Universitas Indonesia. Asimetri Isospin Pada Materi Quark. Skripsi. Ali Ikhsanul Qauli

Universitas Indonesia

Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Skripsi

Ali Ikhsanul Qauli 1006659123

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Fisika Depok April 2014


Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana

Ali Ikhsanul Qauli 1006659123

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Fisika Depok April 2014

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun yang dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

Nama

:

Ali Ikhsanul Qauli

NPM

:

1006659123

Tanda tangan

:

Tanggal

:

iii

21 April 2014


i HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh Nama

: Ali Ikhsanul Qauli

NPM

: 1006659123

Program Studi : S1 Reguler Fisika Judul Skripsi

: Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar sarjana Sains pada Program Studi S1 Reguler Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia DEWAN PENGUJI

Pembimbing I

:

Dr. Anto Sulaksono

(

)

Penguji I

:

Prof. Dr. Terry Mart

(

)

Penguji II

:

Dr. Agus Salam

(

)

Ditetapkan di

:

Depok

Tanggal

:

21 April 2014


v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini; Nama


NPM

: 1006659123

Program Studi

: S1 Reguler Fisika

Departemen

: Fisika

Peminatan

: Fisika Nuklir dan Partikel

Fakultas

: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya

: Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul : Asimetri Isospin Pada Materi Quark beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian Pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Depok, 21 April 2014

Ali Ikhsanul Qauli


ABSTRAK

Nama


Program Studi : S1 Reguler Fisika Judul Skripsi

: Asimetri Isospin Pada Materi Quark

Pada skripsi ini, kebergantungan persamaan keadaan materi quark terhadap parameter isospin dikaji secara teoritik. Model materi quark yang digunakan adalah pengembangan dari model CDDM (Confined Density Dependent Mass) dengan menambahkan suku interaksi isospin pada massa quark. Selanjutnya model ini disebut CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Model CIDDM diuji dengan membandingkan relasi massa-radius bintang yang dihasilkan dengan observasi astrofisika dan hasil prediksi tekanan materi quark pada daerah nilai rapat bilangan baryon yang besar berdasarkan perhitungan pQCD. Hasil yang kami dapatkan menunjukkan bahwa model CIDDM tidak bisa menjelaskan hasil perhitungan pQCD pada daerah nilai densitas baryon yang besar tetapi cukup konsisten dengan observasi bintang kompak dengan massa dua kali massa matahari untuk set parameter DI-2500. Kata kunci: Materi quark, isospin, densitas baryon, pQCD, CDDM, CIDDM, bag

vii


ABSTRACT

Name


Program of Study : Undergraduate Program in Physics Title

: Isospin Asymmetry In Quark Matter

In this bachelor thesis, the isospin dependence in quark matter’s equation of state have been studied theoretically. The quark matter model used in this study is an extended version of CDDM model where the isospin term in quark’s mass is included. Then this model is called CIDDM (Confined Isospin Density Dependence Mass). CIDDM model has been tested by comparing mass-radius relation which come from astrophysical observation and the equation of state obtained from perturbative QCD (Quantum Chromo Dynamics) calculation. We have found that CIDDM model cannot explain the equation of state from pQCD in large baryon density region but it’s maximum mass prediction is quite consistent with the one from compact stars observation. Namely the pulsar’s mass is about two times larger than solar mass if we use the parameter set DI-2500. Keywords: Quark matter, isospin, baryon density, perturbative QCD, CDDM, CIDDM, bag

viii


KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan petunjuk-Nya kepada kita umat muslim. Shalawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan pada Nabi Muhammad SAW, keluarga, para sahabat dan pengikutnya. Berangkat dari waktu sekitar empat tahun lalu ketika penulis mengikuti pelatnas TOFI (Tim Olimpiade Fisika Indonesia), banyak hal yang penulis dapatkan dan pelajari terkait fisika. Selanjutnya keingintahuan akan suatu topik fisika terkait benda angkasa menjadikan penulis melakuan penelitian lebih lanjut di universitas. Skripsi ini terkait dengan peristiwa kenukliran dalam suatu objek angkasa yang penulis telusuri lebih lanjut yang sebelumnya pernah penulis temui dalam bentuk yang sederhana ketika mengikuti pelatnas. Dalam penulisan skripsi ini, tak lepas dari bantuan dan dukungan berbagai pihak sehingga penulisan skripsi bisa selesai sesuai dengan apa yang penulis rencanakan. Oleh karena itu, patut kiranya penulis mengucapkan terimakasih kepada berbagai pihak yang sudah membantu selama ini. Penulis mengucapkan banyak terimakasih pada kolega di TOFI, pengetahuan awal tentang benda angkasa yang diberikan sungguh sangat membantu dalam penulisan skripsi ini. Juga kepada guru pembina yang dengan sabar dan tekun membina penulis sedari sekolah menengah, Pak Purwedi Bambang Rusdiyanto, terimakasih pak telah merelakan waktu, tenaga dan pikiran untuk membina kami. Dukungan teman-teman fisika terutama fisika angkatan 2010 juga sangatsangat berpengaruh dalam studi yang penulis lakukan. Kepada sahabat penulis; Ihsan dan Jaka, waktu empat tahun ini terasa cepat, tetapi juga terasa hebat berkat anda. Semoga silaturrahim tetap terjalin dengan baik. Kepada dosen, Pak Muhammad Hikam, terimakasih sudah menjadikan penulis sebagai asisten mengajar selama kurang lebih 2 tahun, hal tersebut juga merupakan pembelajaran bagi penulis agar bisa menyampaikan gagasan atau ide kepada orang lain dengan tepat. Juga kepada dosen fisika nuklir dan partikel, Pak Terry, Pak Anto, Pak Handoko, Pak Imam, Pak Agus dan Pak Handhika, terimakasih telah mengajarkan banyak hal terkait fisika nuklir dan

ix


x

partikel sehingga penulis sadar bahwa banyak misteri di alam ini yang belum terungkap dan perlu diungkap. Kepada rekan-rekan asisten laboratorium fisika lanjutan, ’joke’ dan diskusi yang rekan-rekan berikan sunggu luar biasa tetapi juga tetap scientific. Keep up the good work buddies! Untuk teman-teman perantauan dari Madura, kak Desy, kak Danang, kak Qamqam, Ramadhan, Melly, Nur Atika, Dani, Mulya, Ghafiqi, Edwin, Afifun, Kadir, dan semua adik-adik angkatan 2011, 2012, dan juga 2013 yang tidak cukup jika saya sebutkan semua di sini, terimakasih sudah menunjukkan bagaimana seharusnya orang Madura itu dengan baik, semoga akan semakin banyak teman-teman kita dari Madura yang akan menyusul ke kampus ini. Beberapa patah kata untuk meneruskan semangat pendahulu saya di kampus ini, let’s dominate this university guys!. Terimakasih juga penulis ucapkan untuk BATAN, yang telah memberikan bantuan berupa beasiswa, pelatihan ,seminar dan berbagai kegiatan terkait teknologi nuklir. Penulis menjadi paham betapa pentingnya pengembangan teknologi nuklir di Indonesia, dan semoga kedepannya semua pihak bisa turut serta mensukseskan pengembangan teknologi nuklir di Indonesia agar Indonesia bisa menjadi negara yang mandiri di sektor energi dan lingkungan. Kepada keluarga di rumah, ayahanda Masdawi Dahlan, ibunda Indra Sulistyawati, adinda Basri Qomari, Azizah Kusuma Dara, dan Cahya Imani Fitri yang sudah mendukung dan menemani penulis selama studi di fisika UI, penulis selalu mendoakan kebaikan untuk kita semua. Akhir kata penulis berharap agar skripsi ini bisa membawa manfaat bukan hanya untuk bagi pengembangan ilmu pengetahuan fisika secara umum tetapi juga untuk pengembangan metode dan teknik perhitungan komputasi yang lebih cepat dan efisien. Depok, Mei 2014 Ali Ikhsanul Qauli


DAFTAR ISI

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

iii

HALAMAN PENGESAHAN

i

HALAMAN PERNYATAAN PERSUTUJUAN PUBLIKASI

v

ABSTRAK

vii

KATA PENGANTAR

ix

DAFTAR ISI

xi

DAFTAR GAMBAR

xiii

1 PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5

Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 MATERI QUARK

3

2.1

Materi Quark dengan model bag MIT . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2

Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM

. . .

3

2.3

Persamaan keadaan Materi Quark . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4

Persamaan TOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3 METODE PERHITUNGAN

9

3.1

Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark . . . . . . . . .

3.2

Metode Fixed-Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS

9

13

4.1

CIDDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2

Prediksi pQCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

xi


xii

5 KESIMPULAN

21

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

DAFTAR ACUAN

23

A Persamaan TOV

24

B Materi Quark dengan CIDDM

28


DAFTAR GAMBAR

2.1

Prediksi tekanan pada materi quark, diambil dari referensi [8]. .

4.1

Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CI-

6

DDM dengan menggunakan set parameter DI-0. . . . . . . . . . 13 4.2

Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300. . . . . 13

4.3

Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500. . . . 14

4.4

Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan model CIDDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.5

Relasi massa dan radius bintang. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6

Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada materi quark berdasarkan model CIDDM. . . . . . . . . . . . . 17

4.7

Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai parameter yang bervariasi pada DI-300. . . . . . . . . 18

4.8

Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi parameter pada DI-2500. . . . . . . . . . . . . . . . 19

xiii


BAB 1 PENDAHULUAN 1.1

Latar Belakang Bintang neutron dipercaya sebagai hasil akhir dari ledakan supernova [1]

dan merupakan bintang dengan densitas massa yang sangat besar. Namun ilmuwan percaya bahwa bintang neutron bukanlah satu-satunya hasil akhir dari ledakan supernovae, melainkan ada jenis bintang lain yang lebih besar densitas massanya yakni bintang quark. Bintang quark bisa muncul dikarenakan densitas massa yang sangat besar dapat memecah neutron menjadi quark-quark penyusunnya. Dari beberapa penelitian menunjukkan bahwa materi quark, sebagai penyusun bintang quark, memiliki kestabilan yang lebih baik dibandingkan dengan materi nuklir [2], sehingga sangat dimungkinkan untuk terbentuk pada bintang quark. Selanjutnya dengan model Bag MIT, ilmuwan mulai mempelajari struktur dan dinamika bintang quark itu [3], [4], dan [5]. Selama beberapa waktu model Bag MIT mengalami banyak pengembangan sampai dikenal suatu model CDDM (Confined Density Dependent Mass) yang mengikut sertakan densitas materi quark pada perumusannya. Model CDDM awalnya digunakan untuk menganalisa materi quark yang hanya terdiri dari quark up dan quark down saja [6], namun kemudian juga digunakan untuk materi quark yang terdiri dari tiga quark, yakni quark up, down dan strange. Pada model CDDM massa quark diasumsikan dapat berubah-ubah sesuai dengan densitas massa dari materi quark. Dalam hal ini massa quark diparameterisasi dengan densitas bilangan baryon (nB ). Mirip dengan model Bag MIT, model CDDM ini juga menganggap quark bergerak bebas pada suatu hadron. Hanya saja, pada model CDDM massa quark bisa berubah-ubah sesuai dengan densitas massa disekitarnya sedangkan pada model Bag MIT, massa quark diasumsikan tetap. Dari semua model tersebut, terdapat suatu batasan, bahwa materi quark yang terdiri dari 2 quark (u dan d) harus memiliki energi minimum per baryon yang lebih besar dari pada 930 MeV, sedangkan untuk tiga quark (u, d dan s) harus lebih rendah dari 930 MeV [2, 3]. 1


2

1.2

Perumusan masalah Pada penelitian ini, penulis menggunakan model lanjutan dari model CDDM

yakni mengikutsertakan isospin pada suku massa quark yakni CIDDM (Confined Isospin Density Dependent Mass). Hal ini dilakukan agar bisa menjelaskan bagaimana karakteristik keadaan materi quark pada temperatur rendah dan densitas baryon rendah. Selanjutnya persamaan keadaan dari materi quark akan bandingkan dengan persamaan keadaan berdasarkan perturbative QCD pada daerah densitas baryon besar untuk mengetahui seberapa baik model ini memberikan perkiraan pada persamaan keadaan quark pada daerah dengan densitas baryon yang besar. 1.3

Metode Penelitian Penelitian dilakukan dengan analitik dan numerik. Asimetri isospin dan

pengaruh densitas baryon pada materi quark dipelajari dengan menambah beberapa suku pada massa quark. Penambahan suku tersebut dikendalikan dengan menggunkan parameter pengali yang disesuaikan sehingga bisa memperoleh limit massa dan radius bintang yang sesuai dengan pengamatan. Selanjutnya dengan menggunakan metode numerik parameter yang didapat akan dicocokkan dengan perhitungan pQCD. 1.4

Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk mempelajari pengaruh isospin dan den-

sitas baryon pada bintang quark serta melakukan perbandingan dengan massa maksimum bintang kompak dan mengkaji konsistensi model yang kami gunakan dengan perhitungan pQCD. 1.5

Sistematika Penulisan Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut: Bab I berisi pendahuluan, Bab II membahs materi quark, Bab III mendis-

kusikan metode penelitian sedangkan hasil perhitungan dan analisa diberikan di Bab IV. Bab V berisi penutup berupa kesimpulan dan saran.


BAB 2 MATERI QUARK 2.1

Materi Quark dengan model bag MIT Materi quark pada model bag MIT dirumuskan dengan menggunakan pen-

dekatan, quark terkurung dalam sebuah bag dimana di dalam bag itu quark bergerak bebas. Dalam penelitian ini, digunakan pendekatan pada suhu nol, maka perumusan rapat energi untuk quark dalam bag menjadi Z p gi i = k 2 + mi 2 k 2 dk, 2 2π νi

(2.1)

dengan gi adalah faktok degenerasi untuk quark yang bernilai 6 , i = u, d, s. Kemudian dengan menggunakan relasi termodinamika akan diperoleh [12] Pi = ni

∂i − i , ∂ni

(2.2)

dengan faktor ∂i /∂ni yang dikenal dengan nama potensial kimia. Selanjutnya untuk tekanan total dari materi quark [2] P +B =

X

Pi

i

! = −

X

i + B

i

+

X i

ni

∂ , ∂ni

(2.3)

sehingga diperoleh rapat energi untuk materi quark adalah =

X

i + B,

(2.4)

i

dimana B adalah konstanta bag. 2.2

Materi Quark Strange dengan model CDDM dan CIDDM Pada model bag MIT, quark diasumsikan bermassa konstan dan bergerak

bebas dalam bag. Konstanta bag merupakan representasi interaksi dari quark

3


4

yang tidak dimasukkan ke dalam suku massa quark melainkan langsung diletakkan kedalam persamaan densitas energi quark. Pada model CDDM, massa quark dengan densitas baryon nB didefinisikan sebagai: mq = mq0 + mI = mq0 + dengan mI =

D nB z

D , nB z

(2.5)

adalah suku interaksi quark dan bentuk ini adalah bentuk

fenomenologis. Parameter D ditentukan dari argumen kestabilan materi quark strange (Strange Quark Matter ). Parameter z merupakan parameter skala quark, yang dibuktikan oleh [7] bahwa nilanya adalah z = 1/3. Pada penelitian ini, penulis menggunakan bentuk massa quark dengan adanya kebergantungan terhadap isospin sebagai mq = mq0 +

D nB 1/3

− τq δDI nαB e−βnB ,

(2.6)

dengan DI , α, β adalah parameter yang menentukan kebergantungan pada isospin, δ adalah parameter asimetri isospin, τq adalah bilangan kuantum isospin pada quark, τq = 1 untuk q = u (quark up), τq = −1 untuk q = d (quark

down) dan τq = 0 untuk q = s (quark strange). Densitas baryon didefinisikan sebagai nB =

nu + nd + ns , 3

(2.7)

yang mana setiap densitas baryon untuk quark didefiniskan sebagai ni =

νi 3 π2

(2.8)

νi adalah momentum Fermi untuk tiap quark (i = u, d, s). Kemudian faktor asimetri dari isospin didefinisikan sebagai: δ=3

nd − nu , nd + nu

(2.9)

kemudian didapatkan 1

νu = (1 − δ/3) 3 ν,

(2.10)

νd = (1 + δ/3) 3 ν.

(2.11)

1

2.3

Persamaan keadaan Materi Quark Penelitian ini, kami fokus pada materi dengan kondisi temperatur nol

(T = 0), sehingga beberapa besaran yang dicari pada materi quark dengan Universitas Indonesia

5

model CIDDM atau CDDM secara umum ditulis dalam bentuk X gi Z p k 2 + mi 2 k 2 dk, = 2 2π νi i X P = − + ni µi ,

(2.12) (2.13)

i=u,d,s,e

∂ . (2.14) ∂ni Dimana adalah densitas energi quark, P adalah tekanan dan µ adalah poµi =

tensial kimia. Untuk potensial kimia elektron dirumuskan sebagai p µ e = νe 2 + m e 2 .

(2.15)

Pada perumusan ini, persamaan keadaan untuk quark pada persamaan (2.12) dan (2.13) tidak memasukkan konstanta bag B seperti pada model bag MIT. Hal ini dikarenakan interaksi quark pada sudah dimasukkan kedalam massa quark yang menjadi lebih berat dengan kenaikan kerapatan. Kemudian untuk kondisi kesetimbangan potensial kimia yang terpenuhi adalah µu + µe = µd = µs .

(2.16)

Kemudian bintang quark diasumsikan netral sehingga 2 1 1 nu = nd + ns + ne . (2.17) 3 3 3 Dari perumusan (2.16), (2.17) dan (2.7) akan diperoleh beberapa persamaan yang nantinya akan digunakan untuk mendapatkan parameter momentum Fermi untuk quark up, down dan strange yang digunakan untuk menghitung persamaan keadaan dari bintang quark. Dari hasil perhitungan peturbative QCD [8], dirumuskan suatu prediksi tekanan materi quark pada kondisi nB sangat besar. Perumusan tekanan pada kondisi tersebut adalah PQCD (µB ) = PSB (µB ) c1 −

d1 X −ν1 (µB /GeV ) − d2 X −ν2

,

(2.18)

dengan nilai konstanta-konstanta di atas adalah c1 = 0.9008

(2.19)

d1 = 0.5034

(2.20)

d2 = 1.452

(2.21)

ν1 = 0.3553

(2.22)

ν2 = 0.9101

(2.23) Universitas Indonesia

6

dan nilai X bisa divariasikan dari 1 sampai 4. Diperkenalkan suatu besaran yakni tekanan oleh tiga quark bebas (noninteracting) dan tak bermassa sebagai 3 µB 4 , 4π 2 3 = µu + µd + µs .

PSB = µB

(2.24) (2.25)

Kemudian digunakan perbandingan tekanan pada materi quark P dengan tekanan tiga quark bebas PSB yang kemudian diperoleh grafik sebagai berikut

1

P/PSB

0.8

gluons

0.6 0.4

150MeV)

4

Free quarks Bag model, B=(150MeV) pQCD

0.2

0.8

0

0

1

2

3 µB [GeV]

4

5

4

6

ot three-flavor QGP Fig. 2.— Same tekanan as in pada Fig. materi 1, but fordiambil the pressure of[8].zeroGambar 2.1: Prediksi quark, dari referensi IT bag model (blue temperature quark matter in β equilibrium as a function of the band). The error baryon chemical potential. n the last result reor other, more elaborate model calculations to estimate The quantities are Persamaan TOV quarks and gluons 2.4 the behavior of the EoS. The matching of these EoSs to

the hadron resonance gas results can in addition be used

Persamaan TOV menjelaskan bagaimanalocation tekanan pada suatucrossover benda yang to determine the approximate of the

(Demorest et al. bermassa besar bergantung dengan posisi of atau jarak dari pusattobenda. transition, where the degrees freedom used describe = 2.01 ± 0.04M ⊙ the system from hadronic to sebagai partonic Persamaan TOVeﬀectively ditulis dalamchange bentuk persamaan differensial berhe situation in a ikut ones. Despite the obvious similarities of the two systems, p use the state-of3 p G ρ + c2 Mbetween + 4πr c2 the description there is one dp crucial diﬀerence = − , (2.26) of Kurkela et al. MG dr at high density of QCD matter high temperature: r r − 2 cand 2 use EoS for cold for the hot and lattice QCD provides a relidM dilute QGP, 2 gh the diagram= 4πr ρ. (2.27) able nonperturbative first principles method to evaluate dr result is very inbulk thermodynamic quantities, and thus check the acoS into a simple curacy of the perturbative and model predictions. This an accurate deis illustrated in Fig. 1, where we plot the pressure of the derivatives with Indonesia hot QGP at vanishing baryon numberUniversitas density, normalwe will explicitly ized to that of a free system. The figure exhibits a pery amenable to a turbative band obtained from the so-called ‘Dimensional

7

Persamaan (2.26) dan (2.27) menggunakan satuan yang disesuaikan, yakni h ¯ = c = 1. Untuk menyelesaikan persamaan differensial tersebut, dibutuhkan syarat batas sebagai berikut: 1. M (r = 0) = 0 2. p (r = R) = 0 3. Nilai (r = 0) dan p (r = 0) di pusat bintang bisa dipilih dari persamaan keadaan untuk materi quark. Untuk mendapatkan relasi massa dan jari-jari bintang dengan menggunakan persamaan differensial pada (2.26) dan (2.27), penulis menggunakan metode numerik Runge-Kutta orde 4. Pada metode Runge-Kutta orde 4, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodifikasi sedemikian hingga dalam proses perhitungan tidak muncul suatu nilai yang sangat-sangat besar. Hal ini sangat penting mengingat pada penelitian ini digabungkan antara dua skala yang sangat berbeda. Satu dari sektor nuklir dimana interaksi quark terjadi pada skala Fermi, sedangkan satu lagi dari sektor gravitas bintang dimana materi quark terbentuk dengan skala kilometer. Algoritma metode Runge-Kutta orde 4 untuk sistem persamaan differensial adalah sebagai berikut: Sistem persamaan differensial orde satu yang didefinisikan sebagai u0j =

du = fj (t, u1 , u2 , ..., um ) , dt

(2.28)

dimana m adalah jumlah persamaan differensial dalam sistem persamaannya yang berada pada daerah a ≤ t ≤ b dengan kondisi awal uj (a) = αj . Kemu-

dian definisikan atau inisialisasi interval nilai t dalam setiap perhitungan, kita sebut h h=

(b − a) , N

(2.29)

dengan N + 1 adalah jumlah titik yang akan dihitung dan terdapat N interval. Kita tentukan wj = αj , untuk kondisi mula-mula output yang dihasilkan adalah (t, w1 , w2 , w3 , ..., wm ), sedangkan untuk langkah selanjutnya mengikuti prosedur sebagai berikut: Pada setiap langkah iterasi i = 1, 2, ..., N 1. Untuk tiap j = 1, 2, 3..., m Universitas Indonesia

8

2. k1,j = hfj (t, w1 , w2 , w3 , ..., wm ) 3. k2,j = hfj ([t + h/2] , [w1 + k1,1 /2] , [w2 + k1,2 /2] , ..., [wm + k1,m /2]) 4. k3,j = hfj ([t + h/2] , [w1 + k2,1 /2] , [w2 + k2,2 /2] , ..., [wm + k2,m /2]) 5. k4,j = hfj ([t + h] , [w1 + k3,1 ] , [w2 + k3,2 ] , [w3 + k3,3 ] , ..., [wm + k3,m ]) 6. wj = wj + (k1,j + 2k2,j + 2k3,j + k4,j ) /6 7. Jadikan t = a + ih 8. Output (t, w1 , w2 , w3 , ..., wm ) . Kemudian dari metode Runge-Kutta di atas, persamaan (2.26) dan (2.27) dimodifikasi sedemikian hingga bisa didefinisikan dp dr G ( (p) + p) (M + 4πr3 p) = − . r r − 2 GM r

f1 (p, M ) =

dM dr = 4π (p) r2 .

(2.30)

f2 (p) =

(2.31)

Densitas energy (p) didapat dari hasil fitting data pada persamaan keadaan materi quark yang didapat sebelumnya.


BAB 3 METODE PERHITUNGAN 3.1

Perhitungan Persamaan Keadaan Materi Quark Pada bab ini akan kami kompilasi hasil-hasil perhitungan analitik yang

kami dapat. Dari persamaan (2.12) dengan menggunakan proses integral Z √ i √ 1h √ 2 k k + m2 2k 2 + m2 − m4 ln k + k 2 + m2 , k 2 + m2 k 2 dk = 8 diperoleh # " q p 2 2 X gi 1 + m ν + ν i i i . νi νi2 + m2i 2νi2 + m2i − m4i ln = 28 2π m i i

(3.1)

Kemudian dari persamaan potensial kimia (2.14) akan diperoleh : potential kimia quark up sebagai # " p 2 + m2 p p ν + ν 3 u u u µu = νu2 + m2u + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln 2π mu ( " ) # 1 D 6n d α −βnB −βnB × − 4/3 + δDI nα−1 (βnB − α) + B e 2 DI nB e 3 (nd + nu ) 3nB " # p q νd + νd2 + m2d 3 3 2 2 + 2 md νd νd + md − md ln 2π md ( " # ) 1 D 6n d α −βnB −βnB × − 4/3 − δDI nα−1 (βnB − α) − , B e 2 DI nB e 3 (n + n ) 3nB d u sedangkan untuk quark down adalah " # p q 2 + m2 p ν + ν 3 u u u νd2 + m2d + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln µd = 2π mu # ) ( " D 6nu 1 α−1 −βnB α −βnB − 4/3 + δDI nB e (βnB − α) − DI nB e × 3 (nd + nu )2 3nB " # p q 2 2 ν + ν + m 3 d d d + 2 md νd νd2 + m2d − m3d ln 2π md ( " # ) 1 D 6n u −βnB α −βnB (βnB − α) + . × − 4/3 − δDI nα−1 B e 2 DI nB e 3 (n + n ) 3nB d u 9


10

Kemudian untuk quark strange adalah " # p 2 2 p p ν + ν + m 3 u u u νs2 + m2s + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln µs = 2π mu " # 1 D −βnB × − 4/3 + δDI nα−1 (βnB − α) B e 3 3nB " # p q 2 2 ν + + m ν 3 d d d + 2 md νd νd2 + m2d − m3d ln 2π md # " 1 D α−1 −βnB (βnB − α) × − 4/3 − δDI nB e 3 3nB " # p 2 + m2 p ν + ν 3 D 1 s s s 3 + 2 ms νs νs2 + m2s − ms ln − . 2π ms 3nB 4/3 3 sehingga selisih keduanya adalah q p 2 2 νu + mu − νd2 + m2d µu − µd = νd 6nu 6nd νu α −βnB +DI nB e −f , (3.2) f mu nu + nd md nu + nd dan µu − µs =

p p νu 2 + mu 2 − νs 2 + ms 2 6nd νu νd −βnB +DI nB e nu − f nd 2 f mu md (nd + nu ) D νs + 4/3 ns f . (3.3) ms 9nB

Di sini f (x) didefinisikan sebagai f (x) =

i √ 3 h √ 2 2+1 x x + 1 − ln x + x . 2x3

Pada proses perhitungan, besaran yang menentukan persamaan keadaan materi quark adalah momentum Fermi untuk tiap konstituen (quark up, down, strange dan electron). Selanjutnya dari momentum Fermi yang diperoleh nantinya akan didapatkan persamaan keadaan (tekanan dan densitas energi) dari materi quark strange. Hasil dari persamaan keadaan yang didapat akan digunakan sebagai input untuk menghitung persamaan TOV. Dari persamaan (2.16) dan (2.17) juga (3.2) dan (3.1) bisa diperoleh perumusan untuk perhitungan numerik. Pertama, dari (2.16) bisa diperoleh dua Universitas Indonesia

11

persamaan sebagai berikut

nu f

νu mu

− nd f

νd md

6nd + µe = 0 (3.4) (nu + nd )2 νd νu 6nu α −βnB nd f − nu f = 0 (3.5) Ed − Es + DI nB e md mu (nu + nd )2

Eu − Es +

DI nαB e−βnB

dengan Ei =

q νi2 + m2i .

Dari tiga persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17) bisa dicari nilai momentum Fermi untuk masing-masing konstituen pada nilai densitas baryon tertentu. Secara umum, momentum Fermi masing-masing konstituen bisa ditemukan dengan cara mencari solusi untuk sistem persamaan non-linear. Metode dalam perhitungan numerik yang dikerjakan dalam penelitian adalah metode fixed-point. 3.2

Metode Fixed-Point Pada metode fixed-point [10] sistem persamaan non-linear diselesaikan de-

ngan memberikan suatu nilai solusi tebakan. Kemudian dari solusi tebakan di awal perhitungan tersebut, dicari solusi baru yang lebih akurat. Begitu seterusnya sampai tercapai suatu keadaan konvergen, yakni ketika solusi yang diperoleh pada setiap proses perhitungan sudah tidak mengalami perubahan yang signifikan. Tahap pertama adalah menentukan persamaan apa saja yang masuk dalam sistem persamaan non-linear, dalam penelitian ini persamaan tersebut adalah persamaan (3.4), (3.5), (2.7) dan (2.17). Ada 4 (empat) variable yang ingin dicari, sehingga perlu ada 4 (empat) persamaan yang tersedia. Dalam hal ini penulis menggunakan variable nB sebagai nilai input untuk menghitung νu , νd , νs dan νe . Namun dari keempat persamaan tersebut, bisa disederhanakan menjadi 2 persamaan saja. Berikutnya persamaan yang digunakan ke dalam teknis komputasi adalah p ν 2 + m2u − F1 (νu , νd ) = 0, qu νd2 + m2d − F2 (νu , νd ) = 0,

(3.6) (3.7)


12

sehingga dihasilkan νu = νd =

q

F12 (νu , νd ) − m2u ,

(3.8)

q F22 (νu , νd ) − m2d ..

(3.9)

Perumusan di atas menggunakan fungsi yang hanya bergantung dari νu dan νd saja, karena variabel lain seperti νs dan νe sudah disubtitusi dari persamaan (2.7) dan (2.17) ke persamaan (3.4) dan (3.5). Selanjutnya dengan metode fixed-point, dari persamaan (3.8) dan (3.9) menjadi νui+1 νdi+1

=

νui

=

νdi

−C

νui

−C

νdi

q − F12 (νui , νdi ) − m2u ,

(3.10)

q 2 i 2 − F2 (νui , νd ) − md ,

(3.11)

dengan i adalah iterasi perhitungan dan C adalah suatu konstanta tak berdimensi yang nilainya cukup kecil. Konstanta ini berguna untuk menghindari perubahan nilai solusi yang signifikan. Semakin kecil nilai C maka semakin akurat dalam pencarian solusi. Kemudian syarat agar solusi bisa didapatkan adalah nilai berhenti dari perhitungan menunjukkan hasil yang konvergen. Pada penelitian ini, penulis menggunakan syarat konvergen saat hasil dari persamaan berikut p ν 2 + m2u − F1 (νu , νd ) ' 0, qu νd2 + m2d − F2 (νu , νd ) ' 0.

(3.12) (3.13)


BAB 4 HASIL PERHITUNGAN DAN ANALISIS 4.1

CIDDM Pada bab ini kami akan memberikan hasil-hasil perhitungan numerik ber-

dasarkan analisisnya. Dari hasil perhitungan, diperoleh beberapa hasil plot yang kami tunjukkan pada Gambar 4.1 - 4.3. (a) DI-0 0.6

u d s e

0.5 Fraction

0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0.5

1

1.5

nB(fm-3)

Gambar 4.1: Fraksi quark up, down, strange dan elektron para model CIDDM dengan menggunakan set parameter DI-0.

(a) DI-300 0.6

u d s e

0.5 Fraction

0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0.5

1

1.5

-3

nB(fm ) Gambar 4.2: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-300.

13


14

(a) DI-2500 0.6

u d s e

0.5 Fraction

0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0.5

1

1.5

-3

nB(fm )

Gambar 4.3: Fraksi quark dengan menggunakan set parameter DI-2500.

Pada Gambar 4.1, Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 untuk set parameter DI −0

kami menggunakan parameter DI = 0, α = 0, β = 0, D1/2 = 156 MeV pada

perhitungan, set parameter ini merupakan parameter yang biasa digunakan pada model CDDM [11]. Untuk set parameter DI − 300 set parameter yang

digunakan adalah DI = 300 MeV.fm3α , α = 1, β = 0.1 fm3 , D1/2 = 151 MeV dan untuk set parameter DI − 2500, parameter yang digunakan adalah

DI = 2500 MeV.fm3α , α = 0.8, β = 0.1 fm3 dan D1/2 = 144 MeV. Terlihat bahwa fraksi quark up, down dan strange akan bernilai sama para kondisi rapat bilangan baryon yang tinggi. Pada saat itu juga fraksi elektron bernilai sangat kecil mendekati nol. Hal ini mengindikasikan bahwa pada kondisi nilai nB yang besar untuk mencapai keadaan yang netral, lepton (dalam hal ini elektron) tidak berperan penting. Sedangkan pada kondisi nB yang cukup kecil, terdapat perbedaan nilai fraksi antara ketiga parameter isospin terutama pada fraksi quark down, strange dan elektron. Pada parameter isospin yang lebih besar kondisi keseimbangan dan netralitas tetap terpenuhi dimana efeknya dikontrol oleh nilai dari parameter DI. Dilihat dari persamaan keadaan yang dihasilkan dari model CIDDM, dari Gambar 4.4 terlihat bahwa semua energi minimum materi quark strange berada di bawah nilai 930 MeV. Hal ini sesuai dengan prediksi dari referensi [3]. Dimana kestabilan materi quark membutuhkan energi minimum yang kurang dari 930 MeV. Nilai dari tekanan pada daerah nilai nB → 0 menunjukkan nilai

negatif sedangkan pada rapat energi menunjukkan nilai positif. Hal ini sesuai dengan kriteria model bag MIT yang mengindikasikan hal yang sama [7]. Plot relasi massa dan radius bintang pada Gambar 4.5. Terlihat bahwa Universitas Indonesia

15

(a) DI-0 1250 1150

(b) DI-300

(c) DI-2500

P(MeV/fm-3) E(MeV)

1050 950 850 750 650 550 450 350 250 150 50 0.4

0.8 1.2 nB(fm-3)

1.6

2

0.4

0.8 1.2 nB(fm-3)

1.6

2

0.4

0.8 1.2 nB(fm-3)

1.6

2

Gambar 4.4: Persamaan keadaan materi quark dengan variasi DI berdasarkan model CIDDM.

pada persamaan keadaan yang kebergantungan pada isospinnya paling besar memiliki massa maksimum paling besar. Pada hasil pengamatan massa pulsar PSR J1614-2230 dengan massa 1.97 ± 0.04 massa solar menunjukkan bahwa pada pulsar atau bintang quark yang memiliki massa maksimum lebih besar, maka kebergantungan pada isospin juga semakin besar. Selanjutnya dapat dilihat di Gambar 4.6, tekanan materi quark dengan tekanan quark bebas (free) menunjukkan nilai asimtotik yang berbeda dengan hasil perhitungan pQCD (Gambar 2.1). Hasil dari model CIDDM memberikan prediksi bahwa pada nilai densitas baryon nB yang besar, materi quark menjadi quark yang tidak saling berinteraksi. Hal ini diindikasikan dengan nilai perbandingan P/PSB yang bernilai 1 dinilai nB yang besar. Namun pada kondisi nilai rapat bilangan baryon nB yang kecil, berdasarkan Gambar 4.8, kondisi awal materi quark lebih ditentukan oleh besarnya nilai parameter D. Dengan memperbesar nilai D pada suku massa quark, maka diperoleh grafik prediksi yang mulai pada nilai nB yang lebih besar.


16

2

M/Msun

1.5 1

J1614-2230 DI-0 DI-300 DI-2500 B1/4=154.5 MeV

0.5

2

4

6 8 Radius (km)

10

12

Gambar 4.5: Relasi massa dan radius bintang.

4.2

Prediksi pQCD Dari kurva plot prediksi tekanan pada materi quark strange, bisa dilakukan

perumusan analitik bagaimana perilaku tekanan pada model CIDDM pada kondisi rapat bilangan baryon (nB ) yang sangat besar. Pada kondisi nilai nB yang cukup besar, maka terjadi kondisi 1. νu = νd = νs = ν 2. nu = nd = ns = nB =

ν3 π2

3. mu = md = m 6= ms = constant juga pada perumusan potensial kimia pada materi quark menjadi 1. µu = µd ' 2. µs '

√

√ ν 2 + m2

ν 2 + ms 2

3. µe ' 0 yang menyebabkan beberapa besaran seperti tekanan dan densitas energi bin-


17

1.2 1

P/PSB

0.8 0.6 0.4 DI-0 DI-300 DI-2500

0.2 0 1000

1500

2000 2500 µB(MeV)

3000

3500

Gambar 4.6: Prediksi tekanan sebagai fungsi potensial kimia baryon pada materi quark berdasarkan model CIDDM.

tang perumusannya menjadi X ni µi , P = − + i=u,d,s,e

" !# r 2 √ 6 ν ν ' − 2 ν ν 2 + m2 2ν 2 + m2 − m4 ln + +1 8π m m    s 2 p 3 ν ν − 2 ν ν 2 + ms 2 2ν 2 + ms 2 − ms 4 ln  + + 1  8π ms ms ν3 √ 2 ν3 p 2 2+ ν + m ν + ms 2 . π2 π2 Dengan menggunakan pendekatan matematis berupa +2

(4.1)

(1 + x)n ' 1 + nx, untuk nilai x = m/ν << 1, sehingga persamaan (4.1) dengan menjaga orde m/ν tidak lebih dari 2, menjadi 3 6 2 2 2 2ν ν + m − 2ν 2 ν 2 + ms 2 P ' − 2 2 8π 8π ν 4 m2 ν 2 ms 2 ν 2 + + . (4.2) π2 π2 π2 Kemudian pada perumusan pressure untuk tiga quark tak bermassa 3 µB 4 PSB = , (4.3) 4π 2 3 µB = 3ν, (4.4) +3


18

DI-300 1

P/PSB

0.8 =1; =0.1; D=0.58 =2; =0.1; D=0.58 =2.5; =0.1; D=0.58 =3.0; =0.1; D=0.58 =1.0; =0.1; D=1.0 =1.0; =0.1; D=1.5 =1.5; =0.1; D=1.0

0.6 0.4 0.2 0

1000

1500

2000 2500 µB(MeV)

3000

3500

4000

Gambar 4.7: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan nilai parameter yang bervariasi pada DI-300.

sehingga 3 4 ν . (4.5) 4π 2 Selanjutnya, rasio dari pressure P pada materi quark CIDDM model dePSB =

ngan PSB menjadi P PSB

=

− +

' 1−

P

i=u,d,s,e ni µi , 3 (µB /3)4 4π 2

2 m2 1 ms 2 − , 3 ν2 3 ν2

(4.6)

Dari perumusan dan hasil grafik bisa diperkirakan bahwa dari model CIDDM, pada kondisi rapat bilangan baryon nB yang sangat besar, quark cenderung bersifat bebas dan tak terikat satu sama lain. Hal itu ditunjukkan pada persamaan (4.6) yang akan bernilai P/PSB ' 1 ketika nilai nB atau ν

menjadi sangat besar. Nilai 1 mengindikasikan bahwa tekanan pada materi quark adalah sama dengan tekanan pada tiga quark yang saling bebas. Hal ini disebabkan pada keadaan nilai nB yang besar, masing-masing quark yang terkurung dalam suatu bag dengan suatu tekanan tertentu (konstan) bisa menembus dinding bag yang menyebabkan quark menjadi bebas. Dalam hal ini diambil analogi model bag MIT karena hasil yang sama juga terjadi pada model ini. Dan kalau kita telusuri lebih lanjut, memang model CIDDM adalah suatu model yang dikembangkan berdasarkan model bag MIT. Universitas Indonesia

19

DI-2500 1

P/PSB

0.8 0.6 0.4

=0.8; =1.5; =2.0; =1.0;

0.2 0 500

=0.1; D=0.53 =0.1; D=0.53 =0.1; D=0.53 =2.5; D=0.53

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 µB(MeV)

Gambar 4.8: Prediksi tekanan pada materi quark dengan model CIDDM dengan variasi parameter pada DI-2500.

Jika dibandingkan dengan hasil pQCD, menunjukkan pada kondisi nilai nB yang besar pun quark tetap berinteraksi dalam bag, tetapi kali ini nilai bag tidak konstan namun berubah (membesar) seiring membesarnya nilai nB . Pada tekanan materi quark yang bernilai nol yang berarti tekanan materi quark sama besar dengan konstanta bag B. Konstanta bag diibaratkan sebagai tekanan yang digunakan untuk membuat vakum bag. Ketika melakukan variasi dengan menaikkan nilai D, terlihat pada plot prediksi Gambar 4.8 bahwa tekanan pada nilai nol bergeser ke nilai nB yang lebih besar. Hal ini disebabkan interaksi antar quark semakin kuat dengan memperbesar nilai parameter D, interaksi yang terjadi adalah interaksi tarikmenarik. Pada nilai nB tertentu, tekanan akibat interaksi tarik-menarik pada materi quark bisa diimbangi dengan energi kinetiknya. Sehingga untuk nilai D yang semakin besar, dibutuhkan energi kinetik yang lebih besar (dalam hal ini energi kinetik berkaitan dengan nilai dari nB ). Sedangkan dengan menaikkan nilai parameter isospin, ternyata tidak terjadi pergeseran grafik yang mengindikasikan bahwa interaksi isospin tidak memegang peranan penting dalam menentukan keadaan materi quark terutama pada nilai nB yang besar. Melihat dari persamaan (4.6) dan dari Gambar 4.6 dan juga Gambar 4.8 dapat diperkirakan bahwa dibutuhkan suatu perumusan tekanan materi quark yang tidak bernilai asimtotik 1 pada nilai nB yang besar. Penulis memperkirakan bahwa hal tersebut bisa saja diperoleh dengan menggunakan penambahan Universitas Indonesia

20

suatu nilai bag tertentu yang nilainya bergantung pada nilai nB , semakin besar nilai nB maka semakin besar nilai bag. Melihat dari hasil perumusan (4.6), nilai bag yang dibutuhkan pada perumusan pressure agar konsisten dengan hasil pQCD perlu ditulis dalam bentuk B = B0 PSB

(4.7)

dengan B0 adalah suatu parameter yang menunjukkan seberapa besar interaksi rata-rata antar quark.


BAB 5 KESIMPULAN 5.1

Kesimpulan Dari basil perhitungan untuk model CIDDM dan perbandingan dengan

perhitungan perturbative QCD, bisa disimpulkan bahwa 1. Sebagai pengembangan dari model bag MIT, model CIDDM sesuai dengan kriteria model bag MIT para nilai densitas baryon rendah. 2. Model CIDDM cukup akurat dalam menentukan relasi mass-radisu bintang. Gambar 4.5 menunjukkan bahwa kebergantungan isospin berperan dalam menentukan harga massa maksimum pada relasi massa-radius bintang. 3. Persamaan keadaan bintang pada densitas baryon yang rendah bisa diprediksi dengan menggunakan CIDDM. 4. Pada daerah nilai densitas baryon yang besar, berdasarkan model CIDDM, quark cenderung bersifat bebas (free) terlihat dari Gambar 4.6. Berbeda dengan prediksi perturbative QCD yang memprediksi bahwa quark pada daerah nilai densitas baryon besar quark cenderung memiliki interaksi rata-rata yang bergantung densitas baryon. Hal ini terlihat dari Gambar 2.1. 5. Untuk menghasilkan prediksi yang sesuai dengan perhitungan perturbative QCD, dibutuhkan nilai tekanan yang sebanding dengan tekanan materi quark bebas (free) pada nilai densitas baryon yang besar. 5.2

Saran Dari hasil yang disajikan dalam skripsi ini, beberapa kesimpulan didapat

seperti dengan model CIDDM ternyata pada nilai densitas baryon besar quark cenderung bersifat bebas dan bertentangan dengan prediksi perturbative QCD yang mana quark cenderung berikatan. Dengan demikian, penelitian lebih lanjut diperlukan untuk mendapatkan perumusan persamaan keadaan bintang 21


22

yang lebih baik berdasarkan model CIDDM. Persamaan keadaan tersebut harus sesuai dengan kriteria model bag MIT pada nilai densitas baryon rendah dan sesuai dengan perhitungan perturbative QCD pada nilai densitas baryon tinggi.


DAFTAR ACUAN

[1] Lattimer. J. M. (2005). Neutron Stars. SLAC Summer Institute on Particle Physics. [2] Weber, F. (2004). Strange Quark Matter and Compact Stars. arXiv: astroph/0407155v2. [3] Farhi, E., Jaffe, R. L. (1984). Strange Matter. Phys. Rev. D, 30, 2379. [4] Chodos, A., Jaffe, R. L., Johnson, K., Thorn, C. B.,

Weisskopf, V.

F.(1974). New Extended Model of Hadrons. Phys. Rev. D, 9, 3471. [5] A. Chodos, R. L. Jaffe, K. Johnson, C. B. Thorn.(1974). Baryon Structure in The Bag Theory. Phys. Rev. D 10, 2599. [6] Fowler, G. N., Raha, S., Weiner, R. M.(1981). Z. Phys. C, 9, 271. [7] Peng, G. X., Chiang, H. C., Yang, J. J., Li, L., Liu, B.(1999). Mass Formulas and Thermodynamic Treatment in The Mass-Density-Dependent Model of Strange Quark Matter. Phys. Rev. C, 61, 015201. [8] Fraga, E. S., Kurkela, A., Vourinen, A.(2013). Interacting Quark Matter Equation of State for Compact Stars. arXiv:1311.5154v1 [nucl-th]. [9] Ryder, Lewis.(2009). Introduction to General Relativity, P.146-150, 243250, University of Kent, UK: Cambridge University Press. [10] Richard, L. B., J. Douglas F(2010). Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning [11] Chu, P. C., Chen, L. W. (2012). Quark Matter Symmetry Energy and Quark Stars. arXiv:1212.1388v1 [astro-ph.SR]. [12] Glendenning, N. K(2000). Compact Stars: Nuclear Physics, Particle Physics, and General Relativity (2nd ed). Springer.

23


LAMPIRAN A Persamaan TOV Dari referensi [9], persamaan TOV mulai dari perumusan tensor energimomentum untuk fluida yang diam  ˜µν

T



ρ

0

0

0

  0 =   0  0

p c2

0

0

p c2

 0  , 0  

0

0

(A.1)

p c2

atau bisa ditulis dalam bentuk T˜00 = ρ, p T˜ij = 2 δij , c

(A.2)

T˜µν = 0,

(A.4)

(A.3)

dan

untuk nilai µ 6= ν.

Selanjutnya, bentuk kontravarian (agar tensor energi-momentum invariant terhadap transformasi Lorentz) dari T˜µν adalah T ij = Λiµ Λjν T˜µν ,

(A.5)

dengan Λik = δki +

γ−1 i v vk , v2

(A.6)

vi , c = γ,

Λi0 = γ

(A.7)

Λ00

(A.8)

adalah elemen-elemen matriks Lorentz. Sehingga, perumusan tensor energi-momentum menjadi T ij = Λik Λjm T˜km + Λi0 Λj0 T˜00 i j γ−1 i γ−1 j p km i j 2v v = δk + v v δ + v v δ + γ ρ, (A.9) k m m v2 v2 c2 c2 2 T 00 = Λ0i Λ0j T˜ij + Λ00 T˜00 p = γ 2 − 1 2 + γ 2 ρ, (A.10) c 24


25

atau bisa ditulis dalam bentuk yang lebih kompak p µν p µ ν µν T = 2g + ρ + 2 u u , c c

(A.11)

dengan g µν uµ uν = −1 = gµν uµ uν .

(A.12)

Untuk mendapatkan tensor metrik g µν , berawal dari ansatz yang sudah umum digunakan [9]  g µν

  =    

gµν

  =   

0

0

0



0

e−2m

0

0

0

0

1 r2

0

0

0

0

1 r2 sin2 θ

  ,  

−e−2k

0

0

0



0

e2m

0

0

0

0

r2

0

0

0

0

r2 sin2 θ

  .  

−e2k

(A.13)

(A.14)

Kemudian persamaan-persamaan di atas digunakan untuk menyelesaikan persamaan medan Einstein sebagai 1 8πG Rνµ − δνµ R = 2 Tνµ , 2 c

(A.15)

untuk mendapatkan perumusan metrik untuk interior bintang dengan suatu jari-jari Rstar tertentu. Dengan beberapa relasi berikut Tνµ = T µα gαν ,

(A.16)

Rνµ = g µα Rαν ,

(A.17)

R = g µν Rµν = R00 + R11 + R22 + R33 ,

(A.18)

dengan definisi Christoffel symbol 1 Γνµκ = g νρ (gµρ,κ + gκρ,µ − gµκ,ρ ) , 2

(A.19)

Rµν = Γκµν,κ − Γκµκ,ν + Γκρκ Γρµν − Γκρν Γρµκ ,

(A.20)

dan tensor Ricci


26

akan diperoleh R00

= e

−2m

2k 0 −k − (k ) + k m − r 0 2

00

0

0

,

(A.21)

2m0 −k − (k ) + k m − = e , (A.22) r 1 1 k 0 m0 2 3 −2m + 2, R2 = R3 = e − 2− + (A.23) r r r r 2 4 0 0 00 0 2 0 0 −2m −2k − 2 (k ) + 2k m − (k − m ) − 2 R = e r r 2 + 2, (A.24) r R11

−2m

0 2

00

0

0

dengan a0 =

da , dr

(A.25)

dan  Tνµ

−ρ

  0 =   0  0



0

0

0

p c2

0

0

p c2

 0  . 0  

0

0

(A.26)

p c2

Subtitusi relasi (A.21), (A.22), (A.23), (A.24), dan (A.26) ke dalam persamaan medan Einstein (A.15), maka kita mendapatkan hasil sebagai berikut 2 e − m0 + r 2 0 k + e−2m r −2m

1 r2

1 r2

−

1 8πGρ = − 2 2 r c

1 8πG p = − 2 2, 2 r c c 0 0 8πG p k m 2 e−2m k 00 + (k 0 ) − k 0 m0 + − = . r r c2 c2 −

(A.27) (A.28) (A.29)

Dari persamaan (A.27) akan didapat bahwa e−2m = 1 −

8πGρ 2 r , 3c2

(A.30)

juga dari persamaan (A.28) setelah didifferensialkan terhadap r lalu disubtitusikan ke persamaan (A.29) untuk mendapatkan 8πG 0 2k 0 0 p = − (k + m0 ) e−2m . c4 r

(A.31) Universitas Indonesia

27

Jumlahkan persamaan (A.27) dan (A.28) untuk mendapatkan e−2m (k 0 + m0 )

8πG p 2 = 2 ρ+ 2 . r c c

(A.32)

Kemudian bandingkan persamaan (A.31) dan (A.32) untuk mendapatkan p0 p 0 = −k ρ + 2 . c2 c

(A.33)

Dari persamaan (A.33) ini bisa didapatkan persamaan TOV, dengan mensubtitusi k 0 ke persamaan (A.28) untuk mendapatkan dp 4πG p ρ p = − + + ρ r2 . G 2 2 dr c 3 c r − 2M c2

(A.34)

Sejauh ini, dalam mendapatkan persamaan (A.34), masih digunakan asumsi bahwa nilai ρ adalah konstan atau dengan kata lain massa bintang terdistribusi secara merata (uniform). Namun pada kenyataanya, persamaan tersebut bisa digunakan untuk bintang dengan densitas massa yang tidak uniform [9], dengan beberapa modifikasi menjadi G ρ + cp2 M + 4πr3 cp2 dp = − , dr r r − 2 Mc2G

(A.35)

dengan dM = 4πρr2 dr. dr

(A.36)


LAMPIRAN B Materi Quark dengan CIDDM Materi quark pada CDDM dan CIDDM bermula dari perumusan yang sama, dimulai dari perumusan massa, untuk CIDDM massa quark dirumsukan sebagai mq = mq0 + mI + miso = mq0 +

D nB 1/3

− τq δDI nB α e−βnB ,

(B.1)

dengan beberapa variabel didefinisikan sebagai nd − nu , nd + nu nu + nd + ns , = 3

δ = 3 nB

(B.2) (B.3)

yang mana nilai dari τq bisa bernilai 0 untuk quark strange, 1 untuk quark up, dan -1 untuk quark down. Kemudian rapat bilangan untuk masing-masing quark adalah n=

νi3 , π2

(B.4)

dengan i adalah quark up, down dan strange. Kemudian momentum Fermi untuk quark up dan down bisa diekspresikan dengan νu = (1 − δ/3)1/3 ν, νd = (1 + δ/3)1/3 ν.

(B.5) (B.6)

Kemudian, untuk persamaan keadaan materi quark, disini didefinisikan densitas energi pada materi quark X gi Z p = k 2 + mi 2 k 2 dk 2 2π ν i i " q # p 2 2 X gi 1 ν + ν + m i i i = νi νi2 + m2i 2νi2 + m2i − m4i ln ,(B.7) 2 2π 8 mi i dan tekanan didapat dari relasi termodinamika dimana sistem bintang quark diasumsikan sebagai sistem yang terisolir dan energi dari bintang ini adalah kekal. Dari hukum pertama termodinamika d0 Q = dE + pdV, 28

(B.8) Universitas Indonesia

29 yang mana d0 Q = 0 sehingga p=−

∂E . ∂V

(B.9)

Jika persamaan (B.9) dimodifikasi dengan memperkenalkan suatu nilai N (dari [12]) yakni jumlah partikel yang nilainya tetap sehingga didapat beberapa besaran sebagai berikut E , V N n = , V

(B.10)

=

(B.11)

sehingga tekanannya menjadi ∂ n N p = − ∂ Nn ∂ (/n) ∂n ∂ − . = n ∂n = n2

(B.12)

atau lebih lengkapnya menjadi p = − +

X i

ni

∂ , ∂ni

(B.13)

yang mana faktor ∂/∂ni disebut potensial kimia. Dari densitas energi pada persamaan (B.7) didapatkan perumusan potensial kimia quark q   2 2 q q ν + ν + m X j j j νj2 νj2 + m2j ∂νj + 1 ∂mj mj νj νj2 + m2j − m3j ln . µi = ∂n 2 ∂n m i i j j 

Potensial kimia quark up: " # ∂mu 1 D α−1 −βnB − 4/3 + δDI nB e (βnB − α) = ∂nu 3 3nB 6nd α −βnB , 2 DI nB e (nd + nu ) " # 1 D −βnB = − 4/3 − δDI nα−1 (βnB − α) B e 3 3nB +

∂md ∂nu

−

6nd α −βnB , 2 D I nB e (nd + nu )

(B.14)

(B.15) Universitas Indonesia

30 ∂νu π2 = , ∂nu 3νu2

(B.16)

∂νd = 0, ∂nu

(B.17)

didapatkan µu

" # p 2 + m2 p p ν + ν 3 u u u = νu2 + m2u + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln 2π mu # ) ( " 6nd 1 D −βnB α −βnB (βnB − α) + × − 4/3 + δDI nα−1 B e 2 DI nB e 3 (nd + nu ) 3nB " # p q νd + νd2 + m2d 3 3 2 2 + 2 md νd νd + md − md ln 2π md # ) ( " 6n 1 D d α −βnB −βnB . (βnB − α) − × − 4/3 − δDI nα−1 B e 2 DI nB e 3 (n + n ) 3nB d u Kemudian untuk quark down "

#

∂mu 1 D −βnB = − 4/3 + δDI nα−1 (βnB − α) B e ∂nd 3 3nB

6nu DI nαB e−βnB , (nd + nu )2 # " 1 D −βnB (βnB − α) = − 4/3 + δDI nα−1 B e 3 3nB −

∂md ∂nd

+

6nu α −βnB , 2 D I nB e (nd + nu )

(B.18)

(B.19)

∂νu = 0, ∂nd

(B.20)

∂νd π2 = , ∂nu 3νd2

(B.21)


31

didapatkan µd

" # p q 2 + m2 p ν + ν 3 u u u νd2 + m2d + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln = 2π mu ) # ( " D 6n 1 u α −βnB −βnB − 4/3 + δDI nα−1 (βnB − α) − × B e 2 DI nB e 3 (n + n ) 3nB d u " # p q νd + νd2 + m2d 3 3 2 2 + 2 md νd νd + md − md ln 2π md ( " # ) 1 D 6n u −βnB α −βnB × − 4/3 − δDI nα−1 (βnB − α) + , B e 2 DI nB e 3 (nd + nu ) 3nB

dan untuk quark strange adalah µs

" # p 2 + m2 p p ν + ν 3 u u u = νs2 + m2s + 2 mu νu νu2 + m2u − m3u ln 2π mu " # 1 D −βnB × − 4/3 + δDI nα−1 (βnB − α) B e 3 3nB # " p q 2 2 ν + m ν + 3 d d d + 2 md νd νd2 + m2d − m3d ln 2π md " # D 1 −βnB (βnB − α) × − 4/3 − δDI nα−1 B e 3 3nB " # p 2 + m2 p ν + ν 3 D 1 s s s 3 2 2 . + 2 ms νs νs + ms − ms ln − 4/3 2π ms 3nB 3


Universitas Indonesia. Asimetri Isospin Pada Materi Quark. Skripsi. Ali Ikhsanul Qauli

Recommend Documents