2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky B
d
h
ϕ
A
yA yB
c
xA
xB a
Obr. 2.1. Souřadnice počátku šikmého pole Jestliže chceme určit řetězovku, která je zavěšená v bodech A a B a je daná parametrem c, je třeba určit polohu počátku 0 vůči bodům, které mají horizontální vzdálenost a a jejich převýšení je h. Podle obr. 2.1 platí
-1-
xB xA h = c cosh − c cosh c c
z toho xB xA h = cosh − cosh c c c z obr. 2.1 také vyplývá xA = a − xB xB a − xB h = cosh − cosh c c c a − xB Člen cosh c rozepíšeme a dostaneme xB xB xB h a a = cosh − cosh ⋅ cosh + sinh ⋅ sinh c c c c c c xB ⎛ xB h a⎞ a = − cosh ⎜ −1 + cosh ⎟ + sinh ⋅ sinh c c ⎝ c⎠ c c Dalšími úpravami hyperbolických funkcí vypočítáme hodnotu xB xB yB = c cosh c
-2-
Nyní máme určenu polohu počátku a tím je daná řetězovka s průhybem fm f m = yB − c Vrchol řetězovky nemusí být mezi závěsnými body A a B. Jestliže je její vrchol mezi body A a B, platí a h < −c + c cosh c pokud a h = −c + c cosh c je vrchol právě bod A (nižší závěs). Jestliže je a h > −c + c cosh c vrchol řetězovky neleží mezi závěsnými body, ale za závěsným bodem A. Obvykle však neznáme hodnotu parametru. Na začátku při řešení nesouměrné řetězovky předpokládáme, že tečna v polovině rozpětí je rovnoběžná se spojnicí bodů A a B. To znamená, že k =ϕ
-3-
x x ⎞ a − xB x ⎞ ⎛ ⎛ yA + yB = c ⎜ cosh A + cosh B ⎟ = c ⎜ cosh + cosh B ⎟ = c c ⎠ c c ⎠ ⎝ ⎝ x ⎛ x ⎤ ⎡ a⎞ a = c ⎢cosh B ⎜ 1 + cosh ⎟ − sinh ⋅ sinh B ⎥ c ⎝ c⎠ c c ⎦ ⎣
úpravou dostaneme x x a⎛ a a ⎞ yA + yB = c ⋅ 2 cosh ⎜ cosh B ⋅ cosh − sinh B ⋅ sinh ⎟ = c⎝ c 2c c 2c ⎠ x a a ⎞ a ⎛x = c ⋅ 2 cosh ⋅ cosh ⎜ B − ⎟ = c ⋅ 2 cosh ⋅ cosh k 2c 2c c ⎝ c 2c ⎠
kde xk je souřadnice uprostřed rozpětí. Hodnota funkce v bodě se souřadnicí xk x yk = c cos h k c Určení délky vodiče při šikmém poli Délka řetězovky mezi závěsnými body A a B 0
lAB =
∫
1 + y ′ 2 dx +
− xA
xB
∫ 0
dosadíme za x y = c cosh c
-4-
1 + y ′ 2 dx
y′ = sinh
x c
a dostaneme 0
lAB =
∫
− xA
x cosh dx + c
xB
xB xA ⎞ x ⎛ cosh d sinh sinh = + x c ⎜ ⎟ (m) ∫ 2c ⎠ c c ⎝ 0
Použitím předcházejících rovnic dostaneme 2
2
2
2
xB xA ⎞ ⎛ xB xA ⎞ ⎛ lAB ⎞ ⎛ h ⎞ ⎛ − = + − − sinh sinh cosh cosh ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = c c c c c c ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x x x x ⎞ ⎛ ⎛x +x ⎞ = −2 + 2 ⎜ cosh B ⋅ cosh A + sinh B ⋅ sinh A ⎟ = 2 cosh ⎜ B A ⎟ − 2 = c c c c ⎠ ⎝ ⎝ c ⎠ a ⎛x +x ⎞ = 4sinh 2 ⎜ B A ⎟ = 4sinh 2 2c ⎝ 2c ⎠
Délka nesouměrné řetězovky je tedy 2 a ⎛ ⎞ 2 lAB = h 2 + ⎜ 2c ⋅ sinh ⎟ 2c ⎠ ⎝ protože výraz v závorce je délka souměrné řetězovky, pro nesouměrnou řetězovku platí 2 lAB = h 2 + lh2 z toho 2 lAB − lh2 = h 2 Vzorec je rozšířená Pythagorova věta, která platí pro řetězovky a říká (obr. 2.1): -5-
rozdíl čtverců délek souměrné a nesouměrné řetězovky ve stejném rozpětí a se stejným parametrem se rovná čtverci vzdálenosti vyšší podpory od nižší. B d
h
lAB A
C lh
a
Obr. 2.2. Délka souměrné a nesouměrné řetězovky
-6-
Průhyby šikmého pole Pro nesouměrnou řetězovku musíme ještě definovat a vypočítat následující průhyby: a/2
a/2
x
A
ϕ
fk
B
h
lAB
fv
C’
ϕ K
V
x
C f
lh
Obr. 2.3a A
σH B α
σVB
σB
Obr. 2.3b Namáhání v závěsném bodě
-7-
Charakteristický průhyb je délka svislice spuštěné v polovině rozpětí mezi spojnicí závěsných bodů a křivkou a můžeme ho určit podle rozšířené Pythagorovy věty lAB xk fk = fh = f h ⋅ cosh lh c xB + xA xk = 2 Viditelný průhyb je svislá vzdálenost mezi spojnicí závěsů A a B a tečnou k řetězovce. Tangenta xv h y′ = tg ϕ = = sinh a c když předpokládáme rovnici řetězovky v tomto bodě x yv = c ⋅ cosh v c kde xv je souřadnice bodu dotyku a k ní určíme příslušnou souřadnici na spojnici AB na řetězovce, rozdíl obou je viditelný průhyb fv.
-8-
3. Namáhání vodiče Při výpočtu průhybu jsme zjistili, že vodorovná složka namáhání σH je v každém bodě, tedy i v závěsném stejná. Výsledné namáhání σB v závěsném bodě B leží ve směru tečny k řetězovce v tomto bodě. Směr tečny svírá v závěsném bodě s osou x úhel α. Platí tedy σH σB = (MPa) cos α a pro tečnu v libovolném bodě řetězovky platí x y ′ = tg α = sinh c a a v závěsném bodě x = 2 můžeme psát a tg α = sinh 2c úpravou dostaneme 1 a = cosh cos α 2c
-9-
Po dosazení dostaneme yB a σ B = σ H ⋅ cosh = σ H (MPa) α 2c z rovnice průhybu dostaneme fm a cosh = +1 2c c po dosazení ⎛ fm ⎞ σ B = σ H ⎜ + 1⎟ = σ H + f m γ z ⎝ c ⎠ Tím jsme dostali vztah pro namáhání v závěsném bodě řetězovky, který závisí pro daný vodič jen na průhybu fm. Když vezmeme v úvahu parabolu a2 γ z fm = 8σ H a namáhání a (γ z ) σB =σH + 8σ H bude tah v závěsném bodě 2
2
y a ⋅ S = σ H S + fm S y z = σ H B S ⇒ 2c c ⇒ FB = yB ( q1 + q2 )
FB = σ B S = σ H ⋅ cosh
- 10 -
Z této rovnice je zřejmé, že tah v závěsném bodě se rovná tíze vodiče délky yB nebo tahu ve vrcholu FH a tíze vodiče délky rovnající se průhybu fm. Svislou složku namáhání σvB určíme z obr. 2.3. Platí σ vB = σ H ⋅ tg α x tg α = sinh c a v závěsném bodě a tg α = sinh 2c tedy a σ vB = σ H ⋅ sinh 2c kde je podle (2.45) délka řetězovky a ls = 2c ⋅ sinh 2c Dosazením ls ls γ z ls γ z σ vB = σ H =σH = (2.61) 2c 2σ H 2 svislou složku tahu určíme z namáhání a FB = S σ vB = S σ H ⋅ sinh 2c - 11 -
S ls γ z ls ( q1 + q2 ) a ( q1 + q2 ) FvB = = = 2 2 2 Svislý tah v závěsném bodě se rovná tíze poloviční délky vodiče, zvětšené o přídavné zatížení. Všechny tyto vztahy platí pro řetězovku i parabolu. Jen tehdy, je-li v závěsném bodě vodiče mechanické napětí alespoň o 4 % větší než v bodě průhybové křivky, je nutné uvažovat mechanické napětí v závěsném bodě. Tento případ nastává u velkých rozpětí nebo při velkém převýšení závěsů.
- 12 -
4. Odvození stavové rovnice
Předchozí výpočty vznikly za předpokladu, že namáhání napnutého vodiče je konstantní. Ve skutečnosti se však namáhání mění vlivem teploty, námrazku a větru. Jsme v oblasti konstantního průřezu, tzn. platí Hookův zákon. Nyní uvažujeme dva stavy vedení. Počáteční stav označíme indexem 0 a nový stav označíme indexem 1. Změna délky vodiče Δlϑ (m) vlivem změny teploty se určí ze vztahu Δlϑ = α l0 (ϑ1 + ϑ0 ) Δlϑ > 0 pro ϑ1 > ϑ0
α - činitel délkové tepelné roztažnosti lana ( °C ), l0 - původní délka zavěšeného vodiče (m), ϑ0 - původní teplota vodiče ( °C-1 ), ϑ1 - nová teplota vodiče ( °C-1 ). Změna délky vodiče Δl (m) vlivem změny namáhání l0 Δlσ = (σ H1 + σ H0 ) Δlσ < 0 pro σ H1 < σ H0 E -1
σ
E - modul pružnosti vodiče (MPa), - 13 -
σ H0 - horizontální složka namáhání vodiče v původním stavu (MPa), σ H1 - horizontální složka namáhání vodiče v novém stavu (MPa). Celková změna z l0 na l1 se určí podle vzorce 1 ⎡ ⎤ Δl = l1 − l0 = Δlϑ + Δlσ = l0 ⎢α (ϑ1 − ϑ0 ) + (σ H1 − σ H0 ) ⎥ E ⎣ ⎦
Délka lana zavěšeného mezi dvěma stožáry při stavu k se vypočte podle vzorce a 3 γ k2 lk = a + 2 24σ Hk a – rozpětí (m). −1 MPa ⋅ m γ - měrná tíha 1 m vodiče ( ). Změna délky vlivem změny namáhání se vypočte podle vzorce γ 02 ⎞ a 3 ⎛ γ 12 Δl = l1 − l0 = ⎜ 2 − 2 ⎟ 24 ⎝ σ H1 σ H0 ⎠
- 14 -
Porovnáním výše uvedených rovnic dostaneme stavovou rovnici 2 2 3 ⎛ ⎞ γ γ 1 a ⎡ ⎤ 0 1 ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ l 0 ⎢α(ϑ1 − ϑ 0 ) + (σ H1 − σ H 0 )⎥ = E ⎣ ⎦ 24 ⎝ σ H1 σ H 0 ⎠ Protože lze přibližně uvažovat l0 =a potom lze psát stavovou rovnici ve tvaru γ 02 ⎞ 1 a 2 ⎛ γ12 α(ϑ1 − ϑ0 ) + (σ H1 − σ H 0 ) = ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ E 24 ⎝ σ H1 σ H 0 ⎠ a po úpravě do tvaru kubické rovnice pro výpočet namáhání nového stavu 1 2 2 2 2 ⎡ ⎤ γ E a γ1 E a 3 2 0 σ H1 α ϑ ϑ σ + σ H1 + − − − =0 E ( 1 0 ) H0 ⎥ ⎢ 2 24 ⎣ 24σ H0 ⎦ Pro praxi se γ 0 a γ 1 nahradí pomocí měrné tíhy vodiče γ v a přetížení vodiče s pomocí následujících rovnic
γ 1 = γ v z1
γ 2 = γ v z2
potom stavová rovnice přejde na tvar - 15 -
⎡ E γ 2 ⎛ a z ⎞2 ⎤ Eγ 2 2 3 2 v 0 v ⎥ + − − − =0 E a z σ H1 + σ H1 ⎢ α ϑ ϑ σ ( ) ( ) ⎜ ⎟ 1 0 H0 1 24 24 σ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ H0 ⎠
- 16 -
