotnost látky v KO, cp je její měrná tepelná kapacita a T je teplota v KO. Z bilanční úvahy, že akumulace tepla (11.12) je rovna rozdílu přívodu a odvodu (11.11), vyplývá
61
∂( ρ c p T ) ∂t
dt ⋅ dV = −
∂q& y ∂q& x ∂q& dxdydz ⋅ dt − dydxdz ⋅ dt − z dzdxdy ⋅ dt ∂y ∂x ∂z
(11.13)
V každém členu na levé i pravé straně je obsažen objem dV, kterým můžeme rovnici vydělit, stejně jako diferenciálem času dt. ∂( ρ c p T ) ∂t
=−
∂q& x ∂q& y ∂q& z − − ∂x ∂y ∂z
(11.14)
Abychom získali diferenciální rovnici pro teplotu T, upravíme pravou stranu s užitím Fourierova zákona (11.1), podle kterého je např. ve směru osy x hustota tepelného toku
q& x = −λ
∂T ∂x
(11.15)
a proto −
∂q& x ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ = − ⎜− λ ⎟ = ⎜λ ⎟ ∂x ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂x ⎠
(11.16)
takže po dosazení za derivace složek hustoty tepelného toku v rovnici (11.14) dostaneme ∂( ρ c p T ) ∂t
∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ⎟ + ⎜λ ⎜λ ⎟ + ⎜λ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠
=
(11.17)
Některé látky mají tepelnou vodivost různou v různých směrech (jsou anizotropní), např. dřevo má λ různé ve směru po vláknech a ve směru kolmo k vláknům. Pak je nutno počítat s diferenciální rovnicí ve výše uvedeném tvaru. Pro materiály, jejichž tepelná vodivost je ve všech směrech stejná (izotropní látky), můžeme na pravé straně rovnice vytknout λ: ∂( ρ c p T ) ∂t
⎡ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ ⎛ ∂T ⎞⎤ ⎡ ∂ 2T ∂ 2 T ∂ 2 T ⎤ ⎟ ⎜ =λ⎢ ⎜ + + = λ ⎟ ⎢ 2 + 2 + 2⎥ ⎜ ∂y ⎟ ∂z ⎜ ∂z ⎟⎥ ∂ ∂ ∂ x x y ∂y ∂z ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎣ ∂x ⎣ ⎦
(11.18)
Pro látky, u kterých lze navíc zanedbat závislost hustoty a měrné tepelné kapacity na teplotě, se budou ρ a cp v derivaci na levé straně chovat jako konstanty, a můžeme jimi rovnici vydělit. Získáme tak Fourierovu-Kirchhoffovu rovnici (FKR) vedení tepla pro látku s konstantními vlastnostmi ∂T λ = ∂t ρ cp
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞ ⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = a ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = a ∇ 2T ∂y ∂z ⎠ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎝ ∂x
(11.19)
r r ⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞ ⎛r ∂ r ∂ r ∂ ⎞ ∂2 ∂2 ∂2 + j + k ⎟⎟·⎜⎜ i +j + k ⎟⎟ = 2 + 2 + 2 . kde operátor ∇ = ∇·∇ = ⎜⎜ i ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂x 2
Levá strana rovnice zastupuje akumulaci tepla. Z toho vyplývá, že je-li teplotní pole stacionární a ∂T/∂t = 0, nebude k akumulaci tepla docházet. Pro stacionární vedení tepla FKR nabývá nejjednoduššího tvaru Laplaceovy rovnice ∇ 2T = 0
(11.20)
Pokud by v kontrolní oblasti existoval vnitřní zdroj tepla o objemové hustotě q& (V ) [W/m3] (ohmický ohřev, pohlcená sluneční radiace apod.), použije se Fourierova rovnice ve tvaru
62
q& (V ) ∂T = a ∇ 2T + ρ cp ∂t
(11.21)
Pro přenos tepla v částici proudící nestlačitelné tekutiny nahradíme na levé straně (11.21) parciální derivaci teploty podle času materiální derivací:
( )
rr DT ∂T q& (V ) 2 = + u ·∇ T = a ∇ T + ∂t Dt ρ cp
(11.22)
V posledním vztahu, který je vlastně energetickou rovnicí pro proudící tekutinu o konstantních vlastnostech, chybí na pravé straně člen disipované mechanické energie, která se třením mění na teplo. V aplikacích spojených s prouděním tekutin v budovách je viskózní ohřev (ohřev tekutiny třením) zcela zanedbatelný. Řešením FKR je teplotní pole T = T (x, y, z, t). Abychom k němu dospěli, musíme znát počáteční a okrajové podmínky konkrétní úlohy. Počáteční podmínka spočívá ve znalosti teplotního pole v prostoru celé úlohy v počátečním čase t0, tj. musíme znát T0 = T0 (x, y, z, t0). Okrajové podmínky jsou trojího druhu. OP 1. druhu (Dirichletova) Známe teplotu na hranici úlohy v libovolném čase, obvykle na povrchu tělesa: Ts = Ts ( x s , y s , z s , t )
(11.23)
Speciálním případem je v čase konstantní teplota na povrchu Ts = Ts ( x s , y s , z s ), případně časově i prostorově konstantní Ts = konst. OP 2. druhu (Neumannova) Známe derivaci teploty na hranici úlohy v libovolném čase, obvykle na povrchu tělesa. Protože derivace teploty je svázána s hustotou tepelného toku (viz Fourierův zákon), můžeme tuto OP zapsat ve formě −λ
∂T ∂n
= q& s = q& s ( x s , y s , z s , t )
(11.24)
s
Speciální případem je stacionární tepelný tok na povrchu q& s = q& s ( x s , y s , z s ), případně také prostorově q& s = konst. Při nulovém tepelném toku q& s = 0 hovoříme o dokonale izolovaném (adiabatickém) povrchu, na kterém bude průběh teploty kolmý k povrchu
∂T ∂n
= 0. s , ad
OP 3. druhu (Robinova) Známe-li teplotu tekutiny, která obklopuje těleso, můžeme na jeho povrchu definovat OP na základě rovnosti hustoty toku tepla konvekcí (mezi povrchem stěny a tekutinou) a vedením ve stěně (v blízkosti povrchu) −λ
∂T ∂n
= hk (T∞ − Ts )
(11.25)
s
kde hk je součinitel přestupu tepla a T∞ je teplota tekutiny neovlivněná přítomností tělesa. Přestup tepla mezi stěnou a tekutinou je podrobněji popsán v kap. 12.
11.3 Stacionární prostup tepla rovinnou a válcovou stěnou Prostup tepla stěnou zahrnuje tři kroky přenosu tepla mezi dvěma tekutinami oddělenými stěnou: přestup tepla mezi tekutinou a stěnou na jedné straně, vedení tepla stěnou a přestup
63
tepla mezi stěnou a tekutinou na druhé straně. V běžných výpočtech řešíme prostup tepla rovinnou a válcovou stěnou o konstantní tloušťce jako jednorozměrný, přesně to ovšem platí jen pro nekonečnou rovinnou desku nebo pro nekonečně dlouhou válcovou stěnu. Vlastnosti jednorozměrného stacionárního vedení tepla popíšeme na příkladu nekonečně dlouhého tělesa, jehož část je na obr. 11.2. Průřez tělesa (plocha řezu kolmého na osu) se mění podél osy, S = S(ξ). Těleso má adiabatický (dokonale tepelně izolovaný) povrch, avšak vnitřkem tělesa je vedeno teplo. Zvolíme dva řezy kolmé na osu tělesa a vzdálené od sebe o malou vzdálenost dξ. Objem takto vymezeného segmentu tělesa je dV = S·dξ.
Q& + dQ&
Q&
ξ
dξ
Obr. 11.2 – Jednorozměrné vedení tepla tělesem Předpokládejme, že do zvoleného segmentu je v místě ξ přiváděn tepelný tok Q& [W], v poloze ξ + dξ je odváděn tepelný tok Q& + dQ& . Za časový interval dt se do segmentu přivede teplo Q& ·dt a odvede se z něj teplo (Q& + dQ& )·dt. Sdílení tepla mezi tělesem a okolím je vyloučeno adiabatickým povrchem. Akumulace tepla v daném segmentu tělesa je rovna rozdílu přivedeného a odvedeného tepla za čas dt: d ( ρ dV c p T )·dt = Q& ·dt − (Q& + dQ& )·dt (11.26) dt Po vynásobení dt a při konstantních vlastnostech materiálu tělesa můžeme psát dT (11.27) ρ dV c p = Q& − (Q& + dQ& ) = −dQ& dt Protože se však jedná o stacionární úlohu, je derivace teploty podle času a tedy i celá levá strana rovnice rovna nule (tzn. k akumulaci tepla nedochází). dQ& = 0 ⇒ Q& = konst. (11.28) Při stacionárním jednorozměrném vedení tepla se tedy zachovává velikost tepelného toku Q& † .
Hustota tepelného toku je dána podílem tepelného toku a teplosměnné plochy, zde kolmého průřezu tělesa Q& q& = (11.29) S (ξ ) Jestliže se při stacionárním 1D vedení tepla mění teplosměnná plocha S(ξ), mění se i hustota tepelného toku, q& = q& (ξ ) [W/m2]. Kdyby mělo těleso na obr. 11.2 konstantní průřez (tvar rotačního válce), bylo by q& = konst.
†
Všimněte si analogie s konstantním průtokem kapaliny potrubím.
64
Stacionární prostup tepla rovinnou stěnou Pro stacionární vedení tepla nekonečnou rovinnou deskou o konstantní tloušťce δ platí FKR (11.20) ve tvaru obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu
d 2T =0 dx 2
(11.30)
Uvažujme okrajové podmínky 1. druhu, tj. známe povrchové teploty na obou stranách desky, pro x = 0 je Ts1 = konst. a pro x = δ je Ts2 = konst. Obecné řešení rovnice (11.30) je T = C1 x + C 2
(11.31)
kde integrační konstanty C1 a C2 určíme z okrajových podmínek. Výsledkem je lineární průběh teploty v desce T − Ts 2 (11.32) T ( x) = Ts1 − s1 x
δ
Hustotu tepelného toku deskou vypočteme integrací Fourierova zákona. Protože při 1D stacionárním vedení tepla se zachovává tepelný tok a protože teplosměnná plocha kolmá na směr vedení tepla je v tomto případě nezávislá na poloze x v desce, bude
q& =
Q& = konst. S
(11.33)
Fourierův zákon má pro tento případ formu
q& = −λ
dT dx
(11.34)
Po separaci proměnných rovnici integrujeme v mezích daných okrajovými podmínkami δ
Ts 2
0
Ts 1
∫ q& dx = − ∫ λ dT
(11.35)
q&δ = −λ (Ts 2 − Ts1 )
(11.36)
q& =
T − Ts 2 ΔTs λ (Ts 2 − Ts1 ) = s1 = δ δ λ R
(11.37)
kde jsme zavedli tepelný odpor rovinné stěny R [m2·K·W–1] † . Pro celkový tepelný odpor stěny složené z více vrstev pak platí totéž, co pro elektrické odpory řazené v obvodu za sebou:
R = ∑ Rj = ∑ j
j
δj λj
(11.38)
Tepelný tok při přestupu tepla mezi rovinnou stěnou o povrchové teplotě Ts a tekutinou o teplotě Te je
Q& = S hk (Ts − Te )
†
(11.39)
Vyplývá to z analogie vedení tepla a vedení elektrického proudu: hustota tepelného toku = rozdíl teplot / tepelný odpor elektrický proud = rozdíl potenciálů / elektrický odpor
65
kde hk je součinitel přestupu tepla (podrobnější rozbor je v kap. 14). Hustotu tepelného toku obdržíme dělením tepelného toku teplosměnnou plochou S. Výsledný vztah můžeme upravit do analogického tvaru s konečnou formou rovnice (11.37) q& =
T − Te ΔTk Q& = hk (Ts − Te ) = s = S Rk 1 hk
(11.40)
kde Rk [m2·K·W–1] je tepelný odpor při přestupu tepla (konvekci) mezi rovinnou stěnou a tekutinou. q& T1 Ts1 Ts2
T2
x
δ Obr. 11.3 – Teplotní pole při stacionárním prostupu tepla rovinnou stěnou Při prostupu tepla rovinnou stěnou tedy dochází k postupnému poklesu teploty o ΔTk1 při přestupu tepla na jedné straně stěny, o ΔTs při vedení tepla stěnou a konečně o ΔTk2 při přestupu tepla na druhé straně stěny (viz obr. 11.3), a to vše při stálé hodnotě q& . Celkový rozdíl teplot je pak ΔT = ΔTk 1 + ΔTs + ΔTk 2 = q&Rk1 + q&R + q&Rk 2 = q& ( Rk1 + R + Rk 2 )
(11.41)
a platí tedy q& =
T1 − T2 ΔT = = U (T1 − T2 ) 1 δ 1 Rk 1 + R + Rk 2 + + hk1 λ hk 2
(11.42)
případně, je-li stěna složena z více vrstev q& =
T1 − T2
δj 1 1 +∑ + hk1 hk 2 j λj
= U (T1 − T2 )
(11.43)
kde T1 a T2 jsou teploty tekutiny na jedné a druhé straně stěny a U [W·m–2·K–1] je součinitel prostupu tepla rovinné stěny. Stacionární prostup tepla válcovou stěnou Pro stacionární vedení tepla nekonečně dlouhou válcovou stěnou o konstantní tloušťce, která je vymezena vnitřním r1 a vnějším poloměrem r2 stěny, platí FKR (11.20) ve tvaru obyčejné diferenciální rovnice 2. řádu v cylindrických souřadnicích
66
d ⎛ dT ⎞ ⎜r ⎟=0 dr ⎝ dr ⎠
(11.44)
Uvažujeme okrajové podmínky 1. druhu, tj. známe povrchové teploty na obou stranách stěny, pro r = r1 je Ts1 = konst. a pro r = r2 je Ts2 = konst. Obecné řešení rovnice (11.44) je T = C1 ln r + C 2
kde integrační konstanty C1 a C2 určíme z okrajových podmínek. Výsledkem je logaritmický průběh teploty ve válcové stěně T (r ) = Ts1 +
Ts1 − Ts 2 ln (r r1 ) ln (r1 r2 )
(11.45)
Hustotu tepelného toku deskou vypočteme integrací Fourierova zákona. Protože při 1D stacionárním vedení tepla se zachovává tepelný tok Q& a protože teplosměnná plocha kolmá na směr vedení tepla S = 2π rL v tomto případě roste se vzdáleností r od osy válcové stěny, bude hustota tepelného toku v radiálním směru od osy klesat podle vztahu
Q& Q& Q& 1 1 = = = q& L S (r ) 2π rL L 2π r 2π r
q& (r ) =
(11.46)
kde q& L [W/m] je tepelný tok vztažený na jednotku délky válcové stěny. Při stacionárním 1D vedení tepla se zachovává tepelný tok, takže pro libovolnou pevně zvolenou délku L válcové stěny je q& L = konst. Fourierův zákon má s užitím (11.46) (teplo je vedeno ve směru radiální souřadnice r) tvar
q& L
1 2π r
= −λ
dT dr
(11.47)
Po separaci proměnných rovnici integrujeme v mezích daných okrajovými podmínkami
q& L 2π
T
r2
s2 dr = − λ ∫r1 r ∫T dT s1
(11.48)
q& L ⎛ r2 ⎞ ln⎜ ⎟ = −λ (Ts 2 − Ts1 ) 2π ⎝⎜ r1 ⎠⎟
(11.49)
Ts1 − Ts 2 ΔT = 1 RL ln (r2 r1 )
q& L =
(11.50)
2π λ
kde jsme zavedli tepelný odpor válcové stěny vztažený na jednotku její délky RL [m·K·W–1]. Pro celkový odpor válcové stěny složené z více vrstev pak opět platí analogicky k elektrickým odporům řazeným v obvodu za sebou:
RL = ∑ RL j = ∑ j
j
⎛ r j +1 ⎞ ⎟ ln⎜ 2π λ j ⎜⎝ r j ⎟⎠ 1
(11.51)
Tepelný tok při přestupu tepla mezi válcovou stěnou o povrchové teplotě Ts a tekutinou o teplotě Te je Q& = S hk (Ts − Te ) = 2π r L hk (Ts − Te )
(11.52)
67
Dělením L dostaneme tepelný tok vztažený na jednotku délky válcové stěny q& L =
T − Te ΔTk Q& = 2π r hk (Ts − Te ) = s = 1 RkL L 2π r hk
(11.53)
kde RkL [m·K·W–1] je tepelný odpor při přestupu tepla (konvekci) mezi válcovou stěnou a tekutinou, vztažený na jednotku délky. q& T1 Ts1 Ts2
r
T2
r1 r2 Obr. 11.4 – Teplotní pole při stacionárním prostupu tepla válcovou stěnou Při prostupu tepla rovinnou stěnou (obr. 11.4) dochází k postupnému poklesu teploty o ΔTk1 při přestupu tepla na jedné straně stěny, o ΔTs při vedení tepla stěnou a konečně o ΔTk2 při přestupu tepla na druhé straně stěny. Celkový rozdíl teplot je ΔT = ΔTk1 + ΔTs + ΔTk 2 = q& L RkL1 + q& L RL + q& L RkL 2 = q& L ( RkL1 + RL + RkL 2 )
(11.54)
Tepelný tok vztažený na jednotku délky je ve všech dílčích krocích prostupu tepla stejný a platí q& L =
ΔT = RkL1 + RL + RkL 2
T1 − T2 = U L (T1 − T2 ) 1 1 ⎛ r2 ⎞ 1 + ln⎜ ⎟ + 2π r1 hk1 2π ⎜⎝ r1 ⎟⎠ 2π r2 hk 2
(11.55)
nebo pro stěnu složenou z více vrstev q& L =
T1 − T2 = U L (T1 − T2 ) 1 1 1 ⎛⎜ r j +1 ⎞⎟ +∑ + ln ⎜ r ⎟ 2π r h 2π r1 hk1 j 2π 2 k2 ⎝ j ⎠
(11.56)
kde T1 a T2 jsou teploty tekutiny na jedné a druhé straně stěny a UL [W·m–1·K–1] je součinitel prostupu tepla válcové stěny vztažený na jednotku její délky.
11.4 Ochlazování a ohřev těles při malém Biotově čísle Jak je podrobněji popsáno v kap. 10, Biotovo číslo je určujícím kritériem podobnosti při vedení tepla a lze jej chápat jako poměr tepelných odporů při vedení tepla u povrchu stěny (vnitřní, konduktivní Ri) a při přestupu tepla mezi stěnou a okolní tekutinou (vnější, konvektivní Re).
68
Bi =
hk · L
λ
=
R 1λ = i 1 (hk ·L) Re
(11.57)
Při hodnotách Bi < 1 bude konvektivní tepelný odpor větší než konduktivní (Re > Ri), takže gradient teploty uvnitř tělesa bude menší než gradient teploty v mezní vrstvě tekutiny u stěny. Při velmi malé hodnotě Bi < 0,1 bude gradient teploty uvnitř tělesa zanedbatelný a vedení tepla můžeme řešit nezávisle na prostorových souřadnicích, jako kdyby probíhala pouze časová změna teploty v jednom bodě (tzv. metoda soustředěných parametrů). Mějme těleso o počáteční teplotě T0, které vhodíme do velké nádoby s kapalinou o stálé teplotě T∞ < T0 (viz obr. 11.5). Nádoba T0 je tak velká, že těleso neovlivňuje teplotu kapaliny T∞. Materiál tělesa má konstantní vlastnosti – hustotu ρ, měrnou tepelnou T(t) kapacitu cp, povrch S, objem V. Součinitel přestupu tepla z tělesa do tekutiny je hk. Předpokládáme Bi < 0,1, takže sledujeme pouze jedinou teplotu celého tělesa v závislosti na čase T(t). T∞ = konst. Vyjdeme z bilance tepelných toků (přívod – odvod) a změny entalpie tělesa v čase. Těleso se ochlazuje, přívod je roven nule, Obr. 11.5 odvod tepla je způsoben přestupem tepla z tělesa do tekutiny. Změna entalpie tělesa za čas dt je rovna odvedenému teplu:
ρV cp
dT dt = − hk ·S ·(T − T∞ ) dt dt
(11.58)
Pokud zvolíme konstantní referenční hodnotu nějaké proměnné, bude derivace této proměnné rovna derivaci rozdílu proměnné a její referenční hodnoty. V našem případě volíme jako referenční teplotu tekutiny T∞ = konst. a platí h S dT d(T − T∞ ) = =− k (T − T∞ ) ρV cp dt dt
(11.59)
V diferenciální rovnici separujeme proměnné a integrujeme pravou i levou stranu. Na počátku t = 0 je teplota tělesa T0, v libovolném čase t bude mí těleso teplotu T(t). T(t)
∫
T0
t h S d (T − T∞ ) = −∫ k dt ρV cp T − T∞ 0
⎛ T (t ) − T∞ ln ⎜⎜ ⎝ T0 − T∞
(11.60)
⎞ h S ⎟⎟ = − k t ρV cp ⎠
(11.61)
což lze upravit do vztahu vyjadřujícího pokles teploty v čase ⎛ t T (t ) − T∞ = exp⎜⎜ − T0 − T∞ ⎝ tC
kde t C =
⎞ ⎟⎟ ⎠
(11.62)
ρV cp
[s] je tzv. tepelná časová konstanta. Obdobný postup bychom mohli použít hk S pro řešení ohřevu tělesa při Bi < 0,1.
69
12. PŘENOS TEPLA PROUDĚNÍM – KONVEKCE Konvekce je mechanizmus přenosu tepla, se kterým se setkáme výhradně v tekutinách (kapalinách, parách a plynech), v nichž může dojít k makroskopickému pohybu částic (proudění). Další nutnou podmínku konvekce je samozřejmě teplotní gradient. Jedná se tedy vždy o neizotermické proudění tekutiny.
12.1 Základní klasifikace případů konvekce Přenos tepla prouděním (také přestup tepla) závisí na celé řadě podmínek, základní dělení případů konvekce vyplývá z příčiny, z prostorových podmínek a z režimu proudění. Správná identifikace daného případu konvekce je nezbytná pro volbu adekvátního postupu výpočtu přenosu tepla prouděním. Z hlediska příčiny dělíme konvekci na přirozenou a nucenou. Při přirozené konvekci je proudění tekutiny vyvoláno vztlakovými silami, které jsou důsledkem nerovnoměrnosti teplotního pole. Bude-li např. pevná stěna obklopena kapalinou o nižší teplotě, bude se na povrchu stěny kapalina ohřívat (zpočátku vedením tepla) a tím bude klesat její hustota. Na částice kapaliny s vyšší teplotou (menší hustotou) začnou působit vztlakové síly, které tyto částice uvedou do pohybu. Kapalina začne „samovolně“ proudit v důsledku přestupu tepla ze stěny do kapaliny. Oproti tomu nucená konvekce je přestup tepla při proudění tekutiny, které je způsobeno vnější příčinou, např. čerpadlem nebo ventilátorem (tj. nucené proudění) † . Proudící tekutina také odvádí teplo z povrchu stěny o vyšší teplotě, avšak její proudění již není důsledkem přestupu tepla, i když je jím samozřejmě ovlivňováno (vztlakové síly mohou působit v souladu nebo proti nucenému proudění). Přirozenou konvekci tedy nelze zcela vyloučit, avšak její účinek může být zcela zanedbatelný ve srovnání s vlivem nuceného proudění. V případech, kdy není na první pohled jasné, který z procesů – přirozený či nucený – převládá, je možné se řídit velikostí poměru vztlakových a setrvačných sil, tj. Archimédovým číslem Ar = Gr /Re2: Gr Re 2 << 1 .... nucená konvekce (převládají setrvačné síly) Gr Re 2 >> 1 .... přirozená konvekce (převládají vztlakové síly) Gr Re 2 ≈ 1 ...... smíšená konvekce (vztlakové i setrvačné síly mají srovnatelný význam) Další rozdělení konvekce vyplývá z vlivu prostoru. Buď se může konvektivní proud volně rozvíjet a není např. omezován blízkostí stěn nebo působením dalšího proudění, pak se jedná o volnou konvekci, anebo má konvektivní proud k dispozici pouze omezený prostor jako je tomu např. v mezeře mezi skly okna, v mezerách mezi žebry otopných těles apod., kdy je konvekce stísněná. V literatuře se někdy zaměňuje termín přirozené a volné konvekce. Posledním důležitým faktorem ovlivňujícím přestup tepla mezi stěnou a tekutinou je režim proudění, podle něhož rozdělujeme konvekci na laminární a turbulentní. Protože v turbulentním proudění dochází narozdíl od laminárního k promíchávání makročástic tekutiny, je i turbulentní konvekce intenzivnější než laminární. Režim proudění posuzujeme u nucené konvekce podle Reynoldsova čísla Re, u přirozené konvekce podle Rayleighova čísla Ra = Gr·Pr. V obou případech hraje důležitou roli charakteristický rozměr (např. u příčně obtékané trubky to bude její průměr, u desky vzdálenost od hrany, od níž se vyvíjí teplotní mezní vrstva) a podle geometrie tělesa se mohou významně lišit i kritické hodnoty Rekrit nebo Rakrit (např. při nuceném proudění v trubce je Rekrit = 2300, při nuceném obtékání desky je Rekrit = 500 000). †
Mezi případy nucené (příp. smíšené) konvekce patří i ochlazování fasády budovy větrem. I když má vítr „přirozenou“ příčinu, z hlediska přestupu tepla na povrchu fasády se jedná o nucené proudění vzduchu.
70
12.2 Newtonův ochlazovací zákon Přenos tepla prouděním je fyzikálně složitý děj, který závisí na řadě parametrů, jako jsou rychlost proudění, teplota stěny, teplota tekutiny, geometrie teplosměnné plochy, charakter rychlostní a teplotní mezní vrstvy, vlastnosti tekutiny (λ, ρ, c, ν) aj. Newtonův ochlazovací zákon všechny tyto parametry shrnuje v součiniteli přestupu tepla hk a hustotu tepelného toku konvekcí [W/m2] vyjadřuje rovnicí q& = hk ⋅ (Ts − Te )
(12.1)
kde hk [W·m-2·K-1] je součinitel přestupu tepla konvekcí, Ts [°C] je povrchová teplota stěny, Te [°C] je teplota tekutiny mimo teplotní mezní vrstvu (viz obr. 12.1). Ts Te
Obr. 12.1 – Teplotní pole v tekutině obtékající stěnu o vyšší teplotě Narozdíl od součinitelů molekulárního přenosu není součinitel hk látkovou vlastností, nýbrž je funkcí výše uvedených podmínek, takže má lokální charakter; tedy i hustota tepelného toku je v různých místech různá. Na obr. 12.2 je schématicky znázorněna svislá obdélníková deska s vyšší povrchovou teplotou Ts než je teplota okolní tekutiny Te (např. čelní povrch otopného tělesa a vzduch v místnosti). Přirozený konvektivní proud se vyvíjí od spodní hrany desky směrem vzhůru, mezní vrstva má nejdříve laminární charakter, v určité výšce přechází do turbulentního režimu. Zároveň se mění tloušťka mezní vrstvy a mohutnost konvektivního proudu, který do sebe strhává okolní tekutinu. To vše způsobí, že i při konstantních hodnotách teplot Ts a Te bude součinitel hk různý v různých výškách y nad spodní hranou.
H y
Obr. 12.2 – Schéma vývoje mezní vrstvy při konvekci na svislé desce Celkový tepelný tok, který se z desky uvolňuje konvekcí, můžeme vyjádřit jako integrál Q& = q& ⋅ dS = (T − T ) ⋅ h ⋅ dS (12.2)
∫
∫
S
s
e
k
S
a v případě, že teploty Ts a Te budou konstantní, Q& = (T − T ) ⋅ h ⋅ dS = (T − T ) ⋅ h ⋅ S s
e
∫
k
s
e
k
S
Střední hodnota součinitele přestupu tepla z rovnice (12.3) je
71
(12.3)
1 (12.4) hk ⋅ dS S ∫S Zanedbáme-li vliv trojrozměrnosti proudění, které nebude u bočních svislých hran desky stejné jako podél její svislé osy, můžeme v popsaném případě střední hodnotu součinitele přestupu tepla vyjádřit hk =
H
1 hk ⋅ dy (12.5) H ∫0 Pro neustálené případy je lokální i střední hodnota součinitele přestupu tepla závislá na čase. hk =
12.3 Kriteriální rovnice pro výpočet součinitele konvekce Protože součinitel hk závisí na celé řadě faktorů, zjišťujeme jeho hodnoty experimentálně a pro případy, které nelze přímo změřit, se hk počítá z kriteriálních rovnic, což jsou závislosti mezi bezrozměrnými komplexy veličin, které vyplývají z fyzikální podobnosti při přestupu tepla (viz kap. 10). Hledaný součinitel hk je obsažen v Nusseltově čísle. Kriteriální rovnice se běžně používají ve tvaru pro výpočet střední hodnoty součinitele přestupu tepla hk (12.4), kvůli jednoduššímu zápisu je označení střední hodnoty v dalším textu vynecháno. Pro stacionární nucenou konvekci jsou určující kriteria Re a Pr, která vyjadřují poměr setrvačných sil a třecích sil (Re) a podobnost rychlostních a teplotních polí při současném přenosu hybnosti a tepla (Pr). Základní tvar kriteriální rovnice pro nucenou konvekci je
Nu = f (Re, Pr)
(12.6)
Režim proudění (laminární, turbulentní, příp. v přechodové oblasti) zjišťujeme na základě Re. Pro stacionární přirozenou konvekci jsou určující kriteria Gr a Pr, která vyjadřují poměr vztlakových a třecích sil (Gr) a podobnost rychlostních a teplotních polí při současném přenosu hybnosti a tepla (Pr). Základní tvar kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci je
Nu = f (Gr, Pr)
(12.7)
Režim proudění (laminární, turbulentní, příp. v přechodové oblasti) zjišťujeme na základě Rayleighova čísla Ra = Gr·Pr. Bezrozměrná podobnostní čísla v těchto rovnicích jsou: Nusseltovo
Nu =
Reynoldsovo
Re =
Prandtlovo
Pr =
Grashofovo
Gr =
kde hk L λ u
ν a g β
ΔT
hk ⋅ L
λ
(součinitel λ se týká tepelné vodivosti tekutiny!)
u⋅L
ν ν a g ⋅ β ⋅ ΔT ⋅ L3
ν2
je střední součinitel přestupu tepla konvekcí [W·m-2·K-1], charakteristický rozměr [m], součinitel tepelné vodivosti tekutiny [W·m-1·K-1], rychlost proudění tekutiny [m/s], kinematická viskozita tekutiny [m2/s], součinitel teplotní vodivosti tekutiny [m2/s], tíhové zrychlení [m/s2], teplotní roztažnost tekutiny [K-1], rozdíl teploty stěny a teploty tekutiny [K].
72
Pro každou kriteriální rovnici musíme znát vymezení její platnosti z hlediska základní klasifikace konvekce podle příčiny vzniku, vlivu prostoru a režimu proudění, dále charakteristický rozměr a vztažnou teplotu, pro kterou zjišťujeme fyzikální vlastnosti tekutiny.
12.4 Význam Nusseltova čísla Význam Nu vysvětlíme na případu nuceného obtékání vodorovné desky, na kterou nabíhá proud tekutiny o teplotě T∞ , která je nižší než teplota povrchu desky Ts. Na desce se vytvoří teplotní mezní vrstva, tj. oblast s výrazným příčným gradientem teploty tekutiny (obr. 12.3, hranice mezní vrstvy je vyznačena čárkovaně).
T∞ = konst.
T∞
y x
Ts Obr. 12.3 – Nucená konvekce tepla na vodorovné desce Hustota tepelného toku konvekcí ze stěny do tekutiny je
q& = hk ⋅ (Ts − T∞ )
(12.8)
Přitom se na stěně tekutina brzdí vlivem viskozity, takže mikroskopická vrstva tekutiny těsně u stěny neproudí, ale přesto se přes ni přenáší teplo – jedinou možností je vedení tepla přes tuto vrstvu tekutiny. Pro hustotu tepelného toku tekutinou u stěny bude tedy platit Fourierův zákon
q& = λ
dT dy
(12.9) y =0
Všechno teplo vedené přes zabrzděnou vrstvu tekutiny se dále přenáší prouděním, obě hodnoty hustoty tepelného toku vedením a konvekcí se musí rovnat. Z rovnic (12.8) a (12.9) můžeme vyjádřit součinitel přestupu tepla
hk =
q& (Ts − T∞ )
λ =
dT dy
y =0
(12.10)
(Ts − T∞ )
Dále uvážíme, že místo teploty T můžeme sledovat její odchylku od vhodné referenční hodnoty, např. od teploty nabíhající tekutiny, tj. rozdíl (T – T∞). Protože T∞ = konst., bude zároveň dT /dy = d(T – T∞) /dy.
λ hk =
d (T − T∞ ) dy (Ts − T∞ )
λ y =0
=
d(ΔT ) dy ΔTs
y =0
⇒
hk
λ
73
=
d (ΔT ) dy ΔTs
y =0
(12.11)
Nyní zvolíme charakteristické hodnoty pro délkový rozměr L (vzdálenost od náběžné hrany desky) a pro teplotní rozdíl ΔΤs.(hodnota rozdílu teplot Ts – T∞). Platí y = L·y*
(12.12)
ΔT = ΔTs ·ΔT*
(12.13)
kde veličiny označené hvězdičkou jsou bezrozměrné. Nyní bude
hk
λ
=
d(ΔTs ⋅ ΔT ∗ ) d( L ⋅ y ∗ )
y ∗= 0
ΔTs
=
ΔTs ⋅ d(ΔT ∗ ) L ⋅ dy ∗
y ∗= 0
ΔTs
hk ⋅ L
⇒
λ
d (ΔT ∗ ) dy ∗
=
(12.14) y ∗= 0
Poslední zlomek vpravo vyjadřuje bezrozměrný gradient teploty tekutiny u stěny. Nusseltovo číslo Nu = hk·L /λ je tedy bezrozměrným gradientem teploty u stěny. Dále je pro konkrétní představu o podobě kriteriálních rovnic uvedeno několik příkladů pro výpočet přestupu tepla při nucené nebo přirozené konvekci.
12.5 Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci Přestup tepla při laminárním proudění trubkou (Hausen):
⎡ D⎞ ⎤ ⎛ 0,0668 ⋅ ⎜ Re ⋅ Pr ⋅ ⎟ ⎥ ⎢ h ⋅D ⎢ L⎠ ⎥⎛ μ ⎝ ⎜ Nu = k = 3,65 + 23 ⎜ ⎢ λ D ⎞ ⎥ ⎝ μs ⎛ 1 + 0,045 ⋅ ⎜ Re ⋅ Pr ⋅ ⎟ ⎥ ⎢ L ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
0 ,14
(12.15)
kde D [m] je průměr (příp. hydraulický průměr) trubky, L [m] délka trubky, μ [Pa·s] dynamická viskozita tekutiny, μs [Pa·s] dynamická viskozita tekutiny při teplotě stěny. Vlastnosti tekutiny odpovídají vztažné teplotě, kterou vypočteme jako aritmetický průměr vstupní a výstupní teploty tekutiny. Rovnice platí pro 10-1 < (Re·Pr·D/L) < 104 a Re < 2300. Přestup tepla při přechodovém a turbulentním proudění trubkou (Hausen):
Nu =
hk ⋅ D
λ
= 0,116 (Re
23
⎡ ⎛ D ⎞2 3 ⎤ ⎛ μ − 125) Pr ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ L ⎠ ⎥⎦ ⎝ μ s 13
⎞ ⎟⎟ ⎠
0 ,14
(12.16)
Označení veličin, charakteristický rozměr a vztažná teplota jsou stejné jako v předchozí rovnici. Podmínky platnosti rovnice jsou: L/D > 1, 2300 < Re < 106 a 0,6 < Pr < 500. Přestup tepla při kolmém obtékání trubky nebo rotačního válce (McAdams): Nu =
hk ⋅ D
λ
= K ⋅ Re m ⋅ Pr n
(12.17)
kde K, m, n volíme v závislosti na Reynoldsově čísle z následující tabulky. Re
K
m
n
Re 3
3
K
m
n
1 až 4
0,99
0,305
0,31
1·10 až 5·10
0,665
0,47
0,31
4 až 50
0,86
0,41
0,31
5·103 až 5·104
0,22
0,6
0,31
50 až 1000
0,69
0,47
0,31
> 5·104
0,026
0,8
0,36
74
Charakteristickým rozměrem pro Nu a Re v rovnici (12.17) je průměr trubky (válce) D [m]. Vlastnosti tekutiny odpovídají vztažné teplotě, kterou počítáme jako aritmetický průměr povrchové teploty válcové stěny a teploty tekutiny mimo teplotní mezní vrstvu. Přestup tepla při laminárním obtékání desky (Pohlhausen): h ⋅L (12.18) Nu = k = 0,664 ⋅ Re1 2 ⋅ Pr 1 3 λ Charakteristickým rozměrem pro Nu a Re je délka desky ve směru proudění tekutiny L [m]. Re počítáme z náběhové rychlosti tekutiny před deskou. Vztažná teplota pro Pr a kinematickou viskozitu ν je teplota tekutiny mimo teplotní mezní vrstvu. Vztažnou teplotu pro tepelnou vodivost tekutiny λ určujeme jako aritmetický průměr povrchové teploty desky a teploty tekutiny mimo teplotní mezní vrstvu. Rovnice platí pro 0,1 < Pr < 1000 a pro Re < 105. Přestup tepla při turbulentním obtékání desky (Kutateladze): h L (12.19) Nu = k = 0,035 ⋅ Re 0,8 ⋅ Pr 1 3 λ Rovnice platí pro Pr ≥ 0,5 a Re > 105. Charakteristický rozměr a vztažné teploty jsou obdobné jako pro Pohlhausenův vztah (laminární obtékání).
12.6 Kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci Přirozená konvekce v neomezeném prostoru nezávisí na tvaru teplosměnné plochy. Kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci na svislých stěnách, vodorovných a svislých drátech a trubkách ve vzduchu má tvar (Michejev): Nu = K ⋅ (Gr ⋅ Pr )
n
(12.20)
kde K, n závisí na součinu Gr a Pr: Ra = Gr·Pr -3
< 10 -3
2
10 až 5·10 2
7
5·10 až 2·10 7
14
2·10 až 10
K
n
0,5
0
1,18
1/8
0,54
1/4
0,135
1/4
Charakteristickým rozměrem pro Nu je u vodorovného válce průměr D [m], u svislé desky výška H [m]. Vztažná teplota pro vlastnosti tekutiny se vypočte jako aritmetický průměr povrchové teploty stěny a teploty tekutiny mimo mezní teplotní vrstvu. Pro výpočet součinitele přestupu tepla přirozenou konvekcí mezi stěnou a vzduchem v místnosti lze použít zjednodušené empirické vztahy (Cihelka): – pro svislou stěnu hk = 1,59 ⋅ ΔT 0,33
(12.21)
– pro vodorovnou stěnu při přestupu tepla vzhůru hk = 2,07 ⋅ ΔT 0,33
(12.22)
– pro vodorovnou stěnu při přestupu tepla dolů hk = 1,11 ⋅ ΔT 0,33
(12.23)
kde ΔT je rozdíl teploty stěny a teploty vzduchu [°C].
75
13. PŘENOS HMOTY (SE ZAMĚŘENÍM NA VLHKOST) 13.1 Základy termodynamiky vlhkého vzduchu Při běžných výpočtech v technice prostředí plně vyhovuje model vlhkého vzduchu jako binární směsi dvou ideálních plynů – suchého vzduchu a vodní páry. Termodynamické vlastnosti vodní páry jsou samozřejmě odlišné od modelu ideálního plynu, avšak vzhledem k malé koncentraci vodní páry ve vzduchu tato aproximace vyhovuje s dostatečnou přesností. Na obr. 13.1 je nádoba o celkovém objemu V, rozdělená přepážkou na dvě komory, které jsou naplněny dvěma ideálními plyny A a B o stejné teplotě T. Po odstranění přepážky oba plyny vytvoří ideální směs, A B přičemž nedochází k chemickým reakcím, k tepelným ani objemovým efektům. Množství obou složek se zachovává, žádný z plynů již nevzniká ani nezaniká. Množství látky ve směsi pak Obr. 13.1 můžeme vyjádřit jako M = MA + MB
(13.1)
kde M, MA a MB jsou hmotnosti v kg. Nebo lze použít veličinu látkové množství v kilomolech (kmol, 1 kmol plynu obsahuje 6,022·1026 molekul): n = n A + nB
(13.2)
Pokud by bylo na jedné straně přepážky, např. místo plynu B vakuum (obr. 13.2), došlo by po vytažení přepážky k expanzi plynu A do celého objemu V (předpokládáme, že udržujeme stálou teplotu T). Pro ideální plyn A, který takto vyplnil celý objem V, platí stavová rovnice
A
(vakuum)
Obr. 13.2 p A ⋅ V = M A ⋅ rA ⋅ T = n A ⋅ R ⋅ T
(13.3)
kde R = 8314 kJ/(kmol·K) je univerzální plynová konstanta (pro všechny plyny stejná), T [K] je termodynamická teplota, pA [Pa] je tlak a rA [J/(kg·K)] je měrná plynová konstanta (specifická pro každý plyn), přičemž platí rA = R /MmA
(13.4)
MA = nA·MmA
(13.5)
kde MmA [kg/kmol] je molární hmotnost plynu A. Pokud bychom totéž provedli s plynem B, platilo by po expanzi do objemu V (při T = konst.): p B ⋅ V = M B ⋅ rB ⋅ T = n B ⋅ R ⋅ T
(13.6)
Případ s plyny A a B lze zobecnit na více složek, pro každou z nich můžeme napsat pi ⋅ V = M i ⋅ ri ⋅ T = ni ⋅ R ⋅ T
(13.7)
76
Po smísení všech složek bude platit pro celkové látkové množství v kilomolech n = ∑ ni = ∑
pi ⋅ V V = ⋅ ∑ pi R ⋅T R ⋅T
(13.8)
kde součet tlaků pi nemůže být nic jiného než „výsledný“ tlak směsi p, což vyjadřuje Daltonův zákon p = ∑ pi
(13.9)
kde pi je tzv. parciální (částečný) tlak i-té složky, což je tlak, který by měla tato složka, pokud by mohla zaujmout celkový objem směsi V. Protože jsou v nádobě další složky směsi, všechny při tlaku směsi p, každá z nich logicky zaujímá parciální objem Vi < V. Součet parciálních objemů složek je pak roven objemu směsi (Amagatův zákon): V = ∑ Vi
(13.10)
Poměrný obsah složek ve směsi vyjadřujeme tzv. zlomky – hmotnostním Mi /M, molárním ni /n, objemovým Vi /V, tlakovým pi /p. Vlhký vzduch považujeme za směs suchého vzduchu (index a z angl. air) a vodní páry (index v z angl. vapour). Tlak vlhkého vzduchu je podle Daltonova zákona (13.9) součtem parciálního tlaku suchého vzduchu a vodní páry p = pa + pv
(13.11)
Hodnoty p se pohybují kolem 100 kPa (atmosférický tlak), hodnoty pv jsou za běžných podmínek řádově v desetinách až jednotkách kPa. Zatímco termodynamický stav jednosložkového plynu je definován dvěma veličinami, nejčastěji se používá tlak p a teplota T, u dvousložkové směsi musíme navíc znát další stavovou veličinu, která charakterizuje obsah složek ve směsi. U vlhkého vzduchu se nejčastěji používají tyto způsoby vyjádření obsahu vodní páry: - absolutní vlhkost, - relativní vlhkost, - měrná vlhkost. Absolutní vlhkost je hmotnostní koncentrace vodní páry ve vzduchu ρv [kg/m3], v literatuře často nepřesně označovaná jako hustota vodní páry. Hustota vlhkého vzduchu je dána podílem hmotnosti M a objemu směsi V:
ρ=
M Ma + Mv Ma Mv = = + = ρa + ρv V V V V
(13.12)
Hmotnostní koncentrace složky ρi je určena podílem její hmotnosti Mi a objemu celé směsi V. Proto ρa a ρv jsou hmotnostní koncentrace suchého vzduchu a vodní páry ve vlhkém vzduchu. Výše uvedená rovnice vyjadřuje pro vlhký vzduch to, co platí pro vícesložkovou směs obecně – hustota směsi je rovna součtu hmotnostních koncentrací složek. Zavedením stavové rovnice ideálního plynu získáme z definice hmotnostní koncentrace páry vztah
ρv =
Mv p ⋅V 1 p = v ⋅ = v V rv ⋅ T V rv ⋅ T
(13.13)
přičemž obdobný vztah platí také pro ρa suchého vzduchu. Měrné plynové konstanty jsou pro suchý vzduch ra = 287,1 J/(kg·K) a pro vodní páru rv = 461,5 J/(kg·K).
77
Relativní vlhkost ϕ [-] je poměr hmotnostní koncentrace vodní páry ve vzduchu ρv k její maximální možné hodnotě, kterou je ρv,sat, kdy je vzduch parou nasycen (angl. saturated) † . Pokud bychom vzduch dále zvlhčovali, začne pára kondenzovat, vzniká viditelná mlha nebo orosení povrchů. Stav nasycení se obvykle popisuje tlakem sytých vodních par pv,sat, jehož hodnota je jednoznačně daná teplotou vzduchu. Pokud je parciální tlak vodní páry ve vzduchu pv < pv,sat, vodní páru nevidíme. Při poklesu teploty vzduchu klesá i hodnota pv,sat. Jestliže vzduch obsahuje dané množství vodní páry a jeho teplota klesne pod tzv. rosný bod (při teplotě rosného bodu je právě pv = pv,sat), můžeme pozorovat kondenzaci vlhkosti – buď místní (např. orosené sklo v okně) nebo v celém objemu vzduchu (mlha). Na povrchu o teplotě nižší než teplota rosného bodu a zároveň nižší než 0 °C vzniká námraza (jinovatka). Pro relativní vlhkost platí
ϕ=
ρv p r ⋅T p = v ⋅ v = v ρ v , sat rv ⋅ T p v , sat p v , sat
(13.14)
a uvádí se obvykle v procentech (0 až 100 %). Obvyklá hodnota relativní vlhkosti vzduchu v klimatizovaném kancelářském prostoru je ϕ = 40 až 60 %. Hodnoty tlaku pv,sat při teplotách 0 °C, 20 °C a 40 °C jsou 611 Pa, 2337 Pa a 7375 Pa. Stav vlhkého vzduchu nejčastěji popisujeme kombinací veličin p, T a ϕ . Z dané teploty T vyplývá příslušný tlak pv,sat a parciální tlak vodní páry je potom
p v = ϕ ⋅ p v , sat
(13.15)
Hustota vlhkého vzduchu (jako směsi) je
ρ = ρa + ρv =
p − ϕ ⋅ p v , sat ϕ ⋅ p v , sat pa p p − pv p + v = + v = + ra ⋅ T rv ⋅ T ra ⋅ T rv ⋅ T ra ⋅ T rv ⋅ T
⎤ p − 0,378 ⋅ ϕ ⋅ p v , sat ra 1 ⎡ = ⎢ p − ϕ ⋅ p v , sat − ϕ ⋅ p v , sat ⎥ = ra ⋅ T ⎣ rv ra ⋅ T ⎦
(13.16)
protože poměr ra /rv = 0,622. Všimněme si, že s rostoucí koncentrací vodní páry (a tedy rostoucím parciálním tlakem pv) hustota vlhkého vzduchu klesá. Pro energetické bilance změn (úprav) stavu vlhkého vzduchu se využívá třetí způsob popisu obsahu vodní páry – měrná vlhkost x [kg/kg], což je relativní hmotnostní podíl vodní páry a suchého vzduchu, uváděný obvykle v gramech páry na 1 kg suchého vzduchu.
x=
ϕ ⋅ p v , sat M v ρv ⋅V ρv p r ⋅ T ra p v p (13.17) = = v ⋅ a = ⋅ = 0,622 ⋅ v = 0,622 ⋅ = M a ρ a ⋅ V ρ a rv ⋅ T p a rv p a pa p − ϕ ⋅ pv , sat
Běžné hodnoty měrné vlhkosti x jsou řádově v jednotkách gramů páry na kg suchého vzduchu (2 až 16 g/kg s.v.). S využitím poslední rovnice lze navzájem přepočítávat pv, ϕ a x. Teplo obsažené ve vzduchu rozdělujeme na citelné (zjevné) a latentní (skryté). Citelné teplo mění teplotu vzduchu, latentní teplo je vázáno ve vzdušné vlhkosti v podobě páry, kterou bylo nutno vytvořit z vody (kapaliny) dodáním skupenského tepla vypařování. Protože při úpravách stavu vzduchu v klimatizaci zůstává množství suchého vzduchu stálé, avšak obsah vlhkosti měníme, vyjadřujeme entalpii (tepelný obsah) vlhkého vzduchu jako měrnou hodnotu vztaženou na 1 kg suchého vzduchu. Entalpie nenasyceného vlhkého vzduchu je dána součtem entalpie †† ia obsažené v 1 kg suchého vzduchu a entalpie iv obsažené v x kg vodní páry, které připadají na 1 kg suchého vzduchu. †
V literatuře se hodnoty na mezi sytosti označují také dvěma čárkami, např. ρv″, pv″. V návaznosti na kap. 7 je pro měrnou entalpii použitý symbol i. Obvyklejší značení v literatuře je h.
††
78
i = ia + x ⋅ iv = c a T + x ⋅ (l v , 0 + cv T )
(13.18)
kde T [°C] je teplota vzduchu, ca = 1010 J/(kg·K) a cv = 1840 J/(kg·K) jsou měrné tepelné kapacity vzduchu a vodní páry, x je měrná vlhkost vzduchu [kg/kg s.v.], lv,0 = 2500 kJ/kg je výparné teplo vody při teplotě 0 °C. Výpočet entalpie se odvíjí od zvolené referenční teploty 0 °C, kdy je ha = 0 (hodnota iv je však kladná při jakékoliv uskutečnitelné teplotě vzduchu uvnitř nebo v okolí budovy). Hodnoty entalpie vlhkého vzduchu se běžně pohybují od –10 do +65 kJ/kg s.v.
13.2 Přenos vlhkosti difúzí (molekulární přenos) Přenos vlhkosti pouhou difúzí je možný jen v klidném prostředí. V budovách se s ním setkáme především při přenosu vlhkosti stavebními konstrukcemi. Šíření vlhkosti vzduchem je prakticky vždy spojeno jak s difúzí tak i s prouděním, tj. konvekcí. V dalším výkladu uvažujeme vlhkost pouze v podobě vodní páry, bez kondenzace. Základním empirickým zákonem difúze hmoty je Fickův zákon (analogický s Fourierovým zákonem vedení tepla): hustota hmotnostního toku [kg/(m2·s)] složky A je úměrná zápornému gradientu hmotnostní koncentrace této složky. m& A = − D AB
dρ A = − D AB ⋅ gradρ A = − D AB ⋅ ∇ρ A dn
(13.19)
kde DAB [m2/s] je součinitel binární difúze. Binární difúzí rozumíme obousměrnou vzájemnou difúzi dvou složek A a B, pro kterou platí DAB = DBA. Při přenosu vlhkosti (vodní páry) můžeme vyjádřit její obsah buď koncentrací ρv nebo parciálním tlakem pv, takže pro hustotu toku vlhkosti můžeme psát: m& v = − Dcv
dρ v dp = − D pv v dn dn
(13.20)
kde Dcv [m2/s] je součinitel difúze vztažený ke koncentraci ρv a Dpv [s] je součinitel difúze vztažený k parciálnímu tlaku pv. Ze stavové rovnice vodní páry jako ideálního plynu vyplývá dρ v 1 dp v = dn rv ⋅ T dn
⇒ Dcv = rv ⋅ T ⋅ D pv
(13.21)
Pro binární difúzi v soustavě vzduch - vodní pára platí Dcv = Dca (obousměrná difúze), avšak Dpv ≠ Dpa. Z výše uvedeného vztahu mezi Dcv a Dpv a z rovnosti Dcv = Dca vyplývá rv ⋅ T ⋅ D pv = ra ⋅ T ⋅ D pa
⇒ D pv =
ra ⋅ D pa = 0,622 ⋅ D pa rv
(13.22)
Součinitel Dcv [m2/s] lze vypočítat pro zadaný tlak p [Pa] a teplotu T [K] vzduchu z rovnice 2,193 ⎛ T ⎞ Dcv = ⎜ ⎟ p ⎝ 273,15 ⎠
1,8
(13.23)
Z výkladu v kap. 10 si znovu připomeňme analogii molekulárního přenosu hybnosti, tepla a hmoty. Podobnost rychlostních, teplotních a koncentračních polí vyjadřují čísla Prandtlovo (Pr = ν /a), Schmidtovo (Sc = ν /Dc) a Lewisovo (Le = a /Dc). Dále platí Le = Sc /Pr. Všechny součinitele přenosu (tzv. difuzivity) ν, a, Dc mají stejný rozměr [m2/s].
79
13.3 Přenos vlhkosti difúzí na hladině vody Na přenosu vlhkosti z vodní hladiny se podílí jak difúzní tak konvektivní mechanizmus. Pokud oba způsoby virtuálně oddělíme, můžeme pro samotnou difúzi předpokládat nad hladinou klidné prostředí, vzduch neproudí. Hladina vody představuje bariéru pro částice vzduchu, takže difúze v soustavě vzduch - vodní pára přestává být obousměrná. Částice vzduchu (s rel. vlhkostí ϕ < 100 %) narážejí na hladinu, nepronikají dále do vody, avšak vracejí se zpět, navíc nasycené vodní parou (ϕ = 100 %) – viz obr.
ϕ<1
ϕ=1
Obr. 13.3 – Nasycení částice vzduchu vodou u hladiny Za těchto okolností je tedy vlhkost do okolního vzduchu přenášena s větší intenzitou než při normální binární difúzi a pro hustotu toku vlhkosti platí ( vztaženo k parciálnímu tlaku) ⎤ ⎡ p v , sat ⎤ dp v ⎡ p m& v = m& v ,dif ⎢1 + ⎢ ⎥ ⎥ = − D pv dn ⎢⎣ p − p v ,sat ⎥⎦ pa ⎦ ⎣
(13.24)
kde výraz v hranaté závorce je tzv. Stephanova korekce (má hodnotu > 1). Lze ji odvodit, zde je uvedena pouze pro informaci. Z poměru velikosti tlaků p a pv,sat vyplývá, že hustota toku vlhkosti je o několik procent větší než by byla při binární difúzi. Jak už bylo zmíněno, na přenosu vlhkosti z hladiny vody se podílí (a to mnohem větším dílem) proudění vzduchu, tj. konvektivní mechanizmus. Jako příklad orientačních hodnot celkové hustoty toku vlhkosti z vodní hladiny lze uvést pro bazény 250 g/(m2·hod), pro provozy s mokrou podlahou (např. zemědělské objekty) 45 g/(m2·hod).
13.4 Přenos vlhkosti konvekcí I když se mechanizmus difúze při přenosu vlhkosti uplatní vždy, bývá v řadě případů „přehlušen“ dalším způsobem přenosu – konvekcí neboli prouděním (vzduchu). I zde se uvažuje analogie s konvekcí tepla, takže kriteriální rovnice pro výpočet součinitele přenosu vlhkosti mají obdobný tvar i některá společná určující kritéria. Přenos vlhkosti a tepla od sebe navíc nejde oddělit, protože jsou spolu vždy propojeny (viz také úvahu o citelném a latentním teple obsaženém ve vlhkém vzduchu). Základní kriteriální rovnice pro přestup tepla mezi stěnou a tekutinou vyjadřuje Nusseltovo číslo (bezrozměrný gradient teploty na stěně) jako funkci Prandtlova, Grashofova a Reynoldsova čísla Nu = f (Pr, Gr, Re)
(13.25)
Pro přestup vlhkosti je základní kriteriální rovnice vyjádřena jako závislost Sherwoodova čísla na Schmiddtově, Grashofově a Reynoldsově čísle Sh = f (Sc, Gr, Re)
(13.26)
80
Tak jako u přenosu tepla i konvekce vlhkosti může být z hlediska příčiny vzniku přirozená nebo nucená, z hlediska geometrie prostoru volná nebo stísněná a vzhledem k režimu proudění laminární nebo turbulentní. Pro nucenou konvekci jsou určující kritéria Sc a Re: Sh = f (Sc, Re)
(13.27)
pro přirozenou konvekci jsou určující Sc a Gr: Sh = f (Sc, Gr)
(13.28)
Pro současnou konvekci tepla a vlhkosti je nutno vztlakový člen v pohybové rovnici a Grashovo číslo počítat přímo z rozdílu hustot, protože příčinou vztlaku může být rozdíl hustot vzduchu způsobený jak rozdílem teplot T tak i rozdílem koncentrací vodní páry ρv (příp. jiné příměsi). Závislost hustoty vzduchu na T a ρv lze formálně zapsat jako
ρ = ρ 0 [1 − δ T ⋅ (T − T0 ) − δ C (ρ v − ρ v 0 )]
(13.29)
kde δT [K–1]a δC [-] jsou součinitele teplotní a „vlhkostní“ roztažnosti vzduchu (hodnoty součinitele δC se však v literatuře neuvádějí). Grashofovo číslo se počítá ze vztahu Gr =
g ⋅ L3 Δρ
ν2
(13.30)
ρ
13.5 Význam Sherwoodova kritéria Jak již bylo uvedeno v kap. 12, Nusseltovo kriterium Nu lze chápat jako vyjádření bezrozměrného gradientu teploty na stěně při konvekci tepla. Význam Sherwoodova kriteria Sh při konvekci hmoty je analogický. Na obr. 13.4 je znázorněno obtékání vodorovné desky, ze které se uvolňuje vlhkost v podobě vodní páry. Nabíhající proud vzduchu má stálou koncentraci vodní páry ρv,∞ (index ∞ naznačuje, že koncentrace páry v nabíhajícím proudu není ovlivněna uvolňováním vlhkosti z desky). Na povrchu desky je koncentrace páry ρv,s > ρv,∞ .
ρv,∞ = konst.
ρv,∞
y x
ρv,s Obr. 13.4 – Nucená konvekce vlhkosti na vodorovné desce Nad povrchem desky se vytvoří koncentrační mezní vrstva, ve které přechází koncentrace vodní páry z hodnoty na povrchu desky ρv,s na hodnotu v proudu vzduchu mimo mezní vrstvu, tj. ρv,∞ . Protože vzduch je vazká tekutina, ulpí na povrchu desky jeho mikroskopická vrstva, přes kterou nemůže být vlhkost přenesena prouděním. Aby vlhkost pronikla dále do mezní vrstvy, kde už funguje transport konvekcí, musí se přes nepohyblivou vrstvu vzduchu přenášet difúzí. Na stěně tedy platí rovnost hustoty toku difúzí a konvekcí Dcv
dρ v dy
= β C ⋅ (ρ v , s − ρ v ,∞ )
(13.31)
y =0
81
Pravá strana rovnice vyjadřuje přenos vlhkosti konvekcí analogicky s Newtonovým ochlazovacím zákonem pro hustotu toku tepla konvekcí q& = hk ·(Ts – T∞). Hustota toku vlhkosti je tedy dána součinitelem přenosu vlhkosti βC (obecně hmoty) a rozdílem koncentrací vodní páry na stěně a mimo koncentrační mezní vrstvu. Příčná derivace koncentrace ρv je totožná s příčnou derivací rozdílu ρv a zvolené konstantní hodnoty, kterou může být např. koncentrace v nabíhajícím proudu ρv,∞ : dρ v d (ρ v − ρ v ,∞ ) = dy dy
(13.32)
Zvolíme měřítko souřadnice y a označíme jej L (bude jím charakteristický rozměr volený podle geometrie úlohy). Jako měřítko koncentračního rozdílu zvolíme jeho maximální hodnotu, tj. hodnotu na povrchu desky Δρref = (ρv,s – ρv,∞). Na povrchu desky tedy platí Δρ ref dρ v∗ Dcv L dy ∗
= β C ⋅ Δρ ref
(13.33)
y ∗ =0
kde hvězdičkou jsou označeny bezrozměrné veličiny (např. y* = y /L). Po úpravě získáme dρ v∗ dy ∗
= ∗
y =0
βC ⋅ L Dcv
= Sh
(13.34)
Sherwoodovo číslo je tedy bezrozměrným gradientem koncentrace na stěně. Připomeňme si ještě analogický vztah pro Nusseltovo číslo (přestup tepla) Nu = hk·L /λ. Hustota toku vlhkosti konvekcí se může vyjádřit vzhledem ke koncentraci vodní páry ρv, měrné vlhkosti x nebo parciálním tlaku vodní páry pv:
m& v = β C (ρ v , sat − ρ v ) = β x ( x sat − x ) = β p ( p v , sat − p v )
(13.35)
Referenční hodnoty na mezi sytosti (index sat) naznačují, že k přenosu vlhkosti dochází, pokud existuje potenciál přenosu vůči stavu nasycení, který je v podstatě dán teplotou vzduchu mimo koncentrační mezní vrstvu. Z fyzikálního rozměru hustoty toku vlhkosti [kg/(m2·s)] a rozměrů dalších veličin pak vyplývají jednotky pro součinitel přenosu vztažený ke koncentraci βC [m/s], k měrné vlhkosti βx [kg/(m2·s)] a k parciálnímu tlaku βp [s/m]. Součinitele lze navzájem přepočítávat (jejich hodnoty se mohou i řádově lišit!) podle vztahů
β C pv , sat − pv = = rv ⋅ T β p ρ v , sat − ρ v
(13.36)
β x ρ v , sat − ρ v p = ≈ ρa = βC x sat − x ra ⋅ T
(13.37)
β x p v , sat − p v r p = ≈p v = . βp x sat − x ra 0,622
(13.38)
82
13.6 Lewisův vztah Při dokonalé analogii konvekce tepla a vlhkosti musí mít příslušné kriteriální rovnice stejný tvar, stejné součinitele a exponenty, tj.
Nu = C · Reu · Grv · Prw
(13.39)
Sh = C · Reu · Grv · Scw
(13.40)
Poměr Schmidtova a Prandtlova čísla je Lewisovo číslo (viz odstavec o difúzi), takže platí
Nu Sh = (Pr Sc ) = Le − w w
(13.41)
Dosazením za Nu = hk·L /λ a Sh = βC ·L /a po další úpravě (λ = ρa·cpa·a) získáme hk
βC
= ρ a ⋅ c pa ⋅ Le1− w
(13.42)
Protože z (13.37) plyne, že βC ·ρa ≈ βx, můžeme napsat Lewisův vztah ve tvaru hk
βx
= c pa ⋅ Le n
(13.43)
Z experimentů vyplývá, že exponent n ≈ 1 pro laminární proudění a n ≈ 0 pro turbulentní proudění. Zároveň pro soustavu vzduch - vodní pára je Le = a /Dcv = 0,866 (tj. blízko 1). Pro většinu případů turbulentního proudění vlhkého vzduchu tak lze uvažovat přibližnou rovnost (zjednodušený Lewisův vztah) hk
βx
≈ c pa
(13.44)
83
14. PŘENOS TEPLA ZÁŘENÍM – RADIACE Základní vlastnosti přenosu tepla radiací vyplývají z toho, že jeho podstatou je elektromagnetické záření, která má korpuskulárně vlnový charakter (fotony, elektromagnetické vlnění) a šíří se rychlostí světla. Narozdíl od ostatních dvou mechanizmů přenosu tepla (vedení, proudění) není přenos tepla zářením vázán na přítomnost látky mezi tělesy. Naopak přítomnost hmoty představuje vždy menší nebo větší bariéru pro tepelnou radiaci. Radiací se teplo přenáší nejlépe ve vakuu. Obecně musí být prostředí mezi tělesy alespoň částečně průteplivé (diatermní). Tepelné záření emituje každé těleso o kladné termodynamické teplotě. Vyzařování tepelné energie je způsobeno oscilacemi elementárních částic hmoty a jejich přechody mezi energetickými stavy (což je podmíněno kladnou vnitřní energií a tedy T > 0 K). Energetická bilance vzájemného záření mezi dvěma tělesy určuje výsledný zářivý tok, který směřuje (podobně jako u ostatních mechanizmů přenosu tepla) od tělesa s vyšší teplotu k tělesu s nižší teplotou. Tepelné záření v plynech a transparentních tělesech má objemový charakter. V prostředí budov záření plynů většinou zanedbáváme, dvouatomové plyny (které převažují ve vzduchu) považujeme za dokonale průteplivé, tzn. že nepohlcují žádné záření a ani samy nezáří. Výjimkou jsou silné vrstvy víceatomových plynů (páry H20, oxidu uhličitého CO2, ozónu O3), u nichž emisi a absorpci tepelného záření uvažujeme – např. v atmosféře Země nebo v rozsáhlých vnitřních prostorách s vysokou koncentrací vlhkosti ve vzduchu. Záření a pohlcování radiace neprůsvitných těles má povrchový charakter (mezi povrchem a vnitřkem tělesa se tepelná energie šíří vedením příp. konvekcí). Z toho také vyplývá, že intenzita tepelného záření závisí na povrchové teplotě a na fyzikálních vlastnostech povrchu těles. Rozsah vlnových délek, které mají význam při přenosu tepla elektromagnetickým vlněním, se obvykle uvádí od 100 nm (1 nm = 10–9 m) do 100 až 1000 μm (1 μm = 10–6 m). Podle vlnové délky rozlišujeme tepelnou radiaci: krátkovlnnou – sluneční záření † , vlnové délky 0,1 až 5 μm (žlutá oblast na obr. 14.1) dlouhovlnnou – sálání, vlnové délky 5 až 1000 μm (červená oblast na obr. 14.1) Z diagramu elektromagnetického spektra je patrné, že teplo se přenáší v oblasti krátkovlnné radiace také viditelným světlem (vlnové délky 390 až 760 nm). Sálaní je naopak neviditelné. viditelné světlo 390 až 760 nm
záření
rentgenové záření
UV záření
IR záření
mikrovlny
radiové vlny
0,01 nm
0,1 nm
1 nm
10 nm
100 nm
1 m
10 m
100 m
1 mm
1 cm
10 cm
1m
10 –11 m
10–10 m
10 –9 m
10–8 m
10 –7 m
10 –6 m
10–5 m
10 –4 m
10–3 m
10 –2 m
10–1 m
1m
Obr. 14.1 – Spektrum vlnových délek elektromagnetického a tepelného záření
†
Teplo se přenáší slunečním zářením i v oblasti dlouhovlnné radiace. Naopak krátkovlnnou radiaci využívají také různé typy tzv. infrazářičů používaných pro vytápění.
84
14.1 Záření dokonale černého tělesa Při dané povrchové teplotě emituje teplo s největší intenzitou dokonale černé těleso. Závislost spektrální hustoty zářivého toku černého tělesa Eλ,0 [W/m2/m] na povrchové termodynamické teplotě T [K] a vlnové délce λ [m] záření vyjadřuje Planckův zákon C1 Eλ ,0 = 5 (14.1) λ ⋅ [exp(C 2 / λ T ) − 1] kde C1 = 2π hc02 ; C 2 = hc0 / k ;
c0 = 2,998 ⋅ 10 8 m/s je rychlost světla ve vakuu; h = 6,6256 ⋅ 10 −34 J·s je Planckova konstanta; k = 1,3805 ⋅ 10 −23 J/K je Boltzmannova konstanta. Na obr. 14.2 je závislost (14.1) vynesena graficky (obě osy mají logaritmické měřítko) pro různé teploty od 200 K do 5800 K (povrchová teplota Slunce). Je zřejmé, že pro každou povrchovou teplotu T existuje vlnová délka λmax, při které dosahuje Eλ,0 maximální hodnoty. 1E+08
200 K 300 K 500 K 1000 K 2000 K 4000 K 5800 K
1E+07
1E+06
–2 –1 E λ,0 [W·m ·μm ]
1E+05
1E+04
1E+03
1E+02
1E+01
1E+00
1E-01
1E-02 0.1
1
λ [μm]
10
Obr. 14.2 – Grafické znázornění Planckova zákona
85
100
Maxima spektrální hustoty zářivého toku černého tělesa Eλ,0 se s klesající teplotou posouvají k větším vlnovým délkám podle Wienova „posunovacího“ zákona λmax ⋅T = 2898 μm·K (14.2) který je v logaritmickém měřítku grafu na obr. 14.2 zobrazen klesající přímkou. Celkovou hustotu zářivého toku černého tělesa E0 získáme integrací Planckova zákona přes všechny vlnové délky. Závislost E0 [W/m2] na povrchové teplotě T [K] vyjadřuje Stefanův-Boltzmannův zákon ∞
E 0 = ∫ E λ , 0 dλ = σ T 4
(14.3)
0
kde σ = 5,67·10–8 W·m–2·K–4 je Stefanova-Boltzmannova konstanta. Vlastnosti dokonale černého tělesa můžeme shrnout do 4 nejdůležitějších bodů: - dokonalý pohlcovač: pohlcuje veškerou dopadající radiaci, - dokonalý zářič: při dané teplotě vyzařuje nejvíce energie, - difúzní zářič: vyzařuje do všech směrů stejně intenzivně, - neselektivní zářič: má hladký průběh závislosti Eλ,0 = f (λ ). Pojmy difúzní a neselektivní zářič jsou vysvětleny v dalším textu.
14.2 Spektrální a směrové vlastnosti povrchů těles Záření všech těles má spektrální charakter, je různě intenzivní při různých vlnových délkách. Průběh spektrální hustoty zářivého toku Eλ v závislosti na vlnové délce λ může být buď spojitý a hladký, jak to vidíme u černého tělesa (viz graf na obr. 14.2), což je neselektivní zářič. Nebo můžeme pro některé vlnové délky (resp. jejich intervaly Δλ) v průběhu Eλ = f (λ ) pozorovat až řádové propady – takové těleso je selektivním zářičem (viz obr. 14.3). Eλ
λ Obr. 14.3 – Spektrální hustota zářivého toku selektivního zářiče Záření těles je také závislé na směru. Pokud se intenzita vyzařování v různých směrech liší, jde o směrový zářič (příklad je na obr. 14.4 vlevo). Pokud je vyzařování v různých směrech stejně intenzivní, pak se jedná o tzv. difúzní (všesměrový) zářič (obr. 14.4 vpravo).
Obr. 14.4 – Zářič směrový (vlevo) a difúzní (vpravo)
86
Směrový a spektrální charakter tepelného záření skutečných těles značně komplikuje výpočty. I pro geometricky jednoduchý rovinný zářič obecně platí, že při dané teplotě bude intenzita vyzařování z jeho povrchu při různých vlnových délkách λ a do různých směrů (určených v prostoru např. azimutem ϕ a zenitovým úhlem θ ) různá: Iλ,e = f (λ, ϕ, θ ). Spektrální hustota Eλ (λ ) [W/m2/m] a celková hustota E [W/m2] zářivého toku z rovinného zářiče do poloprostoru se vypočítají podle vztahů 2π π 2
Eλ = ∫
∫ Iλ
0
,e
(λ , θ , ϕ ) ⋅ cos θ ⋅ sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ
∞ 2π π 2
E=∫ 0
(14.4)
0
∫ ∫ Iλ 0
,e
(λ ,θ , ϕ ) ⋅ cos θ ⋅ sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ ⋅ dλ
(14.5)
0
Speciálně pro difúzní zářič Iλ,e nezávisí na směru (ϕ, θ) a bude E λ = π ⋅ I λ , e (λ )
(14.6)
E = π ⋅ Ie
(14.7)
Záření, které vystupuje z povrchu tělesa, obsahuje kromě složky vlastní emise také složku radiace tělesem odražené. Při dopadu hustoty tepelného toku q& [W/m2] radiací na povrch tělesa se může uplatnit odraz (reflexe) radiace zpět do prostoru, pohlcení (absorpce) radiace povrchem tělesa nebo prostup (transmise) radiace tělesem a platí q& = q& R + q& A + q& T
(14.8)
kde q& R [W/m2] označuje část odraženou z povrchu zpět do prostoru, q& A [W/m2] část pohlcenou povrchem a q& R [W/m2] část, která tělesem prostupuje. Vydělením rovnice (14.8) hodnotou celkového tepelného toku dostaneme součet relativních poměrů q& q& q& 1 = R + A + T = ρ +α +τ (14.9) q& q& q& kde písmena vpravo označují postupně součinitel relativní odrazivosti ρ [-], relativní pohltivosti α [-] a relativní propustnosti τ [-]. Jejich součet je vždy roven 1. Vlastnosti dokonale černého tělesa můžeme popsat hodnotami α = 1, ρ = τ = 0. Naopak dokonale bílé těleso (zrcadlo) bude mít ρ = 1, α = τ = 0. V technických výpočtech často používáme model šedého tělesa, jehož vlastnosti lze shrnout do následujících bodů: - pohlcuje jen část dopadající radiace, avšak není průteplivé (α + ρ = 1, τ = 0), - při dané teplotě vyzařuje méně energie než černé těleso, - je to difúzní zářič i zrcadlo: vyzařuje a odráží do všech směrů stejně intenzivně, - je to neselektivní zářič (i zrcadlo): má hladký průběh závislosti Eλ = f (λ ). Poměr intenzity vyzařování tepla skutečným povrchem a povrchem dokonale černým (který vyzařuje s maximální možnou intenzitou při dané teplotě) určuje součinitel relativní zářivosti (emisivity) ε [-]. Kromě závislosti na teplotě T může tento součinitel vykazovat i závislost na směru (ϕ, θ) a na vlnové délce λ. Pro šedé těleso, které je difúzním zářičem, na směru nezáleží a ε = konst. platí pro danou teplotu přes všechny vlnové délky tepelného záření. Pro skutečné povrchy rozlišujeme spektrální směrovou emisivitu ελ,ϕ,θ = f (λ, ϕ, θ, T ), celkovou směrovou emisivitu εϕ,θ = f (ϕ, θ, T ) a celkovou hemisférickou emisivitu ε = f (T ), která reprezentuje průměrné vlastnosti při vyzařování na všech vlnových délkách všemi směry
87
do poloprostoru. Pro výše jmenované součinitele odrazivosti ρ, pohltivosti α a propustnosti τ reálných povrchů platí totéž. V běžných technických výpočtech se pracuje s celkovými hemisférickými hodnotami součinitelů a většinu povrchů v/na budovách lze dostatečně přesně aproximovat jako difúzní zářiče či pohlcovače. V některých případech (např. zasklení) je však nutno brát v úvahu směrové vlastnosti bez zjednodušení. Podle Kirchhoffova zákona je součinitel emisivity povrchu roven součiniteli jeho pohltivosti při téže teplotě:
ε=α
(14.10)
V této formě zákon platí jen pro model šedého tělesa (pro černé těleso je ε0 = α0 = 1). U reálných povrchů platí tento zákon přesně a bez zjednodušujících předpokladů jen pro směrové spektrální hodnoty
ε λ,ϕ,θ = αλ,ϕ,θ
(14.11)
Pro reálné difúzní zářiče odpadá závislost na směru, stále však zůstává závislost na vlnové délce, kterou nelze zanedbat. Pro běžné povrchy v/na budovách uvažujeme součinitel emisivity ε pouze v oblasti dlouhovlnné radiace (sálání), a to většinou v rozsahu 0,8 až 0,95. Jeho hodnota nezávisí významně na barvě povrchu, avšak na jeho kvalitě ano; např. lesklý a matný povrch téže barvy může mít rozdílnou emisivitu. S emisivitou povrchů v oblasti krátkovlnné radiace obvykle nepracujeme (výjimkou jsou např. některé zářiče pro vytápění). Naproti tomu u pohltivosti povrchů je třeba odlišovat hodnoty spadající do oblasti sálání (někdy se označují indexem IR – infrared, αIR = εIR) a do pásma krátkých vlnových délek, tj. sluneční radiace (solární pohltivost se označuje indexem s – solar, αs). Obvyklé hodnoty αs povrchů v/na budovách jsou v rozmezí 0,6 až 0,7, jsou tedy nižší než αIR. Důvod rozdílu hodnot je zřejmý „na pohled“ – barva povrchů je výsledkem pohlcení a odražení určité části spektra viditelného záření (světla), které přenáší významnou část tepelné energie (38 % z celkové tepelné energie přenášené sluneční radiací), takže zatímco hodnoty αs na barvě povrchu závisí, hodnoty αIR nikoliv (sálání je neviditelné).
14.3 Přenos tepla zářením mezi dvěma povrchy Výsledný tepelný tok při sálání mezi dvěma obecnými plochami o různých povrchových teplotách je ⎡⎛ T ⎞ 4 ⎛ T ⎞ 4 ⎤ Q& = C12 ⋅ ϕ12 ⋅ S1 ⋅ ⎢⎜ 1 ⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎣⎢⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎦⎥
(14.12)
kde T1, T2 [K] jsou termodynamické teploty povrchů (T1 > T2). Součinitel vzájemného sálání C12 [W·m–2·K–4] se vypočte podle vztahu C ⋅C (14.13) C12 = ε 1 ⋅ ε 2 ⋅ C0 = 1 2 C0 kde ε1 [-] a ε2 [-] jsou emisivity povrchů. C0 = σ ·108 = 5,67 W·m–2·K–4 je tzv. součinitel sálání černého tělesa, C1 = ε1·C0 [W·m–2·K–4] a C2 = ε2·C0 [W·m–2·K–4] jsou součinitele sálání daných ploch. Úhlový součinitel osálání φ12 [-] je geometrická charakteristika vzájemného sálání dvou povrchů a udává, jaká část tepelného toku vyzařovaného plochou S1 dopadá na plochu S2 † . Při vzájemném sálání dvou povrchů platí φ12·S1 = φ21·S2
(14.14)
†
Patrně nejlepší zdroj informací o úhlových součinitelích osálání je na http://www.me.utexas.edu/~howell/
88
Úhlový součinitel osálání a součinitel vzájemného sálání lze jednoduše určit pro: a) dvě rovnoběžné plochy S1 = S2, jejichž vzdálenost je výrazně menší než jejich rozměry ϕ12 = ϕ 21 = 1 1 C12 = 1 1 1 + − C1 C2 C0 b) sálající plochu S1 zcela obklopenou plochou osálanou S2 S ϕ 12 = 1 , ϕ 21 = 1 S2
C12 =
1 1 S1 ⎛ 1 1 ⎞ + ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟ C1 S 2 ⎝ C2 C0 ⎠
Rovnici (14.12) lze dále upravit do tvaru
Q& = C12 ⋅ ξ ⋅ ϕ12 ⋅ S1 ⋅ (T1 − T2 )
(14.15)
kde ξ [K3] je teplotní součinitel 4
⎛ T1 ⎞ ⎛ T2 ⎞ ⎟ ⎟ −⎜ ⎜ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠ ⎝ ξ= T1 − T2
4
(14.16)
Rovnici (14.15) můžeme upravit na tvar analogický s rovnicí pro přenos tepla konvekcí, označíme-li součin (C12·ξ ·ϕ 12) jako součinitel přenosu tepla radiací hr [W·m–2·K–1]: Q& = hr ⋅ S1 ⋅ (T1 − T2 )
(14.17)
14.4 Současný přenos tepla konvekcí a radiací Při kombinaci konvekce a radiace je celkový tepelný tok uvolňovaný z povrchu tělesa dán součtem dílčích složek Q& = hk ⋅ S ⋅ (Ts − Ta ) + hr ⋅ S ⋅ (Ts − Tr )
(14.18)
kde hk [W·m–2·K–1] je součinitel přenosu tepla konvekcí, hr = C12·ξ ·ϕ 12 [W·m–2·K–1] je součinitel přenosu tepla radiací, S [m2] teplosměnná plocha (povrch tělesa), Ts teplota povrchu tělesa, Ta teplota vzduchu (nebo jiného plynu) a Tr teplota povrchu, na který těleso vyzařuje teplo. Teploty mohou být dosazeny v K nebo °C. Nutnou podmínkou je samozřejmě průteplivé prostředí v okolí tělesa (např. ve vodě k přenosu tepla radiací nemůže dojít). Typickým případem současného přenosu tepla konvekcí a radiací v budově je otopná plocha v podobě rovinné svislé desky, z níž se uvolňuje tepelný tok do prostoru vytápěné místnosti (obr. 14.5). Srovnatelný význam zde má přirozená konvekce mezi deskou a okolním vzduchem i sálání z desky na stěny obklopující místnost, příp. jiné povrchy v místnosti. Protože veškerý tepelný tok sáláním vycházející z povrchu desky dopadne na stěny místnosti, je úhlový součinitel osálání φ12 = 1. Obr. 14.5
89
Jako teplota Tr se dosazuje střední radiační teplota stěn místnosti (dříve účinná teplota okolních ploch) Tr = 4
∑ϕ
j
⋅ T j4
(14.19)
j
kde ϕ j [-] je součinitel osálání hodnoceného povrchu vůči j-té stěně (platí ∑ϕ j = 1) a Tj [K] je termodynamická teplota povrchu j-té stěny. Je-li střední radiační teplota alespoň přibližně rovna průměrné teplotě vzduchu v místnosti (Tr ≈ Ta), můžeme výsledný tepelný tok vypočítat podle vztahu Q& = ( hk + hr ) ⋅ S ⋅ ( Ts − Ta )
(14.20)
kde (hk + hr) je tzv. kombinovaný součinitel přenosu tepla. Hodnoty kombinovaných součinitelů konvekcí a radiací se běžně používají ve výpočtech tepelných toků v budovách podle technických norem. Pro posouzení současného účinku konvekce a sálání na člověka ve vnitřním prostoru se používá operativní teplota, která je definována jako jednotná teplota černého uzavřeného prostoru (tj. prostoru o stejné teplotě vzduchu i stejné střední radiační teplotě), ve které by tělo sdílelo konvekcí i sáláním stejné množství tepla jako ve skutečném, teplotně nesourodém prostředí. Operativní teplota To se vypočte z teploty vzduchu Ta a střední radiační teploty Tr stěn podle vztahu To =
hk Ta + hr Tr hk + hr
(14.21)
kde teploty můžeme dosadit a počítat v K nebo °C.
14.5 Sluneční záření Teplota povrchu Slunce je přibližně 5760 K a považujeme ho za dokonale černý. Intenzita tepelné radiace na slunečním povrchu je asi 62,4 MW/m2. Na cestě k Zemi není solární radiace pohlcována, ovšem její intenzita klesá se čtvercem vzdálenosti (~ 1/r2) od Slunce. Na vnější hranici zemské atmosféry dopadá průměrně 1367 W/m2 – tuto hodnotu označujeme jako solární konstantu GSC (ve skutečnosti během roku kolísá v rozsahu ±3 %). Atmosféra Země průměrně odrazí 34 % energie sluneční radiace zpět do vesmíru, 19 % pohltí, 47 % dopadá na zemský povrch. Sluneční záření procházející atmosférou se částečně rozptyluje odrazem od různých částic, pevných nebo kapalných, obsažených v ovzduší. Tímto rozptylem se celková radiace rozdělí na část přímou, která má směrový charakter (jejím typickým projevem je vrhání stínu), a část difúzní neboli všesměrovou. Poměr přímé a difúzní složky radiace závisí na zeměpisné poloze, nadmořské výšce, oblačnosti a čistotě ovzduší. Sluneční radiace přenáší tepelnou energii v celém spektru vlnových délek, nejvýznamnější jsou však vlnové délky 0,1 až 1000 μm: podíl na přenosu energie (tvrdé záření – paprsky γ, X) – 9% UV záření (λ od 0,1 μm) viditelné světlo (λ = 0,39 až 0,76 μm) 38 % IR a mikrovlnné záření (λ až do 1 mm) 53 % (rádiové vlny) –
90
Intenzita (hustota) tepelného toku sluneční radiací, který dopadá na obecnou rovinu, se nazývá sluneční ozáření G [W/m2]. Stejně jako sluneční radiace má G dvě složky – přímé ozáření Gb (index z angl. beam) a difúzní ozáření Gd (diffuse). Celková hustota tepelného toku sluneční radiací dopadající na vodorovnou rovinu je globální ozáření Gh (horizontal), pro rovinu kolmou na směr paprsků je to Gn (normal). Solární geometrie Pod pojmem solární geometrie rozumíme popis vzájemné polohy Slunce a osluněné plochy, kterou pro jednoduchost budeme uvažovat jako rovinnou stěnu. Tato vzájemná poloha je popsána čtyřmi úhly (obr. 14.6): - azimutem Slunce γs [°], - výškou Slunce na obzorem h [°], - azimutem (orientací) osluněné stěny γ [°], - sklonem osluněné stěny β [°].
n
θ h
β
γs J
γ
Obr. 14.6 – Základní úhly solární geometrie Azimut je úhel, který určuje polohu vzhledem ke světovým stranám. Měří se buď od jihu (obvyklý postup v solární technice) nebo od severu. Azimut Slunce se mění během dne, zdánlivý pohyb Slunce po obloze lze popsat v návaznosti na čas. Uvažujeme otočení Země o 360° za 24 hodin, tzn. že na 1 hodinu času připadá azimutový úhel 15°. Slunce je přesně na jihu ve 12.00 slunečního času; přibližně to platí ve standardním čase † , jestliže jsme na referenčním poledníku příslušného časového pásma (např. azimut Slunce ve 12.00 bude jiný v Praze než v Ostravě). Odchylka slunečního a standardního času kolísá během roku a činí až ±16 minut. Výška Slunce nad obzorem je úhel, který svírá polopřímka vedená od stěny ke Slunci s vodorovnou rovinou. Výška nad obzorem h závisí na zeměpisné šířce, sluneční deklinaci (ta se mění během roku) a na slunečním čase. Lze ji vypočítat pro jakýkoliv okamžik v roce standardním postupem, jehož podrobnosti jsou nad rámec tohoto výkladu.
†
Standardní čas je určen časovým pásmem, např. ČR má časové pásmo s referenčním poledníkem 15° východní délky stejně jako většina zemí EU. Standardní čas odpovídá tzv. zimnímu času, letní čas ČR je posunutý o +1 h.
91
Azimut stěny (orientace stěny) se měří jako úhel, který svírá normála stěny (v obrázku označená n) se zvoleným směrem světové strany (severem nebo jihem), stejným jako pro měření azimutu Slunce. Sklon stěny je úhel mezi stěnou a vodorovnou rovinou. U svislých stěn budov je β = 90°, u vodorovné střechy je β = 0°. Výsledkem rozboru vzájemné polohy Slunce a osluněné stěny je hodnota úhlu dopadu slunečních paprsků θ . Je to úhel, který svírá normála stěny se směrem polopřímky vedené od stěny ke Slunci. Jestliže dopadají paprsky kolmo na stěnu, je θ = 0°, jestliže mají paprsky tečný směr ke stěně, je θ = 90°. Úhel dopadu je rozhodující pro výpočet účinku směrové neboli přímé složky radiace, avšak pro difúzní radiaci závislost na úhlu dopadu nemá význam. Celkové ozáření obecně orientované stěny je G = Gbn ·cos θ + Gds + Gdr
(14.22)
kde Gbn je přímé ozáření roviny kolmé k paprskům, θ je úhel dopadu, Gds difúzní ozáření od oblohy a Gdr difúzní ozáření odražené od okolních ploch. Pro složky difúzního ozáření stěny o sklonu β platí † ⎛ 1 + cos β ⎞ Gds = Gdh ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝
(14.23)
⎛ 1 − cos β ⎞ Gdr = ρ g ⋅ Gh ⋅ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
(14.24)
kde Gdh je difúzní a Gh globální ozáření vodorovné plochy a ρg je albedo (součinitel odrazivosti zemského povrchu), jehož průměrná hodnota je 0,2 (ale např. pro čerstvě zasněžené plochy je 0,87). Maximální hodnoty intenzity celkové sluneční radiace na vodorovnou plochu dosahují na území ČR v letních měsících 800 až 1000 W/m2.
†
Vztah (14.23) vyplývá z izotropického modelu difúzního záření oblohy, používají se i neizotropické modely.
92
15. ZÁKLADY TEPELNÉ TECHNIKY STAVEB Tepelné toky stavebními konstrukcemi jsou výsledkem neustále probíhající interakce mezi budovou, v ní přítomnými osobami, zařízením techniky prostředí (větrání, vytápění, klimatizace, osvětlení) a jeho regulačním systémem, dalším technickým zařízením jako je kancelářská technika apod. a vnějším prostředím. Protože ani jeden z uvedených subsystémů nepracuje nezávisle na čase, v budově se prakticky nesetkáme s ustáleným a tedy ani energeticky rovnovážným stavem. Nejdůležitějšími parametry vnějšího prostředí z hlediska tepelných zátěží či tepelných ztrát budovy nebo potřeby energie na vytápění a chlazení jsou - solární radiace (přímé a difúzní ozáření), - teplota vzduchu, - vlhkost vzduchu, - rychlost a směr větru. Největší vliv na tepelné chování budovy má jednoznačně sluneční záření. Na obr. 15.1 je schematicky znázorněna interakce solární radiace s budovou. Záření dopadající na neprůsvitnou stěnu (1) se částečně odráží, zbytek je pohlcen ve stěně, která se tím ohřívá. Takto přijaté teplo je dále přenášeno ve stěně vedením a rovněž se uvolňuje zpět do exteriéru konvekcí (příp. sáláním). Zvýšení teploty stěny u vnějšího povrchu může v závislosti na dalších podmínkách znamenat intenzivnější prostup tepla do interiéru (tj. zvýšenou tepelnou zátěž) nebo snížení tepelné ztráty místnosti.
radiace dopadající na stěnu odražená radiace pohlcená radiace (vedení tepla) konvekce
d
c e
Obr. 15.1 – Interakce solární radiace s budovou Záření dopadající na průsvitné stěny (2) – např. zasklení oken, světlíků, plně prosklené fasády apod. – se částečně odráží, částečně pohlcuje a obvykle jeho největší část prochází transparentním materiálem do interiéru. Radiace prostupující do interiéru (3), dopadá na různé povrchy – podlahu, svislé stěny, nábytek atd. Při dopadu na povrch neprůsvitného tělesa nebo stěny místnosti se opět radiace částečně odrazí a částečně pohltí. Teplo z pohlcené radiace se s větším nebo menším zpožděním (vliv akumulace tepla) uvolní konvekcí do vnitřního vzduchu a sáláním přenese na ostatní povrchy v místnosti.
93
15.1 Tepelné zisky průsvitnými stěnami (zasklením) Sluneční radiace dopadající na průsvitnou stěnu (většinou se jedná o zasklení) se částečně odráží zpět do venkovního prostoru, částečně pohlcuje ve stěně, zbytek prochází stěnou do vnitřního prostoru. Pro relativní podíly odražené (index R), pohlcené (A) a prostupující (T) radiace platí
1=
q& R q& A q& T + + = ρs + α s +τ s q& q& q&
(15.1)
kde ρs, αs, τ s jsou bezrozměrné součinitele odrazivosti, pohltivosti a propustnosti zasklení pro sluneční radiaci. Tyto součinitele jsou obecně závislé na úhlu dopadu slunečních paprsků měřeného od normály povrchu zasklení (obr. 15.2). 1
0.8
τ +αi
τ
0.6
0.4
ρ
0.2
α
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
úhel dopadu [°]
Obr. 15.2 – Úhlová závislost tepelně-optických vlastností etalonu zasklení propustnost τ (žlutá), odrazivost ρ (modrá), pohltivost α (fialová), celková energetická propustnost (červená)
Radiace pohlcená sklem se přemění na teplo, které se uvolňuje konvekcí do vzduchu. Součinitel pohltivosti αs můžeme rozdělit na část αsi vyjadřující sekundární tepelný tok konvekcí do vnitřního vzduchu a část αse odpovídající části tepelného toku, který se uvolňuje do venkovního vzduchu. Platí
α s = α si + α se
(15.2)
α si hi = α se he
(15.3)
kde hi, he [W·m–2·K–1] jsou kombinované součinitele přenosu tepla konvekcí a sáláním na vnitřní a vnější straně skla. Součet propustnosti τ s a součinitele sekundární konvekce "dovnitř" αsi se nazývá celkovou tepelnou propustností, v podkladech výrobců označovanou g (g-Wert), SF (solar factor), SHGC (solar heat gain coefficient). Vztahy pro bilanci sluneční radiace na zasklení jsou stanoveny pro tzv. etalon zasklení, jímž je jednoduché, 3 mm silné, čiré sklo. Celková tepelná propustnost etalonu skla pro přímou sluneční radiaci je směrově závislá podle vztahu: ⎛ θ ⎞ (τ + α i )b, et = 0,87 − 1,47 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠
5
(15.4)
94
kde θ [°] je úhel dopadu slunečních paprsků měřený od normály povrchu. Celková tepelná propustnost etalonu skla pro difúzní sluneční radiaci se uvažuje jako konstantní: (τ + α i ) d, et = 0,85
(15.5)
Hustota tepelného toku způsobeného solární radiací prostupující a pohlcovanou etalonem zasklení je
q&rad , et = (τ + α i )b, et ⋅ Gbn cosθ + 0,85 ⋅ Gd
(15.6)
Vlastnosti skutečného zasklení, odlišného od etalonu (např. reflexní sklo, více skleněných tabulí, zasklení se žaluziemi atd.), se počítají pomocí tzv. stínicích součinitelů. Tepelný tok způsobený slunečním ozářením skutečného zasklení o ploše S [m2] je dán součtem toku tepla přes přímo osluněnou plochu So [m2] (nezastíněnou část, na kterou dopadá přímá i difúzní radiace) a část zastíněnou (S – So), na kterou dopadá pouze difúzní radiace. Celkový tepelný tok pak je
[
]
Q& rad = S o ⋅ q& rad,et + ( S − S o ) ⋅ 0,85 ⋅ Gd ⋅ s
(15.7)
kde s [-] je výsledný stínící součinitel, který získáme jako součin dílčích stínicích součinitelů jednotlivých prvků daného zasklení s = s1 ⋅ s 2 ⋅ s3 ⋅ ... ⋅ s n
(15.8)
Např. dvojité zasklení složené z běžného reflexního skla na vnější straně a čirého skla na straně vnitřní (s1 = 0,6), navíc s vnitřní žaluzií světlé barvy (s2 = 0,56) bude mít výsledný stínící součinitel s = 0,6·0,56 = 0,336, tzn. že jím bude procházet méně než 34 % tepelného toku, který projde etalonem zasklení za stejných podmínek. Kromě prostupu solární radiace zasklením dochází také k prostupu tepla, který je způsoben vedením, konvekcí a sáláním jednotlivých vrstev dané konstrukce. Pro výpočet tepelného toku zasklením, který se někdy poněkud zmateně označuje jako „prostup tepla konvekcí“, platí Q& = U g ⋅ S ⋅ (Te − Ti )
(15.9)
kde Te a Ti [K; °C] jsou teploty venkovního a vnitřního vzduchu, S [m2] je plocha zasklení a Ug [W·m–2·K–1] je součinitel prostupu tepla. U dvojitého zasklení oken se dnes běžně dosahuje hodnoty Ug = 1,0 až 1,2 W·m–2·K–1 (hodnota pro zasklení bez vlivu rámu okna).
15.2 Prostup tepla vnějšími neprůsvitnými stěnami Z kap. 11 víme, že tepelný tok při prostupu tepla stěnou počítáme z rozdílu teplot tekutin na obou stranách stěny. Tento způsob výpočtu se používá i u stěn budovy, kdy uvažujeme vedení tepla ve stěně a přenos tepla konvekcí a sáláním na obou stranách stěny. Přestup tepla mezi stěnou a okolním prostředím charakterizují kombinované součinitele přestupu tepla hi a he. Podle starších norem (např. ČSN 730548) jsou hodnoty kombinovaných součinitelů přestupu tepla pro svislé stěny: hi = 8 W/(m2·K)
vnitřní stěny vnější stěny
v létě
he = 15 W/(m2·K)
v zimě
he = 23 W/(m2·K)
95
Poslední verze ČSN 730540-3 (2005) udává v příloze J návrhové hodnoty odporů při přestupu tepla (v posledním sloupci tabulky jsou přibližné hodnoty odpovídajících součinitelů přestupu tepla, které ovšem norma neuvádí): svislé vnitřní stěny
vnější stěny a b
vodorovné
Ri = 0,13 m2·K/W
hi = 7,7 W/(m2·K)
a
hi = 10 W/(m2·K)
Ri = 0,1 m2·K/W
b
Ri = 0,17 m2·K/W
hi = 5,9 W/(m2·K)
v létě
Re = 0,07 m2·K/W
he = 14,3 W/(m2·K)
v zimě
Re = 0,04 m2·K/W
he = 25 W/(m2·K)
pro tepelný tok zdola nahoru pro tepelný tok shora dolů
Do přestupu tepla na vnějším povrchu stěny budovy je třeba započítat vliv solární radiace (viz obr. 15.1). Chceme-li zachovat koncepci výpočtu tepelného toku ze součinitele prostupu tepla a rozdílu teplot (jako v rovnici 15.9), je nutné působení solární radiace zahrnout do upravené teploty venkovního vzduchu. Na povrch stěny dopadá sluneční radiace, jejíž intenzitu vyjadřuje hodnota celkového ozáření (přímého + difúzního) G [W/m2]. Ozáření pohlcené stěnou (αs·G) se přemění v teplo, které způsobí zvýšení teploty vnějšího povrchu Ts nad hodnotu teploty venkovního vzduchu Te. Proto se část tepla uvolňuje konvekcí ze stěny do venkovního vzduchu. Kombinovaný přenos tepla radiací a konvekcí na vnějším povrchu stěny vyjádříme jako konvekci při myšlené zvýšené teplotě vzduchu Trs – tzv. rovnocenné sluneční teplotě. Z bilance tepelných toků radiací a konvekcí vyplývá q& rad − q& konv = he (Trs − Ts )
(15.10)
α s G − hk (Ts − Te ) = he (Trs − Ts )
(15.11)
odkud dostaneme vztah pro výpočet rovnocenné sluneční teploty Trs = Te +
αs ⋅G
(15.12)
he
Zvýšení Trs nad teplotu vzduchu Te může dosáhnout až několika desítek °C. Denní kolísání teploty venkovního vzduchu Kolísání teploty vzduchu je ovlivněno především solární radiací ale i dalšími meteorologickými jevy (oblačnost, vítr, srážky). Skutečný průběh teploty vzduchu se nahrazuje harmonickou funkcí Te = Te ,max − A ⋅ [1 − sin (15 ⋅ t − 135 )]
(15.13)
kde Te [°C] je okamžitá hodnota teploty venkovního vzduchu, Te,max [°C] maximální denní teplota vzduchu, A [°C] amplituda kolísání, t [h] standardní čas. Při výpočtu tepelné zátěže podle ČSN 73 0548 se uvažuje návrhový den s maximální teplotou vzduchu Te,max = 30°C a amplitudou denního kolísání A = 7 °C. Z obr. 15.3 (na další straně) je zřejmé, že podle tohoto modelu nastává minimální teplota ve 3 hodiny ráno, maximální v 15 hodin odpoledne. Výhodou popisu Te harmonickou funkcí je možnost řešení nestacionárního prostupu tepla stěnou budovy analytickými metodami.
96
32 30 28
teplota [°C]
26 24 22 20 18 16 14 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
čas [h]
Obr. 15.3 – Harmonický průběh teploty vzduchu během letního návrhového dne (ČSN 73 0548) Jak ukazuje obr. 15.4, skutečný průběh teploty Te se bude i za jasného dne lišit od vztahu (15.13) prudším nárůstem v dopoledních hodinách (důsledek ohřevu atmosféry solární radiací), zpožděním okamžiku maxima teploty (nastane cca v 16 hodin), pomalejším poklesem teploty vzduchu v odpoledních a nočních hodinách a konečně zpožděním okamžiku minima teploty (cca v 5 až 6 hodin ráno), což je vesměs způsobeno akumulací tepla ze solární radiace v zemském masivu. Během dne s proměnnou oblačností, příp. s výskytem srážek, se může reálný proběh Te lišit od harmonické funkce (15.13) mnohem více než na obr. 15.4. 31 29
teplota [°C]
27 25 23 21 19 17 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
čas [h]
Obr. 15.4 – Průběh teploty vzduchu harmonický (modře) a skutečný (červeně) při stejném extrému a stejné střední hodnotě za 24 hodin Prostup tepla stěnou při kolísání teplot Nejčastějším případem teplotních podmínek na stěnách budov je kolísání teploty v čase, které vyvolává nestacionární vedení tepla. Každé nestacionární vedení tepla je provázeno akumulací tepla v materiálu stěny, což se projevuje útlumem amplitudy a časovým posunutím průběhů teplot a tepelných toků ve stěně oproti průběhům na jejím povrchu.
97
Kolísání teplot vzduchu u vnějšího a vnitřního povrchu stěny lze přibližně nahradit harmonickými periodickými funkcemi, příp. jejich kombinací. Při periodickém kolísání teploty vzduchu závisí útlum a posunutí kolísání ve stěně na její tepelné jímavosti
s=
2π λ ⋅ ρ ⋅cp t0
(15.14)
kde t0 [s] je perioda kolísání (např. 1 den = 24 h × 3600 s), λ [W·m-1·K-1] je součinitel tepelné vodivosti, ρ [kg·m-3] hustota a cp [J·kg-1·K-1] měrná tepelná kapacita materiálu stěny. Zda jsou útlum a časové posunutí teplot proti tepelným tokům ve stěně významné nebo ne, ukazuje součin tepelné jímavosti s [W·m–2·K–1] a tepelného odporu R [m2·K·W–1]. Pro R·s ≤ 1 považujeme stěnu za lehkou, u které se útlum a časové posunutí kolísání teplot či tepelných toků zanedbává a prostup tepla lze počítat z okamžitých okrajových podmínek (podmínce odpovídá zhruba stěna z plných cihel do tloušťky 8 cm). Naopak pro stěnu velmi těžkou, která má R·s > 5 (např. stěna z plných cihel o tloušťce 45 cm), je útlum kolísání teplot ve stěně tak velký, že lze prostup tepla počítat jako stacionární z průměrných okrajových podmínek za dobu periody t0. U středně těžkých stěn, jejichž R·s leží ve výše uvedených mezích, je nutné uvažovat částečný útlum amplitudy a časový posun kolísání teplot a tepelných toků. Jako názorný příklad rozdílného chování při denním kolísání teplot (s periodou 24 hodin) uvažujme dvě různé stěny se stejným tepelným odporem: a) stěna z cihel (tloušťka δ = 30 cm, λ = 0,7 W·m-1·K-1, ρ = 1800 kg·m-3, c = 850 J·kg-1·K-1) má tepelný odpor R = 0,429 m2·K·W-1 a tepelnou jímavost s = 8,825 W·m-2·K-1, takže R·s = 3,8 (stěna se chová jako středně těžká). b) stěna z polystyrenu (δ = 19 mm, λ = 0,045 W·m-1·K-1, ρ = 100 kg·m-3, c = 660 J·kg-1·K-1) má stejnou hodnotu R, avšak výrazně nižší tepelnou jímavost s = 0,465 W·m-2·K-1, takže R·s = 0,2 (lehká stěna). V letních podmínkách a při konstantní teplotě vnitřního vzduchu (klimatizovaná místnost) dochází ve stěně z cihel k výraznému útlumu amplitudy a časovému zpoždění tepelného toku za teplotou téměř o 10 hodin, takže např. maximální teplota venkovního vzduchu, která nastává v 15 hodin, ovlivňuje tepelný tok až v 1 hodinu po půlnoci. Naproti tomu stěna z polystyrenu tlumí kolísání teplot málo a časové zpoždění max. tepelného toku za max. venkovní teplotou u ní činí pouze 2,75 minuty a je tedy zcela zanedbatelné.
15.3 Vzájemné sálání Země a oblohy Sálání Země i oblohy lze přibližně považovat za sálání šedých těles o povrchové teplotě Tz (Země) a Tatm (atmosféra). Výpočtová teplota Tatm (někdy uváděná jako účinná teplota oblohy) stejně jako poměrná tepelná zářivost atmosféry εatm jsou závislé na obsahu vodní páry (99 % sálání atmosféry způsobují 3-atomové plyny, především páry H2O). Bilance tepelných toků sáláním při jasné obloze dává výsledek 60 až 90 W/m2 ve prospěch Země, tj. převládá tepelný tok směrem od Země k obloze. Povrchy budov (především střech) sálají podobně jako povrch Země, případně s větší intenzitou kvůli vyšší povrchové teplotě. Za jasné noci lze účinek sálání povrchů na Zemi proti obloze "simulovat" výpočtovou teplotou vzduchu sníženou o 3 až 4 K. Sálání zatažené oblohy je větší, než když je jasno, takže se vzájemné tepelné toky Země a oblohy tolik neliší a výsledné ochlazování země je méně intenzívní.
98
16. VÝMĚNÍKY TEPLA 16.1 Základní pojmy Výměníky tepla slouží k ohřevu nebo ochlazování tekutin, v zařízeních pro větrání a klimatizaci k ohřevu nebo chlazení vzduchu, případně k úpravě jeho vlhkosti. Podle způsobu, jímž se přenáší teplo, rozlišujeme výměníky - rekuperační, u nichž jsou obě tekutiny stále odděleny pevnou stěnou, přes kterou teplo prostupuje z teplejší tekutiny do chladnější. Příkladem jsou kapalinové ohřívače či chladiče vzduchu. - regenerační, kde přenos tepla zprostředkuje akumulační hmota, střídavě obtékaná oběma tekutinami, mezi kterými může docházet i k přenosu hmoty (např. vlhkosti vzduchu). Příkladem jsou rotační výměníky pro zpětné získávání tepla. - směšovací (kontaktní), ve kterých se obě tekutiny (většinou vzduch a voda) dostávají do přímého styku, přičemž vždy dochází k současnému přenosu tepla a hmoty (vlhkosti). Příkladem může být polytropická pračka vzduchu. Parametry výměníku, které zjišťujeme výpočty, lze seskupit do tří oblastí: - tepelné – teplosměnná plocha, výkon a termická účinnost, vstupní a výstupní teploty tekutin apod.; - hydraulické – nutné pro dimenzování čerpadel a ventilátorů a pro odhad provozních nákladů; - pevnostní – důležité zejména u výměníků pracujících při vyšších tlacích. Bilance tepelných toků ve výměníku vychází z předpokladu, že veškeré teplo odevzdané teplejší tekutinou se předává tekutině chladnější, únik tepla mimo výměník se zanedbává. Platí tedy základní bilanční rovnice (indexy 1 a 2 označují tekutiny, mezi nimiž se přenáší teplo): Q& = Q& (16.1) 1
2
Tepelný výkon na straně ochlazované tekutiny Q& 1 [W] a tepelný příkon na straně ohřívané tekutiny Q& 2 [W] vyjádříme z energetické rovnice pro 1D stacionární proudění (kap. 7), a to bez přenosu technické práce a se zanedbatelnou změnou kinetické energie tekutiny mezi vstupem a výstupem: Q& = M& ⋅ c ⋅ ΔT (16.2) 1
1
p1
1
Q& 2 = M& 2 ⋅ c p 2 ⋅ ΔT2
(16.3)
kde M& [kg·s-1] je hmotnostní průtok, cp [J·kg-1·K-1] měrná tepelná kapacita (při stálém tlaku), ΔT [°C] kladný rozdíl vstupní a výstupní teploty. Tepelná účinnost (účinnost přenosu tepla) η [–] výměníku je dána poměrem jeho skutečného výkonu Q& k teoreticky možnému výkonu Q& max . Tohoto maximálního výkonu bychom dosáhli využitím maximálního rozdílu teplot tekutin, který máme na výměníku k dispozici, což je rozdíl vstupních teplot obou tekutin: C&1 ⋅ ΔT1 C& 2 ⋅ ΔT2 Q& η= = = (16.4) Q& C& ⋅ ΔT C& ⋅ ΔT max
min
max
min
max
kde C&1 = M& 1 · c p1 a C& 2 = M& 2 · c p 2 [J·s-1·K-1] jsou průtočné tepelné kapacity tekutin, ΔT1 a ΔT2 jsou teplotní rozdíly na obou stranách výměníku, C& [J·s-1·K-1] je menší z obou průtočných min
tepelných kapacit, ΔTmax = ΔT ′ je rozdíl vstupních teplot obou tekutin. Představa teoretického výměníku s maximálním možným výkonem bude upřesněna dále.
99
16.2 Rekuperační výměníky Konstrukce rekuperačních výměníků závisí mimo jiné na použitých teplonosných látkách. U trubkových (plášťových) výměníků (obr. 16.1) jedna tekutina obtéká soustavu trubek, jimiž protéká druhá tekutina. S trubkovými výměníky se v technice prostředí setkáme nejčastěji u zásobníků na teplou užitkovou vodu (TUV). Lamelové výměníky (obr. 16.2) pro tepelnou úpravu vzduchu mají nejčastěji měděné trubky opatřené hliníkovými lamelami. Hladké trubky se používají prakticky pouze v případech, kdy vzduch obsahuje velké množství prachu a hrozilo by zanesení lamel výměníku na straně vzduchu. Deskové výměníky (obr. 16.3) jsou vhodné i pro případy, kdy po obou stranách teplosměnné plochy proudí vzduch.
Obr. 16.1 – Řez trubkovým výměníkem (vpravo) a zásobníkem TUV (vlevo)
Obr. 16.2 – Lamelové výměníky(ohřívače nebo chladiče vzduchu)
Obr. 16.3 – Deskové výměníky (vlevo vzduchový, vpravo kapalinový)
100
Tepelné vlastnosti výměníku závisí mj. na tom, jak jím proudí tekutiny. Krajními možnostmi jsou případy souproudého a protiproudého výměníku, pro něž jsou znázorněny průběhy teplot na následujících obrázcích. Jako příklad jednoduchého konstrukčního řešení je schematicky zobrazen výměník „trubka v trubce“. T1′ T1′′
δ1 = ΔT ′
ΔT1
δ 2 = ΔT ′′ T2′′
ΔT2
T2′
Obr 16.4 – Schéma a průběh teplot souproudého výměníku T1′
δ1 ΔT2
ΔT1 T2′′
ΔT ′
T1′′
δ2 T2′
Obr 16.5 – Schéma a průběh teplot protiproudého výměníku Označení teplot a teplotních rozdílů: T 1′ a T1′′ vstupní a výstupní teplota ochlazované tekutiny; T 2′ a T2′′ vstupní a výstupní teplota ohřívané tekutiny; ΔT ′ a ΔT ′′ rozdíly vstupních a výstupních teplot; ΔT1 a ΔT2 změny teploty (teplotní spády) tekutin 1 a 2. Výkon výměníku, který se uskutečňuje prostupem tepla přes stěnu oddělující obě tekutiny, závisí mj. na rozdílu teplot tekutin neboli teplotnímu spádu |T1 – T2|, který je však v různých místech výměníku různý (viz výše uvedené grafy průběhu teplot). Integrací dílčích tepelných toků přes celou teplosměnnou plochu dostáváme rovnici prostupu tepla při tzv. středním logaritmickém teplotním spádu:
Q& = k ⋅ S ⋅ ΔTm
(16.5)
kde Q& [W] je tepelný tok (výkon), k [W·m–2·K–1] součinitel prostupu tepla, S [m2] teplosměnná plocha výměníku a ΔTm [°C] střední logaritmický teplotní spád, který je definován jako δ −δ2 ΔTm = 1 (16.6) ln (δ 1 δ 2 ) kde δ1 [°C] a δ2 [°C] jsou rozdíly teplot na jedné a druhé straně výměníku – viz výše uvedené diagramy na obr. 16.4 a 16.5. Zároveň platí, že výkon výměníku je roven tepelnému toku sdílenému mezi oběma tekutinami:
Q& = Q&1 = Q& 2
(16.7)
101
Zvláštním případem jsou výměníky, v nichž se na jedné straně mění skupenství tekutiny z kapaliny na páru nebo naopak – kondenzátory a výparníky (např. domácí chladnička). Zde se využívá sdílení tepla nutného k přeměně skupenství při stálé teplotě (kondenzace syté páry nebo vypařování syté kapaliny). Je-li na jedné straně výměníku tekutina měnící své skupenství při stálé teplotě, bude např.
Q& 1 = M& 1 ⋅ l 1
(16.8)
kde M& 1 [kg·s-1] je hmotnostní průtok a l 1 [J·kg-1] je měrné teplo skupenské změny. T1 = konst.
δ 2 = ΔT ′′ T2′′
δ 1 = ΔT ′
ΔT2 T2′
Obr 16.6 – Průběh teplot u výměníku se změnou skupenství na jedné straně Vraťme se nyní k virtuálnímu výměníku, který by dokázal využít maximální dostupný rozdíl teplot, tj. rozdíl ΔT ′ mezi teplotami tekutin na přívodu do výměníku. Můžeme si jej představit jako výměník typu „trubka v trubce“ v protiproudém uspořádání, ovšem nekonečně dlouhý. Pak totiž může např. teplota T1″ ochlazované tekutiny na výstupu z výměníku klesnout až na hodnotu teploty T2′ohřívané tekutiny na vstupu do výměníku a ochlazovaná tekutina „využije“ celý dostupný rozdíl teplot: ΔT1 = ΔTmax = ΔT ′. Jednoduchou úvahou lze ukázat, že tekutina, která mění svoji teplotu v celém dostupném rozsahu ΔTmax, musí mít zároveň menší průtočnou tepelnou kapacitu. Protože i u tohoto virtuálního výměníku musí být součin průtočné tepelné kapacity a rozdílu teplot (tj. výkon) stejný na obou stranách, platí
Q& max,1 = Q& max,2 C& ⋅ ΔT = C& min
max
(16.9)
max ⋅ ΔTmin
kde ΔT značí rozdíl teplot jedné či druhé tekutiny. Je zřejmé, že při zachováni rovnosti výkonů a přiřazení větší průtočné tepelné kapacity tekutině, která mění teplotu v maximálním rozsahu, bychom obdrželi
C& max ⋅ ΔTmax = C& min ⋅ ΔT ∗
(16.10)
kde ΔT * by muselo být větší než ΔTmax, což ovšem není možné ani teoreticky. Za stejných podmínek a pro tentýž tepelný výkon má protiproudý výměník největší ΔTm a nejmenší teplosměnnou plochu S, souproudý výměník má nejmenší ΔTm a největší S. Většina rekuperačních výměníků používaných ve větrácích a klimatizačních zařízeních má křížové uspořádání proudů, takže jejich ΔTm a S leží mezi krajními hodnotami pro souproudý a protiproudý výměník, což vyjadřuje bezrozměrná tvarová charakteristika:
A=
ΔTm − ΔTS ΔTP − ΔTS
(16.11)
kde ΔTm je stř. log. teplotní spád daného výměníku, ΔTS je stř. log. teplotní spád souproudého výměníku a ΔTP stř. log. teplotní spád protiproudého výměníku. Platí 0 ≤ A ≤ 1, pro souprou-
102
dý výměník je A = 0 a pro protiproudý výměník je A = 1. Lamelové výměníky v závislosti na počtu tahů trubek dosahují až vlastností protiproudého uspořádání (A roste s rostoucím počtem tahů). Plášťové trubkové výměníky umožňují promíchávání tekutin na jedné nebo obou stranách teplosměnné plochy a mají A poněkud nižší. Pro navrhování a přepočty provozních stavů výměníků se používají bezrozměrné závislosti (často v grafické podobě – nomogramy) η = f (NTU, μ), kde tepelná charakteristika (number of transfer units)
k ⋅ S η ⋅ ΔT ′ NTU = & = Cmin ΔTm
(16.12)
a průtoková charakteristika
C&
μ = & min C
(16.13)
max
U chladičů vzduchu dochází při kondenzaci vlhkosti k intenzivnějšímu přestupu tepla (sdílí se navíc latentní teplo). Zvyšují se tyto parametry na straně vzduchu: hk → ε ⋅ hk , - součinitel přestupu tepla - průtočná tepelná kapacita C& → ε ⋅ C& , a
a
kde součinitel zvýšení tepelného toku ε > 1 je roven poměru tepla celkového (citelného + latentního) a tepla citelného:
ε=
i − i′p′ qcit + qlat ≈ qcit ca ⋅ (T − Tp )
(16.14)
kde i [J·kg-1] je měrná entalpie vzduchu, T [°C] teplota vzduchu, ca [J·kg-1·K-1] měrná tepelná kapacita vzduchu, p je index označující stav na povrchu chladiče, kde dochází ke kondenzaci vlhkosti.
16.3 Regenerační výměníky Konstrukčně mohou být řešeny jako rotační výměníky, u nichž je akumulační hmota ve tvaru nízkého válce o průměru až několik metrů, s drobnými kanálky, který kontinuálně rotuje mezi dvěma proudy vzduchu (např. čerstvým a odpadním). Další možností jsou přepínací výměníky, kdy se do pevné akumulační hmoty přes klapkovou skříň střídavě pouští ochlazovaný (odpadní) a ohřívaný (čerstvý) vzduch. Výměníky mohou přenášet pouze citelné teplo (akumulační hmota je obvykle hliníková nebo keramická), současně citelné teplo i vlhkost (entalpické rotory s akumulační hmotou pokrytou např. silikagelem nebo metalsilikátem) nebo jsou primárně určené pro odvlhčování (sorpční či desikační rotory). Nutnost aplikace těchto výměníků ve vzduchotechnických systémech vyplývá z energetických ztrát spojených s větráním staveb. Do budovy je nutno především z hygienických důvodů přivádět čerstvý venkovní vzduch, což znamená zvýšenou spotřebu tepla v zimě nebo chladu v létě. V zimním období využíváme teplo ze vzduchu odváděného z vytápěného prostoru k ohřevu (předehřevu) větracího vzduchu. Stejné zařízení lze použít v létě pro zpětné získávání chladu – k ochlazování teplého venkovního vzduchu vzduchem odváděným z chlazeného prostoru. Schéma rotačního regeneračního výměníku je na obr. 16.7. Přiváděný (čerstvý) vzduch, který se v zařízení pro zpětné získávání tepla ohřívá, je označen indexem p, odváděný (odpadní) vzduch indexem o. Pro tento typ výměníků platí základní bilanční rovnice (16.2) a
103
(16.3), stejně jako výpočet účinnosti přenosu tepla (16.4). Rotační regenerační výměníky se vyznačují poměrně vysokou tepelnou účinností 80 až 90 %.
Tp′
Tp′′
To′
To′′
Obr. 16.7 – Vzhled a schéma rotačního regeneračního výměníku pro zpětné získávání tepla Příklad využití rotačního regeneračního výměníku pro odvlhčování je na obr. 16.8. Přiváděný vlhký vzduch (1) se vysušuje v desikačním rotoru, který je nutno regenerovat (zbavit vlhkosti) horkým vzduchem. K tomu lze použít relativně suchý odváděný vzduch (2), který se ohřívá na vyšší teplotu (3), takže může pojmout více vlhkosti z rotoru (4). Směr otáčení rotoru a uspořádání průtoků odváděného vzduchu (nejdříve je rotor v kontaktu s ohřátým a pak s chladnějším odváděným vzduchem) zajišťuje ochlazení rotoru po regeneraci Tato zařízení se používají např. v průmyslových objektech, kde je možné využít pro ohřev vzduchu odpadní teplo z výroby.
e
f
d c
Obr. 16.8 – Schéma zařízení Recusorb firmy Seibu Giken DST Regenerační výměníky se navrhují a přepočítávají na jiné než návrhové podmínky pomocí bezrozměrných charakteristik – časové a tepelné. Za předpokladu přibližně stejné průtočné tepelné kapacity obou proudů je časová charakteristika C& ⋅ t πt = a 0 (16.15) C kde C& [J·s-1·K-1] je průtočná tepelná kapacita vzduchu, t0 [s] doba cyklu, tj. 1 otáčky rotoru a
nebo 2 přepnutí klapky, C [J·K-1] je celková tepelná kapacita akumulační hmoty.
104
Dále se používá tepelná charakteristika
πh =
hk ⋅ S C& a
(16.16)
kde S [m2] je celkový povrch akumulační vložky nebo rotoru, hk [W·m–2·K–1] je součinitel přestupu tepla na povrchu akumulační hmoty. Dodavatelé těchto výměníků uvádějí ve svých podkladech tzv. teplotní účinnost (nezaměňovat za účinnost přenosu tepla η!), zde použijeme přesnější označení teplotní faktor. Je definován jako bezrozměrný poměr teplotního rozdílu na jedné straně výměníku (na ohřívaném nebo ochlazovaném vzduchu) k maximálnímu rozdílu teplot, tj. teplot na přívodu ΔT´:
ϑ1 =
ΔT1 ΔT ′
(16.17)
ϑ2 =
ΔT2 ΔT ′
(16.18)
Zatímco tepelná účinnost výměníku má pro daný provozní stav pouze jedinou hodnotu, teplotní faktory na jedné a druhé straně výměníku se mohou lišit. Z výše uvedených definic vyplývá, že
ϑ1 ΔT1 = ϑ2 ΔT2
(16.19)
a z rovnosti výkonu předávaného mezi ochlazovaným a ohřívaným vzduchem vidíme, že platí
ϑ1 C& 2 = ϑ2 C&1
(16.20)
16.4 Směšovací výměníky V klimatizaci se setkáme se směšovacími (kontaktními) výměníky voda-vzduch buď v podobě chladicích věží pro vodou chlazené kondenzátory nebo polytropických praček vzduchu. Jejich princip spočívá ve využití přenosu tepla a hmoty na fázovém rozhraní – odpařování vody a pohlcování vlhkosti vzduchem. Chladicí věž je vertikální protiproudý výměník, ve kterém se voda ochlazuje rozprašováním do proudu vzduchu poháněného ventilátorem. Vzduch pohlcuje část vodní páry a je odsáván z věže směrem vzhůru ventilátorem. Voda se tím ochlazuje, avšak odsáváním vodní páry pohlcené vzduchem dochází k úbytku vody, který je třeba kompenzovat. Na 1 kW chladicího výkonu je potřeba 70 až 100 litrů vody za hodinu. Nevýhodou je dosti velká hlučnost ventilátorů, obvykle se chladicí věže umísťují na střechu budov. Chladicí věže jsou nejnápadnější částí parních elektráren, kde však lze využít dostatečnou stavební výšku pro přirozený tah vzduchu a není třeba ventilátorů. Polytropická pračka je souproudý kontaktní výměník tepla, určený primárně ke zvlhčování vzduchu, který však může zároveň ochlazovat nebo ohřívat. Pokud je voda v pračce dostatečně studená, může dojít i k odvlhčování vzduchu. Nevýhodou je možnost množení mikrobů. Bilanční rovnice směšovacího výměníku Do chladicí věže vstupuje voda při průtoku M& w′ a teplotě Tw′. Obě výstupní hodnoty budou nižší, teplota vody se sníží a část vody ΔM& w se odpařuje do vzduchu. Vzduch vstupuje do
105
věže při průtoku M& a′ , teplotě Ta′ a relativní vlhkosti ϕ ′ < 100 %. Vzduch vystupující z věže je ve stavu nasyceném (ϕ″ = 100 %) a jeho hmotnostní tok M& ′′ je vyšší o množství odpařené a
vody. Pro bilanci energie a hmoty můžeme sestavit následující rovnice, kde vstupní hodnoty označíme jednou čárkou a výstupní hodnoty dvěma čárkami. M& w′ ⋅ c pw ⋅ Tw′ − M& w′′ ⋅ c pw ⋅ Tw′′ = M& a′′ ⋅ ia′′ − M& a′ ⋅ ia′
(16.21)
ΔM& w = M& a′′ − M& a′
(16.22)
β x ⋅ (ia′′ − ia ) ⋅ dS = M& w ⋅ c pw ⋅ dTw
(16.23)
kde βx [kg·m–2·s–1] je součinitel přenosu vlhkosti konvekcí, ia [J·kg-1]měrná entalpie vzduchu, S [m2] teplosměnná plocha, cpw [J·kg-1·K-1] měrná tepelná kapacita vody. Obtížné je stanovit teplosměnnou plochu S, kterou je povrch kapiček rozprašované vody (u tzv. náplňových výměníků je to povrch náplně).
Obr. 16.9 – Vzhled a schéma ventilátorových chladicích věží
106
LITERATURA K DALŠÍMU STUDIU [1]
Ježek J., Váradiová B., Adamec J. Mechanika tekutin. 3. přeprac. vyd. Praha : ČVUT, 1997. 150 s. ISBN 80-01-01615-3.
[2]
Nožička J. Mechanika tekutin. Praha : ČVUT, 2004. 165 s. ISBN 80-01-02865-8.
[3]
Středa I., Sazima M., Doubrava J. Termomechanika. 3. přeprac. vyd. Praha : ČVUT, 1992. 254 s. ISBN 80-01-00818-5.
[4]
Nožička J. Termomechanika. Praha : ČVUT, 1998. 179 s. ISBN 80-01-01836-9.
[5]
Šesták J., Rieger F. Přenos hybnosti, tepla a hmoty. 3. vyd. Praha : ČVUT, 2004. 299 s. ISBN 80-01-02933-6.
[6]
Hemzal K. Přenosové jevy v technice prostředí. Praha : ČVUT, 2007. 100 s. ISBN 80-01-02924-4.
107
