Ütközéses kvantum-termalizáció mester egyenletei

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

Kvantuminformáció és irreverzibilitás:

Ütközéses kvantum-termalizáció mester egyenletei SZAKDOLGOZAT 2010.

Írta:

KALLUS ZSÓFIA FIZIKUS HALLGATÓ

Témavezetı:

DIÓSI LAJOS EGYETEMI MAGÁNTANÁR, ELTE-TTK TUDOMÁNYOS TANÁCSADÓ, MTA KFKI RÉSZECSKE ÉS MAGFIZIKAI KUT. INT.

„… the signature of irreversibility lies in the emergence of a dissipative semigroup description of an approprately defined markovian process. This in turn leads us to one of the deepest questions in physics, namely, can such a markovian process arise from a time-reversible dynamics?”

“… az irreverzibilitás biztos jele egy megfelelıen definiált Markov-folyamat disszipatív félcsoporton keresztüli leírásának megjelenésében rejlik. Ez viszont a fizika egyik legmélyebb kérdéséhez vezet, vagyis: eredhet-e ilyen Markov-folyamat egy idıben visszafordítható dinamikából?”

G. Nicolis and I. Prigogine

1

Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetımnek, Diósi Lajosnak, akiben nem csak a kiváló tudóst, de egy lelkes oktatót és segítıkész tanárt is volt szerencsém megismerni. Szeretnék köszönetet mondani a Komplex Rendszerek Fizikája Tanszéknek, hogy megteremtette a lehetıséget, hogy budapesti diákként ilyen sokoldalú képzésben vehessek részt. Köszönöm Családomnak a sok-sok segítséget és türelmet, amit az elmúlt években kaptam. Köszönet Tibornak és Zsuzsának, akiknek teljesen különbözı gondolkodása mellett egy vizsgaidıszak sem telt unalmasan.

2

Tartalomjegyzék Bevezetés, a dolgozat célkitőzései ....................................................................... 4 1 Háttérismeretek összefoglalása ......................................................................... 5 1.1 Kvantummechanikai bevezetı .......................................................................................... 5 1.2 Az ütközés-modellek áttekintése ................................................................................... 13 1.3 A mester egyenlet bemutatása........................................................................................ 16 1.4 Kvantum-homogenizáció, kvantum-termalizáció .......................................................... 19

2 A randomizált ütközésmodell ......................................................................... 24 2.1 Motiváció, a randomizált ütközésmodell ismertetése ..................................................... 24 2.2 Randomizált trajektória modell átlagos mozgásegyenlete .............................................. 26 2.3 Az átlagos idıfejlıdés differenciálos egyenlete.............................................................. 29 2.4 A folyamatot leíró mester egyenlet meghatározása ........................................................ 31 2.5 A Bloch-vektor mozgásegyenlete ................................................................................... 32 2.6 Az átlagos állapottérbeli trajektória számítása................................................................ 33 2.7 A mester egyenlet Lindblad-alakjának számítása ........................................................... 42 2.8 A modellek dinamikája és a minimális bomlási egyenlet ............................................... 47

3 Az eredmények összefoglalása ....................................................................... 50 Függelékek ......................................................................................................... 51 F1. A használt szoftverek és a szimulációs program adatai ................................................. 51 F.2 Az lindbladi disszipátor együttható-mátrixa .................................................................. 52

Irodalomjegyzék ................................................................................................. 53

3

Bevezetés, a dolgozat célkitőzései A makroszkópikus rendszerek viselkedésében megjelenı irreverzibilitást fenomenológiailag kielégítı módon leírja a termodinamikai és statisztikus fizika. Ugyanakkor jelenlegi ismereteink alapján mikroszkopikus szinten a mechanizmusok alapvetıen megfordíthatóak. Így míg a statisztikus fizika ún. sokaságok létezésébıl kiindulva magyarázza az irreverzibilitás megjelenését, addig jelenlegi kutatások mikroszkopikus, kvantumfizikai dinamikai modelleket felállítva keresik annak eredetét. [1] Tipikusan irreverzíbilisek a disszipációs folyamatok, melyek során megfigyelhetı, hogy az energia – vagy információ – ami eredetileg adott fizikai rendszerben koncentrálódott, idıvel „kiszivárog” annak környezetébe, s szétoszlik a kölcsönhatásban résztvevı rendszerek között. Ismert, hogy hıtartállyal termális kölcsönhatásba kerülı fizikai rendszerek statisztikus viselkedést mutatnak, s az egész rendszer relaxációs folyamat során termális egyensúly felé tart. Ekkor a disszipáció eredményeként elvesztjük a rendszer eredeti állapotában kódolt információt. [1] Jelenlegi ismereteink alapján egy központi kvantumbitet termális egyensúlyban lévı hıtartályba

helyezve,

ilyen

termalizációs

folyamat

elıáll

unitér

kölcsönhatások

eredményeként is. Vagyis kvantuminformáció-veszteség nélküli lépéseken keresztül fejlıdve, csak az ütközés-sorozatban kódolt klasszikus információ lesz az, aminek rögzítése nélkül a fordított folyamat már nem rekonstruálható. [2] A dolgozatban egy kvantumbit-rendszer homogenizálódását eredményezı – a kölcsönhatás mechanizmusát speciális kétrészecskés ütközésekbıl felépítı –

termalizációs folyamat

folytonos kvantum mester egyenletének különbözı formáit és elıállítási módszereit vesszük sorra, és vetjük össze egymással. Megmutatjuk, hogy a minden határon túl növelt gyakoriságú, infinitezimális mértékő ütközésekbıl eredı, folytonos idıfüggéső határeset dinamikai jellegét tekintve egyenértékő egy Poisson-folyamat szerinti ütközés-sorozattal fejlıdı rendszer átlagos viselkedésével. Továbbá a homogenizálódás folyamatát általánosítjuk egy külsı tér hatása alatt álló kvantumbit esetére, s megmutatjuk, hogy hasonló ütközéseken keresztül a kvantumbit is stacionárius állapotba relaxál. Meghatározzuk a kapott dinamikát létrehozó disszipátor ún. Lindblad-operátorait, s végül az eredményeket a két-állapotú rendszerek minimális relaxációs egyenletével összevethetı formára hozzuk. 4

1 Háttérismeretek összefoglalása 1.1 Kvantummechanikai bevezetı 1.1.1 A kvantummechanika posztulátumai és alapfogalmai Ebben a szakaszban [3] alapján a kvantummechanika alapfogalmainak ismertetése következik a Neumann-féle axiomatikus kvantumelmélet posztulátumainak megfelelıen, amiket rendre a dolgozatban elıforduló kapcsolódó részek rövid összefoglaló jellegő áttekintése kísér. Kvantumrendszereket fogunk vizsgálni, melyeket dimenzió számuk és szabadsági fokuknak megfelelı számú független szabad paraméter jellemez. Kíváncsiak vagyunk az állapot idıbeli fejlıdésére és arra, miként viselkednek az összetett rendszerek kölcsönhatások során. Egy rendszerrıl információt nyerhetünk mérésekkel, melyek a rendszer dinamikai változóinak értékét határozzák meg. A posztulátumok tehát a következı alapfogalmak definícióit adják meg: 0. Kvantumrendszer állapottere 1. Kvantumállapot 2. Mérhetı mennyiségek 3. Kvantummérés 4. Összetett kvantumrendszer 5. Zárt kvantumrendszer idıfejlıdésének leírása

Minden kvantumrendszerhez hozzárendelhetünk egy ℋ komplex szeparábilis Hilbert-teret. Ez a kvantumrendszer állapottere. -állapotú rendszerre: ℋ    λ ; λ  1,2, … ,  .

Egy kvantumrendszer fizikai állapotát a  sőrőségmátrix vagy -operátor írja le.  egy ℋ   1.

kvantumrendszerek sokaságán statisztikusan értelmezett: egy  és  állapotú sokaság feletti

korlátos

pozitív

operátor,

melyre

Az

állapot

azonos

típusú

elemeit  ,  arányban keverve        , ahol     1 . Speciális eset az ún. tiszta állapot, melyben a rendszer fizikai állapotát |  ℋ , az ún. állapotvektor írja

le. | egységnyi normájú, egy komplex fázis faktor erejéig határozatlan oszlopvektor.

Ekkor teljesül a szuperpozíció elve, miszerint két állapotvektor normált komplex lineáris

kombinációja, szuperpozíciója is lehetséges tiszta állapotot ad. Egy tiszta állapot sőrőségmátrixa az állapotvektorból képzett vetítı operátor:   |  | , ahol  | ún. ’bra’ 5

vektor a |  ún. ’ket’ oszlopvektorból képzett komplex konjugált sorvektor, avagy egy folytonos komplex funkcionál, mely minden |  ℋ-hoz a |   skalárszorzat értékét rendeli. Kevert állapot a csak sőrőségmátrixszal megadható állapot.

Egy kvantummechanikai rendszer dinamikai változóit a Hilbert-téren ható önadjungált ! dinamikai változó értékét. Az olyan

operátorok, a mérhetı mennyiségek írják le. Egy kvantummechanikai mérés során egy rendszer adott  állapotában mérjük egy

kvantummechanikai

mennyiségeket,

melyekrıl

egyszerre

információ

szerezhetı,

operátora felcserélhetı legyen: " ! , #$%  0 . Az

kompatibilisnek mondjuk. Ennek a tulajdonságnak feltétele, hogy a két fizikai mennyiség !  ' (λ )$λ

(1.1)

spektrálfelbontással megadott mennyiség ((λ  (* + λ  ,, és a )$λ hermitikus λ

projektorokra: ∑λ )$λ  .!, )$λ )$*  /λ* )$λ ) szelektív kvantummérésekor a mérés eredménye

véletlenszerően, 0λ valószínőségeloszlás szerint, valamely (λ komponens, s a rendszer mérés utáni állapota megváltozik:

0λ  1)$λ 2,

1 )$λ )$λ4 4 $ $  3 )λ )λ  . 0λ tr1)$λ 2

(1.2)

Nem-szelektív kvantummérés eredménye a szelektív mérések 0λ szerinti súlyozott átlaga, az ! mennyiség várhatóértéke:  !   ∑λ 0λ (λ  1 ! 2. Tiszta állapotban:  !   8 9 ! 9:.

Ilyen mérés után az állapot átlaga nem egyenlı a mérés elıttivel:

∑λ 0λ



;λ

)$λ )$λ4 

∑λ )$λ )$λ4 <  . Tiszta állapotban szelektív ill. nem-szelektív méréskor ! 3 (λ eredmény

esetén az állapot egy tiszta állapotba ugrik: 0λ  89)$λ 9:, | 3



=;λ

)$λ |.

spektrálfelbontás projektorai: )$λ  |λ λ |, s méréskor az állapot a megfelelı

Nem-degenerált mátrixú mérendı mennyiség esetén a sajátvektorokból elıállnak a

sajátállapotba ugrik:

0λ  |λ | | ,

! 3 (λ :

|  3 |λ  .

Projektív méréssel mérjük az önadjungált operátorok spektrálfelbonátásában szereplı )$λ (1.3)

egyikükre 1, a többire 0 értéket ad, miközben az állapot a megfelelı projekciót szenvedi.

bináris fizika mennyiségeket. Ezek kompatibilisek, így egyszerre történı mérésük

6

ℋ ?ℋ  @ ?A  λB ; λ 

1,2, … ,  ; C  1,2, … ,   tenzorszorzattal elıállított Hilbert-tér rendelhetı, s az összetett

Két részrendszerbıl álló összetett rendszerhez a

rendszer állapotát az e feletti

  1λB21*D2

(1.4)

  E   dimenziós sőrőségmátrix írja le. Az egyik részrendszer állapota a másik

részrendszerre vett parciális trace képzésével definiált:

 F  1 2  ' 1λB21*B2 B

(1.5)

A teljes kvantummechanikai rendszer lehet tiszta állapotban, miközben a részrendszer statisztikus keverékeként:   ∑λ λ 1λ ?λ 2 , ahol λ G 0, és ∑λ λ  1. Ekkor

kevert állapotban van. Szétválasztható az az összetett állapot, mely elıáll szorzatállapotok

nincs a részrendszerek között kvantum-korreláció. A nem szétválasztható állapotot között, akkor kvantum-korreláció is létezhet. Ekkor    ?  HC. HI.  HJ. HI. .

összefonódott állapotnak nevezzük. Amikor létezik statisztikus korreláció a részrendszerek Összetett rendszerek esetén egy fizikai mennyiséget lokálisnak nevezzük, ha ! ?.! vagy .!? !  vagy ! ? !  alakú. Ennek a ℋK rendszerben történı mérése egyenértékő ! K

mérésével. Nem-lokális mennyiségek általában az ! ?.!  .!? !  vagy ! ? !   #$ ?#$

alakú mennyiségek. Ezek mérése után az összetett rendszer állapota más lesz, mintha a lokális mennyiségeket külön-külön mérnénk. összetett rendszert. L részrendszer esetén az állapottér az elemi részrendszer állapoterébıl

Kollektív rendszernek hívjuk a nagy számú azonos típusú és állapotú rendszerbıl képzett

áll elı: ℋ ? ℋ ? … ℋ M ℋ ?N , a kollektív állapot pedig  ?  ? …  M ?N , illetve a

tiszta állapot kollektív állapotvektora: |?| ? … ?|  M | ?N . Kollektív fizikai

mennyiségek mérése a kollektív kvantummérés. Nem mindegyik vezethetı vissza az L

részrendszeren történı mérésekre. Amennyiben ! az elemi részrendszer fizikai mennyisége, akkor az L részrendszeren vett átlaga mint kollektív fizikai mennyiség: I! ? ! ? I! ?1QR2  S  I! ?1QR2 ? ! 2 .



N

O ! ? I! ?1QR2 

Egy rendszer környezete az a másik rendszer, amihez kölcsönhatáson keresztül csatolódik. Reservoir az olyan környezet, amely végtelen sok szabadsági fokú, s módusainak

7

frekvencia tartománya folytonos. A hıtartály (fürdı, „bath” v. „heat bath”) olyan reservoir, melynek elemei termikus egyensúlyban vannak.[10] A dinamikai egyenletekben a kvantummechanikai Schrödinger-képet használjuk, amiben a V 1, W2 unitér zárt kvantumrendszer idıfejlıdését egy mérésmentes T idıintervallumban az U

sőrőségmátrixok transzformálódnak idıben, s nem a mérhetı mennyiségek operátorai. Egy

propagátor határozza meg a következı módon [4]: V 1, W21W2U V 4 1, W2, 12  U

V 1, W2U V 1W, 2  U V 1, 2, U

, W,   T .

(1.6)

V adja meg az állapot transzformációját: Diszkrét idıfejlıdést vizsgálatakor az unitér U V U V4. U V 1, W2 elsırendő közelítése a X V Hamilton-operátor:  3 U

V 1  , 2  U

K V 12, ahol X V 12 a Hamilton-operátor  idıpillanatban. Ha X V idıfüggetlen, akkor: .! – X ħ

V 1W, 2  [ Rħ1]R^2_V . Ezzel (1.6) alapján megkapjuk a zárt rendszer állapotának U \

idıfejlıdését leíró unitér egyenletet, a Neumann-egyenletet:  a V , % .  ` "X  ħ

(1.7)

| a   V | . ` X  ħ

(1.8)

Ez | állapotvektorú tiszta állapotra egyenértékő a Schrödinger-egyenlettel:

Ez lineáris idıfejlıdést jelent, vagyis koherens állapotban lévı zárt rendszer megırzi a szuperponált állapotot, míg a rendszer idıfejlıdése reverzíbilis. Összetett rendszer mozgásegyenlete, amiben az összetett Hamilton-mátrix a részrendszerek saját Hamiltonmátrixainak valamint a kölcsönhatási Hamilton-mátrixnak az összege:  a V ,  % ,  ` "X  ħ  

V  X V ? .!  .! ? X V  X Vbc X

(1.9)

Ha a kölcsönhatási tag zérus, akkor a szorzat alakú kezdıállapot megmarad, a mozgás során nem keletkezik korreláció a rendszerek között. 1.1.2 A kvantumbit formalizmus ismertetése Az 1.1.1 részben ismertetett fogalmak alkalmazásával ebben a részben, [3] alapján, az modelljének bemutatása következik. A továbbiakban a ħ  1 választással dolgozunk.

egyik legegyszerőbb és egyben legfontosabb rendszer, a kétállapotú kvantumrendszer

8

A kétállapotú kvantumrendszernek sokféle gyakorlati megvalósuláson túl – mint például az elektronspin, a foton polarizációja, atomok alap és gerjesztett állapota – ill. éppen azoknak köszönhetıen, kitüntetett szerepe van: ez a kvantuminformáció alapegysége, az ún. kvantumbit, röviden qubit. Tekinthetı absztrakt rendszernek is, mert a különbözı kétállapotú rendszerek matematikai modellje azonos: a rendszerek állapottere és fizikai mennyiségei unitér izomorfak, ami teljesül továbbá a zárt kétállapotú rendszerek mozgásegyenleteire is. Így tetszıleges kétállapotú kvantumrendszert „kvázispin”-ként kezelve az elektronspin matematikai eszköztára mindig alkalmazható. Az állapot és annak Bloch-reprezentációja

Az 1-bites rendszer állapottere a kétdimenziós komplex Hilbert-tér:   2 d ℋ   . Tetszıleges ortogonális bázisban |e és |f bázisvektorokkal egy tiszta állapot a |e | 

|f |  1 mellett e |e  f |f alakban áll elı. Ezek az [ Kg alakú komplex fázisfaktor

erejéig határozatlan tiszta állapotok bijektíven leképezhetık az egységsugarú ún. Blochpolarizációs vektor megadható három komponensével h  1h , h , hi 2 alakban. A hi

gömb felületére. Az elektronspin fizikai mennyiség kétszeresét polarizációnak nevezzük. A

komponens sajátvektorainak bázisában reprezentálva a három komponens a három Paulimátrix: |e  j1k , |f  j0k ; 0 1

h  j

0 1

1 0 k , h  j 0 a

`a 1 0 k , hi  j k 0 0 `1

(1.10)

Ebben a 1h , h , hi 2 ortogonális bázisban kifejtve tetszıleges kétállapotú rendszer

sőrőségmátrixa felírható az ún. Bloch-vektorral (l. pl. [5]) parametrizált alakban: 1 1 1  Wn   O.!  Whl  m 2 2 Wo  aWp

Wo ` aWp q, 1 ` Wn

W  OWo , Wp , Wn l  ri

(1.11)

ahol 9W9 s 1, és ami 9W9 t 1 esetben kevert, míg 9W9  1 esetben tiszta állapotot ír le. A

Bloch-vektor 3 komponense fizikai mennyiség, melyeket megmérve az ismeretlen állapot meghatározható:

W  h  1h2

(1.12)

A z-irányú bázis helyett egy tetszıleges n-irányú |Le, |L f bázis választása a Bloch-gömbi

koordináta-rendszer forgatással történı transzformációját jelenti, ami megfeleltethetı a h

bázis-operátorok egy unitér transzformációjának:

9

1u, v, w2 3 1u x , v x , w x 2 y hK 3 hK x  UhK U 4

(1.13)

Ekkor az (1.1) kifejtés alapján: hNz{  |L eL e| ` |L fL f| . Fizikai mennyiségek, kompatibilitás

A fizikai mennyiségek felírhatók a következı alakban: !  ! 4  (| .!  (h, (|  r, ( 

ri .

Ezt

felhasználva

két

fizikai

kommutátorát:

mennyiség

kompatibilitásához

tekintsük

" ! , #$%  2a1( E }2h

ezek

(1.14)

A dinamikai egyenletek

Az ~ külsı mágneses tér vektorral (az elektron spin-giromágneses együtthatóját a mágneses

tér értékébe skálázva), a két-állapotú rendszerek Hamilton-mátrixának általános alakja

megadható, ezzel pedig a zárt rendszerre az (1.7) Neumann-egyenlet illetve az ebbıl a (1.11)-et és (1.13)-t felhasználva az ekvivalens Bloch-vektor mozgásegyenlet is megkapható:

1 V  ~h d X 2

 a W  ` ~"h, % + ~EW  2 

(1.15)

1.1.3 Kvantummőveletek Megvalósítható kvantummőveletek Kraus-reprezentációja  3 x . Minden kvantummőveletre igaz, hogy a rendszer állapotának lineáris Egy kvantumállapotból egy új állapotot létrehozó leképezést kvantummőveletnek nevezünk:

transzformációját valósítja meg: 1~   ~  2  ~   ~  , vagyis két

alapsokaság keverékén végrehajtott mővelet ugyanazt eredményezi, mint a mővelet

az egyik részrendszerre hatnak:  3 1 €  2 . Lokális mőveletek az összetett

elvégzése után történı összekeverésük. Lokális mőveletnek nevezzük azokat, melyek csak

rendszer állapotában eredetileg nem létezı összefonódást nem hozhatnak létre.

Egy  lineáris mővelet pozitív, ha tetszıleges ℋ feletti  sőrőségmátrixra hattatva teljesül, hogy  G 0, és 12 s 1. Amennyiben a rendszert és környezetét a ℋ € ℋbö‚Np

Hilbert-tér feletti ^ƒB„ƒ] írja le, akkor az  pozitív lineáris leképezést teljesen pozitívnak nevezzük, ha 1 € T2^ƒB„ƒ] G 0 teljesül tetszıleges ℋbö‚Np esetén, vagyis ha  triviális 10

mőveletek alkotják a megvalósítható kvantummőveletek osztályát. Egy  teljesen pozitív

kiterjesztése bármely összetett kvantumrendszerre szintén pozitív leképezés. Ezek a

VN  … VN4 , ahol ∑N … VN4 … VN s 1 – illetve a Kraus-alakban segítségével fejtjük ki:   ∑N … leképezésnek mindig létezik Kraus-reprezentációja, amiben azt az ún. Kraus-mátrixok VN Krausfelírható leképezések mindig teljesen pozitívak. Ugyanakkor adott  esetén az …

mátrixok megválasztása nem egyértelmő.

A kvantummőveleteket szokás még kvantumcsatornáknak vagy kvantumgépeknek is nevezni. Redukált dinamika, a mérés fogalom kiterjesztése A kvantummőveletek alapvetı két csoportja a visszafordítható és az irreverzíbilis mőveletek. Egy reverzíbilis, unitér transzformáció koherens kvantummőveletet jelent, eredetileg ismeretlen állapotról nem ad információt. Viszont egy mővelet eredményeként létrejött állapotról információt nyerve az eredeti kvantumállapot szükségszerően dekoherenciát szenved, tehát a mérések tipikusan irreverzíbilis kvantummőveletek. A különbözı

mőveletek

tetszıleges

sorrendő

kombinációinak

eredménye

újabb

kvantummővelet. Minden trace-tartó kvantummővelet hatása létrehozható oly módon, hogy egy zárt, de összetett rendszer állapotának unitér transzformációja után a vizsgált részrendszer ún. redukált dinamikáját vizsgáljuk:

V 1 € bö‚Np 2U V4%   x  bö‚Np "U

(1.16)

Ez általában nem unitér transzformáció, és ugyanazon kvantummővelet különbözı környezetek ill. különbözı unitér operátorok hatásaként is elıállhat. Így tehát egy nem monitorozható környezettel való kölcsönhatás szerint fejlıdı részrendszer dinamikája általában irreverzíbilis – annak ellenére, hogy a teljes rendszer dinamikáját az (1.7) Neumann-egyenlet írja le. A trace-csökkentı mőveletekhez a megfelelı környezeten keresztül szelektív indirekt mérést kell végezni: a környezeten végrehajtott mérés visszahat a részrendszerre, aminek redukált dinamikáját figyeljük. Mőveletek kvantumbiteken A kvantumbiten ható unitér transzformáció hatása a Bloch-gömbbeli reprezentációban megfeleltethetı a polarizációs vektor forgatásának. Ennek megfelelıen egy unitér mőveletet 11

reprezentáló, kvantumbiten ható 2 E 2-es mátrix általános alakja egy komplex fázistól V 1Š{2 M [ RA‹Œ  .! cos ‹ ` a ‹Œ sin ‹ , ahol (Š  Š[2  ri a eltekintve a következı: U \



‹



V 1Š29L〉  9’$ R 1Š2L〉 , és U V 1Š2hU V 4 1Š2  ’$ 1Š2h . dimenziós forgatásának felel meg: U

forgatás vektora. Ennek hatása a térbeli polarizáció vektor Bloch-gömbben történı három-

Az egyszerő bitekhez képest, a szuperponált állapotok révén, qubitek esetén az állapotok transzformációiból létrehozható logikai mőveletek bonyolultabb egységeken hatnak, s az algoritmusok elérhetı komplexitása, hatékonysága is magasabb szintő. Ezen lehetıségeknek a megjelenése új kutatási területként életre hívta a kvantuminformáció-elmélet tudományát. Az ezelıtt elérhetetlen hatékonyságú algoritmusok gyakorlati megvalósítását nagy érdeklıdés követi, sikerük esetén forradalmi változás várható. Ennek egyik legnagyobb akadályát éppen a tökéletes elszigetelésnek megoldhatatlansága jelenti, ami a nyílt kvantumrendszerek dinamikáját gyakorlati szempontból elhanyagolhatatlan szereppel tünteti ki.

12

1.2 Az ütközés-modellek áttekintése 1.2.1 Motiváció és a diszkrét idejő alapmodell Az úgynevezett ütközés-modell egy nyílt rendszer idıfejlıdését olyan kölcsönhatások sorozatának eredményeként modellezi, amelyekben az környezetének elemeivel hat kölcsön [1][6][7][8]. Az akár egyszerősített kölcsönhatási szabályokkal felépített modellek dinamikai egyenletei megmutathatják bonyolultabb rendszerek nem triviális tulajdonságait kiváltó mechanizmusok megjelenésének feltételeit, okait. Ilyen modell kiindulhat egészen egyszerő, néhány elemő kvantumrendszerbıl, míg más esetekben a modell komplex rendszerek mechanizmusainak, mint például a Brown-mozgásnak vagy sok egyforma egység ütközés-modelljeként a Boltzmann-gáznak absztrakt leírását adhatja. Az egyszeri kölcsönhatásban résztvevı rendszerek száma alapján megkülönböztetünk két-, három-, stb. részecskés ütközéseket, különbözı feltételekkel élhetünk az ütközés idıtartamára, illetve beszélhetünk lágy vagy kemény ütközésrıl, annak függvényében, milyen mértékő változást hozott létre a kölcsönható rendszerek állapotában. A vizsgált rendszer idıfejlıdésének leírásához az 1.1.3 részben ismertetett redukált dinamikai kép alkalmazható, a dinamikát egy ütközési kvantumcsatorna határozza meg. A konkrét keretek közé szorított, de még általános modell egy determinisztikus sémát épít készíthetı). A teljes zárt összetett rendszert az “ nyílt rendszer és az ıt körülvevı ’

fel, melyet most kvantumbitek esetén tárgyalunk (quditek esetén is analóg modell

reservoir alkotják, melyeknek kezdetben szorzat alakban felírható állapotát tételezzük fel: 1|2  ” ? • . Legyen “ egyetlen qubit,   0 kezdeti idıpontban ismeretlen 1|2

1|2

állapotban. A reservoir – azonos qubitbıl áll, kezdetben mind adott —! állapotban van,

1|2 vagyis —!b  —! , ˜H  1,2, … , –, és •  —! €™ . Minden lépés egy idıben lokalizált

Minden ütközés kétrészecskés, azaz a kölcsönhatási kvantumcsatorna egy  ? fölött

kölcsönhatás, így a diszkretizált idı szerepét az ütközések számának növekedése tölti be. V unitér operátor. A teljes rendszer idıfejlıdése unitér, így a kezdetben az ismeretlen ható U

közötti korrelációkba íródik át. Az absztrakt szabályok szerint “ a reservoir minden rendszerállapotba kódolt információ nem vész el, legfeljebb a kölcsönható részecskék

elemével legfeljebb egyszer hat kölcsön, és ’ elemei nem ütköznek egymással – így a

modell egy nagy és ritka tartályt ír le.

13

Ez ugyanolyan gépek egymásutáni alkalmazását jelenti. Ekkor a H. kölcsönhatást leíró

Vb F U V € 1?„šb .!„ 2. Így az H. lépés (H  1, … , –) után a rendszernek, ill. ezzel lesz: U

unitér operátor, mely a teljes rendszeren hat, de lokálisan fejti ki hatását, a következı alakú párhuzamosan a környezet H. elemének a kölcsönhatás utáni állapota: ”

1b2

Vb … U V ›”1|2 € —! €™ œU V4 … U Vb4 k , —!bx  ” jU V ”1bR2 € —! U V4k  • jU

(1.16)

1. ábra Ütközéses környezeti csatolás [8]

Fontos, nem triviális jelenség, hogy unitér kölcsönhatásokon keresztül fejlıdı rendszer dinamikája is irreverzíbilissé válhat. Erre példa a kvantumhomogenizáció folyamata [8][9]. Az ütközési operátor megfelelı választása magán a kölcsönhatáson keresztül kialakuló dekoherenciát írhat le, melynek inherens következménye lesz az irreverzibilitás megjelenése. A központi qubit állapotának ilyen ütközési mechanizmus által hajtott dinamikáját mester egyenlettel csak akkor lehet leírni, ha valamilyen módon egy már folytonos idıfejlıdési határesetet tekintünk. 1.2.2 Diszkrét kvantum dinamikai félcsoport Fenomenologikus félcsoport-tulajdonság posztulátuma [10] A klasszikus nyílt rendszerek dinamikájában megjelenik az irreverzibilitás: a rendszer belsı dinamikáját környezeti kölcsönhatással kiegészítve a rendszer olyan állapotba jut, amely már a környezet kezdeti állapotának paraméterei által is meghatározott. Ez a megfigyelések során észlelt, nem unitér fejlıdés egy dinamikai posztulátum bevezetésével vehetı figyelembe. Az idıben fejlıdı állapotok leírásában a dinamikai kvantummőveletek formalizmusát is használjuk. A nyílt rendszer adott kezdeti ”

1|2

állapotából  idı alatt a ” állapotba kerül. 1^2

A tetszıleges fix  idı alatti állapotváltozást leíró ^ transzformáció olyan, hogy a rendszer lehetséges állapotainak halmazán, ž1ℋ2-n hat. Ekkor ^ F ž1ℋ2 3 ž1ℋ2 olyan ún.

létrejöhet – és fordítva. A  paraméter változását megengedve dinamikai kvantummőveletek

dinamikai kvantummőveletet ír le, melynek során tiszta állapotból akár kevert állapot is

14

egy egy-paraméteres csoportját kapjuk, ami tehát a rendszer teljes jövıjét írja le, és   0 -

ban az identitás operátorral egyenlı. A következı sematikus ábra ezen ” 3 ” változás 1|2

1^2

redukált dinamikai képét a dinamikai kvantummőveletek formalizmusával veti össze:

2. ábra Redukált dinamika és dinamikai kvantummőveletek kapcsolata [10]

Innen leolvasható ^ definíciója, mely tehát a következı:

1|2 1^2 1|2 V 1, 02j”1|2 ?•1|2 kU V 4 1, 02   ” 3 ”  ^ ” M • ŸU

(1.17)

A ún. markovi határesetben a környezet korrelációs függvényeinek lecsengését jellemzı karakterisztikus idık jóval kisebbek, mint a rendszer redukált dinamikáját jellemzı karakterisztikus idı, vagyis hosszú távú memória nélküli reservoirba helyezett, nyílt rendszer redukált dinamikáját vizsgáljuk. Ekkor a megfigyelhetı irreverzibilitás az idıfejlıdés operátorok félcsoport tulajdonságában mutatkozik meg, amely struktúrában az

^ R inverzelem nem létezik: ^¡]  ^ ] , ˜ , W G 0, és lim^3|£ ^  ¤. Amennyiben

az inverzelem matematikai értelemben esetleg létezı leképezés, akkor sem megvalósítható kvantumfejlıdést ír le. A fizikailag megvalósuló leképezések lineáris, trace-tartó és teljesen pozitív kvantummőveletek. Az ütközés-modell által generált diszkrét dinamikai félcsoport [6] V unitér operátor hozza létre az egyszeri  leképezést. Így ebben a modellben a leíró U

Az 1.2.1 részben bemutatott determinisztikus ütközés-modellben szereplı, egyszeri ütközést diszkrét idıfejlıdést  hatványai írják le:  b , ahol H  1, 2, … az ütközések sorszáma. Így

bevezethetjük az b F  b sorozatot, ami |  ¤ -vel egy egy-paraméteres diszkrét

félcsoportot alkot:

b B  b¡B 1˜ H, C  0,1,2, … 2. A folyamatot tehát egy diszkrét

dinamikai egyenlet írja le ismert kezdeti állapottal: ”

1b2

 b j” k 1|2

(1.18)

15

1.3 A mester egyenlet bemutatása 1.3.1 A kvantummester-egyenlet standard alakja markovi határesetben kvantummester-egyenlet adja meg, melyben egy ¥ generátor szuperoperátorként az A kvantumállapot változásának dinamikáját ismert kezdeti állapot feltétele mellett egy ún. állapotok terén hatva írja le a rendszer dinamikáját 1” M 12 jelöléssel): 1^2

¦12 

¥ §12¨. A kvantum dinamikai félcsoportot generáló ©, ún. Lindblad-operátor idıfüggetlen

operátor. Ezt (1.18) egyenlettel összevetve:

¦12  ©12 d ^  [ ©^ ,

G0

(1.19)

egyenlet írható fel [12][13]. Ez az alak a ^¦ kifejtésével kapható meg [11], amely

A Lindblad-operátor legáltalánosabb alakjának behelyettesítésével ebbıl az ún. Lindbladlevezetésben a lim∆^3| 1  ∆2

 1^¡∆^2R«  1^2 « ∆^

határtérték tagonkénti vizsgálata szükséges, ahol 121,   ∆2

kvantummővelet állítja elı. Belátható, hogy a¬ℋ”  2 esetén,  kvantummővelet Kraus-

bıl

állapotot

az

(1.18)

egyenlettel

definiált

dinamikai

alakját kifejtve a (h|  .!, h , h , hi ) bázis-operátorokon, a kapott Lindblad-egyenlet

standard alakja végül mindig két részre szakad:

i

1 V , 12%  ' (K„ O2hK 12h„ ` ®h„ hK , 12¯l, ©12  1©|  ­212  `a"X 2 K,„°

(1.20)

V az ún. renormált v. ahol ©| a koherens idıfejlıdést alakítja, míg ­ az ún. disszipátor. Itt X

operátorával, és (K„ egy Hermitikus és pozitív együttható-mátrix.

effektív Hamilton-operátor, ami nem mindig azonos a szabad rendszer saját Hamilton-

A diagonizált alak egy unitér transzformációval adódik [6]: ( 3 ±(±4 , ²,,i pozitív

sajátértékekkel és a hK  ∑ib° ±bK ³b -bıl származtatott ³b Lindblad-mátrixokkal: i

1 V , 12%  ' ²b O2³$b 12³$4b ` ®³$4b ³$b 12¯l ©12  `a"X 2 b°

(1.21)

V illetve ³$b operátorok nem egyértelmőek, de A Lindblad-operátor kifejtésekor használt X

mindig lehetséges a Lindblad-operátorokat úgy megválasztani, hogy ³$b  0 teljesüljön.

16

1.3.2 Ütközés-modell és mester egyenlet kapcsolata a következı két részbıl áll. Egyrészrıl elıállítandó a ¥ generátor az  leképezésbıl:

A kétféle leírás összekötése, a [6] munkában szereplı metodikának megfelelıen formálisan ¦12  ¦^ §102¨  ¦^ ^ R §12¨

d

¥  ¦^ ^ R ,

így amennyiben a félcsoport tulajdonsággal rendelkezı leképezésnek matematikailag állítható. Másrészrıl pedig az b ´ ^ folytonos idıparaméterre történı átváltást kell

minden idıpillanatban létezik inverze, akkor egy idıfüggetlen generátor valóban elı is megoldani. Ez az b  ^µ mellett a b  HΔ feltételbıl a H ´ b /Δ áttérést jelenti. Ha

^ sorozat teljesen pozitív, és félcsoportot alkot, akkor az eredmény egy folytonos mester

egyenlet, és az általános kvantum dinamikai félcsoportok leírását lehet alkalmazni. Ha a matematikai inverzelem is létezik, akkor a mester egyenlet generátora elıállítható, és

kihasználható a Lindblad-egyenletek megoldására kidolgozott módszerek tárháza. hamiltoni idıfejlıdésébıl redukált dinamikán keresztül megkapható ^ sorozatait tekintjük, Ha a környezettel együtt alkotott zárt rendszerek folytonos, mikroszkopikus háttérének

ezek általános esetben nem teljesítik a félcsoport tulajdonságot. Ilyenkor csak további közelítésekkel élve lehet egy megfelelı mester egyenletet levezetni – ilyen közelítések

lehetnek például az átlagtér vagy a gyenge-csatolás közelítések [10]. 1.3.3 Kvantumbitek dinamikai formalizmusa [5] A kvantumbitek állapottere a három-dimenziós Bloch-gömb, az ütközések sorozatának eredménye ebben egy rendezett pontsorozatnak felel meg, amely pontok egy sima vonallal összekötve a Lindblad-generátor által vezérelt mester egyenlet szerinti idıfejlıdést adják.

Ekkor az idıfejlıdést leíró  leképezések és a megfelelı dinamikát leíró ¥ generátorok 4 E 4 -es mátrixokkal reprezentáltak, melyek az O1⁄2 , Wl alakú 4 dimenziós vektorokon

hatnak.  hatása a polarizációs vektorra egy affin transzformáció: W 3 W x  º$W  }, vagyis 1 » }

0 ¼, ahol º$ egy 3 E 3-as mátrix, és } egy eltolásvektor. A generátor elemeinek º$

hatása a következı: §¥ ¨„b  @A1h„ ¥§hb ¨2, ahol h¾ , a  0,1,2,3 a Pauli mátrixokat jelöli. Így ¥ mátrix reprezentációja hasonló, de az elsı sor eltőnik: ¥»

0 J

0 ¼. ¿$

17

így a Bloch-reprezentációban felírt egyenlet Lindblad-formájában a megfelelı („b

A generátor operátoros formában a sőrőségmátrixra az (1.20) egyenlet szerinti hatást írja le,

együttható-mátrix elemei és a Hamilton-operátor elemei a generátor mátrix elemeibıl számíthatók és fordítva.[11]

18

1.4 Kvantum-homogenizáció, kvantum-termalizáció 1.4.1 Kanonikus sokaság egyensúlyi állapota [14] Egyensúlyi állapotban a rendszert leíró sőrőségmátrix idıben állandó:

Á À« À^

 0 . Ekkor az

V , ƒÃ %  0. Így ƒÃ kifejezhetı X V függvényeként: (1.7) egyenlet szerint teljesül, hogy "X V 2, s a két mátrix egyszerre diagonizálható. X V sajátfüggvényeire X V |B   ÅB |B , ƒÃ  Ä1X

V ill. ƒÃ -re adódik, hogy: és így X

V  ' ÅB |B B | , X

ƒÃ  ' Ä 1ÅB 2|B B | .

B

B

Statisztikus fizikából ismert, hogy kanonikus sokaságot feltételezve egy nagy reservoir

elemeivel egyensúlyban lévı rendszer Å energiához tartozó állapota [ RÆÇ valószínőséggel

kerül betöltésre, ahol È M



bÉ Ê

az inverz hımérséklet paraméter. Ennek alapján termális

egyensúlyban lévı környezettel (hıtartállyal) történı kölcsönhatás esetén Ä1ÅB 2 a kanonikus

sokaságnak megfelelı eloszlás szerint választható: Ä1ÅB 2  ƒÃ

[ RÆ_V  , Ð

ƒ ËÌÍÎ Ï

, Ð F ∑B [ RÆÇÎ . Ekkor

Ð  1[ RÆ_V 2  ' [ RÆÇÎ B

Ez az egyensúlyi állapot a Gibbs-állapot (Ñ ), a Ð normáló faktor a kanonikus állapotösszeg

v. partíciós függvény. Ekkor egy ! dinamikai mennyiség várhatóértékére tehát a következı

adódik:  !  

V ^‚1Ò$ƒ ËÌÓ 2

Ï



V ∑Î ƒ ËÌÓ gÎ |Ò$|gÎ 

Ï

.

V  `  Ôhi , a Neumann-egyenlet stacionárius állapota: Kvantumbitek esetén, ha X Ñ 



1 1 [ Æ֌×/  O|00|  [ RÆÖ |11|l 2Õ1ÈÔ/22 1  [ RÆÖ

V Ñ l  Ekkor az átlagos energia: Å  OX

Ö

¡ƒ ÌØ

(1.22)

.

1.4.2 Kvantumrendszerek termalizációja Egy kvantumrendszer „heat bath” reservoirral történı kölcsönhatását különbözı homogenizációs folyamatokkal modellezhetjük. A csatolás rendszer és környezete között 19

ütközéseken keresztül valósulhat meg.1 A folyamat akkor jár termalizációval, ha a elemeinek azonos állapotát, s ezzel a teljes rendszer  3 ∞ esetén homogén állapothoz tart

részrendszer állapota eredményként tetszıleges mértékben megközelítheti a környezet

– függetlenül az részrendszer kezdeti állapotától.

A homogenizációs folyamat vizsgálatára [2][6][7][8][9] munkákban, az 1.2. és 1.3. részekben írtak alapján, az ütközésekbıl származtatható folytonos idejő mester egyenlet szolgál. Ez a leírás tehát a következı részekbıl épül fel: 0. A dinamikai modell kiválasztása és a kölcsönhatási operátor azonosítása 1. Az ütközési mátrix számítása 2. A folytonos paraméterő félcsoport bevezetése 3. A mester egyenlet generátorának származtatása 4. A Lindblad-egyenlet változóinak meghatározása a generátormátrix elemeibıl 5. Az egyenlet megoldásának vizsgálata aszimptotikus esetben 6. Az adott dinamika általános tulajdonságainak vizsgálata a mester egyenlet alapján Ez a fejezet az így kapott eredményeket foglalja össze. A dinamikai modell és a kvantum-homogenizátor Az 1.2 részben ismertetett kétrészecskés ütközések dinamikai modelljébıl kiindulva, annak jelöléseit használva, a homogenizáció eredményét tekintve a megfogalmazott követelmény, hogy a folyamat során teljesüljön, hogy:

1|2 lim ” ? —! €™  —! €1™¡2

^3Ù

Ez, anélkül, hogy a hıfürdı további külsı környezethez csatolódva annak átadná a ” -rıl a

csak a  3 ∞ határesetben lehetséges.

kölcsönhatások során nyert információt, unitér kölcsönhatás sorozaton keresztül valóban Eszerint az ütközések során teljesülnie kell, hogy elég nagy H-ra bármely elem tetszıleges

mértékben megközelíti az egyensúlyi állapotot:

1|2 1|2 1b2 ^ƒB„ƒ]  ” ? —! €™ ´ ^ƒB„ƒ] ,

1b2 ™ 1^ƒB„ƒ] 2 Û —! .

1

Összetett részrendszert vizsgálva a homogenizáció különbözı típusait különböztethetjük meg attól függıen, hogy a kölcsönhatásban annak mely elemei vesznek részt, milyen szabályok alapján. Beszélhetünk pl. direkt v. közvetett homogenizációról [15] , etc…

20

Azt a koherens kvantummőveletet v. kvantumgépet, amin keresztül a rendszert a fürdıhöz csatolva a teljes rendszer homogenizálódik kvantum-homogenizátornak nevezzük. Ennek a következı tulajdonságokat kell teljesítenie: V —! ?—! U V 4 2  ” 1U V —! ?—! U V 4 2  —! . triviális homogenizáció teljesüljön: • 1U

i.

Ha a központi qubit kezdetben kanonikus állapotban volt, ne történjen semmi, azaz a

ii.

Bármilyen kezdeti állapot esetén elegendı ütközés homogenizációhoz vezessen:

iii.

A kölcsönhatás ne indukáljon nagy fluktuációt a reservoirban.

1N2  ÜN 11|2 2 ´ —! ,

˜1|2 .

Belátható, hogy ehhez jelen modellben – amikor is a fürdıt qubitek alkotják, és egy központi qubit állapotát vizsgáljuk –, az egyedi ütközések során a qubiteknek az ún. „részleges csere” vagy más néven „parciális swap” operátoron keresztül kell kölcsönhatniuk.

Hımérséklettıl

és

a

reservoir

elem

sorszámától

független

homogenizátorként tehát a következı kvantumbit csatorna hat: Ý$ 1Þ2 F IW1Þ 2.!  aWaL1Þ 2“! .

(1.23)

S$|Ψà ?|Ψá  F |Ψá ?|Ψà 

(1.24)

Itt “! a „csere” vagy „swap” operátort jelöli, amelynek hatását az ütközésben résztvevı két, ( és }, tiszta állapotban lévı qubit állapotvektorára nézve a következı egyenlet definiálja: Látható, hogy Þ 

â 

esetben )$1Þ2 éppen az “! operátorként hat. Ha ezt megengednénk, az

sérülne. További követelmény, hogy az Þ paraméter legyen kicsi, de ne zérus. A IWÞ Û 1

elsı ütközésnél termalizálódik is a központi qubit. De ezzel egy idıben a iii. feltétel

esetben a 1|2 ´ —! állapotcsere nagy számú „lágy” ütközés együttes hatásának megszorításokból Ý$ 1Þ2 paraméterére a következı követelmény adódik: Þ < H , H  ã .

eredményeként következik be – sima átmenettel, kis fluktuációk mentén. Így a â 

Ütközési mátrix számítása

A |  @A.!  Wh , —!  @A.!  h , ä F IW1Þ2 és Wä F WaL1Þ2 jelöléseket használva a )$1Þ2

operátoron keresztüli egyszeri ütközésnek  3 x  • 1)$?—! )$4 2 hatása:

x  ä  • 1?—! 2  Wä  • 1?—! 2  aä Wä • "“!1?—! 2.!4 ` .!1?—! 2“! 4 % .

Amibıl a parciális csere kvantummőveletének hatására tehát írhatjuk, hogy: 21

  WÞ 2 —$  aÞ WÞ "—$ ,  %  3 x  Þ 2 

d W 3 W x  ä  W  Wä   ` 2ä Wä 1 E W2 .

(1.25)

Ebbıl az (1.18) Ü ütközési mátrix már felírható.

Ezután elıször az ÜN L ütközéshez tartozó mátrix számítása következik hatványozással,

majd a folytonos idıparaméter bevezetése. Így kapjuk a generátort és végül a mester    10,0, n 2 alakú, vagyis —!  .!  n hi . Az így kapott eredmények formailag

egyenletet. A 2. részfeladat számításaihoz olyan speciális esetet vizsgálunk, amelyben

változatlanul

érvényesek



maradnak

általános

esetben

is

egy

koordinátarendszer

transzformációval, amihez a Bloch-gömb tengelyeinek elforgatására, vagyis a Blochtehát a központi qubit L. ütközés utáni állapota:

reprezentáció bázis-mátrixainak unitér együtt-transzformálására is szükséges lesz. Ekkor   1N2  ÜN ›.!  Whœ  .!  ›O1 ` ä N l  º$ N Wœ h .

(1.26)

Itt º$ -nak, az egyszeri ütközés 1.3.3 szerinti affin transzformációt leíró, (1.25)-bıl

származó ütközésmátrixa. Ennek hatványozása elvégezhetı a   10,0, n 2 speciális esetben.

A folytonos paraméterő félcsoport bevezetése

Az L 3

^

å

helyettesítéssel megfelelı paraméterezés egy folytonos paraméterő ütközési

mátrixra adódik:

1 0 0 0 0 ç ^ 0 Ü^  æ ̃ä è ’$ 1~å2 0 ê . 0 Aç Aç 2n 11 ` ä è 2 0 0 ä è

^í ]î Itt az ’$ operátor 2 E 2-es mátrixa egy forgatást ír le, s ~ F (ë ì ð új paraméter ïî

jelent meg.

Ezt a folytonos limest a ñ ´ 0 és Þ ´ 0 úgy, hogy közben

îA è

 HILW. határesetben

kapjuk. Ezen feltételek biztosítják, hogy a kvantumgép limesbeli, infinitezimálisan kis mértékő hatásának homogenizáló jellege változatlan maradjon, s a diszkrét ugrásokból annak megfelelı folytonos állapotváltozást hozzunk létre. A továbbiakban erre a határátmenetre az „infinitezimális homogenizátor”-ként utalunk. 22

A megfelelı mester egyenlet generátorának egyszerő alakja a következı paraméterezéssel

adódik, Ω F ~ñ R , [ Ró@ ô F ä è és [ RóA ô F ̃ä è . Illetve legyen ºR F Γ  ` CLä a Aç

ç

 å

fázisfluktuációs ráta és ºR F Γ  ` CL"ä 1ä   4Wä  n 2|.ö % a disszipációs ráta. A  å

kapott generátor idıfüggetlen, ami a félcsoport tulajdonság egyik jele: ¥  ܦ^ ÜR ^

0 0 0 0 0 `Γ `Ω 0 ÷ 0 ø `Ω `Γ 0 `2n Γ 0 0 `Γ

Így tehát a kvantumbitek homogenizációját leíró mester egyenlet alakja és a Lindbladegyenlet összevonások utáni alakja: ¦^  `a

Ω ù 2Γ ` Γ §hi , ^ ¨  1h h  h h ` 22  1hi hi ` 2 ` 2 4 4

`an Γ 1h h ` h h  ahi  ahi 2 .

(1.27)

Ezt a formát a   10,0, n 2 esetre kaptuk. Ebbıl általános esetben érvényes leíráshoz az

inverz koordináta-transzformációt még végre kell hajtani. Vagy a bázis operátorokat kell

elforgatni, és ez esetben a Lindblad-egyenlet együtthatói változatlanok maradnak, vagy az alap bázis-operátorokhoz kell transzformálni az együtthatókat. Az így kapott mester egyenlettel leírt dinamikát két konkrét kezdetifeltétel és környezeti Bloch-vektor esetén a Bloch-gömbbeli trajektóriával szemlélteti a következı ábra.

3. ábra Kvantumbit idıfejlıdése homogenizáció során [6]

23

2 A randomizált ütközésmodell 2.1 Motiváció, a randomizált ütközésmodell ismertetése A 1. részben ismertetett dinamikai modellben az ütközések hajtotta központi kvantumbit állapottérbeli trajektóriája folytonos, így differenciálegyenlettel jellemezhetı az idıbeli fejlıdés, amit egy Lindblad-egyenlet alakjában fel lehet írni. Ehhez arra volt szükség, hogy olyan

határesetet

vizsgáljunk,

ahol

az

infinitezimálisan

gyenge

ütközésekbıl

infinitezimálisan rövid idıközönként folytonosan hatás éri a központi rendszert. A dolgozatban ebbıl az eredménybıl kiindulva a központi kvantumbit egy másik dinamikai modell során kialakuló idıfejlıdését vizsgáljuk. A valóságban zajló eseményeket jobban modellezı képet feltételezve, az egymásutáni ütközések idıpontjaiban egy véletlenszerőséget feltételezünk. Ehhez az ütközések bekövetkezését idıben egy Poisson-folyamatként modellezzük, ami így egy folytonos idejő száma adott  idıpontig Poisson-eloszlást követ (l. pl. [16]).

Markov-folyamatnak felel meg, egymástól független ütközésekbıl felépítve, melyeknek a Az ütközéseket megtartjuk továbbra is a részleges csere )$1Þ2 operátora által indukált

ugrásoknak, ugyanakkor az ütközés erısségét meghatározó Þ paraméter változtatásával nem

megengedett Þ-nak megfelelı mértékő ugrásokat elıidézhetnek, de az egyszer kiválasztott Þ

feltétlenül infinitezimális ugrások határesetét vizsgáljuk. Így az ütközések tetszıleges

Amíg a 0 közeli értékeknél maradunk, a homogenizálódás 3. feltétele, miszerint az

értékkel a vizsgált trajektória mentén már változatlan erısségő ütközések hatását tekintjük.

ütközések során csak kis fluktuációk generálódjanak a környezetben, megtartható marad.

Az eredeti modellt általánosítva megvizsgáljuk azt az esetet, amikor a központi rendszer két ütközés közötti unitér idıfejlıdés szerinti trajektórián halad, amit annak idıben állandó Hamilton-operátora határoz meg. Egy fizikai képben ezt tekinthetjük a központi kvantumbiten ható külsı tér hatásának is. Ezekbıl a feltételekbıl kiindulva egy egyedi trajektóriát vizsgálva egy minden idıpontban értelmezett, de nem folytonos útvonalat kapunk az állapottérben. Ez az idıfejlıdés nem differenciálható. Mivel azonban egy mester egyenletet szeretnénk felírni, célunk az egyedi trajektória helyett a központi rendszer átlagos idıfejlıdésnek a vizsgálata. Az így kapott

24

differenciálegyenletet különbözı reprezentációkban felírva a már ismert dinamikákkal is összevethetı lesz az eredmény. Az új modell alapvetı különbsége, hogy az átlagosan viselkedı központi rendszer mozgásegyenletében szereplı idıparaméter folytonosságát nem valamilyen határeset adja, hanem kiindulásként feltesszük, hogy a kvantumbitek állapota folytonos idıparaméter minden értékére ismert hatás eredményeként alakul. Elsı lépésben azonban az általános modellhez képest egy megszorítással élünk, és ezúttal a külsı tér hatását egyelıre még zérusnak feltételezzük. Ekkor egy statisztikai levezetéssel a Poisson-folyamat randomizált ütközéseinek átlagos hatását tekintve a központi kvantumbit mindenkori állapotának átlagos trajektória-egyenlete levezetésre kerül. Ennek megfelelıen tehát a dolgozat felépítése a következıképpen alakul: -

Poisson-folyamat átlagos trajektóriája mint diszkrét ütközések együttes hatása

-

az állapot átlagos változásának differenciálos alakban történı felírása

-

mester egyenlet felírása az átlagos sőrőségmátrixra vonatkozóan

-

a kapott differenciál-egyenlet transzformálása Bloch-reprezentációba

-

az átlagos központi kvantumbit állapottérbeli trajektória-egyenlete

-

a kapott mester egyenlet Lindblad-alakja

-

összevetés a minimális relaxációs egyenlettel

25

2.2 Randomizált trajektória modell átlagos mozgásegyenlete

A sorozatos ütközések kumulatív hatását leíró O1|2 , 12 , … , 1™2 l vektorból idıtıl függı

lineáris transzformációval elıállítható 12, a randomizált ütközésmodell átlagos

trajektóriája. Itt 1b2 a központi kvantumbit H. ütközés utáni redukált dinamikai sőrőségmátrixa, aminek a Bloch-féle reprezentációban felírt konkrét formáját ismerjük.

Mivel Poisson-folyamatot feltételezve randomizáltuk a diszkrét ütközések absztrakt sorozatát, az átlagos idıfejlıdésre a következı valószínőségek szerinti átlagolt alakot írhatjuk fel (1.26) egyenletet felhasználva: Ù

12  ' 0b 121b2 , b°|

ahol 0b 12  [ és

Rú^

1û2b , H!

b  1b2   b O1|2 l  .!  j›1 ` Oä l œ   º$ b | k h ,

ýb IW1H~2 b º$ b  æ`ý WaL1H~2 0

ýb WaL1H~2 ýb IW1H~2 0

2n Wä ~ F (ë » ¼, ä

0 0

Oä l

| 

 b

W| , 2

ê,



Így behelyettesítés után egy 4-tagú összegre bomlik a sor: [

Rú^

Ù

'

b°|

Ù

[ Rú^ '

b°|

ý  ä þOä   4n  Wä  l, 1 10,0, ën 2 . 2

1û2b [ ú^  .!  [ Rú^ .!  .! 2H! 2

1û2b h  [ Rú^ [ ú^ h  h H!

Oûä l A A Rú^ `[ ' h  `[ Rú^ [ ïî ú^ h  `[ ]î ú^ h H! Ù

Ù

[ Rú^ '

b°|

b°|

b

1û2b b Oº$ | l h  S H!

26

Itt a sorban szereplı mátrixot elemenként összegezve hattatjuk majd egy vektorra: b  ' 1û2 ýb IW1H~2 H!  b°|  Ù 1û2b b  ý WaL1H~2  [ Rú^ ` ' H!  b°|   0


1û2b b ' ý WaL1H~2 H!

Ù

[

Rú^

Ù

b°| Ù

'

b°|

[

1û2b b ý IW1H~2 H! 0

1û2b b 1ýû2b [ Kb  [ RKb ' ý IW1H~2  [ Rú^ ' » ¼ H! H! 2 Ù

b°|

Ù

[ 

Rú^

     0  |  h   Ù b   1û2 b ' Oä  l  H! 

b°| 0

Rú^

b°|

Ù

Oýû[ K l Oýû[ RK l 1 '   H! H! 2

[ ú^OÃ

b

b°|

\ Rl

 [ ú^OÃ 2

Ë\ Rl

.

1û2b b 1ýû2b [ Kb ` [ RKb Rú^ ' ý WaL1H~2  [ ' » ¼ H! H! 2a Ù

b°|

b

Ù

[ 

[

Rú^

b°|

Ù

Oýû[ K l Oýû[ RK l 1 ' `  2a H! H! b°|

ú^OÃ \ Rl

ý[ K ` 1  ä þOä   4n  Wä  l IW (ë »      ä þOä  4n Wä l  

b

` [ ú^OÃ 2a

Ë\ Rl

b

.

2n Wä 2n Wä ¼  aWaL (ë » ¼ ` 1 ä ä 2n Wä ä

`1    2 W 2 W 1  ì n ä ð 1  ì n ä ð ä ä


1

a

27

2n Wä  1a Wä ä  ` 1  `Wä  a2n Wä ä  ä  »1  4n   ¼  ä  2 W   1  ì n ä ð ä




Így û  ñ R mellett bevezetjük a ² F

[

Rú^

d [ ú^OÃ

\ Rl

]î A å

és / F

 [ R^ [ Kí ^ ,

IW1/ën 2 1û2b b R^ $ ' `WaL1/ën 2 Oº | l h  [ H! b°| 0 Ù

]î ïî å

[ ú^OÃ

együtthatókat:

Ë\ Rl

WaL1/ën 2 IW1/ën 2 0

 [ R^ [ RKí ^

0 0 |  h  [ R^ ’$n | h 1

Itt megjelent ’$n forgató operátor, ami éppen a ë vektornak megfelelı z-tengely körül

forgat. Összevonás után tehát az átlagos randomizált mozgásegyenletre adódik: 12  .!  11 ` [ R^ 2h  [ R^ ’$n | h 

Visszatérve a standard Bloch-reprezentációba, ahol   átlagos mozgásegyenletére adódik:

 !¡]Œ 

, a központi Bloch-vektor

W12  ë ` [ R^ ë  [ R^ ’$n W|

(2.1)

állapotéval egyenlı, s a rendszer a relaxációs folyamat során a  3 ∞ esetben

Így a külsı tér nélküli központi kvantumbit stacionárius állapota a környezeti Gibbshomogenizálódik. A homogenizálódás folyamatának jellege is megegyezik, W a stacionárius

állapotot exponenciálisan csökkenı sugarú ív mentén, spirális pályán éri el.

A két dinamika jellegének egyezését azért kaptuk meg, mert míg az infinitezimális homogenizátor egyenlı idıközönként történı ütközések távolságát csökkentette minden határon túl, addig a randomizált modell egy Poisson-folyamat szerinti ütközéssorozat exponenciális eloszlást követ. Ennek várhatóértéke pedig éppen a Poisson-eloszlás û  ñ R

átlagos idıfejlıdését vizsgálja, melyben az ütközések közötti idıintervallum eloszlása

paraméterének inverze, azaz egy konstans szám. Vagyis a randomizált modellben szereplı átlagos

viselkedéső

kvantumbit

az

infinitezimális

homogenizátor

modelljének

megfeleltethetı egyenletes idıközönként van ütközéseknek kitéve.

28

2.3 Az átlagos idıfejlıdés differenciálos egyenlete

Az eredeti modellben a ñ 3 0 határesetet tekintettük, s ezzel az ütközések gyakoriságát minden határon túl növeltük. Ilyen infinitezimális hosszúságú idıintervallumban a Poisson-

folyamat átlagosan viselkedı központi kvantumbitje éppen az idıintervallum hosszával arányos számú ütközést szenved. Ezt kihasználva a 2.1 részben vázolt dinamikai szabályokból kiindulva, az átlagosan szeretnénk felírni. Ehhez az állapotának ∆ idın belüli változását kell meghatároznunk.

viselkedı központi kvantumbitre vonatkozó mester egyenletet differenciálos alakban

 . Mivel ez az idıben lokalizált, pillanatszerő ütközés egy még korábban nem ütköztetett

Az ütközések következtében létrejövı állapottérbeli ugrásoknak kvantumcsatornája legyen

környezeti elemmel való kölcsönhatást ír le, s továbbra is a részleges csere operátora által meghatározott, egyszeri hatását (1.25) egyenlet alapján írhatjuk:  §12¨  1  ∆2 

 Ý$ 1Þ 212Ý$ 4 1Þ 2  ä  12  Wä  —!  aä Wä "—! , 12% .

(2.2)

Legyen egy ütközésmentes ∆ idıintervallumban a rendszer állapotának változását meghatározó unitér fejlıdést leíró kvantummővelet  . Ennek hatását (1.6) alapján

írhatjuk:

 §12¨  1  ∆2 

V 1  ∆, 212U V 4 1  ∆, 2  [ RK_V∆^ 12[ K_V∆^ . U

(2.3)

Legyen 0 annak a valószínősége, hogy ∆ intervallumban van ütközés, létrejön egy ugrás, amit az (2.2) szerinti kvantummővelet eredményez. Tegyük fel, hogy ∆ olyan, hogy csak 1

ütközés történik alatta. Ekkor a pillanatszerő ütközés elıtt ∆ ideig és utána ∆ ideig a

(2.3) szerinti  unitér hatás érvényesül. Ekkor ∆  ∆  ∆, s így ∆ és ∆ is

legfeljebb  1∆2 nagyságrendbe esnek. Ennek a változásnak a kvantummőveletét jelölje  . 

Emellett 0  1 ` 0 valószínőséggel lesz a ∆ idı alatt tisztán unitér a rendszer fejlıdése.

Ezekkel a jelölésekkel a rendszer állapotának ∆ -n belüli átlagos fejlıdésére felírhatjuk, hogy:

29

  §12¨  0  §12¨  1  ∆2  0 

 0 O[ RK_V∆^A  "[ RK_V1∆^@ 2 12[ K_V1∆^@ 2 %[ K_V∆^A l  0 [ RK_V∆^ 12[ K_V∆^ .

¦ Ebbıl 12-nek függvényében a 12 idıderivált meghatározása a célunk, így a

differenciálhányados számításánál már infinitezimálisan kis  intervallumokat vizsgálunk

majd, s így az  1∆2 nagyságrendhez képest elhanyagolható tagokat már nem kell

figyelembe venni.

Ezzel az elsırendő közelítéssel ∆ alatt az unitér fejlıdés hatása:

V ∆l12O.!  aX V ∆l  12 ` a"X V , 12%∆   1∆  2  §12¨  1  ∆2  O.! ` aX

  hatása Ennek megfelelıen, mivel ∆ és ∆ is legfeljebb  1∆2 nagyságrendbe esik, 

helyettesíthetı  ütközéssével, hiszen a további korrekciós tagok a lineáris közelítésnél

már kiesnek. Ezután már feltehetjük, hogy az ugrás a  idıpontban, az vizsgált infinitezimális intervallum kezdıpontjában történik.

A 0

és 0

tulajdonságainak felhasználásával adódik, Δ-ben lineáris közelítést tekintve. Ennek alapján valószínőségek értéke a modellben feltételezett Poisson-folyamat

az intervallum hosszával. Az arányossági tényezı az eloszlás paramétere: û  ñ R . Ezzel az

adott infinitezimális intervallumon belüli ugrás bekövetkeztének valószínősége arányos lesz

elsırendő közelítéssel ∆ alatt az ugrás illetve a sima unitér fejlıdés valószínőségei rendre: 0 

Δ , ñ

0  1 ` 0  1 `

Ezt felhasználva a differenciálos alakra adódik: 1  ∆2 

Δ ñ

Δ Δ V , 12%Δl d  §12¨  ì1 ` ð O12 ` a"X ñ ñ

V , 12%Δ  1  ∆2  12 ` a"X

1  Oä    Wä  —!  aä Wä "—! , %lΔ   1∆  2 ñ

(2.4)

Ez tehát elsı rendben meghatározza az átlagos állapotváltozást rövid idı alatt.

30

2.4 A folyamatot leíró mester egyenlet meghatározása A 2.3 rész eredményét felhasználva az átlagos viselkedést leíró idıderiváltat határértékben számíthatjuk:

1  2 ` 12  ^3|  0 1 §12¨ ` 122  0 1 §12¨ ` 122  d 

¦  lim 12

¦  `a"X V , 12%  12

1  ›ä  12  Wä  —!  aä Wä "—! , 12% ` 12œ . ñ

elvégezhetjük tagonként, s a konstansokat kiemelve az egyenlet jobb oldalán is 12 3

Ha most mindkét oldal átlagát vesszük, akkor, mivel az átlagolás lineáris mővelet, ezt 12 cserével az átlagos sőrőségoperátor jelenik meg minden tagban. Ezentúl a 12 M

12 jelöléssel a randomizált modell sőrőségmátrixán az átlagosan viselkedı központi

kvantumbit sőrőségmátrixát értjük. Így:

V , 12%  ¦12  `a"X

1  ›ä  12  Wä  —!  aä Wä "—! , 12% ` 12œ , ñ

(2.5)

vagyis a hıfürdıbe helyezett központi kvantumbit idıben átlagos viselkedése a modellben feltételezett Poisson-eloszlású ütközések választásával valóban Markov-féle mester egyenlettel írható le, az átlagos sőrőségmátrix idıderiváltja mindenkor csak az adott 1  02  | .

idıpontbeli átlagos állapottól függ. Ezt egészíti ki az ismert kezdeti állapot feltétele: A (2.5) egyenlet második tagja még nem feleltethetı meg egy az egyben a (1.20) szerinti ­

disszipátor hatásának. Az egyenlet elsı, unitér fejlıdést leíró tagja ezúttal még nem a V operátor hatásával Hamilton-operátorát tartalmazza. Ezt a környezeti hatásnak a X renormált Hamilton-operátort, hanem csak tisztán a kvantumbit saját, külsı tér szerinti

megegyezı típusú részét leíró a

ïî ]î å

"—! , 12% tagjával össze kell vonni, hogy megkapjuk a

fejlıdésre jellemzı effektív, renormált Hamilton-operátort: X[ÄÄ  X `

Þ WÞ ñ

—.

31

2.5 A Bloch-vektor mozgásegyenlete V  @~h, a központi kvantumbitre és a környezeti elemekre a sőrőségmátrixokat a felírva: X A

Az (1.15)-nek megfelelıen a központi qubit Hamilton-operátorát a legáltalánosabb alakban   12  O.!  W12hl és a —!  ÑK]  ›.!  ëhœ Bloch-gömbbeli alakokban felírva, 



(2.5)-bıl behelyettesítéssel az elsı tagra adódik:

 1 W  1~ E W2h d  1~ E W2 .  2 

A második tagból kapott járulék:

.!  ëh  1  .!  Wh .!  Wh K  ä  Wä  aä Wä ›1ë E W2hœ `  d  ñ 2 2 2 W 1   › W  Wä ë ` ä Wä 1ë E W2 ` Wœ .  ñ ä

Vagyis az átlagos központi qubit Bloch-vektorának az állapottérbeli mozgásegyenletére azt kapjuk, hogy:

W ï ] ]A ]A ï ] ]A  ›~ ` îå î ëœ E W ` åî W  åî ë  ›~ ` îå î ëœ E W ` åî ›W ` ëœ 

(2.6)

Ezt ki kell még egészíteni az ismert kezdeti állapot feltételével: W1  02  W| .

A renormált Hamilton-operátorra kapott alak a h bázison kifejtve tehát a következı alakú: (A ë  0

~  F ~ `

ïî ]î ë å

Vƒ  ~ d X h 

feltétel is fizikailag értelmes speciális esetet jelent: ez éppen a

hımérséklető hıtartály elemeinek Bloch-vektora lenne.)

º0

32

2.6 Az átlagos állapottérbeli trajektória számítása

Használjuk ismét a 2.2 részben bevezetett jelöléseket: ² F ñ R Wä , / F ñ R ä Wä . Ezekkel

az (2.6)-tal meghatározott kezdetiérték-feladat egyenletrendszere a következı: W¦o  `²Wo  O~p ` /ëp lWn ` 1~n ` /ën 2Wp  ²ëo  W¦p  `²Wp  1~n ` /ën 2Wo ` 1~o ` /ëo 2Wn  ²ëp  W¦n  `²Wn  1~o ` /ëo 2Wp ` O~p ` /ëp lWo  ²ën Ezt ekvivalens módon mátrixos formában is felírhatjuk: W¦  ! W  ²ë ,

`1~n ` /ën 2 `² 1~o ` /ëo 2

`² !   1~n ` /ën 2 `O~p ` /ëp l

O~p ` /ëp l `1~o ` /ëo 2 `²

(2.7)

Elsı lépésben arra vagyunk kíváncsiak, létezik-e a felírt egyenletnek stacionárius megoldása. Ha igen, akkor a randomizált dinamika átlagos központi kvantumbitje is relaxációs folyamatban vesz részt, azzal a feltétellel is, hogy az általánosított esetben már külsı tér hatása alatt áll. 2.6.1 A stacionárius megoldás számítása

A stacionárius megoldás definíció szerint idıben állandó, így az W¦  0 eset megoldását keressük. Ezt jelölje W]^

ï

. Ekkor (2.7)-bıl a megoldandó egyenlet: 0  ! W]^

Ebbıl átrendezés után kapjuk, hogy: W]^

ï

ï

 ²ë

 `² ! R ë

(2.8)

Vagyis a stacionárius megoldás létezésének feltétele, hogy ! , vagyis a (2.7) egyenlet

együtthatómátrixa, invertálható legyen, azaz: ! ! R + [1 ! 2 < 0 + ² < 0 +

]îA å

< 0 + sin Þ < 0 + Þ < H", H  ã .

Ez már a részleges csere operátorának definíciójában feltett követelményként szerepel, így ez a fizikailag értelmes esetekben automatikusan teljesülı feltétel.

33

Vezessük be, (2.7) formájának megfeleltetve, egyszerősítésként az

`² ! Ð `#

`Ð `² $

# `$ `²

jelölést, amivel következı eredményeket kapjuk: [1 ! 2  `²1²   $   #   Ð  2, és ! R

²  $ 1  (%1 ! 2  $#  ²Ð `²1²   $   #   Ð  2 [1 ! 2 $Ð ` ²# 1

$# ` ²Ð ²   # #Ð  ²$

$Ð  ²# #Ð ` ²$ . ²   Ð

Így a stacionárius megoldás létezik, egyértelmő és zárt formulával számíthatjuk: W]^

ï

²  $ 1   $#  ²Ð 1²  $   #   Ð  2 $Ð ` ²#

$# ` ²Ð ²   # #Ð  ²$

$Ð  ²# ëo #Ð ` ²$ ëp  . ²   Ð  ën

Így tehát eredményként elmondhatjuk, hogy az infinitezimális homogenizátornak megfelelı típusú, unitér ütközések sorozatának véletlenszerően kitett központi kvantumbit átlagosan akkor is realáxációs folyamaton megy keresztül, ha két ütközés közben külsı tér hatására unitér idıfejlıdés szerint változik az állapota. Ebbıl a szempontból a két modell teljesen analóg eredményt ad. A homogenizáció feltételei külsı tér jelenlétében melyekben teljesülhet, hogy W]^

 ë adódik eredményül. Ekkor:

Ennek alapján keressük a homogenizáció feltételeit. Ehhez tekintsük azokat az eseteket, ï

0  ! ë  ²ë ,

amibıl feltételként, egyszerősítések után, a következı egyenletrendszer adódik: ~n ëp  ~p ën & ~o ën  ~n ëo  ~p ëo  ~o ëp

Ez teljesül a triviális ~  0 esetben, és általános esetben az ~  HILW · ë + ~ ( ë

állapota tetszılegesen közel kerül a  3 ∞ határesetben, nem egyenlı a hıtartály elemeinek

feltétel mellett. Minden más esetben a stacionárius állapot, amihez a központi kvantumbit

kezdeti állapotával.

környezeti rendszerek kezdeti, ë Bloch-vektorral meghatározott állapothoz, addig a Második feltétele a homogenizálódásnak, hogy míg a központi rendszer állapota tart a

34

kölcsönhatások révén a környezeti elemek állapota ne távolodjon el tıle. Ehhez paraméterével az Þ 3 0 határesetet kell feltételezni. Ilyen esetben viszont a homogenizáció

infinitezimális mértékő ütközésekre van szükség, és a parciális csere operátorának

megvalósulhat.

2.6.2 A Bloch-vektor mozgásegyenlete Az (2.7) egyenletnek megfelelı formájú inhomogén differenciálegyenlet-rendszer általános megoldását két tagú összegként állíthatjuk elı (l. pl. [17]). Jelöljük ezt így: W12  W 12  W 12

ahol W 12 az (2.7) inhomogén egyenletrendszerhez tartozó, ²ë tag nélküli, homogén

egyenletrendszernek a megoldása, míg W 12 egy partikuláris megoldása a teljes, inhomogén egyenletrendszernek. Ezt kiegészítve az ismert kezdetiérték feltételével, az inhomogén az W12 mozgásegyenletet adja majd.

egyenletrendszernek az adott kezdetiértékhez tartozó partikuláris megoldását keressük, ami

A homogén egyenletrendszer megoldásának számítása Ennek alapján elsı lépésben a homogén egyenletrendszert oldjuk meg: W¦ 12  ! W 12

(2.9)

Az W 12 megoldás alakját felhasználva lehet majd második lépésben az inhomogén

egyenletrendszer adott W| kezdetiértékhez tartozó partikuláris megoldását számítani. Ez az,

amit keresünk. Ismert, hogy a (2.9) alakú kezdetiérték-problémát leíró differenciálegyenletrendszernek létezik megoldása, és az egyértelmő is: W 12  [ ^Ò$ W|

(2.10)

A mátrix-exponenciális hatásának vizsgálatához felhasználjuk, hogy az ! mátrixot két részre lehet bontani:

!  `².!  ! x

ahol ! x egy tisztán antiszimmetrikus mátrix lesz, ami éppen a J F 1$, #, Ð2 vektorral

történı vektoriális szorzás operátorának mátrix-reprezentációja. Ekkor – mivel "`².!, ! x % 

0 teljesül – a (2.10) egyenletben szereplı mátrix-exponenciálist szorzattá lehet alakítani. 35

Ezután az antiszimmetrikus mátrix exponenciálisát kifejtve konkrét alakra hozható lesz az eredmény:

[ ^Ò$ W|  [ ^1R!¡Ò$ 2 W|  O[ R^ · .! · [ ^Ò$ lW|  "[ R^ · [ ^Ò$ % W| . )

)

)

* A  ! x valós, antiszimmetrikus mátrix esetében, › œ F $   #   Ð  ^ 

bevezetésével

(+  J, J  9J9) a következı, könnyen belátható azonosság ismert: ) [ ^Ò$  .! 

WaL + x 1 ` IW +  !  O ! x l   + +

WaL J x 1 ` IW J x  !   .!  O!l , J J

(2.11)

ami egy J körüli forgatásnak felel meg. w-irányú ë vektor esetén ~  0 mellett éppen a

(2.1)-ben szereplı ’$n (/ën ) forgatás 3-dimenziós verzióját kapjuk: [

^Ò$)

WaL1`/ën 2 0 ! . `/ën `/ën 0 IW1/ën 2  ` WaL1/ën 2 0

/ën 0 0

WaL1/ën 2 IW1/ën 2 0

 0 1 ` IW1`/ën 2 `1/ën 2  0  0 1/ën 2 0 0

0 0 . 1

0 `1/ën 2 0

0 0 0

amplitúdó egy rotációs pálya mentén halad.  3 ∞ esetben tehát ez a tag nullához relaxál Vagyis a homogén egyenletrendszer megoldásában egy idıben exponenciálisan lecsengı 

Ê

F ² relaxációs állandó szerint:

^

W 12  [ RÊ · O[ ^Ò$ W| l . )

(2.12)

Az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának számítása Az inhomogén

W¦ 12  ! W 12  ²ë

egyenlet megoldását W 12 (2.12) szerinti alakjának ismeretében az állandók variálásának módszerével (l. pl. [17])

[ ^Ò$ · J12

alakban lehet keresni. Ekkor deriválás és

behelyettesítés után adódik, hogy

36

W¦ 12  ! [ ^Ò$ · J12  [ ^Ò$ · J x 12  ! [ ^Ò$ · J12  ²ë

vagyis:

J x 12  O[ ^Ò$ l

[ ^Ò$ · J x 12  ²ë  HILW.

R

· ²ë d

^

J12  , [ R^ Ò$  x · ²ë   |

)

Ezt visszaírva megkapjuk a kezdetiérték-problémának megfelelı partikuláris megoldást: ^

W 12  [ ^Ò$ -, [ R^ Ò$  x · ²ë  .  [ ^Ò$ "` ! R · [ R^ Ò$ %| · ²ë  [ ^Ò$   |

)

^

)

 `[ ^Ò$ ! R "[ R^Ò$ ` .!%²ë  [ ^Ò$ W| .

A keresett mozgásegyenlet tehát három tagból áll:

W12  `[ ^Ò$ ! R [ R^Ò$ ²ë  [ ^Ò$ ! R · ²ë  [ ^Ò$ W|

(2.13)

A mozgásegyenlet tagonkénti diszkussziója `[ ^Ò$ ! R [ R^Ò$ · ²ë  ?

[ ^Ò$  aW¬[ és ! R  aW¬[, amibıl "[ ^Ò$ , ! R %  0 belátható, így:

`[ ^Ò$ ! R [ R^Ò$ · ²ë  ` ! R [ ^Ò$ [ R^Ò$ · ²ë  `² ! R ë  W]^

ï

Ez tehát egy konstans vektor, éppen a stacionárius megoldás. [ ^Ò$ ! R · ²ë  ? Itt megjelenik a stacioner megoldás ellentettje. Ezt felhasználva: `[ ^Ò$ W]^

ï

 `[ ^1R!¡Ò$ 2 W]^ )

ï

^

 `[ RÊ · O[ ^Ò$ W]^ ï l )

a stacioner megoldás ellentettjének:  3 ∞ mellett exponenciálisan lecseng, amit szintén a

Ez a tag tehát egy olyan járulék, amibıl egy idıben lecsengı amplitúdójú forgatását kapjuk

º  ² R karakterisztikus idı jellemez.

37

[ ^Ò$ W| ? Az (2.10) egyenlet megoldásánál is használt kifejtéssel: ^

[ ^1R!¡Ò$ 2 W|  [ RÊ O[ ^Ò$ W| l . )

)

Ez a tag tehát miközben forgatja a kezdeti állapot Bloch-vektorát, annak nagyságát exponenciálisan csökkenti. Vagyis a kezdetiérték-feladat keresett megoldása, a Bloch-vektor mozgásegyenlete: ^

^

W12  W]^ ï `[ RÊ · O[ ^Ò$ W]^ ï l  [ RÊ 1[ ^Ò$ W| 2 . határesetben az W]^

)

)

(2.14)

Ez a mozgásegyenlet tehát egy relaxációs egyenlet, mely összességében a ï

3∞

stacionárius megoldás állapotához konvergál exponenciális

lecsengéssel. A homogenizálódás egyenletével teljesen analóg, de azzal az esettel szemben, amikor a stacionárius állapot a forgató operátor fixpontja, és [ ^Ò$ W]^ )

ï

 W]^

ï

teljesül, itt a

forgatás a második tagot is transzformálja. Tetszıleges kezdetiérték illetve külsı tér esetén fennáll a relaxáció létrejötte, de a stacionárius állapot nem feltétlenül esik egybe a Gibbsállapottal. állandó ë Bloch-vektorral rendelkezik. Ennek megfelelıen az eredmény bármilyen

(A levezetésben a Gibbs-állapotnak csak azt a tulajdonsága került kihasználásra, hogy

mesterségesen választott állandó állapottal rendelkezı elemekbıl álló, absztrakt tartályra hasonló alakú lesz.) 2.6.3 A Bloch-vektor mozgásegyenletének grafikus szimulációja Ebben a részben az állapottéren befutott átlagos trajektóriának paraméterfüggését grafikus szimulációs program segítségével mutatjuk be.

A feladathoz egy numerikus ábrázoló

program készült, mely a (2.14) mozgásegyenlet szerint, adott paraméterekhez tartozó trajektóriákat rajzol a Bloch-gömbben. A program leírása az F.1 Függelékben található, a fejezetben a program által készített pályaszimulációk pillanatképei szerepelnek. Tekintsük a 3. ábrán szereplı két különbözı Bloch-vektorú környezeti elemekkel kölcsönható központi kvantumbit esetét. Az ezen szereplı grafikonoknak megfelelı feltételekhez képest a randomizált modell paramétereinek a hatását vesszük sorra. 38

sarokban mindig a 1`1, `12 koordináta értékkel. A piros szín az W| kezdeti Bloch-vektort, a Az ábrákon az egységsugarú Bloch-gömb 3 merıleges síkra vett vetülete látszik, bal alsó

zöld a stacionárius állapot Bloch-vektorát, s a kék az W12 trajektóriát jelzi, ami  3 ∞

mellett rásimul a stacionárius állapotra.

Elsıként tehát az W|  10,1,02, ë  10,0,02 teljesen kevert környezeti állapot és a zérus

külsı tér, ~  10,0,02, esetét tekintjük, ami a 3. ábrának megfelelı 1. eset szerinti tengely menti mozgást eredményezi.

Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,0,02 F

4. ábra Bloch-vektor trajektória 1

Nem zérus, de ë -vel még párhuzamos ~ vektorral (mivel ë az origóban van ezért ez

tetszıleges lehet), változatlan további paraméterek mellett a pálya már kilép a síkba, és lecsengı amplitúdójú, spirálozó relaxációval tart a változatlan stacionárius állapotba:

W|  10,1,02, ë  10,0,02, ~  10,0,12, Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,0,02:

5. ábra Bloch-vektor trajektória 2

Ezt az u ` v síkbeli spirális pályát változatlan körülmények között az

Þ

és ñ

paraméterekkel lehet „hangolni”. Az kemény ütközéseknek megfelelı nagyobb WaL 1Þ2

értékek rövidebb utat, míg a nagyobb ñ paraméter a ritkább ütközések révén elnyúlt relaxációs pályát eredményeznek:

W|  10,1,02, ë  10,0,02, ~  10,0,12, Þ  90° , ñ  1, W]^

ï

 10,0,02 F

39

6. ábra Bloch-vektor trajektória 3

W|  10,1,02, ë  10,0,02, ~  10,0,12, Þ  30° , ñ  3, W]^

ï

 10,0,02 F

7. ábra Bloch-vektor trajektória 4

A 3. ábrának megfelelı 2. esetben 2ë2 < 0, s az átlagos trajektória hasonló esetekben már

kilép a síkból:

W|  10,1,02, ë  10,0,12, ~  10,0,02, Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,0,12 F

8. ábra Bloch-vektor trajektória 5

Már nem zérus, de ë-vel még párhuzamos ~ mellett a stacionárius állapot változatlan: W|  10,1,02, ë  10,0,12, ~  10,0,12, Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,0,12 F

9. ábra Bloch-vektor trajektória 6

40

Erısebb és ellentétes irányú ~ térvektor megint más pályát eredményez: W|  10,1,02, ë  10,0,12, ~  10,0, `52, Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,0,12 F

10. ábra Bloch-vektor trajektória 7

A nem homogenizáló, ë irányától eltérı ~ esetében már a sárga színnel jelölt ë vektorral a

stacionárius állapot vektorának sem iránya, sem nagysága nem esik feltétlenül egybe: W|  10,1,02, ë  10,0,12, ~  11,1,12, Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,34; 0,13; 0,162:

11. ábra Bloch-vektor trajektória 8

W|  10,1,02, ë  10,0,12, ~  11,2,02, Þ  30° , ñ  1, W]^

ï

 10,01; `0,21; 0,052:

12. ábra Bloch-vektor trajektória 9

41

2.7 A mester egyenlet Lindblad-alakjának számítása 2.7.1 A Lindblad-operátorok szerinti kifejtés megoldási lépései Eddig a modell vizsgálata során a sőrőségmátrixra vonatkozó mester egyenletet ill. annak a Bloch-reprezentációban kapott ekvivalens leírását ismertük meg: ¦12  1©|  ­212 5

W¦ 12  ! W12  ²ë ,

Elıbbinek egy másik ekvivalens transzformációját az irreverzíbilis relaxációt leíró tag (1.21) egyenletnek megfelelı Lindblad-operátorok szerint történı kifejtése adja. Ennek megfelelıen a központi kvantumbit Bloch-vektorának mozgásegyenletét Lindblad-alakra szeretnénk transzformálni. A transzformációs feladat megoldhatóságát a következı lépéseken keresztül vizsgáljuk: Elıször megvizsgáljuk, hogy lehetséges-e az adott alakú mester-egyenlet disszipatív tagját a Lindblad-féle standard alakra hozni. Ehhez egy konkrét reprezentációba való belépéssel a Pauli-mátrixok alkotta nem normált bázison fogjuk kifejteni a Lindblad-operátorokat. Az effektív Hamilton-operátor ilyen szerinti ­ disszipátorát kell új alakba átírni. A számítások során ehhez a Bloch-gömbbeli

alakja (2.6) egyenletbıl már ismert, így ebben a részben már csak a generátornak (1.20)

mester egyenletet használjuk fel, mivel az szintén a Pauli-mátrixok alkotta bázissal dolgozik.

Elsı lépésben keressük a Pauli-mátrixok alkotta Lindblad-tagok megfelelı Kb együtthatóit: i

1 ­12  ' Kb §2hK 12hb ` 12hb hK ` hb hK 12¨ . 2 K,b°

(2.15)

Amennyiben a keresett 6! együttható-mátrix számítható, következı lépésként a Pauli-

megjelennek az ³$b egy-indexő Lindblad-operátorok [10]:

mátrixok alkotta bázis unitér transzformációjával áttérhetünk a diagonális alakra, melyben

VU V6 V †, 67!  U

3

VH ,  a  ' ±Ha ³ h H1

(2.16)

42

i

1 ­12  ' 9b "2³$b 12³$4b ` 12³$4b ³$b ` ³$4b ³$b 12% , 2 b°

(2.17)

ahol 9K°,,i a (2.15) szerinti együttható-mátrix sajátértékei.

Utolsó lépésként az operátoroknak a konstans faktorokkal történı átskálázásával a legkompaktabb Lindblad-típusú disszipátor alakot kaphatjuk meg: i

­12  '"2:$b 12:$b4 ` 12:$b4 :$b ` :$b4 :$b 12% b°

(2.18)

2.7.2 A standard egyenlet együttható-mátrixa

A Bloch-vektor (2.7) mester egyenlete alapján W¦ 12 alakja ismert. A ­ disszipátor Pauli-

reprezentációbeli hatását felírhatjuk, ha ebben a renormált Hamilton-operátor hatásától eltekintünk:

­; "W12%  W̃¦ 12  `²W12  ²ë .

Ennek alapján azt tudjuk tehát a ­ operátorról, hogy a sőrőségmátrixra így hat: ­12 

1`²W12  ²ë2h 2

.

(2.19)

¦ mátrix explicit alakját felírhatjuk a Bloch-vektor mester egyenletének komponensenkénti értékeit felhasználva:

¦  1©|  ­212  

W¦n 1 ·m 2 W¦o  aW¦p

 .!  Wh  1 1  Wn » ¼ ì ·m  2  2 Wo  aWp

W¦o ` aW¦p q `W¦n

Wo ` aWp qð  1 ` Wn

Tekintsük ¦ mester egyenletében csak a disszipátor hatását: W̃¦n 1 ­12  · 2 W̃¦o  aW̃¦p

W̃¦o ` aW̃¦p 1 .  ' Kb §2hK hb ` hb hK ` hb hK ¨ . 2 `W̃¦n i

K,b°

(2.20)

komponensenként összevetve a keresett Kb együtthatók kifejezhetıek lesznek a Bloch-

Mivel a bal oldal (2.19)-bıl explicit felírható, a jobb oldalon szereplı mátrixszal vektor transzformációjában megjelenı ®², ëo , ëp , ën ¯ paraméterekkel. Ez alapján tehát 43

mátrix-komponensenként haladva az WK változók együtthatóit és a mellettük fennmaradó

konstansokat egymásnak rendre megfeleltethetjük. Ezekbıl a megkövetelt egyenlıségekbıl

egy egyenletrendszert kapunk, melyet megoldva a keresett együttható-mátrix elıáll.

Ezzel a módszerrel az 1.3.3 részben leírtak szerint az 11/2, W2 alakú vektoron ható ¥

generátoronak elemeit a Lindblad-egyenlet konstansainak megfeleltetı összefüggéseket kapjuk meg [6] [11]. A négy mátrixelembıl kapott egyenletek rendszerét megoldva a standard Lindblad-alak együttható-mátrix elemeire a következık adódnak: ² 1 6!  æ a²ën 4 `a²ëp

`a²ën ²

a²ëo

A számítások részleteit az F.2 Függelék tartalmazza.

a²ëp

`a²ëo ê ²

(2.21)

2.7.3 A standard Lindblad-tagok összevonása A standard alakú Lindblad-egyenlet disszipátorából származó tagokra tehát adódik: i

1 ­12  ' Kb §2hK 12hb ` 12hb hK ` hb hK 12¨  2 K,b°

²  §h 12h h 12h  hi 12hi ` 312¨ ` 4 a²ën §2h 12h ` 12h h ` h h 12¨  ` 8 a²ëp §2h 12hi ` 12hi h ` hi h 12¨   8 a²ën §2h 12h ` 12h h ` h h 12¨ `  8 a²ëo §2h 12hi ` 12hi h ` hi h 12¨ ` ` 8 a²ëp §2hi 12h ` 12h hi ` h hi 12¨  ` 8 a²ëo §2hi 12h ` 12h hi ` h hi 12¨ .  8

Tehát, összevonások után a standard alak relaxációt leíró része:

44

² ­12   §h 12h h 12h  hi 12hi ` 312¨ ` 4 a²ën § 1h 12h ` h 12h 2  a 112hi  hi 122 ¨  ` 4 a²ëp § 1h 12hi ` hi 12h 2 ` a 112h  h 122 ¨ `  4 a²ëo § 1h 12hi ` hi 12h 2  a 112h  h 122 ¨ . ` 4

(2.22)

2.7.4 A diagonizált alak számítása környezet polarizációs vektora w-irányba mutat. Ekkor, felhasználva (2.16) összefüggést:

A diagonizált, (2.17) szerinti alakot abban a speciális esetben számítjuk ki, amikor a i

V 6!n U V4, 67!n  U

V Ê lR h  ³$ , hK  ' ±bK ³$b d OU b°

i

1 ­n 12  ' 9b "2³$b 12³$4b ` 12³$4b ³$b ` ³$4b ³$b 12% . 2 b°

Összevonások után ebben a speciális esetben:

² §h 12h h 12h  hi 12hi ` 312¨ ` 4  a²ën § 1h 12h ` h 12h 2  a 112hi  hi 122 ¨ . ` 4

­n 12 

Ekkor a 67!n együttható-mátrix diagonizált alakja a sajátértékekkel a fıátlóban és a megfelelı

unitér transzformációs mátrix: V U V Ê R

d OU l





√



√

a

1

æ`a

1

`a

1

0

æa

0

0

1

0

0

0ê

√2 0

0ê

√2

d d

 ² ! 67n   2 

¡í °;> 

0

0

Rí 

0

 0

0

h  ah `a √2 2   ³$   a√2 h ` ah  .   2   hi  

0 0 .  

45

Ebbıl pedig a megfelelı Lindblad-operátorokra adódik: 0 ³$  `a√2 j 0

1 k  `a√2h¡ , 0

0 0 ³$  a√2 j k  a√2hR , 1 0

³$i  hi .

sőrőségmátrixban a ­n disszipátor hatását. Mivel azonban minden tagban az operátor és Ezeknek

az

összeg

alakba

való

behelyettesítése

után

valóban

megkapjuk

a

annak adjungáltja szerepel, az a · 1`a2  1 szorzat semlegesítıdik, így a hatásuk ekvivalens a pozitív valós megfelelıjükével: 0 1 ³$  √2 j k  √2h¡ , 0 0

0 ³$  √2 j 1

0 k  √2hR , 0

? Így a kompakt, (2.18) szerinti :$b  þ µ ³$b operátorok rendre: 1¡ 2 0 :$   @ í j 0

1 k, 0



1R 2 0 0 :$   @ í j k, 1 0

³$i  hi .

 :$i  þAhi .

(2.23)

(2.24)

46

2.8 A modellek dinamikája és a minimális bomlási egyenlet A kiindulási, infinitezimális homogenizátort leíró és az új, randomizált trajektória átlagos viselkedését leíró modellek egyaránt relaxációs folyamatokat mutatnak be, utóbbi egy általánosabb kereten belül, külsı tér hatását figyelembe véve érvényes. Adja magát a lehetıség, hogy a Lindblad-típusú mester egyenlet felírásán felül a modellünk által leírt relaxációs folyamatot a tipikus, minimális disszipációs folyamat, a gerjesztett állapotból alapállapotába relaxáló kétállapotú rendszer mester egyenletével vessük össze.

2.8.1 A minimális disszipációs egyenlet [14] A kétállapotú rendszer minimális relaxációs mester egyenletének 3 tagja megfeleltethetı a történı átmenetnek egy ù bomlási rátával, és az alapállapotból a magasabb energiájú saját Hamilton-operátora szerinti unitér fejlıdésnek, a gerjesztett állapotból az alapállapotba állapotba történı átmenetnek egy, a Boltzmann-faktor által csillapított, ù x  [ RÆÖ ù

gerjesztési rátával. Utóbbi két folyamatot a Fock-reprezentációban megjelenı keltı és eltüntetı operátorok generálják a következı Lindblad-típusú mester egyenletben: V , 12%  ù ›(12(4 ` (4 (, 12œ  ¦12  `a"X  [

RÆÖ

ù ›( 12( ` 4

 ((4 , 12œ 

.

(2.25)

Ez a három, különbözı típusú tag ³$  ( és ³$  (4 megfeleltetéssel már disszipációs

folyamatot jellemezı Lindblad-egyenletet ad.

az ³$i  (4 ( Lindblad-operátornak megfeleltethetı negyedik taggal, ami viszont már csak Ugyanakkor általános esetben a (2.25) szerinti minimális egyenletet kiegészíthetnénk egy,

tisztán dekoherenciát írna le, így a relaxáció leírásához nem feltétlenül szükséges egy disszipatív folyamat mester egyenletében.

Az alapállapotból a gerjesztett állapotba ill. fordítva transzformáló operátorok reprezentációi, hi (1.10) szerinti sajátvektorai szerint, |0  |f alap és |1  |e gerjesztett állapotokkal:

0 (4  |10|  j 0

1 0 k  h¡ , (  |01|  j 0 1

 0 k  hR , (4 (   1hi  .!2. 0

(2.26)

47

Az alapállapothoz zérus, míg a gerjesztett állapothoz Ô értékő energiát rendelve a Hamilton-

operátor alakjára a következı egyenlıség teljesül:

.!  hi V  Ô |11|  0|00|  j Ô 0k  Ô X  Ô(4 (. 0 0 2

(2.27)

2.8.2 A disszipációs egyenlet és a termalizációs modellek (2.23) és (2.24) szerint éppen ezek, a Fock-reprezentációban szereplı keltı és eltüntetı felhasználva (2.26) összefüggéseket, illetve az 1(4 (24  (4 ( és 1(4 (24 1(4 (2  (4 (

operátorok generálják a randomizált trajektória modell Lindblad-egyenletét is. Ezzel,

azonosságokat, írjuk fel a randomizált trajektória modell (2.18) szerinti átlagos idıfejlıdését mutató mester egyenletet a Fock-reprezentációban: ¦12  `a

~ n §h , 12¨  2 i

11 ` ëw 2 1  12(  † ` Ÿ( † ( ,  12 k  j( 2 2 11  ëw 2 † 1   12(  ` Ÿ( ( † ,  12 k  ² j( 2 2 1 ² m(4 (12(4 ( ` (4 (, 12q. 2

²

(2.28)

Az 1.4.1 résznek megfelelıen, most az Å|  0 és Å  Ô értékek mellett, a 0, +Ô

Így ë  10,0, ën 2 esetén teljesül, hogy

energiaszintekhez igazított Hamilton-operátor Gibbs-állapotára az (1.22) képlet érvényesül.

Így a

1 ` ën 1  , 2 1  [ RÆÖ ù²

1 ` ën , 2

[ RÆÖ 1  ën  . 2 1  [ RÆÖ ùx  ²

1  ën 2

megfeleltetésekkel valóban teljesül a ù x  [ RÆÖ ù összefüggés. Ugyanakkor a randomizált

éppen ² súlyfaktorral szerepel a minimális bomlási egyenlet ²0| és ²0 súlyú tagjai mellett.

trajektória modell mester egyenlete tartalmaz egy tisztán dekoherenciát leíró tagot is, mely

Ez a harmadik tag a 1hi hi ` 2  4 ›(4 (12(4 ( ` (4 (, 12œ  ` "hi , §hi , ¨%   



dupla kommutátor típusú tag. Ez a tisztán dekoherenciát leíró rész már a disszipáción felül

48

megjelenı, tisztán fázisvesztı dinamikát jelzi. [14][18] (Ez a fázisvesztés bázisfüggı, s a hi

operátor sajátvektorainak bázisában vett reprezentációban értendı.) Az (1.27) egyenletet is, n 

A 

megfeleltetéssel átírhatjuk a keltı és eltüntetı operátorok

által hajtott disszipációs egyenlet formájába: ¦ 12  `a

Ω §h , 12¨  2 i

1  Γ 1 ` ën 2 m(12(4 ` (4 (, 12q  2 1  Γ ›  ën œ m(4 12( ` ((4 , 12q  2 1 12Γ ` Γ 2 m(4 (12(4 ( ` (4 (, 12q . 2

Ugyanakkor, ën   1 esetben 2Γ  Γ teljesül, ezért ha az infinitezimális homogenizátor éppen a |e vagy |f állapotok valamelyikébe hajtja a központi rendszert, akkor az tisztán a Hasonlóan a korábbi egyenlethez, itt is megjelenik egy pusztán dekoherenciát leíró tag.

minimális bomlási törvényben szereplı gerjesztı és relaxáló tagoknak megfelelıen fog termalizálódni.

49

3 Az eredmények összefoglalása A dolgozatban kvantumbitek véletlenszerő ütközéses modelljét vizsgáltuk. Megmutattuk, hogy a homogenizációhoz vezetı kölcsönhatási modell helyett – ami egy mikroszkopikus modell az irreverzíbilis termalizációs folyamatra –, egy véletlenszerő ütközéseknek kitett központi rendszer átlagos viselkedését vizsgálva elıbbivel analóg relaxációs folyamatot írhatunk le. Megmutattuk, hogy az általánosított, külsı tér hatását is tartalmazó dinamika szintén stacionárius állapothoz vezet. A randomizált modell alapján fejlıdı átlagos központi kvantumbit Bloch-reprezentációbeli mozgásegyenletét meghatároztuk, s azt egy grafikus szimulációs programmal mutattuk be. Felírtuk a modell disszipációs mester egyenletét, és azt Lindblad-operátorai szerint kifejtve, Lindblad-alakra hoztuk. Végezetül összevetettük a kapott eredményt a minimális relaxációs folyamat, a két-állapotú rendszer bomlási folyamatának mester egyenletével, megmutatva, hogy az új modell szerint fejlıdı rendszer a relaxációt disszipatív és tisztán dekoherenciát leíró dinamikák együttes hatásaként éri el.

50

Függelékek F1. A használt szoftverek és a szimulációs program adatai A dolgozat során felmerülı mátrix-számításokat a MatLab programcsomag segítségével lettek ellenırizve. MATLAB, Copyright 1984-2002, The MathWorks, Inc.

kaptuk. A szimulációs program a kezdetiértékeket és a választott Þ illetve ñ paramétereket, A 2.6.3 részben szereplı ábrákat egy grafikus szimulációs program pillanatképeiként

valamint a szimuláció során használandó idıbeli lépésközt a felhasználótól futtatások elıtt

bekérve azokbıl elıször a stacionárius állapotot számítja ki (2.8) alapján. Ezt a kezdeti a (2.14) egyenlet alapján, a Start gomb megnyomása után, a megadott lépésközönként   0

környezeti és központi elemek Bloch-vektoraival együtt ábrázolja, majd ennek ismeretében idıponttól az End gomb lenyomásáig a Bloch-vektor adott N  LΔ idıpontbeli

végpontjához vektort húz, s a lépésenként adódó végpontok mentén haladva, azokat összekövetve trajektóriát rajzol.

Az egységnyi sugarú Bloch-gömb ábrázolása az u ` v, u ` w és v ` w síkokra vett

vetületek szerint 3 egységsugarú körben történik, melyekben az ábrák pixelszámának megfelelı skálázással halad a vektor csúcspontja.

A Java Applet szimulációs eszközt az ECLIPSE Galileo integrált fejlesztıi környezet használatával készült, s abban is futott. Ennek adatai: Eclipse Java EE IDE for Web Developers.  Copyright Eclipse contributors and others 2005, 2009. All rights reserved. A technikai megvalósításhoz a [19] szerinti oktatócsomag instrukciói szolgáltak alapul.

51

F.2 Az lindbladi disszipátor együttható-mátrixa A (2.20) egyenlet két oldalán szereplı mátrixok elemenkénti megfeleltetése konkrét eredményei, amikbıl végül a (2.21) együttható-mátrix adódik: "$B % "$B % Amibıl:

Wn 1`2 `2 2   `²Wn  ²ën Wo 1i  i 2       , 2  Wp 1i  i 2    a12 ` 2 2 

Wn 12 2 2   `²Wn  ²ën  Wo 1`1i  i 22  `   . 2  Wp 1`1i  i 22   a12 ` 2 2 

²     , 2

Míg a másik két elemre:

"$B %

i  `i C i  `i ,

 `  

a²ën . 2

Wo 1`2 `2ii ` a1   22 `  aW  p 1`2ii `2  a1   22       Wn 1i  i ` a1i  i 22    12i ` 2i  a12i  2i 22 



Wo 1`²2 ` aWp 1`²2  ²ëo  a1`²ëp 2 2

d ` `  ` 2ii  `²,

i  i  a1i  i 2,

2i ` 2i  a12i ` 2i 2  ²ëo ` a²ëp . "$B %

Wo 1`2 `2ii  a1   22    aWp 1`2ii `2 ` a1   22      Wn 1i  i  a1i  i 22    1`2i  2i  a12i ` 2i 22 



Wo 1`²2  aWp 1`²2  ²ëo  a1²ëp 2 2

d `2 ` 2ii  a1   2  `², i  i  a1i  i 2  0,

2 ` 2ii ` a1   2  `², ` i  i  a1i ` i 2 

²ëo  a²ëp 2

. 52

Irodalomjegyzék [1] V. Scarani, Entanglement and irreversibility in the approach to thermal equilibrium. Known and new results on thermalizing quantum channels for qubits, Eur. Phys. J. Special Topics Vol. 151, Number 1, pp 41-49 ( 2007) [2] M. Ziman, P. Štelmachovič, V. Bužek, M. Hillery, V. Scarani, N. Gisin, Diluting quantum information: An analysis of information transfer in system-reservoir interactions, Phys. Rev. A65, 042105 (2002) [3] Diósi L., A Short Course in Quantum Information Theory, Lect. Notes Phys. 713 Springer, Berlin Heidelberg, 2007. [4] Petz D., Quantum Information Theory and Quantum Statistics, Theoretical and Mathematical Physics, Springer, Berlin Heidelberg, 2008. [5] G. Kimura, The Bloch Vector for N-Level Systems, Phys. Lett. A 314 (2003) [6] M. Ziman, P. Štelmachovič, V. Bužek, Description of Quantum Dynamics of Open Systems Based on Collision-Like Models, Open Systems and Information Dynamics 12, No.1, pp. 81-91 (2005) [7] P. Štelmachovič, M. Ziman, V. Bužek, Microscopic description of information transfer from a qudit to reservoir, Fortschr. Phys. 51, No. 4-5, 280-287 (2003) [8] V. Scarani, M. Ziman, P. Štelmachovič, N. Gisin, V. Bužek, Thermalizing Quantum Machines: Dissipation and Entanglement, Phys. Rev. Lett. 88 , 97905-1 (2002) [9] M. Ziman, P. Štelmachovič, V. Bužek, M. Hillery, V. Scarani, N. Gisin: Quantum homogenization, arXiv:quant-ph/0110164v1[quant-ph], 2001. [10]

H. P. Breuer and F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems, Oxford

University Press (Oxford), 2002. [11]

R. Alicki, K. Lendi, Quantum Dynamical Semigroups and Applications, Lect. Notes

Phys., Springer-Verlag, Berlin, 1987. 53

[12]

G. Lindblad, On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math.

Phys., 48, 119 (1976) [13]

V.Gorini, A.Kossakowski, E.C.G. Sudarshan: Completely Positive Dynamical

Semigroups of N-Level Systems, J.Math.Phys. 17 (1976) 821-825. [14]

Diósi L., publikálatlan jegyzetek.

[15]

D. Burgarth and V. Giovannetti, Mediated Homogenization, arXiv:0708.2657v2

[quant-ph], 2007. [16]

Prékopa A., Valószínőségelmélet Mőszaki Alkalmazásokkal, Mőszaki Könyvkiadó,

Budapest, 1974. [17]

I.N. Bronstein, K.A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig, Matematikai kézikönyv,

TypoTEX Kiadó, Budapest, 2000. [18]

M. Ziman and V. Bužek, All (qubit) decoherences: Complete characterization and

physical implementation, Phys. Rev. A72, 022110 (2005) [19]

B.

Bruylandt,

Java

Applet

Turorial,

[online],

[2010.04.15],



54