Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Evropský sociální fond Evropský sociální Praha & EU: Investujeme do vašífond budoucnosti

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Učební text pro Dívčí katolické střední školy

Matematika

Josef Civín

- 1 -

Platnéřská 4, Praha 1

Evropský sociální fond

© Dívčí katolická střední škola, 2012 © Josef Civín, 2012 Vytiskla Tiskárna F&F, Praha 4

ISBN 978-80-87755-13-6

Dívčí katolická střední škola

- 2 -


Obsah Úvodem 7 1. Zlomky 8 1.1 K čemu je potřebujeme: 8 1.2 Pojmy a základní pravidla: 8 1.3 Co je to zlomek: 9 1.4 Krácení zlomků 10 1.5 Nejmenší společný jmenovatel: 11 1.6 Porovnávání zlomků: 12 1.7 Sčítání a odčítání zlomků 13 1.8 Násobení zlomků 14 1.9 Dělení zlomků 15 1.10 Složené zlomky 15 1.11 Převedení zlomku na desetinné číslo 17 1.12 Shrnutí a opakování 18 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 19 2. Desetinná čísla 20 2.1 Základní pojmy 20 2.2 Násobení a dělení 10, 100, 1000, apod. 20 2.3 Zaokrouhlování 22 2.4 Shrnutí a opakování 23 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 24 3. Procenta 25 3.1 Základní pojmy 25 3.2 Převedení procent na zlomek a obráceně 25 3.3 Výpočet části 27 3.4 Výpočet počtu procent 29 3.5 Výpočet základu 30 3.6 Shrnutí a opakování 31 Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 32 4. Mocniny a odmocniny 33 4.1 Základní pojmy 33 4.2 Druhá mocnina 34 - 3 -


Evropský sociální fond 4.3 Druhá odmocnina 4.4 Mocniny a odmocniny vyšších řádů 4.5 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 5. Trojčlenka 5.1 Základní pojmy 5.2 Přímá úměra 5.3 Nepřímá úměra 5.4 Měřítko 5.5 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 6. Celá čísla 6.1 Základní pojmy 6.2 Sčítání záporného a kladného čísla 6.3 Násobení a dělení celých čísel 6.4 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 7. Úhly 7.1 Základní pojmy 7.2 Počítání s úhly 7.3 Úhly vrcholové a vedlejší 7.4 Úhly v trojúhelníku 7.5 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 8. Konstrukce obrazců v rovině 8.1 Základní pojmy 8.2 Konstrukce čtverce a obdélníka 8.3 Konstrukce lichoběžníka 8.4 Konstrukce trojúhelníka (SSS, SUS, USU) 8.5 Složitější konstrukce trojúhelníka – přidáváme výšku 8.6 Kružnice opsaná trojúhelníku 8.7 Kružnice vepsaná trojúhelníku 8.8 Shrnutí a opakování 9. Pythagorova věta 9.1 Základní pojmy 9.2 Základní příklady 9.3 Obrácená Pythagorova věta Dívčí katolická střední škola

- 4 -

36 39 41 42 44 44 45 46 47 49 50 51 51 51 54 56 56 57 57 58 62 65 67 68 69 69 71 72 73 76 77 78 79 80 80 81 82

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 9.4 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 10. Obvody a obsahy mnohoúhelníků a kruhu 10.1 Základní pojmy 10.2 Obvod a obsah čtverce 10.3 Obvod a obsah obdélníka 10.4 Rozměry lichoběžníka 10.5 Obvod a obsah lichoběžníka 10.6 Obvod a obsah trojúhelníka 10.7 Obvod a obsah kruhu 10.8 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci 11. Výrazy 11.1 K čemu výrazy potřebujeme 11.2 Pojmy a základní pravidla 11.3 Jednoduché výrazy 11.4 Závorky ve výrazech – sčítání a odčítání 11.5 Závorky ve výrazech – násobení 11.6 Násobení mnohočlenu mnohočlenem 11.7 Vytýkání před závorku 11.8 Vícenásobné závorky 11.9 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 12. Rovnice 12.1 Motivace 12.2 Základní pojmy 12.3 Jednoduché rovnice 12.4 Zkouška 12.5 Rovnice se složitějšími výrazy na obou stranách 12.6 Zvláštní případy řešení rovnic 12.7 Slovní úlohy o společné práci 12.8 Ostatní slovní úlohy 12.9 Vyjádření neznámé ze vzorce 12.10 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 13. Funkce 13.1 Základní pojmy - 5 -

83 84 85 85 85 88 89 92 93 95 96 98 99 99 99 100 101 102 103 104 105 106 106 108 108 108 109 110 112 114 116 117 119 120 121 122 122 Platnéřská 4, Praha 1

Evropský sociální fond 13.2 Graf funkce 13.3 Graf přímé úměrnosti 13.4 Shrnutí a opakování 14. Povrchy a objemy těles 14.1 Motivace 14.2 Základní pojmy 14.3 Povrch a objem krychle 14.4 Povrch a objem kvádru 14.5 Povrch a objem válce 14.6 Rozměry jehlanu 14.7 Povrch a objem jehlanu 14.8 Rozměry kužele 14.9 Povrch a objem kužele 14.10 Povrch a objem koule 14.11 Shrnutí a opakování Výsledky příkladů pro samostatnou práci:


- 6 -

122 126 129 130 130 130 131 133 135 138 142 145 147 150 151 152


Úvodem Vítej ve světě matematiky. V několika kapitolách společně nahlédneme na některé oblasti matematiky. Smyslem naší práce nebude jen učení se pravidlům, když bez nich bychom se obešli stěží. Hlavně se budeme učit o problémech přemýšlet a rozvíjet tak v sobě schopnost logicky uvažovat. Tak ať se kolečka otáčejí.

- 77 -



1. Zlomky K čemu je potřebujeme:

1.1  

Zlomky vyjadřují podíl - o jaké části z celku mluvíme. Např. 1 koláče. 2 Díky zlomkům můžeme snadno řešit příklady, které počítají s částmi celku. Např. Co je víc? Pět osmin, nebo devět patnáctin? Nebo



1.2

3 7 3   ? 5 6 5

Zlomky nám také pomohou v některých složitějších oblastech matematiky.

Pojmy a základní pravidla: Zlomková čára

Jmenovatel

Čitatel

13 18

Zlomkovou čáru píšeme v úrovni znaménka „=“. Např.: Ve zlomcích používáme pouze celá čísla. Číslo např. 2 můžeme zapsat také jako

1 2  3 6

2 . 1

Zlomky nazýváme odborně racionální čísla. Vzhledem k tomu, že nulou nelze dělit, nikdy nesmí být 0 ve jmenovateli. Je-li 0 v čitateli je celý zlomek roven 0. Např.


8 - 8 -

3 0 nelze napsat, ale  0. 3 0


1.33

C Co jee to zzlomek: Naa obráázku vidím me kooláč rrozkrrájenýý na 8 dílkků. Jeeden díllek naazývááme jjednaa osm mina a zapiisujem me jeej takkto:

1 . 8

Vezzmem me-li dva ddílky kolááče, m mámee dvě osmiiny a zapisujeme jee taktto:

2 . 8

mohu říci, že see jednná o Urččitě sii ale vvšimnnete, že m

1 . 4

Naa tom mto obbrázkku již jasněě vidííme, že vyybarvveno jje což je totéžž jakoo

6 , 8

3 . 4

Poddle čeeho tedy ppoznááme žže zloomkyy jsouu si roovny?? Zappamattuj sii pravvidlo:: Pok kud ččitate le ii jm menoovatelle zlo omkuu vyn ásobííme, nebo o vydě ělímee stejn ným Pokud čitatele jmenovatele zlomku vynásobíme, nebo vydělíme stejným ččíslem m, zís skáme e zlom mek, který ý se p původ dním mu zlo omku u rovn ná. číslem, získáme zlomek, který se původnímu zlomku rovná. d: Přííklad Zloomekk

2 6 vynáásobííme v čitatteli i jjmennovateli čííslem m 3 a zzískám me zlomeek , 6 188

kteerý see půvoodním mu zllomkku rovvná. P Podobbně m můžem me čiitatelle i jm menovvatele vyddělit čísllem 2 a zíískám me zloomekk

1 , kterrý se půvoodním mu zloomkuu opěět rovná. 3

9 - 9 -


Evropský sociální fond matovvání: K zaapam

Na oobrázzku viidímee různně vyybarvvené kkruhyy. Vee všecch je vybaarvenna jeddna pooloviina. Na pprvním m obbrázkuu je vvyjáddřena zlom mkem m

1 4 2 , na ddruhéém , nna třettím a tak 2 4 8

bychhom m mohlli pokkračoovat ddále. Z tooho m můžem me vvyvoddit záávěr, že jaakoukkoli ččást celkuu můůžemee vyjáádřit různýými zzlomkky, kkteré sse všaak naavzájeem roovnajjí.

1.4

Kr Kráceení zllomkků

V přředchhozí kkapitoole jssme si uvěědomili, žee různné zlomkyy se m mohoou rovvnat, tedyy že libovvolnoou čáást ceelku můžeeme zapsaat růůzným mi zloomkyy. Nyyní se dom mluvvíme, že každdý zloomekk budeeme vvždyy uváddět v tzv. zkrácceném m (neejjednnoduššším)) tvarru. Teedy v takkovém m tvaaru abby číssla v čitateeli a jjmenovateeli byyla coo možžná nnejmeenší. Přík klad:

1 2 3 4 m tvarru je všakk jen ten kkterý má jsou si roovny. Ve zzkrácceném , , , 3 6 9 12 1 ve jm menoovatelli i v čitateeli neejmennší číssla. JJednáá se teedy o zlom mek . 3 Zlom mky

Jak aale naaleznneme zkráccený tvar zlom mku? P Postuup je jjednooduchhý: Krrácen ní zlom mku:

1.

112 118

Naaleznneme nejvěětšíhoo spoolečnéého dděliteele čittatelee a jjmenovateele. a)) R Rozložžíme čitattele nna prvvočinitele – teddy na sooučinn dálee neděělitellnýchh čísel. b) R Rozložžíme jmennovattele nna prvvočinnitele.. c)) Porovnnámee oba rozkklady a v jednom z nich podttrhnem me čiinitelle, kteeří jsou sttejní v obouu rozkkladeech.


100 - 10 -

112  3 4  3 2  2 118  2  9  2  3 3 112  3  4  3  2  2 118  2  9  2  3  3 3 2  6


2.

d) Součin podtržených čísel je hledaný největší společný dělitel. Tímto společným dělitelem vydělíme čitatele i jmenovatele a získám tak zlomek ve zkráceném tvaru.

Poznámka: Výše popsaný postup se jistě brzy naučíme dělat „od pohledu“ a takto dlouze budeme postupovat jen u těžších případů.

12  6  2 18  6  3 Výsledek:

2 3

1.4.1 Příklady pro práci ve škole: Zkraťte zlomky (pokud to lze):

18 15 3 7 9 10 32 12 , , , , , , , 12 20 6 8 15 5 28 21

1.4.2 Příklady za domácí úkol: Zkraťte zlomky (pokud to lze):

21 15 5 5 24 36 56 12 , , , , , , , 7 18 3 5 32 45 48 10

1.4.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) Zkraťte zlomky (pokud to lze):

9 5 14 15 24 35 12 17 , , , , , , , 18 30 84 5 48 30 15 68

1.5

Nejmenší společný jmenovatel:

Při některých početních operacích se zlomky (sčítání, odčítání, porovnávání) budeme potřebovat nalézt nejmenšího společného jmenovatele dvou (nebo více) zlomků. Naučíme se postup pro dva zlomky, protože postup pro více zlomků si každý snadno odvodí sám. Hledání nejmenšího společného jmenovatele zlomků: 1. Vybereme většího jmenovatele 2. Procházíme násobky většího jmenovatele a hledáme nejmenší z nich, který je dělitelný menším jmenovatelem. 3. Nalezené číslo je hledaný společný jmenovatel 11 - 11 -

1 4 , 6 9 9 1  9 = 9 není dělitelné 6 2  9 = 18 je dělitelné 6 18


Evropský sociální fond 1.5.1 Příklady pro práci ve škole: Nalezněte nejmenšího společného jmenovatele zlomků:

3 1 1 2 3 1 6 a , a , a ,1 a 2 12 3 3 4 5 8

1.5.2 Příklady za domácí úkol: Nalezněte nejmenšího společného jmenovatele zlomků:

3 5 11 7 1 1 a , a , a 4 6 7 9 5 4

1.5.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) Nalezněte nejmenšího společného jmenovatele zlomků:

3 7 5 11 7 1 1 a , a , a ,2 a 4 4 3 2 3 5 8

1.6

Porovnávání zlomků:

Jak poznáme který zlomek je větší? Někdy je to vidět na první pohled, jindy nám to dá pořádně zabrat. Příklad: Který zlomek je větší?

7 3 nebo ? Na první pohled to nepoznáme. Převedeme 11 4

tedy zlomky na společného jmenovatele a pak to bude již snadné. Porovnávání zlomků: Nalezneme nejmenšího společného jmenovatele (postup výše). Vydělíme společného jmenovatele prvním jmenovatelem. Výsledkem vynásobíme čitatele prvního zlomku a získáme tak nového čitatele. Obdobný postup provedeme s druhým zlomkem.

Nyní již snadno zlomky porovnáme. Stačí samozřejmě porovnat čitatele, protože jmenovatelé se rovnají.


12 - 12 -

7 3 a 11 4 44 44 : 11 = 4

28 4  7  28 … 44 44  4  11

11  3  33 33 44 28 < 33 tedy 44 44 7 3  11 4

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1.6.1 Příklady pro práci ve škole: Porovnejte zlomky:

6 7 9 7 4 6 12 2 a , a , a , a 7 8 11 8 5 8 18 3

1.6.2 Příklady za domácí úkol: Porovnejte zlomky:

3 4 5 7 1 2 7 2 a , a , a , a 4 7 7 9 5 10 13 3

1.6.3 Příklady pro samostatnou práci: (3) Seřaďte zlomky podle velikosti od největšího k nejmenšímu:

3 7 5 11 7 1 1 , , , , , , 2, 4 4 3 2 3 5 8

1.7

Sčítání a odčítání zlomků

Se zlomky můžeme provádět obdobné operace jako s přirozenými čísly. Musíme se však naučit složitější postup. Sčítání a odčítání zlomků:

2 3  5 4

Nalezneme nejmenšího společného jmenovatele (postup výše). Vydělíme společného jmenovatele prvním jmenovatelem. Výsledkem vynásobíme čitatele prvního zlomku a získáme tak nového čitatele.

20

Obdobný postup provedeme s druhým zlomkem.

20  4  5 5  3  15

Nyní již snadno zlomky sečteme. Stačí samozřejmě sečíst čitatele, a jmenovatele opíšeme jmenovatelé se rovnají. Při odčítání postupujeme obdobně.

13 - 13 -

20 : 5 = 4

42  8 …

8 20

15 20 8  15 23 = 20 20


Evropský sociální fond 1.7.1 Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte:

3 4 7 2 1 2 7 2 6  ,  ,  ,  ,3  4 7 9 5 5 10 6 3 7

1.7.2 Příklady za domácí úkol: Vypočítejte:

5 3 4 1 2 2 5 2 1  ,  ,  ,  ,3  2 7 9 7 3 5 2 3 11

1.7.3 Příklady pro samostatnou práci: (4) Vypočítejte:

5 3 2 1 3 2 6 2 5   1,  ,  ,  ,0  3 7 3 7 2 5 7 9 8

1.8

Násobení zlomků

Násobení zlomků je velmi jednoduché. Stačí se naučit jedno pravidlo. Násobení zlomků: Nejprve provedeme krácení. Krátit můžeme v rámci zlomku, nebo křížem (např. čitatele jednoho zlomku s jmenovatelem druhého zlomku). Zlomky násobíme tak, že vynásobíme čitatele a jmenovatele zvlášť.Vydělíme společného jmenovatele prvním jmenovatelem. 1.8.1 Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte:

3 4 7 2 1 2 7 2 6  ,  ,  ,  ,3  4 7 9 5 5 10 6 3 7


5 3 4 1 2 2 5 2 5  ,  ,  ,  ,3  2 7 9 7 3 5 2 3 11


14 - 14 -

2 3  5 4 2 3= 1 3   5 4 5 2 1 3 3  5  2 10

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 1.8.3 Příklady pro samostatnou práci: (4) Vypočítejte:

5 3 2 1 3 2 6 2 5  ,  ,  ,  ,0  3 7 3 7 2 5 7 9 8

1.9

Dělení zlomků

Dělení zlomků je odvozeno od násobení. Dělení zlomků: Nejprve zaměníme čitatele a jmenovatele druhého zlomku. Pozor! Krácení křížem provedeme až poté. Dále postupujeme jako při násobení.

6 5  7 2 6 5 6 2    7 2 7 5 6  2 12  7  5 35

1.9.1 Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte:

3 4 7 2 1 2 7 2 6  ,  ,  ,  ,3  4 7 9 5 5 10 6 3 7


5 5 3 4 1 2 2 5 2  ,  ,  ,  ,3  2 7 9 7 3 5 2 3 11

1.9.3 Příklady pro samostatnou práci: (5) Vypočítejte:

5 5 3 2 1 3 2 6 2  ,  ,  ,  ,0  3 7 3 7 2 5 7 9 8

1.10 Složené zlomky Častější a přehlednější způsob zápisu dělení zlomků jsou složené zlomky. Příkladem složeného zlomku je tento:

3 4 6 12 15 - 15 -


Evropský sociální fond Nyní se naučíme tento zlomek zjednodušit, tedy převést jej do základního tvaru. Zjednodušení složeného zlomku:

,

,

,

1.10.2 Příklady za domácí úkol: Zjednodušte: 8 9 16 24 0 7 6 7 15 32 8 6 4 12 28 12 14 25 3

,

,

,

,

1.10.3 Příklady pro samostatnou práci: (6) Zjednodušte: 7 36 22 6 5 7 5 3 2 77 9 42 11 9 10 8 7 55 2

,

,

, ,


16 - 16 -

12

33 9  1 2 2

2

2 1

,



3

4

1.10.1 Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte: 25 3 4 5 6 7 18 2 2 8 7 15 12 1 7 21 10 27 3

4

6

Nyní vynásobíme vnější členy a výsledek napíšeme do čitatele a pak vynásobíme vnitřní členy a výsledek napíšeme do jmenovatele.

9

Nejprve krátíme, je-li to možné. Krátit lze vnitřní členy (v našem případě 4 a 6) proti vnějším (v našem případě 3 a 12). Vnitřní proti vnitřnímu a vnější proti vnějšímu krátit nelze.

9 4 6 12



3 1 2 3


1.11 Převedení zlomku na desetinné číslo Jak jste si již jistě všimli, je zlomek naznačené dělení. Jinými slovy lze říci, že vydělím-li čitatele jmenovatelem získám desetinné číslo, které má stejnou velikost jako zlomek. Např.:

1  1  2  0,5 2

Pozor! Ne každý zlomek lze převést na takto pěkné konečné desetinné číslo. Zkusme převést zlomek

2 : 3

2  2  3  0,666666666666666666666666666666666666666666 … 3

A mohli bychom v psaní šestek pokračovat do nekonečna. Takové číslo se nazývá iracionální a pokud se v něm do nekonečna opakuje jedna číslice, nebo jejich skupina, nazýváme jej periodické. Opakující se úsek nazýváme perioda. Takové číslo pak zapisujeme takto:

0,6666666666 6666666 ....  0, 6 A čteme: Nula celá, 6 desetin periodických. 1.11.1 Příklady pro práci ve škole: Převeďte na desetinná čísla:

3 15 3 7 9 10 32 12 , , , , , , , 2 20 6 8 15 5 28 21

1.11.2 Příklady za domácí úkol: Převeďte na desetinná čísla:

21 15 5 5 24 36 56 12 , , , , , , , 7 18 3 5 32 45 48 10

1.11.3 Příklady pro samostatnou práci: (7) Převeďte na desetinná čísla:

9 5 14 15 24 35 12 5 , , , , , , , 18 30 42 5 48 30 15 3

17 - 17 -



1.12 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme se věnovali zlomkům a početním operacím s nimi. Nyní si zkusíme zopakovat nejdůležitější informace. Pokuste se zodpovědět následující otázky: 1. Co je to zlomek? 2. Co zlomek vyjadřuje? 3. Jak se nazývá číselný obor, který zahrnuje právě celá čísla a zlomky? 4. Které číslo nesmím napsat do jmenovatele? 5. Co se stane násobím-li zlomek zlomkem s nulovým čitatelem? 6. Co je to složený zlomek?

0

1

7 8

0 8

7.

Mohu zadat příklad: 3 ? A co 3 ?

8.

Co všechno mohu se zlomkem udělat, aniž by se změnil?

A nyní pár příkladů: 1.

14

3 Zjednodušte tento zlomek: 6 . Od výsledku odečtěte . Výsledek 7 8

4

vydělte číslem 5 a převeďte na desetinné číslo. 2.

Anežka si koupila velký koláč. Přišla Markéta a poprosila jí o půlku. Pak se připlížil Jakub a v nestřežené chvíli snědl třetinu zbytku. Anežku to dost naštvalo. Přesto ještě čtvrtinu zbytku rozdrobila holubům na Staroměstském náměstí. Vyjádřete zlomkem, kolik nakonec zbylo Anežce a kolik ukradl Jakub.

3.

Vyjádřete zlomkem jakou část koláče by měla Anežka, pokud by jí Markéta vrátila dvě třetiny svého dílu.

4.

Bylo pět bratrů. Když jim zemřel otec, nechal po sobě truhlu s tisíci zlatými a tuto závěť. Jiří má dostat 400 zlatých, Jan tři čtvrtiny toho co Jiří, Petr polovinu toho co Jan, Matěj dvě třetiny toho co Petr a Ondřej zbytek. Kolik zlatých zbylo na Ondřeje?

5.

Vyjádřete zlomkem jakou část z oněch 1000 zlatých dostal který z bratří?


18 - 18 -


Výsledky příkladů pro samostatnou práci: 1 1 1 1 7 4 1 (1) , , ,3, , , , 2 6 6 2 6 5 4 (2) (3) (4) (5) (6) (7)

12, 6, 40, 4

7 5 3 1 1 11 7 > >2> > > > > 3 4 3 4 5 8 2 65 11 19 40 5 , , , , 21 21 10 63 8 35 14 15 27 , , , ,0 9 3 4 7 49 30 16 4 1 , , , , 18 49 7 15 6 0,5; 0,16 ; 0, 3 ; 3; 0,5; 1,16 ; 0,8; 1, 6

19 - 19 -



2. Desetinná čísla S desetinnými čísly jsme se důvěrně seznámili už na základní škole, takže následující text bude pro všechny spíše opakováním.

Základní pojmy

2.1  

Příklady desetinných čísel jsou: 1,55; 25,83; 0,0036; ... Trocha názvosloví

3 5 7 8 5 7 1 , 2 3 6 Milióny Jednotky Statisíce Desítky Desetinná čárka Desetitisíce Stovky Desetiny Tisíciny Tisíce Setiny  Na konec čísla, za desetinnou čárku mohu připsat libovolný počet nul, aniž by se číslo změnilo.

2.2

Násobení a dělení 10, 100, 1000, apod.

Násobení a dělení těmito čísly je natolik jednoduché, že jej zvládneme vždy zpaměti. Násobení a dělení čísly 10, 100, 1000, ... Při násobení posouváme desetinnou čárku doprava o tolik míst, kolik nul má číslo kterým násobíme. (Při násobení deseti o jedno místo, při násobení stem o dvě místa, ...) Nemá-li násobené číslo za desetinnou čárkou dostatek míst, doplníme na chybějící místa nuly. Dělení provádíme podobně jako násobení. Desetinnou čárku však posouváme o příslušný počet míst doleva.


20 - 20 -

324,56  10  3245,6 451,23  100  45123 32  10  320

453 : 100  4,53 31 : 100  0,31 26 : 1000  0,026

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 2.2.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte:

34,72 10  56 100  95 1000 

0,13 10 3,78 1000  b) Vypočítejte:

3456,2 : 100  564 : 10  0,43 : 1000  67 : 100000  54,2 : 10 

2.2.2 a)

Příklady za domácí úkol: Vypočítejte:

54,5  10  45,45  100  0,45329  1000 

6,54  10 3,78  100  b) Vypočítejte:

9658 : 100  4 : 10  0,03 : 10  6709 : 1000  4,278 : 10 

21 - 21 -


Evropský sociální fond 2.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Vypočítejte:

7,5  10  4,23  100  0,001  1000 

7,4  1000 6,8  100  b) Vypočítejte:

9845 : 100  0,8 : 10  1,03 : 10  70 : 1000  5,78 : 10 

2.3

Zaokrouhlování

V některých případech není třeba (a někdy to dokonce ani není možné) počítat s přesnými čísly a stačí nám čísla přibližná. Například budeme-li vyprávět o koncertě kterého se zúčastnilo 5996 osob, klidně řekneme, že jich tam bylo 6000. Nebo není vždy nutné počítat s čísly jako je 678,56479, ale můžeme dané číslo zaokrouhlit na 678,565, nebo na 678,6, nebo třeba na 680, podle toho jak moc přesný výsledek potřebujeme. Číslice 1, 2, 3 a 4 zaokrouhlíme směrem dolů, číslice 5, 6, 7, 8, 9 směrem nahoru.

Zaokrouhlování: Označíme si poslední číslici, která má zůstat nenulová. Podíváme se na číslici, která je těsně za označenou číslicí. Podle pravidla v červeném rámečku se rozhodneme, zda zaokrouhlujeme směrem dolů, či nahoru. Při zaokrouhlování směrem nahoru zvětšíme zvýrazněnou číslici o 1, při zaokrouhlování směrem dolů se zvýrazněná číslice nemění. Pak již jen napíšeme místo číslic za zvýrazněnou nuly.


22 - 22 -

567,4536 zaokrouhlit na setiny (dvě desetinná místa) V našem případě mají zůstat dvě desetinná místa (setiny) 967,4581 8 Nahoru 5+1=6 967,4600 = 967,46

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Poznámka:

Při zaokrouhlování používáme místo znaménka „=“ znaménko „≐“ Při zaokrouhlování směrem nahoru, je-li zvýrazněná číslice 9, mění se na 0 a o 1 musím zvýšit i číslici předchozí. Např.: Zaokrouhleno na tisíciny: 899,5897 ≐ 899,59 Zaokrouhleno na desítky: 8999 ≐ 8900 Zaokrouhleno na jednotky: 9999,9 ≐ 1000 2.3.1 Příklady pro práci ve škole: Zaokrouhlete: 45,657 na dvě desetinná místa 73 908 na desítky 543,21 na jedno desetinné místo 8,5043 na jedno desetinné místo 6695 na stovky 2.3.2 Příklady za domácí úkol: Zaokrouhlete: 573,64367 na dvě desetinná místa 56 999 na desítky 938,187 na jedno desetinné místo 61 895 606,54 na jedno desetinné místo 769 547 na stovky 2.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) Zaokrouhlete: 7,6879 na dvě desetinná místa 6 999 na desítky 654,769 na jedno desetinné místo 606,18 na jedno desetinné místo 9 567 na stovky

2.4

Shrnutí a opakování

V této kapitole jsme si zopakovali dvě operace s desetinnými čísly. Nyní si zopakujeme základní pojmy: 1. Popište názvy jednotlivých míst v následujícím čísle: 6 789 123,054 23 - 23 -


Evropský sociální fond 2.

3.

Doplňte znaménka rovnosti, či nerovnosti: a. 56,76 56,456 b. 667,18 667,1800000 c. 71,5610 71,5600 Proč je dobré umět zaokrouhlovat?

2.4.1 Příklady Vypočítejte:

345  100  561,3 : 10  428 : 1000  0,001  100  7846,89 : 1000 

Zaokrouhlete na celá čísla: 675,563 ≐ 54,7 ≐ 1259,453 ≐ 23,56 ≐ 0,5 ≐

Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) (2)

a) 75; 423; 1; 7400; 680 b) 98,45; 0,08; 0,103; 0,07; 0,578 7,69; 7 000; 654,8; 606,2; 9 600


24 - 24 -


3. Procenta Pojem procento patří v běžné řeči mezi nejpoužívanější matematické pojmy. Obchody mají mnoha (nebo málo) procentní slevy, daň z přidané hodnoty je 19 %, v bance nám nabídnou 1,5% úrok, peníze si můžeme půjčit s např. 14% úrokem, na sraz dorazím tak na 80 % apod.

Základní pojmy

3.1 

Slovo procento vzniklo z latinského PER CENTUM což je jedna setina z celku.



Matematicky lze jedno procento vyjádřit takto: 1 % = 0,01 =



Jedno procento z celku je tedy

Příklad: 30 % ze 200 je

3.2

1 celku. 100

1 100

30  200 6000 30 ze 200 tj.   60 . 100 100 100

Převedení procent na zlomek a obráceně

Vzhledem k tomu, že z předchozího textu víme, že jedno 1 % celku je totéž co

1 celku, je zřejmé že mezi procenty a zlomky bude možné nalézt jednoduchý 100

vztah. Díky němu pak dokážeme převádět procenta na zlomky a obráceně. Převedení procentního vyjádření na zlomek Do čitatele napíšeme počet procent (samozřejmě bez znaku %) a do jmenovatele číslo 100.

30 % 30 100

Je-li to možné, zlomek krátíme.

30 3  100 10

Převedení zlomku na procenta Čitatele zlomku dělíme jmenovatelem.

2 5 2 : 5  0,4

Výsledek násobíme 100.

0,4  100  40

K výslednému číslu připíšeme znak %.

40 %

25 - 25 -


Evropský sociální fond 3.2.1 Příklady pro práci ve škole: a) Převeďte na zlomek: 30 % 25 % 34 % 100 % 150 % Převeďte na vyjádření v procentech: b)

3 1 3 5 4 , , , , 5 4 10 6 3

3.2.2 Příklady za domácí úkol: a) Převeďte na zlomek: 35 % 5% 3% 10 % 1500 % Převeďte na vyjádření v procentech: b)

2 10 1 2 1 , , , , 5 4 10 6 3

3.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Převeďte na zlomek: 15 % 2% 38 % 110 % 130 % Převeďte na vyjádření v procentech: b)

3 11 7 3 2 , , , , 5 4 10 20 3


26 - 26 -


3.3

Výpočet části

Už se vám někdy stalo, že jste viděli na obchodě nápis sleva 15 %. Umíte si spočítat kolik vlastně ušetříte? Pro takový výpočet je nutné umět vypočítat právě procentovou část. Co je to ta část? Ukažme si to na krátkém příkladu: Příklad: Markéta si chtěla koupit nové kalhoty. Za výlohou uviděla jedny, které stály 500 Kč. V rámci výprodejní akce byly ještě o 15 % levnější. Markéta uměla matematiku celkem slušně a tak si během cesty kolem obchodu rychle spočítala, že sleva činí 75 Kč. To se jí zdálo málo a tak zamířila dál. Celková cena kalhot byla 500 Kč. To je 100 % ceny a toto číslo nazveme základ. (zkratka „z“) Sleva činila 15 %. Toto číslo nazýváme počet procent. (zkratka „p“) Patnácti procentům odpovídala suma 75 Kč. Toto číslo nazýváme část. (zkratka „č“) Výpočet části: Nejprve si důkladně rozepíšeme všem, co víme.

„p“ je uveden ve tvaru procent. Musíme jej tedy nejdříve převést na zlomek. Nyní vynásobíme základ počtem procent ve tvaru zlomku. Jedná se o běžné násobení zlomků tak, jak jsme jej již probírali. Nakonec si ještě uvědomíme, co jsme vlastně vypočítali a napíšeme odpověď.

Kolik je 20 % ze 250 korun? z ….... 250 = 100 % p ….... 20 % č …… ? 20 20%  100 č  250 

20 250 20 5 10      5  10  50 100 1 100 1 1

20 % ze 250 Kč je 50 Kč.

Poznámka: Při výpočtu procentové části si musíme dát pozor, zda vypočítáme skutečně hledanou část, nebo její doplněk do 100 %.

27 - 27 -


Evropský sociální fond Příklad: Kalhoty stály 500 Kč. Kolik za ně zákazník zaplatí po patnáctiprocentní slevě? Vypočítáme velikost slevy a tu pak odečteme od celkové ceny: z ……… 500 = 100 % p ……… 15 % č ……… ?

č  500 

15  75 100

Sleva je tedy 75 Kč. Výsledná cena kalhot je 500 Kč – 75 Kč = 425 Kč. Zákazník zaplatí za kalhoty po 15% slevě 425 Kč. 3.3.1 Příklady pro práci ve škole: 1. Kolik bude stát rádio po dvacetiprocentní slevě, jestliže jeho původní cena byla 750 Kč 2. Ve školním roce bylo odučeno 150 hodin matematiky. Na kolika hodinách byl přítomen Jiří, jestliže měl 20 % absenci? 3. V malé obci přišlo k volbám do obecního zastupitelstva 250 lidí. Nejvíc hlasů (36 %) získal Antonín Vomáčka. Kolik získal hlasů? 4. Kolik korun bude činit DPH při koupi fotoaparátu, je-li jeho cena bez DPH 3 500 Kč a DPH činí 19 %? 5. Kolik tuku je ve 200 gramech 8% jogurtu? 3.3.2 Příklady za domácí úkol: 1. Při výprodeji zlevnili v obchodě zimní bundu o 35 procent. Kolik stála bunda po slevě, jestliže její původní cena byla 3567 Kč. 2. Kolik vám zbude peněz, je-li vaše hrubá mzda 5000 Kč, pracujete-li na dohodu o provedení práce a daň činí 15 %. 3.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) 1. Kolik tuku obsahuje litr (= 1 Kg) 1,5 procentního mléka? 2. Při vichřici padlo v lese 40 % z 3520 stromů. Kolik stromů museli lesníci zpracovat?


28 - 28 -


3.4

Výpočet počtu procent

Nyní se podívejme na předchozí výpočty obráceně. Představme si, že známe základ a část, ale neznáme počet procent. Příklad: Kolik procent z 500 žáků školy je přítomno na vyučování, jestliže jich je ve škole 423? Základ je 500 žáků. Část je 423 žáků. Počet procent musíme vypočítat. Výpočet počtu procent:

Nejprve si důkladně rozepíšeme vše, co víme. Vypočítáme 1 % tj. 1% 

základ 100

Kolik procent z 500 žáků školy je přítomno na vyučování, jestliže jich je ve škole 423? Výsledek zaokrouhlete na celá čísla. z ….... 500 = 100% č …… 423 p ….... ? %

1% 

Nyní vydělíme část jedním procentem. Získáme tak počet procent, který podle požadavku zaokrouhlíme. Nakonec si ještě uvědomíme, co jsme vlastně vypočítali a napíšeme odpověď.

p

500 5 100

423  84,6  85 5

Na vyučování je přítomno přibližně 85 % žáků školy.

3.4.1 Příklady pro práci ve škole Výsledky (je-li to třeba) zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 1. Kolik procent pomerančů prodal obchodník, jestliže z 450 Kg mu jich zbylo 25 Kg. 2. O kolik procent podražilo mléko, jestliže litr mléka stál dříve 9,50 Kč a dnes stojí 15 Kč? 3. Kolik procent bodů dostala Jana v písemce, jestliže získala 124 bodů ze 150? 4. Kolik procent ze 200 poslanců bylo pro návrh zákona, jestliže „pro“ zvedlo ruku 41 poslanců? 5. Kolik procent ze 350 kuřat bylo zemřelo na ptačí chřipku, jestliže jich naživu zůstalo 31?

29 - 29 -


Evropský sociální fond 3.4.2 Příklady za domácí úkol Výsledky (je-li to třeba) zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 1. Kolik procent benzínu zbylo v nádrži, jestliže z celkové kapacity 40 litrů bylo 24 litrů spotřebováno. 2. O kolik procent zlevnily jogurty, jestliže průměrná cena 100 gramů bílého jogurtu klesla ze 13 Kč na 12,50 Kč. 3.4.3 Příklady pro samostatnou práci (3) Výsledky (je-li to třeba) zaokrouhlete na jedno desetinné místo. 1. Kolik procent banánů obchodníkovi zbylo, jestliže z 540 Kg jich prodal 511 Kg. 2. Kolik procent zůstane obchodníkovi z prodejní ceny jednoho páru bot, jestliže je nakoupil za 820 Kč a prodal je za 1054 Kč.

3.5

Výpočet základu

Již umíme vypočítat procentovou část a počet procent. Poradíme si však i tehdy, budeme-li znát obě tyto veličiny a budeme-li chtít vypočítat základ, tedy 100 %? Příklad: Kolik stál původně pánský oblek, jestliže byl zlevněn o 15 % a sleva činila 1000 Kč? Počet procent je 15 %. Část je 1000 Kč Základ neznáme, musíme jej vypočítat. Výpočet základu:

Nejprve si důkladně rozepíšeme vše, co víme. Vypočítáme 1 % tj.

Kolik stál původně pánský oblek, jestliže byl zlevněn o 15 % a sleva činila 900 Kč? č …… 900 Kč p ….... 15 % z ……. ?

900  60 15

část 1%  počet _ procent

1% 

Známe-li 1 %, stačí jej vynásobit stem a dostaneme 100 %, tedy základ.

z  60  100  6000

Nakonec si ještě uvědomíme, co jsme vlastně vypočítali a napíšeme odpověď.

Pánský oblek stál před slevou 6000 Kč.


30 - 30 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 3.5.1 Příklady pro práci ve škole 1. Během přepravní kontroly v autobuse MHD objevil revizor 5 lidí bez lístku. Udělil jim poutu a pak vykázal, že bylo pokutováno 2,5 % cestujících. Kolik cestujících jelo autobusem? 2. Při pěstování mrkve na záhoně vzejde přibližně 20 % semínek. Kolik semínek zahradník zasel, jestliže vzešlo 150 rostlinek. 3. Kolik ryb chytil rybář jestliže míru měly 4 z nich, což bylo 25 %? 4. V pekařství zbylo po zavírací době 12 bochníků chleba. Vedoucí zapsal 6 % ztráty. Kolik měli původně v pekařství bochníků? 5. V novinách vyšel článek o stávce učitelů. Do stávky se zapojilo v daném kraji 42 % škol. Kolik škol je v kraji celkem, jestliže jich stávkovalo 456? Údaj zaokrouhlete na celá čísla. 3.5.2 Příklady za domácí úkol 1. Za jak dlouho se naplnila nádrž, jestliže 35 % natékalo 7 hodin? 2. Ve třídě chyběli 3 žáci, což bylo 10 % z celkového počtu žáků. Kolik bylo celkem ve třídě žáků. 3.5.3 Příklady pro samostatnou práci (4) 1. Kolik kilogramů banánů nakoupil obchodník ve velkoobchodě, jestliže jich prodal 85 %, což bylo 127,5 Kg. 2. V inzerátu stálo: Prodám osobní automobil Škoda Felicia v dobrém stavu za 60 % původní ceny. Cena 61 800 Kč. Kolik stál původně daný automobil?

3.6


V této kapitole jsme se důkladněji seznámili s pojmem „procenta“ a naučili jsme se s nimi počítat. Zkuste nyní zodpovědět následující otázky: 1. Co je to procento? 2. Jak mohu procenta zapisovat pomocí zlomků, nebo desetinných čísel? 3. Co je to základ? 4. Co je to počet procent? 5. Co je to procentová část? 6. Kolik procent odpovídá zlomku 1 ? 2

31 - 31 -


Evropský sociální fond 3.6.1 Příklady 1. O kolik procent podražilo sýr Eidam, jestliže 1 kg stál dříve 110 Kč a dnes stojí 135 Kč? 2. Kolik tuku je ve 200 gramech (1 sklenice) 3% mléka? 3. Kolik hub našel houbař, jestliže prohlásil: našel jsem 15 pravých hříbků a to bylo jen 20 procent všech nalezených hub.

Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) (2) (3) (4)

a) 3/20; 1/50; 17/50; 11/10; 13/10 b) 60 %; 275 %; 70 %; 15 %; 67 % a) Litr 1,5 procentního mléka obsahuje 15 g tuku. b) Dělníci museli zpracovat 1408 stromů. a) Obchodníkovi zbylo 5,4 % banánů. b) Obchodníkovi zůstane 22,2 % z ceny bot. a) Obchodník nakoupil ve velkoobchodě 150 Kg banánů. b) Automobil stál původně 103 000 Kč.


32 - 32 -


4. Mocniny a odmocniny S mocninami se setkáváme v běžném životě doslova na každém kroku. Stačí si jen vzpomenout na metry čtvereční (m2) nebo třeba na jednotky objemu (dm3). Je třeba si uvědomit, že mocnina není nic jiného než zjednodušený zápis násobení jednoho čísla stejným číslem. Např.:  3  3  32  5  5  5  53 Odmocnina je opakem mocniny. Tedy při odmocňování např. čísla 25 hledám takové číslo, kterým když vydělím 25 dostanu stejné číslo jakým jsem dělil. Tedy 25 : 5 = 5 => 25  5 => 52 = 25.

Základní pojmy

4.1 





Nejprve si ujasněme důležité pojmy o V příkladu 54 nazýváme číslo 5 základem a číslo 4 exponentem. o Příklad 3 125 čteme jako „třetí odmocnina ze 125“. Jedno základní pravidlo o Platí, že je-li například  36  6 , pak 62 = 36 4  16  2 , pak 24 = 16  atd. A nyní trocha učení se nazpaměť o Vypočítat mocniny je většinou snadné. Horší je to s odmocninami. Tam potřebujeme kalkulačku, nebo tabulky. Proto se naučíme několik nejčastěji používaných odmocnin nazpaměť:

12  1  1  1 22  4  4  2 32  9  9  3 4 2  16  16  4 5 2  25  25  5 6 2  36  36  6 33 - 33 -



7 2  49  49  7 8 2  64  64  8 9 2  81  81  9 10 2  100  100  10 112  121  121  11 12 2  144  144  12 132  169  169  13 14 2  196  196  14 15 2  225  225  15

4.2

Druhá mocnina

Druhou mocninu čísla vypočítáme tak, že dané číslo vynásobíme stejným číslem. Například: 4 2  4  4  16 Druhá mocnina desetinného čísla: Umocníme jako bez desetinné čárky. Ve výsledku pak vložíme čárku tak, aby měl dvojnásobný počet desetinných míst, než číslo v zadání. Druhá mocnina záporného čísla: Druhá mocnina záporného čísla, je vždy číslo kladné. Mocnina součinu: Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele zvlášť.

1,2 2  1,44

Mocnina zlomku: Zlomek umocníme tak, že umocníme čitatele i jmenovatele.

5 2 25 5    2  16 4 4


34 - 34 -

(6) 2  36 ( 6  4) 2  6 2  4 2

2

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 4.2.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte bez použití kalkulačky: 52 = 92 = 122 = 202 = 182 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: b) 1,32 = 0,72 = 0,0122 = 0,62 = 1,1000002 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: c) (–3)2 = (–7)2 = (–13)2 = (–17)2 = (–45)2 = Vypočítejte: d)

(6  5) 2  (4  3) 2  ( 4  7) 2  e)

Vypočítejte bez použití kalkulačky: 2

2

 11     8

2

6    9

6    5 3    7

2

4    9

2

4.2.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte bez použití kalkulačky: 62 = 132 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: b) 1,52 = 0,032 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: c) (–6)2 = (–24)2 =

35 - 35 -



d)

Vypočítejte bez použití kalkulačky:

(3  5) 2 

( 4  2) 2  e)


3     15  2

9    7 4.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Vypočítejte bez použití kalkulačky: 92 = 1002 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: b) 1,52 = 0,152 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: c) (–11)2 = (–34)2 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: d)

(3  7) 2 

(2  6) 2  e)


5     12  2

4    7

4.3

Druhá odmocnina

Odmocnina je opakem mocniny. Tedy mám-li odmocnit např. číslo 25, hledám takové číslo, které když umocním na druhou, získám číslo 25. Vypočítat odmocninu není jednoduché. Proto se nejčastěji používané odmocniny naučíme zpaměti (viz kapitola 5.1) a ostatní budeme řešit pomocí kalkulačky.


36 - 36 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Odmocniny Důležité pravidlo: Druhou odmocninu nelze počítat ze záporného čísla. Odmocnina zlomku: Odmocníme čitatele i jmenovatele zvlášť. Druhá odmocnina součinu: Součin odmocníme tak, že odmocníme každého čitatele zvlášť. Toto pravidlo lze použít i pro odmocňování některých velkých čísel.

9 25 5  36 6 81  49  81  49  9  7  63

400  4  100  4  100   2  10  20

4.3.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte s kalkulačkou, výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa:

456  2356  758  1000  324  b)


9 81  225  100  64 

37 - 37 -



c)


9  64 1  4 169  196 100  225

d)

4  81


81  100  4  196  22500  900  490000  4.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte bez použití kalkulačky:

1 b)

121 


144  64 25  4


38 - 38 -


c)


121  9  16  196  2500  4.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) a) Vypočítejte bez použití kalkulačky:

16  b)

196 


169  16

c)

9  81


16  9  169  225  12100 

4.4

Mocniny a odmocniny vyšších řádů

Počítání s mocninami a odmocninami vyšších řádů můžeme snadno odvodit z počítání s druhými mocninami a odmocninami. Například:

5 2  5  5  25

5 3  5  5  5  125 5 4  5  5  5  5  625 Atd . Poznámka: Odmocniny můžeme odvodit podobně: Při hledání druhé odmocniny čísla x hledáme takové číslo, jehož druhá mocnina je rovna původnímu číslu x. Při hledání třetí odmocniny čísla x hledáme takové číslo, jehož třetí mocnina je rovna původnímu číslu x. Atd.

39 - 39 -


Evropský sociální fond Například:

36  6 343  7

3

protože

62 = 36

protože

73 = 343

Třetí mocnina a odmocnina: Základní pravidlo Výpočet třetí mocniny a odmocniny součinu a zlomku se provádí stejně jako u druhých mocnin a odmocnin.

(4  2) 3  4 3  2 3  96 3

4 3 64 4     33 27 3 3 3

Třetí mocnina záporného čísla je opět číslo záporné. Třetí mocnina desetinného čísla má trojnásobek desetinných míst, než původní číslo.

(4) 3  (4)  (4)  (4)  64

0,2 3  0,2  0,2  0,2  0,008

4.4.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte: 23 = 63 = 103 = 11234 = Vypočítejte: b)

c)

3

125 

3

27 

3

8

Vypočítejte: (–2)3 = 0,63 = (–1,2)3 =

4.4.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte: 25 = 93 = 104 =


125 5  8 2 8  27  3 8  3 27  2  3  6

40 - 40 -


b)

c)

Vypočítejte: 3

64 

3

1 

Vypočítejte: (–14)3 = 0,33 =

4.4.3 Příklady pro samostatnou práci: (3) a) Vypočítejte: 155434 = 53 = 34 = Vypočítejte: b) 3

8

3

1

c)

Vypočítejte: (–16)3 = 0,43 =

4.5


V této kapitole jsme se naučili počítat s trojčlenkou mocninami a odmocninami. Nyní si zopakujme některé základní pojmy: Jak vypočítám druhou mocninu? 1. Jak vypočítám druhou odmocninu? 2. Jak vypočítám mocniny a odmocniny vyšších řádů? 3. Co je to exponent? 4. 4.5.1 Příklady a) Vypočítejte bez použití kalkulačky: 162 = 33 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: b) 1,52 = 0,033 = Vypočítejte bez použití kalkulačky: c) (–13)2 = (–4)3 =

41 - 41 -



d)


(2  5) 2  (3  2) 3 

e)

Vypočítejte bez použití kalkulačky: 2 3     16  3

f)

2    3 Vypočítejte bez použití kalkulačky: 3  27 

121  169  64 144  9 

Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1)

a) b) c) d)

e)

81

10 000 2,25 0,0225 121 1156 441 144

 25      144   16     49 


42 - 42 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (2)

a)

b) (3)

a) b) c)

4 14

13 4 3 1  9 3 12 195 110

1 125 81 2 1 –4096 0,064

43 - 43 -



5. Trojčlenka Výpočet příkladů pomocí takzvané trojčlenky, je jednou z nejpoužívanějších matematických metod v běžné praxi. Příkladů existuje celá řada. Např.:  Osobní automobil má spotřebu benzínu 7 litrů na 100 km. Kolik litrů benzínu spotřebujeme, ujedeme-li 143 km?  

Tři natěrači natřou plot za 14 hodin. Jak dlouho bude na stejné práci pracovat pět natěračů?

Základní pojmy

5.1 





Trojčlenka o Příklady na trojčlenku poznáme podle toho, že se v nich jedná o dvě na sobě závislé veličiny. Například množství spotřebovaného benzínu a počet ujetých kilometrů, nebo čas potřebný na vykonání určité práce a množství pracovníků. o Příklad: Čím více ujedeme autem kilometrů, tím více spotřebujeme benzínu. Přímá úměra o Příklad na přímou úměru poznáme tak, že čím více je jedné veličiny, tím více je i veličiny druhé, nebo čím méně je jedné veličiny, tím méně je veličiny druhé. Nepřímá úměra o Příklad na nepřímou úměru poznáme tak, že čím více je jedné veličiny, tím méně je i veličiny druhé, nebo čím méně je jedné veličiny, tím více je veličiny druhé. o Čím více natěračů bude natírat plot, tím méně času jim to zabere.


44 - 44 -


5.2

Přímá úměra

Dvě veličiny jsou přímo úměrné, jestliže se obě zároveň zvětšují, nebo zmenšují. Přímá úměra

Nejprve si přehledně zaznamenáme co známe a co chceme vypočítat: Nyní si nakreslíme pomocné šipky. U přímé úměry dvě šipky směřující nahoru. Nyní sestavíme úměru. Podle šipek vytvoříme dva zlomky. Do čitatele vždy napíšeme číslo dole a do jmenovatele číslo (neznámou) nahoře. Dále číslo ze jmenovatele u neznámé převedeme do čitatele druhého zlomku. Nyní zbývá vypočítat jednoduchý příklad. Samozřejmě nesmíme zapomenout na odpověď.

Osobní automobil má spotřebu benzínu 7 litrů na 100 km. Kolik litrů benzínu spotřebujeme, ujedeme-li 143 km? 100 km …………… 7 l 143 km …………… x l 100 km …………… 7 l 143 km …………… x l

143 x  100 7

143  7 x 100

x = 10,01 l (zaokrouhlíme na 10 l) Na 143 km jsme spotřebovali 10 l benzínu.

5.2.1 Příklady pro práci ve škole: a) Na stavbu sedm metrů dlouhé zdi spotřeboval zedník 490 cihel, kolik cihel by bylo třeba na stavbu deseti metrů zdi? V prodejně ovoce a zeleniny stojí 5 Kg jablek 115 Kč. Kolik korun bude stát b) 9 kg jablek? Za 4 hodiny ujelo auto 320 km. Kolik kilometrů mělo za sebou po c) 3 hodinách jízdy? Na záhonku o rozloze 1,5 m2 vypěstoval zahradník 6 kg mrkve. Kolik by d) vypěstoval na 2 m2? Zemědělec vlastní 40 hektarů půdy. Z toho 12 hektarů jsou louky, které e) uživí 24 krav. Kolik krav by si mohl pořídit, pokud by zatravnil všechny své pozemky? 5.2.2 Příklady za domácí úkol: a) Na natření 15 m2 podlahy spotřeboval lakýrník tři litry barvy. Kolik litrů barvy by potřeboval na natření 20 m2? 3 Kg jablek stojí 96 Kč. Kolik korun bude stát 5 Kg jablek? b)

45 - 45 -


Evropský sociální fond 5.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Na natření 6 m plotu spotřeboval natěrač barvu za 234 Kč. Kolik bude stát barva na natření 20 m stejného plotu? Vlak s pěti vagóny pojme na sezení 400 cestujících. Kolik vagónů musí mít, b) aby se v něm mohlo posadit 920 cestujících? Nezapomeňte, že nelze zapojit jen část vagónu. Bude tedy potřeba případná desetinná čísla zaokrouhlit nahoru.

5.3

Nepřímá úměra

Dvě veličiny jsou nepřímo úměrné, jestliže se při zvětšování jedné druhá zmenšuje, nebo při zmenšování jedné druhá zvětšuje. Nepřímá úměra:

Nejprve si přehledně zaznamenáme co známe a co chceme vypočítat: Nyní si nakreslíme pomocné šipky. U nepřímé úměry první šipka dolů a druhá nahoru. Nyní sestavíme úměru. Podle šipek vytvoříme dva zlomky. Do jmenovatele vždy napíšeme číslo, ke kterému směřuje šipka a do čitatele číslo (neznámou), od kterého šipka vede. Dále číslo ze jmenovatele u neznámé převedeme do čitatele druhého zlomku. Nyní zbývá vypočítat jednoduchý příklad. Samozřejmě nesmíme zapomenout na odpověď.

Tři pokrývači položili střechu za čtyři dny. Za jak dlouho by stejnou práci vykonalo pět pokrývačů? 3 pokrývači .……… 4 dny 5 pokrývačů ……… x dní 3 pokrývači ……… 4 dny 5 pokrývačů ……… x dní

3 x  5 4

3 4 x 5

x = 12 : 5 = 2,4 dne. Pět pokrývačů položí střechu za 2,4 dne.

5.3.1 Příklady pro práci ve škole: a) Cyklista jel z Karlových Varů do Nejdku 90 minut průměrnou rychlostí 15 km/h. Zpátky je to víc z kopce a tak jel průměrnou rychlostí 25 km/h. Jak dlouho mu trvala cesta? Chovatel má v králíkárně 30 králíků. Díky tuhé zimě mu dochází krmivo. b) Zbytek mu vystačí pro všechny králíky na 10 dní. Na kolik dní mu krmivo vystačí jestliže počet králíků sníží na 20? Tři dělníci kopou jámu. Za 8 hodin vykopali 4 m3 zeminy. Další den mají c) vykonat stejnou práci. Jak rychle by to měli stihnout, bude-li jich pět?


46 - 46 -


d) e)

Z Prahy do Brna jede osobní auto 2 hodiny průměrnou rychlostí 120 km/h. Jak dlouho pojede stejnou trasu autobus při průměrné rychlosti 100 km/h? Tři sourozenci doslali za úkol nasbírat dva litry borůvek. To jim trvalo 1,5 hodiny. Jak dlouho by jim práce trvala, kdyby si přibrali na pomoc dva kamarády?

5.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Z Benešova do Prahy jede osobní auto 30 min průměrnou rychlostí 90 km/h. Jak dlouho bude trvat cesta autobusu, který zvládne průměrnou rychlost jen 80 km/h? Dva kamarádi Petr a Ondřej si koupili pizzu. Společně jí snědli za 5 minut. b) Jak dlouho by jedli, kdyby se rozdělili ještě s Vojtěchem a Filipem? 5.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) a) Na přívěs za osobní auto je možné naložit osm padesátikilových pytlů brambor. Kolik třicetikilových pytlů cementu přívěs uveze? Nakládat budeme pouze celé pytle. Případná desetinná čísla ve výsledku je tedy třeba zaokrouhlit dolů.

5.4

Měřítko

Měřítko mapy je poměr ve kterém je mapa zmenšena oproti skutečnosti. Například: Měřítko 1 : 50 000 znamená, že 1 cm na mapě odpovídá 50 000 cm tj. 0,5 km ve skutečnosti. Poznámka: Pro snadné počítání s měřítkem mapy musíme umět převádět údaje v centimetrech na kilometry. Zapamatujme si následující rovnost: 1 km = 1000 m = 100 000 cm. Číslo 100 000 má 5 nul, musíme tedy při převodu z centimetrů na kilometry posouvat desetinnou čárku o 5 míst doleva. Například: Kolika kilometrům ve skutečnosti odpovídá jeden cm na mapě v měřítku 1 : 50 000?

1 cm na mapě = 50 000 cm ve skutečnosti. Musíme tedy převést 50 000 cm na kilometry. 50 000 cm = 0,5 km (posouváme desetinnou čárku o 5 míst doleva). Odpověď: Jeden centimetr na mapě měřítka 1 : 50 000 odpovídá polovině kilometru ve skutečnosti. 47 - 47 -


Evropský sociální fond Měřítko mapy:

Nejprve si přehledně zapíšeme vše co známe a co chceme vypočítat. Nyní si nakreslíme pomocné šipky. Jedná se o přímou úměru. Nyní sestavíme úměru. Podle šipek vytvoříme dva zlomky. Do jmenovatele vždy napíšeme číslo, ke kterému směřuje šipka a do čitatele číslo (neznámou), od kterého šipka vede. Dále číslo ze jmenovatele u neznámé převedeme do čitatele druhého zlomku. Nyní zbývá vypočítat jednoduchý příklad. Samozřejmě nesmíme zapomenout na odpověď.

Dvě vesnice jsou na turistické mapě 1 : 50 000 vzdáleny 3 cm od sebe. Jaká je jejich skutečná vzdálenost. 1 cm na mapě …… 0,5 km ve skutečnosti 3 cm na mapě …… x km ve skutečnosti 1 cm na mapě …… 0,5 km ve skutečnosti 3 cm na mapě …… x km ve skutečnosti 3 x  1 0,5

3  0,5 x 1 x = 1,5 km

Skutečná vzdálenost vesnic je 1,5 km.

5.4.1 Příklady pro práci ve škole: a) Na plánu okolí obce Černovice je rozhledna na kopci Svidník vzdálena 17 cm od náměstí (po turistické značce). Kolik kilometrů ujde turista, je-li měřítko plánu 1 : 25 000. Model lokomotivy je oproti skutečnosti zmenšen v poměru 1 : 160. Jak velká b) je skutečná lokomotiva, měří-li model 11 cm? Na mapě Prahy v měřítku 1 : 25 000 je vzdálenost dvou stanic metra 5 cm. c) Kolik km ujede souprava mezi těmito stanicemi? Vzdálenost dvou vesnic je 6 km. Jak velká bude jejich vzdálenost na d) turistické mapě 1 : 100 000? Jaká je skutečná vzdálenost centra Kraslic od centra Stříbrné (centrum e) je označeno červeným bodem) půjdeme-li po silnici? Mapa je v měřítku 1 : 50 000.


48 - 48 -


Přík kladyy za domácí ú úkol: 5.44.2 a) N Na m mapě v měěřítkuu 1 : 550 0000 jee vzdálenoost vrrchollu Krrálickký Snněžníkk od m městaa Kráálíky 35,66 cm po tuuristiické značcce. K Kolik kilom metrůů ujdde turrista, jestližže absolvuuje ceelou ttuto ttrasu?? JJaká bbude na pplánu obcee v m měřítkku 1 : 10 0000 vvzdállenosst dvoou doomů, je-li b) jeejich skuttečná vzdáálenoost 2550 m?? Pozzor, úúdaj je vhoodné nejprrve ppřevésst na kkilom metry! Přík kladyy proo sam mostaatnou u prááci: (22) 5.44.3 a) N Na auutom mapě v měěřítkuu 1 : 2200 0000 jsou ddvě m městaa vzddálenna 244 cm.. Jak ddalekko jsoou od sebe ve skkuteččnosti?

5.55

S Shrn nutí a opaakovvání

V ttéto kkapitoole jsm me see nauučili ppočítaat s trrojčleenkouu a m měřítkkem m mapy. Nynní si zoppakujjme nněkterré zákkladnní pojjmy: 1. Jak u přííkladuu pozznám me, že je vhhodnéé pro řešenní vyyužít ttrojčllenkuu? 2. Jak poznnáme příkllad na přím mou úměrru? 3. Jak poznnáme příkllad na neppřímoou úm měru?? 4. Jak se lišší sesstavenní příímé a nepřřímé úměrry? 5. Co nnám říká m měříttko m mapy?? 6. Pročč je nnezbyytné nna kaaždé m mapě uváddět m měřítkko?

449 - 49 -


Evropský sociální fond 5.5.1 Příklady a) V prodejně ovoce a zeleniny stojí 3 kg mrkve 75 Kč. Kolik korun bude stát 5 kg mrkve? Tři dělníci staví zeď. Za 8 hodin postavili 4 řady cihel po celé délce. Další b) den mají vykonat stejnou práci. Jak rychle by to měli stihnout, bude-li jich pět? Na mapě v měřítku 1 : 50 000 je vzdálenost zámku konopiště od c) Benešovského nádraží po turistické značce 4,2 cm. Kolik kilometrů ujde turista, jestliže jde stejnou cestou tam i zpátky?

Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) (2) (3)

a) b)

780 12

a)

13

a)

48 km


50 - 50 -


6. Celá čísla Celá čísla můžeme rozdělit na čísla kladná a záporná. Mezi nimi nám zůstane jediné nezařazené číslo a to „0“. Kladnými čísly jsme se zabývali v předchozích kapitolách. Nyní se tedy podíváme podrobněji na čísla záporná. Se zápornými čísly se v dnešní době setkáváme takřka na každém kroku. Stačí se podívat na teploměr a hned vidíme nad nulou stupnici čísel kladných a pod nulou záporných. Jiný příklad, který budeme využívat jsou peněžní dluhy. Dlužím-li někomu 1000 Kč mám vlastně –1000 Kč. Když pak 2000 vydělám, dluh splatím a ještě mi +1000 Kč zbude.

6.1

Základní pojmy   

Záporné číslo označujeme znaménkem „–“ před číslem. Kladné číslo bychom mohli označit znaménkem „+“ , avšak v běžné praxi se nemusí používat. Velikost záporného čísla určujeme podle pravidla: Číslo je tím větší, čím více vpravo na číselné ose se nachází. Tedy: U záporných čísel je větší to, které je blíže nule. Např.: –1 > –6 –3 < –2 –5 < 3

6.2

Sčítání záporného a kladného čísla

Postupujeme stejně, nebo podobně jako u čísel kladných, jen musíme dávat pozor na znaménka. Sčítání záporného a kladného čísla Nejprve upravíme pořadí tak, aby příklad začínal kladným číslem. Nezapomeneme znaménko „–“ přesunout i s číslem, ke kterému patří. Pak stačí již jen vypočítat jednoduchý příklad. Je-li druhé číslo v pořadí větší než číslo první, dostaneme se pod nulu a výsledek bude záporný.

51 - 51 -

–7 + 6 = –7 + 6 = 6 – 7 = Číslo 7 je větší než 6, výsledek tedy bude „–1“. Platnéřská 4, Praha 1

Evropský sociální fond Pozn.: Při výpočtu můžeme postupovat také tak, že odečteme větší číslo od menšího a znaménko upravíme podle předchozího pravidla. 6.2.1 Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte: –6 + 4 = 9 – 14 = –8 + 23 = –1 + 4 = –17 + 23 = 6.2.2 Příklady za domácí úkol: Vypočítejte: –4 + 6 = –9 + 12 = –4 + 23 = –7 – 21 = –12 + 5 = 6.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) Vypočítejte: –15 + 32 = –9 + 17 = –6 + 4 = –8 + 2 = 9 – 26 = 6.2.4

Sčítání a odčítání záporných čísel Při sčítání a odčítání záporných čísel si můžeme pomoci tak že si představíme svojí finanční situaci. Všichni jistě víme co znamená, že jsem s penězi „v mínusu“. Když tedy někomu dlužím deset korun, mám vlastně –10 Kč. Když pak vydělám dvacet korun dluh splatím a ještě mi zbude v peněžence „+“ 10 Kč. Při počítání musíme pamatovat na důležité pravidlo:


52 - 52 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Sejddou-lii se zza sebbou ddvě znnaméénka „„–“ nnapíšeeme m místoo nichh „+“. S Sejdouu-li sse za sebouu dvěě různná znnaménnka, nnapíššeme místoo nichh znaaménnko „––“. Sččítán ní a odčítáání zááporn ných h čísel: „Z Záporrné ččíslo“ – „kkladnéé čísllo“ D Dlužím m5K Kč a jeeště ssi dallší 2 K Kč půůjčím m. Kollik dllužím m celkkem?

V Vypoččítám me takk, že ssečtem me číísla a pak napíššemee přřed výsleddek znnaméénko „–“. „Z Záporrné ččíslo“ + „zzápornné číslo“

–5 – 2 = 5 + 2 = 7 => ––5 – 2 = ––7

–4 + (–6) = ––4 – 6 = –110

D Dlužím m4K Kč a jeeště ddalšícch 6 ssi půjjčím. Jednná se teedy jeen o jiný záápis ppředcchozíího tyypu příkladu.

V Vypoččítám me takk, že m místoo znam méneek + a – zaa seboou naapíšeeme zznaméénko „–“. Dálee posttupujeme jjako v přředchhozím m příkkladuu. „K Kladnné čísslo“ – „záápornéé čísllo“ V Vypoččítám me takk, že m místoo znam méneek – a – zaa seboou naapíšeeme zznaméénko „+“. Dálee posttupujeme jako v přředchhozím m příkkladuu. „Z Záporrné ččíslo“ – „zápornné čísslo“ V Vypoččítám me takk, že nnejprvve místo zznam ménekk – a – zaa seboou naapíšem me znnaméénko „+“. Dálee poostuppujem me jižž znám mým způssobem m.

2 – (–1) = 2 + 1 = 3

–5 – (–1)) = –55 + 1 = = 1 – 5 = –4

Pozznám mka: Nenní nnutné učitt se výšee uveedenéé poostupyy zpamětti. Sttačí pochhopit záklladní myyšlenkku poočítánní se zzáporrným mi číslly:  Sejddou-lli se ddvě zznaméénka za seebou, umím m z nnich uudělaat jednno.  Pakk je ttřeba si uvvědom mit, ppohyybuji--li se pod nuloou, neebo nnad nní. A zda číslo zvvětšujji (znnaméénko „+“ vedee k většíím čííslům m), nnebo zmennšuji (znaaménnko „––“ veede k mennším ččíslům m. m zapoomennout, že u zápoornýcch číssel je napřříkladd většší číslo –11 než  Nessmím číslo –544 .

553 - 53 -


Evropský sociální fond Sčítání a odčítání záporných čísel: Ze dvou znamének za sebou udělám jedno. Uvědomím si zda se pohybuji pod nulou.

Uvědomím si zda zvětšuji, či zmenšuji. Posouvám se tedy směrem k nule.

–7 – (–3) –7 + 3 První číslo je záporné, jsem tedy pod nulou. Znaménko + znamená zvětšení. –7 + 3 = –4

6.2.5 Příklady pro práci ve škole: Vypočítej: –9 – 8 = –4 – 10 = –8 + (- 17)= –9 – (-12) = –8 – 6 = 6.2.6 Příklady za domácí úkol: Vypočítej: –7 + (–15) = 9 – (–4) = –3 – 8 = –4 – (–9) = 5 – 12 = 6.2.7 Příklady pro samostatnou práci: (2) Vypočítej: –6 + 13 = 3 + (–8) = –5 – (–9) = 6 – (–13) = –12 – 14 =

6.3

Násobení a dělení celých čísel

Počítáme stejně jako u čísel kladných, jen je třeba dávat pozor na znaménka. Násobíme-li dvě čísla platí následující pravidlo: Mají-li obě čísla stejná znaménka (obě „+“, či obě „–“), bude výsledek kladný. Mají-li obě čísla různá znaménka (jedno „+“ a jedno „–“), bude výsledek á ý


54 - 54 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Násobení a dělení celých čísel Rozhodneme jaké znaménko bude mít výsledek.

Vynásobíme dvě čísla (jako by byla kladná). Výsledek zapíšeme se správným znaménkem.

6  ( 4) 

Znaménka jsou různá => výsledek bude záporný. 6  4  24 6  ( 4)  24

6.3.1 Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte:

(  6)  (  4)  (30) : 5 

10  (17)  (60) : (6)  7  (8)  6.3.2 Příklady za domácí úkol: Vypočítejte:

(3)  ( 4)  (49) : 7  0  (17) 

(  9 )  ( 6 )  7  ( 10)  6.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) Vypočítejte:

(9)  (8)  ( 2 )  5 

1  ( 7 )  (  4 )  ( 6 )  5  ( 8) 

55 - 55 -



6.4


V této kapitole jsme se seznámili s celými čísly. Zopakujme si nyní některé základní pojmy. 1. Co jsou to celá čísla? 2. Co je to záporné číslo? 3. Nakreslete číselnou osu od -7 do 7. 4. Kde v praxi využijeme počítání s celými čísly? 6.4.1 Příklady Porovnejte: 1 –3 –6 –1 –8 –2 Vypočítejte: (9)  (8) 

(  2)  5  3  ( 7 )  (4) : ( 2)  64 : ( 8) 


17; 8; –2; - 6; –17 7; –5; 4; 18; –26 72; –10; –7; 24; –40


56 - 56 -


7. Úhly S úhly se setkáváme doslova na každém kroku. Určitě jste se již někdy museli naměřit pravý úhel (stavební práce, šití, origami, ...), nebo třeba úhel 45° a podobně. Vzít úhloměr a úhel změřit nebývá problém. My se však v této kapitole pokusíme proniknout do nejrůznějších zákonitostí a souvislostí, které při práci s úhly platí.

Základní pojmy

7.1 

Úhel o o



Měření o Velikost úhlu měříme ve stupních, minutách a vteřinách. o Jeden stupeň má 60 minut a jedna minuta má 60 vteřin. o Označení – 20 stupňů, 13 minut a 50 vteřin zapíšeme jako: 20°13´50 o Velikost úhlu měříme zpravidla úhloměrem Označení o Úhly značíme zpravidla písmeny řecké abecedy. Naučme se některé příklady:   … alfa   … beta   … gama   … delta Ostrý úhel o Úhel menší než 90° Tupý úhel o Úhel větší než 90°



 

Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami. Je to tedy plocha mezi dvěma polopřímkami, které začínají ve stejném bodě.

57 - 57 -



 

Pravý úhel o Úhel, který měří 90°. Speciální úhly o Úhel na přímce měří 180°

o

7.2

Úhel, který spolu svírají dvě překrývající se polopřímky měří 360°

Počítání s úhly

Úhly můžeme navzájem sčítat i odčítat. S celými stupni to půjde snadno. Pokud ovšem počítáme i v minutách a vteřinách. Celá situace se nám mírně zkomplikuje tím, že musíme počítat v nedesátkové soustavě (podobně jako u času).



 


58 - 58 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Sčítání úhlů:

Napíšeme si obě velikosti úhlů pod sebe a sečteme je jako při běžném písemném sčítání. Pokud však součet na úrovni vteřin dosáhne 60 napíšeme místo toho 0 a minuty navýšíme o jedna. Pokud součet překročí 60 opět navýšíme minuty o jedna a od vteřin odečteme 60. Pokud součet na úrovni minut dosáhne 60 napíšeme místo toho 0 a stupně navýšíme o jedna. Pokud součet překročí 60 opět navýšíme stupně o jedna a od minut odečteme 60.

Máme dva úhly  a , které spolu sousedí. Jak velký bude úhel , který vznikne součtem těchto dvou úhlů? Celou situaci viz obrázek výše.  = 31°13´50  = 20°52´10 31°13´50 20°52´10 60 Tedy píši 0 a k minutám musím přičíst 1. 31°13´50 20°52´10 66´00 Tedy píši 6´ a ke stupňům musím přičíst 1. 31°13´50 20°52´10 52°06´00

Poznámka: Pokud je v zadání jedna velikost úhlu pouze ve stupních a druhá např. i v minutách a vteřinách, mohu si při sčítání pomoci tak, že chybějící minuty a vteřiny doplním čísly 0. Např. 126° = 126°00´00

59 - 59 -


Evropský sociální fond Odčítání úhlů:

Nejprve se podíváme na obě velikosti a porovnáme je na úrovni vteřin. (Pokud vteřiny chybí, doplníme je 0 podle pravidla v předchozí poznámce). Jsou-li odčítané vteřiny větší, snížíme minuty u druhého úhlu o 1 a vteřiny navýšíme o 60. Provedeme totéž na úrovni minut. Napíšeme si obě velikosti úhlů pod sebe a odečteme je jako při běžném písemném odčítání.

 = 60°10´60  = 59°70´60 59°70´60 30°15´50 29°55‘10

  Obrázek k příkladům 1


Máme dva úhly  a , které spolu sousedí a úhel , který je jejich součtem. Jak velký bude úhel , jestliže?  = 30°15´50  = 60°11´ Celou situaci viz obrázek výše.  = 60°11´00  = 60°10´60

60 - 60 -




 

Obrázek k příkladům 2 7.2.1

a) b) c) d) e)

7.2.2

a) b) 7.2.3

a) b)

Příklady pro práci ve škole:

Jak velký je úhel , jestliže  = 25°15´32 a  = 21°11´06. Viz obrázek k příkladům 1. Jak velký je úhel , jestliže  = 15°55´42 a  = 31°34´56. Viz obrázek k příkladům 1. Jak velký je úhel , jestliže  = 45°12´12 a  = 21°59´42. Viz obrázek k příkladům 1. Jak velký je úhel , jestliže  = 49°56´17 a  = 30°03´43. Viz obrázek k příkladům 1. Střecha domu svírá se zemí úhel  = 41°56´. Po vybudování půdní vestavby, vznikl vikýř jehož střecha měla o  = 28° 31´ mírnější spád. Jaký úhel svírá střecha vikýře se zemí? Viz obrázek k příkladům 2. Příklady za domácí úkol:

Jak velký je úhel , jestliže  = 18°32´52 a  = 41°48´56. Viz obrázek k příkladům 1. Jak velký je úhel , jestliže  = 45°12´02 a  = 28°59´47. Viz obrázek k příkladům 1. Příklady pro samostatnou práci: (1)

Jak velký je úhel , jestliže  = 18°32´52 a  = 41°48´56. Viz obrázek k příkladům 1. Jak velký je úhel , jestliže  = 95°03´52 a  = 34°59´34. Viz obrázek k příkladům 1.

61 - 61 -



7.3

Úhly vrcholové a vedlejší

V předchozí lekci jsme se naučili sčítat a odčítat velikosti úhlů. Tím jsme si připravili půdu pro další látku, v níž se budeme zabývat vztahy mezi úhly v některých geometrických obrazcích. Máme dvě různoběžné přímky. Ty se tedy protínají v jednom bodě. V místě průsečíku vznikají čtyři úhly.



 



Zapamatuj si

Úhly vrcholové ( a  ,  a ) leží proti sobě. Mají tedy společný vrchol a jejich ramena tvoří opačné polopřímky. Pro jejich velikost platí:  =  a  = . Úhly vedlejší (  a ,  a  ,  a  ,  a  ) leží vedle sebe. Mají tedy společný vrchol a jedno společné rameno. Druhé rameno tvoří opačné polopřímky. Pro jejich velikost platí:  = 180° -  ,  = 180° –  a naopak  = 180° –  ,  = 180° – .


62 - 62 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Úhly vrcholové a vedlejší:

Vypočítej velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže  = 32°24´15.  …….. vrcholový  a  … vedlejší

Uvědomíme si, které úhly budou vrcholové a které vedlejší. Vrcholové úhly mají stejnou velikost. Vedlejší úhly dopočítáme, pokud velikost úhlu  odečteme od 180°.

 = 32°24´15 180° – 32°24´15 179°59´60 – 32°24´15 147°35´45  =  = 147°35´45  = 147°35´45  = 32°24´15  = 147°35´45

Tedy výsledek:

Poznámka: Jestliže jednu přímku protínají dvě rovnoběžky, jak je tomu na obrázku, pak se velikosti odpovídajících úhlů rovnají. Např. na obrázku platí:  = ´,  = ´,  = ´,  = ´.

 ‘

 

 





63 - 63 -


Evropský sociální fond 7.3.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže  = 119°14´05. b) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže  = 14°34´23. c) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže ´ = 22°56´41. d) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže  = 17°14´15. e) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže ´ = 114°00´48. 7.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže  = 26°57´18. b) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže ´ = 99°45´11. 7.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) a) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže  = 83°14´12. b) Vypočítejte velikosti všech úhlů vyznačených na obrázku výše, jestliže ´ = 122°00´35.


64 - 64 -


7.4

Úhly v trojúhelníku

Pro vnitřní úhly v trojúhelníku platí, že jejich součet se vždy rovná 180°. Tedy znám-li dva úhly v trojúhelníku, snadno mohu dopočítat třetí. Spojením pravidel z předchozí lekce s tímto si pak poradíme i se složitějšími obrazci. Zapamatuj si

Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je roven 180°.



´ 

1´ ´

 1´

 

1

 1´

65 - 65 -




Evropský sociální fond Úhly v trojúhelníku:

Vnitřní úhly jsou ,  a . Uvědomíme si, v jakém vztahu jsou tyto úhly k zadaným. Nyní dopočítáme velikosti vnitřních úhlů podle již známých pravidel.

Vypočítej velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku na obrázku výše, jestliže 1´ = 132°14´25 ´ = 45°56´20  je vedlejší k 1´  je vrcholový k ´  bude potřeba dopočítat z trojúhelníku  = 180° – 1´  = 180° – 132°14´25  = 47°45´35  = ´  = 45°56´20  = 180°– ( + )  = 180° – (47°45´35 + 45°56´20)  = 180° – 93°41´55  = 86°18´5

7.4.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže 1 = 86°14´05 a ´ = 54°34´23. b) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže 1´ = 126°12´31 a ´ = 97°54´12 c) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže 1 = 132°56´41 a ´ = 17°14´15. d) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v rovnoramenném trojúhelníku, jestliže  = 47°34´10. Úhel  svírají dvě stejně dlouhá ramena. e) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v rovnostranném trojúhelníku. 7.4.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže 1´ = 97°09´16 a ´ = 43°39´43. b) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže 1 = 112°12´12 a ´ = 45°54´18


66 - 66 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 7.4.3 Příklady pro samostatnou práci: (3) a) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže 1 = 86°14´05 a 1´ = 124°34´43. b) Vypočítejte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku, jestliže ´ = 31°12´31 a 1´ = 97°36´16


7.5

V této kapitole jsme se naučili několik pravidel pro počítání s úhly: úhly vedlejší, úhly vrcholové a vnitřní úhly v trojúhelníku. Na jejich základě si dokážeme poradit s úhly i ve složitějších obrazcích. 7.5.1 Otázky k opakování a) Kolik minut se vejde do jednoho stupně a kolik vteřin do minuty? Vysvětli pojmy úhly vedlejší a úhly vrcholové a popiš jaké jsou vztahy mezi b) jejich velikostmi. Jaké jsou vztahy mezi velikostmi úhlů pokud jednu přímku protínají dvě c) rovnoběžky. Jaký je součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku? Co z toho d) vyplývá pro velikosti úhlů v rovnoramenném a rovnostranném trojúhelníku? 7.5.2

Příklady

Vypočítej velikosti všech úhlů v obrazci jestliže ´ = 32°12´31 a přímky p a q jsou rovnoběžné:

a)

 

 

´ ´

´ ´

p

q

67 - 67 -



b)

Vypočítej velikosti všech úhlů v obrazci jestliže 1 = 126°12´31 a  = 97°54´12:



´ 

1´ ´

 1´

 

1

 1´


c)  = 60°21´48 d)  = 60°04´18 a) , ´, , ´ = 83°14´12, , ´, , ´ = 96°45´48 b) , ´, , ´ = 122°00´35, , ´, , ´ = 57°59´25

a)  = 30°48´48,  = 93°45´55,  = 55°25´17 b)  = 31°12´31,  = 66°23´34,  = 82°23´44


68 - 68 -




8. Konstrukce obrazců v rovině V této kapitole se naučíme narýsovat nejběžnější obrazce, s nimiž se setkáváme i v běžném životě. Čtverec a obdélník zvládneme snadno. Lichoběžník bude trochu náročnější. Nejvíce se budeme věnovat trojúhelníku, kde se budeme pomocí různých variant zadání snažit rozvíjet naší geometrickou představivost.

Základní pojmy

8.1 



Čtverec o Má čtyři stejně dlouhé po dvou rovnoběžné strany. Všechny vnitřní úhly jsou pravé. o Jeho úhlopříčky jsou navzájem kolmé.

D

C

A

B

Obdélník o Má čtyři strany po dvojicích stejně dlouhé a rovnoběžné. Všechny vnitřní úhly jsou pravé.

C

D

Úhlopříčky B

A

69 - 69 -





Lichoběžník o Má čtyři strany. Dvě jsou rovnoběžné a mají společnou osu, nejsou však stejně dlouhé. o Střední příčka půlí výšku, je rovnoběžná se dvěma stranami a její délka je aritmetickým průměrem obou rovnoběžných stran.

D

C

Střední příčka Výška B

A Trojúhelník

o o o o o

Má tři strany, tři úhly a tři vrcholy. Výška je kolmá na stranu a spojuje jí s protilehlým vrcholem. Výšky jsou vždy tři. Těžnice spojuje střed strany s protilehlým vrcholem. Těžnice jsou vždy tři. Průsečík těžnic se nazývá těžiště. Osa strany trojúhelníka je přímka kolmá na danou stranu, která prochází středem této strany. Osa úhlu trojúhelníka je přímka půlící daný úhel. C

vc

b tb

ob

a

o

A


c

70 - 70 -

B


vc tb ob o

….. ….. ….. …..

8.2

Konstrukce čtverce a obdélníka

výška na stranu c těžnice na stranu b osa strany b osa úhlu 

Jak jsme si řekli výše má čtverec čtyři stejně dlouhé strany, čtyři pravé úhly a dvě stejně dlouhé navzájem kolmé úhlopříčky. Narýsovat čtverec, známe-li délku jeho strany by neměl být pro nikoho problém. Zaměříme se tedy na konstrukci čtverce, známe-li délku jeho úhlopříčky. Jedna z možností by byla vypočítat délku strany za použití Pythagorovy věty. To by však bylo zdlouhavé a nepřesné. Konstrukce čtverce:

Narýsuj čtverec ABCD, jehož úhlopříčka měří 8 cm. Narýsujeme úsečku /AC/ = 8 cm. Tato úsečka bude úhlopříčkou budoucího čtverce. Narýsujeme osu této úsečky (přímku kolmou na úsečku AC vedoucí jejím středem). Vezmeme do kružítka polovinu délky úhlopříčky – v našem případě 4 cm. Kružítko zabodneme do středu úsečky AC a na její ose vyznačíme tímto poloměrem body B a D. Pak již stačí jen body ABCD spojit úsečkami a čtverec je hotov. U obdélníka nám jeden rozměr už stačit nebude. Konstukce obdélníka při znalosti délek všech stran je triviální. Zkusme tedy narýsovat obdélník, známe-li délku jedné strany a úhlopříčky. Konstrukce obdélníka:

Narýsuj obdélník EFGH, jehož úhlopříčka měří 10 cm a strana /EF/ = 8 cm.

Narýsujeme úsečku /EF/ = 8 cm. Narýsujeme dvě kolmice k této úsečce. Jedna kolmice povede bodem E a druhá bodem F. Kolmici vedoucí bodem E nazvěme p a kolmici vedoucí bodem F nazvěme q. Vezmeme do kružítka polovinu délku úhlopříčky – v našem případě 10 cm. Kružítko zabodneme do bodu E a vyznačíme daným poloměrem bod na přímce q. Tím nám vznikne bod G. Dále zabodneme kružítko do bodu F a stejným způsobem označíme bod H na přímce p. Nakonec spojíme úsečkami body EFGH a obdélník je na světě. 71 - 71 -


Evropský sociální fond 8.2.1 a) b) c) d)

e)

Příklady pro práci ve škole: Narýsujte čtverec ABCD, kde délka jeho strany je 8 cm. Narýsujte čtverec EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 7 cm. Narýsujte obdélník ABCD, kde a = 8 cm a b = 4 cm. Narýsujte obdélník EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 12 cm a délka strany EF je 10 cm. Narýsujte obdélník ABCD, kde délka jeho úhlopříčky je 9 cm a délka strany FG je 5 cm.

8.2.2 Příklady za domácí úkol: a) Narýsujte čtverec EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 6 cm. Narýsujte obdélník ABCD, kde /AB/ = 7 cm a délka úhlopříčky je 8,5 cm. b) 8.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Narýsujte čtverec EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 5,7 cm. Narýsujte obdélník ABCD, kde /AB/ = 7 cm a délka úhlopříčky je 8,5 cm. b)

8.3

Konstrukce lichoběžníka

Abychom mohli narýsovat lichoběžník potřebujeme znát délky jeho základen a ramen. Jsou i jiné možnosti, my však zůstaneme u této nejjednodušší. Konstrukce pravidelného lichoběžníka:

Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 8 cm, /CD/ = 6 cm a ramena jsou dlouhá = 4 cm.

Narýsujeme úsečku /AB/ = 8 cm. Narýsujeme osu této úsečky, tedy kolmici vedoucí jejím středem. Narýsujeme rovnoběžky p a q s osou strany AB. Každou z jedné strany ve vzdálenosti poloviny délky strany CD (3 cm). Na těchto přímkách budou určitě ležet body C a D. Do kružítka vezmeme délku ramene. Zabodneme ho do bodu A a na přímce p vyznačíme bod D. Pak zabodneme kružítko s tímtéž poloměrem do bodu B a na přímce q vyznačíme bod C. Pak již jen obtáhneme celý lichoběžník.


72 - 72 -


p

OA

q C

D

A

B

8.3.1 Příklady pro práci ve škole: a) Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 7 cm, /CD/ = 4 cm a ramena jsou dlouhá = 5 cm. b) Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 10 cm, /CD/ = 6 cm a ramena jsou dlouhá = 8 cm. c) Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 8 cm, /CD/ = 4 cm a ramena jsou dlouhá = 5 cm. 8.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 12 cm, /CD/ = 8 cm a ramena jsou dlouhá = 6 cm. b) Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 6 cm, /CD/ = 5 cm a ramena jsou dlouhá = 4 cm. 8.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) a) Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 8 cm, /CD/ = 4 cm a ramena jsou dlouhá = 6 cm.

8.4

Konstrukce trojúhelníka (SSS, SUS, USU)

Jistě si ze základní školy vzpomenete, na rýsování trojúhelníků podle věty SSS, SUS a USU. Tyto záhadné zkratky označují, které údaje známe. (SSS = známe délky všech tří stran, SUS = známe délky dvou stran a úhel, který svírají, USU = známe délku jedné strany a dva přilehlé úhly). Všimněte si že musí být zadány vždy tři údaje. Pro čtverec nám stačil jeden, pro obdélník dva. 73 - 73 -



Ještě pár slov ke značení. Strany trojúhelníka označujeme malými písmeny podle protilehlých vrcholů. Vnitřní úhly pak značíme odpovídajícími písmeny řecké abecedy. C 

b

a

 A

 c

Věta SSS:

B

Sestroj trojúhelník ABC, kde a = 6 cm b = 7 cm c = 8 cm

1. 2.

Narýsujeme stranu c a její vrcholy označíme AB. Vezmeme do kružítka délku strany b. Kružítko zabodneme do bodu A a uděláme kousek kružnice v místě předpokládaného bodu C. 3. Vezmeme do kružítka délku strany a. Kružítko zabodneme do bodu B a uděláme kousek kružnice v místě předpokládaného bodu C. 4. V místě průsečíku těchto dvou kružnic leží bod C. 5. Narýsujeme výsledný trojúhelník. Věta SUS: Sestroj trojúhelník ABC, kde a = 6 cm c = 8 cm  = 65° 1. Narýsujeme stranu c a její vrcholy označíme AB. 2. Z bodu B vedeme polopřímku pod úhlem . 3. Vezmeme do kružítka délku strany a. Kružítko zabodneme do bodu B a vyznačíme na polopřímce bod C. 4. Narýsujeme výsledný trojúhelník. Dívčí katolická střední škola

74 - 74 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Věta USU:

1. 2. 3. 4. 5.

Narýsujeme stranu c a její vrcholy označíme AB. Z bodu A vedeme polopřímku pod úhlem . Z bodu B vedeme polopřímku pod úhlem . V místě průsečíku obou polopřímek je bod C. Narýsujeme výsledný trojúhelník.

Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 8 cm  = 50°  = 65°

Poznámka: Trojúhelník lze sestrojit pouze tehdy, pokud pro každou stranu platí, že její velikost je menší, než součet velikostí obou zbývajících. 8.4.1 a) b) c) d) e) 8.4.2

a) b) 8.4.3

a) b)

Příklady pro práci ve škole: Sestroj trojúhelník ABC, kde a = 5 cm, b = 7 cm, c = 9 cm Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 9 cm,  = 50°, b = 7 cm Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 6 cm,  = 65°,  = 35° Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 10 cm,  = 60°, b = 8 cm Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 6 cm,  = 45°,  = 85° Příklady za domácí úkol:

Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 8,5 cm,  = 67°, b = 7 cm Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 8 cm,  = 36°,  = 75° Příklady pro samostatnou práci: (3)

Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 11 cm,  = 30°, b = 7 cm Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 6,5 cm,  = 105°,  = 35°

75 - 75 -



8.5

Složitější konstrukce trojúhelníka – přidáváme výšku

Jistě si pamatujeme, že výška v trojúhelníku je kolmá na stranu a prochází protilehlým vrcholem. Této její vlastnosti využijeme při řešení následujících úloh. Známe dvě strany a výšku na jednu z nich:

1. 2. 3.

Sestroj trojúhelník ABC, kde b = 6 cm c = 9 cm vc = 5 cm

Narýsujeme stranu c a její vrcholy označíme AB. Ve vzdálenosti vc = 5 cm, vedeme rovnoběžku p se stranou c. Vezmeme do kružítka délku strany b = 6 cm. Kružítko zabodneme do bodu A a na přímce p vyznačíme bod C. Pozor! Kružnice protne přímku p na dvou místech. Získáme tedy dva body C (např. C1 a C2), a tím i dva výsledné trojúhelníky (ABC1 a ABC2). 4. Narýsujeme výsledný trojúhelník. Známe jednu stranu, výšku na tuto stranu a úhel Sestroj trojúhelník přilehlý k této straně: ABC, kde c = 8 cm vc = 5 cm  = 65° 1. Narýsujeme stranu c a její vrcholy označíme AB. 2. Ve vzdálenosti vc = 5 cm, vedeme rovnoběžku p se stranou c. 3. V bodě B sestrojíme úhel  = 65°. Jedno rameno splývá se stranou c, druhé protne rovnoběžku p. V místě tohoto průsečíku vyznačíme bod C. 4. Narýsujeme výsledný trojúhelník. 8.5.1 a) b) c) d) e)

Příklady pro práci ve škole: Sestroj trojúhelník ABC, kde b = 6 cm, c = 11 cm, vc = 4 cm. Sestroj trojúhelník ABC, kde b = 7 cm, c = 10 cm, vc = 5 cm. Sestroj trojúhelník ABC, kde b = 7 cm, c = 8 cm, vb = 5,5 cm. Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 7 cm, vc = 4 cm,  = 60° Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 6 cm, vc = 4 cm,  = 70°

8.5.2 Příklady za domácí úkol: a) Sestroj trojúhelník ABC, kde b = 8 cm, c = 10 cm, vc = 6 cm. b) Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 6 cm, vc = 4 cm,  = 60°


76 - 76 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 8.5.3 Příklady pro samostatnou práci: (4) a) Sestroj trojúhelník ABC, kde b = 5 cm, c = 7 cm, vc = 4 cm. b) Sestroj trojúhelník ABC, kde c = 10 cm, vc = 6 cm,  = 70°

8.6

Kružnice opsaná trojúhelníku

Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy daného trojúhelníka. Jejím středem je průsečík os stran trojúhelníka. Osa strany trojúhelníka je kolmice na tuto stranu vedoucí jejím středem. Kružnice opsaná trojúhelníku:

1. 2. 3. 4.

Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde a = 8 cm b = 9 cm c = 10 cm

Narýsujeme trojúhelník ABC. Narýsujeme osy dvou stran. V místě jejich průsečíku vznikne bod, který označíme SO. Tento bod bude středem kružnice opsané. Do kružítka vezmeme vzdálenost mezi libovolným vrcholem trojúhelníka a bodem SO. Narýsujeme kružnici se středem v bodě SO.

8.6.1 Příklady pro práci ve škole: a) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde a = 6 cm, b = 7 cm, c = 8 cm. b) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde c = 10 cm, b = 8 cm,  = 60°. c) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde b = 8 cm, c = 10 cm, vb = 6 cm. d) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde c = 7 cm, vc = 4 cm,  = 60° e) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde a = 6 cm, b = 7 cm,  = 70° 8.6.2 Příklady za domácí úkol: a) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde b = 9 cm, c = 11 cm, vc = 7 cm. b) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde c = 8 cm,  = 60°,  = 75°. 8.6.3

Příklady pro samostatnou práci: (6)

a) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde c = 9 cm,  = 50°,  = 70°. b) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde c = 10 cm, vc = 5 cm,  = 60°. 77 - 77 -



8.7

Kružnice vepsaná trojúhelníku

Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Jejím středem je průsečík os úhlů trojúhelníka. Osa úhlu je přímka, která půlí daný úhel. Osu úhlu narýsujeme tak, že vezmeme do kružítka libovolný poloměr, zabodneme kružítko do vrcholu daného úhlu a narýsujeme úsek kružnice k, který nám protne obě ramena úhlu. Pak se stejným poloměrem narýsujeme dvě kružnice (postačí i úseky kružnic) k1 a k2, z nichž každá má střed v jednom z průsečíků kružnice k s rameny úhlu. Pak již jen spojím vrchol s průsečíkem kružnic k1 a k2. Takto vzniklá přímka je osou daného úhlu. Kružnice vepsaná trojúhelníku:

1. 2. 3. 4. 5.

Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde a = 9 cm b = 7 cm c = 11 cm

Narýsujeme trojúhelník ABC. Narýsujeme osy dvou úhlů. V místě jejich průsečíku vznikne bod, který označíme SV. Tento bod bude středem kružnice vepsané. Nyní musíme zjistit velikost poloměru. Tu zjistíme tak, že z bodu SV spustíme kolmici na libovolnou stranu. Kolmá vzdálenost bodu SV od libovolné strany je poloměrem kružnice vepsané. Do kružítka vezmeme poloměr kružnice vepsané. Narýsujeme kružnici se středem v bodě SV.

8.7.1 Příklady pro práci ve škole: a) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde a = 7 cm, b = 7 cm, c = 8 cm. b) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde c = 10 cm, b = 8 cm,  = 70°. c) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde b = 9 cm, c = 10 cm, vb = 6 cm. d) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde c = 7 cm, vc = 4 cm,  = 75° e) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde a = 6 cm, b = 7 cm,  = 60° 8.7.2 Příklady za domácí úkol: a) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde b = 9 cm, c = 10 cm, vc = 7 cm. b) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde c = 8 cm,  = 65°,  = 80°.


78 - 78 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 8.7.3


a) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde c = 9 cm,  = 60°,  = 75°. b) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde c = 10 cm, vc = 6 cm,  = 70°.

8.8


V této kapitole jsme se naučili zkonstruovat nejběžnější rovinné obrazce: čtverec, obdélník, pravidelný rovnoramenný lichoběžník a trojúhelník. Seznámili jsme se také se základními pojmy týkajícími se těchto obrazců. 8.8.1 a) b) c) d) e) f)

Otázky k opakování Jakou vzájemnou polohu mají úhlopříčky ve čtverci? Platí to i u obdélníku? Co je to střední příčka lichoběžníku? Co je to výška v trojúhelníku? Co je to těžnice v trojúhelníku? Co je středem kružnice opsané trojúhelníku? Jaký je její poloměr? Co je středem kružnice opsané trojúhelníku? Jaký je její poloměr?

8.8.2 Příklady a) Sestroj kružnici vepsanou trojúhelníku ABC, kde c = 9 cm, vc = 6 cm,  = 75° b) Sestroj kružnici opsanou trojúhelníku ABC, kde a = 6 cm, b = 8 cm,  = 60° Narýsuj rovnoramenný lichoběžník ABCD, kde základna /AB/ = 7 cm, c) /CD/ = 6 cm a ramena jsou dlouhá = 6 cm. Narýsujte obdélník EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 10 cm a délka d) strany EF je 6 cm.

79 - 79 -



9. Pythagorova věta Když staří Egypťané stavěli pyramidy, dali si opravdu záležet. Aby rohy byly vždy do pravého úhle bylo potřeba umět ho sestrojit. A protože se egyptští stavitelé v matematice opravdu vyznali, využívali k tomu Pythagorovu větu. Stačilo jim vzít si provaz a rozdělit ho jedenácti uzly na dvanáct stejných dílů. Pak z něj sestrojili trojúhelník o stranách 3, 4 a 5 dílů a měli jistotu, že je pravoúhlý. I v dnešní době nachází Pythagorova věta široké uplatnění, jak uvidíme v příkladech jednotlivých kapitol.

Základní pojmy

9.1 

Jak vypadá pravoúhlý trojúhelník o Jeden z jeho úhlů měří 90°. o Strana naproti pravému úhlu je nejdelší a nazývá se přepona. o Obě zbývající strany se nazývají odvěsny a mohou, ale nemusí být stejně dlouhé. o Přepona se zpravidla značí písmenem c. o Odvěsny se zpravidla značí písmeny a a b. Poznámka: Nenechme se zmást jiným značením, až budeme Pythagorovu větu využívat ke složitějším výpočtům např. v jehlanu.

B c a 90° C



b

A

Jak zní Pythagorova věta o Nejjednodušší zápis bychom mohli vyjádřit vzorečkem c2 = a2 + b2. Tento vzorec ovšem platí jen tehdy, dodržíme-li běžné značení, kde c je přepona a a a b jsou odvěsny. o Můžeme proto použít přesnější slovní formulaci: Druhá mocnina délky přepony je rovna součtu druhých mocnin délek odvěsen.


80 - 80 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Zapamatuj si

Pythagorova věta zní: c2 = a2 + b2. Slovy vyjádřeno: Druhá mocnina délky přepony je rovna součtu druhých mocnin délek odvěsen.

9.2

Základní příklady

Základní příklady:

Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 6 cm a b = 8 cm. c2 = a 2 + b 2

Nejprve si uvědomíme, podle jakého vzorečku budeme počítat. Dosadíme. Vypočítáme V tuto chvíli známe kolik je c2. Nás však zajímá c. Výsledek tedy musíme odmocnit. Samozřejmě nesmíme zapomenout na odpověď.

c 2 = 62 + 82 c2 = 36 + 64 = 100 100  10

c  10cm Přepona zadaného trojúhelníka měří 10 cm.

9.2.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 7 cm a b = 9 cm. b) Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 4 cm a b = 6 cm. c) Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 2 m a b = 18 dm. d) Ověřte, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý, jestliže a = 4,5 cm, b = 6 cm, c = 7,5 cm. e) Ověřte, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý, jestliže a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm. 9.2.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 4 dm a b = 7 dm. b) Ověřte, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý, jestliže a = 1,5 m, b = 2 m, c = 2,5 cm.

81 - 81 -


Evropský sociální fond 9.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 5 cm a b = 7 cm. b) Ověřte, zda je trojúhelník ABC pravoúhlý, jestliže a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm.

9.3

Obrácená Pythagorova věta

Nyní se zkusíme podívat na situaci, kde známe v pravoúhlém trojúhelníku přeponu (c) a jednu odvěsnu (a). Potřebujeme tedy vypočítat délku druhé odvěsny (b). Vzorec c2 = a2 + b2 tedy musíme jednoduchou úpravou pozměnit na b2 = c2 – a2. Zapamatuj si

Obrácená Pythagorova věta zní: b2 = c2 – a2, popř. a2 = c2 – b2. Slovy vyjádřeno: Druhá mocnina délky jedné odvěsny je rovna rozdílu druhých mocnin délky přepony a druhé odvěsny. Jako pomůcka pro zapamatování nám může posloužit následující formulace: Chci-li vypočítat délku nejdelší strany, musím sečíst délky obou kratších stran. Chci-li vypočítat délku jedné kratší strany, musím odečíst délku druhé kratší strany od délky nejdelší strany. Vše samozřejmě v druhých mocninách. Obrácená Pythagorova věta:

Nejprve si uvědomíme, podle jakého vzorečku budeme počítat. Dosadíme. Vypočítáme V tuto chvíli známe kolik je a2 . Nás však zajímá a. Výsledek tedy musíme odmocnit. Samozřejmě nesmíme zapomenout na odpověď.


82 - 82 -

Vypočítej délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, jestliže délka druhé odvěsny je 12 cm a délka přepony je 15 cm. a 2 = c2 – b 2 a2 = 152 - 122 a2 = 225 - 144 = 81

81  9 a  9cm

Přepona zadaného trojúhelníka měří 10 cm.

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 9.3.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 7 cm a c = 10 cm. b) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 5 cm a c = 9 cm. c) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde b = 9 cm a c = 15 cm. d) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde b = 4 cm a c = 6 cm. e) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 0,9 m a c = 150 cm. 9.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 3,5 cm a c = 5 cm. b) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde b = 5 cm a c = 7 cm. 9.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) a) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 2 cm a c = 5 cm. b) Vypočítejte délku odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, kde a = 14 mm a c = 19 mm.

9.4


V této kapitole jsme se seznámili s Pythagorovou větou. Díky ní jsme schopni na základě znalosti délky dvou stran pravoúhlého trojúhelníka vypočítat délku třetí strany. V závěru se podívejme na některé slovní úlohy, při jejichž řešení nám může Pythagorova věta napomoci. 9.4.1 Příklady a) Kolik kilometrů ujde turista při výstupu na horu, jestliže je vzdálenost podle mapy 2 km a převýšení 500 m? b) Jak dlouhé je zapotřebí lano k upevnění stožáru, jestliže má být upevněn ve výšce 10 m a ve vzdálenosti 6 m od paty stožáru. c) Do jaké výšky sahají štafle dlouhé 3 m, jsou-li dolní konce od sebe vzdáleny 1,5 m? d) Okolo obdélníkového lesa 120 m dlouhého a 50 m širokého je cesta. O kolik metrů si zkrátí chodec chůzi pěšinou po úhlopříčce tohoto lesa?

83 - 83 -



Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) (2)

e) f)

8,6 cm Není pravoúhlý

a) 4,6 cm b) 12,8 mm


84 - 84 -


10. Obvody a obsahy mnohoúhelníků a kruhu V minulé kapitole jsme se zabývali konstrukcí nejběžnějších obrazců jako je čtverec, obdélník, trojúhelník, lichoběžník a kružnice (popř. kruh). Nyní se naučíme vypočítat na základě jejich rozměrů obvody a obsahy těchto obrazců.

10.1 Základní pojmy 



Obvod: o Vzdálenost kterou „ujdu“ obejdu-li celý obrazec po jeho stranách. o Měří se v běžných jednotkách, tedy mm, cm, dm, m, km. o Většinou se počítá jako součet délek všech stran. Obsah: o Plocha celého obrazce, tedy např. kolik koberce potřebuji na pokrytí podlahy (čtvercové, obdélníkové, ...) o Měří se v běžných jednotkách, tedy mm2, cm2, dm2, m2, km2.

10.2 Obvod a obsah čtverce Jak jsme si řekli v minulé kapitole má čtverec čtyři stejně dlouhé strany. D

a

a

A

C a

a

B

U čtverce o určité délce strany (označme si jí např. a) tedy spočítáme obvod snadno:  Vyjděme např z bodu A do bodu B – ušli jsme vzdálenost a.  Pokračujme z B do C – ušli jsme opět vzdálenost a.  Pokračujme z C do D – ušli jsme opět vzdálenost a.  Pokračujme z D do A – ušli jsme opět vzdálenost a.

85 - 85 -



Obešli jsme celý čtverec a přitom jsme čtyřikrát překonali vzdálenost a. Vzorec pro výpočet obvodu čtverce tedy bude: O = 4a

Odvodit vzoreček pro obsah také nebude obtížné. Stačí si představit konkrétní čtverec (např. o straně déky 3 cm).

Na obrázku (kde každé políčko představuje 1 cm2) vidíme, že obsahuje tři řady po třech políčkách, tedy S = 3 · 3 cm2, což můžeme také vyjádřit pomocí mocniny jako S = 32 cm2. Obecně tedy můžeme napsat vzorec: S = a2

Takto snadno obvod a obsah vypočítáme pokud známe délku strany čtverce. Složitější situace ovšem nastane, pokud budeme vycházet pouze ze znalosti délky úhlopříčky. Tam budeme muset nejprve vypočítat délku strany. Zkusme si poradit se čtvercem o délce úhlopříčky 10 cm.

u a

a


86 - 86 -


Zde nám bude muset pomoci Pythagorova věta. Stačí si všimnout pravoúhlého trojúhelníku vyznačeného zelenou barvou. V tomto trojúhelníku známe přeponu u = 10 cm. Dáje je vidět že obě odvěsny mají stejnou délku. Tedy podle přítele Pythagora: u2 = a2 + a2, u2 =2a2, tedy a2 = u2/2 Obvod a obsah čtverce:

Stranu a vypočítáme podle Pythagorovy věty.

Vypočítanou délku strany a dosadíme do vzorce pro obsah a vypočítáme. Vypočítanou délku strany a dosadíme do vzorce pro obvod a vypočítáme.

Vypočítej obvod a obsah čtverce o délce úhlopříčky u = 6 cm a2 = u2 : 2 a 2 = 62 : 2 a2 = 36 : 2 = 18 a = 4,2 cm S = a2 S = 4,22 S = 17,6 cm2 O = 4a O = 4 . 4,2 O = 16,8 cm

10.2.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítej obvod a obsah čtverce ABCD, kde délka jeho strany je 8 cm. Vypočítej obvod a obsah čtverce ABCD, kde délka jeho strany je 6 cm. b) Vypočítej obvod a obsah čtverce ABCD, kde délka jeho strany je 7 cm. c) Vypočítej obvod a obsah čtverce EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 7 cm. d) Vypočítej obvod a obsah čtverce EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 9 cm. e) Vypočítej obvod a obsah čtverce EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 5 cm. f) 10.2.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej obvod a obsah čtverce ABCD, kde délka jeho strany je 4 cm. Vypočítej obvod a obsah čtverce EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 8 cm. b) 10.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Vypočítej obvod a obsah čtverce ABCD, kde délka jeho strany je 3 dm. Vypočítej obvod a obsah čtverce EFGH, kde délka jeho úhlopříčky je 2 m. b)

87 - 87 -



10.3 Obvod a obsah obdélníka Jak jsme si řekli v minulé kapitole má obdélník čtyři na sebe kolmé strany a vždy dvě protilehlé jsou stejně dlouhé. D

b

a

A

C a

b

B

U obdélnka o určitých délkách stran (označme si je např. a a b) tedy U obdélnka o určitých délkách stran (označme si je např. a a b) tedy spočítáme obvod snadno: spočítáme obvod snadno:  Vyjděme např z bodu A do bodu B – ušli jsme vzdálenost b.  Vyjděme např bodu do bodu – ušli jsme Pokračujme z Bz do C –Aušli jsme B vzdálenost a. vzdálenost b.  Pokračujme z B do C – ušli jsme vzdálenost a Pokračujme z C do D – ušli jsme vzdálenost b..  Pokračujme ušli jsme jsme vzdálenost vzdálenost ab.. Pokračujme zz C D do do D A –– ušli  Pokračujme z D do A – ušli jsme vzdálenost a. Obešli jsme celý obdélník a přitom jsme dvakrát překonali vzdálenost a Obešli jsme celý obdélník a přitom jsme dvakrát překonali vzdálenost a a a dvakrát b. Vzorec pro výpočet obvodu obdélníka tedy bude: dvakrát b. Vzorec pro výpočet obvodu obdélníka tedy bude: O = 2a + 2 b O = 2a + 2 b

Odvodit vzoreček pro obsah také nebude obtížné. Stačí si představit Odvodit vzoreček obsah obtížné. Stačí si představit a =také 3 cmnebude a b = 4 cm). konkrétní obdélník (např. o pro stranách konkrétní obdélník (např. o stranách a = 3 cm a b = 4 cm).

Na obrázku (kde každé políčko představuje 1 cm22) vidíme, že obsahuje tři Na obrázku (kde každé 1 cm ) vidíme, že obsahuje tři . řady po čtyřech políčkách, tedy políčko 3 · 4 cm22představuje · 4 cm . řady poObecně čtyřechtedy políčkách, tedy 3 můžeme napsat vzorec: Obecně tedy můžeme napsat vzorec: S = a·b S = a·b


88 - 88 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Obvod a obsah obdélníka:

Vypočítej obvod a obsah obdélníka, jestliže a = 6 cm a b = 10 cm. S = a·b S = 6 · 10 S = 60 cm2 O = 2a + 2b O = 12 + 20 O = 32 cm

Délky stran dosadíme do vzorce pro obsah a vypočítáme. Délky stran dosadíme do vzorce pro obvod a vypočítáme.

10.3.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítej obsah a obvod obdélníka ABCD, jestliže a = 4 mm a b = 12 mm. Vypočítej obsah a obvod obdélníka EFGH, jestliže a = 6 cm a b = 7 cm. b) Vypočítej obsah a obvod obdélníka WXYZ, jestliže a = 2 m a b = 3,5 m. c) Vypočítej obsah a obvod obdélníka KLMN, jestliže a = 7 cm a b = 9 cm. d) Vypočítej obsah a obvod obdélníka ABCD, jestliže a = 5 dm a b = 6 dm. e) 10.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej obsah a obvod obdélníka EFGH, jestliže a = 1,2 m a b = 1,8 m. Vypočítej obsah obvod obdélníka ABCD, jestliže a = 4 mm a b = 12 mm. b) 10.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) a) Vypočítej obsah a obvod obdélníka ABCD, jestliže a = 9 cm a b = 12 cm. Vypočítej obsah a obvod obdélníka EFGH, jestliže a = 50 cm a b = 1 m. b) Pozor na jednotky.

10.4 Rozměry lichoběžníka Pro výpočet obvodu a obsahu lichoběžníka potřebujeme znát délky obou základen, dále délku ramen, délku střední příčky a výšky. Pokud nejsou zadány všechny tyto rozměry, není třeba zoufat. Délku střední příčky (sp) vypočítáme jako průměr délek obou základen. Sp = (a + b) : 2

89 - 89 -



Mezi výškou a ramenem je vztah daný Pythagorovou větou. Podívejme se na obrázek: p D

q b

C

sp

r v

A

B

a u = (a – b) : 2

Abychom mohli za pomoci výšky vypočítat délku ramene či obráceně, potřebujeme znát délku úseku u, kterou snadno vypočítáme podle naznačeného vzorce. Stačí si uvědomit, že odečtu-li od základny a délku základny b, získám délku úseku, o který je základna a delší než základna b. Pak již jen stačí si uvědomit, že tento rozdíl musím vydělit dvěma, neboť mě zajímá pouze přesah základny a oproti základně b na jedné straně. Výsledný vzorec je tedy u = (a – b) : 2

Známe-li délku ramene, tak výšku vypočítáme podle Pythagorovy věty: v2 = r2 – u2

věty:

Známe-li délku výšky, pak rameno vypočítáme opět pomocí Pythagorovy r2 = v2 + u2


90 - 90 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Rozměry lichoběžníka:

Vypočítej délku ramene a střední příčky lichoběžníka, jestliže a = 10 cm, b = 6 cm a v = 4 cm.

Střední příčku vypočítáme podle vzorce sp = (a + b) : 2

sp = (a + b) : 2 sp = (10 + 6) : 2 = 16 : 2 = 8 sp = 8 cm

Abychom mohli spočítat délku ramene, potřebujeme znát délku úseku u. Tu vypočítáme podle vzorce: u = (a – b) : 2 Nakonec dosadíme do vzorce: r 2 = v2 + u 2 a vypočítáme.

u = (a – b) : 2 u = (10 – 6) : 2 = 4 : 2 = 2 u = 2 cm r 2 = v2 + u 2 r2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 r = 4,5 cm

10.4.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítej délku střední příčky lichoběžníka, kde a = 15 cm, b = 25 cm a v = 10 cm. b) Vypočítej délku ramene lichoběžníka, kde a = 10 cm, b = 4 cm a v = 6 cm. c) Vypočítej délku ramene lichoběžníka, kde a = 7 cm, b = 11 cm a v = 4 cm. d) Vypočítej délku výšky lichoběžníka, kde a = 6 cm, b = 2 cm a r = 4 cm. e) Vypočítej délku výšky lichoběžníka, kde a = 8 cm, b = 4 cm a r = 6 cm. 10.4.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej délku střední příčky lichoběžníka, kde a = 10 cm, b = 20 cm a v = 10 cm. b) Vypočítej délku ramene lichoběžníka, kde a = 20 cm, b = 6 cm a v = 8 cm. c) Vypočítej délku výšky lichoběžníka, kde a = 10 cm, b = 6 cm a r = 8 cm. 10.4.3 Příklady pro samostatnou práci: (3) a) Vypočítej délku střední příčky lichoběžníka, kde a = 12 cm, b = 6 cm a v = 10 cm. b) Vypočítej délku ramene lichoběžníka, kde a = 10 cm, b = 8 cm a v = 6 cm. c) Vypočítej délku výšky lichoběžníka, kde a = 6 cm, b = 2 cm a r = 4 cm.

91 - 91 -



10.5 Obvod a obsah lichoběžníka Nyní známe všechny potřebné údaje pro výpočet obvodu a obsahu lichoběžníka. Odvození vzorců je v případě obsahu složitější než u čtverce a obdélníka. Odvození vzorce pro obvod je však shodné. S = sp . v

O = a + b + 2r

Obvod a obsah lichoběžníka:

Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka z předchozí kapitoly, tedy kde a = 10 cm, b = 6 cm a v = 4 cm.

V předchozí kapitole jsme si ukázali jak dopočítat chybějící rozměry.

sp = (a + b) : 2 sp = (10 + 6) : 2 = 16 : 2 = 8 sp = 8 cm u = (a – b) : 2 u = (10 – 6) : 2 = 4 : 2 = 2 u = 2 cm r 2 = v2 + u 2 r2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 r = 4,5 cm

Pro výpočet obsahu stačí dosadit do vzorce S = sp . v

S = sp . v S = 8 . 4 = 32 S = 32 cm

Pro výpočet obsahu stačí dosadit do vzorce O = a + b + 2r

O = a + b + 2r O = 10 + 6 + 2 . 4,5 = 16 + 9 = 25 O = 25 cm

10.5.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 15 cm, b = 25 cm a v = 10 cm. b) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 10 cm, b = 4 cm a v = 6 cm. c) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 7 cm, b = 11 cm a v = 4 cm. d) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 6 cm, b = 2 cm a r = 4 cm. e) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 8 cm, b = 4 cm a r = 6 cm.


92 - 92 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 10.5.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 10 cm, b = 20 cm a v = 10 cm. b) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 20 cm, b = 6 cm a v = 8 cm. 10.5.3 Příklady pro samostatnou práci: (4) a) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 12 cm, b = 6 cm a v = 10 cm. b) Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka, kde a = 6 cm, b = 4 cm a r = 4 cm.

10.6 Obvod a obsah trojúhelníka obrazců.

Obvod trojúhelníka vypočítáme podobným způsobem jako u předchozích O=a+b+c

Obsah dokážeme snadno vypočítat, pokud si uvědomíme, že trojúhelník tvoří svým obsahem polovinu obsahu obdélníka daného základnou a a výškou va tohoto trojúhelníka. To můžeme dobře vidět na obrázku, kde už od pohledu je zřejmé, že složením modrých oblastí by vznikl trojúhelník shodný se žlutým.

Obsah obdélníka vypočítáme jako a . va. Polovinu z něj pak dostaneme po vydělení dvěma. S = a . va : 2

93 - 93 -


Evropský sociální fond Obvod a obsah trojúhelníka:

Vypočítej obvod a obsah trojúhelníka, jestliže a = 10 cm a va = 4 cm.

Vybereme správný vzorec, dosadíme do něj a vypočítáme.

S = a . va : 2 S = 10 . 4 : 2 = 20 S = 20 cm2

10.6.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítej obvod trojúhelníka, kde a = 8 cm, b = 5 cm a c = 7 cm. b) Vypočítej obvod trojúhelníka, kde a = 10 cm, b = 6 cm a c = 6 cm. c) Vypočítej obsah trojúhelníka, kde a = 7 cm a va = 4 cm. d) Vypočítej obsah trojúhelníka, kde b = 7 cm a vb = 4 cm. e) Vypočítej obvod a obsah trojúhelníka, kde a = 8 cm, b = 6 cm, c = 10 a va = 6 cm. 10.6.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej obvod trojúhelníka, kde a = 10 cm, b = 12 cm a c = 10 cm. b) Vypočítej obsah trojúhelníka, kde a = 10 cm a va = 6 cm. 10.6.3 Příklady pro samostatnou práci: (5) a) Vypočítej obvod trojúhelníka, kde a = 9 cm, b = 7 cm a c = 5 cm. b) Vypočítej obsah trojúhelníka, kde a = 10 cm a va = 6 cm.


94 - 94 -


10.7 Obvod a obsah kruhu S výpočtem obvodu a obsahu kruhu si lidé dlouho nevěděli rady. Dokázali spočítat obsah čtverce, pravidelného pětiúhelníka, šestiúhelníka atd.

Z obrázku je zřejmé, že čím více úhlů pravidelný obrazec má, tím je kruhu blíže. Nakonec se podařilo objevit číslo, díky němuž překleneme rozdíl mezi mnohoúhelníkem a kruhem. Jedná se o číslo π. Zapamatujme si jeho přibližnou hodnotu:  = 3,14 Obvod kruhu vypočítáme podle následujícího vzorce (r je poloměr kruhu): =2r K výpočtu obsahu kruhu pak využijeme tento vzorec: S =  r2

95 - 95 -


Evropský sociální fond Obvod a obsah kruhu:

Vypočítej obvod a obsah kruhu o poloměru r = 4 cm.

Vybereme správný vzorec, dosadíme do něj a vypočítáme.

O=2πr O = 2 . 3,14 . 4 = 25,12 O = 25,12 cm S = π r2 S = 3,14 . 42 = 50,24 S = 50,24 cm2

10.7.1 Příklady pro práci ve škole: a) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 8 cm. b) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 7 cm. c) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 6 cm. d) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 5 cm. e) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 4 cm. 10.7.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 3 cm. b) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 2 cm. 10.7.3 Příklady pro samostatnou práci: (6) a) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 9 cm. b) Vypočítej obvod a obsah kruhu, kde r = 10 cm.

10.8 Shrnutí a opakování Nyní známe vše potřebné k tomu, abychom si mohli poradit s výpočty obvodů a obsahů v praktickém životě. Tyto výpočty bývají zpravidla mírně složitější, protože si musíme sami rozhodnou o jaký obrazec se jedná. Nejprve si tedy vždy v klidu zkusme zodpovědět tyto otázky: Jedná se o výpočet objemu, či obsahu? Jedná se o jeden obrazec, nebo je složený několika dalších? O jaký obrazec (jaké obrazce) se jedná? Jaký vzorec použiji? Pokud dokážeme správně zodpovědět tyto otázky, bude již samotný výpočet jednoduchý.


96 - 96 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 10.8.1 Příklady pro práci ve škole: a) Kolik korun bude stát pletivo na oplocení zahrady tvaru pravidelného lichoběžníka o rozměrech a = 60 m, b = 40 m a v = 30 m. Pletivo lze kupovat po celých balících (25 m). Jeden balík stojí 2376 Kč. b) Kolik hnojiva máme nasypat na trojúhelníkový záhon o rozměrech a = 5 m, b = 3 m, v = 2,5 m. Podle návodu je dávkování hnojiva stanoveno na 50 g / m2. c) Kolik metrů čtverečních plovoucí podlahy musíme koupit, abychom pokryli celou podlahu v atypické místnosti jejíž plánek je na obrázku. Na prořez připočítejme 20 %.

6m

2m 2m

4m 2m

2m

3m

d) Vypočítej obsah zelené plochy na obrázku, jestliže vnitřní poloměr r1 = 4 cm a vnější poloměr r2 = 6 cm.

e)

Kolik plechovek barvy o objemu 0,7 l musí koupit natěrač na natření podlahy obdélníkové místnosti o rozměrech 5 × 4 m, jestliže na 1 m2 spotřebuje 0,2 l barvy?

97 - 97 -


Evropský sociální fond 10.8.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítej obsah červené plochy, jestliže strana čtverce e dlouhá 4 cm.

10.8.3 Příklady pro samostatnou práci: (7) a) Vypočítej obsah modré plochy, jestliže úhlopříčka čtverce je dlouhá 6 cm.

Výsledky příkladů pro samostatnou práci (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

a. S = 9 dm2, O = 12 dm; b. S = 2 m2, O = 5,7 m a. S = 108 cm2, O = 42 cm; b. S = 0,5 m2, O = 3 m a. sp = 9 cm; b. r = 6,1 cm; c. v = 3,5 cm a. O = 38,8 cm, S = 90 cm2; b. O = 18 cm, S = 19,5 cm2 a. O = 21 cm; S = 30 cm2 a. O = 56,5 cm, S = 254,3 cm2; b. O = 62,8 cm, S = 314 cm2 a. S = 10,7 cm2


98 - 98 -


11. Výrazy Výrazy, o nichž budeme v této kapitole mluvit jsou vlastně obyčejné příklady, v nichž jen místo čísel pracujeme s písmenky. Písmenka nám symbolizují čísla a nazývají se „neznámé“, protože za ně můžeme čísla dosazovat. Počítáme tedy na obecné rovině. Příklad: Výraz 2x + 3x + 5 = mohu zjednodušit takto: 5x + 5 = . Přitom nezáleží na tom, zda si za x představím číslo 6, –1, nebo třeba 0. Rovnost 2x + 3x + 5 = 5x + 5 bude platit stále. Pro snadnější představu si můžeme místo x představit např. jablka.

11.1 K čemu výrazy potřebujeme  

Díky nim pak zvládneme řešení rovnic, které jak uvidíme mají v praxi široké uplatnění. Práce s výrazy pomáhá rozvíjet matematické myšlení a díky nim zvládneme běžné početní operace v obecné rovině.

11.2 Pojmy a základní pravidla 

Názvy jednotlivých členů výrazů: Exponent

5x2 + 7 Koeficient       

Neznámá

Je-li exponent, nebo koeficient roven 1, nepíšeme jej. Je-li koeficient roven 0 (např.: 0x), je celý člen roven 0. Znaménko před členem patří k danému členu. Není-li před prvním členem znaménko, představíme si tam „+“. Součet nebo rozdíl dvou, či více členů nazýváme mnohočlen. Sčítat a odčítat můžeme pouze členy se stejnými neznámými ve stejné mocnině. Např. 3x + 7 + 5x – 3x 2 – y – 3y = -3x2 + 8x – 4y + 7. Nelze sčítat 5x2 + 3x. Při násobení členu s neznámou číslem násobíme podle „selského rozumu“. Např.: 3  5 x  15x . Při násobení členu s neznámou členem s neznámou vynásobíme zvlášť čísla a zvlášť neznámé. Např.: 3a  5a  15a 2 , 3a  5h  15ah . 99 - 99 -



 

Dělení zapisujeme pomocí zlomků a postupujeme obdobně jako při násobení. Zadaný výraz se snažíme napsat vždy v co nejjednodušší formě (s co nejmenším počtem členů).

11.3 Jednoduché výrazy Věnujme se nyní těm nejjednodušším výrazům, v nichž budeme členy pouze sčítat a odčítat. Zatím nebudeme používat ani závorky. Zjednodušení výrazů: 4. Označíme si členy, které lze sčítat či odčítat. 5. Sečteme, či odečteme označené členy. 6. Nakonec ještě seřadíme členy od nejvyšší mocniny neznámých po členy bez neznámé. Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte výrazy: a) 5x – 2 + 7x2 + 3x – 6 + 2x = b) 6 + 5x – 2x + 3x2 + 9 – 2x2 = c) 12a + 6 – 9a – 9 + 3a = d) 4a – 5 + 7b – 1 + 11a – 9b + 6a3 = e) 3s – 7 + 9d – 1 + 4 – d – 5s – 5ds = Příklady za domácí úkol: Zjednodušte výrazy: a) 9j + 5 – 6j – 3 = b) 15w – 6 + 5w – 3 – 8w + 1 – 9w = c) 4a – 7 + 9a + 5 – 16a = d) 8x – 7 + 4x + 5 – 7x – 1 = e) 4x + 5y + 3 – y – 6 + 3x – 11 + x2 = Příklady pro samostatnou práci (1): Zjednodušte výrazy: a) 6q + 11 – 2q + 5 + 7q – 11 = b) 2y – 6 + 4y – 9 – 12y + 1 + 3y = c) 2z + 0 – 3z + 5 = d) 12r – 8 – 3r – 3 + 9 – 8r + 2 – r = e) 6a – 5b + 3a – 6ab + 5a – 2b + 4 – ab =


100 - 100 -

3 x + 7 + 5 x – y – 3x 2 – 3 y = 3x + 7 + 5x – y – 3x2 – 3y = 8x + 7 – 4y – 3x2 – 3x2 + 8x – 4y + 7


11.4 Závorky ve výrazech – sčítání a odčítání Již ze základní školy víme, že závorka znamená upřednostnění početního úkonu. V případě příkladu s čísly je postup zřejmý. Jak ale budeme postupovat, pokud budou v závorce členy s neznámou? Závorky ve výrazech: 1. Sečteme, či odečteme vše co lze. 2. Závorky, před nimiž je znaménko „+“ jednoduše odstraníme. 3. Závorky, před nimiž je znaménko „–“ odstraníme tak, že jí smažeme a u všech členů, které v ní byly obrátíme znaménko. (Znaménko „“ před závorkou taktéž smažeme.) 4. Dále postupujeme již známým způsobem, uvedeným výše.

3x + (7 + 5x) – (2 – 3x + 5x) – 3 = 3x + (7 + 5x) – (2 + 2x) – 3 = 3x + 7 + 5x – (2 + 2x) – 3 = 3 x + 7 + 5 x – 2 – 2x – 3 =

6x + 2

Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte výrazy: a) 5x – (2 + 7x + 3x – 6) + 2x = b) 6 + 5x – (–2 + 5x) + (3x + 9) – 2x = c) (12a + 6) – (9a – 9) + 3a = d) 4a – (5 + 7a) – 1 + (11a – 9) + 6a = e) 3s – 7 + (9s – 1 + 4) – s = Příklady za domácí úkol: Zjednodušte výrazy: a) 9j + 5 – (6j – 3) = b) 15w – (6 + 5w) – 3 – 8w + (1 – 9w) = c) 4a – (7 + 9a) + (5 – 16a) = d) 8x – (7 + 4x + 5) – (7x – 1) = e) 4x + 5 + (3x – 6) + 3x – (–11 + x ) = Příklady pro samostatnou práci (2): Zjednodušte výrazy: a) –(6q + 11) – (2q + 5 + 7q – 11) = b) (2y – 6) + 4y – (9 – 12y) + 1 + 3y = c) 2z + 0 – (3z + 5) = d) (12r – 8) – (3r – 3) + (9 – 8r) – (2 – r) = e) 6a – (5 + 3a – 6 + 5a – 2) + 4 – a =

101 - 101 -



11.5 Závorky ve výrazech – násobení Nyní si představme, že před závorkou je znaménko krát. Toto znaménko není potřeba přímo zapisovat. Roznásobení závorky: 1. Sečteme, či odečteme vše co lze. 2. Nyní členem před závorkou násobíme každý člen v závorce zvlášť. Pozor na znaménka! 3. Dále postupujeme již známým způsobem, uvedeným výše. Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte výrazy: a) 5 (2 + 7x – 3x) – 2x = b) 6 + 5x (–2 + 5x) – 2x = c) 6 – 9a – 4 (2 – 3a) = d) 4a – (5 – 7a) – 3 (2a – 3) + 6a = e) 3s – 7 + 3 (3s – 5 + 1) – s = Příklady za domácí úkol: Zjednodušte výrazy: a) 9j + 5 – 4 (j – 3) = b) 15w – 2 (3 + 2w) – 3 – 8w + 2 (1 – 9w) = c) 4a – 3 (1 + 5a) + 6 (5 – 2a) = d) 8x – 3 (–7x – 1) = e) 4x + 5 + 2 (3x – 6) + 3x – 2 (–11 + x ) = Příklady pro samostatnou práci (3): Zjednodušte výrazy: a) – 3 (6q + 11) – (– 2q + 5 – 7q – 11) = b) – (2y – 6) + 4y (2 – y) + 1 + 3y2 = c) 2z + 0 (3z + 5) = d) – (12r – 8) – 3 (3 – 3r) + 2 (9 – r) – 2 (2 – r) = e) 6a – 2 (5 + 3a – 6 + 5a – 2) + 4 – a =


102 - 102 -

x – 3 (7 – 5x - 3) = x – 3 (4 – 5x) = x – 12 + 15x =

16x – 12


11.6 Násobení mnohočlenu mnohočlenem Nyní se pokusíme o složitější operaci. Budeme spolu násobit dva mnohočleny. Roznásobení závorky: 1. Sečteme, či odečteme vše co lze.

(x – 3)(7 – 5x – 3) = (x – 3)(4 – 5x) =

2. Nyní násobíme každý člen v první závorce každým členem ze druhé závorky. Pozor na znaménka! 3. Dále postupujeme již známým způsobem, uvedeným výše.

4x – 5x2 – 12 + 15x –5x2 + 19x – 12

Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte výrazy: a) (5 – 2x)(7x – 3 – 2x) = b) 2 (3 + 3x)(– 2 + x) – 2x = c) 6 – (a – 9a – 4)(2 – 3a) = d) 4a – (5 – 7a)(3 – 2a + 1) + 6a = e) (3s – 2 + 3) (3s – 5 + 1) – s = Příklady za domácí úkol: Zjednodušte výrazy: a) (9j + 5 – 4) (j – 3) = b) (15w – 2) (3 + 2w) – (3 – w)(1 – 9w) = c) 4a – 3 (1 + 5a)(5 – 2a) = d) (2x – 3)(– 7x – 1) = e) (4x + 5 – 2)(3x – 6) + (3x – 2)(–11 + x ) = Příklady pro samostatnou práci (4): Zjednodušte výrazy: a) – 3 (q + 1)(– 2q + 2 – q – 1) = b) – (2y – 6)(2 – y) + 1 + 3y2 = c) (2z + 0)(3z + 5) = d) – (12r – 8)(– 3)(3 – 3r) + 2 (9 – r)(2 – r) = e) 6a – 2 (5 + 3a – 6 – 5a – 2) (4 – a ) =

103 - 103 -



11.7 Vytýkání před závorku Dosud jsme při zjednodušování výrazů potřebovali závorky odstraňovat. V některých případech je však vhodné naopak závorky využít. To platí zejména u lomených výrazů, kde díky nim můžeme krátit a také v závěru zjednodušování běžných výrazů, kde můžeme díky závorkám výsledný tvar zpřehlednit a více zjednodušit. Např.: Výraz 6x2 – 3x + 3 můžeme zapsat ve tvaru 3(2x2 – x + 1). Tento úkon nazýváme vytýkání před závorku. Vytýkání před závorku: 1. Nalezneme největšího společného dělitele všech členů, z kterých chceme vytýkat. a) Rozložíme všechny členy na prvočinitele a označíme ty, kteří jsou stejní ve všech rozkladech. b) Nyní vezmeme všechna označená čísla a písmena z jednoho rozkladu a vynásobíme je. tak získáme největšího společného dělitele. 2. Nalezený člen napíšeme před závorku a všechny členy, které budeme psát do závorky nejprve tímto členem vydělíme. Poznámka: Vytýkat můžeme i neznámou, nebo i jen znaménko „–“, což vlastně znamená vytýkat –1. V takovém případě napíšeme „–“ před závorku, všechna „+“ v závorce nahradíme „–“ a naopak. Pozor! Pokud není před prvním číslem znaménko, musíme si tam domyslet „+“. Příklady pro práci ve škole: Vytkněte před závorku: a) 5x – 15 + 10x2 = b) – 3x – 2 = c) –3x2 + 17x – 6 – 8x = d) 6a – 5 – 7a – 4 – 2a + 6a = e) 3s2 – 2s + 3s + 3s2 – 7s + 6 =


104 - 104 -

6x2 – 3x + 12 =

6 x2 = 2  3  x  x –3x =  3  x 12 = 2  2  3 3

3 (2x2 – x + 4) 3 – 5x = – (5 – 3)

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Příklady za domácí úkol: Vytkněte před závorku: a) 9j + 5 – 4j – 3 + 8 = b) 15w + 3w2 = c) 4a – 8 = d) 6x – 3 = e) 4x + 5 +3 = Příklady pro samostatnou práci (5): Vytkněte před závorku: a) – 3q – 1 – 2q – 2 – q – 9 = b) 2y – 6 = c) 2z + 3z + 5 = d) 3 – 3r = e) 6a – 25 + 3a + 1 – a =

11.8 Vícenásobné závorky Ve složitějších výrazech se můžeme setkat se závorkami, které jsou uvnitř jiných závorek. Zde je postup poměrně jednoduchý, jen musíme dát dobrý pozor na znaménka. Vícenásobné závorky: 1. Sečteme či odečteme co lze. 2. Odstraníme nejvnitřnější závorku. 3. Postup opakujeme, dokud se nezbavíme všech závorek a dokud není výraz v nejjednodušším tvaru.

– (3x + 7 – (5x – 3 – 1)) – 3x = = – (3x + 7 – (5x – 4)) – 3x = = – (3x + 7 – 5x + 4) – 3x = = –3x – 7 + 5x – 4 – 3x = = – x – 11

Příklady pro práci ve škole: Zjednodušte: a) 2x – (3 – (5x – 15)) + 2 = b) –(3x + 2(x – 6) – (8 + x)) = c) – 2 (6 (a – 2) + a) – (2 + a) = d) 6 (a – 5) – 7(a – (4 – 2a) + 6a) = e) 3(s – 2 (s + (3s + 6))) = Příklady za domácí úkol: Zjednodušte: a) 9 (j – 2 (5 – 4(j – 3) + 8)) = b) 15 (–2 (w + 3) – w) =

105 - 105 -



c) 4 (a – (8 + 2a) = d) 6 (x – 3( 2 + 2a)) = e) 4 (x – 5 (x +3)) = Příklady pro samostatnou práci (6): Zjednodušte: a) –3 (q – (1 – (2q – 2) – q)) – 9 = b) 2 (5y – (6 + 3y)) = c) 2 (z + 3(z + 5)) = d) 2 (3 – 3(r + 2)) = e) 2 (a – 2 (5 + 3a)) + 1 – a =

11.9 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme se zabývali početními úkony s výrazy. Nyní si zopakujeme pár pojmů. Zkus vysvětlit: 1. Co je to neznámá? 2. Proč někdy používáme písmena místo čísel? 3. Co je to mnohočlen? 4. Proč a jak se vytýká před závorku? A nyní pár příkladů: 1. –5 (q – (2 – (2q – 1) – q)) + 9 = 2. (2 – x)(3x – 1– 2x) = 3. 2x – (3 – (5x – 15)) + 2 – x =

Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1)

(2)

a) b) c) d) e)

11q + 5 –3y – 14 –z + 5 0 –7ab + 14a – 7b + 4

a) b) c) d) e)

–15q – 5 21y – 14 –5z – 5 2r + 2 –3a + 7


106 - 106 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti (3)

(4)

(5)

(6)

a) b) c) d) e)

–9q – 27 –y2 + 6y + 7 2z –3r + 13 –11a + 10

a) b) c) d) e)

9q2 + 6q – 3 5y2 – 10y + 13 6z2 + 10z –34r2 +110r - 36 –4a2 + 16a + 24

a) b) c) d) e)

–6 (q + 2) 2 (y – 3) 5 (z + 1) 3 (1 – r) 8 (a – 3)

a) b) c) d) e)

–12q 4y – 12 8z + 30 –6r – 6 –11a – 19

107 - 107 -



12. Rovnice V minulé kapitole jsme se naučili pracovat s neznámou ve výrazech. Tyto znalosti nyní využijeme v rovnicích. Rovnice totiž není nic jiného, než dva výrazy spojené znaménkem „=“.

12.1 Motivace Díky znalosti rovnic budeme schopni snadno vyřešit mnoho příkladů z praktického života. Příkladem může být výpočet ředění dezinfekce: Máme 3 litry devadesátiprocentního roztoku dezinfekčního prostředku a potřebujeme jej naředit na 55%. Kolik vody musíme přilít? Na konci této kapitoly by pro vás neměl být problém podobnou úlohu vyřešit.

12.2 Základní pojmy Neznámá

Koeficien

3x – 5 = x + Pravá strana

Levá 

  

Číslo, které je řešením rovnice musí splňovat tuto podmínku: Pokud jej dosadím do rovnice místo neznáme, vyjde mi na obou stranách stejné číslo. o Např. pro výše uvedenou rovnici je to číslo 3.  Zkusme jej dosadit do levé strany rovnice: 3x  5  3  3  5  9  5  4  A do pravé: x + 1 = 3 +1 = 4 V průběhu řešení rovnice píšeme každou další úpravu do samostatného řádku. Znaménka „=“ se v každém řádku vyskytují jen jedenkrát a píšeme je vždy pod sebe. Provádíme-li s rovnicí jakékoli úpravy (kromě úprav jednotlivých stran), napíšeme vždy na konec řádku „/“ a za něj popíšeme operaci, kterou


108 - 108 -


budeme s oběma stranami dělat. Např. chceme-li k oběma stranám rovnice přičíst číslo 5, napíšeme: 3x – 5 = x + 1 / + 5 



S rovnicemi mohu dělat tyto operace: o Zjednodušovat výraz na pravé nebo levé straně (viz minulá kapitola). o K oběma stranám rovnice přičíst stejný člen (číslo, neznámou, nebo obojí). o Od obou stran rovnice odečíst stejný člen. o Obě strany rovnice vynásobit stejným členem. o Obě strany rovnice vydělit stejným členem. o Obě strany rovnice umocnit (stejný exponent). o Obě strany rovnice odmocnit. Vždy musí platit, že přidám-li (uberu-li) něco na jedné straně, musím provést stejnou operaci i na straně druhé.

12.3 Jednoduché rovnice Při řešení těchto jednoduchých rovnic si procvičíme nejzákladnější úpravy. Jednoduché rovnice Rozhodneme, na které straně je „více x“ tedy větší koeficient u neznámé. Na vybranou stranu se budeme snažit převést neznámé, na druhou stranu čísla. Nejprve převedeme čísla a to tak, že přičteme k celé rovnici číslo opačné k číslu, které potřebujeme převést. Výsledná operace vypadá tak, že na stranu odkud převádím již číslo nepíši a na druhou stranu jej napíši s opačným znaménkem. Nyní obdobným způsobem převedu neznámou.

Sečtu (odečtu) všechny členy na obou stranách. Na závěr vydělím celou rovnici koeficientem u neznámé. V praxi vypadá operace tak, že číslo u neznámé „smažu“ a číslo na druhé straně vydělím původním číslem u neznámé. Když výsledné číslo dosadím do levé strany rovnice, vyjde mi stejný výsledek jako když jej dosadím do levé strany rovnice. 109 - 109 -

x  3  3x  9

Na pravé

Neznámé nalevo, čísla napravo.

x  3  3x  9 /  9 x  3  9  3x

x  3  9  3x /  x 3  9  3x  x 12  2 x 12  2 x / : 2 12 x 2 6x

Levá: 6 + 3 = 9 Pravá: 18 – 9 = 9


Evropský sociální fond 12.3.1 Příklady pro práci ve škole: Řešte rovnice:

x  2  3x  4 5x  5  2 x  2

3x  6  4 x  20 3a  8  a 4  5d  22  d 12.3.2 Příklady za domácí úkol: Řešte rovnice:

6x  3  4x  7 6  2x  7x  1

4 s  3  11 t  6  12  5t 7c  13  c  3 12.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) Řešte rovnice:

7y  4  y 8 9  4x  5x  3 21 x  16  14 x  12 7 x  3  3x  3 5x  2  3x  6

12.4 Zkouška V předchozím textu jsme si připomenuli, že řešením rovnice je číslo, které mohu dosadit do obou stran rovnice se stejným výsledkem. jinými slovy: Pokud číslo, které je řešením rovnice dosadím místo neznámé do levé strany rovnice, vyjde mi stejný výsledek, jako když dané číslo dosadím do pravé strany rovnice. Tím se nám nabízí krásná příležitost jak si ověřit, že jsme v průběhu řešení rovnice neudělali chybu a že jsme se dobrali ke správnému řešení.


110 - 110 -


x  3  3x  9 /  9 x  3  9  3x /  x 3  9  3x  x 12  2 x / : 2

Zkouška

Vyjde-li nám nějaké číslo jako řešení rovnice, dosadíme ho místo neznámé nejprve do levé strany: Místo neznámé napíšeme v celé levé straně dané číslo. Pokud se jedná o člen typu 2× vložíme mezi číslo původní a dosazené znaménko krát. Stejný postup použijeme i na pravé straně. Na závěr porovnáme výsledky obou stran. Jsou-li stejné, je rovnice vyřešena správně a pod zkoušku napíšeme L = P. Nejsou-li si výsledky rovny, zkontrolujeme nejprve výpočet zkoušky a pokud nenalezneme chybu, pravděpodobně jsme chybovali při řešení rovnice.

6x ZK : L  x3 639

P  3x  9  3  6  9   18  9  9

L=P

12.4.1 Příklady pro práci ve škole: Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

2x  2  x  4 7 x  5  10 x  11

5 x  3  x  19 a  4  a  5  2t  4  t 12.4.2 Příklady za domácí úkol: Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

5x  2  7 x  4 4x  7  2x  3

4 x  1  3x  3 8  4x  0 w  3  2w  2

111 - 111 -


Evropský sociální fond 12.4.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

5 x  1  2 x  10

4 x  5  13  5 x 3s  7  5s  1 7 x  3  4x 5x  3  3  2x

12.5 Rovnice se složitějšími výrazy na obou stranách Dosud jsme řešili pouze takové rovnice, u nichž jsme výrazy na obou stranách nemuseli nijak upravovat. Nyní se naučíme řešit i rovnice složitější. Složitější rovnice

Je-li na některé straně rovnice zlomek, násobíme celou rovnici jeho jmenovatelem.

Pak dále upravujeme obě strany podle pravidel, které známe z výrazů. v našem případě odstraníme závorky.

Dále pak pokračujeme jako u jednoduchých rovnic.

Nakonec nezapomeneme provést zkoušku.


 5x 2  5x  3( x  1)  ( x  6)  / 2 2  5x 2(3( x  1)  ( x  6))  2 2 2(3( x  1)  ( x  6))  5 x

 3( x  1)  ( x  6) 

112 - 112 -

2(3( x  1)  ( x  6))  5 x 2(3 x  3  x  6)  5 x  6 x  6  2 x  12  5 x  8 x  6  5 x  8 x  6  5 x /  8 x 6  5 x  8 x 6  3x / 3 2x

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 12.5.1 Příklady pro práci ve škole: Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

x2 3 5 x  19 x  (3x  5)  2 3x  9 3( x  3)  (2  x)  3 3(2( x  5))  0 3( x  2) 

x  4(2 x  1)  4 x  1 12.5.2 Příklady za domácí úkol: Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

2x 2 4( x  1)  ( x  2)  0 4( x  3)  3x  (4  x) 3x  6  2x  5 3 w  3( w  2)  9  w

5( x  2) 

12.5.3 Příklady pro samostatnou práci: (3) Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

3( x  2) 3 7x 2(3x  5)  2 3x  9 3x  (2  x)  3 3( x  5)  6 x  3( x  1) 7x  1 4(2 x  1)  2 6( x  2) 

113 - 113 -



12.6 Zvláštní případy řešení rovnic V této kapitole nás nečekají žádné nové matematické postupy. Pouze si všimneme některých zvláštních případů řešení rovnic: 1. Zkusme vyřešit rovnici:

x  3  2x  4  x  7

x  3  x  3 / x 33

Ačkoli poslední řádek nepochybně platí, nás by více zajímalo, jaké číslo můžeme dosadit za neznámou x. Z výsledku je zřejmé, že rovnost obou stran na hodnotě neznámé nezávisí. Jinými slovy: Za x mohu dosadit jakékoli číslo. Pak říkáme, že řešením rovnice jsou všechna reálná čísla. 2. Jiný případ nastane, když předchozí rovnici pozměníme:

x  2  2x  4  x  7

x  2  x  3 / x 23

V tomto případě jistě nikdo nepochybuje o tom, že poslední řádek rovnice neplatí, a tím pádem neplatí ani řádky předcházející. Ať tedy za x dosadíme cokoli, nikdy nebude levá strana rovnice rovna straně pravé. Říkáme, že rovnice nemá řešení. Pokud se nám v průběhu řešení rovnice podaří odstranit z obou stran neznámou, nastává jeden ze dvou případů: 1. Čísla na obou stranách jsou si rovna, pak je řešením rovnice libovolné číslo. 2. Čísla na obou stranách si nejsou rovna, pak rovnice nemá řešení. Poznámka: Má-li rovnice jako řešení libovolné číslo provedeme zkoušku alespoň pro jedno číslo, i když pochopitelně je tato zkouška nedostatečná. Nemá-li rovnice řešení, nelze dělat zkoušku.


114 - 114 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 12.6.1 Příklady pro práci ve škole: Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

2 x  2  2( x  4) 14  3x 1 2 x3 3 2x  5 5( x  3)  4 x  2 a  2(a  5)  a  10  5  2(t  3)  4  2t

12.6.2 Příklady za domácí úkol: Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

6 x  5  4 x  2  10 x  7 10 x  7  2x 5 14a  2  6a  22  20a 8  4x  4  2x 2 v vv

12.6.3 Příklady pro samostatnou práci: (4) Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

 y 3 y y  xx2( x) 24  6 x 2 2( 2  x )  6  3  a a 2a m mmm   3m

115 - 115 -



12.7 Slovní úlohy o společné práci S rovnicemi se setkáváme v mnoha oblastech praktického života. Příkladem mohou být slovní úlohy, na které se v této kapitole zaměříme: Slovní úlohy

Zahradní bazén se vodou z hadice napouští dvě hodiny. Konví (vodou z vlastní studny) by jej majitel naplnil za pět hodin. Za jak dlouho jej majitel naplní, bude-li jej napouštět hadicí a zároveň nosit vodu v konvi?

Nejprve si přehledně zapíšeme fakta, která známe:

Hadice ….. 2 hodiny (za hodinu se tedy napustí 1 bazénu. 2 Konev …… 5 hodin (za hodinu se tedy napustí 1 bazénu. 5 Konev + hadice …. x hodin Za hodinu se naplní 1  1 bazénu. Počet 2 5 hodin jsme označili x, takže celá nádrž bude 1 1 plná po x hodinách tedy: (  )  x  1 2 5

Na základě zápisu sestavíme rovnici:

Rovnici vyřešíme:

Nyní si zopakujeme otázku a řešení rovnice převedeme do vhodného tvaru. Na závěr napíšeme odpověď.


1 1 (  ) x 1 2 5 7 x 1 10 10 x 7

1 hodiny  60 : 7  8,6 min 7 10 hodiny  10  8,6  86 min 7

Bazén se bude hadicí i konví zároveň plnit 1 hodinu a 26 minut.

116 - 116 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 12.7.1 a)

Příklady pro práci ve škole: Pan Novák si chce nechat postavit zeď kolem zahrady. Oslovil dva zedníky. Jeden zedník navrhl, že zeď postaví za týden, druhý za čtrnáct dní. Za kolik dní bude stát zeď, najme-li pan Novák oba zedníky? b) Stavební firma má odvozit hromadu štěrku, která zbyla na staveništi. Má k dispozici dvě nákladní auta. Jedním odvozí hromadu za pět hodin, druhým za sedm hodin. Za jak dlouho bude hromada pryč, pokud firma využije oba automobily? c) Ovce spase trávu na zahradě pana Nováka za šest dní. Kráva zvládne stejné množství trávy spotřebovat za čtyři dny. Na jak dlouho vystačí tráva, pokud si pan Novák pořídí obě zvířata. d) Zemědělské družstvo poslalo dva traktory zorat pole. První traktor by zvládl pole zorat za dvacet hodin, druhý ,výkonnější, za patnáct. Jak dlouho budou orat pole společně? e) Ve skladu internetového obchodu pracují tři zaměstnanci na balení zásilek. Před vánoci mají 200 objednávek denně. První pracovník je nejvýkonnější a sám by vše zabalil za třicet hodin. Druhému by celá práce trvala čtyřicet hodin a třetímu, který se teprve zaučuje by práce trvala šedesát hodin. Za jak dlouho budou hotovi, pokud se do práce zapojí všichni?

12.7.2 Příklady za domácí úkol: Stádo ovcí spase louku za dva týdny. Stádu krav tatáž louka vystačí jen na šest dní. Za jak dlouho bude louka spasena, pokud tam majitel vypustí obě stáda? 12.7.3 Příklady pro samostatnou práci: (5) Jeden natěrač by natíral plot šest hodin. Učeň ještě nedosáhl takové zručnosti a proto by mu stejná práce trvala 8 hodin. Za jak dlouho bude plot natřen, pokud budou pracovat oba dva?

12.8 Ostatní slovní úlohy Nyní se budeme věnovat slovním úlohám z jejichž zadání lze sestavit rovnice s trochou zdravého rozumu, bez zvláštních matematických znalostí. Slovní úlohy

Nejprve si přehledně zapíšeme fakta, která známe:

Najděte číslo, jehož trojnásobek je o deset větší, než jeho polovina. Hledané číslo ………… x

Trojnás. hled. č. ……… 3x Polovina hled. č.………

117 - 117 -

x 2



Na základě zápisu sestavíme rovnici:

Rovnici vyřešíme:

Trojnásobek hled. č. je o sedm větší než jeho polovina. Tedy: x 3 x  10  2

x / 2 2 6 x  20  x /  x 5 x  20  0

3x  10 

5 x  20 x4 Nyní si zopakujeme otázku a řešení rovnice převedeme do vhodného tvaru. Provedeme zkoušku a to tak, že výsledek dosadíme do zadání rovnice. Na závěr napíšeme odpověď.

Hledané číslo je 4. Trojnásobek čísla 4: 12 Polovina čísla 4: 2 Číslo dva je skutečně o deset menší, než číslo 12. Trojnásobek čísla 4 je o deset větší než jeho polovina.

12.8.1 Příklady pro práci ve škole: a) Najděte číslo, jehož dvojnásobek je o devět větší než jeho polovina. Plot obdélníkové zahrady měří sto metrů. Delší strana zahrady měří b) o 12 metrů víc než kratší. Kolik metrů měří každá strana? První strana trojúhelníka je třikrát tak dlouhá než druhá strana. Druhá strana c) je poloviční než třetí strana. Celý obvod trojúhelníka měří 30 cm. Jak jsou dlouhé jednotlivé strany. Plocha obdélníkové místnosti je 24 m2. Kolik měří její strany, je-li jedna d) dlouhá dvě třetiny druhé. Kolik vody musíme přilít do 5 litrů 40% roztoku dezinfekce, abychom jej e) naředili na 25%? Nápověda: 5 litrů 40% roztoku dezinfekce + x litrů 0% roztoku dezinfekce = (5 + x) litrů 25% roztoku dezinfekce. 12.8.2 a)

Příklady za domácí úkol: Plocha obdélníkové zahrádky je 48 m2. Kolik měří její strany, je-li jedna dlouhá dvě třetiny druhé.


118 - 118 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 12.8.3 Příklady pro samostatnou práci: (6) a) Kolik vody musíme přilít do 5 litrů 80% roztoku dezinfekce, abychom jej naředili na 50 %?

12.9 Vyjádření neznámé ze vzorce Už jste se někdy museli naučit vzorec pro výpočet nějaké veličiny? Určitě ano, takže mi jistě dáte za pravdu, že čím méně vzorců, tím lépe. V této kapitole se naučíme jak z jednoho vzorce odvodit jiný. Například: Jak ze vzorce pro výpočet obsahu obdélníka S  a  b můžeme snadno odvodit vzorec pro výpočet strany a 

S . b

Vyjádření neznámé ze vzorce

Se vzorcem zacházíme jako s rovnicí. Veličinu, kterou chceme vyjádřit budeme považovat za neznámou. Naším cílem bude pomocí běžných úprav dosáhnout toho, aby neznámá zůstala samotná na jedné straně.

Vyjádřete stranu „a“ ze vzorce pro obsah obdélníka: S  a b V tomto případě se bude jednat o velmi jednoduchou úpravu: S  a b/ :b

S a b S a b

Je-li to potřeba vyměníme strany rovnice tak aby hledaná neznámá byla nalevo.

12.9.1 Příklady pro práci ve škole: Vyjádřete: a) stranu „a“ ze vzorce pro obvod trojúhelníka O = a + b + c

s v

b)

rychlost „v“ ze vzorce pro výpočet času t 

c)

stranu „a“ ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníka S 

d) e)

stranu „b“ ze vzorce pro obvod obdélníku O  2( a  b)

a  va 2

Stranu „c“ ze vzorce pro objem kvádru V  a  b  c

119 - 119 -


Evropský sociální fond 12.9.2 Příklady za domácí úkol: Vyjádřete: a) stranu „b“ ze vzorce pro obvod trojúhelníka O = a + b + c

s v

b)

dráhu „s“ ze vzorce pro výpočet času t 

c)

výšku „va“ ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníka S 

d) e)

stranu „a“ ze vzorce pro obvod obdélníku O  2( a  b)

a  va 2

Stranu „b“ ze vzorce pro objem kvádru V  a  b  c

12.9.3 Příklady pro samostatnou práci: (7) Vyjádřete: a) stranu „c“ ze vzorce pro obvod trojúhelníka O = a + b + c

b)

hmotnost „m“ ze vzorce pro výpočet hustoty  

c)

objem „V“ ze vzorce pro výpočet hustoty  

d)

výšku „v“ ze vzorce pro obsah lichoběžníku S 

e)

m V

m V

ac v 2 Stranu „a“ ze vzorce pro objem kvádru V  a  b  c

12.10 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme se zabývali úpravami rovnic. Nyní si zopakujeme pár pojmů. Zkus vysvětlit: 5. Co je to rovnice? 6. Jaké podmínky musí splňovat řešení rovnice? 7. Jaké úpravy mohu provádět v rámci jedné strany rovnice? 8. Jaké úpravy mohu provádět s oběma stranami rovnice?


120 - 120 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti A nyní pár příkladů: 1. Řešte rovnice a proveďte zkoušku:

2( x  3) 

2. 3. 4.

3 x  (4  x) 2

6 x  12  4 x  10 3 3x  5  2 x  2  5 x  1 10 x  15  2x  3 5

První strana trojúhelníka je dvakrát tak dlouhá než druhá strana. Druhá strana měří čtvrtinu délky třetí strany. Celý obvod trojúhelníka měří 42 cm. Jak jsou dlouhé jednotlivé strany. Kolik vody musíme přilít do 10 litrů 80% roztoku dezinfekce, abychom jej naředili na 50%? Osobní auto ujede trasu Praha – Brno za 2 hodiny a 10 minut. Autobus zvládne tutéž trasu za 2 hodiny a 30 minut. Za jak dlouho ujedou tuto trasu oba dopravní prostředky, pojedou-li spolu. Než začneš počítat zapoj logiku!

Výsledky příkladů pro samostatnou práci: (1) y = 2; x = 6; x = 4; x = 0; x = 2 (2) x = 3; x = – 2; s = 4; x = 1; x = 0 (3) x = 2; x = 4; x = 5; x= – 1; x = 1 (4) nemá řešení; nemá řešení, řešením jsou všechna čísla, řešením jsou všechna čísla, nemá řešení (5) Práce jim bude trvat 3 hodiny a 24 minut. (6) Je třeba přilít 3 litry vody. c  Oab (7)

m   V m V 



2S v ac V a bc

121 - 121 -



13. Funkce V kapitole trojčlenka, jsme se seznámili s přímou a nepřímou úměrou. Naučili jsme se s nimi pracovat, aniž bychom si uvědomili, že se jedná o funkce. To se v této kapitole pokusíme napravit. Vzpomeňme si, že jsme vždy pracovali se dvěma veličinami, kdy jedna veličina závisela na druhé. Závislost byla buď přímá (čím více rohlíků koupím, tím více peněz za ně zaplatím), nebo nepřímá (čím více lidí bude natírat plot, tím méně času jim to zabere).

13.1 Základní pojmy 

Funkce je vyjádření závislosti jedné veličiny na druhé. Např. funkce y = 2x vyjadřuje, že veličina y roste dvakrát rychleji než x. Tedy stojí-li jeden rohlík 2 Kč, pak dva rohlíky budou stát 4 Kč, tři rohlíky 6 Kč atd. Každou funkci můžeme vyjádřit grafem, kde na jedné ose znázorňuji veličinu x a na druhé y.



13.2 Graf funkce Základní informací pro tuto kapitolu je následující věta (z kapitoly předchozí): Funkce je vyjádření závislosti jedné veličiny na druhé. Např. funkce y = 2x vyjadřuje, že veličina y roste dvakrát rychleji než x. Tedy stojí-li jeden rohlík 2 Kč, pak dva rohlíky budou stát 4 Kč, tři rohlíky 6 Kč atd. Tuto závislost můžeme vyjádřit tabulkou: X y = 2x

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14

8 16

9 18

Do horního řádku vkládáme libovolná čísla, která dosazujeme za x a do spodního pak snadno podle zápisu funkce (y = 2x) dopočítáme y. Tedy např. dosadím-li za x 3, pak y = 2.3, tedy y = 6.


122 - 122 -


20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 1 2

3 4 5 6

7 8 9

Funkci mohu znázornit také graficky. Narýsuji osu x a osu y. Osa x bude vodorovná a osa y svislá. Protnou se v bodě nula. Na obou osách stanovíme jednotky. Mohou to být centimetry, nebo třeba čtverečky v sešitě. Důležité je, aby na obou osách byly stejné. Dále si vyznačím body podle tabulky a ty spojím čarou. Tím mi vznikne graf funkce. Z něho mohu snadno odečíst i další hodnoty. Stačí se podívat na dané číslo na ose x a zjistit jaké mu odpovídá číslo na ose y. Pokud graf funkce stoupá směrem doprava, mluvíme o funkci rostoucí (roste-li číslo x, roste i y). Pokud však doprava klesá, jedná se o funkci klesající (roste-li x, y klesá).

123 - 123 -


Evropský sociální fond Graf funkce Vytvoříme tabulku, kde v jednom řádku budeme dosazovat čísla za x a ve druhém dopočítáme y. Narýsujeme osy grafu a vyznačíme body tabulky. Ty pak spojíme čarou.

Sestrojte graf funkce y = 3x – 2 x 0 1 2 y = 3x – 2 –2 1 4

3 7

4 10

x

y

Poznámky: 1. Z grafu funkce můžeme odečíst hodnoty pro jednotlivé body na ose x. Stačí v daném bodě udělat pomyslnou kolmici a odečíst na ose y, kde došlo k průsečíku pomyslné kolmice s grafem funkce.


124 - 124 -


2.

V našem případě:

x

y

Pro x = –1 spustíme pomyslnou kolmici v bodě –1. (Vyznačena zeleně.) Na ose y pak odečtu výsledek. (Vyznačen fialově). Pro x = –2 má tato funkce hodnotu y = –8. Naše funkce je tedy rostoucí. 3. 4.

Funkce je rostoucí, jestliže její graf směrem doprava stále stoupá. Funkce je klesající, jestliže její graf směrem doprava stále klesá.

125 - 125 -


Evropský sociální fond 13.2.1 Příklady pro práci ve škole: Sestrojte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce rostoucí, či klesající: 5. y = x + 1 6. y = 2x – 3 7. y = –x + 5 8. y = 3 – x 9. y = x / 2 + 2 13.2.2 Příklady za domácí úkol: Sestrojte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce rostoucí, či klesající: a) y = x – 1 b) y = 1 – x 13.2.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) Sestrojte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce rostoucí, či klesající: a) y = 2x – 1 b) y = 6 - 2x

13.3 Graf přímé úměrnosti Úlohy na přímou úměrnost jsme se již dříve naučili řešit pomocí trojčlenky. Všimli jsme si, že roste-li jedna veličina, úměrně s ní roste i druhá. Jestliže tedy například zvětším x dvakrát, zvětší se dvakrát i ypsilon. Přímou úměru můžeme tedy vyjádřit funkcí y = kx, kde k je nějaké dané číslo a vyjadřuje nám jek rychle funkce roste. Konstantu k vypočítáme jako k = x : y. Grafem přímé úměrnosti je vždy přímka, která stoupá tím strměji, čím vyšší je konstanta k. Poznámka: Mluvíme-li o grafu přímé úměrnosti, vyvstane nám otázka, jak je to s grafem nepřímé úměrnosti. Nepřímá úměrnost je dána vzorcem y = k/x a jejím grafem je křivka zvaná hyperbola. Tu je složité propočítat a ještě složitější nakreslit. Ukažme si jí tedy pro informaci na obrázku a dále se s ní v našem textu nezabývejme.


126 - 126 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Hyyperboola – graff nepřřímé úúměrrnostii Hyyperboola – graff nepřřímé úúměrrnostii

Ř Řešte grafi ficky úloh hu: V prod dejněě ovooce a Ř Řešte grafi úloh hu: s ze elenin ny stficky tojí sááček V prod dejně ě ovo oce a šeesti b bonboony 112 Kčč. s zeelenin nycen sttojí sá Ja aká jje na za aáček jedeen šeesti b bonbo 112 bo onbo on? Aony koli ik Kč byyč. Ja aká 5jjebon cen na zaaůjede sttálo nbonů a 3en bo onbo on? A koli ik byy boonboony? st tálo 5 bon nbonů ů a 3á O Ověřím me zdda se jedná bo onbo ony? o přím mou úm měruu. O Ověřím me zd jednáá N Neznáámá xdasesetýýká oveeličin přím mou úm měru u. ny, ktterou N Nezná ámádoxsazov se týýká bu udem me vat, ve eličin ny, te edy od d níktterou m mámee sazov bu udem me doméně zaadány y nejm ěvat, dvě te edy od d ní m máme e hoodnotty. za adányyvelič nejm méněěooddvě D Druhá čina nížž ho odnot ty. znnámee zpraavidlaa jen velič D Druhá čina sse oodbud níž ž je ednu hhodn notu de zn náme e zpra avidla a jen vzztahoovat k neznnáméé y. jeednu hhodn notu Zj jistím me ho odnotsse tu budde vzonsta ztahoanty ovat kk = nezn náméé y. ko y::x. Zjjistím me hoodnottu koonstaanty k = y::x.

Kollikrátt vícee bonbbonůů kouppím, tolikrrát vííce zaa ně zaplatím m. Jeddná see tedyy o přřímouu úměru. Kol víceee dosa bonb bonůůatkoup pím,boonbon tolikrnů. rát vííce zaa ně Za likrát x budtdeme azova poččet zaplatím m. Jeddná see tedyy o přřímouu úměru. Za x buddemee dosaazovaat poččet boonbonnů.

Nezznám má y jee v naašem m případě ccena. Nezznám má y jee v naašem m případě ccena. Vím me, žee 6 boonbonů sttojí 122 Kč, tedyy x = 6 a y = 122. k = 12 : 6, k = 2 Vím me, žee 6 boonbonů sttojí 122 Kč, tedyy x = 6 a y = 122. k = 12 : 6, k1=272 - 127 Platnéřská 4, Praha 1 127


Sestavíme funkci podle vzorce y = kx. Sestavíme tabulku (postačí dva body, jeden navíc jako kontrolní neuškodí). Nakreslíme graf. Z něj pak můžeme snadno odečíst hledané hodnoty.

y = 2x x y = 2x

1 2

3 6

6 12

Např. Hodnotě 1 bonbon (na ose x) odpovídá hodnota 2 Kč (na ose y). Hodnotě 3 bonbony (na ose x) odpovídá hodnota 6 Kč (na ose y).

x

Hodnotě 5 bonbonů (na ose x) odpovídá hodnota 10 Kč (na ose y).

y

13.3.1 Příklady pro práci ve škole: Sestrojte graf funkce přímé úměry a odečtěte z něj výsledek. a) Dva zedníci postavili za den 6 m zdi. Jak dlouhou zeď by postavilo pět zedníků? b) Před obchodem je vyhrazené parkoviště pro tři auta. Auta stojí vedle sebe a tak stačí parkoviště o šířce 7,5 m. Zákazníků ale přibývá a je třeba zajistit parkování pro pět vozů. Jak má být široké? c) Za dvě hodiny se do bazénu napustily 3 m3 vody. Za jak dlouho se napustí celý bazén o objemu 7,5 m3?


128 - 128 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 13.3.2 Příklady za domácí úkol: Sestrojte graf funkce přímé úměry a odečtěte z něj výsledek. a) Tři sourozenci trhali rybíz. Šlo jim to ale pomalu. Za hodinu natrhali jen 4,5 kg. Pozvali si tedy ještě dva kamarády (bylo jich tedy celkem pět). Kolik kg rybízu natrhali za další hodinu? 13.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (2) Sestrojte graf funkce přímé úměry a odečtěte z něj výsledek. a) Zemědělec má louku velkou 2 hektary. Na této louce uživí čtyři krávy. Kolik hektarů louky musí přikoupit aby si mohl pořídit ještě dvě krávy?

13.4 Shrnutí a opakování V této kapitole jsme se věnovali základům funkcí. Získali jsme představu co to funkce je a jak se sestrojí graf jednoduché funkce. V téměř všech případech nám vyšel graf funkce v podobě přímky. Je to tak proto, že nakreslit přímku je podstatně jednodušší, než nakreslit jiné křivky. V skutečnosti má ale většina funkcí jako graf nejrůznější křivky. Zopakujme si nyní několik teoretických poznatků: a) Co je to funkce? Co nám její zápis říká? b) Jak se kreslí její graf? c) Jak se pozná zda je funkce rostoucí, či klesající? d) Jak se sestaví vzorec funkce přímé úměrnosti? Jak vypočítám konstantu k? Jak vypadá její graf? e) Jak vypadá vzorec nepřímé úměrnosti? Jaká křivka je jejím grafem? 13.4.1 Příklady a) Sestrojte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce rostoucí, či klesající: y = 2x + 1 b) Sestrojte graf funkce a rozhodněte, zda je funkce rostoucí, či klesající: y = – 2x – l c) Sestrojte graf přímé úměrnosti a odečtěte z něj výsledek: Aby pan Novák odvezl z pole 5 q brambor musel jet dvakrát s plným přívěsem. Kolikrát bude muset jet, aby odvezl 12,5 q? d) Na závěr zkusme sestrojit graf nepřímé úměrnosti pro k = 2, tedy: y = 2/x.

129 - 129 -



14. Povrchy a objemy těles Jistě si vzpomenete na základní školu, kde jste se učili počítat povrch a objem krychle, kvádru apod. V této kapitole si zopakujeme výpočty u jednoduchých těles a podíváme se i na tělesa složitější.

14.1 Motivace Umět správně odhadnout, někdy i vypočítat přesně povrch či objem tělesa potřebujeme i v běžném životě poměrně často. Jistě už se vám stalo, že jste neměli odměrku a potřebovali jste dát vařit třeba tři litry vody do hrnce s průměrem dna 20 cm. Do jaké výšky máte nalít vodu? Nebo jste chtěli vymalovat pokoj a potřebovali jste vědět kolik barvy máte koupit.

14.2 Základní pojmy Tělesa:  Krychle o Má všechny úhly mezi sousedními stěnami pravé o Má všechny strany hrany stejně dlouhé 

Kvádr o o



Válec o o



Jehlan o o

Má všechny úhly mezi sousedními stěnami pravé Vždy dvě protilehlé stěny jsou stejné

Má dvě stejné kruhové podstavy Skládá se z podstav a pláště

Skládá se z podstavy a trojúhelníkovitých stěn, které se sbíhají do jednoho vrcholu. Podle podstavy se dělí na:  Trojboký (podstava je trojúhelník)  Čtyřboký (podstava je čtyřúhelník)  …


130 - 130 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 

Kužžel o o



Kouule

Skláádá see z poodstaavy a plášttě Podstavaa je krruh

14..3 P Povrrch a objeem kkrych hle Kryychlee má ttyto zzajím mavé vvlastnnosti: o Má všechhny úúhly m mezi sousedním mi stěěnam mi praavé o Má všechhny sstranyy hranny steejně ddlouhhé o Má všechhny sstěny stejnné Vzorečeek prro poovrch h:    

Kryychle má 6 stejnýchh čtveercovýých sstěn o stranně „aa“. Kažždá sttranaa má oobsahh a  a  a 2 Abyychom m získali celýý povvrch musííme obsahh jeddné sstěnyy násoobit šesti tedyy: S = 6a2 Povvrch m měřím me v jjednootkácch „čttverečníchh“, tedy cm m2, m2 apood.

a a a Vzorečeek prro ob bjem::  Kryychle má ččtverccovouu poddstavuu o sttraněě „a“.  Obssah podstaavy jee tedyy a  a  a 2 .  Výšška kkrychlle je ttaké „„a“. 131 - 131 -



 

2

Objem krychle vypočteme jako V = a  a . Tedy V = a3 Objem měříme v jednotkách „krychlových“, tedy cm3, m3 apod.

Povrch krychle Vybereme správný vzoreček. Dosadíme do vzorečku. Napíšeme odpověď. Pozor na správné jednotky. Objem krychle: Vybereme správný vzoreček. Dosadíme do vzorečku. Napíšeme odpověď. Pozor na správné jednotky.

a = 5 cm S = 6a2 S = 6  5 2  6  25  150 Povrch krychle je 150 cm2. a = 5 cm V = a3 V = 53 = 125 Objem krychle je 125 cm3.

14.3.1 a) b) c) d) e) f)

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte povrch a objem krychle o hraně 4 cm. Vypočítejte povrch a objem krychle o hraně 2,5 m. Vypočítejte povrch a objem krychle o hraně 6 dm. Vypočítejte povrch a objem krychle o hraně 10 mm. Hrací kostka má hranu o délce 14 mm. Spočítejte jaký je její objem. Akvárium ve tvaru krychle má hranu dlouhou 30 cm. Spočítejte kolik litrů vody se do něj vejde. Abychom neměli mokrý koberec můžeme akvárium naplnit pouze z 80%. g) Jímka na fekálie má tvar krychle o hraně 2 m. Spočítejte kolik m3 fekálií se do ní vejde.

14.3.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte povrch a objem krychle o hraně 9 cm. b) Kolik papíru spotřebujeme na zabalení varné konvice v krabici tvaru krychle o hraně 25 cm? Výsledek uveďte v dm2. Navíc připočtěte 20 % na založení. 14.3.3 Příklady pro samostatnou práci: (1) a) Vypočítejte povrch a objem krychle o hraně 15 cm. b) Kolik látky spotřebujeme na potažení čalouněného sedátka tvaru krychle o hraně 5 dm? Na prostříhání připočítejte 20 %.


132 - 132 -


14.4 Povrch a objem kvádru Kvádr má tyto zajímavé vlastnosti: o Má všechny úhly mezi sousedními stěnami pravé o Vždy dvojice protilehlých stěn jsou shodné obdélníky (někdy čtverce) Vzoreček pro povrch:  Kvádr má tři rozměry: o šířku (označme si jí např. „a“) o hloubku (označme si jí např. „b“) o výšku (označme si jí např „c“)  Kvádr má: o Dvě stěny o rozměrech a  b o Dvě stěny o rozměrech a  c o Dvě stěny o rozměrech b  c  Zapišme si to po matematicku: S = 2ab + 2ac +2bc  Nyní číslo dvě vytkneme před závorku.  Povrch kvádru tedy bude: S = 2 ( ab + ac + bc )  Povrch měříme v jednotkách „čtverečních“, tedy cm2, m2 apod.

a

a

a

Vzoreček pro objem:  Kvádr má obdélníkovou podstavu o rozměrech „ a  b “.  Obsah podstavy je tedy a  b  ab .  Výška kvádru je „c“.  Objem kvádru vypočteme jako

V = a·b·c 

Objem měříme v jednotkách „krychlových“, tedy cm3, m3 apod. 133 - 133 -


Evropský sociální fond Povrch kvádru:

Vybereme správný vzoreček. Dosadíme do vzorečku. Napíšeme odpověď. Pozor na správné jednotky. Objem kvádru:

Vybereme správný vzoreček. Dosadíme do vzorečku. Napíšeme odpověď. Pozor na správné jednotky. 14.4.1 a) b) c) d) e) f)

a = 5 cm b = 3 cm c = 10 cm S = 2 ( ab + ac + bc )

S  2  (5  3  5  10  3  10 )  2  (15  50  30 )  190 Povrch kvádru je 190 cm 2. a = 5 cm b = 3 cm c = 10 cm V =a bc V = 5  3  10 = 150 Objem kvádru je 150 cm3.

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte povrch a objem kvádru o hranách 4 cm, 5 cm a 8 cm. Vypočítejte povrch a objem kvádru o hranách 6 cm, 5 cm a 3 cm. Vypočítejte povrch a objem kvádru o hranách 2,5 dm, 5 dm a 4 dm. Vypočítejte povrch a objem kvádru o hranách 60 cm, 2 m a 1,5 m. Kolik litrů vody se vejde do kádě tvaru kvádru o rozměrech 1,5 × 2 × 2,5 m? Pan Jahůdka má na zahradě betonový bazén zapuštěný v zemi. Bazén má tvar kvádru. Bazén je dlouhý 6 m, široký 3 m a hluboký 1 m. Ten je potřeba čas od času natřít vhodnou barvou. Kolik barvy musí pan Jahůdka koupit, jestliže na 1 m2 spotřebuje 0,25 l barvy? Nezapomeňte, že bazén nemá víko. To budeme tedy muset odečíst.

14.4.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte povrch a objem kvádru o hranách 4 cm, 5 cm a 8 cm. b) Kolik barvy spotřebujeme na natření skříňky o tvaru kvádru o rozměrech 80 × 60 × 30 cm? Spotřeba barvy je 1 l na 5 m2 v jedné vrstvě a my budeme natírat dvakrát. Natírat budeme pouze zvenčí.


134 - 134 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 14..4.3 Přík kladyy proo sam mostaatnou u prááci: (22) a) Vyppočíteejte ppovrcch a oobjem m kváádru o hrannách 2,5 m m, 3,22 m a 0,8 m m. b) Kollik voody sse vejjde ddo baazénuu panaa Jahhůdkyy? Přřipom meňme, že bazéén je dlouuhý 6 m, šširokýý 3 m a hllubokký 1 m m. Naapouuští see pouzze z 990 % %.

14..5 P Povrrch a objeem vválce Válec m má tytto zajjímavvé vlaastnosti: o Má dvě kkruhoové podstaavy o Pláššť máá po rozvvinuttí tvaar obbdélnííka jehož straany jssou ddány těmiito roozměrry:  Prvnní straana jee rovnna výýšce vválce  Druhhá strrana je rovvna obbvoddu poddstavvy Pozznám mka: Než se buddeme věnnovat výppočtům m poovrchhu a objeemu válce, přřipom meňm me si výzznam m čísla π ((čti: ppí). U Určitěě si vvzpom meneete naa zákkladnní škoolu, kkde sse čísslo π pouužívaalo přři výppočteech oobvoddu kruužnicce a oobsahhu krruhu. Zjeddnoduušeněě lze říci, že π = 3,144. Tato hoodnotta budde proo našše výppočtyy bohhatě sstačit.. Pro většíí přessnost můůžemee přři výýpočttech pouužívatt naa kaalkulaačce přím mo ttlačíttko oznaačené sym mboleem π. Vzorečeek prro poovrch h:  Vállec m má dvaa důleežité rozm měry: o výškku (označm me sii jí naapř. „„v“) o polooměr podsstavy (oznnačmee si jeej nappř. „rr“) má:  Vállec m o Dvěě kruhhové podsstavy o obsahu Spodsstavy = πr2 o Pláššť po rozbaleníí ve tvvaru obdélníkaa o roozměrrech a  2  r; b  v . Obsaah plááště je teddy S plláště  a  b  2  r  v   

Povvrch cceléhho vállce paak spočítááme jaako S  2  S ppodstavyy  S pláště , tedyy

S  2    r 2  2  r  v

Nynní vyttknem me přřed záávorkku výýraz 2    r Am mámee výsllednýý vzorrec:

S  2    r  (r  v) 

Povvrch m měřím me v jjednootkácch „čttverečníchh“, tedy cm m2, m2 apood.

135 - 135 -



v

r Vzorreček k proo objeem:  V Válecc má kruhhovouu poddstavuu o roozměrrech „ a  b “.  O Obsaah poddstavvy je tedy:: Spodsstavy = πr2  V Výškka vállce jee „v“..  O Objem váálce vvypoččtemee jakoo V =  r  v 2



O Objem měěřímee v jeednotkkách „kryychlovvých““, teddy cm m3, m3 apood.

Povvrch válcce:

r = 5 cm v = 9 cm

S  2    r  (r  v)

Vyyberem me spprávnný vzorečeek. Dosadím me doo vzoorečkuu.

S = 22.3,144.5.(55 + 9))

Nappíšem me oddpověěď. P Pozor na spprávnné jeddnotkyy.

P Povrcch váálce je 4399,6 cm m2.

Ob bjem válcee:

r = 5 cm v = 9 cm

Vyyberem me spprávnný vzorečeek.

V =  r 2  v

Dosadím me doo vzoorečkuu.

V = 3,14  5 2  9  3,14  25  9  706 7 ,9 Objem váálce jee 7066 cm3.

Nappíšem me oddpověěď. P Pozor na spprávnné jeddnotkyy.


136 - 136 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 14.5.1 a) b) c) d) e)

f)

14.5.2

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte povrch a objem válce o poloměru 4 cm a výšce 8 cm. Vypočítejte povrch a objem válce o poloměru 6 cm a výšce 2 cm. Vypočítejte povrch a objem válce o poloměru 40 cm a výšce 8 m. Vypočítejte povrch a objem válce o průměru 10 cm a výšce 7 cm. Kolik litrů vody se vejde do kýble tvaru válce o průměru dna 40 cm a výšce 70 cm? Kolik dm2 papíru spotřebujeme na výrobu válcového obalu na sušenky. Sušenka má průměr 6 cm a výšku 1,5 cm. Do obalu se jich vejde 10. Na lepení a ořez počítejte 10% papíru navíc. Příklady za domácí úkol:

a) Vypočítejte povrch a objem válce o poloměru 4 cm a výšce 5 cm. b) Kolik litrů vody se vejde do sudu tvaru válce o průměru dna 80 cm a výšce 1,2 m?

14.5.3


a) Vypočítejte povrch a objem válce o poloměru 2 cm a výšce 8 cm. b) Vypočítejte povrch a objem válce o průměru 12 cm a výšce 11 cm.

137 - 137 -



14.66 Rozměěry jjehlaanu Jehlaan máá tytoo zajíímavéé vlasstnossti: o M Má poouze jednuu poddstavvu. o P Podsttava m můžee mítt tvarr liboovolnného m mnohhoúheelníkku. Nás buude zzajím mat jehhlan s čtveercovvou ppodstaavou.. o S Stěnyy mají vžddy tvaar trojjúhelníka.. o JJe nuttno roozlišoovat tělesoovouu výškku (vv) a sttranovou vvýškuu (s) viz oobrázzek.

Výpočet tělessové vvýškyy jeh hlanu u s čtvvercoovou podsstavoou: Častto se nám stanne, že u jehlanuu buddemee znátt rozm měry podsstavyy (nappř a = 6 ccm) a déllku hhrany jehlaanu (nnapř. h = 10 cm m). Pro vvýpočet objem mu buddemee potřřebovvat znnát těělesovvou vvýškuu v. Jaak jí vvypočítám me? Vzpoomeňňme ssi na Pythaagoroovu vvětu a zkusme ssi nakkresliit řezz jehlaanem m:


138 - 138 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti V

h = 10 cm

h = 100 cm v

D

u

B

Na obrrázkuu viddíme rovnnoram menný troojúheelník jehoož roozpůllením m (výýškouu v) získkámee trojúúhelnník prravoúúhlý. Abbychoom alee mohli jeeho sttranuu „v“ vypoočítat. Potřřebujeme získaat déllku úhhlopřříčky „u““ v podstavě. Tu získkáme poddle oobrázkku oopět pomoocí P Pythaagoroovy vvěty. Poddívejm me see tedyy na čtverrcovoou podstavvu jehhlanuu.

u a = 6 ccm

a = 6 ccm Na obráázku jjiž jaasně vvidím me prravoúúhlý ttrojúhhelníkk o ppřepooně „uu“ a dvouu stejnných odvvěsnáách „„a“. Délkku přeponny teedy snaddno sspočítámee: u 2  a 2  a 2 , tedy Dále u  72  8,49 . u 2  6 2  6 2 = 336 + 36 = 72. D

139 - 139 -



Nyní se vrátíme k původnímu obrázku: Známe: V

h = 10 cm

h = 10 cm v

u

D

B

h = 10 cm, u = 8,49 cm, k výpočtu objemu potřebujeme znát tělesovou výšku v. Tu vypočítáme opět pomocí Pythagorovy věty v červeném trojúhelníku.

Tedy:

u v  h   2 2

2

v 2  100  18  82 v  82  9,1 Poznámka: Podobně počítáme ostatní rozměry v jehlanu.


140 - 140 -

2

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Výpočet tělesové výšky jehlanu:

Načrtneme si vhodný řez jehlanem, v tomto případě z vrcholu kolmo na střední příčku podstavy. V obrázku si zvýrazníme pravoúhlý trojúhelník tak, abychom dvě strany znali a třetí byla výška v.

a = 5 cm va = 10 cm v=? V

va

va v

a

Z obrázku vidíme, že bude stačit použít Pythagorovu větu. Tedy:

v

a 2 va  ( ) 2 2

A nezapomeneme na odpověď.

a 2 va  ( ) 2 2 5 v  10 2  ( ) 2  100  6, 25  2 v  9,7 cm v

93,75  9,7

Tělesová výška jehlanu je dlouhá 9,7 cm.

141

- 141 -


Evropský sociální fond 14.6.1 a) b) c) d) e)

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte délku tělesové výšky jehlanu, kde a = 6 cm a va= 5 cm. Vypočítejte délku hrany jehlanu, kde a = 6 cm a va= 5 cm. Vypočítejte délku hrany jehlanu, kde a = 6 cm a v = 5 cm. Vypočítejte délku tělesové výšky jehlanu, kde a = 4 cm a va= 5 cm. Vypočítejte délku hrany jehlanu, kde a = 8 cm a va= 5 cm.

14.6.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte délku tělesové výšky jehlanu, kde a = 5 cm a va= 5 cm. b) Vypočítejte délku hrany jehlanu, kde a = 8 cm a v = 2 cm. 14.6.3 Příklady pro samostatnou práci: (4) a) Vypočítejte délku tělesové výšky jehlanu, kde a = 5 cm a va= 7 cm. b) Vypočítejte délku hrany jehlanu, kde a = 11 cm a va= 8 cm.

14.7 Povrch a objem jehlanu Nyní, když umíme dopočítat chybějící rozměry, si s výpočtem objemu a povrchu jehlanu snadno poradíme. Vzoreček pro povrch:

Povrch vypočítáme snadno, zejména uvažujeme-li jehlan se čtvercovou podstavou.  Povrch se skládá z jedné čtvercové podstavy o obsahu S podstavy  a 2 a čtyř trojúhelníkových stěn o obsahu S stěny  

Povrch tedy bude: S  a 2  4 



A máme výsledný vzorec:

a  va . 2

a  va  a 2  2  a  va 2

S  a 2  2  a  va 

Povrch měříme v jednotkách „čtverečních“, tedy cm2, m2 apod.


142 - 142 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Povrch jehlanu:

Vybereme správný vzoreček. Neznáme va. Vypočítáme jí obdobným postupem jako jsme počítali tělesovou výšku. Tedy pomocí Pythagorovy věty:

va 

a = 5 cm v = 9 cm

S  a 2  2  a  va V

a ( )2  v2 2

va

va v

a

va 

a ( )2  v2 2

5 ( )2  92  2 v a  9,3cm S  a 2  2  a  va v

Nyní již jen dosadíme do vzorce a vypočteme. Nakonec zvolíme správné jednotky. A nezapomeneme na odpověď.

6, 25  81 

87 , 25  9,3

S  25  93 S  118

S = 118 cm2 Povrch jehlanu je 118 cm2.

143 - 143 -


Evropský sociální fond Vzoreček pro objem:  Stále hovoříme o jehlanu s čtvercovou podstavou.  Objem jehlanu je roven 1 objemu kvádru se stejnou podstavou. 3  Objem jehlanu vypočteme tedy jako:

V 

Objem měříme v jednotkách „krychlových“, tedy cm3, m3 apod

Objem jehlanu

Vybereme správný vzoreček. Dosadíme do vzorce a vypočteme. Nakonec zvolíme správné jednotky.

A nezapomeneme na odpověď.

14.7.1 a) b) c) d)

e) 14.7.2

a2  v 3

a = 5 cm v = 9 cm a2  v V 3 a2  v V 3 5 2  9 225 V   75 3 3 V  75cm 3 Objem jehlanu je 75 cm3.

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte povrch a objem jehlanu, kde a = 6 cm a v = 5 cm. Vypočítejte povrch a objem jehlanu, kde a = 6 cm a va= 5 cm. Vypočítejte povrch a objem jehlanu, kde a = 8 cm a v = 5 cm. Kolik plechu bude potřeba na pokrytí jehlanovité střechy věže kostela, kde věž má půdorys 4 × 4 m a hrana střechy je dlouhá = 7 m. Nezapomeňte připočítat 30 % na překryv a prořez. Kolik osob může spát ve stanu tvaru jehlanu s podlahou 2 × 2 m a výškou 1,5 m, jestliže každý potřebuje 0,8 m3 vzduchu. Příklady za domácí úkol:

a) Vypočítejte povrch a objem jehlanu, kde a = 9 cm a v = 10 cm. b) Kolik papíru je třeba na výrobu krabičky tvaru jehlanu na dárkové balení kosmetiky, jestliže podstava má být čtvercová o straně 20 cm a výška krabičky má být 30 cm?


144 - 144 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 14..7.3 Přík kladyy proo sam mostaatnou u prááci: (55) a) Vypoočítejjte poovrchh a obbjem jehlaanu, kkde a = 155 cm a v = 20 ccm b) Vypoočítejjte poovrchh a obbjem jehlaanu, kkde v = 5 ccm a va = 6 cm m.

14..8 R Rozm měry kužeele Rozeznáávám me cellou řaadu kkuželůů. Neejznám mějšíím z nnich jje kuužel rotačnní o ltterém m buddemee mluvit v celé této kkapittole. Kuužel m má tytto zajjímavvé vlaastnoosti: o Má jjednuu kruuhovoou poddstavvu. o Rozzbalenný plášť m má tvvar krruhovvé výýseče. Obllouk této vvýsečče je stejnně dloouhý jakoo obvood poodstavvy.

Pod dívejjme sse nyyní naa nássledujjící oobrázzek: Je zzřejm mé, žee pro výpoočet oobjem mu a ppovrcchu m musím me znnát tyyto veeličinyy:  Polooměrr podstavyy r  Těleesovoou výýšku v  Straanu ppláště s

Z vvýše uuvedeenýchh rozzměrůů všakk staččí znáát dvaa (věttšinou znááme r a v, neboo r a ss). Z oobrázku jee viděět, že zbylýý rozzměr dopoočítám me snnadnoo pom mocí P Pythaagoroovy věty.

Přííklad d: Vyypočíttejte sstranuu plááště kkuželee s, jeestližee znááme r a v.

145 - 145 -



Při ppohledu naa obrázek si můůžem me snaadno všim mnoutt pravvoúhllého ttrojúhhelníkku o strranáchh r, v a s. Při ppoužittí Pytthagoorovyy větyy dosttanem me vzzorec: teddy:

s2 = r2 + v2

s  r 2  v2 Rozměrry ku užele Poddívám me see na oobrázeek výýše a s pom mocí Pythhagoroovy vvěty ssi přippravííme vzoorec.

Vyppočíttejte vvýškuu kužžele vv, jesttliže r = 4 cm m s = 7 cm m v2 = s2 – r2 tedyy: v 

s2  r 2

Dosadím me a vypoočítám me.

v  72  42

Na závěěr nappíšem me oddpověěď.

v  499  166  33  5,7 v  5,7cm c Výšška kkuželee je 55,7 cm m.

14.8.1 a) b) c) d) e)

P Příkllady pro p prácci ve šškolee V Vypoočítejjte výýšku kkuželle v, jjestližže r = 5 ccm, s = 9 ccm. V Vypoočítejjte pooloměěr poddstavvy kuužele rr, jesstliže v = 5 cm,, s = 7 cm m. V Vypoočítejjte déélku sstranyy kužžele s, jestlliže r = 5 cm, v = 9 cm. V Vypoočítejjte déélku sstranyy kužžele s, jestlliže r = 6 cm, v = 115 cm m. JJaký prům měr buude m mít vííčko ke zm mrzlinně Coornettto, jee-li výýška obaluu 12 cm a délkka jehho sttrany 12,2 cm.


146 - 146 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 14..8.2 a) b) c)

Přík kladyy za domácí ú úkol: Vyppočíteejte vvýškuu kužžele vv, jesttliže r = 4 cm, s = 11 cm. Vyppočíteejte ppolom měr podstaavy kkuželee r, jeestližee v = 20 ccm, s = 22 cm. Vyppočíteejte ddélkuu stranny kuužele s, jesstližee r = 33,5 cm m, v = 9,11 cm.

14..8.3 a) b) c)

Přík kladyy proo sam mostaatnou u prááci: (66) Vyppočíteejte vvýškuu kužžele vv, jesttliže r = 5,,7 cm m, s = 9,3 ccm. Vyppočíteejte ppolom měr podstaavy kkuželee r, jeestližee v = 6 cm m, s = 7 cm m. Vyppočíteejte ddélkuu stranny kuužele s, jesstližee r = 55,3 cm m, v = 11,,2 cm m.

14..9 P Povrrch a objeem kkuželle Pom mocí základnícch znnalosttí o kuuželi a troochy ppředsstavivvosti snadnno oddvodííme vzoorce ppro povrchh a obbjem m kužeele.

Vzorec pro povrrch Pokkud bbychoom roozbalili pláášť kkuželee, získkali bbychoom teento oobrázzek:

Povvrch se teddy skkládá z kruuhu ((Spo = r2) a pláště, jímžž je kkruhoová výýseč. Obbsah ttéto vvýsečee vyppočítááme pposlee vzorrce Spl = π πrs. Teddy:

S  S pll  S po

S   r s  r2

Po vytkknutí:

S    r  (ss  r ) 147 - 147 -





Objem měříme v jednotkách „čtverečních“, tedy cm3, m3 apod.

Povrch kužele

Vypočítejte povrch kužele, je-li r = 5 cm a v = 12 cm.

S    r  (s  r )

Zvolíme správný vzorec. Podíváme se zda známe všechny potřebné veličiny. Veličinu s dopočítáme snadno podle návodu v předchozí kapitole.

Neznáme s.

s  r 2  v2 s  5 2  12 2  169  13 s  13cm S    r  (s  r ) S  3,14  5  (13  5)  282,6

A teď už jen stačí dosadit do vzorce a vypočítat.

S  282,6cm 2

Povrch kužele je 282,6 cm2

Na závěr napíšeme odpověď.

Vzorec pro objem Při odvození tohoto vzorce budeme postupovat obdobně jako u jehlanu. Uvědomíme-li si, že objem kužele je roven 1 objemu válce se stejnou podstavou 3 můžeme vzorec napsat takto:

V 


 r2 v 3

148 - 148 -




Objem měříme v jednotkách „krychlových“, tedy cm3, m3 apod

Objem kužele

Zvolíme správný vzorec.

Vypočítejte objem kužele, je-li r = 5 cm a v = 12 cm.

V 

 r2 v 3

Podíváme se zda známe všechny potřebné veličiny. A teď už jen stačí dosadit do vzorce a vypočítat.

Ano.

Na závěr napíšeme odpověď.

Objem kužele je 314 cm3

14.9.1 a) b) c) d)

e) f)

V 

 r2 v

3 3,14  5 2  12 V  3,14  25  4  314 3 V  314cm 3

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže r = 3 cm a v = 10 cm. Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže r = 3 cm a s = 10 cm. Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže s = 12 cm a v = 10 cm. Kolik vody se vejde do nálevky trychtýře tvaru kužele, jestliže průměr otvoru nálevky je 10 cm a výška nálevky 7 cm. Kolik plátna potřebujeme na výrobu stanu tee-pee, budeme-li předpokládat, že má tvar kužele (bez podstavy!) o průměru 7 m a výšce 6,5 m. Na prostřih a záhyby připočtěte 25 %. Na kolik skleniček nám vyjde lahev 0,7 l přípitkového vína, jestliže víno naléváme do skleniček tvaru kužele (na nožičce) o rozměrech r = 3 cm a v = 5 cm. Skleničky plníme ze dvou třetin.

14.9.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže r = 3 cm a v = 5 cm. b) Střecha hradní věže má tvar kužele o rozměrech r = 3 m a v = 7 m. Kolik bude stát práce pokrývačů při výměně krytiny, jestliže si firma počítá 350 Kč za m2. 14.9.3 a) b) c)

Příklady pro samostatnou práci: (7) Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže r = 2 cm a v = 4 cm. Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže r = 5 cm a s = 14 cm. Vypočítejte povrch a objem kužele, jestliže s = 17 cm a v = 14 cm.

149 - 149 -



14.10 Povrch a objem koule U koule nám na rozdíl od ostatních těles stačí znát pouze jeden rozměr a tím je její poloměr r. Odvození vzorců je poněkud složitější než u ostatních těles. Nebudeme se jím tedy zabývat a rovnou si zapamatujeme výsledné vzorečky: Objem koule: V 

4   r3 3

Povrch koule: S  4    r 2

Výpočet povrchu koule: Zvolíme správný vzorec. Dosadíme do vzorce a vypočítáme.

Vypočítejte povrch koule, je-li r = 4 cm. S  4   r 2

S  4  3,14  4 2  4  3,14  16  200,96 S  200,96 cm 2 Povrch koule je 200,96 cm2.

Na závěr napíšeme odpověď. Výpočet objemu koule: Zvolíme správný vzorec.

Dosadíme do vzorce a vypočítáme.. Na závěr napíšeme odpověď.

Vypočítejte povrch koule, je-li r = 4 cm. 4 V    r3 3

4 4  3,14  4 3   3,14  64  267,95 3 3 3 V  267,95cm V

Objem koule je 267,95 cm3.

14.10.1 a) b) c)

Příklady pro práci ve škole: Vypočítejte povrch a objem koule o poloměru 7 cm. Vypočítejte povrch a objem koule o poloměru 5 cm. Kolik vody se vejde do vodojemu tvaru koule, jehož vnitřní průměr je 7 m? d) Kolik dm2 materiálu je třeba na výrobu míče o průměru 20 cm? e) Kolik váží skleněná kulička, je-li její průměr 1,3 cm a hustota skla 2,5 g/cm3?

14.10.2 Příklady za domácí úkol: a) Vypočítejte povrch a objem koule o poloměru 9 cm. b) Kolik váží železná koule o průměru 10 cm, je-li hustota železa 7,8 g/cm3?


150 - 150 -

Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 14..10.3 Přík kladyy proo sam mostaatnou u prááci: (88) a) Vyppočíteejte ppovrcch a oobjem m kouule o ppolom měru 6 cm m. b) Socchař vvytessal zee žully koouli o průůměruu 40 cm? Jakáá je hhmottnost této kouule, jee-li huustotaa žulyy 2,88 g/cm m3 ?

14..11 S Shrn nutí a opaakovvání V této kkapitoole jsm me see zabývalii výpočty povrchů a objeemů ttěles.. Zoppakujm me si nnyní zzáklaadní ppojmyy a poostuppy: a) O ččem nnás innform mují vveličinny obbjem a povvrch ttělesaa? b) V jaakýchh jednnotkáách jee uváádímee?

An nyní pár p příklladů:: 5. vyppočíteejte povrchh a obbjem m těless: a) v = 3 cm m, r = 4 cm m, v2 = 8 ccm

v2

b) Vzddálennost vvrchoolu A od vvrchollu B jje 100 cm, vzdáálenosst boddu C od D je 6 cm a oobrazzec C CDEF F je čttverecc. A F

D

C

E

B

151 - 151 -



Výsledky příkladů pro samostatnou práci: a) 3375 cm3, 1350 cm2, b) 180 dm2 a) 6,4 m3, 25,12 m2 b) Do bazénu se vejde 16,2 m3 vody. a) 100, 48 cm3, 125,6 cm2 b) 1243 cm3, 640,56 cm2 a) 6,5 cm b) 9,7 cm a) 1,5 dm3, 8,67 dm2 b) 72,6 cm3, 122,8 cm2 a) 7,3 cm, 3,6 cm, 12,4 cm a) V = 16,8 cm3, S = 40,6 cm2 b) V = 342,8 cm3, S = 298,3 cm2 c) V = 1350,5 cm3, S = 801,9 cm2 (8) a) S = 452,2 cm2, V = 904,3 cm3 b) 93,5 kg

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)


152 - 152 -

Učební text pro Dívčí katolické střední školy Matematika Josef Civín

Recommend Documents