Matriks
Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolomyang membentuk persegi panjang serta termuat di antara sepasang tanda kurung
Notasi Matriks
A = --
a11 a12 ….
a1n
a21 a22 ….
a2n
. . am1 am2 ….
amn
Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah mxn dimana : m = banyak baris n = banyak kolom Elemen matrik aij artinya elemen baris ke-I dan kolom ke-j pada matrik A
Bentuk Matriks Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m = n Matriks bukan bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m n
Jenis-jenis matriks Matriks Nol adalah matriks yang elemen-elemennya nol Matriks diagonal adalah matriks yang hanya elemenelemen diagonal tidak sama dengan nol Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama dengan nol
Matriks Transpose Bila A (m x n) maka transpose dari A dinyatakan dengan AT adalah matriks berordo (n x m). Dengan perkataan lain terjadi perubahan dari baris menjadi kolom , sedangkan kolom menjadi baris
Operasi matriks Pengurangan dan penjumlahan A(m x n ) B( m x n ) = C( m x n ) Syarat dua buah matriks atau lebih agar dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah ordo masing-masing matriks harus sama
Perkalian Skalar
kA =
ka11 ka12 ….
ka1n
ka21 ka22 ….
ka2n
. . kam1 kam2 ….
. . kamn
Perkalian matriks dengan matriks Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat dikalikan apabila memenuhi syarat: • Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik A sama dengan jumlah baris matriks B • Ordo matriks hasil perkalian A dan B adalah ( m x k )
Sifat-sifat Matriks
AT + BT = ( A + B )T ( A B )T = BT AT ( k A )T = k AT , k = skalar (AT )T = A
Determinan Matriks Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A | Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut
Determinan matriks ordo 2 x 2 a11
a12
a11
a12
A=
det.A = |A| = a11a22 - a21a12
Determinan matriks ordo 3 x 3
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Determinan matrik A ( 3 x 3 menggunakan metode SARRUS:
)
dihitung
| A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 - a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12
Beberapa sifat-sifat Determinan Bila matrik A dan B adalah bujur sangkar: Det ( A ± B ) = det A ± det B Det ( AB ) = det A . det B Det ( AT ) = det A Determinan A sama dengan nol jika unsurunsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol
Matriks Invers Sebuah matriks A dikatakan mempunyai invers apabila matriks A adalah matriks Non singular, yaitu matriks bujur sangkar yang determinannya tidak sama dengan nol, ditulis dengan A- 1 sehingga berlaku: A-1 A = A A-1 = I dimana I adalah matriks identitas
Menentukan matriks invers Menggunakan metode Adjoin:
A- 1 =
Adjoin A Det. A
Det. A 0
Adjoin A adalah transpose kofaktor-kofaktor dari matrik A
Adjoin A =
A11 A12 . . A1n
...
...
dari
An1 An2 . . Ann
matrik
Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana : Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j | Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A
Sifat-sifat matriks invers (AB ) –1 = B –1A–1 ( k A ) – 1 = 1/k A – 1 (A – 1) – 1 = A
Contoh: Tentukan Adjoint matriks A dan invers matriks berikut ini:
A=
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Eigenvalues
24
Pengertian Eigenvalues Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhi persamaan Ax = λx, dimana λ adalah skalar. Maka λ adalah suatu eigenvalues dari A yang terkait dengan eigenvactor x
Penentuan besaran eigenvalues: Ax = λx
(A – λI)x = 0 atau X = (A – λI)-10= 0
Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus: A I 0 25
Pengertian Eigenvalues
Contoh: A 2 4 4 -4
A I 2 4 1 0 4 -4 0 1 4 2 4 16 0 2- 4 -4 - or 2 2 24 0
mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4 26
Eigenvalues dan Eigenvector Untuk matrix A dengan eigenvalue , maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x , disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan .
Eigenvalues dan Eigenvector Dari contoh sebelumnya: A 2 4 4 -4
eigenvalues = -6 dan = 4,
eigenvector dari A yang berhubungan dengan = -6 adalah: Ax x 2 4 x1 6 x1 4 -4 x 2 x 2 2x 1 4x 2 6x 1 8x 1 4x 2 0 and 4x 1 4x 2 6x 2 4x 1 2x 2 0
Untuk x1=1 maka x2 = –2.
Eigenvalues dan Eigenvector Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu: x e x'x Untuk contoh sebelumnya diperoleh: e
x x'x
1 -2
1 1 -2 5 -2 5 1 1 -2 5 -2
Sehingga pemilihan sembarang x1=1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan = -6.
Eigenvalues dan Eigenvector Untuk eigenvalue = 4, diperoleh: Ax x 2 4 x1 4 x1 4 -4 x 2 x 2 2x1 4x 2 4x 1 2x 1 4x 2 0 and 4x1 4x 2 4x 2 4x 1 8x 2 0
Dengan sembarang pemilihan x1=1, menghasilkan solusi x2 =1/2.
Eigenvalues and Eigenvectors Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:
e
x x'x
1 1 2
1 1 1 1 2 5 2 2 1 5 5 1 1 1 1 5 4 2 2 2
Latihan Tentukan eigenvalues dan eigenvector dari matriks berikut:
1. A 1 3 4 3
2.
2 A 4
3.
1 1 0 A 1 2 1 0 1 1
3 3
