A
T INJAUAN S INGKAT K ALKULUS
Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat bilangan riil dan kompleks, pengertian kekontinyuan, limit, turunan, integral, barisan, dan deret. Hal ini mengingat bahwa beberapa metode numerik yang dipakai dalam komputasi numerik didasarkan pada hasil-hasil dalam kalkulus. Sebagai rujukan singkat bagi pembaca yang tidak menginginkan membuka kembali buku kalkulus, berikut disajikan beberapa pengertian dan teorema penting dalam kalkulus.
A.1 Limit dan Kekontinuan Fungsi D EFINISI A.1 (L IMIT F UNGSI ). Misalkan fungsi f x didefinisikan pada himpunan bilangan riil A. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L pada x x0 , ditulis
()
= lim f (x) = L x!x
(A.1)
0
0 dapat ditemukan bilangan Æ > 0 sedemikian hingga jf (x) Lj < ; 8x 2 (x Æ; x + Æ) A: Jika dimisalkan x = x + h, maka persamaan (A.1) ekivalen dengan lim f (x + h) = L (A.2) h!
jika diberikan bilangan >
0
0
0
0
0
D EFINISI A.2 (F UNGSI KONTINYU ). Misalkan fungsi f x didefinisikan pada himpunan bilangan riil A dan misalkan
()
481
Pengertian limit fungsi
A.2 Turunan Fungsi
483
pernyataan di bawah ini ekivalen: 1. Fungsi f kontinu di x0 . 2. Jika
limn!1 xn = x , maka limn!1 f (xn) = f (x ). 0
0
T EOREMA A.2 (T EOREMA N ILAI E KSTRIM UNTUK F UNGSI K ONTINU ). Jika fungsi f x kontinu pada interval a; b , maka terdapat suatu batas bawah M1 dan suatu batas atas M2 serta dua buah titik x1 ; x2 2 a; b sedemikian hingga M1 f x1 f x f x2 M2 ; 8x 2 a; b : (A.7)
()
[
= ( )
()
℄
[
( )=
℄
[ ℄
Teorema A.2 mengatakan bahwa setiap fungsi yang kontinu pada suatu interval terbatas pada interval tersebut. M1 disebut nilai minimum dan M2 disebut nilai maksimum fungsi f x pada interval a; b , dan sering dituliskan
()
M1
= f (x ) = amin ff (x)g; xb
M2
dan
1
[ ℄
= f (x 2) = amax ff (x)g: xb
T EOREMA A.3 (T EOREMA N ILAI A NTARA ). Misalkan f x 2 C a; b dan misalkan
()
[ ℄ m = min ff (x)g; axb
Maka untuk setiap L memenuhi m b sedemikian hingga f L.
( )=
M
dan
= amax ff (x)g: xb
LleM , terdapat yang memenuhi a < <
A.2 Turunan Fungsi D EFINISI A.4. Misalkan f x didefinisikan pada sebuah interval terbuka yang memuat x0 . Fungsi f dikatakan diferensiabel (dapat diturunkan atau mempunyai turunan) di titik x0 jika terdapat bilangan m sedemikian hingga
()
lim f (xx)
x!x0
( ) = m: x f x0
Pengantar Komputasi Numerik
0
Pengertian fungsi diferensiabel
(A.8)
c Sahid (2004 – 2012)
A.3 Integral
485
( ) = 0.
dapat titik , a < < b, sedemikian hingga f (n)
A.3 Integral D EFINISI A.5 (I NTEGRAL R IEMANN ). Misalkan f 2 C a; b , dan a x0 < x1 < ::: < xn b adalah suatu partisi a; b . Untuk setiap k ; ; :::; n, misalkan tk 2 xk 1 ; xk dan xk xk xk 1 . Maka jumlah
[
℄
[
℄
= =1 2
X ( )
= [
℄
=
n
k=1
f tk
xk ;
(A.12)
()
[ ℄
disebut hampiran jumlah Riemann untuk integral tentu f x pada a; b . Jika jumlah Riemann tersebut mempunyai limit untuk n menuju tak berhingga, maka limit itu disebut integral Riemann, ditulis
Z
a
b
( ) = nlim !1
f x dx
X ( ) n
k=1
f tk
xk :
(A.13)
T EOREMA A.9 (T EOREMA D ASAR K ALKULUS ). Misalkan f kontinu pada a; b .
[ ℄
Z
1. Terdapat suatu fungsi F , sedemikian hingga b
a
( ) = F (b)
f x dx
()
F a ;
(A.14)
( ) = f (x). Fungsi F disebut antiderivatif fungsi f .
dengan F 0 x
2. Jika a < x < b, maka d
Z
x
dx a
( ) = f (x):
f t dt
(A.15)
T EOREMA A.10 (N ILAI R ATA - RATA UNTUK I NTEGRAL ). Jika fungsi f kontinu pada interval a; b , maka terdapat titik , a < < b, sedemikian hingga b
1
Z
a a
[
℄
( ) = f ( ):
T bf x dx
Pengantar Komputasi Numerik
(A.16)
c Sahid (2004 – 2012)
A.4 Barisan dan Deret Misalkan x0
487
2 [a; b℄ adalah suatu titik tetap. Deret
X1
( ) (x !
f (k) x0
)
x0 k ;
k
k=0
disebut deret Taylor fungsi f di sekitar x0 , dan dapat dituliskan
( )=
f x
X1
( ) (x !
f (k) x0
k=0
(A.20)
= x + h, maka
Dengan memisalkan x
0
( + h) =
f x0
=x
Demikian pula, jika x
)
x0 k :
k
0
(
f x0
X1
( ) hk : k!
(A.21)
( ) ( h)k : k!
(A.22)
f (k) x0
k=0
h, maka h
)=
X1
f (k) x0
k=0
T EOREMA A.13 (T EOREMA S ISA TAYLOR ). Misalkan f 2 C n+1 a; b (artinya, f mempunyai turunan ke-1, 2, ..., dan ke-n yang kontinu pada a; b ). Misalkan x0 2 a; b adalah suatu titik tetap. Untuk setiap x 2 a; b terdapat x , a < < b, sedemikian hingga
[ ℄
dengan
[
[
℄
℄
[ ℄ = () f (x) = Pn (x) + Rn (x);
X ( )= n
Pn x
k=0
dan
( ) (x k!
f (k) x0
n ( ) (x ( ) = f(n + 1)! ( +1)
Rn x
()
(A.23)
)
x0 k ;
(A.24)
)
(A.25)
x0 n+1 :
()
Pn x disebut polinomial Taylor berderajad n1 dan Rn x disebut suku sisa
P1 (x) disebut polinomial Taylor linier, P2 (x) disebut polinomial Taylor kuadratik, P3 (x) disebut polinomial Taylor kubik, dst. 1
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
489
konvergen ke nol, seperti terlihat pada relasi n ( ) hn ; ) M hn f(n + 1)! untuk h yang cukup kecil. Notasi O (hn ) memiliki sifat-sifat: 1. O (hp ) + O (hp ) = O (hp ) 2. O (hp ) + O (hq ) = O (hr ) dengan r = minfp; q g 3. O (hp )O (hq ) = O (hp q ).
(
O hn+1
( +1)
+1
+1
+
T EOREMA A.15 (T EOREMA TAYLOR ). Misalkan f 2 C n+1 a; b . Jika x0 dan x x0 maka
[
℄
( + h) =
f x0
X n
k=0
= + h terletak pada interval [a; b℄, f k (x ) k (A.27) h + O (hn ): k! ( )
0
+1
D EFINISI A.10. Misalkan x dan barisan frn g1 n!1 xn n=1 konvergen ke nol, yakni 1 r . Barisan f r g dikatakan konvergen ke x dengan orde ken!1 n n n=1 konvergenan O rn jika terdapat sebuah konstanta K > sedemikian hingga
lim =0 ( )
lim
=
0
jxn xj K; jrnj
jxn
atau
j K jrnj
x
untuk n yang cukup besar. Hal ini sering dituliskan sebagai xn atau xn ! x dengan orde kekonvergenan O rn .
( )
= x + O(rn),
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
()
Misalkan Pn x adalah suatu polinomial berderajad n berbentuk
( ) = anxn + an
Pn x
+ ::: + a x + a x + a ; an 6= 0: (A.28) menghitung nilai Pn (x) dikenal dengan nama 1x
n
1
2
2
1
0
Suatu metode untuk metode Horner atau metode pembagian sintetik, yang didasarkan pada Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
A.6 Menghitung Nilai Polinomial
491
Hasil tersebut didasarkan pada perkalian sintetik (A.29). Dari
z
}|
{
b2
z}|{ | {z } {z | | {z bn
( ) = ((::: ( an z + an ) z + ::: + a ) z + a ) z + a
Pn z
1
2
bn 1
b1
b0
1
}
0
:
}
dapat didefinisikan bn bn
yang menghasilkan
2
= = =
an bn z an 1 bn 1 z a n
b1 b0
= =
b2 z b1 z
bn 1
.. .
+
+
2
(A.32)
+a +a ; 1 0
( )=b :
Pn z
0
Selanjutnya, jika didefinisikan polinomial (A.30) dengan koefisienkoefisien bk di atas, dapat diperoleh (A.31). Hasil di atas bermanfaat untuk mencari akar polinomial dengan mereduksi derajadnya jika salah satu akarnya sudah diketahui. Perhatikan, jika b0 , maka Pn z , sehingga z merupakan akar persamaan Pn x .
=0 ( )=0
()=0
Pengantar Komputasi Numerik
c Sahid (2004 – 2012)
