TUGAS 1 KULIAH KOMBINATORIKA
Nama NIM
Oleh : Iden Rainal Ihsan : 90112302
PROGRAM STUDI MAGISTER PENGAJARAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2013
Sifat Simetris Kombinasi Tunjukan dengan beberapa metode bahwa ( )
(
)
Jawab: Untuk menunjukan kesamaan tersebut, diberikan penjelasan sebagai berikut: A. Menjabarkan Kombinasi Kesamaan pada soal dapat ditunjukkan dengan menjabarkan kombinasi pada ruas kiri dan kanan. Pertama ruas kiri dijabarkan sebagai berikut (
( )
)( (
)( )(
)
(
)(
) ) (
)
Kemudian penjabaran tersebut dikalikan dengan ( (
)( (
)( )(
(
)(
) )(
)(
) )
)(
(
( )
( )
)(
)
, didapat
( (
)( )(
)( )(
)( )(
) )
)(
)(
)(
)(
)
(
)(
)(
)(
Berdasarkan definisi faktorial, kita dapat menuliskan )( )(
)(
) )
(
)(
)(
) (
)(
, ke dalam bentuk yang lebih sederhana yaitu n!.
Begitu pula dengan penyebut, kita dapat menuliskannya dalam notasi faktorial. Sehingga penjabaran ( ) dapat ditulis
(
)
Untuk melihat kesamaan, dengan langkah yang sama dengan penjabaran ruas kiri, ruas kanan dijabarkan sebagai berikut
( )
( )(
(
)(
)(
) ( )(
)(
(
Kemudian penjabaran tersebut dikalikan dengan ( ( )(
( (
)(
)(
) ( )(
)(
( )(
)(
)( )(
(
( (
) )
) ( )(
(
) )
)
) ) , didapat
)
)( )( )( (
)( )(
)( )(
) )(
) ) )
) Penjabaran ruas kiri dan ruas kanan memiliki hasil yang sama yaitu (
)
( )
. Dari hasil yang sama tersebut dapat disimpulkan bahwa benar (
)
B. Penggunaan Koefisien Binomial Koefisien binomial dapat digunakan untuk menunjukkan kesamaan pada soal ini. Pada penjabaran (
) kita dapat mengetahui koefisien
dari setiap variabel yang ada dengan menggunakan prinsip kombinasi. Contoh apabila kita ingin mengetahui koefisien dari
maka sama halnya
dengan kita memasangkan 2 buah x. karena pada penjabaran (
) ada
x sebanyak n buah, jadi jika kita akan memasangkan 2 buah x untuk mendapatkan
, maka sama saja kita mengambil 2 buah x dari n buah x
yang ada atau ( ).Dari persepsi tersebut,
(
)
dapat dijabarkan
menjadi seperti berikut
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Kombinasi k dari n dapat kita tentukan dengan menggunakan pada (
koefisien binomial dengan menentukan koefisien dari
) .
Kesamaan pada soal dapat ditunjukkan dengan membandingkan koefisien pada (
) (
digunakannya sehingga
[( )
)
)
(
) . Alasan
variabel
.
Berikut
adalah
)
( )
( )
( )
( )
]
( ) ( )
( )
( )
( )
koefisien
(
pada pada (
( )
pada (
Apabila kita memperhatikan koefisien dari
Baik
(
pada
adalah untuk memunculkan pangkat negatif
memungkinkan muncul
penjabaran dari
(
dengan koefisien
) dengan
) , maka kita bisa menemukan kesamaan.
) maupun
pada
(
) , memiliki ( )
sebagai koefisiennya. Dari kesamaan tersebut dapat dikatakan bahwa benar ( )
(
)
C. Ilustrasi Cerita Metode selanjutnya yang digunakan untuk menunjukkan persamaan ( )
(
) adalah ilustrasi cerita. ( ) dapat kita artikan banyaknya
cara memilih k orang dari n orang yang ada. Untuk menjelaskannya dapat menggunakan cerita, misalnya di Gebung BSc A ITB terdapat n mahasiswa yang akan masuk ke lab untuk praktikum. Lab yang digunakan
hanya cukup maksimal untuk k orang. Pelaksanakan praktikum akan dimulai dengan k mahasiswa yang akan praktikum di kesempatan yang pertama. Pada pemilihan k orang mahasiswa misalnya bisa dilakukan secara acak dan bebas tanpa memperhatikan NIM, nama, jam kedatangan, nilai, jenis kelamin, atau aspek pembeda lainnya. Pada pemilihan tersebut dapat dengan cara memilih k mahasiswa dari n mahasiswa yang ada untuk masuk, atau memilih (n-k) mahasiswa untuk tetap menunggu di luar lab. Dari kesamaan cara tersebut dapat dikatakan memilih k mahasiswa dari n mahasiswa sama saja dengan memilih mahasiswa sebanyak (n-k) dari n mahasiswa yang ada. Pada cerita lain misalnya lab cukup untuk (n-k) mahasiswa. Pemilihan akan dilakukan dengan memilih mahasiswa sebanyak (n-k) dari n mahasiswa untuk masuk. Cara lain bisa saja kita memilih k mahasiswa dari n mahasiswa untuk tetap menunggu di luar lab. Dari cerita tersebut dapat dikatakan bahwa cara memilih (n-k) mahasiswa dari n mahasiswa akan sama dengan cara memilih k mahasiswa dari n mahaiswa yang ada. Dari kedua cerita ilustrasi terdapat kesamaan. Kesamaan tersebut dapat menunjukkan bahwa benar ( )
(
).
Dari ketiga metode yang telah dipaparkan, dapat kita simpulkan bahwa benar ( )
(
)
