Kata Pengantar
Buku ini dirancang berdasarkan pengalaman penulis setelah mengajar matakuliah Geometri selama kurang lebih 23 tahun dan pengalaman menulis buku ajar matematika Dasar dan Logika Matematika. Berbekal pengalaman ini penulis memberanikan diri untuk menerbitkan buku ajar Geometri yang sangat di butuhkan dikalangan mahasiswa sains khususnya di Universitas Hasanuddin. Kumpulan dari berbagai literatur di rangkum dan diramu dalam suatu bentuk buku ajar yang diharapkan dapat membantu mahasiswa memahami konsep dan aspek-aspek geometri yang semakin di butuhkan dalam pengembangan ilmu rekayasa dewasa ini. Geometri adalah salah satu instrumen bagi lulusan perguruan tinggi
dalam
memberikan
konstribusi
ilmiahnya.
Pemahaman
mahasiswa khususnya bidang eksakta terhadap geometri dan konstruksinya
sangat
membantu
di
dalam
membangun
dan
mengembangkan disiplin ilmu yang ditekuninya. Pada sisi lain,pengembangan kurikulum SMU sekarang sangat minim
membahas
mengakibatkan
tentang
banyak
geometri.
lulusan
SMU
Keadaan maupun
seperti sarjana
ini Sains
mempunyai pemahaman dan pengalaman bekerja dengan geometri yang kurang memadai dengan tuntutan yang ada. Sasaran yang akan dicapai setelah mahasiswa atau para pembelajar kreatif
mempelajari buku ini dengan baik adalah
mendapatkan pengetahuan konsep-konsep geometri dan pola pikir konstruktif dalam bentuk :
i
terlatih dalam konsistensi dan keteraturan pola pikir dan prilaku terlatih dalam daya nalar dan kreatifitas serta tertatatanya pola pikir ilmiah yang kritis, logis dan sistematik terampil dalam membuat konstruksi ilmiah maupun konstruksi geometri. terlatih dan terampil dalam memecahkan persoalan berdasarkan konsep yang baku dan benar. Buku ini dirancang berbasis pengetahuan matematika di SMU, di Perguruan Tinggi Tingkat Pertama serta pengetahuan aljabar linier. Rincian pembahasan meliputi Transformasi Geometri pada bidang datar (refleksi, translasi, rotasi), transformasi linier bentuk matriks 2x2,
komposisi transformasi, Irisan Kerucut (konik), jenis-jenis
konik, puncak dan focus konik, pembakuan bentuk konik, persamaan derajat dua dalam dua variabel. Sistem Koordinat Ruang 3 dimensi, Koordinat Kartesian, Silinder dan Bola. Persamaan garis lurus, bidang datar di dalam ruang dimensi tiga, garis lurus sebagai perpotongan dua bidang datar, disertai pembahasan soal-soal dan soal-soal latihan terbimbing dan mandiri. Tidak ada gading yang tak retak, tidak ada benteng yang tak runtuh, tak ada lasykar yang tak terkalahkan, penulispun menyadari berbagai kekurangan dalam menyusun buku ini, sehingga koreksi dan saran untuk penyempurnaan buku ini sangat di harapkan. Terima kasih. Makassar, November 2011 Penyusun,
ii
DAFTAR ISI Kata Pengantar ………………… (i) Daftar isi …………………. (iii) Daftar Lambang …………………. (v) Bab I Pendahuluan ………………… (vi) Visi-Misi Program Studi, Profil Lususan, Kompetensi Lulusan Analisis Pmbelajaran dan GBRP Bab II Transformasi Geometri di A. Pendahuluan ………… 1 B. Sasaran Umum dan Sasaran Khusus Pembelajaran ……….. 1 2.1. Transformasi Geometri Pada Bidang Rata ……………4 2.2. Komposisi Transformasi Geometri di ℜ …………..18 2.3. Aplikasi Geometri Transformasi ………... 22 Soal-Soal dan Pemecahan …………. 26 Referensi …………..39 Bab III Irisan Kerucut (Konik) Dan Pembakuan A. Pendahuluan ………… 40 B. Sasaran Umum dan Sasaran Khusus Pembelajaran ……… 41 3.1. Pengertian Irisan Kerucut dan Pembentukannya ……….. 42 3.2. Bentuk-Bentuk Irisan Kerucut ……….. 44 3.3. Transformasi Konik Pada sumbu koordinat di ℜ ……….. 52 3.4. Persamaan Derajat dua dalam variabel x dan y ……….. 53 Soal-Soal Latihan ………… 56 Referensi ………… 56 Bab IV Fokus Dan Direktris Pada Konik A. Pendahuluan …………57 B. Sasaran Umum dan Sasaran Khusus Pembelajaran ……… 57 4.1. Tititk Fokus Dan Garis Direktris Pada Konik ………….. 59 4.2. Teorema dan Sifat-Sifat Konik ……………………… 61 4.3. Persamaan Derajat Kedua Dan Transformasi …………. 70 4.4. Soal-Soal Dan Pemecahan . ………….. 78 Penurunan Rumus dan Pembuktian Teorema …………… 93 Referensi ……………………………… 98
iii
Bab V Sistem Koordinat dalam Ruang C. Pendahuluan ……… 99 D. Sasaran Umum dan Sasaran Khusus Pembelajaran ……... 99 5.1. Sistem Koordinat Kartesian (Siku-siku) …………………100 5.2. Persamaan Bidang Rata dan Sumbu Koordinat ………… 103 5.3. Jarak Dua titik dan Koordinat titik bagi ………………. 106 5.4. Vektor Dan Sistem Koordinat ………………………….. 110 Dot Product dan Cross-Product ………………….. 116 5.5. Sistem Koordinat Silinder Dan Bola (Sferik) ……….. 126 5.6. Interpretasi dan Arti Suatu Persamaan ……………… 138 Soal-Soal dan Pemecahan ………………………………. 143 Referensi ………………………………………………… 145 Bab VI Garis Lurus Dan Bidang Rata di dalam Ruang C. Pendahuluan ……… 146. D. Sasaran Umum dan Sasaran Khusus Pembelajaran …….. 146 6.1. Persamaan Vektoris Bidang rata ………………………. 148 6.2. Persamaan Linier Bidang Rata ………………… 149 6.3. Vektor Normal Bidang Rata ……………………….. 150 6.4. Persamaan Normal Bidang Rata …………………… 154 6.5. Sudut Antara Dua Bidang Rata …………………….. 155 Kesejajaran dan Ketegalurusan dua Bidang Rata 6.6. Jarak Dua Bidang Rata Sejajar dan sebuah Titik ……. 157 Soal-Soal Dan Pemecahan ………………………… 160 6.7. Persamaan Vektoris Garis Lurus …………………… 162 Perpotongan Dua Bidang Rata Soal-soal Dan Pemecahan ………………………………….. 166 Soal-Soal Latihan ………………………………………….. 169 DAFTAR PUSTAKA
………………………………………….
170
Lampiran Hirarki keterkaitan Bab pembelajaran ……………………
171
SAP ………………………………………………………
172
iv
DAFTAR LAMBANG / NOTASI
Notasi / Lambang
⊥
Arti/Makna
tegak lurus
↑↑
kesejajaran / sejajar
±
lebih kurang / kira-kira
⊾
sudut siku-siku (90 )
∦
tidak sejajar
≠
tidak sama dengan
∡
sudut
∴
Jadi (Kesimpulan)
⊿
segitiga siku-siku
∞
tak berhingga
≤..
≥ ..
PQ⃗
, ,
( , , ) [ , , ]
(huruf tebal)
| | | |
x lebih kecil atau sama dengan … x lebih besar atau sama dengan vektor berpangkal di P dan berujung di Q notasi untuk besaran sudut-sudut koordinat suatu titik sebarang suatu vektor dengan komponen x, y, z sebuah vektor panjang vektor a vektor satuan searah dengan vektor a
v
BAB I PENDAHULUAN
Program Studi Matematika FMIPA UNHAS Visi : Menjadi Institusi Pendidikan Tinggi yang mapan dan terkemuka dalam pengembangan dan penerapan matematika. Misi : Meningkatkan sumber daya manusia melalui pendidikan dalam pengembangan dan penerapan matematika Membangun dan meningkatkan kerjasama dengan berbagai instansi :Perguruan Tinggi , Pemerintahan, dan Industri Mengembangkan dan menghasilkan penelitian matematika bertaraf internasional Tujuan : Menghasilkan lulusan yang professional , memiliki kecerdasan intelektuaal dan kecerdasan rohani, beretika, mampu mengembangkan dan menerapkan ilmu matematika dalam berbagai bidang untuk kesejahteraan dan kelestarian mahluk dan lingkungannya, kreatif inovatif dan berbudi luhur. Kompetensi Program Studi Matematika F MIPA Unhas Kompetensi Utama 1. Kemampuan memahami dan mengaplikasikan sains dasar 2. Kemampuan mengidentifikasi dan memodelkan fenomena alam 3. Kemampuan menata pola piker ilmiah yang kritis logis dan sistematis 4. Kemampuan mengkomunikasikan konsep-konsep matematika
vi
Kompetensi Pendukung 1. Kemampuan menerapkan matematika dan komputasi dalam bidang industry dan bidang siosial kemasyarakatan 2. Kemampuan terlibat dan kerjasama dalam kegiatan lintas disiplin 3. Kemampuan membuat laporan ilmiah tertulis dan presentasi 4. Kemampuan membuat model-model sederhana, memecahkan masalah dan interpretasinya 5. Mumpuni dalam pemrograman dasar, komputasi, dan menguasai software saintifik 6. Kemampuan berkomunikasi dalam bahasa inggris Kompetensi Lainnya 1. Kemampuan beradaptasi dalam masyarakat dan lingkungan kerja 2. Kemampuan mengembangkan diri (skill) berdasarkan prinsip budaya bahari 3. Kemampuan berkomunikasi dan bersinergi dalam tim work 4. Kemampuan menjunjung tinggi norma, tata nilai, moral, agama, etika dan tanggung jawab social Matriks Kompetensi Mata Kuliah Geometri Kelompok Kompetensi
UTAMA
PENDUKUNG
LAINNYA
Elemen Kompetensi A B C D E A B C D E A B C D E
1
2 √ √ √
√ √ √
vii
√ √ √ √ √
Subtansi Kajian 3 4 5 √ √ √ √ √ √ √
√ √
√
√ √
√ √
6 √ √ √
√ √
viii
