Univerzita Palackého v Olomouci JČMF pobočka Olomouc

Univerzita Palackého v Olomouci JČMF pobočka Olomouc

Olomouc 2012

Sborník sestavili: J. Molnár, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci B. Novák, Pedagogická fakulta UP v Olomouci E. Bártková, Pedagogická fakulta UP v Olomouci P. Calábek, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci D. Nocar, Pedagogická fakulta UP v Olomouci J. Hátle, Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci

Za jazykovou správnost jednotlivých kapitol odpovídají autoři.

1. vydání Ed. © Jiří Hátle, 2012 ISBN 978-80-244-3231-1

OBSAH Úvodní slovo ……………………………………………………………………………….

4

Vývoj Matematického klokana Rok 2012 po kategoriích

………………………………………………………….. …………………………………………………………..

5 6

Cvrček Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení ……………………………………………………………………………. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………..

7 10 11 12 13

Klokánek Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

18 22 23 24 25

Benjamín Zadání soutěžních úloh ………………………………………………………………….. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

27 31 32 33 34

Kadet Zadání soutěžních úloh …………………………………………………………………... Správná řešení …………………………………………………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

35 39 40 41 42

Junior Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

43 47 48 49 50

Student Zadání soutěžních úloh ……………………………………………………………………. Správná řešení …………………………………………………………………………….. Statistické výsledky, průměrný bodový zisk ……………………………………………… Graf ……………………………………………………………………………………… Nejlepší řešitelé …………………………………………………………………………...

51 55 56 57 58

Garanti kategorií ………………………………………………………………………….. 59 Kontakty ………………………………………………………………………………….. 60

Úvodní slovo

Vážení a milí přátelé Matematického klokana, v roce 2012 proběhl (proskákal?  ) náš milý Klokan 16. března, tentokrát už poosmnácté. Výsledky naleznete jako každoročně na http://matematickyklokan.net nebo pochopitelně v tomto sborníku. Připomeňme si, že pořadatelem je Jednota českých matematiků a fyziků, konkrétně její olomoucká pobočka. Na zajišťování obsahu a organizace se dále podílejí zejména Katedra algebry a geometrie Přírodovědecké fakulty a Katedra matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Soutěž je financována Ministerstvem školství a mládeže jako soutěž typu A (dle věstníku MŠMT ČR). V této souvislosti stojí za zmínku, že JČMF je společnost sdružující matematiky, fyziky, učitele a studenty matematiky a fyziky, další zájemce o tyto disciplíny a jejich přátele, která v tomto kalendářním roce oslavila 150 let svého trvání. Hlavní část oslav proběhla 28. 3. v důstojném prostředí Karolina a Betlémské kaple v Praze, ale další akce na počest tohoto výročí se konaly pod patronací jednotlivých krajských poboček. Bližší informace nejen o těchto akcích, ale o všech aktivitách Jednoty naleznete na http://www.jcmf.cz/. Další kulatiny, které připadají na letošní kalendářní rok, slaví podzimní škola péče o talenty s mezinárodní účastí MAKOS, v jejímž rámci se mimo jiné konají též setkání krajských důvěrníků Přírodovědného i Matematického klokana. S plánovanými aktivitami, které pořádá Přírodovědecká fakulta UP a na které jste srdečně zváni, se můžete seznámit na www.prf. upol.cz. Pořadatelé PS: Podobné úvodní slovo naleznete též ve sborníku Přírodovědný klokan 2011/2012.

4

Vývoj Matematického klokana

CVRČEK 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

11 076* 46 832 60 744 70 942 70 084 78 291 79 758 84 221

KLOKÁNEK 6 205 18 522 61 161 62 963 87 885 95 426 93 434 99 204 83 584 78 275 70 886 66 799 70 705 74 668 75 624 81 737 84 031 87 324

BENJAMÍN 7 834 30 819 59 314 67 417 79 717 87 304 86 458 86 785 74 112 75 609 72 090 69 739 66 840 64 995 64 258 66 731 65 461 67 750

KADET 7 280 27 262 51 769 57 653 73 578 81 893 78 408 81 440 65 839 68 324 69 425 69 104 71 491 69 734 65 694 63 412 60 404 61 010

JUNIOR 2 195 6 148 8 631 11 580 16 847 20 384 20 173 20 479 19 615 17 345 18 333 18 003 17 804 19 101 18 711 18 711 16 326 15 021

STUDENT 1 297 3 938 7 349 8 484 6 606 10 319 11 228 10 428 9 879 9 729 10 690 9 947 10 274 10 191 10 599 9 646 8 721 8 987

* pouze experimentální ročník, výsledek nebyl zahrnut do celostátního sumáře

350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 0

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

5

CELKEM 24 811 86 689 188 224 208 097 264 633 295 326 289 701 298 336 253 029 249 282 252 500 280 424 297 858 309 631 304 970 318 528 314 701 324 313

Rok 2012 po kategoriích

90 000

84 221

87 324

80 000 70 000

67 750

61 010

60 000 50 000 40 000 30 000 20 000

15 021

10 000

8 987

0 Cvrček

Klokánek

Benjamín

Kadet

Junior

Student

Počty řešitelů, kteří získali plný počet bodů: Cvrček

60 b

získalo

938 žáků

Klokánek

120 b

získalo

60 žáků

Benjamín

120 b

získalo

2 žáci

Kadet

120 b

získalo

4 žáci

Junior

120 b

získali

3 žáci

Student

120 b

získali

0 žáků

6

Matematický KLOKAN 2012 www.matematickyklokan.net

ˇ kategorie Cvrcek

Úlohy za 3 body

1. Kolik nohou mají všechna zvíˇrátka dohromady?

(A) 5

(B) 10

(C) 12

(D) 14

(E) 20

(D)

(E)

2. Který tvar patˇrí na prázdné místo?

(A)

(B)

(C)

3. Která cˇ ára je nejdelší? A

(A)

B

(B)

C

D

(C)

(D)

7

E

(E)

ˇ 4. V pátek zaˇcne Dan tesat slovo CVRCEK. Každý den vytvoˇrí jedno písmeno. Který den vytesá poslední písmeno? (A) v pondˇelí (D) ve cˇ tvrtek

(B) v úterý (E) v pátek

(C) ve stˇredu

Úlohy za 4 body

5. Na obrázku se Michal v lod’ce dívá ke bˇrehu. Který odraz vidí na hladinˇe?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

6. Eliška nasbírala 12 hˇríbku, ˚ Alice nasbírala 9 hˇríbku˚ a Irena nenašla žádný. Dˇevˇcata dala všechny hˇríbky dohromady a rovným dílem si je mezi sebou rozdˇelila. Kolik hˇríbku˚ dostala Irena? (A) 3

(B) 7

(C) 8

(D) 9

(E) 12

7. Tatínek vˇeší prádlo na šnˇ uru. ˚ Na tˇri kapesníky použije 4 kolíˇcky. Kolik kolíˇcku˚ potˇrebuje na povˇešení 9 kapesníku? ˚ (A) 9

(B) 10

(C) 12

(D) 16

(E) 18

8. Drak mˇel 3 hlavy. Pokaždé, když mu stateˇcný rytíˇr jednu hlavu usekl, narostly drakovi tˇri hlavy nové. Rytíˇr již usekl drakovi dvˇe hlavy. Kolik hlav má drak nyní? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

8

(E) 8

Úlohy za 5 bodu˚ 9. Vrabˇcák Jack skáˇce z jedné tyˇcky na druhou. Každý skok mu trvá 1 sekundu. Udˇelá vždy 4 skoky dopˇredu a 1 skok zpátky a zase 4 skoky dopˇredu a 1 skok zpátky atd. Za kolik sekund doskáˇce od startu do cíle?

S T A R T (A) 10

C Í L (B) 11

(C) 12

(D) 13

(E) 14

10. Babiˇcka upekla 11 koláˇcku. ˚ Každý ozdobila rozinkami nebo oˇríšky. Do 5 koláˇcku˚ dala rozinky, do 7 koláˇcku˚ dala oˇríšky. Do kolika koláˇcku˚ dala rozinky i oˇríšky? (A) 1

(B) 2

(C) 5

(D) 7

11. Doplnˇ cˇ íslo na místo kvˇetiny. (A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

12. Na desce leží mince (podívej se na obrázek). Jana má odebrat nˇekolik mincí tak, aby v každém rˇ ádku a každém sloupci 2 mince zbyly. Kolik mincí Jana odebere? (A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

9

(E) 4

(E) 12

1 2 2 1

+ + + +

2 2 3 2

= = = =

3 4 5 4

Matematický KLOKAN 2012 správná řešení soutěžních úloh

Cvrček 1 D, 2 B, 3 E, 4 C, 5 C, 6 B, 7 B, 8 D, 9 E, 10 A, 11 D, 12 C.

10

Výsledky soutěže CVRČEK 2012 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

938 X X 85 432 1324 819 131 218 898 1531 1733 508 487 1248 2067 2115 1240 824 1502

2813 2492 1888 1242 1873 2826 3065 2041 1736 1969 2856 3277 2474 1846 2016 2758 2937 2624 1790 1772

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

celkový počet řešitelů: 84

2269 2671 2044 1455 1302 1646 1974 1309 919 592 879 794 793 166 184 214 429 38 33 61 54

221

průměrný bodový zisk: 30,53

11

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Cvrček z tabulky „Výsledky soutěže“

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Cvrček 2012

Nejlepší řešitelé

CVRČEK 2012 Za chybějící či nesprávně uvedená jména a údaje nezodpovídáme, vycházeli jsme z podkladů získaných z jednotlivých škol a v některých případech nebyly dodány kompletní údaje. Vzhledem k velkému počtu úspěšných řešitelů nejsou uvedeny školy s adresou, kompletní údaje zájemci najdou na www.matematickyklokan.net. 1. místo: 60 b Jihomoravský kraj Adéla Rohrerová Petra Fibingrová Ondřej Burian Monika Chrástková Anna Drobiličová Filip Grunský Adam Krška Monika Haiserová Jan Poláček Vera Chauvin Eliška Kmetová Mikuláš Svoboda Eva Sečkařová Adéla Hájková Anna Herzánová Lukáš Dobiáš Tamara Kalinová Anežka Babáková Vendula Komárková Evelína Staníková Dorian Viktora Adam Kozubek Petr Bílek

Klára Jelenová Adam Petřivalský Jakub Pospíšil Veronika Skálová Julie Vyhnalíková Anna Veselá Eliška Párová Šárka Škondrová David Suchánek Lukáš Chromý Hana Blažková Markéta Nečasová Eliška Jordánková Daniel Burkart Jaromír Harásek Michael Svoboda Jan Nevěděl Ina Boháčková Barbora Daňková Julie Mlčáková David Franěk Jan Úkropec Patrik Košťál Vojtěch Holan

Simona Täuberová Barbora Janošková Šárka Mrkosová David Gábel Lucie Kordulová Radek Bělík David Lorenc Filip Borúfka Terezie Bílá Tereza Ištoková Tereza Planetová Martin Kröner Žaneta Formánková Ondřej Chromý Julie Kašpárková Daniel Kománek Andrej Bružeňák Vojtěch Šimeček Kristýna Kosová Evžen Polenka Lucie Ruchortová Petra Kopecká Tomáš Houzar David Petečuk

Robert Kudlička Patrik Lažek Tomáš Polák Simona Postránecká Renata Prášilíková Simona Skirková Klára Štěpánková Dominik Vespalec Gabriela Novotná Emma Bednaříková Hana Reiterová Anna Brodecká Daniel Svoboda Alena Chvátilová Marian Molnar Jan Stejskal Zuzana Faldynová Marek Mach Alžběta Velenová Samuel Hrazdira Veronika Roubalová Bedřich Horný Asia Cimmino Lukáš Rýznar

Olomoucký kraj Lukáš Dvořák Radek Tichý Adéla Kaiserová Eliška Nowaková Adéla Schönweitzová František Světnický Monika Blinková Michaela Rotreklová Tomáš Solovský Michael Boxan Karolína Formánková Jan Lakomý Patrik Maleček

Tereza Siková Adéla Jermářová Karolína Doleželová Pavel Pejř Michal Vojtěchovský Adéla Matiášová Julie Petříková Daniel Vykoupil Rostislav Nantl David Janíček Vojta Vyskočil Michal Krátký Filip Prokop Anna Langerová

David Kryl Ondřej Kejval Martin Studnička Natalie Prokopová Tomáš Studnička David Atanasov Jakub Mikeš Lucie Haitlová David Klumpar Anna Krautwurstová Monika Tihelková Tereza Prudilová Klára Polednová Jakub Vágner

Alexandra Jánová Prokop Ohlídal Jan Tabery Adam Doubrava Klára Edlerová Michal Mnich Petra Ambrožová Pavel Chmelář Kateřina Surmová Michal Urbánek Ondřej Spurný Lada Sedláčková David Papoušek Tomáš Hájek

13

Středočeský kraj Jakub Pelc Filip Nejezchleba Kristýna Holubová Andrej Hudák Václav Vaniš Tomáš Lapáček Lenka Provazníková Veronika Prokešová Daniela Janurová Nele Hálková Adéla Podnecká Lenka Neubergová Eliška Márová Jonáš Fischer Marcela Kašparová Emma Kodyšová Jiří Bohuslav Vojtěch Chytrý Vikrotie Suchá Patrik Jareš David Kosík Ondřej Číž Kateřina Capková Alžběta Kozlová Vít Skalický Daniel Fürst Dominika Vojtová Dominika Šrámková Michal Kahánek Tereza Hanzalová Michal Forejt Petr Pavlín Estella Yvonne Marlowe Jonáš Jelínek

Dušan Vlasák Jonáš Jelínek Adam Kárník Andrea Špinková David Šprincl Vladimír Dolanský Daniela Volfová Anna Martínková Jan Karásek Adam Jelínek Tom Sebastian Riley Sára Kvízová Sabina Tomoriová Veronika Matějková Jakub Pulec Nikola Spěšný Melissa Valentová Daniel Michal Jakub Vrtiška Vojtěch Koželuha Filip Sequens Jiří Vrabec Matouš Kubín Jan Válek Tomáš Stehlík Ondřej Stehlík Alice Svrčková Filip Kropáček Marek Zatloukal Barbora Pokorná Marcela Kašparová Jan Hošek Kateřina Černá Adéla Hušková + Patrik Cinert

Antonín Krejča Jan Šnaiberk Filip Krehza Lucie Nováková Kateřina Bartoňová Barbora Hrušková Anežka Hradcová Jaroslava Pažoutová Tereza Vrbová Karolína Knoblochová Ester Vandasová Jakub Vejtruba Petr Vondráček Ondřej Grundfest Adéla Benešová Veronika Malá Julie Skřivánková Kateřina Končická Viktorie Hanková Jan Votruba Vilém Rožek Ondřej Dubecký Marek Pulda Jakub Kopecký Kryštof Vilt Páris Papadopoulos Karolína Severová Dominik Váňa Emma Kodyšová Viktorie Suchá Vojtěch Chytrý Jiří Bohuslav Eliška Márová Marie Roubíková + Markéta Hončíková

Kristýna Filipová Marek Pavlas Jan Hacken Jan Vrána Alžběta Měkotová Anna Táborská Matěj Nejedlý Anna Badalíková Tomáš Feigl Eliška Pinkasová Denisa Poláková Jennifer Řízková Anna Kubálková Adam Kavalier Vojtěch Holzman Marek Jirků Viktor Hýsek Josef Vávra Klaudie Kalašová Petr Eliáš Tereza Dolejšová Vladimír Jäger David Dvořák Vojta Novák Zuzana Volková Monika Tichá Matouš Banasinský František Konyvka Adéla Universalová Alžběta Kratochvílová Jonáš Fischer Eliška Míková Karolína Cimburková Marie Šmejkalová + Sára Trávníčková

Kraj Vysočina Simona Šikulová Anežka Zobačová Martin Svoboda Nikola Bloudková Kristýna Slabá Jan Kučera Martina Adamcová Adam Hamrle Jakub Hunal Kateřina Šimečková Anna Bičíková Helena Malá Soňa Nekovářová Kristýna Šourková

Ota Brzák Lenka Čechová Natálie Cejnková Matěj Venhoda Denisa Vítková Jakub Staněk Vít Brabenec Nikola Kročilová Matěj Mihulka Eilen Niederlfová Štěpán Stanislav Sukup Sabina Filová Natálie Smažilová Michaela Stará Natálie Palečková

Veronika Švandová Aneta Stránská Zuzana Černá Klára Kubíčková Lucie Niklová Anna Slaninová Barbora Střípková Lucie Slatinská Lenka Mrázková Pavlína Chvátalová Lenka Pavlíčková Radka Hlouchová Sandra Čadová Alžběta Škodová Jan Kouřil

Tomáš Gothard Adéla Chloupková Anna Kafková Bronislav Maštera Zdislava Podlešáková Lukáš Smejkal Eliška Svobodová Ondřej Baloun Martin Nováček Kateřina Nováčková Julie Šišlerová Mariana Špalíčková Jakub Kabelka Martin Štola Tomáš Čapoun

14

Moravskoslezský kraj Anna Freithová Miroslav Galusek Bára Škulířová Ondřej Tomala Denis Foldyn Aneta Bartoňová Robert Hlad Bára Sušková Daniel Kondělka Kim Kandráč Adéla Bitzánková Daniel Bělák Vojtěch Kostial Gabriel Szturc Veronika Sosnová Patrik Zielina Markéta Baleková Vendula Weissmannová

Karolína Zemanová Jan Petkov Karolína Polochová Tereza Vlčková Jan Jureček Anežka Lyková Klára Kalužová Andreas Tsameti Valentýna Nováková Šimon Makovický František Urbiš Daniel Moravec Alžběta Kavanová Eliška Slípková Jan Tengler František Gurecký Martin Radek Radek Paršo

Ondřej Marosz Marek Bialožyt Štěpánka Byrtusová Jan Roszka Anežka Bečáková Jan Dzuba Erik Bystroň Jakub Kotajny Jaroslava Pavelková Marek Maslowski Samuel Swienczyk Michael Hanus Karolína Bačová Marie Míčková Luděk Kubíček Tomáš Volný Robin Foldyna Zuzana Partiaková

Jana Černá Tomáš Doleží Julie Smolková Tereza Pavinská Ondřej Kopia Eva Krzikallová Martin Fof Anna Stejskalová Tomáš Bažo Marta Čermáková Helena Dostálová Anežka Kopřivová Radim Babinec Jana Fárková Gerd Schmidt Anna Potschová Kristýna Košťálová Ondřej Trinkewitz

Matyáš Heimerle

Anna Kokořová

Petr Poledna

Plzeňský kraj Nátálie Schulzová Lucie Mužíková Jana Kučerová Veronika Šandarová Petr Smutný Pavel Choc Tomáš Kmoníček Václav Jonáš Tomáš Beran Vilém Hauer Jana Warthová Tereza Chudáčková Kateřina Jůzková Anna Sterlyová Karolína Havlánová Linda Lukešová Adam Mayer Vít Zábranský Zuzana Steinbrückerová

Jakub Nový Michaela Míčková Jan Rejthar Vojtěch Sedláček Veronika Tvrdá Alžběta Koderová Ondřej Kops Jan Klíma Jindřich Blažek Matěj Urbanec Barbora Hanzlíčková Kristýna Kohoutová Michaela Bartičková Jakub Vokoun Nikola Pláničková Adéla Černá Sabina Moulisová Adéla Švehlová Marian Toth

Jaroslav Brožík Julie Kocová Lukáš Pokorný Šárka Špilarová Tereza Kocurová Tomáš Marek Viktor Faiman Václav Kouřil Marek Malecha Erik Mládek Hana Pěchoučková Jan Kotschy Helena Pospíšilová Pavel Bošek Natálie Burešová Tereza Frančíková Tereza Karlovská Tereza Němcová Jana Zábrodská

Filip Bláha Václav Tříska Lucie Bayerová Lukáš France Vojtěch Bořík Natálie Jandová Lukáš Mužík Jakub Pešek Tereza Svobodová Jiří Pivoňka Karel Babka Veronika Šlajsová Eva Trejbalová Pavel Kozler Kateřina Pancerová Karolína Loosová Veronika Janů Adriana Krákorová Eliška Zemanová

Žaneta Veselá

Matouš Brejcha

Petra Hlavsová

Královehradecký kraj Vojtěch Hovorka Michaela Fojtlová Marek Švegerka Filip Sefert Tereza Vašatová Adéla Šafrová Alan Šimek Ladislav Mezei

Lucie Mottlová Jáchym Zamouřil Monika Ronešová Elena Balvínová Anna Klimentová Jan Kubec Nikola Lencová Václav Spudil Kristýna Mikysková

Ondřej Svoboda Adéla Čechová Karolína Vokatá Dominik Rufer Ondřej Pitřinec Radek Turek Matyáš Machek Jáchym Hanuš Tomáš Sladký

Gabriela Skaláková Veronika Novotná Vojtěch Palasman Veronika Kápičková Jakub Nesnídal Daniel Rejzek Pavla Sýkorová Jiří Netík

15

Praha Štěpán Brožek Aneta Trnková Vojtěch Tvrdík Martin Vrba Vincent Jung Kateřina Matějovcová Veronika Přibylová Matyáš Boháček Aleš Opl Šimon Sedlák Marek Trunečka Julie Kristová Elisabeth Kopfová Sára Čermáková Adéla Kulhavá Michal Hájek Filip Melka Anna Dvořáková Štěpánka Hammerová Jan Jedlička Matěj Pinkas Lucie Simonidesová Martin Slovák Kryštof Syrovátko Vojtěch Siegler Petr Křístek Milan Lulák Ondřej Loukotka Kryštof Latka Marika Jedličková Julius Tomsa Michaela Kratochvílová

Dominik Fábera Tommy Chu Adam Babec Nikol Chaloupková Martin Koucký Ema Zeithammerová Rostyslav Kucherenko Kateřina Matějková Denisa Rozrložníková Adam Svěcený Jiří Zelenka Matěj Vondráček Adéla Archalousová Martin Šimša Jakub Hladík Martin Tartanov Kateřina Keprtová Tereza Kotová Jan Vaněček Tereza Dostalíková Anežka Hrdličková Mariane Gajdošová Zuzana Mervartová Beatricie Moulisová Lucie Pospíšilová Anna Dostálová Kristina Reblová Annna Jeníčková Daniel Kurka Tomáš Soukal Tereza Tomanová Max Vontroba

Sebastian Valenta Lucie Brousková Adriana Fricová Monika Fricová Viktor Vojan Tadeáš Kříž Adam Kafka David Trneček Štěpánka Kolářová Lucie Zemanová Adam Šulc Jakub Mišner Markéta Ondřejová Sebastian A. Fišer Matěj Novák Katka Zapletalová Michal Menšík Adam Schmidtmayer Adam Zámečník Franta Kuchař Jakub Nápravník Ondřej Janeček Jana Bardonová Markéta Bardonová Adam Zahradník Šárka Špačková Barbora Fejfarová Jakub Jirsák Jan Ještický Jiří Tomášek Anna Hrubá Matouš Brodský

Jakub John Vojtěch Zadražil Matyáš Kříha Sára Švábová Lukáš Valenta Tereza Marianová Filip Houdek Michael Höfner Ondřej Dobryj Karel Michel Karolína Šedová Stela Vinařová Kateřina Vilímová Lea Bořutová Matěj Bušek Jan Drmela Kateřina Štětinová Marie Marková Jakub Matoušek Robert Jaworski Tereza Vlčková Adéla Bradáčová Lucie Černá Tereza Rohlíková Tomáš Varga Kamila Zimová Michal Bednář Ariana Bedoya Jakub Kohout Marie Mlejnecká Ondřej Novák Karolína Zachová

Zlínský kraj Antonie Beníčková Johana Branná Michaela Častulíková Valerián Daniel Jan Jindřich Dolanský Anna Dušková Adéla Filipová Dominika Filipová Patricie Frgalová David Fryšták Marie Galářová Nikol Gul'ová

Jakub Novotný Tereza Orságová ml. Kryštof Pleva Lenka Popelková Robert Ptáček Václav Radoch Adam Řihák Michal Slavov Petr Slovák Veronika Straková Daniel Šácha Lucie Škrabanová David Šnajdr

Eliška Chudárková Lenka Janíková Jana Magdalena Jara Alžběta Kocmanová Natálie Konečná Marek Kozlovský Eliška Křeménková Veronika Kubišová Barbora Lapinová Magdalena Laštovková Antonín Mandík Jakub Menšík Josef Měrka

Prokop Tomšíček Alžběta Urbancová Vojtěch Valoušek Veronika Všetulová Ted Zahradil Magdaléna Omelková Natálie Chovancová Marie Holubářová Natálie Horenská Alexandra Šustková Jakub Tománek Alice Mikesková

Karlovarský kraj Anna Rychlíková Adéla Kubincová Leon Ludvig Veronika Šindelářová

Jakub Černý Jiří Hanke Andrea Herrgottová Josef Vosáhlo Dominik Černý

Natalie Pušová Barbora Michalcová Jan Holubovský Jakub Orvoš

Matyáš Bajgar Kryštof Mašek Jakub Nekvinda Michal Nguyen

16

Liberecký kraj Oldřich Hladík Kateřina Kolčová Jiřina Kroulová Anastázia Kobzareva Markéta Hošmánková Tomáš Osoba Tomáš Kudrnáč Jakub Vaníček

Ondřej Lesák Lukáš Cafourek Ondřej Koucký Marie Malinovská Michal Kocour Veronika Danilová Kateřina Brožková Václav Břicháč Tereza Macháčková

Eliška Halamová Klára Kuříková Vít Štefan Kateřina Novotná Petr Tužil Jakub Jakubec Anna Ficbauerová Martin Vrba Amálie Pavlína Jindrová

Jan Konrád Kristýna Stodolová Pavlína Beranová Leontýna Hartigová Nicola Nayperková Marek Baumann Jan Polák Patrik Laner

Ústecký kraj Matěj Mička Nikola Kusebauchová Anežka Jůzová Adéla Šťastná Lucie Teplanová Ondřej Svoboda Barbora Marcinová Natálie Kalašová Krupka Pavel Tereza Pechová

Barbora Mihová Martin Kadlec Jan Prášek Filip Řáha Eliška Pavlíková Libor Sýkora Pavel Novák Zuzana Kodešová Aleš Stanislav Jakub Ryšánek Ilja Kurta

Michal Kozák Karolína Černá Patrik Toifl Vojtěch Kysilka David Hoang Aleš Fiala Lubomír Hujer Linda Mayerová Pavel Slánský Jan Nedvěd

Barbara Holincová Vítek Drapák David Kosek Veronika Steklá Filip Kondr Kocajová Marie Kostinová Jakub Kraus Jan Ostapowycz Tereza Vachtlová

Jihočeský kraj Klára Pešlová Hana Havellová Jakub Rolínek Kristýna Janů Tomáš Alexa Klára Čížková Nikola Mrázová Marek Doležal Diana Kišová Veronika Kozáková

Ladislav Nagy Dana Procházková Filip Novák Lucie Tlachačová Veronika Šímová Vít Horčička Rozálie Nováková Vavřinec Sláma Vojtěch Pobuda František Slavíček Jana Prokšteflová

Adam Bednář Thuy Link Vu Jan Kolář Natálie Ošmerová Vojtěch Tesař Jakub Hrdlička Tereza Molzerová Olga Nová Kryštof Blažek Jaroslav Prokštefl Eliška Anna Kubíčková

Filip Novák Petr Šíma Linda Kliková Marek Matoušek Linda Šedová Jakub Hembera Renata Charvátová Eliška Kunkalová Monika Šíslová Jana Dubová

Pardubický kraj Petr Antoš Marek Buchtel Jakub Krupka Natálka Lupoměská Ondřej Novotný Michal Smetana Vojtěch Valenta Svatopluk Vaňous Filip Zavoral Adam Langr Adéla Bártová

Martin Jílek Lucie Kolaříková Kamila Kučerová Lucie Motlová Michal Mrkos Eliška Peňázová Kateřina Sedláčková Jiřina Šimonová Matěj Till Eliška Troboková Eliška Kubešová

Adéla Bajerová Daniel Mezera Nela Horáková Jan Livora Jindřich Pilař Kamil Kudrna Tomáš Kučera Lucie Volejníková Matěj Nádeník Matěj Sádovský Stanislav Kozák

Jakub Šimek Ondřej Šimek Jan Kroutil Nikol Hofrichterová Ondřej Hylena Iva Čečotková Tomáš Netolický Martin Šimek Tomáš Pustějovský Vít Tintěra Romain Ronceray

17


kategorie Klokánek

Úlohy za 3 body

1. Bedˇrich píše slovo MATEMATIKA na list papíru. Ruzná ˚ písmena píše ruznými ˚ barvami, stejná písmena stejnou barvou. Kolik ruzných ˚ barev bude potˇrebovat? (A) 6

(B) 7

(C) 8

(D) 10

(E) 13

2. Tatínek vˇeší prádlo na šnˇ uru. ˚ Na tˇri kapesníky použije 4 kolíˇcky. Kolik kolíˇcku˚ potˇrebuje na povˇešení 9 kapesníku? ˚ (A) 9

(B) 10

(C) 12

(D) 16

(E) 18

3. Na schovávanou si hraje 13 dˇetí. Jedno z nich hledá. Nalezeno už bylo 9 dˇetí. Kolik dˇetí je ještˇe schovaných? (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 9

(E) 22

4. Na cˇ tyˇrech obrázcích je plocha bílé cˇ ásti cˇ tverce stejnˇe velká jako plocha šedé cˇ ásti. Na kterém obrázku má bílá cˇ ást jinou velikost než šedá?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

A B C D

5. Ilona vybarvila políˇcka A2, B1, B2, B3, B4, C3, D3 a D4. Který z vybarvených obrázku˚ je její? A B C D

(A)

1 2 3 4

A B C D

(B)

1 2 3 4

A B C D

(C)

1 2 3 4

A B C D

(D)

18

1 2 3 4

1 2 3 4 A B C D

(E)

1 2 3 4

6. Ivan a Jiˇrí hrají šipky. Každý hodil 3 šipky (podívej se na obrázek). Kdo vyhrál a o kolik bodu˚ více získal? (A) (B) (C) (D) (E)

1

1

2

20

Ivan, získal o 3 body více. Jiˇrí, získal o 4 body více. Ivan, získal o 2 body více. Jiˇrí, získal o 2 body více. Ivan, získal o 4 body více.

2

20

3 60 75 25 70 4 15 30 65 100 60 35 10 5 55 40 45 50 9 6 8 7

3 60 75 25 70 4 15 30 65 100 60 35 10 5 55 40 45 50 9 6 8 7

Ivan Mike

Jiˇrí Jake

7. Rok 2012 je pˇrestupný, to znamená, že únor má 29 dní. Dnes, 15. bˇrezna, je dˇedeˇckovo kuˇrátko staré 20 dní. Kdy se vyklubalo z vajíˇcka? (A) 19. února

(B) 21. února

(C) 23. února

(D) 24. února

(E) 26. února

8. Pepa vytvoˇril na stˇenˇe pravidelný vzor ze dvou druhu˚ dlaždic: šedých a pruhovaných. Nˇekolik dlaždic ze zdi upadlo (podívej se na obrázek). Kolik šedých dlaždic chybí? (A) 9

(B) 8

(C) 7

(D) 6

(E) 5

Úlohy za 4 body 9. Jeden dílek stavebnice ve tvaru písmene L je vytvoˇren ze cˇ tyˇr cˇ tvereˇcku˚ (podívej se vpravo). Kolik z následujících tvaru˚ muže ˚ být sestaveno ze dvou takových dílku˚ stavebnice?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

10. Tˇri stejné balónky stojí o 12 korun více než jeden balónek. Kolik stojí jeden balónek? (A) 4

(B) 6

(C) 8

(D) 10

(E) 12

11. Babiˇcka upekla pro svá vnouˇcata 20 perníˇcku. ˚ Každý ozdobila rozinkami nebo oˇríšky. Rozinkami ozdobila 15 perníˇcku, ˚ oˇríšky 15 perníˇcku. ˚ Do kolika perníˇcku˚ dala rozinky i oˇríšky? (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 8

19

(E) 10

1×1 12. Ve hˇre sudoku se cˇ ísla 1, 2, 3 a 4 mohou vyskytovat pouze jednou v každém rˇ ádku a v každém sloupci. V matematickém sudoku musí Patrik nejprve vypoˇcítat výsledky a teprve potom muže ˚ doˇrešit sudoku. Které cˇ íslo zapíše Patrik do šedého políˇcka? (A) 1 (D) 4

(B) 2 (E) 1 nebo 2

(C) 3

1×3

2×2 6−3

6−5

4−1 1+3 8−7 9−7 2−1

13. Na vánoˇcní besídce stálo celkem 15 svícnu. ˚ Pˇetiramenných bylo 6 svícnu, ˚ zbývající svícny byly trojramenné. Kolik svíˇcek na slavnosti svítilo, když byly všechny rozsvícené a na každém rameni byla právˇe jedna svíˇcka? (A) 45

(B) 50

(C) 57

(D) 60

(E) 75

14. Do zvíˇrecí školy chodí 3 kot’ata, 4 káˇcátka, 2 housata a nˇekolik oveˇcek. Jejich uˇcitelka sova zjistila, že dohromady mají 44 nohou. Kolik je ve škole oveˇcek? (A) 6

(B) 5

(C) 4

(D) 3

(E) 2

15. Kvádr je sestaven ze cˇ tyˇr dílu˚ (podívej se na obrázek). Každý díl je tvoˇren ze 4 krychlí stejné barvy. Urˇcete tvar bílé cˇ ásti.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

16. Mezi Soninými spolužáky je dvakrát více dˇevˇcat než chlapcu. ˚ Které z následujících cˇ ísel muže ˚ udávat poˇcet všech žáku˚ v této tˇrídˇe? (A) 30

(B) 20

(C) 24

(D) 25

(E) 29

Úlohy za 5 bodu˚

17. Kobylka skáˇce po schodišti. Umí jen dva druhy skoku: ˚ 3 schody nahoru nebo 4 schody dolu. ˚ Zaˇcíná skákat z pˇrízemí. Nejménˇe kolik skoku˚ musí udˇelat, aby si odpoˇcinula na 22. schodˇe? (A) 7

(B) 9

rd step 3. 3schod nd step 2. 2schod st step 1. 1schod

ground pˇ rízemí

(C) 10 (D) 12 (E) 15

20

18. Franta sestavil „hada“ ze sedmi dílku˚ domina. Pˇriložil vedle sebe vždy dílky se stejným poˇctem teˇcek. Na všech dílcích hada bylo celkem 33 teˇcek. Jeho bratr Jirka odstranil dva dílky (podívej se na obrázek). Kolik teˇcek bylo puvodnˇ ˚ e na místˇe oznaˇceném otazníkem? ?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

19. Jirka zapsal dvˇe cˇ ísla pomocí cˇ íslic 1, 2, 3, 4, 5 a 6. Obˇe zapsaná cˇ ísla jsou trojciferná a každou z cˇ íslic použil právˇe jednou. Nakonec obˇe cˇ ísla seˇcetl. Urˇci nejvˇetší možný souˇcet. (A) 975

(B) 999

(C) 1083

(D) 1173

(E) 1221

20. Lenka, Iva, Vˇera a Katka se chtˇely spolu vyfotografovat. Katka a Lenka jsou nejlepší kamarádky, proto chtˇely stát vedle sebe. Iva chtˇela stát vedle Lenky, protože ji má ráda. Kolika zpusoby ˚ se mohly postavit? (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

(E) 7 11

21. Na zvláštních hodinách jsou tˇri ruˇciˇcky, které ukazují hodiny, minuty a sekundy. Nevíme, která ruˇciˇcka co ukazuje, ale víme, že hodiny jdou správnˇe. Ve 12.55:30 byly ruˇciˇcky na hodinách tak, jak je vidíš na obrázku vpravo. Které hodiny ukazovaly správný cˇ as v 8.10:00 veˇcer? 11

12

1

(A)

11 2

10

8

4 7

1

(B)

11 2

10 3

9

12

8

5

4 7

6

1

(C)

11 2

10 3

9

12

8

5

4 7

6

(D)

5

4 7

6

3

9 8

4 7

5 6 12

1 2

10 3

9 8

2

11 2

1

10

1

10 3

9

12

12

(E)

3

9 8

5

4 7

6

5 6

22. Michal si myslel cˇ íslo. Vynásobil ho sebou samým a pˇriˇcetl 1. Výsledek vynásobil cˇ íslem 10, pˇriˇcetl 3 a vynásobil cˇ tyˇrmi. Dostal tak cˇ íslo 2012. Vyber cˇ íslo, na které Michal myslel? (A) 11

(B) 9

(C) 8

(D) 7

(E) 5

23. Ve fotbalových zápasech získává vítˇezný tým 3 body a poražený 0 bodu. ˚ Pokud skonˇcí zápas nerozhodnˇe, oba týmy získají 1 bod. Tým, který odehrál 38 zápasu, ˚ získal 80 bodu. ˚ Najdi nejvˇetší možný poˇcet zápasu, ˚ které mohl prohrát. (A) 12

(B) 11

(C) 10

(D) 9

(E) 8

24. Obdélníkový list papíru má šíˇrku 192 mm a délku 84 mm. Oddˇel z nˇej jednou rovnou cˇ arou cˇ tverec. Ze zbylé cˇ ásti papíru opˇet oddˇel jednou rovnou cˇ arou cˇ tverec atd. Urˇci délku strany nejmenšího cˇ tverce, který mužeš ˚ tímto postupem získat. (A) 1 mm

(B) 4 mm

(C) 6 mm

21

(D) 10 mm

(E) 12 mm


Klokánek 1 A, 2 B, 3 A, 4 D, 5 C, 6 E, 7 D, 8 C, 9 E, 10 B, 11 E, 12 C, 13 C, 14 B, 15 D, 16 D, 17 D, 18 C, 19 D, 20 B, 21 E, 22 D, 23 C, 24 E.

22

Výsledky soutěže KLOKÁNEK 2012 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

60 X X 4 19 73 76 12 15 33 93 116 57 22 65 143 185 137 49 92

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

176 223 221 179 158 279 329 319 273 303 312 425 461 412 481 444 517 583 616 623

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

578 654 803 827 814 832 833 956 981 1112 1069 1071 1171 1146 1401 1333 1346 1318 1386 1525

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

1548 1514 1551 1627 1655 1668 1693 1603 1735 1837 1812 1688 1734 1685 1727 1799 1646 1633 1566 1648


40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

324


23

1574 1484 1521 1390 1485 1321 1238 1216 1194 1172 1044 970 972 898 792 763 756 571 604 483

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

433 387 343 294 228 184 200 151 101 83 83 70 53 32 23 27 18 8 14 5 29

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Klokánek z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Klokánek 2012

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé KLOKÁNEK 2012 Za chybějící či nesprávně uvedená jména a údaje nezodpovídáme, vycházeli jsme z podkladů získaných z jednotlivých škol a v některých případech nebyly dodány kompletní údaje. 1. místo: 120 b Bald Gaston Bartoňová Klára Brada Jan Čech Lubor Čechová Andrea Děcký Martin Filip Dominik Flajsarová Alice Flek Adam Fof Martin Frýbortová Jiřina Gardoň Vít Háčka Jakub Hanzlová Denisa Hartman Štěpán Horn Tomáš Chwistek Karel Janoušková Magdalena Jeřábek Michal Kačenka Jan Kaifer Jan Klimešová Karolína Knobloch Vít Kohoutová Kateřina Kozák Jakub Krafková Kateřina Krátký Daniel Krejčová Kateřina Krejsa Richard Krpálek Ondřej Krtouš Michal Kučera Ondřej Kunická Michaela

5. 5. A 4.B IV.A V 5.C 5. A 5.A 5.A

Lacinová Barbora Mach Jan Mašková Ivana Mazáč Pavel

5.B 5. 5. B 5.

5. B 5.a 5. B 5.B 5.B 5.A 4. tř. 5.B 5. A 5. 5.A 5. B 5. B 5.B V.D 5. B 5.B 5 5.A 5. 5. 5.A 4.B

ZŠ Brno, Řehořova 3, Brno 618 00 ZŠ 8. května 63, Šumperk 787 01 14. ZŠ, Zábělská 25, 312 00 Plzeň ZŠ, Valtická 3, Mikulov 692 01 ZŠ a MŠ Brno, Staňkova 14, Brno 602 00 Hálkova 4, Olomouc 779 00 CMC ZŠ Lerchova 65, Brno 602 00 ZŠ Dr. Horáka 24, Prostějov 796 01 ZŠ; Školní 255; Loděnice Třemešná 341, 793 82 Třemešná ZŠ E. Valenty 52, Prostějov 79603 ZŠ Březnice, Rožmitálská 419, Březnice ZŠ Žďár nad Sázavou, Švermova 4 ZŠ Karlovy Vary, Poštovní 360 01 Karlovy Vary ZŠ Zlín, Kvítková, Kvítková 4338 Zlín 760 01 ZŠ a MŠ, Kubatova 1, 370 04 České Budějovice ZŠ Opava, Otická 18, 746 01 Opava Základní škola a Mateřská škola Tupolevova, Dobratická 525, Praha 9 - Letňany, 199 04 ZŠ a MŠ Brno, Blažkova 9, Brno 638 00 ZŠ Tuchlovice, Školní 277, 273 02 Žitomířská 885, Český Brod 28201 ZŠ Žďár nad Sázavou, Švermova 4 ZŠ, MOST, Rozmarýnová 1692, MOST, 434 01 ZŠ a MŠ U Santošky 1, Praha 5-Smíchov, 15000 Sirotkova 36, Brno 616 00 ZŠ Třešť Základní škola, Trutnov, R. Frimla 816, 541 01 ZŠ Univerzum, Českolipská 373, 190 00 Praha 9 ZŠ J. A. Komenského, Náměstí Republiky 10, Brno 614 00 ZŠ Sídliště 375, 250 67 Klecany ZŠ Zdiby ZŠ a MŠ J. Železného, Sídl. svobody 24/79, Prostějov 796 01 Masarykova ZŠ a MŠ Velká Bystřice, 8. května 67, Velká Bystřice 783 53 ZŠ Generála Janouška 1006, Praha 9 ZŠ a MŠ; Osek 200; Komárov ZŠ Žďár nad Sázavou, Švermova 4 ZŠ Vyškov, Na Vyhlídce 12, 682 01 Vyškov

25

5. A Med Ondřej Mišinová Magdalena 4.A 5.C Moravec Matouš

Náhlovský Dominik Obrovská Anna Pavlíková Markéta Pazourová Viktorie Pivnička Martin Procházka Martin Rössler Martin Siegl Jan Skalský Alexandr Sláma Ondřej Stoček Jakub Tichá Michaela Vaněk Jakub Vávra David Veselý Lukáš Vlček Filip Vomelová Lucie Wagner Filip Zamazal Kryštof Žak Vojtěch

V.A 5. 5B 5. B 5.A 4.C 5. A 4. A III.A 5. V.B 5B 5B 5.A 5. A 5.B 5. B 5.C 5. C 5.B

ZŠ Jihlava, Havlíčkova ZŠ Dolákova 1/555,Praha 8,181 00 Základní škola, Fakultní škola Pedagogické fakulty UK, Praha 2, Slovenská 27, 120 00 Základní škola Kutná Hora, Kremnická 98 SMZŠ Rozmarýnová 3, Brno 637 00 ZŠ Ještědská, Ještědská 354/88, 460 08 Liberec 8 ZŠ Žďár nad Sázavou, Švermova 4 ZŠ Hudcova 35, Brno 621 00 ZŠ Komenského nám. 91,293 01 Mladá Boleslav Základní škola, Hornická 1325, 347 01 Tachov NOVÝ PORG, Pod Krčským lesem 1300/25, Praha 4, 142 05 ZŠ Josefa Bublíka, Bánov 507, 687 54 ZŠ, Hlavní 82, Dolní Dunajovice 691 85 Hloubětínská 700, 198 00 Praha 9 ZŠ Mozartova 24, 466 04 Jablonec nad Nisou ZŠ a MŠ Kladno, Ukrajinská 2447, Kladno ZŠ Ke Kateřinkám1400, 149 00 Praha 4 ZŠ Jihlava, Otokara Březiny ZŠ Komenského I, Havlíčkovo nábř. 3114, 760 01 Zlín ZŠ Žernosecká, Žernosecká 1597, Praha 8 182 00 ZŠ, nám. 28. října 1708, Tišnov 666 01 CMC ZŠ Lerchova 65, Brno 602 00 Litvínovská 500, Praha 9 - Prosek, 190 00

26


kategorie Benjamín Úlohy za 3 body 1. Petr psal na list papíru slova KLOKAN BENJAMÍN. Ruzná ˚ písmena psal ruznými ˚ pastelkami, stejná písmena stejnou pastelkou. Kolik ruzných ˚ pastelek potˇreboval? (A) 7

(B) 8

(C) 9

(D) 10

(E) 13

2. Šárka vložila do cˇ tverce vytvoˇreného ze cˇ tyˇr zápalek 4 mince (podívej se na obrázek). Urˇci nejmenší možný poˇcet zápalek, které bude potˇrebovat k vytvoˇrení cˇ tverce, do kterého by se vešlo 16 mincí. Mince se nesmí pˇrekrývat. (C) 12

(D) 15

o

(B) 10

ro

(A) 8

kan ga

(E) 16

3. V letadle jsou rˇ ady sedadel oznaˇceny cˇ ísly od 1 do 25, rˇ ada cˇ íslo 13 v nˇem však není. Patnáctá rˇ ada má pouze 4 sedadla pro cestující, všechny ostatní rˇ ady mají sedadel 6. Kolik míst pro cestující je v letadle? (A) 120

(B) 138

(C) 142

(D) 144

(E) 150

4. K cˇ íslu 6 pˇriˇcti cˇ íslo 3, výsledek vynásob 2 a ještˇe pˇriˇcti 1. Koneˇcný výsledek bude stejný jako hodnota výrazu: (A) (6 + 3 · 2) + 1 (D) (6 + 3) · 2 + 1

(B) 6 + 3 · 2 + 1 (E) 6 + 3 · (2 + 1)

(C) (6 + 3) · (2 + 1)

5. Když je v Londýnˇe 16 hodin, je v Madridu 17 hodin a v San Francisku 8 hodin téhož dne. María volala v pátek v 21 hodin ze San Franciska své mamince do Madridu. Kolik hodin v té chvíli v Madridu bylo? (A) 6 hodin v pátek (C) 12 hodin v pátek (E) 6 hodin v sobotu

(B) 18 hodin v pátek (D) pulnoc ˚ z pátku na sobotu

6. Na obrázku vpravo vidíš obrazec složený z pravidelných šestiúhelníku. ˚ Pokud budeme kreslit nový obrazec tak, že navzájem spojíme všechny stˇredy sousedících šestiúhelníku, ˚ který z obrazcu˚ (A)–(E) dostaneme?

(A)

(B)

(C)

(D)

27

(E)

7. Horní mince se beze skluzu otáˇcí kolem upevnˇené dolní mince do polohy na obrázku vpravo. Jaká bude výsledná pozice klokanu˚ na mincích?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) závisí na rychlosti otáˇcení

8. Lucka a Jirka dostali od své babiˇcky jablka a hrušky. V košíku mˇeli celkem 25 kusu˚ ovoce. Po cestˇe domu˚ Lucka snˇedla jedno jablko a tˇri hrušky, Jirka snˇedl tˇri jablka a dvˇe hrušky. Doma zjistili, že pˇrinesli stejný poˇcet hrušek a jablek. Kolik hrušek dostali od své babiˇcky? (A) 12

(B) 13

(C) 16

(D) 20

(E) 21

Úlohy za 4 body

9. Které tˇri z oˇcíslovaných dílku˚ puzzle musíš pˇriložit k obrázku vlevo, abychom obdrželi cˇ tverec? (A) 1, 3, 4 (D) 2, 3, 6

(B) 1, 3, 6 (E) 2, 5, 6

(C) 2, 3, 5

10. Lenka má 8 krychlí. Každá krychle má na všech svých stˇenách jedno z písmen A, B, C a D. Lenka z nich postavila stavbu na obrázku. Dvˇe sousední krychle mají na stˇenách vždy ruzná ˚ písmena. Jaké písmeno je na krychli, kterou na obrázku nevidíme? (A) A (D) D

(B) B (E) nelze rˇ íci

(C) C

ˇ 11. V Ríši divu˚ je 5 velkých mˇest. Každá dvˇe mˇesta jsou spojena jednou silnicí. Nˇekteré ze silnic jsou viditelné, ˇ jiné ne. Na mapˇe Ríše divu˚ je zakresleno jen sedm viditelných silnic (podívej se na obrázek). Alenka má magické brýle: pˇri pohledu na mapu s nimi vidí pouze silnice, které jsou jinak neviditelné. Kolik neviditelných cest vidí? (A) 9

(B) 8

(C) 7

(D) 3

(E) 2

28

11

22

33

44

55

66

B DC A

B D D A A B B D

12. Pˇriˇrad’me pˇrirozeným cˇ íslum ˚ barvy: cˇ ervenou barvu cˇ íslum ˚ 1, 4, 7, . . ., modrou barvu cˇ íslum ˚ 2, 5, 8, . . . a zelenou barvu cˇ íslum ˚ 3, 6, 9, . . . Jakou barvu bude mít souˇcet, seˇcteme-li cˇ ervené cˇ íslo s modrým? (B) cˇ ervenou nebo modrou (D) pouze cˇ ervenou

(A) modrou nebo zelenou (C) pouze zelenou (E) pouze modrou

13. Obvod obrazce složeného ze shodných cˇ tvercu˚ je roven 42 cm. Urˇci jeho obsah. (A) 128 cm2 (B) 72 cm2

(C) 24 cm2

(D) 9 cm2

(E) 8 cm2

14. Oba obrazce na obrázku jsou složeny z pˇeti stejných cˇ ástí. Obdélník má rozmˇery 5×10 centimetru˚ a ostatní cˇ ásti jsou cˇ tvrtinami dvou ruzných ˚ kruhu. ˚ Urˇci rozdíl mezi obvody obou obrazcu. ˚ (A) 2,5 cm (D) 20 cm

(B) 5 cm (E) 30 cm

(C) 10 cm

15. Klokani Hop a Hip hráli skákanou pˇres tˇri kameny. Podle pravidel hry museli kámen pˇreskoˇcit vždy tak, aby ležel ve stˇredu dráhy mezi odrazem a dopadem. Na levém obrázku je znázornˇeno, jak kameny pˇreskákal Hop. (Kameny jsou oznaˇceny cˇ ísly 1, 2 a 3). Klokan Hip skákal pˇres kameny ve stejném poˇradí jako Hop, ale startoval z jiného místa, které je vyznaˇcené na obrázku vpravo. Rozhodni, které z míst A, B, C, D, E bude místem Hipova posledního dopadu. 2

2

3

1

1

Cíl Hip Hop (A) A

(B) B

(C) C

3

A B

C D

E

(D) D

(E) E

(D)

(E)

16. Papírový osmiúhelník jsme tˇrikrát pˇreložili na poloviny, cˇ ímž jsme získali trojúhelník. Z nˇej jsme odstˇrihli jeden z vrcholu˚ (viz obrázek). Jak bude papír po rozložení vypadat?

(A)

(B)

(C)

29

Úlohy za 5 bodu˚ ˇ rem dˇetem bylo 6 17. Na oslavˇe narozenin bylo 12 dˇetí ve vˇeku 6, 7, 8, 9 a 10 let. Ctyˇ let, nejvíce dˇetí bylo osmiletých. Jaký byl prumˇ ˚ erný vˇek dˇetí na oslavˇe? (A) 6

(B) 6,5

(C) 7

(D) 7,5

(E) 8

18. Obdélník ABCD jsme rozˇrezali na 4 menší obdélníky tak, jak je to znázornˇeno na obrázku. Obvody tˇrí z „naˇrezaných“ obdélníku˚ D jsou 11 cm, 16 cm a 19 cm. Obvod cˇ tvrtého obdélníku neznáme, ale víme, že nebude ani nejmenší, ani nejvˇetší. Jaký je obvod obdélníku ABCD? A (A) 28 cm (B) 30 cm (C) 32 cm (D) 38 cm (E) 40 cm

C

B

19. Do políˇcek na kružnici jsou vepsána cˇ ísla od 1 do 12 tak, že rozdíl dvou sousedních cˇ ísel je 1 nebo 2. Která dvˇe cˇ ísla jsou vepsána v sousedních polích? (A) 8 a 10

(B) 10 a 9

(C) 6 a 7

(D) 4 a 3

(E) 5 a 6

20. Pavel chtˇel rozstˇríhat papír tvaru obdélníku se stranami 6 cm a 7 cm na menší cˇ tverce tak, aby každá ze stran mˇela délku vyjádˇrenou celým cˇ íslem. Urˇci nejmenší poˇcet cˇ tvercu, ˚ na který je možné obdélník rozstˇríhat. (A) 4

(B) 5

(C) 7

(D) 9

(E) 42

21. Eva vybarvila nˇekterá políˇcka tabulky se cˇ tyˇrmi rˇ ádky a cˇ tyˇrmi sloupci. Potom ke každému rˇ ádku i sloupci pˇripsala poˇcet jejich obarvených políˇcek a obarvená políˇcka smazala. Kterou z tabulek mohla vyplnit? 4 2 1 (C) 1

1 2 1 (B) 3

(A) 2 2 3 1

0 3 3 2

3 3 0 (E) 0

2 1 2 (D) 2 2 1 2 2

1 3 1 1

0 3 3 1 0 3 1 3

22. Gumový míˇc padá ze stˇrechy domu z výšky deseti metru. ˚ Pˇri každém dopadu na 4 zem se odrazí zpˇet do 5 pˇredchozí výšky. Kolikrát se míˇc objeví pˇred oknem, jehož spodní okraj je ve výšce pˇeti metru˚ a horní okraj ve výšce šesti metru? ˚ (A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

(E) 8

(D) 14 cm2

(E) 16 cm2

ˇ 23. Ctverec vystˇrižený z listu papíru byl dvakrát pˇreložen tak, jak je znázornˇeno na obrázku. Urˇcete souˇcet obsahu˚ zvýraznˇených obdélníku, ˚ jestliže obsah puvodního ˚ cˇ tverce byl 2 64 cm . (A) 8 cm2

(B) 10 cm2

(C) 12 cm2

24. Souˇcet trojciferného cˇ ísla ABC, dvojciferného cˇ ísla BC a jednociferného cˇ ísla C je 912. Urˇci hodnotu cˇ íslice B. (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

30

(E) 0


Benjamín 1 D, 2 A, 3 C, 4 D, 5 E, 6 C, 7 A, 8 B, 9 D, 10 B, 11 D, 12 C, 13 B, 14 D, 15 D, 16 C, 17 D, 18 B, 19 A, 20 B, 21 C, 22 C, 23 E, 24 C.

31

Výsledky soutěže BENJAMÍN 2012 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

2 0 0 0 3 4 12 1 1 0 9 18 13 2 8 28 29 27 14 14

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

33 47 38 31 34 43 67 78 60 62 76 123 104 112 120 130 168 147 154 195

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

199 216 237 300 277 305 313 351 408 431 453 482 548 500 558 639 674 678 797 739

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

798 959 1040 1065 1102 1076 1230 1304 1239 1413 1333 1446 1610 1618 1644 1622 1763 1728 1801 1727


40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

750


32

1654 1748 1737 1673 1602 1564 1584 1505 1459 1261 1379 1315 1174 1079 999 982 935 764 642 614

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

580 525 386 342 304 298 232 167 100 113 98 68 55 12 37 49 34 2 5 5 38

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Benjamín z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Benjamín 2012

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120

Nejlepší řešitelé BENJAMÍN 2012 Za chybějící či nesprávně uvedená jména a údaje nezodpovídáme, vycházeli jsme z podkladů získaných z jednotlivých škol a v některých případech nebyly dodány kompletní údaje. 1. místo: 120 b Ondřej Buček

VII. C

ZŠ a MŠ Brno, Křídlovická 30 b, 603 00

Adéla Hanková

Sk

Gymnázium Lovosice

34


kategorie Kadet

Úlohy za 3 body ˇ ri tabulky cˇ okolády stojí o 6 euro víc než jedna tabulka. Jaká je cena jedné 1. Ctyˇ tabulky cˇ okolády? (A) 1 euro

(B) 2 eura

(C) 3 eura

(D) 4 eura

(E) 5 eur

(B) 9,0909

(C) 9,99

(D) 9,999

(E) 10

2. 11,11 − 1,111 = (A) 9,009

3. Na stole leží hodinky ciferníkem nahoru. Minutová ruˇciˇcka ukazuje na severovýchod. Kolik minut uplyne, než tato ruˇciˇcka bude poprvé ukazovat na severozápad? (A) 45

(B) 40

(C) 30

(D) 20

(E) 15

4. Drak mˇel 5 hlav. Pokaždé, když mu rytíˇr ut’al jednu hlavu, narostlo drakovi 5 nových. Rytíˇr mu postupnˇe ut’al šest hlav. Kolik hlav má drak nyní? (A) 25

(B) 28

(C) 29

(D) 30

(E) 35 B

5. Každý z 9 chodníku˚ v parku je dlouhý 100 m. Anežka chce jít z bodu A do B, aniž by prošla nˇekterý chodník víc než jednou. Kolik metru˚ mˇerˇ í nejdelší cesta, kterou se muže ˚ vydat? (A) 900 m (B) 800 m (C) 700 m (D) 600 m (E) 400 m

A

6. Ve kterém z následujících výrazu˚ lze nahradit cˇ íslo 8 jiným kladným cˇ íslem tak, že dostaneme stejný výsledek? (A) (8 + 8) : 8 + 8 (D) (8 + 8 − 8) · 8

(B) 8 · (8 + 8) : 8 (E) (8 + 8 − 8) : 8

(C) 8 + 8 − 8 + 8

7. Vašek složí list papíru, jak je znázornˇeno na obrázku, a udˇelá nužkami ˚ dva pˇrímé stˇrihy. Pak papír znovu rozloží. Který z následujících tvaru˚ nemuže ˚ být výsledkem? (A)

(B)

(C)

(D)

35

(E)

8. Hranol na obrázku se skládá ze cˇ tyˇr cˇ ástí. Každá cˇ ást je tvoˇrena 4 krychlemi stejné barvy. Urˇcete tvar bílé cˇ ásti?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Úlohy za 4 body 9. Z cˇ íslic 1, 2, 3, . . . , 8 utvoˇríme dvˇe cˇ tyˇrciferná pˇrirozená cˇ ísla tak, že každou z cˇ íslic použijeme právˇe jednou. Urˇcete hodnotu nejmenšího možného souˇctu tˇechto dvou cˇ ísel. (A) 2468

(B) 3333

(C) 3825

(D) 4734

10. Paní Zahradníˇcková pˇestuje na poli hrášek a jahody. V letošním roce zmˇenila obdélníkový záhon hrachu na cˇ tvercový prodloužením jedné jeho strany o 3 metry. Záhon s jahodami se tak zmenšil o 15 m2 . Urˇcete puvodní ˚ obsah záhonu hrachu? (A) 5 m2

(B) 9 m2

(B) 60

Letos

Vloni Hrášek

Hrášek Jahody Jahody

(C) 10 m2 (D) 15 m2 (E) 18 m2

11. Barbora do tˇrí prázdných polí následující tabulky doplnila po jednom cˇ ísle následujícím zpusobem: ˚ Souˇcet prvních tˇrí cˇ ísel byl 100, souˇcet tˇrí cˇ ísel prostˇredních byl 200 a souˇcet posledních tˇrí cˇ ísel byl 300. Které cˇ íslo je uprostˇred tabulky? (A) 50

(E) 6912

(C) 70

(D) 75

10

130

(E) 100

12. Na obrázku je pˇeticípá hvˇezda. Urˇcete velikost vyznaˇceného úhlu x. (A) 35◦ (D) 65◦

(B) 42◦ (E) 109◦

(C) 51◦

93◦

100◦ 58◦

36

x

13. Z rovnostranného trojúhelníku o stranˇe délky 6 cm oddˇelíme tˇri shodné malé rovnostranné trojúhelníky. Souˇcet obvodu˚ tˇechto tˇrí trojúhelníku˚ je stejný jako obvod vzniklého šestiúhelníku. Urˇcete délku strany malého trojúhelníku. (A) 1 cm (D) 1,5 cm

(B) 1,2 cm (E) 2 cm

(C) 1,25 cm

14. Na letišti je pohyblivý chodník o délce 500 metru, ˚ který jede rychlostí 4 km/h. Alice a Boˇrek na nˇej vstoupili spoleˇcnˇe. Zatímco Alice jde po chodníku rychlostí 6 km/h, Boˇrek na nˇem stojí. Kolik metru˚ pˇred Boˇrkem vystoupila Alice z chodníku? (A) 100 m

(B) 160 m

(C) 200 m

(D) 250 m

(E) 300 m

ˇ 15. Strana kouzelného mluvícího cˇ tverce má délku 8 cm. Rekne-li mluvící cˇ tverec ˇ pravdu, jeho strana se zkrátí o 2 cm. Pokud lže, jeho obvod se zdvojnásobí. Ctverec vysloví v nˇejakém poˇradí dvˇe pravdivá a dvˇe nepravdivá tvrzení. Urˇcete nejvˇetší možný obvod cˇ tverce po vyslovení tˇechto cˇ tyˇr tvrzení. (A) 28 cm

(B) 80 cm

(C) 88 cm

(D) 112 cm

(E) 120 cm

16. Kamil pˇreklápí obarvenou krychli kolem jejích hran po bílém papíru. Krychle zanechá stopu znázornˇenou na obrázku. Které dva cˇ tverce jsou obtiskem téže stˇeny krychle? (A) 1 a 7

(B) 1 a 6

(C) 1 a 5

(D) 2 a 7

6 7 4 5 1 2 3

(E) 2 a 6

Úlohy za 5 bodu˚ 17. Radek má 5 krychlí. Jestliže je uspoˇrádá vedle sebe od nejmenší po nejvˇetší, bude rozdíl výšek dvou sousedních krychlí vždy 2 cm. Nejvˇetší krychle má stejnou výšku jako vˇež postavená ze dvou nejmenších krychlí. Urˇcete výšku vˇeže, která je postavená ze všech pˇeti krychlí. (A) 6 cm

(B) 14 cm

(C) 22 cm

(D) 44 cm

(E) 50 cm C

D

b

18. Urˇcete pomˇer obsahu šedého obrazce (trojúhelníku MNC) k obsahu cˇ tverce ABCD, jestliže bod M je stˇredem strany AD M a úseˇcka MN je kolmá k úhlopˇríˇcce AC. (A) 1:6

(B) 1:5

(C) 7:36

(D) 3:16

N

(E) 7:40 A

B

19. Tango tanˇcí v párech muž se ženou. Na taneˇcním veˇceru je pˇrítomno ménˇe než 50 lidí. V jednu chvíli 34 mužu˚ tanˇcí se 45 žen. Kolik lidí v danou chvíli tanˇcí? (A) 20

(B) 24

(C) 30

(D) 32

37

(E) 46

20. David chce uspoˇrádat dvanáct cˇ ísel od 1 do 12 do kruhu tak, aby se všechna sousední cˇ ísla vždy lišila bud’ o 2 nebo o 3. Která z následujících cˇ ísel musí stát vedle sebe? (A) 5 a 8

(B) 3 a 5

(C) 7 a 9

(D) 6 a 8

(E) 4 a 6

21. V knize bude 30 povídek, každá z nich má zaˇcínat na nové stránce. Povídky mají navzájem ruznou ˚ délku: 1, 2, 3, . . . , 30 stran. První pˇríbˇeh zaˇcne na stranˇe 1. Jaký je nejvˇetší poˇcet povídek, které mohou zaˇcínat na liché stránce? (A) 15

(B) 18

(C) 20

(D) 21

(E) 23

22. Provázek složíme napul, ˚ pak znovu napul ˚ a pak ještˇe jednou napul. ˚ Nakonec složený provázek pˇrestˇrihneme a dostaneme nˇekolik cˇ ástí: dvˇe z tˇechto cˇ ástí jsou dlouhé 9 cm a 4 cm. Která z následujících možností nemuže ˚ být délkou celého provázku? (A) 52 cm (D) 88 cm

(B) 68 cm (C) 72 cm (E) všechny odpovˇedi jsou možné

23. Velký trojúhelník je rozdˇelen tˇremi úseˇckami na cˇ tyˇri trojúhelníky a tˇri cˇ tyˇrúhelníky (viz obrázek). Souˇcet obvodu˚ cˇ tyˇrúhelníku˚ je 25 cm a souˇcet obvodu˚ cˇ tyˇr malých trojúhelníku˚ je 20 cm. Obvod velkého trojúhelníku je 19 cm. Urˇcete souˇcet délek tˇrí úseˇcek. (A) 11 cm

(B) 12 cm

(C) 13 cm

(D) 15 cm

(E) 16 cm

24. V každém poli tabulky 3×3 je umístˇeno kladné cˇ íslo. Pˇritom v každém rˇ ádku a v každém sloupci je souˇcin všech tˇrí cˇ ísel roven 1. Dále je v každém cˇ tverci 2×2 souˇcin všech cˇ tyˇr cˇ ísel roven 2. Urˇcete cˇ íslo v prostˇredním poli tabulky. (A) 16

(B) 8

(C) 4

(D)

38

1 4

(E)

1 8


Kadet 1 B, 2 D, 3 A, 4 C, 5 C, 6 E, 7 D, 8 D, 9 C, 10 C, 11 B, 12 C, 13 D, 14 E, 15 D, 16 B, 17 E, 18 D, 19 B, 20 D, 21 E, 22 C, 23 C, 24 A.

39

Výsledky soutěže

KADET 2012 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

4 0 0 0 0 4 1 0 0 2 5 2 5 6 3 4 9 5 10 12

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

16 14 18 23 24 35 26 26 36 39 60 46 53 73 77 108 82 74 108 127

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

174 166 170 237 292 256 260 277 364 362 380 377 447 500 528 516 597 621 658 663

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41

724 906 819 830 889 955 999 968 1047 1112 1091 1098 1234 1234 1241 1257 1318 1337 1359 1420


40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

010


40

1458 1448 1446 1472 1477 1417 1447 1472 1441 1408 1342 1318 1247 1194 1145 1062 1088 956 885 697

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

673 666 580 463 399 385 369 285 170 140 165 138 95 37 51 38 66 10 6 7 27

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Kadet z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Kadet 2012

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120


KADET 2012 Za chybějící či nesprávně uvedená jména a údaje nezodpovídáme, vycházeli jsme z podkladů získaných z jednotlivých škol a v některých případech nebyly dodány kompletní údaje. 1. místo: 120 b Lukáš Klein

9C

ZŠ U Lesa, B.Němcové 539, 472 01 Nový Bor

Miroslav Maťaš

1.G

Gymnázium Brno, Vídeňská 47, 639 00 Brno

Matěj Mezera

8. A

ZŠ Havlíčkův Brod, Nuselská 3240

Ester Sgallová

4.M

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, 150 00 Praha 5

42


kategorie Junior Úlohy za 3 body

1. Necht’ M a N jsou stˇredy ramen rovnoramenného ˇ trojúhelníku (viz obrázek). Císla vyjadˇrují obsahy jednotlivých trojúhelníku. ˚ Obsah plochy bílého cˇ tyˇrúhelníku je: (A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

M

N 3

(E) 7

3 6

2. Jestliže souˇcet cˇ íslic sedmimístného cˇ ísla je 6, pak souˇcin tˇechto cˇ íslic je: (A) 0 (D) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7

(B) 6 (E) 5

(C) 7

3. Kvádr na obrázku je sestaven ze cˇ tyˇri cˇ ástí. Každá cˇ ást se skládá ze 4 krychliˇcek stejné barvy. Urˇcete tvar bílé cˇ ásti.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

4. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s odvˇesnami délek 6 cm a 8 cm. Necht’ body K, L, M jsou stˇredy jeho stran. Kolik centimetru˚ mˇerˇ í obvod trojúhelníku KLM? (A) 6

(B) 12

(C) 15

(D) 20

ˇ 5. Ctverec ABCE o stranˇe délky 4 cm má stejný obsah jako trojúhelník ECD (viz obrázek). Urˇcete vzdálenost bodu D a pˇrímky g (v centimetrech). √ (A) 8 (B) 4 +√4 3 (C) 12 (D) 10 2 (E) Záleží na poloze bodu D

(E) 24 gg

D C

E

B

A

6. Délky dvou stran cˇ tyˇrúhelníku jsou 1 a 4. Jedna z jeho úhlopˇríˇcek délky 2 jej rozdˇeluje na dva rovnoramenné trojúhelníky. Urˇcete obvod cˇ tyˇrúhelníku. (A) 8

(B) 9

(C) 10

(D) 11

43

(E) 12

ˇ 7. Jestliže dˇelím cˇ ísla 144 a 220 pˇrirozeným cˇ íslem x, dostanu zbytek 11. Císlo x je: (A) 7

(B) 11

(C) 15

(D) 19

(E) 38

8. Když Adam stojí na stole a Petr na zemi, je Adam vyšší o 80 cm. Jestliže Petr stojí na stole a Adam na zemi, je Petr vyšší o 1 m. Jak vysoký je stul? ˚ (A) 70 cm

(B) 80 cm

(C) 90 cm

(D) 100 cm

(E) 120 cm

Úlohy za 4 body 9. Horkými favority na vítˇezství v maratonu jsou tˇri bˇežci Kan, Ga a Roo. Lucka prohlásila: „Vyhraje Kan nebo Ga.“ Jarka rˇ ekla: „Jestliže bude Ga druhý, vyhraje Roo.“ Eva tvrdila: „Bude-li Ga tˇretí, Kan nevyhraje.“ Dita rˇ ekla: „Druhý bude bud’ Ga nebo Roo.“ V jakém poˇradí bˇežci dobˇehli, pokud víme, že všechny kamarádky mˇely pravdu? (A) Kan, Ga, Roo (D) Ga, Kan, Roo

(B) Kan, Roo, Ga (E) Ga, Roo, Kan

(C) Roo, Ga, Kan

10. Sára a Veronika si házejí mincí. Když padne panna, vyhrává Sára a Veronika jí musí dát 2 bonbóny. Pokud padne orel, vítˇezkou je Veronika a Sára jí dá 3 bonbóny. Po tˇriceti hodech mají obˇe dívky stejný poˇcet bonbónu˚ jako mˇely puvodnˇ ˚ e. Kolikrát vyhrála Veronika? (A) 6krát

(B) 12krát

(C) 18krát

(D) 24krát

(E) 30krát 6 cm

11. Do obdélníku o délce jedné strany 6 cm jsou vepsány shodné kruhy jako na obrázku. Jaká je nejmenší vzdálenost mezi šedými kruhy? √ √ (A) 1 cm (B) 2 cm (C) 2 3 − 2 cm π (E) 2 cm (D) cm 2

12. Vašek má v pokoji cˇ tvery hodiny, ovšem jdou špatnˇe. Jedny ukazují nepˇresnˇe o 2 minuty, druhé o 3 minuty, tˇretí o 4 minuty a cˇ tvrté o 5 minut. V jednom okamžiku uvidˇel Vašek na svých hodinách cˇ asy: za 6 minut tˇri, za 3 minuty tˇri, 2 minuty po tˇretí a 3 minuty po tˇretí. Kolik bylo pˇresnˇe hodin? (A) 2.57

(B) 2.58

(C) 2.59

(D) 3.00

(E) 3.01

13. Kolik existuje cˇ tyˇrmístných cˇ ísel, které mají na pozici stovek cˇ íslici 3 a souˇcet zbývajících cˇ íslic je také tˇri? (A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

44

(E) 6

ˇ 14. Do tabulky doplnte cˇ ísla tak, aby souˇcet ve všech rˇ ádcích byl stejný a ve všech sloupcích také stejný. Urˇci cˇ íslo v šedém políˇcku tabulky? (A) 1

(B) 4

(C) 6

(D) 8

2 4 2 3 3 6 1

(E) 9

15. Poslední nenulová cˇ íslice cˇ ísla K = 259 · 34 · 553 je (A) 2

(B) 4

(C) 6

(D) 8

(E) 9

16. Rovinný útvar na obrázku je složen ze dvou cˇ tvercu˚ s délkami stran 4 cm a 5 cm, trojúhelníku o obsahu 8 cm2 a šedého rovnobˇežníku. Urˇcete obsah šedého rovnobˇežníku. (A) 16 cm2 (B) 18 cm2 (C) 19 cm2 (D) 20 cm2 (E) 21 cm2

Úlohy za 5 bodu˚ 17. Pro nˇekterá pˇrirozená cˇ ísla m a k platí: 2012 = mm · (mk − k). Urˇcete k. (A) 3

(B) 5

(C) 7

(D) 9

18. Na obrázku vidíte pravoúhlý trojúhelník s délkami stran 5, 12 a 13. Urˇcete polomˇer vepsané pulkružnice. ˚ (A)

7 3

(B)

10 3

(C)

12 3

(D)

13 3

(E)

17 3

(E) 11

13

5

12

19. Zlatník má k dispozici 12 zlatých dvojoˇcek, ze kterých chce udˇelat jeden delší uzavˇrený rˇ etízek. Na obrázku vidíte poˇcáteˇcní a koncový stav jeho práce. Aby tak uˇcinil, musí nˇekterá oˇcka nejprve rozevˇrít a následnˇe zavˇrít. Jaký je nejmenší poˇcet oˇcek, které musí rozevˇrít?

(A) 8

(B) 9

(C) 10

(D) 11

(E) 12

20. Je dáno šest ruzných ˚ pˇrirozených cˇ ísel, z nichž nejvˇetší oznaˇcme n. Mezi nimi existuje pouze jeden pár takový, že menší cˇ íslo nedˇelí cˇ íslo vˇetší. Nejmenší hodnota cˇ ísla n je: (A) 12

(B) 16

(C) 17

(D) 24

45

(E) 32

21. Obdélníkový proužek papíru ABCD o rozmˇerech 16 cm × 4 cm byl pˇreložen podél cˇ áry MN tak, aby vrchol C splynul s vrcholem A (viz obrázek). Urˇcete obsah pˇetiúhelníku ABMND′ . D′

N

A

B

(A) 27 cm2

D

C

M

(B) 37 cm2

(C) 47 cm2

(D) 57 cm2

(E) 67 cm2

22. Ve strašidelné vile visí ze stropu 5 žárovek. Každá z nich bud’ svítí, nebo je zhasnutá. Kdykoliv žárovku rozsvítíte nebo zhasnete, zmˇeníte její stav. Souˇcasnˇe náhodnˇe zmˇení stav jiná žárovka. Na poˇcátku jsou všechny žárovky zhasnuté. Co mužete ˚ prohlásit, pokud vy desetkrát zmˇeníte jejich stav? (A) (B) (C) (D) (E)

Není možné, aby byly všechny žárovky zhasnuté. Je jisté, že jsou všechny žárovky rozsvícené. Není možné, aby byly všechny žárovky rozsvícené. Je jisté, že jsou všechny žárovky zhasnuté. Žádné pˇredchozí tvrzení není pravdivé.

23. Nikolas vypsal všechna trojmístná cˇ ísla a pro každé z nich spoˇcítal souˇcin jeho cˇ íslic. Všechny souˇciny pak seˇcetl. Jaké cˇ íslo mu vyšlo? (A) 452

(C) 453

(B) 4500

(D) 245

(E) 345

ˇ 24. Císla od 1 do 120 jsou zapsána do 15 rˇ ad (viz obrázek). Ve kterém sloupci (poˇcítáno zleva) je souˇcet cˇ ísel nejvˇetší? 1

(A) 4

···

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 .. .

12 .. .

13 .. .

14 .. .

15 .. .

.. .

.. .

106

107

108

109

110

111

112

(B) 5

··· ··· ···

(C) 6

··· .. . ···

(D) 7

46

120

(E) 10


Junior 1 D, 2 A, 3 A, 4 B, 5 C, 6 D, 7 D, 8 C, 9 E, 10 B, 11 C, 12 C, 13 E, 14 B, 15 B, 16 A, 17 D, 18 B, 19 A, 20 D, 21 C, 22 C, 23 C, 24 B.

47

Výsledky soutěže

JUNIOR 2012 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 1 5 6 4 4 4

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

2 4 3 3 5 5 3 5 6 10 9 9 14 13 13 21 27 21 30 29

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

32 23 40 48 50 49 55 67 65 97 76 102 104 138 123 136 161 172 194 209

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41


223 232 261 260 270 287 271 308 383 343 363 378 369 435 405 414 417 428 398 413

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

021


48

417 362 402 391 383 352 325 321 309 316 281 253 221 203 182 177 147 147 110 123

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

81 68 66 54 41 42 36 24 15 12 22 10 5 2 4 6 12 9 5 2 17

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Junior z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Junior 2012

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120


JUNIOR 2012 Za chybějící či nesprávně uvedená jména a údaje nezodpovídáme, vycházeli jsme z podkladů získaných z jednotlivých škol a v některých případech nebyly dodány kompletní údaje. 1. místo: 120 b Jiří Guth

6. E

Gymnázium, Jírovcova 8, 371 61 České Budějovice

Tomáš Novotný

VI A

Gymnázium Česká Lípa, Žitavská 2969, 470 01 Česká Lípa

Anna Steinhauserová 2.

Gymnázium, B. Němcové 213/V, 380 11 Dačice

50


kategorie Student Úlohy za 3 body q √ 3 2 2? √ (B) 2

ˇ 1. Cemu je rovno cˇ íslo (A) 1

(C)

√6 4

(D)

2. První zleva v rˇ adˇe pˇeti cˇ ísel je 2, páté je cˇ íslo 12. Souˇcin prvních tˇrí cˇ ísel je 30, souˇcin prostˇredních tˇrí cˇ ísel je 90 a souˇcin posledních tˇrí cˇ ísel je 360. Které z následujících cˇ ísel stojí uprostˇred rˇ ady? (A) 3

(B) 4

(C) 5

√3 4

(E) 2

2

12

(D) 6

(E) 10

3. Obdélníkový list papíru ABCD o rozmˇerech 4 cm × 16 cm byl pˇreložen podél úseˇcky MN tak, že vrchol C splynul s vrcholem A (jako na obrázku). Urˇcete obsah cˇ tyˇrúhelníku ANMD′ . D′

M

A

B

(A) 28 cm2

D

C

N

(B) 30 cm2

(C) 32 cm2

(D) 48 cm2

(E) 56 cm2

4. Souˇcet cˇ íslic devítimístného cˇ ísla je 8. Kolik je souˇcin všech jeho cˇ íslic? (A) 0

(B) 1

(C) 8

(D) 9

(E) 9!

5. Najdˇete nejvˇetší pˇrirozené cˇ íslo n, pro nˇež platí n200 < 5300 . (A) 5

(B) 6

(C) 8

(D) 11

(E) 12

6. Která z následujících funkcí vyhovuje rovnici ! 1 1 f = ? x f (x) (A) f (x) =

2 x

(B) f (x) =

1 x+1

(C) f (x) = 1 +

51

1 x

(D) f (x) =

1 x

(E) f (x) = x +

1 x

7. Reálné cˇ íslo x vyhovuje nerovnostem x3 < 64 < x2 . Který z následujících výroku˚ je pravdivý? (A) 0 < x < 64

(B) −8 < x < 4 (C) x > 8

(D) −4 < x < 8 (E) x < −8

8. Urˇcete velikost úhlu α (na obrázku vpravo) pravidelné pˇeticípé hvˇezdy. (A) 24◦

(B) 30◦

(C) 36◦

(D) 40◦

α

(E) 45◦

Úlohy za 4 body 9. Cestovní kanceláˇr organizuje cˇ tyˇri fakultativní výlety na Sicílii pro turistický zájezd. Každý výlet si objednalo 80 % turistu. ˚ Najdˇete nejmenší možné procento turistu, ˚ kteˇrí si objednali všechny výlety. (A) 80 %

(B) 60 %

(C) 40 %

(D) 20 %

(E) 16 %

ˇ 10. V škole se známkuje stupnicí od 1 do 5. Ctvrtletní písemka ve cˇ tvrtém roˇcníku dopadla špatnˇe. Prumˇ ˚ erná známka byla 4. Prumˇ ˚ erná známka chlapcu˚ byla 3,6, zatímco prumˇ ˚ erná známka dívek byla 4,2. Které z následujících tvrzení o této tˇrídˇe je pravdivé? (B) Chlapcu˚ je cˇ tyˇrikrát více než dívek. (D) Dívek je cˇ tyˇrikrát více než chlapcu. ˚

(A) 114 m2 (D) 160 m2

(B) 130 m2 (E) 186 m2

b

11. Na obrázku je plán záhonu ruží. ˚ Bílé ruže ˚ rostou ve dvou shodných cˇ tvercích, cˇ ervené ruže ˚ ve zbývajícím cˇ tverci. Žluté ruže ˚ rostou v pravoúhlém trojúhelníku. Celková šíˇrka i celková výška ružového ˚ záhonu je 16 m. Urˇcete jeho obsah.

16 m

(A) Chlapcu˚ je dvakrát více než dívek. (C) Dívek je dvakrát více než chlapcu. ˚ (E) Dívek je stejnˇe jako chlapcu. ˚

(C) 144 m2 16 m

12. Všechna sedadla oˇcíslovaná vzestupnˇe od 1 v první rˇ adˇe kina byla vyprodána. Navíc byl omylem ještˇe prodán další lístek do první rˇ ady. Souˇcet cˇ ísel všech prodaných sedadel do první rˇ ady byl 857. Které sedadlo bylo prodáno dvakrát? (A) 4

(B) 16

(C) 25

(D) 37

52

(E) 42

13. Je dán pravoúhlý trojúhelník se stranami délek a, b a c. Najdˇete polomˇer jemu „vepsané polokruža nice“ na obrázku. (A)

a(c−a) 2b

(B)

ab a+b+c

(C)

ab b+c

(D)

2ab a+b+c

(E)

c r

ab a+c

r

r b

ˇ 14. Ctverec ABCD má strany délky 2. Body E a F jsou po rˇ adˇe stˇredy stran AB a AD. Pro bod G úseˇcky CF platí 3|CG| = 2|GF|. Urˇcete obsah trojúhelníku BEG. (A)

7 10

(B)

4 5

(C)

8 5

(D)

15. Hodiny na obrázku mají tvar obdélníku, pˇritom každá z ruˇciˇcek se pohybuje konstantní úhlovou rychlostí stejnˇe jako u bˇežných hodin. Vzdálenost mezi cˇ ísly 8 a 10 na ciferníku je 12 cm. Najdˇete vzdálenost mezi cˇ ísly 1 a 2. √ √ √ (A) 3 3√cm (B) 2 3 cm (C) 4 3 cm √ (D) 2 + 3 cm (E) 12 − 3 3 cm

3 5

(E)

6 5

11 12 1

10

2 x cm

9

12 cm

8

7

3

6

5

4

16. Klokan staví hranol ze standardních hracích kostek (souˇcet bodu˚ na protilehlých stˇenách je 7) stejnˇe jako na obrázku. Pˇritom slepuje pouze stˇeny, na kterých je týž poˇcet bodu. ˚ Cílem klokana je sestrojit takový hranol, aby souˇcet všech bodu˚ na jeho povrchu byl 2012. Kolik kostek muže ˚ použít?

(A) 70 (D) 143

(B) 71 (C) 142 (E) Kostky takto sestavit nelze.

Úlohy za 5 bodu˚

17. Najdˇete nejmenší možnou velikost vnitˇrního úhlu rovnoramenného trojúhelníku s tˇežnicí, která tento trojúhelník dˇelí na dva rovnoramenné trojúhelníky. (A) 15◦

(B) 22,5◦

(C) 30◦

(D) 36◦

(E) 45◦

18. Se zlomky mužeme ˚ provádˇet následující dvˇe operace. Bud’ zvˇetšíme jeho cˇ itatele o 8, nebo zvˇetšíme jeho jmenovatele o 7. Po n takových operacích (v nˇejakém poˇradí) jsme ze zlomku 78 opˇet obdrželi zlomek se stejnou hodnotou. Najdˇete nejmenší možnou hodnotu pˇrirozeného cˇ ísla n. (A) 56 (D) 113

(B) 81 (C) 109 (E) Není možné obdržet zlomek se stejnou hodnotou.

53

19. Rovnostranný trojúhelník se bez skluzu kotálí po cˇ tverci se stranou délky 1. Urˇcete délku kˇrivky, po které se bude pohybovat vyznaˇcený vrchol trojúhelníku, dokud se tento vrchol spolu s trojúhelníkem nedostanou opˇet do výchozí pozice.

(A) 4π

(B)

28 3 π

(C) 8π

(D)

14 3 π

(E)

21 2 π

20. Kolik permutací (x1 , x2 , x3 , x4 ) cˇ ísel množiny {1, 2, 3, 4} má vlastnost, že souˇcet x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 je dˇelitelný 3? (A) 8

(B) 12

(C) 14

(D) 16

(E) 24

21. Po hodinˇe algebry na tabuli zustal ˚ graf funkce y = x2 a 2012 pˇrímek rovnobˇežných s pˇrímkou y = x, každá z nich protínající parabolu ve dvou bodech. Najdˇete souˇcet x-ových souˇradnic pruseˇ ˚ cíku˚ pˇrímek a paraboly. (A) 0 (D) 2012

(B) 1 (E) Není možné urˇcit.

(C) 1006

22. Tˇri vrcholy krychle (neležící v jedné stˇenˇe) mají souˇradnice P = (3, 4, 1), Q = (5, 2, 9) a R = (1, 6, 5). Který z následujících bodu˚ je stˇredem této krychle? (A) A = (4, 3, 5) (B) B = (2, 5, 3) (C) C = (3, 4, 7) (D) D = (3, 4, 5) (E) E = (2, 3, 5) ˇ 23. Posloupnost 1, 1, 0, 1, −1, . . . splnuje následující podmínky: První dva cˇ leny a1 a a2 jsou rovny 1. Tˇretí cˇ len je rozdílem pˇredcházejících dvou cˇ lenu, ˚ tj. a3 = a1 − a2 . ˇ Ctvrtý cˇ len je souˇctem pˇrecházejících dvou cˇ lenu, ˚ tj. a4 = a2 + a3 . Dále a5 = a3 − a4 , a6 = a4 + a5 a tak dále. Najdˇete souˇcet prvních 100 cˇ lenu˚ takovéto posloupnosti. (A) 0

(B) 3

(C) −21

(D) 100

(E) −1

24. Každá koˇcka v Tˇreskoprskách je bud’ moudrá nebo šílená. Jestliže se moudrá koˇcka ocitne v místnosti se tˇremi šílenými koˇckami, potom zešílí. Jestliže se šílená koˇcka ocitne v jedné místnosti se tˇremi moudrými, potom je jimi odhalena jako šílená. Tˇri koˇcky vešly do prázdné místnosti. Brzy poté co vešla cˇ tvrtá koˇcka, první odešla. Po pˇríchodu páté koˇcky odešla druhá a tak dále. Poté, co vešla 2012. koˇcka se poprvé stalo, že nˇekterá koˇcka byla odhalena jako šílená. Které z následujících koˇcek mohly být obˇe šílené pˇri vstupu do místnosti? (A) první a 2012. (D) cˇ tvrtá a 2012.

(B) druhá a 2010. (E) druhá a 2011.

54

(C) tˇretí a 2009.


Student 1 B, 2 C, 3 C, 4 A, 5 D, 6 D, 7 E, 8 C, 9 D, 10 C, 11 C, 12 D, 13 E, 14 B, 15 C, 16 E, 17 E, 18 D, 19 B, 20 D, 21 D, 22 A, 23 B, 24 B.

55

Výsledky soutěže

STUDENT 2012 Tabulka uvádí počty soutěžících, kteří získali příslušný počet bodů.

120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101

0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 4 5 0 0

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81

1 4 3 2 1 0 1 0 4 3 3 8 3 4 4 4 6 7 8 10

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61

5 3 10 10 19 18 21 11 22 19 37 30 36 42 59 52 55 77 90 86

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41


91 123 109 147 138 146 178 172 179 213 204 220 224 257 246 237 271 268 266 264

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

987


56

275 274 273 285 264 257 237 246 224 245 197 189 171 146 118 131 103 82 75 88

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

63 49 36 33 23 30 18 20 15 6 16 4 4 9 5 4 6 6 1 2 10

0

50

100

150

200

250

300

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

63

66

69

72

75

78

81

84

87

Graf znázorňuje výsledky v kategorii Student z tabulky „Výsledky soutěže“

30

Student 2012

90

93

96

99 102 105 108 111 114 117 120


STUDENT 2012 Za chybějící či nesprávně uvedená jména a údaje nezodpovídáme, vycházeli jsme z podkladů získaných z jednotlivých škol a v některých případech nebyly dodány kompletní údaje. 1. místo: 116 b Jakub Mikeš

3B

VOŠ a SPŠE, Božetěchova 3, 779 00 Olomouc

58

Garanti kategorií Znění úloh podle evropské verze v jednotlivých kategoriích upravili: Cvrček

Mgr. Eva Nováková, Ph.D. Evropská základní škola Brno, Čejkovická 10, 628 00 BRNO e-mail: [email protected]

Klokánek

doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc. Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 5713

Benjamín

Mgr. Eva Bártková, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 5716

Kadet

Mgr. Jitka Hodaňová, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 5706

Junior

Mgr. Vladimír Vaněk, Ph.D. Katedra algebry a geometrie PřF UP, 17. listopadu 12, 771 46 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 4645

Student

RNDr. Pavel Calábek, Ph.D. Katedra algebry a geometrie PřF UP, 17. listopadu 12, 771 46 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 4642

59

Kontaktní adresa: Mgr. Eva Bártková, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 5716 prof. RNDr. Josef Molnár, CSc. Katedra algebry a geometrie PřF UP, 17. listopadu 12, 771 46 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 4641 doc. PhDr. Bohumil Novák, CSc. Katedra matematiky PdF UP, Žižkovo nám. 5, 771 40 OLOMOUC e-mail: [email protected] tel.: 58 563 5713

http://matematickyklokan.net e-mailová adresa pro korespondenci: [email protected]

60

Univerzita Palackého v Olomouci JČMF pobočka Olomouc

Recommend Documents