UNIVERZITY PALACKÉHO V OLOMOUCI

´ FAKULTA PRˇ´IRODOVEˇDECKA UNIVERZITY PALACKE´HO V OLOMOUCI Katedra optiky

´ PRA ´ CE DIPLOMOVA

Teoreticke´ a experimenta´lnı´ posouzenı´ energeticke´ u´cˇinnosti prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla

Vypracoval: Vedoucı´ diplomove´ pra´ce: Studijnı´ obor: Datum odevzda´nı´ pra´ce:

Zdeneˇk Dolezˇel Prof. RNDr. Zdeneˇk Bouchal, Dr. Optika a optoelektronika, 5. rocˇnı´k 6. srpna 2007

Prohla´sˇenı´: Prohlasˇuji, zˇe jsem tuto pra´ci napsal zcela samostatneˇ s pouzˇitı´m uvedene´ literatury a pod vedenı´m Prof. RNDr. Zdenˇka Bouchala, Dr. Souhlası´m s jejı´m uverˇejneˇnı´m na internetovy´ch stra´nka´ch katedry a pouzˇitı´m pro potrˇeby vy´uky.

V Olomouci dne 6. srpna 2007

...................................

Podeˇkova´nı´: Deˇkuji vedoucı´mu pra´ce Prof. Zdenˇku Bouchalovi za cˇas veˇnovany´ konzultacı´m a odborny´m rada´m. Da´le deˇkuji Mgr. Radkovi Cˇelechovske´mu za asistenci v laboratorˇi a pomoc prˇi programova´nı´ v Matlabu.

Obsah 1

U´vod

5

2

Charakteristika prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla

7

2.1

Polarizace sveˇtla, elipsoid indexu lomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Kapalne´ krystaly, elektroopticky´ jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3

Amplitudova´ modulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4

Fa´zova´ modulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5

Prostorove´ modula´tory sveˇtla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3

4

5

Difrakce na periodicky´ch struktura´ch

24

3.1

Za´klady teorie difrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2

Difraktivnı´ struktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3

Skala´rnı´ difrakcˇnı´ teorie tenky´ch mrˇ´ızˇek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Teoreticka´ energeticka´ u´cˇinnost PMS

32

4.1

Difrakcˇnı´ u´cˇinnost vy´znacˇny´ch mrˇ´ızˇek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2

Vliv Gaussovske´ho svazku na energetiku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3

Obecna´ kombinace dvou difrakcˇnı´ch mrˇ´ızˇek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4

Vliv fokusacˇnı´ho cˇlenu na energetiku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.5

Kombinace dvou fa´zovy´ch map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Opticke´ vı´ry

53

5.1

Podstata a vyuzˇitelnost opticky´ch vı´ru˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2

Spira´lnı´ fa´zova´ maska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6

Experiment

58

7

Za´veˇr

67

Reference

68

4

1

U´vod

V poslednı´ch letech prˇitahuje sta´le veˇtsˇ´ı pozornost ta cˇa´st optiky, ktera´ se zaby´va´ prostorovou modulacı´ sveˇtla. Pojem prostorove´ modulace sveˇtla v te´to pra´ci znamena´ opticke´ jevy souvisejı´cı´ s vlnovou podstatou sveˇtla, zejme´na pak difrakci sveˇtla na periodicky´ch struktura´ch. Aby bylo mozˇno dopracovat se k funkcˇnı´mu zarˇ´ızenı´ poskytujı´cı´mu pozˇadovany´ vy´stup, je trˇeba studovat vsˇechny jevy podı´lejı´cı´ se na ovlivnˇova´nı´ chodu sveˇtelne´ho svazku syste´mem. Cı´lem te´to pra´ce je vyhodnotit energetickou u´cˇinnost prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla zejme´na ve vztahu k difrakci sveˇtla. I kdyzˇ odhle´dneme od zcela beˇzˇny´ch forem prostorove´ modulace sveˇtla zprostrˇedkovany´ch cˇocˇkami a zrcadly, lze jednodusˇe prˇedpokla´dat, zˇe se cˇtena´ˇr s technicky slozˇiteˇjsˇ´ı a zajı´maveˇjsˇ´ı formou prostorove´ modulace jizˇ setkal. Naprˇ´ıklad pokud cˇte tuto pra´ci na sve´m pocˇ´ıtacˇi, dost pravdeˇpodobneˇ ji v dnesˇnı´ dobeˇ zobrazuje pomocı´ LCD displeje. Zobrazovacı´ technikou vsˇak vy´cˇet zdaleka nekoncˇ´ı, prostorova´ modulace sveˇtla hraje vy´znamnou roli jak ve sdeˇlovacı´ technice, tak naprˇ´ıklad v syste´mech opticky´ch pinzet, ktery´mi lze zachytit a transportovat mikrocˇa´stice. Dalsˇ´ı velmi zajı´mavou oblastı´ vyuzˇitı´ je vytva´ˇrenı´ nedifrakcˇnı´ch a vı´rovy´ch sveˇtelny´ch svazku˚, cozˇ bude diskutova´no v jedne´ ze za´veˇrecˇny´ch kapitol. Aby bylo mozˇno dosa´hnout takto specificky´ch vy´stupu˚, je trˇeba do opticke´ho syste´mu zarˇadit sofistikovana´ zarˇ´ızenı´. Srdcem kazˇde´ho vy´sˇe zminˇovane´ho usporˇa´da´nı´ je prostorovy´ modula´tor sveˇtla (PMS), ktery´ ovlivnˇuje amplitudu, fa´zi nebo amplitudu i fa´zi dopadajı´cı´ho sveˇtla. V druhe´ kapitole bude diskutova´na cˇinnost PMS s prˇihle´dnutı´m k polarizacˇnı´m stavu˚m sveˇtla. Jelikozˇ dnesˇnı´ PMS fungujı´ na ba´zi kapalny´ch krystalu˚, bude vysveˇtlen jejich vliv na procha´zejı´cı´ sveˇtelny´ svazek. V te´to kapitole bude rovneˇzˇ objasneˇn princip funkce amplitudovy´ch a fa´zovy´ch modula´toru˚ spolecˇneˇ s prˇehledem neˇktery´ch konkre´tnı´ch typu˚. Prostorovy´ modula´tor sveˇtla je zarˇ´ızenı´ slozˇene´ z matice totozˇny´ch prvku˚, jejichzˇ funkce je ˇr´ızena nejcˇasteˇji pomocı´ pocˇ´ıtacˇe. Fyzicka´ struktura PMS vsˇak hraje za´sadnı´ roli v energetice cele´ho syste´mu, protozˇe na nı´ docha´zı´ k parazitnı´m difrakcˇnı´m jevu˚m. Ve trˇetı´ kapitole tedy bude nastı´neˇna teorie difrakce s du˚razem zejme´na na periodicke´ struktury, vedoucı´ ke vzniku difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ prosˇle´ho sveˇtla. Cˇtvrta´ kapitola bude veˇnova´na difrakci na vy´znacˇny´ch struktura´ch. Jak bude vysveˇtleno, rozklad sveˇtla na PMS lze cha´pat jako rozklad na neˇkolika difraktivnı´ch vrstva´ch, je tedy trˇeba ˇresˇit i prˇ´ıpady kombinace ru˚zny´ch vrstev. Kapitola bude obsahovat grafy s teoreticky´mi hodnotami 5

vy´konovy´ch koeficientu˚. Pa´ta´ kapitola prˇiblı´zˇ´ı vznik vı´rovy´ch efektu˚ ve sveˇtelne´m svazku za pomoci spira´lnı´ fa´zove´ masky. Tyto efekty se ve sve´ podstateˇ podobajı´ beˇzˇny´m hydrodynamicky´m vı´ru˚m, mohou tedy slouzˇit k rozta´cˇenı´ mechanicky´ch objektu˚ prˇi mikromanipulacı´ch nebo jako pohon pro miniaturnı´ rotory uzˇ´ıvane´ v mikromechanicky´ch syste´mech. V poslednı´ kapitole bude zhodnocena korelace teoreticky´ch hodnot energeticke´ u´cˇinnosti syste´mu s rea´lny´m vy´sledkem dosazˇeny´m v laboratorˇi.

6

2

Charakteristika prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla

Prostorovy´ modula´tor sveˇtla je zarˇ´ızenı´, ktere´ pracuje na principu zmeˇny opticke´ dra´hy ru˚zneˇ polarizovane´ho sveˇtla v prostrˇedı´, cozˇ ma´ za na´sledek zmeˇnu fa´ze nebo amplitudy prosˇle´ho sveˇtla oproti vlneˇ, jezˇ nebyla modula´torem ovlivneˇna. V te´to kapitole bude diskutova´na polarizace sveˇtla a rozklad libovolne´ho polarizacˇnı´ho stavu do ortogona´lnı´ ba´ze vektoru˚ elektricke´ intenzity, z nichzˇ kazˇdy´ pocit’uje v prostrˇedı´ jiny´ index lomu. Tento efekt je za´kladem elektroopticke´ retardace a umozˇnˇuje tak prˇ´ımo funkci prostorove´ho modula´toru sveˇtla jako opticke´ho elementu. Podklady jsou cˇerpa´ny z [1], [2], [3] a oficia´lnı´ch materia´lu˚ vy´robcu˚ modula´toru˚ [13] – [16].

2.1 Polarizace sveˇtla, elipsoid indexu lomu Polarizace sveˇtla je charakterizova´na vektorem elektricke´ intenzity E(r,t) a jeho vy´vojem v prostoru a cˇase. Pro monochromatickou rovinnou vlnu platı´, zˇe slozˇky vektoru E(r,t) se v cˇase meˇnı´ harmonicky podle funkce kosinus, amplituda i fa´ze jsou ale obecneˇ ru˚zne´. V kazˇde´m bodeˇ prostoru opisuje koncovy´ bod vektoru E(r,t) elipsu.

t1

t2

E(r , t)

t1

t2

t3

t3

t4

t4

t8

t8

t7 t5

t7 t5

t6

t6

Obra´zek 1: Cˇasovy´ vy´voj polarizace rovinne´ vlny v jednom bodeˇ prostoru.

V prˇ´ıpadeˇ rovinne´ vlny lze rovinu, v nı´zˇ kmita´ vektor elektricke´ intenzity, povazˇovat za kolmou ke smeˇru sˇ´ıˇrenı´. Polarizace takove´ vlny se nazy´va´ obecneˇ elipticka´, prˇicˇemzˇ orientace a excentricita te´to elipsy urcˇujı´ polarizacˇnı´ stav sveˇtla. Cˇasovy´ vy´voj polarizacˇnı´ho stavu v bodeˇ prostoru ukazuje obr. 1. Pro prˇ´ıpad rovinne´ monochromaticke´ vlny o frekvenci ν sˇ´ıˇr´ıcı´ se ve smeˇru osy z lze vy´voj vektoru elektricke´ intenzity zapsat jako n h  z io E(r,t) = Re A exp i2πν t − , c 7

(1)

kde c je rychlost sveˇtla ve vakuu a vektorova´ amplituda A ma´ slozˇky Ax = ax exp [iϕx ] , Ay = ay exp [iϕy ] . Vektor elektricke´ intenzity lze rovneˇzˇ rozepsat do slozˇek
  Ex = ax cos 2πν t − cz + ϕx ,  
Ey = ay cos 2πν t − cz + ϕy ,


ze ktery´ch lze vyloucˇenı´m parametru t − cz odvodit tvar polarizacˇnı´ elipsy Ex Ey Ex2 Ey2 + − 2 cos ϕ = sin2 ϕ , a2x a2y ax ay

(2)

(3)

kde ϕ = ϕy − ϕx je fa´zovy´ rozdı´l ortogona´lnı´ch slozˇek vektoru elektricke´ intenzity. Tato rovnice

popisuje trajektorii, po ktere´ se pohybuje koncovy´ bod vektoru E. Vy´znamne´ jsou zejme´na tyto prˇ´ıpady fa´zove´ho rozdı´lu: 1) ϕ = mπ ;

m = 0, 1, 2, . . .

Jelikozˇ lze zapsat cos ϕ = (−1)m , rovnice elipsy prˇecha´zı´ na tvar 

Ey Ex − (−1)m ax ay

cozˇ je rovnice prˇ´ımky Ey = (−1)m

2

= 0,

ay Ex . ax

Kmitosmeˇr linea´rnı´ polarizace svı´ra´ s osou x u´hel α = arctg(a y /ax ).

π 2) ϕ = ± ; ax = ay = a0 2 V tomto prˇ´ıpadeˇ se polarizacˇnı´ elipsa meˇnı´ v rovnici kruzˇnice Ex2 + Ey2 a20

= 1.

Jestlizˇe ϕ = +π /2, elektricke´ pole rotuje v dane´m mı´steˇ z proti smyslu ota´cˇenı´ hodinovy´ch rucˇicˇek, dı´va´me-li se proti smeˇru sˇ´ıˇrenı´. Tomuto stavu ˇr´ıka´me pravotocˇiva´ kruhova´ polarizace. Pro levotocˇivou kruhovou polarizaci potom platı´ ϕ = −π /2. 8

Polarizacˇnı´ stav se rovneˇzˇ popisuje pomocı´ tzv. Jonesova vektoru tvaru   Ax J= , Ay odkud lze stanovit orientaci a tvar polarizacˇnı´ elipsy z pomeˇru a y /ax = |Ay |/|Ax | a fa´zove´ho  rozdı´lu ϕ = arg Ay − arg {Ax }. Polarizacˇnı´ stav vlny o jednotkove´ intenziteˇ, zapsany´ pomocı´

Jonesova vektoru, ma  ´ na´sledujı´cı´ tvar: 1 pro linea´rnı´ polarizaci v ose x, J= 0   cos θ linea´rnı´ polarizace, jejı´zˇ kmitosmeˇr svı´ra´ s osou x u´hel θ , J= sin θ   1 1 pro pravotocˇivou kruhovou polarizaci, J= √ 2 i   1 1 J= √ pro levotocˇivou kruhovou polarizaci. 2 −i Elipsoid indexu lomu

Materia´ly v optice se obecneˇ rozdeˇlujı´ na izotropnı´ a anizotropnı´, cˇili na takove´, jejichzˇ opticke´ vlastnosti nejsou, resp. jsou za´visle´ na smeˇru sˇ´ıˇrenı´. V anizotropnı´ch materia´lech jsou makroskopicke´ vlastnosti la´tky za´visle´ na mikroskopicke´ strukturˇe - naprˇ´ıklad tvarem a orientacı´ jednotlivy´ch molekul a prostorovy´m usporˇa´da´nı´m jejich strˇedu˚. Anizotropnı´ vlastnosti vykazujı´ zejme´na pevne´ krystalicke´ la´tky (monokrystaly) nebo kapalne´ krystaly, ktere´ svou reakcı´ na vneˇjsˇ´ı prostrˇedı´ umozˇnˇujı´ funkci prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla. V linea´rnı´m anizotropnı´m dielektriku je kazˇda´ slozˇka elektricke´ indukce linea´rnı´ kombinacı´ vsˇech slozˇek elektricke´ho pole Di = ∑ εi j E j , j

kde i, j = 1, 2, 3 reprezentuje slozˇky x, y, z a εi j prˇedstavuje tenzor permitivity (druhe´ho ˇra´du). Ten je symetricky´ a lze nale´zt takovou soustavu sourˇadnic, kde vymizı´ nediagona´lnı´ prvky. Pak lze zapsat D 1 = ε 1 E1 ,

D 2 = ε 2 E2 ,

D 3 = ε 3 E3 .

Tato soustava definuje hlavnı´ osy a roviny krystalu a pro indexy lomu v teˇchto osa´ch platı´  1/2  1/2  1/2 ε1 ε2 ε3 , n2 = , n3 = . n1 = ε0 ε0 ε0 9

(4)

ne

x3 z (opt.osa) k - směr šíření

n e( )

n2=no

n1=no

x2 y

x1 x Obra´zek 2: Elipsoid indexu lomu jednoose´ho krystalu. Tyto indexy se nazy´vajı´ hlavnı´ indexy lomu, ε0 je permitivita vakua. V geometricke´ reprezentaci lze zna´zornit hlavnı´ indexy lomu pomocı´ soustavy sourˇadnic definovane´ tenzorem impermiti´ n pomocı´ kvadraticke´ plochy vity η = ε0 εi−1 j . Elipsoid indexu lomu je reprezentova

∑ ηi j x i x j = 1 ij

a v soustaveˇ hlavnı´ch os potom rovnicı´ x32 x22 x12 + 2 + 2 = 1. n21 n2 n3

(5)

Na obr. 2 je zna´zorneˇno sˇ´ıˇrenı´ sveˇtla v jednoose´m krystalu, kde n 1 = n2 = no , n3 = ne a k znacˇ´ı smeˇr sˇ´ıˇrenı´. Jak je patrno, sˇ´ıˇr´ı-li se sveˇtlo pode´l opticke´ osy z, oba povolene´ ortogona´lnı´ polarizacˇnı´ smeˇry majı´ stejny´ index lomu. Pokud se ale smeˇr sˇ´ıˇrenı´ k odchyluje od opticke´ osy o u´hel θ , v jednom polarizacˇnı´m smeˇru se index lomu nemeˇnı´ (n o - rˇa´dny´ index lomu), ve smeˇru kolme´m ale index lomu naby´va´ hodnot v intervalu hno ÷ ne i. Index lomu ne se nazy´va´ mimorˇa´dny´. Krystal

se oznacˇuje jako kladny´ pro ne > no a za´porny´ pro ne < no .

Pro procha´zejı´cı´ sveˇtelnou vlnu to znamena´, zˇe jedna z ortogona´lnı´ch komponent elektricke´ho vektoru pocit’uje prˇi pru˚chodu krystalem jiny´ index lomu nezˇ komponenta druha´, tedy zˇe jedna ze slozˇek urazı´ stejnou optickou dra´hu v krystalu drˇ´ıve nezˇ druha´. Tohoto efektu se vyuzˇ´ıva´ u opticky´ch elementu˚ zvany´ch fa´zove´ desticˇky. Ty lze charakterizovat v maticove´m za´pisu naprˇ´ıklad 10

jako T=

"

1

0

0

exp(−i Γ)

#

.

Takova´ fa´zova´ desticˇka zpozˇd’uje y-ovou slozˇku vektoru E(r,t) za slozˇkou x-ovou a udeˇluje ji fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ Γ. Osy x a y se nazy´vajı´ rychla´ a pomala´ osa fa´zove´ desticˇky. Vy´znacˇne´ prˇ´ıpady jsou:  1) Γ = π /2 – tato desticˇka, nazvana´ cˇtvrtvlnova´, meˇnı´ linea´rneˇ polarizovane´ sveˇtlo √12 11 na levo1  tocˇiveˇ kruhoveˇ polarizovane´ √12 −i a pravotocˇiveˇ kruhoveˇ polarizovane´ sveˇtlo √12 1i na linea´rneˇ  polarizovane´ √12 11 .  1 , tedy 2) Γ = π – tato desticˇka, nazvana´ pu˚lvlnova´, meˇnı´ linea´rnı´ polarizaci √12 11 na √12 −1 1  1 ◦ sta´cˇ´ı rovinu polarizace o 90 . Pravotocˇiveˇ kruhoveˇ polarizovane´ sveˇtlo √2 i je transformova´no 1 na sveˇtlo levotocˇiveˇ kruhoveˇ polarizovane´ √12 −i . Na na´sledujı´cı´m obra´zku je demonstrova´no fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ kolmy´ch slozˇek elektricke´ intenzity. Osy x0 a y0 reprezentujı´ rychlou a pomalou osu fa´zove´ desticˇky. Je zjevne´, zˇe na urcˇite´ de´lce z docha´zı´ ke zmeˇneˇ pu˚vodneˇ linea´rnı´ polarizace s kmitosmeˇrem lezˇ´ıcı´m v ose x naprˇ´ıklad v polarizaci kruhovou pro Γ = π /2, prˇ´ıpadneˇ nasta´va´ stocˇenı´ roviny polarizace o 90 ◦ pro Γ = π . Opticky´ materia´l, ktery´ ma´ na vy´stupu takto definovane´ fa´zove´ zpozˇdeˇnı´, nazy´va´me cˇtvrtvlnova´ prˇ´ıp. pu˚lvlnova´ fa´zova´ desticˇka. Jev fa´zove´ho zpozˇdeˇnı´ se rovneˇzˇ nazy´va´ opticka´ retardace.

Ex’ z Ey’ z x x’

y’

y

=0

=

2

Obra´zek 3: Opticka´ retardace.

11

=

2.2 Kapalne´ krystaly, elektroopticky´ jev Kapalne´ krystaly se vyznacˇujı´ tı´m, zˇe analogicky ke klasicke´mu krystalove´mu usporˇa´da´nı´ existuje orientacˇnı´ usporˇa´da´nı´ molekul doutnı´kove´ho tvaru, ale zcela chybı´ usporˇa´da´nı´ prostorove´, cozˇ je obdobne´ jako u kapalin. Celkem existujı´ trˇi typy kapalny´ch krystalu˚ (viz obr. 4): 1) Nematicke´ kapalne´ krystaly majı´ molekuly usporˇa´da´ny rovnobeˇzˇneˇ, ale jejich polohy jsou na´hodne´. 2) Smekticke´ kapalne´ krystaly majı´ molekuly usporˇa´da´ny rovnobeˇzˇneˇ a navı´c jejich strˇedy lezˇ´ı v rovnobeˇzˇny´ch rovina´ch, polohy molekul jsou opeˇt na´hodne´. 3) Cholestericke´ kapalne´ krystaly jsou zkroucenou formou nematicke´ fa´ze, orientace ma´ tvar sˇroubovice kolem osy.

a)

b)

c)

Obra´zek 4: Typy kapalny´ch krystalu˚: a) nematicke´; b) smekticke´; c) cholestericke´.

Kapalne´ krystaly majı´ schopnost dı´ky pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıch sil meˇnit orientaci svy´ch molekul a tı´mto zpu˚sobem ovlivnˇovat polarizacˇnı´ stav prosˇle´ho sveˇtla. Vlastnosti prˇile´hajı´cı´ch povrchu˚, naprˇ´ıklad lesˇteˇnı´ skleneˇny´ch desticˇek nebo elektrod, urcˇuje vy´chozı´ vlastnosti krystalu. Po prˇilozˇenı´ elektricke´ho pole se zacˇnou molekuly kapalne´ho krystalu vychylovat ze svy´ch pu˚vodnı´ch poloh. U nematicke´ho krystalu mu˚zˇe dojı´t v za´vislosti na smeˇru prˇilozˇene´ho pole ke skloneˇnı´ pode´lne´ osy molekul do smeˇru tohoto pole (viz naprˇ. obr. 13). U stocˇeny´ch nematicky´ch krystalu˚ mu˚zˇe prˇilozˇene´ pole rovneˇzˇ nakla´neˇt pode´lnou osu molekul, cˇ´ımzˇ za´rovenˇ rusˇ´ı sˇroubovite´ stocˇenı´ opticke´ osy v jednotlivy´ch vrstva´ch krystalu. Efekt, popisujı´cı´ zmeˇnu chova´nı´ krystalu po prˇilozˇenı´ elektricke´ho pole, se nazy´va´ elektroopticky´ jev. Projevuje se tak, zˇe po prˇilozˇenı´ elektricke´ho pole se zmeˇnı´ tenzor permitivity, potazˇmo soustava hlavnı´ch indexu˚ lomu. Zmeˇna indexu lomu 12

souvisı´ s Pockelsovy´m a Kerrovy´m nelinea´rnı´m jevem (vı´ce viz [1]). Linea´rnı´ elektropticky´ jev lze demonstrovat na prˇ´ıkladu trigona´lnı´ho krystalu LiNbO 3 . Bez vneˇjsˇ´ıho pole se jedna´ o jednoosy´ krystal s indexy lomu n x = ny = no ; nz = ne . Po prˇilozˇenı´ vneˇjsˇ´ıho elektricke´ho pole se vztah (5) zkomplikuje na       1 1 1 2 2 + r1k Ek x + n2 + r2k Ek y + n2 + r3k Ek z2 + 2yzr4k Ek + 2xzr5k Ek + 2xyr6k Ek = 1. n2 1

2

3

(6)

Jestlizˇe elektroopticky´ tenzor tohoto krystalu ma´ tvar  0 −r22   0 r22    0 0   0 r51    r51 0  −r22 0

r13



 r13    r33   0    0   0

(7)

a vneˇjsˇ´ı elektricke´ pole E = (0, 0, Ez ) je paralelnı´ s osou z, pak prˇedesˇla´ rovnice naby´va´ tvaru       1 1 1 2 2 + r13 Ez x + n2 + r13 Ez y + n2 + r33 Ez z2 = 1. (8) n2 o

o

e

Jestlizˇe oznacˇ´ıme

1 1 = 2 + r13 Ez ; 2 no n0 x

1 1 = 2 + r13 Ez ; 2 no n0 y

1 1 = 2 + r33 Ez , 2 ne n0 z

pak ˇra´dny´ a mimorˇa´dny´ index lomu v soustaveˇ s vneˇjsˇ´ım elektricky´m polem majı´ hodnotu   n2o 0 no = no 1 − r13 Ez ; n0x = n0y = n0o , 2   n2e 0 ne = ne 1 − r33 Ez ; n0z = n0e . 2

(9)

V tomto prˇ´ıpadeˇ je rovneˇzˇ videˇt, zˇe vneˇjsˇ´ı elektricke´ pole nemeˇnı´ smeˇr hlavnı´ch os krystalu a krystal tedy zu˚sta´va´ jednoosy´m! V prˇ´ıpadech, kdy se smeˇr hlavnı´ch os nemeˇnı´ s rostoucı´m elektricky´m polem, mohou by´t tyto krystaly vy´hodneˇ pouzˇity jako samostatne´ fa´zove´ desticˇky nebo ve fa´zovy´ch a amplitudovy´ch modula´torech sveˇtla. Smeˇry polarizace zu˚sta´vajı´ stejne´, jen prˇ´ıslusˇne´ indexy lomu se meˇnı´ v za´vislosti na vneˇjsˇ´ı intenziteˇ E. 13

2.3 Amplitudova´ modulace Z obr. 3 je patrno, zˇe pokud na de´lce prostrˇedı´ z nasta´va´ fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ Γ = π (pu˚lvlnova´ fa´zova´ desticˇka) a vstupnı´ polarizace je otocˇena o u´hel 45 ◦ vu˚cˇi soustaveˇ hlavnı´ch os desticˇky, docha´zı´ ke zmeˇneˇ z linea´rnı´ polarizace v ose x na polarizaci v ose y. Tento jev lze vyuzˇ´ıt pro modulaci amplitudy, jak ukazuje obr. 5. Na polariza´tor dopada´ sveˇtelna´ vlna s polarizacı´ popsanou Jonesovy´m vektorem J a polariza´tor z nı´ vyfiltruje prˇ´ıpustny´ polarizacˇnı´ smeˇr o urcˇite´ intenziteˇ. ´ hel α znacˇ´ı odklon kmitosmeˇru od osy x (v tomto prˇ´ıpadeˇ je nulovy´). U

y

opt. osa, ne

no x

J’ ’

2

J

Analyzátor

destička

Polarizátor

Obra´zek 5: Nerˇ´ızena´ fa´zova´ desticˇka jako modula´tor amplitudy.

Fa´zova´ desticˇka, v tomto prˇ´ıpadeˇ pu˚lvlnova´, ma´ optickou osu kolmo ke smeˇru sˇ´ıˇrenı´ svazku, a jejı´ odklon od osy x popisuje u´hel ψ . Desticˇka tlousˇt’ky l u svy´ch povoleny´ch ortogona´lnı´ch polarizacˇnı´ch stavu˚ zava´dı´ fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ ∆ϕ =

2π (ne − no )l. λ

(10)

Pu˚lvlnova´ desticˇka (∆ϕ = π ) sta´cˇ´ı rovinu polarizace na u´hel α 0 = α + ∆α , kde ∆α = 2(ψ − α ). Analyza´tor na´sledneˇ opeˇt propousˇtı´ jen cˇa´st dopadajı´cı´ vlny a transmisnı´ pomeˇr ma´ potom tvar T=

I0 , I

kde I je intenzita dopadajı´cı´ a I 0 prosˇle´ vlny. Fixovana´ fa´zova´ desticˇka ale neumozˇnˇuje postupnou zmeˇnu intenzity prosˇle´ho sveˇtla. Toho lze docı´lit bud’to jejı´m nata´cˇenı´m, nebo mnohem efektivneˇji pomocı´ vneˇjsˇ´ıho elektricke´ho pole. 14

Vneˇjsˇ´ı pole mu˚zˇe bud’to rotovat syste´mem hlavnı´ch os, nebo vy´hodneˇji pouze meˇnit indexy lomu v hlavnı´ch osa´ch fa´zove´ desticˇky. Fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ mezi slozˇkami elektricke´ intenzity opticke´ vlny ma´ tvar

2π 0 (n − n0o )l, (11) λ e kde pro krystal LiNbO3 a vneˇjsˇ´ı pole paralelnı´ s osou z splnˇujı´ indexy lomu n 0o a n0e vztahy (9). ∆ϕ =

Tento modula´tor intenzity s elektricky ˇr´ızenou fa´zovou desticˇkou ma´ pak funkci propustnosti T = T (Ez ) za´vislou na vneˇjsˇ´ım poli. V za´vislosti na konstrukci modula´tor bez vneˇjsˇ´ıho pole bud’to vu˚bec nepropousˇtı´ (prˇ´ıp. zcela propousˇtı´) vstupnı´ vlnu, nebo propousˇtı´ 50% intenzity a vneˇjsˇ´ım polem je na´sledneˇ upravova´na vy´stupnı´ intenzita. Polarizátor

y

Analyzátor no

ne z x

l

in

out

V Obra´zek 6: Elektricky ˇr´ızena´ modulace amplitudy.

Na obr. 7 je nastı´neˇna funkce amplitudove´ho PMS. Na modula´tor dopada´ linea´rneˇ polarizovane´ sveˇtlo, ktere´ po pru˚chodu ˇr´ızeny´m fa´zovy´m prostrˇedı´m zmeˇnı´ polarizacˇnı´ stav. Analyza´tor pak funguje jako filtr urcˇujı´cı´ vy´stupnı´ intenzitu sveˇtla od jednotlivy´ch pixelu˚.

2.4 Fa´zova´ modulace Fa´zovy´ modula´tor rovneˇzˇ pracuje na principu elektroopticke´ retardace ˇr´ızene´ fa´zove´ desticˇky, konstrukce zarˇ´ızenı´ je ale odlisˇna´ (viz obr. 8). Vstupnı´ svazek je polarizova´n paralelneˇ s jednou z indukovany´ch hlavnı´ch os krystalu. Jelikozˇ vneˇjsˇ´ı pole nesta´cˇ´ı hlavnı´ osy krystalu, je pouze potrˇeba spra´vneˇ natocˇit ˇr´ızenou fa´zovou desticˇku. Pu˚sobenı´ vneˇjsˇ´ıho pole tedy nemeˇnı´ polarizacˇnı´ stav sveˇtla, ale ˇr´ıdı´ zmeˇnu indexu lomu a tedy i zmeˇnu opticke´ dra´hy sveˇtla v krystalu. V prˇ´ıpadeˇ 15

Modulátor bez vnějšího napětí

Analyzátor

Modulátor s vnějším napětím

Řízený modulátor Polarizátor

Obra´zek 7: Amplitudovy´ modula´tor sveˇtla.

pode´lneˇ prˇilozˇene´ho vneˇjsˇ´ıho napeˇtı´ je fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ ∆ϕ = ∆ϕ (E z ) u´meˇrne´ pu˚sobı´cı´mu poli. Zmeˇnu fa´ze na vzda´lenosti z lze popsat jako

ϕ = ϕ0 − π

V z , Vπ l

(12)

kde ϕ0 je fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ bez prˇ´ıtomnosti pole, l znamena´ de´lku krystalu a z urazˇenou dra´hu sveˇtla. Prˇilozˇene´ vneˇjsˇ´ı napeˇtı´ ma´ hodnotu V = E · z a Vπ =

λ . r13 n0 3e

je tzv. pu˚lvlnove´ napeˇtı´, zpu˚sobujı´cı´ fa´zove´ zpozˇdeˇnı´ π . Parametry l a d znamenajı´ de´lku krystalu a urazˇenou dra´hu sveˇtla, parametr r13 (prˇ´ıp. r33 , za´lezˇ´ı na experimentu) je prˇ´ıslusˇny´ Pockelsu˚v koeficient krystalu (vı´ce viz [1]). Obr. 9 ilustruje funkci fa´zove´ho PMS. Prˇi osveˇtlova´nı´ neaktivnı´ho PMS linea´rneˇ polarizovany´m svazkem je vy´stupem (v idea´lnı´m prˇ´ıpadeˇ) rovinna´ vlnoplocha. Pokud ale modula´tor pracuje, na jednotlivy´ch pixelech docha´zı´ ke zmeˇneˇ indexu lomu, cozˇ ve vy´sledku vede ke zmeˇneˇ tvaru vy´stupnı´ vlnoplochy.

16

y z

ne

x

in

l

out

no

Polarizátor

V

Obra´zek 8: Elektricky ˇr´ızena´ modulace fa´ze.

modulátor

Výstupní vlnoplocha modulátoru bez napětí

Výstupní vlnoplocha modulátoru s napětím

modulátor

Řízený modulátor Polarizátor

Obra´zek 9: Fa´zovy´ modula´tor sveˇtla.

17

2.5 Prostorove´ modula´tory sveˇtla Prostorovy´ modula´tor sveˇtla tvorˇ´ı matice aktivnı´ch pixelu˚, jejichzˇ amplitudova´ nebo fa´zova´ modulacˇnı´ cˇinnost je principia´lneˇ naznacˇena na obra´zcı´ch 5 a 8. V obou prˇ´ıpadech se jedna´ o modula´tor zalozˇeny´ na pru˚chodu sveˇtla, ovsˇem v praxi se cˇasto uplatnˇujı´ modula´tory odrazne´ho typu (viz obr. 10).

krycí sklo

průhledná elektroda

kapalný krystal

matice pixelů

CMOS konektor Obra´zek 10: Odrazny´ prostorovy´ modula´tor sveˇtla.

Kazˇdy´ modula´tor je charakterizova´n svy´mi parametry, na ktere´ musı´ by´t bra´n zrˇetel prˇi realizova´nı´ experimentu. Mezi ty nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı patrˇ´ı naprˇ´ıklad pracovnı´ vlnova´ de´lka (vlnove´ de´lky), rychlost odezvy, aktivnı´ plocha, pocˇet, rozmeˇry a vza´jemne´ vzda´lenosti jednotlivy´ch pixelu˚ a samozrˇejmeˇ zpu˚sob modulace sveˇtelne´ho pole. Na´sleduje vy´cˇet neˇkolika PMS od ru˚zny´ch vy´robcu˚. Displaytech Mojave SLM-1216-1 Technologie PMS

Krystal FLC, reflexnı´ CMOS cˇip

Pocˇet pixelu˚

1216 x 1216 (aktivnı´ch 1200 x 1200)

Aktivnı´ oblast

13,0 x 13,0 mm

Perioda pixelu˚ ´ cˇinny´ pru˚ˇrez pixelu U

10,7 x 10,7 µ m

Obnovovacı´ frekvence Vlnove´ de´lky

63% ≥ 1,1 kHz

402 – 412 nm

Modula´tor pracuje s pouzˇitı´m polariza´toru a zkrˇ´ızˇene´ho analyza´toru, prˇicˇemzˇ dopadajı´cı´ svazek interaguje s pixely, ktere´ majı´ pouze dveˇ hodnoty - zapnuto a vypnuto. Jde tedy o amplitudovy´ modula´tor. Pouzˇity´ krystal FLC (Ferroelectric Liquid Crystal) umozˇnˇuje azˇ stokra´t rychlejsˇ´ı ode18

X sloupců

Y řádků

Boulder Nonlinear Systems perioda

mezera

Obra´zek 11: Periodicka´ (difraktivnı´) struktura pixelu˚ aktivnı´ cˇa´sti prostorove´ho modula´toru sveˇtla.

zvu nezˇ klasicke´ nematicke´ kapalne´ krystaly. Obnovovacı´ frekvenci lze zvy´sˇit tı´m, zˇe se zmensˇ´ı pocˇet aktivnı´ch pixelu˚. Hamamatsu X8267 Series Programmable Phase Modulator Technologie PMS

Krystal PAL, opticke´ adresova´nı´

Pocˇet pixelu˚

≈ 590 000

Aktivnı´ oblast

20 x 20 mm

Rozlisˇenı´

19 cˇar/mm

Fa´zovy´ zdvih

vı´ce nezˇ 2π pro λ = 633 nm

Vlnove´ de´lky

500 – 1600 nm v za´vislosti na verzi

Modula´tor je unika´tnı´ spojenı´m opticky adresovane´ho fa´zove´ho PAL-SLM (Parallel Aligned Nematic Liquid Crystal Spatial Light Modulator) soustavou cˇocˇek s elektricky ovla´dany´m modula´torem intenzity. Toto ˇresˇenı´ eliminuje nevy´hody konvencˇnı´ch opticky adresovany´ch modula´toru˚, ktere´ majı´ proble´m s adresova´nı´m, a elektricky ovla´dany´ch modula´toru˚, ktere´ majı´ relativneˇ malou aktivnı´ plochou pixelu.

19

Boulder P512-λ Phase Spatial Light Modulator Technologie PMS

Krystal PAL, reflexnı´ CMOS cˇip

Pocˇet pixelu˚

512 x 512

Aktivnı´ oblast

7,68 x 7,68 mm

Perioda pixelu˚ ´ cˇinny´ pru˚ˇrez pixelu U

15 x 15 µ m 78%

Fa´zovy´ zdvih

2π pro danou vlnovou de´lku

Fa´zovy´ skok

50 – 256 u´rovnı´ pro zdvih 2π

Obnovovacı´ frekvence

10 – 30 Hz

Vlnove´ de´lky

532, 635, 785, 1064 nebo 1550 nm

Pokud na tento modula´tor dopada´ vertika´lneˇ polarizovany´ svazek, funguje jako cˇisteˇ fa´zovy´ modula´tor. V prˇ´ıpadeˇ stocˇenı´ roviny polarizace ale docha´zı´ i k vedlejsˇ´ım amplitudovy´m jevu˚m. Prˇi stocˇenı´ roviny polarizace o 45◦ funguje jako amplitudovy´ modula´tor se zbytkovy´mi fa´zovy´mi efekty. Je tedy trˇeba pecˇliveˇ nastavit vstupnı´ polarizaci sveˇtla pu˚lvlnovou desticˇkou. Modula´tor s pracovnı´ vlnovou de´lkou λ = 633nm je soucˇa´stı´ vybavenı´ katedry. Firma BNS rovneˇzˇ doda´va´ modula´tor, ktery´ ma´ CMOS cˇip potazˇen tenkou dielektrickou odraznou vrstvou. Ta odstranˇuje jinak prˇ´ıtomnou amplitudovou mrˇ´ızˇku a modula´tor ma´ aktivnı´ch 100% plochy pixelu˚. Na obr. 13 je videˇt sche´ma tohoto modula´toru i efekt, jak napeˇtı´ na jednotlivy´ch pixelech ovlivnˇuje stocˇenı´ molekul kapalne´ho krystalu.

20

Obra´zek 12: Fa´zovy´ modula´tor Boulder.

Výstupní vlnoplocha

Krycí elektroda

Tekutý krystal

y, Vy

Diel. zrcátko Elektrody pixelů

0V

2,5 V

5V

0V

x, Vx

Obra´zek 13: Sta´cˇenı´ molekul kapalne´ho krystalu na fa´zove´m modula´toru Boulder.

21

CRL Opto XGA3 Amplitude SLM Technologie PMS

Stocˇeny´ nematicky´ krystal, transmisnı´ princip

Pocˇet pixelu˚

1024 x 768

Aktivnı´ oblast

18,5 x 13,9 mm

Perioda pixelu˚ ´ cˇinny´ pru˚ˇrez pixelu U

18 x 18 µ m 65%

Obnovovacı´ frekvence

60 Hz

Tento amplitudovy´ modula´tor je rovneˇzˇ soucˇa´stı´ vybavenı´ laboratorˇe katedry. Je zalozˇen na transmisnı´m principu a nenı´ tedy vhodny´ pro vsˇechny typy aplikacı´ (naprˇ. pro realizaci Twyman-Greenova interferometru). Amplitudova´ modulace vsˇak vykazuje mnohem nizˇsˇ´ı u´cˇinnost ve srovna´nı´ s fa´zovou, takzˇe modula´tor je vyuzˇ´ıva´n pomeˇrneˇ zrˇ´ıdka. V soucˇasnosti firma CRL Opto pravdeˇpodobneˇ zanikla, cozˇ mu˚zˇe by´t du˚sledkem orientace pouze na amplitudove´ modula´tory.

Obra´zek 14: Amplitudovy´ modula´tor CRL Opto.

22

Vliv fyzicke´ struktury modula´toru˚ na energetiku prostorove´ modulace sveˇtla Periodicka´ struktura pixelu˚ modula´toru ma´ vliv na dopadajı´cı´ sveˇtelny´ svazek - chova´ se totizˇ jako difrakcˇnı´ mrˇ´ızˇka a rozkla´da´ sveˇtlo do difrakcˇnı´ch ˇra´du˚, z nichzˇ kazˇdy´ nese jen cˇa´st dopadajı´cı´ energie. Jak ukazuje na´sledujı´cı´ obra´zek, difrakci sveˇtla prˇi pouzˇ´ıva´nı´ PMS lze cha´pat jako rozklad na fyzicke´ (hardwarove´) strukturˇe pixelu˚ a samotne´ pracovnı´ fa´zove´/amplitudove´ mapeˇ. Jestlizˇe ma´ modula´tor mrˇ´ızˇkovy´ faktor p (u´cˇinny´ pru˚ˇrez pixelu), jeho nulty´ ˇra´d ma´ energetickou u´cˇinnost η0 ≈ p2 . Pouze tato cˇa´st sveˇtla je pouzˇitelna´ pro dalsˇ´ı mrˇ´ızˇku, jejı´zˇ u´cˇinnost η 1 odpovı´da´

tvaru a typu modulujı´cı´ mrˇ´ızˇky. Jen jeden nebo neˇkolik ma´lo ˇra´du˚ tohoto na´sledujı´cı´ho difrakcˇnı´ho efektu pak slouzˇ´ı jako vy´stup pro experiment.

V na´sledujı´cı´ch kapitola´ch budou diskutova´ny vlivy, pu˚sobı´cı´ na energetiku cele´ho procesu. Bude popsa´n vliv struktury modula´toru, modulujı´cı´ mrˇ´ızˇky i dalsˇ´ıch jevu˚, souvisejı´cı´ch s tvarem svazku i dalsˇ´ımi opticky´mi cˇleny. V za´veˇru pra´ce budou jejich vlivy vyhodnoceny.

1

0

Obra´zek 15: Energeticke´ ztra´ty v procesu prostorove´ modulace sveˇtla.

23

3

Difrakce na periodicky´ch struktura´ch

Kdyzˇ necha´me sˇ´ıˇrit elektromagneticke´ vlneˇnı´ naprˇ´ıklad ve formeˇ sveˇtelne´ho svazku a do cesty mu postavı´me nepru˚hledne´ stı´nı´tko s otvorem, tvar te´to prˇeka´zˇky ovlivnı´ rozlozˇenı´ intenzitnı´ho profilu vlneˇnı´ v neˇjake´ vzda´lenosti za prˇeka´zˇkou. Tento jev je projevem vlnove´ podstaty sveˇtla a vy´sledne´ difrakcˇnı´ rozlozˇenı´ intenzity se mu˚zˇe mı´rneˇ nebo i vy´razneˇ lisˇit od geometricke´ho stı´nu prˇeka´zˇky v dane´m mı´steˇ. Prostorovy´ modula´tor sveˇtla je opticky´ element, jehozˇ fyzicka´ struktura podstatny´m zpu˚sobem ovlivnˇuje energeticke´ pomeˇry v interagujı´cı´m sveˇtelne´m svazku. V te´to kapitole bude nastı´neˇna teorie difrakce, prˇicˇemzˇ hlavnı´ du˚raz bude kladen na periodicke´ struktury. Teoreticky´ podklad je cˇerpa´n z [1] a [4].

3.1 Za´klady teorie difrakce Urcˇit prˇesneˇ difrakcˇnı´ obrazec dane´ prˇeka´zˇky mu˚zˇe by´t vzhledem k jejı´ geometrii dosti slozˇity´ proble´m. Je proto vy´hodne´ uvazˇovany´ model co nejvı´ce zjednodusˇit. Nejjednodusˇsˇ´ı teorie difrakce je zalozˇena na prˇedpokladu, zˇe dopadajı´cı´ vlna je propusˇteˇna beze zmeˇn pouze v mı´stech otvoru stı´nı´tka a vsˇude jinde je zcela zatlumena. To znamena´, zˇe komplexnı´ amplituda teˇsneˇ za stı´nı´tkem je da´na vztahem U1 (x, ¯ y) ¯ = U0 (x, ¯ y)p( ¯ x, ¯ y), ¯ kde p(x, ¯ y) ¯ =

(

1

uvnitrˇ otvoru,

0

vneˇ otvoru

(13)

je tzv. aperturnı´ funkce. x z

U0(x,y)

U2(x,y)

U1(x,y) y

z

Aperturní rovina

Rovina pozorování

Obra´zek 16: Omezenı´ dopadajı´cı´ vlnoplochy vy´rˇezem stı´nı´tka.

24

Jak je patrno na obr. 16, komplexnı´ amplituda U1 (x, ¯ y) ¯ se volneˇ sˇ´ıˇr´ı a ve vzda´lenosti z od roviny stı´nı´tka pozorujeme nove´, difrakcı´ ovlivneˇne´ rozdeˇlenı´ amplitudy U2 (x, y). Studium difrakcˇnı´ u´lohy obna´sˇ´ı neˇkolik prˇ´ıstupu˚ (viz naprˇ´ıklad [4]), jejichzˇ podrobne´ vysveˇtlenı´ vsˇak prˇekracˇuje ra´mec te´to pra´ce. Fresnelu˚v-Kirchhoffu˚v difrakcˇnı´ integra´l Jednı´m z teˇchto prˇ´ıstupu˚ je ˇresˇenı´ difrakcˇnı´ u´lohy pomocı´ Fresnelova-Kirchhoffova difrakcˇnı´ho integra´lu

i U2 = λ

ZZ A

U1

exp [−ikr] cos ϑ dA, r

kde oblast A znacˇ´ı aperturu ve stı´nı´tku a U1 ,U2 komplexnı´ amplitudu dopadajı´cı´ a difraktovane´ vlny. V integra´lu vystupuje i tzv. inklinacˇnı´ faktor (i/λ ) cos ϑ , ktery´ charakterizuje u´hlovou za´vislost vyzarˇova´nı´ difraktovane´ vlny vzhledem k u´hlu norma´ly dopadajı´cı´ vlnoplochy a bodu pozorova´nı´. V paraxia´lnı´m prˇiblı´zˇenı´ vede rozvoj parametru r, prˇedstavujı´cı´ vzda´lenost jednotlivy´ch bodu˚ aperturnı´ a pozorovacı´ roviny, k Fresneloveˇ a Fraunhofferoveˇ aproximaci. Fresnelova aproximace ma´ tvar i U2 (x, y, z) ≈ e−ikz λz

ZZ

U1 (x, ¯ y, ¯ 0) e

A

−ik 2z

h

(x − x) ¯ 2 + (y − y) ¯2

i

dxd ¯ y¯

(14)

a je pouzˇitelna´, pokud Fresnelovo cˇ´ıslo NF = a2 /λ z dosahuje velky´ch hodnot. Pro zjisˇteˇnı´ rozlozˇenı´ pole ve vzda´lene´ zo´neˇ uzˇ´ıva´me Fraunhoferovu aproximaci tvaru

−ik −ik 2 + y2 Z Z 2 + y¯2 + ik (xx¯ + yy) x x ¯ ¯ −ikz i z U2 (x, y, z) = e U1 (x, ¯ y, ¯ 0) e 2z dxd ¯ y, ¯ e 2z λz

(15)

A

pouzˇitelnou pro NF = a2 /λ z  1. Fraunhofferova aproximace, cˇili sledova´nı´ stavu pole ve vzda´leny´ch oblastech, je za´kladnı´m prˇedpokladem pro Fourierovskou optiku. Prˇ´ıstup Fourierovske´ optiky Fourierovska´ metoda je prˇ´ıstupem, ktery´ pohlı´zˇ´ı na difrakci jako na prˇenosovy´ proces, prˇicˇemzˇ volny´ prostor plnı´ funkci prˇenosove´ho syste´mu. Sledujeme vlnoplochu prˇed a za syste´mem. Ten musı´ by´t linea´rnı´, cˇili pro neˇj musı´ platit princip superpozice. Shrnˇme nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ıch aspekty tohoto prˇ´ıstupu (vı´ce viz [5]), ktery´ bude v te´to pra´ci pouzˇit k vyhodnocenı´ vlivu PMS na sveˇtelne´ 25

svazky. Za´kladnı´ definicˇnı´ vztahy. Pokud signa´l U(x, y) splnˇuje podmı´nky Fourierovy transformace, pak jeho Fourierovsky´ obraz a zpeˇtna´ transformace splnˇujı´ vztahy F {U(x, y)} ≡ U ( fx , fy ) = U(x, y)exp [i2π ( f x x + fy y)] dxdy, ∞  RR −1 F U ( fx , fy ) ≡ U(x, y) = U ( fx , fy )exp [−i2π ( f x x + fy y)] d fx d fy . RR

(16)

∞

Promeˇnne´ f x , fy zde znacˇ´ı prostorove´ frekvence (obr. 17). Uvazˇujme da´le dvourozmeˇrnou konvoluci dvou funkcı´ a(x, y) ∗ b(x, y) =

ZZ

∞

a(x, ¯ y)b(x ¯ − x, ¯ y − y)d ¯ xd ¯ y¯ = b(x, y) ∗ a(x, y).

(17)

Konvoluce je operace komutativnı´. Pro Fourierovu transformaci konvoluce platı´ vy´znamny´ vztah F {a ∗ b} = A · B,

kde A = F {a} a B = F {b} .

(18)

Prˇenosova´ funkce, impulznı´ odezva. V prˇ´ıpadeˇ linea´rnı´ho invariantnı´ho prˇenosove´ho syste´mu mu˚zˇeme popsat vy´voj opticke´ informace (stav pole) na vy´stupu syste´mu U2 (x, y) pomocı´ stavu na vstupu U1 (x, y) jako U2 (x, y) = L [U1 (x, y)] , kde L je obecny´ linea´rnı´ opera´tor. Oznacˇme odezvu syste´mu na vstupnı´ delta funkci jako impulznı´ odezvu h(x, y), cˇili reakci syste´mu na za´ˇr´ıcı´ bod. Pak Fourierovsky´m obrazem funkce h(x, y) je prˇenosova´ funkce H ( f x , fy ) a mu˚zˇeme psa´t h(x, y) = L [δ (x, y)]

a

F {h(x, y)} = H ( fx , fy ).

(19)

U linea´rnı´ch invariantnı´ch syste´mu˚ platı´ princip superpozice, ktery´ je rovneˇzˇ mozˇne´ vyja´drˇit pomocı´ konvoluce. S vyuzˇitı´m (17) azˇ (19) lze odvodit du˚lezˇite´ vztahy mezi vstupem a vy´stupem, a to jak v sourˇadnicı´ch, tak ve spektra´lnı´ch obrazech U2 (x, y) = U1 (x, y) ∗ h(x, y),

U2 ( fx , fy ) = U1 ( fx , fy ) · H ( fx , fy ).

(20)

Fyzika´lnı´ formalismus Fourierovske´ho spektra. Prˇedlozˇeny´ formalismus Fourierovske´ optiky lze interpretovat fyzika´lneˇ. Uvazˇujme monochromatickou rovinnou vlnu sˇ´ıˇr´ıcı´ se ve smeˇru vlnove´ho vektoru k=

2π [cosα , cosβ , cosγ ] λ 26

x x

sin

= x

1

vlnoplochy

k

fx x

z

Obra´zek 17: Fyzika´lnı´ interpretace prostorovy´ch frekvencı´.

s jednotkovou amplitudou a r = [x, y, z] jako polohovy´m vektorem na vlnoplosˇe (obr. 17). Jejı´ sˇ´ıˇrenı´ lze rozepsat pomocı´ smeˇrovy´ch kosinu˚   2π (xcosα + ycosβ + zcosγ ) . exp [−i k · r] = exp −i λ

Smeˇrove´ kosiny jsou mezi sebou za´visle´, takzˇe naprˇ. pro γ mu˚zˇeme napsat cosγ = 1 − cos2 α − cos2 β


1/2

.

´ hly θx ,θy jsou doplnˇkove´ u´hly do 90◦ . Prostorove´ frekvence potom definujeme vztahy U fx =

cosα sinθx = , λ λ

fy =

sinθy cosβ = . λ λ

(21)

Rovinnou vlnu lze pak pomocı´ teˇchto prostorovy´ch frekvencı´ zapsat jako exp [−i k · r] = e−i2π ( fx x+ fy y) e−ikz(1−λ

2 f 2 −λ 2 f 2 1/2 x y

) .

(22)

Odtud je mozˇno z integra´lu (16b) interpretovat vlnu U(x, y) jako superpozici rovinny´ch vln s amplitudami U ( f x , fy ) d fx d fy , resp. pojı´mat prˇ´ımo Fourierovu transformaci jako rozklad obecne´ vlny U(x, y) do slozˇek rovinny´ch vln s amplitudami U ( f x , fy ). Rovinna´ vlna sˇ´ıˇrenı´m dle (22) nemeˇnı´ sve´ prostorove´ vlastnosti, meˇnı´ se pouze celkova´ fa´ze. Druha´ exponenta na prave´ straneˇ v rovnici prˇedstavuje pra´veˇ tento multiplikativnı´ faktor, meˇnı´cı´ celkovou fa´zi mezi rovinou z = 0 a z. Nazy´va´me ji prˇenosovou funkcı´ volne´ho prostoru. Ve Fresneloveˇ aproximaci (vı´ce viz [1], str. 129) lze prˇenosovou funkci volne´ho prostoru zapsat vztahem 
 H ( fx , fy , z) = exp [−ikz] exp iπλ z fx 2 + fy 2 . 27

(23)

3.2 Difraktivnı´ struktury Vy´znamnou oblast difraktivnı´ optiky tvorˇ´ı tzv. difraktivnı´ struktury, cozˇ jsou periodicke´ nebo kvaziperiodicke´ syste´my, ve ktery´ch jsou modulova´ny materia´love´ vlastnosti prostrˇedı´. Jedna´ se tedy o zobecneˇne´ difrakcˇnı´ mrˇ´ızˇky. Sem patrˇ´ı samozrˇejmeˇ i modula´tory sveˇtla dı´ky jejich maticove´ strukturˇe souboru aktivnı´ch pixelu˚. Charakteristika pravidelny´ch jednorozmeˇrny´ch difraktivnı´ch struktur Uvazˇujme pravidelnou jednorozmeˇrnou difraktivnı´ strukturu, mrˇ´ızˇku, ktera´ ma´ periodu opakova´nı´ materia´lovy´ch parametru˚ Λ. Pak vektor ve smeˇru tohoto nejvysˇsˇ´ıho gradientu, kolme´ho na difrakcˇnı´ plochy, nazy´va´me mrˇ´ızˇkovy´ vektor K. Jeho velikost je da´na vztahem K=

2π . Λ

Difrakci na takove´ mrˇ´ızˇce lze v ideove´ rovineˇ vyja´drˇit jako vy´sledek konstruktivnı´ interference jednotlivy´ch prˇ´ıspeˇvku˚ vznikajı´cı´ch difrakcı´ od jednotlivy´ch period mrˇ´ızˇky z povrchu i objemu. Tato vı´cena´sobnost i konstruktivnost superpozice prˇ´ıspeˇvku˚ vede na existenci fa´zovy´ch synchronismu˚ a projevuje se vy´znacˇny´m prˇerozdeˇlenı´m energie zejme´na do tzv. difrakcˇnı´ch rˇa´du˚. Pro vznik difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ je za´sadnı´ fa´zovy´ synchronismus u´hlovy´, ktery´ bez ohledu na tvar modulacˇnı´ funkce vyjadrˇuje zmı´neˇnou konstruktivnı´ superpozici mezi jednotlivy´mi periodami mrˇ´ızˇky, nacˇ´ıta´me-li difrakcˇnı´ prˇ´ıspeˇvky v urcˇite´m u´hlu k rozhranı´. Na obr. 18 je difraktivnı´ struktura tvoˇrena se´riı´ liniovy´ch za´ˇricˇu˚. Prˇ´ıspeˇvky se v ru˚zny´ch u´hlech nacˇ´ıtajı´ s ru˚zny´m fa´zovy´m zpozˇdeˇnı´m, prˇicˇemzˇ ve vzda´lene´ zo´neˇ bude nezanedbatelny´ prˇ´ıspeˇvek pouze v prˇ´ıpadeˇ fa´zove´ na´sobnosti prˇ´ıspeˇvku˚ 2π . Tato podmı´nka se da´ vyja´drˇit jako ∆ϕ = kΛsinθm = m2π . Cele´ cˇ´ıslo m je cˇ´ıslo difrakcˇnı´ho ˇra´du. Odtud lze pak odvodit mrˇ´ızˇkou rovnici tvaru sinθi − sinθm = −

mλ , Λ

(24)

kde λ je vlnova´ de´lka sveˇtla a θi je dopadovy´ u´hel sveˇtelne´ vlny (na obr. 18 je θi = 0 rad). Tato metoda nepoda´va´ prˇesny´ obraz o rozlozˇenı´ pole teˇsneˇ za aperturou, ale o jeho efektivnı´m tvaru ve vzda´lene´ zo´neˇ, cozˇ je du˚lezˇite´ prˇi zkouma´nı´ vlivu prostorovy´ch modula´toru˚ na rozdeˇlenı´ komplexnı´ amplitudy sveˇtelne´ho svazku.

28

“+3”

Im Ud

= 3*2 “+2”

=k

sin

= 2*2

“+1” =2 “0”

Re Ud

Obra´zek 18: Fa´zovy´ u´hlovy´ synchronismus na tenke´ mrˇ´ızˇce.

Difrakcˇnı´ u´cˇinnost mrˇ´ızˇek je jeden ze steˇzˇejnı´ch pojmu˚ pro tuto pra´ci. Posuzuje aplikacˇnı´ vhodnosti jednotlivy´ch difraktivnı´ch struktur a vyjadrˇuje energetickou u´cˇinnost sveˇtla transformovane´ho do dane´ho difrakcˇnı´ho ˇra´du. Pro konkre´tnı´ difrakcˇnı´ ˇra´d lze vztah pro u´cˇinnost dane´ho ˇra´du zapsat jako pomeˇr sveˇtelne´ intenzity Im vlny difraktovane´ pod u´hlem θm a intenzity Ii vstupnı´ vlny dopadajı´cı´ pod u´hlem θi

Im cosθm . (25) Ii cosθi Difrakcˇnı´ u´cˇinnost za´visı´ kromeˇ jine´ho zejme´na na mrˇ´ızˇkovy´ch parametrech (tlousˇt’ce prostrˇedı´,

ηm =

mrˇ´ızˇkove´m vektoru), druhu modulace (amplitudova´ nebo fa´zova´ modulace), vlnove´ de´lce sveˇtla a geometrii mrˇ´ızˇky.

3.3 Skala´rnı´ difrakcˇnı´ teorie tenky´ch mrˇ´ızˇek Na´sledujı´cı´ teorie vycha´zı´ z metody transmitancˇnı´ funkce tenky´ch mrˇ´ızˇek a je prˇijatelna´ pro celou ˇradu prakticky´ch prˇ´ıpadu˚. Meˇjme nekonecˇneˇ rozlehlou tenkou transparentnı´ periodickou strukturu v rovineˇ (x, y, 0), popsanou funkcı´ propustnosti t(x, y). Ta je periodicka´ ve smeˇru osy x s periodou Λ 1 = 2π /K, kde K je modul mrˇ´ızˇkove´ho vektoru K, ktery´ rovneˇzˇ lezˇ´ı v ose x. Definujme frekvenci mrˇ´ızˇky f x1 = 1/Λ1 , pak K = 2π f x1 . Necht’pro jednoduchost transmitancˇnı´ funkce t(x) neza´visı´ na sourˇadnici y. Nechme na mrˇ´ızˇku dopadat rovinnou vlnu U0 = A exp [−ik0 · r], jejı´zˇ vlnovy´ vektor

k0 = (kx0 , 0, kz0 ) lezˇ´ı v rovineˇ (x, z); oznacˇme kx0 = 2π fx0 . Fourieru˚v obraz dopadajı´cı´ vlny v rovineˇ transparentu je U0 ( fx , fy , 0− ) = A δ ( fx − fx0 , fy , 0). 29

Pole teˇsneˇ za transparentem ma´ tvar U1 (x, y, 0+ ) = U0 t(x) a difraktovane´ pole ve vzda´lenosti z za mrˇ´ızˇkou pak  U2 (x, y, z) = [U0 t(x)] ∗ h(x, y, z) = F −1 U1 ( fx , fy , 0) · H ( fx , fy , z) ,

(26)

kde H je prˇenosova´ funkce volne´ho prostoru a U1 je Fourieru˚v obraz vstupnı´ vlny teˇsneˇ za transparentem. Periodicˇnost transmitancˇnı´ funkce umozˇnˇuje prove´st Fourierovsky´ rozvoj do ˇrady harmonicky´ch prˇ´ıspeˇvku˚ m-ty´ch ˇra´du˚ ∞

t(x) =

∑

m=−∞

cm exp [−imKx] =

∞

∑

m=−∞

cm exp [−i2π m f x1 x] ,

(27)

kde koeficienty Fourierovy ˇrady jsou 1 cm = Λ1

ΛZ1 /2

t(x, y) exp [i2π m f x1 x] dx.

(28)

−Λ1 /2

Potom tvar vstupnı´ vlny teˇsneˇ za transparentem (z = 0+ ) naby´va´ tvaru U1 (x, y, 0+ ) = A

∞

∑

m=−∞

cm exp [−i(mK + kx0 )x] .

(29)

Jestlizˇe vyja´drˇ´ıme Fourieru˚v obraz transmitancˇnı´ funkce jako T ( fx , fy ) = δ ( fy )

∞

∑

m=−∞

cm δ ( fx − m fx1 ),

(30)

pak Fourieru˚v obraz funkce U1 za transparentem splnˇuje vztah U1 ( fx , fy , 0) = Aδ ( fy )

∞

∑

m=−∞

cm δ ( fx − fx0 − m fx1 ).

(31)

Jedna´ se tedy o Fourieru˚v obraz transmitancˇnı´ funkce, posunute´ ve spektru. Konecˇneˇ rozlozˇenı´ difraktovane´ho pole ve vzda´lenosti z lze potom zapsat ve tvaru U2 (x, y, z) = A

ZZ

∞

δ ( fy ) ∑ cm δ ( fx − fx0 −m fx1 ) e−ikz+iπλ z( fx + fy )−i2π ( fx x+ fy y) d fx d fy 2

2

m

2 = A e−ikz ∑ cm e−i2π ( fx0 + m fx1 )x eiπλ ( fx0 + m fx1 ) z . m

(32)

Difrakcˇnı´ u´cˇinnost popisuje energeticke´ vztahy jednotlivy´ch difrakcˇnı´ch ˇra´du˚. Lze ji definovat pomocı´ (25), ale lze vyjı´t i ze vztahu (32), ktery´ popisuje amplitudu difrakcˇnı´ho ˇra´du, 30

tj.: U2m = A cm . Fourierovska´ amplituda nenı´ v prˇ´ıpadeˇ idea´lnı´ tenke´ mrˇ´ızˇky za´visla´ na dopadove´m ani difraktovane´m u´hlu, jedna´ se o amplitudovou slozˇku norma´lovou. Ma´-li tedy intenzita

vystupovat jako hustota vy´konu ve smeˇru dane´ho ˇra´du, je trˇeba pro rovinnou vlnu ve smeˇru 2 sve´ho vlnove´ho vektoru psa´t Im = U2m /cosθm . To znamena´, zˇe pro vy´pocˇet norma´lovy´ch slo-

zˇek Poyntigova vektoru je mozˇno pouzˇ´ıt kvadra´tu transmitancˇnı´ funkce. Pak v prˇ´ıpadeˇ rozkladu 2 mu˚zˇeme uzˇ´ıt prˇ´ımo Fourierovsky´ch koeficientu˚ (platı´ ∑ cm = 1). Odtud plyne pro difrakcˇnı´ u´cˇinnost v m-te´m ˇra´du vztah

2 ηm = cm .

31

(33)

4

Teoreticka´ energeticka´ u´cˇinnost PMS

Jestlizˇe nebudeme bra´t v u´vahu opticky adresovatelne´ prostorove´ modula´tory sveˇtla, komunikacˇnı´m prostrˇedkem s PMS je pocˇ´ıtacˇ. At’uzˇ modula´tor pracuje v amplitudove´m, fa´zove´m nebo kombinovane´m rezˇimu, je z PC posı´la´na informace, ktera´ ma´ jasneˇ definovanou strukturu, jejı´zˇ podoba za´visı´ na konkre´tnı´m experimentu. Difrakcˇnı´ jevy na fyzicke´ strukturˇe modula´toru i na pracovnı´ amplitudove´ nebo fa´zove´ mapeˇ vsˇak zpu˚sobujı´ zmeˇnu prostorove´ho rozlozˇenı´ amplitudy sveˇtla. V te´to kapitole budou diskutova´ny difrakcˇnı´ u´cˇinnosti za´kladnı´ch typu˚ mrˇ´ızˇek, ktere´ jsou z hlediska modulace neˇjaky´m zpu˚sobem vy´znacˇne´. Da´le bude ucˇineˇna u´vaha, kdy idea´lnı´ rovinnou vlnu nahradı´me obecny´m Gaussovsky´m svazkem a budeme studovat jeho vliv na vy´konove´ koeficienty. V dalsˇ´ıch bodech pak budou rozebra´ny specia´lnı´ prˇ´ıpady zahrnujı´cı´ kombinaci dvou mrˇ´ızˇek a diskutova´n bude i vliv fokusacˇnı´ho cˇlenu na energetiku svazku.

4.1 Difrakcˇnı´ u´cˇinnost vy´znacˇny´ch mrˇ´ızˇek Bina´rnı´ amplitudova´ mrˇ´ızˇka

t(x)

p.

1

1

x

0 1

Obra´zek 19: Bina´rnı´ amplitudova´ mrˇ´ızˇka.

Tato mrˇ´ızˇka je pro energetiku modula´toru zcela za´sadnı´ - je totizˇ soucˇa´stı´ modula´toru, jelikozˇ ji tvorˇ´ı matice aktivnı´ch pixelu˚. V prˇ´ıpadeˇ propustne´ho i odrazne´ho modula´toru na ni lze nahlı´zˇet jako na soustavu propustny´ch a nepropustny´ch sˇteˇrbin, prˇicˇemzˇ transmitancˇnı´ funkce dosahuje pouze dvou hodnot 0 a 1. Na´sleduje demonstrativnı´ vy´pocˇet koeficientu cm , u dalsˇ´ıch mrˇ´ızˇek uzˇ bude uveden pouze vy´sledek.

32

cm = cm = = cm =

1 Λ1 /2 1 , t(x, y) exp [i2π m f x1 x] dx, fx1 = Λ1 −Λ1 /2 Λ1 Z 1 pΛ1 /2 i2π m fx1 x dx, e Λ1 −pΛ1 /2  pΛ1 pΛ1  1 1 ei2π m fx1 2 − e−i2π m fx1 2 , Λ1 i2π m fx1 1 sin (π mp) = p sinc (mp) . πm Z

eix − e−ix = sin(x), 2i

(34)

Z vy´pocˇtu i na´sledujı´cı´ch obra´zku˚ je patrne´, zˇe energeticka´ u´cˇinnost za´visı´ kromeˇ difrakcˇnı´ho ˇra´du i na parametru p ≤ 1, ktery´ bychom mohli oznacˇit jako strˇ´ıdu (cozˇ je v kontextu tote´zˇ

jako u´cˇinny´ pru˚ˇrez pixelu modula´toru). Ze vztahu (34) lze snadno vypocˇ´ıst maxima´lnı´ difrakcˇnı´

u´cˇinnost pro jaky´koliv ˇra´d. Pro m > 0 je da´na vztahem

∂ cm = 0, ∂p a jelikozˇ p cos (π mp) = 0, pak maxima´lnı´ difrakcˇnı´ u´cˇinnost v m-te´m ˇra´du nasta´va´ pro p = dosahuje maxima´lnı´ difrakcˇnı´ u´cˇinnost hodnoty 10,1%.

1 2m .

Naprˇ´ıklad pro ±1. ˇra´d

Pro nulty´ ˇra´d platı´ c0 = lim cm = p, m→0

2 a tedy η0 = c0 = p2 . Je zrˇejme´, zˇe u´cˇinnost je tı´m veˇtsˇ´ı, cˇ´ım veˇtsˇ´ı je parametr p. To je du˚lezˇite´ pro prakticke´ aplikace - fyzicka´ mrˇ´ızˇka modula´toru musı´ propousˇteˇt co nejvı´ce sveˇtla do 0. ˇra´du.

33

b)

Difrakční účinnost binární amplitudové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost binární amplitudové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 20: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost bina´rnı´ amplitudove´ mrˇ´ızˇky: a) p = 0,3, b) p = 0,5.

b)

Difrakční účinnost binární amplitudové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost binární amplitudové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 21: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost bina´rnı´ amplitudove´ mrˇ´ızˇky: a) amplitudovy´ modula´tor CRL Opto (p = 0,65), b) fa´zovy´ modula´tor Boulder (p = 0,78).

34

Harmonicka´ amplitudova´ mrˇ´ızˇka

t(x)

1 V x

0 1

Obra´zek 22: Harmonicka´ amplitudova´ mrˇ´ızˇka. Mrˇ´ızˇka ma´ funkci propustnosti definovanou pomocı´ funkce sinus nebo kosinus t(x) =

1 (1 +V cosKx) , 2

kde K = 2π f x1 a parametr V ≤ 1 se nazy´va´ hloubka modulace. Fourierovy koeficienty pro tuto mrˇ´ızˇku majı´ tvar

1 V V cm = δ (m) + δ (m + 1) + δ (m − 1). (35) 2 4 4 Jak je videˇt, mrˇ´ızˇka generuje pouze nulty´ a dva postrannı´ difrakcˇnı´ ˇra´dy. Pro maxima´lnı´ hloubku

modulace V = 1 jde do 1. ˇra´du 6,25% energie, do nulte´ho vzˇdy cˇtvrtina vy´konu. b)

Difrakční účinnost amplitudové harmonické mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost amplitudové harmonické mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 23: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost harmonicke´ amplitudove´ mrˇ´ızˇky: a) V = 0,5, b) V = 1.

35

Bina´rnı´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka

t(x) e

p.

i

1

x

1 1

Obra´zek 24: Bina´rnı´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka. Transmitancˇnı´ funkce te´to mrˇ´ızˇky opeˇt naby´va´ pouze dvou hodnot fa´zove´ho zdvihu, 1 nebo e iθ , kde parametr θ znacˇ´ı fa´zovy´ zdvih a pro pracovnı´ vlnovou de´lku naby´va´ hodnot θ ∈ (0 ÷ 2π ).

Vy´pocˇet Fourierovy´ch koeficientu˚ je opeˇt velmi podobny´ a ve vy´sledku dosta´va´me   cm = sinc(m) + p sinc(mp) eiθ − 1 ,

(36)

kde m znacˇ´ı difrakcˇnı´ ˇra´d a p strˇ´ıdu, analogicky k amplitudove´mu prˇ´ıpadu. Pro nulty´ ˇra´d ma´ koeficient tvar   c 0 = 1 + p e iθ − 1 .

Z vy´sledku˚ je patrno, zˇe u´cˇinnost za´visı´ na obou parametrech. Na na´sledujı´cı´ch grafech jsou zachyceny prˇ´ıpady vzˇdy s jednı´m parametrem fixovany´m a druhy´m promeˇnlivy´m. Jelikozˇ bina´rnı´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka uzˇ slouzˇ´ı jako mrˇ´ızˇka pracovnı´, je pro jejı´ prakticke´ vyuzˇitı´ nejlepsˇ´ı, pokud do ±1. ˇra´du jde maximum energie. To nasta´va´ pro parametry p = 0,5 a θ = π a maxima´lnı´ u´cˇinnost ma´ hodnotu η1 = 40,5%.

36

b)

Difrakční účinnost binární fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost binární fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 25: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost bina´rnı´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) θ = 1π

a p = 0,3;

b) θ = 1π a p = 0,5.

b)

Difrakční účinnost binární fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost binární fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 26: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost bina´rnı´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) θ = 1π b) θ = 0,5π a p = 0,5.

37

a p = 0,9;

b)

Difrakční účinnost binární fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost binární fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 27: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost bina´rnı´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) θ = 1,5π a p = 0,5; b) θ = 1,8π a p = 0,5. Harmonicka´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka

t(x)

e

i

e

i

1

x

1 1

Obra´zek 28: Harmonicka´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka. Transmitancˇnı´ funkce te´to mrˇ´ızˇky naby´va´ hodnot t(x) = exp [iθ0 + iθ1 cos2π fx1 x] , kde θ = θ0 + θ1 je fa´zovy´ zdvih. Fourierovy koeficienty majı´ tvar cm = (−i)m · eiθ0 Jm (θ1 ) , kde 1 Jm (z) = 2π

Zπ

e−izsinτ + imτ dτ

−π

38

(37)

je vyja´drˇenı´ Besselovy funkce 1. druhu m-te´ho ˇra´du. Je videˇt, zˇe mezi jednotlivy´mi po sobeˇ jdoucı´mi difrakcˇnı´mi ˇra´dy nasta´va´ fa´zovy´ posuv π /2. Pro m = ±1 nasta´va´ maximum pro J1 (1,84) = 0,58, kde 1,84 ≈ π /4. Maxima´lnı´ u´cˇinnost v teˇchto

ˇra´dech je 33,9%.

Difrakční účinnost [%]

m=1

Difrakční účinnost [%]

m=0

m=3 Difrakční účinnost [%]

Fázový zdvih

m=2 Difrakční účinnost [%]

Fázový zdvih

Fázový zdvih

Fázový zdvih

Obra´zek 29: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost harmonicke´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost harmonické fázové mřížky

Fázový zdvih (rad)

Obra´zek 30: Harmonicka´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka - nulty´ a prvnı´ ˇra´d.

39

Idea´lnı´ blejzovana´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka

2 d

t(x) 1

x 1

Obra´zek 31: Dokonala´ blejzovana´ mrˇ´ızˇka.

Z vy´pocˇtu vy´konovy´ch koeficientu˚ te´to mrˇ´ızˇky je na prvnı´ pohled patrne´, procˇ zaujı´ma´ vy´znamne´ mı´sto mezi ostatnı´mi mrˇ´ızˇkami. Pokud jsou parametry mrˇ´ızˇky vhodneˇ nastaveny vzhledem k pracovnı´ vlnove´ de´lce sveˇtla, doka´zˇe naprostou veˇtsˇinu sveˇtelne´ energie difraktovat do jedine´ho ˇra´du. Funkce propustnosti te´to mrˇ´ızˇky naby´va´ hodnot   2π t(x) = exp i d mod (x, Λ1 ) , λ kde funkce mod (x, Λ1 ) vytva´ˇr´ı fa´zove´ skoky z 2π na 0π v prˇ´ıpadeˇ, zˇe koeficient fa´zove´ho zdvihu d = λ /Λ1 . Vy´pocˇet Fourierovy´ch koeficientu˚ probı´ha´ opeˇt podle (28), prˇi integraci je pouzˇita metoda per partes

 Λ1 cm = sinc m + d . λ 

(38)

Pokud se konstrukcı´ mrˇ´ızˇky docı´lı´, zˇe maxima´lnı´ zmeˇna opticke´ dra´hy sveˇtla je rovna vlnove´ de´lce, cˇili d = λ /Λ1 , pak se vsˇechna energie prˇelije do mı´nus prvnı´ho difrakcˇnı´ho ˇra´du! To je z pohledu prostorove´ modulace sveˇtla velmi vy´znamne´, jelikozˇ celkovy´ difrakcˇnı´ proces na vsˇech prˇ´ıtomny´ch difrakcˇnı´ch struktura´ch snizˇuje vyuzˇitelnou energii pro aplikace PMS. Tato pracovnı´ mrˇ´ızˇka tedy prˇi spra´vne´ konstrukci pozitivneˇ ovlivnˇuje energetiku procesu.

40

b)

Difrakční účinnost id. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost id. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 32: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost idea´lnı´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) φ = 0,75π , b) φ = 1π .

b)

Difrakční účinnost id. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost id. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 33: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost idea´lnı´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) φ = 1,5π , b) φ = 2π .

41

Rea´lna´ blejzovana´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka

2 d

t(x) 1

x 1

Obra´zek 34: Rea´lna´ blejzovana´ mrˇ´ızˇka.

Vy´roba mrˇ´ızˇek probı´ha´ veˇtsˇinou litografickou metodou, kdy se profil vyznacˇuje stupnˇovitou nebo schodovitou zmeˇnou materia´lovy´ch hodnot. V prˇ´ıpadeˇ ovla´dane´ho prostorove´ho modula´toru sveˇtla jde o analogii - jednotlive´ pixely mohou mı´t pouze jednu hodnotu naprˇ. fa´zove´ho zdvihu, takzˇe nenı´ mozˇno docı´lit hladke´ho profilu. Tato skutecˇnost ale rovneˇzˇ negativneˇ ovlivnˇuje energeticke´ pomeˇry mezi difrakcˇnı´mi ˇra´dy, takzˇe je potrˇeba tento vliv zahrnout do vy´pocˇtu˚. Oproti idea´lnı´ blejzovane´ mrˇ´ızˇce navı´c nenı´ mozˇno dosa´hnout fa´zove´ho zdvihu plny´ch (0 ÷ 2π ). Funkce propustnosti ma´ v tomto prˇ´ıpadeˇ tvar N−1

  2π jΛ1 t(x) = ∑ exp i d , λ N j=0 kde parametr N urcˇuje pocˇet schodu˚ a d = λ /Λ1 je koeficient fa´zove´ho zdvihu. Prˇi vy´pocˇtu Fourierovy´ch koeficientu˚ je potrˇeba periodu rozlozˇit na cˇa´sti s konstantnı´m zdvihem, cozˇ ve vy´sledku vede k vytvorˇenı´ geometricke´ ˇrady. Vy´konove´ koeficienty naby´vajı´ tvaru   h   i
Λ 1 m sin π d Λ1 + m h m i exp iπ d λ + m sinc N λ    exp iπ h  i cm = N N exp i π d Λ1 + m sin π d Λ1 + m N

λ

N

(39)

λ

a pro u´cˇinnost potom platı´

2 ηm = c m =

sinc2 Nm N2




   sin2 π d Λλ1 + m  .   sin2 Nπ d Λλ1 + m

Je zrˇejme´, zˇe u´cˇinnost za´visı´ na pocˇtu fa´zovy´ch skoku˚. Cˇ´ım vı´ce jich bude, tı´m vı´ce se bude rea´lna´ mrˇ´ızˇka blı´zˇit te´ idea´lnı´ a bude vy´hodneˇji rozdeˇlovat energii. 42

b)

Difrakční účinnost r. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost r. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 35: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost rea´lne´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) φ = 2π , N = 2, b) φ = 2π , N = 4.

b)

Difrakční účinnost r. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

Difrakční účinnost r. blejzované fázové mřížky

Difrakční účinnost [%]

a)

Difrakční řád

Difrakční řád

Obra´zek 36: Difrakcˇnı´ u´cˇinnost rea´lne´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky: a) φ = 2π , N = 6, b) φ = 2π , N = 16.

43

4.2 Vliv Gaussovske´ho svazku na energetiku Doposud byl uvazˇova´n prˇ´ıpad, kdy na tenkou mrˇ´ızˇku dopada´ rovinna´ vlna. To je ale pouze idea´lnı´ prˇ´ıpad, ktere´ho nelze dosa´hnout - trˇeba uzˇ jen z toho du˚vodu, zˇe rovinna´ vlna nese nekonecˇneˇ velikou energii. Paraxia´lnı´ vlny, jejichzˇ norma´ly svı´rajı´ s hlavnı´m smeˇrem sˇ´ıˇrenı´ jen maly´ u´hel, musı´ splnˇovat paraxia´lnı´ Helmholtzovu rovnici ∇2T U − i2k

∂U = 0, ∂z

kde U = U(x, y, z) je komplexnı´ amplituda vlny a ∇2T = ∂ 2 /∂ x2 + ∂ 2 /∂ y2 je transverza´lnı´ Laplaceu˚v opera´tor (viz [1]). Du˚lezˇity´m ˇresˇenı´m te´to rovnice je pra´veˇ Gaussovsky´ svazek, ktery´ ma´ v prˇ´ıcˇne´ rovineˇ kruhoveˇ symetricke´ rozlozˇenı´ intenzity. Tento svazek dosta´va´me za jisty´ch idea´lnı´ch podmı´nek rovneˇzˇ na vy´stupu laseru. Komplexnı´ amplituda Gaussovske´ho svazku ma´ tvar     2 w0 x 2 + y2 z x + y2 UG = − ik exp i arctg , exp − w w2 2R q0

(40)

kde parametry w, w0 , R a q0 jsou postupneˇ aktua´lnı´ polosˇ´ıˇrka svazku, polosˇ´ıˇrka v nejuzˇsˇ´ım mı´steˇ (pas svazku), polomeˇr krˇivosti a tzv. Rayleighova vzda´lenost, na ktere´ jesˇteˇ povazˇujeme svazek za fokusovany´. Pro dalsˇ´ı vy´pocˇty je vhodne´ za´pis zjednodusˇit na 
 UG = Z exp −Q x2 + y2 , 1 ik + , 2 w 2R   z w0 . exp i arctg Z= w q0

Q=

(41)

Na na´sledujı´cı´m prˇ´ıkladu budeme demonstrovat vy´konove´ pomeˇry v difrakcˇnı´ch ˇra´dech, cozˇ lze jednodusˇe porovnat s u´cˇinnostı´ vypocˇtenou pro idea´lnı´ rovinnou vlnu. Uvazˇujme svazek (41), ktery´ dopada´ na amplitudovou kosinovou mrˇ´ızˇku (viz str. 35). Ta je pro demonstraci vy´hodna´ proto, zˇe produkuje pouze trˇi difrakcˇnı´ ˇra´dy, cozˇ zjednodusˇuje vy´pocˇet. Stav pole teˇsneˇ za transparentem odpovı´da´ vztahu U 0 (x, y) = UG · t, kde funkci t dostaneme dosazenı´m (35) do (27). V dalsˇ´ım kroku prˇevedeme komplexnı´ amplitudu do u´hlove´ho frekvencˇnı´ho spektra Fourierovou transformacı´  U ( fx , fy ) = F U 0 = U0 ( fx , fy ) + U−1 ( fx , fy ) + U+1 ( fx , fy ). 44

Pro jednotlive´ difrakcˇnı´ ˇra´dy vypada´ vy´sledek na´sledovneˇ:  
π2 2 Z π 2 f + fy , exp − U0 ( fx , fy ) = 2Q Q x " ( #)  1 2 π2 ZV π fx + exp − U−1 ( fx , fy ) = + fy2 , 4 Q Q Λ1 " #) (  1 2 π2 ZV π fx − . U+1 ( fx , fy ) = exp − + fy2 4 Q Q Λ1

(42) (43) (44)

Stopa v pozorovacı´ rovineˇ vsˇak na rozdı´l od idea´lnı´ho zobrazenı´ rovinne´ vlny nebude bodem, ale plosˇkou (obr. 37). To ma´ vliv i na meˇˇrenı´ vy´konu v jednotlivy´ch stopa´ch, ktere´ jizˇ nepojmou vsˇechen vy´kon jako v prˇ´ıpadeˇ rovinne´ vlny, ale majı´ Gaussovsky utlumene´ rozlozˇenı´ intenzity. Nejprve je trˇeba definovat hranici oblasti stopy, ve ktere´ budeme meˇˇrit. Standardneˇ ji volı´me jako mı´sto, kde komplexnı´ amplituda klesne na hodnotu 1/e sve´ho maxima. Mu˚zˇeme zu˚stat v u´hlove´m spektru a vyjı´t z libovolne´ho vztahu (42) – (44). Velikost polosˇ´ıˇrky stopy pro rotacˇneˇ symetricky´ svazek je da´na jako r

w2 k 2 1 + . (45) π 2 w 2 4π 2 R 2 Tento vy´sledek je velmi zajı´mavy´ - ukazuje, zˇe pro dany´ svazek ve Fourierovske´ rovineˇ vu˚bec ne∆f =

za´lezˇ´ı na jeho fokusaci do roviny modula´toru. Ve Fourierovske´ rovineˇ bude frekvencˇnı´ polosˇ´ıˇrka svazku vzˇdy ∆f =

1 . π w0

Obra´zek 37: Vliv Gaussovske´ho svazku na rozlozˇenı´ intenzity. Vy´kon Gaussovske´ho svazku na vstupu je za prˇedpokladu normovane´ intenzity da´n integra´lem vstupnı´ intenzity prˇes celou plochu PG =

ZZ

∞

I(x, y, z)dxdy =

Z∞ 0

45

I(ρ , z)2πρ dρ =

1 π w20 2

(46)

V prˇ´ıpadeˇ jednotlivy´ch stop vsˇak nemu˚zˇeme integrovat prˇes cely´ prostor, ale pouze prˇes oblast, kde intenzita poklesne na zvoleny´ch 1/e2 ≈ 0,135 sve´ho maxima. V uvazˇovane´m prˇ´ıpadeˇ jsou hodnoty vy´konu pro jednotlive´ ˇra´dy da´ny na´sledovneˇ


PG 1 π w20 1 − e−2 = 0,86 , 8 4 2
V PG V 2 π w20 1 − e−2 = 0,86 = . 32 16

P0 = P±1

(47)

Vy´sledek odpovı´da´ prˇ´ıpadu difrakce rovinne´ vlny na harmonicke´ amplitudove´ mrˇ´ızˇce. Od idea´lnı´ho prˇ´ıpadu se ovsˇem lisˇ´ı tı´m, zˇe v jednotlivy´ch ˇra´dech se nale´za´ mensˇ´ı mnozˇstvı´ energie. To za´visı´ na definici hranice stopy a pro tento prˇ´ıpad se jedna´ o 86%.

4.3 Obecna´ kombinace dvou difrakcˇnı´ch mrˇ´ızˇek Adresovatelne´ modula´tory sveˇtla majı´ tu nevy´hodu, zˇe nikdy nelze studovat difrakcˇnı´ procesy pouze na zvolene´ fa´zove´ nebo amplitudove´ mapeˇ. Na vineˇ je fyzicka´ struktura, rozdeˇlena´ do matice pixelu˚ - tedy zminˇovana´ bina´rnı´ amplitudova´ mrˇ´ızˇka. Tato mrˇ´ızˇka sˇteˇpı´ dopadajı´cı´ svazek do neˇkolika ˇra´du˚ podle funkce sinc, prˇicˇemzˇ velikost energie v kazˇde´m z ˇra´du˚ souvisı´ zejme´na s parametrem p. Jak je patrno z obr. 38, na proble´m prˇele´va´nı´ energie se da´ nahlı´zˇet jako na postupnou difrakci na dvou struktura´ch, kdy se kazˇdy´ z pu˚vodnı´ch difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ da´le rozkla´da´ v za´vislosti na typu na´sledujı´cı´ mrˇ´ızˇky.

Um

Um,n

U+1,0 U+1,-1

U+1

U0,+1

U0

U0,0 U0,-1

U-1

U-1,+1 1

2

Obra´zek 38: Sˇteˇpenı´ energie svazku na dvou mrˇ´ızˇka´ch.

46

U-1,0

Na obra´zku je naznacˇena difrakce na bina´rnı´ a na´sledneˇ harmonicke´ amplitudove´ mrˇ´ızˇce. V obecne´m prˇ´ıpadeˇ lze kombinovat jake´koliv typy mrˇ´ızˇek. Oba transparenty lze rozepsat pomocı´ (27), prosvı´tit Gaussovsky´m svazkem (41) a spocˇ´ıtat u´hlove´ spektrum ze vztahu   ZZ 2π x 2π x U ( f x , f y ) = ∑ ∑ cm · c n UG (x, y) exp −i −i − i 2π (x fx + y fy ) dxdy. Λ1 Λ2 m n

(48)

∞

Vy´sledne´ obecne´ u´hlove´ spektrum tedy naby´va´ tvaru #) " ( 2 2 n m π π , U ( fx , fy ) = ∑ ∑ cm · cn Z exp − − fx − + fy2 Q Q Λ1 Λ2 m n

(49)

kde cm a cn jsou vy´sˇe uvedene´ vy´konove´ koeficienty difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ od prvnı´ (fyzicke´) a druhe´ (pracovnı´) mrˇ´ızˇky. Odtud je patrno, zˇe va´hove´ koeficienty se budou na´sobit, cˇili prˇi kazˇde´ dalsˇ´ı difrakci se zmensˇ´ı mnozˇstvı´ energie v ktere´koliv stopeˇ. Pro tuto pra´ci je du˚lezˇite´ veˇdeˇt, kolik energie bude v ˇra´du U0,+1 , prˇ´ıp. U0,−1 . Naprˇ´ıklad pro laboratornı´ modula´tor CRL Opto a harmonickou amplitudovou mrˇ´ızˇku dostaneme 2,64% vstupnı´ho vy´konu. U fa´zove´ho modula´toru Boulder dostaneme prˇi pouzˇitı´ harmonicke´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky 20,34%, u idea´lnı´ blejzovane´ mrˇ´ızˇky azˇ 60,1% vstupnı´ho vy´konu. Tyto hodnoty vsˇak platı´ pouze pro prosveˇtlenı´ idea´lnı´ rovinnou vlnou, Gaussovsky´ profil amplitudy detekovatelne´ mnozˇstvı´ energie v dane´m ˇra´du jesˇteˇ zmensˇ´ı.

-1.

0.

0.

f0

+1,-1

+1.

+1.

0.

y

0,+1

0,+1

+1,-1

+1.

fx x

f1 = 1

1

Obra´zek 39: Separace difrakcˇnı´ch ˇra´du˚.

Skutecˇnost, zˇe kazˇdy´ pixel modula´toru mu˚zˇe mı´t jen jednu hodnotu naprˇ. fa´zove´ho zdvihu, prˇ´ımo urcˇuje, zˇe nelze adresovat generovanou mrˇ´ızˇku, jejı´zˇ perioda by se blı´zˇila nebo byla dokonce mensˇ´ı nezˇ perioda bina´rnı´ mrˇ´ızˇky modula´toru. Toho se ale da´ vyuzˇ´ıt, jelikozˇ volny´ prostor (naprˇ´ıklad v dimenzi prostorovy´ch frekvencı´) mezi difrakcˇnı´mi ˇra´dy fyzicke´ mrˇ´ızˇky slouzˇ´ı k umı´steˇnı´ difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ mrˇ´ızˇky pracovnı´ (viz obr. 39). Uvazˇujme opeˇt prˇ´ıpad difrakce 47

na bina´rnı´ a harmonicke´ amplitudove´ mrˇ´ızˇce. Jestlizˇe volna´ frekvencˇnı´ vzda´lenost mezi dveˇma sousednı´mi ˇra´dy bina´rnı´ mrˇ´ızˇky je ∆ f0 = f1 − 2∆ fx

a vsˇechny ˇra´dy majı´ stejnou frekvencˇnı´ polosˇ´ıˇrku ∆ f x , pak dı´ky u´hlove´ symetrii mezi plus prvnı´m a mı´nus prvnı´m ˇra´dem pracovnı´ mrˇ´ızˇky je volny´ prostor pro dalsˇ´ı difrakcˇnı´ ˇra´d ∆ f0 f1 = − ∆ fx . 2 2 Pro pracovnı´ mrˇ´ızˇku tedy musı´ platit, zˇe f1 2∆ fx ≤ f2 ≤ − ∆ fx , 2 kde f2 = 1/Λ2 je frekvence pracovnı´ mrˇ´ızˇky.

4.4 Vliv fokusacˇnı´ho cˇlenu na energetiku Mnozˇstvı´ energie v detekovany´ch difrakcˇnı´ch ˇra´dech bude ovlivneˇno take´ konecˇnou aperturou opticke´ho cˇlenu, ktery´ je vytva´ˇr´ı (obr. 40). Ve zcela idea´lnı´m prˇ´ıpadeˇ budeme nekonecˇneˇ rozlehnou mrˇ´ızˇku osveˇtlovat rovinnou vlnou a na´sledneˇ fokusovat idea´lnı´ nekonecˇneˇ velikou cˇocˇkou. V takove´m prˇ´ıpadeˇ dostaneme v pozorovacı´ rovineˇ bodove´ stopy bez jaky´chkoliv vad. V praxi vsˇak takovou cˇocˇku nenı´ mozˇno vyrobit, musı´ mı´t konecˇnou aperturu, To znamena´, zˇe vysˇsˇ´ı difrakcˇnı´ ˇra´dy se ani nemusejı´ dostat da´le do opticke´ho syste´mu. Vy´pocˇet vlivu konecˇne´ apertury se zjednodusˇ´ı, pokud mı´sto ostre´ho ohranicˇenı´ pouzˇijeme od strˇedu ke kraju˚m cˇocˇky postupneˇ se zmensˇujı´cı´ amplitudovou funkci propustnosti, naprˇ´ıklad Gaussovskou. Takovou zmeˇnu amplitudy procha´zejı´cı´cho sveˇtla nazy´va´me apodizace.

Prostorový modulátor

Fourierovská čočka

Detektor

Obra´zek 40: Fokusacˇnı´ cˇlen v experimenta´lnı´m usporˇa´da´nı´.

Budeme-li opeˇt uvazˇovat osveˇtlenı´ rovinnou vlnou, jak je zna´zorneˇno na obr. 41, apodizace rovnomeˇrneˇ zmensˇ´ı mnozˇstvı´ energie jdoucı´ do vsˇech difrakcˇnı´ch ˇra´du˚. Rovinna´ vlna se totizˇ 48

mu˚zˇe sˇ´ıˇrit jaky´mkoliv smeˇrem, vliv hraje pouze rozmeˇr apertury - cˇ´ım veˇtsˇ´ı apertura, tı´m vı´ce energie projde do pozorovacı´ roviny. V rovineˇ pozorova´nı´ se rovneˇzˇ objevı´ vsˇechny difrakcˇnı´ ˇra´dy (stopy). V prˇ´ıpadeˇ osveˇtlenı´ rea´lny´m Gaussovsky´m svazkem se ale situace komplikuje. V prve´ ˇradeˇ je to mrˇ´ızˇkova´ rovnice (24) a perioda mrˇ´ızˇky, jenzˇ urcˇuje, ktere´ difrakcˇnı´ ˇra´dy se v pozorovacı´ rovineˇ jesˇteˇ objevı´ a ktere´ uzˇ ne.

a)

b)

Obra´zek 41: Vliv apodizace na a) rovinnou vlnu, b) Gaussovsky´ svazek.

Eliminace vysˇsˇ´ıch ˇra´du˚ vsˇak nemusı´ nutneˇ znamenat proble´m, jelikozˇ se naprˇ´ıklad v mikromanipulacı´ch vu˚bec nevyuzˇ´ıvajı´. Nevy´hoda ovsˇem spocˇ´ıva´ v dalsˇ´ım zmensˇenı´ energie jdoucı´ do prvnı´ch ˇra´du˚ jedine´ mrˇ´ızˇky, resp. do prvnı´ch postrannı´ch ˇra´du˚, vznikly´ch difrakcı´ nulte´ho ˇra´du fyzicke´ mrˇ´ızˇky na mrˇ´ızˇce pracovnı´ za rea´lne´ situace (viz U 0,+1 , prˇ´ıp. U0,−1 na obr. 38). Z obr. 41 lze snadno dohle´dnout, zˇe mnozˇstvı´ energie v teˇchto ˇra´dech je za´visle´ na tom, ve ktere´m mı´steˇ na cˇocˇce (teˇsneˇ prˇed cˇocˇkou) se stopy objevı´. Za´lezˇ´ı tedy na tom, jak velka´ je cˇocˇka, jakou funkcı´ je definova´na apodizace a jak velka´ je vzda´lenost z cˇocˇky od roviny modula´toru. Na na´sledujı´cı´ch grafech je vykreslena za´vislost vy´stupnı´ intenzity na vzda´lenosti cˇocˇky od roviny modula´toru, potazˇmo relativnı´ velikosti polosˇ´ıˇrky Gaussovske´ apodizace. Demonstrace je studova´na na prˇ´ı49

padu jedine´ harmonicke´ amplitudove´ mrˇ´ızˇky, ktera´ rozkla´da´ vstupnı´ svazek do trˇ´ı difrakcˇnı´ch ˇra´du˚.

Pole s apodizací

Intenzita

Pole s apodizací

Souřadnice x

Obra´zek 42: Intenzitnı´ rozdeˇlenı´ pro z = 300mm.

Pole s apodizací

Intenzita

Pole s apodizací

Souřadnice x

Obra´zek 43: Intenzitnı´ rozdeˇlenı´ pro z = 500mm.

50

4.5 Kombinace dvou fa´zovy´ch map Zajı´mavou aplikacı´ fa´zovy´ch struktur pro pouzˇitı´ PMS v mikromanipulacı´ch cˇa´stic je i maska, ktera´ vznikne soucˇtem dvou elementa´rnı´ch fa´zovy´ch map. Vzhledem k prˇedesˇly´m za´veˇru˚m je logicke´ prˇedpokla´dat, zˇe energeticky nejvy´hodneˇjsˇ´ı bude soucˇet dvou blejzovany´ch fa´zovy´ch map. Ty lze zapsat pomocı´ (27) a (38) jako     ∞ Λ1 2π mx t1 = ∑ sinc m − d exp −i , λ Λ1 m=−∞     ∞ 2π nx Λ1 t2 = ∑ sinc n − d exp −i . λ Λ2 n=−∞ V matematicky nejjednodusˇsˇ´ım a za´rovenˇ idea´lnı´m prˇ´ıpadeˇ, kdy kazˇda´ z mrˇ´ızˇek odkla´nı´ vsˇechnu energi pouze do jedine´ho difrakcˇne´ho ˇra´du, lze za´pis zjednodusˇit na i h t1 = exp −i 2Λπ1x , i h t2 = exp −i 2Λπ2x .

Odsud uzˇ lze snadno odvodit vztah pro vy´slednou soucˇtovou komplexnı´ strukturu       1 1 1 1 t = t1 + t2 = 2 cos π x − exp −iπ x + . Λ1 Λ2 Λ1 Λ2

(50)

(51)

Prvnı´ cˇlen na prave´ straneˇ te´to rovnice prˇedstavuje harmonickou amplitudovou modulacˇnı´ funkci, o ktere´ je z prˇedchozı´ch vy´pocˇtu˚ zna´mo, zˇe deˇlı´ dopadajı´cı´ vlnoplochu na trˇi svazky. Abychom spocˇetli vy´kon prosˇle´ho pole, musı´me spocˇ´ıtat jeho intenzitu a na´sledneˇ integrovat prˇes celou plochu za transparentem. Je vsˇak trˇeba da´t pozor na normova´nı´ - aby se komplexnı´ amplituda nenacˇ´ıtala, tvar prosˇle´ho pole musı´ splnˇovat U0 =

UG UG UG t= t1 + t2 , 2 2 2

(52)

2 kde UG je komplexnı´ amplituda Gaussovske´ho svazku (41). Intenzita dana´ vztahem I = U 0

ma´ cˇtyrˇi, resp. trˇi cˇleny. Vy´kon prosˇle´ho pole je tedy " " 2 # 2 # 2 w2  1 2 w2  1 1 1 1 1 π π 1 P0 = π w20 + π w20 exp − − − + π w20 exp − 4 8 2 Λ1 Λ2 8 2 Λ2 Λ1 " 2 # 2 w2  1 π 1 1 1 π w20 + π w20 exp − − . (53) = 4 4 2 Λ1 Λ2 51

Jestlizˇe vy´kon Gaussovske´ho svazku je PG =

1 π w20 , 2

pak u´cˇinnost vy´sledne´ho pole lze vyja´drˇit vztahem ( "   #) 1 π 2 w2 1 P0 1 2 = . η= 1 + exp − − PG 2 2 Λ1 Λ2

(54)

Zda je tento za´veˇr spra´vny´, lze oveˇˇrit jednoduchou u´vahou. Pokud by obeˇ elementa´rnı´ blejzovane´ mrˇ´ızˇky meˇly stejnou periodu, tedy Λ1 = Λ2 , chovaly by se jako mrˇ´ızˇka jedina´. V tom prˇ´ıpadeˇ se vztah pro u´cˇinnost redukuje na   1 1 1 η= 1 + exp [0] + exp [0] = 1, 2 2 2 cozˇ skutecˇneˇ odpovı´da´ prˇ´ıpadu idea´lnı´ fa´zove´ blejzovane´ mrˇ´ızˇky. Obdobnou u´vahu lze prove´st i pro frekvencˇnı´ spektrum, vy´sledek bude zcela shodny´. Smyslem masky (51) je, zˇe rozsˇteˇpı´ dopadajı´cı´ svazek do dvou (nebo v prˇ´ıpadeˇ sumace neˇkolika cˇlenu˚ i vı´ce) stop, ktere´ mohou by´t vyuzˇity naprˇ. jako vı´cena´sobne´ opticke´ pasti. Maska (51) je komplexnı´ a v praxi obtı´zˇneˇ realizovatelna´, navı´c snizˇuje difrakcˇnı´ u´cˇinnost. Ve velmi hrube´ aproximaci se da´ rozsˇteˇpenı´ svazku prˇiblizˇneˇ prove´st i tak, zˇe se amplitudovy´ cˇlen zanedba´ a na fa´zovy´ PMS se adresuje mapa, ktera´ odpovı´da´ fa´zi ve vy´razu (51). V pra´ci [6] byla navrzˇena metoda, ktera´ umozˇnˇuje iteracˇnı´m procesem navrhnout cˇisteˇ fa´zovou modulaci, ktera´ optima´lneˇ aproximuje komplexnı´ masku (51).

52

5

Opticke´ vı´ry

Dalsˇ´ı oblast, ktera´ zacˇ´ına´ vı´ce prˇitahovat pozornost veˇdecke´ verˇejnosti, se zaby´va´ lokalizovany´mi strukturami prˇi sˇ´ıˇrenı´ elektromagneticke´ho za´ˇrenı´. Tyto struktury zahrnujı´ zejme´na kombinaci nedifraktivnı´ch a vı´rovy´ch svazku˚. V te´to kapitole bude naznacˇena za´kladnı´ teorie opticky´ch vı´ru˚, ktera´ je cˇerpa´na z [7] – [10]. Da´le bude diskutova´na konstrukce spira´lnı´ masky [11] a jejı´ vliv na topologicky´ na´boj.

5.1 Podstata a vyuzˇitelnost opticky´ch vı´ru˚ Vı´ry rozmanite´ho pu˚vodu lze beˇzˇneˇ pozorovat v prˇ´ırodeˇ, jejich jisteˇ nejzna´meˇjsˇ´ımi formami jsou atmosfe´ricke´ turbulence nebo vı´ry vznikajı´cı´ prˇi pohybu kapalin (tedy obecneˇ se ty´kajı´ dynamiky tekutin). V opticky´ch syste´mech lze rovneˇzˇ docela beˇzˇneˇ pozorovat opticke´ vı´ry, ktere´ se vsˇak od vy´sˇe zmı´neˇny´ch vı´ru˚ s prˇ´ımo pozorovatelny´mi mechanicky´mi u´cˇinky v mnohe´m lisˇ´ı. Opticky´ vı´r je na´hodnou interferencı´ vznikla´ nebo za´meˇrneˇ vytvorˇena´ fa´zova´ singularita na jinak spojite´ vlnoplosˇe, ve ktere´ se skokoveˇ meˇnı´ fa´ze a jejı´zˇ hodnota ve strˇedu vı´ru nenı´ jednoznacˇneˇ urcˇena. V teˇchto bodech naby´va´ amplituda vlny nulovy´ch hodnot a prˇi pouzˇitı´ koherentnı´ho nebo kvazi-koherentnı´ho za´ˇrenı´ jsme v pozorovacı´ rovineˇ sveˇdky vyhası´na´nı´ intenzity. Pro singula´rnı´ optiku, zaby´vajı´cı´ se mimo jine´ pra´veˇ opticky´mi vı´ry, sky´ta´ vy´zkum a aplikace teˇchto sveˇtelny´ch struktur zajı´mave´ mozˇnosti. Opticke´ vı´ry prˇena´sˇejı´ prˇi interakci s cˇa´sticı´ moment hybnosti, ktery´ ma´ zrˇetelne´ mechanicke´ u´cˇinky. Moment hybnosti ma´ dveˇ slozˇky - spin a orbita´lnı´ moment hybnosti. Spin je za´visly´ na polarizacˇnı´m stavu sveˇtla (je nulovy´ pro linea´rnı´ polarizaci) a prˇi interakci s cˇa´sticemi zpu˚sobuje rotaci kolem jejich vlastnı´ osy. Orbita´lnı´ moment hybnosti souvisı´ s vı´ˇrivy´m tokem elektromagneticke´ energie a prˇi interakci s cˇa´sticı´ vyvola´va´ jejı´ rotacˇnı´ pohyb kolem centra opticke´ho vı´ru. Orbita´lnı´ moment hybnosti ma´ prˇ´ımou vazbu na sˇroubovity´ tvar vlnoplochy, ktera´ je generova´na naprˇ´ıklad spira´lnı´ fa´zovou maskou, studovanou v dalsˇ´ı cˇa´sti te´to kapitoly. Aplikace vı´rovy´ch svazku˚ ma´ sˇiroke´ uplatneˇnı´. Mechanicke´ u´cˇinky orbita´lnı´ho momentu hybnosti lze vyuzˇ´ıt pro pohon mikromechanicky´ch rotoru˚, jejichzˇ funkce se velmi podoba´ klasicky´m veˇtrnı´ku˚m. Toho lze vyuzˇ´ıt prˇi neinvazivnı´m studiu mechanicky´ch vlastnostı´ buneˇk nebo makroskopicky´ch molekul. Vy´znamnou aplikacı´ je i manipulace mikrocˇa´stic v syste´mu tzv. opticke´ pinzety. V beˇzˇny´ch podmı´nka´ch lze Gaussovsky´m svazkem zachytit a transportovat ma´lo absorbujı´cı´ mikrocˇa´stice s indexem lomu mı´rneˇ vysˇsˇ´ım nezˇ okolnı´ me´dium. V prˇ´ıpadeˇ aplikace vı´rovy´ch svazku˚ lze realizovat opticke´ pasti, pomocı´ nichzˇ lze manipulovat s jinak obtı´zˇneˇ za53

chytitelny´mi cˇa´sticemi. Ve skala´rnı´ aproximaci lze jeden opticky´ vı´r charakterizovat komplexnı´ amplitudou [7] U(ρ , θ ) = U0 u(ρ , θ ) exp [imθ + iβ ] ,

(55)

kde amplituda U0 je rea´lna´ konstanta, m je nenulove´ cele´ cˇ´ıslo zvane´ topologicky´ na´boj, a β je volitelna´ konstantnı´ fa´ze. V tomto prˇ´ıpadeˇ je opticky´ vı´r totozˇny´ s pocˇa´tkem sourˇadnic, kde rovneˇzˇ vymizı´ oba´lka u(ρ , θ ). Za´kladnı´ hodnoty topologicke´ho na´boje jsou m = ±1 a vsˇechny ostatnı´ hodnoty mohou by´t

zı´ska´ny kombinacı´ za´kladnı´ch na´boju˚. Libovolne´ pole tedy lze rozepsat do ˇrady vı´rovy´ch mo´du˚, obdobneˇ jako lze rozepsat beˇzˇne´ difraktivnı´ struktury do ˇrady harmonicky´ch prˇ´ıspeˇvku˚ E(x, y) =

+∞

∑

m=−∞

gm (ρ ) exp [−imθ ] ,

(56)

1 +π gm (ρ ) = E(x, y)exp [imθ ] , (57) 2 π −π kde gm je kruhoveˇ za´visla´ Fourierova ˇrada koeficientu˚ odpovı´dajı´cı´ch vı´rovy´m mo´du˚m. V ideZ

a´lnı´m prˇ´ıpadeˇ existuje pouze jeden opticky´ vı´r a oba´lka je kruhoveˇ symetricka´, sveˇtelne´ pole se tedy da´ zapsat jako U(ρ , θ , z) = U0 u(ρ , z) exp [imθ + iβ − ikz + iΦ(ρ , z)] .

(58)

Argument Φ(ρ , z) popisuje zakrˇivenı´ vlnoplochy a u(ρ , z) vy´voj amplitudy. Povrch konstantnı´ fa´ze mθ + β − kz + Φ(ρ , z) = konst je sˇroubovity´.

5.2 Spira´lnı´ fa´zova´ maska Spira´lnı´ fa´zova´ maska je struktura s fa´zovou modulacı´ exp(imθ ), kde θ = arctg(y/x) je azimuta´lnı´ u´hel a m je opeˇt topologicky´ na´boj. V idea´lnı´m prˇ´ıpadeˇ je maska dokonale hladkou sˇroubovicı´, modula´tor vsˇak takovou strukturu vygenerovat nedoka´zˇe. Analogicky k rea´lne´ blejzovane´ mrˇ´ızˇce (str. 42) je trˇeba u´hel θ ∈ (0 ÷ 2π i rozdeˇlit na zvoleny´ pocˇet u´seku˚ M, prˇicˇemzˇ

kazˇdy´ u´sek (schod) ma´ fa´zovy´ zdvih ∆φ . Funkci propustnosti takove´ masky lze zapsat jako [11]      ρ Mθ t(ρ , θ ) = circ exp i mod ∆φ ceil , 2π , (59) R 2π 54

kde funkce circ

ρ znacˇ´ı kruhovou aperturu o polomeˇru R. R

Funkce ceil(X) vracı´ nejblizˇsˇ´ı cele´ cˇ´ıslo ≥ X. Jelikozˇ M uda´va´ celkovy´ pocˇet schodu˚ na intervalu Mθ θ θ ∈ (0 ÷ 2π i, lze urcˇit u´hlovou sˇ´ıˇrku jednoho schodu jako ∆θ = 2π /M. Potom tedy = 2π ∆θ   θ a funkce ceil urcˇuje, na ktere´m schodu se pra´veˇ nale´za´me. ∆θ Funkce mod(x, y) = x − y · INT (x/y) slouzˇ´ı k tomu, zˇe jakmile fa´zovy´ zdvih

φ ∈ (0 ÷ 2π i dosa´hne sve´ maxima´lnı´ hodnoty, zacˇne se tvorˇit nove´ tocˇite´ schodisˇteˇ. Ze za´pisu je jasneˇ videˇt, zˇe pocˇet schodisˇt’vytvorˇeny´ch na θ ∈ (0 ÷ 2π i u´zce souvisı´ s volitelny´m parame-

trem ∆φ , ktery´ uda´va´ fa´zovy´ zdvih kazˇde´ho schodu. Odtud lze odvodit u´hlovou sˇ´ıˇrku jednoho schodisˇteˇ (jedne´ periody). Ta je za´visla´ na pocˇtu schodu˚ v periodeˇ N = 2π /∆φ . U´ hlova´ sˇ´ıˇrka ∆θ schodisˇteˇ je pak ∆θP = N · ∆θ = 2π . ∆φ Pocˇet schodisˇt’nebo period, ktere´ se zobrazı´ na intervalu θ ∈ (0 ÷ 2π i, je da´n vztahem P=

M ∆φ , =M N 2π

ktery´ je v [11] rovneˇzˇ nazy´va´n vlastnı´ topologicky´ na´boj. Vy´pocˇtem koeficientu˚ (57) z (59) dostaneme vztah     M 2π i  im 2π e M − 1 ∑ exp i ∆φ − m n gm = 2π m M n=1

(60)

Pokud polozˇ´ıme m = P − kM, kde k = 0, ±1, ±2, . . ., vy´sledek se zjednodusˇ´ı a relativnı´ intenzita

kazˇde´ z komponent s na´bojem m je rovna

m 2 Im = gm = sinc2 . M

(61)

Z na´sledujı´cı´ch grafu˚ je patrno, zˇe pokud chceme koncentrovat maximum energie pouze do jednoho vı´ru, meˇl by by´t parametr ∆φ co nejmensˇ´ı - idea´lneˇ ∆φ = 2π /M.

55

b)

Relativní intenzita vírových svazků

Relativní intenzita

Relativní intenzita vírových svazků

Relativní intenzita

a)

Topologický náboj

Topologický náboj

Obra´zek 44: Vı´rove´ svazky: a) M = 36, ∆φ = 2π /9

b)

Relativní intenzita vírových svazků

Relativní intenzita vírových svazků

Relativní intenzita

Relativní intenzita

a)

b) M = 36, ∆φ = π /2.

Topologický náboj

Topologický náboj

Obra´zek 45: Vı´rove´ svazky: a) M = 36, ∆φ = 2π /3

56

b) M = 36, ∆φ = π .

b)

Relativní intenzita vírových svazků

Relativní intenzita

Relativní intenzita vírových svazků

Relativní intenzita

a)

Topologický náboj

Topologický náboj

Obra´zek 46: Vı´rove´ svazky: a) M = 20, ∆φ = 2π /9

b) M = 16, ∆φ = π /2.

Na obr. 44 a) je zcela dominantnı´ topologicky´ na´boj o m = 4 a vsˇechny ostatnı´ jsou potlacˇeny. Tato realizace je vhodna´ pro prˇenos nebo meˇˇrenı´ orbita´lnı´ho momentu hybnosti, kde je vyzˇadova´na vysoka´ cˇistota vı´rove´ho mo´du. Oproti tomu prˇ´ıpad z obr. 45 b) da´va´ na´vod, jak realizovat superpozici mo´du˚, cozˇ je vyuzˇitelne´ prˇi prˇenosu informace opticky´m kana´lem. Z obr. 46 lze vycˇ´ıst, jak pocˇet schodu˚ ve schodisˇti ovlivnˇuje rozlozˇenı´ topologicke´ho na´boje ve svazku.

57

6

Experiment

Soucˇa´stı´ teoreticky´ch vy´pocˇtu˚ difrakcˇnı´ u´cˇinnosti jednotlivy´ch mrˇ´ızˇek je i experimenta´lnı´ oveˇˇrenı´ teˇchto hodnot. K tomuto u´cˇelu bylo v laboratorˇi sestaveno experimenta´lnı´ usporˇa´da´nı´ podle obr. 47. Zdrojem za´ˇrenı´ byl helium neonovy´ laser s pracovnı´ vlnovou de´lkou λ = 633 nm. Svazek s Gaussovsky´m profilem byl nejprve prostoroveˇ rozsˇ´ıˇren, aby mohl by´t na´sledneˇ vyuzˇitı´m prostorove´ho filtru (mikroobjektiv, clona, kolimacˇnı´ cˇlen) zbaven vysˇsˇ´ıch prostorovy´ch frekvencı´ a tedy i sˇumu. Kolimovany´ svazek s prˇesneˇ nastavenou linea´rnı´ polarizacı´, zajisˇteˇnou fa´zovou desticˇkou, byl pote´ za pouzˇitı´ zrca´tek prˇiveden na aktivnı´ plochu fa´zove´ho modula´toru Boulder. Stopy difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ byly fokusova´ny spojnou cˇocˇkou a jejich obraz bud’to snı´ma´n ve Fourierovske´ rovineˇ na kameru F-View nebo zachycen meˇˇricˇem opticke´ho vy´konu.

Z1

LASER

Expandér

Prostorový filtr

Půlvlnová destička

PC Z2 Fázový modulátor Boulder 512-

D Fourierovská čočka

Obra´zek 47: Sche´ma experimenta´lnı´ realizace meˇˇrenı´ difrakcˇnı´ u´cˇinnosti vy´znacˇny´ch mrˇ´ızˇek. Celkem byly promeˇˇreny trˇi pracovnı´ fa´zove´ difrakcˇnı´ mrˇ´ızˇky - bina´rnı´, harmonicka´ a blejzovana´. Mrˇ´ızˇky, jejichzˇ mrˇ´ızˇkovy´ vektor lezˇel v ose x, vsˇak rozkla´daly sveˇtlo takovy´m zpu˚sobem, zˇe nulty´ difrakcˇnı´ ˇra´d U0,0 te´to mrˇ´ızˇky byl (v souladu s teoriı´) shodny´ s nulty´m difrakcˇnı´m ˇra´dem U0 fyzicke´ bina´rnı´ amplitudove´ mrˇ´ızˇky modula´toru. Bylo tedy nutno difrakcˇnı´ ˇra´dy pracovnı´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky prostoroveˇ separovat od difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ fyzicke´ mrˇ´ızˇky. Toho bylo docı´leno tak, zˇe zkoumana´ fa´zova´ difrakcˇnı´ mrˇ´ızˇka, periodicka´ v ose x, byla secˇtena s idea´lnı´ fa´zovou blejzovanou mrˇ´ızˇkou, periodickou v ose y. Tato skutecˇnost vsˇak znamenala dalsˇ´ı difrakci a tedy zmensˇenı´ absolutnı´ 58

hodnoty energie v meˇˇreny´ch difrakcˇnı´ch stopa´ch. Soucˇasneˇ s tı´m vsˇak nastal efekt popsany´ v kapitole 4.5 - k cˇisteˇ fa´zove´ mapeˇ se prˇidaly amplitudove´ efekty, ktere´ rovneˇzˇ negativneˇ ovlivnily u´cˇinnost difrakce na zkoumane´ mapeˇ. Vlivu˚ pu˚sobı´cı´ch na energetiku difrakce na prostorove´m modula´toru sveˇtla je vsˇak vı´ce. Jednı´m z nich je i teplota modula´toru a okolnı´ho prostrˇedı´, cozˇ bylo studova´no v [12]. Vy´sledkem teˇchto experimentu˚ na modula´toru s jedinou bunˇkou kapalne´ho krystalu (jednı´m pixelem) bylo zjisˇteˇnı´, zˇe u´cˇinnost difrakce vy´razneˇ za´visı´ na teploteˇ a se zvysˇujı´cı´ se teplotou u´cˇinnost klesa´. Tento efekt se da´ odstranit bud’to u´cˇinny´m chlazenı´m modula´toru a jeho okolı´, nebo u´pravou voltampe´rovy´ch charakteristik modula´toru v za´vislosti na teploteˇ. Ani jedna z teˇchto mozˇnostı´ vsˇak nebyla k dispozici a vliv na energetiku difrakce tedy nebylo mozˇno prˇesneˇ stanovit. Ne zcela zanedbatelny´ efekt bude jisteˇ souviset i s vlivem elektricke´ho napeˇtı´ na jednotlivy´ch pixelech a jeho prˇesahova´nı´m do okolnı´ch pixelu˚. Na obra´zku 13 je tento vliv cˇa´stecˇneˇ naznacˇen a pozorovatelny´ je zejme´na v prave´ cˇa´sti na pixelech o napeˇtı´ 5V a 0V. To vede k deformaci fa´zove´ mapy, zejme´na v mı´stech ostry´ch prˇechodu˚ napeˇtı´ (naprˇ´ıklad schody blejzovane´ nebo bina´rnı´ mrˇ´ızˇky). Modula´tor sa´m o sobeˇ mu˚zˇe rovneˇzˇ vykazovat chybu ve velikosti fa´zove´ho zdvihu, cozˇ bylo na´hodou pozorova´no prˇi meˇˇrenı´ chybneˇ naprogramovane´ bina´rnı´ fa´zove´ masky. Pro vsˇechny vy´sˇe uvedene´ du˚vody bylo rozhodnuto nemeˇˇrit absolutnı´ vy´kon v jednotlivy´ch difrakcˇnı´ch ˇra´dech a neporovna´vat vy´sledky s vy´konem svazku prˇed dopadem na modula´tor. Mı´sto toho bylo zvoleno stanovit relativnı´ pomeˇr vy´konu v jednotlivy´ch stopa´ch a stanovenı´ korelace s teoreticky´mi hodnotami. Grafy s relativnı´mi vy´kony difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ byly normova´ny tak, zˇe spocˇ´ıtane´ teoreticke´ hodnoty i nameˇˇrene´ absolutnı´ hodnoty byly vydeˇleny maxima´lnı´ vypocˇtenou nebo maxima´lnı´ nameˇˇrenou hodnotou. Lze tak snadno oveˇˇrit soulad experimentu s teoriı´.

59

Bina´rnı´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka Bina´rnı´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka naby´va´ pouze dvou hodnot fa´zove´ho zdvihu a v za´vislosti na jeho velikosti a parametru p rozkla´da´ vstupnı´ svazek do urcˇite´ho pocˇtu difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ o ru˚zne´ intenziteˇ. Pro experiment bylo zvoleno θ = π a p = 0,5, dı´ky cˇemuzˇ vymizela intenzita v nulte´m a vsˇech sudy´ch ˇra´dech. Jak ukazuje na´sledujı´cı´ srovna´nı´ teorie a experimentu, vy´sledky jsou pomeˇrneˇ dosti shodne´. Jejich nesymetricˇnost mu˚zˇe by´t da´na nedokonale nasimulovanou fa´zovou mapou, vadami modula´toru i neprˇesny´m meˇˇrenı´m v obtı´zˇny´ch podmı´nka´ch rucˇneˇ nastavovane´ho meˇˇricˇe vy´konu a velmi maly´ch rozmeˇrech jednotlivy´ch difrakcˇnı´ch stop.

Teoretický výkon Naměřený výkon

relativní ivýkon

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

difrakční řád

Obra´zek 48: Relativnı´ vy´kon difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ bina´rnı´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

V u´vodnı´ cˇa´sti meˇˇrenı´ byly na´hodou pozorova´ny nedokonalosti fa´zove´ho zdvihu modula´toru. Maska byla chybneˇ nastavena na zdvih θ = 2π , cozˇ je pro modula´tor stejna´ hodnota jako θ = 0π . Prˇesto byl prˇi zmeˇneˇ periody mrˇ´ızˇky pozorova´n prostorovy´ posun difrakcˇnı´ch stop. Z toho lze usuzovat, zˇe modula´tor vykazuje bud’to pro vsˇechny nebo alesponˇ pro maxima´lnı´ hodnoty fa´zove´ho zdvihu kladnou nebo za´pornou chybu. Tato chyba vede k deformaci mrˇ´ızˇky a odchylce nameˇˇreny´ch hodnot od teoreticky spocˇtene´ho vy´konu.

60

Binární mřížka 35 period na šířce modulátoru Maximální zdvih

Binární mřížka periodická v ose x sečtená s ideální blejzovanou mřížkou periodickou v ose y

color-inverted

color-inverted

Obra´zek 49: Difrakcˇnı´ obrazec bina´rnı´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

61

Blejzovana´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka Podle teorie by meˇla blejzovana´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka prˇi spra´vne´ konstrukci (maxima´lnı´ zdvih θ = 2π pro danou vlnovou de´lku) vykazovat vy´razne´ prˇelitı´ energie do jedine´ho difrakcˇnı´ho ˇra´du. Prˇi experimentu bylo nejprve postupova´no podle obr. 51. Idea´lnı´ blejzovana´ mrˇ´ızˇka s periodou v ose x byla secˇtena s idea´lnı´ blejzovanou mrˇ´ızˇkou periodickou v ose y. Tato struktura se vsˇak chovala jako dalsˇ´ı idea´lnı´ blejzovana´ mrˇ´ızˇka, pouze otocˇena´ o 45 ◦ . V tom prˇ´ıpadeˇ nedosˇlo k separaci nulty´ch ˇra´du˚ fa´zove´ a amplitudove´ mrˇ´ızˇky a nebylo mozˇno vyhodnotit u´cˇinnost difrakce. Proto musela by´t mı´sto idea´lnı´ pouzˇita rea´lna´ blejzovana´ mrˇ´ızˇka s periodou v ose x a s pocˇtem 5 schodu˚ na periodu mrˇ´ızˇky. To meˇlo za na´sledek prˇelitı´ energie i do jiny´ch nezˇ mı´nus prvnı´ho difrakcˇnı´ho ˇra´du. Sta´le vsˇak lze pozorovat shodu experimentu s teoriı´. Fakt, zˇe se cˇa´st energie vyskytuje i v ˇra´dech, kde by by´t nemeˇla, lze opeˇt prˇicˇ´ıst neprˇesnosti meˇˇrenı´, nedokonalostem fa´zove´ mapy i dalsˇ´ım vy´sˇe uvedeny´m du˚vodu˚m.

Teoretický výkon Naměřený výkon

relativní ivýkon

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-4

-3

-2

0

-1

+1

+2

+3

+4

difrakční řád

Obra´zek 50: Relativnı´ vy´kon difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ rea´lne´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

62

Ideální blejzovaná mřížka 35 period na šířce modulátoru

Ideální blejzovaná mřížka periodická v ose x sečtená s ideální blejzovanou mřížkou periodickou v ose y

color-inverted

color-inverted

Obra´zek 51: Difrakcˇnı´ obrazec idea´lnı´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

63

Reálná blejzovaná mřížka 35 period na šířce modulátoru 5 schodů v periodě

Reálná blejzovaná mřížka periodická v ose x sečtená s ideální blejzovanou mřížkou periodickou v ose y

color-inverted

color-inverted

Obra´zek 52: Difrakcˇnı´ obrazec rea´lne´ blejzovane´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

64

Harmonicka´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka Harmonicka´ fa´zova´ mrˇ´ızˇka rozkla´da´ sveˇtlo do ˇra´du˚, jejichzˇ energie je urcˇena pomocı´ Besselovy funkce 1. druhu a je za´visla´ na zdvihu θ1 (viz obr. 28). Pro experiment bylo zvoleno θ = θ1 = 2π . Jak je patrno ze srovna´nı´ teoreticky´ch a relativnı´ch vy´konu˚ v jednotlivy´ch ˇra´dech, korelace nenı´ moc dobra´. Energie v nulte´m, plus prvnı´m a mı´nus prvnı´m ˇra´du je o dost mensˇ´ı, nezˇ by meˇla by´t. Naproti tomu v plus a mı´nus trˇetı´m ˇra´du, kde by nemeˇla by´t prakticky zˇa´dna´ energie, je jı´ srovnatelneˇ s plus a mı´nus prvnı´m ˇra´dem. Pokud prˇipustı´me, zˇe realizace experimentu vsˇech mrˇ´ızˇek byly zatı´zˇeny stejnou chybou lidske´ho faktoru i srovnatelny´mi neprˇesnostmi ve strukturˇe fa´zove´ masky a shodou v dalsˇ´ıch vlivech, lze vy´sledek interpretovat zcela jednoznacˇneˇ. Teoreticke´ hodnoty odpovı´dajı´ idea´lnı´ harmonicke´ masce, kdezˇto modula´tor generuje rea´lnou, schodovitou harmonickou masku. Je tedy evidentnı´, zˇe pro prakticke´ aplikace je potrˇeba zcela prˇesneˇ stanovit vlivy na tvar masky a tyto pak zahrnout do vy´pocˇtu˚. To vsˇak nenı´ prˇ´ıpad harmonicke´ fa´zove´ masky, ktera´ se v rea´lny´ch experimentech pro sve´ energeticke´ pomeˇry nepouzˇ´ıva´ a je tedy zbytecˇne´ slozˇiteˇ vyhodnocovat energetiku difrakce na te´to strukturˇe.

Teoretický výkon Naměřený výkon

relativní ivýkon

1

0,8

0,6

0,4

0,2

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

difrakční řád

Obra´zek 53: Relativnı´ vy´kon difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ harmonicke´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

65

Harmonická fázová mřížka 35 period na šířce modulátoru

Harmonická fázová mřížka periodická v ose x sečtená s ideální blejzovanou mřížkou periodickou v ose y

color-inverted

color-inverted

Obra´zek 54: Difrakcˇnı´ obrazec harmonicke´ fa´zove´ mrˇ´ızˇky.

66

7

Za´veˇr

Cı´lem diplomove´ pra´ce bylo teoreticky a experimenta´lneˇ vyhodnotit energetickou u´cˇinnost prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla. Prvnı´m krokem prˇi tomto za´meˇru bylo vysveˇtlit princip cˇinnosti prostorovy´ch modula´toru˚ sveˇtla a zdu˚vodnit, ktere´ fyzika´lnı´ projevy sveˇtla nebo pouzˇity´ch materia´lu˚ mohou a majı´ vliv na funkci PMS jako opticke´ho cˇlenu. Da´le byl popsa´n matematicky´ formalismus a fyzika´lnı´ podstata difrakce sveˇtla a postup prˇi vy´pocˇtu teoreticky´ch hodnot vy´konu prˇi difrakci sveˇtla na periodicky´ch a kvaziperiodicky´ch struktura´ch. Hlavnı´ na´plnı´ pra´ce a alesponˇ drobny´m prˇ´ınosem fyzice bylo zhodnocenı´ teoreticky´ch u´cˇinnostı´ neˇkolika vy´znacˇny´ch typu˚ amplitudovy´ch a fa´zovy´ch difrakcˇnı´ch mrˇ´ızˇek. Jelikozˇ ale prˇi fyzicke´ realizaci nenı´ mozˇno dosa´hnout parametru˚ idea´lnı´ch struktur, bylo potrˇeba zhodnocenı´ dalsˇ´ıch vlivu˚ pu˚sobı´cı´ch na energetiku celkove´ realizace. Byl tedy studova´n vliv intenzitnı´ho rozlozˇenı´ dopadajı´cı´ho svazku na energetiku difrakce. Jelikozˇ vy´stupem laseru je Gaussovsky´ svazek, bylo studova´no pra´veˇ toto rozlozˇenı´ intentzity. Rovneˇzˇ byl diskutova´n vza´jemny´ prˇekryv dvou difrakcˇnı´ch mrˇ´ızˇek, souvisejı´cı´ s fyzickou strukturou veˇtsˇiny modula´toru˚ sveˇtla. Prˇi realizaci experimentu je trˇeba si uveˇdomit i vliv dalsˇ´ıch opticky´ch cˇlenu˚ a jejich vlastnostı´. Byl tedy diskutova´n vliv konecˇne´ho rozmeˇru fokusacˇnı´ho cˇlenu na selekci a zmensˇenı´ energie ve vysˇsˇ´ıch difrakcˇnı´ch ˇra´dech. Da´le byla naznacˇena zajı´mava´ oblast singula´rnı´ optiky, zaby´vajı´cı´ se opticky´mi vı´ry a zmeˇnou prostorove´ho rozlozˇenı´ energie svazku v za´vislosti na konstrukci spira´lnı´ fa´zove´ masky. V za´veˇru pra´ce byl realizova´n experiment, prˇi ktere´m byly hodnoceny vza´jemne´ energeticke´ pomeˇry difrakcˇnı´ch ˇra´du˚ neˇkolika zajı´mavy´ch mrˇ´ızˇek. Prˇi porovna´nı´ teoreticky´ch a experimenta´lnı´ch vy´sledku˚ bylo zjisˇteˇno, zˇe i prˇes vsˇechny pu˚sobı´cı´ vlivy je shoda s teoriı´ pomeˇrneˇ velika´. Byl zjisˇteˇn vliv nedokonalostı´ ve strukturˇe fa´zovy´ch masek, ktery´ ovlivnˇoval rozdeˇlenı´ energie do difrakcˇnı´ch ˇra´du˚. Bylo rovneˇzˇ doka´za´no, zˇe idea´lnı´ teoreticke´ a rea´lne´ experimenta´lnı´ vy´sledky se mohou velmi lisˇit, pokud se nevezme do u´vahy vliv struktury a funkce PMS jako celku.

67

Reference [1] B. E. A. Saleh, M. C. Teich, Za´klady fotoniky I.–IV., MATFYZPRESS, Praha, 1994. [2] A. Yariv, Optical Electronics in Modern Communications, Oxford University Press, New York, 1997 (fifth edition). [3] E. Ha¨llstig, Nematic Liquid Crystal Spatial Light Modulators for Laser Beam Steering, Disertacˇnı´ pra´ce, Uppsala University, 2004. [4] P. Fiala, Za´klady fyzika´lnı´ optiky, Vydavatelstvı´ Cˇ VUT, Praha, 1999. [5] J. W. Goodman, Introduction to Fourier optics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1996 (second edition). [6] J. Lin, X. C. Yuan, S. H. Tao, R. E. Burge, Collinear superposition of multiple helical beams generated by a single azimuthally modulated phase-only element, Optical Letters, 30, 3266-3268, 2005. [7] Z. Bouchal, R. Cˇelechovsky´, G. A. Swartzlander Jr., Spatially localized vortex structures, Monograph Localized waves, edited by H. E. Hernandez-Figueroa, M. Zamboni-Rached and E. Recami, J. Wiley & Sons (in print). [8] Z. Bouchal, O. Haderka, R. Cˇelechovsky´, Selective excitation of vortex fibre modes using a spatial light modulator, New Journal of Physics, 7, 125, 2005. [9] Z. Bouchal, Opticke´ vı´ry - novy´ smeˇr rozvoje singula´rnı´ optiky, Cˇ eskoslovensky´ cˇasopis fyziky, 53, 11-19, (2003). [10] Z. Bouchal, Sveˇtelne´ vı´ry, Vesmı´r, 82, 152-155, 2003. [11] C. S. Guo, D. M. Xue, Y. J. Han, J. Ding, Optimal phase steps of multi-level spiral phase plates, Optics Communications, 268, 235-239, 2006. [12] Z. Cao, L. Xuan, L. Hu, X. Lu, Q. Mu, Temperature effect on the diffraction efficiency of the liquid crystal spatial light modulator, Optics Communications, 267, 69-73, 2006. [13] www.displaytech.com [14] www.hamamatsu.com 68

[15] www.bnonlinear.com [16] www.crlopto.com

69