TRIGONOMETRI
Andini tresnaningsih
Untuk XI IPA
sylvia nopiani risa p.
+CD Interaktif
Judul Buku : Trigonometri Penyusun : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani Risa Prihatini Koordinator/ Editor : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani Penilai : Dede Trie Kurniawan, S.Si, M.Pd. Hak Cipta@ Pada Penerbit AS – Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon – Indonesia
Dilarang mengutip, menjiplak atau memfotokopi sebagian ataupun seluruh buku ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penulis dan penerbit.
Kutipan UNDANG – UNDANG HAK CIPTA TAHUN 1987 Pasal 72 1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberikan izin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling singkat 1 bulan dan/atau denda paling sedikit Rp. 1.000.000,00, atau pidana penjara paling lama 7 tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 5.000.000.000,00 2. Barang siapa dengan sengaja menyerahkan, menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran hak cipta atau hak terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,00
ii
Dalam paradigma modern, matematika tidak hanya sekedar aritmatika atau berhitung. Akan tetapi lebih menitikberatkan pada proses penalaran, artinya dengan belajar matematika peserta didik dapat berfikir kreatif serta sistematis bukan untuk berhitung cepat di dalam kepala. Penulisan dalam buku ini dimulai dengan beberapa ulasan pada materi Trigonometri terdahulu. Lalu dilanjutkan dengan bagaimana cara dari suatu pendapatan rumus-rumus Trigonometri. Buku ini terdiri dari 5 pembahasan, yaitu rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudut ganda, rumus perkalian, rumus penjumlahan dan pengurangan pada trigonometri, serta aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari. Lalu ada pula contoh-contoh soal pada setiap pembahasan agar peserta didik lebih mudah untuk memahami materi yang disediakan. Pada akhir bab, kami memberikan soalsoal untuk melatih sejauh mana peserta didik telah mempelajari bab Trigonometri ini. Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih pada pihakpihak yang telah sukarela membantu dalam pembuatan buku Trigonometri ini. Terimakasih untuk segala bantuan dan sumbangan sarannya sehingga buku ini dapat terselesaikan. Saran dan kritik dari pembaca selalu kami tunggu untuk perbaikan kualitas buku ini.
Penyusun
iii
Prakata dari Penyusun ..............................................................................................
iii
Daftar Isi ..................................................................................................................
iv
Motivasi untuk Siswa ...............................................................................................
vi
TRIGONOMETRI....................................................................................................
1
Pengantar dan Ulasan ...............................................................................................
2
A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Sudut .........................................
3
1. Rumus Penjumlahan Cosinus............................................................................
3
2. Rumus Pengurangan Cosinus............................................................................
4
3. Rumus Penjumlahan Sinus ...............................................................................
4
4. Rumus Pengurangan Sinus ...............................................................................
5
5. Rumus Penjumlahan Tangen ............................................................................
5
6. Rumus Pengurangan Tangen ............................................................................
6
Contoh Soal ..........................................................................................................
7
B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda .......................................................................
8
1. Rumus Sudut Ganda untuk Sinus ......................................................................
8
2. Rumus Sudut Ganda untuk Cosinus ..................................................................
8
3. Rumus Sudut Ganda untuk Tangen ...................................................................
9
4. Rumus Sudut Ganda untuk Sin
, cos
dan tan
......................................
10
Contoh Soal ..........................................................................................................
11
C. Rumus Perkalian Trigonometri ............................................................................
11
1. Perkalian Cosinus dan Cosinus .........................................................................
11
2. Perkalian Sinus dan Sinus .................................................................................
12
iv
3. Perkalian Cosinus dan Sinus .............................................................................
12
Contoh Soal ..........................................................................................................
13
D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri...........................................
14
1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus ................................................
14
2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus....................................................
15
3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen.................................................
15
Contoh Soal ..........................................................................................................
16
E. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari ................................................................
17
UJI LATIH PEMAHAMAN ....................................................................................
19
DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................................
23
Deskripsi Petunjuk Penggunaan CD Interaktif ..........................................................
24
Biodata Penulis .........................................................................................................
25
v
vi
TRIGONOMETRI
1
PENGANTAR Konsep trigonometri banyak diterapkan dalam bidang navigasi dan astronomi. Yang secara umum masalah utamanya adalah menentukan jarak yang sulit dicapai seperti jarak antara bumi dan bulan atau jarak yang tidak dapat diukur secara langsung seperti lebr sebuah danau, tinggi sebuah bukit atau gedung. Penerapan lainnya ditemukan dalam fisika, kimia, dan hampir semua cabang teknik. Di kelas X kita telah mempelajari beberapa rumus perbandingan trigonometri, aturan sinus dan kosinus, persamaan dan fungsi trigonometri, serta identitas trigonometri. Rumus-rumus tersebut sangat membantu kita dalam mempelajari materi yang akan dibahas pada bab ini.
ULASAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI sin
sisi di hadapan sudut BC hipotenusa AC
sisi di dekat sudut AB hipotenusa AC sisi di hadapan sudut BC tan sisi di dekat sudut AB cos
ATURAN SINUS
ATURAN KOSINUS
2
A. RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 1. Rumus Untuk Amati
gambar
di
samping
ini,
menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar tersebut, diperoleh OC = OB = OD = OA = r dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β). Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,diperoleh sehingga Anda dapat menentukan ( AC)2 dan (DB)2, yaitu a. (AC) 2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2 = r2 cos2 (α + β) – 2r2 cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β) = r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2cos (α + β) = r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos (α + β) Jadi, (AC) = 2r2 – 2r2 cos (α + β) b. (DB) 2 = (r cos α – r cos β) 2 + (r sin α +
r sin β) 2
= r 2cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2sin2 α + 2 r2sin α sin β + r2 sin2 β = r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β Jadi, (DB) 2 = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
3
ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB. Jadi, AC2 = DB2. 2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β –2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β Jadi Rumus Untuk Cos , yaitu
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
2. Rumus Untuk Cos Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu cos(α – β) = cos (α + (–β)) = cos α cos(–β) – sin α sin(–β) = cos α cos β + sin α sin β Jadi Rumus Untuk Cos , yaitu
cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
3. Rumus Untuk Sin Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α + β) dengan menggunakan
rumus
perbandingan
trigonometri
dua
sudut
komplemen berikut :
4
Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, diperoleh : sin (α + β) = cos [90° – (α + β)] = cos [(90° – α) – β ] = cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β = sin α · cos β + cos α · sin β Sehingga Rumus Untuk Sin sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
4. Rumus Untuk Sin Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu sin (α – β) = sin (α + (–β)) = sin α cos (–β) + cos α sin (–β) = sin α · cos β – cos α · sin β Jadi rumus selisih sinus dua sudut : sin (α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β 5. Rumus untuk tan Anda telah mempelajari bahwa :
Kemudian anda telah mempelajari bahwa :
cos (α + β) = cos α . cos β – sin α . sin β dan
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
5
Sekarang pelajari uraian berikut :
Jadi, rumus jumlah tangen dua sudut adalah:
6. Rumus untuk Tan Rumus tan
diperoleh dari rumus tan
, sebagai berikut:
Jadi , rumus selisih tangen dua sudut adalah:
6
CONTOH SOAL !!! 1. Diketahui
dan
tentukan nilai
. jika sudut A dan B lancip, !
Pembahasan : Karena A dan B lancip, maka:
2. Tentukan nilai sin 75o !
Pembahasan :
3. Tunjukkan bahwa
!
Pembahasan :
(terbukti)
7
4. Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan sin (A – B)!
Pembahasan : cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II) sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II) sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B = 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13 = –36/65 – 20/65 = – 56/65 sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B = 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13 = –36/65 + 20/65 sin (A – B) = – 16/65
B. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA 1. Rumus untuk sin 2α Anda telah mengetahui bahwa: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Untuk β = α, diperoleh: sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α sin 2 α = 2 sin α cos α Jadi, rumus sudut ganda untuk sinus adalah: sin 2 α = 2 sin α cos α
1. Rumus untuk cos 2α Anda juga telah mempelajari bahwa: cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β. Untuk β = α, diperoleh:
8
cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α cos 2α = cos2α – sin2α Jadi, rumus sudut ganda untuk kosinus adalah: cos 2α = cos2α – sin2α
Untuk rumus cos 2α dapat juga ditulis: cos 2α = cos 2α – sin 2α cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α cos 2α = 1 – 2 sin2α
2. Rumus untuk tan 2α Dari rumus:
Untuk β = α, diperoleh:
Jadi, rumus sudut ganda untuk tangen adalah:
9
3. Rumus sudut ganda untuk Sin
, cos
dan tan
Berdasarkan rumus cos 2α = 1 – 2 sin2α dan cos 2α = 2 cos2α – 1 maka dapat digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk Sin , cos
dan tan
Begitu pula untuk cos
:
Dengan cara yang sama didapat:
10
CONTOH SOAL !!! 1. Nyatakan sin 6x dalam sudut 3x!
Pembahasan :
2. Buktikan bahwa
!
Pembahasan :
(terbukti) 3. Hitung nilai
!
Pembahasan : tidak negatif, maka:
C. RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI 1. Perkalian Cosinus dan Cosinus Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut:
11
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B Jadi, rumus perkalian cosinus dan cosinus adalah:
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
2. Perkalian Sinus dan Sinus Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut: cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B _ cos (A + B) – cos (A –B) = –2 sin A sin B Jadi, rumus perkalian antara sinus dengan sinus adalah:
2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)
3. Perkalian Cosinus dan Sinus Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B sin (A + B) - sin (A – B) = 2 cos A sin B
12
Jadi, rumus perkalian antara cosinus dan sinus adalah:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A – B)
CONTOH SOAL!!! 1. Nyatakan bentuk
ke jumlah atau selisih kosinus!
Pembahasan :
2. Hitung nilai dari
!
Pembahasan :
3. Berapakah nilai dari 2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) ? Pembahasan : 2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) = Cos {(45°+x)+(135°+x)}+Cos {(45°+x)-(135°+x)}
= Cos (180°+2x) + Cos (-90°) = Cos 180°+ Cos 2x + Cos 90° = -1 + Cos 2x + 0 2 Cos (45°+x) Cos (135°+x) = - Cos 2x
13
D. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN TRIGONOMETRI 1. Penjumlahan dan Pengurangan cosinus Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) Misalkan:
+
-
Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan memisalkan A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:
14
2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:
3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen
Jadi, rumus penjumlahan untuk tangen adalah:
Dengan cara yang sama didapat rumus:
15
CONTOH SOAL!!! 1. Buktikan bahwa:
Pembahasan :
(terbukti) 2. Cos 55° + Cos 25°=......
Pembahasan : Cos 55° + Cos 25° = 2 Cos ½ (55° + 25°) Cos ½ (55° - 25°) = 2 Cos ½ (80°) Cos ½ (30°) = 2 Cos 40° Cos 15° = 2. 0,76 . 0,96 Cos 55° + Cos 25° = 1,48
16
E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
1.) Berikut trigonometri digunakan dalam navigasi untuk menemukan jarak dari pantai ke suatu titik di laut.
2.) Trigonometri umumnya digunakan dalam mencari ketinggian menara dan pegunungan.
3.) Trigonometri digunakan dalam oseanografi dalam menghitung ketinggian gelombang air laut
17
4.) Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon
5.) Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti pada gelombang suara dan cahaya.
18
UJI LATIH PEMAHAMAN A. Pilihlah jawaban yang benar! 1. cos 105⁰=........ a.
d.
b.
e.
c.
2. Diketahui tan A = a.
b.
3. Fungsi sin
dan sin B = , A dan B sudut lancip. Nilai cos (A-B)=...... c.
d.
e.
dapat ditulis dalam bentuk
untuk setiap
harga , apabila.... a.
dan
d.
b.
dan
e.
c.
dan
dan
4. Bila a.
dan
, maka b. 1
c.
d.
=.... e.
5. a. b. c.
d. e.
19
6. Jika
dan
a.
c.
b.
d.
, maka e.
7. Jika
dan
a.
d.
b.
e.
, maka
=.....
c. 8.
= , maka sin2x = .... a.
c.
b.
d.
e.
9. Bila sin x ‒ cos x = ƿ, maka harga dari sin 2x = .... a. 2ƿ2
d
‒ ƿ2
b ƿ2 + 1
e.
‒ ƿ2
ƿ2 ‒1 10. Jika tan x = t, maka tan 3x = .... a. b.
–
c.
e.
d.
20
⁰‒
3
⁰ e ‒
b. 12. Sin 22
d ‒ ⁰=
....
a.
d.
b.
e.
‒
c. 13. A, B, dan C adalah sudut – sudut sebuah segitiga. Jika A – B = 30° dan sin C = maka cos A sin B = .... a.
c.
b.
d.
e. 1
14. sin2 А cos2 А = .... a.
cos 4A
b.
d. e.
c. 15.
= .... a.
d.
b.
e.
c. 16.
= ....
21
a.
c.
b.
d.
17.
e.
= .... a.
c.
b.
d.
Jk αd
β udu l
maka
e.
p
β
dan
β
,
= ....
a. 2 －
d. 1 －
b. 1 －
e.
－1
c. 3 － 2
Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan tepat! 1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di C berlaku cos ( A + C ) = k. Tentukanlah nilai sin A + cos B. 2. α β d
ϒ adalah sudut- udu ebu h eg g J k
tentukanlah nilai 3. J k α udu l
α pd
4. Tentukanlah nilai dari
α
ϒ
β
ϒ. α
e uk
l h
α
.
5. Tentukanlah nilai dari sin 10O sin 50o sin 70o.
22
Handayani, Elyas. (2012). Kupas Tuntas UN Matematika IPA SMA/MA. Sindunata: Sukoharjo Rokhman, Nur. (2012). Rumus-Rumus Trigonometri Jumlah dan Pengurangan. [online]. Tersedia: http://matematika-lovers.blogspot.com/2012/10/rumusrumus-trigonometri-jumlah-dan.html. [12 Oktober 2013] Rbaryan. (2013). Aplikasi Trigonometri dalam Kehidupan Nyata. [online]. Tersedia: http://rbaryans.wordpress.com/2013/01/29/aplikasitrigonometri-dalam-kehidupan-nyata/. [12 Oktober 2013] Sembiring, Suwah dkk. (2008). Pelajaran Matematika untuk SMA/MA. Penerbit Yrama Widya: Bandung
23
PETUNJUK PENGGUNAAN CD INTERAKTIF Oke guys, materi sudah selesai kalian baca, contoh soal pun sudah kami berikan. Sekarang kalian dapat menguji kemampuan dengan menjawab soal-soal yang ada pada CD Interaktif. Adapun petunjuk penggunaan CD Interaktif adalah sebagai berikut: 1. Masukkan CD Interaktif ke laptop atau komputer anda. 2. Nah ketika kalian menemukan column password, isilah column tersebut dengan "AndinSylvi". Perhatikan besar kecilnya huruf ya, kalau nanti passwordnya salah kalian tidak dapat melanjutkan Quis ini. 3. Setelah masuk ke Quis, klik Start. 4. Kalian harus menjawab semua pertanyaan terlebih dahulu. Untuk melanjutkan ke pertanyaan selanjutnya, kalian klik Next. Kalau kalian ragu pada jawaban pertanyaan sebelumnya, kalian klik Previous. 5. Setelah kalian selesai menjawab semua pertanyaan, klik Submit. 6. Kalian akan mendapatkan hasil apakah kalian sudah lulus atau belum. 7. Apabila kalian ingin melihat pembahasan, klik Review lalu Review Feedback. 8. Waktu yang kami berikan adalah 90 menit untuk menjawab semua soal. Dan passing score adalah 80.
Selamat Mencoba :)
24
Nama Lengkap
: Andini Tresnaningsih
Tempat, Tanggal Lahir : 21 September 1994 Jenis Kelamin
: Perempuan
Golongan Darah
: B
Alamat
: Jl. Kandang Perahu Gg. Delima No. 6 RT o4 Rw 11 Kel. Karya Mulya Kec. Kesambi Kota Cirebon
Agama
: Islam
Riwayat Pendidikan : 1. TK Pelita Ibu Cirebon (1999-2000) 2. SD Negeri Karya Mulya 1 Cirebon (2000-2006) 3. SMP Negeri 5 Cirebon (2006-2009) 4. SMA Negeri 6 Cirebon (2009-2012) 5. Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon (2012-sekarang)
Deskripsi Kerja Kelompok : Saya bertugas mengerjakan segala hal yang berurusan dengan pembuatan Booklet Trigonometri ini. Mulai dari mencari bahan untuk mengisi Booklet, pengetikan isi Booklet, hingga mengedit Booklet agar menarik perhatian dari pembaca. Pengerjaan soal untuk pembahasan pada Quis Maker saya kerjakan bersama-sama dengan rekan saya, Sylvia Nopiani Risa Prihatini.
25
Nama Lengkap
: Sylvia Nopiani Risa Prihatini
Tempat, Tanggal Lahir : 19 April 1994 Jenis Kelamin
: Perempuan
Golongan Darah
: B
Alamat
: Jl. ByPass Komp. Korem 063/SGJ Cirebon
Agama
: Islam
Riwayat Pendidikan : 1. TK Kartika 30 Bandung (1999-2000) 2. SD Negeri Soka 34/1 Bandung (2000-2006) 3. SMP Negeri 7 Cirebon (2006-2009) 4. SMA Negeri 6 Cirebon (2009-2012) 5. Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon (2012-sekarang)
Deskripsi Kerja Kelompok : Saya bertugas mengerjakan segala hal yang berurusan dengan pembuatan Quis Maker Trigonometri ini. Mulai dari mencari bahan untuk soal pada Quis Maker, pengetikan isi Quis Maker, hingga mengedit Quis Maker agar menarik perhatian dari pembaca. Pengerjaan soal untuk pembahasan pada Quis Maker saya kerjakan bersama-sama dengan rekan saya, Andini Tresnaningsih.
26
