Test A V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (A), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Určete hodnoty výrazu q (a) 1
2)
(b) 2
√ (c) 3
√ 2+ 3−
√ (d) 2
q √ 2 2− 3 .
(e) −2
Pro přípustné a upravte výraz p √ a 3 2a p . √ 3 a 2−5 a
√ 5 3 (a) a 2 22 (b) Nelze upravit na žádný z uvedených výrazů. √3 √6 (d) 2 a (e) 2/a 3)
Určete k tak, aby rovnice 3(x + 1) = 4 + kx měla kořen větší než 1. (a) k ∈ (2, 3) ∈ (−2, −4)
4)
(c) 2
(b) k ∈ (1, 4)
Řešte soustavu rovnic
(c) k ∈ (0, 5)
(d) k ∈ (−1, 3)
(e) k ∈
x + 2, 3 y x = − + 1. 6 2 y=−
(a) Řešení je nekonečně mnoho. (b) Řešení v oboru reálných čísel neexistuje. (c) [1, 2] (d) [2, 5] (e) [−2, −1] A1
5) Hugo má dvakrát tolik peněz než Žigo. Kdyby Hugo dal Žigovi 20 Kč, měl by Žigo dvakrát tolik peněz, než Hugo. Kolik mají dohromady? (a) 20 Kč 6)
(b) 80 Kč
(c) 60 Kč (d) −10 Kč
11) Hyperbola určená rovnicí 2x2 −4y2 −8x−8y +5 = 0 má střed S a poloosy a, b, pro které platí : (a) S (b) S (c) S (d) S (e) S
(e) 30 Kč
Součet dvou čísel je 10, součin je 2. Která rovnice má tyto čísla za kořeny ? (a) x2 + 2x + 8 = 0 (d) x2 + 7x − 4 = 0
(b) x2 − 10x + 2 = 0 (c) x2 + 3x − 1 = 0 (e) x2 − 6x + 11 = 0
12)
2
7) Proveďte diskusi řešení rovnice a x = a vzhledem k reálnému parametru a. (a) Nemá řešení. (b) Pro a < 0 nemá řešení, pro a ≥ 0 nekonečně mnoho řešení. (c) Pro a < 0 nemá řešení, pro a = 0 nekonečně mnoho řešení, pro a > 0 1 řešení. (d) Pro a = 0 nekonečně mnoho řešení, pro a 6= 0 1 řešení. (e) Pro každé a ∈ R 1 řešení. 8)
V oboru reálných čísel určete řešení nerovnice
(a) −∞, 3/2 (e) 3/2, ∞
(b) 0, 3/2
Určete počet rovin které mají stejnou vzdálenost od všech vrcholů krychle. (a) 3 (b) 2
13)
(c) 1
(d) 8
(e) 4
Určete nejmenší kladný nulový bod funkce cos(2x + 1). (a) 0
(b) (π − 2)/4
(c) π/2 − 1/2
(d) π + 1
(e) 2π − 1
14) Určete všechna q tak, aby geometrická posloupnost s kvocientem q a nultým členem a0 > 0 byla klesající. (a) q ∈ (−∞, 0) racionální číslo
(b) q ∈ (−1, 1)
(c) q ∈ (0, 1)
(d) q ∈ h1, ∞)
(e) q je
15) Vyberte tvrzení ekvivalentní s tvrzením Není pravda, že ke každému autu ” máme řidiče.“
2x − 2 ≥ −2 . x−2
= [1, 1], a = 1,√b = 2 = [2, −1], a =√ 2/2, b = 1/2 = [1, 1], a = √2, b = 2 = [1, 1], a = 2/2, √ b = 1/2 = [2, −1], a = 2, b = 2
(c) −∞, 3/2 ∪ (2, ∞)
(a) Existuje auto bez řidiče. (b) Existuje auto, které se nedá řídit. (c) Existuje auto, které nemá volant. (d) Existuje řidič, který nemá auto. (e) Existuje řidič, který špatně řídí.
(d) R \ {2}
9) Rovnice přímky procházející bodem A[5, 3] a kolmé k přímce určené body C[4, 7], D[−4, −5] je (a) 2x + 3y − 1 = 0 (b) 4x − 6y − 2 = 0 − 6y + 3 = 0 (e) 2x + 3y − 19 = 0 10)
(c) 2x + 3y + 6 = 0
(d) 4x −
Jaká je vzájemná poloha kružnice x2 + y2 = 1 a přímky y − 1 = 0 ? (a) přímka je tečnou v bodě [1, 0] (b) přímka je tečnou v bodě [0, 1] (c) přímka je sečnou procházející středem kružnice (d) přímka je sečnou neprocházející středem kružnice (e) přímka je nesečnou A2
A3
Test B V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (B), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Určete definiční obor výrazu q (a) (0, 1)
2)
(b) h0, 1i
√ x − x.
(c) h−1, 1i
(d) (−1, 1)
(e) R
Pro přípustné a upravte výraz s √3 2 a a 5 √ . a (a) a
3)
(b)
√
a
√3 √ (d) 3 a (e) a 2a.
Určete k tak, aby rovnice 3(x + 1) = 4 + kx měla kořen větší než 1. (a) k ∈ (2, 3) ∈ (−2, −4)
4)
√3 (c) a2
(b) k ∈ (1, 4)
(c) k ∈ (0, 5)
(d) k ∈ (−1, 3)
(e) k ∈
Určete a, b ∈ R tak, aby neexistovalo řešení soustavy ax − y = −2 , x+ y = b. (a) a = −1, b = −2 (b) a = 1, b 6= −2 b 6= 2 (e) a 6= 1, b 6= 2
(c) a 6= −1, b = −2
(d) a = −1,
B1
5) Loď je třikrát tak stará jako kotel. Za deset roků bude loď dvakrát tak stará jako kotel. Kolik roků má loď ?
11) Určete křivku na které leží body, jejichž součet vzdáleností od bodu [−3, 0] a od bodu [3, 0] je 10. (a) 14 x2 − 15 y2 = 1
(a) Tolik roků, kolik bude mít kotel, když bude dvakrát tak starý, jako teď. (b) 25 roků. (c) O 20 roků méně, než kolik bude mít, když bude dvakrát tak stará, jako je teď. (d) O 20 roků více, než kotel. (e) −5 roků. 6)
Určete řešení rovnice x2 + (a − b)x − ab = 0, kde a, b ∈ R. (a) a, b
(b) −a, −b
(c) −a, b (d) a, −b
(b) (c) (d) (e)
12) Určete počet rovin majících stejnou vzdálenost od všech vrcholů pravidelného čtyřstěnu.
(e) ∅
7) Proveďte diskusi řešení rovnice a2 x = a2 vzhledem k reálnému parametru a.
(a) 1 13)
(a) Pro každé a je řešení parabola. (b) Pro a < 0 neexistuje řešení, pro a ≥ 0 je řešení jednoznačné. (c) Řešení je jednoznačné pro všechna a 6= 0. (d) Pro a ≥ 0 existují dvě řešení. (e) Rovnice nemá řešení v reálném oboru. 8)
(c) (12, ∞)
10)
(b) žádné reálné k nevyhovuje
(b)
(a) d ∈ (−∞, 0) ∈ (−∞, 1)
(d) (−∞, 12)
(c) 1/5
(d) 4
(e) 7
3
2 π, 2π
1 2 (x
√ + π) = 2 .
(c) 0, 12 π
(d) 0, 32 π
(e)
1
2 π, π
14) Určete všechna d tak, aby aritmetická posloupnost s diferencí d byla klesající.
15)
(e) h−3, 3i
9) Určete hodnotu směrnice k přímky √ y = kx + 5 tak, aby vzdálenost této přímky od počátku [0, 0] byla rovna 5. (a) ±1
(c) 3
Určete interval na kterém se nachází nejmenší kladné řešení rovnice
(a) h2π, 4πi
x−3 > −3 . −3 (b) x > −27
(b) 2
2 cos
V oboru reálných čísel určete řešení nerovnice
(a) ∅
1 2 1 2 x + 25 y =1 16 1 2 1 2 x + 4y = 1 5 1 2 1 2 x + 16 y =1 25 1 2 1 2 x − 25 y = 1 16
(d) ±2
(e) −5
(b) d = 0
(c) d ∈ (−∞, −1)
(d) d = 1
(e) d ∈
Který z uvedených výroků je tautologie ? (a) (p ∨ ¬p) ⇒ (q ∧ ¬q) (b) (p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q) (c) (p ∧ q) ⇒ ¬(p ∨ q) (d) (p ⇒ q) ⇒ p (e) (p ⇔ ¬q) ⇒ (p ∨ ¬q)
Jaká je vzájemná poloha kružnice x2 + y2 = 4 a přímky x + 2 = 0 ? (a) přímka je tečnou v bodě [−2, 0] (b) přímka je tečnou v bodě [0, 2] (c) přímka je sečnou procházející středem kružnice (d) přímka je sečnou neprocházející středem kružnice (e) přímka je nesečnou B2
B3
Test C V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (C), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Určete definiční obor výrazu x−1 √ . − x
x2 (a) ∅ (b) (0, 1) ∪ (1, ∞) \ {−1, 1} 2)
(c) (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
(d) (−1, 1)
(e) R \
Pro přípustné m upravte výraz 3
m4 3
m2 m 7
(a) m− 12
(b) m7
7
(c) m− 4
! 13
(d) m
. 7
(e) m 12
3) Proveďte diskusi řešení rovnice ax = 2a vzhledem k reálnému parametru a. (a) Nemá řešení. (b) Pro každé a ∈ R existuje 1 řešení. (c) Pro a ≥ 0 existuje 1 řešení, pro a < 0 existují 2 řešení. (d) Pro a ≤ 0 nemá řešení, pro a > 0 existuje nekonečně mnoho řešení. (e) Pro a = 0 existuje nekonečně mnoho řešení, pro a 6= 0 existuje 1 řešení 4)
Určete b ∈ R tak, aby existovalo nekonečně mnoho řešení soustavy x + (b − 1)y = 1 , (b + 1)x + 3y = −1 . (a) p < 0
(b) −2
(c) 2
(d) −1
(e) 1 C1
5) Do stanice vzdálené 130 km vyjede osobní vlak, za 2 hodiny po něm rychlík, který ujede za hodinu o 30 km více, takže dojede k cíli o 10 minut dříve. Jaké jsou průměrné rychlosti obou vlaků ? (a) 80 km/hod, 50 km/hod (b) 90 km/hod, 60 km/hod (c) 75 km/hod, 45 km/hod (d) 60 km/hod, 30 km/hod (e) 70 km/hod, 40 km/hod 6)
8)
9)
(b) m > 0 (c) m > −1
(d) m < 4
(a) 4 13)
√ (b) 14
√ (c) 10
(d)
√ 5
Určete počet řešení rovnice 2 cos (b) více než 6
(c) 6
(e) x 3
(d) 0
√ −1
√ = − 3 na intervalu h0, 2πi. (e) 3
14) Určete všechna q tak, aby geometrická posloupnost s kvocientem q a nultým členem a0 < 0 byla klesající. (a) q je iracionální číslo (e) q ∈ (−1, 1)
Pro která m má rovnice x2 + 2mx + m2 = 0 oba kořeny záporné ? (a) m < 0
Určete délku nejdelší úsečky, která se vejde do kvádru o rozměrech 1, 2,
(a) 1
Která rovnice má za řešení reálná čísla −a, b. (a) x2 + (a − b)x − ab = 0 (b) x2 + (b − a)x − ab = 0 (c) x2 + (a − b)x + ab = 0 (d) x2 + (b − a)x + ab = 0 (e) x3 − x2 − x − ab = 0
7)
12) 3.
(b) q ∈ (1, ∞)
(c) q ∈ (−∞, 0)
(d) q ∈ (0, 1)
15) Vyberte tvrzení ekvivalentní s tvrzením Není pravda, že ke každému ” zámku existuje klíč.“
(e) m < −1
Určete řešení nerovnice −x2 + 3x − 4 > 0 v oboru reálných čísel. √ √
(a) (−1, 4) (b) ∅ (c) 3/2 − 3, 3/2 + 3 (d) h−1, 4i (e) R \ h−1, 4i Určete vzdálenost bodu [1, 1] a přímky p : x = 3 + 2t, y = 2 − t. √ √ √ (a) 2/ 3 (b) 1 (c) 4 5/5 (d) 0 (e) 2 3
(a) Ztratil jsem klíče od bytu. (b) Také paklíč je někdy užitečný. (c) Existuje zámek, ke kterému neexistuje klíč. (d) Jsou zámky, které se nedají otevřít. (e) Továrna FAB vyrábí také zámky bez klíčů.
10) Určete parametr c tak, aby přímka 4x − 3y + c = 0 byla tečnou kružnice (x + 1)2 + (y − 3)2 = 25. (a) 0
(b) −12
(c) −12, 38, 0
(d) 38
(e) −12, 38
11) Která z rovnic je rovnicí elipsy s středem S = [−2, 5] a poloosami délek 6 a 8? (a) 16 (x + 2)2 + 18 (y − 5)2 = 1
(b) (c) (d) (e)
1 1 (x + 2)2 + 64 (y − 5)2 = 1 36 1 (x + 2)2 + 16 (y + 5)2 = 1 8 1 2 1 2 x + 16 y =1 9 1 1 (x − 2)2 + 16 (y + 5)2 = 1 9
C2
C3
Test D V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (D), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Určete definiční obor výrazu (x2 − 1) √ . (x − 1) x (a) (0, 1)∪(1, ∞)
2)
(b) h0, 1)∪(1, ∞)
(c) R
(d) h−1, 0)∪(0, 1i
(e) h−1, 1i
Pro přípustné m upravte výraz 1
m3 1
m 2 m−1 5
(a) m 8
(b) m5
3
(c) m 4
(d) m3
! 34
. 3
(e) m 2
3) Proveďte diskusi řešení rovnice p = px vzhledem k reálnému parametru p. (a) Jediné řešení x = p pro p > 0, pro p = 0 rovnice nemá řešení. (b) Pro p 6= 0 jediné řešení x = 0, pro p = 0 rovnice nemá řešení. (c) Pro libovolné p má rovnice jediné řešení x = p. (d) Pro p = 1 jediné řešení x = 1, pro p 6= 1 nekonečně mnoho řešení rovnice. (e) Pro p 6= 0 má rovnice jediné řešení x = 1, pro p = 0 nekonečně mnoho řešení. 4)
Určete c ∈ R tak, aby existovalo nekonečně mnoho řešení soustavy x − cy = 5 ,
cx + 4y = 10 . (a) takové c neexistuje (b) 4
(c) 2
(d) ±2
(e) −2 D1
5)
Kolik vody musíme přidat do 50 litrů 15 % NaCl, aby vznikl roztok 8 %? (a) 30,2 l
(b) 43,75 l (c) 52,8 l
(d) 59,25 l
(e) 59,75 l
14) Určete všechna q tak, aby geometrická posloupnost s kvocientem q a prvním členem a1 > 0 byla rostoucí. (a) (−∞, 0)
6)
Která z uvedených rovnic má kořeny −2 a 4 ?
7) Určete všechna reálná čísla t, pro která má kvadratická rovnice 2x 2 − tx + + 2 = 0 jediné reálné řešení.
8)
(b) t > 4
(d) t = 0
(c) t ∈ h−4, 4i
(c) (0, 1)
(d) (−1, 0)
(e) (1, ∞)
15) Víme, že jsou pravdivé následující výroky Student, který nechodí na ” přednášky, neudělá zkoušku.“ a Někdo zkoušku vždy udělá.“ Co z toho vy” plývá ?
(a) E = mc2 (b) x2 + 2x + 4 = 0 (c) x2 − 2x + 8 = 0 (d) x2 − 2x − 8 = 0 (e) x2 − 2x + 4 = 0
(a) t = 4
(b) (−1, 1)
(e) t ∈ {−4, 4}
Určete řešení nerovnice 4x2 + 10x + 4 < 0 v oboru reálných čísel. (a) (−1, 1) (b) (−2, 5) (c) (−5, −0) (d) −1, − 12 (e) −2, − 12
(a) Existují studenti, kteří nechodí na přednášky. (b) Jestliže někdo chodí na přednášky, tak zkoušku udělá. (c) Zkouška se uděluje za vzornou účast na přednáškách. (d) Vždy se najde někdo, kdo chodí na přednášky. (e) Existují studenti, kteří neudělají zkoušku.
9) Určete parametry a, b tak, aby přímky p : ax+2y+1 = 0 a q : 2x+4y+b = 0 byly rovnoběžné různé. (a) a = 1, b = 2 (e) a = 2, b 6= 1
(b) a 6= 1, b = 2
(c) a = 2, b = 2
(d) a = 1, b 6= 2
10) Určete parametr a tak, aby přímka x − y + a = 0 byla tečnou ke kružnici x2 + y2 = 2. (a) ±1 11)
(b) ±2 (c) ±3
(d) 1, 2
(e) −1, −2
Určete ohniska F, G a excentricitu e elipsy 5(x + 2)2 + 3(y − 4)2 − 30 = 0.
(a) F [−2, 3], G[−2, 2], e = 3 (b) F [−2, 6], G[−2, 2], e = 2 (c) F [−2, 6], G[−2, 2], e = 3 (d) F [−2, 3], G[−2, 6], e = 2 (e) F [−2, 6], G[−2, 6], e = 2 12)
Určete povrch válce o průměru podstavy d a výšce d/2. (a) πd2
13)
(b) 2πd(d − 1)
(c) d(d − 1)
(d) 2πd2 − 1
(e) π(d2 + 1)
Určete součet všech řešení rovnice 3 tg 2 x − 1 = 0 na intervalu h0, 2πi. (a) 1
(b) π
(c) 2π
(d) 3π
(e) 4π D2
D3
Test E V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (E), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Určete definiční obor výrazu (x − 1) √ . ( x − 1)x (a) h−1, 1i (e) R
2)
3)
(b) h−1, 0) ∪ (0, 1i
(c) (0, 1) ∪ (1, ∞)
√ √ √ Pro přípustné m upravte výraz 4 m 6 m 8 m. √ √ √ √ 18 18 18 24 (a) m17 (b) m13 (c) m9 (d) m13
(e)
(d) h0, 1) ∪ (1, ∞)
√ 24 m17
Řešte rovnici |x − 1| = |x − 3|. (a) Jsou dvě kladné řešení. (b) Je jediné řešení a to záporné. (c) Je jediné řešení a to kladné. (d) Nemá řešení. (e) Je jedno kladné a jedno záporné řešení.
4) Určete a ∈ R tak, aby dvojice (x, y), kde x > 0 a y < 0, byla řešením soustavy ax − 2y = 3 , 3x + ay = 4 . (a) a ∈ − 83 , 94 (b) a ∈ − 54 , 95 (c) a ∈ − 53 , 53 (d) všechna reálná čísla a (e) takové a neexistuje E1
5) V 6.00 hod. opustili současně konečnou zastávku tři tramvajové soupravy třech různých linek. Každá z linek jezdí v pravidelných intervalech: první každých 9 minut, druhá každých 6 minut, třetí každých 15 minut. Do 22:00 hod. opustí současně soupravy všech tří linek konečnou zastávku ještě (a) právě 4× 10×
(b) právě 6×
(c) právě 8×
(d) právě 10×
(e) více než
6) Jsou-li α a β kořeny kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0. Určete výraz 1/α + 1/β pomocí koeficientů a, b, c dané rovnice. (a) (a − b)/c
(b) b/c
(c) −b/c
(d) (a + b)/c
8)
(b) 2/3
(c) −3/2
(d) ±3/2
(e) ±2/3
x2 − 5x + 6 < 0. |x| + 7 (b) x > 2
(c) x ∈ (0, 6)
(d) x ∈ (0, 2)
(b) 1 : 1
(c) 1 : 8 (d) 1 : 2
(e) 1 : 7
13) Povrch válce je 37. Určete povrch válce s dvojnásobným poloměrem podstavy a dvojnásobnou výškou. (a) 37 14)
15)
(b) 296
(c) 148
(d) nedá se určit
(e) 74
Určete součet všech řešení rovnice 4 cos2 x − 1 = 0 na intervalu h0, 2πi. (a) 1
Určete kladná řešení nerovnice
(a) (2, 3)
(a) 1 : 4
(e) −bc/a
7) Uveďte všechny a, pro které má kvadratická rovnice ax2 + 4x + 9a = 0 právě jedno reálné řešení. (a) pro žádné a
12) Rotační kužel je rozdělený rovinou kolmou na jeho osu v polovině jeho výšky na dvě části. Určete poměr objemu vrchní části k části spodní.
(b) π
(c) 2π
(d) 3π
(e) 4π
Která z uvedených vět není výrok ? (a) π = 3, 14 (b) Existuje lev, který žere jen pomeranče. (c) Kdy přijedeš ? (d) Přijímací pohovory na PřF OU v roce 1996 neudělalo aspoň 100 studentů. (e) Existuje x takové, že x2 < x + 3.
(e) x > 0, x 6= 2, 6
9) Určete parametry a, b tak, aby přímky p : ax+2y+1 = 0 a q : 2x+by+1 = 0 byly k sobě kolmé. (a) a = 0, b = 1 (b) a = 0, b ∈ R (d) nemá řešení (e) a = −b
(c) libovolná a ∈ R, b ∈ R
10) Je dána kružnice k se středem S a poloměrem r a mimo ni bod A. Bodem A prochází tečna ke kružnici k s bodem dotyku X. Vzdálenost |AS| = 7 a |AX| = 5. Určete poloměr kružnice k. √ √ √ √ √ (a) 74 (b) 35 (c) 2 (d) 12 (e) 24 11)
Určete střed S a délky poloos a, b elipsy 4x2 + 9y2 − 8x − 32 = 0.
(a) S[0, 1], a = 3, b = 2 (b) S[1, 0], a = 2, b = 3 (c) S[0, 1], a = 2, b = 3 (d) S[1, 1], a = 3, b = 2 (e) S[1, 0], a = 3, b = 2 E2
E3
Test F V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (F), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Pro jaké x je daný zlomek roven nule ? x3 − 2x2 − x + 2 x3 + 2x2 − x − 2 (a) 2 (b) −2
2)
(d) −1
(e) −3
Pro přípustné x upravte výraz
(a) 0 (b) 1 3)
(c) 1
(c) −1
Řešte soustavu rovnic
q p √ 3 √ 6 x 3 x x x − x x5 .
(d)
√
x
√ (e) − x.
x + 2y = 1 , 3x + 6y = 2 .
(a) Řešení neexistuje. (b) Řešením je jediná dvojice přirozených čísel. (c) Řešením je jediná dvojice celých čísel. (d) Řešením jsou právě dvě dvojice reálných čísel. (e) Řešením je nekonečně mnoho dvojic reálných čísel. 4) Určete množinu M tak, aby pro každý prvek p ∈ M neexistovalo řešení soustavy rovnic px + y = 1 , x + py = 2p . (a) N
(b) {−1, 1} (c) {−1, 1, −2, 2}
(d) {−2, 2}
(e) h−2, ∞). F1
5) Děda má více než 50 let a méně než 70 let. Každý z jeho synů má stejně synů jako bratrů. Celkový počet synů a vnuků je roven počtu dědových let. Jak starý je děda a kolik má vnuků? (a) (58, 52)
(b) (60, 60)
(c) (64, 56)
(d) (68, 52)
(e) (20, 12)
6) Která z uvedených rovnic má kořeny o 1 větší, než má rovnice x2 + 7x + + 5 = 0? (a) x2 + 9x + 7 = 0 (d) x2 + 5x + 3 = 0
(b) x2 + 5x − 1 = 0 (c) x2 + 7x + 7 = 0 (e) x2 − 9x + 7 = 0
7) Určete všechna reálná čísla t, pro která nemá kvadratická rovnice tx 2 −2x+ + 1 = 0 žádné reálné řešení. (a) t = 1 8)
(b) t > 1 (c) t < 1
(d) t ∈ h−1, 1i
14) Určete všechna d tak, aby aritmetická posloupnost s diferencí d byla rostoucí. (a) d ∈ {0, 1}
(b) d > 0 (c) d < −1
(d) d > 1
(e) d < 0
15) Žalobce na soudě prohlásil: Jestliže obžalovaný banku vykradl, tak měl ” společníka.“ Obžalovaný prohlásil: To není pravda.“ Co vyplývá z výroku ” obžalovaného ? (a) Obžalovaného třeba obvinit z něčeho jiného. (b) Obžalovaný banku vykradl a neměl společníka. (c) Obžalovaný banku nevykradl a měl společníka. (d) Obžalovaný banku vykradl a měl společníka. (e) Obžalovaný banku nevykradl a neměl společníka.
(e) t = 0
Určete minimální hodnotu výrazu |x − 3| − 3 − 3. (a) 3
(b) 0
(c) −9
(d) −3
(e) −6
9) Pro jaký parametr c se přímky p : 4x − 3y + 11 = 0 a q : 4x + y + c = 0 protínají na ose x. (a) 11 (b) 4x
(c) −y
(d) 0
(e) −11
10) Jakou délku má tětiva vzdálená 3 cm od středu kružnice která má průměr 10 cm ? (a) 12 cm 11)
(b) 10 cm
Je dána elipsa
1 16 (x
(c) poloměru kružnice
(d) 9 cm
(e) 8 cm
− 1)2 + 14 (y + 2)2 = 1. Bod [3, −2] leží
(a) v ohnisku elipsy (b) uvnitř elipsy a není ohniskem ani středem elipsy (c) vně elipsy (d) ve středu elipsy (e) na elipse 12) Na dřevěnou kouli o poloměru R nakreslíme kružnici, pomocí kružítka, které je rozevřeno na velikost R. Jaká bude délka této kružnice ? √ √ (a) 3πR (b) 2πR (c) πR (d) R2 (e) 23 πR 13)
Určete součet všech řešení rovnice sin 2x = sin x na intervalu h0, 2π). (a) 5π
(b) 2π
(c) π
(d) 3π
(e) 4π F2
F3
Test G V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (G), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Pro a = −2, b = −1, c = 3 nalezněte hodnotu výrazu 5abc − {2a2 b − [3abc − (4ab2 − a2 b)]} . (a) 60
2)
(c) 8
(d) 0
(e) 52
Pro přípustné x upravte výraz q q √3 √ 3 x x : x x. (a) x0,5
3)
(b) 7a2 c
(b) x0,25
(c) x1/3
(d) x1/6
(e) x1/8
Řešte soustavu rovnic 2x + y = 0 , 201x + 101y = 1 . (a) Řešení neexistuje. (b) Řešením je jediná dvojice přirozených čísel. (c) Řešením je jediná dvojice celých čísel. (d) Řešením jsou právě dvě dvojice reálných čísel. (e) Řešením je nekonečně mnoho dvojic reálných čísel.
4) Určete množinu M tak, aby pro každý prvek p ∈ M existovalo nekonečně mnoho řešení soustavy rovnic px + y = 1 , x + py = p2 . (a) {−1, 0, 1}
(b) {1}
(c) {−1}
(d) {−1, 1}
(e) {0} G1
5) Děda má více než 50 let a méně než 70 let. Každý z jeho synů má stejně synů jako bratrů. Celkový počet synů a vnuků je roven počtu dědových let. Kolik má děda let a kolik má synů? (a) (58, 4) 6)
(b) (60, 6)
(c) (64, 8)
(d) (68, 10)
12) Čtyři shodné koule o poloměru r spočívají na rovině tak, že jejich středy tvoří čtverec a každá se dotýká dvou sousedních. Určete poloměr r koule, která se dotýká vně všech koulí. √ √ √ √ (a) 4r (b) r( 2 + 1) (c) r + 2 (d) 2(r + 2 2) (e) 2( 2 + r)/3
(a) Nekonečně mnoho reálných řešení. (b) Právě jedno dvojnásobné reálné řešení. (c) Nemá řešení. (d) Dvě komplexně sdružené řešení. (e) Jedno řešení komplexní a jedno reálné. 7) Určete všechna reálná čísla a, pro která kvadratická rovnice ax 2 +2x+4 = 0 nemá reálné řešení.
8)
(b) a ∈ R
(c) a ∈ (−∞, 1/4)
(d) a 6= 0
(d) p ∩ q = [4, 0]
(b) 14 πR2
(c) R
(d) πR2
(e)
√ 3 2 2 πR
Určete součet všech řešení rovnice sin2 (2x) = 1 na intervalu h0, 2πi.
(a) 32 π
(b) 0
(c) 4π
(d) π
(e) 3π
15) Brown, Jones a Smith jsou podezřelí z podvodu. Svědčili pod přísahou takto : Brown : Jones je vinen a Smith je nevinen.“ Jones : Je-li vinen Brown, ” ” pak je vinen i Smith.“ Smith : Já jsem nevinen, ale nejméně jeden ze zbývají” cích je vinen.“ Který ze závěrů lze z těchto tvrzení vyvodit ?
9) Určete vzájemnou polohu přímek p : {x = 2t + 1, y = t − 1}, t ∈ R a q : x + 12 y − 4 = 0. (c) p ≡ q
(a) 34 πR2 14)
(a) Právě jedno řešení. (b) Nekonečně mnoho a aspoň jedno z nich záporné. (c) Žádné. (d) Nekonečně hodně, ale všechny kladné. (e) Právě dvě.
(b) p ⊥ q
13) Na dřevěnou kouli o poloměru R nakreslíme kružnici pomocí kružítka, které je rozevřeno na velikost R. Jaký by měla obsah kružnice v rovině, která by měla stejný obvod jako nakreslená kružnice ?
(e) a ∈ (1/4, ∞)
Kolik řešení má nerovnice |x + 4| < 2 − |2x + 4| ?
(a) p k q
(a) elipsa S[−2, 1], a = 4, b = 3 (b) elipsa S[−1, −2], a = 4, b = 3 (c) elipsa S[−1, −2], a = 16, b = 9 (d) elipsa S[−2, −1], a = 4, b = 9 (e) žádná z uvedených možností
(e) (20, 12)
Kolik řešení má rovnice −3x2 + 5x − 8 = 0 ?
(a) a = 0
11) Určete množinu bodů v rovině vyhovující rovnici 9x2 +16y2 +36x−32y − − 92 = 0.
(a) Brown je vinen (b) Jones je vinen (c) Smith je vinen není vinen (e) Všichni jsou vinni
(d) Nikdo
(e) p ∩ q = [0, 4]
10) Určete tečny ke kružnici x2 + y2 − 6x + 10y − 66 = 0, kolmé k přímce 4x − 3y + 12 = 0. (a) 3x + 4y − 39 = 0, (b) 3x + 4y − 2 = 0, (c) 4x + 3y − 2 = 0, (d) 4x + 3y − 39 = 0, (e) 3x + 4y − 29 = 0,
3x + 4y + 61 = 0 3x + 4y − 1 = 0 4x + 3y − 1 = 0 4x + 3y + 61 = 0 3x + 4y + 51 = 0 G2
G3
Test H V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (H), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. × a ). V případě omylu zakroužkujte neplatnou odpověď a zaškrtněte novou, (např. ×
c, × d – platí odpověď d.) Ke každé úloze je právě jedna správná odpověď. Vyhodnocení testu. Správná odpověď: 4 body, nesprávná odpověď: −1 bod, žádná odpověď: 0 bodů. 1)
Pro přípustná x upravte výraz
x+
q
x2
√ − x
q √ 2 x− x − x .
p √ p √ √ √ (a) 2 x2 − x x2 + x (b) x (c) 2x2 − x upravit na žádný z uvedených výrazů. 2)
(d) 2x
(e) Není možné
Pro přípustné a upravte výraz p p x+1 a3 · a1+4x .
x+1
(a) a 3)
(b) a2
(d) a4
(e) a6
Určete k tak, aby rovnice 3(x + 1) = 4 + kx měla kořen větší než 1. (a) k ∈ (2, 3) ∈ (−2, −4)
4)
(c) a3
(b) k ∈ (1, 4)
Řešte soustavu rovnic
(c) k ∈ (0, 5)
(d) k ∈ (−1, 3)
(e) k ∈
x + 2, 3 y x = − + 1. 6 2 y=−
(a) Řešení je nekonečně mnoho. (b) Řešení v oboru reálných čísel neexistuje. (c) [1, 2] (d) [2, 5] (e) [−2, −1] H1
5) Do stanice vzdálené 130 km vyjede osobní vlak, za 2 hodiny po něm rychlík, který ujede za hodinu o 30 km více, takže dojede k cíli o 10 minut dříve. Jaké jsou průměrné rychlosti obou vlaků ?
13)
(a) 80 km/hod, 50 km/hod (b) 90 km/hod, 60 km/hod (c) 75 km/hod, 45 km/hod (d) 60 km/hod, 30 km/hod (e) 70 km/hod, 40 km/hod
14)
6)
Kolik reálných kořenů má rovnice x2 + 7x + 4 = 0 ? (a) 1
(b) 4
(c) 3
(d) 0
(e) 2
7) Určete všechna reálná čísla a, pro která rovnice x2 − x(a + 1) + a = 0 nemá reálné řešení řešení. (a) a = 0 8)
(b) a ∈ R
(c) a 6= 0
(d) ∅ (e) a ∈ h−1, 1i
Určete součet všech řešení rovnice cos(3x) = − (a)
5 18 π
5 (b) − 18 π
(c) 2/3π
(d) 6π
√ 3 2
na intervalu h0, 2π).
(e) −π
Určete d tak, aby aritmetická posloupnost s diferencí d byla klesající. (a) d ∈ {0, 1}
(b) d > 0
(c) d < −1
(d) d > 1
(e) d < 0
15) Závěry při vyšetřování jsou : Pokud A je vinen a B nevinen, pak C je vinen. C nikdy neloupí sám. A nikdy neloupí s C. Kromě A, B, C není do případu nikdo zapleten a aspoň jeden z nich je vinen. Který ze závěrů lze vyvodit ? (a) A je vinen (b) B je vinen (c) C je vinen (e) nikdo není vinen
(d) A i C jsou vinni
Určete řešení nerovnice |x| + |x + 2| > 1 v oboru přirozených čísel. (a) {1, 2, 3, . . . , 10} (e) {1, 2, 3, . . .}
(b) h1, 22i
(c) nemá řešení
(d) {1, 2, 3}
9) Určete vzájemnou polohu přímek p : ax + 2ay + 3a = 0, a ∈ R \ {0} a q : x − 12 y − 4a = 0. (a) p k q
(b) p ⊥ q
(c) p ≡ q
(d) p ∩ q = [4, 0]
(e) p ∩ q = [0, 4]
10) Určete rovnice všech kružnic, které mají střed na přímce y+x = 4, dotýkají se osy y a prochází bodem A[1, 2]. (a) (x − 1)2 + (y − 3)2 (b) (x − 3)2 + (y − 3)2 (c) (x − 1)2 + (y − 1)2 (d) (x − 3)2 + (y − 1)2 (e) (x − 1)2 + (y − 3)2 11)
= 1, = 4, = 1, = 1, = 1,
(x − 5)5 + (y + 1)2 = 25 (x − 1)5 + (y + 1)2 = 25 (x − 5)5 + (y + 5)2 = 64 (x − 5)5 + (y − 5)2 = 25 (x + 1)5 + (y + 1)2 = 36
Jak dlouhou tětivu vytíná parabola y2 − x = 0 na přímce x − y − 2 = 0 ? √ √ √ √ (a) 6 (b) 3 2 (c) 3 3 (d) 2 3 (e) 2 2.
12) Povrch koule je roven Q. Určete délku hrany pravidelného osmistěnu vepsaného do koule. p p p p p (a) Q/2π (b) Q/4π (c) Q/π (d) 2πQ (e) 4πQ H2
H3
A1 (b) A2 (d) A3 (a) A4 (a) A5 (c) A6 (b) A7 (d) A8 (c) A9 (e) A10 (b) A11 (b) A12 (a) A13 (b) A14 (c) A15 (a) B1 (b) B2 (d) B3 (a) B4 (d) B5 (d) B6 (c) B7 (c) B8 (d) B9 (d) B10 (a) B11 (d) B12 (e) B13 (a) B14 (a) B15 (b)
C1 (b) C2 (a) C3 (e) C4 (b) C5 (d) C6 (a) C7 (b) C8 (b) C9 (c) C10 (e) C11 (b) C12 (b) C13 (d) C14 (b) C15 (c) D1 (a) D2 (a) D3 (e) D4 (a) D5 (b) D6 (d) D7 (e) D8 (e) D9 (d) D10 (b) D11 (b) D12 (a) D13 (e) D14 (e) D15 (d)
(a) 29, (b) 31, (c) 18, (d) 23, (e) 19,
E1 (c) E2 (d) E3 (c) E4 (a) E5 (d) E6 (b) E7 (e) E8 (a) E9 (e) E10 (e) E11 (e) E12 (c) E13 (c) E14 (e) E15 (c) F1 (a) F2 (a) F3 (a) F4 (b) F5 (c) F6 (b) F7 (b) F8 (d) F9 (a) F10 (e) F11 (b) F12 (a) F13 (d) F14 (b) F15 (b) P
= 120
G1 (a) G2 (d) G3 (c) G4 (b) G5 (c) G6 (d) G7 (e) G8 (c) G9 (b) G10 (a) G11 (a) G12 (b) G13 (a) G14 (c) G15 (b) H1 (b) H2 (d) H3 (a) H4 (a) H5 (d) H6 (e) H7 (d) H8 (e) H9 (b) H10 (a) H11 (d) H12 (a) H13 (c) H14 (e) H15 (b)
