UAV EXTREMÁLIS REPÜLÉSI PÁLYA SZÁMÍTÁSA

Szolnoki Tudományos Közlemények XV. Szolnok, 2011.

Prof. Dr. Szabolcsi Róbert1

UAV EXTREMÁLIS REPÜLÉSI PÁLYA SZÁMÍTÁSA A pilóta nélküli légijárműveket (UAV2) széles körben használják úgy katonai-, mint nem-katonai (pl. katasztrófavédelem, közlekedési kritikus infrastruktúra megfigyelése, vagyonvédelmi feladatok, mezőgazdasági feladatok, ipari balesetek megfigyelése stb.) missziókban. Az egyes alkalmazásokban az UAVk különféle sárkányszerkezeti kialakításokkal rendelkeznek: lehetnek merevszárnyúak, vagy forgószárnyúak (helikopter, multirotor). A propulziós rendszerek lehetnek sugárhajtóművek, belsőégésű motorok, vagy villamos motorok. Tekintettel a leendő UAV alkalmazásainkra, a szerző a villanymotoros propulziós rendszerekre korlátozza vizsgálatait. A szerző célja bemutatni a klasszikus variációszámítás gyakorlati alkalmazását pilóta nélküli légijárművek (UAV) extremális repülési pályájának számítására, amely biztosítja, hogy egy előre megválasztott funkcionál extremumát (minimum, maximum). A téma kiemelten fontos, mert a bemutatandó elméleti ismeretek jól használhatóak az optimális repülési pályák számítására, amely mentén biztosított például a minimális energiaigény, vagy a maximális hatótávolság. CALCULUS OF THE UAV EXTREMAL FLIGHT PATH There is a wide range of application of the UAVs both in military, and in non-military (disaster management, monitoring of the transportation critical infrastructure, property safety problems, agricultural tasks, monitoring of industrial accidents etc.) missions. In the given flight mission the UAV may have several different airframe (fixed wing fuselage, rotary wing force generation) and different propulsion system, i.e. they may use jet engine, piston engine, or, finally, electrical engine. Regarding our future UAV applications author will target focus of attention to those types of UAVs having electrical engines as propulsion system. The aim of the author is to present application of the calculus of variation for derivation of the extremum (minimum, or maximum) of the functional derived well-before. The scientific topic being investigated in this article is important due to further application of the theoretical results for derivation of the flight path requiring minimum energy, or for derivation of the maximum of the flight range.

I. ELŐZMÉNYEK A légijárművek térbeli mozgásának matematikai modelljét az [1, 8, 11, 14] irodalmak mutatják be. E könyvek foglalkoznak úgy a merev-, mint a forgószárnyú légijárművek mozgásának vizsgálatával, valamint a stabilitási, az irányíthatósági-, és a kormányozhatósági Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem, Hadtudományi Kar, Katonai Üzemeltető és Logisztikai Intézet, Katonai Repülő és Légvédelmi Tanszék, okleveles mérnök ezredes, egyetemi tanár. 1581 Budapest, Pf. 15., 5008 Szolnok, Pf. 1. Email: [email protected] A cikket lektorálta: Dr. Békési Bertold ZMNE, egyetemi docens, PhD. 2 UAV - Unmanned Aerial Vehicle 1

kritériumokkal. A cikk elkészítése során a matematikai elméleti hátteret a [3, 6, 7, 9, 10] könyvek adták. A hivatkozott matematikai kézikönyvek sokszor gyakorlati példákat is bemutatnak az elmélet alkalmazására. A variációszámítás elméleti hátterével a [4, 5, 12] foglalkozik, míg a [2] irodalom a variációszámítás alkalmazását mutatja be cirkálórakéták extremális pályatervezése során: a szerző kiemelt jelentőséget tulajdonít még a ballisztikus rakéták extremális (optimális) repülési pályájának tervezésének is. Szegedi és Békési cikkükben pilóta nélküli repülőgép teljes állapot-visszacsatolású, optimális szabályozó tervezését mutatta be az LQR optimális tervezési algoritmus felhasználásával, ami biztosítja a hosszirányban statikusan instabil UAV dinamikus stabilitását [13].

II. UAV TÉRBELI MOZGÁSÁNAK EGYENLETEI Az UAV lehetséges osztályaiból most egy hipotetikus merevszárnyú UAV-t vizsgáljuk meg. Vizsgálataink során feltételezzük, hogy:  az UAV kisméretű, merev test;  az UAV dinamikus egyenleteit anyagi pontra írjuk fel;  az UAV tömege állandó;  az UAV rövid idejű bevetést hajt végre földközeli magasságokon;  az UAV szimmetrikus felépítésű;  az UAV kisértékű állásszögeken manőverezik;  az UAV repülési szimmetrikus  az UAV hossz-, és oldalirányú irányítási csatornái között nincs áthatás: a térbeli mozgás a hosszirányú-, és az oldalirányú mozgásra bontható. Az UAV hosszirányú mozgásának linearizált mozgásegyenletei a következő alakban írható fel [1, 8, 11, 14]: u  X uu  X ww  wo q  g cos o  X TH TH ,

(2.1)

w  Z u u  Z w w  uo q  g sin  o  Z E  E ,

(2.2)

q  M u u  M w w  M w w  M q q  M  E  E ,

(2.3)

  q .

(2.4)

ahol: u - hosszirányú repülési sebesség a test-koordináta rendszer hossztengelye mentén, w - függőleges repülési sebesség a test-koordináta rendszer függőleges tengelye mentén,  - bólintási szög, q - bólintó szögsebesség, m - az UAV repülési tömege,  TH - gázkar helyzetének változása,  E - magassági kormány szöghelyzet változása; Z i , M j - derivatív együtthatók. Az UAV oldalirányú mozgásának linearizált mozgásegyenletei a következő alakban írható fel [1, 8, 11, 14]: v  Yv v  u o r  wo p  g cos  o  Y R  R , (2.5) I p  xz r  Lv v  Lr r   L p p  L A  A  L R  R , I xx

(2.6)

I r  xz p  Nv v  N r r   N p p  N A  A  N R  R , I zz

(2.7)

2

 sin  , p     o

(2.8)

 cos  . r   o

(2.9)

ahol: v - oldalirányú egyenesvonalú repülési sebesség a test-koordináta rendszer kereszttengelye mentén, p - orsózó szögsebesség, r - legyező szögsebesség,  A csűrőlapok szöghelyzet változása;  R - oldalkormány szöghelyzet változása; Yi , L j , N k derivatív együtthatók, I - tehetetlenségi nyomatékok. A (2.1)-(2.9) egyenletek levezetésével kapcsolatban az [1, 8, 11, 14] irodalmak kellő mélységű elméleti ismeretet mutatnak be. Többek között, meghatározzák az egyes mozgásfajták állapotegyenleteit, valamint a rövid-, és a hosszúperiodikus mozgások definiálásával tovább egyszerűsítik a bemutatott mozgásegyenlet rendszereket.

III. A GAZDASÁGOS GYORSÍTÁS, ÉS A GAZDASÁGOS LASSÍTÁS FELTÉTELEINEK MEGHATÁROZÁSA A maximális távolság-, és maximális idő-funkcionálokat a következő összefüggések adják meg [2, 4, 5, 6]: vv

xv    y, y ' (v), v  v dv ,

(3.1)

vk vv

tv    y, y ' (v), v  dv ,

(3.2)

vk

g y' v ahol  y, y ' (v), v  funkcionál (célfüggvény), vk - a kezdőállapot sebessége, vv - a R (v, y ) végállapot sebessége, tv - a végállapot eléréséhez szükséges idő, R( y, v) - eredő légerő. Az y(v) függvény az alábbi kezdeti feltételeknek tesz eleget: 1

y  yk , ha v  vk ,

(3.3)

y  yv , ha v  vv .

(3.4)

A v(t ) sebesség-időfüggvényt szigorúan monoton növekvőnek tekintjük a gyorsítás során, míg szigorúan monoton csökkenő a siklás során (1. ábra). Ennek következtében, a (3.1), és a (3.2) funkcionálokban a v sebesség független változó, amely gyorsításkor a vk kezdeti, és a vv végérték között változik, ahol gyorsításkor vv  vk , és lassításkor vk  vv .

1. ábra. UAV gyorsítás, és lassítás sebesség-diagramok.

3

Feltételezzük, hogy az y(v) megengedett trajektóriák az  yk , vk  kezdőpontot és az  yv , vv  végpontot összekötő folytonos függvények, amelyek az So területen haladnak. A megengedett trajektóriákra kiegészítő feltételt adunk meg, amely szerint a repülés pályaszöge kis értékű, vagyis teljesül az alábbi egyenlet [2, 4, 5]: sin  

1 dy dv y' R ,  v dv dt v  g y '

(3.5)

ahol:  - pályaszög, R( y, v)  P  Q( y, v) - eredő légerő a hossztengely mentén, P  áll. propulziós erő, Q( y, v) - légellenállás. Legyen a pályaszög megengedett minimális értéke 1 0, míg a megengedett maximális pályaszög érték  2 0. Mindezek alapján az y' (v) függvény a következő egyenlőtlenségi feltételnek tesz eleget [2, 4, 5]: sin 1 

y' R  sin  2 . v  g y'

(3.6)

Ezek a peremfeltételek határozzák meg a megengedett y(v) függvény belső határát az So tartományon. A tartomány külső határait a (3.3) kezdeti feltétel esetén az y' 

v sin 1 , R  g sin 1

(3.7)

v sin  2 , R  g sin  2

(3.8)

egyenlet, míg a (3.4) peremfeltétel mellett az y' 

egyenlet adja meg [2]. A (3.7), és a (3.8) egyenlettel megadott függvények határolják az  y, v  síkon az So tartományt. Fogalmazzuk meg a következő variációszámítási feladatot [2, 3, 4, 5, 6]: a megengedett y (v) függvényosztályon keressük azt a függvényt, amely biztosítja: a) a gyorsítás során az xv úthossz minimális (gyorsítás a minimális úthosszon a megadott repülési sebességig), és a xv maximális siklás esetén; b) a gyorsítás során a tv idő minimális (gyorsítás a megadott repülési sebességig a legrövidebb idő alatt), és a tv idő maximális a siklás során; c) megadott tv alatt a gyorsítás során az xv úthossz minimális (gyorsítás a megadott repülési sebességig, megadott idő alatt, minimális út megtétele alatt), és xv úthossz maximális megadott tv időre a siklás során (maximális távolság megadott idő alatt a siklás során). 3.1. Az xv és a tv extremuma Az előző fejezetben bemutatott variációszámítási feladat az egyik legegyszerűbb, mivel a funkcionál explicit alakú. Ezért az extremálok az Euler-egyenletnek eleget tevő integrálegyenletek. A (3.1), és a (3.2) integrálok integrandusai lineárisan függenek az y' (v) deriválttól. Az y(v) és az y' (v) függvények variációit az alábbi egyenletek segítségével írhatjuk fel:

4

vv

xv 



v1 ( y, v)y R2

vk

tv 

vv



v2 ( y, v)y R2

vk

dv ,

dv ,

(3.9)

(3.10)

ahol: R g R ,  y v v

(3.11)

R g R g   R, y v v v 2

(3.12)

R R R c y   , v v c áll. c y v y

(3.13)

R R R c y   , y y c  áll. c y y y

(3.14)

1 ( y, v) 

2 ( y, v) 

Megemlítjük, hogy

ahol: c y - felhajtóerő tényező. A So területen belül elhelyezkedő extremálisokat az alábbi egyenletek határozzák meg: 1( y, v)  0 ,

(3.15)

2 ( y, v)  0 ,

(3.16)

1( y, v)  2 ( y, v)  0 ,

(3.17)

ahol  - Lagrange multiplikátor. A (3.15) egyenlet az xv extremumát, a (3.16) egyenlet a tv extermumát, míg a (3.17) egyenlet az xv extremumát adja meg megadott tv mellett. A (3.15) és a (3.16) egyenletek egyedüli megoldásként az So terület belső extremumát adják meg, míg a (3.17) egyenlet az S o tartományon belül  -ban paraméterezett görbesereg, amelyek mindegyikének megfelel egy tv érték. A maximális távolságú, és maximális idejű extremális siklás feladatának megoldását az alábbi feltétel mellett kapjuk meg:  v    0 esetén: xv  xv max , v  R 

(3.18)

 1    0 esetén: tv  tv max . v  R 

(3.19)

A (3.18), és a (3.19) egyenleteknek az alábbi funkcionálok felelnek meg [2]: g R , v v

(3.20)

g R g  R, v v v 2

(3.21)

1o ( y, v)  2o ( y, v) 

5

ahol: R  Q . Az extremum sajátosságainak meghatározásához elengedhetetlen a  2 xv , és a  2tv második variáció ismerete [2, 4, 5]:

 2 xv 

tv 

v

1 v v1 ( y, v)y 2 dv , 2 2 v R k

(3.22)

v

1 v  2 ( y, v)y 2 dv , 2 v R2

(3.23)

k

ahol: j 

 j y

, j  1,2 .

(3.24)

Mivel a lehetséges trajektóriák közül azokat keressük, amelyek a gyorsítás során szigorúan monoton növekvő sebesség függvény, míg a siklás során szigorúan monoton csökkenő sebesség függvények, ezért a (3.24) egyenlet figyelembe vételével a keresett extremum létezésnek feltételei az alábbiak: 1  0 , 2  0 .

(3.25)

Mindezek alapján megállapítható, hogy az extremális mozgás meghatározása visszavezethető a belső extremálisokon történő mozgás vezérlési algoritmusa meghatározására, vagy más szóval, a So  ( y, v) tartományon a lehetséges belső extremálisok meghatározására.

IV. EREDMÉNYEK, KÖVETKEZTETÉSEK A cikkben a szerző merevszárnyú UAV repülési pályája extremumának számításával foglalkozik. A kitűzött feladat olyan extremális gyorsítási-, és siklási (lassítási) pályák meghatározása, amelyen haladva az UAV maximális távolságot tesz meg, vagy maximális a repülési idő. A feladat megoldásához a szerző bemutatta az UAV térbeli mozgásának dinamikus egyenleteit, majd megfogalmazta az extremum létezésének feltételeit, és megadta az extremum jellegének (maximum, minimum) megítéléséhez szükséges egyenlőtlenségi feltételeket. OPUS CITATUM [1] BLAKELOCK, J. H. Automatic Control of Aircraft and Missiles, John Wiley and Sons, New York-LondonSydney, 1965. [2] РАБИНОВИЧ, Б. И. Вариационные режимы полета крылатых летателъных аппaратов, Машиностроение, Москва, 1966. [3] KÁRMÁN, T., BIOT, M. A. Matematikai módszerek műszaki feladatok megoldására, 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1967. [4] CSÁKI, F. Korszerű szabályozáselmélet. Nemlineáris, optimális, és adaptív rendszerek. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1970. [5] KÓSA, A. Variációszámítás, 2. javított kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1973. [6] KORN, G. A., KORN, T. M Matematikai kézikönyv műszakiaknak, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. [7] BRONSTEIN, I. N., SZEMENGYAJEV, K. A. Matematikai zsebkönyv mérnökök és mérnökhallgatók számára, 5. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982.

6

[8] БЮШГЕНС, Г. С. – СТУДНЕВ, Р. В. Динамика cамолёта – пространственное движение, Машиностроение, Москва, 1983. [9] БРОНШТЕЙН, И. Н., СЕМЕНДЯЕВ, К. А. Спрaвочник по математике, Москва, Наука, 1986. [10] КРАСОВСКИЙ, А. А. (Под. pед.) Спрaвочник по теории автоматического управления, Москва, Наука, 1987. [11] MCLEAN, D. Automatic Flight Control Systems, Prentice-Hall International Ltd., New York-LondonToronto-Sydney-Tokyo-Singapore, 1990. [12] BROGAN, W. L. Modern Control Theory, Prentice-Hall International, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1991. [13] SZEGEDI, P., BÉKÉSI, B. Preliminary Design of Controller of Longitudinal Motion of the Unmanned Aerial Vehicle Using LQR Design Method, Proceedings of the 10th International Conference „Transport Means 2006”, ISSN 1822-296x , pp(324-327), Kaunas, Lithuania, 19-20 October 2006. [14] SZABOLCSI, R. Modern automatikus repülésszabályozó rendszerek, Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem, egyetemi tankönyv, 2011.

7