Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopravní Ústav řídicí techniky a telematiky

Bakalářská práce

Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla

Praha 2008

JIŘÍ BARNET

1

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedených literárních pramenů. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu §60 Zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon).

Praha, srpen 2008

Jiří Barnet .............................................

2

Abstrakt Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla Teoretická část práce se zabývá definicí základních geodetických pojmů, prostředky kosmické geodézie a definicí použitých souřadnicových systémů. Dvě kapitoly jsou věnovány podrobnému odvození lokálního transformačního klíče pomocí Helmertovy transformace a matematickým základům Křovákova zobrazení. Praktická část práce porovnává přesnost získaných výsledků pomocí globální transformace a vypočtené lokální transformace na několika úrovních a snaží se získat na definovaném testovacím okruhu co nejpřesnějších výsledků. V příloze je uveden popis programu, který byl vytvořen pro potřeby této práce.

Summary Spatial transformation accuracy for research of car trajectory The theoretical part of this thesis deals about the basic geodetic definitions, the cosmic geodesy resources and the definitions of used coordinate systems. Two of the chapters are dedicated to detailed deduction of the local transformation key by Helmert’s transformation and mathematic basis of the Křovák’s projection. The practical part of the thesis matches accuracy of acquired results by global and local transformation on several levels and try to get on the proving ground the most accurate results as possible. In the appendix is introduced description of the program created with correspondence of the requirements of coordinate transformation accuracy. Klíčová slova: Geodézie, Křovákovo zobrazení, Helmertova transformace, souřadnicový systém, kartografie, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, lokální transformační klíč Keywords: Geodesy,

Křovák‘s

projection,

Helmert‘s

transformation,

coordinate

system,

cartography, S-JTSK, WGS-84, ITRF-05, ETRS-89, local transformation key 3

Obsah: Seznam zkratek: ......................................................................................................... 6 1. Úvod .................................................................................................................... 8 2. Geodetické a kartografické základy ................................................................... 11 2.1. Základní geodetické pojmy: ......................................................................... 12 2.2. Kartografické zobrazovací metody .............................................................. 16 2.3. Prostředky kosmické geodézie .................................................................... 18 3. WGS-84 a další souřadnicové systémy ............................................................. 20 3.1. WGS-84 ....................................................................................................... 20 3.2. ETRS-89 ...................................................................................................... 21 3.2.1. Konvenční referenční systémy ...............................................................21 4. S-JTSK .............................................................................................................. 23 5. Helmertova transformace .................................................................................. 27 5.1. Základní Helmertova metoda ...................................................................... 27 5.2. Výpočet lokálního transformačního klíče ..................................................... 30 5.3. Metoda nejmenších čtverců ......................................................................... 33 5.4. Redukce souřadnic k těžišti ......................................................................... 34 6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK ........................................ 36 6.1. Přepočet geodetických souřadnic ETRS-89 do pravoúhlých ....................... 36 6.2. Sedmiprvková transformace souřadnic ....................................................... 36 6.3. Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických ............................ 36 6.4. Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných ................................ 38 6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční kouli 38 6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem .......... 39 6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní rovnoběžce a vrcholem kužele Q...........................................................................................39 4

6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé.............................................. 40 7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89....................................... 41 8. Globální transformace ....................................................................................... 43 9. Lokální transformace ......................................................................................... 49 10.

Porovnání přesnosti použitých transformací ................................................... 51

10.1.

Vyhodnocení globální a lokální transformace........................................... 51

10.2.

Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic ........................ 62

10.3.

S-JTSK/95 ................................................................................................ 64

11.

Závěr .............................................................................................................. 66

Seznam obrázků a tabulek: ...................................................................................... 69 Použitá literatura....................................................................................................... 71 Seznam příloh: ......................................................................................................... 75

5

Seznam zkratek: ADAS

Advanced Driving Assist Systems

AGS

astronomicko-geodetická síť

BIH

Bureau International de I’Heure

Bpv

výškový systém Balt po vyrovnání

CEP

Celestin Ephemeris Pole

CIO

Conventional International Origin

CTP

Conventional Terrestrial Pole

CZEPOS

česká polohová síť

DOPNUL

kampaň „doplnění sítě nultého řádu“ napojení polohy bodů na EUREF

DORIS

Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite

EGM 96

Earth Gravity Model 1996

ETRF-89

European Terrestrial Reference Frame 1989

EUREF

European Reference Frame

GIS

Geografické informační systémy

GLONASS

ГЛОбальная НАвигационная Спутниковая Система – Globální navigační satelitní systém (Rusko)

GNSS

Global Navigation Satellite System

GPS

Global Position System

GRS-80

Geodetic Reference System 1980

IAT

International Atomique Temps

ICRS(F)

International Celestial Reference System (Frame)

IERS

International Earth Rotation and Reference Systems Service

ITRS(F)

International Terrestrial Reference System (Frame)

LLR

Lunar Laser Ranging

MNČ

Metoda nejmenších čtverců

6

NATO

North Atlantic Treaty Organisation

PRARE

Precise Range And Range-rate Equipment

S-42/83

Souřadnicový systém 1942/1983

S-JTSK(/95)

Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (zdokonalený)

SLR

Satellite Laser Ranging

TB

trigonometrický bod

TL

triangulační list

UTC

Coordinated Universal Time

UTM

Universal Transverse Mercator

VLBI

Very Long Baseline Interferometry

VÚGTK

Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický

WGS-84

World Geodetic System 1984

ZÚ

Zeměměřičský úřad

7

1. Úvod V rámci výzkumu pozornosti řidiče a jeho vlivu na řízení lze zkoumat odchylku od zamýšlené ideální trajektorie. Tyto odchylky mohou být způsobeny únavou řidiče (mikrospánky) nebo ovládáním různých zařízení na palubní desce (radiopřijímač, navigace) a mohou vést k vážným zdravotním následkům posádky. Takovéto jevy je nutné zkoumat, aby jim bylo možno předcházet. Odchylku od trajektorie silničního vozidla lze v zásadě zkoumat dvěma metodami. První vhodnou metodou je použití simulace. Na silničním simulátoru je stanovena dráha, kterou projíždí vybraný proband a vyhodnocuje se reálná poloha vozidla. Prostředí simulátoru může používat vlastní souřadnicový systém, nebo systém převzatý například z GIS (Geografické informační systémy). Odchylka polohy vozidla od ideálního stavu je následně vyhodnocena sestaveným programem. Jedná se o bezpečnou laboratorní metodu, při které lze zkoumat i nebezpečné jevy (mikrospánky). Výhodou je snadná změna promítaného prostředí, které působí na chování řidiče (monotónní krajina, hustá zástavba), náročné je však vymodelování tohoto prostředí. Druhou metodou je měření v reálné situaci. Proband projíždí vybraný okruh a měří se jeho poloha metodou GPS (Global Position System). V této situaci vstupují do měření parametry, které lze na simulátoru snadno odstranit (hustý provoz, chodci), v reálné situaci je však nutné s těmito vlivy počítat. Do naměřené odchylky vozidla navíc vstupuje najednou několik poruchových veličin (např. nepřesnost v určení ideální jízdní dráhy, nepřesnost určení polohy GPS, ztráty přesnosti při transformaci souřadnic). Přestože lze polohu vozidla měřit i pomocí jiných metod, GPS se v tomto ohledu nabízí jako velice výhodné řešení. Není nutno dělat žádné zásahy do infrastruktury ani omezovat provoz na pozemních komunikacích. Instalace přijímače do měřeného vozidla je rovněž velice snadná. Do současné doby bylo měření prováděno výhradně pomocí silničního simulátoru. Snahou je však měření přiblížit co nejvíce realitě, proto společnost Škoda Auto a.s. nyní zavádí měření v reálné situaci. Měření je prováděno pomocí diferenciální GPS, která výrazně zpřesňuje určení pozice vozidla. Referenční stanice s přesně známou polohou byla umístěna přibližně ve středu silničního okruhu, na kterém probíhalo 8

měření a získávala korekční signál ze sítě CZEPOS (Česká polohová síť). Přijímač GPS byl umístěn na střeše vozidla společně s kamerou, která snímala krajní jízdní pruh a zaznamenávala změny polohy vozidla vůči tomuto vodícímu pruhu. Data z přijímače

GPS

byly

zaznamenávány

v intervalu

menším,

než

1

s.

a

zaznamenávána byla zeměpisná šířka (přesnost na 8 desetinných míst), zeměpisná délka (přesnost na 8 desetinných míst) a elipsoidická výška (přesnost na 3 desetinná místa) na elipsoidu WGS-84. Měření prováděla Škoda Auto a.s., určení přesnosti naměřené polohy je proto v kompetenci společnosti Škoda Auto a.s. (podrobnosti např. v [39]). Prostorové

vyjádření

polohy

v zeměpisných souřadnicích

není

vhodné

pro

vyhodnocování odchylek od ideální trajektorie vozidla. Proto je nutné prostorové souřadnice převádět do souřadnic rovinných. V rovinných souřadnicích lze snadno matematicky i graficky vyjádřit možnou odchylku od ideální polohy. Při transformaci souřadnic za použití některé z kartografických projekcí však dochází ke ztrátám přesnosti. Transformací prostorových souřadnic, které používá GPS, do souřadnic rovinných, které jsou využívány na území ČR, se zabývá tato práce. Vyhodnocení GPS se provádí na referenčním elipsoidu značeném WGS-84 (World Geodetic System 1984). Naproti tomu terestrický systém, ve kterém je většina českých map je tzv. souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). S-JTSK je založen na jiném elipsoidu a vyznačuje se lokálními odchylkami, které komplikují transformaci [8], [21]. Hlavním úkolem této práce je nalezení vhodné transformační metody s přijatelnou chybou a určení poruchových veličin, které mohou mít vliv na přesnost transformace mezi uvedenými systémy. Postupy popsané v této práci nejsou vázány k zadanému projektu, ale mohou být použity i v jiných aplikacích, a to nejen dopravního charakteru. Přesnost určení polohy bodu v rovině po transformaci souřadnic lze vyjádřit kružnicí, při určování maximální odchylky od ideální trajektorie pak obálkou těchto kružnic (viz. Obrázek 1). Při následujících transformačních postupech, kdy bude popisována přesnost polohy vozidla, je myšlena přesnost naměřeného bodu ve vozidle. Bod je určen umístěním přijímače GPS v prostoru vozidla. Pro zjištění celkové odchylky je nutné k transformační odchylce započítat odchylku v určení polohy pomocí GPS. 9

Obrázek 1 – rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla

Zadaný problém zjištění přesnosti převodu dat z moderní GPS aparatury do terestrického systému českých map je nutné řešit ve 2 hlavních fázích. První fáze spočívá ve vymezení území měření, určení transformační metody, odchylek hlavního transformačního klíče v pevných bodech a zkreslení vzdáleností. V následující fázi je třeba najít takový lokální klíč, který by pro měřenou splňoval stanovená kritéria přesnosti. Tato práce je rozdělena do 11 hlavních kapitol. První čtyři kapitoly seznamují se základními skutečnostmi, které vedou k transformačnímu postupu, podrobně popsaného v následujících kapitolách 5, 6 a 7. V kapitolách 8 a 9 jsou uvedeny výsledky provedených transformací a v následující kapitole jsou tyto výsledky porovnány.

10

2. Geodetické a kartografické základy Měření polohy souřadnic bodů na Zemi je problém geodetický. Následný převod naměřených veličin do roviny pak problém kartografický. Oba problémy vstupují do procesu zpracování a vyhodnocování polohy vozidla a její přesnosti v aplikacích asistenčních systémů (ADAS). S vývojem technických prostředků jsou nám k dispozici stále přesnější údaje a je zřejmé, že některá měření provedená v minulosti nebyla zcela věrohodná 1. Při zjišťování polohy bodů (či trajektorie pomocí bodů) na mapě je nutné mít na paměti, že jejich přesnost nikdy není absolutní a vlivem přírodních jevů dochází ke drobným změnám jejich vzájemné polohy v čase. Nepřesnosti nastávají především při: 1. měření samotném Jedná se především o nepřesnost měřící soustavy nebo různé fyzikální jevy, které do výsledné polohy vysílače a přijímače není možno započítat. 2. převodu geodetických dat do roviny Při použití jakékoli kartografické metody lze zachovat pouze některé vlastnosti zobrazení – úhly (konformní zobrazení), délky v určitém směru (ekvidistantní zobrazení) nebo obsahy ploch (ekvivalentní zobrazení). 3. transformaci různých kartografických děl Pro některé lokální mapy jsou zobrazení natolik složitá, že při jejich transformacích platí pouze omezené klíče. 4. nepřesnosti vyplývající z použitých metod Jedná se o špatně lokalizovatelné chyby, např. nepřesně ležící elipsoid WGS84 v těžišti Země. Tato práce se dále nebude zabývat přesností měření samotného, protože to je natolik složitá záležitost, že jí lze věnovat samostatnou práci. Při transformaci souřadnic tak naměřená poloha vstupuje do výpočtu jako absolutní hodnota. Předmětem této práce jsou především prostřední dvě kategorie nepřesností uvedené výše.

1

bez prostředků kosmické geodézie (kapitola 2.3), jedná se např. o systém S-JTSK

11

2.1.

Základní geodetické pojmy:

Poloha každého objektu je vyjádřena hodnotami souřadnic v definovaném souřadnicovém systému. Určováním vzájemné polohy bodů na Zemi, zkoumáním tvaru a fyzikálních vlastností zemského tělesa se zabývá obor Geodézie 2. Geoid je základním modelem zemského tělesa. Vychází ze skutečnosti, že ideální zemský povrch lze definovat jako plochu, na kterém má tíhová síla v každém místě stejnou hodnotu. Tuto plochu pokládáme na úroveň klidné střední hladiny moří (tzv. nulová hladinová plocha). Jedná se o myšlenou nulovou ekvipotenciální plochu, kolmou v každém bodě na směr zemské tíže. Nadmořská výška je pak výškou nad geoidem (nadmořská výška hladin jednotlivých moří je různá 3). Modelování plochy geoidu je značně obtížné, proto je většinou nahrazován modelem rotačního elipsoidu. Modelů rotačních elipsoidů (referenční elipsoidy) je několik, a jsou určovány na základě aproximace daného území, pro které jsou určeny. Referenční elipsoidy jsou určeny primárními a sekundárními parametry. Jedná se především o rozměry hlavní a vedlejší poloosy, zploštění a excentricitu. S referenčním elipsoidem je spjat používaný souřadnicový systém. To je mnohdy problém, protože těžiště používaných elipsoidů neleží ve stejném bodě. Při převodu zobrazení na různých referenčních elipsoidech je proto nutné přistoupit k prostorové transformaci souřadnic. Výhodné je zavedení světového elipsoidu, který má těžiště v těžišti Země a jeho použití je univerzální kdekoli na Zemi. Po dlouhém vývoji se ustálilo používání světového geodetického systému WGS-84. Na rotačním zemském elipsoidu je určena soustava geodetických zeměpisných souřadnic (viz Obrázek 2).

2

z řeckého geo – Země a daiomai – dělím na území ČR se používá výškový systém baltský po vyrovnání (Bpv), kdy je za nulovou výšku považována hladina Baltského moře ve městě Kronštandt

3

12

Obrázek 2 – soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8]

Vedlejší osa spojuje severní a jižní pól (Ps, Pj). Řez roviny procházející středem elipsoidu, kolmý k této ose, s plochou elipsoidu je rovník. Řezy rovin rovnoběžných s rovinou rovníku jsou rovnoběžky. Svazek rovin, procházejících osou rotace, seče povrch elipsoidů v polednících (meridiánech). Rovnoběžky a poledníky vytvářejí ortogonální soustavu čar – zeměpisnou síť [34]. Zeměpisná geodetická šířka φ je úhel, který svírá rovina rovníku s normálou k ploše elipsoidu (kladná na sever). Zeměpisná geodetická délka λ je úhel, který svírá rovina místního poledníku s rovinou základního poledníku (základním „nultým“ poledníkem je nejčastěji volen poledník, procházející astronomickou laboratoří v Greenwich v Londýně. Některá zobrazení používají základní poledníkem Ferro, který prochází stejnojmenným ostrovem v Kanárských ostrovech). Kladné hodnoty poledníků jsou směrem na východ. Elipsoidická výška H je vzdálenost od elipsoidu měřená po normále. Kladné hodnoty jsou vně elipsoidu. Elipsoidická a nadmořská výška se zásadně liší, viz. Obrázek 3.

13

Obrázek 3 – vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8]

Pro vyjádření polohy na povrchu Země jsou zeměpisné geodetické souřadnice φ, λ, H používané nejčastěji. Poloha elipsoidu může být ale vyjádřena i v pravoúhlých prostorových souřadnicích x, y, z (viz. Obrázek 4).

Obrázek 4 – prostorový souřadnicový systém [20]

Prostorový souřadnicový systém má počátek ve středu elipsoidu. Osa x je vložena do průsečíku rovníku a roviny základního (nultého) poledníku, osa z spojuje střed elipsoidu a severní pól a osa y leží v rovině rovníku otočena o 90º proti směru hodinových ručiček od osy x (geodetická orientace os) [17]. Mezi geodetickými souřadnicemi (φ, λ, H) a prostorovými souřadnicemi (x, y ,z) platí následující vztahy [21]:

1

cos

cos

cos

sin sin

(2.1)

14

kde je excentricita elipsoidu

(2.2)

1

a příčný poloměr křivosti

.

(2.3)

Matematické výpočty na ploše referenčního elipsoidu lze za určitých skutečností (území do 250 km) dále zjednodušit použitím referenční koule o daném poloměru R. Vztahy (2.1) se zjednoduší na: R sin

cos

R cos

sin

cos .

(2.4)

Na územích do 700 km2 lze zakřivení zemského povrchu zanedbat a výpočty ještě zjednodušit použitím referenční roviny. Pro určení polohy v rovině se využívá kartézské soustavy souřadnic. Jedná se o ortogonální souřadný systém, kdy počátek souřadnic a natočení souřadnicových os může být v rovině při kartografických aplikacích různé polohy. Je nutno pečlivě rozlišovat zda zadaný systém má „matematickou“ orientaci os, tj. kladná osa X se s kladnou osou Y ztotožní pootočením o 90º proti směru pohybu hodinových ručiček, nebo „geodetickou“ orientaci os, kdy se osy ztotožní pootočením po směru hodinových ručiček [17]. Pojmem souřadnicový systém se v oboru zeměměřictví míní soubor těchto údajů [17]: •

geodetické datum (elipsoid, jeho referenční bod, datum určení)

•

souřadnicový systém geografických souřadnic φ, λ (včetně volby základního poledníku)

•

zobrazovací rovnice (včetně voleb v nich použitých konstant)

•

souřadnicový systém rovinných souřadnic X, Y (včetně umístění počátku systému X, Y do obrazu geografické sítě, orientace os a matematických úprav souřadnic X, Y v rovině zobrazení, posuny počátku, násobení konstantou redukující délkové zkreslení aj.)

15

V souřadnicových systémech se udržuje síť geodetických bodů (geodetická síť). Geodetický bod je trvale označený bod stanovený měřičskými značkami. Rozlišují se bodová pole tíhová, výšková a polohová. Bodová pole jsou základní jednotky mapování povrchu Země a jejich změn [6]. Bodovým polem je např. S-JTSK nebo síť AGS zmíněné v kapitole 4.

2.2.

Kartografické zobrazovací metody

Teorií zobrazování referenční plochy zemského povrchu do roviny se zabývá vědní obor matematická kartografie 4. Obor kartografie úzce souvisí s geodézií a geografií, a nelze je oddělit. Všechny tyto obory společně s teorií informačních systémů a dalšími obory spoluvytvářejí Geografické informační systémy (GIS), který jsou mocným nástrojem využívaným v mnoha odvětvích (dopravu nevyjímaje). Transformační a zobrazovací postupy zde uvedené jsou nedílnou součástí software GIS. Při tvorbě mapy je důležité, aby referenční plocha, na kterou zobrazujeme, co nejlépe přimykala referenční ploše v dané oblasti. Tím se stane, že osa zobrazovací plochy není totožná se zemskou osou. Definuje se proto kartografický souřadnicový systém.

Kartografické

souřadnice

jsou

definovány

stejně

jako

souřadnice

zeměpisné, ale jsou vztaženy ke vhodně zvolenému kartografickému pólu K [3]. Přiřazení polohy bodů na dvou různých referenčních plochách označujeme kartografickým

zobrazením.

To

je

jednoznačně

matematicky

definováno

zobrazovacími rovnicemi. Převod dat do roviny se provádí několika metodami. Většinou se geoid převádí na referenční elipsoid (sféroid), na kterém se měření provádí. Elipsoid se často dále zobrazuje na Gaussovu kouli a ta se zobrazí do referenční roviny. Při procesu převodu referenčních ploch dochází ke kartografickým zkreslením. Zpravidla se jedná o tři druhy – zkreslení délkové, plošné a úhlové (směrníkové). Křivky konstantního zkreslení nazýváme ekvideformáty. Délkové ekvideformáty systému S-JTSK jsou uvedeny v příloze A na obrázku A.1.

4

Nejstarší nalezená mapa (Pavlovské vrchy) uložena v AV ČR v Brně je stará až 25000 let.

16

Z hlediska zkreslení lze hovořit o těchto zobrazeních [3]: •

ekvidistantní – nezkreslují se délky v určitých směrech

•

ekvivalentní – nezkreslují se plochy

•

konformní – nezkreslují se úhly

•

kompenzační – vše je zkresleno trochu

Z pohledu užité zobrazovací plochy lze hovořit o těchto zobrazeních: •

zobrazení na kulovou plochu – zobrazení elipsoidu na kouli

•

jednoduchá zobrazení – zobrazení do rozvinutelné plochy (kuželová, válcová, azimutální)

•

nepravá zobrazení (pseudokonická, pseudocylindrická, pseudoazimutální)

•

mnohokuželová zobrazení

•

zobrazení po vymezených částech

•

obecná

Nejčastěji používaná jsou jednoduchá zobrazení kuželová, válcová a azimutální. Jejich přehled spolu s polohou zobrazovací plochy je na Obrázek 5.

Obrázek 5 – jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8]

17

Azimutální projekce lze dále dělit dle druhu promítání: •

gnómonická – ze středu osy Země (velké zkreslení při větších vzdálenostech od středu mapy)

•

stereografická – z opačného pólu, než je položena zobrazovací plocha (konformní zobrazení)

•

ortografická – kolmo na zobrazovací plochu (ekvidistantní v rovnoběžkách)

Kartografických zobrazovacích metod je samozřejmě mnohem více, ale jejich popis není cílem této práce. Nástin uvedených metod jistě postačí k pochopení dále používaných postupů.

2.3.

Prostředky kosmické geodézie

Hodnoty souřadnic v geodetických souřadnicových systémech jsou v současné době zjišťovány pomocí kosmické geodézie. Následuje přehled hlavních používaných metod kosmické geodézie [5], [29]. ‐

VLBI (Very Long Baseline Interferometry) je technologie zaměřování velmi vzdálených kvasarů, používá se především při definici polohy referenčních soustav (ICRF) a určování přesného univerzálního času (UT). Podstata spočívá v určování časového posunu a změny tohoto časového posunu v čase příchodu stejné vlny rádiového záření pocházejícího z mimogalaktických zdrojů na alespoň dva radioteleskopy. Přesnost je v řádu mikrosekund.

‐

SLR (Satellite Laser Ranging) je technologie zaměřování vzdálenosti mezi pozemní stanicí a družicí pulsním laserem. Střední kvadratická chyba se pohybuje mezi 2 až 3 cm.

‐

LLR (Lunar Laser Ranging) měří vzdálenost mezi Zemí a Měsícem se střední kvadratickou chybou 1-5 cm.

‐

GPS (Global Positioning System) je rádiový dálkoměrný systém, kdy pomocí známé polohy družic a časovému zpoždění rádiové vlny mezi vysílačem (družice) a přijímačem lze určit polohu přijímače. Přesnost určení polohy se uvádí několik centimetrů u diferenciální GPS.

18

‐

DORIS (Doppler Obitography and Radiopositioning Integrated by Satellite) je systém založený na měření změn radiální vzdálenosti mezi pozemní stanicí a družicí na základě dopplerovského jevu. Přesnost změny vzdálenosti je charakterizována střední kvadratickou chybou 0,4 mm/s.

‐

PRARE (Precise Range And Range-rate Equipment) je založený na radiovém měření vzdáleností a změn vzdáleností s časem mezi stanicí a družicí.

19

3. WGS-84 a další souřadnicové systémy Následující kapitola definuje světové (evropské) souřadnicové systémy (včetně referenčních elipsoidů) používané v ČR. Zobrazením a souřadnicovým systémům určeným výhradně pro ČR (resp. Československo) se věnuje kapitola 4.

3.1.

WGS-84

Souřadnicový systém (rovněž referenční elipsoid), na kterém probíhá měření GPS je označován jako WGS-84 (World Geodetic System 1984). WGS-84 byl původně vyvinut armádou USA, nyní je standardizovaným globálním geodetickým geocentrickým systémem armád NATO (North Atlantic Treaty Organisation). Počátek leží v těžišti Země. Osa x je průsečnice referenčního poledníku WGS-84 (nultý poledník definovaný BIH) a roviny rovníku vztaženého ke konvenčnímu terestrickému pólu CTP (Conventional Terrestrial Pole). Osa y vytváří pravoúhlý pravotočivý systém a osa z má směr ke konvenčnímu terestrickému pólu definovaného BIH na základě souřadnic stanic definující BIH [8]. Systém WGS-84 je pevně spojený se zemí a je definován primárními a sekundárními parametry. Primární parametry definují rozměry referenčního elipsoidu, úhlovou rychlost rotace vůči nebeskému referenčnímu systému a součin gravitační konstanty a hmoty Země, soustředěné v referenčním elipsoidu. Sekundární parametry definují model zemského gravitačního pole pomocí rozvoje geopotenciálu do sférických harmonických funkcí. Model gravitačního pole EMG-96 je možno využít pro výpočet průběhu plochy geoidu WGS-84. Přesnost geocentrických souřadnic bodů přímo určených v systému WGS-84 na základě technologie GPS, je charakterizována středními kvadratickými chybami v zeměpisné šířce (B) a zeměpisné délce (L) mB = mL < 0,4 m a geodetické výšce (H) mH < 0,5 m. Do této chyby je započítána odchylka určení počátku souřadnicového systému (asi 0,1 m v každé ose), určení rozměru sítě a měřické chyby [8]. Systém WGS-84 je definován jako pravoúhlý a zároveň geodetický systém. Mezi pravoúhlými a geodetickými souřadnicemi platí vztahy (2.1) až (2.3).

20

3.2.

ETRS-89

WGS-84 zdaleka není jediný systém používaný při geodetických měřeních. V ČR jsou pro civilní sféru bodová pole pro systém S-JTSK navázána na systém ETRS-89 (European Terrestrial Reference System 1989), který byl použit při lokální transformaci popsané níže. ETRS-89 je odvozen z dále popsaných konvenčních referenčních systémů. 3.2.1. Konvenční referenční systémy Referenční systém je určen souborem konstant, algoritmů a technologií a referenčním rámcem. Referenční rámec je soubor objektů (hvězd, bodů), kterým jsou přiřazeny souřadnice a změny těchto souřadnic v čase. Lze rozlišit dva základní konvenční systémy [29]. Jedná se o mezinárodní nebeský referenční systém ICRS (International Celestial Reference System) a mezinárodní terestrický referenční systém ITRS-YY (International Terrestrial Reference System), kde YY je dvojčíslí roku realizace. Systém ICRS má počátek v barycentru sluneční soustavy, osa z je totožná s konvenčním efemeridovým pólem CEP (celestin ephemeris pole) v epoše J2000.0 a osa x směřuje do jarního bodu této epochy. Osa y dělá systém pravotočivým. Referenční rámec ICRF (International Celestial Reference Frame) je realizován 212 rádiovými zdroji výhradně pomocí nejpřesnější technologie VLBI. Systém ITRS má počátek ve hmotném středu Země, osa z je totožná s konvenčním mezinárodním počátkem CIO (conventional International Origin), osa x leží v rovině greenwichského poledníku a osa y doplňuje systém na pravotočivý. Referenční rámec ITRF (International Terrestrial Reference Frame) je realizován pomocí bodů ležících na povrchu Země. Tyto body mají souřadnice definované jako funkce času. Vlivem tektonických pohybů, variací geocentra a dalšími vlivy se jejich hodnoty mění. Systém ITRS je definován pomocí prostředků kosmické geodézie popsaných v kapitole 2.3 (jedná se o SLR a VLBI pro ITRF-2005). Mezi systémy ICRS a ITRS platí převodní vztah. Oba systémy jsou časově proměnné. ITRS díky jevům precese, nutace, pohybům pólů, pohybům kontinentů nebo vlivem variace v rotaci země, ICRS nestálostí vzdálených kosmických objektů a dalšími vlivy. Z tohoto pohledu je systém ICRS přesnějším systémem. 21

Systém ETRS-89, který byl použit při transformaci, je odvozen od systému ITRS a spojen s euroasijskou kontinentální deskou, takže roční časové změny jsou max. v řádu milimetrů. Referenční rámec ETRF-89 je realizován technologiemi SLR a VLBI. Systém ETRS-89 není zastaralý systém, ale z praktických důvodů nemá konstantní polohu souřadnicových os (souřadnicové osy se natáčejí dle pohybu euroasijské kontinentální desky). Novější měření mohou být transformována do ETRS-89. Systém ITRS používá elipsoidu GRS-80 (Geodetic Reference System 1980). Ten je svými parametry velice podobný elipsoidu WGS-84, proto je možno tyto elipsoidy při výpočtech zaměnit [21]. Od roku 1994 je systém WGS-84 ztotožněn se systémem ITRS [32]. Přesnost statických bodů je tedy nezávislá na tom, zda se použije systém ETRS-89 nebo WGS-84. To však platí jen do určité přesnosti, ve skutečnosti se souřadnice ve WGS-84 a ETRS-89 v roce 2005 lišila až o 0,3 m [4]. Při přesných výpočtech je proto nutné provést i transformaci mezi systémy WGS-84 a ETRS-89 v patřičné epoše (viz. kapitola 7). Porovnání obou elipsoidů (WGS-84 a GRS-80) a přehled dalších používaných elipsoidů s jejich hodnotami uvádí Tabulka 1. Tabulka 1 – některé používané elipsoidy

Elipsoid:

Používané soustavy:

Parametry elipsoidu: a – velká poloosa [m]: b- vedlejší poloosa [m]: 6378137,0 6356752,31425

f-1 – 1/zploštění: 298,257223563

WGS-84

UTM

GRS-80

ITRF, ETRS

6378137,0

6356752,31414

298,257222101

Hayfordův 1909

Mezinárodní mapy S-JTSK

6378137,0

6356911,94613

297,0

6377397,15508

6356078,96290

299,152812853

S-42

6378245,0

6356863,01877

298,3

Besselův 1841 Krakovského 1940

Aktualizace údajů bodových sítí v systému ETRS-89 včetně rozvoje geodetických základů ČR pomocí družic GNSS je prováděna pomocí permanentních stanic sítě CZEPOS (Česká polohová síť). Jedná se o 26 stanic rozmístěných rovnoměrně na celém území ČR [31].

22

4. S-JTSK V České Republice se v současné době používají dvě základní zobrazení. Systém SJTSK určený pro civilní sféru a systém S-42 určený pro vojenské použití. Vojenské mapy po vstupu do NATO přecházejí na zobrazení UTM (Universal Transverse Mercator). V civilní oblasti se asi ještě nějakou dobu bude používat S-JTSK, případně novější S-JTSK/95. Následující text, stejně jako následná transformace se věnuje souřadnicovému systému S-JTSK. Systém jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK) vznikal mezi lety 19201958. Po vzniku republiky v roce 1918 bylo třeba co nejdříve vytvořit samostatný geodetický základ a vymyslet vhodnou kartografickou projekci. Již v roce 1919 byla založena Triangulační kancelář (zřizovatel ministerstvo financí ČSR), jejímž předsedou se stal Ing. Josef Křovák [5]. Josef Křovák navrhl zobrazení, které bylo vhodné pro potřeby ČSR a mělo vhodné minimální deformace. Ve svém návrhu transformace zvolil konformní zobrazení Besselova elipsoidu na zmenšenou kouli a následně konformní kuželové zobrazení v obecné poloze. Pól kužele Q má zeměpisné souřadnice jQ= 59°42'42,7'' s.š. a lQ= 42°31'31,4'' v.d. od Ferra. Plášť kužele se dotýká referenční koule v horizontální kružnici S0, která prochází bodem A (lA= 42°31'31,4'', jA= 48°12'42,7'') na území Podkarpatské Rusi. Tato kružnice je ve výchozím bodě A kolmá na základní poledník (lA= 42°31'31,4''), prochází středem území a její kartografická šířka je 78°30' [10] (viz. Obrázek 6).

Obrázek 6 – Křovákovo zobrazení [20]

23

Kartografické poledníky se v tomto zobrazení zpodobňují jako svazek paprsků vybíhajících z vrcholu kužele. Kartografické rovnoběžky se zobrazují jako soustředěné kružnice o poloměrech R. Rovinné souřadnice S-JTSK se zapisují (Y, X)S-JTSK, osa X je orientovaná k jihu a osa Y na západ. Tomuto zobrazení se často říká Křovákovo zobrazení po jeho tvůrci. V S-JTSK se tohoto zobrazení používá dodnes. Obrázek tohoto zobrazení je v příloze A.2. Práce na trigonometrické síti I. řádu byly ukončeny roku 1927 a všech 268 naměřených bodů bylo vyrovnáno. Při měření bylo rozhodnuto, že se převezmou osnovy měřených směrů z rakouské vojenské triangulace (1862-1898). S touto vojenskou sítí měla nově vznikající S-JTSK společných 107 bodů. Pomocí Helmertovy transformace byla určena kvalita vojenské triangulace, z nichž jen 42 bodů v Čechách posloužilo pro určení rozměru, orientace a polohy S-JTSK na Besselově elipsoidu (v Podkarpatské Rusi se jednalo o 22 bodů). V následujícím období se síť zhušťovala body II. až V. řádu, kdy po každém zhuštění bylo provedeno vyrovnání. Tak bylo nakonec naměřeno přes 47000 bodů, jejichž průměrná vzdálenost je kolem 2 km. Kvůli finančním i časovým důvodům se za celou dobu budování S-JTSK neprovedlo žádné astronomické měření ani měření nových základen. Právě z těchto důvodů vzniku byla poloha celé sítě špatně nakloněná, ohnutá a v jednotlivých bodech nastaly různé odchylky. Po první světové válce se započalo s budováním astronomicko-geodetické sítě (AGS) na tehdejší dobu přesnými měřícími prostředky (viz. příloha A.3). Do roku 1955 bylo astronomicky zaměřeno 53 bodů a 6 základen. Nový systém označený S42 byl vyrovnán a body S-JTSK byly do něj postupně transformovány. S-42 používá Krakovského elipsoid a Gaussovo zobrazení. Tento systém je přesnější a celkově lépe orientován. Následně byl ještě poopraven na systém S-42/83. Přehled nejdůležitějších souřadnicových systémů používaných v ČR uvádí tabulka 2 (podrobněji v [10], [16]).

24

Tabulka 2 – přehled souřadnicových systémů používaných v ČR Systém souřadnic:

Zkratka:

Druh zobrazení:

Přesnost zobrazení:

Souřadnicový systém Jednotné trigonometrické sítě katastrální

S-JTSK

Křovákovo dvojité konformní zobrazení (na kouli a následně na kužel)

Technickými prostředky konce 19.století a přístroji 1.pol. 20.stol.

Souřadnicový systém 1942

S-42

Gaus-Kruegerovo cylindrické zobrazení v transverzální poloze

Technickými prostředky poválečného období a astronomickým měřením

Universal Transverse Mercator

UTM

Transverzní Mercatorovo zobrazení

Stále se zdokonalující mřížkový systém pro celosvětové použití určený prostředky GPS

European Terrestrial Reference System

ETRS89

cylindrické zobrazení v transverzální poloze

Stále se zdokonalující systém definovaný pro evropský kontinent, určený VLBI

Po druhé světové válce byla snaha začlenit geodetické základy ČSR do soustavy astronomicko-geodetické

sítě

SSSR.

To

se

nejprve

provedlo

předběžnou

transformací bodů S-JTSK do nového systému S-52. Tento systém však nepřinášel nic nového a měl stejné lokální deformace jako systém S-JTSK. Koncem 90. let 20. stol. se začala v Evropě mohutně budovat celoevropská referenční síť (EUREF), do které se ČR zapojila v roce 1991 kampaní EUREF-CS/H 91. Při této kampani bylo měřeno na 6 bodech a následně napojeno na evropskou síť. Následovali kampaně CS-NULRAD-92 a DOPNUL, které vytvořili národní referenční síť napojenou na EUREF. Pro body této sítě jsou tak určeny zpřesněné souřadnice v S-JTSK i v ETRS-89. Tím bylo umožněno aplikovat měření GPS na území ČR a následnou transformaci do S-JTSK. Přehled důležitých kampaní uvádí Tabulka 3 (podrobněji např. v [5], [6], [19]).

25

Tabulka 3 – přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy

Kampaň:

Realizace:

Důvod:

Lokalizace:

Počet měřených bodů:

Měření jednotné trigonometrické sítě I. řádu

1920-1927

Tvorba geodetického systému pro nově vzniklé Československo

Bývalé Československo

268 bodů

Měření jednotné trigonometrické sítě II.-V. řádu

1928-1957

Zhušťování jednotné trigonometrické sítě


přes 29000 bodů

Tvorba vojenské sítě S42

Bývalé Československo (a státy východního bloku)

asi 40000 bodů

První realizace ETRS-89 v ČR


6 bodů

ČR a SR

19 bodů

ČR, SR, Německo

-

ČR

celkem 176 bodů

Měření astronomickogeodetické sítě (AGS)

měření 1950-1955 stabilizace 1956-1958

EUREF-CS/H-91

1991

CS-NULRAD-92

1992

CS-BRD-93

1993

DOPNUL

1993-1994

Vytvoření sítě nultého řádu Spojení české a slovenské sítě s obdobnou sítí v Německu Doplnění sítě nultého řádu

26

5. Helmertova transformace Jak bylo stručně uvedeno v předchozí kapitole, Křovákovo zobrazení v S-JTSK má lokální

odchylky

[21].

Z toho

vyplývá,

že

neexistuje

přesný

matematický

transformační klíč pro celé území ČR. Lze najít přibližnou transformaci pomocí bodů, pro které jsou známy souřadnice v ETRS-89 i S-JTSK. Pomocí těchto „upevněných“ bodů lze vytvořit transformační klíč, který bude aproximovat dané území. Po převodu souřadnic za použití zjištěného klíče nastanou na pevných bodech odchylky. Je třeba však mít na paměti, že v dané lokalitě nemusí být maximální odchylka rovná nalezené odchylce na porovnávaných bodech. Z uvedených bodů můžeme najít pouze hodnotu lokálního maxima. Transformovat

souřadnice

lze

několika

způsoby.

Mezi

používanější

patří

Moloděnského transformace, Helmerova transformace a transformace interpolační mřížkou. Výběr vhodného typu transformace závisí na požadované přesnosti vypočteného transformačního klíče. Porovnání transformace Moloděnského a Helmertovy jednoznačně hovoří pro použití Helmertovy transformace. Transformací interpolační mřížkou lze získat přesné výsledky (uvedené např. v [12]), vykoupené ale vyšší technickou náročností. K volbě Helmertovy

transformace

vede

především

možnost

získání

jednoznačného

transformačního klíče, který lze zjistit pro jakékoli souřadnicové systémy. Helmertova transformace je nejpoužívanější transformací pro převod mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK. Běžně se používá v geodézii a dalších oborech. Touto transformací je navíc určen nový zpřesněný systém S-JTSK/95, který odstraňuje lokální odchylky (viz kapitola 10.3) a využívá jí většina produktů GIS.

5.1.

Základní Helmertova metoda

Helmertova 7-prvková transformace je lineární konformní podobnostní transformace s vyrovnáním koeficientů podle metody nejmenších čtverců. Následující vztahy jsou podrobně popsány např. v [23], [24], [25] a [26]. Vztah dvou souřadnicových systémů lze popsat pomocí polohového vektoru r’. Uvažujme dvě prostorové pravoúhlé pravotočivé soustavy (viz. Obrázek 7), kde

27

počátek vektoru r‘ je umístěn v počátku soustavy I. (ETRS-89) a konec v počátku soustavy II. (S-JTSK).

Obrázek 7 – vztah polohy dvou elipsoidů [16]

Translační vektor jednoznačně určí posun počátku, označme tyto složky jako složky translace ,

,

(5.1)

Natočení souřadnicových soustav v prostoru může být různé. Vzájemný vztah natočení je vyjádřen maticí rotace R. Postupným otáčením os proti směru hodinových ručiček při pohledu proti směru kladné osy nejprve o úhly

,

,

dle

Obrázek 7 získáme tyto matice: 1 0 0

0 cos sin

cos 0 sin cos sin 0

0 sin cos 0 1 0

sin 0 cos

sin cos 0

0 0 1

(5.2)

Složky rotace vypočteme podle ,

,

(5.3)

Po roznásobení matic dostáváme 28

,

,

(5.4) cos

cos

cos

sin

sin

cos

cos

sin

cos

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

sin

sin sin

sin

sin sin

sin

sin

cos

sin

cos

cos

cos

V referenčních systémech používaných v geodézii jsou zpravidla úhly otočení velmi malé (v řádu obloukových vteřin), proto lze goniometrické funkce linearizovat. sin

sin cos

sin cos

cos

(5.5) 1

(5.6)

Po dosazení do rovnice (5.4) dostáváme 1 ,

1

,

(5.7) 1

Položíme-li ještě

0, lze matici R upravit na 1 ,

1

,

1

(5.8)

Tento výsledný tvar již nezávisí na pořadí otáčení os souřadnic. V geodetických aplikacích se v transformaci uplatňuje změna měřítka. Pokud je v každé ose jiná, jedná se o afinní transformaci. V tomto případě lze počítat s měřítkem, které je ve všech osách stejné (konformní transformace). Změna měřítka se označuje 1

(5.9)

Pokud je r vektor souřadnic bodů v souřadnicovém systému I. (ETRS-89), ′ ′

(5.10)

′

můžeme psát výsledný vztah pro polohový vektor lineární konformní podobnostní prostorové transformace.

29

1 ·

·

1 1 1

1

1 1 (5.11)

Z rovnice (5.11) je patrné, že pro převod souřadnic mezi dvěma soustavami potřebujeme znát 7 parametrů. •

translační složky os x, y, z (pro zjištění vektoru posunu počátku)

•

rotační složky os ωx, ωy, ωz, (pro zjištění pootočení jednotlivých os)

•

poměr měřítek

Parametry transformace mezi ETRS-89 a S-JTSK lze snadno najít v některé literatuře (např. [21]). Většinou se jedná o globální transformační klíče počítané z bodů kampaně DOPNUL, platné pro celou ČR. Jelikož S-JTSK vykazuje lokální transformace, lze tyto klíče použít jen do určité přesnosti. Pokud je požadována maximální přesnost transformace, lze pomocí identických bodů určit lokální transformační parametry. Identické body by měli být rovnoměrně rozprostřeny kolem zkoumané lokality, aby nedocházelo k extrapolaci dat, což negativně ovlivňuje výsledek pokusu. Uvnitř území by měli být body rovněž rozprostřeny rovnoměrně tak, aby se postihly všechny směrové deformace.

5.2.

Výpočet lokálního transformačního klíče

Jelikož se jedná se o transformaci s nadbytečným počtem identických bodů, je nutné zvolit kritérium minimalizace charakteristiky chyby. Obvykle se používá minimalizace efektivní hodnoty chyby nebo minimalizace maximální radiální chyby. Při volbě vhodné charakteristiky chyby byly uvažovány výsledky aplikace globální transformace. Při vyhodnocování přesnosti globální transformace byla použita minimalizace maximální radiální chyby, dle doporučení v [21]. Tato metoda má však vyšší statistické odchylky, proto byla pro výpočet lokálního klíče zvolena metoda nejmenších čtverců (MNČ - minimalizace efektivní hodnoty chyby). Výpočet transformačního klíče vychází ze vztahu (5.11). Po aplikaci transformačního klíče, získaného pomocí MNČ, na identické body se hodnoty souřadnic v systému II. (S-JTSK) budou lišit od původních hodnot.

30

Platí tak rovnice oprav: ° ° °

°

(5.12)

- souřadnice S-JTSK získané transformací – známé souřadnice v systému S-JTSK

Dosazením rovnice oprav (5.12) do (5.11) získáváme 1 1

(5.13)

1

Tento vztah lze snadno vyjádřit rovnicemi

(5.14)

Protože se v rovnicích (5.14) vyskytují násobky hledaných hodnot, je nutné zavést substituci

(5.15)

Rovnice (5.14) lze pak upravit na tvar

(5.16)

Pro vyjádření transformačního klíče je nutné převést soustavu na 3 ,1

kde

3 ,7

7,1

3 ,1

(5.17)

3 (pro prostorovou transformaci) a platí

31

(5.18)

3 ,1

7,1

(5.19)

3 ,1

(5.20)

Matice A tak vyplyne z rovnice (5.17), resp. (5.16): 1 0 0 0 1 0 0 0

3 ,7

1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0

0 0 1

Výsledný vztah

(5.21) 0 0 0

lze vyjádřit jako

32

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

0 0

(5.22)

0

0 1 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0

0 0 1

Na rovnici (5.22) lze nyní snadno aplikovat metodu nejmenších čtverců.

5.3.

Metoda nejmenších čtverců

Tato často používaná metoda je vhodná pro lineární transformace. Je všeobecně známo, že požadavkem MNČ je, aby ∑

.

(5.23)

Chceme tedy, aby byli minimální i jednotlivé složky vektoru (např. jedná se tedy o minimalizaci skalárního součinu. Platí složky

a

.

. ,

. a stejně i pro

.

Transpozicí rovnice (3.17) dostáváme: (5.24)

Pro minimum skalárního součinu platí: .

(5.25)

Lokální extrém lze najít položením první derivace rovno nule. 2

2

0

(5.26)

Vyjde soustava normálních rovnic, které mají tvar: 0

(5.27)

Vyjádřením vektoru h (transformační klíč) dostáváme výsledný vztah 33

(5.28)

Pro zjištění transformačního klíče lze postupovat takto: 1. souřadnice identických bodů vyjádříme v souřadnicích x’, y’, z’ systému I. (ETRS-89) a x ,y, z systému II. (S-JTSK) 2. hodnoty souřadnic dosadíme do (5.22) 3. vypočítáme transformační klíč dle (5.28) Pro výpočet klíče bylo použito prostředí Matlab. Při výpočtu inverze složitějších matic však dochází ke ztrátě přesnosti. Prostředí MATLAB, přestože je vytvořeno pro operace s maticemi, může hlásit takovouto chybu: Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. V horším případě pak Warning: Matrix is singular to working precision. Částečně lze tento numerický problém vyřešit zvýšením přesnosti ze standardního short (4 desetinná místa) na long (14 desetinných míst) příkazem format long. Obecně však problém zůstává a je ho třeba řešit obejitím výpočtu inverzní matice. Řešením normálních rovnic je vyrovnaný transformační klíč, který souřadnicové systémy I. a II. neztotožní v žádném z identických bodů, ale splňuje podmínku minimální efektivní hodnoty na všech identických bodech. To způsobí, že oba souřadnicové systémy se ztotožní v těžišti identických bodů, a kolem tohoto bodu se .

natočí tak, že je splněna podmínka

Tato skutečnost přivádí na upravené řešení Helmertovy transformace, které obchází výpočet inverzní matice. Výpočet modifikovaného řešení spočívá v redukci souřadnic k těžišti [24].

5.4.

Redukce souřadnic k těžišti

Nejprve je nutné zjistit souřadnice těžiště identických bodů v systému ETRS-89 ,

,

∑

,

∑

,

∑

(5.29)

34

A následně zavést redukované souřadnice k těžišti identických bodů v systému ETRS-89

,

,

. ′, ′, ′ ′

′

′

,

,

′

(5.30) ′

′

Kontrolu redukovaných souřadnic lze provést podle ∑

∑

∑

0

(5.31)

Původní souřadnice nahradíme v matici A souřadnicemi redukovanými. Sestavíme opět rovnici (3.17). Vzhledem k zavedení redukovaných souřadnic přejde matice normálních rovnic

na diagonální tvar. Inverzní matici pak jednoduše zjistíme dle 0

0

(5.32)

0

0

A dále řešíme dle metody nejmenších čtverců popsané v kapitole 5.3. Při dosazení konkrétních hodnot lze vidět, že hledané hodnoty

jsou souřadnice

těžiště soustavy v systému II. (S-JTSK). Tím se potvrzuje, že se oba souřadnicové systémy

ztotožní

v těžišti.

Výpočtem

těžiště

v systému

II.

a

porovnáním

s vypočtenými hodnotami translace lze snadno ověřit správnost výpočtu. Na závěr výpočtu transformačního klíče se obvykle provádí výpočet míry ztotožnění obou systému pomocí středních rozdílů ∑

, ∑

a

. ∑

(5.33)

35

6. Převod souřadnic mezi systémy ETRS-89 a S-JTSK Pokud je znám transformační klíč, lze přistoupit k samotnému převodu souřadnic ze systému ETRS-89 do systému S-JTSK. Postup převodu je uveden na následujícím schématu. , ,

, ,

, ,

, ,

,

Celý postup se skládá ze čtyř postupných převodů souřadnic, které jsou uvedeny v kapitolách 6.1 až 6.4 [3], [13], [16], [21], [29].

6.1.

Přepočet

geodetických

souřadnic

ETRS-89

do

pravoúhlých , ,

, ,

Jednoduchým dosazením do (2.1) až (2.3) lze vyjádřit pravoúhlé prostorové souřadnice.

6.2.

Sedmiprvková transformace souřadnic , ,

, ,

Použijeme vztah (5.11). Pro zjištění lokálního klíče je nutné souřadnice S-JTSK taktéž vyjádřit v pravoúhlých prostorových

souřadnicích.

Jedná , ,

se

o

inverzní

postup

postupu

,

popsaného v kapitole 6.4 a následného použití vztahu (2.1).

6.3.

Převod pravoúhlých souřadnic S-JTSK do geodetických , ,

, ,

Pokud označíme p vzdálenost bodu od počátku promítnutou do roviny geodetického rovníku, platí (6.1)

Z toho plynou vztahy cos

sin

,

(6.2)

36

dostáváme tan

(6.3)

Pro geodetickou délku platí 2 arctan

(6.4)

a pro výšku a šířku platí cos

(6.5) sin

1

(6.6)

Eliminací výšky z (2.1) dostáváme rovnici pro zeměpisnou šířku tan

(6.7)

Tuto rovnici lze řešit například prostou iterací. Platí

1,2, … ,

(6.8)

při počáteční hodnotě ,

(6.9)

což odpovídá řešení pro nulovou elipsoidickou výšku. Poté určíme geodetickou šířku arctan

(6.10)

a elipsoidickou výšku. √1

(6.11)

37

6.4.

Převod geodetických souřadnic S-JTSK do rovinných ,

, ,

Postup převodu do rovinných souřadnic Křovákova zobrazení je uveden na následujícím schématu: ,

,

Š,

,

,

– geodetické souřadnice na Besselově elipsoidu

,

– sférické souřadnice na referenční kouli

Š,

,

- kartografické souřadnice na referenční kouli s posunutým pólem Q

,

- polární souřadnice na kuželu s vrcholem Q

,

- pravoúhle rovinné souřadnice S-JTSK 6.4.1. Konformní Gaussovo zobrazení Besselova elipsoidu na referenční kouli ,

,

Sférická šířka U je dána vztahem tan

tan

,

(6.12)

z kterého lze získat 2 arctan k tan

(6.13)

Pro sférickou délku V platí (6.14)

Konstanty α a k jsou určeny zvolenou střední zeměpisnou šířkou 49°30′ 1

cos

1,000597498371542 ,

(6.15) (6.16)

38

tomu odpovídá střední kulová šířka arcsin

tan

49°2′35.84625′′

tan

(6.17)

1,003419163966575

(6.18)

6.4.2. Transformace souřadnic na Gaussově kouli s posunutým pólem ,

Š,

Souřadnice posunutého pólu Q jsou 48°15′

42°30′

(6.19)

Kartografická šířka Š sin Š

sin

sin

cos

cos

cos Δ

(6.20)

a kartografická délka D ∆

sin

kde

,

Š

(6.21)

je sférická šířka pólu Q posunutá o 11°30′ ,

2 arctan k tan

59°42 42.69689

(6.22)

a ∆ je rozdíl mezi poledníkem Q a poledníkem transformovaného bodu 42°31′31.41725 ∆

(6.23) (6.24)

6.4.3. Konformní kuželové zobrazení s tečným kuželem k základní rovnoběžce a vrcholem kužele Q Š,

,

Souřadnice šířky základní nezkreslené rovnoběžky je 78°30′ ,

(6.25)

z toho lze vypočítat polární souřadnice pomocí

39

(6.26)

Š

(6.27) sin

0,97992470462083

(6.28)

Délkové zkreslení by v tomto případě bylo nulové jen na této základní rovnoběžce. Na okrajích pásu vzniká zkreslení až m = 1,0002. Proto se zavádí multiplikační konstanta k. Poloměr referenční koule je kvůli redukci délkového zkreslení zmenšen v poměru k = 0,9999. 0,9999 cot

0,9999

1298039,004638987

(6.29)

Tím se vytvoří kužel mírně sečný, který má nezkreslené 2 rovnoběžky. Vliv délkového zkreslení je asi |

1|

10; 14

/

.

6.4.4. Převod polárních souřadnic na pravoúhlé ,

,

Souřadnice S-JTSK lze snadno získat použitím známých vztahů sin

cos

(6.30)

40

7. Převod souřadnic mezi systémy WGS-84 a ETRS-89 Definice souřadnicových systémů WGS-84 a ETRS-89 je popsána v kapitole 3. Při transformacích s metrovou přesností lze oba systémy zaměnit, při snaze o dosáhnutí maximální přesnosti je však nutné provést transformaci i mezi těmito systémy. Podle [32] je systém WGS-84 (G873 5) totožný s ITRS-2000 s centimetrovou přesností. Mezi oběma systémy neexistuje přesný transformační klíč, proto se pro drtivou většinu aplikací uvažuje jejich totožnost. Obecně platí, že systémy ITRS-YY jsou přesnější než WGS-84. Systém

ETRS-89

vznikl

ze

systému

ITRS-89

zakonzervováním

souřadnic

Evropských stanic, souřadnice se proto pohybují s celým Evropským kontinentem a jejich posun na území ČR je zcela zanedbatelný. ETRS-89 se však pohybuje vůči ITRS a tedy i WGS-84, přibližně se jedná o posun 2,7 cm SV. Při transformaci souřadnic je proto nutné kromě transformace mezi jednotlivými systémy zohledňovat i posun souřadnic v čase (tzv. epocha). Při obecném převodu mezi systémy i epochami je nutné aplikovat následující tři kroky [37]. a) převést všechny souřadnice stanic do ITRS-YY v epoše tc pomocí: (7.1)

kde tc je aktuální epocha (např. 2007) a t0 epocha ze které je nutné souřadnice stanic převést (např. 1989).

je rychlost posunu souřadnic, pro kterou platí: 0

3 0 1

3 2

2 1 0

.

(7.2)

Kde proměnné 1, 2 a 3 jsou rychlosti rotace souřadnicového systému v jednotlivých osách. Pro převod souřadnic např. v systému ITRF-2005 mezi epochami t0 a tc proto platí: 0 3 2

3 0 1

2 1 0

.

(7.3)

5

Znamená epochu systému WGS-84, tj. 873 týden ke standardní epoše GPS (6.1.1980), což odpovídá 29.9.1996 a je počítáno již do epochy 1997.0 [32].

41

b) provést transformace mezi souřadnicovými systémy ITRS-YY a ETRS-89 v aktuální epoše podle: 0 3 2

kde

2 1 0

3 0 1

1989.0

.

(7.4)

jsou rychlosti rotace souřadnicového systému (tj. posun do roku 1989) a T je

posun souřadnic (tj. převod mezi ETRS-89 a ITRS-YY). c) převést souřadnice ETRS-89 do epochy 1989: . 1989.0

89

kde pro stabilní části lze považovat

,

(7.5)

0.

Pro převod ze systému WGS-84 v epoše 2007 (tj. ITRS-2005 epocha 2007) do systému ETRS-89 v epoše 1989 stačí provést: 0 3 2

3 0 1

2 1 0

.

. 2007

1989.0 (7.6)

S parametry v Tabulka 4 [37]. Tabulka 4 – transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989 T1

T2

T3

R1

R2

R3

5,6 cm

4,8 cm

-3,7 cm

0,054 mas/rok

0,518 mas/rok

-0,781 mas/rok

Hodnota mas/rok uvádí rychlost rotace souřadnicového systému ITRF-YY v tisícin sekundách/rok. Pro potřeby transformace je nutné tuto hodnotu převést na radiány za rok podle: /

/

,

(7.7)

Jelikož jsou hodnoty získané měřením Škoda Auto a.s. všechny ve stejné epoše, není nutné provádět krok a). V kroku c) se provádí převod do epochy 1989 pomocí rychlosti souřadnic stanic. Pohyby souřadnic v rámci ČR v ETRS-89 jsou velmi malé, a proto je možné tento krok vynechat. Získané souřadnice lze proto uplatnit pro převod z ETRS-89 do S-JTSK v epoše 1989 (to odpovídá bodům kampaně DOPNUL, z kterých jsou sestaveny transformační klíče). 42

8. Globální transformace Pro převod mezi prostorovými pravoúhlými soustavami ETRS-89 a S-JTSK byla na základě uvedené literatury vybrána Helmertova prostorová transformace blíže popsaná v kapitole 5. Pro výpočet transformačního klíče je nutné znát pevné body v obou systémech. Za použití vhodného kritéria přesnosti (jedná se o transformaci s nadbytečným počtem bodů) lze zjistit parametry prostorové transformace. Globální transformací je myšlena transformace za použití transformačního klíče platného pro celé území České Republiky. Pro určení globálního klíče je proto nutné najít takové pevné body, které zahrnují celý prostor ČR. Jedinými takovými body jsou body kampaně DOPNUL (viz. kapitola 4). Ze 175 bodů kampaně DOPNUL, za použití kritéria minimalizace maximální chyby, byl převzat globální transformační klíč uvedený v [21]. Rozmístění bodů kampaně DOPNUL je uvedeno v příloze A.4. Zjištěný globální transformační klíč má tyto parametry: Tabulka 5 – globální transformační klíč Hodnoty globální transformace:

m [10-6m]:

x0 [m]:

y0 [m]:

z0 [m]:

ωx [´´]:

ωy [´´]:

ωz [´´]:

-3,543

-570,69

-85,69

-462,84

4,99821

1,58676

5,2611

Zjišťovat přesnost transformace lze na bodech, pro které lze srovnat hodnoty souřadnic po transformaci s hodnotami měřenými. Těmito body jsou opět pouze body kampaně DOPNUL. Odchylka jednotlivých bodů se liší v různých částech republiky, proto bylo vybráno 14 bodů, které pokrývají rozsah území, kde se uskutečňuje výzkum polohy vozidla Škoda Auto a.s.. Zjištěním odchylky na těchto bodech (4 uvnitř měřeného okruhu a 10 vně) lze přibližně zjistit odchylku na měřeném území. Obrázek 8 ukazuje měřený okruh (označen červeně) a použité body DOPNUL (označené modře).

43

Obrázek 8 – měřený okruh a použité body kampaně DOPNUL

Údaje o použitých bodech lze najít např. v [4]. Hodnoty bodů DOPNUL jsou přesně zaměřeny v geodetických souřadnicích systému ETRS-89 a v rovinných souřadnicích systému S-JTSK. V následujících vyhodnoceních přesnosti transformace jsou hodnoty uvedené v Tabulka 6 brány jako nejpřesnější.

44

Tabulka 6 – vybrané pevné body kampaně DOPNUL Souřadnice ETRS-89 Číslo Číslo Název bodu: TL : TB: B (geodetická šířka - North):

Souřadnice S-JTSK

825

32

V Lipinech

50°32´13,0377 14°59´18,6027

289,96

H (nadmořská Y [m]: X [m]: výška Bpv) [m]: 696136,19 998814,30 246,22

1401

15

U vodojemu 50°28´44,7218 14°53´46,0298

337,66

703467,17 1004348,96

293,79

1401

23

50°27´36,4199 14°51´47,1890

340,72

706065,68 1006136,15

296,78

1402

2

50°25´13,0293 14°52´39,5963

313,14

705617,93 1010663,69

269,15

1402

12

50°23´15,4709 14°53´41,7316

267,59

704874,08 1014424,78

223,58

1516

25

50°28´41,6705 15°06´40,5540

362,10

688335,06 1006406,19

318,28

1517

3

Vrše U Houžvičkovy hrušky Na příčkách Za Dobšinem V končinách

50°25´45,5418 15°07´39,0669

299,75

687881,70 1011950,91

255,89

1521

9

Nad Holou

50°29´54,9360 14°57´09,0733

272,08

699217,23 1002716,60

228,28

1521

26

Vrchy

50°29´00,9479 15°01´35,2908

286,73

694228,19 1005046,73

242,90

1521

33

Na vaze

50°27´37,9687 14°57´59,1073

284,89

698785,81 1007040,75

241,03

1521

41

50°27´08,7243 15°03´22,8972

288,91

692567,78 1008757,49

245,05

1522

1

50°25´42,4798 14°57´59,6444

276,81

699235,89 1010580,69

232,90

1522

17

Na kopci Na království U rybníka

50°24´12,9101 15°03´49,0080

281,06

692751,25 1014211,23

237,16

1522

20

U Zádušky

50°23´05,7832 15°00´15,5742

359,57

697198,00 1015727,75

315,63

Vyhodnocení

globální

Helips L (geodetická (elipsoidická délka - East): výška) [m]:

transformace

i

lokální

transformace

bylo

prováděno

následujícím způsobem: i.

Porovnání rovinných odchylek na vybraných pevných bodech

ii.

Porovnání odchylek ve výšce na vybraných pevných bodech

iii.

Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných pevných bodech (v S-JTSK)

iv.

Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati (výchozí vzdálenost určena ve WGS-84)

v.

Porovnání vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati od vybraného pevného bodu (výchozí vzdálenost určena ve WGS-84)

Za účelem výpočtu transformace většího množství bodů více transformačními klíči byl vytvořen pomocí vzorců uvedených v kapitolách 5, 6 a 7 jednoduchý konzolový program v jazyce C spustitelný z příkazového řádku. Vstupem programu je textový 45

soubor s hodnotami bodů v geodetických souřadnicích systému WGS-84 nebo ETRS-89 a výstupem textový soubor s hodnotami vypočtených souřadnic S-JTSK včetně všech mezikroků. Zdrojový kód programu a stručný popis jeho funkcí je uveden v příloze C.1. Následuje stručný úvod k použitým metodám vyhodnocení transformace: i.


ii.


Výsledky globální transformace jsou uvedeny v Tabulka 7. Úplné statistické vyhodnocení je popsáno v kapitole 10. Tabulka 7 – rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po globální transformaci Souřadnice S-JTSK po globální transformaci

Y [m]:

iii.

X [m]:

Odchylky souřadnic S-JTSK po globální transformaci

H ∆H celková (nadmořská (nadmořská ∆Y [m]: ∆X [m]: odchylka v výška Bpv) výška Bpv) rovině [m]: [m]: [m]:

696136,34 998814,44

245,904

0,15

0,14

0,32

0,205

703467,32 1004349,06

293,455

0,15

0,10

0,34

0,180

706065,77 1006136,29

296,465

0,09

0,14

0,31

0,166

705618,05 1010663,78

268,838

0,12

0,09

0,31

0,150

704874,24 1014424,87

223,253

0,16

0,09

0,33

0,184

688335,29 1006406,32

318,047

0,23

0,13

0,23

0,264

687881,88 1011951,02

255,639

0,18

0,11

0,25

0,211

699217,38 1002716,74

227,943

0,15

0,14

0,34

0,205

694228,39 1005046,80

242,624

0,20

0,07

0,28

0,212

698785,87 1007040,81

240,708

0,06

0,06

0,32

0,085

692567,95 1008757,62

244,781

0,17

0,13

0,27

0,214

699236,01 1010580,73

232,582

0,12

0,04

0,32

0,126

692751,36 1014211,29

236,866

0,11

0,06

0,29

0,125

697198,09 1015727,80

315,307

0,09

0,05

0,32

0,103

Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných pevných bodech Bylo porovnáváno 91 vzdáleností (každý bod s každým). Nejprve byly zjištěny vzdálenosti bodů s původními souřadnicemi a následně se souřadnicemi po globální transformaci. Výsledky byly porovnávány bez započítání nadmořské 46

výšky a se započítáním vlivu nadmořské výšky. Tabulka s výsledky je v příloze B.1. iv.


Ze souboru „vysledky_zmax_20070619151839_okruh2_gsm_02.xls“ obdrženého od Škoda Auto a.s. bylo vybráno 24 bodů přímo na okruhu. Tyto body jsou rovnoměrně rozprostřeny na okruhu, aby jejich vyhodnocování bylo co nejpřesnější. Na těchto bodech byly vyhodnocovány relativní vzdálenostní odchylky (není vybrán pevný bod). Hodnoty vybraných nepevných bodů jsou v Tabulka 8 a jejich poloha vůči bodům DOPNUL je graficky vyjádřena na Obrázek 9. Tabulka 8 – 24 vybraných nepevných bodů na měřeném okruhu Vybrané body na okruhu pro vyhodnocení přesnosti transformace (24 bodů) Čas měření UTC [s]: 1274547

ID bodu: 1

Počet satelitů Zeměpisná Zeměpisná Elipsoidická v době šířka (N): délka (E): výška H [m]: měření: 4 50,50436258 15,02263487 334,045

1346953

2

5

50,49445602 15,03369240

312,685

1443547

3

5

50,48570310 15,04300722

296,630

1743547

4

7

50,47275338 15,06561968

301,254

2041750

5

7

50,46546015 15,08693873

335,799

2138750

6

7

50,46205750 15,10525228

354,652

2237141

7

4

50,45269057 15,08573168

327,010

2339141

8

7

50,44349830 15,06401615

292,154

2438547

9

5

50,43307817 15,04413788

283,298

2536938

10

7

50,42554097 15,02677667

279,249

2640938

11

5

50,41709275 15,00508575

277,822

2736141

12

6

50,41091512 14,99057677

274,383

2843344

13

6

50,41052847 14,97402552

272,408

2938547

14

5

50,40883305 14,95386990

271,825

3222750

15

6

50,41128990 14,93982087

263,827

3291735

16

7

50,42240657 14,94289635

271,146

3369750

17

7

50,43653508 14,94332892

282,107

3444438

18

6

50,44817383 14,93894360

307,590

3523641

19

7

50,46061648 14,93657185

295,741

3595047

20

5

50,46826238 14,94681708

285,599

3669750

21

8

50,47945338 14,96289912

286,895

3733344

22

6

50,48988022 14,97156913

289,432

3826031

23

6

50,50381070 14,97780420

297,321

3969750

24

4

50,51306043 14,99615143

297,556

47

Obrázek 9 – poloha vybraných bodů na okruhu

Měření vzájemných vzdáleností bylo uskutečněno pro všechny možnosti (tj. každý s každým), celkem 276 vzdáleností. Byla sledována především změna vzdálenostní odchylky v závislosti na různých parametrech (vzdálenost bodů, kvalita transformace, velikost výšky, atd.). Vyhodnocení je uvedeno v příloze B.2. v.


V těchto výpočtech byl vybrán jako pevný bod DOPNUL č.33 (viz. Obrázek 9), který leží uvnitř okruhu a vybraných 24 bodů je kolem něj rozprostřeno v bezprostřední blízkosti i v dostatečné vzdálenosti. To je výhodné pro znázornění velikosti odchylky v závislosti na vzdálenosti měřeného bodu. Vyhodnocení tohoto bodu je v příloze B.3.

48

9. Lokální transformace Výpočet lokální transformace je celkem podrobně popsán v kapitole 5.2. Na základě poznatků v uvedené kapitole byl vypočítán lokální transformační klíč platný pro území vymezené na Obrázek 8. Výpočet byl prováděn pomocí 14 bodů kampaně DOPNUL uvedených v Tabulka 6 za použití metody nejmenších čtverců (viz. kapitola 5.3). Pro výpočet lokálního transformačního klíče byl vytvořen program v jazyce C, který dokáže provést globální i lokální transformaci, zpětnou transformaci Křovákova zobrazení i výpočet samotného lokálního transformačního klíče. Za použití uvedeného programu byly zjištěny pravoúhlé prostorové souřadnice v systému ETRS-89 a S-JTSK pro 14 pevných bodů DOPNUL. Lokální transformační klíč byl z prostorových souřadnic vypočten požitím vzorce (5.22). Výpočet byl prováděn pomocí programu MATLAB. Pro obejití výpočtu inverzní matice bylo rovněž použito metody redukce souřadnic k těžišti uvedené v kapitole 5.4. Souřadnice těžiště množiny identických bodů v obou systémech jsou shrnuty v Tabulka 9. Tabulka 9 – těžiště množiny identických bodu v systému I. i systému II. Těžiště 14 identických bodů v systému I (ETRS89) x't [m]: y't [m]: z't [m]:

Těžiště 14 identických bodů v systému II (S-JTSK) xt [m]:

yt [m]:

zt [m]:

3931160,79900 1052276,49200 4895065,40700 3930565,43140 1052205,57201 4894590,27249

Dle kontroly uvedené v (5.31) je patrné, že se systémy ztotožnily v těžišti a ověřila se tak správnost výpočtu. Výpočet transformačního klíče přes přímý výpočet inverzní matice poskytuje přesný klíč. Kódy použité pro výpočet v MATLABu jsou uvedeny v přílohách C.3 a C.4. Zpětným dosazením ,

,

,

,

,

,

do rovnic substituce (5.15) a (5.9) lze zjistit hodnoty

. Tím je vypočten lokální transformační klíč (viz. Tabulka 10).

49

Tabulka 10 – lokální transformační klíč

Hodnoty lokální transformace: m [10-6]:

x0 [m]: 578,828639686107 ωx [´´]:

y0 [m] : -116,722220838069 ωy [´´]:

z0 [m]: 483,681244164705 ωz [´´]:

0,6173953999156 5,75806287086999 1,8311718428793400 4,80080398657140

Vyhodnocení lokální transformace bylo prováděno stejným způsobem, který je uveden pro globální transformaci (viz. kapitola 8). Vyhodnocení transformace podle bodů iii., iv. a v. jsou uvedeny v přílohách B.4, B.5 a B.6. Výsledky lokální transformace na pevných bodech jsou v Tabulka 11. Tabulka 11 - rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po lokální transformaci Souřadnice S-JTSK po lokální transformaci

Odchylky souřadnic S-JTSK po lokální transformaci

H ∆H celková (nadmořská (nadmořská ∆Y [m]: ∆X [m]: odchylka v výška Bpv) výška Bpv) rovině [m]: [m]: [m]:

Y [m]:

X [m]:

696136,18

998814,31

246,204

0,14

0,32

696136,13

0,346

703467,20 1004348,94

293,785

0,10

0,34

703467,14

0,350

706065,66 1006136,18

296,805

0,14

0,31

706065,60

0,345

705617,94 1010663,69

269,175

0,09

0,31

705617,90

0,325

704874,14 1014424,79

223,585

0,09

0,33

704874,06

0,339

688335,11 1006406,22

318,310

0,13

0,23

688335,03

0,267

687881,70 1011950,94

255,898

0,11

0,25

687881,67

0,274

699217,24 1002716,61

228,255

0,14

0,34

699217,17

0,365

694228,23 1005046,69

242,913

0,07

0,28

694228,18

0,285

698785,74 1007040,71

241,016

0,06

0,32

698785,79

0,328

692567,78 1008757,53

245,061

0,13

0,27

692567,74

0,299

699235,88 1010580,65

232,891

0,04

0,32

699235,88

0,321

692751,21 1014211,22

237,145

0,06

0,29

692751,23

0,300

697197,95 1015727,74

315,605

0,05

0,32

697197,99

0,327

50

10. Porovnání přesnosti použitých transformací 10.1.

Vyhodnocení globální a lokální transformace

Základním krokem po provedení transformace je určení míry ztotožnění prostorových souřadnic systému I. (ETRS-89) a systému II. (S-JTSK) dle (5.33). To je uvedené v následující Tabulka 12. Tabulka 12 – míra ztotožnění soustav * (hodnoty uváděny v metrech) * Hodnoty původních souřadnic: Hodnoty souřadnic po globální transformaci: Rozdíl hodnot souřadnic: Hodnoty souřadnic po lokální transformaci:

Míra ztotožnění souřadnic x, y, z v S-JTSK mx:

my:

mz:

mv(xyz):

3930567,309375 1052220,851456 4894591,186004 6365025,606537 3930567,241993 1052220,700348 4894590,880352 6365025,304907 0,067382

0,151108

0,305652

0,301631

3930567,309903 1052220,851691 4894591,186290 6365025,607122

Rozdíl hodnot souřadnic:

-0,000528

-0,000235

-0,000286

-0,000585

Zlepšení výsledku lokální transformace (v % výsledku globální transformace):

99,22

99,84

99,91

99,81

* (hodnoty uváděny v metrech) * Hodnoty původních souřadnic: Hodnoty souřadnic po globální transformaci: Rozdíl hodnot souřadnic: Hodnoty souřadnic po lokální transformaci:

Míra ztotožnění souřadnic Y, X, h v S-JTSK mY:

mh:

mv(YXh):

697621,486947 1008355,678856

262,351116

1226155,366566

697621,628174 1008355,775186

262,052062

1226155,526073

0,299054

-0,159507

262,352391

1226155,366568

-0,141228

mX:

-0,096330

697621,486954 1008355,678852

Rozdíl hodnot souřadnic:

-0,000007

0,000003

-0,001275

-0,000002

Zlepšení výsledku lokální transformace (v % výsledku globální transformace):

99,99

100,00

99,57

100,00

Z výsledků míry ztotožnění soustav je jasně patrné, jak výrazně je lokální transformace přesnější. Zlepšení se ve všech souřadnicích blíží maximální možné hodnotě. Jedná se však o zlepšení průměrné hodnoty souřadnic, v jednotlivých bodech se odchylky mohou lišit. 51

i.


Nejdůležitějším parametrem pro určení přesnosti souřadnic v S-JTSK jsou odchylky na pevných bodech. Vyhodnocením tabulek Tabulka 7 a Tabulka 11 byly získány tyto výsledky: Tabulka 13 – vyhodnocení rovinných odchylek na pevných bodech Popisná statistika rovinné odchylky na pevných bodech (globální transformace):

Popisná statistika rovinné odchylky na pevných bodech (lokální transformace):

Zlepšení výsledků lokální transformace (v % výsledku globální transformace):

Průměr:

0,1737

0,0407

76,55

Chyba průměru:

0,0134

0,0053

60,31

Medián (střední hodnota):

0,1819

0,0406

77,67

Směrodatná odchylka:

0,0503

0,0200

60,31

Rozptyl výběru:

0,0025

0,0004

84,24

Minimum:

0,0849

0,0100

88,21

Maximum:

0,2642

0,0806

69,48

14

14

0,0290

0,0115

* (hodnoty uváděny v metrech) *

Počet bodů: Hladina spolehlivosti (95,0%):

Lokální transformace je výrazně přesnější ve všech zjišťovaných parametrech. Hodnota maximální odchylky je oproti ostatním „pouze“ 69,5%, což je způsobeno především použitým kritériem přesnosti při výpočtu globálního klíče (kritérium minimální maximální chyby). Směrodatná odchylka se z původních 5 cm platných pro globální transformaci snížila pod 2 cm. Kvalita lokálního transformačního klíče je vidět na Obrázek 10.

8

Rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech Globální transformace Lokální transformace

7 četnosti

6 5 4 3 2 1 0 0 ‐ 0,03

0,031 ‐ 0,05 0,051 ‐ 0,08 0,081 ‐ 0,1 0,11‐ 0,2 odchylka polohy v rovině S‐JTSK [m]

0,21 ‐ 0,3

52

Obrázek 10 – rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech

ii.


Měření nadmořské výšky je problém, kterému se věnují úvodní kapitoly. Hodnoty výšky geoidu nad elipsoidem GRS-80 (WGS-84) se na území ČR pohybují okolo 45 m [11]. Pro Besselův elipsoid je výška nad geoidem přibližně rovna nule. Pro zvýšení přesnosti určení nadmořské výšky lze dle [29] využít model kvazigeoidu VÚGTK 2000, který je řešen formou rastru. Pro vnitřní body gridů je nutno provést kvadratickou interpolaci ze čtyř nejbližších bodů. Tabulka 14 – vyhodnocení výškových odchylek na pevných bodech Popisná statistika výškové odchylky na pevných bodech (globální transformace):

Popisná statistika výškové odchylky na pevných bodech (lokální transformace):


Průměr:

0,3020

0,0161

94,65

Chyba průměru:

0,0087

0,0022

74,17


0,3155

0,0145

95,40


0,0325

0,0084

74,17

Rozptyl výběru:

0,0011

0,0001

93,33

Minimum:

0,2330

0,0050

97,85

Maximum:

0,3370

0,0300

91,10

14

14

0,0187

0,0048

* (hodnoty uváděny v metrech) *

Počet bodů: Hladina spolehlivosti (95,0%):

Ještě výraznější zpřesnění určení nadmořské výšky lokální transformací, než u určení polohy v rovině, je způsobeno především malými změnami nadmořské výšky na daném území. Maximální rozdíl nadmořských výšek pevných bodů je 94,7 m. Kvalita určení nadmořské výšky je důležitá především při výpočtu vzdálenosti dvou bodů, kde již výškovou souřadnici polohy bodů nelze zanedbat. Grafické

vyhodnocení

výškových

odchylek

je

reprezentováno

následujícím

histogramem.

53

10

Rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech Globální transformace Lokální transformace

četnosti

8 6 4 2 0 0 ‐ 0,01

0,011 ‐ 0,03

0,031 ‐ 0,3

0,31 ‐ 0,4

odchylka v nadmořské výšce v rovině S‐JTSK [m] Obrázek 11 – rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech

iii.

Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných pevných bodech (v S-JTSK)

Vzdálenost určená pevnými body v S-JTSK byla porovnávána se vzdálenostmi určenými po transformacích. Vyhodnocení shrnuje Tabulka 15. Tabulka 15 – vyhodnocení relativních vzdálenostních odchylek na pevných bodech

Popisná statistika Popisná statistika vzdálenostní odchylky vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na v rovině S-JTSK na * (hodnoty uváděny v metrech) * pevných bodech pevných bodech (globální (lokální transformace): transformace):


Průměr:

0,0564

0,0377

33,16

Chyba průměru:

0,0040

0,0032

20,97


0,0553

0,0335

39,43


0,0382

0,0302

20,97

Rozptyl výběru:

0,0015

0,0009

37,54

Minimum:

0,0001

0,0003

-357,97

Maximum:

0,1733

0,1237

28,61

91

91

0,0080

0,0063

Počet hodnocených vzdáleností: Hladina spolehlivosti (95,0%):

Poměrně nevýrazné zlepšení hodnot po lokální transformaci oproti předchozím vyhodnocením je možná překvapením. Vysvětlení lze hledat v rozložení rovinných odchylek pevných bodů po lokální a globální transformaci. Směrovost odchylek 54

v osách Y a X je znázorněna na Obrázek 12. Hodnoty souřadnic Y, X byly pro lepší názornost zmenšeny v poměru 1:10000 a hodnoty odchylek zachovány. Vektory rovinných odchylek po globální transformaci mají velice podobnou orientaci. Protože nebyl určen žádný pevný bod, tak posunem všech bodů stejným směrem se nemění jejich vzájemná vzdálenost. Po globální transformaci jsou proto vzájemné vzdálenosti bodů určeny poměrně přesně. To je dáno lokálními odchylkami S-JTSK, které mají při globální transformaci v malých oblastech stejný směr. Po lokální transformaci je směr odchylek různý, proto nedochází k takovému zlepšení. Zvláštní případ, který nastal u zhoršení určení minima vzdálenostní odchylky je spíše náhodný. Hodnota minima po globální transformaci je výrazně nižší, než u ostatních hodnot. To je způsobeno velice podobným směrem rovinné odchylky (např. u bodů 32 a 09).

Obrázek 12 – směrovost rovinných odchylek na pevných bodech

55

iv.


Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek je nutné nejprve stanovit správné vzdálenosti, podle kterých bude vyhodnocení probíhat. V kapitole 8 bylo zmíněno, že stanovení polohy na elipsoidu WGS-84 pomocí GPS je bráno jako zcela přesné. Z tohoto ohledu je zcela přesné i stanovení vzdálenosti bodů ve WGS-84, podle kterého byly vzdálenostní odchylky vyhodnocovány. Pro vybrané body (viz. Tabulka 8) byla určena jejich vzájemná vzdálenost ve WGS84 a poté vzdálenost v S-JTSK po globální a lokální transformaci. Vyhodnocení bylo prováděno v prostorových souřadnicích S-JTSK a v rovinných souřadnicích S-JTSK se započítáním vlivu nadmořské výšky (viz. Tabulka 16 a Tabulka 17). Tabulka 16 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v prostoru S-JTSK Popisná statistika Popisná statistika vzdálenostní odchylky vzdálenostní odchylky na vybraných bodech na vybraných bodech * (hodnoty uváděny v metrech) * na trati v prostoru Sna trati v prostoru SJTSK (globální JTSK (lokální transformace): transformace): Průměr: 0,0244 0,0043

Zlepšení výsledků lokální transformace (v % výsledku globální transformace): 82,55

Chyba průměru:

0,0007

0,0001

82,55


0,0257

0,0045

82,55


0,0109

0,0019

82,55

Rozptyl výběru:

0,0001

0,0000

96,96

Minimum:

0,0037

0,0006

82,54

Maximum:

0,0462

0,0081

82,55

276

276

0,0013

0,0002


56

Tabulka 17 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v rovině S-JTSK

* (hodnoty uváděny v metrech) * * (započítán vliv nadmořské výšky) *

Popisná statistika Popisná statistika Zlepšení výsledků vzdálenostní odchylky na vzdálenostní odchylky lokální vybraných bodech na na vybraných bodech transformace (v % trati v rovině S-JTSK na trati v rovině S-JTSK výsledku globální (globální transformace): (lokální transformace): transformace):

Průměr:

0,5245

0,4942

5,78

Chyba průměru:

0,0143

0,0135

5,82


0,5508

0,5217

5,28


0,2373

0,2235

5,82

Rozptyl výběru:

0,0563

0,0500

11,29

Minimum:

0,0834

0,0785

5,95

Maximum: Počet hodnocených vzdáleností: Hladina spolehlivosti (95,0%):

1,0529

0,9900

5,97

276

276

0,0281

0,0265

V prostorových souřadnicích x, y, z na Besselově elipsoidu je lokální transformace mnohem přesnější. Po převodu do roviny S-JTSK se zlepšení pohybuje kolem 5%. To může být způsobeno již zmíněnou směrovostí deformací v rovině S-JTSK a především vlivem samotného konformního Křovákova zobrazení. Při vyhodnocování vzdálenostních odchylek byly dále sledovány závislosti rozdílu vzdáleností na různých parametrech vyjádřených na obrázcích Obrázek 15 - Obrázek 16. Uvedené grafy jsou platné pro globální transformaci, pro porovnání jsou na nich

uvedeny i hodnoty lineární regrese pro lokální transformaci.

57

Linearita Helmertovy transformace je uvedena na Obrázek 13 a osa y z tohoto grafu

Rozdíl vzdáleností v rovině S-JTSK [m]

je

přenesena

na

x

do

následující

grafu

Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných bodech na okruhu - globální transformace

1,2 1,0 0,8

y = 8E-05x - 0,0041 R² = 0,9908

0,6 0,4

lokální transformace: y = 7E-05x - 0,0036 R² = 0,9905

0,2 0,0 0

2000

4000 6000 8000 10000 Vzdálenost porovnávaných bodů ve WGS-84 [m]

12000

14000

Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS84

), kde je uvedena závislost rozdílu vzdáleností po Křovákově zobrazení. Celková závislost odvozená z uvedených dvou grafů je vyjádřena na Obrázek 15. Poslední z grafů vyjadřuje relativní nezávislost rozdílu vzdáleností v rovině na nadmořské výšce.

58

Graf závislosti rozdílu prostorových souřadnic (mezi elipsoidy WGS84 a Bessel) po Helmertově transformaci na reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných bodech na okruhu globální transformace

Rozdíl vzdáleností v prostoru S-JTSK [m]

0,050 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025

y = 4E-06x + 6E-08 R² = 1

0,020 0,015

lokální transformace: y = 6E-07x - 3E-08 R² = 1

0,010 0,005 0,000 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Vzdálenost porovnávaných bodů ve WGS-84 [m] Obrázek 13 – závislost vzdálenostní odchylky v prostoru S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS84


1,2

Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu prostorových souřadnic (mezi elipsoidy WGS-84 a Bessel) na vybraných bodech na okruhu po Helmertově transformaci - globální transformace

1,0 0,8 y = 21,695x - 0,0041 R² = 0,9908

0,6

lokální transformace: y = 117,1x - 0,0036 R² = 0,9905

0,4 0,2 0,0 0,00

0,01

0,01

0,02

0,02

0,03

0,03

0,04

0,04

0,05

0,05

Rozdíl vzdáleností v prostoru S-JTSK [m] Obrázek 14 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na vzdálenostní odchylce v prostoru SJTSK

59


Graf závislosti velikosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na reálné prostorové vzdálenosti zjištěné ve WGS-84 na vybraných bodech na okruhu - globální transformace

1,2 1,0 0,8

y = 8E-05x - 0,0041 R² = 0,9908

0,6 0,4

lokální transformace: y = 7E-05x - 0,0036 R² = 0,9905

0,2 0,0 0

2000

4000 6000 8000 10000 Vzdálenost porovnávaných bodů ve WGS-84 [m]

12000

14000

Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-84

Graf závislosti vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu nadmořských výšek na vybraných bodech na okruhu - globální transformace Rozdíl vzdáleností v rovině S-JTSK [m]

1,2 1,0 0,8 0,6 0,4

y = 0,0059x + 0,3715 R² = 0,2624

0,2 0,0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Rozdíl nadmořských výšek [m] Obrázek 16 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu nadmořských výšek

Mezi rozdílem nadmořských výšek a vzdálenostní odchylkou nebyla nalezena žádná závislost. Lineární závislost je jednoznačně mezi vzdáleností bodů a jejich vzdálenostní odchylkou. Pro přesnější lokální transformaci platí přibližně, že na 100 m vzdálenosti vznikne odchylka 7 mm. Závislost vzdálenostní odchylky na reálné vzdálenosti v prostoru je způsobena zakřivením zemského povrchu. 60

v.


Po získání výsledků v předchozích bodech bylo nutné ještě do vyhodnocení přesnosti zahrnout vzdálenostní odchylku od pevného bodu. Důvodem bylo potvrzení či vyvrácení teorie vlivu směrovosti odchylek globální transformace. Tabulka 18 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek nepevných bodů od pevného bodu č.33 Popisná statistika Popisná statistika vzdálenostní odchylky vzdálenostní odchylky Zlepšení výsledků vybraných bodů na vybraných bodů na lokální * (hodnoty uváděny v metrech) * trati od vybraného trati od vybraného transformace (v % pevného bodu v rovině pevného bodu v výsledku globální S-JTSK (globální rovině S-JTSK (lokální transformace): transformace): transformace): Průměr: 0,422250746 0,378563412 10,35 Chyba průměru:

0,039950744

0,027334057

31,58


0,416823648

0,402423194

3,45


0,195717877

0,133908983

31,58

Rozptyl výběru:

0,038305487

0,017931616

53,19

Minimum:

0,110908507

0,108583929

2,10

Maximum:

0,822974729

0,652229165

20,75

24

24

0,082644411

0,056544804


Průměrné zlepšení lokální transformace, které je mírně nad 10% v porovnání s hodnotami vzdálenostních odchylek v prostorových souřadnicích S-JSTK (viz. příloha B.3 a B.6) vypovídá o vlivu Křovákova zobrazení na vzdálenostní odchylku. Protože S-JTSK nezachovává vzdálenosti, ale jedná se o dvojité konformní zobrazení, není příliš vhodné pro měření vzdáleností. Vliv vzdálenosti na vzdálenostní odchylku je zachycen na Obrázek 17. Hodnoty souřadnic jsou zmenšeny v poměru 1:10000 a odchylky v poměru 1:10, celkově je tedy poměr vzdálenosti souřadnic a odchylek 1:1000. V grafu jsou zaneseny hodnoty po lokální i globální transformaci. V tomto měřítku je však jejich rozdíl nepatrný, proto jsou zdánlivě odchylky po lokální transformaci v grafu vynášeny z hodnot bodů po globální transformaci (ve skutečnosti jsou v grafu vyneseny i souřadnice bodů po lokální transformaci).

61

Obrázek 17 – vzdálenostní odchylky od pevného bodu DOPNUL

10.2.

Možnosti zvýšení přesnosti transformovaných souřadnic

V případech, kdy je vyžadována naprostá přesnost transformace souřadnic, je třeba počítat i s dalšími vlivy působícími na přesnost transformace. Výsledek transformace lze vylepšit několika dalšími výpočty. Použitá bodová pole nejsou zcela přesná. Je to způsobeno především nestálostí zemského povrchu. Absolutní poloha bodu se v čase mění a to způsobuje dlouhodobou změnu polohy vzhledem k ITRS. 62

•

pohyb tektonických desek - 2,7 cm/rok severovýchodním směrem [29]

•

odlednění (tzv. „Skandinávský uplift“) 2-3 mm/rok a 1 cm/rok ve výšce

•

vliv variace vektoru rotace způsobený pohybem pólů a změnou rychlosti rotace země - posun v řádu milimetrů.

•

Vliv změny tlaku vzduchu – 1 mm v poloze a 10 mm ve výšce

Hlavní

zaznamenatelné

změny

v pohybu

kontinentů

se

redukují

správnou

transformací do systému ETRS-89 v epoše 1989. Zaznamenat lze i krátkodobé změny polohy bodů •

Slapové variace elasticity Země (polodenní a celodenní slapová vlna) – posun 2-4 cm v poloze a až 20 cm ve výšce u pobřeží, uvnitř kontinentů v řádech milimetrů

Další možností „zpřesnění“ je použití Jungovy transformace. Lze ji použít jako „dotransformaci“ po Helmertově transformaci. Způsobí, že se odchylky na identických bodech rozdělí mezi body neidentické. Tím získáme přesné hodnoty identických bodů. Jedná se o nereziduální transformaci a nelze proto počítat střední chyby [20]. Nejprve bychom zjistili rozdíly odpovídajících souřadnic u identických bodů , , ,

,

ů

í

ř

é

ř

ý

ů

íč

á í

(10.1)

A následně vypočetli souřadnice transformovaných neidentických bodů ,

,

-

ř

ý

ý

∑ ∑

ů

á í

∑ ∑

íč

(10.2)

∑ ∑

(10.3) (10.4)

(10.5)

63

10.3.

S-JTSK/95

Systém S-JTSK/95 je zpřesněný systém S-JTSK, který odstraňuje chybné měřítko stávajícího systému S-JTSK a lokální deformace S-JTSK. Myšlenka zdokonalení S-JTSK vychází především ze dvou hlavních bodů. Prvním z nich je, že Česká Republika má velice přesnou astronomicko-geodetickou síť reprezentovanou systémem S-42/83. Tento systém je bohužel používán pouze pro vojenské mapování. Druhou je nutnost zavedení geocentrického souřadnicového systému, který by umožňoval přímé nasazení techniky GPS. S-JTSK/95 v praxi zatím není zaveden (2008). To je také hlavní důvod, proč nebylo pracováno s těmito zpřesněnými souřadnicemi. Transformaci souřadnic mezi ETRS-89 a S-JTSK/95 lze provést pomocí globálního transformačního klíče uvedeného v Tabulka 19 postupem popsaným v této zprávě. Druhou možností je modifikovat Křovákovo zobrazení dodatečnými členy [29]. Tabulka 19 – globální transformační klíč do S-JTSK/95 Hodnoty transformace ETRS89 → S-JTSK/95:

x0 [m]:

m [10 ]:

ωx [´´]:

-3,5623099

z0 [m]:

-570,828498 -85,6768886 -462,842016

-6

Modifikace se provádí ve fázi

y0 [m] : ωy [´´]:

ωz [´´]:

4,998403683 1,586716391 5,261077898

,

,

.

Postup je stejný jako u transformace do S-JTSK, avšak souřadnice Y, X jsou dotransformovány následující formulí ′

∆

∆

′

∆

(10.6)

2 ∆

2

(10.7)

654000 1089000

(10.8)

Koeficienty A1 až A6 jsou uvedeny v Tabulka 20.

64

Tabulka 20 – koeficienty dotransformace do S-JTSK/95 A3 [10-7]

A2

A1 0,05839284707 -6

0,04718658410 -11

0,82276069250

A4 [10 ]

A5 [10 ]

A6 [10-11]

-0,33377637090

0,88509844420

0,14445478180

65

11. Závěr Mezi systémy WGS-84 a S-JTSK neexistuje obecný transformační převod. To je způsobeno lokálními deformacemi S-JTSK, které vznikly při budování tohoto systému počátkem 20. století. Pro dosažení přesných výsledků je proto nutné provést lokální transformaci. Transformace souřadnic z prostoru do roviny probíhá v několika krocích. Pro výpočty v těchto krocích je nutné znát tzv. transformační klíč, který udává vztah dvou prostorových souřadnicových soustav. Jedná se o 7 parametrů (3 složky rotace os, 3 složky posunu počátku a změnu měřítka), které lze získat pomocí identických bodů (body s přesnými souřadnicemi v obou systémech). Na základě nastudovaných materiálů byl převzat globální transformační klíč pro převod mezi systémy ETRS-89 (evropský systém odvozený z globálního ITRS-89 velice podobného WGS-84) a S-JTSK vypočtený pomocí 175 pevných bodů DOPNUL z [21]. Následně byl vypočten lokální transformační klíč pomocí 14 bodů DOPNUL rozložených rovnoměrně v okolí testovacího okruhu. Výsledky výpočtů při použití obou klíčů byly porovnávány, přičemž při výpočtech byla brána v úvahu i transformace mezi systémy WGS-84 a ETRS-89. Odchylky vypočtené Helmertovou transformací souřadnic pomocí vypočtených klíčů byly porovnávány na 14 vybraných identických bodech kampaně DOPNUL v rovině S-JTSK a v nadmořské výšce. Dále pak byly vyhodnoceny odchylky vzdálenosti 14 identických

bodů

a

odchylky

vzdálenosti

24

rovnoměrně

rozprostřených

neidentických bodů ležících na definovaném okruhu. Nakonec byly zjišťovány vzdálenostní odchylky 24 neidentických bodů od vybraného pevného bodu DOPNUL. Nejprve bylo zjištěno ztotožnění soustav, kde lokální transformace dosahuje extrémně dobrých výsledků (zlepšení přes 99% z hodnoty globální transformace). Statistickým vyhodnocením obou transformací bylo zjištěno, že lokální klíč průměrně o 75% přesněji vystihuje polohu transformovaných bodů v rovině oproti globální transformaci a o více, než 94% ve výšce. Při

vyhodnocování

vzdálenostní

odchylky

bylo

zjištěno,

že

odchylky

na

transformovaných bodech po globální transformaci mají velice podobný směr, proto 66

zpřesněním polohy všech bodů nebylo získáno odpovídající zpřesnění ve vzdálenostní odchylce. Lokální klíč zpřesňuje vzdálenostní odchylky mezi 14 pevnými body průměrně o 33% oproti globální transformaci a mezi 24 nepevnými body pouze o 5%. Zpřesnění vzdálenostní odchylky 24 vybraných bodů od pevného bodu DOPNUL se za použití lokálního

transformačního

klíče

pohybuje

kolem

10%

(z

hodnot

globální

transformace). Provedené experimenty s parametry transformačních klíčů prokázaly, že průměrná chyba na pevných bodech v rovině S-JTSK po lokální transformaci je 0,040727 m a přibližně 0,173665 m po globální transformaci. Použitím lokální transformace tak lze dosáhnout výrazně lepších výsledků. Při

vyhodnocování

vzdálenostních

odchylek

bylo

pozorováno,

že

velikost

vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK lineárně roste se vzdáleností bodů ve WGS84 přibližně podle vzorce 0,00007

0,00008

0,0041 pro globální transformaci a podle

0,0036 po lokální transformaci. Při vzdálenosti bodů 100 m, tak

vznikne přibližně odchylka 7 mm po lokální transformaci (při zanedbání druhého členu rovnice). Při provádění experimentu lze transformovat souřadnice za použití globálního transformačního klíče se směrodatnou odchylkou 5,050283 cm v rovinných souřadnicích Y, X a 3,2454 cm ve výšce. Směrodatná odchylka lokálního klíče je 1,9959 cm v rovině S-JTSK a 0,8384 cm ve výšce. Ze zjištěných hodnot vyplývá, že lokální transformace je výrazně přesnější s maximální zjištěnou chybou v poloze 8 cm (oproti 26 cm globální transformace). Zkušenost ukazuje, že při měření pozice bodů v jakémkoli souřadnicovém systému je u nich nutné uvádět čas pořízení. Souřadnice bodů se mění v čase a bez údajů o datu měření by nebylo možné jejich polohu aktualizovat. Pro transformaci souřadnic nutnou pro potřeby této práce byl vytvořen konzolový program v jazyce C. Program dokáže vypočítat transformační klíč ze zadaného počtu pevných identických bodů a tento klíč aplikovat pro lokální transformaci ze systémů WGS-84 nebo ETRS-89 v aktuální epoše do systému S-JTSK. Globální transformace je samozřejmostí. Vstupem programu je textový soubor s libovolným počtem bodů. 67

Výstupem je rovněž textový soubor se souřadnicemi v systému S-JTSK a všemi mezikroky výpočtu (pro další práci se souřadnicemi). Po provedených pokusech při vyhodnocování výzkumu pozornosti řidičů v rovině SJTSK lze jednoznačně doporučit použití přesnějšího lokálního transformačního klíče. Pro takto malá území lze rovněž zanedbat zakřivení zemského povrchu a vyhodnocení výzkumu provádět přímo na elipsoidu WGS-84 (v uvedené výzkumné aplikaci je nutné mít vytvořené prostředí pro simulaci ve stejném souřadnicovém systému). Výsledky transformace souřadnic mezi systémy WGS-84 a S-JTSK lze využít v mnoha dopravně zaměřených aplikacích využívající systému GPS. Ať už se jedná o inteligentní dopravní systémy (ITS), velmi přesnou navigaci nebo např. určování polohy v jízdním pruhu. Výhodou transformace do roviny S-JTSK je možnost porovnání polohy transformovaných souřadnic v souboru českých map. Přesnost map samotných (většinou digitalizovaných z papírových map) je však pro podobné účely nedostačující. Pro určování polohy v jízdním pruhu by proto musela být použita speciální mapa s malým měřítkem. Vhodnější je však provést přesné zaměření trati a polohu vyhodnocovat na základě tohoto měření. Souřadnice GPS lze pak transformovat do roviny S-JTSK, UTM nebo vyhodnocení např. provádět přímo na elipsoidu WGS-84.

68

Seznam obrázků a tabulek: Obrázek 1 – rovinné a prostorové odchylky polohy vozidla ...................................... 10 Obrázek 2 – soustava geodetických zeměpisných souřadnic [8].............................. 13 Obrázek 3 – vztah mezi elipsoidickou a nadmořskou výškou [8] .............................. 14 Obrázek 4 – prostorový souřadnicový systém [20] ................................................... 14 Obrázek 5 – jednoduchá kartografická zobrazení a poloha zobrazovací plochy [8] . 17 Obrázek 6 – Křovákovo zobrazení [20] .................................................................... 23 Obrázek 7 – vztah polohy dvou elipsoidů [16] .......................................................... 28 Obrázek 8 – měřený okruh a použité body kampaně DOPNUL ............................... 44 Obrázek 9 – poloha vybraných bodů na okruhu ....................................................... 48 Obrázek 10 – rozdělení četnosti radiálních odchylek polohy na identických bodech 53 Obrázek 11 – rozdělení četnosti radiálních odchylek nadmořské výšky na identických bodech ...................................................................................................................... 54 Obrázek 12 – směrovost rovinných odchylek na pevných bodech ........................... 55 Obrázek 13 – závislost vzdálenostní odchylky v prostoru S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-84 ............................................................................................ 59 Obrázek 14 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na vzdálenostní odchylce v prostoru S-JTSK ..................................................................................... 59 Obrázek 15 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na prostorové vzdálenosti ve WGS-84 ............................................................................................ 60 Obrázek 16 – závislost vzdálenostní odchylky v rovině S-JTSK na rozdílu nadmořských výšek .................................................................................................. 60 Obrázek 17 – vzdálenostní odchylky od pevného bodu DOPNUL............................ 62

69

Tabulka 1 – některé používané elipsoidy ................................................................. 22 Tabulka 2 – přehled souřadnicových systémů používaných v ČR ............................ 25 Tabulka 3 – přehled důležitých kampaní tvořících geodetické základy .................... 26 Tabulka 4 – transformační koeficienty pro převod ITRF-2005 do ETRS-1989 ......... 42 Tabulka 5 – globální transformační klíč .................................................................... 43 Tabulka 6 – vybrané pevné body kampaně DOPNUL .............................................. 45 Tabulka 7 – rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po globální transformaci .......... 46 Tabulka 8 – 24 vybraných nepevných bodů na měřeném okruhu ............................ 47 Tabulka 9 – těžiště množiny identických bodu v systému I. i systému II. ................. 49 Tabulka 10 – lokální transformační klíč .................................................................... 50 Tabulka 11 - rovinné a výškové souřadnice S-JTSK po lokální transformaci ........... 50 Tabulka 12 – míra ztotožnění soustav ...................................................................... 51 Tabulka 13 – vyhodnocení rovinných odchylek na pevných bodech ........................ 52 Tabulka 14 – vyhodnocení výškových odchylek na pevných bodech ....................... 53 Tabulka 15 – vyhodnocení relativních vzdálenostních odchylek na pevných bodech ................................................................................................................................. 54 Tabulka 16 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v prostoru S-JTSK ..................................................................................................................... 56 Tabulka 17 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek na nepevných bodech v rovině S-JTSK ..................................................................................................................... 57 Tabulka 18 – vyhodnocení vzdálenostních odchylek nepevných bodů od pevného bodu č.33 .................................................................................................................. 61 Tabulka 19 – globální transformační klíč do S-JTSK/95 ........................................... 64 Tabulka 20 – koeficienty dotransformace do S-JTSK/95 .......................................... 65

70

Použitá literatura [1] Zdeněk Hrdina, Petr Pánek, František Vejražka: Rádiové určování polohy, ČVUT, Praha 1995 [2] Jan Kolář: Geografické informační systémy 10, ČVUT, Praha 2003 [3] Petr Buchar: Matematická kartografie, ČVUT, Praha 2007 [4] Internetové stránky českého zeměměřičského ústavu http://bodovapole.cuzk.cz/ [5] Miloš Cimbálík: Vyšší geodézie: souřadnicové soustavy, ČVUT, 1995 [6] Jan Schenk: Geodetické sítě: Bodová pole, VŠB, Ostrava 2004, dostupné z http://igdm.vsb.cz/igdm/materialy/geosite.pdf (22.10.2007) [7] Jaromír Fajt: Geometrické transformace v GIS, ZČU, dostupné z http://gis.zcu.cz/studium/ugi/referaty/05/GeometrickeTransformace/index.htm l (22.10.2007) [8] Markéta Hanzlová: Program pro transformaci souřadnic mezi souřadnicovými systémy platnými na území ČR, Diplomová práce VŠB, 2006, dostupné z http://gis.vsb.cz/GISacek/GISacek_2001/sbornik/Hanzlova/Hanzlova.htm (22.10.2007) [9] Pavla Vobořilová: Volné geodetické sítě v E3, ČVUT, 2000, dostupné z http://slon.fsv.cvut.cz/~pavla/site/site.html (22.10.2007) [10] Petr Šíma: Křovákovo zobrazení, online, 2007, dostupné z http://krovak.webpark.cz/ (10.10.2007) [11] Zdeněk Hrdina: Přepočet z WGS-84 do S-JTSK, 2001, dostupné z http://www.gpsweb.cz/JTSK-WGS.htm (22.10.2007) a přepočet z S-JTSK do WGS-84, 2001, dostupné z http://www.gpsweb.cz/WGStoJTSK.html (22.10.2007) [12] Vlastimil Kratochvíl: K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR, Univerzita obrany, dostupné z http://fvt.unob.cz/fvtdata/k210/K_metodam_prevodu_v2.pdf (22.10.2007) [13] Magdaléna Baranová: Kartografické vztahy systému JTSK, ZČU, dostupné z http://home.zcu.cz/~baranov/KMA/articles/Plochy_zkresleni.pdf (22.10.2007) [14] Kateřina Kaslová: Posouzení vlastností různých metod transformace vlastnických hranic parcel ve zjednodušené evidenci do digitální katastrální mapy na příkladě k. ú. Velká Veleň, bakalářská práce, ZČU, 2004, dostupné 71

z http://gis.zcu.cz/studium/dp/2004/Kaslova__Posouzeni_vlastnosti_ruznych_ metod_transformace_vlastnickych_hranic_parcel_ve_zjednodusene_evidenc i_do_digitalni_katastralni_mapy_na_priklade_k.u._Velka_Velen__BP.pdf (22.10.2007) [15] Jan Kostelecký: Geocentrický systém a trigonometrická síť České Republiky, VÚGTK, 1997, dostupné z http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb96/kostel.htm (22.10.2007) [16] Romana Kubátová: Systém JTSK a WGS-84, jejich charakteristika a vzájemná transformace, bakalářská práce, ZČU, 2007, dostupné z http://gis.zcu.cz/studium/dp/2007/Kubatova__System_JTSK_a_WGS84_a_vzajemna_transformace__BP.pdf (22.10.2007) [17] Bohuslav Veverka: Souřadnicové transformace v geoinformatice, ČVUT, 2006, dostupné z http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/vev_geos_06.pdf (22.10.2007) [18] Jan Ježek, Radek Sklenička: Transformace souřadnicových systémů ve vybraných GIS produktech, ČVUT, 2006, dostupné z http://gist.fsv.cvut.cz/~sklenicka/sklena/transf.pdf (22.10.2007) [19] Vojenský geografický obzor, 1/2005, vydáno 30.4.2005, dostupné z http://www.army.cz/images/id_7001_8000/7162/VGO_1_2005.pdf (22.10.2007) [20] Jan Ježek: vývoj programového modulu pro převod souřadnic mezi kartografickými zobrazeními, diplomová práce, ČVUT, 2003, dostupné z http://josef.fsv.cvut.cz/~jezek/doc/dip.pdf (22.10.2007) [21] Zdeněk Hrdina: Transformace souřadnic ze systému WGS-84 do systému SJTSK, ČVUT, 1997, dostupné z http://www.geospeleos.com/Mapovani/WGS84toSJTSK/WGS_JTSK.pdf (11.9.2007) [22] Petr Doubrava: Zpracování rastrových mapových podkladů pro využití v oblasti GIS a katastru nemovitostí, doktorská disertační práce, ČVUT, 2005, dostupné z http://projekty.geolab.cz/gacr/a/files/dis_doubrava.pdf (20.10.2007) [23] Josef Kabeláč: Geodetické metody vyrovnání – metoda nejmenších čtverců, ZČU, 2003 72

[24] Jan Jandourek, Jan Ratiborský: Geodézie VI – Způsoby vyrovnání účelových geodetických sítí v E2 a v E3, ČVUT, 1995 [25] Miloslav Ingeduld, Jan Jandourek, Jan Ratiborský, Radim Blažek: Geodézie – Metody výpočtu a vyrovnání geodetických sítí, ČVUT, 1993 [26] Jan Jandourek: Geodézie 50 – Vyrovnání účelových geodetických sítí v E2 a v E3, ČVUT, 2000 [27] Miroslav Hampacher, Vladimír Radouch: Teorie chyb a vyrovnávací počet 10, ČVUT, 1997 [28] Miroslav Hampacher, Vladimír Radouch: Teorie chyb a vyrovnávací počet 20, ČVUT, 1997 [29] Miloš Cimbálník, Antonín Zeman, Jan Kostelecký: Základy vyšší a fyzikální geodézie, ČVUT, 2007 [30] Norma ISO/FDIS 19111:2002 - Geographic information — Spatial referencing by coordinates, za poplatek dostupné z http://www.iso.org/iso/iso_catalogue/catalogue_ics/catalogue_detail_ics.htm? csnumber=26016 (27.7.2008) [31] Miluše Vilímková: Testování sítě CZEPOS, diplomová práce, ČVUT, 2006, dostupné z http://czepos.cuzk.cz/diplomka.pdf (09.12.2007) [32] NIMA: World Geodetic System 1984 – Its definition and Relationships with Local Geodetic System, technická zpráva, 2000, dostupné z http://earthinfo.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf (27.7.2008) [33] Jan Kostelecký: Souřadnicový systém S-JTSK/95, současný stav a možnosti jeho zpřesnění, ČVUT, dostupné z http://gama.fsv.cvut.cz/gk/k152/navody/VG21/VG21-S-JTSK95.pdf (09.12.2007) [34] David Vojtěch: Budování polohového bodového pole u rozsáhlé liniové stavby, diplomová práce, ZČU, 2006, dostupné z http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vojtech__Budovani_polohov eho_bodoveho_pole_u_rozsahle_liniove_stavby__DP.pdf (27.7.2008) [35] Martin Vacek: Možnosti využití GPS v katastru nemovitostí, diplomová práce, ZČU, 2004, dostupné z http://www.kma.zcu.cz/DATA/zaverecne_prace/Vacek__Moznosti_vyuziti_G PS_v_katastru_nemovitosti__DP.pdf (27.7.2008)

73

[36] Pavel Mátl: Využití systému WGS 84 pro katastrální mapování, diplomová práce, ZČU, 2006, dostupné z http://gis.zcu.cz/studium/dp/2006/Matl__Vyuziti_systemu_WGS_84_pro_kata stralni_mapovani__DP.pdf (27.7.2008) [37] Claude Boucher, Zuheir Altamimi: Specifications for reference frame fixing in the analysis of a EUREF GPS campaign, dostupné z http://etrs89.ensg.ign.fr/memo2007.pdf (27.7.2008) [38] Internetové stránky pro systémy ITRF, dostupné z http://itrf.ensg.ign.fr/ (27.7.2008) [39] Jaroslav Machan, Pavel Nedoma, Ján Vasil’, Zdeněk Franc: Srovnání provozních a laboratorních simulací HMI s využitím systémů přesného určování polohy, prezentace pro konferenci NavAge 2008 [40] Internetové stránky systému EUREF, dostupné z http://www.euref-iag.net/ (27.7.2008) [41] Zuheir Altamimi, Juliette Legrand: Dense European velocity Field and ETRS89 positions and velocities of the EPN stations, dostupné z http://www.epncb.oma.be/_newsmails/papers/eurefsymposium2004/dense_e uropean_velocity_field_and_etrs89_positions_and_velocities_of_the_epn_st ations.pdf (27.7.2008) [42] Lotti Jivall, Jānis Kaminskis, Eimuntas Paršeliūnas: Improvement and extension of ETRS 89 in Latvia and Lithuania based on the NKG 2003 GPS campaign, 2006, dostupné z http://www.gc.vgtu.lt/upload/geod_zurn/p1320.pdf (27.7.2008) [43] Torbjørn Nørbech, Halfdan P. Kierulf: An Approximate Transformation from ITRF2005 Current Epoch to EUREF89(ETRF89) in Norway for Offshore use, 2007, dostupné z http://www.statkart.no/filestore/Sjkartverket/gratisprogram/Transform_ITRF20 05_EUREF89_offshore_i.pdf (27.7.2008)

74

Seznam příloh: (Všechny přílohy a průvodní zpráva jsou umístěny na přiloženém CD.) Příloha A: Cesta k souboru:

E:/Prilohy/A/Priloha_A.pdf

Obsah přílohy:

Obrázek A.1 – délková zkreslení v S-JTSK Obrázek A.2 – Křovákovo dvojité konformní zobrazení použité v S-JTSK Obrázek A.3 – rozmístění bodů trigonometrické sítě 1. řádu a sítě AGS Obrázek A.4 – rozmístění bodů kampaní zajišťující napojení na EUREF (ETRS-89) Obrázek A.5 – roční rychlosti a směr pohybu kontinentů dle měření v systému ITRF-2005

Příloha B: Cesta k souboru:

E:/Prilohy/B/Priloha_B.xlsx

Obsah přílohy:

B.1 – Vzdálenostní odchylky na pevných bodech DOPNUL globální transformace B.2 – Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati - globální transformace B.3 – Vzdálenostní odchylky vybraných bodů na okruhu od pevného bodu DOPNUL č.33 - globální transformace B.4 – Vzdálenostní odchylky na pevných bodech DOPLNUL lokální transformace B.5 – Porovnání relativních vzdálenostních odchylek na vybraných bodech na trati - lokální transformace B.6 – Vzdálenostní odchylky vybraných bodů na okruhu od pevného bodu DOPNUL č.33 - lokální transformace

Příloha C: Cesta k souboru:

E:/Prilohy/C/

Obsah přílohy:

C.1 – Návod k programu TRANSTOS v1.0 C.2 – zdrojový kód + spustitelný soubor programu TRANSTOS v1.0 C.3 – Zdrojový kód pro výpočet lokálního klíče pomocí MATLABu C.4 – Zdrojový kód pro výpočet lokálního klíče přes redukci souřadnic k těžišti pomocí MATLABu 75

Určení přesnosti transformace souřadnic pro výzkum odchylek od ideální trajektorie vozidla

Recommend Documents