Usia massa air sering diperkirakan melalui metode perhitungan radio-usia dihitung dari mulai di distribusikannya radioaktif pelacak. Deleersnijder et al. Dalam [J. Maret Syst. 28 (2001) 229.] telah menunjukan bahwa metode perhitungan radio-usia kurang memperhitungkan usia massa air namun lebih mampu untuk mengevaluasi (mengetahui) usia radioaktif pelacak. Hasil umum dalam jurnal ini dipakai untuk menghitung radio-usia dua pelacak radioaktif. Perbedaan-perbedaan usia diantara dua pelacak radioaktif tersebut juga dipelajari secara analitis dan numerik sebagai fungsi dari tingkat peluruhan pelacak radioaktif. Untuk tingkat peluruhan yang kecil, perbedaan antara usia massa air dan radio-usia terbukti sebanding dengan tingkat peluruhan. Terjadinya perisitiwa ini tergantung juga pada tingkat pencampuran dalam sistem, bahkan pelacak radioaktif dengan tingkat peluruhan kecil dapat memberikan perkiraan usia massa air dalam aliran kuat difusi.
Pendahuluan Sejumlah besar studi eksperimen dari pengangkutan dan pembaruan laju massa air menggunakan teknik radioaktif pelacak. Dengan pendekatan ini, usia, yang kita sebut radio-usia, dihitung dari perbandingan konsentrasi pelacak secara pasif -dalam makalah ini, pelacak akan disebut pasif jika tidak berpengaruh dengan aliran dan tidak menjalani segala jenis transformasi fisik atau kimia. Seperti yang ditunjukkan oleh beberapa penulis, jelas bahwa jenis radio-usia bukanlah semata-mata karakteristik mengalir tetapi juga dipengaruhi oleh variasi ruang dan waktu, kondisi perbatasan serta dinamika pelacak radioaktif. Bahkan dalam kasus yang umum dari sumber konstan pelacak radioaktif, radio- usia memang berbeda dari usia massa air yang seharusnya untuk pencirian, alasannya adalah berkaitan dengan fakta bahwa ada aliran difusi yang dapat ditandai dengan skala satu waktu Dengan menempatkan yang lebih penting pada bagian yang lebih muda dari spektrum, radio-usia memperkenalkan bias dan karena itu mencerminkan tidak sempurnanya rata-rata usia yang benar (mis. Khatiwala et al., 2001).
Teori Usia dikembangkan di Delhez et al. (1999) memperkenalkan perbedaan yang jelas antara umur massa air, usia radio dan usia pasif . Oleh karena itu membantu untuk memperjelas perbedaan antara konsep yang berbeda. Dengan menggunakan pendekatan ini, Deleersnijder et al. (2001) telah menunjukkan bahwa bila seseorang mendefinisikan massa air dengan menandainya dengan pelacak pasif, maka usia itu berkoresponden dengan massa air, menurut definisi, untuk usia tracer pasif dan usia umum mereka adalah sistematis lebih besar dari usia setiap radioaktif pelacak yang memiliki kondisi batas yang sama seperti pelacak pasif. Selain itu, usia radio dihitung dari rasio konsentrasi pasif dan pelacak radioaktif selalu penengah antara usia dua pelacak.
Tujuan dari catatan ini adalah untuk menggeneralisasi ketidaksetaraan antara usia yang berbeda, untuk mengukur perbedaan dan memeriksa beberapa implikasinya.
2. Fungsi distribusi Konsentrasi Konsep fungsi distribusi konsentrasi dibahas secara rinci dalam Delhez et al. (1999), Deleersnijder et al. (2001) dan Delhez, dan Deleersnijder (2002). Fungsi distribusi konsentrasi (t, x, s) dari pelacak diberikan melalui fungsi kepadatan yang menggambarkan distribusi konsentrasi pelacak dalam ruang usia, yaitu c (t, x, s) ds mengukur
kontribusi materi dengan usia antara s dan s + ds untuk konsentrasi total C (t, x) pada waktu t dan posisi x: Pers 1 Dalam definisi ini, bentuk s = adalah tetap . Secara umum, bentuk ini sesuai dengan materi yang baru saja memasuki sistem. Dalam studi ventilasi, mengukur usia waktu sejak sebidang air terakhir melakukan kontak dengan permukaan air dan dicirikan oleh s = 0. Fungsi distribusi konsentrasi memberikan kerangka tertentu untuk bekerja dengan ide intuitif dari 'spektrum usia'. Hal ini terkait erat dengan konsep distribusi usia, transit-time kepadatan probabilitas fungsi, penyebar batas dikembangkan dalam berbagai penelitian (misalnya Bolin dan Rodhe, 1973; Hall dan Plumb, 1994, Holzer dan Hall, 2000; Khatiwala et al, 2001).. 3. Radio-umur dan usia pelacak radioaktif Konsentrasi fungsi distribusi c0 (t, x, s) konstituen pasif bisa digunakan sebagai fungsi hijau untuk menghitung kadar C (t, x, c) dari radioaktif tracer yang memnuhi pada syarat batas sama (batas fluks atau konsentrasi pada batas usia didefinisikan sebagai nol), yaitu Pers 2
di mana C adalah tingkat peluruhan tracer radioaktif (waktu paruh yang sesuai diberikan oleh c? 1ln2). usia perunut radioaktif kemudian terkait dengan urutan yang pertama saat fungsi distribusi konsentrasi oleh pers 3 Perhatikan bahwa ada asumsi mengenai sifat dan stasioneritas dari aliran atau kondisi batas yang diperlukan untuk menulis Pers. (2) dan (3). Secara umum, usia rata-rata dari radioaktif pelacak (t, x, c) tidak hanya bergantung pada karakteristik aliran tetapi juga pada peluruhan ratarata dan kondisi batas tracer. Dalam kasus tertentu dari kondisi batas konstan, c0 (t, x, s) dan a (t, x, 0) menyediakan bagaimana pelacak diagnosa bebas dari transportasi dan a (t, x, 0) dapat dianggap sebagai usia rata-rata dari massa air tertentu.
Radio usia diperkirakan menggunakan pelacak pasif dan konstituen radioaktif bersama tingkat peluruhan c diberikan oleh pers 4 Seperti radio- usia pada umumnya dihitung dari distribusi C12 stabil dan radioaktif (halflife = 5730 tahun) isotop karbon 14 (mis. Broecker et al., 1990). Hal ini juga bisa berasal dari rasio konsentrasi pelacak radioaktif dan jumlah dari konsentrasi tracer
Menggunakan Konsentrasi besar tritium yang dihasilkan oleh pengujian bom atmosfer, seseorang dapat menulis (misalnya Jenkins dan Clarke, 1976) Pers 5
di mana [3He *] menunjukkan bagian dari total konsentrasi [3He] dari Helium-3 yang diproduksi oleh peluruhan radioaktif tritium dan di mana γHe= 0,05576 pertahun adalah tingkat peluruhan 3H (paruh = 12,43 tahun). Beberapa kesimpulan umum dapat dengan mudah diperoleh dari ekspresi tersebut. Di satu sisi, dengan membedakan Persamaan. (2), seseorang mendapatkan pers 6 menunjukkan bahwa, seperti yang diharapkan, konsentrasi radioaktif tracer adalah fungsi penurunan peluruhan pada setiap waktu atau lokasi. Di sisi lain, diferensiasi persamaan. (3) menghasilkan pers 7 pada substitusi dari Persamaan. (6). Braket persegi di r.h.s. dari Pers. (7) adalah negatif oleh ketidaksamaan Cauchy-Schwartz menggunakan produk skalar pers 8, pers 9
dan umur a (t, x, c) adalah fungsi menurun dari tingkat peluruhan c. Dengan demikian pula, usia radioaktif tracer selalu lebih kecil dari pelacak pasif dengan kondisi batas yang sama dan meremehkan sistematis usia air. Kesimpulan identik dengan yang di Deleersnijder et al. (2.001) tetapi sampai di sini langsung tanpa asumsi tentang parameterisasi difusi dan tanpa menggunakan persamaan usia.
Perilaku dari radio- usia dapat dipelajari dalam cara yang sama, untuk Pers. (6) dapat diintegrasikan dengan hormat ke γ sehingga Pers 10 Hal ini mengikuti bahwa radio- usia dihitung dari penyebaran pelacak radioaktif tingkat kerusakan γ mengambil nilai tengah antara usia air dan pelacak radioaktif. Lebih tepatnya, radio –usia adalah rata-rata umur pelacak dengan tingkat peluruhan yang bervariasi dalam rentang [0, c]. Jika variasi umur dapat linierisasi dalam interval [0, c], maka radio-usia dapat didekati oleh pers 11
Secara umum, jika seseorang mengambil dua pelacak radioaktif dengan tingkat peluruhan c1
Hal ini harus ditekankan bahwa perkembangan tersebut di atas semata-mata didasarkan pada analisis lokal konsentrasi Fungsi distribusi. Kesimpulan ini berlaku pada setiap lokasi dan tanpa asumsi apapun tentang aliran.
4. Analisis Sampel Hasil sebelumnya mudah diilustrasikan dalam contoh analitis. Di semi-tak terbatas satu dimensi domain x€ [0, L [dengan kondisi Dirichlet di asal dan dengan medan kecepatan konstan dan seragam u difusi dan koefisien k, konsentrasi fungsi distribusi diberikan oleh kebalikan Distribusi Gaussian (mis. Morse dan Feshbach, 1953), yaitu Pers 14 15 (di mana, seperti ditunjukkan pada Beckers et al. (2001) dan Deleersnijder et al. (2001), usia pelacak pasif tereduksi menjadi adveksi waktu skala x / u) dan pers 16 17 Untuk peluruhan kecil tingkat γ, radio-usia, dan umur dari pelacak radioaktif memperkiraan umur dari pasif tracer; pers 18 Untuk tingkat peluruhan yang besar, bagaimanapun, kita harus pers 19
5. Kasus Umum Dalam kasus umum, ekspresi mirip dengan Pers. (15) dan (16) dapat diperoleh jika distribusi konsentrasi fungsi c0 (τ) dapat cukup dijelaskan oleh sebuah Gaussian jenis distribusi terbalik di waktu tertentu dan lokasi yang dianggap (Hall dkk, dalam pers.; Waugh et al., In press). Tanpa asumsi tentang aliran, kesimpulan umum juga bisa berasal tentang asimtotik perilaku (γ) dan ~ (γ). Pada bagian ini, kita menyederhanakan notasi: hanya ketergantungan pada τ dan γ akan ditulis secara eksplisit. 5.1. Perilaku asimtotis kecil γ Menggunakan serangkaian ekspansi eksponensial dalam Persamaan. (2), seseorang mendapatkan Pers 20 Pers 21
adalah urutan saat-k dari distribusi konsentrasi Fungsi c0 (Delhez dan Deleersnijder, 2002). Jadi pers 22 pers 23 Bentuk pertama dari r.h.s. adalah usia pelacak pasif. Istilah di braquets positif (oleh ketidaksetaraan Cauchy-Schwartz) dan mewakili kedua momen sentral dari distribusi konsentrasi fungsi c0 sekitar usia rata-rata dari pelacak pasif mendefinisikan lebar D konsentrasi fungsi distribusi c0 oleh (Hall dan Plumb, 1994) Pers 24
Kedua relasi berada dalam persetujuan dengan hasil yang diperoleh dalam dua bagian sebelumnya . mereka menunjukkan bahwa usia pelacak radioaktif dan radio-usia yang keduanya meremehkan usia pelacak pasif dan usia massa air ditandai oleh pelacak ini . Untuk tingkat peluruhan kecil γ , kesalahan adalah fungsi linear tingkat kerusakan . 5.2 . Perilaku asimtotik untuk besar c Perilaku asymptotic Pers. ( 15 ) dan ( 16 ) untuk γ besar juga dapat diambil dalam kasus umum jika beberapa asumsi yang dibuat tentang konsentrasi fungsi distribusi c0 . Kami akan berasumsi di sini bahwa Pers 27
di mana α dan δ adalah konstanta positif, β konstan nyata dan f (τ) adalah fungsi yang berperilaku aljabar pada τ= 0. Tujuan jangka eksponensial adalah untuk mencerminkan tingkat pertumbuhan yang sangat lambat dari distribusi konsentrasi fungsi di sekitar asal (semua turunan dari c0 cenderung nol ketika mendekati asal). Harus dicatat bahwa Pers. (27) sangat umum dan menunjukkan ada asumsi lain tetapi penurunan eksponensial fungsi distribusi konsentrasi pada asal. Hipotesis ini jelas dipenuhi oleh distribusi Gaussian terbalik (14) dengan α= 1. Hal ini juga untuk kasus fungsi Hijau dari solusi klasik persamaan difusi, sesuai dengan jenis kondisi batas (Dirichlet atau Neumann) dan jumlah dimensi di mana masalahnya adalah berpose, koefisien β bervariasi tetapi α selalu sama dengan 1 (Morse dan Feshbach, 1953). Secara umum, dapat dikatakan bahwa perilaku fungsi distribusi konsentrasi untuk τ 0 hanya mencerminkan proses difusi. hasil adveksi memang pada tingkat terbatas dan tidak bisa dihitung untuk terjadinya partikel dengan usia kecil pada jarak yang terbatas dari sumber, Sebaliknya, sifat parabola dari operator difusi bertanggung jawab untuk pengangkutan sesaat massa dari sumber di seluruh domain. Sebagai hasilnya, bagian dari spektrum usia sekitar τ = 0 dibentuk oleh difusi dan cukup dapat diwakili oleh Pers (27) dengan α= 1. Menggunakan hasil (lih. Lampiran A untuk rincian) Pers 28
Pers 29
6. hasil numerik Untuk menggambarkan hasil matematika dari bagian sebelumnya, serangkaian simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan Model World Ocean LOCH-CLIO (Dutay et al., 2001) Seperti yang diharapkan, radio-usia dan usia radioaktif pelacak menurun sesuai fungsi tingkat peluruhan. Untuk nilai kecil c, kedua zaman konvergen menuju usia pelacak pasif. untuk kecil paruh, bagaimanapun, radio-usia dan umur pelacak radioaktif yang mendekati nol. Simulasi numerik mereproduksi diharapkan perilaku asimtotik dari usia radio dan zaman dari pelacak radioaktif diungkapkan oleh Pers. (25) dan (26). (Dalam Gambar. 1, perilaku linear (c) dan ~ (c)
sehubungan dengan c dikaburkan oleh penggunaan logaritmik besaran untuk c.) Dari dua persamaan tersebut, memperkirakan dari lebar D dari distribusi konsentrasi fungsi memang mudah diperoleh sebagai pers 32
7. kesimpulan Perkembangan matematika sebelumnya menunjukkan bahwa usia perunut radioaktif dan usia radio mengabaikan usia massa air yang mereka definisikan. Masalah ini bahkan tanpa memperhitungkan ketidakpastian eksperimental dan perkiraan batas konstan yang merupakan tantangan serius bagi penilaian eksperimental usia massa air. Teknik radio usia memberikan perkiraan yang baik dari umur air asalkan ∆2γ kecil sehubungan dengan usia air. Ini jelas membutuhkan tingkat peluruhan menjadi sekecil mungkin yang sehubungan dengan rentang usia yang seseorang ingin ukur. Seperti ditunjukkan pada Gambar. 1, ini adalah kasus untuk alam biasa dan bom radiokarbon (paruh = 5730 tahun) sehingga 14C teknik penentuan tanggal ini dapat digunakan secara aman untuk mempelajari mendalam ventilasi Ocean World. Sebaliknya, pada peluruhan radioaktif tritium (paruh = 12,43 tahun) terjadi terlalu cepat untuk tujuan ini. Metode helium-tritium memperkenalkan juga besar kesalahan ketika diterapkan pada estimasi waktu yang lebih singkat. Memang, jika ketergantungan-umur radio pada tingkat peluruhan diperkirakan dengan menggunakan persamaan. (26), maka kesalahan relatif q terkait dengan perkiraan umur dari air dari usia radio diberikan oleh Pers 34
Menggunakan tingkat peluruhan untuk tritium , dan dengan asumsi bahwa lebar fungsi distribusi konsentrasi kurang lebih sama dengan setengah dari usia air ( rasio ini terlihat lebih besar dari estimasi rata-rata. Hasil diplot dalam Gambar . 1 dan 2 ) , maka relatif kesalahan akan lebih dari 10 % pada umur yang lebih besar dari 7 tahun ! Jika pendekatan linier asimtotik ( 26 ) adalah tidak tepat , cekung dari (τ) ditunjukkan pada Gambar. 1 untuk kecil τ menunjukkan bahwa kesalahan relatif bahkan akan lebih buruk dari yang diperkirakan oleh Pers. ( 34 ) . Perhitungan cepat ini menunjukkan bahwa berbagai τ tergantung juga pada tingkat difusi dalam sistem yang sedang dipertimbangkan melalui parameter D2 . Oleh karena itu, pelacak radioaktif bahkan perlahan-lahan akan meluruh dan memberikan
perkiraan peluruhan usia air jika transportasi ini didominasi oleh proses difusi.
Dalam penelitian eksperimental , D2 tidak dapat diukur tetapi model estimasi parameter ini ( misalnya Hall dan Plumb , 1994; . Volk et al , 1997) dapat digunakan dalam hubungannya dengan pers . ( 34 ) untuk menilai kesalahan yang terkait dengan konsep radio - usia. Namun seseorang harus menyadari sumber kesalahan besar lainnya yang terkait dengan penentuan eksperimental usia radio (misalnya Campin dkk . , 1999) . Tanpa membuat asumsi apapun tentang aliran , kami berhasil menangkap fitur penting dari pada ketergantungan pada usia pelacak radioaktif dan yang terkait radio - usia pada tingkat peluruhan τ. Untuk tingkat peluruhan kecil , usia pelacak radioaktif serta umur radio menurun secara linier dengan meningkatnya nilai τ . Untuk tingkat peluruhan yang besar , tingkat penurunan adalah sebanding dengan kebalikan dari akar kuadrat dari τ . Antara kedua perbedaan besar , umur radioaktif tracer terus menurun . Sementara hasil tersebut tidak benar-benar menentukan perilaku dari ( c ) dan ~ ( c ) , Namun mereka memberikan kerangka teoritis untuk ( sebagian) mendukung perkiraan eksperimental zaman berdasarkan hipotesis distribusi gaussian terbalik (Hall et al . , in press) . Sangat menarik untuk dicatat bahwa teknik penanggalan berdasarkan pada analisis distribusi pelacak stabil dengan meningkatnya masukan ke laut dunia, seperti chlorofluorocarbons (mis. Beining dan Roether, 1996; Inggris dan Holloway, 1998;. Haine et al, 1998), bisa juga dianalisis dalam hasil ini. Jika fluks J dari pelacak tertentu tumbuh secara eksponensial dengan waktu atau dapat didekati dengan tumbuh eksponensial (Waugh et al., dalam pers) sesuai dengan pers 35 konsentrasi pelacak ini benar diberikan oleh pers 36 di mana τ0 adalah fungsi distribusi konsentrasi sesuai dengan unit fluks yang konstan. Sejak saat itu, usia tracer adalah setara dengan umur radioaktif pelacak dengan sumber konstan dan tingkat peluruhan τ dan kesalahan (perkiraan (25) - (30)) juga berlaku untuk pelacak stabil di bawah pertimbangan. Dalam kasus realistis, sebenarnya rilis tingkat J (t) adalah diperkirakan buruk oleh fungsi eksponensial, tetapi hasilnya tetap kualitatif memperbaiki dan menyebabkan paradoks: peningkatan pesat α dari J (t) menginduksi meremehkan besar usia massa air sementara usia yang berasal dari perlahan-lahan meningkatkan tingkat pelepasan menderita signifikan kesalahan eksperimental.
