Test hypotézy o parametru π alternativního rozdělení – příklad Podnik předpokládá, že o jeho nový výrobek bude mít zájem 70 % oslovených domácností. Proběhl předběžný průzkum, v němž bylo osloveno 400 náhodně vybraných domácností, z nichž o nový výrobek projevilo zájem 267. Určete na 5% hladině významnosti, zda je vyslovený předpoklad podniku správný. n = 400 (pozn.: požadavek na minimální rozsah výběru je splněn) 267 p 0,67 400 0,05 1)
H 0 : 0,7 H 1 : 0,7
Alternativní hypotéza bude oboustranná, neboť zde není úkolem prokázat, že by podíl zájemců o výrobek měl být vyšší než 70 % či nižší. 2) U
p 0
0 1 0 n
3) W U ;U u U u 1 2 2 W U ;U u 0, 025 U u 0, 975
W U ;U 1,96 U 1,96 4) U
0,67 0,7 0,7 0,3 400
1,31
5) U V , tj. nezamítáme H0, nepřijímáme H1. Na hladině významnosti 5 % jsme neprokázali, že by předpoklad o zájmu o nový výrobek, vyslovený podnikem, nebyl správný.
Test hypotézy o parametru 2 normálního rozdělení – příklad V dodacích podmínkách dodavatel garantuje, že směrodatná odchylka doby životnosti zářivek nepřekročí 125 hodin. Při přejímce bylo náhodně vybráno ke kontrole 10 zářivek, u nichž byly naměřeny hodnoty životnosti a z nich vypočítány tyto výběrové charakteristiky: x 1563 (h) s x2 23074 . Testujte na hladině významnosti 5 %, zda je tvrzení dodavatele správné. n = 10 1) H 0 : 2 125 2 H 1 : 2 125 2 Pozn.: Testujeme hodnotu směrodatné odchylky, ale ve formulaci hypotéz se objevuje rozptyl základního souboru, neboť pro testování parametru σ využijeme test o parametru σ2, protože směrodatná odchylka svůj samostatný test nemá – není to třeba, když víme, že směrodatná odchylka je kladnou druhou odmocninou z rozptylu. Pozn. 2: H0 bývá obvykle formulována jednoduše, tj. obsahuje pouze rovnost. Zde však zadání vyžaduje formulaci složitou, neboť dodavatel garantuje ne to, že směrodatná odchylka doby životnosti zářivek JE 125 hodin, nýbrž že NEPŘEKROČÍ 125 hodin, tj. JE 125 nebo JE MENŠÍ než 125 hodin. 2) 2
n 1s 2 02
3) W 2 ; 2 12 n 1
W
W 2 ; 2 02, 95 9
4) 2
2
2
; 16,9
9 23074 13,29 125 2
5) 2 W nezamítáme H0, nepřijímáme H1. Na hladině významnosti 5 % nezamítáme předpoklad o tom, že je tvrzení dodavatele zářivek správné, tj. že doba životnosti zářivek nepřekročí 125 hodin.
Test hypotézy o shodě dvou průměrů – příklad 1 Ověřte na hladině významnosti 5 %, zda výkon zaměstnanců určitého podniku je významně vyšší než v jiném, kde se vyrábí obdobný výrobek. Známe rozptyly výkonů v obou podnicích – 12 20 a 22 18 . K ověření testované hypotézy byl proveden náhodný výběr v prvním podniku n1 60 pracovníků a ve druhém podniku n2 50 pracovníků a vypočteny průměrné výkony za směnu – x1 140 a x 2 137 . n1 60 n2 50
12 20 22 18 x1 140 x 2 137 0,05 1) H 0 : 1 2 H 1 : 1 > 2 2) Při výběru testového kritéria vycházíme z toho, že známe rozptyly v obou základních souborech, tj. známe 12 a 22 . x1 x2 U 12 22 n1 n2 3) W U ;U u1 W U ;U u 0, 95
W U ;U 1,645 4) U
140 137 20 18 60 50
3,603
5) U W zamítáme H0, přijímáme H1. Na hladině významnosti 5 % jsme prokázali, že v prvním podniku je průměrný výkon zaměstnanců za směnu vyšší než ve druhém podniku.
Test hypotézy o shodě dvou průměrů – příklad 2 Posuďte na hladině významnosti 5 %, zda mají muži v průměru vyšší diastolický tlak než ženy. Bylo náhodně vybráno 20 mužů a 15 žen a z těchto 2 výběrů vypočítány následující charakteristiky: x1 79,15 x 2 77 s1 2 104,45 s 22 26.
1) H 0 : 1 2 H 1 : 1 > 2 2) Při výběru testového kritéria vycházíme z toho, že NEZNÁME rozptyly v základních souborech, tj. neznáme 12 a 22 . Nyní musíme zjistit, zda se u těchto neznámých rozptylů dá předpokládat jejich shoda či rozdílnost – k tomu použijeme test shody 2 rozptylů. Test shody 2 rozptylů (provádíme proto, abychom byli schopni správně vybrat testové kritérium pro test shody 2 průměrů). 1) H 0 : 12 22 H 1 : 12 22 2) F
s12 s 22
3) W F ; F F n1 1; n2 1 F F n1 1;n 2 1 1 2 2 W F ; F F0, 25 19,14 F F0, 975 19,14
W F ; F 0,378 F 2,861 4) F
104, 45 4,017 26
5) F W zamítáme H0, přijímáme H1. Na hladině významnosti 5 % jsme prokázali, že rozptyly v základních souborech jsou různé. Tj. předpokládáme, že 12 22 . Nyní se můžeme vrátit k výběru testového kritéria pro test shody 2 průměrů. Víme už, že lze předpokládat různost rozptylů. Vybereme tedy, v pořadí třetí, testové kritérium z tabulky, která uvádí přehled testu shody 2 průměrů (viz studijní materiály):
t
x1 x 2 s1 2 s 22 n1 n2
3) W t t1 , kde
s1 2 s 22 n2 n1 1 s1 2 n1 1 n1
2
2
1 s 2 2 n n 1 2 2
2
29,322 W t t 0,95 29,322 V tabulkách bychom hodnotu tohoto kvantilu určili přibližně, v programu Statgraphics Centurion XVI ji určíme přesně:
W t 1,698 4) t
79,15 77 104, 45 26 20 15
0,815
5) t V nezamítáme H0, nepřijímáme H1. Na hladině významnosti 5 % se nepodařilo prokázat, že by muži měli v průměru vyšší diastolický tlak než ženy.
