UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ

´ ´ UNIVERZITA HRADEC KRALOV E ˇ ÍRODOVEDECK ˇ ´ FAKULTA PR A

´ Í ALGEBRA A GEOMETRIE LINEARN Zdenˇek Duˇsek

studijn´ı text Hradec Králové, 2014

2

´ Uvod Tento studijn´ı text je urˇcen jako opora k pˇredmˇet˚ um Algebra 1, Geometrie 2, Geometrie 3 a pˇredmˇet˚ um n´ avazn´ ym. Na pˇr´ıkladech jsou vysvˇetleny základn´ı pojmy z line´ arn´ı algebry, algebry a geometrie. Kaˇzdá kapitola je doplnˇená o z´ akladn´ı definice a vˇety, aby byl text ˇciteln´ y samostatnˇe bez nutnosti dohledávat pojmy jinde. Posledn´ı dvˇe kapitoly patˇr´ı k pokroˇcilejˇs´ım parti´ım algebry, ale protoˇze jsou z´ aroveˇ n pˇekn´ ym u ´vodem do modern´ı geometrie a nen´ı pˇr´ıliˇs tˇeˇzké tuto tématiku nav´ azat na l´ atku v tomto textu, nechtˇel jsem zv´ıdavého ˇctenáˇre o tuto moˇznost pokraˇcov´ an´ı ochudit. V definic´ıch pouˇz´ıv´ am s vyj´ımkou prvn´ıch dvou kapitol konvence, které vyhovuj´ı matematické anal´ yze a geometrii. Konkrétnˇe jde o skládán´ı zobrazen´ı zprava doleva a z´ apis vektor˚ u ve sloupc´ıch. Zápis (f ◦ g)(x) tedy znamená, ˇze na prvek x aplikujeme nejprve zobrazen´ı g a na v´ ysledek g(x) pak aplikujeme zobrazen´ı f . Dohromady tedy (f ◦ g)(x) = f (g(x)), coˇz je intuitivnˇe pˇr´ımoˇcaré, jde pouze o livov˚ uli v závorkován´ı. Podobnˇe, je-li zobrazen´ı f reprezentov´ ano matic´ı F a prvek x je vektor, pak pro pˇr´ımoˇcarost chceme, abychom mohli obraz f (x) zapsat maticov´ ym násoben´ım F ·x. Z tohoto d˚ uvodu mus´ı b´ yt x sloupcov´ y vektor. Samozˇrejmˇe se v mnoha uˇcebnic´ıch algebry vyskytuje opaˇcná konvence, protoˇze je uˇziteˇcn´ a v abstraktn´ı algebˇre a napˇr´ıklad v kategori´ıch. My tuto opaˇcnou konvenci pouˇzijeme pouze v prvn´ıch dvou kapitolách, protoˇze je v´ yhodná ˇ aˇr jistˇe brzy pro korektn´ı zaveden´ı pojmu zobrazen´ı pomoc´ı pojmu relace. Cten´ odhal´ı form´ aln´ı nepohodl´ı, které by v naˇsich situac´ıch tato druhá konvence pˇrin´ aˇsela. Jedn´ a se o nutnost vymˇen ˇovat poˇrad´ı ve formul´ıch v´ yˇse, coˇz b´ yvá pro studenty ˇcasto matouc´ı. Také by tato konvence nesouhlasila se zápisem soustavy rovnic pomoc´ı maticového n´ asoben´ı. Dalˇs´ı v´ yhoda zvolené konvence se uk´ aˇze pozdˇeji, aˇz budeme vyuˇz´ıvat sumaˇcn´ı konvenci, zavádˇet duáln´ı prostory a pouˇz´ıvat dualitu. Proto od p´ até kapitoly p´ıˇseme vˇsechny vektory do sloupc˚ u (a v n´ asoben´ı za matici). V osmé kapitole pak jiˇz skládáme homomorfismy podle konvence uvedené v´ yˇse, tedy opaˇcnˇe neˇz je zavedeno v druhé kapitole pro zobrazen´ı. Vˇeˇr´ım, ˇze i tento zd´ anlivˇe nedidaktick´ y krok pˇrispˇeje ˇctenáˇri k hlubˇs´ımu pochopen´ı nutnosti spr´ avnˇe zvolit a pouˇz´ıvat formalismus, aby byla matematika jednoduch´ a, pˇr´ımoˇcar´ a a srozumitelná.

3

4

Kapitola 1

Bin´ arn´ı relace 1.1

Z´ akladn´ı pojmy

Definice 1 Necht’ A, B jsou nepr´ azdné mnoˇziny. Kartézským souˇcinem A × B rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech dvojic (a, b), kde a ∈ A a b ∈ B. Bin´ arn´ı relac´ı mezi mnoˇzinami A a B je kaˇzd´ a podmnoˇzina Kartézského souˇcinu A × B. Je-li R relace mezi A a B, zapisujeme R ⊆ A × B. Je-li A = B, pak relaci R ⊆ A × A nazýv´ ame bin´ arn´ı relace na mnoˇzinˇe A. Relace vystihuj´ı vztah mezi prvky mnoˇzin A a B. Pokud (a, b) ∈ R, pak mezi prvky a ∈ A a b ∈ B tento vztah je, pokud (a, b) ∈ / R, pak nikoliv. Definice 2 Inverzn´ı relac´ı k relaci R ⊆ A × B je relace R−1 ⊆ B × A, pro kterou je (b, a) ∈ R−1 pr´ avˇe kdyˇz (a, b) ∈ R. Pokud bychom nakreslili graf relace R tak, ˇze na vodorovnou osu znázorn´ıme mnoˇzinu A, na svislou osu mnoˇzinu B a na pˇr´ısluˇsné pr˚ useˇc´ıky prvky relace R, pak inverzn´ı relace bude m´ıt graf pˇrevrácen´ y podle osy kvadrantu. Definice 3 Necht’ R ⊆ A × B a S ⊆ B × C. Sloˇzen´ım relac´ı R a S je relace R ◦ S ⊆ A × C, pro kterou je (a, c) ∈ R ◦ S pr´ avˇe kdyˇz existuje b ∈ B takové, ˇze (a, b) ∈ R a (b, c) ∈ S. Sloˇzen´ı relac´ı nˇekdy ˇr´ık´ ame souˇcin relac´ı. Pokud bychom relaci R kreslili jako ˇsipky z prvk˚ u mnoˇziny A k prvk˚ um mnoˇziny B a relaci S jako ˇsipky ˇsipky z prvk˚ u mnoˇziny B k prvk˚ um mnoˇziny C, pak prvky souˇcinu R ◦ S jsou pr´ avˇe vˇsechny sloˇzené ˇsipky z prvk˚ u mnoˇziny A k prvk˚ um mnoˇziny C. Jin´ ymi slovy, z a ∈ A povede sloˇzená ˇsipka do c ∈ C pokud existuje b ∈ B takové, ˇze z a vede ˇsipka do b a z b vede ˇsipka do c.

1.2

Pˇ r´ıklady

1) Pro nˇekteré relace pouˇz´ıv´ ame speciáln´ı symboly, napˇr. ≤. Pak m´ısto (3, 7) ∈≤ p´ıˇseme pˇrirozenˇe 3 ≤ 7. Relace ≤ na mnoˇzinˇe B = {1, 2, 3} je mnoˇzina dvojic {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}, protoˇze 1 ≤ 1, 1 ≤ 2, 1 ≤ 3, 2 ≤ 2, 2 ≤ 3, 3 ≤ 3. 2) Najdˇeme vˇsechny relace na 2-prvkové mnoˇzinˇe A = {1, 2}. Sestroj´ıme Kartézsk´ y souˇcin A × A, kter´ y je A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Relace na mnoˇzinˇe 5

´ Í RELACE KAPITOLA 1. BINARN

6 A pak jsou: R0 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14 R15

= = = = = = = = = = = = = = = =

∅, {(1, 1)}, {(1, 2)}, {(2, 1)}, {(2, 2)}, {(1, 1), (1, 2)}, {(1, 1), (2, 1)}, {(1, 1), (2, 2)}, {(1, 2), (2, 1)}, {(1, 2), (2, 2)}, {(2, 1), (2, 2)}, {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}, {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}, {(1, 1), (2, 1), (2, 2)}, {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}, {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Vid´ıme, ˇze m´ ame 1 pr´ azdnou relaci, 4 1-prvkové, 6 2-prvkov´ ych, 4 3-prvkové a 1 4-prvkovou, tzv. u ´plnou relaci. 3) Podobnˇe spoˇc´ıt´ ame, kolik je relac´ı na 3-prvkové mnoˇzinˇe B = {1, 2, 3}. Kartézsk´ y souˇcin B × B má zˇrejmˇe 9 prvk˚ u a kaˇzdá podmnoˇzina této 9-prvkové mnoˇziny je relac´ı na B. Postupnˇe tedy dostáváme, ˇze na B je: 1 pr´ azdn´ a relace, 9 1-prvkov´ ych, 9 2-prvkov´ ych, 2 9 3-prvkov´ ych, 3 9 ych, 4 4-prvkov´ 9 9 = 5-prvkov´ ych, 5 4 9 9 ych, 6 = 3 6-prvkov´ 9 9 = 7-prvkov´ ych, 7 2 9 = 9 8-prvkov´ y ch, 8 9 a (´ upln´ a). 9 = 1 9-prvkov´ Pro kaˇzdé k je k-prvkov´ ych relac´ı tolik, kolik je k-prvkov´ ych podmnoˇzin 9prvkové mnoˇziny. Tento poˇcet je vyjádˇren´ y pˇr´ısluˇsn´ ym kombinaˇcn´ım ˇc´ıslem. Vˇsimneme si také, ˇze k-prvkov´ ych relac´ı je vˇzdy tolik jako (9−k)-prvkov´ ych a relace se tedy pˇrirozen´ ym zp˚ usobem páruj´ı. Nyn´ı bychom mohli vˇsechna tato kombinaˇcn´ı ˇc´ısla seˇc´ıst. Jednoduˇsˇs´ı je ale pouˇz´ıt pouˇcku z kombinatoriky, podle které je podmnoˇzin n-prvkové mnoˇziny 2n , v naˇsem pˇr´ıpadˇe 29 . Kaˇzdou podmnoˇzinu B ×B lze totiˇz zak´ odovat posloupnost´ı z nul a jedniˇcek délky 9: Pro kaˇzd´ y prvek (a, b) ∈ B × B, pokud (a, b) ∈ R, poloˇzme na pˇr´ısluˇsném m´ıstˇe v posloupnosti jedniˇcku a pokud (a, b) ∈ / R, pak poloˇzme nulu. Tˇechto posloupnost´ı je zˇrejmˇe 29 . 4) Nyn´ı snadn´ ym zobecnˇen´ım z´ıskáme, ˇze pro n-prvkovou mnoˇzinu C = {1, 2, . . . , n} 2 m´ a Kartézsk´ y souˇcin C × C celkem n2 prvk˚ u. Na mnoˇzinˇe C je tedy (nk ) k2 prvkov´ ych relac´ı (pro libovolné k = 1, . . . , n2 ) a 2n vˇsech relac´ı.

ˇ Í 1.3. CVICEN

7

5) Uvaˇzujme relaci R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} na B = {1, 2, 3}. Pˇr´ımo z definice snadno odvod´ıme, ˇze inverzn´ı relace je R−1 = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}. Samozˇrejmˇe relace R a R−1 maj´ı vˇzdy stejn´ y poˇcet prvk˚ u. 6) Inverzn´ı relace k relac´ım <, >, ≤, ≥, = (na Z, R apod.) jsou postupnˇe relace >, <, ≥, ≤, =. 7) Mˇejme mnoˇziny K = {1, 2, 3}, L = {a, b, c}, M = {α, β, γ} a relace R ⊆ K × L, S ⊆ L × M zadané R = {(1, a), (1, b), (2, c)}, S = {(a, α), (a, β), (c, β), (c, γ)}. ˇ aˇr si pro Sloˇzen´ a relace R ◦ S je relace R ◦ S = {(1, α), (1, β), (2, β), (2, γ)}. Cten´ ovˇeˇren´ı jistˇe relace nakresl´ı pomoc´ı ˇsipek. 8) Sloˇzen´ım relace < a ≤ na Z je relace <, sloˇzen´ım relac´ı < a > na Z je u ´plná relace. To si ˇcten´ aˇr snadno rozmysl´ı.

1.3

Cviˇ cen´ı

1) Najdˇete mezi relacemi z pˇr´ıkladu 2 relace ≤, ≥, <, >, =. 2) Najdˇete stejné relace mezi relacemi z pˇr´ıkladu 3. 3) Sestrojte relace R−1 , S −1 , (R ◦ S)−1 z pˇr´ıkladu 7, proved’te sloˇzen´ı S −1 ◦ R−1 a porovnejte relace (R ◦ S)−1 a S −1 ◦ R−1 . 4) Jak´ a relace je sloˇzen´ım relac´ı > a = na Z? 5) Jak´ a relace je sloˇzen´ım relac´ı < a < na Z a jaká relace je sloˇzen´ım stejn´ ych relac´ı na R?

8

´ Í RELACE KAPITOLA 1. BINARN

Kapitola 2

Zobrazen´ı 2.1


Definice 4 Relaci f ⊆ A × B nazýv´ ame zobrazen´ım A do B, pokud pro kaˇzdý prvek a ∈ A existuje pr´ avˇe jeden prvek b ∈ B takový, ˇze (a, b) ∈ f . M´ısto z´ apisu f ⊆ A × B pak p´ıˇseme f : A → B a m´ısto z´ apisu (a, b) ∈ f p´ıˇseme f (a) = b. Prvek b nazýv´ ame obraz prvku a a prvek a nazýv´ ame vzor prvku b. Pokud bychom kreslili graf relace f , pak uvedená podm´ınka znamená, ˇze nad kaˇzd´ ym prvkem a ∈ A na vodorovné ose je právˇe jeden prvek relace f . Pokud bychom relaci f kreslili pomoc´ı ˇsipek, pak podm´ınka znamená, ˇze z kaˇzdého prvku a ∈ A vede pr´ avˇe jedna ˇsipka. Pˇri zobrazen´ı tedy má kaˇzd´ y prvek a ∈ A pr´ avˇe jeden obraz. Vˇ eta 5 Necht’ f : A → B a g: B → C jsou zobrazen´ı. Sloˇzen´ a relace f ◦g ⊆ A×C je zobrazen´ım A do C. Je tedy korektn´ı ps´ at f ◦ g: A → C a nazývat f ◦ g sloˇzené zobrazen´ı nebo souˇcin zobrazen´ı a m´ısto f ◦ g lze ps´ at kr´ atce f g. Obraz (f ◦ g)(a) prvku a ∈ A pˇri sloˇzeném zobrazen´ı f ◦ g je (f ◦ g)(a) = g(f (a)). Pˇri sloˇzeném zobrazen´ı tedy na prvek a aplikujeme nejprve zobrazen´ı f a na obraz f (a) pak aplikujeme zobrazen´ı g. Pokud pro obraz prvku a m´ısto f (a) pouˇzijeme oznaˇcen´ı (a)f nebo dokonce af a m´ısto f ◦ g budeme psát krátce f g, bude m´ıt formule pro obraz prvku a ve vˇetˇe intuitivnˇejˇs´ı tvar a(f g) = (af )g, kter´ y je pouze vyj´ adˇren´ım libov˚ ule v závorkován´ı. Formálnˇe intuitivnˇejˇs´ı matematiku bychom tedy z´ıskali zmˇenou symbolu pro obraz prvku. Toto pozorován´ı velmi u ´zce souvis´ı s diskus´ı o konvenc´ıch v u ´vodu tohoto textu. Bystrému ˇctenáˇri ho nech´ ame k samostatnému promyˇslen´ı. Mˇejme toto na pamˇeti, aˇz bude a poˇrad´ı mnoˇziny a f permutace nebo a vektor a f matice. Definice 6 Zobrazen´ı f : A → B nazýv´ ame injektivn´ı, pokud neexistuj´ı r˚ uzné prvky a1 , a2 ∈ A takové, ˇze f (a1 ) = f (a2 ). Zobrazen´ı f : A → B nazýv´ ame surjektivn´ı, pokud pro kaˇzdé b ∈ B existuje a ∈ A takové, ˇze f (a) = b. Zobrazen´ı nazýv´ ame bijektivn´ı nebo bijekce, pokud je injektivn´ı i surjektivn´ı. Bijekci p: A → A nazýv´ ame permutace. Injektivita tedy znamen´ a, ˇze r˚ uzné prvky maj´ı r˚ uzné obrazy. Pokud bychom zobrazen´ı zn´ azornili pomoc´ı ˇsipek (jako relaci), pak do ˇzádného prvku b ∈ B 9

KAPITOLA 2. ZOBRAZENÍ

10

nesm´ı vést v´ıce neˇz jedna ˇsipka. Surjektivita znamená, ˇze kaˇzd´ y prvek b ∈ B má alespoˇ n jeden vzor. V ˇreˇci ˇsipek, do kaˇzdého prvku b ∈ B vede nejménˇe jedna ˇsipka. Pˇri bijekci tedy do kaˇzdého prvku b ∈ B vede právˇe jedna ˇsipka, a tedy kaˇzd´ y prvkek b ∈ B m´ a právˇe jeden vzor.

2.2

Pˇ r´ıklady

1) Na 2-prvkové mnoˇzinˇe A = {1, 2} jsou 4 zobrazen´ı: f1 : A → A, definované f1 (1) = 1, f1 (2) = 1, f2 : A → A, definované f2 (1) = 1, f2 (2) = 2, f3 : A → A, definované f3 (1) = 2, f3 (2) = 1, f4 : A → A, definované f4 (1) = 2, f4 (2) = 2. ˇ aˇr si je jistˇe nakresl´ı pomoc´ı ˇsipek. Z nich injektivn´ı, surjektivn´ı i bijekCten´ tivn´ı (tedy permutace) jsou f2 a f3 . Ostatn´ı nejsou ani injektivn´ı ani surjektivn´ı. Poznamenejme, ˇze mezi koneˇcn´ ymi mnoˇzinami se stejn´ ym poˇctem prvk˚ u je zobrazen´ı injektivn´ı, právˇe kdyˇz je surjektivn´ı. 2) Na 3-prvkové mnoˇzinˇe B = {1, 2, 3} je 27 zobrazen´ı, na která ˇctenáˇr jistˇe pˇrijde. Z nich permutac´ı je 6 (oznaˇc´ıme je symboly vhodn´ ymi pro pozdˇejˇs´ı pouˇzit´ı): e: B → B, definovan´ a e(1) = 1, e(2) = 2, e(3) = 3, a: B → B, definovan´ a a(1) = 2, a(2) = 1, a(3) = 3, b: B → B, definovan´ a b(1) = 1, b(2) = 3, b(3) = 2, c: B → B, definovan´ a c(1) = 3, c(2) = 2, c(3) = 1, k: B → B, definovan´ a k(1) = 2, k(2) = 3, k(3) = 1, l: B → B, definovan´ a l(1) = 3, l(2) = 1, l(3) = 2. Elegantn´ı z´ apis permutac´ı je ve tvaru dvou ˇrádk˚ u, v horn´ım jsou vzory a v doln´ım jsou pˇr´ısluˇsné obrazy. Pro uvedené permutace tedy tvary: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e= a= b= 1 2 3 2 1 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c= k= l= . 3 2 1 2 3 1 3 1 2 3) Je zˇrejmé, ˇze na 4-prvkové mnoˇzinˇe je 44 zobrazen´ı (protoˇze máme 4 ˇsipky a kaˇzd´ a m˚ uˇze vést ke 4 moˇzn´ ym prvk˚ um). Z nich permutac´ı je 4! = 24 (protoˇze pro permutaci m˚ uˇze prvn´ı ˇsipka vést ke 4 prvk˚ um, druhá uˇz jen ke 3 neobsazen´ ym, ˇ aˇr si jistˇe alespoˇ atd.). Cten´ n nˇekteré z tˇechto permutac´ı znázorn´ı nebo nap´ıˇse. 4) Permutac´ı na n-prvkové mnoˇzinˇe je n!. 5) Jak jsme jiˇz zjistili, chceme-li pˇr´ıklad zobrazen´ı, které je injektivn´ı a nen´ı surjektivn´ı (nebo naopak), mus´ıme uvaˇzovat mnoˇziny s r˚ uzn´ ym poˇctem prvk˚ u (nebo nekoneˇcné mnoˇziny). Mˇejme tedy napˇr. A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}. Zobrazen´ı f1 : A → B definované f (1) = 1, f (2) = 3 je injektivn´ı, ale nen´ı surjektivn´ı (prvek 2 ∈ B nemá vzor). Zobrazen´ı f2 : A → B definované f (1) = 3, f (2) = 3 nen´ı injektivn´ı ani surjektivn´ı (prvek 3 ∈ B má 2 vzory a prvek 2 ∈ B nemá vzor). Zobrazen´ı g1 : B → A definované g(1) = 2, g(2) = 1, g(3) = 2

ˇ ÍKLADY 2.2. PR

11

nen´ı injektivn´ı, ale je surjektivn´ı (prvek 2 ∈ A má 2 vzory). Zobrazen´ı g2 : B → A definované g(1) = 2, g(2) = 2, g(3) = 2 nen´ı injektivn´ı ani surjektivn´ı (prvek 2 ∈ A má 3 vzory a prvek 1 ∈ A nemá vzor). 6) Vr´ at´ıme se jeˇstˇe k permutac´ım. V pˇr´ıkladu 2 jsme zapsali permutace ve tvaru, v jakém se obvykle zapisuj´ı. Existuj´ı ale jeˇstˇe kratˇs´ı zp˚ usoby, napˇr. rozklad na disjunktn´ı cykly a rozklad na transpozice. Ukáˇzeme si druh´ y z nich. Transpozice prvk˚ u x, y ∈ M je permutace p mnoˇziny M , pro kterou p(x) = y, p(y) = x a p(z) = z pro vˇsechna z r˚ uzn´ a od x a y. Transpozice tedy vymˇen ˇuje prvky x a y. Takovou transpozici pak zapisujeme krátce (xy). Snadno nahlédneme, ˇze a, b, c z pˇr´ıkladu 2 jsou transpozice a m´ ame a = (12), b = (23), c = (13). Permutace e je identick´ a permutace, kaˇzd´ y prvek zobraz´ı sám na sebe a má mezi permutacemi zvl´ aˇstn´ı postaven´ı, jak uvid´ıme pozdˇeji. Permutace k a l lze zapsat jako souˇcin dvou transpozic, napˇr´ıklad k = (12) ◦ (13) a l = (13) ◦ (12). O správnosti se pˇresvˇedˇc´ıme jednoduˇse tak, ˇze na posloupnost x = (1, 2, 3) aplikujeme postupnˇe uvedené transpozice. Dostaneme k((1, 2, 3)) = ((12) ◦ (13))((1, 2, 3)) = (13)((12)((1, 2, 3))) = = (13)((2, 1, 3)) = (2, 3, 1), coˇz je druh´ y ˇr´ adek v permutaci k a podobnˇe l((1, 2, 3)) = ((13) ◦ (12))((1, 2, 3)) = (12)((13)((1, 2, 3))) = = (1, 2)((3, 2, 1)) = (3, 1, 2), coˇz je druh´ y ˇr´ adek v permutaci l. Zde jsme psali vlevo permutaci p a vpravo od n´ı do závorky posloupnost, na kterou jsme ji aplikovali, abychom z´ıskali obraz p(x). Pouˇzijeme-li pro obraz p(x) z´ apis xp, pak m˚ uˇzeme pˇri vynech´ an´ı koleˇcka pro skládán´ı permutac´ı stejnou vˇec zapsat pˇr´ımoˇcaˇreji (1, 2, 3)k = (1, 2, 3)(12)(13) = (2, 1, 3)(13) = (2, 3, 1) a (1, 2, 3)l = (1, 2, 3)(13)(12) = (3, 2, 1)(12) = (3, 1, 2). Pro permutace budeme tedy pouˇz´ıvat tento u ´spornˇejˇs´ı formalismus. 7) Nyn´ı se na delˇs´ı permutaci nauˇc´ıme tento rozklad naj´ıt. Vezmˇeme napˇr´ıklad permutaci p 8-prvkové mnoˇziny M = {1, 2, . . . , 8}, 1 2 3 4 5 6 7 8 p= . 2 3 5 1 8 7 6 4 Transpozice t1 , . . . , tk najdeme tak, ˇze na horn´ı posloupnost (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) postupnˇe aplikujeme takové transpozice, abychom z´ıskali posloupnosti, které se s doln´ı posloupnost´ı (2, 3, 5, 1, 8, 7, 6, 4) shoduj´ı postupnˇe od pˇredn´ıch m´ıst. Na 1. m´ıstˇe potˇrebujeme prvek 2 m´ısto prvku 1, tedy t1 = (12), plat´ı (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(12) = (2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8) a máme shodu na 1. m´ıstˇe. Na 2. m´ıstˇe potˇrebujeme prvek 3 m´ısto prvku 1, tedy t2 = (13), plat´ı (2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(13) = (2, 3, 1, 4, 5, 6, 7, 8) a máme shodu do 2. m´ısta. Na 3. m´ıstˇe potˇrebujeme prvek 5 m´ısto prvku 1, tedy t3 = (15), plat´ı (2, 3, 1, 4, 5, 6, 7, 8)(15) = (2, 3, 5, 4, 1, 6, 7, 8) a máme shodu do 3. m´ısta. Na 4. m´ıstˇe potˇrebujeme prvek 1 m´ısto prvku 4, tedy t4 = (14), plat´ı (2, 3, 5, 4, 1, 6, 7, 8)(14) = (2, 3, 5, 1, 4, 6, 7, 8) a máme shodu do 4. m´ısta. Na 5. m´ıstˇe potˇrebujeme prvek 8 m´ısto prvku 4, tedy t5 = (48), plat´ı (2, 3, 5, 1, 4, 6, 7, 8)(48) = (2, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 4) a máme shodu do 5. m´ısta. Na 6. m´ıstˇe potˇrebujeme prvek 7 m´ısto prvku 6, tedy t6 = (67),


12

plat´ı (2, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 4)(67) = (2, 3, 5, 1, 8, 7, 6, 4) a máme shodu vˇsude. Tedy p = t1 t2 t3 t4 t5 t6 = (12)(13)(15)(14)(48)(67). Ovˇeˇren´ı, ˇze (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)p = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(12)(13)(15)(14)(48)(67) = (2, 3, 5, 1, 8, 7, 6, 4) plyne z konstrukce. Je jisté, ˇze tento algoritmus najde rozklad v pro naˇsi permutaci po maximálnˇe 7 kroc´ıch (obecnˇe po maximálnˇe n − 1 kroc´ıch, kde n je poˇcet prvk˚ u mnoˇziny M ), protoˇze v kaˇzdém kroku najdeme posloupnost, která se s v´ ysledkem shoduje alespoˇ n o 1 m´ısto lépe neˇz v pˇredchoz´ım kroku. Na posledn´ı pozici pak z´ısk´ ame shodu automaticky. Bystrému ˇctenáˇri je také zˇrejmé, ˇze tento rozklad jistˇe nen´ı jedin´ y. Kdybychom napˇr´ıklad postupovali odzadu, z´ıskali bychom jin´ y rozklad. Sudost nebo lichost poˇctu transpozic je ale stejná pro vˇsechny rozklady dané permutace. Podle toho také dˇel´ıme permutace na sudé a liché. Kaˇzd´ ych je polovina. Naˇse permutace p je tedy sudá. 8) Uk´ aˇzeme si jeˇstˇe rozklad na transpozice pomoc´ı tzv. disjunktn´ıch cykl˚ u. Naˇsi permutaci m˚ uˇzeme zapsat 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 8 6 7 p = = ◦ = 2 3 5 1 8 7 6 4 2 3 5 1 8 4 7 6 1 2 3 5 8 4 6 7 = ◦ = (12)(13)(15)(18)(14)(67). 2 3 5 8 4 1 7 6 V prvn´ım kroku jsme mnoˇzinu rozdˇelili na dvˇe podmnoˇziny {1, 2, 3, 4, 5, 8} a {6, 7} tak, ˇze permutace operuje na kaˇzdé z tˇechto mnoˇzin zvláˇst’ (a jsou to nejmenˇs´ı podmnoˇziny s touto vlastnost´ı). Permutace se tak pˇrirozenˇe rozpadá na souˇcin dvou permutac´ı, kter´ ym ˇr´ıkáme disjunktn´ı cykly. V druhém kroku jsme prvn´ı z tˇechto permutac´ı zapsali ve vhodnˇejˇs´ım tvaru tak, aby v horn´ım ˇr´ adku za kaˇzd´ ym prvkem následoval jeho obraz (takov´ y zápis je u cykl˚ u vˇzdy moˇzn´ y). Je zˇrejmé, ˇze nezáleˇz´ı na poˇrad´ı sloupc˚ u v zápisu permutace, d˚ uleˇzité je pouze, které prvky jsou pod sebou, a to jsme zachovali. Ve tˇret´ım kroku se na tento tvar aplikoval postup z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu, d´ıky vhodnému tvaru to lze nyn´ı provést z hlavy.

2.3

Cviˇ cen´ı

1) Najdˇete pˇr´ıklad zobrazen´ı f : Z → Z, které: a) je surjektivn´ı a nen´ı injektivn´ı, b) je injektivn´ı a nen´ı surjektivn´ı. 2) Nakreslete nebo zapiˇste sloˇzená zobrazen´ı f1 ◦ f1 , f1 ◦ f2 , f1 ◦ f3 , f1 ◦ f4 , f2 ◦ f1 , f2 ◦ f2 , f2 ◦ f3 , f2 ◦ f4 , f3 ◦ f1 , f3 ◦ f2 , f3 ◦ f3 , f3 ◦ f4 , f4 ◦ f1 , f4 ◦ f2 , f4 ◦ f3 , f4 ◦ f4 k zobrazen´ım z pˇr´ıkladu 1. 3) Nakreslete nebo zapiˇste souˇciny e ◦ a, e ◦ b, e ◦ c, e ◦ k, e ◦ l, a ◦ a, a ◦ b, a ◦ c, a ◦ k, a ◦ l, . . . k permutac´ım z pˇr´ıkladu 2.

ˇ Í 2.3. CVICEN 4) Najdˇete rozklad permutac´ı 1 2 3 4 5 6 7 P = 5 8 2 1 4 7 6

13

8 3

,Q =

1 5

2 3

3 6

4 2

5 4

6 7

7 8

8 1

na transpozice. Postupujte pˇr´ımou metodou i pomoc´ı disjunktn´ıch cykl˚ u.

14


Kapitola 3

Algebraick´ e struktury 3.1


Definice 7 Je-li G nepr´ azdn´ a mnoˇzina, pak operac´ı na G rozum´ıme zobrazen´ı ◦: G×G → G. Mnoˇzinu G spolu s operac´ı ◦ nazýv´ ame grupoid. Pro obraz dvojice (a, b) ∈ G × G pouˇz´ıv´ ame m´ısto symbolu ◦((a, b)) symbol a ◦ b. Form´ alnˇe je tedy grupoidem dvojice (G, ◦), pokud je ale operace známá, m˚ uˇzeme mluvit o grupoidu G. Definice 8 Je-li (G, ◦) grupoid a plat´ı pro kaˇzdé x, y, z ∈ G rovnost x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z,

(3.1)

pak ˇr´ık´ ame, ˇze (G, ◦) je pologrupa. Vlastnost (3.1) nazýv´ ame asociativita. Definice 9 Necht’ (G, ◦) je pologrupa. Pokud v G existuje prvek n s vlastnost´ı n◦a=a=a◦n

(3.2)

pro vˇsechna a ∈ G, pak tento prvek n nazýv´ ame neutr´ aln´ı prvek pologrupy G. Definice 10 Necht’ (G, ◦) je pologrupa s neutr´ aln´ım prvkem n a necht’ a ∈ G. Pokud existuje prvek a∗ ∈ G s vlastnost´ı a ◦ a∗ = n = a∗ ◦ a,

(3.3)

pak tento prvek a∗ nazýv´ ame symetrický prvek k prvku a v pologrupˇe G. Definice 11 Necht’ (G, ◦) je pologrupa s neutr´ aln´ım prvkem n. Pokud pro kaˇzdý prvek a ∈ G existuje symetrický prvek a∗ ∈ G, pak ˇr´ık´ ame, ˇze (G, ◦) je grupa. Definice 12 Necht’ (G, ◦) je pologrupa, resp. grupa. Pokud pro kaˇzdé dva prvky x, y ∈ G plat´ı rovnost x ◦ y = y ◦ x,

(3.4)

pak ˇr´ık´ ame, ˇze (G, ◦) je komutativn´ı pologrupa, resp. komutativn´ı grupa. Vlastnost (3.4) nazýv´ ame komutativita. 15

´ STRUKTURY KAPITOLA 3. ALGEBRAICKE

16

3.2

Pˇ r´ıklady

1) Dobˇre zn´ ame ˇc´ıselné grupoidy, napˇr. (Z, +) je komutativn´ı grupa s neutráln´ım prvkem 0, (R, +) je komutativn´ı grupa s neutráln´ım prvkem 0, (C, +) je komutativn´ı grupa s neutráln´ım prvkem 0, (Z, −) je grupoid, kter´ y nen´ı pologrupou (ani nen´ı komutativn´ı), (Z, ·) je komutativn´ı pologrupa s neutráln´ım prvkem 1 a nen´ı grupou, (R, ·) je komutativn´ı pologrupa s neutráln´ım prvkem 1 a nen´ı grupou, (R \ 0, ·) je komutativn´ı grupa s neutráln´ım prvkem 1, (C \ 0, ·) je komutativn´ı grupa s neutráln´ım prvkem 1. ˇ aˇr si jistˇe snadno rozmysl´ı i ostatn´ı pˇr´ıklady ˇc´ıseln´ Cten´ ych mnoˇzin a r˚ uzn´ ych operac´ı na nich. 2) Grupoid lze zadat napˇr´ıklad tabulkou. Je potˇreba pro kaˇzdou dvojici (a, b) pˇredepsat v´ ysledek (souˇcin) a ◦ b. Obvykle uvaˇzujeme prvek a ze sloupce vlevo a prvek b z ˇr´ adku nahoˇre. Na pˇr´ısluˇsném pr˚ useˇc´ıku je pak v´ ysledek a◦b, napˇr´ıklad ◦ x y z

x y z x y y . y z z z x y

Tento grupoid nen´ı pologrupou, protoˇze máme napˇr´ıklad x ◦ (y ◦ z) = 6 (x ◦ y) ◦ z, x◦z = 6 y ◦ z, y = 6 z, a neplat´ı tedy asociativita. 3) Uvaˇzujme mnoˇzinu M = {f1 , f2 , f3 , f4 } vˇsech zobrazen´ı 2-prvkové mnoˇziny A = {1, 2} do sebe (viz pˇr´ıklad 1 v kapitole 2 a cviˇcen´ı 2 tamtéˇz). Na mnoˇzinˇe M uvaˇzujme operaci skládán´ı zobrazen´ı. Jistˇe sloˇzen´ı dvou zobrazen´ı A → A je opˇet zobrazen´ı A → A, a tedy M s touto operac´ı je grupoid. Pokud toto skl´ ad´ an´ı provedeme (napˇr´ıklad kdyˇz si pˇr´ısluˇsná zobrazen´ı nakresl´ıme pomoc´ı ˇsipek), zjist´ıme, ˇze f1 ◦ f1 = f1 , f1 ◦ f2 = f1 , f1 ◦ f3 = f4 , f1 ◦ f4 = f4 , f2 ◦ f1 = f1 , f2 ◦ f2 = f2 , f2 ◦ f3 = f3 , f2 ◦ f4 = f4 , f3 ◦ f1 = f1 , f3 ◦ f2 = f3 , f3 ◦ f3 = f2 , f3 ◦ f4 = f4 , f4 ◦ f1 = f1 , f4 ◦ f2 = f4 , f4 ◦ f3 = f1 , f4 ◦ f4 = f4 . Zap´ıˇseme-li tyto v´ ysledky do tabulky, dostaneme ◦ f1 f2 f3 f4

f1 f1 f1 f1 f1

f2 f1 f2 f3 f4

f3 f4 f3 f2 f1

f4 f4 f4 . f4 f4

Protoˇze v´ıme, ˇze skl´ ad´ an´ı zobrazen´ı je asociativn´ı, tento grupoid je pologrupou. Z tabulky je také vidˇet, ˇze f2 (identické zobrazen´ı) je neutráln´ı prvek. Tato

ˇ Í 3.3. CVICEN

17

pologrupa nen´ı komutativn´ı, protoˇze tabulka nen´ı symetrická. Také nen´ı grupou, protoˇze k prvk˚ um f1 a f4 neexistuj´ı symetrické prvky. 4) Uvaˇzujme mnoˇzinu komplexn´ıch ˇc´ısel s normou jedna, tedy U (1) = {z ∈ C; kzk = 1}. Je zˇrejmé, ˇze topologicky je U (1) kruˇznice v komplexn´ı rovinˇe. Jistˇe souˇcin dvou komplexn´ıch ˇc´ısel s normou jedna má opˇet normu jedna, U (1) je tedy grupoid. Asociativitu a komutativitu tento grupoid dˇed´ı z komplexn´ıch ˇc´ısel, jednotkov´ y prvek také, je to tedy komutativn´ı pologrupa s jednotkov´ ym prvkem. Kaˇzdé ˇc´ıslo z ∈ U (1) je moˇzné zapsat ve tvaru z = cos(ϕ) + i sin(ϕ), a popsat ho tedy jeho u ´hlem ϕ. Odtud pro souˇcin snadno z´ıskáme formuli z1 · z2

= (cos(ϕ1 ) + i sin(ϕ1 )) · (cos(ϕ2 ) + i sin(ϕ2 )) = = (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).

Zaj´ımavé a velmi d˚ uleˇzité je pozorován´ı, ˇze násoben´ı v této pologrupˇe je vlastnˇe sˇc´ıt´ an´ım u ´hl˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych k ˇc´ısl˚ um z1 a z2 . Odtud je snadno vidˇet, ˇze symetrick´ y ˇ ıkáme j´ı prvek k ˇc´ıslu s u ´hlem ϕ je ˇc´ıslo s u ´hlem −ϕ. Vid´ıme, ˇze U (1) je grupa. R´ unit´ arn´ı grupa prvn´ıho ˇr´ adu. Je to grupa transformac´ı C → C zachovávaj´ıc´ıch hermitovsk´ y souˇcin g(z1 , z2 ) = z1 · z2 . Zobecnˇen´ım této myˇslenky lze sestrojit i dalˇs´ı grupy U (n).

3.3

Cviˇ cen´ı

1) Uvaˇzujme mnoˇzinu S3 = {e, a, b, c, k, l} permutac´ı 3-prvkové mnoˇziny, jako v pˇr´ıkladu 2 v kapitole 2 a ve cviˇcen´ı 3 tamtéˇz. Uvaˇzujme operaci skládán´ı. Protoˇze sloˇzen´ı permutac´ı je jistˇe permutace, je (S3 , ◦) grupoid. Protoˇze skládán´ı permutac´ı je asociativn´ı, je (S3 , ◦) pologrupa. Napiˇste tabulku této pologrupy. Je tato pologrupa komutativn´ı? A je tato pologrupa grupa? (Obˇe otázky lze zodpovedˇet i bez tabulky.) 2) Uvaˇzujme mnoˇzinu {R0 , . . . R15 } relac´ı na 2-prvkové mnoˇzinˇe, jako v pˇr´ıkladu 2 v kapitole 1. Jakou strukturou je tato mnoˇzina s operac´ı skládán´ı? 3) Najdˇete grupoid, kter´ y bude komutativn´ı a nebude pologrupou. (Sestrojte ho tabulkou podobnˇe jako v pˇr´ıkladu 2.) 4) Rozhodnˇete, jakou algebraickou strukturou je dvojice (R, ⊗), kde operace ⊗ je definovan´ a pˇredpisem: a) a ⊗ b = a + b − 2 pro a, b ∈ R, b) a ⊗ b = ab + a + b pro a, b ∈ R, c) a ⊗ b = a + b + 2 pro a, b ∈ R, d) a ⊗ b = ab + b pro a, b ∈ R, e) a ⊗ b = a + b − 3 pro a, b ∈ R, f) a ⊗ b = ab + a − b pro a, b ∈ R, g) a ⊗ b = ab − a pro a, b ∈ R, h) a ⊗ b = a + b − 4 pro a, b ∈ R. 5) Poloˇzme G = {x ∈ R, x > 1}. Rozhodnˇete, jakou algebraickou strukturou je dvojice (G, ?), kde operace ? je definovaná pˇredpisem: a ? b = ab − a − b + 2 pro a, b ∈ G.

18

´ STRUKTURY KAPITOLA 3. ALGEBRAICKE

Kapitola 4

Matice 4.1


Nebudeme v tomto textu definovat tˇeleso. Spokoj´ıme se s konstatován´ım, ˇze mnoˇzina re´ aln´ ych ˇc´ısel R a mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel C jsou tˇelesa a známe (napˇr. ze stˇredn´ı ˇskoly) pravidla pro sˇc´ıtán´ı a násoben´ı v tˇechto tˇelesech. Z tˇechto dvou budeme pouˇz´ıvat pouze tˇeleso reáln´ ych ˇc´ısel, ale pro tˇeleso komplexn´ıch ˇc´ısel lze provést analogické u ´vahy. Definice 13 Necht’ m, n jsou cel´ a kladn´ a ˇc´ısla a pro kaˇzdé i = 1, . . . , m a pro kaˇzdé j = 1, . . . , n je aij ∈ R. Schéma 

a11  a21 A=  ... am1

 . . . a1n . . . a2n   ... ...  . . . amn

a12 a22 ... am2

nazýv´ ame matic´ı typu m × n nad R. Jedn´ a se tedy o matici o m ˇr´ adc´ıch a n sloupc´ıch. Mnoˇzinu vˇsech matic typu m×n nad R znaˇc´ıme Mm×n (R). Zkr´ acenˇe zapisujeme A = (aij ) ∈ Mm×n (R). Definice 14 Necht’ A = (aij ) ∈ Mm×n (R) a B = (bjk ) ∈ Mn×p (R). Souˇcin matic A a B je matice C = (cik ) ∈ Mm×p (R), pro jej´ıˇz prvky cik plat´ı cik =

n X

aij bjk

j=1

pro kaˇzdé i = 1, .., m a kaˇzdé k = 1, .., p. Zapisujeme C = A · B. Vˇsimneme si hlavnˇe typu obou matic. Aby bylo moˇzné matice A a B násobit, mus´ı m´ıt matice A tolik sloupc˚ u jako má matice B ˇrádk˚ u. Souˇcin C = A · B má pak tolik ˇr´ adk˚ u jako matice A a tolik sloupc˚ u jako matice B. Na i-tém ˇrádku a k-tém sloupci v´ ysledku je prvek cik , kter´ y se spoˇc´ıtá z i-tého ˇrádku matice A a k-tého sloupce matice B tak, ˇze se provede standardn´ı skalárn´ı souˇcin tˇechto vektor˚ u. 19

20

4.2

KAPITOLA 4. MATICE

Pˇ r´ıklady

1) Spoˇc´ıtejme souˇciny A · B a B · A pro matice  7 1 3 5 A= , B =  −2 2 4 6 5

 8 −3  . 6

Nejprve vid´ıme, ˇze A · B bude typu 2 × 2 a B · A bude typu 3 × 3. V´ ypoˇctem podle definice dostaneme 1 · 7 + 3 · (−2) + 5 · 5, 1 · 8 + 3 · (−3) + 5 · 6 26 29 A·B = = ,  2 · 7 + 4 · (−2) + 6 · 5, 2 · 8 + 4 · (−3) + 6 · 6  36 40  7 · 1 + 8 · 2, 7 · 3 + 8 · 4, 7·5+8·6 23 53 83 B · A =  −2 · 1 − 3 · 2, −2 · 3 − 3 · 4, −2 · 5 − 3 · 6  =  −8 −18 −28  . 5 · 1 + 6 · 2, 5 · 3 + 6 · 4, 5·5+6·6 17 39 61 2) Uvaˇzujme nyn´ı mnoˇzinu matic typu n × n, tedy ˇctvercov´ ych matic ˇrádu n (pro pevnˇe zvolené n). Tu oznaˇcujeme zkrácenˇe Mn (R). Je zˇrejmé, ˇze pro A, B ∈ Mn (R) je také A · B ∈ Mn (R). Násoben´ı matic je tedy operac´ı na Mn (R). Také v´ıme, ˇze násoben´ı matic je asociativn´ı a jednotková matice   1 0 ... 0  0 1 ... 0   En =   ... ... ... ...  0 0 ... 1 je jednotkov´ y prvek. Dvojice (Mn (R), ·) je tedy pologrupa s jednotkou. Tato poˇ logrupa nen´ı komutativn´ı a nen´ı grupou. Ctvercov´ e matice dˇel´ıme na regulárn´ı a singul´ arn´ı, napˇr´ıklad podle jejich determinantu. Singulárn´ı matice maj´ı determinant roven nule a neexistuje k nim inverzn´ı matice (symetrick´ y prvek vzhledem k n´ asoben´ı matic). Pokud se omez´ıme na podmnoˇzinu regulárn´ıch ˇctvercov´ ych f matic, kterou oznaˇc´ıme napˇr´ıklad Mn (R), pak tato mnoˇzina je vzhledem k n´ asoben´ı matic grupou (nekomutativn´ı). V´ yznam regulárn´ıch matic uvid´ıme v pˇr´ıˇst´ıch kapitol´ ach.

Kapitola 5

Soustavy rovnic 5.1


Uvaˇzujme matice A ∈ Mm×n (R), x ∈ Mn×1 (R), b ∈ Mm×1 (R). Matice x a b maj´ı pouze jeden sloupec, jsou to tedy sloupcové vektory. Pro jejich sloˇzky pouˇz´ıv´ ame jen prvn´ı (ˇr´ adkov´ y) index, druh´ y (sloupcov´ y) by byl vˇzdy roven jedné. Uvaˇzujme n´ asoben´ı A · x = b. Kdyˇz toto násoben´ı rozep´ıˇseme, dostaneme postupnˇe rovnice a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn

= b1 , = b2 , = bm .

(5.1)

Soustavu rovnic (5.1) s koeficienty (aij ) a pravou stranou b je tedy moˇzné vyj´ adˇrit maticovou rovnic´ı A · x = b a naopak, kaˇzdá maticová rovnost A · x = b pro zn´ amou matici A, zn´ am´ y vektor b a neznám´ y vektor x odpov´ıdá soustavˇe rovnic (5.1). Budeme tedy soustavy rovnic psát v´ yhradnˇe ve tvaru maticového n´ asoben´ı. Matici A naz´ yv´ ame matic´ı soustavy a matici   a11 a12 . . . a1n b1  a21 a22 . . . a2n b2   (A|b) = (aij |bi ) =   ... ... ... ... ...  am1 am2 . . . amn bm naz´ yv´ ame rozˇs´ıˇren´ a matice soustavy. Pokud v matici nen´ı oddˇelovaˇc pravé strany, rozum´ı se, ˇze jde o matici soustavy, jej´ıˇz pravá strana b je nulová (nulov´ y vektor). Takov´ ym soustav´ am ˇr´ık´ ame homogenn´ı, ostatn´ım ˇr´ıkáme nehomogenn´ı. Je velmi v´ yhodné si zde povˇsimnout, ˇze sloˇzky x1 , . . . , xn ˇreˇsen´ı x jsou vlastnˇe koeficienty, kter´ ymi je potˇreba vyn´ asobit sloupce matice A, abychom po jejich seˇcten´ı dostali sloupec b pro nehomogenn´ı soustavu, resp. nulov´ y sloupec pro homogenn´ı soustavu. To je vidˇet napˇr. z rovnic (5.1), nap´ıˇseme-li je pomoc´ı sloupc˚ u ve tvaru         a11 a12 a1n b1  a21          x1 +  a22  x2 + . . . +  a2n  xn =  b2  . (5.2)  ...   ...   ...   ...  am1 am2 amn bm 21

22

KAPITOLA 5. SOUSTAVY ROVNIC

Toho budeme vyuˇz´ıvat pˇri hledán´ı ˇreˇsen´ı. Definice 15 Necht’ M ∈ Mm×n (R). Vedouc´ım prvkem v i-tém ˇr´ adku nazýv´ ame prvn´ı nenulové ˇc´ıslo zleva v tomto ˇr´ adku. Matici M nazýv´ ame redukovan´ a, pokud je v kaˇzdém ˇr´ adku vedouc´ı prvek roven jedné a ve sloupc´ıch, ve kterých jsou vedouc´ı prvky nˇekterých ˇra ´dk˚ u, jsou na ostatn´ıch ˇr´ adc´ıch nuly. Uk´ aˇzeme si hned pˇr´ıklad.  0 1 2  0 0 0 1 0 2

0 1 0

  2 1 0 , 0 8 0

0 1 0

2 2 0

0 0 1

 8 2 . 0

Prvn´ı matice m´ a na prvn´ım ˇrádku vedouc´ı ˇclen ve druhém sloupci, je to jedniˇcka a pod n´ı jsou nuly. Na druhém ˇrádku je vedouc´ı ˇclen ve ˇctvrtém sloupci, je to jedniˇcka a nad i pod n´ı je nula. Na tˇret´ım ˇrádku je vedouc´ı ˇclen v prvn´ım sloupci, je to jedniˇcka a nad n´ı jsou nuly. Matice je tedy redukovaná. Na ostatn´ıch prvc´ıch nez´ aleˇz´ı. Druh´ a matice je také redukovaná, od prvn´ı matice se liˇs´ı jen v´ ymˇenou ˇr´ adk˚ u. Zpravidla uvaˇzujeme redukované matice s ˇrádky takto uspoˇrádan´ ymi. U redukovaného tvaru nez´ aleˇz´ı na tom, zda jde o matici soustavy nebo o rozˇs´ıˇrenou matici soustavy. Je-li zde oddˇelovaˇc pravé strany, nevˇs´ımáme si ho. Definice 16 Element´ arn´ı ˇr´ adkovou u ´pravou matice se rozum´ı: 1) výmˇena ˇr´ adk˚ u v matici; 2) vyn´ asoben´ı ˇr´ adku nenulovým re´ alným ˇc´ıslem; 3) pˇriˇcten´ı ˇr´ adku k jinému ˇr´ adku. Vˇ eta 17 Soustavy rovnic, jejichˇz matice se liˇs´ı o nˇekterou element´ arn´ı ˇr´ adkovou u ´pravu, maj´ı stejn´ a ˇreˇsen´ı. Kaˇzdou matici lze pomoc´ı koneˇcného poˇctu element´ arn´ıch ˇr´ adkových u ´prav pˇrevést na redukovanou matici. Tato vˇeta n´ am d´ av´ a pˇr´ım´ y návod, jak ˇreˇsit soustavy rovnic. Nejprve je potˇreba matici soustavy (resp. rozˇs´ıˇrenou matici soustavy) upravit na redukovan´ y tvar a pak nalézt vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy s touto redukovanou matic´ı. Na pˇr´ıkladech si uk´ aˇzeme napˇred hled´ an´ı ˇreˇsen´ı u soustav s redukovanou matic´ı a pak si ukáˇzeme, jak na tento tvar libovolnou matici pˇrevést.

5.2

Pˇ r´ıklady

1) Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy A · x = o, jej´ıˇz matice je jednotkov´ a tˇret´ıho stupnˇe, tedy   1 0 0 A =  0 1 0 . 0 0 1 Symbolem o na pravé stranˇe oznaˇcujeme nulov´ y vektor (nulov´ y sloupec). Jedná se o homogenn´ı soustavu, hledáme tedy koeficieny, kter´ ymi mus´ıme vynásobit sloupce matice A, abychom po jejich seˇcten´ı dostali nulov´ y sloupec. Je zˇrejmé, ˇze jediné takové koeficienty jsou samé nuly. Jedin´ ym ˇreˇsen´ım je tedy x = (0, 0, 0)T . Nad vektor x p´ıˇseme T , protoˇze ho máme zapsan´ y v ˇrádku, ale pro ˇreˇsen´ı maticové rovnosti A · x = o je potˇreba sloupcov´ y vektor. Symbol T oznaˇcuje tzv.

ˇ ÍKLADY 5.2. PR

23

transponovanou matici, kter´ a m´ a vymˇenˇené ˇrádky za sloupce a naopak, tedy pˇresnˇe to, co zde form´ alnˇe potˇrebujeme, abychom nemuseli psát x jako sloupec. Také poznamenejme, ˇze nulov´ y vektor je ˇreˇsen´ım kaˇzdé homogenn´ı soustavy rovnic. Ot´ azkou vˇzdy je, zda jich je v´ıce. V tomto pˇr´ıpadˇe tedy ne. 2) Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav A · x = o, pro redukované matice      1 0 0 1 1 1 0 0 1 A =  0 1 0 0 ,B =  0 0 1 0 ,C =  0 0 0 1 1 0 0 0 1 0

B · x = o, C · x = o 0 1 0

2 2 0

 0 0 . 1

Nejprve vˇzdy najdeme alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı u r˚ uzné od nulového vektoru. Matice A nem´ a vedouc´ı ˇcleny ve ˇctvrtém sloupci. Zvol´ıme na ˇctvrtou sloˇzku vektoru u ˇc´ıslo −1 a na ostatn´ı sloˇzky postupnˇe ˇc´ısla ze ˇctvrtého sloupce matice A, tedy u = (1, 0, 1, −1)T . Vyn´ asoben´ım se snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze A·u = o, tento vektor je tedy ˇreˇsen´ım soustavy. Skuteˇcnˇe, pokud seˇcteme prvn´ı a tˇret´ı sloupec matice A a odeˇcteme ˇctvrt´ y, dostaneme nulov´ y sloupec tak, jak je potˇreba. Vˇsimneme si také, ˇze libovoln´ y n´ asobek vektoru u je také ˇreˇsen´ım dané soustavy, speciálnˇe i nulov´ y n´ asobek (nulov´ y vektor). Vˇsechna ˇreˇsen´ı zde jsou tvaru x = k · u, kde k ∈ R je libovoln´ y parametr. Matice B nem´ a vedouc´ı ˇcleny v druhém sloupci. Zvol´ıme tedy na druhou sloˇzku vektoru u ˇc´ıslo -1 a na ostatn´ı sloˇzky ˇc´ısla ze druhého sloupce matice A, tedy u = (1, −1, 0, 0)T . Vyn´ asoben´ım se opˇet snadno pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze A · u = o. Toto ˇreˇsen´ı odpov´ıd´ a odeˇcten´ı druhého sloupce matice A od prvn´ıho. Vˇsechna ˇreˇsen´ı zde jsou opˇet tvaru x = k · u, kde k ∈ R. Matice C nem´ a vedouc´ı ˇcleny ve tˇret´ım sloupci. Zvol´ıme tedy na tˇret´ı sloˇzku vektoru u ˇc´ıslo -1 a na ostatn´ı sloˇzky ˇc´ısla ze tˇret´ıho sloupce matice A, tedy u = (2, 2, −1, 0)T . Toto ˇreˇsen´ı odpov´ıdá kombinaci dvakrát prvn´ı sloupec plus dvakr´ at druh´ y sloupec m´ınus tˇret´ı sloupec, která dává nulov´ y sloupec. Vˇsechna ˇreˇsen´ı jsou opˇet tvaru x = k · u, kde k ∈ R. Jak vid´ıme, ˇreˇsen´ı redukované matice se daj´ı snadno napsat z hlavy. Plat´ı, ˇze homogenn´ı soustava m´ a tolik nez´ avisl´ ych ˇreˇsen´ı, kolik je sloupc˚ u v nichˇz nejsou vedouc´ı ˇcleny v redukované matici. V naˇsem pˇr´ıpadˇe to byl vˇzdy jeden sloupec (ke kterému jsme pokl´ adali koeficient -1) a proto staˇcilo naj´ıt jedno ˇreˇsen´ı u. 3) Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ıch soustav A · x = o, B · x = o pro redukované matice   1 2 0 0 −2 0 1 2 0 0 3 0 A =  0 0 1 1 1 0 ,B = . 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 Matice A nem´ a vedouc´ı ˇcleny ve sloupc´ıch 2, 4, 5. Kaˇzdému z tˇechto sloupc˚ u odpov´ıd´ a jedno ˇreˇsen´ı ui . Zvolme postupnˇe u1 u2 u3

= (·, −1, ·, 0, 0, ·)T , = (·, 0, ·, −1, 0, ·)T , = (·, 0, ·, 0, −1, ·)T

(5.3)

a m´ısto teˇcek doplˇ nme opˇet ˇc´ısla postupnˇe z druhého, ˇctvrtého a pátého sloupce matice A, tedy u1

=

( 2, −1, 0, 0, 0, 0)T ,

24

KAPITOLA 5. SOUSTAVY ROVNIC u2 u3

= ( 0, 0, 1, −1, 0, 0)T , = (−2, 0, 1, 0, −1, 0)T .

ˇ aˇr si jistˇe ovˇeˇr´ı n´ Cten´ asoben´ım, ˇze plat´ı A · u1 = o, A · u2 = o, A · u3 = o. D´ıky volbˇe ve formul´ıch (5.3) jsou tato ˇreˇsen´ı nezávislá. Kaˇzdé ˇreˇsen´ı x soustavy A · x = o je nyn´ı tvaru x = k1 · u1 + k2 · u2 + k3 · u3 =

3 X

ki · ui ,

i=1

kde ki ∈ R jsou libovolné parametry. Vedouc´ı ˇcleny matice B nejsou ve sloupc´ıch 2, 4, 5, 6. Budeme m´ıt tedy 4 nez´ avisl´ a ˇreˇsen´ı ui . Zvol´ıme postupnˇe u1 u2 u3 u4

= (·, −1, ·, 0, 0, 0)T , = (·, 0, ·, −1, 0, 0)T , = (·, 0, ·, 0, −1, 0)T , = (·, 0, ·, 0, 0, −1)T

(5.4)

a m´ısto teˇcek opˇet dopln´ıme ˇc´ısla postupnˇe z druhého, ˇctvrtého, pátého a ˇsestého sloupce matice B, tedy u1 u2 u3 u4

= (2, −1, 0, 0, 0, 0)T , = (0, 0, 2, −1, 0, 0)T , = (3, 0, 0, 0, −1, 0)T , = (0, 0, 1, 0, 0, −1)T .

ˇ aˇr si opˇet ovˇeˇr´ı n´ Cten´ asoben´ım, ˇze plat´ı B · u1 = o, B · u2 = o, B · u3 = o, B · u4 = o. Kaˇzdé ˇreˇsen´ı x soustavy B · x = o je nyn´ı tvaru x=

4 X

ki · ui ,

i=1

kde ki ∈ R jsou libovolné parametry. Pro homogenn´ı soustavu je obecné ˇreˇsen´ı x vˇzdy vyjádˇreno jako kombinace vektor˚ u ui . Mnoˇzinˇe {u1 , . . . , uk } tˇechto základn´ıch ˇreˇsen´ı ˇr´ıkáme fundamentáln´ı systém. Je zˇrejmé, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı x je uzavˇrená na sˇc´ıtán´ı (souˇcet dvou ˇreˇsen´ı je opˇet ˇreˇsen´ı) a na násoben´ı skalárem (libovoln´ y násobek nˇejakého ˇreˇsen´ı je opˇet ˇreˇsen´ı). To znamená, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı x homogenn´ı soustavy A · x = o tvoˇr´ı podprostor v aritmetickém vektorovém prostoru. To neplat´ı pro mnoˇzinu ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy. 4) Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı nehomogenn´ıch soustav A · x = b, B · x = c pro rozˇs´ıˇrené redukované matice   1 0 2 0 −2 0 1 1 1 0 −3 0 . (A|b) =  0 1 1 0 1 1  , (B|c) = 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 1 1 Nejprve si nebudeme vˇs´ımat pravé strany a najdeme fundamentáln´ı systém pˇriˇrazené homogenn´ı soustavy A · x = o stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıkladech. Matice A nem´ a vedouc´ı ˇcleny ve sloupc´ıch 3 a 5. Zvolme tedy postupnˇe

ˇ ÍKLADY 5.2. PR

25

u1 u2

= =

(·, ·, −1, ·, 0)T , (·, ·, 0, ·, −1)T

(5.5)

a m´ısto teˇcek doplˇ nme opˇet ˇc´ısla postupnˇe z tˇret´ıho a pátého sloupce matice A, tedy = ( 2, 1, −1, 0, 0)T , = (−2, 1, 0, 1, −1)T .

u1 u2

Opˇet ovˇeˇr´ıme n´ asoben´ım, ˇze plat´ı A · u1 = o, A · u2 = o. Nyn´ı najdeme jedno (to nejjednoduˇsˇs´ı) ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy A · x = b a oznaˇc´ıme ho v. Na tˇret´ım a p´ atém sloupci provedeme opˇet volbu, tentokrát v

=

(·, ·, 0, ·, 0)T ,

(5.6)

protoˇze budeme pracovat se sloupcem vpravo. M´ısto teˇcek dopln´ıme ˇc´ısla z pravé strany, tedy v

=

(0, 1, 0, 1, 0)T .

(5.7)

Ovˇeˇr´ıme, ˇze A · v = b. Skuteˇcnˇe, kombinace sloupc˚ u druh´ y plus ˇctvrt´ y dává sloupec b. Kaˇzdé ˇreˇsen´ı x nehomogenn´ı soustavy A · x = b je tvaru x=v+

2 X

ki · ui ,

i=1

kde ki ∈ R jsou libovolné parametry. To se snadno nahlédne pomoc´ı násoben´ı matic, které je distributivn´ı. Plat´ı totiˇz A · x = A · (v +

2 X

ki · ui ) = A · v + A ·

i=1

2 X

ki · ui = b + o = b.

i=1

K ˇreˇsen´ı v nehomogenn´ı soustavy tedy m˚ uˇzeme libovolnˇe pˇriˇc´ıtat jakákoliv ˇreˇsen´ı pˇriˇrazené homogenn´ı soustavy a stále budeme m´ıt ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy. Pro matici (B|c) postupujeme analogicky. Matice B nemá vedouc´ı ˇcleny ve sloupc´ıch 2, 3 a 5. Zvolme tedy postupnˇe = (·, −1, 0, ·, 0)T , = (·, 0, −1, ·, 0)T , = (·, 0, 0, ·, −1)T

u1 u2 u3

(5.8)

a m´ısto teˇcek doplˇ nme opˇet ˇc´ısla postupnˇe z druhého, tˇret´ıho a pátého sloupce matice B, tedy u1 u2 u3

= ( 1, −1, 0, 0, −1)T , = ( 1, 0, −1, 0, 0)T , = (−3, 0, 0, 2, −1)T .

Opˇet ovˇeˇr´ıme n´ asoben´ım, ˇze plat´ı B · u1 = o, B · u2 = o, B · u3 = o. Opˇet najdeme jedno ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy B · x = c a oznaˇc´ıme ho v. Na druhém, tˇret´ım a p´ atém sloupci provedeme opˇet volbu v

=

(·, 0, 0, ·, 0)T ,

(5.9)

26

KAPITOLA 5. SOUSTAVY ROVNIC

a m´ısto teˇcek dopln´ıme ˇc´ısla z pravé strany, tedy v

=

(0, 0, 0, 1, 0)T .

(5.10)

Ovˇeˇr´ıme, ˇze B · v = c. Skuteˇcnˇe ˇctvrt´ y sloupec matice B je stejn´ y jako sloupec c. Kaˇzdé ˇreˇsen´ı x nehomogenn´ı soustavy B · x = c je tvaru x=v+

3 X

ki · ui ,

i=1

kde ki ∈ R jsou libovolné parametry. 5) Um´ıme jiˇz vyˇreˇsit soustavy, které maj´ı redukovanou matici. Zb´ yvá se nauˇcit libovolnou matici pˇrevést na redukovan´ y tvar a t´ım budeme umˇet vyˇreˇsit libovolnou soustavu. Uvaˇzujme napˇr´ıklad rozˇs´ıˇrenou matici   1 −1 2 0 −2 0 1 −1 2 1 1  . (5.11) (A|b) =  2 −1 0 0 1 1 1 Jak jsme se jiˇz zm´ınili, nezáleˇz´ı nám na oddˇelovaˇci pravé strany, nebudeme si ho vˇs´ımat. M´ ame vedouc´ı ˇclen v prvn´ım ˇrádku jedniˇcku, v prvn´ım kroku tedy element´ arn´ımi ˇr´ adkov´ ymi u ´pravami z´ıskáme pod touto jedniˇckou nuly. Op´ıˇseme tedy prvn´ı ˇr´ adek, od druhého ˇrádku odeˇcteme 2-krát prvn´ı a ke tˇret´ımu ˇrádku pˇriˇcteme prvn´ı. Z´ısk´ ame matici   1 −1 2 0 −2 0  0 3 −5 2 5 1  . 0 −1 2 1 −1 1 Nyn´ı vyn´ asob´ıme tˇret´ı ˇrádek −1, abychom mˇeli vedouc´ı ˇclen jedniˇcku a tento nov´ y tˇret´ı ˇr´ adek 3-kr´ at odeˇcteme od druhého a 1-krát pˇriˇcteme k prvn´ımu. Z´ısk´ ame matici   1 0 0 −1 −1 −1  0 0 1 5 2 4 . 0 1 −2 −1 1 −1 Nyn´ı m´ ame vedouc´ı ˇclen ve druhém ˇrádku jedniˇcku, nad n´ı je nula, zb´ yvá tedy z´ıskat i pod n´ı nulu. Pˇriˇcteme tedy 2-krát druh´ y ˇrádek ke tˇret´ımu. Z´ıskáme matici   1 0 0 −1 −1 −1  0 0 1 5 2 4 . 0 1 0 9 5 7 Nakonec jen vhodnˇe pˇrerovnáme ˇrádky  1 0 0 −1  0 1 0 9 0 0 1 5

a z´ıskáme matici  −1 −1 5 7 . 2 4

(5.12)

Vid´ıme, ˇze v kaˇzdém kroku z´ıskáme v nˇekterém ˇrádku vedouc´ı ˇclen jedniˇcku a nad n´ı i pod n´ı nuly. Algoritmus tedy má maximálnˇe tolik krok˚ u, kolik je

ˇ ÍKLADY 5.2. PR

27

ˇr´ adk˚ u v matici. Samozˇrejmˇe je na n´ as, kter´ y ˇrádek si v daném kroku vybereme. Napˇr´ıklad v druhém kroku jsme si vybrali tˇret´ı ˇrádek, protoˇze kdybychom si vybrali druh´ y ˇr´ adek, museli bychom dˇelit trojkou a museli bychom pracovat se zlomky. Vˇsechny postupy ale vedou ke stejnému rekukovanému tvaru. Nyn´ı snadno vyˇreˇs´ıme soustavu s rozˇs´ıˇrenou matic´ı ve formuli (5.12). Z´ıskáme vektory u1 u2 v

= (−1, 9, 5, −1, 0)T , = (−1, 5, 2, 0, −1)T , = (−1, 7, 4, 0, 0)T

a obecné ˇreˇsen´ı m´ a tvar x=v+

2 X

ki · ui ,

ki ∈ R.

i=1

ˇ aˇr si ovˇeˇr´ı, ˇze vektory ui splˇ Cten´ nuj´ı rovnosti A · ui = o a vektor v splˇ nuje rovnost A · v = b pro A a b dané p˚ uvodn´ı matic´ı ve formuli (5.11). 6) Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy s rozˇs´ıˇrenou  0 0 1 2 1 (A|b) =  1 2 1 0 3 2 4 −1 0 3 V prvn´ım kroku si nech´ ame vedouc´ı ˇclen ve odeˇcteme 2-kr´ at druh´ y. Z´ısk´ ame tvar  0 0 1 2 1  1 2 1 0 3 0 0 −3 0 −3

matic´ı  4 3 . 0

(5.13)

druhém ˇrádku a od tˇret´ıho ˇrádku  4 3 . −6

Ve druhém kroku si nech´ ame vedouc´ı ˇclen v prvn´ım ˇrádku, od druhého ˇrádku odeˇcteme prvn´ı ˇr´ adek a ke tˇret´ımu ˇrádku pˇriˇcteme 3-krát prvn´ı ˇrádek. Z´ıskáme tvar   0 0 1 2 1 4  1 2 0 −2 2 −1  . 0 0 0 6 0 6 Ve tˇret´ım kroku vydˇel´ıme a tento nov´ y tˇret´ı ˇr´ adek prvn´ıho. Z´ısk´ ame tvar  0 0 1 0  1 2 0 0 0 0 0 1

tˇret´ı ˇr´ adek ˇsesti, abychom mˇeli vedouc´ı ˇclen jedniˇcku 2-kr´ at pˇriˇcteme ke druhému a 2-krát odeˇcteme od 1 2 0

  2 1 2 0 0 2 1 ∼ 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0

 1 2 . 1

(5.14)

V posledn´ım kroku jsme opˇet jen pˇrerovnali ˇrádky. Mezi ˇrádkovˇe ekvivalentn´ı matice p´ıˇseme vlnovky jako ve formuli (5.14).

28

KAPITOLA 5. SOUSTAVY ROVNIC Nyn´ı opˇet najdeme vektory u1 u2 v

(2, −1, 0, 0, 0)T , (2, 0, 1, 0, −1)T , (1, 0, 2, 1, 0)T

= = =

a obecné ˇreˇsen´ı m´ a tvar x=v+

2 X

ki · ui ,

ki ∈ R.

i=1

ˇ aˇr si opˇet ovˇeˇr´ı, ˇze vektory ui splˇ Cten´ nuj´ı rovnosti A · ui = o a vektor v splˇ nuje rovnost A · v = b pro A a b dané p˚ uvodn´ı matic´ı ve formuli (5.13). Pˇri ˇr´ adkov´ ych u ´prav´ ach matice provád´ıme vˇzdy nˇekolik ˇrádkov´ ych u ´prav najednou. Vˇeta ale zaruˇcuje zachován´ı mnoˇziny ˇreˇsen´ı vˇzdy jen pro jednu u ´pravu v daném kroku. Je tedy na m´ıstˇe jistá opatrnost, které u ´pravy lze pouˇz´ıt v jednom kroku najednou. Pokud v nˇekterém kroku nˇekter´ y ˇrádek pouze vynásob´ıme nenulov´ ym ˇc´ıslem a k ostatn´ım ˇrádk˚ um pˇriˇc´ıtáme násobky tohoto ˇrádku, je vˇse ˇ aˇr jistˇe vymysl´ı kombinaci u v poˇr´ adku. Cten´ ´prav, která by vedla ke zvˇetˇsen´ı mnoˇziny ˇreˇsen´ı. 7) Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı soustavy s rozˇs´ıˇrenou matic´ı   2 −1 0 −2 (A|b) =  1 0 1 −1  . 3 −1 1 2 Op´ıˇseme druh´ y ˇr´ adek, od prvn´ıho odeˇcteme 2-krát druh´ y a od tˇret´ıho odeˇcteme 3-kr´ at druh´ y. Dostaneme tvar   0 −1 −2 0  1 0 1 −1  . 0 −1 −2 5 Prvn´ı ˇr´ adek vyn´ asob´ıme −1, ke tvar  0  1 0

tˇret´ımu pˇriˇcteme tento nov´ y prvn´ı. Dostaneme 1 2 0 1 0 0

 0 −1  . 5

Posledn´ı ˇr´ adek vydˇel´ıme 5, tento nov´ y tˇret´ı pˇriˇcteme k druhému a ˇrádky pˇrerovnáme. Dostaneme tvar   1 0 1 0  0 1 2 0 . 0 0 0 1 Je zˇrejmé, ˇze ˇz´ adnou kombinac´ı sloupc˚ u matice v levé ˇcásti nelze z´ıskat sloupec v pravé ˇc´ asti. Tato nehomogenn´ı soustava tedy nemá ˇreˇsen´ı. Pokud bychom pro zd˚ uvodnˇen´ı pouˇzili Frobeniovu vˇetu, pak hodnost matice v levé ˇcásti je 2, zat´ımco hodnost rozˇs´ıˇrené matice (vˇcetnˇe pravé strany) je 3.

ˇ ÍKLADY 5.2. PR

29

8) Uvaˇzujme nyn´ı rozˇs´ıˇrenou matici tvaru napˇr´ıklad   1 0 −1 2 1 (A|b1 |b2 ) =  2 1 2 0 1  . 0 1 0 1 0 M˚ uˇzeme se na ni d´ıvat jako na dvˇe soustavy A · x = b1 a A · x = b2 , které maj´ı stejné matice a r˚ uzné pravé strany. Protoˇze ˇreˇsen´ı se hledá v obou pˇr´ıpadech pˇreveden´ım rozˇs´ıˇrené matice na redukovan´ y tvar, je moˇzné naj´ıt ˇreˇsen´ı obou soustav najednou. Matici tedy uprav´ıme     1 0 1 2 1 1 0 1 2 1 (A|b1 |b2 ) =  2 1 1 0 1  ∼  0 1 −1 −4 −1  ∼ 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0     2 1 1 0 1 1 0 0 −3 0 ∼  0 1 −1 −4 −1  ∼  0 1 0 1 0  . 0 0 1 0 0 1 5 1 5 1 Snadno najdeme jediné ˇreˇsen´ı x1 = (−3, 1, 5)T pro vektor b1 a jediné ˇreˇsen´ı ˇ aˇr si provede pˇr´ısluˇsná maticová násoben´ı x2 = (0, 0, 1)T pro vektor b2 . Cten´ A · xi = bi . Pˇri tom si jistˇe vˇsimne, ˇze pokud bychom napsali A · X = B, kde matice X bude m´ıt sloupce x1 , x2 a matice B bude m´ıt sloupce b1 , b2 , pak toto n´ asoben´ı bude m´ıt tvar       1 0 1 −3 0 2 1  2 1 1 · 1 0 = 0 1  0 1 0 5 1 1 0 a obˇe rovnosti A · xi = bi t´ım ovˇeˇr´ıme najednou. V diskusi o formuli (5.2) jsme si ˇr´ıkali, ˇze pˇri soustavˇe A · x = b jsou sloˇzky vektoru x koeficienty, kter´ ymi je potˇreba vyn´ asobit sloupce matice A, abychom po jejich následném seˇcten´ı z´ıskali sloupec b. Zde vid´ıme, ˇze v prvn´ım sloupci matice X máme koeficienty, kter´ ymi je potˇreba vyn´ asobit sloupce matice A, abychom po jejich následném seˇcten´ı z´ıskali sloupec b1 a v druhém sloupci matice X máme koeficienty, kter´ ymi je potˇreba vyn´ asobit sloupce matice A, abychom po jejich následném seˇcten´ı z´ıskali sloupec b2 . Tato myˇslenka bude uˇziteˇcná pozdˇeji. Nyn´ı se spokoj´ıme s t´ım, ˇze jsme se vlastnˇe nauˇcili hledat ˇreˇsen´ı maticov´ ych rovnost´ı A · X = B, kde A ∈ Mm×n (R) a B ∈ Mm×p (R) jsou zadané matice a X ∈ Mn×p (R) je nezn´ am´ a matice. Takov´ a rovnost samozˇrejmˇe nemus´ı m´ıt vˇzdy právˇe jedno ˇreˇsen´ı tak jako v tomto pˇr´ıkladu. 9) Najdˇeme inverzn´ı matici k matici  1 −1 A= 0 1 1 0

 1 1 . 1

Inverzn´ı matice A−1 splˇ nuje rovnost A · A−1 = E, je tedy ˇreˇsen´ım X rovnosti A · X = E. Po vzoru pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu tedy sestav´ıme a pˇrevedeme na redukovan´ y tvar rozˇs´ıˇrenou matici     1 −1 1 1 0 0 1 −1 1 1 0 0 (A|E) =  0 1 1 0 1 0  ∼  0 1 1 0 1 0  ∼ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 −1 0 1

30

KAPITOLA 5. SOUSTAVY ROVNIC 

1 0 ∼  0 1 0 0

2 1 −1

1 1 0 1 −1 −1

  0 1 0 0 0 ∼ 0 1 0 1 0 0 1

−1 −1 1

−1 0 1

 2 1 . −1

Hledan´ a matice X = A−1 je na pravé stranˇe, tedy   −1 −1 2 1 . A−1 =  −1 0 1 1 −1 ˇ aˇr si jistˇe ovˇeˇr´ı obˇe rovnosti A · A−1 = E i A−1 · A = E. Cten´ V minulé kapitole jsme si ˇr´ıkali, ˇze inverzn´ı matice existuje jen k takzvan´ ym regul´ arn´ım matic´ım. Pro regulárn´ı matici A v levé ˇcásti redukovaného tvaru matice (A|E) dostaneme jednotkovou matici a v pravé ˇcásti hledanou matici A−1 . Pokud bychom v levé ˇcásti nez´ıskali jednotkovou matici, pak je zadaná matice singul´ arn´ı a inverzn´ı matice neexistuje. Postup tedy slouˇz´ı zároveˇ n jako test, zda je matice regul´ arn´ı.

Kapitola 6

Vektorov´ e prostory 6.1


I vektorov´ y prostor budeme uvaˇzovat vˇzdy nad tˇelesem reáln´ ych ˇc´ısel R, pˇrestoˇze stejné u ´vahy lze provést i nad tˇelesem komplexn´ıch ˇc´ısel C nebo obecnˇe nad libovoln´ ym tˇelesem. Definice 18 Vektorový prostor V nad R je komutativn´ı grupa (V, +) spolu s levou vnˇejˇs´ı operac´ı ◦: R × V → V , kde plat´ı rovnosti ∀c ∈ R, ∀u, v ∈ V ∀c, d ∈ R, ∀u ∈ V ∀c, d ∈ R, ∀u ∈ V ∀u ∈ V

: : : :

c ◦ (u + v) = c ◦ u + c ◦ v, (c + d) ◦ u = c ◦ u + d ◦ v, (c · d) ◦ u = c ◦ (d ◦ v), 1 ◦ u = u.

(6.1)

ˇ ısl˚ C´ um z R ˇr´ık´ ame skal´ ary a levé vnˇejˇs´ı operaci ˇr´ık´ ame n´ asoben´ı skal´ arem. Neutr´ aln´ımu prvku grupy (V, +) ˇr´ık´ ame nulový vektor. Opˇet m˚ uˇzeme poznamenat, ˇze formálnˇe je vektorov´ ym prostorem V ˇctveˇrice (V, +, R, ◦) splˇ nuj´ıc´ı vlastnosti v´ yˇse, ale pokud jsou operace zˇrejmé, ˇcasto mluv´ıme o vektorovém prostoru V . Dobˇre zn´ am´ y pˇr´ıklad vektorového prostoru je aritmetick´ y vektorov´ y prostor dimenze n nad R. Je to mnoˇzina vˇsech n-tic reáln´ ych ˇc´ısel (pro pevnˇe zvolené n ∈ N). Prostor n-tic zapsan´ ych ve sloupci oznaˇcujeme Rn a lze jej ztotoˇznit s Mn×1 (R). Prostor n-tic zapsan´ ych v ˇrádku oznaˇcujeme (Rn )∗ a lze jej ztotoˇznit n n ∗ s M1×n (R). Oznaˇcen´ı R a (R ) je opˇet vˇec´ı konvence. My oznaˇcujeme symbolem Rn prostor sloupcov´ ych aritmetick´ ych vektor˚ u, ve shodˇe s dˇr´ıve diskutovanou konvenc´ı. Prostor ˇr´ adkov´ ych aritmetick´ ych vektor˚ u oznaˇcovan´ y (Rn )∗ n pak je takzvan´ ym du´ aln´ım prostorem k prostoru R . Duáln´ı prostor se obecnˇe znaˇc´ı hvˇezdiˇcnou a budeme se j´ım zab´ yvat pozdˇeji. ˇ adkové vektory obvykle Jeˇstˇe si na tomto m´ıstˇe zavedeme jednu konvenci. R´ p´ıˇseme x = (x1 , . . . , xn ) nebo kr´ atce x = (xi ). Sloupcové vektory p´ıˇseme  y1 y =  ... . yn 

31

32

´ PROSTORY KAPITOLA 6. VEKTOROVE

nebo kr´ atce y = (y j ). D˚ uleˇzité je, ˇze budeme psát sloupcové indexy (indexy u ˇr´ adkového vektoru, napˇr´ıklad u vektoru x) dol˚ u a ˇrádkové indexy (indexy u sloupcového vektoru, napˇr´ıklad u vektoru y) nahoru, tak jak jsme to právˇe provedli. Protoˇze pracujeme pˇreváˇznˇe se sloupcov´ ymi vektory, ˇcasto je potˇrebujeme z technick´ ych d˚ uvod˚ u zapsat do ˇrádku. M˚ uˇzeme k tomu pouˇz´ıt symbol pro transponov´ an´ı matice a zapsat y = (y 1 , . . . , y n )T , jak jsme to jiˇz dˇr´ıve pouˇz´ıvali. Jeˇstˇe poznamenejme, ˇze v právˇe zavedené konvenci budou napˇr´ıklad sloˇzky matice m´ıt jeden horn´ı (ˇrádkov´ y) a jeden doln´ı (sloupcov´ y) index. Tuto konvenci zvl´ aˇst’ ocen´ıme napˇr´ıklad pˇri zapisován´ı lineárn´ıch kombinac´ı a pˇri zápisu obecn´ ych souˇct˚ u. V prostoru Rn se sˇc´ıtá po sloˇzkách, toto sˇc´ıtán´ı je komutativn´ı a asociativn´ı, n-tice o = (0, . . . , 0)T je jistˇe neutráln´ı prvek a symetrick´ y prvek k prvku (x1 , . . . , xn )T je prvek (−x1 , . . . , −xn )T . Jistˇe tedy jde o komutativn´ı grupu. Skal´ arem se n´ asob´ı c ◦ (x1 , . . . , xn )T = (c · x1 , . . . , c · xn )T a podm´ınky (6.1) se snadno ovˇeˇr´ı. Tyto podm´ınky vlastnˇe jen formalizuj´ı pˇrirozené vlastnosti operac´ı ve vektorovém prostoru Rn . Poznamenejme, ˇze mezi skalár a vektor jsme nyn´ı psali symbol ◦ pro levou vnˇejˇs´ı operaci a mezi dva skaláry jsme psali symbol · pro n´ asoben´ı ˇc´ısel. Protoˇze z kontextu je vˇzdy zˇrejmé o kterou z operac´ı se jedná a tˇret´ı podm´ınka ve formul´ıch (6.1) nám umoˇzn ˇuje vynechávat závorky, ˇcasto obˇe tyto operace oznaˇcujeme symbolem · nebo tuto teˇcku u ´plnˇe vynecháváme. Stejn´ ym zp˚ usobem lze ovˇeˇrit, ˇze pro libovolnˇe zvolená celá kladná ˇc´ısla m, n je mnoˇzina Mm×n (R) matic typu m × n vektorov´ y prostor. Sˇc´ıtá se opˇet po ˇ aˇr si jistˇe nap´ıˇse pˇresné sloˇzk´ ach a skal´ arem se násob´ı také po sloˇzkách. Cten´ definice obou operac´ı a ovˇeˇr´ı si podm´ınky (6.1). Tento vektorov´ y prostor má dimenzi mn (dimenzi nadefinujeme za moment). Velmi d˚ uleˇzit´ a je skuteˇcnost, ˇze kaˇzd´ y vektorov´ y prostor koneˇcné dimenze n nad R lze ztotoˇznit s aritmetick´ ym prostorem Rn . Toto ztotoˇznˇen´ı se provád´ı volbou b´ aze. Budeme tedy smˇeˇrovat k tomuto pojmu. Definice 19 Jsou-li v1 , . . . vk vektory z vektorového prostoru V a c1 , . . . , ck skal´ ary z R, výrazu tvaru c1 v1 + c2 v2 + . . . + ck vk

(6.2)

ˇr´ık´ ame line´ arn´ı kombinace vektor˚ u vi s koeficienty ci . V´ yraz (6.2) samozˇrejmˇe urˇcuje nˇejak´ y vektor z V . ˇ Definice 20 R´ık´ ame, ˇze vektory v1 , . . . vk generuj´ı vektorový prostor V , pokud kaˇzdý vektor u ∈ V je moˇzné zapsat jako line´ arn´ı kombinaci vektor˚ u v1 , . . . vk . Vektorový prostor je koneˇcné dimenze, pokud existuje koneˇcn´ a mnoˇzina jeho gener´ ator˚ u. ˇ ık´ R´ ame, ˇze vektory v1 , . . . vk jsou line´ arnˇe nez´ avislé, pokud nulový vektor nen´ı moˇzné napsat jako line´ arn´ı kombinaci vektor˚ u v1 , . . . vk , v n´ıˇz je alespoˇ n jeden koeficient nenulový. Takové line´ arn´ı kombinaci ˇr´ık´ ame netrivi´ aln´ı line´ arn´ı kombinace. Definice 21 B´ az´ı vektorového prostoru V koneˇcné dimenze je libovoln´ a line´ arnˇe nez´ avisl´ a mnoˇzina jeho gener´ ator˚ u. Dimenze vektorového prostoru V koneˇcné dimenze je poˇcet prvk˚ u nˇekteré jeho b´ aze. Vektorov´ ymi prostory, které nejsou koneˇcné dimenze se zde zab´ yvat nebudeme. B´ az´ı vektorového prostoru koneˇcné dimenze je samozˇrejmˇe mnoho, ale vˇsechny maj´ı stejn´ y poˇcet prvk˚ u. Pojem dimenze je tedy dobˇre definovan´ y.

ˇ ÍKLADY 6.2. PR

6.2

33

Pˇ r´ıklady

1) V prostoru R4 jsou vektory v1 = (1, 2, 4, 2)T a v2 = (0, 1, 0, 1)T lineárnˇe nez´ avislé, protoˇze v kaˇzdé line´ arn´ı kombinaci c1 v1 + c2 v2 = o dostáváme na prvn´ı sloˇzce c1 · 1 + c2 · 0 = 0 a tedy mus´ı b´ yt c1 = 0 a pak napˇr. na druhé sloˇzce dost´ av´ ame 0 · 2 + c2 · 1 = 0 a tedy i c2 = 0. 2) Pro vektory v1 = (1, 0, 4, 2)T a v2 = (0, 1, 3, 1)T v prostoru R4 je lineárn´ı nez´ avislost vidˇet jeˇstˇe sn´ aze, protoˇze v lineárn´ı kombinaci c1 v1 + c2 v2 = o máme na prvn´ı sloˇzce c1 · 1 + c2 · 0 = 0 a na druhé sloˇzce c1 · 0 + c2 · 1 = 0 a tedy c1 = c2 = 0. 3) Vektory v1 = (1, 2, 4, 1)T , v2 = (0, 1, 3, 1)T a v3 = (1, 1, 1, 0)T v prostoru R4 jsou line´ arnˇe z´ avislé, protoˇze v1 − v2 − v3 = o. Existuje tedy netriviáln´ı lineárn´ı kombinace (kombinace s nenulov´ ymi koeficienty 1, −1, −1), která je rovna nulovému vektoru. Z´ aroveˇ n si vˇsimneme, ˇze v1 = v2 +v3 . Lineárn´ı závislost vektor˚ u lze charakterizovat také tak, ˇze nˇekter´ y z nich je lineárn´ı kombinac´ı ostatn´ıch. (V tomto pˇr´ıpadˇe libovoln´ y z nich je kombinac´ı ostatn´ıch, ale to obecnˇe neplat´ı. Bystr´ y student jistˇe najde pˇr´ıklad.) 4) Uk´ aˇzeme si obecn´ y postup, jak urˇcit lineárn´ı nezávislost vektor˚ u. Uvaˇzujme vektory v1 = (1, 2, 4, 1)T , v2 = (0, 1, 3, 1)T a v3 = (1, 2, 1, 0)T v prostoru R4 a kombinaci c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = o. Pokud budeme psát vektory vi ve sloupc´ıch a vzpomeneme si na formuli (5.2), pak vid´ıme, ˇze koeficienty ci této lineárn´ı kombinace jsou sloˇzky ˇreˇsen´ı x homogenn´ı soustavy A · x = o, kde ve sloupc´ıch matice A jsou vektory vi . Vyˇreˇs´ıme tedy tuto soustavu:         1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0  2 1 2   0 1 0   0 1 0    0 1 0 .     A=  4 3 1  ∼  0 3 −3  ∼  0 0 −3  ∼ 0 0 1 0 0 −1 0 1 −1 1 1 0 Je-li nˇekter´ y ˇr´ adek n´ asobkem jiného, m˚ uˇzeme ho pˇri u ´pravách vynechat. To jsme si dˇr´ıve jeˇstˇe neˇrekli, ale ˇcten´ aˇr na to jistˇe pˇriˇsel. Vid´ıme, ˇze jediné ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy A·x = o je x = (0, 0, 0)T . Sloˇzky tohoto ˇreˇsen´ı jsou hledané koeficienty ci , tedy c1 = c2 = c3 = 0 a naˇse vektory jsou lineárnˇe nezávislé. 5) Rozhodnˇeme, zda jsou vektory v1 = (2, 2, 4, 1)T , v2 = (1, 0, 2, 1)T a v3 = (1, 2, 2, 0)T v prostoru R4 line´ arnˇe z´ avislé nebo nezávislé. Opˇet nap´ıˇseme vektory vi do sloupc˚ u matice A a vyˇreˇs´ıme pˇr´ısluˇsnou homogenn´ı soustavu A · x = o:     2 1 1 0 −1 1  2 0 2   0 −2 2  0 1 −1 1 0 1     A= ∼ ∼ . ∼ 4 2 2   0 −2 2  1 0 1 0 1 −1 1 1 0 1 1 0 Tato homogenn´ı soustava m´ a ˇreˇsen´ı tvaru x = k · u (k ∈ R), kde vektor u ˇ aˇr se pˇresvˇedˇc´ı, ˇze A · u = o. To ale znamená, ˇze je u = (1, −1, −1)T . Cten´ v1 − v2 − v3 = o. Naˇsli jsme tedy netriviáln´ı lineárn´ı kombinaci vektor˚ u vi , která je rovna nulovému vektoru a zadané vektory jsou lineárnˇe závislé.

34


6) Snadno si rozmysl´ıme, ˇze jak´ ychkoliv 5 (nebo v´ıce) vektor˚ u v R4 je lineárnˇe z´ avisl´ ych. Matice pˇr´ısluˇsné soustavy by mˇela 4 ˇrádky a 5 (nebo v´ıce) sloupc˚ u. Jej´ı redukovan´ y tvar by mˇel vˇzdy nˇejaké sloupce, ve kter´ ych nebudou vedouc´ı ˇcleny, budou tedy existovat netriviáln´ı ˇreˇsen´ı této soustavy a t´ım i netriviáln´ı lineárn´ı kombinace zadan´ ych vektor˚ u, které daj´ı nulov´ y vektor. Lineárn´ı závislost nebo nez´ avislost vektor˚ u v R4 tedy má smysl vyˇsetˇrovat pro maximálnˇe 4 vektory. (Obecnˇe pro maxim´ alnˇe tolik vektor˚ u, jaká je dimenze prostoru.) 7) Z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u je zˇrejmé, ˇze vektory e1 = (1, 0, . . . , 0)T , e2 = (0, 1, . . . , 0)T , . . . , en = (0, 0, . . . , 1)T , v Rn jsou line´ arnˇe nez´ avislé. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze libovoln´ y vektor x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ∈ Rn je moˇzné zapsat jako lineárn´ı kombinaci x = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en , proto vektory e1 , . . . , en generuj´ı prostor Rn . Mnoˇzina {e1 , . . . , en } je tedy báze prostoru Rn a ˇr´ıkáme j´ı kanonická nebo standardn´ı b´ aze. Odtud také vid´ıme, ˇze dimenze prostoru Rn je n, coˇz zapisujeme n dim(R ) = n. 8) Mˇejme vektory v1 , . . . , vk z vektorového prostoru V . Snadno se nahlédne, ˇze mnoˇzina V 0 ⊆ V vˇsech lineárn´ıch kombinac´ı x = c1 v1 + . . . + cn vn je podprostorem prostoru V . Staˇc´ı ovˇeˇrit, ˇze souˇcet dvou vektor˚ u z V 0 padne do V 0 a libovoln´ y skal´ arn´ı n´ asobek vektoru z V 0 padne do V 0 . To je ovˇsem zˇrejmé. Tomuto podprostoru ˇr´ıkáme podprostor generovan´ y vektory v1 , . . . , vk a zapisujeme V 0 = [v1 , . . . , vk ]. (Pokud v1 , . . . , vk generuj´ı prostor V , pak je V 0 = V .) Jsou-li vektory v1 , . . . , vk lineárnˇe nezávislé, pak tvoˇr´ı bázi podprostoru V 0 . Jsou-li line´ arnˇe z´ avislé, pak nˇekter´ y z nich je lineárn´ı kombinac´ı ostatn´ıch (jak jsme si uk´ azali v pˇr´ıkladu 3) a pokud ho vynecháme, budou ostatn´ı vektory stále generovat podprostor V 0 . Takto lze nˇekteré vektory vi vynechávat tak dlouho, dokud nebudeme m´ıt lineárnˇe nezávislou mnoˇzinu generátor˚ u podprostoru V 0 , tedy b´ azi. Dimenze tedy nen´ı nikdy vˇetˇs´ı neˇz poˇcet generátor˚ u a je rovna poˇctu gener´ ator˚ u, pokud tyto generátory jsou lineárnˇe nezávislé. Odtud vid´ıme, ˇze je-li dim(V ) = n a máme-li ménˇe neˇz n vektor˚ u, pak nemohou generovat prostor V . V pˇr´ıkladu 6 jsme si ukázali, ˇze máme-li v´ıce neˇz n vektor˚ u, pak nemohou b´ yt lineárnˇe nezávislé. V prostoru V dimenze n tedy mnoˇzina n vektor˚ u generuje prostor V , právˇe kdyˇz je báz´ı a to je právˇe kdyˇz je line´ arnˇe nez´ avisl´ a. 9) Rozhodnˇete, zda vektory v1 = (1, 0, 1)T , v2 = (0, 1, −1)T , v3 = (1, 1, 2)T tvoˇr´ı b´ azi prostoru R3 . Staˇc´ı zjistit, zda jsou vektory lineárnˇe nezávislé. To provedeme stejnˇe jako v pˇr´ıkladech 4 a 5. Sestav´ıme matici A, která bude m´ıt ve sloupc´ıch tyto vektory a vyˇreˇs´ıme homogenn´ı soustavu s touto matic´ı:         1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 A =  0 1 1  ∼  0 1 1  ∼  0 1 1  ∼  0 1 0 . 1 −1 2 0 −1 1 0 0 2 0 0 1 Vid´ıme, ˇze soustava m´ a pouze triviáln´ı ˇreˇsen´ı, vektory vi jsou tedy lineárnˇe nez´ avislé a tvoˇr´ı b´ azi prostoru R3 . 10) V´ıme, ˇze m´ ame-li mnoˇzinu generátor˚ u v1 , . . . , vn prostoru V , pak kaˇzd´ y vektor u ∈ V je moˇzné zapsat jako lineárn´ı kombinaci tˇechto generátor˚ u. Tento

ˇ ÍKLADY 6.2. PR

35

ˇ aˇr jistˇe vymysl´ı takov´ z´ apis ale nemus´ı b´ yt jednoznaˇcn´ y. Cten´ y pˇr´ıklad. Je-li ale tato mnoˇzina gener´ ator˚ u b´ az´ı, pak tento zápis jednoznaˇcn´ y je. Pro kaˇzd´ y vektor u ∈ V zapsan´ y t´ımto jedin´ ym zp˚ usobem ve tvaru u = c1 v1 +. . .+cn vn naz´ yváme koeficienty ci této line´ arn´ı kombinace souˇradnice vektoru u v bázi {v1 , . . . , vn }. Najdeme napˇr´ıklad souˇradnice vektoru u = (1, 2, 1)T v bázi B = {v1 , . . . , vn } z pˇr´ıkladu 9. Line´ arn´ı kombinace c1 v1 + . . . + cn vn = u odpov´ıdá nehomogenn´ı soustavˇe, jej´ıˇz rozˇs´ıˇren´ a matice m´ a vlevo ve sloupc´ıch vektory vi a vpravo ve sloupci vektor u. Tuto soustavu vyˇreˇs´ıme:       1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 (A|b) =  0 1 1 2  ∼  0 1 1 2  ∼  0 1 1 2  ∼ 1 −1 2 1 0 −1 1 0 0 0 2 2   1 0 0 0 ∼  0 1 0 1 . 0 0 1 1 Snadno zjist´ıme, ˇze jedin´ ym ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı soustavy A · x = b je vektor ˇ aˇr toto jistˇe ovˇeˇr´ı i maticov´ x = (0, 1, 1)T . Cten´ ym násoben´ım. Z toho plyne rovnost v2 + v3 = u a souˇradnice vektoru u v bázi B tedy jsou (0, 1, 1)T . To budeme zapisovat bud’ {u}B = (0, 1, 1)T nebo u = (0, 1, 1)TB . Bystrému ˇctenáˇri jistˇe neuniklo, ˇze sloˇzky (1, 2, 1)T vektoru u jsou vlastnˇe souˇradnice ve standardn´ı b´ azi B0 = {e1 , . . . , e3 }. Z´ apis u = (1, 2, 1)T je jen zjednoduˇsen´ım zápisu u = (1, 2, 1)TB0 , resp. z´ apisu {u}B0 = (1, 2, 1)T . Takto zjednoduˇsit zápis je ale moˇzné jen ve standardn´ı b´ azi. V kaˇzdé jiné bázi je potˇreba pouˇz´ıt pˇr´ısluˇsn´ y index b´ aze, aby nedoˇslo k nedorozumˇen´ı. 11) Vid´ıme, ˇze kdyˇz m´ ame v prostoru zadan´ ych v´ıce báz´ı, pak kaˇzd´ y vektor lze vyj´ adˇrit v souˇradnic´ıch vzhledem ke kaˇzdé z tˇechto báz´ı. Samozˇrejmˇe souˇradnice mus´ı b´ yt moˇzné pˇrepoˇc´ıtávat mezi tˇemito bázemi. K tomu slouˇz´ı matice pˇrechodu. Uvaˇzujme v prostoru R3 b´ aze B1 = {u1 , u2 , u3 } a B2 = {v1 , v2 , v3 }, kde u1 = (1, 2, 0)T , u2 = (1, 0, 1)T , u3 = (0, 1, −1)T a v1 = (1, 1, 0)T , v2 = (0, 0, 1)T , v3 = (1, 0, 1)T . Jistˇe kaˇzd´ y z vektor˚ u vi je moˇzné vyjádˇrit jako lineárn´ı kombinaci vektor˚ u uj . K tomu bychom potˇrebovali tˇri soustavy A·x = vi , kde matice A je vˇzdy stejná a ve sloupc´ıch m´ a vektory uj . M˚ uˇzeme je vyˇreˇsit vˇsechny najednou, kdyˇz sestav´ıme rozˇs´ıˇrenou matici se tˇremi prav´ ymi stranami, odpov´ıdaj´ıc´ımi tˇrem vektor˚ um vi a vyˇreˇs´ıme ji:     1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 (A|v1 |v2 |v3 ) =  2 0 1 1 0 0  ∼  0 −2 1 −1 0 −2  ∼  0 1 −1 0 1 1  0 1 −1 0 1 1  1 0 1 1 −1 0 1 0 0 0 1 0 ∼  0 0 −1 −1 2 0  ∼  0 0 1 1 −2 0  ∼ 1 1 0 1 0 1 −1 1  0 1 −1 0 1 0 0 0 1 0 ∼  0 1 0 1 −1 1  . 0 0 1 1 −2 0 Souˇradnice pro vi m´ ame nyn´ı v i-tém sloupci v pravé ˇcásti, tedy v1 = (0, 1, 1)TB1 , v2 = (1, −1, −2)TB1 , v3 = (0, 1, 0)TB1 .

36


ˇ aˇr si jistˇe ovˇeˇr´ı line´ Cten´ arn´ı kombinace v1 = u2 + u3 , v2 = u1 − u2 − 2u3 , v3 = u2 . Pokud souˇradnice vektor˚ u vi nap´ıˇseme do sloupc˚ u matice, z´ıskáme matici pˇrechodu od b´ aze B1 k b´ azi B2 , kterou oznaˇcujeme (B1 , B2 ). Máme tedy   0 1 0 (B1 , B2 ) =  1 −1 1  . 1 −2 0 Toto je matice, pomoc´ı které se pˇrepoˇc´ıtávaj´ı souˇradnice z báze B2 do báze B1 vztahem {w}B1 = (B1 , B2 ) · {w}B2 .

(6.3)

Uvaˇzujme napˇr´ıklad vektor w = (1, 1, −1)TB2 . Maticov´ ym vynásoben´ım dostáváme       0 1 0 1 1 {w}B1 = (B1 , B2 ) · {w}B2 =  1 −1 1  ·  1  =  −1  , 1 −2 0 −1 −1 uˇzeme provést lineárn´ı kombinace tedy w = (1, −1, −1)TB1 . Jako zkouˇsku m˚ v obou b´ az´ıch a zapsat tak vektor ve standardn´ı bázi. Ze souˇradnic v B2 dost´ av´ ame w = v1 + v2 − v3 = (1, 1, 0)T + (0, 0, 1)T − (1, 0, 1)T = (0, 1, 2)T a ze souˇradnic v B1 dostáváme w = u1 − u2 − u3 = (1, 2, 0)T − (1, 0, 1)T − (0, 1, −1)T = (0, 1, 2)T . Dohromady tedy m´ ame w = (0, 1, 2)T = (1, −1, −1)TB1 = (1, 1, −1)TB2 , coˇz jsou tˇri r˚ uzné z´ apisy téhoˇz vektoru. Pro zaj´ımavost spoˇc´ıtejme také matici pˇrechodu od B2 k B1 . Budeme vyjadˇrovat vektory ui pomoc´ı vektor˚ u vj , sestav´ıme tedy rozˇs´ıˇrenou matici, která bude m´ıt ve sloupc´ıch vektory vj , na prav´ ych stranách vektory ui a vyˇreˇs´ıme ji:     1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 (A|v1 |v2 |v3 ) =  1 0 0 2 0 1  ∼  0 0 −1 1 −1 1  ∼ 0 1 1 0 1 −1 0 1 1 0 1 −1     1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1 ∼  0 0 1 −1 1 −1  ∼  0 1 0 1 0 0  . 0 1 0 1 0 0 0 0 1 −1 1 −1 Matice pˇrechodu je opˇet pravá ˇcást v´ ysledné matice, tedy   2 0 1 (B2 , B1 ) =  1 0 0  . −1 1 −1 M˚ uˇzeme se opˇet pˇresvˇedˇcit, ˇze tato matice pˇrepoˇc´ıtává souˇradnice z B1 do B2 :       1 2 0 1 1 {w}B2 = (B2 , B1 ) · {w}B1 =  1 0 0  ·  −1  =  1  . −1 1 −1 −1 −1

ˇ ÍKLADY 6.2. PR

37

Také si vˇsimneme, ˇze matice (B1 , B2 ) a (B2 , B1 ) jsou k sobˇe navzájem inverzn´ı. ˇ aˇr si ovˇeˇr´ı n´ Cten´ asoben´ım, ˇze (B1 , B2 ) · (B2 , B1 ) = E = (B2 , B1 ) · (B1 , B2 ). ˇ aˇr jistˇe pˇrijde snadno na to, ˇze matice pˇrechodu od standardn´ı báze k Cten´ B1 resp. k B2 jsou     1 1 0 1 0 1 (B0 , B1 ) =  2 0 1  , (B0 , B2 ) =  1 0 0  , 0 1 −1 0 1 1 protoˇze v jejich ˇr´ adc´ıch jsou pr´ avˇe souˇradnice vektor˚ u báze B1 resp. báze B2 ve standardn´ı b´ azi B0 , pˇresnˇe podle definice. Najdˇeme nyn´ı matici pˇrechodu (B2 , B0 ) pˇr´ımo z definice. Do levé ˇcásti rozˇs´ıˇrené matice nap´ıˇseme do sloupc˚ u vektory b´ aze B2 a do pravé ˇc´ asti do sloupc˚ u vektory báze B0 , tedy     1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0  1 0 0 0 1 0  ∼ · · · ∼  0 1 0 −1 1 1  . 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 −1 0 Souˇradnice vektor˚ u standardn´ı b´ aze v bázi B2 jsou vpravo ve sloupc´ıch, hledaná matice je tedy prav´ a ˇc´ ast této redukované rozˇs´ıˇrené matice:   0 1 0 (B2 , B0 ) =  −1 1 1  . 1 −1 0 To je velmi podobné hled´ an´ı inverzn´ı matice k matici (B0 , B2 ). Zaˇc´ınáme v levé ˇca´sti s matic´ı (B0 , B2 ) a konˇc´ıme v pravé ˇcásti s matic´ı (B2 , B0 ). I toto ˇ je matice pˇrechodu vˇzdy regulárn´ı, protoˇze matice pozorov´ an´ı je uˇziteˇcné. Ze pˇrechodu nazp´ atek je k n´ı inverzn´ı, bl´ıˇze nahlédneme jeˇstˇe v pˇr´ıˇst´ım pˇr´ıkladu. 12) Nejdˇr´ıve si ˇcten´ aˇr ovˇeˇr´ı n´ asoben´ım vztah (B0 , B1 ) = (B0 , B2 ) · (B2 , B1 )

(6.4)

pro matice z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Tento vztah plat´ı obecnˇe. Pˇred obˇe strany této rovnosti m˚ uˇzeme napsat souˇradnice libovolného vektoru w v bázi B1 . N´ asoben´ım podle formule (6.3) pak dostaneme na levé stranˇe (B0 , B1 ) · {w}B1 = {w}B0 a na pravé stranˇe (B0 , B2 ) · (B2 , B1 ) · {w}B1

=

(B0 , B2 ) · (B2 , B1 ) · {w}B1 =

= (B0 , B2 ) · {w}B2 = = {w}B0 . Na levé stranˇe jsme vektor w pˇrepoˇc´ıtali z báze B1 pˇr´ımo do báze B0 . Na pravé stranˇe jsme vektor w pˇrepoˇc´ıtali z báze B1 nejdˇr´ıve do báze B2 a pak do báze B0 . Tento postup m˚ uˇze slouˇzit pro odvozen´ı nebo pro lepˇs´ı zapamatován´ı vztahu (6.4) pomoc´ı vztahu (6.3). ˇ aˇr si jistˇe vˇsiml drobné n´ Cten´ azvoslovné jemnosti ve vztahu (6.3), a sice ˇze pomoc´ı matice (B1 , B2 ) pˇrechodu od B1 k B2 spoˇc´ıtáme ze znám´ ych souˇradnic


38

vektoru v b´ azi B2 jeho souˇradnice v bázi B1 . Této matici ˇr´ıkáme matice pˇrechodu od B1 k B2 proto, ˇze v jej´ıch sloupc´ıch jsou souˇradnice vektor˚ u báze B2 v bázi B1 . Vztahy (6.3) a (6.4) jsou d˚ usledkem této definice. K této jemnosti se jeˇstˇe pozn´ amkou vr´ at´ıme v kapitole o homomorfismech. Nyn´ı si jeˇstˇe vˇsimneme, ˇze pouˇzijeme-li rovnost (6.4) obecnˇe pro báze B0 = B1 , pak jistˇe matice pˇrechodu od B1 k B1 je jednotková a ihned obdrˇz´ıme, ˇze matice (B1 , B2 ) a (B2 , B1 ) jsou navzájem inverzn´ı, jsou tedy obˇe regulárn´ı.

6.3

Pˇ r´ıklady

1) Rozhodnˇete, zda vektor v patˇr´ı do podprostoru V prostoru R4 generovaného vektory ui . Pokud ano, vyjádˇrete ho jako kombinaci vektor˚ u ui . a) u1 = (1, −1, 1, 1)T , u2 = (1, 2, 0, 1)T , u3 = (0, 1, 0, −1)T , v = (0, −3, 1, 0)T , b) u1 = (3, 0, 1, 2)T , u2 = (1, −2, 0, 1)T , u3 = (0, 1, 0, −1)T , v = (2, 0, 1, 2)T , c) u1 = (2, 0, 1, 2)T , u2 = (1, −1, 0, 1)T , u3 = (1, 3, 2, 1)T , v = (3, 5, 4, 3)T , d) u1 = (1, −1, 1, −1)T , u2 = (−1, 1, −1, 2)T , v = (−1, 1, −1, 3)T .

Kapitola 7

Skal´ arn´ı souˇ ciny 7.1


Definice 22 Necht’ V je vektorový prostor nad R. Zobrazen´ı g: V × V → R nazýv´ ame skal´ arn´ı souˇcin, pokud splˇ nuje vlastnosti ∀u, v ∈ V ∀u, v, w ∈ V ∀u, v ∈ V, ∀c ∈ R ∀u ∈ V, u 6= o

: : : :

g(u, v) = g(v, u), g(u + v, w) = g(u, w) + g(v, w), g(c · u, v) = c · g(u, v), g(u, u) > 0.

(7.1)

Prvn´ı vlastnosti ˇr´ık´ ame symetrie, druh´ ym dvˇema vlastnostem dohromady ˇr´ıkáme linearita v prvn´ım argumentu. Pouˇzit´ım symetrie se snadno dokáˇze i linearita v druhém argumentu. Skal´ arn´ı souˇcin je tedy bilineárn´ı. Tˇret´ı vlastnost ˇr´ıká, ˇze skal´ arn´ı souˇcin je pozitivnˇe definitn´ı. Vˇsechny tyto tˇri vlastnosti jistˇe splˇ nuje zobrazen´ı g: Rn × Rn → R defino1 n T vané pro vektory x = (x , . . . , x ) , y = (y 1 , . . . , y n )T pˇredpisem g0 (x, y) = x1 y 1 + . . . + xn y n . Tomuto skal´ arn´ımu souˇcinu ˇr´ıkáme standardn´ı nebo kanonick´ y skal´ arn´ı souˇcin na Rn . Formule (7.1) jsou opˇet jen formalizac´ı vlastnost´ı tohoto skal´ arn´ıho souˇcinu. p Definice 23 Norma vektoru x je definovan´ a pˇredipsem kxk = g(x, x). Pokud pro vektory x, y ∈ V plat´ı g(x, y) = 0, ˇr´ık´ ame, ˇze jsou navz´ ajem ortogon´ aln´ı a p´ıˇseme x ⊥ y. Mnoˇzina M = {v1 , . . . , vn } navz´ ajem ortogon´ aln´ıch vektor˚ u pro které plat´ı kvi k = 1 se nazýv´ a ortonorm´ aln´ı mnoˇzina. Je-li M nav´ıc b´ aze prostoru V , nazýv´ a se ortonorm´ aln´ı b´ aze. Vˇ eta 24 V kaˇzdém vektorovém prostoru koneˇcné dimenze se skal´ arn´ım souˇcinem existuje ortonorm´ aln´ı b´ aze.

7.2

Pˇ r´ıklady

1) Snadno se nahlédne, ˇze standardn´ı báze B0 = {e1 , . . . en } prostoru Rn je ortonorm´ aln´ı ve standardn´ım skal´ arn´ım souˇcinu. Také si vˇsimneme, ˇze pro vektory 39

´ Í SOUCINY ˇ KAPITOLA 7. SKALARN

40

x, y ∈ Rn je moˇzné zapsat standardn´ı skalárn´ı souˇcin jako maticové násoben´ı  1  y T x1 . . . x n ·  ... , g0 (x, y) = yn coˇz m˚ uˇzeme zapsat symbolicky ve tvaru g0 (x, y) = {x}TB0 · {y}B0 .

(7.2)

2) Uvaˇzujme v prostoru R4 vektory v1 v2 v3 v4

= = = =

(1, 1, 0, 1)T , (0, 1, 1, 1)T , (1, 1, 1, 0)T , (1, 0, 0, 1)T .

ˇ aˇr se pˇresvˇedˇc´ı, ˇze mnoˇzina B1 = {v1 , . . . , v4 } tvoˇr´ı bázi prostoru R4 . Cten´ Jak spoˇc´ıt´ ame napˇr´ıklad skalárn´ı souˇcin vektor˚ u u1 = (1, 0, 0, 1)TB1 a u2 = T (0, 1, 0, 1)B1 ? M˚ uˇzeme pouˇz´ıt standardn´ı bázi B0 = {e1 , . . . , e4 } prostoru R4 a matici pˇrechodu   1 0 1 1  1 1 1 0   (B0 , B1 ) =   0 1 1 0 . 1 1 0 1 Pomoc´ı n´ı spoˇc´ıt´ ame {u1 }B0 {u2 }B0

= (B0 , B1 ) · {u1 }B1 = (2, 1, 0, 2)T = (B0 , B1 ) · {u2 }B1 = (1, 1, 1, 2)T

(7.3)

a podle vzorce (7.2) dostaneme 

g0 (u1 , u2 ) = {u1 }TB0 · {u2 }B0 =

2

1

0

 1  1   2 ·  1  = 7. 2

Skal´ arn´ı souˇcin jsme tedy spoˇc´ıtali. Zkusme jeˇstˇe dosadit do prvn´ı rovnosti v této formuli za {ui }B0 z rovnost´ı (7.3). Dostaneme g0 (u1 , u2 )

= {u1 }TB0 · {u2 }B0 = T = (B0 , B1 ) · {u1 }B1 · (B0 , B1 ) · {u2 }B1 = = {u1 }TB1 · (B0 , B1 )T · (B0 , B1 ) · {u2 }B1 = = {u1 }TB1 · (B0 , B1 )T · (B0 , B1 ) · {u2 }B1 .

(7.4)

ˇ ÍKLADY 7.2. PR

41

V prvn´ım kroku jsme pouze dosadili z rovnost´ı (7.3), ve druhém kroku jsme pouˇzili formuli (A · B)T = B T · AT platnou vˇzdy, kdyˇz jdou matice A a B n´ asobit a ve tˇret´ım kroku jsme formuli pouze pˇrezávorkovali. Matici S(g0 ,B1 ) = (B0 , B1 )T · (B0 , B1 )

(7.5)

naz´ yv´ ame matice skal´ arn´ıho souˇcinu g0 v bázi B1 . Vˇsimneme si, ˇze v této matici je v i-tém ˇr´ adku a j-tém sloupci skalárn´ı souˇcin i-tého a j-tého vektoru báze B1 . Matice S(g0 ,B0 ) skal´ arn´ıho souˇcinu g0 v bázi B0 je jistˇe jednotková. D´ıky formuli (7.4) tedy m˚ uˇzeme formuli (7.2) zobecnit na tvar g0 (x, y) = {x}TB · S(g0 ,B) · {y}B ,

(7.6)

platn´ y pro libovolnou b´ azi B. Obdobná formule plat´ı pro libovoln´ y skalárn´ı souˇcin g. 3) Uvaˇzujme v prostoru R4 vektory

w1

=

w2

=

w3

=

w4

=

1 1 1 1 T , , , ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 T ( , ,− ,− ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 T ( ,− , ,− ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 T (− , , ,− ) . 2 2 2 2

(

ˇ aˇr se pˇresvˇedˇc´ı, ˇze mnoˇzina B2 = {w1 , . . . , w4 } tvoˇr´ı ortonormáln´ı bázi. Cten´ (Je potˇreba ovˇeˇrit, ˇze vektory jsou navzájem ortogonáln´ı a maj´ı jednotkovou normu. Line´ arn´ı nez´ avislost je d˚ usledkem ortogonality, nen´ı ji tedy potˇreba ovˇeˇrovat zvl´ aˇst’.) Spoˇc´ıtejme matici skalárn´ıho souˇcinu g0 v bázi B2 . Podle pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu je moˇzné tuto matici spoˇc´ıtat podle vzorce S(g0 ,B2 ) = (B0 , B2 )T · (B0 , B2 ). Vyn´ asoben´ım ˇctenáˇr zjist´ı, ˇze tato matice je jednotková. Jak jsme poznamenali v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu, v i-tém ˇrádku a j-tém sloupci matice skal´ arn´ıho souˇcinu je skal´ arn´ı souˇcin i-tého a j-tého vektoru báze. Pro libovolnou ortonorm´ aln´ı b´ azi je tedy matice skalárn´ıho souˇcinu v této bázi jednotkov´ a. Skal´ arn´ı souˇcin je moˇzné zadat i tak, ˇze nˇekterou bázi prohlás´ıme za ortonorm´ aln´ı. Napˇr. standardn´ı skal´ arn´ı souˇcin na R4 je urˇcen t´ım, ˇze standardn´ı b´ aze je ortonorm´ aln´ı. 4) Pod´ıvejme se bl´ıˇze na matici pˇrechodu od báze B0 k bázi B2  1  1 1 1  (B0 , B2 ) =  

2 1 2 1 2 − 12

2 1 2 − 12 1 2

2

− 21 1 2 1 2

2

− 12  . − 12  − 12

Je to matice pˇrechodu mezi ortonormáln´ımi bázemi. Ovˇeˇrili jsme jiˇz, ˇze pro tuto matici plat´ı (B0 , B2 )T · (B0 , B2 ) = E. Obecnˇe matice splˇ nuj´ıc´ı podm´ınku AT · A = E naz´ yv´ ame ortogon´ aln´ı matice. Jiná moˇzná charakteristika ortogonáln´ıch matic je, ˇze jejich sloupce tvoˇr´ı ortonormáln´ı bázi aritmetického vektorového

´ Í SOUCINY ˇ KAPITOLA 7. SKALARN

42

prostoru Rn . Snadno se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit, ˇze souˇcin dvou ortogonáln´ıch matic je opˇet ortogon´ aln´ı matice. Plat´ı-li AT · A = E a B T · B = E, pak jistˇe plat´ı i (A · B)T · (A · B)

= (B T · AT ) · (A · B) = = B T · (AT · A) · B = = BT · E · B = BT · B = = E.

(7.7)

Zde jsme pouˇzili stejné u ´pravy jako ve formul´ıch (7.4). Ortogonáln´ı matice ˇrádu ^ n tedy tvoˇr´ı podgrupu grupy regulárn´ıch matic M c´ıme n (R). Tuto podgrupu znaˇ O(n) a ˇr´ık´ ame j´ı ortogonáln´ı grupa. 5) Jak vypad´ a grupa O(2), tedy grupa ortogonáln´ıch transformac´ı prostoru R2 se standardn´ım skal´ arn´ım souˇcinem? Jsou to právˇe vˇsechny rotace a rotace sloˇzené se zrcadlen´ım. Rotace pˇritom zachovávaj´ı orientaci prostoru a zrcadlen´ı j´ı obrac´ı. To je moˇzné popsat pomoc´ı determinantu transformace, zda je roven 1 nebo −1. Ortogon´ aln´ı transformace s determinantem 1 tvoˇr´ı podgrupu grupy O(2), kterou znaˇc´ıme SO(2) a naz´ yváme ji speciáln´ı ortogonáln´ı grupa. Kaˇzdá rotace je pops´ ana u ´hlem ϕ, mnoˇzinovˇe tedy m˚ uˇzeme grupu SO(2) ztotoˇznit s mnoˇzinou vˇsech u ´hl˚ u, tedy s kruˇznic´ı. Kaˇzd´ y bod na této kruˇznici odpov´ıdá rotaci o u ´hel ϕ. Sloˇzen´ım rotace o u ´hel ϕ1 a rotace o u ´hel ϕ2 je jistˇe rotace o u ´hel ϕ1 +ϕ2 , operac´ı na SO(2) je tedy sˇc´ıtán´ı u ´hl˚ u, stejnˇe jako na grupˇe komplexn´ıch jednotek. Naˇsli jsme tedy isomorfismus SO(2) ' U (1). Grupa O(2) je pak takzvan´ ym semidirektn´ım souˇcinem grupy SO(2) a multiplikativn´ı grupy {−1, 1}, v n´ıˇz prvek −1 reprezentuje zrcadlen´ı. Topologicky je grupa O(2) ekvivalentn´ı dvˇema kruˇznic´ım (nen´ı souvislá).

7.3

Cviˇ cen´ı

1) Skal´ arn´ı souˇcin na R2 je zadán ortonormáln´ı báz´ı B = {(1, 1)T , (0, 2)T }. Najdˇete matici tohoto skalárn´ıho souˇcinu ve standardn´ı bázi.

Kapitola 8

Homomorfismy 8.1


Definice 25 Mˇejme vektorové prostory V a W nad R. Homomorfismus prostoru V do prostoru W je zobrazen´ı f : V → W splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky ∀u, v ∈ V ∀u ∈ V, ∀c ∈ R

: f (u + v) = f (u) + f (v), : f (c · u) = c · f (u).

Homomorfismus je tedy zobrazen´ı, které respektuje operace na prostorech V a W . Seˇcteme-li vektory u a v v prostoru V a v´ ysledek zobraz´ıme nebo napˇred oba vektory u a v zobraz´ıme a pak seˇcteme tyto obrazy, dostaneme v obou postupech stejn´ y v´ ysledek. Podobnˇe pro skal´ arn´ı násobek. Obecnˇeji, lineárn´ı kombinace vektor˚ u z V se zobraz´ı na line´ arn´ı kombinaci (se stejn´ ymi koeficienty) obraz˚ u tˇechto vektor˚ u. Odtud je ihned vidˇet, ˇze homomorfismus je urˇcen, jsou-li urˇceny obrazy vektor˚ u nˇekteré b´ aze prostoru V . Definice 26 Necht’ B1 = {u1 , . . . , um } je b´ aze prostoru V , B2 = {v1 , . . . , vn } je b´ aze prostoru W , a f : V → W je homomorfismus V do W . Matici typu n × m, v n´ıˇz na j-tém sloupci jsou souˇradnice {f (uj )}B2 , nazveme matice homomorfismu f vzhledem k b´ az´ım B1 a B2 a oznaˇc´ıme ji (f, B1 , B2 ). Zu ´vahy v´ yˇse je ihned vidˇet, ˇze zn´ ame-li souˇradnice {w}B1 vektoru w v bázi B1 , pak souˇradnice {f (w)}B2 jeho obrazu v bázi B2 se spoˇc´ıtaj´ı vztahem {f (w)}B2 = (f, B1 , B2 ) · {w}B1 ,

(8.1)

nebot’ {w}B1 jsou koeficienty, které mus´ıme pouˇz´ıt k vektor˚ um uj , abychom z´ıskali vektor w nebo k vektor˚ um f (uj ), abychom z´ıskali vektor f (w). Vektory f (uj ) (jejich sloˇzky v b´ azi B2 ) ale m´ ame ve sloupc´ıch matice (f, B1 , B2 ) a souˇcin na pravé stranˇe rovnosti (8.1) je moˇzné interpretovat jako zm´ınˇenou lineárn´ı kombinaci. Zde je dobré si vˇsimnout, jak dobˇre zde funguje naˇse konvence se sloupcov´ ymi vektory. Pracujeme-li napˇr´ıklad v aritmetick´ ych vektorov´ ych prostorech se standardn´ımi b´ azemi a matici homomorfismu f v tˇechto báz´ıch oznaˇc´ıme F , pak rovnost (8.1) bude m´ıt tvar f (w) = F · w, ker´ y intuitivnˇe oˇcek´ av´ ame. 43

(8.2)

44

KAPITOLA 8. HOMOMORFISMY

Definice 27 J´ adro homomorfismu f : V → W je mnoˇzina Ker(f ) = {v ∈ V ; f (v) = o}. Obraz homomorfismu f je mnoˇzina Im(f ) = {w ∈ W ; w = f (v)}. Snadno se nahlédne, ˇze libovolná lineárn´ı kombinace vektor˚ u z jádra je opˇet v j´ adru a libovoln´ a line´ arn´ı kombinace vektor˚ u z obrazu je opˇet v obrazu. Jádro je tedy podprostor prostoru V a obraz je podprostor prostoru W . Dimenzi dim(Im(f )) obrazu homomorfismu f znaˇc´ıme h(f ) a naz´ yváme hodnost homomorfismu f . Plat´ı vztah dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) = dim(V ).

8.2

(8.3)

Pˇ r´ıklady

ˇ 1) Casto je homomorfismus zadán analyticky napˇr´ıklad ve tvaru f : R3 → R2 ,

f ((x, y, z)T ) = (x − 2y + z, y − z)T .

Abychom naˇsli matici homomorfismu (ve standardn´ıch báz´ıch), staˇc´ı zjistit obrazy vektor˚ u e1 , . . . , e3 , dosadit tedy za x, y, z postupnˇe jedniˇcky a nuly: f (e1 ) = f ((1, 0, 0)T ) = (1, 0)T , f (e2 ) = f ((0, 1, 0)T ) = (−2, 1)T , f (e3 ) = f ((0, 0, 1)T ) = (1, −1)T . Dost´ av´ ame tedy matici (f, B0 , B00 ) =

1 0

−2 1

1 −1

,

kde B0 je pouˇzito pro standardn´ı bázi v prostoru R3 a B00 pro standardn´ı bázi v prostoru R2 . Naopak, z matice homomorfismu se analytick´ y tvar homomorfismu obdrˇz´ı snadno pomoc´ı vztahu (8.1), v naˇsem pˇr´ıpadˇe f ((x, y, z)T )

= =

{f (w)}B00 = (f, B0 , B00 ) · {w}B0 =   x 1 −2 1 x − 2y + z · y = . 0 1 −1 y−z z

2) Ukaˇzme si, jak se urˇc´ı jádro a hodnost homomorfismu. Uvaˇzujme napˇr´ıklad homomorfismus f : R3 → R4 zadan´ y ve standardn´ıch báz´ıch matic´ı   1 2 1  0 1 1  . F =  1 1 0  0 −1 −1 Nejprve najdeme j´ adro, tedy vˇsechny vektory, které se zobraz´ı na nulov´ y vektor. Podle vztahu (8.2) hled´ ame vektory x ∈ R3 , pro které plat´ı maticová rovnost F · x = o. (Pracujeme ve standardn´ıch báz´ıch.) Vzpomeneme si na maticov´ y

ˇ ÍKLADY 8.2. PR

45

tvar homogenn´ı soustavy rovnic, nyn´ı máme soustavu rovnic A · x = o s matic´ı A = F . Matici této soustavy pˇrevedeme na redukovan´ y tvar     1 2 1 1 2 1  0 1   0 1 1 1  1 0 1  ∼ ∼ .  1 1 0   0 −1 −1  0 1 0 0 −1 −1 0 −1 −1 Vˇsechna ˇreˇsen´ı této soustavy jsou tvaru x = k · (1, 0, −1)T , dostáváme tedy Ker(f ) = {k · (1, 0, −1)}. Odtud ihned vid´ıme, ˇze dim(Ker(f )) = 1 a ze vztahu (8.3) dost´ av´ ame h(f ) = 3 − dim(Ker(f )) = 2. 3) Uvaˇzujme nyn´ı homomorfismus f : R4 → R3 zadan´ y pˇredpisem f ((u, v, x, y)T ) = (u + v, u − x, x + 2y)T a homomorfismus g: R3 → R5 . zadan´ y pˇredpisem f ((a, b, c)T ) = (a + b, a − b, a + c, a − 2b, b + c)T . Jak vypad´ a sloˇzen´ y homomorfismus g ◦ f : R4 → R5 ? Je moˇzné samozˇrejmˇe sloˇzit tato analytická vyjádˇren´ı, dosadit tedy do druhého z pˇredpis˚ u za a, b, c postupnˇe sloˇzky z pravé strany prvn´ıho pˇredpisu, tedy a = u + v, b = u − x, c = x + 2y. Dostaneme t´ım analytické vyjádˇren´ı sloˇzeného homomorfismu f ◦ g ve tvaru (g ◦ f )((u, v, x, y)) = (2u + v − x, v + x, u + v + x + 2y, −u + v + 2x, u + 2y). Pod´ıv´ ame se, jak vˇse vypad´ a v matic´ıch. Oznaˇc´ıme standardn´ı báze v prostorech R4 , R3 , R5 postupnˇe B0 , B00 , B000 a ze zadán´ı snadno nap´ıˇseme matice   1 1 0    1 −1 0  1 1 0 0    (f, B0 , B00 ) =  1 0 −1 0  , (g, B00 , B000 ) =   1 0 1 .  1 −2 0  0 0 1 2 0 1 1 Nyn´ı pouˇzijeme vztah (8.1). Ze souˇradnic libovolného vektoru w ∈ R4 v bázi B0 po vyn´ asoben´ı matic´ı (f, B0 , B00 ) z´ıskáme souˇradnice jeho obrazu f (w) ∈ R3 0 v b´ azi B0 a po n´ asledném vyn´ asoben´ı matic´ı (g, B00 , B000 ) z´ıskáme souˇradnice 5 00 obrazu g(f (w)) ∈ R v b´ azi B0 . Cel´ y postup lze zapsat (g, B00 , B000 ) · (f, B0 , B00 ) · {w}B0 = (g, B00 , B000 ) · {f (w)}B00 = {g(f (w))}B000 . Protoˇze na levé stranˇe m˚ uˇzeme poloˇzit závorky libovolnˇe a na pravé stranˇe m˚ uˇzeme pokraˇcovat podle definice {g(f (w))}B000 = {(g ◦ f )(w)}B000 , dostáváme vztah (g, B00 , B000 ) · (f, B0 , B00 ) · {w}B0 = {(g ◦ f )(w)}B000 . Porovn´ an´ım se vztahem (8.1) pro homomorfismus g ◦ f zjist´ıme, ˇze souˇcin matic na levé stranˇe je matic´ı homomorfismu g ◦ f , tedy (g, B00 , B000 ) · (f, B0 , B00 ) = (g ◦ f, B0 , B000 ),

(8.4)

46

KAPITOLA 8. HOMOMORFISMY

ˇ aˇr si matice zacoˇz je obecn´ y vztah pro skládán´ı matic homomorfismu. Cten´ dan´ ych homomorfism˚ u f a g vynásob´ı, zap´ıˇse matici homomorfismu g ◦ f a ovˇeˇr´ı si, ˇze j´ı odpov´ıd´ a analytické vyjádˇren´ı, které jsme odvodili na zaˇcátku pˇr´ıkladu. 4) Ve vektorovém prostoru V mˇejme báze B1 = {u1 , u2 , u3 } a B2 = {v1 , v2 , v3 }, pro které plat´ı u1 = v1 + v2 , u2 = v2 + v3 , u3 = v1 + v3 . Ve vektorovém prostoru W mˇejme b´ aze B3 = {w1 , w2 , w3 } a B4 = {z1 , z2 , z3 }, pro které plat´ı w1 = z1 + 2z2 , w2 = z2 + 2z3 , w3 = z1 + 2z3 . Homomorfismus f : V → W má vzhledem k b´ az´ım B2 a B3 matici   1 0 −1 (f, B2 , B3 ) =  0 2 0  . 1 1 1 Jak´ a je matice homomorfismu f vzhledem k báz´ım B1 a B4 ? Samozˇrejmˇe budeme potˇrebovat matice pˇrechodu. Ze zadán´ı se snadno sestav´ı matice     1 0 1 1 0 1 (B2 , B1 ) =  1 1 0  , (B4 , B3 ) =  2 1 0  . 0 2 2 0 1 1 Pro hledanou matici (f, B1 , B4 ) plat´ı vztah {f (x)}B4 = (f, B1 , B4 ) · {x}B1 . Ze souˇradnic vektoru x v bázi B1 se pomoc´ı této matice spoˇc´ıtaj´ı souˇradnice obrazu f (x) v b´ azi B4 . M˚ uˇzeme ale také vektor x pˇrepoˇc´ıtat do báze B2 pomoc´ı matice pˇrechodu (B2 , B1 ), pak pouˇz´ıt matici homomorfismu (f, B2 , B3 ) a z´ıskat souˇradnice obrazu f (x) v bázi B3 a nakonec pomoc´ı matice pˇrechodu (B4 , B3 ) obraz f (x) pˇrepoˇc´ıtat do báze B4 . Tento postup lze zapsat s pouˇzit´ım vztah˚ u (6.3) a (8.1) rovnostmi (B4 , B3 ) · (f, B2 , B3 ) · (B2 , B1 ) · {x}B1 = = (B4 , B3 ) · (f, B2 , B3 ) · (B2 , B1 ) · {x}B1 = = (B4 , B3 ) · (f, B2 , B3 ) · {x}B2 = = (B4 , B3 ) · {f (x)}B3 = = {f (x)}B4 . Vid´ıme, ˇze pomoc´ı matice (B4 , B3 ) · (f, B2 , B3 ) · (B2 , B1 ) jsme také ze souˇradnic vektoru x v b´ azi B1 spoˇc´ıtali souˇradnice obrazu f (x) v bázi B4 . Odvodili jsme tedy obecn´ y vztah (B4 , B3 ) · (f, B2 , B3 ) · (B2 , B1 ) = (f, B1 , B4 )

(8.5)

ˇ aˇr si matice vynásob´ı pro skl´ ad´ an´ı matic pˇrechodu a matic homomorfismu. Cten´ a matici (f, B1 , B4 ) zap´ıˇse. ˇ aˇr si jistˇe vˇsiml drobného technického rozd´ılu pˇri pouˇzit´ı matice pˇrechodu 5) Cten´ a matice homomorfismu k pˇrepoˇc´ıtáván´ı souˇradnic. V symbolu pro matici pˇrechodu

ˇ Í 8.3. CVICEN

47

m´ ame b´ azi ze které pˇrepoˇc´ıt´ av´ ame vpravo, zat´ımco u symbolu pro matici homomorfismu m´ ame b´ azi ze které pˇrepoˇc´ıtáváme vlevo. Pˇri naˇs´ı konvenci psan´ı vektoru ve sloupci za matici se tedy intuitivnˇe snáze zacház´ı s matic´ı pˇrechodu, protoˇze b´ aze ze které se pˇrepoˇc´ıt´ avá je ”vpravo”, tedy ”bl´ıˇze vektoru”. Obˇe ˇ aˇr si rozmysl´ı, jakou alternativn´ı tyto vlastnosti jsou d˚ usledky definice. Cten´ definici (oznaˇcen´ı, n´ azvoslov´ı) by bylo moˇzné pouˇz´ıt a jak by se zmˇenily tyto pˇrepoˇc´ıt´ avac´ı vzorce, pˇr´ıpadnˇe jaké oznaˇcen´ı, názvoslov´ı a definice by byly vhodné pouˇz´ıt pro ˇr´ adkové vektory. Hloubav´ y ˇcten´ aˇr jistˇe pˇrijde na vztah mezi maticemi pˇrechodu a maticemi homomorfismu. Matice pˇrechodu (B2 , B1 ) je vlastnˇe matic´ı identického homomorfismu vzhledem k b´ az´ım B1 a B2 , tedy (B2 , B1 ) = (id, B1 , B2 ). Vystaˇcili bychom tedy pouze s maticemi homomorfism˚ u. 6) Homomorfismus f : R3 → R3 je zadán obrazy tˇr´ı vektor˚ u následovnˇe: (1, 1, 0)T 7→ (3, 0, −1)T ,

(0, 1, 1)T 7→ (2, 0, 0)T ,

(1, 0, 1)T 7→ (5, 2, −1)T .

Najdˇeme jeho matici ve standardn´ı bázi. Nejprve poznamenejme, ˇze vzory i obrazy tohoto homomorfismu jsou ve stejném prostoru. Obecnˇe se homomorfismu f : V → V ˇr´ıká endomorfismus. Pro libovoln´ y endomorfismus lze vzory i obrazy uvaˇzovat ve stejné bázi. Nen´ı to ale nutné, jak uvid´ıme. Chceme tedy naj´ıt matici (f, B0 , B0 ). Napˇred si vzpomeneme, ˇze homomorfismus je zadán, jsou-li zadány obrazy nˇekteré b´ aze. Zad´ an´ı je tedy korektn´ı, pokud vektory (1, 1, 0)T , (0, 1, 1)T , (1, 0, 1)T ˇ aˇr se jistˇe nejprve pˇresvˇedˇc´ı, ˇze tomu tak je (staˇc´ı ovˇeˇrit jejich tvoˇr´ı b´ azi. Cten´ line´ arn´ı nez´ avislost). Oznaˇcme tuto bázi B1 . Zároveˇ n ihned vid´ıme, ˇze matice pˇrechodu m´ a ve sloupc´ıch levé strany zadán´ı, tedy   1 0 1 (B0 , B1 ) =  1 1 0  . 0 1 1 Nyn´ı se zamysl´ıme, zda matice se sloupci z prav´ ych stran zadán´ı nen´ı matic´ı endomorfismu f v nˇekter´ ych b´ az´ıch. Zjist´ıme, ˇze   3 2 5 M =  0 0 2  = (f, B1 , B0 ), −1 0 −1 protoˇze v ˇr´ adc´ıch této matice jsou souˇradnice obraz˚ u vektor˚ u báze B1 v bázi B0 . Z této matice spoˇc´ıt´ ame hledanou matici pouˇzit´ım vztahu (f, B0 , B0 ) = (B1 , B0 ) · (f, B1 , B0 ). K tomu potˇrebujeme matici (B1 , B0 ), která je jistˇe inverzn´ı ke známé matici ˇ aˇr tedy pˇr´ıklad snadno dopoˇc´ıtá. (B0 , B1 ). Cten´

8.3

Cviˇ cen´ı

1) Homomorfismy fi : R3 → R3 maj´ı analytická vyjádˇren´ı f1 ((x, y, z)T )

=

(−2z, x + 2y + z, x + 3z)T ,

48

KAPITOLA 8. HOMOMORFISMY f2 ((x, y, z)T ) = (3x + 2z, −x + y − z, −x)T , f3 ((x, y, z)T ) = (y + 2z, x − y − z, x + z)T , f4 ((x, y, z)T ) = (−y + z, y + z, x − y − z)T .

Napiˇste matice tˇechto homomorfism˚ u, pro kaˇzd´ y z nich urˇcete dimenzi jádra a dimenzi obrazu. 2) Homomorfismy fi : R4 → R3 maj´ı analytická vyjádˇren´ı f1 ((x, y, z, w)T ) = (−2z − w, x + 2y + z − w, x + 3w)T , f2 ((x, y, z, w)T ) = (3w, −x + y − w, −x)T , f3 ((x, y, z, w)T ) = (2y + w, x − y − w, x + y)T , f4 ((x, y, z, w)T ) = (−y + z, y + z − 3w, x − w)T . Napiˇste matice tˇechto homomorfism˚ u, pro kaˇzd´ y z nich urˇcete dimenzi jádra a dimenzi obrazu. 3) Homomorfismy fi : R3 → R5 maj´ı analytická vyjádˇren´ı f1 ((x, y, z)T ) f2 ((x, y, z)T )

= =

(−y + z, y + z, x − w, x + y, y − z)T , (x − y, y + 2z, 0, x − y, x − y)T .

Napiˇste matice tˇechto homomorfism˚ u, pro kaˇzd´ y z nich urˇcete dimenzi jádra a dimenzi obrazu. 6) Homomorfismus f : R3 → R3 je zadán obrazy vektor˚ u následovnˇe: (1, 0, −1)T 7→ (2, 0, −2)T ,

(1, −1, 0)T 7→ (0, −1, 1)T ,

(0, 1, 1)T 7→ (−2, −1, 3)T .

Napiˇste matici homomorfismu a urˇcete dimenzi jádra a dimenzi obrazu. 7) V prostoru V dimenze 3 je báze B1 = {u1 , u2 , u3 } a v prostoru W dimenze 3 jsou b´ aze B2 = {v1 , v2 , v3 } a B3 = {w1 , w2 , w3 }, pˇriˇcemˇz plat´ı {w1 }B2 = (2, 1, 2)T ,

{w2 }B2 = (1, 0, 1)T ,

{w3 }B2 = (0, 0, 1)T .

Homomorfismus f : V → W je zadán pomoc´ı obraz˚ u vektor˚ u pˇredpisem (1, 0, 1)TB1 7→ (1, 0, 1)TB2 ,

(0, 1, 1)TB1 7→ (1, 1, 1)TB2 ,

(1, 1, 1)TB1 7→ (0, −1, 0)TB2 .

Urˇcete dimenzi j´ adra a obrazu homomorfismu f a pro vektor v = (1, 1, 2)TB1 spoˇc´ıtejte souˇradnice obrazu f (v) v bázi B3 . 8) V prostoru V dimenze 3 jsou báze B1 = {v1 , v2 , v3 } a B2 = {w1 , w2 , w3 } a v prostoru W dimenze 3 je báze B3 = {u1 , u2 , u3 }, pˇriˇcemˇz plat´ı {w1 }B1 = (1, 1, 0)T ,

{w2 }B1 = (1, 0, 1)T ,

{w3 }B1 = (0, 0, −1)T .

Homomorfismus f : V → W je zadán pomoc´ı obraz˚ u vektor˚ u pˇredpisem (1, 0, 1)TB1 7→ (1, −1, 2)TB3 , (1, −1, 0)TB1 7→ (0, 1, 1)TB3 , (1, 0, −1)TB1 7→ (1, −2, 1)TB3 . Urˇcete dimenzi j´ adra a obrazu homomorfismu f a pro vektor v = (1, 1, −1)TB2 spoˇc´ıtejte souˇradnice obrazu f (v) v bázi B3 .

Kapitola 9

Ekvivalence a kongruence 9.1


Definice 28 Relaci E na mnoˇzinˇe M nazýv´ ame ekvivalence, pokud splˇ nuje podm´ınky ∀x ∈ M ∀x, y ∈ M ∀x, y, z ∈ M

: : :

(x, x) ∈ E, (x, y) ∈ E ⇔ (y, x) ∈ E, (x, y) ∈ E ∧ (y, z) ∈ E ⇒ (x, z) ∈ E.

Prvn´ı vlastnost nazýv´ ame reflexivita, druhou symetrie a tˇret´ı tranzitivita relace E. M´ısto (x, y) ∈ E p´ıˇseme ˇcasto x ∼ y. Pro libovolný prvek a ∈ M lze sestrojit takzvanou tˇr´ıdu prvku a, kter´ a je E(a) = {b ∈ M : (a, b) ∈ E}. Z definice je zˇrejmé, ˇze tˇr´ıdy E(x), E(y) prvk˚ u x, y ∈ M jsou bud’ identické nebo disjunktn´ı. D´ ale je zˇrejmé, ˇze sjednocen´ı tˇr´ıd vˇsech prvk˚ u je právˇe mnoˇzina M . Pokud sestroj´ıme systém tˇr´ıd ekvivalence, ve kterém vezmeme kaˇzdou tˇr´ıdu pouze jednou, z´ısk´ ame takzvan´ y rozklad mnoˇziny M indukovan´ y ekvivalenc´ı E, kter´ y znaˇc´ıme πE . Uk´ aˇzeme si pˇr´ıklad. Relace E na mnoˇzinˇe M = {1, 2, 3, 4} je zadaná E = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)}. ˇ aˇr snadno nahlédne, ˇze podm´ınky z definice jsou splnˇeny a jde tedy o ekviCten´ valenci. Pˇr´ısluˇsné tˇr´ıdy prvk˚ u jsou: E(1) = {1, 3},

E(2) = {2, 4},

E(3) = {1, 3},

Rozklad indukovan´ y ekvivalenc´ı E tedy je πE = {1, 3}, {2, 4} .

E(4) = {2, 4}.

(9.1)

Ekvivalence na M a rozklady mnoˇziny M si navzájem odpov´ıdaj´ı a mnohdy je lepˇs´ı si pod ekvivalenc´ı pˇredstavovat radˇeji pˇr´ısluˇsn´ y rozklad. Podm´ınky v definici ekvivalence jsou nutné podm´ınky, které mus´ı relace splˇ novat, aby bylo moˇzné rozklad smysluplnˇe sestrojit. 49

50

KAPITOLA 9. EKVIVALENCE A KONGRUENCE

ˇ aˇr by jistˇe s´ Cten´ am sestrojil ekvivalenci ze zadan´ ´plnost eho rozkladu. Pro u ukaˇzme, ˇze napˇr´ıklad pro rozklad π = {1, 2, 4}, {3} mnoˇziny M = {1, 2, 3, 4} je pˇr´ısluˇsn´ a indukovan´ a ekvivalence, kterou znaˇc´ıme Eπ , rovna Eπ = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4)}. M´ ame-li na mnoˇzinˇe M definovanou nˇejakou vlastnost (napˇr´ıklad barvu) a relace E je definovan´ a tak, ˇze x ∼ y pokud x a y maj´ı tuto vlastnost stejnou (v naˇsem pˇr´ıkladu tedy stejnou barvu), pak jde jistˇe o ekvivalenci. Kaˇzdá tˇr´ıda obsahuje vˇsechny prvky dané barvy. Rozklad indukovan´ y touto ekvivalenc´ı tedy pˇredstavuje mnoˇzinu barev. Nezáleˇz´ı jiˇz na prvc´ıch samotn´ ych, ale na barvách. Chceme-li napˇr´ıklad zelen´ y prvek, m˚ uˇzeme vz´ıt libovoln´ y prvek ze zelené tˇr´ıdy, kter´ y poslouˇz´ı jako reprezentant dané barvy stejnˇe dobˇre jako kter´ ykoliv jin´ y prvek ze stejné tˇr´ıdy.

9.2

Pˇ r´ıklady

1) Uvaˇzujme na mnoˇzinˇe Z cel´ ych ˇc´ısel dˇelen´ı se zbytkem, napˇr´ıklad sedmi. Relace E je definovan´ a tak, ˇze a ∼ b pokud a i b maj´ı po dˇelen´ı sedmi stejn´ y zbytek. Opˇet snadno nahlédneme, ˇze tato relace je ekvivalenc´ı. Sestroj´ıme tˇr´ıdy prvk˚ u 0, . . . , 6, pro které zavedeme nové oznaˇcen´ı ¯ 0 = E(0) ¯ 1 = E(1) ¯ 2 = E(2) ¯ 3 = E(3) ¯ 4 = E(4) ¯ 5 = E(5) ¯ 6 = E(6)

{. . . , −7, 0, 7, 14, . . .}, {. . . , −6, 1, 8, 15, . . .}, {. . . , −5, 2, 9, 16, . . .}, {. . . , −4, 3, 10, 17, . . .}, {. . . , −3, 4, 11, 18, . . .}, {. . . , −2, 5, 12, 19, . . .}, {. . . , −1, 6, 13, 20, . . .}.

= = = = = = =

(9.2)

Vid´ıme, ˇze v´ıce tˇr´ıd psát nemus´ıme, protoˇze sjednocen´ım tˇechto jiˇz je celá mnoˇzina Z. Pro indukovan´ y rozklad také zavedeme nové oznaˇcen´ı a máme Z7 = πE = ¯0, ¯1, . . . , ¯6 . (9.3) Nyn´ı na mnoˇzinˇe Z uvaˇzujme operaci sˇc´ıtán´ı a pokusme se sˇc´ıtán´ı smysluplnˇe definovat i na mnoˇzinˇe rozkladov´ ych tˇr´ıd (takzvané faktorové mnoˇzinˇe) Z7 . Jak bychom mohli definovat napˇr´ıklad ¯1 + ¯4? Vezmeme nˇejak´ y prvek a z tˇr´ıdy ¯1 ¯ a nˇejak´ y prvek b z tˇr´ıdy 4 a pod´ıváme se, z jaké tˇr´ıdy je souˇcet a + b. Tato tˇr´ıda by mohla b´ yt souˇctem ¯1 + ¯4. Snadno nahlédneme, ˇze pro jakoukoliv volbu ¯ ¯ a ∈ 1 a b ∈ 4 je tˇr´ıda v´ ysledku a + b vˇzdy ¯5. Pokud provedeme tuto u ´vahu pro vˇsechny dvojice, zjist´ıme, ˇze vˇzdy je jediná volba pro v´ ysledek, nezávislá na volbˇe reprezentant˚ u jednotliv´ ych tˇr´ıd, sˇc´ıtán´ı na Z7 je tedy dobˇre definované a je dané tabulkou + ¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5 ¯6

¯0 ¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5 ¯6

¯1 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5 ¯6 ¯0

¯2 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5 ¯6 ¯0 ¯1

¯3 ¯3 ¯4 ¯5 ¯6 ¯0 ¯1 ¯2

¯4 ¯4 ¯5 ¯6 ¯0 ¯1 ¯2 ¯3

¯5 ¯5 ¯6 ¯0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4

¯6 ¯6 ¯0 ¯1 ¯2 . ¯3 ¯4 ¯5

ˇ ÍKLADY 9.2. PR

51

Je-li moˇzné operaci na tˇr´ıd´ ach ekvivalence E dobˇre definovat, ˇr´ıkáme této ekvivalenci kongruence (vzhledem k pˇr´ısluˇsné operaci). Naˇse zadaná ekvivalence je tedy kongruenc´ı vzhledem ke sˇc´ıtán´ı. Zároveˇ n je moˇzné ukázat asociativitu sˇc´ıt´ an´ı na Z7 , neutr´ aln´ı prvek je jistˇe ¯0 a opaˇcné prvky jsou vidˇet z tabulky. Komutativita je také vidˇet z tabulky. Vid´ıme, ˇze (Z7 , +) je komutativn´ı grupa, takzvan´ a faktorov´ a grupa podle kongruence E. Analogicky bychom sestrojili faktorovou grupu (Zn , +) pro libovolné n ∈ N. Poznamenejme jeˇstˇe, ˇze ve faktorov´ ych grupách se ˇcasto vynechávaj´ı pruhy nad z´ astupci tˇr´ıd. Jeˇstˇe si u tohoto pˇr´ıkladu vˇsimneme, ˇze tˇr´ıda neutráln´ıho prvku, tedy ¯0 = E(0), je podgrupou grupy (Z, +). (Vˇsechny souˇcty prvk˚ u z této tˇr´ıdy jsou opˇet v této tˇr´ıdˇe a opaˇcné prvky k prvk˚ um z této tˇr´ıdy jsou také z této tˇr´ıdy.) Tuto podgrupu bychom také mohli oznaˇcit 7Z, protoˇze je to mnoˇzina násobk˚ u sedmi. ˇ Rekneme si jiˇz nyn´ı, ˇze faktorizace podle kongruenc´ı odpov´ıdá faktorizaci podle norm´ aln´ıch podgrup a zapisuje se Z/7Z = Z7 . Obecnˇe pro libovolné n ∈ N je pˇr´ısluˇsná faktorová grupa Z/nZ = Zn . Protoˇze v komutativn´ı grupˇe je kaˇzdá podgrupa normáln´ı, nepˇredstavuje zde tato vlastnost ˇz´ adnou doplˇ nuj´ıc´ı podm´ınku. Podrobnˇeji o normáln´ıch podgrupách pojedn´ ame v pˇr´ıˇst´ı kapitole. 2) Uvaˇzujme na grupˇe Z6 ekvivalenci indukovanou rozkladem π = {¯ 0, ¯ 1, ¯3}, {¯2, ¯4, ¯5} . Zˇrejmˇe je 1 + 2 = 3 a 1 + 4 = 5, nelze tedy dobˇre definovat souˇcet ¯1 + ¯2 = ¯1 + ¯4, protoˇze ¯ 3 6= ¯ 5. Uveden´ a ekvivalence nen´ı kongruenc´ı a neindukuje operaci na faktorové mnoˇzinˇe π. 3) Uvaˇzujme na grupˇe Z6 ekvivalenci indukovanou rozkladem π = {0, 2, 4}, {1, 3, 5} . (Zde jiˇz vynech´ av´ ame pruhy nad prvky této grupy.) Faktorová mnoˇzina je jistˇe ¯ 0, ¯1 a ˇcten´ aˇr si snadno ovˇeˇr´ı, ˇze indukovaná operace je dobˇre definovaná a je dána tabulkou + ¯ 0 ¯ 1

¯0 ¯0 ¯1

¯1 ¯1 . ¯0

Uvaˇzovan´ a ekvivalence je tedy kongruence. Uvedená tabulka je jistˇe tabulkou grupy Z2 . V ˇreˇci norm´ aln´ıch podgrup je ¯0 = {0, 2, 4} normáln´ı podgrupa grupy Z6 a p´ıˇseme Z6 /{0, 2, 4} ' Z2 .

52


4) Jin´ a kongruence na grupˇe Z6 je indukovaná rozkladem π = {0, 3}, {1, 4}, {2, 5} . Faktorov´ a mnoˇzina je jistˇe ¯0, ¯1, ¯2 a tabulka indukované operace je + ¯0 ¯1 ¯2

¯0 ¯0 ¯1 ¯2

¯1 ¯1 ¯2 ¯0

¯2 ¯2 ¯0 . ¯1

To je jistˇe tabulka grupy Z3 , máme tedy Z6 /{0, 3} ' Z3 .

(9.4)

Zde vid´ıme, ˇze grupu Z3 m˚ uˇzeme z grupy Z z´ıskat bud’ pˇr´ımo, faktorizac´ı Z/3Z, nebo nejprve z´ıskat grupu Z6 faktorizac´ı Z/6Z a pak provést faktorizaci (9.4). Podobnˇe na pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu pro grupu Z2 . 5) Necht’ n nen´ı prvoˇc´ıslo a m dˇel´ı n. V Zn existuje normáln´ı podgrupa o m prvc´ıch, tedy i netrivi´ aln´ı kongruence. Faktorová grupa podle této kongruence (resp. podle pˇr´ısluˇsné podgrupy) je grupa Zk , kde n = mk. Naopak, pokud p je prvoˇc´ıslo, pak v Zp neexistuje ˇzádná netriviáln´ı podgrupa a ani ˇzádná netriviáln´ı kongruence (kromˇe identity a u ´plné relace). V n´ asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech si ukáˇzeme nˇekteré zaj´ımavé ekvivalence z geometrie. Nevyhneme se pˇri tom nˇekter´ ym u ´vahám o topologii, podrobné pojednán´ı o pˇr´ısluˇsn´ ych pojmech je ale nad rámec tohoto textu. Je potˇreba, aby ˇctenáˇr ch´ apal alespoˇ n intuitivnˇe, ˇze v topologii se zaj´ımáme o to, které body dané mnoˇziny nebo prostoru jsou si bl´ızké a které vzdálené. Pˇri spojité realizaci takové mnoˇziny pak chceme tuto bl´ızkost dodrˇzet. 6) Uvaˇzujme na mnoˇzinˇe R reáln´ ych ˇc´ısel relaci E definovanou tak, ˇze a ∼ b pokud a − b ∈ Z. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze i tato relace je ekvivalence. Za mnoˇzinu reprezentant˚ u faktorové mnoˇziny m˚ uˇzeme vz´ıt polouzavˇren´ y interval h0, 1), protoˇze kaˇzdé re´ alné ˇc´ıslo je ekvivalentn´ı s nˇekter´ ym ˇc´ıslem z tohoto intervalu. Z´ aroveˇ n si vˇsimneme, ˇze i na tomto intervalu lze dobˇre definovat sˇc´ıtán´ı, pokud souˇcet dos´ ahne nebo pˇresáhne 1, odeˇcteme 1. I tato ekvivalence je tedy kongruenc´ı. Také si vˇsimneme, ˇze pokud posloupnost prvk˚ u z tohoto intervalu konverguje zleva k ˇc´ıslu 1, pak vlastnˇe konverguje zleva k ekvivalentn´ımu prvku 0. Pokud bychom re´ alnou osu R ”navinuli” na kruˇznici (o délce 1!), pak budou ekvivalentn´ım ˇc´ısl˚ um odpov´ıdat stejné body na této kruˇznici a tato konvergence bude zˇrejm´ a. Faktorov´ a mnoˇzina h0, 1) má tedy topologii kruˇznice S 1 (jednorozmˇerné sféry). Sˇc´ıt´ an´ı si m˚ uˇzeme lépe pˇredstavit jako sˇc´ıtán´ı u ´hl˚ u (násobk˚ u 2π), protoˇze pro u ´hly plat´ı ϕ ∼ ϕ + 2π. V ˇreˇci normáln´ıch podgrup máme tˇr´ıdu neutr´ aln´ıho prvku E(0) = Z, snadno se ovˇeˇr´ı, ˇze (Z, +) je podgrupa (R, +) a p´ıˇseme (R, +)/(Z, +) = S 1 .

ˇ ÍKLADY 9.2. PR

53

7) Nyn´ı uvaˇzujme podobnˇe na rovinˇe R2 relaci E definovanou pˇredpisem (a, b) ∼ (a, b + k) pro libovolné k ∈ Z. Snadno se pˇresvˇedˇc´ıme, ˇze i tato relace je ekvivalence. Za mnoˇzinu reprezentant˚ u faktorové mnoˇziny m˚ uˇzeme vz´ıt souˇcin R × h0, 1). Pro kaˇzdou dvojici (x, y) ∈ R × R je moˇzné k druhé sloˇzce pˇriˇc´ıst vhodné celé ˇc´ıslo, abychom z´ıskali ekvivalentn´ı prvek z R × h0, 1). Faktorová mnoˇzina R × h0, 1) m´ a topologii v´ alce R × S 1 . Uvaˇzovaná ekvivalence je kongruence, tˇr´ıda neutr´ aln´ıho prvku je normáln´ı podgrupa 0 × Z a máme (R × R)/(0 × Z) ' R × S 1 . 8) Nyn´ı uvaˇzujme na rovinˇe R2 ekvivalenci E definovanou pˇredpisem (a, b) ∼ ((−1)k a, b+k) pro libovolné k ∈ Z. Za mnoˇzinu reprezentant˚ u faktorové mnoˇziny m˚ uˇzeme vz´ıt opˇet souˇcin R×h0, 1). Topologie faktorové mnoˇziny je ale nyn´ı jiná. Budeme-li napˇr´ıklad konvergovat zleva k druhé sloˇzce prvku (1, 1), v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe bychom konvergovali zleva k druhé sloˇzce prvku (1, 0). Nyn´ı ale budeme t´ımto zp˚ usobem konvergovat zleva k druhé sloˇzce prvku (−1, 0). Pˇr´ımka urˇcená podm´ınkou y = 1 je v tomto i pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu ekvivalentn´ı s pˇr´ımkou urˇcenou podm´ınkou y = 0, nyn´ı ale ”v opaˇcném smˇeru”. Válec z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu se z´ısk´ a ”slepen´ım” hraniˇcn´ıch pˇr´ımek pásu R × h0, 1). Nyn´ı bychom tyto pˇr´ımky ”slepili v opaˇcném smˇeru”. Topologie faktorové mnoˇziny z tohoto pˇr´ıkladu je topologi´ı M¨ obiova listu. Na rozd´ıl od válce je toto neorientovatelná plocha. Ekvivalence, pomoc´ı které je Möbi˚ uv list vytvoˇren nen´ı kongruence. ˇ aˇr by jistˇe dok´ Cten´ azal z´ıskat M¨ obi˚ uv list i pomoc´ı ekvivalence na válci. 9) Uvaˇzujme obecnˇeji na rovinˇe R2 relaci E definovanou tak, ˇze (a, b) ∼ (c, d) pokud a − c ∈ Z a b − d ∈ Z. Za mnoˇzinu reprezentant˚ u faktorové mnoˇziny m˚ uˇzeme vz´ıt souˇcin polouzavˇren´ ych interval˚ u h0, 1) × h0, 1). Tato mnoˇzina má topologii souˇcinu dvou kruˇznic S 1 × S 1 a sˇc´ıtán´ı si m˚ uˇzeme (po vynásoben´ı 2π) lépe pˇredstavit jako sˇc´ıt´ an´ı dvojic u ´hl˚ u (ϕ, ψ), protoˇze i tato ekvivalence je zˇrejmˇe kongruenc´ı. V ˇreˇci norm´ aln´ıch podgrup, tˇr´ıda neutráln´ıho prvku (0, 0) je Z × Z a je to norm´ aln´ı podgrupa grupy R × R. Faktorová grupa, které ˇr´ıkáme 2-rozmˇern´ y torus a znaˇc´ıme ji T2 , je T2 = S 1 × S 1 = (R × R)/(Z × Z). Torus T2 lze spojitˇe realizovat v R3 jako ”pneumatiku” nebo ”plavac´ı kruh”, protoˇze protilehlé hraniˇcn´ı u ´seˇcky ˇctverce h0, 1)×h0, 1) jsou spolu ekvivalentn´ı a proto bychom tento ˇctverec mohli ”stoˇcit”, ”slepit” jednu dvojici tˇechto u ´seˇcek a z´ıskat tak ˇc´ ast v´ alce. Pak tento v´ alec ”stoˇcit v duhém smˇeru” a ”slepit” kruˇznice na jeho konc´ıch. 10) Zobecnˇen´ım pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu bychom z´ıskali n-rozmˇern´ y torus Tn . 11) Torus T2 jsme reprezentovali ˇctvercem h0, 1) × h0, 1). Definujme nyn´ı na toru ekvivalenci vˇzdy dvojice bod˚ u, pˇredpisem 1 (a, b) ∼ (1 − a, b + ), 2

(9.5)

kde a ∈ (0, 1) a b ∈ h0, 21 ). Je-li a = 0, pak poloˇzme (a, b) ∼ (a, b+ 12 ). Vid´ıme, ˇze za mnoˇzinu reprezentant˚ u lze vz´ıt obdéln´ık K2 = h0, 1) × h0, 21 ), protoˇze kaˇzd´ y

54


bod z druhého obdéln´ıka h0, 1) × h 12 , 1) má ekvivalentn´ıho reprezentanta v K2 . Jak vypad´ a topologie této mnoˇziny? Kdybychom chtˇeli opˇet ”slepit” hraniˇcn´ı ekvivalentn´ı u ´seˇcky, slepili bychom napˇred u ´seˇcky na stranách a opˇet bychom z´ıskali ˇc´ ast v´ alce. Nyn´ı bychom ale horn´ı a doln´ı kruˇznici neslepovali jako pˇri realizaci toru, museli bychom je slepit ”v opaˇcném smˇeru”. Museli bychom se tedy jednou z tˇechto kruˇznic dostat ”dovnitˇr” válce a ke druhé kruˇznici ji takto pˇrilepit. V R3 se n´ am to nepodaˇr´ı, aniˇz bychom válec protnuli. K2 je moˇzné spojitˇe realizovat v R4 . Z´ıskané ploˇse se ˇr´ıká Kleinova láhev a je neorientovatelná. 12) Uvaˇzujme na 2-rozmˇerné sféˇre S 2 ekvivalenci, pˇri které jsou spolu ekvivalentn´ı vˇzdy dva protilehlé body. Za mnoˇzinu reprezentant˚ u by bylo moˇzné vz´ıt napˇr´ıklad doln´ı polosféru, spolu s p˚ ulkou rovn´ıku. Této mnoˇzinˇe ˇr´ıkáme projektivn´ı prostor (projektivn´ı rovina) a znaˇc´ıme ji P2 . Nen´ı tˇeˇzké si rozmyslet, ˇze nen´ı orientovateln´ a (na rozd´ıl od sféry). Jej´ı spojitou realizaci je moˇzné provést v R4 .

9.3

Cviˇ cen´ı

1) Kolik je ekvivalenc´ı na 3-prvkové mnoˇzinˇe? Nakreslete jejich grafy a napiˇste pˇr´ısluˇsné indukované rozklady. 2) Kolik je ekvivalenc´ı na 4-prvkové mnoˇzinˇe? Nepoˇc´ıtejte ekvivalence, ale rozklady této mnoˇziny. 3) Ovˇeˇrte, zda ekvivalence z pˇr´ıkladu 1 je kongruenc´ı vzhledem k násoben´ı. Pokud ano, napiˇste tabulku pˇr´ısluˇsného faktorového grupoidu.

Kapitola 10

Homomorfismy grup 10.1


Pˇripomeneme, ˇze v grupˇe (G, ◦) m´ ame neutráln´ı prvek n a ke kaˇzdému prvku g ∈ G m´ ame symetrick´ y prvek g ∗ ∈ G. Pouˇz´ıváme-li pro operaci symbol +, ˇr´ık´ ame neutr´ aln´ımu prvku nulov´ y prvek a znaˇc´ıme ho 0, symetrickému prvku k prvku g ˇr´ık´ ame opaˇcn´ y prvek a znaˇc´ıme ho −g. Pouˇz´ıváme-li pro operaci symbol ·, ˇr´ık´ ame neutr´ aln´ımu prvku jednotkov´ y prvek a znaˇc´ıme ho 1 nebo e, symetrickému prvku k prvku g ˇr´ık´ ame inverzn´ı prvek a znaˇc´ıme ho g −1 . Prvn´ı z tˇechto konvenc´ı ˇr´ık´ ame aditivn´ı, druhé ˇr´ıkáme multiplikativn´ı. Definice 29 Necht’ (G, ◦) je grupa, H ⊆ G. Pokud plat´ı ∀x, y ∈ H ∀x ∈ H

: :

x ◦ y ∈ H, x−1 ∈ H,

pak ˇr´ık´ ame, ˇze H je podgrupa grupy G, a p´ıˇseme H ⊆⊆ G. Pro kaˇzd´ y prvek g ∈ G m˚ uˇzeme sestrojit levou a pravou rozkladovou tˇr´ıdu prvku g podle podgrupy H. Tyto tˇr´ıdy znaˇc´ıme g ◦ H, resp. H ◦ g a jsou to mnoˇziny g ◦ H = {x ∈ G: H ◦ g = {x ∈ G:

∃h ∈ H, x = g ◦ h}, ∃h ∈ H, x = h ◦ g}.

(10.1)

Nen´ı tˇeˇzké nahlédnout, ˇze pro komutativn´ı grupu jsou levé rozkladové tˇr´ıdy podle libovolné podgrupy totoˇzné s prav´ ymi, pro nekomutativn´ı grupu to tak b´ yt nemus´ı. Pokud jsou vˇsechny levé rozkladové tˇr´ıdy podle podgrupy H totoˇzné s pˇr´ısluˇsn´ ymi prav´ ymi rozkladov´ ymi tˇr´ıdami, naz´ yváme podgrupu H normáln´ı podgrupa grupy G. Pokud budeme uvaˇzovat mnoˇzinu lev´ ych rozkladov´ ych tˇr´ıd grupy G podle grupy H (a kaˇzdou z nich pr´ avˇe jednou), z´ıskáme rozklad grupy G, kter´ y odpov´ıd´ a jisté ekvivalenci na této grupˇe. Pokud je H normáln´ı podgrupa, je tato ekvivalence kongruenc´ı a je moˇzné sestrojit faktorovou grupu G/H, jak jsme si jiˇz uk´ azali v pˇredchoz´ı kapitole na pˇr´ıkladech podgrup komutativn´ıch grup.

55

56

KAPITOLA 10. HOMOMORFISMY GRUP

Definice 30 Necht’ G a H jsou grupy. Zobrazen´ı f : G → H nazýv´ ame homomorfismus, pokud plat´ı ∀x, y ∈ G : ∀x ∈ G :

f (x ◦ y) = f (x) ◦ f (y), f (x∗ ) = (f (x))∗ .

Homomorfismus, který je bijekc´ı, nazýv´ ame izomorfismus. J´ adro homomorfismu f : G → H znaˇc´ıme Ker(f ) a je to mnoˇzina prvk˚ u z G, které se zobraz´ı na neutráln´ı prvek v H. Jádro homomorfismu je vˇzdy normáln´ı podgrupa grupy G.

10.2

Pˇ r´ıklady

1) Z kapitoly o permutac´ıch si pamatujeme, ˇze grupu permutac´ı 3-prvkové mnoˇziny znaˇc´ıme S3 a tato grupa má prvky 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e= a= b= 1 2 3 2 1 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . c= k= l= 3 2 1 2 3 1 3 1 2 Budeme samozˇrejmˇe pouˇz´ıvat multiplikativn´ı notaci a teˇcku pro násoben´ı buˇ aˇr si pˇripomene multiplikativn´ı tabulku této grupy. Pak deme vynech´ avat. Cten´ si snadno ovˇeˇr´ı, ˇze H = {e, a} je podgrupa, a nap´ıˇse si jej´ı multiplikativn´ı tabulku. Jen mimochodem se snadno zjist´ı, ˇze grupa (H, ·) je izomorfn´ı grupˇe ˇ aˇr si ovˇeˇr´ı (Z2 , +). Izomorfismus je dán zˇrejm´ ym pˇriˇrazen´ım e 7→ 0, a 7→ 1. Cten´ platnost podm´ınek z definice homomorfismu. Vˇsimneme si, ˇze homomorfismus pˇrev´ ad´ı neutr´ aln´ı prvek na neutráln´ı prvek, v multiplikativn´ı grupˇe (H, ·) je to prvek e a v aditivn´ı grupˇe grupˇe (Z2 , +) je to prvek 0. Nyn´ı sestroj´ıme rozkladové tˇr´ıdy grupy S3 podle podgrupy H. Pro levé tˇr´ıdy dostaneme eH = aH = {e, a}, bH = kH = {b, k}, cH = lH = {c, l} a pro pravé tˇr´ıdy dostaneme He Hb Hc

= Ha = {e, a}, = Hl = {b, l}, = Hk = {c, k}.

Porovn´ ame-li levé a pravé tˇr´ıdy, vid´ıme, ˇze eH = He = aH = Ha = H. Levá i prav´ a rozkladov´ a tˇr´ıda prvk˚ u z H je vˇzdy H, protoˇze H je podgrupa. U ostatn´ıch tˇr´ıd ale m´ ame bH 6= Hb a podobnˇe pro prvky c, k, l. Levé a pravé tˇr´ıdy se tedy obecnˇe nerovnaj´ı, a proto podgrupa H nen´ı normáln´ı. Nep˚ ujde tedy definovat operace na lev´ ych ani na prav´ ych tˇr´ıdách. Kdybychom totiˇz chtˇeli definovat napˇr´ıklad souˇcin lev´ ych tˇr´ıd bH a cH, musel by b´ yt v´ ysledek tˇr´ıda souˇcinu nˇekter´ ych reprezentant˚ u. Protoˇze ale plat´ı bc = l a kl = b a prvky l a b patˇr´ı do r˚ uzn´ ych tˇr´ıd, nelze tento v´ ysledek dobˇre definovat, nezávisle na reprezentantech.

ˇ ÍKLADY 10.2. PR

57

2) Nyn´ı budeme uvaˇzovat podgrupu K = {e, k, l} grupy S3 . Nen´ı tˇeˇzké ovˇeˇrit, ˇ aˇr si ovˇeˇr´ı, ˇze izomorfismus ˇze tato podgrupa je izomorfn´ı s grupou (Z3 , +). Cten´ je d´ an napˇr´ıklad pˇriˇrazen´ım e 7→ 0, k 7→ 1, l 7→ 2. Zaj´ımavé je, ˇze i pˇriˇrazen´ı e 7→ 0, k 7→ 2, l 7→ 1 je izomorfismus tˇechto grup. Sestav´ıme rozkladové tˇr´ıdy grupy S3 podle podgrupy K. Dostaneme eK = kK = lK = Ke = Kk = Kl = {e, k, l}, aK = bK = cK = Ka = Kb = Kc = {a, b, c}. Vid´ıme, ˇze levé a pravé tˇr´ıdy se pro kaˇzd´ y prvek rovnaj´ı a podgrupa K je tedy norm´ aln´ı. Pokud tˇr´ıdy oznaˇc´ıme e¯ a a ¯ a nap´ıˇseme multiplikativn´ı tabulku tˇechto dvou tˇr´ıd, zjist´ıme, ˇze faktorov´ a grupa je izomorfn´ı s grupou H z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu a m˚ uˇzeme ps´ at S3 /K ' H. Jen na okraj poznamenejme, ˇze grupa S3 je takzvan´ ym semidirektn´ım souˇcinem grup K a H. 3) V grupˇe (Z, +) je mnoˇzina kZ vˇsech násobk˚ u ˇc´ısla k podgrupou (vlastn´ı podgrupou). Z´ aroveˇ n je tato vlastn´ı podgrupa izomorfn´ı celé grupˇe. Pˇriˇrazen´ı x 7→ kx je zˇrejmˇe izomorfismus Z → kZ 4) Podgrupa {0, 2, 4} grupy (Z6 , +) je izomorfn´ı se Z3 pˇri izomorfismu Z3 → {0, 2, 4} daném pˇredpisem x 7→ 2x. √ 5) Uvaˇzujme mnoˇzinu ˇsest´ ych odmocnin z jedné, tedy G = {x ∈ C: x = 6 1}. Uk´ aˇzeme, ˇze je to grupa vzhledem k násoben´ı. V´ıme, ˇze k-t´ ych odmocnin z jedné je vˇzdy k (komplexn´ıch ˇc´ısel), naˇse mnoˇzina má tedy 6 prvk˚ u. Jsou to ˇc´ısla √ √ √ √ 1 1 3 1 3 3 1 3 1, + i ,− + i , −1, − − i , −i . 2 2 2 2 2 2 2 2 V tomto tvaru se n´ am s nimi nebude dobˇre pracovat, pro násoben´ı je vhodnˇejˇs´ı z´ apis pomoc´ı normy a u ´hlu. Protoˇze vˇsechny maj´ı normu 1, bude to pouze pomoc´ı u ´hlu ve tvaru cos(0) + i sin(0), 2π 2π cos(2 ) + i sin(2 ), 6 6 2π 2π cos(4 ) + i sin(4 ), 6 6

2π 2π ) + i sin( ), 6 6 2π 2π cos(3 ) + i sin(3 ), 6 6 2π 2π cos(5 ) + i sin(5 ). 6 6 cos(

´ ˇ aˇr jistˇe v´ı, ˇze násobit takováto Uhly jsou tedy n´ asobky 2π eti. Cten´ 6 , od nuly do pˇ komplexn´ı ˇc´ısla znamen´ a sˇc´ıtat jejich u ´hly. Nen´ı tedy tˇeˇzké ovˇeˇrit, ˇze souˇcin ˇc´ısel z G je opˇet z G, asociativitu n´ asoben´ı dˇed´ı z komplexn´ıch ˇc´ısel, jednotkov´ y prvek je ˇc´ıslo 1 a inverzn´ı prvek k ˇc´ıslu s u ´hlem ϕ má u ´hel 2π − ϕ, coˇz je jistˇe také ˇc´ıslo z mnoˇziny G. Mnoˇzina G je tedy s operac´ı násoben´ı grupa. Pokud si ˇcten´ aˇr nap´ıˇse multiplikativn´ı tabulku této grupy, ihned uvid´ı, ˇze je to tabulka grupy izomorfn´ı s grupou (Z6 , +). Vˇsimneme si, ˇze tato ˇc´ısla jsou na jednotkové kruˇznici v komplexn´ı rovinˇe a tvoˇr´ı pravideln´ y ˇsesti´ uheln´ık se stˇredem v nule. Obecnˇe k-té odmodniny z jedné

58


tvoˇr´ı pravideln´ y k-´ uheln´ık se stˇredem v nule, jehoˇz jedn´ım vrcholem je ˇc´ıslo 1. Kaˇzd´ a mnoˇzina k-t´ ych odmocnin z jedné je podgrupou multiplikativn´ı grupy (C \ 0, ·) a také podgrupou grupy (U (1), ·), o které jsme se dozvˇedˇeli jiˇz dˇr´ıve. 6) Izomorfismus grup (R, +) a (R+ , ·) je dán pˇriˇrazen´ım x 7→ exp(x), resp. inverzn´ım pˇriˇrazen´ım y 7→ ln(y). To je snadno vidˇet ze vztah˚ u exp(a + b) = exp(a) · exp(b), ln(a · b) = ln(a) + ln(b). 7) Jiˇz dˇr´ıve jsme uvaˇzovali grupy O(2) a SO(2). Také jsme si ukázali, ˇze SO(2) je podgrupa grupy O(2). Snadno ukáˇzeme, ˇze tato podgrupa je normáln´ı. Zobrafn → R definované M 7→ det(M ) je totiˇz homomorfismus grupy (M fn , ·) zen´ı f : M na grupu ({−1, 1}, ·). V´ıme totiˇz, ˇze determinant souˇcinu matic je souˇcin determinant˚ u jednotliv´ ych matic, coˇz je pˇresnˇe podm´ınka pro homomorfismus. Jeho j´ adrem je podgrupa SO(2), protoˇze právˇe tyto matice maj´ı determinant jedna. Podgrupa SO(2) je tedy normáln´ı v O(2) a plat´ı O(2)/SO(2) ' ({−1, 1}, ·) ' (Z2 , +). fn znaˇc´ıme také GL(n, R). Zobrazen´ı f : GL(n, R) → 8) Grupu regul´ arn´ıch matic M R definované M 7→ det(M ) jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu je samozˇrejmˇe také homomorfismus, nyn´ı na grupu (R \ 0, ·). Zde je jeho jádrem podgrupa relugárn´ıch matic s determinantem jedna, kterou znaˇc´ıme SL(n, R). Zároveˇ n vid´ıme, ˇze SL(n, R) je norm´ aln´ı podgrupa grupy GL(n, R). 9) Na komplexn´ıch ˇc´ıslech je zobrazen´ı C → R definované z 7→ kzk homomorfismem grupy (C \ 0, ·) na grupu (R+ , ·) a jej´ım jádrem je normáln´ı podgrupa U (1). Také zobrazen´ı, které kaˇzdému komplexn´ımu ˇc´ıslu (zapsanému pomoc´ı normy au ´hlu) pˇriˇrad´ı jeho u ´hel, je homomorfismem, tentokrát grupy (C \ 0, ·) na grupu (U (1), ·). V´ıme, ˇze na grupu (U (1), ·) se m˚ uˇzeme d´ıvat jako na grupu (S 1 , +), protoˇze pˇri n´ asoben´ı v U (1) vlastnˇe sˇc´ıtáme u ´hly na kruˇznici S 1 . Jádrem tohoto homomorfismu je norm´ aln´ı podgrupa (R+ , ·). Grupa (C \ 0, ·) je direktn´ım souˇcinem grup (U (1), ·) a (R+ , ·). To ale nen´ı nic nového, protoˇze v´ıme, ˇze pˇri násoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel sˇc´ıtáme jejich u ´hly (n´ asoben´ı v U (1)) a n´ asob´ıme jejich normy (násoben´ı v R+ ). 10) V´ıme, ˇze komplexn´ı ˇc´ısla si m˚ uˇzeme pˇredstavit jako dvojice reáln´ ych ˇc´ısel, tedy C ' R2 . Toto je vlastnˇe izomorfismus aditivn´ıch grup. Násoben´ı mus´ı b´ yt definov´ ano zvl´ aˇst’. Uvaˇzujme nyn´ı takzvané kvaterniony, které oznaˇc´ıme H a zavedeme je jako H ' C2 ' R4 . Budou to tedy ˇctveˇrice reáln´ ych ˇc´ısel a sˇc´ıtat budeme po sloˇzk´ ach. Pokud zavedeme ”kvaternionické jednotky” i, j, k, které budou obdobou komplexn´ı jednotky i, pak kaˇzd´ y kvaternion q lze zapsat ve tvaru q = a + bi + cj + dk, kde a, b, c, d ∈ R. Kvaternionické jednotky budeme n´ asobit podle pravidel i2 = j 2 = k 2 = −1, −ji = ij = k, −kj = jk = i, −ik = ki = j.

(10.2)

ˇ Í 10.3. CVICEN

59

Pokud pouˇzijeme standardn´ı distributivn´ı pravidla, pak pravidla (10.2) definuj´ı operaci n´ asoben´ı na H. Je moˇzné ukázat asociativitu tohoto násoben´ı, ˇc´ıslo 1 je neutr´ aln´ım prvkem vzhledem k√n´ asoben´ı. M˚ uˇzeme definovat normu kvaternionu q = a + bi + cj + dk jako kqk = a2 + b2 + c2 + d2 . Pak nen´ı tˇeˇzké se pˇresvˇedˇcit, 1 ˇze kvaternion q ∗ = kqk (a − bi − cj − dk) je inverzn´ım prvkem ke kvaternionu q 6= 0. Nenulové kvaterniony s operac´ı násoben´ı jsou tedy grupou, která nen´ı komutativn´ı. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu s komplexn´ımi ˇc´ısly, i na kvaternionech je zobrazen´ı H → R definované q 7→ kqk homomorfismem grupy (H \ 0, ·) na grupu (R+ , ·). Nyn´ı je jej´ım j´ adrem normáln´ı podgrupa Sp(1) jednotkov´ ych kvaternion˚ u. Je témˇeˇr zˇrejmé, ˇze Sp(1) má topologii 3-rozmˇerné sféry, protoˇze je to mnoˇzina vektor˚ u s normou 1 v R4 . Toto pozorován´ı je zaj´ımavé, protoˇze ˇr´ık´ a, ˇze na 3-rozmˇerné sféˇre je moˇzné smysluplnˇe násobit a tato sféra je dokonce grupou. Napˇr´ıklad pro 2-rozmˇernou sféru to moˇzné nen´ı. 11) Oznaˇc´ıme P prostor imagin´ arn´ıch kvaternion˚ u, tedy kvaternion˚ u tvaru x = bi + cj + dk. Jistˇe je P ' R3 (izomorfismus aditivn´ıch grup). Nyn´ı pro kaˇzd´ y kvaternion q ∈ Sp(1) budeme uvaˇzovat transformaci P → P zadanou pˇredpisem x 7→ qxq −1 . Protoˇze n´ asoben´ı jednotkov´ ym kvaternionem pouze ”rotuje” s prostorem P , podobnˇe jako n´ asoben´ı jednotkov´ ym komplexn´ım ˇc´ıslem rotuje s prostorem C, transformace x 7→ qxq −1 zachovává u ´hly a je moˇzné se na ni d´ıvat jako na ortogon´ aln´ı transformaci prostoru P ' R3 . Jin´ ymi slovy, máme homomorfismus Sp(1) → SO(3). D´ ale si vˇsimneme, ˇze kvaternionu −q pˇr´ısluˇs´ı transformace x 7→ (−q)x(−q)−1 = qxq −1 , tedy stejná transformace jako kvaternionu q. Jejich obraz pˇri uvedeném homomorfismu je tedy stejn´ y. Jádro uvedeného homomorfismu je norm´ aln´ı podgrupa {−1, 1} grupy Sp(1) a dostáváme izomorfismus Sp(1)/{−1, 1} ' SO(3). Grupa SO(3) m´ a tedy topologii projektivn´ıho prostoru dimenze 3, protoˇze se z´ısk´ a z 3-rozmˇerné sféry, ztotoˇznˇen´ım protilehl´ ych bod˚ u.

10.3

Cviˇ cen´ı

1) Rozhodnˇete, zda grupa H 1 2 e= 1 2 1 2 b= 3 4

= {e, a, b, c} permutac´ı 3 4 1 2 a= 3 4 2 1 3 4 1 2 c= 1 2 4 3

3 4 4 3 3 4 2 1

je norm´ aln´ı podgrupa grupy S4 . Pokud ano, sestrojte faktorovou grupu S4 /H. 2) Ukaˇzte, ˇze grupa H tˇret´ıch odmocnin z jedné je normáln´ı podgrupa multiplikativn´ı grupy G dev´ at´ ych odmocnin z jedné a faktorová grupa G/H je izomorfn´ı s grupou (Z3 , +). 3) Uvaˇzujme 8-prvkovou multiplikativn´ı grupu kvaternionick´ ych jednotek G = {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k}. Najdˇete vˇsechny jej´ı podgrupy a rozhodnˇete, které z nich jsou norm´ aln´ı v G. Pro norm´ aln´ı podgrupy sestrojte faktorové grupy.

60


4) Rozhodnˇete, zda zobrazen´ı C → C zadané z 7→ z¯, tedy zobrazen´ı, které pˇriˇrad´ı prvku z = a + ib prvek z¯ = a − ib, je izomorfismus multiplikativn´ı grupy nenulov´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel na sebe (tedy automorfismus). 5) Ukaˇzte, ˇze multiplikativn´ı grupa nenulov´ ych komplexn´ıch ˇc´ısel je izomorfn´ı s multiplikativn´ı grupou nenulov´ ych matic tvaru a b , a, b ∈ R. −b a

6) Ovˇeˇrte, zda nenulové komplexn´ı matice tvaru a + ib c + id , a, b, c, d ∈ R, −c + id a − ib resp. nenulové re´ alné matice tvaru   a b c d  −b a −d c  ,   −c d a −b  −d −c b a

a, b, c, d ∈ R

tvoˇr´ı multiplikativn´ı grupu. Rozhodnˇete, zda multiplikativn´ı grupa nenulov´ ych kvaternion˚ u je izomorfn´ı s nˇekterou z tˇechto grup. 7) Spoˇc´ıtejte determinanty matic z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Jsou to homomorfismy do grupy (R+ , ·)?

UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ

Recommend Documents