TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor
3. Lineáris háromszög elem - A végeselemes megoldás olyan approximációs függvényeken alapul, amelyek az egyes elemek viselkedését írják le (elmozdulás függvény vagy hőmérséklet függvény, stb.) - Ezen részmegoldások kombinációja adja a teljes vizsgált rendszer megoldását, - A végeselem módszer alapegyenleteit 2D-s lineárisan rugalmas feladaton keresztül mutatjuk be, feltételezve, hogy az elmozdulás vektor komponenseinek elemen belüli változása lineáris függvénnyel írható le (legegyszerűbb elemtípus), - További feltételezések: kis alakváltozások, homogén és izotróp test, - A tárgyalt megközelítés a virtuális munka elvén alapul (a külső erők által végzett virtuális munka egyenlő a belső feszültségekhez tartozó virtuális alakváltozási energiával),
- A VEM paramétereket rendel a csomópontokhoz és az elemekhez, - A végeselemes számítás célja a csomóponti elmozdulások, valamint az egyes elemekhez tartozó alakváltozások és feszültségek meghatározása.
- Az e elem csomóponti elmozdulás vektora - ueT =[ui, vi, uj, vj, uk, vk,],
(1)
- ahol ui, uj és uk az i, j, k csomópontok x-irányú elmozdulásai, vi, vj és vk az i, j, k csomópontok y-irányú elmozdulásai. - Az elemen belüli feltételezett elmozdulás függvény alakja x és y irányba a következő u(x,y)=α1+α2x+α3y
(2a)
v(x,y)=α4+α5x+α6y .
(2b)
- Az elemen belüli lineáris közelítés kisebb nagyobb hibát okozhat az adott elem nagyságától és elhelyezkedésétől függően, azaz, hogy a feszültséggyűjtő környezeten belül vagy kívül van-e. - A (2) egyenlet 6 konstanst tartalmaz, továbbá van 6 csomóponti elmozdulás érték (3 csomópont csomópontonként 2 szabadságfokkal (2 DOF)). - A (2) egyenlet új alakja a következő u(x,y)=f(u i , u j , u k , x i , y i , x j , y j , x k , y k , x, y), (3a) v(x,y)=f(v i , v j , v k , x i , y i , x j , y j , x k , y k , x, y). (3b) - Mátrix jelölés alkalmazásával,
⎡ u ( x , y) ⎤ u ( x , y) = ⎢ = Nu e , ⎥ ⎣ v( x , y) ⎦
(4)
- ahol N a formafüggvény mátrix. - Az elmozdulás mező folytonos a szomszédos elemek között, de az elmozdulások deriváltjai (azaz az alakváltozások és feszültségek) már nem. Az utóbbiak értéke az elemen belül nem változik (ha az elmozdulás mezőt az elemen belül lineáris függvénnyel közelítjük).
- Az alakváltozás-elmozdulás (geometriai) egyenletek a vizsgált esetre: ⎡ ∂u ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ε x ⎤ ⎢ ∂x ⎥ ∂v ⎥ ⎢ ⎥ ε = ⎢εy ⎥ = ⎢ , ⎢ ∂y ⎥ ⎢⎣ε xy ⎥⎦ ⎢ ∂u ∂v ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ∂y ∂x ⎦
- Mátrix alakban:
(5)
ε=Bue,
(6)
- ahol B az alakváltozás-elmozdulás mátrix. - A feszültség-alakváltozás kapcsolat (anyagtörvény) a jelen esetre vonatkozóan (sík alakváltozási állapot):
σ = Dε,
ν
⎡ ⎢ 1 E (1 − ν ) ⎢⎢ ν D= (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢1 − ν ⎢ ⎢ 0 ⎣
1 −ν 1 0
⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − 2ν ⎥ 2(1 − ν ) ⎥⎦ 0
(7)
ahol D az anyag vagy konstitutív mátrix. - Az e elem csomóponti erői a következők F e T =[F i x
Fiy
Fjx
Fjy
Fkx
F k y ],
(8)
- A virtuális munka elve kimondja, hogy a külső erők által végzett munka,
1 2
δW = u eT F e ,
(9)
- egyenlő a teljes testben felhalmozódó virtuális alakváltozási energiával:
δU =
1 T ∫ ε σ dV. 2
(10)
- A (6), (7) egyenletek (10) egyenletbe történő helyettesítése után
(
1 2
)
δU = u eT ∫ B T DBdV u e ,
- végül Fe =
(∫ B DBdV )u T
ahol Ke az e elem merevségi mátrixa.
e
= K eu e ,
(11)
(12)
- A szerkezet merevségi mátrixa:
K = ∑Ke,
(13)
(e)
- Hasonló módon, a szerkezetre vonatkozó terhelés és csomóponti elmozdulás vektor: F = ∑ Fe
és
(e)
u = ∑ue.
(14)
(e)
- A virtuális munka elvének minden egyes elemre történő alkalmazása után a következő egyenletet kapjuk Ku = F,
(15)
amely algebrai egyenleteket tartalmazó egyenletrendszernek felel meg. Az egyenletrendszer ismeretlenei a csomóponti elmozdulás vektor komponensei. - A számítás utolsó lépése az egyes elemekhez tartozó alakváltozások és feszültségek meghatározása.
PREPROCESSOR
INPUT DATA Control Data, Materials, Node and Element Definition, Boundary Conditions, Loads
Element File Load File
FORM ELEMENT [k] Read Element Data, Calculate Element Stiffnes Matrix, [k]
Element File
FORM SYSTEM [k] Assemble Element [k]s to Form the System Stiffness Matrix, [K]
APPLY DISPLACEMENT BOUNDARY CONDITIONS
COMPUTE DISPLACEMENTS Solve the System Equations [K]{D} = {F} for the Displacements {D} = [K]-1{F}
COMPUTE STRESSES Calculate Stresses and Output Files for Postprocessor Plotting
POSTPROCESSOR Finite Element Computer Program Block Diagram
Load File
Displacement, Stress Files
