Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní
Tváření kovů - analýza procesů Jiří Hrubý
Ostrava
©
prof. Ing. Jiří Hrubý, CSc., 2008
OBSAH str. Metoda charakteristik - I
4
Metoda charakteristik - II
6
Aplikace metody charakteristik
8
Metoda konečných prvků - 1. panel
10
Metoda konečných prvků - 2. panel
12
Metoda konečných prvků - 3. panel
14
Modelování procesů tváření
16
Pěchování
18
Zápustkové kování
20
Objemové tváření za studena
22
Dopředné protlačování
24
Zpětné protlačování
26
Tažení drátů a trubek
28
Válcování a povrchové tváření
30
Tváření vysokými parametry
32
Tažení plechu
34
Tažení rotačních výtažků z plechu
36
Technologie tažení plechu
38
Ohýbání a zkružování plechů a tyčí
40
Technologie ohýbání a zkružování
42
Stříhání plechů a profilů
44
Technologie stříhání
46
Technologičnost konstrukce
48
Metodika TgPV tvářením
50
Seznam literatury
52
4
5
6
7
8
9
9
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ - 1. panel
(VMT 5 FS 2307 ©H&H) Metoda konečných prvků (Finite Element Method - FEM) je numerická metoda pro analýzu struktur a těles. Zpravidla je možné řešit touto metodou problémy, které klasickými postupy nelze úspěšně řešit. Metoda pokrývá celou šíři fyzikálních aplikací: statika, dynamika, akustika, teplo, elektromagnetické pole, elektrostatika, piezoelektrické jevy a proudění. FEM řeší tyto problémy soustavou lineárních rovnic, jejichž konstrukce a řešení lze efektivně provádět za použití výpočetní techniky. Historie FEM se datuje od roku 1906, kdy šlo o pokus nahradit těleso soustavou elastických prutů. Vlastnosti prutů byly voleny tak, aby posunutí v uzlech prutů odpovídalo posunutí v odpovídajících bodech tělesa. Tento model postupně přešel v dnes již dobře známé metody analýzy struktur. FEM byla poprvé popsána Courantem v roce 1941, nebyla však akceptována pro neexistenci prostředků řešení rozsáhlých soustav lineárních rovnic. V roce 1953 byla rovnice tuhosti poprvé popsána v maticovém tvaru, to umožnilo její řešení na počítači. Velký rozmach zaznamenala FEM v leteckém průmyslu. Širší aplikace i v ostatních odvětvích nastoupily až s napsáním rozsáhlých programů využívajících FEM v průběhu 60. a 70. let. Nyní je na trhu mnoho programů FEM různé velikosti, s různými možnostmi řešení a různé ceny. Existuje řada verzí, které lze provozovat i na standardu IBMPC.
1.1
Úvod do FEM - Diskretizace Základním principem FEM je diskretizace (rozdělení) tělesa na malé části (prvky), které jsou matematicky snadno popsatelné. Obr. 1.1 ukazuje diskretizaci: a) klasické řešení, b) čtyř prvkový model.. Klasické řešení problému vyžaduje napsání diferenciální rovnice pro plynule se zužující prut, řešení rovnice pro osové posunutí u jako funkce x v mezích 0;L. Naproti tomu řešení FEM spočívá v rozdělení (diskretizaci) prutu na čtyři konečné prvky různých, ale konstantních průřezů. V těchto prvcích prodloužení roste lineárně se vzdáleností x. Prodloužení jednotlivých prvků je pak dáno vztahem ∆L = F ⋅ L / E ⋅ S . Výsledné prodloužení celého prutu je pak
e
e
(
e
)
součtem prodloužení jednotlivých prvků.
Uvedená diskretizace je základem tzv. deformační metody. Jejím zobecněním vznikla nejužívanější varianta FEM. Teoretickým základem FEM je Lagrangeův variační princip. Příklad na obr. 1.2 je model osově symetrického dopředného protlačování, složený z obdélníkových prvků (elements). V detailu jsou černými tečkami znázorněny uzly (nodes) nebo uzlové body, které určují místa spojení jednotlivých prvků. Pouze prostřednictvím těchto uzlů lze definovat zatížení nebo potlačení stupňů volnosti.
1.2
Aproximační funkce - charakteristická vlastnost prvku
Fyzikální vlastnosti tělesa, posunutí, napětí, teplota atd. lze nahradit funkcí prostorových souřadnic. Tato funkce se nazývá aproximační funkcí nebo také funkcí tvaru. Na obr. 1.3 je funkce T ( x, y ) , která charakterizuje rozložení teploty na rovinné obdélníkové desce. Tuto neznámou funkci nahradíme v jednotlivých uzlech aproximační funkcí, která musí mít tolik členů, kolik má prvek uzlů. Pro trojúhelníkový prvek tak vznikne např. polynom třetího stupně Φ = a1 + a 2 x + a 3 y , (1.1) který se snaží přiblížit k funkci T ( x, y ) . Koeficienty ai rovnice (1.1) získáme na základě řešení polynomu pro všechny tři uzly trojnúhelníkového prvku, tj. řešíme soustavu tří rovnic o třech neznámých:
10
10
Φ 1 = a1 + a 2 x1 + a 3 y1 Φ 2 = a1 + a 2 x 2 + a 3 y 2 (1.2) Φ 3 = a1 + a 2 x 3 + a 3 y 3 Obdélníkový prvek se čtyřmi uzly má polynom o řád vyšší: Φ = a1 + a 2 x + a 3 xy + a 4 y (1.3) Polynomy pro prvky s více uzly získáme z Pascalova trojúhelníku (obr. 1.4).
Rozhodnutí, který prvek s kterou aproximační funkcí použít, nemá jednoznačná pravidla. Jeden prvek může dát více či méně přesný výsledek v závislosti na tvaru, okrajových podmínkách a druhu analýzy. Většinou se vše řídí zkušenostmi a znalostmi řešitele v oboru FEM a matematiky. Obecně však platí, že s rostoucím počtem uzlů prvku roste přesnost aproximační funkce i celkového výsledku analýzy. Není-li k dispozici matematický přesný prvek, lze řešení nahradit diskretizací na větší počet méně přesných prvků. S rostoucím počtem uzlů prvků a s rostoucím počtem samotných prvků rostou i nároky na kapacitu a výkon výpočetní techniky. 1.3 Interpolace Interpolace je postup, jímž se přibližně určuje hodota funkce f ( x ) v bodě x ∈ (a, b ) , jsou-li známy její hodnoty a, b . v jiných bodech intervalu
Interpolace je základem FEM. Malá část složitého pole, může být modelována jednoduchým polem. Lineární interpolační pole na obr. 2.1 lze s úspěchem použít při dostatečně velkém počtu prvků. Prvky založené na kvadratickém nebo kubickém poli mohou poskytnout přesnější výsledek, může jich být méně, ale prvky budou mnohem složitější. Stupeň spojitosti. Pro následné použití si uvedeme označení pro stupeň spojitosti funkce nebo pole. Pole (funkce) má C m stupeň spojitosti tehdy, jsou-li m -té derivace pole (funkce) spojité. Pak funkce f = f ( x ) má C 0 stupeň spojitosti, je-li funkce f spojitá, ale její první derivace spojitá není. Literatura SERVÍT, R. aj.: Teorie pružnosti a plasticity II. Praha, SNTL 1984. 424 s. NĚMEC, J. aj.: Pružnost a pevnost ve strojírenství. Praha, SNTL 1989. 600 s. MOYZES, R.: Diplomová práce. Ostrava, VŠB-TU 1994. 41 s. VALENTA, J. aj.: Novodobé metody výpočtů tuhosti a pevnosti ve strojírenství. Praha, SNTL 1975. 528 s.
11
11
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ - 2. panel 2.1
Funkce tvaru pro prvky stupně spojitosti C
(VMT 5 FS 2307 ©H&H)
0
[ ] Φ je pak interpolováno z jeho n uzlových hodnot {Φ e } = {Φ 1 , Φ 2 ,..., Φ n } pomocí následujícího vztahu:
Jednotlivé prvky jsou popsány pomocí funkce tvaru N , která je závislá na aproximační funkci. Pole n
Φ = [N ]{Φ e } = ∑ N i Φ i ,
(2.1)
i =1
kde funkce N i je funkcí souřadného systému a popisuje rozložení pole Φ uvnitř prvku tak, že i -tá uzlová hodnota Φ i je jednotková, zatímco ostatní uzlové hodnoty jsou rovny nule.. Funkce tvaru pro jednorozměrný prvek. Lineární interpolace prutu je popsána na obr. 2.1 a). Tento prvek má dva uzly, mezi nimiž lze pole Φ interpolovat pomocí lineárního polynomu: Φ = a1 + a 2 x = 1 x ⋅ {a i } (2.2)
[
]
Pole Φ má v uzlu č. 1 hodnotu Φ 1 a v uzlu č. 2 hodnotu Φ 2 , tj. pro x = 0 je Φ = Φ 1 a pro x = L je
Φ = Φ 2 . Tuto vzájemnou vazbu lze popsat následujícím způsobem:
Φ 1 1 0 a1 = ⋅ ⇔ {d } = [A] ⋅ {a} . Φ 2 1 L a 2 Rovnici (2.3) budeme řešit pro {a}, výsledek dosadíme do rovnice (2.2):
{a} = [A]−1 ⋅ {d } ⇒ Φ = [1
(2.3)
x ] ⋅ [A] ⋅ {Φ i } −1
[N ] = [1
Funkci tvaru získáme z rovnic (2.1) a (2.4):
(2.4)
L − x −1 x ] ⋅ [ A] = L
x . L
(2.5)
Vlastnosti funkce tvaru. Z předchozích rovnic vyplývají následující pravidla: Všechny funkce tvaru N i a samotné funkce Φ jsou polynomy stejného řádu. Pro každou funkci N i platí, že N i = 1 pro x = x i a
N i = 0 pro x = x j , i ≠ j . Součet funkcí tvaru pro C 0 prvek je roven jedné:
∑N
i
.
Funkce tvaru pro 4 uzlový bilineární rovinný prvek (obr. 2.1 b). Pro tento případ je pole Φ funkcí souřadnic x, y . Pole se interpoluje ze čtyř uzlových hodnot v rozích obdélníka. Pro 4 uzly lze jako aproximační funkci použít polynom: Φ = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy .
(2.6)
Postup interpolace: Nejprve proběhne lineární interpolace levé a pravé strany zvlášť, tj. provedeme interpolaci mezi uzly 1 a 4 a mezi uzly 2 a 3:
b− y b+ y Φ2 + Φ3 (2.7) 2b 2b a−x a+x Následně proběhne interpolace ve směru x mezi Φ 1,4 a Φ 2,3 : Φ= Φ 1,4 + Φ 2,3 (2.8) 2a 2a (a ± x )(b ± y ) (2.9) Dosazením rovnic (2.7) do rovnice (2.8) získáme rozpis rovnice (2.1), kde: Ni = 4ab Φ 1,4 =
b− y b+ y Φ1 + Φ4 2b 2b
a
Φ 2,3 =
Prvek popsaný rovnicí (2.9) uvedený na obr. 2.1 b) se nazývá bilineární, protože jeho funkci tvoří dva lineární polynomy.
2.2
Základní vztahy pro matici tuhosti [k e ] a vektor zatížení {re }
Ve FEM je pro strukturální analýzu hledanou hodnotou posunutí v jednotlivých uzlech a odtud jsou pak odvozeny další výsledky: napětí, deformace atd. Za základ pro FEM byl proto zvolen princip minimální potenciální energie: "Ze všech možných hodnot posunutí (x,y,z) daných okrajovými podmínkami je nejpravděpodobnější ta, pro níž bude celková potenciální energie tělesa minimální." Určíme tedy potenciální
12
12 energii všech uzlových stupňů volnosti pole posunutí, které je definováno interpolací z posunutí v jednotlivých uzlech. Minimum potenciální energie získáme, položíme-li první derivaci rovnou nule. Řešením je pak rovnice s argumenty odpovídajícími matici tuhosti prvku k e vektoru ekvivalentního zatížení {re } . Rovnice pro výpočet
[ ]
potenciální energie lineárně elastického tělesa:
Πp = ∫
1 2
({ε } [E ]{ε } − {ε } [E ]{ε } + {ε } {σ }) − {u} {F } dV . T
T
T
T
0
0
(2.10)
V
Vektor posunutí prvku {u}uvnitř prvku je interpolován z vektoru uzlových posunutí {d } pomocí funkce
[ ] {ε } = [∂ ]{u} = [B ]{d } , kde převodní matice [B ] = [∂ ][N ] . Operátorová matice je dána rovnicí: pro 2D ∂∂x 0 úlohy, pro 3D úlohy je velikost 6x3. Nahrazením {u} a {ε } v rovnici (2.10) získáme: n T T [∂ ] = 0 ∂∂y Π p = ∑ (12 n{d}n [k e ]n {d }n − {d }n {re }n ), (2.11) kde symbol ne značí počet prvků
tvaru N : {u} = N {d }, kde forma funkce tvaru rozhoduje o kvalitě řešení. Přetvoření je derivací posunutí:
e
∂∂y
∂ ∂x
n =1
[k e ] = ∫ [B]T [E ][B]dV
a platí, že matice tuhosti prvku:
(2.12)
Ve
a vektor ekvivalentního uzlového zatížení:
{re } = ∫ ([B] [E ][B] − [B]T [σ 0 ] − [N ]T [F ])dV . T
(2.13)
Ve
Kompletní derivace dosáhneme řešením rovnice pro každý uzlový stupeň volnosti. Každý stupeň volnosti ve vektoru posunutí prvku {d } je obsažen v globálním vektoru posunutí {D}, který zahrnuje každý stupeň volnosti tělesa. Vektor uzlového posunutí prvku v rovnici (2.11) lze tak nahradit globálním vektorem posunutí tehdy, je-li matice tuhosti k e a vektor ekvivalentního zatížení {re } každého prvku rozvinut do celého
[ ]
Πp =
systému. Rovnice (2.11) bude mít tvar:
1 2
{D}T [K ]{D} − {D}T {R}.
(2.14)
Potenciální energie tělesa je funkcí globálního vektoru posunutí. Zjistíme-li její minimum, získáme základní statickou rovnici FEM: K ⋅ {D} = {R} , kterou řešíme pro každý uzlový stupeň volnosti. (2.15)
[ ]
2.3
Matice tuhosti pro čtyřuzlový bilineární rovinný prvek
Na obrázku 2.2 je uveden čtyřuzlový bilineární rovinný prvek, který je založen na bilineárním poli posunutí:
u = u ( x, z ) = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy
v = v( x, z ) = a 5 + a 6 x + a 7 y + a8 xy Interpolace pole posunutí {u} = [N ]{d }:
{N } u 1x4i = v {10x 4}
{0} {u i } 1x 4 4x1 {N i } {v i } 1x4
4x1
(2.16)
(2.17)
Odvození funkce tvaru pro tento prvek je popsáno v oddíle 2.1. Vyjdeme-li z tvaru rovnice (2.5) pro fukci tvaru, pak matice B popisující vztah mezi přetvořením a posunutím bude mít tvar:
[ ]
0 0 0 0 − (b − y ) b − y b + y − (b + y ) [B] = [∂ ][N ] = 0 − (a − x ) − (a + x ) a + x a − x (2.18) 0 0 0 3x8 − (b − y ) b − y b + y − (b + y ) − (a − x ) − (a + x ) a + x a + x Z rovnice (2.18) vyplývá, že ε x = f ( y ) , ε y = f ( x ) a γ xy = f ( x, y ) . Matice tuhosti čtyřuzlového 1 4 ab
b a
bilineárního prvku má potom tvar:
[K ] = ∫ ∫ [B]T [E ][B]⋅ t ⋅ dxdy , 8x8
t je tloušťka desky. Literatura viz Metoda konečných prvků - 1. panel.
−b − a
kde
13
8x3
3x3 3x8
(2.19)
13
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ - 3. panel 3.1
(VMT 5 FS 2307 © H&H)
Isoparametrická formulace - isoparametrický bilineární 4 uzlový rovinný prvek
Isoparametrická formulace prvku nám umožňuje používat prvky, které nejsou obdélníky, popř. mají strany ve formě křivek. Pomocí těchto prvků lze snadno popsat křivé plochy a tělesa složitých tvarů. Ve formulaci isoparametrických prvků (obr. 3.1) se používá přirozený souřadný systém vycházející z tvaru prvku. Transformace mezi přirozeným a globálním souřadným systémem se provádí pomocí Jakobiánu J . Pojem isoparametrický znamená, že má stejné parametry. Jsou-li souřadný systém i pole posunutí interpolovány z uzlových hodnot pomocí následujících pravidel: u , v, w je definováno jeho uzlovými hodnotami: ∑ Posunutí ∑
[ ] [u, v, w] = [N ]{d }; [x, z, y ] jsou definovány jeho uzlovými hodnotami: [x, z, y ] = [N ©]{d },
Souřadnice pak je prvek isoparametrický právě, když N = N ' .
Rovinný bilineární isoparametrický prvek. Následuje zobecnění obdélníkového prvku na obr. 2.2 do jakéhokoli čtyřúhelníkového tvaru popsaného na obr. 3.2. Tento prvek má osy ξ , η procházející středem protilehlých stran, ale nemusí svírat pravý úhel. Strany prvku mají délku dvou jednotek:
ξ ∈ − 1;1 , η ∈ − 1;1
. Souřadnice x , y jsou
dány pomocí funkcí tvarů v následující formě: x=
∑N x i
i
a y=
∑N
i
y i (3.1)
Jednotlivé funkce tvaru mají tvar dle rovnic (2.9):
Ni =
1 4
(1 ± ξ )(1 ± η ) , kde ξ = x / a a ξ = y / b .
(3.2)
Prostřednictvím tohoto prvku je interpolováno pole Φ , které můžeme vyjádřit dvěma způsoby: Φ = Φ ( x, y )
[
nebo Φ = Φ (ξ , η ) . Pole je interpolováno z jeho uzlových hodnot {Φ e } = Φ1
Φ = [N ]{Φ e } nebo Φ = ∑ N i ⋅ Φ i ,
Φ2
Φ3 Φ 4 ] :
(3.3)
kde pro isoparametrické vyjádřenímusíme použít pro funkce tvaru rovnice (3.2). Následující derivace Φ jsou potřebné pro formulaci matice tuhosti prvku popsané rovnicí (2.19): ∂ x, y {Φ} = B {Φ e }, kde B = ∂ x, y N . (3.4)
[ ]
[ ]
[ ] [
][ ]
ξ , η , ale ne x , y , nejsou k dispozici derivace popsané rovnicí (3.4). Namísto nich probíhá derivace podle ξ , η s následnou transformací pomocí Jakobiánu: [∂ ξ ,η ]{Φ} = [DN ]{Φ e }, kde [DN ] = [∂ ξ ,η ][N ] . (3.5) Z rovnic (3.2) získáme derivace [∂ ξ ][N i ] = ± 14 (1 − η ), [∂ η ][N i ] = ± 14 (1 − ξ ) . Relace výrazu [∂ ξ ,η ]{Φ} k [∂ x, y ]{Φ} je definována derivací pokrocích: [∂ x,y ]{Φ} = [Γ][∂ ξ ,η ]{Φ}. (3.6) Protože Φ je funkcí souřadnic
[ ]
Pomocí rovnice (3.6) lze pak vyjádřit převodní matici B vztahem:
[ ]
[B] = [Γ][DN ] ,
(3.7)
kde Γ získáme z řetězového pravidla:
∂Φ ∂Φ ∂ξ ∂Φ ∂η = ⋅ + ⋅ ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x
a
∂ξ ∂x ∂Φ ∂Φ ∂ξ ∂Φ ∂η = ⋅ + ⋅ , pak [Γ] = ∂ξ ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂y
14
∂η ∂x ∂η . ∂y
(3.8)
14 Parciální derivace ξ a η podle x a podle y však nejsou z předešlých rovnic přímo dostupné. Je proto nutné sestavit inverzní rovnici k rovnici (3.6): ∂Φ ∂Φ ∂ x ∂Φ ∂y ∂ Φ ∂ Φ ∂x ∂Φ ∂y = ⋅ + ⋅ , = ⋅ + ⋅ nebo ∂ ξ ,η {Φ} = J ∂ x, y {Φ} , (3.9) ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ ∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
[ ]
[ ][
]
[ ]
kde J je Jakobián. Jkobián lze vyjádřit i tímto způsobem: xξ©
[J ] =
©
xη
y ξ© ∑ N i©ξ x i = yη© ∑ N i©η x i
∑N ∑N
© iξ © iη
yi . y i
(3.10)
Rovnice (3.10) je stejná pro všechny rovinné isoparametrické prvky, právě když i je stejně velké jako počet uzlů prvku, a když funkce tvaru je definována prostřednictvím těchto uzlů. Vyšetřovaný bilineární prvek má právě čtyři uzly, proto po dosazení rovnice (3.5) do (3.10) lze psát:
[J ] = [DN ][xi ] [ y i ] , 4x1
4x1
(3.11)
− (1 − η ) (1 − η ) (1 + η ) − (1 + η ) (3.12) − (1 − ξ ) (1 − ξ ) (1 + ξ ) − (1 + ξ ) . Matici Γ pak získáme inverzí Jakobiánu. Souřadný systém pro integraci matice tuhosti prvku (2.19) změnímě tak, že integrál vynásobíme determinantem Jakobiánu. Výsledkem je pak matice tuhosti
[D ] =
kde
N
1 4
[ ]
1 1
[k ] = ∫ ∫ [B]T [E ][B]⋅ t ⋅ [J ] ⋅ dξdη .
isoparametrického prvku:
8x8
3.2
−1 −1
8x3
(3.13)
3x3 3x8
Matice tuhosti systému
Na obr. 3.3 je znázorněna struktura složená ze dvou prvků a její zdrojové prvky. Pro tyto prvky lze napsat následující rovnice: [k ]1 {d }1 = [a1..9 ]{d ijk }, 3x3 3x1 , (3.14) { [k ]2 {d }2 = [b1..9 ] d ijk } 3x3
3x1
kde d značí jednotlivé stupně volnosti, spodní index číslo uzlu v systému. Pro prvek 1 lze napsat rovnice vyjadřující ekvivalentní uzlové →
r = [k ]{d } [k ]1 , kde:
zatížení →
→
ri = a1d i + a2 d j + a3 d k
r1 = a1 d 1 + a 2 d 4 + a 3 d 2
→
rj = a4 d i + a5 d j + a6 d k
→
r4 = a 4 d 1 + a 5 d 4 + a 6 d 2 .
a
(3.15)
→
→
r2 = a 7 d 1 + a8 d 4 + a 9 d 2
rk = a7 d i + a8 d j + a9 d k
V první skupině rovnic jsou proměnné indexovány jmény uzlů v prvku a ve druhé skupině jsou proměnné indexovány jmény uzlů v systému. Do druhé skupiny můžeme doplnit, že r3 = 0 , protože uzel č. 3 není součástí
a1 →r i = a 7 0 4x1 a 4
0 a2 0 a 8 {Di } , prvku č. 1. Pak lze napsat: 0 0 4x1 0 a5 kde čtvercová matice je k 1 . Pro prvek č. 2 sestavíme matici tuhosti podobně. Dvě matice k a3 a9 0 a6
velikosti pak pracují se stejným vektorem stupňů volnosti {D}. Pak lze psát [K ]{D} = a1 a = 7 0 a 4
0 a 2 0 0 0 a 8 0 b9 [K ] = [k ]1 + [k ]2 + 0 0 0 b6 0 a 5 0 b3 Hodnoty, ležící na diagonále matice tuhosti prvků k Literatura viz Metoda konečných prvků - 1. panel. a3 a9 0 a6
0 b8 b5 b2
(3.16)
1
a k
(∑ [k ]){D} , kde
2
0 b7 b4 b1
leží také na diagonále matice tuhosti systému K .
15
stejné
(3.17)
MODELOVÁNÍ PROCESŮ TVÁŘENÍ
(PPT 3.Bc FS TUO) Modelování jako inženýrská činnost prošlo dlouhým vývojem od klasického k systémovému pojetí. Řešení problému na technickém objektu (TO), probíhá ve fázi návrhu na návrhovém tvaru technického objektu, tedy na návrhovém objektu (NO), podle následujících kroků: 1. Na NO se vytknou všechny relevantní veličiny. Je to seznam všech obecných veličin přiřazených k TO na úrovni NO, které jsou z hlediska řešeného problému na TO podstatné. Lze-li TO z hlediska řešeného problému matematicky popsat, pak relevantní jsou ty veličiny, které vystupují v matematickém popisu. 2. K NO se reálně vytvoří pomocný materiální objekt (MO) označovaný jako model, který je s budoucím TO podobný ve smyslu teorie podobnosti: • definují se podmínky podobnosti; • děje probíhající v MO mají mít stejnou fyzikální podstatu jako v TO; • pro MO i TO jsou stanovena shodná podobnostní čísla, bezrozměrová nezávislá kritéria, vyplývající z principu rozměrové homogenity fyzikálních rovnic popisujících fyzikální děje. 3. Připraví a realizují se experimenty na MO, jejichž cílem je nalézt řešení problému na MO, který má stejný charakter jako problém na NO.
Experimentální metody zkoumání tvářecích procesů: Výpočtové metody slouží zpravidla k analýze stavu napjatosti a deformace, energosilových a dalších technologických parametrů tvářecích procesů. Experimentální metody jsou zaměřeny na stejnou problematiku s tím, že výsledné hodnoty jsou získávány přímo či nepřímo na skutečných nebo modelových tvářecích procesech. • Metoda přetvárného odporu: • Metody zviditelňování plastického toku: vizioplastická metoda, fotoelasticimetrie a fotoplasticimetrie. • Mikroskopické metody: metoda akustické emise, metoda analýzy poruch, metoda kluzových pásů, metoda mikrosítí, doplňkové metody. • Makroskopické metody: metoda deformačních sítí, metoda dělených objemů, metoda cizích těles, metoda vrstvených modelů. 4. Výsledky experimentů na MO, a tedy výsledky řešení problému se na základě definované podobnosti přenesou na navrhovaný TO. Celý tento postup bude účelné si podrobně vysvětlit na konkrétním příkladu TO, jímž bude tvářecí proces pěchování válcového polotovaru.
Návrhový objekt: Návrhovým objektem je pěchování válcového tělesa, pro které jsou relevantní následující veličiny a matematický popis: 1. Rozměry a jejich změny v průběhu procesu: • průměr výchozí d 0 a okamžitý d = d 0
h0 / h ,
• výška výchozí h0 a okamžitá h , dráha Δh = h0 − h pro počet poloh pracovního diagramu z ,
ε h = Δh / h0 , logaritmická podélná ϕ h = ln (h0 / h ) ,
• deformace poměrná •
• průřezová
ϕ S = ln (d / d 0 )2 ,
kde
ϕ h = ϕS .
2. Materiálové vlastnosti: • pevnost R m , tažnost
A, popř. mez kluzu Re ,
• přirozený přetvárný odpor σ P = C ⋅ ϕ , exponent zpevnění n , konstanta pevnosti C , pro jejichž vyjádření lze provést vnořené modelování (včetně experimentu) nebo použít již přijatý statický model zpevnění dle Hollomonových rovnic, popř. dynamický model zpevnění. 3. Energosilové parametry: • rychlost nástroje v h , rychlost posuvu materiálu po čele nástroje vd , součinitel tření f = g (T , v d ) mezi n
materiálem a nástrojem, pro který lze použít rovněž vnořený model, přičemž vd = v h (d − d 0 ) / Δh ,
• pěchovací tlak p s , pro který lze použít například známý vztah:
ps = σ P [1 + ( fd ) (3h )] ,
(1)
• pěchovací síla:
Fp = psπd 2 / 4 ,
(2)
16
w j = At / V ,
• pěchovací práce At a měrná přetvárná práce:
(3)
• pracovní diagram F p − Δh , který je vyšetřován v jednotlivých polohách z ∈ 1; k ) ,
• teplota pěchování T , která může být jde-li o tváření za studena TS nebo za tepla T .
Materiální objekt: Vytvoříme zmenšený válcový vzorek, který budeme pěchovat za podmínek podobných skutečnému tvářecímu procesu. Rozměry vzorku musí splňovat kritéria geometrické podobnosti:
d v / d m = hv / hm = c, (d v / d m ) = c 2 , (Vv / Vm ) = c 3 , 2
2
(4)
3
kde indexy v, m označují výkovek, model a veličiny c , c , c představují podobnostní čísla geometrická. Dále je nutno zabezpečit podobné podmínky tvářecího procesu. Především musí být dodržena rychlost deformace: v v / hv = v m / hm = ϕ& = konst . (5) Materiál modelu musí být shodný nebo, pokud nelze podmínky tvářecího procesu (teplotní režim, mezní energosilové parametry zkušebního zařízení) dodržet, lze použít materiál podobný, přičemž musí být dodržena následující kritéria: Fv S v = Fm S m = ps , (6) popř. σ n = ps σ P , (7)
Av Vv = Am Vm = w j =
σ n , wn
kde veličiny
1 n +1
C ⋅ ϕ n +1 ,
(8)
popř.
wn = w j σ P =
1 n +1
ϕ,
(9)
jsou další podobnostní čísla fyzikální.
Experimenty na materiálovém objektu: Provedou se experimentální modelové pěchovací zkoušky na zařízení, které umožňuje odečítat veličiny Fp a Δh , popř. provádí záznam pracovního diagramu graficky nebo na magnetické médium. Takto získané výsledky převedeme nejlépe do formy pracovního diagramu ps − ϕ , popř.
σn −ϕ
a stanovíme tzv.
koeficient korelace k jedné z forem diagramu:
rk =
[∑σ
∑σ ϕ − ∑σ ∑ϕ . − (∑ σ ) ].[∑ ϕ − (∑ ϕ ) ] ni
2 ni
1 k
i
2
1 k
ni
ni
2 ni
i
(10)
2
1 k
ni
Přenos na technický objekt:
(
Na základě předchozího řešení dle NO získáme analytický model pracovního diagramu Fp − Δh
( p s − ϕ )A ,
(σ n − ϕ )A .
popř.
)
A
,
Podobně dle MO
získáme experimentální model pracovního diagramu Fp − Δh E , ( ps − ϕ )E , popř. (σ n − ϕ )E . Přenos
(
v
)
obou
případech
provádíme
prostřednictvím
podobnostních čísel c, c , c , σ n , wn . Oba modely prověříme prostřednictví indexu korelace: 2
ik =
∑F ∑F
2
Ai Ei
2
3
− k1 (∑ FEi )
2
− 1k (∑ FEi )
2
.
(11)
Podle toho, jakou měrou se index korelace blíží číslu 1, lze pak usoudit, nakolik je analytický model identický s experimentálním. V kladném případě se matematický popis rovnicemi (1) a (2) stává matemat. modelem TO. Na obr. 1 je uveden v souladu s příkladem graf analytického modelu pracovního diagramu pěchování válcového tělesa o rozměrech d 0 = 10(mm ) , h0 = 15(mm ) z materiálu 11 373.1, které je pěchováno na konečnou výšku h = 3(mm ) .
Literatura: BLAŠČÍK, F.-POLÁK, K.: Teória tvárnenia. Bratislava, ALFA 1985: ONDRÁČEK, E.-JENÍČEK, K: Výpočtové modely v praxi. Praha, SNTL 1990.
17
18
19
20
21
22
23
24
25
39
ZPĚTNÉ PROTLAČOVÁNÍ
(STV 4 FS 2307 ©H&H)
Technologie zpětného protlačování se používá ke zhotovení dutých průtlačků nebo jako vůči směru zdvihu stroje obrácené dopředné protlačování plných těles. Obecně se rozděluje na: zpětné protlačování volné, kdy je průtlačník vtlačován do válcového polotovaru, jehož vnější stěny jsou volné; zpětné protlačování usměrněné, kdy je polotovar omezen stěnami průtlačnice. Ve strojírenské praxi je převážně užíváno protlačování usměrněné. ČSN 22 7005 »Protlačování ocelí za studena«: Norma mimo jiné uvádí formální postupy určování technologických parametrů zpětného protlačování. Jde zejména o deformaci, protlačovací tlak a sílu atd. Dle rozměrů na obr. 1 lze určit průřezovou a podélnou deformaci:
ϕ S = ln S 0 (S 0 − S1 ) = ln D 2 (D 2 − d 2 )
ϕ h = ln h0 h ,
(1)
kde S0 - výchozí průřez polotovaru, S1 - průřez dutiny průtlačku, h0 - výchozí výška polotovaru. Protlačovací tlak určíme z rovnice:
σ ds = 1,152 ⋅ σ P (S 0 S1 )[log S 0 (S 0 − S1 ) + S 0 (S 0 − S1 ) ⋅ log S 0 S1 + log S1 (S 0 − S1 )], n kde σ P = C ⋅ ϕ S . Protlačovací síla je pak dána vztahem: Fd = σ ds S1.
(3)
Model zpětného protlačování: Spočívá ve stanovení plochy poměrných napětí v závislosti na obou deformacích průřezové
ϕS
podélné
ϕh .
(2)
a
Naměřené hodnoty protlačovacích tlaků pro různé materiály byly převedeny v souladu s
σ n = σ ds σ P , tím byl pro následný model přibližně akceptován rozsahu přirozených deformací ϕ S = 0,1 ÷ 1,6 a ϕ h = 0 ÷ 1,8 . Pro
metodikou modelování na bezrozměrné číslo vliv materiálu. Experimenty proběhly v
stejné materiály a rozsahy deformací byly provedeny výpočty metodou charkateristik. Takto získanými hodnotami byly proloženy regresní plochy, jejichž obecná rovnice má tvar:
σ n = (A0 + A1 ⋅ ϕ S + A2 ⋅ ϕ S2 )⋅ ϕ h( A + A ⋅ϕ ) . 3
4
(4)
S
Rovnice (4) pro vypočtené hodnoty představuje analytický model a pro naměřené hodnoty experimentální model. Koeficienty této rovnice v obou případech mají hodnoty uvedené v tab. 1: Tab.1 Model:
A0
A1
A2
A3
A4
analytický experimentální
5,10032 4,35878
-5,11024 -3,34248
5,42584 2,91598
0,11026 0,26457
0,19222 0,13136
26
40 Tvary ploch pro oba modely jsou znázorněny na obr. 2. Na obou plochách je tenkou čarou provedena křivka minimálních hodnot σ n , kde poloha ϕ Smin závisí jen na deformaci ϕ h . Výskyt a poloha minima funkce (4) odpovídá přibližně výsledkům z praxe (viz obr. 3). Z obr. 2 vyplývá, že analytický model dává vyšší hodnoty protlačovacích tlaků než experimentální. Odtud plyne doporučení použít experimentální model pro výpočet přesných hodnot, kdežto analytický model se hodí spíše pro stanovení horních mezních hodnot protlačovacích tlaků pro dimenzování nástrojů. (5) Výpočtem na modelu dle rovnice (4) lze pak určit protlačovací tlak a sílu: Fd = σ nσ P S1. Pro další technologické parametry platí tytéž směrnice jako pro dopředné protlačování (sylab »Dopředné protlačování«) s následujícím upřesněním: Hodnota středního přetvárného tlaku nesmí překročit dovolené namáhání v tlaku materiálu činných částí σ D ≈ 1800 ÷ 2000 MPa, vyjímečně až 2700 MPa. Při zpětném protlačování jsou mezní průřezové deformace poměrné
ε S ≈ 30 ÷ 80
% a logaritmické
ϕ S ≈ 0,35 ÷ 1,6 .
Z
rozměrů polotovaru a konečného protlačku se vypočte celkové přetvoření. Překročí-li vypočtené hodnoty přípustné meze, je nutno zvýšit počet operací. Je-li vyčerpána tvárnost materiálu, je nutno zařadit před další tvářecí operaci tepelné zpracování. Pro výběr lisu platí tatáž doporučení, uvedená v sylabu »Dopředné protlačování«.
Nástroje pro zpětné protlačování:
Sestava nástroje na obr. 4 má podobnou skladbu jako nástroj pro protlačování dopředné (syl. č. 15). Průtlačníky pro zpětné protlačování znázorňuje obr. 5. Pro dimenzování nástrojů platí opět směrnice dle ČSN 22 7005 a direktivy uvedené v sylabu »Dopředné protlačování« pro dopředné protlačování. Tepelným zpracováním NO lze docílit 3000 až 3500 MPa dovoleného namáhání.
Literatura: ČSN 22 7005 HRUBÝ,J.-ČADA,R.-RUSZ,S.: Strojírenské tváření. Ostrava, VŠB 1993.
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
SEZNAM LITERATURY ČABELKA, J. aj.: Mechanická technológia. Bratislava, SAV 1967. BAREŠ, K. aj.: Lisování. Praha, SNTL 1971. BLAŠČÍK, F.-POLÁK, K.: Teória tvárnenia. Bratislava, ALFA 1985. BŘEZINA, R.-ČADA, R.: Speciální technologie-technologie tváření. Ostrava, VŠB 1992. DRASTÍK, F.-ELFMARK, J.: Plastometry a tvařitelnost kovů. Praha, SNTL 1977. FARLÍK,A.-ONDRÁČEK, E.: Teorie dynamického tváření. Praha, SNTL 1968. HRIVŇÁK,A.-EVIN,E.-SPIŠÁK,E.: Technológia plošného tvárnenia.Bratislava, ALFA 1985. HRUBÝ,J.-ČADA,R.-RUSZ,S.: Strojírenské tváření. Ostrava, VŠB 1993. HÝSEK, R.:Tvářecí stroje. 1. vyd. Praha, Šmeralovy závody Brno 1962. JOHNSON, W.-MELLOR P. B.:Engineering Plasticity. New York, Reihold 1973. MARCINIAK, Z.:Teorie tváření plechů. 1. vyd. Praha, SNTL 1964. MURÁNSKY, J.:Automatizácia technickej prípravy strojárskej výroby. Bratislava, ALFA 1981. OLSZAK, W. aj.: Nové směry vývoje v teorii plasticity. Praha, NČSAV 1964. ONDRÁČEK, E.-JANÍČEK, P.: Výpočtové modely v technické praxi. Praha, SNTL 1990. PEŠINA, E.: Základy užité teorie plasticity. Praha, SNTL 1966. PETRŽELA, Z.: Teorie tváření. Ostrava, VŠB 1986. PETRŽELA, Z.: Teorie tváření. Ostrava, VŠB 1984. PETRŽELA, Z.: Tváření II. Ostrava, VŠB 1975. POČTA, B.: Základy teorie tváření kovů. Praha, SNTL 1966. POLLÁK, L.: Anizotropia a hlbokoťažnosť oceľových plechov. Bratislava, ALFA 1978. PRIMUS, F.: Teorie tváření plechu a trubek. Praha, ČVUT 1980. SKARBINSKI, M.: Technologickosť konštrukcie strojov. Bratislava, ALFA 1982. STOROŽEV, M. V.-POPOV, J. A.: Teória tvárnenia kovov. Bratislava, ALFA 1978. TOMLENOV, A. D.: Teoria plastičeskich deformacij metallov. Moskva, MAŠGIZ 1951. VAJSKEBR, J.-ŠPETA, Z.: Dokončování válečkováním. Praha, SNTL 1984.
a
zpevňování
povrchu
ŽÍDEK, M.-DĚDEK, V.-SOMMER, B.: Tváření oceli. Praha, SNTL 1988.
strojních
součástí
