The Nieuwe Wiskrant ( New Mathpaper )

28e JAARGANG NR. 1

september 2008

De Nieuwe Wiskrant Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs is een publicatie van het Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education. De Nieuwe Wiskrant verschijnt viermaal per schooljaar, in een omvang van minstens 40 pagina’s, en bericht over ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs; het zwaartepunt ligt bij het voortgezet onderwijs. Artikelen Artikelen worden bij voorkeur digitaal ontvangen, vergezeld van een afdruk op papier en eventuele illustraties van een zo goed mogelijke kwaliteit. Het redactieadres is: Freudenthal Instituut, t.a.v. Nathalie Kuijpers Postbus 9432, 3506 GK Utrecht, tel. 030-2635501 fax. 030-2660430, e-mail: [email protected] Homepage Nieuwe Wiskrant http://www.fi.uu.nl/wiskrant Abonnementen De abonnementsprijs voor 2008/2009 bedraagt € 24,-. Studentenabonnementen € 17,50 (onder overlegging kopie collegekaart). Collectief abonnement € 15,- per abonnement bij minimale afname van 20 stuks. Losse nummers € 7,50 exclusief verzending. Abonneren kan uitsluitend schriftelijk of via e-mail. Betaling pas na ontvangst van de acceptgirokaart. Abonnementen lopen van augustus tot augustus en worden zonder tegenbericht verlengd. Opzeggingen dienen vóór 1 juli schriftelijk te worden doorgegeven.

The ‘Nieuwe Wiskrant’ (‘New Mathpaper’) is published four times a year by the Freudenthal Institute for Science and Mathematics education. It reports on developments in Mathematics Education, more in particular in secondary education. Articles Articles should be sent to: Freudenthal Institute attn. Nathalie Kuijpers P.O. Box 9432, 3506 GK Utrecht the Netherlands Subscriptions Subscriptions should be sent to the publisher: Freudenthal Institute Utrecht University P.O. Box 9432 3506 GK Utrecht the Netherlands The annual subscription rate is € 34,-. International banking details/internationale betalingsgegevens: IBAN: NL79 PSTB 0000 2299 52 BIC: PSTBNL21 o.v.v. Nieuwe Wiskrant

Ledenadministratie Wil Hofman-de Ruiter Advertenties Het is mogelijk een advertentie in de Nieuwe Wiskrant te plaatsen. Tarieven op aanvraag bij het redactieadres. Bureauredactie Nathalie Kuijpers ISSN: 0928-7167 Drukwerk Wilco, Amersfoort © 2008 Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht – Faculteit Bètawetenschappen, Departement Wiskunde Niets in deze uitgave mag zonder schriftelijke toestemming van de uitgever worden overgenomen of verveelvoudigd.

Redactie Tom Goris en Lidy Wesker

Leesredactie Rijkje Dekker, Paul Drijvers, Aad Goddijn, Frank van den Heuvel Gerard Koolstra, Martha Witterholt, André Zegers

TIJDSCHRIFT VOOR NEDERLANDS WISKUNDE ONDERWIJS

28e JAARGANG NUMMER 1 september 2008

INHOUD

H. van Dissel & S. de Vries J. Heijn & J. Krüger M. Kindt P. Vaandrager T. Lecluse N. Oosterling P.W.H. Lemmens A. Zaal P. Drijvers E. van Winsen S. Wepster

Inhoudsopgave Over het laatste nieuws Wielen spaken Wiskunde in NLT Wat te bewijzen is (42) Het nieuwe schoolbord De geschiedenis van een opgave DisWis Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen Wiskunde D geeft leerlingen a beautiful mind Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden Van Ceulens veelhoeken en veeltermen

Freudenthal Institute for Science and Mathematics Education

Bij de omslag omslag (foto: (foto:Tom EllenGoris): Wissink): ‘Voordat jullie mij van sluikreclame voor de natBij de Wiskunde (ver)licht op beschuldigen straat. uurkunde: ik vind het niet erg om theoretische natuurkunde even als toegepaste wiskunde te labelen’,

2 3 4 10 15 18 20 24 29 31 35 40 43

Inhoudsopgave

Wielen spaken 4 H. van Dissel & S. de Vries Toegepaste wiskunde kom je niet zelden op verrassende plaatsen tegen, zoals in het clubblad van de Norton Club Nederland: de Unapproachable. Motorliefhebber en oudleraar Autotechniek en Werktuigbouwkunde Sieb de Vries rekent voor hoe je de lengte van spaken kunt berekenen, mocht je de ambitie hebben een wiel helemaal zelf te spaken. Hans van Dissel legt vervolgens uit hoe je te werk gaat. Wiskunde in NLT 10 J. Heijn & J. Krüger Vanaf augustus 2007 kunnen scholen het interdisciplinaire examenvak natuur, leven en technologie (NLT) aanbieden. Wiskunde is een van de deelnemende vakken in NLT. Josien Heijn en Jenneke Krüger laten iets zien van de plaats van wiskunde in dit jonge vak, zowel in de ontwikkeling als in het lesmateriaal en de (mogelijke) rol van wiskundedocenten in ontwikkeling en uitvoering. Mogelijkheden voor afstemming met wiskunde D worden aangestipt. Wat te bewijzen is (42) 15 M. Kindt In reactie op een door lezers gevonden fout in aflevering 40 van deze rubriek weidt Martin Kindt uit over Pythagorese drietallen. Het nieuwe schoolbord 18 P. Vaandrager Je ziet ze steeds meer, de digitale schoolborden. Maar kun je die borden ook goed inzetten bij wiskundelessen? Die vraag kun je het beste laten beantwoorden door iemand die er zelf heel enthousiast over is. Naast wiskundedocent is Peter Vaandrager ook trainer voor het gebruik van deze borden. De geschiedenis van een opgave 20 T. Lecluse Soms begint het leren pas ná de toets. Dat overkwam Ton Lecluse bij het nakijken van een toets van zijn leerlingen. Uitgaande van de opgave (die hij zelf bedacht had) doken er nog meer vraagstellingen op, en antwoorden die niet helemaal bleken te kloppen, maar daardoor juist weer stof tot verder denken opleverden. DisWis 24 N. Oosterling DisWis was het initiatief van Lex Schrijver om wiskunde populairder te maken in het voortgezet onderwijs. Onder-

2

wijsbureau ‘De Praktijk’ ontwerpt de modulen in samenwerking met docenten; wiskundestudenten gaan de klas in om de lessen te verzorgen. Zo is DisWis het ultieme win-winproject. Niels Oosterling, een van de uitvoerende studenten, bericht. Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen 29 P.W.H. Lemmens Laten zien dat er oneindig veel priemgetallen zijn, is niet zo moeilijk. Maar daarmee héb je ze nog niet. Piet Lemmens laat zien hoe je bij een gegeven verzameling priemgetallen nieuwe kunt genereren. Wiskunde D geeft leerlingen a beautiful mind 31 A. Zaal Een van de eerste onderwerpen waar een econometrist in zijn studie mee te maken krijgt, is het Nash-evenwicht. Met behulp van speltheorie is dit Nash-evenwicht inzichtelijk te maken. Arjan Zaal laat zien dat, in het kader van wiskunde D, deze boeiende wiskunde ook voor het voortgezet onderwijs toegankelijk is. Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens 35 P. Drijvers In 1994 schreef Paul Drijvers een artikel in de Wiskrant over het gebruik van ICT bij eindexamens in het buitenland. In het licht van de programmaherzieningen in Nederland vraagt hij zich af hoe de situatie vandaag de dag is en wat er sindsdien is veranderd. In dit artikel worden landelijke strategieën in kaart gebracht en worden enkele voorbeeldopgaven bekeken. De conclusie is dat ICT-gebruik in examens meer is toegestaan, maar dat het ontwerpen van geschikte toetsopgaven niet meevalt. De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden 40 E. van Winsen Het gebruik van een grafische rekenmachine hoeft niet te leiden tot minder algebraïsche vaardigheden. Het kan juist aanleiding zijn tot een oefening in deze vaardigheden. Het staat en valt met het stellen van de juiste vragen. Epi van Winsen laat zien welke vragen dat zijn. Van Ceulens veelhoeken en veeltermen 43 S. Wepster Ludolph van Ceulen, rekenmeester. Naast het berekenen van decimalen van π heeft hij zich ook beziggehouden met het berekenen van zijden van regelmatige n-hoeken. En hoe. Steven Wepster bericht vol respect.

Inhoudsopgave

Over het laatste nieuws

Wat een geluksvogels zijn de docenten die wiskunde D mogen geven! Is het niet prachtig om leerlingen les te geven die wiskunde leuk vinden? De manier waarop je deze leerlingen wiskunde laat ervaren, staat niet voorgeschreven en zelfs de verplichte onderdelen zijn tot een minimum te beperken. Hoe anders was dat bij de invoering van wiskunde D. Tijdens de introductie waren er maar heel beperkt verplichte eindtermen, maar de wiskundedocenten hebben destijds in groten getale gevraagd om meer houvast. Die houvast is gegeven door meer verplichtingen en de methodeschrijvers hebben mooie wiskunde D-boeken geschreven. Dat betekent dat je je kunt houden aan wat de boeken voorschrijven, maar je kunt ook kiezen voor de vrijheid die er toch nog steeds in het programma zit. Het samenwerkingsmodel geeft bijvoorbeeld de mogelijkheid om in samenwerking met hogescholen, universiteiten en bedrijven wiskunde in de praktijk te zien. Door voor dit model te kiezen, vallen verplichte eindtermen uit het schoolmodel af, waardoor er meer vrije ruimte ontstaat om samen met de leerlingen het wiskundige pad op te gaan. Maar ook in het schoolmodel is er sprake van keuzeonderwerpen en keuzes tussen eindtermen. Op dit moment lijkt het erop alsof veel docenten toch gaan genieten van de vrijheid die wiskunde D hen en hun leerlingen biedt. Er wordt veel buiten het boek gewerkt, of zelfs helemaal zonder. De roep om houvast bij wiskunde D is nu gelukkig achterhaald, we maken er zelf een nog veel rijker programma van. Wiskunde C kan ook een mooi wiskundevak worden, als de staatssecretaris niet al te veel luistert naar de roep om alleen maar meer algebra. In Leeuwarden is de conferentie Bridges gehouden. Op die conferentie komen wiskunde, kunst, muziek, architectuur en wetenschap samen. Wiskunde C op wetenschappelijk niveau, zeg maar. Nieuwsgierig? Zie www.bridgesmathart.org en de komende Wiskranten. Wiskunde C en D vragen beide om een aanpak waarin de schoonheid van wiskunde aan de orde komt. Wiskunde A en B kunnen daar niet bij achterblijven. De grootste groep leerlingen volgt wiskunde A of B. Het kan niet zo zijn dat we in 2013 deze grote groep alleen de basiswiskunde laten zien. Laten we ervoor waken dat de staatssecretaris haar handtekening gaat zetten onder een programma met alleen algebra. Het algebragedeelte is in de vernieuwde tweede fase meer dan voldoen-

Nieuwe Wiskrant 28-1/september 2008

de, dat hoeft echt niet meer te worden ten koste van de ‘echte’ wiskunde. Dirk Siersma, voorzitter van de commissie cTWO, heeft in zijn afscheidsrede onderstaande visie op wiskundeonderwijs uiteengezet: ‘Nieuwe onderwijsprogramma’s dienen tot stand te komen in samenspraak met vakdeskundigen, leraren en vakdidactici, die elk vanuit hun achtergrond een inbreng hebben. Wij zitten nu in Nederland in een uniek vernieuwingsproces voor wiskundeonderwijs, waarbij de betrokkenen op basis van gelijkwaardigheid bij elkaar aan tafel zitten in de commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO). Deze commissie werd ingesteld door het zogenaamde Voorzittersoverleg Wiskunde en kreeg kort daarna de opdracht van de Minister van Onderwijs om ondermeer een samenhangend eindexamenprogramma wiskunde voor HAVO en VWO te maken (Wiskunde A, B, C en D). De commissie, waarvan ik de eer heb om voorzitter te zijn was verre van homogeen. Aan tegenstrijdige standpunten dus geen gebrek, met name in het begin van de rit. Door duidelijk naar elkaar te luisteren en zich te willen verdiepen in het standpunt van de ander kon men tenslotte komen tot een gemeenschappelijke visie en uitwerking in de vorm van (concept) examenprogramma’s. Werkelijk een uniek proces in Nederland. Dit is de enige manier om tot een goed resultaat te komen! Zoals bij velen van u bekend, is dit nog niet het einde van het verhaal. Er zijn ernstige stoorzenders, die goed bedoeld, maar uitgaande van eenzijdige opdracht of invalshoek en soms onjuiste interpretatie op een aantal punten andere accenten wensen. De discussie is opgelaaid en kent een duidelijke polarisatie, waarbij in eerste instantie kleine verschillen van inzicht worden uitvergroot. Het is erg makkelijk om kritiek te hebben. Iets anders is het om een samenhangend programma te maken, dat voldoet aan de eerder genoemde reële doorstroomeisen, onderwijsbaarheid en samenhang. Er is nu tijd om alles nog eens te bezien en in experimenten uit te proberen. Tenslotte komt alles wel op zijn pootjes terecht. Vergeet niet dat het hier gaat om programma’s die pas vanaf 2013 in de vierde klas worden ingevoerd. Bij een dergelijke discussie verdwijnen andere belangrijke punten naar de achtergrond. Zo is de omvang van het vak wiskunde op HAVO en VWO voor aanstaande bètastudenten de afgelopen jaren verminderd en lager dan in vele andere landen. Wil men een voldoende breed scala van wiskundeonderwerpen met een verantwoord begrip- en beheersingsniveau op HAVO en VWO dan dient het aantal contacturen wiskunde te worden uitgebreid. Ook is het van groot belang om de doorgaande leerlijn te benadrukken. Die begint al met vierjarigen in de basisschool. Het gaat er steeds om inzicht en vaardigheden te koppelen, maar ook om de band te leggen met de wereld om ons heen. Dit moet in samenhang meer aandacht krijgen in het onderwijs en dat is iets heel anders dan de discussie realistisch rekenonderwijs versus algoritmen oefenen.’

Tom Goris, Lidy Wesker

3

Toegepaste wiskunde kom je niet zelden op verrassende plaatsen tegen. Bijvoorbeeld in het clubblad van de Norton Club Nederland: de Unapproachable. Motorliefhebber en oud-leraar Autotechniek en Werktuigbouwkunde Sieb de Vries rekent voor hoe je de lengte van spaken kunt berekenen, mocht je de ambitie hebben een wiel helemaal zelf te spaken. Hans van Dissel legt vervolgens uit hoe je te werk gaat.

Wielen spaken Bepalen van de spaaklengte Voor het berekenen van de spaaklengte is enig inzicht in de wiskunde noodzakelijk. Maar vandaag de dag is het mogelijk om de spaaklengte met een eenvoudige rekenmachine te berekenen. Dus schrik nu niet van de afleiding van de formule voor het berekenen van de spaaklengte, want aan het einde van het verhaal is het voor een ieder mogelijk om de lengte van een spaak voor iedere naaf, velg en vlechtpatroon uit te rekenen. Velgen zijn er in iedere maat en uitvoering, maar wij werken alleen met het Westwood velgpatroon, omdat dit voor dit onderwerp het eenvoudigst is. Men moet zich er wel rekenschap van geven dat velgprofielen zijn vastgelegd in normbladen, evenals hun afmetingen. Deze normbladen kan men verkrijgen bij de Hoofdcommissie voor de Normalisatie in Nederland. Voor het afdrukken van deze bladen moet men toestemming vragen, hetgeen wij dus niet doen omdat dit een prijskaartje met zich meebrengt, hetgeen mijns inziens niet nodig is.

schouderdiameter

velgbed diameter

Westwood velgprofiel

velgbed schouder kraal

In de schets zijn de volgende benamingen belangrijk. De kraal van de velg zorgt voor de stijfheid van de velgen en voorkomt dat de band van de velg afglijdt. De schouder

4

draagt de band, met andere woorden: de hiel van de band rust op de schouder. De schouderdiameter is daarom ook van belang voor de maat van de te monteren band. Er zijn namelijk bandentabellen waarin de diameter van schouders vermeld wordt, alsmede de omtrek hiervan. Bezitten wij zo’n tabel niet, dan is het zaak om de schouderdiameter van de velg te meten en deze met π te vermenigvuldigen, waardoor we de schouderomtrek van de velg krijgen. Evenzo nemen we de gemiddelde diameter van de band. Let wel: dit is de diameter van de hiel die bij montage rust op de schouders van de velg. Corresponderen deze twee maten, dan heeft u de juiste velg bij de juiste band wat betreft de diameter. Want ook de breedte van de velg is bepalend voor de band of omgekeerd. Advies is dus: zoekt u een band bij een bepaalde velg, neem dan een rolmaat mee met millimeter- en inch-aanduiding en een meetlint (centimeter) om de omtrek van de velgen te meten. Nu een kort verhaal over spaken De spaken worden aangegeven door een nummer als het over de dikte (diameter) gaat. Deze nummers zijn ontstaan in Engeland, waarbij de trekplaten waar men het draad doorheen trok, voorzien waren van een nummer. Dit nummer geeft dus ook de dikte van de spaak aan en is natuurlijk afgeleid van het Engelse maatstelsel. In de loop van de tijd is onder invloed van de Duitse en andere Europese industrieën een afronding van de Engelse maten naar de metrische maten tot stand gekomen. Het gevolg is dat ten gevolge van deze invloeden bijvoorbeeld nippels van Duitse origine niet hoeven te passen op spaken van Engelse herkomst en omgekeerd. Het materiaal waarvan spaken gemaakt worden, is staal met een treksterkte van 110 tot 120 kg/mm2 met een minimum rek van vijf procent en een laag fosfor- en zwavelgehalte. Voor ons is de lengte en de dikte van de spaak van belang. d L

Wielen spaken

In figuur stelt L de lengte van de spaak voor en d de diameter van de spaak. Hieronder volgen enige maten: nr. 8:

d = 4,064 mm

32 gangen/duim

nr. 9:

d = 3,658 mm

40 gangen/duim

nr. 10:

d = 3,251 mm

40 gangen/duim

nr. 11:

d = 2,946 mm

44 gangen/duim

nr. 12:

d = 2,642 mm

56 gangen/duim

nr. 13:

d = 2,337 mm

56 gangen/duim

nr. 14:

d = 2,032 mm

56 gangen/duim

nr. 15:

d = 1,829 mm

56 gangen/duim

nr. 16:

d = 1,626 mm

56 gangen/duim

De spaken nummer 8 en 9 worden gebruikt voor motorfietsen. De spaken nummer 10 en 11 voor lichte motorrijwielen, bakfietsen en transportfietsen. Spaak nummer 12 voor transportfietsen en de nummers 13, 14 en 15 voor toerfietsen. Spaak 16 is voor sportfietsen. De schroefdraadsoort behoort tot de Engelse, Whitworth genaamd, met een tophoek van 55 graden. Het spaakpatroon Stel, men beschikt over een velg en een naaf en ook nog over spaken van een zekere lengte, dan kan men de spaken volgens een bepaald patroon aanbrengen. Er zijn mensen die het aantal spaken tellen dat één spaak passeert in tegenovergestelde richting. Anderen tellen het aantal spaakgaten in de naaf die liggen tussen twee elkaar gekruiste spaken. De eenvoudigste methode is mijns inziens de eerstgenoemde. 1 b 2 a

Met andere woorden: de spaak maakt een hoek van 90o met de hartlijn over het spaakgat en de wielas. Deze richting heet de tangentiaalrichting. Tracht men aan dit systeem te voldoen, dan treedt het nadeel op dat de spaken op de koppen van de andere spaken lopen. Daardoor is er kans op slijtage en breuk. Bij gewone rijwielvelgen treft men geboorde gaten aan. In zware velgen, zoals die van bakfietsen en motorrijwielen, ziet men op de velg verhogingen met daarin een geboord gat. Deze verhogingen noemt men doppingen. De dopping met daarin het gat dwingt de wielmaker het wiel te vlechten zoals de fabrikant het wil. In het algemeen wordt kruis over één of kruis over twee gebruikt. Heeft men een blinde gedopte velg, dan is het zaak te weten welk kruis men gaat maken en hoe groot de spaakhoek wordt bij het betreffende kruis. Reden hiervan is, dat met het boren het gat in de dopping onder de juiste hoek geboord wordt. Voldoet men hier niet aan, dan zullen de spaken direct voor de nippel gaan knikken, hetgeen de sterkte niet ten goede komt. Bovendien ziet het er ook niet zo mooi uit.

3

spaak met nippel De figuur laat spaak 1, 2 en 3 zien die naar rechts wijzen. De spaken a en b wijzen naar links. Spaak a passeert spaak 1 en 2. Wij zeggen nu: het patroon is kruis over twee. De laatstgenoemde methode laat zien dat er dan tussen de gekruiste spaken twee gaten op de naafflens openblijven. Bij het vlechten van wielen gaat men ervan uit dat het wiel het sterkst is als de spaken worden aangebracht in de raaklijn-richting van de spaakgaten-steekcirkel van de naafflens (ook wel tangentiaal-richting genoemd) De figuur laat de spaak zien, rakend aan de spaakgatsteekcirkel. Deze staat haaks op de hartlijn van de as (of naaf) en het betreffende spaakgat in de naafflens.


velg

geodriehoek

Beschikt men nog over een compleet wiel (velg met naaf), dan moeten eerst de spaakhoeken worden gemeten. De spaakhoek aan de trommelremzijde is altijd groter dan die aan de kleine naafzijde. Bij het spaken van een wiel met een trommelremnaaf wordt aangevangen met een spaak met nippel in een dopping met gat(en) en wordt de stompe hoek gemeten. Deze hoek is het grootst aan de trommelremzijde. Verzuimt men dit te controleren, dan gaat het meestal fout en krijgt men geknikte spaken.

5

Waar ook aan gedacht moet worden, is het aantal spaakgaten in de naafflenzen. Meestal zijn dit er zesendertig, maar het kunnen er ook wel veertig zijn. Dus overtuigt u altijd van het aantal spaakgaten in de naaf en in de velg.

Ingevuld in de bovenste formule: 2

2

2

2

L s = R v + R n + L n – 2R v R n cos β Ofwel de spaaklengte is:

Nu nog iets van praktische aard. Zorg ervoor dat bij het vlechten van het wiel er bij het ventielgat geen spakenkruis komt, maar altijd twee evenwijdige spaken. Anders wordt het moeilijk de band op te pompen als het ventiel tussen een spakenkruis ligt, zeker bij een kinderfiets.

=

2

2

2

R velg + R naaf + L naaf – 2R velg R naaf cos β

Dit is de formule waarmee men alle spaaklengten kan berekenen. Er is echter een addertje onder het gras en dat is de hoek β. Deze wordt namelijk bepaald door het spaakpatroon (kruis over drie etcetera) en het aantal spaakgaten in de velg. Hieronder enige waarden van cosβ voor zesendertig-gaats velgen:

velgbed

kruis over één: cosβ = 0,939

Ls

Ln

L spaak

Ls =

2

2

2

R velg + R naaf + L naaf – 1, 8R velg R naaf =…mm

kruis over twee: cosβ = 0,766

β

Ls =

Lp

2

2

kruis over drie: cosβ = 0,5

Rv

Ls =

Rn

2

2

2

R velg + R naaf + L naaf – R velg R naaf =…mm

kruis over vier: cosβ = 0,174 Ls =

Ls Lp Ln Rv Rn

2


= = = = =

lengte van de spaak projectie van Ls op het velgbedvlak halve hartafstand van de flenzen van de naaf halve velgdiameter over het bed gemeten halve steekcirkeldiameter van de spaakgaten in de naafflens β = hoek, afhankelijk van het gekozen spaakpatroon

We leiden nu de formule af voor het berekenen van de spaaklengte met gebruikmaking van de schets hierboven. Hierin wordt dus de materiaaldikte van de velg en/of de diepte van de dopping buiten beschouwing gelaten (in berekeningen wel meetellen).

2

2

2


Voor veertiggaats velgen: kruis over één: cosβ = 0,951 kruis over twee: cosβ = 0,809 kruis over drie: cosβ = 0,588 kruis over vier: cosβ = 0,309 NB: de spaaklengte verkrijgt men in mm, als alle maten in mm worden ingevuld. Rekenvoorbeelden velgbed diameter = 570 mm doorsnede van de velg

Volgens de schets: 2 Ls

=

2 Lp

+

70 mm

2 Ln

2

2

L p = ( R v – R n cos β ) + ( R n sin β )

2

Uitgewerkt geeft de laatste: 2

2

2

2

2

2

L p = R v – 2R n R v cos β + R n cos β + R n sin β 2

2

met: sin β + cos β = 1 . 2

2

2

volgt hieruit: L p = R v + R n – 2R v R n cos β

6

aanzicht van de naaf

φ 35 mm

Eerste voorbeeld: Gegeven een zesendertiggaats velg voor een 26 ″ x 1 ½ ″ band en een naaf waarvan de hartafstand van de naafflenzen 70 mm bedraagt. De steekcirkel van de spaakgaten in de flenzen is 35 mm. De spaaknippelkoppen hebben een hoogte van 2 mm. De materiaaldikte van de velg is 2 mm. Wij nemen een spaakpatroon kruis over twee. Het midden van de naaf wordt in het midden van de velg geplaatst. De velgbeddiameter is 570 mm. Dan wordt:

Wielen spaken

570 R velg = --------- + 2 mm velgdikte + 2mm nippelkop = 289 mm 2 35 70 R naaf = ------ = 17,5 mm L naaf = ------ = 35 mm 2 2 Voor de spaaklengte kruis over twee moeten wij de tweede formule bij een zesendertig-gaats velg gebruiken, dus: 2

2

2

510 R velg = --------- + 2 mm + 3 mm = 260 mm 2 Neem de derde formule bij zesendertig-gaats velg en kruis over drie: Ls =

2

2

2

R velg + R naaf + L naaf – R velg R naaf =…mm 2 2 2 260 + 40 + 23 – 260 × 40

Ls =


L s, kleineflens =

Ls =

2 2 2 289 + 17, 5 + 35 – 1, 53 × 289 × 17, 5

Neem een spaaklengte van 242 of 244 mm.

= 278, 145mm

neem een spaaklengte van 278 mm.

L s, trommelzijde =

= 243, 57mm

2 2 2 260 + 70 + 77 – 260 × 40

= 260, 82mm

Neem een spaaklengte van 260 of 262 mm. Tweede voorbeeld: Gegeven een 21 ″ velg, zesendertiggaats met een beddiameter van 510 mm en een materiaaldikte van 2 mm. De spaaknippels hebben een kopdikte van 3 mm. De naaf is een trommelremnaaf. De steekcirkel van de spaakgaten aan de trommelzijde is 140 mm en aan de kleine naafzijde 80 mm. De hartafstand van de beide naafflenzen is 100 mm, het velgvlak ligt uit het midden van de naaf en wel op 23 mm vanaf de kleine naafflens. Als spaakpatroon nemen we kruis over drie. Berekening: let op, de naaf ligt uit het midden: Ln heeft twee maten: Ln1 = 23 mm en Ln2 = 77 mm. 140 80 Evenzo hebben we Rn1 = ------ = 40 mm en Rn2 =--------- = 70 mm. 2 2 De maat voor het velgbed moet met de materiaaldikte van de velg en de kopdikte van de nippel worden vermeerderd, dus:

Deze richt- en balanceerbok is gemaakt van een hoeklijn van 25 × 25 mm en de maten zijn zodanig gekozen dat wielen tot 21 ″ er in gaan. De bok kan op elk horizontaal werkvlak neergezet worden; door de naar beneden wijzende hoeklijn van de voorste dwarsverbinding op de rand van het werkvlak te zetten, staat de bok stevig genoeg en hoeft dus niet meer op de tafel geschroefd te worden. De bok op de foto is gelast, maar de hoeklijnen kunnen ook prima met bouten en moeren aan elkaar gezet worden. In de top van één drager is een schuivende vork bevestigd, want wielassen hebben vaak niet links en rechts dezelfde diameter en met de schuifvork zet je in een handomdraai het


Wielen spaken Vlechtwerk Liggen de (nieuwe) velg, spaken en nippels klaar, samen met de opgeknapte naaf en een papiertje met alle genoteerde maten, dan kunnen we het wiel weer opbouwen. Als je geluk hebt, is je naaf voorzien van min of meer wigvormige spaakopeningen, de zogenaamde lissen, waardoor je zowel de binnen- als buitenliggende spaken gemakkelijk in kunt haken. Zo niet, dan moet je eerst de spaken aan een zijde van de naafflens insteken; uiteraard gaan de binnen- en buitenliggende spaken er om en om in. Voor de goede orde: een buitenliggende spaak is een spaak die je van binnenuit door de naaf naar buiten toe hebt gestoken; voor de binnenliggende spaak geldt het omgekeerde verhaal. Naven met aan één zijde een trommelrem hebben aan de andere zijde altijd lissen in de naafflens, want vanwege

wiel toch zuiver verticaal in de bok. Aan beide dragers (de staande driehoeken) zijn op --23- van de hoogte draaibare strippen bevestigd (via een boutje door de staander plus strip en een vleugelmoer of machineknop), waaraan weer pennen zitten die je tegen de velgrand kunt schuiven om zo de hoogteslag en de zijdelingse slag nauwkeurig te bepalen. Het losse uiteinde van de strippen is haaks omgezet; door het haakse stukje gaat een boutje waarin weer een gat is geboord ter dikte van een richtpen. Een vleugelmoertje houdt ten slotte de pen in de gewenste positie. Gebruik je de bok om een wiel te balanceren, dan heb je de richtpennen uiteraard niet nodig.

7

de trommel kun je aan die andere kant geen spaken van binnenuit doorsteken. Begin bij een dergelijke naaf altijd met het insteken van de spaken aan de trommelkant. Let ook op de spaakhoek: liggen de spaakkoppen niet goed in de naafgaten, dan gaan de spaken krom staan als je ze door de velggaten gaat steken en vastdraait. Dat is geen gezicht en, belangrijker, het is slecht voor de sterkte van het wiel. Is één kant van spaken voorzien, dan herhaal je de handeling aan de andere kant. Een lastig karweitje omdat de zesendertig (bij Europese en Japanse motoren) of veertig (bij de meeste Engelse motoren) spaken nog volstrekt losliggen en met name bij de lisgaten er steeds weer uit willen vallen. Alleen rust en kalmte kunnen hier redding brengen, of de oude truc om stukjes rubber of karton tussen de spaakkoppen in de lissen te steken.

Belangrijk is dat de spaakkoppen de juiste hoek maken met de spaak, anders liggen ze niet goed aan in de naaf. Een binnenliggende spaak heeft een grotere hoek dan een buitenliggende spaak. Erboven enkele speciale spaaksleutels.

Wat ook werkt, is de naaf vlakhouden en de spaken er als een waaier uit laten steken. Zitten de spaken er allemaal in, leg dan de naaf met spaken vlak op de werkbank, in het midden van de velg. Begin met de onderzijde van de naaf en laat de spaken uitwaaieren, waarbij je zorgt dat een binnenliggende spaak steeds de naastliggende buitenliggende kruist. De doppen ofwel gaten in de velg wijzen in verschillende richtingen en je zorgt bij je startpunt (het ventielgat) dat een buitenliggende spaak van de benedenzijde van de naaf strak in lijn komt te liggen met een gat aan de benedenzijde van de velg. Schuif de spaak door het velggat en draai er een nippel een paar slagen op. Sla één spaak over (dat is de binnenliggende) en steek de volgende buitenliggende spaak door zijn in lijn liggende velggat. Nadat je zo rond bent gegaan, herhaal je de klus met de binnenliggende spaken vanaf de benedenzijde van de naaf, waarbij je niet vergeet dat ze gekruist liggen met de spaken die je al gedaan hebt. Refereer aan de schets die je gemaakt hebt van het spaakpatroon. Herhaal het werk met de binnen- en buitenliggende spaken aan de bovenzijde en je ziet uit je vlechtwerk een compleet wiel

8

groeien. Smeer het schroefdraad van de spaken lichtjes in met olie en draai alle nippels handvast aan. Het losjes gemonteerde wiel kan nu in een richtbok worden gezet, of in de vork van de motorfiets (al is dat behelpen). Vier dingen moeten nu in orde gemaakt worden: de concentriciteit ofwel de hoogteslag, de zijdelingse slag, de offset en de spanning van de spaken. Hoogteslag Met behulp van de richtpennen aan de richtbok kun je zien in hoeverre het wiel op en neer gaat als je het langzaam ronddraait. Waar de velg het hoogst komt en dus omlaag moet, draai je de spaken wat aan, terwijl je aan de exact tegenoverliggende kant de spaken iets losser draait. Voor het aandraaien zijn speciale spaaksleutels te koop, of je gebruikt een goed passend klein steeksleuteltje. Hou dit vol tot het wiel geen open neergaande beweging meer vertoont bij het ronddraaien; tot het wiel mooi concentrisch draait dus. Er is mogelijk één punt waar het niet lukt en waar je niets aan kunt doen: de plek waar overdwars de lasnaad in de velg zit. Waarschijnlijk krijg je de zaak niet in één keer zuiver rond, maar de aanhouder wint. ‘Zuiver’ wil overigens niet zeggen dat de afwijking absoluut naar nul wordt teruggebracht. Een verschil van 3 – 3,5 mm voor een gewone straatfiets is mooi. Gaat het om een racer, dan zou ik van die drie millimeter nog wat af proberen te snoepen. Zijdelingse slag

Als de naaf omhoog moet, draai je de spaken bij ‘A’ aan en los je de spaken bij ‘B’.

Sta je recht voor het wiel, dan kan je met behulp van de richtpennen zien hoeveel, waar en naar welke kant de zijdelingse slingering optreedt. Wiebelt het wiel op een bepaalde plaats naar links, dan draai je op die plaats de rechterspaken wat aan, terwijl je de spaken aan de linkerkant eventueel wat lost. Draai het wiel steeds rond en werk met kleine beetjes tegelijk, want je zal merken dat – naarmate het wiel zuiverder draait – je op een gegeven moment met één hele slag van de spaaksleutel de slingering naar de andere kant trekt in plaats van naar nul.

Wielen spaken

nippel nog wat aandraaien. Zoals met het hele richtwerk geldt ook hier: werk rustig en voorzichtig. Is het wiel helemaal naar je zin, dan kunnen de stukjes spaak die eventueel uit de nippels steken weggehaald worden met een zaag, slijptol en/of vijl. Steken er geen (scherpe) stukjes meer uit, veeg dan de velg van binnen schoon en monteer het velglint of als je dat niet hebt, wikkel een rolletje breed isolatieband af.

Ten slotte

Met de richtpennen bepaal je hoeveel zijdelingse slag het wiel nog maakt en ook of er nog een hoogteslag is. Offset Als alle spaken van de juiste lengte op de juiste plaatsen zijn gemonteerd, dan heb je de offset al bijna aan de gewenste maat zitten. Moet de velg naar rechts opschuiven ten opzichte van de naaf, dan draai je alle spaken aan die kant wat aan, en omgekeerd. Eventueel los je de spaken aan de tegenoverliggende kant een tikje. Vermijd dat je nu alle spaken muurvast aandraait; heb je spaken van de juiste lengte gekocht (niet te korte dus), dan zal dat ook niet gebeuren Spaken op spanning Zijn de vorige drie punten naar tevredenheid afgerond, breng dan de spaken op spanning door ze allemaal gelijkmatig steeds verder aan te draaien, waarbij je ook regelmatig de hoogte- en zijdelingse slag checkt. Ga door tot de spaken, als je er met een schroevendraaier langs tokkelt, allemaal een even heldere klank geven. Klinkt een spaak dof, dan is die nog niet op spanning en moet je de


Een reactie van Albert Rorije van Wielservice Hasselt: Het lijkt mij wel een heel omslachtig gebeuren om zo je spaken te berekenen. Nu ik de proef op de som heb genomen, blijkt uit mijn berekening dat niet alle uitkomsten juist zijn. Ik kan er de vinger niet op leggen waar de fout in de berekening zit, of dat deze bij mij moet zitten. Zelf werk ik met een meetmal en deze zegt soms iets anders dan de berekening. Ik ben ook van mening dat het met de hand uitmeten nooit afwijkt, maar ik gebruik hiervoor een meetmal. Deze is (gelukkig) niet te koop. Ook Simon Poelma en Arie Haan werken hiermee. Ik denk dat deze heren ook niet het geheim van de smid prijs zullen geven. Maar het is het vermelden waard om deze berekening in jullie blad te zetten. Zet er echter wel een noot bij: ‘bezint voor je begint’ (bij deze dan, red.) Een set spaken butted kost al snel 60 euro voor 40 stuks en als ze niet passen, kun je er niets meer mee dan alleen je oren ermee schoonmaken (mits je er een watje omheen wikkelt). Sieb de Vries, Heemstede, Hans van Dissel, Den Haag Dit artikel is een bewerking van het artikel ‘Wielen spaken’ uit de Unapproachable (clubblad van de Norton Club Nederland), maart/april 2008. Met dank aan Hans Mijnders en Nancy Koorn (NCN).

9

Vanaf augustus 2007 kunnen scholen het interdisciplinaire examenvak natuur, leven en technologie (NLT) aanbieden. Wiskunde is een van de deelnemende vakken in NLT. Josien Heijn en Jenneke Krüger laten iets zien van de plaats van wiskunde in dit jonge vak, zowel in de ontwikkeling als in het lesmateriaal en de (mogelijke) rol van wiskundedocenten in ontwikkeling en uitvoering. Mogelijkheden voor afstemming met wiskunde D worden aangestipt.

Wiskunde in NLT Leerling: Wat heb je eigenlijk aan wiskunde? Docent: Wiskunde is heel nuttig, je hebt het later nodig als je gaat studeren.

Inleiding Alle studierichtingen die, al is het maar in de verte, iets met bèta te maken hebben, stellen wiskunde verplicht. Hoe komt het dat leerlingen die een N-profiel volgen op VWO en HAVO zo weinig van nut en noodzaak van wiskunde merken? Over het algemeen moeten leerlingen maar geloven dat wiskunde een belangrijk vak is voor andere bètarichtingen; binnen het gangbare onderwijs van HAVO en VWO is daar weinig van terug te vinden. Bij wiskunde worden sommen gemaakt. Bij andere vakken wordt wel eens wat berekend, er staat wel eens een formule, maar veel lijken wiskunde en de overige vakken niet met elkaar te maken te hebben. Hoe zit dat bij natuur, leven en technologie (NLT), een nieuw interdisciplinair profielkeuzevak voor de N-profielen? Enkele citaten: ‘NLT-onderwijs laat leerlingen ondervinden dat:.... in wetenschap en technologie gebruik van begrippen, algoritmes en heuristieken uit wiskunde en informatica vaak noodzakelijk is.’ Uit: Contouren van een nieuw bètavak (2007). ‘Domein B: Fundament van wetenschap en technologie De kandidaat kan een aantal voor de natuurwetenschap belangrijke wiskundige technieken en ontwikkelingen toepassen, dan wel enkele recente theorieën uit de fundamentele natuurwetenschap uitleggen.’ Uit: examenprogramma HAVO:(www.slo.nl) ‘Domein B: Taal van de natuurwetenschap De kandidaat kan relevante concepten en technieken uit wiskunde en/of informatica toepassen op natuurwetenschappelijke of technologische vraagstukken.’ Uit: examenprogramma VWO (www.slo.nl)

Een ambitieuze doelstelling voor wiskunde dus, waarbij men zich moet realiseren dat het niet in de eerste plaats de bedoeling van NLT is om alleen interessante of diepe wiskunde te laten zien. Er is plaats voor modules die in

10

hoofdzaak wiskundig verdiepend zijn, maar in de meeste gevallen zal wiskunde als gereedschap voorkomen. Gereedschap waarvan een leerling goed moet weten hoe het te gebruiken, op verschillende niveaus, afhankelijk van de doelgroep. Die doelgroep kan variëren van leerlingen in 4 HAVO met wiskunde A tot leerlingen in 6 VWO met wiskunde B. Wat zien we terug in de lesmaterialen van de wiskundige ambities voor NLT? Welke rol spelen docenten wiskunde in NLT? Wat zijn ervaringen van leerlingen ten aanzien van het belang van wiskunde? NLT?

is een interdisciplinair profielkeuzevak voor leerlingen met een N-profiel, waarin tenminste biologie, fysische geografie, natuurkunde, scheikunde en wiskunde vertegenwoordigd zijn. Informatica speelt een belangrijke rol. Het heeft de omvang van een groot examenvak (320 uur op HAVO, 440 uur op VWO) en wordt in zijn geheel afgesloten met een schoolexamen. De doelstellingen bepalen mede enkele karakteristieken van NLT. Enkele doelstellingen die we in dit verband willen noemen zijn: – leerlingen zich laten oriënteren op een breed spectrum van vervolgstudies en beroepen, – leerlingen het belang laten ervaren van interdisciplinaire samenhang in de ontwikkeling van wetenschap en technologie, – meer keuzemogelijkheden bieden voor docenten en leerlingen in het bètaonderwijs op school, aansluitend op de expertise van docenten, de interesse van leerlingen en de mogelijkheden die de regio biedt (vanwege aanwezige instituten en bedrijven), – bètaonderwijs beter laten aansluiten op nieuwe ontwikkelingen in samenleving, wetenschap en technologie in wisselwerking met het hoger onderwijs, onderzoeksinstituten en het bedrijfsleven. De Stuurgroep NLT heeft er voor gekozen om de vakinhoud te laten ontwikkelen in de vorm van vijftig modules van elk 40 slu, en om bij de ontwikkeling van elke module zowel docenten VO als experts uit HO of relevante beNLT

Wiskunde in NLT

roepen te betrekken. De ontwikkeling van modules wordt gecoördineerd en aangestuurd door een projectgroep, het Landelijk Ontwikkelpunt (LOP). De onderwerpen voor de modules (die gezamenlijk de vakinhoud vormen) passen binnen het examenprogramma (zie figuur 1) en zijn vaak afkomstig uit hoger onderwijs of bedrijfsleven. Het examenprogramma van HAVO bestaat uit de volgende domeinen: Domein A: Vaardigheden Domein B: Taal van de natuurwetenschap Domein C: Bedreiging en behoud van de leefomgeving Domein D: Zorgen en genezen Domein E: Opsporen en beschermen Domein F: Verbetering van de kwaliteit van leven Domein G: Grenzen verleggen Domein H: Communiceren en navigeren Domein I: Gemak dient de mens Het HAVO-schoolexamen heeft betrekking op het gehele domein A in combinatie met – domein B – tenminste twee van de domeinen C t/m E – tenminste twee van de domeinen F t/m I Het examenprogramma van VWO bestaat uit de volgende domeinen: Domein A: Vaardigheden Domein B: Fundament van wetenschap en technologie Domein C: Aarde en klimaat Domein D: Stellaire informatie en processen Domein E: Biofysica, -chemie en -informatica Domein F: Biomedische technologie en biotechnologie Domein G: (Duurzaam) gebruik van grondstoffen, energie en ruimte Domein H: Materialen, proces- en productietechnologie Domein I: Werktuigen, voertuigen en producten Het VWO-schoolexamen heeft betrekking op het gehele domein A in combinatie met – domein B – tenminste twee van de domeinen C t/m E – tenminste drie van de domeinen F t/m I

NLT-modules

Een evaluatie van alle tot nu toe ontwikkelde modules levert op dat veel modules een flinke natuurkundige en/of biologische component hebben, maar wel duidelijk interdisciplinair zijn. Ook zijn er modules die hoofdzakelijk bestaan uit een van de betrokken vakken met een kleine inbreng van andere vakken. Er is een veelheid aan onderwerpen, waarbij een groot deel van de modules uit het oogpunt van wiskundeonderwijs interessant is, ook als er geen directe, voor de leerling nieuwe, wiskundige kennis in voorkomt. Wiskunde leren gebruiken is per slot een belangrijke doelstelling van ons wiskundeonderwijs. Er bestaan grote verschillen in niveau, diepgang en aanpak van modules: in de ene module worden leerlingen stap voor stap aan de hand meegenomen, in een andere worden bredere opdrachten aangeboden waarbij leerlingen zelf de benodigde kennis moeten vergaren om tot een oplossing te komen. Zo is er ook variatie in de hoeveelheid open en gesloten opdrachten. Dit biedt de mogelijkheid als school en als docent de modules te selecteren die aansluiten bij de interesse en mogelijkheden van docententeam en leerlingen. In de modules worden, naast vakkennis, veel vaardigheden van leerlingen aangesproken: samenwerken, presenteren, het uitvoeren van practica (en verwerken van resultaten), logisch denken, leren door doen en het toepassen van nieuwe kennis.

Wiskunde in NLT-modules Bij de ontwikkeling van NLT-modules zijn docenten van de verschillende vakken betrokken, ook docenten wiskunde. De eerste versie van een module wordt geëvalueerd door verschillende belanghebbenden, onder andere leerlingen, docenten van verschillende vakken en inhoudelijke experts. Om de kwaliteit van het lesmateriaal voor dit nieuwe vak te waarborgen, hanteert de Stuurgroep een keurmerk; het NLT-certificaat (zie figuur 2).

fig. 1 de domeinen van het examenprogramma

Scholen kunnen NLT aanbieden vanaf augustus 2007. Het onderwijs in NLT wordt verzorgd door een team van eerstegraadsdocenten met bevoegdheid in een of meer van bovengenoemde vakken. Op het moment van schrijven (juli 2008) zijn 21 modules gecertificeerd (11 HAVO, 10 VWO). Het plan is om in 2010 tenminste 50 gecertificeerde modules beschikbaar te hebben (20 HAVO, 30 VWO). Leerlingenmateriaal van de modules is vrij beschikbaar voor onderwijsdoeleinden via de website van NLT (www.betavak-nlt.nl).


fig. 2 het NLT-certificaat

Om voor certificering in aanmerking te komen, worden modules geanalyseerd op zo’n 25 items, waaronder twee expliciet wiskundig. Zie figuur 3.

11

Werken met formules Werk met formules als ‘weergave van de werkelijkheid’ in plaats van als ‘rekenvoorschrift’. Als leerlingen zien wat formules betekenen (waarom ze er zo uitzien), leidt dat tot begrip; als ze alleen moeten invullen en uitrekenen leidt het tot ‘trucjes uitvoeren’. Kijk steeds kritisch welke formules leerlingen zelf kunnen afleiden, kijk ook welke formules met een beetje uitleg in elk geval te begrijpen moeten zijn (zonder het zelf te kunnen afleiden). Zichtbaarheid wiskunde Een van de doelen van NLT is leerlingen te laten zien dat wiskunde de taal is van wetenschap en technologie. Maak dat expliciet op de plekken waar dat mogelijk is. Bron: Analyserapport LOP-NLT fig. 3 wiskundige criteris voor certificering

Dit betekent niet dat er koste wat kost wiskunde in een module moet zitten: wiskunde moet passen in het onderwerp. Nu (juli 2008) zijn de meeste modules uit de eerste drie series ontwikkeld en getest (er worden vier series modules ontwikkeld). In het merendeel van de modules komt wiskunde voor, maar de hoeveelheid en het niveau van de wiskunde wisselen sterk per module. Waar aanwezig, wordt wiskunde gebruikt en toegepast in praktische situaties, het biedt hulp bij het verwerken van (meet)gegevens, het inzien van wat nodig is voor het maken van berekeningen en het leggen van verbanden. Soms is dit in een aparte paragraaf, maar meestal is de wiskunde ingebed in het onderwerp. Een enkele keer wordt nieuwe of echt diepgaande wiskundige kennis opgenomen. Wiskundige vaardigheden die in het merendeel van de modules voorkomen, zijn: rekenen met, afleiden en herschrijven van (veelal natuurkundige) formules, het tekenen en aflezen van grafieken en diagrammen, het verwerken van meetresultaten en -gegevens, en het vinden van en werken met verbanden en verhoudingen tussen grootheden. Ook wordt bij een deel van de modules gebruikgemaakt van de grafische rekenmachine of verwerkingsprogramma’s als Coach, Excel of Powersim. Een vaak gehoorde klacht uit het hoger onderwijs is dat leerlingen gebrekkige formulevaardigheid tonen. NLT biedt volop gelegenheid de formulevaardigheid te verbeteren, op een vanzelfsprekende manier. Onderwerpen die in meerdere modules terugkomen, zijn bijvoorbeeld periodieke bewegingen/functies (in het geval van licht, beeld en geluid), kansrekening en statistiek (combinaties, conditionele kansen, kansverdelingen), exponentiële en logaritmische functies en het werken met hoeken, doorsneden en plattegronden. Ook zijn er modules die specifieke nieuwe onderwerpen uit de wiskunde

12

behandelen, zoals dynamisch programmeren, lineair programmeren en het Bayes-model in de statistiek. en wiskunde D Er is enige overlap tussen NLT en wiskunde D. De mogelijkheid bestaat modules in de vrije ruimte uit te wisselen. We noemen enkele voorbeelden: In de vrije ruimte bij NLT kan op het VWO gebruikgemaakt worden van voor wiskunde D ontwikkelde modules, zoals de modules Beslissen, Complexe getallen en Cryptografie (zie www.ctwo.nl). Op het ogenblik zijn er tenminste vier NLT-modules, drie HAVO en één VWO, die binnen wiskunde D gebruikt kunnen worden. Deze worden beschreven in ‘Voorbeelden van wiskundige modules’. NLT

Voorbeelden van wiskundige modules Zoals al aangegeven, zijn er veel modules waarin wiskunde ondersteunend is, maar geen hoofdrol speelt en ook enkele waar geen wiskunde in voorkomt. Daarnaast zijn er echter ook modules die hoofdzakelijk wiskunde bevatten of die een zo grote hoeveelheid wiskunde bevatten dat een wiskundedocent vrijwel onmisbaar is. Eerst volgt een beschrijving van een aantal van deze meer wiskundige modules, daarna van enkele modules waarin wiskunde een rol speelt die minder groot is. Het betreft voorbeelden van de stand van zaken in juli 2008, de ontwikkeling van modules is nog in volle gang. Modules vrijwel geheel wiskundig, geschikt voor keuzeruimte wiskunde D – H002 Dynamisch modelleren (eind 4 HAVO, begin 5 HAVO). In deze module wordt het bouwen van en werken met dynamische modellen behandeld in contexten vanuit diverse vakgebieden. Er wordt gestart met een eenvoudig model, wat aangepast wordt tot een meer realistisch model. Ook worden de modellen getest aan de werkelijkheid met behulp van metingen van experimenten of beschikbare gegevens op internet. Er wordt gebruik gemaakt van Powersim of Coach. – H018 Beter door praktische logistiek (eind 4 HAVO of 5 HAVO). In deze module leren leerlingen stapsgewijs praktische (logistieke of transport)problemen te vertalen naar een wiskundig model met (stelsels van) lineaire vergelijkingen en ongelijkheden. Bij het oplossen wordt gebruikgemaakt van lineair programmeren (en dus ook de Simplex methode) en Excel Solver. – H019 Statistiek en technologie 1 (4 HAVO). Deze module geeft inzicht in het bepalen van de verdeling van gegevens, vooral de normale verdeling (een groot deel herhaling, maar toch ook verdieping, voor wiskunde A en D leerlingen), en gaat hierin verder wat betreft het nemen van steekproeven, statistische significantie en het toetsen van hypothesen. Aan het eind van de module kan de leerling op grond

Wiskunde in NLT

van een steekproefresultaat een (statistisch) verantwoorde beslissing nemen bij problemen die een rol spelen in de technologie. Er wordt gebruik gemaakt van Excel en de grafische rekenmachine. – V102 Dynamisch modelleren (5 VWO). Leerlingen ontdekken in deze module hoe complexe natuurwetenschappelijke verschijnselen met behulp van dynamische modellen wiskundig beschreven kunnen worden, en hoe deze modellen gebruikt kunnen worden om de verschijnselen te voorspellen en beter te begrijpen. Hierbij wordt Powersim gebruikt. Bij deze module is ook natuurkundige kennis (mechanica, eigenschappen van krachten) nodig; er is ook een biologische uitwerking (keuzeopdrachten). Modules waarbij wiskunde een flinke rol speelt – H003 Aërosolen en vuile lucht (4 HAVO). Deze module gaat in op aërosolen, welke stoffen een rol spelen bij luchtvervuiling en de factoren bij klimaatverandering. Er wordt veel natuurkundige kennis aangeboden (en er worden metingen verricht, die verwerkt moeten worden), maar ook algemene wiskundige vaardigheden worden aangesproken, het rekenen aan goniometrische formules en hun eigenschappen, werken met logaritmische schaalverdeling en het gebruik van Excel. – H009 Plaatsbepaling en navigatie (4 HAVO). In deze module werken leerlingen met kaarten (Google Earth), windrichtingen, geografische en rechthoekige coördinaten, het bepalen van een route en het uitrekenen van een kortste route. Ze leren plaatsbepaling met behulp van hemellichamen en GPS. Er is een keuzeopdracht die ingaat op driehoeksmetingen en de sinusregel. De module heeft een sterk aardrijkskundig karakter, met wiskunde en een beetje natuurkunde. – V104 MP3-speler (5 VWO). Deze module gaat in op meerdere kanten van de MP3speler: signaalverwerking van analoog naar digitaal, geluid, sinusoïden en muziek. Er komt veel wiskunde in voor, met name periodieke functies, maar ook rekenen met logaritmische schaal en functie, en wat statistiek. Ook wordt er gewerkt met het binaire getalstelsel en wordt modulo-rekenen ingeleid en toegepast. – V108 Meten aan melkwegstelsels (5 of 6 VWO). Met gebruikmaking van zeer precieze sterrenkundige waarnemingen wordt door leerlingen aangetoond dat er zich een immens grote massa in het centrum van ons melkwegstelsel moet bevinden. Deze module is vooral natuurkundig. Wiskunde is erg zichtbaar in de vele berekeningen die het begrip van de natuurkundige formules vergroten en in het gebruik ervan om de juistheid van formules te bevestigen en uitspraken te kunnen doen over het melkwegstelsel. – V112 Waterstofauto (5 of 6VWO). De leerlingen verdiepen zich in het hart van een waterstofauto: de brandstofcel en zijn mogelijke opslagvor-


men. Ze maken een natuurkundig en wiskundig model van de krachten op de auto en bepalen hoeveel brandstofcellen nodig zijn voor een bepaalde snelheid. Er wordt veel gerekend met en aan formules. Er moeten regelmatig veel gegevens gecombineerd worden, en leerlingen moeten uit een veelheid van data de benodigde gegevens halen om de gevraagde berekeningen uit te voeren. Ook moeten ze schattend rekenen. – V116 Leven met robots (VWO). Leerlingen raken vertrouwd met sensoren en reactief gedrag bij robots, gebaseerd op kennis over gedrag bij dieren. Ook wordt meer complex gedrag bestudeerd aan de hand van eenvoudige, zelf te ontwikkelen computermodellen, in de vorm van een practicum met kleine robots die de leerlingen zelf leren programmeren. Leerlingen krijgen te maken met logica en werken met getalstelsels en een algoritme. Het programmeren vereist een stelselmatige manier van denken, een meer ‘algemene’ vaardigheid onder andere opgedaan bij wiskunde. – V119 Holografie (6VWO). In deze module wordt theorie behandeld die nodig is om de werking van een hologram te begrijpen. Leerlingen leren hoe ze zelf een hologram kunnen maken. Hierbij is veel natuurkundige kennis nodig, maar naast scheikunde speelt ook wiskunde een grote rol. Leerlingen werken met formules en grafieken en rekenen veel aan goniometrische functies (inclusief formules van Simpson) en hun eigenschappen.

Wiskundedocenten in NLT Wiskundedocenten dragen bij aan de ontwikkeling van lesmateriaal. Hoe staat het met hun bijdrage aan onderwijs in NLT? Uit eerdere onderzoeken naar samenwerking tussen docenten van bètavakken komt naar voren dat wiskundedocenten relatief weinig samenwerken met collega’s van andere vakken. NLT kan niet door één docent gegeven worden; daarvoor zijn de onderwerpen te divers en is het inhoudelijk niveau van een aantal modules te hoog. De Stuurgroep heeft voor scholen die NLT aanbieden de eis gesteld dat het onderwijs verzorgd wordt door een team van minimaal drie docenten, met tenminste drie verschillende eerstegraadsbevoegdheden in de volgende vakken: biologie, geografie (met specialisatie fysische geografie), natuurkunde, scheikunde, wiskunde. Het is dus mogelijk om een NLT-team te vormen zonder docenten wiskunde. Als scholen melden dat ze NLT willen invoeren, wordt op het registratieformulier onder andere gevraagd naar de geplande samenstelling van het NLT-team. In het voorjaar van 2008 is een survey naar scholen gestuurd met onder andere de vraag naar de actuele samenstelling van het NLT-team. Voor een overzicht van de gerealiseerde samenstelling (april 2008) zie figuur 4.

13

van de invoering relatief veel leerlingen voor NLT kozen, verrassend gezien de onbekendheid met het vak. Uit een nog niet gepubliceerd survey van het LOP blijkt dat van de scholen die reageerden 19% tenminste twee HAVO-klassen NLT en 27% tenminste twee VWO-klassen NLT had gevormd.

Bron: LOP (Berenice Michels, ongepubliceerd)

fig. 4 samenstelling docententeam NLT (april 2008)

De deelname van wiskundedocenten aan docententeams NLT is conform de geplande deelname zoals door scholen tot juni 2007 is gemeld. En ze is dus hoger dan op basis van eerdere onderzoeken te verwachten was (zie SONaTE). Docenten NLT, ook wiskundedocenten, blijken desgevraagd de samenwerking met collega’s van andere vakken een positief aspect van NLT te vinden. Een deel van de meerwaarde voor een docent wiskunde om mee te werken in het NLT-docententeam is gelegen in de mogelijkheid zicht te krijgen op de kennis en vaardigheden van leerlingen in andere vakgebieden, de mogelijkheid mee te kijken ‘in de keuken’ van de collega’s van andere (NLT-)vakken en de mogelijkheid diezelfde collega’s te laten delen in concepten en werkwijzen bij wiskunde. Evenzo belangrijk is de kans om de leerlingen wiskunde te laten gebruiken in situaties die veel lijken op wat ze in een studie of beroep tegenkomen. Voorwaarde is wel dat de schoolleiding enige compensatie biedt voor de extra tijd en energie die zowel het leren werken in een team als de introductie van een nieuw vak kosten.

Leerlingen Over de ervaringen van leerlingen is nog niet veel bekend, we kunnen er nog niet veel over melden.. Het LOP zal in de komende periode zowel bij docenten als leerlingen peilingen naar de ervaringen uitvoeren. We weten dat bij de start

14

Docenten geven aan dat hoewel de eerste indruk van NLT (bij de startmodules) vaak die van een makkelijk vak is, leerlingen daarna ervaren dat NLT behoorlijke inspanning vereist. Maar leerlingen vinden met name het sterk praktische aspect van NLT vaantrekkelijk. Inspanning eisen kan overigens positief zijn, zoals enkele leerlingen die we spraken lieten weten. Wat betreft vakaspecten signaleren docenten tot nu toe voornamelijk problemen van leerlingen met gebrek aan natuurkundige voorkennis; over problemen op dit gebied met wiskunde zijn er tot nu toe geen berichten. Het komende jaar zal het LOP een aantal activiteiten ondernemen om de gang van zaken en met name ervaringen van leerlingen, te peilen en te evalueren. Daarbij zullen we ook de ervaringen met de wiskundige component betrekken.

Na één jaar Het aantal scholen dat NLT aanbiedt, neemt nog steeds toe. Dit vak biedt interessante mogelijkheden, ook voor docenten wiskunde. Een aantal scholen biedt overigens zowel wiskunde D als NLT aan, dat schept voor docenten wiskunde, en niet te vergeten de leerlingen, nog meer kansen om twee interessante en verrijkende vakken te volgen; vakken die docenten, mede door het ontbreken van het keurslijf van een centraal examen, volop mogelijkheden bieden om samen met collega’s kwalitatief hoogstaand onderwijs te verzorgen. Een onderwerp waar we niet op in konden gaan, is de rol die Regionale Steunpunten NLT aan scholen bieden bij het onderwijs in NLT. Voor meer informatie daarover zie de website van het LOP (www.betavak-nlt.nl). Josien Heijn SG Huizermaat, Huizen Jenneke Krüger SLO, Enschede, [email protected]

Wiskunde in NLT

Wat te bewijzen is (42) Rubriek Kort na het verschijnen van nummer 40 van deze rubriek werd ik via de elektronische post op aimabele wijze door Martinus van Hoorn en Hans Klein geattendeerd op een fout. Het betrof dit fragment: Terug naar de diophantische vergelijking: 2

2

2

(*) a – ab + b = c Daarvan ken ik nu oneindig veel oplossingen: a = 2mn – n

2

, b = m 2 – n 2 , c = m 2 – mn + n 2

met m, n natuurlijke getallen. Voor wie het niet vertrouwt, ligt hier een mooie algebra-oefening: substitueer deze vormen voor a, b en c en werk uit. Andere geheeltallige oplossingen dan die beschreven worden door bovenstaande formule, zijn er niet.

Het venijn zit hem in de laatste uitspraak. Martinus en Hans merkten terecht op dat behalve (a, b, c) = (5, 8, 7) ook (3, 8, 7) voldoet aan de vergelijking (*) terwijl dit drietal niet geproduceerd wordt door bovengenoemde formules. In feite is het zo dat bij iedere geheeltallige oplossing (a, b, c) met a < b van (*) ook het trio (b − a, b, c) een oplossing is. Dat wordt direct duidelijk als (*) herschreven wordt als: 2

a(b – a) = b – c

2

Er is dus een tweede tabel van – zeg ‘complementaire’ – oplossingen te maken die wordt gegenereerd door 2

2

a = m – 2mn , b = m – n

2

2

, c = m – mn + n

2

Substitutie van m = 3, n = 1 geeft dan (a, b, c) = (3, 8, 7). De fout is minder ernstig dan zij op het eerste gezicht lijkt. Als ik in de bovenste parametervoorstelling voor (m, n) het paar (5, 1) invul, komt er (a, b, c) = (9, 24, 21) en dit trio is evenredig met (3, 8, 7). Doe ik dit in de tweede formule, dan komt er (a, b, c) = (15, 24, 21) en dat is weer evenredig met (5, 8, 7). Er kan wel degelijk worden volstaan met één parametervoorstelling, maar die moet dan niet als gelijkheid, maar als evenredigheid van tripels worden gezien en de laatste zin uit bovengenoemd fragment zou bijvoorbeeld zo kunnen worden verbeterd: geheeltallige oplossingen die niet evenredig zijn met de door de formule beschreven exemplaren, zijn er niet. Terugdenkend moet ik bekennen dat ik opkomende lichte argwaan bij het opschrijven van de gewraakte zin uit het fragment destijds heb weggewuifd met de gedachte aan de beroemde formule 2

a = m –n

2

,

b = 2mn

,

2

c = m +n

2

die de zogenaamde Pythagorese drietallen voortbrengt. Daarom ga ik daar nu eerst even op in.


Pythagorese drietallen Het kleitablet Plimpton 322 (gedateerd zo’n 1800 v.Chr.) wordt wel eens beschouwd als de grootste prestatie van de Babylonische wiskunde. Het bevat vijftien geheeltallige oplossingen van de vergelijking a 2 + b 2 = c 2 die, op een enkele na, indrukwekkend groot zijn. Wat bijvoorbeeld te denken van: 2

2

2

4961 + 6480 = 8161 ? Is het niet buitengewoon onwaarschijnlijk dat dit drietal tevoorschijn gekomen is na slim proberen? De deskundigen zijn het er wel over eens dat de Babyloniërs over een algoritme beschikten om zulke drietallen te vinden, zoiets als de formules onderaan in de vorige kolom. Substitutie van m = 81 en n = 40 in die formules levert inderdaad het drietal (4961, 6480, 8161) op. Die formules kunnen worden afgeleid via de methode: ‘maak een rationale parametervoorstelling van de cirkel x 2 + y 2 = 1 met hulp van de draaiende lijn y = tx − 1 en stel vervolgens t = m/n met m, n geheel.’ Zo kunnen de Babyloniërs echter onmogelijk hebben gehandeld. Hoe dan wèl? We weten dat zij beschikten over ‘inversentabellen’ (van getallen met hun omgekeerde in het zestigtallig stelsel). Als we a 2 + b 2 = c 2 herschrijven als c----------+ a- c---------– a× = 1 b b

geeft dat een indicatie voor een mogelijke rekenwijze. Stel bijvoorbeeld: c----------+ a81 = -----b 40

en

c – a40 ---------= -----b 81

Na respectievelijk optellen en aftrekken van deze twee breuken komt er --c- = 8161 -----------b 6480

a--4961 = -----------b 6480

en

en dat verklaart de vondst (4961, 6480, 8161). Generalisatie van het voorbeeld levert op: c----------+ am = ---b n

c---------– an = ---b m

en

optellen en aftrekken 2

2

m +n --c- = -----------------b 2mn

2

2

– n-----------------en a--- = m b

2mn

Dus: a, b en c moeten zich wel verhouden als m2 − n2, 2mn en m2 + n2. Zo leveren m = 2 en n = 1 de bekende 3-4-5-verhouding op; m = 3 en n = 1 doen dit trouwens ook, zij het in de gedaante (8, 6, 10). Een andere bekende van school, de rechthoekige driehoek (5, 12, 13), correspondeert met het paar m = 3, n = 2.

15

Primitieve Pythagorese drietallen Om primitieve Pythagorese drietallen (a, b, c onderling ondeelbaar) te vinden, is het in de eerste plaats zaak om m en n onderling ondeelbaar te kiezen. Dat zo’n keuze niet garant staat voor een primitief drietal, laat het voorbeeld (m, n) = (3, 1) zien. Wèl zeker is het dat 2 de enige kandidaat is om gemeenschappelijke priemdeler te zijn van a, b en c. Het bewijs is kort maar krachtig. Stel p is een priemdeler van zowel a = m2 − n2 als b = 2mn (en dan automatisch ook van c). Uit p ≠ 2 volgt dat p deler is van m óf van n, maar niet van beide. Dit is echter in strijd met p is deelbaar op m2 − n2. Ik onderscheid nu twee gevallen. (I) m is even en n is oneven (of omgekeerd). (II) m en n zijn beide oneven. In geval I is a het product van de oneven getallen m + n en m − n en daarom niet deelbaar door 2, dus (a, b, c) zal nu een primitief drietal zijn. In geval II is a het product van twee even getallen, dus een viervoud terwijl b (het dubbele van het oneven getal mn) een viervoud + 2 is. Dus 2 is de ggd van a, b (en c). Na deling door 2 ontstaat er een primitief Pythagorees drietal (A, B, C). De vraag is nu: wordt dit drietal ook voortgebracht door onze parametervoorstelling? Wel, kies M = 2

--1- ( m 2

+ n ) en N =

1-(m 2

– n ) en er komt 2

2

2

A = --12- ( m – n ) = 2MN en B = mn = M – N . Het antwoord is dus ‘ja’ en daarmee is aangetoond dat alle primitieve Pythagorese drietallen worden verkregen door in de parametervoorstelling voor m en n onderling ondeelbare getallen van verschillende pariteit te nemen. Ter illustratie: zie onderstaande tabel van Pythagorese drietallen bij onderling ondeelbare m en n. Categorie I

16

Categorie II

2

2

2

Terug naar a – ab + b = c In de tabel hieronder staan naast elkaar de geheeltallige oplossingen (a, b, c) voortgebracht door de parametervoorstellingen a = 2mn – n 2 links, a = m 2 – 2mn 2 2 2 2 rechts, b = m – n en c = m – mn + n waarbij voor m en n onderling ondeelbare getallen zijn genomen met bovendien m > 2n. (m,n)

(a, b, c)

(m,n)

(a, b, c)

(3, 1)

(5, 8, 7)

(3, 1)

(3, 8, 7)

(4, 1)

(7, 15, 13)

(4, 1)

(8, 15, 13)

(5, 1)

(9, 24, 21)

(5, 1)

(15, 24, 21)

(5, 2)

(16, 21, 19)

(5, 2)

(5, 21, 19)

(6,1)

(11, 35, 31)

(6,1)

(24, 35, 31)

(7, 1)

(13, 48, 43)

(7, 1)

(35, 48, 43)

(7, 2)

(24, 45, 39)

(7, 2)

(21, 45, 39)

(7, 3)

(33, 40, 37)

(7, 3)

(7, 40, 37)

(8,1)

(15, 63, 57)

(8,1)

(48, 63, 57)

(8,3)

(39, 55, 49)

(8,3)

(16, 55, 49)

De voorwaarde m > 2n zorgt er in de linkerhelft van de tabel voor dat er geen doublures optreden door verwisseling van de uitkomsten van a en b en in de rechterhelft dat er geen negatieve uitkomsten voor a optreden. Evenmin als bij de Pythagorese drietallen staat de onderlinge ondeelbaarheid van m en n garant voor het primitief zijn van het tripel (a, b, c). In een e-mail merkte Hans Klein op dat a, b en c drievouden zijn als de som m + n een drievoud is. In de tabel wordt dat bevestigd in de grijs gemaakte regels. De waarheid volgt uit de twee identiteiten: 2mn − n2 = 3mn − n(m + n) en m2 − n2 = (m + n) (m − n). Omgekeerd: als m en n onderling ondeelbaar zijn en als a en b beide deelbaar zijn door het priemgetal p, dan moet p = 3 en m + n een drievoud zijn. Bewijs: a = n(2m − n) en b = (m + n ) (m − n). Uit de onderlinge ondeelbaarheid van n en m volgt eenvoudig de onderlinge ondeelbaarheid van n en 2m − n en ook van m + n en m − n. Stel nu dat p deelbaar is op zowel a als b. Er zijn dan precies vier combinaties mogelijk, waarvan er drie tot tegenspraak leiden.

(m,n)

(a, b, c)

(m,n)

(a, b, c)

(2,1)

(3, 4, 5)

(3,1)

(8, 6, 10)

(3,2)

(5, 12, 13)

(5,1)

(24, 20, 26

(4,1)

(15, 8, 7)

(5,3)

(16, 30, 40)

(4,3)

(7, 24, 25)

(7,1)

(48,14, 50)

(5,2)

(21, 20, 29)

(7,3)

(40, 42, 58)

p deler van n

p deler van m + n

(5,4)

(9, 40, 41)

(7,5)

(24, 70, 74)

p deler van 2m − n

p deler van m − n

(6,1)

(35, 12, 37)

(9,1)

(80,18, 82)

(6,5)

(11, 60, 61)

(9,5)

(56, 90, 106)

(7,2)

(45, 28, 53)

(9,7)

(32, 126, 130)

(7,4)

(33, 56, 65)

(11,1)

(120, 22, 122)

De beide combinaties met ‘p is deler van n’ leiden tot ‘p is deler van zowel m als n’, hetgeen was uitgesloten. Uit p is deler van 2m − n en van m − n volgt dat p een deler is van (2m − n) − (m − n) = m en vervolgens ook van n, opnieuw tegenspraak dus. Uit p is deler van 2m − n en van m + n volgt dat p een deler

Wat te bewijzen is (42)

is van (2m − n) + (m + n) = 3m (&). In samenhang met p is deelbaar op m + n leidt dit dan tot p = 3. De conclusie is nu: als m + n niet deelbaar is door 3, dan is (a, b, c) een primitief tripel. Zijn m en n onderling ondeelbaar en is m + n wèl deelbaar door 3, dan is 3 de ggd van a en b (en c). Immers in dat geval is n zeker geen drievoud, evenmin als m en m − n. Is nu m + n een negenvoud, dan is 2m − n weliswaar een drievoud, maar geen negenvoud, op grond van de identiteit (&). Laat (a, b, c) zo’n trio met ggd 3 zijn dat in de linkerhelft van de tabel staat. Deling van a, b en c door 3 resulteert in een primitief drietal (A, B, C) dat zeker in de rechterhelft van de tabel is te vinden! Kies M = --13- ( 2m – n ) en N = --13- ( m – 2n ) M en N zijn geheel en onderling ondeelbaar, want 2m − n en m − 2n zijn beide drievoud, maar geen negenvoud. Er geldt dan: M ( M – 2N ) = 1--3- ( 2m – n ) ⋅ n = 1--3- a = A

en

( M – N ) ( M + N ) = 1--3- ( m + n ) ( m – n ) = 1--3- b = B Geheelzijdige driehoeken De oorsprong van de Pythagorese drietallen ligt in het zoeken naar geheelzijdige rechthoekige driehoeken. Net zo kan het oplossen van de diophantische vergelijking a 2 – ab + b 2 = c 2 (*) worden gezien als het vinden van geheelzijdige driehoeken met een hoek van 60°, denk maar aan de cosinusregel. En in samenhang daarmee kan de vergelijking a 2 + ab + b 2 = c 2 (**) worden beschouwd om geheelzijdige driehoeken met een hoek van 120° op te sporen. Er bestaat een innige relatie tussen deze beide laatste typen driehoeken 7

7 120°

3

3

5 (3, 5, 7)

4 3

B A

C

2

D x

O

E*

E** S

Het snijpunt van de lijn t = 4 met de ellips E** is het punt A ( --37-, --57- ) , corresponderend met de driehoek (3, 5, 7). De snijpunten B ( --37-, --87- ) en C ( --57-, --87- ) van de ellips E* met de lijnen t = 5 en t = 3 corresponderen met de driehoeken (3, 8, 7) en (5, 8, 7). Het punt D ( --57-, --37- ) is het spiegelbeeld van A ten opzichte van de as x = y, is het snijpunt van E** met de lijn t = 2 en hoort bij het tripel (5, 3, 7). De relatie tussen geheelzijdige 120°- en 60°-driehoeken zoals die hiervoor is geschetst, wordt nu gerepresenteerd door een afbeelding van de ellips E** op E*. Daarbij gebruik ik twee punten (A en D) om de 120°-driehoek voor te stellen. De formule bij die afbeelding is ( x, y ) → ( x, x + y ) Dit is een bekende affiene afbeelding die afschuiving heet. Elk punt wordt daarbij in verticale richting verschoven, waarbij de lengte en de richting van de vector wordt bepaald door de x-coördinaat van het punt. Deze afbeelding kan ook worden beschreven in termen van de richtingscoëfficiënt t van de lijn door S en heeft dan de voorstelling t → t + 1 . B

60°

5

5

y

5

5 (3, 8, 7) 7

Afschuiving van de draaiende lijn Alle geheelzijdige 120°- en 60°-driehoeken kunnen worden gevonden door lijn y = tx − 1 (t rationaal) te snijden 2 2 2 2 met E*: x – xy + y = 1 en E**: x + xy + y = 1 .

(5, 8, 7)

3

t+1

t

60° 3

Neem bijvoorbeeld de driehoek met a = 3, b = 5, c = 7. Omdat 32 + 3 ⋅ 5 + 5 2 = 7 2 geldt γ = 120°. Door aanplakken van gelijkzijdige driehoeken aan de beide zijden om de hoek van 120° ontstaan twee driehoeken met een hoek van 60°. Iedere oplossing van (**) brengt aldus twee complementaire oplossingen van (*) voort. De algebraïsche bevestiging hiervan is een aardig oefensommetje.

AV BV -------- = -------- + 1 SV SV

A

S

V

Ik merk nog op dat complementaire oplossingen van de vergelijking (*) corresponderen met twee punten van E* waarvan de verbindingskoorde horizontaal is (in bovenstaande figuur: B en C). Inderdaad, snijding van E* met een geschikte lijn y = r levert twee punten op waarvan de som van de x-coördinaten gelijk is aan r. Martin Kindt, [email protected]


17

Je ziet ze steeds meer, de digitale schoolborden. Maar kun je die borden ook goed inzetten bij wiskundelessen? Die vraag kun je het beste laten beantwoorden door iemand die er zelf heel enthousiast over is. Naast wiskundedocent is Peter Vaandrager ook trainer voor het gebruik van deze borden.

Het nieuwe schoolbord Inleiding Ruim twee jaar werk ik als wiskundedocent op CSG Liudger in Drachten met het ACTIV-board, voor mij het digitale schoolbord. Het is natuurlijk leuk zo’n bord, maar hoe kun je dat bord nu in je les gebruiken, zullen velen zich afvragen. In het vervolg zal ik een beschrijving geven van een les die ik laatst gegeven heb in een lokaal met een ACTIV-board.

Vijfentwinting leerlingen V5 komen het lokaal binnen voor een les wiskunde B1. We zijn bezig met het hoofdstuk meetkundige berekeningen. Vandaag zijn we toe aan de sinusregel. Een paar lessen hiervoor hebben we het gehad over het vereenvoudigen van wortels. Met de klas was afgesproken dat we dat een keer zouden gaan testen. Na het welkom en de introductie krijgen alle leerlingen een kieskastje. Ondertussen heb ik via het bord het programma ACTIV-vote gestart. Dit programma zit standaard in het programma ACTIV-studio waarmee je alles op het bord kunt doen. Je bord is eigenlijk een groot computerscherm. De pen die je gebruikt, heeft dezelfde functies als je muis. Ondertussen toetsen de leerlingen de code in die achter hun naam op het bord verschijnt. Hierdoor weet de computer wie welk kieskastje heeft. En de toets kan beginnen. Een tiental wortels moet elk in vijftien seconden vereenvoudigd worden. Bij elke wortel staan vier mogelijke antwoorden.

18

Zo’n toets maken gaat vrij makkelijk. Je krijgt een scherm waarin je de vraag intoetst, aangeeft wat voor soort vraag het is (meerkeuze 2 tot en met 6; goed/fout vraag en dergelijke), wat het goede antwoord is, de tijdslimiet en uiteraard de mogelijke antwoorden. Deze keer heb ik ervoor gekozen om de vragen achter elkaar op het bord te laten verschijnen en het verbeteren van het antwoord binnen de tijd is uitgeschakeld. Na afloop exporteer je de antwoorden naar bijvoorbeeld een Excel-bestand. Het leukste/ spannendste moment voor leerlingen is altijd als het overzicht op het bord komt te staan. Deze keer blijkt dat een aantal leerlingen het nog niet snapt, dus met hen nog een keer om de tafel. Kieskastjes gaan weer terug in de koffer. Als iedereen zijn spullen voor zich heeft, beginnen we met een terugblik. Op het bord teken ik een driehoek met het menu voor lijnen en cirkels. Daarna vraag ik de leerlingen om eerst in hun eigen schrift de cosinusregel op te schrijven. Deze regel hebben we de vorige les behandeld. Een van de leerlingen vertelt mij wat ik op het bord moet schrijven. Regels schrijf ik altijd in blauw, zodat leerlingen weten dat dat de regels zijn die zij moeten kennen. Voor de rest schrijf ik berekeningen in groen en bij tekeningen gebruik ik veel groen en oranje.

We gaan naar de volgende pagina. Gedurende een les schrijf je eigenlijk een boekje. Dat boekje kun je opslaan, en er eventueel een volgende les mee beginnen of mailen

Het nieuwe schoolbord

naar een leerling die afwezig is. Een ander voordeel is dat je ook terug kunt bladeren. Het gebeurt wel eens dat een leerling aan het eind van de les toch nog een vraag heeft over een gedeelte van de uitleg. Je bladert even terug en de leerling kan zijn vraag stellen. Of wat ook wel gebeurt, is dat je een vraag van een leerling krijgt in de trant van: ‘meneer, hoe was het ook al weer met sos cas toa?’ Over dat onderwerp heb ik ooit een flipchart, een boekje, gemaakt. Je zoekt het bestand op en laat het even zien.

De les gaat verder met de vraag aan de leerlingen in welke situaties je de cosinusregel kunt gebruiken. Aan de hand hiervan krijgen we een situatie waarin de cosinusregel niet toe te passen is en leiden we de sinusregel af. We kopiëren onze tekening en nemen die mee naar de volgende pagina. Natuurlijk kun je de tekening ook nog een keer maken, maar soms is het handig om de tekening mee te nemen. Voordeel van het bord met het bijbehorende programma is ook dat je geen attributen als passer en geodriehoek nodig hebt. Die zitten in het programma. Zeker bij meetkunde is het ook handig om tekeningen uit boek of werkboek te scannen en in een flipchart te zetten.

Het scheelt een hoop tijd en je hebt altijd dezelfde tekening als je leerlingen. Ik verwacht dat uitgeverijen in de toekomst deze tekening aanleveren. Een leerling vraagt hoe je dit nu op je grafische rekenmachine moet intikken. We gaan op het bord naar het bureaublad van de computer en openen de digitale grafische rekenmachine en laten de leerling zien hoe je de berekening op je grafische rekenmachine intikt.

Ondertussen zijn de leerlingen zelf aan het werk om de aangeleerde stof te oefenen in een aantal opgaven. Even later sluiten we de les af. Zomaar een les met een digitaal bord. Het bord heeft nog meer mogelijkheden, zoals links maken met internet. Een ding weet ik zeker: als je eenmaal met zo’n bord gewerkt hebt, wil je niet anders meer.

CSG

Peter Vaandrager, Liudger, Drachten ([email protected])

Studiedag voor wiskundeleraren aan de RUG Het Opleidingsinstituut Natuurwetenschappen en Technologie van de Rijksuniversiteit Groningen organiseert op dinsdag 16 december 2008 een Studiedag voor Wiskundeleraren met als thema: Het ABCD van de wiskunde. – Tijd: dinsdag 16 december 2008 van 9.30 – 16.30 uur – Plaats: Bernoulliborg, Nijenborgh 9, Zerniketerrein in Groningen – Deelnamekosten: € 25,00


U kunt het volledige programma vinden op http://www.rug.nl/wiskunde en kies daar Studiedag voor wiskundeleraren 2008. Aanmelden voor de dag, en inschrijven voor workshops gaat eveneens via deze website. Namens het organiserend comité Martha Witterholt en Gerrit Roorda

19

Soms begint het leren pas ná de toets. Dat overkwam Ton Lecluse bij het nakijken van een toets van zijn leerlingen. Uitgaande van de opgave (die hij zelf bedacht had) doken er nog meer vraagstellingen op, en antwoorden die niet helemaal bleken te kloppen, maar daardoor juist weer stof tot verder denken opleverden.

De geschiedenis van een opgave Inleiding E

Dit verhaal beschrijft een opgave, die uitgroeit van een basissommetje tot een fraai model met uiteindelijk twee verrassende nieuwe eigenschappen. Het begon met het ontwerp van een opgave voor meetkunde voor 5 VWO B12, die na afname van de toets uitgroeide tot een opgave op 6 VWO-niveau met twee fraaie nieuwe eigenschappen, met een staartje in 4 VWO. Ik moest een toets ontwerpen voor 5 VWO B12, bij hoofdstuk 2 van Moderne Wiskunde achtste editie. Onderwerp: middelloodlijnen en hoekdeellijnen (dus ook de ingeschreven en omgeschreven cirkel). Ik kreeg een idee: het snijpunt van de deellijnen van twee buitenhoeken van de driehoek ligt natuurlijk ook op (het verlengde van) een van de deellijnen van de driehoek. De opgave, met correctievoorschrift staat hieronder. Op deellijnen Bij driehoek ABC ligt D op het verlengde van BA en E op het verlengde van BC. De deellijnen van ∠DAC en ∠ECA snijden elkaar in S. Zie figuur. Deze staat ook (vergroot) op de uitwerkbijlage.

H o o

C

S L

• •

x F x D A d(S, AB) = d(S, AC) S ligt op deellijn van ∠DAC , gegeven) d(S, AC) = d(S, BC) (S ligt op deellijn van ∠ECA , gegeven)1 Dus d(S, AB) = d(S, BC) (of: SF = SH) Dus ligt S op de deellijn van ∠ABC ; QED

• • Of Trek loodlijnen vanuit S op AB, AC en BC • ΔSFA ≅ ΔSLA (ZHH), dus SF = SL • ΔSLC ≅ ΔSHC (ZHH), dus SH = SL • Dus SF = SH • Dus ligt S op de deellijn van ∠ABC ; QED

B 1

1 1

1 1 1 1

E

o o

Het is een mooie opgave geworden. De kern van de leerstof (eigenschappen van deellijnen) wordt mooi ingezet. En er is een alternatieve oplossing, waarbij je gebruik maakt van congruentie (uit het eerste hoofdstuk).

C

S

x

D

x

A

B

Tijdens het nakijken van het leerlingwerk bedacht ik dat je ook mooi kunt laten aantonen dat de lijn door B en S ook door het middelpunt gaat van de ingeschreven cirkel van driehoek ABC. Dit is natuurlijk in principe dezelfde vraag, maar het is wel een mooie blikwisseling.

Bewijs dat S op de deellijn ligt van ∠ABC . Correctievoorschrift maximaal 4 punten

20

En dan kun je er net zo goed die ingeschreven cirkel bij tekenen. En omdat S het middelpunt is van de aangeschreven cirkel, die dus ook maar. Je krijgt het volgende plaatje:

De geschiedenis van een opgave

E

C

A

D

B

C is ietwat verplaatst om duidelijk te kunnen zien dat de twee cirkels elkaar niet raken. De beginvraag kun je nu formuleren als ‘bewijs dat de lijn door de middelpunten van de twee cirkels door B gaat.’ Een tweede blikwisseling Je kunt de tekening ook anders zien: gegeven twee cirkels die elkaar niet snijden. Er zijn vier gemeenschappelijke raaklijnen: twee ervan raken beide cirkels uitwendig: BE en BD. Ook zijn er twee raaklijnen tussen de twee cirkels, waarvan er één is getekend, AC. Laten we de raakpunten erbij betrekken: E

En deze eigenschap kun je ook heel mooi losweken uit het grote model. Het is dan een mooie opgave bij het eerste hoofdstuk (hoeken jagen): Van de gelijkbenige driehoeken ACD (met AC = DC) en BCE (met BC = EC) liggen AC en BC in elkaars verlengde. Zie figuur. Bewijs dat AD en BE loodrecht op elkaar staan.

K

B

C J

F

C

G D

A I

H

B

Een mooie optie van het programma Geocadabra1 is dat je kunt vragen op zoek te gaan naar bijzondere eigenschappen van het model. Toen ik dit plaatje in Geocadabra invoerde, en naar extra eigenschappen vroeg, ontdekte het programma dat AC even lang is als HI en FK. Dit lijkt op het eerste gezicht eenvoudig, maar de schijn bedriegt. Ik nodig u hierbij uit, een bewijs te geven. Op mijn website2 kunt u uw bewijs controleren. Toen ik ook nog eens vroeg naar andere eigenschappen, kwam nog een verrassing: FG ⊥ KJ , eenvoudig te bewijzen wanneer u dit probeert. Maar het gaat erom die eigenschap te ontdekken. Ook deze eigenschap is op mijn website verder uitgewerkt.


E

A

D Toen ik deze opgave als apart sommetje in de zesde klas op bord zette, had één leerling deze binnen twee minuutjes perfect bewezen. Maar de helft van de klas kwam er niet echt uit. U wel? Het volgende uur (na die zesde klas) kwam een vierde klas VWO binnen (voor het nieuwe vak wiskunde B), en de opgave stond nog op het bord (zonder bewijs). In het nieuwe vak wiskunde B krijgen deze leerlingen later ook

21

meetkundige bewijzen, dus vertelde ik de klas dat dit typisch een opgave was die past bij het onderwerp ‘meetkundige bewijzen’. Niet behept met kennis en gereedschap hiervoor, kwamen er toch mooie ideeën uit de groep, die zeker de moeite waard zijn. Ik noem er twee: 1. Trek een loodlijn in D op AD en verleng AC, zodat je snijpunt G krijgt. Een perfecte start om hoeken te gaan jagen. 2. Spiegel B en E in C en probeer te begrijpen waarom er een rechthoek ontstaat. G

E’ B

B

C

C

B’ E

E A

D

A

D

Wat hebben wij toch een mooi vak! Dit artikel was eigenlijk al geschreven en ingediend bij de Wiskrantredactie, toen ik dit model voorlegde aan de bezoekers op een drieëneenhalf uur durende workshop die ik gaf in Keele3 op vrijdag 4 april jongstleden. Een van de aanwezige experts was Doug Averis van het Department of Education van de Keele University. Dankzij de ruime tijd die we hadden en de aanwezige expertise was het uiteindelijk Doug die met het volgende prachtige idee kwam:

Je hebt nu slechts twee ingrediënten nodig: – TK = TA en TL = TC (want T ligt op twee middelloodlijnen) – ∠TKA = ∠TAK (want T ligt op middelloodlijn van KA) dus ∠TKA = ∠TAC (want TA is deellijn van hoek KAC). Waaruit helaas niet volgt: ΔKTL ≅ ΔATC ( ZZH ) (waaruit zou volgen dat KL en AC even lang zijn). Helaas is ZZH geen congruentiegeval, we moeten nog proberen aan te tonen dat de driehoeken TKL en TAC beide stomphoekig, scherphoekig of rechthoekig moeten zijn. Lukt je dit? (Op analoge wijze kun je aantonen dat AC en MQ even lang zijn, met een rotatie om het snijpunt van de middelloodlijnen van AM en CQ.) Ik hoopte dat de eigenlijke eigenschap (KL = AC = MQ) nog onbekend zou zijn. Maar Michael de Villiers4 maakte me erop attent dat dit probleem al bekend was bij Japanse meetkunde-experts, enige tijd geleden. De rotatietekening bevat nog veel meer moois: (probeer zelf te bewijzen)

Eerst de achtergrond bij het idee: als twee lijnstukken even lang zijn en niet evenwijdig, bestaan er twee rotaties waarbij het ene lijnstuk het beeld is van de ander. Het centrum van zo’n rotatie is het snijpunt van de twee middelloodlijnen, elk tussen origineel en beeldpunt. Als AB = A'B' dan zijn de driehoeken ABC en A'B'C congruent (ZZZ). Doug gebruikte de omkering. Hij tekende de middelloodlijnen van KA en LC, die elkaar snijden in T.

22

– T ligt op de deellijn van buitenhoek KAC van driehoek ABC; T is het midden tussen A en het middelpunt J van de aangeschreven cirkel. Toelichting: ∠JKA = 90° (raaklijn ⊥ straal), dus ligt K op de cirkel met middellijn AJ. Aangezien het middelpunt van een cirkel op de middelloodlijn van elke koorde ligt, is T het middelpunt van die cirkel. – Wanneer het centrum W van de rotatie die AC afbeeldt op MQ erbij wordt getekend, blijkt TW middenparallel te zijn in driehoek JCA. – ALCT is een koordenvierhoek.

De geschiedenis van een opgave

Ten slotte

Noten

Geocadabra kan ook een soort complexiteitsgetal van een tekening berekenen. Hierbij worden alle eigenschappen die je maar kunt bedenken, bij elkaar opgeteld. De basistekening die de twee mooie eigenschappen (AC = FK en de loodrechte stand) bevat, krijgt complexiteitswaarde 70 (als je de punten D en E weglaat, anders worden het er zelfs meer dan 80). Op zich zegt dit getal wellicht niet veel. Maar het wordt zeker interessant als je van bijvoorbeeld examenvraagstukken van de afgelopen jaren deze waarde vergelijkt. Wellicht een idee voor nader onderzoek?

[1] Het programma Geocadabra heb ik ontwikkeld vanuit het oogpunt van de leerling. Ik probeer functionaliteit aan te brengen die de leerling helpt bij het doorgronden van wiskunde. [2] Zie op http://home.planet.nl/alecluse de opgave ‘ingeschreven en aangeschreven’. De figuur bevat ook nog een mooie koordenvierhoek: de middelpunten van de cirkels en de punten A en C. Ook dit is er uitgewerkt. [3] Joined Easter conference (ATM, MA, Nanamac, AMET), 1–5 april te Keele, Engeland. Ik was er uitgenodigd voor presentaties van resultaten bij mijn meetkundig onderzoek waarbij Geocadabra als gereedschap wordt ingezet. [4] Michael de Villiers is expert in meetkunde. Hij werkt momenteel aan de Universiteit van KwaZulu-Natal in Zuid-Afrika. Ik ontmoette hem aldaar voor het eerst op de AMESA-conferentie in juli 2004, vorig jaar ook te Keele op de Easter conference. Zijn website is zeer de moeite waard: http://mysite.mweb.co.za/residents/ profmd/homepage.html.

Ton Lecluse Comenius College, Hilversum


23

DisWis was het initiatief van Lex Schrijver om wiskunde populairder te maken in het voortgezet onderwijs. Onderwijsbureau ‘De Praktijk’ ontwerpt de modulen in samenwerking met docenten; wiskundestudenten gaan de klas in om de lessen te verzorgen. Zo is DisWis het ultieme win-winproject. Niels Oosterling, een van de uitvoerende studenten, bericht.

DisWis weer eens wat anders dan alleen afgeleiden en primitiveren Inleiding Het schooljaar 2007-2008 loopt ten einde en voor DisWis betekent dat de afsluiting van een onverwacht succesvol jaar. Via DisWis hebben dit jaar ongeveer 280 leerlingen in de regio Amsterdam met grafentheorie kennisgemaakt, hebben vijf wiskundestudenten hun debuut gemaakt in het voortgezet onderwijs, zijn er vijf leerzame excursies georganiseerd en zijn er honderdduizend nieuwe plannetjes ontstaan om deze cijfers volgend jaar te overtreffen.

De inhoud van de lessenserie DisWis is gebaseerd op de syllabus Grafen: Kleuren en Routeren. Deze syllabus is in 2000 door Lex geschreven voor het propedeusevak Toegepaste Discrete Wiskunde, met hetzelfde doel als nu: het geven van leuke, moeilijke en maatschappelijk relevante wiskunde waarvoor relatief weinig voorkennis nodig is. DisWis kan worden gebruikt als invulling van het zebrablok binnen wiskunde B of als wiskunde D-module. Er staat veertig studielastuur voor de module en om organisatorische redenen wordt de lessenserie alleen in blokuren aangeboden. Het lesmateriaal kan gratis worden gedownload op http://www.praktijk.nu. Tijdens het schooljaar 2006-2007 zijn de eerste testversies van DisWis de klas in gegaan. Het Vechtstede College (VC) in Weesp, het Pieter Nieuwland College (PNC) in Amsterdam en het Hervormd Lyceum Zuid (HLZ) in Amsterdam waren de eerste scholen waar DisWis voor de klas verscheen. Tijdens deze pilotfase werd het lesmateriaal aangescherpt en konden nieuwe wiskundestudenten voor het volgende schooljaar worden ingewerkt.

fig. 1 leerlingen van het HLZ buigen zich over het Koningsberger bruggenprobleem

Populariseren van wiskunde In maart 2006 zijn De Praktijk1 en prof.dr. Alexander Schrijver2 begonnen met het onderwijsproject DisWis. Lex Schrijver, van het Centrum voor Wiskunde en Informatica en de Universiteit van Amsterdam, was een van de Spinozalaureaten van 2005 en wilde een deel van zijn premie inzetten voor de popularisering van wiskunde op de middelbare school. De Praktijk is een onderwijsbureau dat natuurwetenschappelijk lesmateriaal maakt en dat onder een open licentie, en bijna altijd gratis, publiceert. Zij besloten om scholieren een inhoudelijke en uitdagende module grafentheorie aan te gaan bieden, gegeven door wiskundestudenten.

24

fig. 2 leerlingen voor het planbord bij Martinair

DisWis

Ook werd er tijdens het eerste schooljaar een nieuw onderdeel aan de module toegevoegd: een excursie! Met uitzicht op start- en landingsbanen kreeg een groep VWO’ers alles te horen over de logica achter de logistiek van Martinair. De leerlingen van het Vechtstede College waren erg enthousiast over het uitstapje naar Schiphol. Ze zagen daar hoe wiskunde kan helpen bij het maken van ingewikkelde planningen. Daarnaast vonden we de NS bereid om groepen scholieren te ontvangen. In eerste instantie kwam een logistiek adviseur van de NS naar het HLZ om te vertellen over de wiskunde die nodig is om materieel en personeel te plannen, maar voor de volgende groepen werd een uitgebreid programma op het hoofdkantoor in Utrecht georganiseerd. Lex Schrijver heeft in het verleden uitgebreid met de NS3 meegedacht over de nieuwe dienstregeling. Als er ergens een plek is om toepassingen van de grafentheorie te zien, is het wel bij de NS.

lies heeft de module drie keer gegeven, maar zag op het laatste moment haar oude middelbare school, de Meergronden in Almere, afhaken vanwege tijdgebrek. Gijs verscheen tweemaal aan de start van een DisWis-serie en Emily is begonnen aan haar eerste op het Vossius Gymnasium in Amsterdam. Voor iedereen betekent het project unieke werkervaring. ‘Na een korte introductie van de vaste wiskundeleraar van 4 gym, nam ik de les over. Die eerste minuten zijn even spannend: gaan ze door met kletsen of heb ik genoeg impact om ze te laten luisteren? Na wat iPods en mobiele telefoons weg te laten stoppen en boeken en schriften uit de rugzak te laten halen, kan de les beginnen en het gaat gelukkig goed!’ Emily over haar eerste les DisWis De lessen zijn door de docenten eigenlijk zonder uitzondering positief ontvangen. Het behoeft natuurlijk geen uitleg dat wanneer een student voor het eerst voor een klas staat, hij of zij soms een didactisch steekje laat vallen. Daarbij nam niet elke docent even actief deel aan de les. Over het algemeen vonden echter zowel studenten als docenten de samenwerking erg stimulerend. Met de feedback van de docenten kan DisWis in het vervolg alleen maar beter worden.

fig. 3 leerlingen op weg naar het NS-gebouw

Ruim genoeg animo onder scholen In de zomer van 2007 konden de voorbereidingen beginnen voor het eerste echte schooljaar van DisWis. Er konden in totaal twaalf series worden gegeven. Wiskundestudenten Emily Boezeman, Annelies Heus, Gerben van der Hoek, Gijs Koot en ikzelf namen ieder een of meerdere series voor hun rekening. Het lesmateriaal werd nog eens uitgebreid onder de loep genomen en aanvankelijk wierven we actief nieuwe scholen. Al vrij snel werd echter duidelijk dat er onder de scholen in de regio Amsterdam ruim genoeg animo was om DisWis voor de klas te brengen. In september 2007 was de organisatie rond en waren alle twaalf DisWis-series vergeven. Op het moment van schrijven zijn tien van de twaalf series afgerond en zijn de laatste twee series begonnen. Gerben is bezig met zijn vijfde serie op het Bonhoeffer College in Castricum en is daarmee recordhouder. Anne-


fig. 4 het DisWis-team 2007-2008 met de klok mee: Annelies, Emily, Niels, Gijs en Gerben.

Ook de leerlingen zijn erg positief over DisWis. Ze vonden de stof vaak moeilijk en uitdagend – en dat werd gewaardeerd. Ook vonden ze DisWis anders dan wat ze gewend waren en vonden ze het leuk om les te krijgen van een wiskundestudent. Ondanks dat enthousiasme hebben de studenten gemerkt dat het niet altijd eenvoudig is om voor de klas te staan. Een eerlijker publiek dan een vijfde klas op vrijdagmiddag bestaat niet!

25

fig. 5 er zijn veel toepassingen van wiskunde bij de NS

26

DisWis

‘Het was wel een interessante cursus. Vooral omdat het weer eens wat anders was dan alleen afgeleiden en primitiveren. Het niveau was hoog maar wel te doen, alleen het bewijzen door middel van inductie vond ik lastig.’ Een leerling van het Da Vinci College uit Purmerend over DisWis Naast de lessen konden de excursies dit jaar op veel enthousiasme rekenen. Bij Martinair werd er onder leiding van de afdeling logistiek flink gepuzzeld en bij de NS konden leerlingen zich zelfs aan de directietafel(!) buigen over een vereenvoudigde dienstregeling. We hopen dat volgend jaar meer bedrijven bereid zijn om een excursie aan te bieden, omdat het echt van meerwaarde blijkt voor alle betrokkenen.

De toekomst van DisWis DisWis is hard gegroeid de afgelopen periode. Om de groei in goede banen te leiden, proberen we vooruit te kijken naar de komende schooljaren. Een van onze belangrijkste doelen dit jaar was om DisWis voort te kunnen zetten na het schooljaar 2007-2008. We hebben daarom samen met Bèta 1-op-14 van de UvA en VU subsidie aangevraagd bij het Platform Bèta Techniek, specifiek om studenten te kunnen betalen van januari 2008 tot het einde van schooljaar 2008-2009. Deze subsidie is eind februari 2008 toegekend: DisWis gaat door! Een belangrijke reden voor de toekenning van de subsidie is de aansluiting van DisWis bij de ITSacademy5.

In 2008-2009 wordt DisWis gegeven in twaalf klassen. Voor het nieuwe schooljaar sluiten we met DisWis vrijwel volledig aan bij de ITS-academy. We zijn nog in gesprek over de precieze aanpak, maar waarschijnlijk zullen ITS-academy scholen voorrang krijgen. Dat betekent dat DisWis een structurele plek heeft binnen een onderwijsinitiatief dat nog jaren gaat bestaan en wellicht zelfs een nieuwe, blijvende manier van samenwerking tussen scholen en het hoger onderwijs zal blijken te zijn. Er is ook een compleet nieuwe DisWis-serie in de maak, in de vorm van een e-learning module. Deze module gaat over gerichte grafen en stroomoptimalisatie. Er zijn ook dit keer veel raakvlakken met de dienstregeling bij de NS en ook nu zullen we deze context veelvuldig gebruiken. We ontwikkelen de nieuwe serie op dit moment in samenwerking met Jaap Bosschaart en Harm Houwing. Jaap is wiskundedocent op het Martinuscollege in Grootebroek. Hij heeft vorig jaar al een project gedraaid over het optimaliseren van de materieelomloop op een spoortraject en helpt ons bij het maken van opgaven. Harm heeft vorig jaar veel ervaring opgedaan bij de ontwikkeling van een e-klas over dynamische systemen. Hij is wiskundedocent aan het GSG Schagen, auteur van Getal en Ruimte en projectmedewerker op het Amstelinstituut van de UvA. De ontwikkeling is al flink onderweg. Net als voor de al ontwikkelde materialen van DisWis geldt ook voor de nieuwe e-learning module dat alle materialen onder een open licentie worden gepubliceerd. Ze zullen zodanig worden aangeboden dat scholen, universiteiten en anderen DisWis op eenvoudige wijze kunnen inzetten bij hun afstandsonderwijs.

Tot slot Een kleine 40 scholen in de regio Noord-Holland/Flevoland hebben samen met de UvA, VU, HvA en INHOLLAND het unieke initiatief genomen tot de oprichting van een Informatica, Techniek en Science Academy. In de ITS-academy bieden de scholen en het hoger onderwijs gezamenlijk de vakken Informatica, NLT (natuurwetenschappen en techniek) en Wiskunde D aan voor leerlingen uit HAVO en VWO. Daarnaast en aanvullend worden op de HO-instellingen in de regio ITSlabs ingericht als leer-/werkplaatsen voor talentontwikkeling.

Nog voor de start van het schooljaar in september 2007 bleek er vanuit de ITS-academy al interesse te zijn voor DisWis binnen het vak wiskunde D. Een deel van de scholen waarop DisWis is gegeven, maakte al deel uit van de ITS-academy.


We zijn erg trots op wat we in de afgelopen twee jaar hebben bereikt. De lessenserie draait goed en lijkt een vaste plek te krijgen in het wiskundeonderwijs in de regio Noord-Holland/Flevoland. Het afgelopen schooljaar is met veel enthousiasme gewerkt aan de uitvoering van DisWis. Dit resulteerde in twaalf gegeven series en meer geïnteresseerde scholen voor komend schooljaar dan we aankunnen. Voor komend jaar hebben zich ook alweer nieuwe studenten aangemeld om les te gaan geven en er is veel animo voor de nieuwe e-learning module van DisWis. Op de website http://www.diswis.nl kunt u de ontwikkelingen van DisWis in de gaten houden. Er is lesmateriaal te vinden, we laten met korte nieuwsberichtjes weten wat er gebeurt en de wiskundestudenten beschrijven hun ervaringen in de klas. Als u vragen heeft over DisWis, uw klas(sen) wil aanmelden, een excursie wil organiseren, les wil geven over Dis-

27

Wis of anderszins geïnteresseerd bent, kunt u mij altijd mailen of bellen: [email protected], 020 525 7688. Niels Oosterling De Praktijk DisWis bedankt de volgende mensen: Fred Lauwers van het VC in Weesp, Gerrit van Peursem van het PNC in Amsterdam en Klaas van der Hoek van het HLZ in Amsterdam voor het toelaten van een onervaren wiskundestudent voor hun klas; Paul Baars bij Martinair en Maartje Wessel bij de NS voor de leuke excursies; Peter de Paepe en Dion Gijswijt van het FNWI, Universiteit van Amsterdam voor hun correcties en suggesties in het lesmateriaal,

Cor de Beurs en Luusi Hendriks voor hun bijdrage aan de continuïteit in de toekomst, en alle andere niet-genoemde studenten, docenten en onderwijsvernieuwers voor hun bijdrage aan DisWis.

Noten [1] Website van De Praktijk: http://www.praktijk.nu [2] Homepage Alexander Schrijver: http://www.cwi.nl/ ~lex [3] http://www.bachelor.utwente.nl/tw/ Nieuws%20en%20actualiteiten/volkskrant.doc/ [4] Website Beta 1 op 1: http://www.beta1op1.nl [5] Website ITS-academy: http://www.its-academy.nl

LUSTRUM3 Dit schooljaar beleven drie grote FI-evenementen een lustrumeditie:

Uiteraard besteden de evenementen op hun eigen wijze aandacht aan deze jubilea. Zodra dit bekend is, zal deze informatie te vinden zijn op de verschillende websites.

20 keer Alympiade 15 keer Nationale Wiskunde Dagen

http://www.fi.uu.nl/alympiade/

Thema’s voor deze editie: wiskunde uit verre culturen, biologie, carthografie, logistiek en pretparken. De vrijdagavond wordt gevuld door cafe Mobius. Kortom, we beloven weer twee inspirerende en (in)spannende dagen. http://www.fi.uu.nl/nwd/

Naar verwachting doet tijdens de twintigste editie van de Alympiade de 100.000e Nederlandse deelnemer mee!

10 keer Wiskunde B Dag

28

Na tien jaar nog steeds spannend!

http://www.fi.uu.nl/wisbdag

DisWis

Laten zien dat er oneindig veel priemgetallen zijn, is niet zo moeilijk. Maar daarmee héb je ze nog niet. Piet Lemmens laat zien hoe je bij een gegeven verzameling priemgetallen nieuwe kunt genereren.

Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen Inleiding

s = –1+

∏ p = u – 2 en s′ = u , waarin u het door

p∈P

Het standaardbewijs voor de stelling dat er oneindig veel priemgetallen zijn, is welbekend: elke niet lege, eindige verzameling P van priemgetallen is uit te breiden met minstens één nieuw priemgetal. Daartoe bekijkt Euclides reeds het getal u = 1+

∏ p,

p∈P

dat duidelijk niet deelbaar is door een p ∈ P , en dus een nieuw priemgetal moet zijn of een priemgetal als factor moet hebben. Dit is een geniaal en kort bewijs, maar het is volkomen onbruikbaar als je daarmee denkt een nieuw priemgetal te kunnen vinden. Immers, daarvoor moet je delers van u opsporen. Alle dergelijke bewijzen lijden aan dit euvel, maar desalniettemin kun je het als een sport beschouwen of je kleinere getallen dan u (en groter dan 1) kunt construeren die ook de eigenschap hebben niet deelbaar te zijn door een p ∈ P . Ik wil hier aandacht vragen voor alternatieve constructies vanuit P van getallen die niet deelbaar zijn door een p ∈ P . Daartoe kies ik in P een deelverzameling Q en zijn complement R, en constateer dat de getallen s =

∏ q– ∏r

q∈Q

en s′ =

r∈R

∏ q+ ∏r

q∈Q

r∈R

de gewenste eigenschap hebben, aangezien elke p ∈ P deler is van precies één van de twee termen. Merk op dat dit ook geldt wanneer men een of meer priemgetallen in een hogere macht zet. Bij een geschikte keuze van Q kan s relatief klein zijn (zelfs kan s = 1 soms optreden, en dan hebben we er niets aan). Voor de duidelijkheid merk ik nog op dat Q ook leeg mag zijn, in welk geval het bijbehorende product volgens de gangbare conventies de waarde 1 krijgt. In dat geval hebben we dus te maken met wel heel kleine afwijkingen van de constructie van Euclides, immers dan komt er


Euclides verkregen getal is. Voorbeeld 1 Neem P = {2, 3, 5, 7}. De constructie van Euclides geeft u = 211, de partitie in {2, 7} en {3, 5} geeft s = 3 ⋅ 5 – 2 ⋅ 7 = 1 (onbruikbaar), maar de partitie in {3, 7} en {2, 5} geeft s = 3 ⋅ 7 – 2 ⋅ 5 = 11 . Voorbeeld 2 Neem P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. De constructie van Euclides geeft u = 9699691, maar de partitie in {2, 5, 17, 2 19} en {3, 7, 11, 13} geeft s = 227. Nu is 17 reeds groter dan s, dus 227 is een priemgetal. Hierbij gebruik ik dat P alle priemgetallen kleiner dan 17 bevat, en dat elke eventuele ontbinding van s een factor kleiner dan 17 moet hebben. Bij de partitie in {3, 7, 13, 19} en {2, 5, 11, 17} krijgen we s = 3317, geen priemgetal, want 3317 = 31 ⋅ 107 . Het is mij onbekend of er altijd een partitie van P is waarvoor s een priemgetal is. Kan het beter? Met bovenstaande procedure kunnen we veel experimenteren. Veronderstel bijvoorbeeld dat P alle priemgetallen tot en met g > 2 (en eventueel nog andere priemgetallen) bevat. Probeer dan, uitgaande van de verzameling G van alle priemgetallen kleiner dan g, een getal t te produceren 2 zo dat t ∉ P , 1 < t < g en t niet deelbaar door een element van G. Dan is t een priemgetal, niet behorend tot P. Het bewijs hiervan laat ik over aan de lezer. Voorbeeld 3 2 Neem weer P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Nu is 5 > 19 , 3 2 en 3 – 2 = 23 , dus 23 is een priemgetal. Voorbeeld 4 Neem P = {2, 3, 5, 7}. Het kleinste priemgetal niet in P 2 is 11, met 11 = 121 . Verder is 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 , dus n alle getallen t van de vorm t = 2 – 105 met n ≥ 1 en 1 < t < 121 zijn priemgetallen.

29

13 = 5 ⋅ 11 – 2 ⋅ 3 ⋅ 7 2 2 23 = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 – 5 ⋅ 7

In aanmerking komen n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, met respectievelijke waarden van t: 103, 101, 97, 89, 73, 41, 23. Dit zijn dus allemaal priemgetallen. Waarom zijn 107, 109, 113 ook priemgetallen?

4

53 = 3 ⋅ 5 ⋅ 11 – 2 ⋅ 7 2

Als we in dit voorbeeld niet zouden weten welk het volgende priemgetal is, dan konden we nog wel als veilige bovengrens ( 7 + 2 )2 nemen, wat van elke niet-priem t met 1 < t < 81 is tenminste één priemdeler < 9, dus ≤ 7 omdat 8 een even getal is. Hoe klein kan de uitkomst zijn? Voor P = {2, 3, 5, 7, 11} is het me gelukt om alle priemgetallen tussen 11 en 132 = 169 te schrijven als s of als s', weliswaar met sommige exponenten groter dan 1. Ik geef een paar voorbeelden, en laat de rest als puzzel voor de lezer.

5

59 = 7 ⋅ 11 – 2 ⋅ 3 ⋅ 5 4

71 = 2 ⋅ 11 – 3 ⋅ 5 ⋅ 7 89 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 – 11

2

97 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 11 131 = 2 ⋅ 5 ⋅ 11 + 3 ⋅ 7 2

2

157 = 2 ⋅ 5 ⋅ 11 – 3 ⋅ 7 2

163 = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 – 5 ⋅ 7 2

167 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 + 7 ⋅ 11 Piet Lemmens, Mathematisch Instituut, Utrecht

WINTERSYMPOSIUM KWG 2009 Het Wintersymposium is een jaarlijkse bijeenkomst onder auspiciën van het KWG in de eerste helft van januari. Zaterdag 10 januari 2009 9:30 – 14.45 uur Aula van het Academiegebouw Universiteit Utrecht (bij de Dom) Wiskunde een Kunst 09.30 – 10.00 Ontvangst met koffie en thee 10.00 – 11.00 Ferdinand Verhulst Universiteit Utrecht Vruchtbaar misverstand of onverwachte dwarsverbinding? 11.00 – 11.30 Pauze met koffie en thee 11.30 – 12.30 Aline Honingh City University, London Geometrische structuren in muziek: convexe toonladders en gelijkzwevende tori 12.30 – 13.45 Lunch 13.45 – 14.45 Albert van der Schoot Universiteit van Amsterdam De mythe van de Gulden Snede Aanmelden Aanmelden kan via de site: http://www.wiskgenoot.nl/watbiedt/wintersymposium09/aanmeldformulier.php. Kosten Van de deelnemers wordt een bijdrage gevraagd, onder andere voor lunch en consumpties gedurende de dag. Leden van het KWG betalen €17, niet-leden €22.

30

Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen

Een van de eerste onderwerpen waar een econometrist in zijn studie mee te maken krijgt, is het Nash-evenwicht. Met behulp van speltheorie is dit Nash-evenwicht inzichtelijk te maken. Maar niet alleen voor econometristen... Arjan Zaal laat zien dat, in het kader van wiskunde D, deze boeiende wiskunde ook voor het voortgezet onderwijs toegankelijk is.

Wiskunde D geeft leerlingen a beautiful mind Inleiding In 2007 heb ik, Arjan Zaal, stage gelopen op het Freudenthal Instituut als onderdeel van mijn master Science Teacher Education. Met de ontwikkelingen op het gebied van wiskunde D kreeg ik de mogelijkheid om lesmateriaal over het keuzeonderwerp speltheorie te ontwikkelen en uit te proberen1. Mijn interesse in dit onderwerp komt voort uit mijn studie waar ik een bachelor wiskunde heb afgerond met een minor econometrie. Het doel van het materiaal is dat de leerling leert speltheoretische problemen op een systematische manier op te lossen. Met het materiaal wil ik de leerling ook voorbereiden op de meer abstracte wijze waarop de wiskunde op de universiteit wordt bedreven. Met toepassingen vooral binnen de economie, maar ook binnen de biologie en psychologie, is speltheorie een belangrijk onderwerp en kan leerlingen motiveren om in een vervolgopleiding te kiezen voor een bètastudie. Ik zal in dit artikel aangeven wat de waarde van het onderwerp speltheorie als keuzeonderwerp binnen wiskunde D kan zijn. Tevens heb ik enkele verschillen bekeken tussen het lesmateriaal op middelbare scholen en in het hoger onderwijs en nagedacht over hoe het verschil verkleind kan worden.

Waarom speltheorie? Speltheorie is binnen de wiskunde een vrij jonge discipline die tot op heden vooral bestudeerd wordt op de universiteit, terwijl het onderwerp ook zeer toegankelijk is voor middelbare scholieren. Het gaat er in de speltheorie om dat je als speler van een spel de strategie kiest die je een zo hoog mogelijke ‘winst’ oplevert. Deze winst kan het winnen van een strategisch spel als Stratego, Kolonisten van Catan, schaken, dammen of poker zijn, maar bijvoorbeeld ook de winst van een bedrijf dat moet kiezen uit verschillende productiemogelijkheden of een rechercheur die verdachten moet ondervragen.


Het keuzeonderwerp speltheorie sluit aan op ‘het idee dat de leerling die wiskunde D volgt voldoende wiskundekennis (van concepten, procedures en wanneer die toe te passen) heeft of opbouwt om zelfstandig meerdere stappen bij de oplossing van complexere problemen te kunnen zetten’, zoals dat beschreven staat in de handreiking schoolexamen wiskunde D HAVO en VWO. De toegevoegde waarde van het behandelen van speltheorie is dat het onderwerp zich er uitstekend voor leent om de leerling te leren problemen gestructureerd aan te pakken en op te lossen. Er kan door de manier van oplossen een basis worden gelegd voor het geven van wiskundige bewijzen en het leert de leerling abstract te denken door problemen logisch en rationeel te benaderen en te zoeken naar generieke notaties en redeneerwijzen. Dit zal ik aan de hand van voorbeelden uit het ontworpen lesmateriaal en toelichtingen duidelijk maken. Het lesmateriaal bestaat uit drie hoofdstukken: een inleidend hoofdstuk waarin de leerling kennismaakt met de basiselementen van een spel, een hoofdstuk over nietcoöperatieve spellen waarin spelers niet mogen samenwerken en een hoofdstuk over coöperatieve spellen waarin spelers wel mogen samenwerken en zogenaamde coalities mogen vormen. Het studiemateriaal heb ik in drie halve klassen 4 VWO op het Goois Lyceum in Bussum getest . De andere helft van de klassen heeft een module modelleren gevolgd. Het materiaal is echter ook bruikbaar en geschreven voor 5 VWO-leerlingen en beslaat in zijn geheel ongeveer veertig SLU en is in tien lessen te behandelen, en dus een mogelijkheid voor een project of een leuke afsluiting van het jaar als er nog tijd over is. Het materiaal is vrij te downloaden vanaf www.fi.uu.nl/~arjanz/home.htm.

Het lesmateriaal en de ervaringen Om de leerlingen een indruk te geven van speltheorie wordt in de eerste paragraaf een variant van het gevangenendilemma gegeven:

31

lijk gemaakt dat je oplossingen voor problemen kunt vinden door terug te redeneren. De leerling wordt gevraagd systematisch een strategie te bepalen in het spel boterkaas-en-eieren:

Voorbeeld 1

Voorbeeld 2 a Hieronder zie je twee spelsituaties. Jij bent ‘kruisje’ en de tegenstander is ‘rondje’. Jij bent aan zet, waar zet jij je kruisje neer? En waarom? Spelsituatie 1

De Cock en Vledder zijn twee politieagenten en hebben twee verdachten aangehouden. Ze worden beiden verhoord op het politiebureau voor een dubbele moord. De Cock verhoort ‘verdachte 1’ en Vledder verhoort ‘verdachte 2’ in een aparte ruimte, zodat de verdachten niet met elkaar in contact kunnen komen. De verdachten hebben twee opties: ze kunnen zwijgen of ze kunnen de ander verlinken. Wanneer ze allebei zwijgen, krijgen ze een gevangenisstraf van 1 jaar. Degene die de ander verlinkt, gaat vrijuit en de ander krijgt 20 jaar cel. Tenzij ze allebeí elkaar verlinken, want dan gaan ze beiden voor 10 jaar de cel in. Wat zullen beide verdachten kiezen? Probeer het spel uit met een aantal klasgenoten. De voorbeelden en de vraagstukken sturen het denken van de leerlingen in de richting van: stel dat …, dan heeft dit tot gevolg dat …, dus de beste strategie is dan …. In de opgave die aansluit op voorbeeld 1 wordt de leerling vervolgens gevraagd om het probleem in een tabel weer te geven om zo het probleem gestructureerd op te kunnen lossen. Deze methode wordt ook ingezet bij andere vraagstukken in andere contexten. De volgende tabel moet de leerlingen verder invullen: verdachte 2 verlinkt verdachte 1 verlinkt verdachte 1: 10 jaar cel verdachte 2: ... verdachte 1 zwijgt verdachte 2: ... verdachte 2: ...

b Als jij het spel mag beginnen, waar zet je dan niet je kruisje neer? En waarom? c ‘Kruisje’ begint het spel. Als jij ‘rondje’ bent, waar zet jij dan in jouw eerste beurt je rondje? Opvallend was dat bij het vraagstuk waarin werd gevraagd om vanuit de situatie in voorbeeld 2 een kruisje te zetten, maar één van de bestudeerde dertien antwoorden van de leerlingen daadwerkelijk het probleem oploste door terug te redeneren. Deze leerling deed dat door te redeneren dat hij, als hij een situatie kan creëren met twee mogelijkheden voor drie-op-een-rij, gewonnen heeft. Dit is de situatie die hieronder is afgebeeld. Vervolgens is de conclusie dat deze situatie wordt verkregen door het kruisje linksboven te zetten, de tegenstander moet dan namelijk zijn rondje rechtsboven zetten. De andere leerlingen moest hulp worden geboden door het spel te gaan spelen om tot deze oplossing te komen.

verdachte 2 zwijgt verdachte 1: vrijuit verdachte 2: ... verdachte 2: ... verdachte 2: ...

Met behulp van deze tabel kunnen leerlingen per rij aflezen dat als verdachte 1 verlinkt, dat verdachte 2 dan het liefst ook verlinkt. Maar ook als verdachte 1 zwijgt dan verlinkt verdachte 2 het liefst speler 1. Dat geldt ook als we per kolom aflezen, met als gevolg dat beiden elkaar zullen verlinken. Naast het gebruik van de tabel wordt de leerling ook geleerd om problemen met behulp van boomdiagrammen op te lossen. Hiermee sluit het onderwerp aan op hoofdstukken met telproblemen en kansrekening uit het programma voor wiskunde B. De leerling wordt ook duide-

32

Spelsituatie 2

Op de één of andere manier lukt het de leerling niet om zelf te redeneren en zijn de generieke notaties en methoden nog niet van een niveau waarop een simpele opgave gestructureerd kan worden opgelost. Dit betekent dat op dit gebied meer oefening nodig is, en er zal rekening moeten worden gehouden met onze ervaring dat dit proces van abstractie niet te snel kan gaan. Een mogelijke oorzaak kan worden gezocht in de geconditioneerdheid waarmee leerlingen antwoord geven op de

Wiskunde D beautiful mind mind d geeft leerlingen aa beautiful

opgaven. De leerlingen leken gewend te zijn aan het klakkeloos kopiëren van voorbeelden wat leidt tot ‘schijnsucces’, waarmee ik bedoel dat de leerlingen weinig flexibele kennis bezitten. Op dit gebied zal aan de docent een taak liggen om het denkproces van leerlingen te stimuleren en met hen de beoogde kennis en vaardigheden te ontwikkelen, zodat ze ervaren dat ze daar zelf ook een verantwoordelijkheid hebben. In het materiaal is hier een aanzet toe gegeven door bij het geven van voorbeelden niet altijd de antwoorden te geven, maar hier in de opgaven op in te gaan. Voorbeeld 3 Op het Scheveninger strand ligt een strook van 100 meter waar je mag liggen. Er zijn twee ijsverkopers, ijsverkoper 1 en ijsverkoper 2, die in dit gebied hun ijs willen verkopen. Waar kunnen de ijsverkopers het beste gaan staan als ze zoveel mogelijk ijs willen verkopen, ervan uitgaande dat de mensen op het strand zo min mogelijk willen lopen voor hun ijsje?

Oplossing: Voor de strandbezoekers zou het voordelig zijn als ijsverkoper 1 en ijsverkoper 2 hun ijs gingen verkopen op respectievelijk 25 en 75 meter, omdat ze dan nooit meer dan vijfentwintig meter hoeven te lopen voor hun ijsje. Maar wanneer de ijsverkopers deze positie in zouden nemen, zou ijsverkoper 1 meer ijsjes kunnen verkopen als hij een stukje naar rechts opschuift naar de tweede ijsverkoper toe om zo een marktaandeel van zijn concurrent te bemachtigen. IJsverkoper 2 denkt hetzelfde en verplaatst zijn ijscokar naar links naar ijsverkoper 1 toe. Ze zullen doorgaan met het verplaatsen naar elkaar toe totdat ze beiden in het midden belanden. Een opgave bij dit voorbeeld is om te beredeneren of er ook een evenwichtssituatie is wanneer er op het strand drie verkopers zijn. Dit bleek in de klas een moeilijke vraag te zijn, aangezien er geen evenwicht is. Het is de meeste leerlingen wel gelukt om te beredeneren dat, wanneer ze alle drie in het midden zitten, er dan geen evenwicht is en ook dat een verdeling op 1/6, 1/2 en 5/6 geen evenwicht is. In deze situatie hebben ijsverkoper 1 en 2 namelijk de neiging om naar de middelste ijsverkoper toe te bewegen om zo een groter marktaandeel te krijgen. De leerling heeft dan echter nog niet het inzicht dat hiermee informeel het bewijs is gegeven. Toch bleek wel dat de leerlingen de ‘als…dan’-redenering kunnen toepassen, en zo hebben ze een eerste stap gemaakt naar het formeel geven van een bewijs. Ik zie het onderwerp daarom ook


als een mogelijkheid om de leerlingen voorafgaand aan een hoofdstuk over het analytisch bewijzen van meetkundige problemen waarbij notaties een belangrijke rol spelen, aan te bieden. Het onderwerp is verschillend, maar er is een overlap in de manier van denken, een manier die voor veel leerlingen een grote stap is. In overleg met Prof. Dr. Ir. Balder van de Universiteit Utrecht heb ik wel een stukje rond abstracte notaties opgenomen zoals hieronder is te lezen: Bedenk dat we met s1 een willekeurige strategiekeuze van speler 1 aangeven en met bijvoorbeeld s1(3) specifiek strategiemogelijkheid 3 van speler 1. Als we dan de uitbetaling willen aangeven voor speler 1 als speler 1 voor strategiemogelijkheid s1(3) kiest en speler 2 voor strategiemogelijkheid s2(5), geven we dat als volgt weer: u1(s1(3), s2(5)). Voor speler 2 is de uitbetaling u2(s1(3), s2(5)). Deze abstracte weergave is nodig om het spelproces zo te kunnen beschrijven dat er algemene uitspraken kunnen worden gedaan. Ook is het voor leerlingen een eerste stap naar functies met meerdere variabelen en wordt het nut van het gebruik van onderschriften en bovenschriften duidelijk gemaakt. In het tweede hoofdstuk wordt geleidelijk toegewerkt naar een manier om in een spel het Nash-evenwicht te vinden. Om in dit evenwicht te komen, kies je als speler de beste strategie gegeven wat je tegenstander doet, er daarbij rekening mee houdend dat je tegenstander de beste strategie kiest, gegeven wat jij kiest. Er ontstaat een evenwichtssituatie aangezien beide spelers niet meer de neiging hebben om van de situatie af te wijken. Het onderwerp geeft de docent gelijk de gelegenheid om een film te vertonen in de les.

A Beautiful Mind gaat over het leven van Nash en in de film komt uiteraard ook het Nash-evenwicht aan bod. Om tot het inzicht van het Nash-evenwicht te komen, wordt

33

dieper ingegaan op het opstellen en lezen van tabellen en spelbomen. Voorbeeld 4 Twee bedrijven bevinden zich op de chocolademarkt. Ze hebben beide de keuze om chocolade van hoge kwaliteit (= H) of van lage kwaliteit (= L) te maken. De bijbehorende winst is gegeven in onderstaande tabel. Bedrijf I

Bedrijf II

H

L

H

(–20, –30)

(900, 600)

L

(100, 800)

(50, 50)

Welke uitbetalingen bevinden zich in een Nash-evenwicht (als dit er is)? De uitbetaling (100, 800) is een Nash-evenwicht, aangezien vanuit deze situatie Bedrijf I niet de neiging heeft om af te wijken van zijn keuze om een hoge kwaliteit te maken, omdat een wijziging naar lage kwaliteit hem minder oplevert (50<100); daarnaast heeft Bedrijf II ook niet de neiging om af te wijken van zijn keuze om lage kwaliteit te maken, omdat een wijziging naar een hoge kwaliteit hem minder oplevert (-30<800). Met dezelfde redenering is de uitbetaling (900, 600) ook een Nash-evenwicht. Het bleek dat de leerlingen na het geven van een voorbeeld de vraag redelijk wisten te beantwoorden, weliswaar weer door het reproduceren van een voorbeeld, maar uit interactie met leerlingen bleek dat ze in staat zijn om het concept te verwoorden en toe te passen.

een hoogleraar, waarna vaak ook nog eens op een ander moment in de week anderhalf uur aan het maken van opgaven wordt besteed. Dit is een groot verschil in de vakdidactische opvattingen. Ik zal aan u als lezer de keuze open laten welke methode u prefereert. Bij het schrijven van het materiaal heb ik de theorie gescheiden van de opgaven. Daarbij refereer ik bij de opgaven wel aan de voorbeelden in de theorie. Door de theorie als een geheel aan te bieden, staat deze meer centraal ten opzichte van de opgaven. Deze structuur komt meer overeen met de structuur die wordt aangehouden in universitaire studieboeken. Leerlingen maken op de middelbare school veelal de opgaven met het doel deze opgaven goed te kunnen reproduceren bij een toetsing. Maar ik vermoed dat het ‘waarom’ van de opgaven voor de leerling duidelijker zal zijn door het centraal stellen van de theorie en inhoud. Uit het onderzoek bleek dat de leerlingen van 4 VWO in de reguliere schoolcultuur nog niet voldoende in staat waren de theorie zelfstandig door te nemen. Komt dit door die cultuur, of moet er wellicht ook iets veranderen aan de vakdidactiek in het hoger onderwijs?

Conclusie Kortom, speltheorie biedt voldoende mogelijkheden om de leerling te leren abstract en logisch te denken. Het onderwerp heeft aanknopingspunten met andere wiskundige onderwerpen (kansrekening, bewijzen, wiskundig noteren, …) en heeft vele toepassingsgebieden. Om de verschillen tussen de didactiek op middelbare scholen en het hoger onderwijs kleiner te maken is nog veel werk te verrichten, werk waarvoor beide partijen een verantwoordelijkheid hebben. Dit materiaal heeft hiertoe een poging gedaan en is zowel inhoudelijk als voor de afwisseling een aantrekkelijke manier om jezelf en de leerlingen uit te dagen.

Aansluiting van middelbare school naar universiteit Wat mij bij het bestuderen van het lesmateriaal voor middelbare scholieren opviel ten opzichte van het lesmateriaal op universiteiten, zijn de volgende twee verschillen: 1. Op de middelbare school wordt de theorie netjes ontrafeld in voorbeelden en opgaven, dit in tegenstelling tot de boeken op de universiteit waarin veelal een grotere theoretische tekst aan de student wordt voorgelegd. 2. Vooral in wiskundeboeken op de universiteit zijn veel definities, stellingen en bewijzen te vinden, terwijl bij de wiskunde op de middelbare school de theorie op een heel andere manier wordt beschreven. Een ander groot verschil heeft niet zozeer betrekking op het lesmateriaal, maar op de structuur van het lesgeven: op de middelbare school legt de leraar in vaak niet meer dan vijftien minuten de theorie uit, terwijl op de universiteit het gebruikelijk is om anderhalf uur te luisteren naar

34

Arjan Zaal, Alphen aan den Rijn

Noten [1] Scriptiebegeleider: Michiel Doorman. [2] Betrokken docenten Goois Lyceum: Erik Schmal, Marianne Raaijmakers en Jos Mertens.

Literatuur Mas-Colell, A., Whinston, M.D. & Green, J.R. (1995). Microeconomic Theory. New York/Oxford: Oxford University Press. Mouche, P. van (2005). Speltheorie (deel 1 en deel 2). Utrecht: Universiteit Utrecht. Thuijsman, F. (2005). Spelen en delen. Utrecht: Epsilon Uitgaven (Zebra-reeks). www.ctwo.nl

Wiskunde D beautiful mind mind d geeft leerlingen aa beautiful

In 1994 schreef Paul Drijvers een artikel in de Wiskrant over het gebruik van ICT bij eindexamens in het buitenland. In het licht van de programmaherzieningen in Nederland vraagt hij zich af hoe de situatie vandaag de dag is en wat er sindsdien is veranderd. In dit artikel worden landelijke strategieën in kaart gebracht en worden enkele voorbeeldopgaven bekeken. De conclusie is dat ICT-gebruik in examens meer is toegestaan, maar dat het ontwerpen van geschikte toetsopgaven niet meevalt.

Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens Inleiding Enkele jaren geleden was ik benieuwd naar de manier waarop ICT werd ingepast in landelijke eindexamens in het buitenland. Ik deed een bescheiden inventarisatie en schreef daarover een artikel in de Nieuwe Wiskrant en later een update in een Engels tijdschrift (Drijvers, 1994, 1998). Ik constateerde toen dat veel landen worstelen met de integratie van ICT in het eindexamen. Nu cTWO vordert met het ontwerpen van nieuwe examenprogramma’s voor HAVO en VWO per 2013, is de vraag actueel hoe deze curricula getoetst gaan worden en welke rol ICT daarin gaat spelen. Toetsen en onderwijs hangen immers nauw met elkaar samen. Aan de ene kant beoogt de toetsing een weerslag te zijn van het onderwijs. Aan de andere kant richt de toetsing, zeker als die extern is zoals onze centrale examens, het onderwijs in belangrijke mate en heeft daarmee grote invloed op de realisatie van een nieuw curriculum. Dit vormde voor mij aanleiding om opnieuw te inventariseren hoe in ons omringende landen met deze kwestie wordt omgegaan en dit artikel geeft de bevindingen hiervan weer. De ‘tests’ in de titel zijn centraal opgestelde landelijke eindexamens ter afronding van het voortgezet onderwijs aan leerlingen die doorstromen naar de universiteit, dus voor leerlingen van zeventien tot negentien jaar op HAVO-VWO niveau of vergelijkbaar. De tools zijn de technologische hulpmiddelen die in de verschillende landen daarbij zijn toegestaan: gewone rekenmachines, grafische rekenmachines, symbolische rekenmachines en laptop computers.

Aanpak Om deze kwestie te onderzoeken, heb ik een vragenlijst over technologie in landelijke eindexamens wiskunde opgesteld en deze verstuurd naar veertien respondenten in tien landen. Ik heb me beperkt tot landen die een centraal eindexamen kennen en die ‘in de buurt’ van Nederland liggen. De respondenten zijn allen sterk betrokken bij de


organisatie of uitvoering van de wiskunde-examens in hun land. In Duitsland heb ik me beperkt tot twee van de zestien deelstaten met een eigen centraal examen, namelijk Nordrhein-Westfalen en Beieren. De vragenlijkst had een respons van 100%, waarbij één van de respondenten aangaf niet de juiste persoon te zijn om te reageren. Onderstaande bevindingen zijn dus gebaseerd op de reacties van de overige dertien respondenten, die ook voorbeeldexamens, examenreglementen en correctievoorschriften instuurden. Met de meesten van hen heb ik nog aanvullend e-mailcontact gehad om de plaatselijke examenpraktijk verder helder te krijgen.

Verschillende strategieën Na een eerste analyse van de verschillende situaties onderscheid ik vier benaderingen of strategieën met betrekking tot de integratie van ICT in het wiskunde-examen. 1. ICT is (gedeeltelijk) niet toegestaan Deze strategie bestaat eruit dat helemaal geen technologie of alleen de wetenschappelijke rekenmachine is toegestaan bij (een deel van) het examen. 2. ICT is toegestaan, maar levert geen voordeel op Deze strategie houdt in dat het gebruik van ICT tijdens het examen is toegestaan, maar dat de opgaven zo zijn gesteld dat ICT-gebruik geen voordeel biedt. 3. ICT is aanbevolen en nuttig, maar het gebruik wordt niet beloond In deze strategie is ICT-gebruik toegestaan bij het examen, en komt ICT ook van pas, maar wordt het gebruik ervan niet rechtstreeks gehonoreerd. 4. ICT is verplicht en het gebruik wordt beloond Deze strategie houdt in dat leerlingen geacht worden toegang tot ICT te hebben en dat zinvol gebruik ook wordt gehonoreerd met punten. Deze indeling in vier strategieën is in lijn met eerdere bevindingen en met een model van Brown (2008), die ook vier rollen onderscheidt: actief verplicht, actief optioneel, inactief neutraal en inactief uitgesloten. In omgekeerde volgorde spoort Browns indeling met de mijne.

35

Resultaten Tabel 1: Overzicht van de resultaten Land

Strategie Type ICT

Beloond?

Italië

1

WRM

Nee

Beieren

1

WRM

Groot-Brittannië 1 en 2

GRM

Nee (m.u.v. CP1)

Nee

Frankrijk

3

SRM

Nee

Nederland

3 en 4

GRM

Ja

Luxemburg

1 en 3-4

WRM

Noorwegen

1 en 3-4

deel 1 zonder ICT en deel 2 met PC/SRM

Ja (deel 2)

Denemarken

1 en 4

deel 1 zonder ICT en deel 2 met PC/SRM

Ja (deel 2)

Zweden

1 en 4

deel 1 zonder ICT en deel 2 met SRM

Ja (deel 2)

NRW

4

GRM-versie

of SRM

Ja (SRM)

en SRM-versie Ja

Tabel 1 geeft een overzicht van de bevindingen. In de eerste kolom staan de betrokken landen. Nordrhein-Westfalen is afgekort tot NRW. In de tweede kolom staan de strategieën. Het bleek niet altijd eenvoudig om een land in te delen, omdat de strategie soms per schooltype of wiskundevak verschilt. Voor Nederland heb ik bijvoorbeeld ‘3 en 4’ ingevuld, omdat het gebruik van de grafische rekenmachine voor het numeriek oplossen van vergelijkingen of het bepalen van binomiale en normale kansen bij wiskunde A wel punten oplevert, maar bij wiskunde B in mindere mate. De landen zelf zijn in het algemeen niet expliciet over hun strategie. In de derde kolom van de tabel staat het type ICT dat is toegestaan. Daarin is WRM de gewone wetenschappelijke rekenmachine, GRM de grafische rekenmachine, SRM de symbolische rekenmachine en PC de personal computer, in de meeste gevallen een laptop. De vierde kolom geeft aan of de leerling ook echt punten kan verdienen met direct gebruik van de ICT, zoals in strategie 4 het geval is. Laten we de landen kort langslopen. In Italië en Beieren is de situatie overzichtelijk: alleen de WRM mag worden gebruikt, strategie 1 dus. In Beieren zijn er wel experimenten gaande met examens met de SRM. De huidige examens anticiperen daar al op door bijvoorbeeld grafieken te geven, die dan uitgangspunt zijn voor een vervolgvraag. In het Verenigd Koninkrijk mag helemaal geen rekenmachine worden gebruikt bij het CP1-examen, dat elke leerling doet en waarin basisvaardigheden worden getoetst (strategie 1). De andere examens, waarin de leerling de GRM kan gebruiken, zijn te beschouwen als ICT-neutraal omdat de opstellers ervoor proberen te zorgen dat het gebruik van de GRM geen voordeel biedt (strategie 2). Frankrijk heeft de langste traditie als het gaat om het toestaan van de symbolische rekenmachine. Omdat alle li-

36

mieten, afgeleiden en algebraïsche oplossingen echter moeten worden onderbouwd met berekeningen op papier, heeft de SRM vooral de functie van controlemiddel en hulpmiddel ter voorkoming van rekenfouten. Verwijzingen op papier naar uitkomsten van de SRM worden niet beloond (strategie 3). Wel wordt momenteel geëxperimenteerd met een nieuwe mondelinge examenvorm, waarin leerlingen de computer gebruiken en die als aanvulling op het centrale examen gaat functioneren. In Luxemburg gebruiken de leerlingen van de alfastroom een gewone rekenmachine (strategie 1), terwijl leerlingen van de bètastroom verplicht een symbolische rekenmachine gebruiken bij het analyse-examen. In een deel van dat examen mogen de leerlingen de ICT alleen gebruiken voor een specifieke set van bewerkingen (strategie 3), terwijl de volledige functionaliteit van de SRM kan worden gebruikt in het problem solving deel van het examen (strategie 4). In Luxemburg overweegt men een overstap naar het ‘Scandinavische model’. Noorwegen, Denemarken en Zweden kennen een eindexamen in twee delen, waarbij het eerste deel zonder ICT wordt afgenomen (strategie 1) en het tweede deel met computeralgebra. In Zweden is dit een symbolische rekenmachine, in Denemarken en Noorwegen is ook een PC toegestaan. Noorwegen gaat daarbij minder ver in het honoreren van het ICT-werk dan de twee andere landen. In alle drie de landen is deze opzet nog relatief nieuw, dus van een gevestigde examencultuur is nog geen sprake. In Nordrhein-Westfalen, ten slotte, kunnen scholen kiezen voor een GRM-examen of een SRM-examen. Uitkomsten die met ICT worden gevonden, worden met punten beloond (strategie 4), maar in veel gevallen wordt een aanvullende redenering, verklaring of interpretatie gevraagd. Pen-en-papiervaardigheden kunnen worden afgevraagd door het gebruik van speciale formuleringen, zoals ‘bereken exact’ bij ons. Ook deze praktijk is nieuw. Ondanks de nationale verschillen blijkt uit de examenregelingen dat de strategieën in de betrokken landen op de volgende twee punten overeenstemmen: •

•

In alle deelnemende landen is technologie met mogelijkheden voor communicatie, internetgebruik en afdrukken van documenten verboden. In alle deelnemende landen is het mogelijk om penen-papiervaardigheden af te vragen. Strategie 3- en 4landen hebben hiervoor twee opties: een ICT-vrij deel in het examen (zoals bijvoorbeeld in Scandinavië) of de introductie van een speciale terminologie die de noodzaak van met-de-hand algebra duidelijk maakt. Voorbeelden van dergelijke formuleringen zijn ‘met berekening’ in Noorwegen, ‘integreer met een primitieve functie’ in Zweden, of ‘bereken’ in plaats van ‘bepaal’ in Nordrhein-Westfalen.

Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens

Voorbeeldopgaven

Vraag 3 is dan om alle oplossingen van de vergelijking te geven.

Laten we de nationale strategieën concreter maken met enkele voorbeelden. Omdat strategie 1-voorbeelden voor het doel van dit artikel niet zo interessant zijn, beginnen we met een strategie 2-voorbeeld uit Groot-Brittannië.

fig. 4 uitwerking met TI-Nspire

fig. 1 strategie 2 in Groot-Brittannië: MPC3 2007 item 6

De opgave in figuur 1 is vermoedelijk opgesteld met het idee dat de GRM erbij van geen enkel nut is. Toch kunnen leerlingen de primitieve die ze bij (a) gevonden hebben, 1hopelijk ( --15- x – ----) ⋅ e 5x , invoeren als Y1 in het functiebe25 stand van de GRM en het verschil tussen de functiewaarden over het gegeven interval vergelijken met de numerieke benadering van de integraal (zie fig. 2 links). Bij onderdeel (b)(ii) kan het exacte antwoord 2 ⋅ ln ( 2 ) eveneens worden gecontroleerd met de numerieke uitkomst van de grafische rekenmachine (zie figuur 2 rechts).

Figuur 4 laat zien hoe je deze opgave kunt uitvoeren met een symbolische rekenmachine, in dit geval de TI-Nspire, die is toegestaan bij het Franse eindexamen. In de eerste regel is de vergelijking ingevoerd. In de tweede regel is z = i gesubstitueerd, wat de reactie ‘true’ geeft. In de derde regel is z − i uitgedeeld. In regel 4 worden met het commando cSolve alle complexe oplossingen gevonden. Van de Franse leerlingen wordt echter verwacht dat ze elke stap handmatig uitvoeren, opschrijven en rechtvaardigen. De antwoorden kunnen met de SRM eenvoudig worden gevonden en dragen ook bij aan het oplossingsproces. Het komt op mij wat kunstmatig over om pen-enpapiervaardigheden te vragen die zo dicht bij de mogelijkheden van het toegestane ICT-gereedschap liggen.

fig. 5 uitwerking met TI-Nspire fig. 2 verificatiemethoden met de GRM

Hoewel deze verificatiemethoden een vrij hoge graad van machinebeheersing vragen, zien we dat de ICT-neutrale examenvragen van strategie 2 soms niet zo neutraal zijn als ze lijken. Leerlingen kunnen inventieve oplossingen bedenken die door examenmakers niet waren voorzien, waardoor de vraag in feite een strategie 3-vraag wordt. Laten we dan maar een voorbeeld van strategie 3 uit Frankrijk bekijken.

De snelheid van geluid in lucht hangt af van de luchttemperatuur. Bij normale temperaturen geldt: + 273v ( t ) = 331 ⋅ t---------------273 waarbij t de luchttemperatuur voorstelt in graden Celsius en v de snelheid van geluid in m/s. a. Bij welke luchttemperatuur is de snelheid van geluid gelijk aan 340 m/s? b. Bepaal v′ ( 25 ) en geef een interpretatie van de uitkomst. fig. 6 Deense strategie 4-opgave: wiskunde B 2007, vraag 12b

fig. 3 Franse strategie 3: Baccalauréat S 2007 vraag 1-3

In een van de opgaven van het examen voor de Scientifique richting, de bètastroom, is een complexe vergelijking gegeven (zie figuur 3). Vraag 1 is om aan te tonen dat het getal i de oplossing is. Bij 2 wordt gevraagd om reële getallen a, b en c te vinden zodat je z − i kunt uitdelen.


Over naar strategie 4. In de opgave in figuur 5 is een fysisch model gegeven. De leerling hoeft dit niet op te stellen, maar kan het gebruiken voor enkele berekeningen. Zoals blijkt uit figuur 6 kunnen deze berekeningen vrij eenvoudig worden uitgevoerd met de beschikbare symbolische rekenmachine, in dit geval weer de TI-Nspire. Bij vraag a. moet de leerling de vraagstelling wel om kunnen zetten in een passende vergelijking. Bij b. is het punt vooral de interpretatie van het antwoord. Daarbij helpt ICT niet.

37

fig. 7 uitwerking van de Deense strategie 4-opgave met de TINspire

Uit dit laatste voorbeeld en uit andere, vergelijkbare opgaven uit landen waarin ICT in (een deel van) het examen vereist is, blijkt dat er een tendens bestaat om niet alleen antwoorden te vragen, maar ook een interpretatie, een rechtvaardiging, een modelleerstap, of een ander type redenering. De opgaven uit verschillende landen suggereren echter dat het ontwerpen van zulke examenvragen niet triviaal is.

Conclusies uit het buitenland Welke conclusies kunnen we uit de gegevens en de voorbeelden uit het buitenland trekken? Allereerst valt op dat er een voorzichtige convergentie plaatsvindt in de richting van strategieën 3 en 4, waarin ICT is toegestaan of verplicht is in (een deel van) het examen. Ten tweede valt op dat men overal het toetsen van pen-en-papiervaardigheden mogelijk maakt, hetzij middels een technologievrij (deel van het) examen, hetzij door het gebruik van specifieke formuleringen in de vraagstelling. Dit laatste blijkt ook verder weg te gebeuren, bijvoorbeeld in de Australische staat Victoria (Brown, 2008). Laten we de vier strategieën ook apart langslopen: 1. ICT is (gedeeltelijk) niet toegestaan Als deze strategie exclusief wordt gehanteerd, dus niet in combinatie met een andere strategie, wordt de potentie van ICT voor het leren van wiskunde genegeerd. Dit gaat naar mijn mening voorbij aan eigentijdse doelen van (wiskunde)onderwijs en aan de kansen die ICT biedt. 2. ICT is toegestaan, meer levert geen voordeel op Deze strategie is in mijn ogen wat tweeslachtig en heeft het nadeel dat inventieve leerlingen onvoorziene toepassingen van het toegestane ICT-gereedschap bedenken. 3. ICT is aanbevolen en nuttig, maar het gebruik wordt niet beloond

38

Deze strategie lijkt in Frankrijk goed te werken. Toch maakt het voorbeeld in figuur 3 duidelijk dat deze aanpak soms wat kunstmatig kan zijn. En als de leerling in staat is ICT nuttig toe te passen, komen daarbij vaak wiskundige aspecten om de hoek kijken. Waarom dit dan niet belonen? 4. ICT is verplicht en het gebruik wordt beloond Deze strategie trekt de volledige consequenties uit de aanwezigheid van ICT. Toch blijkt uit de voorbeeldexamens die ik heb gezien dat het niet eenvoudig is geschikte opgaven te ontwerpen bij deze strategie, die immers nog nieuw is. Drie typen opgaven komen vaak voor in strategie 4-examens. Ten eerste opgaven die ook op een examen zonder ICT zouden kunnen voorkomen. Als er geen grotere complexiteit of aanvullende interpretatie of redenering wordt vereist, kan de opgave ook met pen en papier gemaakt worden, en kun je je afvragen of de beschikbare ICT zo’n opgave niet te makkelijk maakt. Een tweede categorie is die van de modelleeropgaven. Hoewel modelleren een belangrijke wiskundige activiteit is, kun je ook hier kanttekeningen plaatsen: is een centraal eindexamen wel de geschikte gelegenheid om deze vaardigheid te toetsen? ICT heeft bij het modelleren meestal niet veel te bieden, dus zo’n vraag kan even goed op een ICTvrij examen gesteld worden. De derde categorie bestaat uit opgaven waarin een gegeven model moet worden gebruikt of toegepast. Als de situatie of het model zo complex is dat ICT daarbij van pas komt, kunnen dit heel geschikte opgaven zijn, zeker in het geval dat een wiskundige redenering, vertaalslag of interpretatie deel uitmaakt van de oplossingsstrategie. Als we erin slagen opgaven te ontwerpen waarin ICT-gebruik functioneel is en tevens aanleiding vormt tot redeneren, valideren en interpreteren, kan de vraagstelling op het examen rijker worden en kan ICT bijdragen aan toetsing waarin begrip en inzicht een belangrijke rol spelen.

Hoe verder in Nederland? In Nederland heeft cTWO (2007) een globale visie op het gebruik van ICT in de nieuwe examenprogramma’s HAVOVWO geformuleerd, die is uitgewerkt in het rapport van de werkgroep ICT1. Naar mijn idee kunnen we de volgende lessen trekken uit de situatie in de ons omringende landen. ICT-toepassingen die een grote rol spelen bij de toetsing passen beter in het SE dan in het CE. De school heeft hierin alle vrijheid en kan de toetsing beter aanpassen aan het onderwijs dan bij het CE het geval is.

Bij het CE kunnen we globaal gesproken doorgaan op de ingeslagen weg. Dat betekent dat leerlingen de GRM blijven gebruiken. Een verbod op de formulekaart heeft tot gevolg dat de GRM bij aanvang van het examen geen door de leerling ingevoerde teksten of programma’s mag be-

Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens

vatten. De huidige grafische rekenmachines bevatten mogelijkheden om dit te garanderen. Om pen-en-papiervaardigheden te toetsen, kan het CE, bijvoorbeeld aan het begin, een aantal korte-antwoordvragen bevatten, waarvan door de vraagstelling duidelijk is dat algebraïsche, exacte antwoorden worden gevraagd. De huidige praktijk met de speciale nomenclatuur moet wel nog wat worden aangescherpt en verduidelijkt. Verder verdient de ontwikkeling van geschikte opgaven waarin ICT een zinvolle functie vervult die iets toevoegt bijzondere aandacht te krijgen. Kortom, door de huidige praktijk te verfijnen kan ICT in de toekomst een vruchtbare rol in de toetsing blijven spelen. Dat we vanwege de snelle ontwikkelingen op het gebied van ICT niet achterover kunnen leunen, spreekt daarbij vanzelf. Paul Drijvers, Freudenthal Instituut


Noot [1] ICT-werkgroep cTWO. Use to learn, naar een zinvolle integratie van ICT in het wiskundeonderwijs. Utrecht: cTWO. Zie www.ctwo.nl

Literatuur Brown, R. (2008). The use of the graphing calculator in high stakes examinations: Trends in extended response questions over time. NORMA08 paper. Zie http://www.dpu.dk/site.aspx?p=10797. cTWO (2007). Rijk aan betekenis, visie op vernieuwd wiskundeonderwijs. Utrecht: cTWO. Drijvers, P. (1994). Grafische rekenmachines en computeralgebra in het buitenland. Nieuwe Wiskrant, 13(4), 29–34. Drijvers, P. (1998). Assessment and new technologies: different policies in different countries. The International Journal on Computer Algebra in Mathematics Education, 5(2), 81–93.

39

Het gebruik van een grafische rekenmachine hoeft niet te leiden tot minder algebraïsche vaardigheden. Het kan juist aanleiding zijn tot een oefening in deze vaardigheden. Het staat en valt met het stellen van de juiste vragen. Epi van Winsen laat zien welke vragen dat zijn.

De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden Inleiding In dit artikel wil ik ingaan op een activiteit voor leerlingen van 4 VWO met wiskunde B. Dit jaar heb ik hen die activiteit in een iets andere vorm voorgelegd. De leerlingen werken met de nieuwe grafische rekenmachine van Texas Instruments, de TI-Nspire. Deze machine is door de CEVO vorig schooljaar al toegelaten voor het eindexamen. In de Nspire kunnen documenten worden opgeslagen. De leerlingen krijgen een voorbereid document waarin ook de opdrachten staan, zie tabblad 1.1. Tabblad 1.2

De volgende opdracht, tabblad 2.1, zet de leerlingen aan het werk met pen-en-papierwiskunde (P&P).

Tabblad 1.1

Het centrale probleem is het bepalen van de afstand van 2 het punt P(6,1) tot de parabool met vergelijking y = x . Door met de pijlcursor naar het punt Q (Q ligt op de parabool) te gaan, wordt deze cursor een handje waarmee je het punt Q kunt vastpakken en over de parabool verplaatsen, zie tabblad 1.2. De lengte van het lijnstuk wordt door de rekenmachine gemeten en in het scherm weergegeven. Het intypen van de opdracht voor de leerlingen kost meer tijd dan het opzetten van het assenstelsel waarin op een dynamische wijze (vergelijkbaar met Cabri) de lengte van PQ wordt weergegeven. Op deze manier kun je het minimum redelijk goed benaderen en heb je geen algebra nodig.

40

Tabblad 2.1

De leerlingen beschikken over de afstandsformule en vinden dan na de eerste algebraïsche inspanning de formule: 2 2 2 d(q) = (q – 6) + (q – 1) . Differentiëren is voor deze leerlingen nog geen optie omdat ze de kettingregel nog niet gehad hebben. Met de GR benaderen ze het minimum van deze functie. Tracend over de grafiek van de functie, waarvan het func-

De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden

tievoorschrift op een nette wiskundige manier in het scherm staat, wordt het bereiken van het minimum door een kleine letter m aangegeven. Het minimum werkt hierbij samen met de functie ‘trace’ als een soort magneet.

Tabblad 3.2

Tabblad 2.2

De opdracht voor de leerlingen gaat verder. De bedoeling is om duidelijk te krijgen waarom je bij wortelfuncties ook naar het kwadraat van de afstand kunt gaan kijken. Dit kun je natuurlijk gewoon tegen de leerlingen vertellen, maar ze kunnen het ook op een andere manier ontdekken. Op tabblad 3.1 staat de volgende tekst: De kleinste lengte van PQ noemen we de afstand van het punt P tot de parabool. Deze afstand kunnen we ook in beeld brengen door te kijken naar cirkels waarvan P het middelpunt is. In gedachten kun je cirkels zien groeien met middelpunt P tot je de cirkel vindt die raakt aan de parabool. Je kunt ook kijken naar cirkels met middelpunt P die door het variabele punt Q gaan. De kleinste van deze cirkels heeft als straal de afstand van P tot de parabool. Door in de volgende pagina het punt Q te variëren, worden de x-coördinaat van Q en de bijbehorende oppervlakte van de cirkel in de spreadsheet geplaatst. Verzamel deze data en onderzoek deze data in Data & Statistics.

Tabblad 3.3

Op tabblad 3.5 komt de opdracht om de oppervlakte uit te drukken in q en daarna te herleiden tot: opp ( q ) = π ⋅ d = π ⋅ ⎛ ( q – 6 ) 2 + ( q 2 – 1 ) 2 ⎞ ⎝ ⎠ 2

2

2

2

4

2

=

2

π ⋅ ( ( q – 6 ) + ( q – 1 ) ) = π ( q – q – 12q + 37 ) = 4

2

πq – πq – 12πq + 37π

Tabblad 3.4

Het differentiëren van deze functie leverde geen problemen op, het algebraïsch oplossen van de vergelijking 3

om in te zien dat de best passende vierdegraads regressielijn die de rekenmachine vindt een redelijke benadering is. Met de leerlingen heb ik daarna de discussie gehad over de coëfficiënt van x3 in de regressievergelijking. Dat de 4,3·1012 erg dicht bij 0 ligt was bij veel leerlingen erg ver weggezakt.


3

4πq – 2πq – 12π = 0 ⇔ 4q – 2q – 12 = 0 weer wel. In een klassengesprek heb ik gevraagd uit te zoeken hoe de oppervlakteformule van de cirkel afhangt van de coördinaten van P. Dat leverde met P(a,b) snel op dat

41

opp ( q ) = π ⋅ d = π ⋅ ⎛ ( q – a ) 2 + ( q 2 – b ) 2⎞ ⎝ ⎠ 2

2

=

2

2

π ⋅ ((q – a) + (q – b) ) = 2

2

4

2

2

π ( q – 2aq + a + q – 2bq + b ) = 4

2

2

2

π ( q + ( 1 – 2b )q – 2aq + a + b )

36 – 8y P – 2x p = 0 ⇔ y p = – --14- x p + 4 --12en de conclusie dat P op de lijn met vergelijking y = – --14- x + 4 --12- moet liggen. Dat deze lijn loodrecht op de raaklijn in (2,4) aan de parabool staat, werd door de leerlingen na een meetkundige blikwisseling als heel logisch gezien.

Differentiëren geeft dan 3

opp′ ( q ) = π ( 4q + 2 ( 1 – 2b )q – 2a ) Een volgende vraag van mij was: Nu wil ik dat het punt Q waar de afstand tot P minimaal is, het punt Q(2,4) wordt. Wat weet je dan van het punt P? Na wat discussie kwam de opmerking dat dan opp′ ( 2 ) = 0 moet zijn, dus dat 3

0 = π ( 4 ⋅ 2 + 2 ( 1 – 2b ) ⋅ 2 – 2a ) ⇔ 3

4 ⋅ 2 + 2 ( 1 – 2b ) ⋅ 2 – 2a = 0 ⇔ 32 + 4 – 8b – 2a = 0 ⇔

De leerlingen werden vervolgens gered door de bel. De slotvraag om met de gevonden kennis de afstand van het punt R(6,3) tot de parabool uit het hoofd te bepalen (antwoord 17 ) hoefde niet meer beantwoord te worden.

Slotopmerking Wie zelf eens wat wil uitproberen met Nspire kan op http://education.ti.com/ onder downloads, Apps & Software, Nspire, Math & Science Computer Software een gratis dertig-dagen probeerversie van de software downloaden. Deze software heeft dezelfde functionaliteit als de rekenmachine. Het bijbehorende bestandje kun je krijgen als je een mailtje stuurt naar [email protected]

36 – 8b – 2a = 0 Herschrijven tot

42

Epi van Winsen Sg Sophianum, Gulpen

De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden

Ludolph van Ceulen, rekenmeester. Naast het berekenen van decimalen van π heeft hij zich ook beziggehouden met het berekenen van zijden van regelmatige n-hoeken. En hoe. Steven Wepster bericht vol respect.

Van Ceulens veelhoeken en veeltermen Inleiding Onlangs heeft een werkgroep van Utrechtse wiskundestudenten zich beziggehouden met delen uit het boek Vanden Circkel van Ludolph van Ceulen. Dit boek werd in 1596 in Delft gepubliceerd. Het is beroemd geworden omdat Van Ceulen erin de verhouding tussen de diameter en omtrek van een cirkel (tegenwoordig ook wel bekend als π ) berekent in twintig decimalen, een absoluut record voor die tijd. Later heeft hij het aantal decimalen zelfs nog opgevoerd tot vijfendertig. In de werkgroep (onder leiding van Jan Hogendijk en Steven Wepster) ging het echter om een ander onderwerp uit hetzelfde boek: Van Ceulens berekeningen van de zijden van regelmatige veelhoeken. Het bleken fascinerende hoofdstukken vol boeiende wiskunde, van een verrassende frisheid, en bovendien van een niveau dat haalbaar is in een bovenbouwklas. Reden genoeg dus om u erover te berichten.

Achtergrond Ludolph van Ceulen (ook wel Ludolff van Collen of Colen) werd geboren op 18 januari 1540 te Hildesheim, Duitsland. Hij behoorde tot de groep van rekenmeesters die een eigen schooltje hadden waar je tegen betaling onderricht in rekenen en wiskunde kon krijgen. Van Ceulen had zo’n schooltje onder andere in Delft en Leiden. Hij gaf bovendien les in schermen. Beide bezigheden ziet u fraai verenigd op de titelpagina van Vanden Circkel (zie figuur 1). Vanaf 1600 tot zijn dood gaf Van Ceulen samen met Symon van der Merwen les aan de Leidse ingenieursschool. Dat was een school die Prins Maurits in 1600 te Leiden had gesticht. Anders dan op de universiteit, waar de colleges in het Latijn waren, werd er hier in goeder duytsche taele (Nederlands) lesgegeven in Telkonsten ende Landmeten. Simon Stevin had het lesprogramma opgesteld en daarbij goed rekening gehouden met de noden van Maurits’ leger, zoals bijvoorbeeld vestingbouwkunde. De pupillen moesten zelfs ook belooven ende sweeren aen den Viant deeser Landen daer mede [met het geleerde] geenen dienst te doen.


fig. 1 titelpagina ‘Vanden Circkel’

Daarnaast had Ludolph een druk gezinsleven. Hij is twee keer getrouwd geweest en had in totaal twaalf kinderen. Hij overleed op 31 december 1610 te Leiden, waar hij werd begraven in de Pieterskerk, onder een grafsteen waarop trots zijn vijfendertig decimalen van π prijkten. Deze grafsteen is verloren geraakt, maar sinds 2000 is er een vervangende kopie in de kerk te bewonderen. Zijn weduwe heeft in 1615 een nieuwe uitgave van Vanden Circkel laten uitgeven, en ook zorgde zij voor de uitgave

43

van ander, ongepubliceerd werk van haar overleden echtgenoot (Arithmetische en Geometrische Fondamenten), terwijl Willebrord Snellius beide boeken bewerkte en in het Latijn beschikbaar maakte (Ludolph zelf sprak, las, en schreef geen Latijn). Vanden Circkel bevat ook sinustafels, landmeetkunde, interest-rekening, en honderd konstighe Vraghen die hij de lezers schenkt, niet twijfelende / de rechte Lief-hebbers sullen lust ende behaghen daerin hebben, bijvoorbeeld deze: Deelt 6 in twee deelen / Alsoo: Wanneer men der grootster Quadraet multipliceert met den cleynsten deel / dat 7 come. Antwoordt.

1 1 1 1 3 --- + 5 --- ende 2 --- – 5 --- . 2 4 2 4

De uitdaging van Van Roomen In de wiskunde van die tijd had meetkunde een veel belangrijker rol dan nu. Letterrekenen oftewel algebra was een betrekkelijk nieuw terrein; wiskundigen waren, ietwat oneerbiedig gezegd, volop bezig hun algebraïsche vaardigheden te ontwikkelen. Algebra schreef men nog niet met x en x2 en heette ook nog niet algebra. Het heette de regel Cos en dat kwam zo. Italiaanse wiskundigen hadden van hun islamitische voorgangers afgekeken dat je moeilijke problemen kunt oplossen door te doen alsof het probleem al opgelost is, waarna je gaat onderzoeken welke eigenschappen die oplossing heeft. Het ding dat je wilt vinden en waarvan je dus doet alsof je het al hebt, noem je het Ding, of in het Italiaans Cosa. In het Duits werd dit verbasterd tot Coss of Cos, niet te verwarren met onze cosinus. Het Ding had ook een symbool, namelijk , en als je er het kwadraat van nodig had, dan schreef je . De derde macht schreef je als en de vierde macht als en zo door. Onze notatie met x en exponenten daar rechtsboven dateert van 1637 toen Descartes’ La Geometrie verscheen. In dit artikel zullen we de moderne notatie aanhouden. Regelmatige veelhoeken waren in Van Ceulens belangstelling gekomen door toedoen van Adriaan van Roomen, een geleerde uit Leuven (later werkte hij in Keulen). Het statusverschil tussen academiegeleerden en gewone rekenmeesters stond niet in de weg dat de twee uitvoerig met elkaar correspondeerden. Sterker nog: Van Roomen stak zijn bewondering voor Van Ceulen niet onder stoelen of banken. Eén van de problemen die de geleerde aan de rekenmeester voorlegde, was het vinden van een oplossing van de volgende vergelijking: 45x – 3795x3 + 95634x5 – 1138500x7 + 7811375x9 – 34512075x11 + 105306075x13 – 232676280x15 + 384942375x17 – 488494125x19 + 483841800x21 – 378658800x23 + 236030652x25 – 117679100x27 + 46955700x29 – 14945040x31 + 3764565x33 – 740259x35 + 111150x37 – 12300x39 + 945x41 – 45x43 + x45 = 7 15 5 45 --- – ----- – ------ – -----4 8 16 64

44

.

We komen later nog op de betekenis van deze vergelijking terug; voorlopig mag het hart u erbij in de schoenen zinken. Hetzelfde zal mogelijk ook Ludolph zijn overkomen. Maar ook al doorzag hij de achtergrond van deze sware vraghe niet direct, toch wist hij wel een antwoord te produceren. Van Roomen schreef een boek, Ideae Mathematicae Pars Prima, sive Methodus Polygonorum dat in 1593 verscheen, en hoewel Van Ceulen geen Latijn las, zal het wel tot hem doorgedrongen zijn wat Van Roomens onvoltooide onderzoeksplan was: om de zijden van regelmatige n-hoeken te berekenen voor 3 ≤ n ≤ 80 . Van Ceulen pakt de handschoen op in Vanden Circkel. Terzijde: als u de zijde z van een regelmatige n-hoek in een cirkel met straal 1 wilt uitrekenen, dan gebruikt u vermoedelijk de formule 180° z = 2 sin ⎛ -----------⎞ ⎝ n ⎠ alsmede een apparaat of tabel die nauwkeurige sinuswaarden kan leveren. De beide laatste ontbeerde men nog in 1600.

Een opwarmertje

fig. 2 berekening van de zijde van een negenhoek

We bekijken nu eerst hoe Ludolph van Ceulen de zijde van een regelmatige negenhoek berekent (zie figuur 2). In de cirkel BDEFC met straal 1 is DC de zijde van een gelijkzijdige driehoek, met lengte 3 zoals u zelf kunt nagaan. De boog DC is door E en F in drie gelijke delen gedeeld. Daardoor zijn DE, EF, en FC ieder een zijde van een ingeschreven regelmatige negenhoek, zeg met lengte x. Verder zijn G en H de voetpunten van de loodlijnen op DC vanuit E respectievelijk F. Ten slotte is I het voetpunt van de loodlijn uit F op de diameter BC. Nu gaan we een potje algebra doen met de gegevens uit de figuur. Omdat GH = EF = x, hebben we HC = HD =

1 3 --- – --- x en 4 2

1 3 --- + --- x . Met de stelling van Pythagoras in drie4 2

hoek CFH vinden we HF2 = FC2 – HC2 = 2 3 3 --- x + x 3 --- – --- . 4 4 4

Van Ceulens veelhoeken en veeltermen

Vervolgens krijgen we in driehoek DFH dat DF2 = HD2 + HF2 = x 2 + x 3 . Nu stappen we over naar driehoek BCF. Omdat F op de cirkelomtrek ligt waarvan BC een diameter is, is de hoek bij F recht. Dus is BF2 = BC2 – FC2 = 4 – x2. Uit de gelijkvormigheid van driehoeken BCF en FCI volgt dat 2 BF ⋅ FC x BC : BF = FC : FI, derhalve FI = -------------------- = --- 4 – x . BC 2

Nu kunt u nagaan dat FI tevens de helft is van DF, bijvoorbeeld door FI te spiegelen in de diameter AB zodat u een koorde krijgt die dezelfde boog afsnijdt als DF. Er 2 2 2 moet daarom gelden dat ( 4 – x )x = x + x 3 , oftewel (daar x ≠ 0 ) 3x – x 3 = 3 . Deze vergelijking heeft drie reële wortels, waarvan de (absoluut gezien) kleinste de lengte van de zijde van de negenhoek is (de andere twee wortels zijn gerelateerd aan de twee nog onbekende diagonalen in die figuur). Volgens Van Ceulen ligt de lengte van de zijde tussen 0,684040286651337466088199229364518 en hetzelfde getal met een 9 op het eind. Alle cijfers behalve de laatste zijn correct; zo veel decimalen krijgt u niet uit de GR getoverd. Om u een indruk te geven van de originele tekst, volgt hier dezelfde afleiding in Van Ceulens eigen woorden: . . . bereydet een Figuer als hier neffens gheteykent. In welcke DC is een syde des 3 houcx/ ende EF een syde des 9 houcx in den Circkel gheschreven / wiens Diameter BC doet 2 / dan moet DC doen 3 . Ick sette voor EF / die ghelijck is FC / ende GH 1 / dan is HC

3 1 --- – --4 2

ende HD

47ste des

3 1 --- + --4 2

.

De eigenschappen van de meetkundige figuur dicteren de formulemanipulaties, en de eindformule drukt weer iets uit over de figuur. Van Ceulen gebruikt in zijn afleiding nergens dat DC de zijde van een gelijkzijdige ingeschreven driehoek is. Het verhaal verloopt dan ook precies hetzelfde voor elke lengte c van een willekeurige koorde DC, en komt dan uit op de vergelijking 3x – x3 = c. De (absoluut kleinste) oplossing van die vergelijking is de lengte van de koorde van 1--3 van boog DC. De vergelijking is dus de algebraïsche uitdrukking die hoort bij de driedeling van een boog. Van Ceulen was zich hier terdege van bewust. Hij wist ook, zo blijkt uit zijn boek, dat 5x – 5x3 + x5 = c de uitdrukking is voor de vijfdeling, en dat er net zulke formules bestaan voor de verdeling van een boog in een ander aantal gelijke stukken. De Franse wiskundige François Viète had op dat moment dergelijke vergelijkingen ook al gevonden, maar nog niet gepubliceerd. We vinden in zijn postuum verschenen Ad angulares sectiones theoremata (1615) een schema waaruit je precies de coëfficiënten kunt aflezen van de ndegraads vergelijking die hoort bij de n-deling van een boog. En Adriaan van Roomen kende zulke vergelijkingen ook al; het onderwerp stond duidelijk in de belangstelling. Viète had bij leven trouwens ook al direct de bovenvermelde 45e-graads vergelijking van Van Roomen herkend, en alle wortels gegeven, maar daarover later meer.

Een fondament

Door de eersten Euclides / doen de Quadraten van HC / ende HF / t’samen so veel als het Quadraet FC: Daerom genomen het Quadraet van HC (welc doet --34- – 3--4- + --14- ) van’t Quadraet FC (als 1 ) Rest voor’t Quadraet HF: te weten --34- + 3--4- – --34- . Het Quadraat HD doet+ 3--4- + --34- + --14- . Dese 2 Quadraten t’samen / doen soo veel (door’t voorgaende) als het Quadraet FD. Addeert / ende uyt de summa √. Comt voor DF 1 + 3 . De Perpendiculaer FI is de helfte van DF. Oorsake / den Boghe DEF noch soo groot is [nog eens zo groot] / als den Boghe FC. Subtraheert het Quadraet van FC / van’t Quadraet CB / uyt den rest √. Comt voor BF ste des 6ste [stelling 8 uit boek 6 van de Ele4 – 1 . Door de 8 menten van Euclides: de twee driehoeken BCF en FCI zijn gelijkvormig omdat de hoeken gelijk zijn, daarom CB : BF = CF : FI]. Als CB 2 teghen BF / 4 – 1 : Alsoo FC 1 teghen FI. Facit [= dit maakt] 4 – 1 /2 / voor FI. Dese Ghemultipliceert met 2 / comt 4 – 1 gelijck DF daer boven voor gevond¯e 1 + 3 . Quadreert over elcke syde / comt 4 − ghelijck 1 + 3 : Dat is 3 −1 ghelijck 3 . Divideert over elcke syde met 1 / Comt 3 - 1 ghelijck 3 . Facit [= dit maakt] 1 / doet meer 684040286651337466088499229364518 --------------------------. / Ende soo verre voor de 8 als ------------------------------------1000000000000000000000000000000000) op ’t eynde 9 geset werde / soude te lanck comen voor een syde des 9 houcx / &c.

Ik vind het een werkelijk prachtig staaltje algebra toegepast in meetkunde. De twee gaan zo moeiteloos met elkaar om dat hun verhouding niets van haar prilheid toont.


fig. 3 verband tussen een gegeven koorde, en een koorde die maar een half zo grote boog van de cirkel afsnijdt

In principe is het mogelijk op de boven geschetste weg door te gaan en de zijden van alle veelhoeken te berekenen. Voor bijvoorbeeld de zijde van de zevenhoek zou

45

Van Ceulen de zevendeling toepassen op de halve cirkel (met als koorde de diameter BC) en de juiste wortel berekenen van de bijbehorende zevende-graads veelterm. Dit zou hem de zijde van een veertienhoek opleveren, de zevenhoek is daarna een peuleschilletje (dat blijkt uit wat hieronder staat). Zo doorgaande tot en met de 79-hoek worden de graden van de veeltermen steeds hoger. Afschrikwekkend hoog, vindt Van Ceulen, want hij is op zoek gegaan naar een andere manier. Hieronder staat wat hij vond. Eerst echter hebben we een resultaat nodig dat Ludolph belangrijk genoeg vond om er de eerste propositie in zijn boek aan te wijden, en waarnaar hij later regelmatig verwijst als zijnde ‘mijn fondament’. Het legt een verband tussen een gegeven koorde, en een koorde die maar een half zo grote boog van de cirkel afsnijdt. In figuur 3 is D het midden van cirkel CAB, AB is de gegeven koorde, en E ligt op de cirkel midden tussen A en B. Van Ceulen bewijst tamelijk omslachtig (we laten het bewijs hier weg) 2 dat EB = CD ⋅ ( CB – CA ) . Dit resultaat volgt uit de stelling van de koordenvierhoek, namelijk het product van de diagonalen is de som van de producten van de overstaande zijden, maar die stelling blijkt Van Ceulen niet te kennen. Indien we weer straal 1 nemen, CA uitdrukken met behulp van de stelling van Pythagoras, en de wortel trekken, 2 dan komt er EB = 2 – 4 – AB . Dezelfde formule kunt u trouwens ook vinden uitgaande van de bekende 2 verdubbelingsformule cos 2 φ = 1 – 2 sin φ . Verwissel de buitenste termen, vermenigvuldig beide zijden met 2, en druk cos uit in sin, dan krijgt u 2 2 ( 2 sin φ ) = 2 – 2 1 – 2 sin 2φ . Noem in de figuur ∠EDB = 2 φ , dan is EB = 2 sin φ en AB = 2 sin 2 φ en dan is het al bijna gebeurd. Dit is een machtig mooi resultaat, want je kunt er direct de zijden van een 2n-hoek mee uitrekenen als de n-hoek bekend is, en andersom. Bovendien kun je dat herhalen zo vaak je wilt: Ludolph herhaalt het ook werkelijk heel vaak om π te benaderen met behulp van een 64424509440-hoek. Bij de driedeling die we hierboven zagen moest er een ingewikkelde vergelijking opgelost worden, maar bij een tweedeling hoeft dat dus niet.

Het spel Nu kunnen we gaan kijken naar de alternatieve methode die Ludolph vond, te illustreren aan de zevenhoek en en passant de veertienhoek. In figuur 4 is AB de middellijn van een cirkel met straal 1. LM is de zijde van een regelmatige ingeschreven veertienhoek, waarvan we de lengte aanduiden met x. Verder zijn K en I de voetpunten van de loodlijnen op AB uit L respectievelijk M. U kunt achtereenvolgens nagaan dat AK = 1 – 1--2- x, KB = 1 + 1--2- x, daarmee KL = 1 – 1--- x2 (wegens gelijkvormigheid; KL stond 4 ook wel bekend als de middenproportionaal tussen AK en

46

KB), en dan LB = 2 + x .

met

Pythagoras

AL =

2–x,

Dit deel van het spel is algemeen geldig en eigenlijk had Van Ceulen er wel een propositie aan mogen wijden, maar dat doet hij niet. De propositie zou ongeveer zo moeten luiden: als je in een eenheidscirkel een koorde hebt, en evenwijdig aan de koorde een diameter trekt (met lengte 2), en vervolgens de uiteinden van de koorde middels rechte lijnen verbindt met de uiteinden van de diameter, dan hebben die verbindingslijnen lengte 2 ± x , met een + voor de langere en een – voor de kortere (er zijn weliswaar vier lijnen, maar die zijn twee aan twee even lang). We hebben dit resultaat zometeen weer nodig. Nu staan er twee wegen open: linksom of rechtsom.

fig. 4 de alternatieve methode van Ludolph van Ceulen

Wie rechtsom gaat, laat N op de cirkel halverwege M en B liggen, en O halverwege tussen N en B. Telt u even na dat OB de zijde van een veertienhoek is, en NB de zijde van een zevenhoek. Toepassen van Van Ceulens fundamentele eerste propositie geeft NB = 2 – 2 + x . Dan is, zoals uit het bovenstaande volgt, AN = 2 + 2 + x . Opnieuw de eerste propositie toepassen, geeft OB = 2 – 2 + 2 + x . Maar OB = CD = x, dus hebben we de vergelijking x = 2 – 2 + 2 + x . De kleinste positieve oplossing daarvan is de zijde van de veertienhoek. De rekenmeester gaat liever linksom, klaarblijkelijk omdat hij dan ‘slechts’ een vergelijking van graad 6 hoeft op te lossen: boog AL staat over drie zijden van de veertienhoek, en de formule van de driedeling leert dan dat x voldoet aan 3x – x 3 = 2 – x . Schijnbaar zonder moeite vindt hij dat x = 0,445041867912628808577805, hetgeen correct


is. Linksom of rechtsom: de zijde van de zevenhoek reken je ten slotte uit met de bovenstaande formule voor NB, en klaar ben je.

maakt aan al het rekenwerk voor veertien of meer decimalen geen woord vuil!

Om te zien of u het spel begrepen hebt, kunt u zelf (eventueel met behulp van Van Ceulens tekst hieronder) nagaan dat de zijde van de tweeëntwintighoek moet voldoen aan 3x – x 3 = 3

2 – 2 – x en ook aan 5

5x – 5x + x =

2–x.

Den 11 / ende 13 houck in een Circkel beschreven / hebbe ick mede op vergelijckinge gebracht / welck een sware saecke is / ende sal de selve sparen tot dat mijn Geometria ghedruckt werdt / daerinne de selve met den 7 houck / ende andere ghevonden sullen werden. De voornoemde zijn veel lichter te becomen / door den hier-tegen-gestelde Figuer [zie figuur 5] / daer in DE een syde des 22 houcx is: Daerom den Boghe AKDE is ses mael soo groot als DE / e¯n den Boghe EOB vijf mael soo groot. Nu doet de rechte AE n EB 2 – 1 . Item [net zo] door’t voorgaende 2 + 1 / e¯ doet KA 2 – 2 – 1 (welcke eenen Boghe ondertoghen is / drymael soo groot als DE). Daerom comt 3 -1 ghelijck 2 – 2 – 1 : ofte 5 - 5 + 1β [β = x5] is ghelijck 2 – 1 / Comt voor 1 (Dat is een syde des 22 houcx) 28462967654657028088 /100000000000000000000 te cort / ende 9 op’t eynde te lanck. Door dese vint ghy licht voor de syde des 11 houcx 56346511368285939 / 100000000000000000 te cort / e¯n een op’t eynde meer soude te veel comen.

Bij de 3x – x 3 =

zesentwintighoek hoort 2 – 2 + x te vinden:

u

alleen

Item in den ondersten deel des Circkels [van figuur 5] / is LM een syde des 26 houcx / daer voor mede 1 gheset / comt voor LB 2 + 1 / ende voor LA 2 – 1 / soo moet door’t voorgaende voor AN (den Boghe NPA ondertoghen / de welcke drymael soo lanck is als den Boghe LM) 2 – 2 + 1 / Dit is ghelijck 3 -1 . Facit 1 241073360510646106698135 /1000000000000000000000000 te cort / e¯ n 6 op’t eynde te lanck voor een syde des 26 houcx. Nu kunt ghy voor een syde des 13 houcx vinden 4786313285751155 / 10000000000000000 / hier op’t eynde 6 te lanck / ende noch naerder door den 26ste hebbe ick mede ghevonden den 78.39.52 houck.

fig. 5 De 11- en de 13-hoek

Inmiddels breekt u zich waarschijnlijk het hoofd over de kwestie hoe Ludolph van Ceulen die toch niet malse vergelijkingen dan toch heeft opgelost. Welbeschouwd is bijvoorbeeld de relatief eenvoudige vergelijking 3 3x – x = 2 – x altijd nog van graad zes, en voor zulke vergelijkingen bestaan en bestonden geen kant-en-klare oplosrecepten. Nu is Van Ceulen er de man niet naar om de lezer moedwillig informatie te onthouden. Zelfs indien hij om commerciële redenen zijn methodes liever niet prijsgaf, dan zou hij hier nog wel nadrukkelijk de aandacht vestigen op de marktwaarde ervan. Er rest slechts één conclusie: blijkbaar vond hij het niet de moeite waard om er iets over te zeggen.

De rekenmeester speelt het spel voor alle p- en 2p-hoeken met 7 ≤ p ≤ 79 en priem, waarna hij al een heel eind op weg is om het lijstje van drie- tot tachtighoek in te vullen. Soms is de graad van de vergelijkingen die hij moet oplossen aanzienlijk lager dan met Viètes formules, nooit hoger.

Wij kunnen intussen slechts gissen hoe hij die wortels uitrekende. Gezien de hoeveelheid werk zou je denken dat hij een efficiënte, lees snel convergerende, rekenmethode had, maar het is onbekend welke.

Raadsels

Met een paar eenvoudige stellingen en wat denkwerk is Van Ceulen tot tamelijk ingewikkelde vergelijkingen gekomen, die de lengte van de zijden van regelmatige veelhoeken beschrijven. Hij was in staat om oplossingen voor zijn vergelijkingen te berekenen met een precisie waar een moderne GR niet aan kan tippen. Dit heeft een van onze studenten ertoe gebracht om zijn rekenmachine voortaan ‘zak-Ludolph’ te noemen. Het proces dat we gezien hebben: van figuur naar algebra naar numerieke oplossing, heeft iets moois en ook iets wezenlijks wiskun-

Steeds opnieuw verbaas ik mij erover dat Van Ceulen omstandig uitlegt hoe hij aan de vergelijkingen komt, om vervolgens plompverloren de oplossingen neer te zetten. In zijn boek geeft Van Ceulen een foutloze tabel met de zijden van de drie- tot en met de tachtighoek in veertien cijfers achter de komma. Veel van de waarden in de tabel zijn afgerond nadat hij eerst veel meer cijfers berekend had, zoals bijvoorbeeld in bovenstaande voorbeelden. Hij


Conclusie

47

digs. Misschien dat u of uw leerling haar schouders ophaalt over dit proces, maar in Ludolphs tijd was het echt modern. Van Ceulen laat zien dat hij met het materiaal kan spelen; hij laat zien dat het zus kan, maar ook zo. Bovendien waren wortelgetallen nog behoorlijk verdacht: ‘irrationaal’ werden ze toen ook al genoemd, maar de betekenis van het woord irrationaal in de wiskunde lag nog veel dichter bij ‘niet goed over nagedacht’ dan nu.

Dat was nuttig en maatschappelijk relevant om te weten. Immers, een zijde van die veelhoek is precies de koorde van 16' (boogminuten), daarom is x = 2 sin 8′ , zodat je met driemaal toepassen van de halveringsformule de sinus van 1' krijgt. En die heb je nodig om een nauwkeurige sinustafel te maken.

Bronnen

Het is dan ook onterecht om Ludolph van Ceulen af te schilderen als ‘slechts’ een rekenmeester. In menig opzicht kan hij een voorbeeld zijn voor de moderne VWOleerling: met Lust ende Arbeidt is er veel te bereiken. Daarbij gaat het om algebraïsche vaardigheden, maar ook om inzicht, oog voor schoonheid en symmetrie, en rekenvaardigheid. Een historisch voorbeeld als dit kan hopelijk ook de opvatting bestrijden dat wiskunde een onbeweeglijk, star en af vak is.

Een originele Vanden Circkel is digitaal beschikbaar op de website van de bibliotheek van de Universiteit van Göttingen:

U hebt nog van mij tegoed wat de betekenis is van die vergelijking van graad 45. Het antwoord zal u waarschijnlijk niet meer verbazen: de veelterm aan de linkerkant is die van de vijfenveertigdeling van een boog, de wortelvorm aan de rechterkant is de lengte van de zijde van een vijftienhoek. De kleinste positieve oplossing x is dus de lengte van de zijde van een 45 × 15 = 675-hoek. Volgens Van Ceulen, en ook volgens moderne opvattingen, is die oplossing x = 0,009308389071322324827845.

Bierens de Haan, D. (1878). Ludolph van Ceulen. In Bouwstoffen voor de geschiedenis der wis- en natuurkundige wetenschappen in de Nederlanden, Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, tweede reeks, 9, 322–369. Bos, H.J.M. (2000). De cirkel gedeeld, de omtrek becijferd en pi gebeiteld: Ludolph van Ceulen en de uitdaging van de wiskunde. Nieuw Archief voor Wiskunde, 259–262.

48

http://resolver.sub.uni-goettingen. de/purl?PPN539965979

Een transcriptie in modern leesbaar lettertype is bijna gereed; als u die wilt gebruiken dan kunt u contact opnemen met Steven Wepster: [email protected].

Literatuur


INHOUD 28e JAARGANG NR. 1

H. van Dissel & S. de Vries J. Heijn & J. Krüger M. Kindt P. Vaandrager T. Lecluse N. Oosterling P.W.H. Lemmens A. Zaal P. Drijvers E. van Winsen S. Wepster

SEPTEMBER 2008

Inhoudsopgave Over het laatste nieuws Wielen spaken Wiskunde in NLT Wat te bewijzen is (42) Het nieuwe schoolbord De geschiedenis van een opgave DisWis Alternatieve Euclidesachtige bewijzen voor de existentie van oneindig veel priemgetallen Wiskunde D geeft leerlingen a beautiful mind Tests en tools: technologie in landelijke eindexamens De grafische rekenmachine en algebraïsche vaardigheden Van Ceulens veelhoeken en veeltermen

2 3 4 10 15 18 20 24 29 31 35 40 43

The Nieuwe Wiskrant ( New Mathpaper )

Recommend Documents