Uji Kompetensi Semester Akhir I. 1.
Pilihan Ganda Jawaban: a (1), (2), dan (3) Pembahasan: Statistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnya mengkaji/membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkan parameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistic jumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya. Statistik diartikan sebagai suatu ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu.
2. Jawaban: a. 142, 147, 152, 157 Pembahasan: Data Frekuensi Bb 140 – 144
2
145– 149
7
150 – 154
8
155 – 159
12
Ba
Tb
Ta
Ta+Tb
144
139.5
144.5
284
142
145
149
144.5
149.5
294
147
150
154
149.5
154.5
304
152
155
159
154.5
159.5
314
157
3. Jawaban: e. 106,67 Pembahasan: Data f1 Ba
Tb
Ta
ta+tb xi
xi − X
xi − X
X Bb
xi
140
2
f i xi − X
2
fi x xi
51 – 61
8
51
61
50.5
61.5
112
56
61 – 71
10
61
71
60.5
71.5
132
66
660
-6.67
44.44
444.4444
71 – 81
16
71
81
70.5
81.5
152
76
1216
3.333333333
11.111111
177.78778
81 - 91
11
81
91
80.5
91.5
172
86 Σ
946
13.33333333
177.77778 Σ
1955.56556
Σ
45
3.270 X = = 72, 6667 45 4800 8 15 SD = = = 10,327 45 3 4800 S2 = = 106, 67 45 4. Jawaban: a. 50,166 Tentukan Desil ke-9 Kelas
Frekuensi
Frek. Kumulatif
16 – 23 24 – 31 32 – 39 40 – 47 48 – 55 56 - 63 Σ
10 17 7 10 3 3 50
10 27 34 44 47 50 ----
Kelas Desil ke-9
448
3270
72.67
-16.67
277.77778
2222.22222
4800
interval = i = 8 Letak Desil ke-9 =
9n 10
=
9 × 50 10
= 45
Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55 ∴Kelas Desil ke-9 = 48 - 55 TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5
dan
TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5
f D9 = 3 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47
Desil ke-9 =
Desil ke-9 =
TBB Kelas Desil ke-9 + i
→ →
s = 45 - 44 = 1 s’ = 47 - 45 = 2
s fD
1 3
=
47.5 + 8
= 47.5 + 8 (0.333...)
=
47.5 + 2.66...
=
TBA Kelas Desil ke-9
2 3
= = 5. Jawaban: b. 42,3 Pembahasan: Tentukan Kuartil ke-3
-i
50.166...
s' fD
55.5 - 8
= 47.5 - 8 ( 0.666...)
55.5 -5.33...
= 50.166...
Kelas
Frekuensi
Frek. Kumulatif
16 – 23 24 – 31 32 – 39 40 – 47 48 – 55 56 – 63 Σ
10 17 7 10 3 3 50
10 27 34 44 47 50 ----
Kelas Kuartil ke-3 interval = i = 8 Letak Kuartil ke-3 =
3n 4
=
3 × 50 4
= 37.5
Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47 ∴Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47 TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5 f Q3 = 10 Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34
→
s = 37.5 - 34 = 3.5
Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44
Kuartil ke-3
Kuartil ke-3
6. Jawaban: e.
→
=
TBB Kelas Kuartil ke-3 + i
=
39.5 + 8
=
39.5 + 2.8
=
TBA Kelas Kuartil ke-3 - i
=
47.5 - 8
=
47.5 - 5.2
. 35 10
s’ = 44 - 37.5 = 6.5
s fQ
= 39.5 + 8 (0.35) = 42.3
s' fQ
6.5 10
= 47.5 - 8 ( 0.65) = 42.3
1 4
Pembahasan: sin75°.sin15° = 2sinα.sinβ = cos(α - β) - cos(α + β) sin75°.sin15° = ½(2sin75°.sin15°) = ½{cos(75 - 15)° - cos(75 + 15)°} = ½(cos60° - cos90°) = ½( ½ - 0) = ¼ 7. Jawaban: b. cos 2p Pembahasan: 2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π) 2cosα.cosβ = cos(α + β) + cos(α - β) 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)} 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)} = cos2p +cos½π = cos2p + 0 Jadi, bentuk sederhana dari 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p
8. Jawaban: b.
3 +1 2
Pembahasan: 2cos45°.cos15° 2cosα.cosβ = cos(α + β) + cos(α - β) 2cos45°.cos15° = cos(45 + 15)° + cos(45 - 15)° = cos60° + cos 30° 2cos45°.cos15° = cos60° + cos 30°
= ½ + ½√3 = ½(1 + √3) Jadi, nilai 2cos45°.cos15° adalah ½(1 + √3) 9. Jawaban: c. √2 Pembahasan: 2sin½π.sin¼π = cos¼π - cos¾π = ½√2 – (-½√2) = ½√2 + ½√2 =√2 Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2
10. Jawaban: b.
−
4 30 10 − 3 21
Pembahasan: sin A =
5 2 5 2 , cos A = , tan A = 3 5 3
cos B =
−
sin (A – B)
2 6 10 , sin B = 4 6 , tan = − 5 14 = sin A . cos B – cos A . sin B
5 . 4 6 3
=
2 10 . − 3 14
=
−
10 4 30 – 3 21
=
−
4 30 10 − 3 21
–
11. Jawaban: b. cos A . cos B + sin A . sin B Pembahasan: cos ( A + B ) = cos A . cos B – sin A . sin B cos ( A – B ) = cos A . cos B + sin A . sin B sin ( A + B ) = sin A . cos B + cos A . sin B sin ( A – B ) = sin A . cos B – cos A . sin B 12. Jawaban: c. 6 Pembahasan: Karena frekuensi data 6 paling tinggi, maka modus data tersebut adalah 6. 13. Jawaban: e.
1 4
Pembahasan: Ruang sampelnya terdiri dari 52 titik sampel yang masing-masing mempunyai peluang sama. Ada 13 kemungkinan kartu gambar ‘daun’, sehingga P(kartu ‘daun’)=
14. Jawaban: b.
ଵଷ ହଶ
=
1 . 4
1 2
Pembahasan: Pada peristiwa dadu menunjukkan angka 3 atau lebih, A = {4,5,6} memuat 3 titik sampel sehingga P(A) =
3 1 = 6 2
15. Jawaban: a.
1 3
Pembahsan: S
= {1,2,3,4,5,6}
A
= {1,2,3}
B
= {1,3}
⇒
n(S) = 6
⇒ ⇒ ⇒
(A ∩ B)= { }
n(A) = 3 n (B) = 2 n
(A ∩ B) = 2
Sehingga,
P ( A) =
3 1 = 6 2 2 1 P( B ) = = 6 3
P( A ∩ B) =
2 1 = 6 3
16. Jawaban: b. 15120 Pembahasan:
12! 10! − = 15120 5!·3!·4! 3!·4!·2! 17. Jawaban: b.
3 28
Pembahasan: Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I :
C23 C25
3! 2! ( 3 − 2 ) ! 6 3 = = = 5! 10 10 2! ( 5 − 2 ) !
Peluang terambil 2 bola biru dari kotak II:
C25 C28
5! 2! ( 5 − 2 ) ! 20 5 = = = 8! 56 14 2! ( 8 − 2 ) !
Jadi peluangnya =
3 5 3 × = 10 14 28
18. Jawaban: a. 12x + 5y - 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0 Pembahasan: x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0 (x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 - 4 = 0 (x - 1)² + (y + 2)² - 9 = 0 maka jari-jari lingkaran (r) = 3
5 , maka gradient garis yang tegak 12 12 5 lurus pada garis dengan gradien adalah m = 12 5
Persamaan garis 5x -12y + 15 = 0 memiliki gradien =
Persamaan garis singgung pada lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dengan gradient m adalah : (y - b) = m (x - a) ± r (
m2 + 1 ) 2
(y + 2) = -
12 12 (x - 1) ± 3( − +1 ) 5 5
kalikan 5
2
144 − 5 +1 )
5(y + 2) = -12 (x - 1) ± 15 (
169 25
5y + 10 = -12x + 12 ± 15(
12x + 5y - 2 ± 15(
)
13 )=0 5
12x + 5y - 2 ± 39 = 0 Maka persamaannya adalah : 12x + 5y + 37 = 0 atau 12x + 5y - 41 = 0 19. Jawaban: d. x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0 Pembahasan: Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) (x - 1)² + (y - 4)² = r² x² - 2x + 1 + y² - 8x + 16 = r² x² + y² - 2x - 8x + 17 - r² = 0 ................................ (1) Menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0 4y = 3x - 2 y=
3 1 x........................ (2) 4 2
Masukkan (1) ke (2)
3 1 3 1 x)² - 2x - 8 ( x ) + 17 - r² = 0 4 2 4 2 9 3 1 x² + x² x+ - 2x - 6x + 4 + 17 - r² = 0 4 4 16 x² + (
25 2 35 85 x − x+ −r =0 16 4 4 25x² - 140x + 340 - 16r² = 0. Syarat menyinggung : D = b² - 4ac = 0 (-140)² - 4 . 25 . (340 - 16r²) = 0 19600 - 34000 + 1600r² = 0 1600r² = 14400 r² = 9 Substitusikan ke persamaan lingkaran (1). x² + y² - 2x - 8y + 17 - 9 = 0 x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0 20. Jawaban: d. y = -2x + 5
5
Pembahasan: Persamaan lingkaran : x² + y² = 25 Persamaan garis : 2y - x + 3 = 0 2y = x - 3 y=
Gradiennya =
1 3 x2 2
1 2
Maka garis yang tegak lurus memiliki gradien = -2 Persamaan garis singgungnya : y = mx + c y = -2x + c Substitusikan ke persamaan lingkaran. x² + y² = 25 x² + (-2x + c)² = 25 x² + 4x² - 4xc + c² - 25 = 0
5x² - 4xc + c² - 25 = 0 Syarat garis singgung : D = 0 (- 4c)² - 4 (5) (c² - 25) = 0 16c² - 20c² + 500 = 0 - 4c² + 500 = 0 4c² = 500 c² = 125 c=±5
5 5
Jadi persamaan garis singgung 1 : y = -2x + 5 garis singgung 2 : y = -2x - 5
II. 1.
5
Uraian Kelas yang mengandung modus adalah 51 – 55. Tepi bawah (Tb) kelas yang mengandung modus adalah 50,5. b1 = 12 – 7 = 5 b2 = 12 – 10 = 2 p = ba – bb = 55,5 – 50,5 = 5 Mo = 50,5 + 5
5 5+ 2
= 50,5 + 5(0,714) = 50,5 + 3,57 = 54,07 2. Jawab:
a.
70! 70.69! 70 = = = 0,583 69!5! 69!5.4.3.2.1 120
b.
23! 23.22! 23 = = = 11,5 22!2! 22!2! 2!
c.
17! = 8,5 16!2! 11! = 55 9!2!
3.
d. Jawab:
x2 + y2 – 4x – 12y – 30 = 0 x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 Maka diperoleh: 2A = –4 2B A = –2 B
= –12 = –6
C = –30
r = A2 + B 2 − C =
( −2 )
2
+ ( −6 ) − ( −30 ) 2
= 4 + 36 + 30 = 70 Jadi, pusat lingkaran (-2,-6) dan jari-jari lingkaran =
4.
Jawab:
70 .
Gradien AB
4−0 4 =− 0−3 3
Maka gradien garis yang tegak lurus AB =
4 3
Persamaan garis yang singgung lingkaran pada (0, 8) : y = mx + c 4=
4 3
.0+c
c=4 Maka persamaannya adalah : y=
4 3
x+4
3y = 4x + 12 4x - 3y + 32 = 0 5.
Jawab: x2 + y2 – 8x – 2y + 8 = 0 (x – 4)2 + (y – 1)2 = 32 A(2, 3) → (2 – 4)2 + (3 – 1)2 = 8 < 9 B(4, –2) → (4 – 4)2 + (–2 – 1)2 = 9 C(5, 8) → (5 – 4)2 + (8 – 1)2 = 50 > 9 Jadi, titik A berada di dalam lingkaran, titik B pada lingkaran, dan titik C di luar lingkaran.
