TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU UČEBNÍ TEXT PRO MAA068 VERZE 8.7.2003 JAN MALÝ
Obsah 1. Pojem míry 2. Vnější míra 3. Ještě o rozšiřování měr 4. Lebesgueova míra 5. Lebesgue-Stieltjesovy míry 6. Měřitelná zobrazení a měřitelné funkce 7. Abstraktní Lebesgueův integrál 8. Záměna limity a integrálu 9. Součin měr a Fubiniova věta 10. Prostory Lp 11. Věty o konvergenci 12. Znaménkové míry 13. Derivování a rozklad měr 14. Aplikace na distribuční funkce Rejstřík
1 4 8 9 11 11 14 18 19 22 24 26 28 30 33
1. Pojem míry 1.1. Množinové funkce. Nechť X je abstraktní množina a G ⊂ 2X . Značíme R = [−∞, +∞]. Jakákoli funkce τ :G→R se nazývá množinová funkce. Množinové funkce se většinou používají k “měření” množin. Někdy budeme používat pro množinovou funkci značení (G, τ ), abychom současně uvedli i znak pro její definiční obor. 1.2. Příklad. G může být systém všech obdélníků a τ může přiřadit každému z nich • obsah • obvod • počet vrcholů Užitečnost těchto příkladů pro další rozvoj teorie je rozdílná. 1.3. Délka intervalu. Nechť a, b ∈ R, a ≤ b. Množinu I ∈ [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) nazveme (jednorozměrným) intervalem. Množinový systém všech omezených jednorozměrných intervalů v R značíme I1 . Na I1 definujeme množinovou funkci délka intervalu předpisem (1.1) `1 (I) = b − a, I ∈ [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) Děkuji Prof. Dr. Luďkovi Zajíčkovi, DrSc. za cenné připomínky. Děkuji všem studentům, kteří se podíleli na ladění předchozích verzí. 1
1.4. Elementární objem vícerozměrného intervalu. Množinu Q ⊂ Rn nazveme n-rozměrným intervalem, jestliže existují jednorozměrné intervaly I1 , . . . , In ⊂ R tak, že Q = I1 × · · · × In . Množinu všech omezených n-rozměrným intervalů budeme značit In . Každému n-rozměrnému intervalu Q přiřadíme jeho objem předpisem `n (Q) = `1 (I1 ) . . . `1 (In ), kde `1 (I) je jako v 1.3. Jedním z prvních cílů teorie míry je najít vhodné rozšíření těchto množinových funkcí. 1.5. Plán. Zatím “neumíme” ani říci, co je obsah kruhu. Chtěli bychom zavést širokou třídu množin, tzv. měřitelné množiny, a na nich množinovou funkci, tzv. Lebesgueovu míru (pro popis pojmů obsah, objem), tak, aby všechny intervaly byly měřitelné a jejich míra byla jejich elementární objem, ale také aby byly i jiné představitelné množiny měřitelné (geometrické obrazce a tělesa), a aby se s třídou měřitelných množin a mírou dobře zacházelo. Přirozené požadavky: • Např. sjednocení (spočetně mnoha) měřitelných množin je měřitelné • Pokud jsou množiny disjunktní, míra jejich sjednocení je součet jejich měr Požadované vlastnosti shrneme do axiomů. Výběr axiomů je výsledek práce matematiků, kteří zjistili, co vše mohou požadovat a vzdali se naopak nesplnitelných požadavků (např. na měřitelnost každé množiny). Konstrukce Lebesgueovy míry není jediná aplikace teorie, naopak, na pojmech, které nyní budeme budovat, je postavena např. celá teorie pravděpodobnosti. 1.6. Jordan-Peanův objem. Z historického a didaktického hlediska je důležité rozšíření elementárního objemu na tzv. Jordan-Peanův objem. Tato množinová funkce je používána ke středoškolským definicím objemu. Definice je založena na následující myšlence, kterou zde pouze naznačíme. Uvažujeme v prostoru krychlovou síť, kterou porovnáváme s měřenou množinou. Sečteme-li elementární objemy krychlí, protínajících měřenou množinu, dostaneme horní součet. Sečteme-li elementární objemy krychlí, obsažených v měřené množině, dostaneme dolní součet. Čím jemnější je sít, tím přesněji horní a dolní součty aproximují objem množiny. Pokud při zjemňování horní součty a dolní součty spějí ke společné reálné limitě, řekneme, že množina je J.P.-měřitelná a nazveme tuto společnou limitu Jordan-Peanovým (J.P.) objemem měřené množiny. Tímto způsobem lze měřit objem těles a obsah obrazců známých z geometrie. Není těžké zkonstruovat množiny, které nejsou J.P. měřitelné. Navíc, konečné sjednocení J.P.-měřitelných množin je J.P.-měřitelné, ale spočetné sjednocení už nemusí. J.P.-objem tedy není naše cílová meta, budeme směřovat k lepšímu rozšíření elementárního objemu. 1.7. Rozšíření a zúžení množinové funkce. Nechť X je abstraktní množina, U, V ⊂ 2X , µ je množinová funkce na U a ν je množinová funkce na V. Říkáme, že ν je rozšíření µ, jestliže U ⊂ V a µ(A) = ν(A) pro každou A ∈ U. Naopak, množinovou funkci µ v tomto případě nazýváme zúžením množinové funkce ν z V na U a značíme ji νbU. Relace “býti rozšíření” je uspořádání na třídě všech množinových funkcí na X. 1.8. Okruh, σ-algebra,. . . . Nechť X je abstraktní množina. Systém O podmnožin X se nazývá okruh, jestliže (O-1) ∅ ∈ O, (O-2) A, B ∈ O =⇒ A \ B ∈ O. (O-3) A, B ∈ O =⇒ A ∪ B ∈ O. Z axiomů snadno dostaneme též A, B ∈ O =⇒ A ∩ B ∈ O Indukcí dostaneme, že každý okruh je tedy uzavřen na konečná sjednocení a konečné průniky A1 , . . . , Am ∈ O =⇒ A1 ∪ · · · ∪ Am ∈ O, A1 ∩ · · · ∩ Am ∈ O Požadujeme-li uzavřenost na spočetná sjednocení (a v důsledku na spočetné průniky), dostaneme axiomy σ-okruhu.. Tedy σ-okruh je množinový systém, který splňuje (σ-O-1) ∅ ∈ O, (σ-O-2) A, B ∈ O =⇒ A \ BS∈ O. ∞ (σ-O-3) A1 , A2 , · · · ∈ O =⇒ j=1 Aj ∈ O. 2
Algebra je definována jako okruh obsahující celý prostor X. σ-algebra je definována jako σ-okruh obsahující celý prostor X. Je to nejdůležitější množinový systém pro teorii míry. K ověření, že množinový systém S je σ-algebra stačí tyto axiomy (SA-1) ∅ ∈ S, (SA-2) A ∈ S =⇒ X \ A ∈ S, S (SA-3) Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . =⇒ j Aj ∈ S. Je-li S σ-algebra na X, dvojice (X, S) se nazývá měřitelný prostor. Množiny A ∈ S se nazývají Směřitelné množiny. Nehrozí-li nedorozumění, budeme mluvit krátce o měřitelných množinách. 1.9. Příklady. (a) {∅, X} je σ-algebra. (b) Systém 2X všech podmnožin množiny X je σ-algebra. (c) Borelovské množiny na topologickém prostoru tvoří σ-algebru. (d) Lebesgueovsky měřitelné množiny tvoří σ-algebru. (e) J.-P.-měřitelné množiny tvoří okruh, ne σ-okruh, ne algebru (f) Systém všech konečných (disjunktních) sjednocení intervalů tvoří algebru, ne σ-algebru (g) Systém všech konečných (disjunktních) sjednocení omezených intervalů tvoří okruh, ne σ-okruh, ne algebru (h) Systém všech konečných (disjunktních) sjednocení omezených intervalů tvaru (a, b] tvoří okruh, ne σ-okruh, ne algebru. (i) Systém všech spočetných (disjunktních) sjednocení omezených intervalů netvoří ani okruh. (j) Systém všech uzavřených (resp. otevřených) podmnožin topologického prostoru netvoří ani okruh (protože není uzavřen na množinový rozdíl). 1.10. Generování množinových systémů. Je-li F libovolný systém podmnožin X, potom existuje nejmenší σ-algebra obsahující F. Tuto σ-algebru dostaneme jako průnik všech σ-algeber obsahujících F a značíme ji σ(F). Podobně můžeme generovat jiné množinové systémy, např. okruhy. Okruh z příkladu (g) je generovaný systémem I1 . 1.11. Borelovské množiny. Nechť X je topologický prostor a G je systém všech jeho otevřených podmnožin. Potom definujeme B(X) jako nejmenší σ-algebru obsahující G (viz. 1.10). σ-algebra B(X) obsahuje kromě otevřených množin též všechny uzavřené množiny. V R jsou borelovské všechny intervaly, množina všech racionálních čísel, atd. Příklady neborelovských množin se konstruují velmi těžko. 1.12. Míra. Nechť (X, S) je měřitelný prostor. Množinová funkce µ : S → [0, ∞] se nazývá míra, jestliže splňuje (Mi-1) µ(∅) = 0, (Mi-2) (σ-additivita) jestliže Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . , jsou po dvou disjunktní, potom [ X µ( Aj ) = µ(Aj ). j
j
Trojice (X, S, µ) se nazývá prostor s mírou. Zdůrazněme, že definice míry zahrnuje, že hodnoty jsou nezáporné a definiční obor je σ-algebra. 1.13. Příklady měr. (a) Diracova míra δa : X je libovolná množina, a ∈ X, S = 2X , ( 1, a ∈ A, δa (A) = 0, a ∈ / A. (b) Počítací míra X je libovolná množina, S = 2X . Počítací míra přiřadí každé množině A ⊂ X počet jejích prvků. Nekonečným množinám přiřadí prostě ∞, nerozlišuje nekonečné mohutnosti. (c) Lebesgueova míra zobecňuje pojem délky intervalu, obsahu “obrazce” či objemu “tělesa”. (d) Hausdorffova míra je druh n-rozměrné míry v Rd . Zobecňuje pojem délky křivky (n = 1), a povrchu zakřivené plochy (n = 2, d = 3). 1.14. Terminologie teorie míry. Míra µ na měřitelném prostoru (X, S) se nazývá (a) konečná, jestliže µ(X) < ∞, 3
S (b) σ-konečná, jestliže existují X1 , X2 , · · · ∈ S tak, že µ(Xj ) < ∞ a X = j Xj , (c) pravděpodobnostní, jestliže µ(X) = 1, (d) úplná, jestliže každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná (a tudíž také míry nula). Fráze skoro všude nebo µ-skoro všude se používá ve spojení s vlastností bodů množiny X. Řekneme-li, že taková vlastnost platí skoro všude (nebo ve skoro všech bodech), znamená to, že je splněna až na množinu míry nula, neboli, že existuje množina N ∈ S míry nula tak, že vlastnost je splněna ve všech bodech množiny X \ N . Používá se zejména pro rovnost a nerovnosti mezi funkcemi a pro bodovou konvergenci posloupnosti funkcí. 1.15. Trik zdisjunktnění. Nechť A1 , A2 , · · · ∈ S. Potom existují po dvou disjunktní E1 , E2 , · · · ∈ S tak, že A1 ∪ · · · ∪ Ak = E1 ∪ · · · ∪ Ek , k = 1, 2, . . . . Tuto vlastnost mají E1 = A1 , E2 = A2 \ A1 , E3 = A3 \ (A1 ∪ A2 ) . . . . 1.16. Větička (Vlastnosti míry). Nechť Aj ∈ S. (a) A1 ⊂ A2 =⇒ µ(A1 ) ≤ µ(A2 ). (b) Jestliže Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . , A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , potom [ µ( Aj ) = lim µ(Aj ). j
j
(c) Jestliže Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . , A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , a jestliže µ(A1 ) < ∞, potom \ µ( Aj ) = lim µ(Aj ). j
j
Důkaz. (a) je snadné. K důkazu (b) použijeme trik zdisjunktnění 1.15. (c): Použijeme (b) na A1 \Aj . 1.17. Příklad. Nechť µ je počítací míra na N a Aj = {j, j +1, . . . }. Potom Aj & ∅, a přesto µ(Aj ) → ∞. Je to tím, že v 1.16 (c) není splněn předpoklad o konečnosti µ(A1 ). 2. Vnější míra V této kapitole uvedeme obecné schéma používané ke konstrukci měr. Motivem jsou aplikace na konstrukce měr v analýze, zvláště Lebesgueovy míry, a aplikace v teorii pravděpodobnosti. 2.1. Vnější míra. Vnější mírou na množině X rozumíme množinovou funkci γ : 2X → [0, ∞] (tedy definovanou na všech podmnožinách X) splňující následující požadavky: (VM-1) γ(∅) = 0, (VM-2) A S ⊂ B =⇒ γ(A) P∞≤ γ(B), ∞ (VM-3) γ( j=1 Aj ) ≤ j=1 γ(Aj ) (σ-subadditivita). S vnějšími měrami se budeme setkávat především jako s mezistupněm při konstrukci míry. 2.2. Z výchozí množinové funkce k vnější míře. Nechť G ⊂ 2X a τ : G → [0, ∞] je množinová funkce na X splňující ∅ ∈ G,
(2.1)
τ (∅) = 0.
Podmínce (2.1) budeme říkat počáteční podmínka. Pro A ⊂ X položme τ ∗ (A) = inf{
∞ X
τ (Gj ) : Gj ∈ G,
j=1
∞ [
Gj ⊃ A}
j=1
(uvědomte si, že inf ∅ = +∞). Každý součet ∞ X
τ (Gj ),
j=1
kde Gj ∈ G,
∞ [
Gj ⊃ A,
j=1
nazveme horním součtem k τ ∗ (A). Užitečnost konstrukce dokládá následující věta. 4
2.3. Věta. Nechť G, τ a τ ∗ jsou jako v 2.2. Potom τ ∗ je vnější míra. Důkaz. (VM-1) a (VM-2) jsou zřejmé. (VM-3): Chceme-li dokázat τ ∗(
∞ [
Aj ) ≤
∞ X
j=1
τ ∗ (Aj ),
j=1
zřejmě se stačí omezit na případ, kdy na pravé straně máme konečné číslo. Volme ε > 0 a nalezněme Gij ∈ G, i, j = 1, 2, . . . , tak, aby ∞ [
∞ X
Gij ⊃ Aj a
i=1
Potom
∞ [
τ (Gij ) < τ ∗ (Aj ) + 2−j ε .
i=1
Gij ⊃
j,i=1
∞ [
Aj a
j=1
∞ X
τ (Gij ) ≤
j,i=1
∞ X
τ ∗ (Aj ) + ε.
j=1
Tedy τ ∗(
∞ [
Aj ) ≤
j=1
∞ X
τ ∗ (Aj ) + ε.
j=1
2.4. Lebesgueova vnější míra. Nechť (I, `) je množinová funkce “elementární objem n-rozměrného intervalu”, viz. 1.4. (Index n, označující dimenzi, budeme často vynechávat.) Vnější míra `∗ se nazývá Lebesgueova vnější míra v Rn . Množinová funkce `∗ umí měřit všechny množiny, ale není aditivní. Proto v dalším se budeme snažit z ní vytvořit aditivní funkci (dokonce míru), za což zaplatíme zúžením definičního oboru. Výsledný obor všech měřitelných množin však již bude dostatečně bohatý pro všechny aplikace. Při vytváření vnější míry se obecně můžeme dočkat nemilého překvapení, např. že výsledná vnější míra přiřadí triviálně každé množině nulu. Následující větička praví, že rozšíření elementárního objemu bylo úspěšné. 2.5. Větička (Vnější míra intervalu). Je-li Q ∈ I, pak `∗ (Q) = `(Q). Důkaz. Předpokládejme nejprve, že interval Q je kompaktní, tj. uzavřený a omezený, a meze jsou racionální. Zvolme ε > 0. Najdeme posloupnost {Gk } intervalů tak, že Q⊂
∞ [
Gk
a
k=1
∞ X
`(Gk ) < `∗ (Q) + ε.
k=1
Můžeme předpokládat, že Gk jsou otevřené a jejich meze jsou racionální, neboť každý interval G je obsažen v otevřeném intervalu G0 s racionálními mezemi, jehož objem se od objemu G libovolně málo liší. Potom ovšem z kompaktnosti Q plyne, že existuje m přirozené tak, že m [ Q⊂ Gk . k=1
Máme vyjádření Q = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], Gk = (a1k , b1k ) × · · · × (ank , bnk ), i
kde všechna čísla a , b množinu krychlí
i
, aij , bij
k = 1, 2, . . . , m,
jsou racionální. Buď q jejich nejmenší společný jmenovatel. Uvažujme
Q=
n
z1 z1 +1 q , q
× ··· ×
zn zn +1 q , q
: z ∈ Zn
o
a pro K ∈ Q označme βkK Máme `(Q) =
X K∈Q, K⊂Q
`(K) ≤
( 1, když K ⊂ Gk , = 0 jinak.
m X X
βkK `(K) =
K∈Q k=1
m X X k=1 K∈Q
5
βkK `(K) =
m X k=1
`(Gk ).
Tím je důkaz hotov pro kompaktní interval s racionálními mezemi. V obecném případě dokončíme důkaz tak, že Q budeme aproximovat posloupností kompaktních intervalů s racionálními mezemi zevnitř. 2.6. γ-měřitelné množiny. Nechť γ je abstraktní vnější míra na X. Množinu M ⊂ X nazveme γměřitelnou (podle Carathéodoryho), jestliže pro každou “testovací” množinu T ⊂ X platí γ(T ) = γ(T ∩ M ) + γ(T \ M ) Systém všech (carathéodoryovsky) měřitelných množin značíme M(γ) a množinovou funkci γbM(γ) značíme γ ◦ . K důkazu γ-měřitelnosti množiny M stačí ověřit pouze nerovnost γ(T ) ≥ γ(T ∩ M ) + γ(T \ M ) , a to ještě samozřejmě jen v případech, kdy γ(T ) < +∞. 2.7. Věta (Carathéodoryova). Nechť γ je abstraktní vnější míra na X. Pak systém M(γ) tvoří σ-algebru a γ ◦ je úplná míra. Důkaz. Ihned je vidět, že ∅ , X ∈ M(γ), a jestliže M ∈ M(γ), potom i X \ M ∈ M(γ). Buďte A, B ∈ M(γ), chceme ukázat, že i A∪B ∈ M(γ). Volme tedy testovací množinu T ⊂ X. Použijeme postupně T pro testování měřitelnosti A a T ∩ A, T \ A pro testování měřitelnosti B. Dostaneme (symbolem M c budeme značit X \ M ) γ(T ) = γ(T ∩ A) + γ(T ∩ Ac ), γ(T ∩ A) = γ(T ∩ A ∩ B) + γ(T ∩ A ∩ B c ), γ(T ∩ Ac ) = γ(T ∩ Ac ∩ B) + γ(T ∩ Ac ∩ B c ), takže (použijeme také subadditivitu γ) γ(T ) = γ(T ∩ A ∩ B) + γ(T ∩ A ∩ B c ) + γ(T ∩ Ac ∩ B) + γ(T ∩ Ac ∩ B c ) ≥ γ(T ∩ (A ∪ B)) + γ(T ∩ (A ∪ B)c ). Kombinací operací doplňku a sjednocení lze také odvodit měřitelnost rozdílů a konečných sjednocení. Mějme nyní posloupnost {Ej } po dvou disjunktních γ-měřitelných množin. Indukcí dostaneme z předchozího, že pro každé m = 1, 2, . . . a pro každou testovací množinu T ⊂ X je (2.2)
γ(T ) =
m X
γ(T ∩ Ej ) + γ(T \
m [
Ej )
j=1
j=1
Podrobněji: pro m = 1 je to měřitelnost E1 . Platí-li (2.2) pro m, použijeme testovací množinu T \ na měřitelnost Em+1 a dostaneme (2.3)
γ(T \
m [
Ej ) = γ(T ∩ Em+1 ) + γ(T \
j=1
m+1 [
Sm
j=1
Ej
Ej ).
j=1
Sečtením (2.2) a (2.3) dostaneme (2.2) pro m + 1. Z (2.2) máme hned γ(T ) ≥
m X
γ(T ∩ Ej ) + γ(T \
j=1
∞ [
Ej )
j=1
a odtud limitním přechodem pro m → ∞ (2.4)
γ(T ) ≥
∞ X
γ(T ∩ Ej ) + γ(T \
j=1
∞ [
Ej ).
j=1
S Nyní dokážeme, že pro Aj ∈ M(γ) je j Aj ∈ M(γ). Vyrobíme po dvou disjunktní Ej z Aj podle 1.15. Potom Ej ∈ M(γ) podle první části důkazu. Použijeme σ-subadditivitu γ na (2.4) a dostaneme γ(T ) =
∞ X
γ(T ∩ Ej ) + γ(T \
j=1
≥ γ(T ∩
∞ [
Ej ) + γ(T \
j=1
∞ [ j=1 ∞ [ j=1
6
Ej ) Ej ),
což dává γ-měřitelnost množiny ∞ [
Ej =
j=1
∞ [
Aj .
j=1
Zbývá dokázat, že γ ◦ je míra. Víme, že γ(∅) = 0. Buď {Ej } posloupnost po dvou disjunktních γměřitelných množin. Potom použijeme (2.4) na T =
∞ [
Ej
j=1
(pro ≥) a σ-subadditivitu γ (pro ≤) a dostaneme γ(
∞ [
Ej ) =
j=1
∞ X
γ(Ej ).
j=1
Úplnost míry γ ◦ je snadná.
2.8. Základní konstrukce. Základní schéma konstrukce míry probíhá ve dvou krocích. Vyjdeme z nezáporné množinové funkce (G, τ ), od které nechceme téměř nic – předpokládáme jen počáteční podmínku (2.1). V prvním kroku vytvoříme podle 2.2 a 2.3 vnější míru τ ∗ , v druhém kroku pak podle 2.6 a 2.7 (úplnou) míru (M(τ ∗ ), τ ∗◦ ). Pro výslednou míru zavedeme zkrácené značení (G 0 , τ 0 ) := (M(τ ∗ ), τ ∗◦ ).
(2.5)
Konstrukci obvykle považujeme za úspěšnou, jestliže (G0 , τ 0 ) je rozšířením (G, τ ). Tento případ nastává při konstrukci Lebesgueovy míry, což záhy uvidíme. 2.9. Lemma (Test měřitelnosti). Nechť (G, τ ) je nezáporná množinová funkce na X splňující počáteční podmínku (2.1) a H ⊂ X je libovolná množina. Nechť H splňuje podmínku ∀G ∈ G :
G ∩ H ∈ G,
G \ H ∈ G,
τ (G) = τ (G ∩ H) + τ (G \ H).
Potom H ∈ G 0 . P Důkaz. Nechť T ⊂ X je libovolná “testovací” množina. Nechť j τ (Gj ) je horní součet k τ ∗ (T ). Potom P P ∗ ∗ j τ (Gj ∩ H) je horní součet k τ (T ∩ H) a j τ (Gj \ H) je horní součet k τ (T \ H). Tedy X X X τ ∗ (T ∩ H) + τ ∗ (T \ H) ≤ τ (Gj ∩ H) + τ (Gj \ H) = τ (Gj ). j
j
j
Přechodem k infimu přes všechny horní součty dostaneme τ ∗ (T ∩ H) + τ ∗ (T \ H) ≤ τ ∗ (T ). Tedy H je τ ∗ -měřitelná množina.
2.10. Měřitelnost intervalů. Každá interval I ∈ I v Rn je `∗ -měřitelný. Důkaz. Nechť H je poloprostor tvaru {x ∈ Rn : xi < a}, kde a ∈ R. Potom pro každý interval Q ∈ In je Q ∩ H ∈ In ,
Q \ H ∈ In
a `(Q ∩ H) + `(Q \ H) = `(Q).
Tedy H ∈ Mn podle tvrzení 2.9. Jelikož každý interval lze napsat jako průnik poloprostorů, je každý interval měřitelný. 2.11. Lebesgueova míra v Rn . Lebesgueova míra v Rn je zúžení Lebesgueovy vnější míry na systém všech lebesgueovsky měřitelných množin, neboli (I 0 , `0 ). Je to tedy výsledek základní konstrukce z původní množinové funkce (I, `), speciálně, víme, že to je míra, a to úplná. Lebesgueovu míru v Rn budeme značit (Mn , λn ). Množiny náležející Mn budeme nazývat lebesgueovsky měřitelné množiny. Index “n” označující dimenzi budeme většinou vynechávat. Podle vět 2.5 a 2.10 je Lebesguoeva míra rozšířením množinové funkce (I, `). 7
3. Ještě o rozšiřování měr 3.1. Dynkinův systém. Nechť X je abstraktní množina. Systém množin D ⊂ 2X se nazývá Dynkinův systém, je-li splněno (D-1) ∅, X ∈ D, (D-2) A, B ∈ D, B ⊂ A =⇒ A \ B ∈ D. ∞ S (D-3) Jestliže Aj ∈ D jsou po dvou disjunktní, pak Aj ∈ D. j=1
Každá σ-algebra je Dynkinův systém. Důležitost Dynkinových systémů spočívá v tom, že jsou li µ, ν dvě míry na (X, S), µ(X) = ν(X) < ∞, potom systém množin {A ∈ S : µ(A) = ν(A)} je Dynkinův systém (obecně ne σ-algebra: uvažujte např. míry A 7→ λ({x ∈ A : x > 0}) a A 7→ λ({x ∈ A : x < 0}) na intervalu [−1, 1]). 3.2. Generování Dynkinových systémů. Je-li F libovolný systém podmnožin X, potom existuje nejmenší Dynkinův systém obsahující F. Tento Dynkinův systém dostaneme jako průnik všech Dynkinových systémů obsahujících F; budeme jej značit δ(F). Dále budeme značit σ(F) nejmenší σ-algebru obsahující F. 3.3. Věta o Dynkinových systémech. Nechť F je systém podmnožin X uzavřený na konečné průniky. Potom δ(F) = σ(F). Důkaz. Nechť A ∈ σ(F). Označme FA = {B ∈ σ(F) : A ∩ B ∈ δ(F)}. Jestliže A ∈ F, pak FA je Dynkinův systém obsahující F, tedy FA ⊃ δ(F). Nechť nyní A ∈ δ(F), potom podle předchozího kroku je FA Dynkinův systém a obsahuje F. Pak ale podobně jako v předchozím kroku je FA ⊃ δ(F). Dokázali jsme, že systém δ(F) je uzavřený na průniky. Každý Dynkinův systém uzavřený na průniky je však zřejmě σ-algebra, tedy δ(F) je σ-algebra obsahující F. Z minimality obou systémů plyne, že δ(F) = σ(F). 3.4. Věta o jednoznačnosti. Nechť F je systém podmnožin X uzavřený na konečné průniky. S Nechť µ a ν jsou míry na σ(F), které se shodují na F. Jestliže existují Xk ∈ F tak, že µ(Xk ) < ∞ a Xk = X, k∈N
pak µ = ν na σ(F). Důkaz. Pro každé k ∈ N je systém množin {A ∈ σ(F) : µ(A ∩ Xk ) = ν(A ∩ Xk )} Dynkinův systém obsahující F a δ(F) = σ(F) (rovnost nastává podle věty 3.3). Každou množinu A ∈ σ(F) můžeme napsat jako po dvou disjunktní sjednocení [ A= Aj , j
kde A1 = A ∩ X1 , A2 = (A \ X1 ) ∩ X2 , A3 = (A \ (X1 ∪ X2 )) ∩ X3 , . . . . Protože podle výše dokázaného je µ(Aj ) = ν(Aj ) pro všechna j ∈ N, dostáváme µ(A) = ν(A).
3.5. Pramíra. Nechť X je abstraktní množina a O ⊂ 2X je okruh. Množinová funkce π : O → [0, ∞] se nazývá pramíra, jestliže splňuje (Pr-1) π(∅) = 0, S (Pr-2) jestliže A ∈ O, Aj ∈ O, j = 1, 2, . . . , Aj jsou po dvou disjunktní a A = j Aj , potom X π(A) = π(Aj ). j
Požadavek, že hodnoty jsou nezáporné a definiční obor je okruh, je součástí definice pramíry. V případě pramíry se může stát, že sjednocení po dvou disjunktních množin z O neleží v O, což není v rozporu s (Pr-2). Řekneme, že pramíra π na O je σ-konečná, jestliže existují Xj ∈ O tak, že π(Xj ) < ∞,
j = 1, 2, . . . ,
a X=
∞ [
Xj .
j=1
3.6. Hopfova věta. Nechť O je okruh podmnožin X a π je pramíra na O. Nechť S0 je nejmenší σalgebra obsahující O. Potom existuje míra µ0 na S0 , která rozšiřuje π. Jestliže π je σ-konečná, pak je taková míra µ0 na S0 určena jednoznačně. 8
Důkaz. Nejprve ukážeme, že π 0 je rozšíření π. Zvolme A ∈ O. Potom podle tvrzení 2.9 je A ∈ M(π ∗ ) = O0 . Potřebujeme ukázat, že π(A) = π ∗ (A) (= π 0 (A)). Jelikož π(A) je horní součet k π ∗ (A), máme π ∗ (A) ≤ π(A). Nechť Aj ∈ O, j = 1, 2, . . . , Pak podle (Pr-2)
S
j
Aj ⊃ A. Vytvořme z {Aj } po dvou disjunktní systém {Ej } podle 1.15.
π(A) =
X
π(A ∩ Ej ) ≤
X
j
π(Ej ) ≤
j
X
π(Aj ).
j
Přejdeme-li na pravé straně k infimu přes všechny horní součty, dostaneme π(A) ≤ π ∗ (A). Tím jsme dokázali, že π 0 je rozšíření π. Míra π 0 bS0 je hledané rozšíření π na S0 . Je-li navíc π σ-konečná, pak z věty 3.4 plyne jednoznačnost takového rozšíření. 3.7. Zúplnění míry. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Potom existuje nejužší rozšíření míry (S, µ) na úplnou míru. Výsledná míra se nazývá zúplněním míry µ a značí (S, µ). Konstruuje se jako S := {E ⊂ X : ∃ E 0 , E 00 ∈ S : E 0 ⊂ E ⊂ E 00 , µ(E 00 \ E 0 ) = 0}, µ(E) := µ(E 0 ) (= µ(E 00 )). (Dokažte jako cvičení !) 3.8. Poznámka. Při rozšiřování měr se často kombinuje Hopfova věta se zúplněním míry, abychom dostali rozšíření z pramíry na úplnou míru. 4. Lebesgueova míra 4.1. Regulární borelovské míry. Nechť (S, µ) je míra na Rn . Řekneme, že µ je regulární borelovská míra, jestliže B(Rn ) ⊂ S a každá E ∈ S je obsažená v A ∈ B(Rn ) tak, že µ(A \ E) = 0. Radonova míra na Rn je taková regulární borelovská míra na Rn , že míra každé kompaktní podmnožiny Rn je konečná. 4.2. Lebesgueova míra v Rn -opakování. Připomeňme, že Lebesgueova míra v Rn je zúžení Lebesgueovy vnější míry na systém všech lebesgueovsky měřitelných množin. Je to tedy výsledek základní konstrukce z původní množinové funkce (I, `), speciálně, víme, že to je míra, a to úplná. Lebesgueovu míru v Rn značíme (Mn , λn ). Množiny náležející Mn nazýváme lebesgueovsky měřitelné množiny. Index “n” označující dimenzi většinou vynecháváme Podle vět 2.5 a 2.10 je Lebesguoeva míra rozšířením množinové funkce (I, `). σ-algebru borelovských podmnožin Rn můžeme (alternativně) definovat jako σ(I). 4.3. Věta (Měřitelnost borelovských množin). Každá borelovská podmnožina Rn je lebesgueovsky měřitelná. Důkaz. Podle lemmatu 2.10 je každý interval měřitelný. Jelikož borelovská σ-algebra je generovaná intervaly a M(`∗ ) je σ-algebra, je B(Rn ) ⊂ M(`∗ ). 4.4. Lemma (O vnější míře). Nechť E ⊂ Rn . Potom (a) existuje posloupnost {Gj } otevřených množin tak, že Gj ⊃ E a λ(Gj ) → `∗ (E), (b) existuje borelovská množina A ⊃ E tak, že λ(A) = `∗ (E). Důkaz. (a) Můžeme předpokládat, že `∗ (E) < ∞. Pak jde vlastně o to dokázat, že ke každému ε > 0 existuje otevřená množina G ⊃ E tak, že λ(G) < `∗ (E) + ε. Zvolme tedy ε > 0 a najděme vhodný horní součet k `∗ (E), tedy posloupnost {Qi } otevřených intervalů tak, že [ X Qi , `(Qi ) < λ(E) + ε. E⊂ i
i
Položme G=
[ i∈N 9
Qi .
Potom G je zřejmě otevřená nadmnožina E a X `∗ (G) ≤ `(Qi ) < `∗ (E) + ε. i
(b) Nechť Gj jsou jako v (a), pak A :=
\
Gj
j
má požadovanou vlastnost a je typu Gδ , tedy borelovská.
4.5. Věta (Struktura měřitelných množin). Nechť E ∈ M. Potom (a) existuje posloupnost {Gj } otevřených množin tak, že Gj ⊃ E a `∗ (Gj \ E) → 0, (b) existuje posloupnost {Fj } uzavřených množin tak, že Fj ⊂ E a `∗ (E \ Fj ) → 0, (c) existuje posloupnost {Kj } kompaktních množin tak, že [ Kj ⊂ E a `∗ E \ Kj = 0. j n
Naopak, každá množina E ⊂ R mající některou z vlastností (a), (b), (c) leží v M. (V první části věty, dokud předpokládáme měřitelnost E, lze nahradit `∗ mírou λ.) Důkaz. (a) Podobně jako v lemmatu 4.4 (a) jde o to dokázat, že ke každému ε > 0 existuje otevřená množina G ⊃ E tak, že λ(G \ E) < ε. Pro množiny konečné míry to plyne přímo z lemmatu 4.4 (a). V obecném případě napíšeme množinu E ve tvaru po dvou disjunktního sjednocení množin z M jako S E = Ek , kde λ(Ek ) < ∞, Pro každé k ∈ N najdeme podle prvního kroku otevřenou množinu k∈N S Gk ⊃ Ek tak, že λ(Gk \ Ek ) < 2−k ε. Potom pro G = k Gk platí G ⊃ E a λ(G \ E) < ε. (b) dostaneme z (a) přechodem k doplňkům. (c) Podle (b) existuje posloupnost {Fk } uzavřených množin tak, že [ Fk ⊂ E a λ E \ Fk = 0. k n
Množiny Fk ∩ [−m, m] , k, m = 1, 2, . . . , jsou kompaktní a lze je uspořádat do posloupnosti. Pokud E má některou z vlastností (a), (b), (c), pak se liší od borelovské množiny o množinu míry nula. Borelovské množiny jsou M-měřitelné podle věty 4.3. Pokud N ⊂ Rn je `∗ -nulová, potom podle lemmatu 4.4 (b) existuje borelovská množina A ⊃ N nulové míry. Jelikož λ je úplná, je N měřitelná množina nulové míry. Tedy také E ∈ M. 4.6. Důsledek. Lebesgueova míra je Radonova. Důkaz. Nechť E ∈ M. Podle věty 4.5 existuje posloupnost {Gj } otevřených množin tak, že Gj ⊃ E a `0 (Gj \ E) → 0, T Potom A := Gj je borelovská nadmnožina E která se od E liší jen o nulovou množinu. Tedy λ je regulární borelovská míra. Každá kompaktní podmnožina Rn je omezená a tudíž má zřejmě konečnou Lebesgueovu míru. Lebesgueova míra je tedy Radonova. 4.7. Věta (“Jednoznačnost” Lebesgueovy míry). Nechť (S, µ) je úplná regulární borelovská míra na Rn , která rozšiřuje (I, `). Potom (S, µ) = (M, λ). Důkaz. Podle věty o jednoznačnosti 3.4 je µ = λ na B(Rn ). Borelovská regularita a úplnost znamenají, že obě míry jsou právě zúplněním své restrikce na B(Rn ). Jelikož zúplnění je jednoznačné, je S = M a µ = λ. 4.8. Lebesgueovsky neměřitelné množiny. Ačkoli Lebesgueova míra je definována jako “nejužší”, je dostatečně široká. Existují sice Lebesgueovsky neměřitelné množiny, ale důkaz jejich existence není konstruktivní. Filosoficky vzato, z hlediska výpočtů v aplikacích nemůže mít vliv na výsledek, zda neměřitelné množiny existují nebo ne. Vynechat důkaz měřitelnosti množiny, je-li její měřitelnost požadována, je však hrubou matematickou chybou. 10
5. Lebesgue-Stieltjesovy míry 5.1. Neklesající funkce. Nechť F : R → R je neklesající funkce. Potom F má v každém bodě x ∈ R jednostranné limity F (x+) := lim F (y), F (x−) := lim F (y) y→x+
y→x−
a v nevlastních bodech jednostranné limity F (−∞+) :=
lim
y→−∞+
F (y),
F (+∞−) := lim F (y) y→∞−
5.2. Lebesgue-Stieltjesova míra. Radonova míra µ na (R, S) se nazývá Lebesgue-Stieltjesova míra. Řekneme, že Lebesgue-Stieltjesova míra µ je indukovaná neklesající zprava spojitou funkcí F , (značíme µ = µF ), jestliže (5.1) −∞ < a < b < ∞ =⇒ F (b) − F (a) = µ (a, b] . 5.3. Příklady. Lebesgueova míra je indukovaná identickou funkcí x 7→ x. Diracova míra v nule je indukovaná funkcí χ[0,∞ . 5.4. Z funkce uděláme míru. Nechť F : R → R je neklesající zprava spojitá funkce. Potom existuje právě jedna úplná Lebesgue-Stieltjesova míra µ na R tak, že platí (5.1). Přitom µ(R) = F (+∞−) − F (−∞+). Důkaz. Nechť I+ je systém všech omezených intervalů typu (a, b] v R. Na I+ uvažujeme množinovou funkci m : (a, b] 7→ F (b) − F (a) a aplikujeme základní konstrukci 2.8. Podobně jako u konstrukce Lebesgueovy míry ukážeme, že µ je rozšíření m, které jednoznačně určeno vlastností (5.1). Druhá možnost je užít Hopfovu větu a zúplnění, v tom případě je třeba znát, že množina všech disjunktních konečných sjednocení intervalů z I+ tvoří okruh. S V každém případě se důkaz věty redukuje na následující tvrzení: Nechť (a, b] ⊂ (aj , bj ]. Potom X (5.2) F (b) − F (a) ≤ (F (bj ) − F (aj )) Důkaz (5.2) provedeme takto: Nechť ξ ∈ (F (a), F (b)]. Najdeme nejmenší c ∈ (a, b] tak, že F (c) ≥ ξ. Takové c existuje, protože F je zprava spojitá. Najdeme j tak, že c ∈ (aj , bj ]. Potom aj < c, tedy z minimality c plyne F (aj ) < ξ. Na druhé straně, F (bj ) ≥ F (c) ≥ ξ, takže ξ ∈ (F (aj ), F (bj )] Dokázali jsme [ (F (a), F (b)] ⊂ (F (aj ), F (bj )], j
tedy (5.2) platí podle větičky 2.5.
5.5. K míře najdeme funkci. Nechť µ je Lebesgue-Stieltjesova míra na R. Potom existuje zprava spojitá neklesající funkce F tak, že platí (5.3) −∞ < a < b < ∞ =⇒ µ (a, b] = F (b) − F (a). Jsou-li F1 , F2 zprava spojité neklesající funkce splňující (5.3), potom F1 a F2 se liší o konstantu. Důkaz. Zvolíme F (0) a další funkční hodnoty dopočítáme z (5.3), kde volíme (a, b] = (0, x] pro x > 0, (a, b] = (x, 0] pro x < 0. 6. Měřitelná zobrazení a měřitelné funkce 6.1. Měřitelné zobrazení. Nechť (X, S), (Y, T ) jsou měřitelné prostory a D ∈ S. Řekneme, že F : D → Y je měřitelné zobrazení, přesněji, měřitelné zobrazení (D ⊂ X, S) → (Y, T ), jestliže pro každou E ∈ T je f −1 (E) ∈ S. 6.2. Větička (Skládání měřitelných zobrazení). Nechť (X, S), (Y, T ), (Z, U) jsou měřitelné prostory, f je měřitelné zobrazení (X, S) → (Y, T ) a g je měřitelné zobrazení (Y, T ) → (Z, U). Potom g ◦ f je měřitelné zobrazení (X, S) → (Z, U). Důkaz. Důkaz je zřejmý.
11
6.3. Větička (Měřitelnost-postačující podmínka). Nechť (X, S), (Y, T ) jsou měřitelné prostory, D ∈ S. Nechť G ⊂ 2Y , T = σ(G). Potom F : D → Y je měřitelné zobrazení, právě když pro každou E ∈ G je f −1 (E) ∈ S. Důkaz. Systém množin F := {M ⊂ Y : {f ∈ M } ∈ S} je zřejmě σ-algebra obsahující všechny množiny z G. Jelikož T je nejmenší σ-algebra s takovou vlastností, je nutně T ⊂ F. 6.4. Značení. Je-li X abstraktní množina a A ⊂ X, značíme χA charakteristickou funkci množiny A, neboli ( 1, x ∈ A, χA (x) = 0, x ∈ / A. Symbol ∞ může být užit pro +∞. Na R zavádíme algebraické operace a nerovnosti přirozeným způsobem. Součet a + b má smysl pokud a ∈ R nebo b ∈ R nebo a a b jsou nekonečna stejného znaménka. Součet ∞ + (−∞) smysl nemá. Součin ab má smysl vždy (důležité !!), ve “sporném případě” zavádíme 0 · ±∞ = 0.
(6.1)
Podíl a/b má smysl s výjimkou případů a/0 a a ±∞/ ± ∞. Na R definujeme borelovskou σ-algebru B(R) jako σ-algebru generovanou systémem všech intervalů v R. Je-li f : D → R funkce, definujeme f + = max{f, 0}, f − = max{−f, 0}. (Maximum či minimum dvou funkcí se definuje bod po bodu.) Tedy f = f + − f −,
|f | = f + + f − .
Je-li f funkce na D a M ⊂ R, značíme {f ∈ M } = {x ∈ D : f (x) ∈ M }, podobně zavádíme značení jako {f > a}, {f = a}. Symbolem ϕ ◦ f značíme složenou funkci x 7→ ϕ(f (x)). Značení f −1 používáme pro inverzní funkci k f. V celé kapitole (s výjimkou zavedení jednoduchých funkcí) budeme uvažovat měřitelný prostor (X, S). 6.5. Měřitelné funkce. Měřitelná zobrazení (D ⊂ X, S) → (R, B(R) se nazývají S-měřitelné funkce. Bude-li z kontextu jasné, v jaké σ-algebře pracujeme, budeme mluvit prostě o “měřitelných funkcích”. Bez újmy na obecnosti se můžeme omezit na studium měřitelných funkcí na celém prostoru. Pokud totiž D ∈ S, potom {A ⊂ D : A ∈ S} je σ-algebra podmnožin D. 6.6. Poznámka. Nejčastěji se zabýváme měřitelnými funkcemi reálné proměnné, to jsou měřitelná zobrazení (R, M) → (R, B(R). Všimněte si a zapamatujte, že pro proměnnou a funkční hodnoty používáme různé σ-algebry. To má za následek, že složení dvou měřitelných funkcí reálné proměnné nemusí být měřitelná funkce. Měřitelná zobrazení (R, M) → (R, M) nemají valný praktický význam. 6.7. Pozorování. Nechť D, Dj ∈ S. (a) Je-li f měřitelná na D a D1 ⊂ D, pak f je měřitelná na D1 . (b) Je-li funkce f : D → R S-měřitelná na D1 a D2 a D = D1 ∪ D2 , pak f je měřitelná na D. 6.8. Ověřování měřitelnosti. Uvažujme D ∈ S a funkci f : D → R. Předpokládejme, že víme např., že (∗) Pro všechna q ∈ Q je {f > q} ∈ S. Ukážeme, že (∗) stačí k ověření měřitelnosti funkce f . 1. Nechť a < ∞, najděme racionální čísla qj & a. Pak [ {f > a} = {f > qj }. j
2. Nechť a > −∞, najděme racionální čísla rj % a. Pak \ {f ≥ a} = {f > rj }. j
3. Nechť b ∈ R, pak {f ≤ b} = D \ {f > b},
{f < b} = D \ {f ≥ b}. 12
4. Nechť a, b ∈ R, a ≤ b. Potom {f ∈ [a, b]} = {f ≥ a} ∩ {f ≤ b} a podobně pro ostatní typy intervalů. Jelikož I generuje B(R), je f měřitelná podle větičky 6.3. 6.9. Měřitelnost složené funkce. Nechť f je měřitelná funkce na D ∈ S a ϕ je spojitá funkce na otevřené nebo uzavřené množině G ⊂ R. Potom množina D0 := {f ∈ G} je měřitelná a složená funkce ϕ ◦ f je měřitelná na D0 . Důkaz. Každá uzavřená nebo otevřená množina je borelovská a každá spojitá funkce je borelovsky měřitelná, stačí tedy použít větu 6.2. 6.10. Varování. Budeme-li skládat spojitou a měřitelnou funkci v opačném pořadí, výsledek nemusí být měřitelný. Také není obecně pravda, že inverzní funkce k měřitelné funkci by byla měřitelná funkce. 6.11. Operace s měřitelnými funkcemi. Nechť funkce f, fj jsou měřitelné funkce na D ∈ S. Pak platí následující: (a) Funkce |f |, f + , f − , f 2 jsou měřitelné na D, 1/f je měřitelná na {f 6= 0}. (b) Funkce f1 + f2 , f1 − f2 , f1 f2 , f1 /f2 jsou měřitelné vždy na množině, kde učiněná operace dává smysl podle 6.4. (c) Funkce supj fj , inf j fj , lim supj fj , lim inf j fj jsou měřitelné na D. (d) Množina D0 všech bodů, kde existuje limj fj je měřitelná a limj fj je měřitelná na D0 . Důkaz. (a) je důsledek věty 6.9. (b): Je výhodné “odpreparovat” diskusí množiny, kde jedna z funkcí nebo obě nabývají nevlastních hodnot a zaměřit se na množinu {f1 ∈ R} ∩ {f2 ∈ R}. Máme [ {f1 + f2 > a} = {f1 > p} ∩ {f2 > q}. p,q∈Q p+q>a
Dále f1 f2 =
1 (f1 + f2 )2 − (f1 − f2 )2 . 4
Ostatní je snadné. (c): Je {sup fj > a} = j
[
{fj > a}
j
a odtud odvodíme i zbytek. (d) Máme {lim fj existuje} = {lim sup fj = lim inf fj } j
j
=D\
[
{lim inf fj < p < lim sup fj } . j
p∈Q
j
6.12. Jednoduché funkce. Funkci f na D ∈ S nazveme S-jednoduchou, jestliže f je lineární kombinace charakteristických funkcí množin z S, tj. existují-li množiny Aj ∈ S a αj ∈ R, j = 1, . . . , m, tak, že f=
m X
αj χAj .
j=1
Pokud bude jasné, jakou σ-algebru máme na mysli, budeme mluvit prostě o jednoduchých funkcích. 6.13. Aproximace jednoduchými funkcemi. Nechť (X, S) je měřitelný prostor. Nechť f je nezáporná měřitelná funkce na D ∈ S. Potom existují nezáporné jednoduché funkce fk % f . Navíc, f lze vyjádřit ve tvaru ∞ X (6.2) f= 2−j χEj , j=−∞
kde Ej ∈ S. 13
Důkaz. Položme Pj =
o [n i2−j , (i + 1)2−j : i je liché celé . i
Potom f=
∞ X
2−j χEj ,
j=−∞
kde Ej := {f ∈ Pj }. Jelikož Pj jsou borelovské, {f ∈ Pj } jsou měřitelné. Jedná se vlastně o dyadickou expanzi f (x); x ∈ Ej právě když f (x) má na j-tém místě v dyadickém rozvoji jedničku. Jednoduché funkce fk můžeme definovat vzorcem k X fk = 2−j χEj . j=−k
7. Abstraktní Lebesgueův integrál Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. V této kapitole zavedeme abstraktní Lebesgueův integrál z µměřitelné funkce. Lebesgueovo pojetí nabízí alternativní cestu k definici integrálu přes interval, takto vybudovaný integrál dává použitelnější teorii než integrál Newtonův nebo Riemannův. Značně široká třída integrovatelných funkcí je jen jednou z mnoha výhod. V moderní matematické literatuře se integrálem bez přívlastku rozumí vždy integrál Lebesgueův. Význam Newtonova a Riemannova integrálu zůstává ve sféře didaktiky. Při Lebesguovském integrování se však nemusíme omezovat na funkce reálné proměnné. Obecné pojetí abstraktního Lebesgueova integrálu na libovolném prostoru s mírou má mnoho aplikací v analýze, teorii pravděpodobnosti a v matematice vůbec, v této obecnosti Riemannova i Newtonova metoda nenabízejí ani částečné řešení problému. 7.1. Dělení. Konečný soubor množin {A1 , . . . , Am } ⊂ S nazveme dělením množiny D ∈ S, jestliže množiny Aj jsou po dvou disjunktní a m [ Aj = D. j=1
7.2. Charakteristika jednoduchých funkcí. Nechť f je nezáporná měřitelná funkce na D. Pak je ekvivalentní (i) f je jednoduchá, (ii) f nabývá jen konečně mnoha hodnot, (iii) existuje dělení {Aj }m j=1 množiny D a nezáporná čísla αj , j = 1, . . . , m tak, že X f= αj χAj . j
Důkaz. Implikace (i) =⇒ (ii) a (iii) =⇒ (i) jsou zřejmé. Pro (ii) =⇒ (iii), nechť α1 , . . . , αm jsou hodnoty, kterých nabývá funkce f a položme Aj = {f = αj }. R 7.3. Konstrukce integrálu. Nechť f je měřitelná funkce na D ∈ S (s hodnotami v R). Integrál D f dµ vybudujeme ve třech krocích. 1. Je-li f nezáporná měřitelná funkce, definujeme Z m nX f dµ = sup αj µ(Aj ) : {Aj } je dělení D, D j=1 (7.1) o 0 ≤ αj ≤ f na Aj , j = 1, . . . , m . Součty vyskytující se v (7.1) nazýváme dolními součty k funkci f . Integrál z nezáporné měřitelné funkce je definován vždy, může ovšem nabývat nekonečné hodnoty. 14
2. V obecném případě, kdy f je měřitelná funkce na D, definujeme Z Z Z (7.2) f dµ = f + dµ − f − dµ, D
D
D
pokud rozdíl v (7.2) má smysl. Pokud Z
Z
+
f − dµ = ∞,
f dµ = D
D
zůstává integrál funkce f nedefinován. 3. Je-li f měřitelná (přesně: S-měřitelná) funkce na D0 ⊂ D a µ(D \ D0 ) = 0, je účelné definovat Z Z f dµ = f dµ. D0
D
Smysl takového integrálu a výsledek samozřejmě v tom případě nezávisí na volbě D0 . V některých případech je účelné používat podrobnější zápis Z Z f (x) dµ(x) pro f dµ. D
D
R Je-li integrál D f dµ definován, říkáme R též, že má smysl , nebo že funkce f má integrál . Je-li navíc tento integrál konečné číslo, říkáme, že D f dµ konverguje nebo že f je integrovatelná. 7.4. µ-měřitelné funkce. Je-li f měřitelná (přesně: S-měřitelná) funkce na D0 ⊂ D a µ(D \ D0 ) = 0 (to je situace, která se naskytla v třetím kroku definice integrálu), nazveme funkci f µ-měřitelnou na D. V dalším budeme jako “měřitelnou” označovat každou funkci na D ∈ S která je µ-měřitelná. V kontextu integrálu podle Lebesgueovy míry bude měřitelná funkce znamenat λ-měřitelnou funkci. 7.5. Různé vlastnosti Lebesgueova integrálu. Nechť D ∈ S a f, g jsou měřitelné funkce na D. (a) Je-li f ≥ 0, D1 , D2 ∈ S a D1 ⊂ D2 ⊂ D, pak Z Z f dµ ≤ f dµ. D1
D2
(b) Jestliže D1 , D2 ∈ S, D1 ∩ D2 = ∅ a D1 ∪ D2 = D, pak Z Z Z f dµ = f dµ + f dµ. D
D1
D2
R (c) Je-li RD |f | dµ < ∞, pak |f | < ∞ skoro všude. (d) Je-li D |f | dµ = 0, pak f = 0 skoro všude. (e) (monotonie) Jestliže f , g mají integrál a f ≤ g skoro všude, pak Z Z f dµ ≤ g dµ. D
(f) Je-li
R D
D
g dµ < ∞ a |f | ≤ g skoro všude, pak f je integrovatelná.
Důkaz. (a), (b), (c) jsou snadné. (d): Jestliže množiny Ej := {|f | > 2−j } mají míru nula, pak f = 0 skoro všude. Pokud jedna z nich má kladnou míru, pak 2−j µ(Ej ) je dolní součet k |f | a tudíž integrál |f | je kladný. (e): Tvrzení je snadné, pokud 0 ≤ f ≤ g na D. V obecném případě se důkaz provede rozdělením na množiny {f ≤ 0 ≤ g}, {f ≤ g < 0}, {0 < f ≤ g}, {g < f } a diskusí. (f) plyne z (e) a definice integrálu. 7.6. Lemma o monotonii. Nechť D ∈ S. Nechť {Aj }nj=1 , {Bi }m i=1 jsou dělení D a α1 , . . . , αn .
β1 , . . . , βm
jsou nezáporná reálná čísla. Jestliže m X
βi χBi ≤
i=1
n X
αj χAj ,
j=1
potom (7.3)
m X
βi µ(Bi ) ≤
i=1
n X j=1
15
αj µ(Aj ).
Důkaz. Je-li Aj ∩ Bi 6= ∅, potom z předpokladů plyne βi ≤ αj a tudíž βi µ(Aj ∩ Bi ) ≤ αj µ(Aj ∩ Bi ).
(7.4)
Pokud Aj ∩ Bi = ∅, pak µ(Aj ∩ Bi ) = 0 a zase dostáváme (7.4). Sečtením přes i, j a záměnou pořadí sumace dostáváme m X n n X m X X (7.5) βi µ(Aj ∩ Bi ) ≤ αj µ(Aj ∩ Bi ). i=1 j=1
Jelikož
n X
j=1 i=1 m X
µ(Aj ∩ Bi ) = µ(Bi ),
j=1
µ(Aj ∩ Bi ) = µ(Aj ),
i=1
z (7.5) dostáváme (7.4).
7.7. Integrál jednoduché funkce. Nechť D ∈ S. Nechť {Aj }nj=1 je dělení D a α1 , . . . , αn jsou nezáporná reálná čísla. Potom Z X n n X αj χAj dµ = αj µ(Aj ). D j=1
j=1
Důkaz. Označme f=
n X
αj χAj .
j=1
Je-li
m X
βi µ(Bi )
i=1
dolní součet k f , podle lemmatu 7.6 dostáváme m n X X βi µ(Bi ) ≤ αj µ(Aj ) i=1
j=1
a přechod k supremu přes všechny dolní součty dává Z n X f dµ ≤ αj µ(Aj ). D
Jelikož
j=1 n X
αj µ(Aj )
j=1
je též dolní součet k f , máme i obrácenou nerovnost.
7.8. Důsledek. Je-li f nezáporná měřitelná funkce na D ∈ S, potom Z nZ o f dµ = sup s dµ : 0 ≤ s ≤ f, s je jednoduchá. D
D
7.9. Leviho věta. Nechť {fj } je posloupnost měřitelných funkcí na D ∈ S, 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . . , a f = lim fj . Potom Z Z (7.6) f dµ = lim fj dµ. j
D
Důkaz. Nechť
n X
D
αj µ(Aj )
j=1
je dolní součet k f . Označme s=
n X
αj χAj ,
j=1
zvolme τ > 1 a položme Ek = {τ fk ≥ s}. 16
Snadno ověříme, že
S
k
Ek = D. Podle 1.16 (b), µ(Aj ) = lim µ(Aj ∩ Ek ), k
tedy (záměna limity a konečné sumy není žádný problém) (7.7)
n X
αj µ(Aj ) = lim k
j=1
n X
αj µ(Aj ∩ Ek ).
j=1
Každý součet n X
αj µ(Aj ∩ Ek )
j=1
je dolní součet k τ fk , tedy limitu na pravé straně (7.7) můžeme shora odhadnout limitou Z lim τ fk dµ. k
D
Tedy (vytknutí konstanty před integrál není problém, srov. 7.11(b)) Z n X fk dµ. αj µ(Aj ) ≤ lim τ k
j=1
D
Přechodem k supremu přes všechny dolní součty k f dostáváme Z Z f dµ ≤ τ lim fk dµ k
D
D
a přechodem pro τ & 1 máme Z
Z f dµ ≤ lim k
D
fk dµ. D
Opačná nerovnost je zřejmá.
7.10. Spojitá závislost na integračním oboru. Nechť D, Ek ∈ S, E1 ⊂ E2 ⊂ . . . , f je nezáporná měřitelná funkce na D. Potom Z Z f dµ = lim f dµ. k
D
S
k
Ek = D. Nechť
Ek
Důkaz. Stačí aplikovat Leviho větu na fk = f χEk .
7.11. Linearita integrálu. (a) Nechť f , g jsou měřitelné funkce na D ∈ S. Potom Z Z Z (f + g) dµ = f dµ + g dµ, D
D
D
má-li pravá strana smysl. (b) Nechť f je měřitelná funkce na D ∈ S a γ ∈ R. Pokud f má integrál, pak Z Z γf dµ = γ f dµ. D
D
Důkaz. Tvrzení (b) je zřejmé. (a): Nejprve předpokládejme, že funkce f a g jsou nezáporné a jednoduché. Podle věty 7.2 najdeme vyjádření n m X X χ f= αj Aj , g= βi χBi , j=1
i=1
kde {Aj }nj=1 , {Bi }m i=1 jsou dělení D a α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βm jsou nezáporná reálná čísla. Potom také {Aj ∩ Bi : i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n} je dělení D a f +g =
m X n X
(αj + βi )χAj ∩Bi .
i=1 j=1 17
Podle věty 7.7 Z f dµ = D
Z g dµ = D
n X j=1 m X
αj µ(Aj ), βi µ(Bi )
i=1
a Z (f + g) dµ = D
m X n X
(αj + βi )µ(Aj ∩ Bi ).
i=1 j=1
Máme Z (f + g) dµ = D
=
=
m X n X i=1 j=1 n X m X
(αj + βi )µ(Aj ∩ Bi ) αj µ(Aj ∩ Bi ) +
j=1 i=1 n X
m X
j=1
i=1
m X n X
βi µ(Aj ∩ Bi )
i=1 j=1
αj µ(Aj ) +
βi µ(Bi ).
Tím je důkaz proveden pro jednoduché funkce. Nechť f a g jsou nezáporné měřitelné funkce. Podle věty 6.13 existují nezáporné jednoduché funkce fj % f , gj % g. Pak také (fj + gj ) % (f + g). Podle předchozí části důkazu Z Z Z (fj + gj ) µ = fj µ + gj µ D
D
D
a na obou stranách rovnosti použijeme Leviho větu k limitnímu přechodu. To nám dá důkaz pro nezáporné měřitelné funkce. V případě, že f a g jsou integrovatelné funkce na D, buď D0 = {|f | + |g| < ∞}. Potom D0 ∈ S, D0 ⊂ D a µ(D \ D0 ) = 0. Na D0 platí (f + g)+ + f − + g − = (f + g)− + f + + g + . Podle předchozího kroku máme Z Z Z Z + − − (f + g) dµ + f dµ + g dµ = [(f + g)+ + f − + g − ] dµ D D D D Z = [(f + g)− + f + + g + ] dµ ZD Z Z = (f + g)− dµ + f + dµ + g + dµ. D
D
D
Vhodným přeskupením sčítanců dostaneme Z Z Z Z Z Z (f + g)+ dµ − (f + g)− dµ = f + dµ − f − dµ + g + dµ − g − dµ, D
D
D
D
což je dokazovaný vzorec.
D
D
8. Záměna limity a integrálu
Vzorec Z
Z lim fj = lim
D
j
j
fj D
platí pro Lebesgueův integrál za značně obecných předpokladů. Na druhé straně je snadné sestrojit protipříklady (např. pro klasický Lebesgueův integrál fj (x) = j 2 e−jx , D = (0, ∞)), a tudíž je zapotřebí tyto předpoklady hlídat. V dalším budeme uvažovat prostor s mírou (X, S, µ). 18
8.1. Fatouovo lemma. Nechť D ∈ S a {fj } je posloupnost nezáporných měřitelných funkcí na D. Potom Z Z (8.1) lim inf fj dµ ≤ lim inf fj dµ. j
D
j
D
Důkaz. Pro k = 1, 2, . . . máme Z
Z inf fj dµ ≤ inf
D j≥k
i≥k
fi dµ D
Limitní přechod pro k → ∞ s použitím Leviho věty na posloupnost {inf j≥k fj }k dává (8.1).
8.2. Lebesgueova věta. Nechť D ∈ S a f , fj , j = 1, 2, . . . , jsou měřitelné funkce na D. Nechť posloupnost {fj } konverguje skoro všude k f . Nechť existuje integrovatelná funkce g (takzvaná majoranta) tak, že |fj (x)| ≤ g(x),
(8.2)
j = 1, 2, . . . ,
x ∈ D.
Potom Z
Z
(8.3)
f = lim
fj .
j
D
D
Důkaz. Můžeme předpokládat, že uvažované funkce jsou konečné a konvergence nastává všude, jinak bychom z D odstranili množinu míry nula. Použijeme additivitu integrálu a Fatouovo lemma na funkce g + fj , g − fj . Dostaneme Z Z Z Z f ≤ lim inf fj ≤ lim sup fj ≤ f, D
j
j
D
D
D
což je (8.3).
Z vět pro záměnu řady a integrálu uvedeme větu Leviho typu, další až v letním semestru. 8.3. Leviho věta pro řady. Nechť D ∈ S a gj , j = 1, 2, . . . , jsou nezáporné měřitelné funkce na D. Potom Z X XZ (8.4) gj dµ = gj dµ. D
j
j
D
Důkaz. Stačí použít Leviho větu 7.9 na částečné součty.
9. Součin měr a Fubiniova věta 9.1. Součin měr. Nechť (X, S, µ), a (Y, T , ν) jsou prostory s mírou. Nechť míry µ, ν jsou σ-konečné. Uvažujme systém S × T všech podmnožin X × Y tvaru A × B, kde A ∈ S, B ∈ T . Takovým množinám budeme říkat měřitelné obdélníky. Na S × T definujeme množinovou funkci µ × ν předpisem µ×ν (A × B) = µ(A) ν(B). Systém množin S ×T generuje tzv. součinovou σ-algebru S ⊗T := σ(S ×T ). V dalším (věta 9.4) uvidíme, že existuje právě jedna míra ρ na S ⊗ T tak, že ρ(A × B) = µ(A) ν(B),
A ∈ S, B ∈ T .
Tuto míru budeme nazývat součin měr µ a ν a značit µ⊗ν. Její zúplnění budeme nazývat úplný součin měr a značit (S ⊗ T , µ⊗ν). Našim cílem je tedy rozšířit množinovou funkci (S × T , µ×ν) na míru a za tímto účelem aplikujeme základní konstrukci. 9.2. Lemma (Měřitelnost měřitelných obdélníků). Nechť (X, S, µ), a (Y, T , ν) jsou prostory s mírou. Potom každý měřitelný obdélník je (µ×ν)∗ -měřitelný. Důkaz. Uvažujme množinu E ∈ S. Chceme dokázat (µ × ν)∗ -měřitelnost množiny E × Y . Buď A × B ∈ S × T měřitelný obdélník. Potom (A × B) ∩ (E × Y ) = (A ∩ E) × B ∈ S × T ,
(A × B) \ (E × Y ) = (A \ E) × B ∈ S × T
a (µ × ν)((A × B) ∩ (E × Y )) + (µ × ν)((A × B) \ (E × Y )) = (µ × ν)(A × B). 19
Tedy E × Y je (µ × ν)∗ -měřitelná podle tvrzení 2.9. Podobně bychom dostali měřitelnost X × F pro každou F ∈ T . Tedy E × F = (E × Y ) ∩ (X × F ) ∈ M((µ × ν)∗ ). 9.3. Lemma (Vnější míra měřitelného obdélníku). Je-li A ∈ S a B ∈ T , pak (µ×ν)∗ (A×B) = µ×ν (A×B). Důkaz. Nechť
∞ X
µ×ν (Aj × Bj )
j=1
je horní součet k (µ × ν)∗ (A × B). Potom pro každý bod x ∈ X je ν(B)χA (x) ≤
∞ X
ν(Bj )χAj (x).
j=1
Podle věty 8.3 je Z
ν(B)χA dµ ≤
(µ×ν)(A×B) = X
=
∞ X
Z X ∞ X j=1
ν(Bj )χAj dµ =
∞ Z X j=1
X
ν(Bj )χAj dµ
(µ × ν)(Aj × Bj ).
j=1
9.4. Věta (Existence součinu měr). Nechť (X, S, µ), a (Y, T , ν) jsou prostory s mírou. Nechť míry µ, ν jsou σ-konečné. Potom existuje právě jedna míra ρ na S ⊗ T tak, že ρ(A × B) = µ(A) ν(B),
A ∈ S, B ∈ T .
Důkaz. Jelikož systém množin S × T je uzavřený na konečné průniky, a podle předpokladů můžeme napsat X × Y jako [ X × Y = (Xj × Yj ), Xj ∈ S, Yj ∈ T , µ × ν(Xj × Yj ) < ∞, j
podle věty 3.4 existuje nejvýše jedno rozšíření množinové funkce µ×ν na míru na S ⊗ T . Existenci aspoň jednoho rozšíření nám dávají lemmata 9.2 a 9.3, hledaným rozšířením je míra M 7→ (µ × ν)0 (M ),
M ∈S ⊗T.
9.5. Poznámky. Podobnou metodou jako v důkazu věty 4.5 bychom mohli dokázat, že U = (S × T )0 a tedy úplný součin měr µ a ν není nic jiného než (µ×ν)0 . Z důkazů lemmat 9.2, 9.3 vidíme, že rozšíření µ×ν na (úplnou) míru můžeme provést bez omezujících předpokladů, avšak pokud míry µ a ν nejsou σ-konečné, mohli bychom ztratit jednoznačnost rozšíření. 9.6. Řezy. Nechť M ⊂ X × Y . Značíme M x,∗ = {y ∈ Y : (x, y) ∈ M }, M
∗,y
= {x ∈ X : (x, y) ∈ M },
x ∈ X, y ∈ Y.
Tyto množiny se nazývají řezy. 9.7. Lemma (Výpočet součinové míry množiny). Nechť (X, S, µ) a (Y, T , ν) jsou prostory s mírou. Nechť míry µ a ν jsou σ-konečné. Buď (R, ρ) součin měr µ a ν. Nechť M je ρ-měřitelná množina. Potom pro každé x ∈ X je množina M x,∗ ν-měřitelná, funkce x 7→ ν(M x,∗ ) je měřitelná a Z ρ(M ) = ν(M x,∗ ) dµ. X 20
Důkaz. Systém všech množin M , pro které platí výroky o měřitelnosti, je Dynkinův systém obsahující všechny měřitelné obdélníky, a systém všech měřitelných obdélníků je uzavřený na konečné průniky. Tudíž podle věty 3.3 tvrzení o měřitelnosti platí pro každou ρ-měřitelnou množinu a můžeme definovat míru ρ˜ na S ⊗ T předpisem Z ν(M x,∗ ) dµ.
ρ˜(M ) = X
Podle tvzení o jednoznačnosti z věty 9.4 je ovšem ρ˜ = ρ.
9.8. Fubiniova věta. Nechť (X, S, µ) a (Y, T , ν) jsou prostory s mírou. Nechť míry µ a ν jsou úplné a σ-konečné. Buď (R, ρ) součin měr µ a ν a (R, ρ) jejich úplný součin. Nechť f je ρ-měřitelná funkce na ρ-měřitelné množině M ⊂ X × Y . Předpokládejme, že integrál Z f (x, y) dρ(x, y) M
má smysl. Potom pro µ-skoro všechna x má smysl integrál Z g(x) := f (x, y) dν(y), M x,∗
funkce g má integrál Z g dµ X
a Z
Z f (x, y) dρ(x, y) =
(9.1)
g dµ =
Z Z
X
M
X
f (x, y) dν(y) dµ(x).
M x,∗
Důkaz. 1. krok. Podle věty 9.7 tvrzení platí pro f = χA , kde A leží v σ-algebře R. 2. krok. Je-li N (µ × ν)∗ -nulová, pak existuje E ∈ R tak, že E ⊃ N a ρ(E) = 0. Z platnosti tvrzení pro χE snadno odvodíme platnost tvrzení pro χN . 3. krok. Obecnou množinu M ∈ R můžeme napsat ve tvaru disjunktního sjednocení M = A ∪ N , kde A ∈ R a N je (µ × ν)∗ -nulová. Důkaz tvrzení pro f = χM dostaneme z prvního a druhého kroku. 4. krok. Víme-li, že tvrzení platí pro charakteristické funkce množin z R, rutinním postupem přes jednoduché funkce a nezáporné měřitelné funkce odvodíme obecný případ. 9.9. Poznámka. Role prostorů X a Y ve Fubiniově větě je symetrická. Proto také platí Fubiniova věta ve tvaru Z Z Z f (x, y) dµ(x) dν(y) (9.2) f (x, y) dρ(x, y) = M
M y,∗
Y
a je-li splněn předpoklad existence integrálu Z f (x, y) dρ(x, y), M
můžeme ospravedlnit záměnu pořadí integrace Z Z Z Z f (x, y) dν(y) dµ(x) = X
M x,∗
Y
f (x, y) dµ(x) dν(y)
M y,∗
9.10. Součiny konečně mnoha měr. Zcela stejně bychom “vynásobili” konečně mnoho prostorů s měrami (Xi , Si , µi ), i = 1, 2, . . . , n, pouze výklad by byl měně přehledný pro velké množství indexů. Také můžeme převést úlohu na předchozí rekurentním násobením, např. µ1 ⊗ · · · ⊗ µn = µ1 ⊗ · · · ⊗ µn−1 ⊗ µn . 9.11. Příklad (Ratajovy dlaždičky). Rozdělme R2 na čtverce Qij = [i, i + 1) × [j, j + 1). Nechť funkce f : R2 → R je definována předpisem x ∈ Qi,j , 0 < j = i + 1, 1, f (x, y) = −1, x ∈ Qi,j , 0 < i = j + 1, 0 jinak. Pak
Z
∞
−∞
Z
∞
Z f (x, y) dy dx = 1 6= −1 =
−∞
∞
−∞ 21
Z
∞
−∞
f (x, y) dx dy.
10. Prostory Lp 10.1. Norma. Připomeňme, že norma je nezáporná konečná funkce k·k : u 7→ kuk na lineárním prostoru X , které splňuje axiomy (N-1) kuk = 0 ⇐⇒ u = 0, u ∈ X, (N-2) kλuk = |λ| kuk, u ∈ X , λ ∈ R, (N-3) ku + vk ≤ kuk + kvk u, v ∈ X (trojúhelníhová nerovnost). (zde se budeme zabývat je reálnými lineárními prostory, v komplexním lineárním prostoru by λ muselo probíhat C). Každů normovaný prostor (tj. lineární prostor vybavený normou) se považuje za metrický prostor se vzdáleností x, y 7→ kx − yk. 10.2. Lp -normy. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Je-li u µ-měřitelná funkce na X a 1 ≤ p < ∞ je reálný exponent, definujeme Z 1/p kukp := |u|p dµ . X
Dále definujeme n o kuk∞ := inf C ≥ 0 : |u| ≤ C skoro všude . Uvidíme, že funkce k · kp , k · kp splňují vlastnosti normy až na jednu: kuk = 0 znamená, že u = 0 skoro všude, což nemusí implikovat u = 0 (tj. úplně všude). Nechť p ∈ [1, +∞]. Zaveďme dočasně prostor Lp (X) všech µ-měřitelných funkcí u na X, přo něž kukp < ∞. Na Lp (X) uvažujme ekvivalenci u∼v
jestliže u = v skoro všude.
Abychom vyhověli všem axiomům normovaného lineárního prostoru, měli bychom definovat prostor Lp (X) = Lp (X, S, µ) jako “faktorprostor” Lp (X) = Lp (X)/ ∼ Faktorizace je jedna ze základních operací obecné teorie množin. Znamená to, že prvky prostoru Lp (X) jsou třídy navzájem ekvivalentních prvků. Je-li u ∈ Lp (X), označme [u] = {v ∈ Lp (X) : v ∼ u}, potom Lp (X) = {[u] : u ∈ Lp (X)}. Na prostorech L je zapotřebí zavést algebraické operace, uspořádaní a normu, neboli např. p
[u] + [v] := [u + v],
k[u]kp := kukp
a [u] ≤ [v], když existují u ˜ ∈ [u] a v˜ ∈ [v] tak, že u ˜ ≤ v˜ V matematické literatuře se tento formalismus nepoužívá a dává se přednost méně přesnému, ale přehlednějšímu vyjadřování. Toho se budeme držet i my. Namísto dvou prostorů Lp a Lp budeme používat jen jeden prostor značený Lp , jehož prvky budou funkce. Budeme mluvit o Lp -normě funkcí, i když to norma není. Důležité je, že “víme, jak to spravit”, pokud bychom se chtěli odvolávat na obecnou teorii normovaných prostorů. Lp -norma splňuje všechny axiomy normy až na výše zmíněnou konvenci. Ověření je triviální s výjimkou trojúhelníkové nerovnosti pro 1 < p < +∞. Tuto dokážeme níže pod názvem “Minkowského nerovnost”. 10.3. Youngova nerovnost. Jsou-li a, b ≥ 0, p, q ∈ (1, ∞), pq = p + q, pak bq ap + . ab ≤ p q Důkaz. Pro a = 0 nebo b = 0 je důkaz triviální. Jinak z konkavity logaritmu dostáváme, že ap bq 1 1 ln( + ) ≥ ln(ap ) + ln(bq ) = ln(ab). p q p q 10.4. Hölderova nerovnost. Jsou-li u, v µ-měřitelné funkce na X, p, q ∈ (1, ∞), pq = p + q, pak kuvk1 ≤ kukp kvkq . Rovnost nastává, právě když existují a, b ∈ [0, ∞) (aspoň jedno z nich nenulové) tak, že a|u|p = b|v|q skoro všude. 22
Důkaz. Označme s = kukp ,
t = kvkq .
Můžeme předpokládat, že funkce u, v jsou nezáporné a že 0 < s < ∞, 0 < t < ∞. Potom pro skoro každé x ∈ X máme z Youngovy nerovnosti u(x) v(x) v(x)q u(x)p + . ≤ s t psp qtq Zintegrováním podle x dostaneme Z 1 1 1 uv dµ ≤ + = 1. st X p q Tvrzení o rovnosti dostaneme analýzou důkazu.
10.5. Minkowského nerovnost. Jsou-li u, v měřitelné funkce na X, p ∈ (1, ∞), pak ku + vkp ≤ kukp + kvkp . Důkaz. Můžeme předpokládat, že 0 < kukp < ∞, 0 < kvkp < ∞. Pro skoro každé x ∈ X máme 1/p , |u(x)| ≤ |u(x)|p + |v(x)|p 1/p , |v(x)| ≤ |u(x)|p + |v(x)|p tedy po sečtení a umocnění na p p |u(x) + v(x)|p ≤ |u(x)| + |v(x)| ≤ 2p (|u(x)|p + |v(x)|p ), p takže ku + vkp < ∞. S pomocí Hölderovy nerovnosti, kde definujeme q = p−1 , dostaneme Z Z Z |u + v|p dµ ≤ |u + v|p−1 |u| dµ + |u + v|p−1 |v| dµ X X X 1/p 1/q Z Z |u|p dµ |u + v|p dµ ≤ (10.1) X X Z 1/q Z 1/p + |u + v|p dµ |v|p dµ . X
X
Jelikož 0<
Z
1/q < ∞, |u + v|p dµ
X
můžeme tímto výrazem vydělit obě strany nerovnosti (10.1) a dostaneme požadovaný výsledek.
10.6. Úplnost prostorů Lp . Nechť {fj } je posloupnost prvků Lp (X), cauchyovská v normě k . . . kp . Pak existuje f ∈ Lp (X) tak, že kfj − f kp → 0. Dále existuje posloupnost {gj } vybraná z {fj } tak, že gj → f µ-skoro všude. Důkaz. Důkaz provedeme pro p < ∞; případ p = ∞ je odlišný a snadnější. Jelikož {fj } je cauchyovská posloupnost, lze z ní vybrat posloupnost gj tak, že pro všechna j = 1, 2, . . . platí kgj+1 − gj k < 2−j .
(10.2) Položme
hk = |g1 | + |g2 − g1 | + · · · + |gk − gk−1 |, h = lim hk k→∞
Z trojúhelníkové nerovnosti pro Lp -normu a (10.2) dostaneme khk kp ≤ kg1 kp +
k−1 X
kgj+1 − gj kp ≤ kg1 kp + 1.
j=1
Podle Leviho věty 7.9 a předchozího odhadu je Z Z p h dµ = lim hpk dµ = lim khk kpp ≤ (kg1 kp + 1)p X
k
k
X
23
Funkce hp je tedy integrovatelná a tím spíš skoro všude konečná (viz. 7.5 (c)). Uvažujme bod x, v němž h(x) < ∞. Potom řada ∞ X g1 + gj+1 (x) − gj (x) j=1
konverguje, neboť konverguje řada absolutních hodnot. Tím jsme dokázali existenci limity f (x) := lim gj (x) j→∞
v každém takovém bodě x. Lebesgueova věta 8.2 s majorantou hp dává Z Z lim |f − gj |p dµ = lim |f − gj |p dµ = 0. j→∞
X j→∞
X
Znovu použijeme, že {fj } je cauchyovská posloupnost, a dostáváme kf − fj kp ≤ kf − gj kp + kgj − fj kp → 0. Tvrzení o konvergenci skoro všude jsme dokázali v průběhu. p
p
10.7. Hustota jednoduchých funkcí. Jednoduché L -funkce jsou husté v L (X), 1 ≤ p < ∞. Důkaz. Nechť f ∈ Lp (X). Chceme najít posloupnost {fj } jednoduchých funkcí tak, aby kfj − f kp → 0. Můžeme předpokládat, že f ≥ 0. Podle věty 6.13 existují jednoduché funkce fj ≥ 0 tak, že fj % f . Z Lebesgueovy věty 8.2 (majoranta |f |p ) dostaneme Z |fj − f |p dx → 0. X
11. Věty o konvergenci Buď (X, S, µ) prostor s mírou. 11.1. Čebyševova nerovnost. Nechť f je měřitelná funkce na D ∈ S, p > 0 a a > 0. Potom R |f |p dµ . µ(D ∩ {f ≥ a}) ≤ D p a Důkaz. Zřejmě R Z |f |p dµ |f |p D µ(D ∩ {|f | ≥ a}) ≤ dµ ≤ . p ap D∩{|f |≥a} a 11.2. Věta (ε-δ spojitost integrálu). Nechť f je integrovatelná funkce na X. Potom ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna E ∈ S platí Z µ(E) < δ =⇒ |f | dµ < ε. E
Důkaz. Nechť Ej = {|f | ≥ j}. Podle Lebesgueovy věty 8.2 (majoranta |f |) je Z Z lim |f | dµ = lim |f |χEj dµ = 0, j→∞
j→∞
Ej
X
takže existuje k ∈ N tak, že Z |f | dµ < Ek
Nechť E ∈ S, µ(E) < δ :=
ε 2k .
ε . 2
Potom Z Z Z |f | dµ = |f | dµ + |f | dµ E E∩Ek E\Ek Z ≤ |f | dµ + k µ(E) Ek
ε ε < + . 2 2 24
11.3. Limity posloupností množin. Nechť {Ej } je posloupnost množin. Značíme ∞ [ ∞ \
lim sup Ej = j→∞
lim inf Ej = j→∞
k=1 j=k ∞ \ ∞ [
Ej ,
Ej ,
k=1 j=k
11.4. Cantelliho věta. Nechť {Ej } je posloupnost měřitelných podmnožin X. Jestliže ∞ X
µ(Ej ) < ∞,
j=1
potom µ lim sup Ej = 0. j
Důkaz. Máme
∞ [ ∞ ∞ \ [ µ Ej ≤ inf µ Ej k∈N
k=1 j=k
j=k ∞ X
≤ inf
k∈N
µ(Ej ) = 0.
j=k
11.5. Konvergence v míře. Nechť f , fj , j = 1, 2, . . . , jsou měřitelné funkce na D ∈ S. Řekneme, že fj → f v míře, jestliže pro každé ε > 0 platí lim µ {|fj − f | ≥ ε} = 0. j→∞
11.6. Jegorovova věta. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou, která je konečná a f : X → R je S-měřitelná. Nechť {fj } je posloupnost S-měřitelných funkcí na X. Předpokládejme, že fj → f skoro všude. Potom pro každé ε > 0 existuje množina G ∈ S tak, že µ(G) < ε a fj → f stejnoměrně na X \ G. Důkaz. Můžeme předpokládat, že f = 0. Zvolme ε > 0. Označme [ Ekj = {|fi | ≥ 1/k}. i≥j
Potom \ lim µ(Ekj ) = µ Ekj = 0 j
j
(zde jsme využili, že µ(X) < ∞, viz. 1.16(c)), a proto existuje Gk ∈ {Ekj : j ∈ N} tak, že µ(Gk ) < 2−k ε. Položme G=
[
Gk .
k
Potom µ(G) < ε. Je-li dáno přirozené k, potom existuje přirozené j tak, že Gk = Ekj . Je-li i ≥ j a x ∈ / G, potom |fi (x)| < 1/k. Tedy fj → 0 stejnoměrně na X \ G. 11.7. Poznámky (Vztah konvergence v míře, konvergence skoro všude a konvergence v Lp ). Nechť f , fj jsou měřitelné funkce na X. Připomeňme, že konvergence fj → f v Lp znamená podle definice kfj − f kp → 0. (a) Nechť fj → f v Lp (X). Potom fj → f v míře. To je snadný důsledek Čebyševovy nerovnosti 11.1. (b) Nechť fj → f v míře. Nechť existuje “integrovatelná majoranta” g ∈ Lp (X), p < ∞, tak, že |fj | ≤ g skoro všude, j = 1, 2, . . . . Potom fj → f v Lp (X). 25
Bez újmy na obecnosti f = 0. Pro každé ε > 0 máme Z Z Z |fj |p dµ ≤ |fj |p dµ + {|fj |≤εg}
X
Z ≤ε
Z
|fj |p dµ +
g p dµ +
Z
g p dµ +
Z
{g<ε}
X
|fj |p dµ
{|fj |≥ε2 }
{g<ε}
g p dµ.
{|fj
|≥ε2 }
První integrál jde k nule pro ε → 0. Druhý také, to plyne z Lebesgueovy věty 7.9 s majorantou g p . Třetí integrál jde k nule pro j → ∞ z věty 11.2 a definice konvergence v míře. (c) Nechť µ(X) < ∞. Jestliže fj → f skoro všude, pak fj → f v míře. To je snadný důsledek Jegorovovy věty 11.6. (d) Jestliže fj → f v míře, pak existuje vybraná posloupnost, která konverguje skoro všude. (0) (m) Bez újmy na obecnosti f = 0. Položme fj = fj a pro m = 1, 2, . . . najdeme {fj }j vybranou (m−1)
z {fj
}j tak, že X
(m)
µ {|fj
| ≥ 1/m} < ∞.
j
Podle Cantelliho věty 11.4 je pak i µ(Em ) = 0, kde Em =
∞ [ ∞ \
(m)
{|fj
| ≥ 1/m}.
k=1 j=k
Zřejmě (m)
x∈ / Em =⇒ lim sup |fj
(x)| ≤ 1/m.
j
(j)
Položme gj = fj . Potom pro každé m je {gj }j až na konečně mnoho členů vybraná posloupnost (m)
z {fj
}j , tedy gj → 0 skoro všude. 12. Znaménkové míry
12.1. Znaménková míra, vektorová míra. Nechť (X, S) je měřitelný prostor a V je reálný normovaný lineární prostor. Množinová funkce ν : S → V se nazývá vektorová míra na S, jestliže splňuje (ZM-1) ν(∅) = 0, ∞ S (ZM-2) jestliže Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . , jsou po dvou disjunktní, A = Aj , potom j=1
ν(A) =
∞ X
ν(Aj ).
j=1
Součet ve (ZM-2) se chápe ve smyslu konvergence částečných součtů v normě prostoru V. V dalším se budeme zabývat především znaménkovými měrami , tj. “vektorovými” měrami s hodnotami v R. Jelikož R je také normovaný lineární prostor, můžeme znaménkové míry chápat jako zvláštní případ právě definovaného pojmu. Někdy se pro znaménkovou míru používá termín náboj. Oproti míře, znaménková míra může nabývat i záporných hodnot, ale nesmí nabývat hodnot +∞, −∞. Snadno nahlédneme, že systém všech znaménkových (nebo vektorových) měr tvoří vektorový prostor. Omezení na konečné hodnoty vylučuje Lebesgueovu míru nebo některé množinové funkce, které lze získat jako rozdíly nezáporných měr. Lze uvažovat zobecnění znaménkových měr, které zahrne i tyto případy, ale zde se tím nebudeme zabývat. 12.2. Větička (Vlastnosti znaménkové míry). Nechť ν je znaménková míra na (X, S). Nechť Aj ∈ S. (a) Jestliže Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . , A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , potom [ ν( Aj ) = lim ν(Aj ). j
j
(b) Jestliže Aj ∈ S, j = 1, 2, . . . , A1 ⊃ A2 ⊃ . . . , potom \ ν( Aj ) = lim ν(Aj ). j
j
Důkaz. Podobně jako pro nezáporné míry. K důkazu (a) použijeme trik zdisjunktnění 1.15 a k důkazu (b) přechod k doplňkům. 26
12.3. Hahnův rozklad znaménkové míry. Nechť ν je znaménková míra na (X, S). Řekneme, že množina A ⊂ X je kladná, pokud ν(E) ≥ 0 pro každou E ∈ S, E ⊂ A. Podobně řekneme, že množina A ⊂ X je záporná, pokud ν(E) ≤ 0 pro každou E ∈ S, E ⊂ A. Dvojici (P, N ) množin z S nazveme Hahnův rozklad X podle míry ν, jestliže P ∪ N = X,
(12.1)
P ∩ N = ∅,
P je kladná a N je záporná. 12.4. Lemma. Nechť ν je znaménková míra na (X, S) a A ∈ S, ν(A) > 0. Potom existuje kladná množina B ⊂ A tak, že ν(B) ≥ ν(A). Důkaz. Pro každou množinu M ∈ S položme s(M ) = sup{ν(E) : E ∈ S, E ⊂ M }. Zkonstruujeme posloupnost množin {Aj } následujícím způsobem. Položme A0 = A. Máme-li zkonstruovány A0 , . . . , Aj , najděme Aj+1 ⊂ Aj tak, že ν(Aj+1 ) ≥ ν(Aj ) a ( 2j , pokud s(Aj ) = ∞, (12.2) ν(Aj+1 ) ≥ s(Aj ) − 2−j , pokud s(Aj ) < ∞. Položme B=
\
Aj .
j
Podle větičky 12.2, lim ν(Aj ) = ν(B) < ∞, odtud speciálně vidíme, že v (12.2) dostáváme jen konečněkrát horní možnost. Jelikož zřejmě s(A0 ) ≥ s(A1 ) ≥ s(A2 ) ≥ . . . , existuje s ∈ R tak, že s(Aj ) & s. Pro všechna j dostatečně velká máme s(Aj ) ≥ ν(Aj ) ≥ s(Aj ) − 2−j ≥ s(B) − 2−j ≥ ν(B) − 2−j , limitní přechod dává s ≥ ν(B) ≥ s ≥ s(B) ≥ ν(B), neboli s = s(B) = ν(B). Pro každou E ∈ S, E ⊂ B je ν(E) = ν(B) − ν(B \ S) ≥ s(B) − s(B) = 0, tedy B je kladná. Jelikož ν(A) = ν(A0 ) ≤ ν(A1 ) ≤ · · · ≤ ν(B), je splněna i závěrečná podmínka.
12.5. Věta (Existence Hahnova rozkladu). Nechť ν je znaménková míra na (X, S). Potom existuje Hahnův rozklad X podle ν. Důkaz. Položme t = sup{ν(E) : E ∈ S, E je kladná}. Nejděme kladné množiny Ej ∈ S tak, že ν(Ej ) → t a položme [ P = Ej . j
Zřejmě sjednocení kladných množin je kladná množina, a protože znaménková míra je konečná, máme t = ν(P ) < ∞. Zbývá dokázat, že N := X \ P je záporná. Předpokládejme, že A ⊂ N , ν(A) > 0. Potom podle lemmatu existuje B ⊂ A tak, že B je kladná a ν(B) ≥ ν(A) > 0. Potom P ∪B je kladná a ν(P ∪B) = ν(P )+ν(B) > t, a to je spor. 27
12.6. Jordanův rozklad znaménkové míry na kladnou a zápornou část. Nechť (X, S) je měřitelný prostor a ν je znaménková míra na (X, S). Nechť (P, N ) je Hahnův rozklad X podle ν. Definujme nezáporné míry ν + , ν − a |ν| pro E ∈ S předpisem ν + (E) = ν(E ∩ P )
(kladná část znaménkové míry ν),
−
ν (E) = ν(E ∩ N ) +
(záporná část znaménkové míry ν), −
+
ν (E) = ν (E) + ν (E)
(variace znaménkové míry ν).
Potom ν = ν + − ν − a tento rozklad se nazývá Jordanův rozklad znaménkové míry ν. Míry ν + a ν − dostaneme nazpět ze vzorců |ν|(E) + ν(E) |ν|(E) − ν(E) , ν − (E) = , E ∈ S. 2 2 Ačkoli Hahnův rozklad nemusí být jednoznačný, snadno vidíme, že Jordanův rozklad jednoznačný je, přesněji, na volbě Hahnova rozkladu nezávisí. ν + (E) =
12.7. Integrování podle znaménkové míry. Nechť ν je znaménková míra na (X, S). a f je S-měřitelná funkce na D ∈ S. Definujeme Z Z Z f dν = f dν + − f dν − D
D
D
pokud rozdíl vpravo má smysl. 13. Derivování a rozklad měr 13.1. Absolutní spojitost a singulárnost. Nechť (X, S) je měřitelný prostor. Nechť µ a ν jsou míry na S. Řekneme, že ν je absolutně spojitá vzhledem k µ, značení ν << µ, jestliže pro každou E ∈ S platí (13.1)
µ(E) = 0 =⇒ ν(E) = 0.
Řekneme, že ν a µ jsou navzájem singulární, značení µ⊥ν, jestliže existují Xa , Xs ∈ S tak, že (13.2)
X = Xa ∪ Xs ,
µ(Xs ) = ν(Xa ) = 0.
Budeme uvažovat i případ, že ν je znaménková míra. Potom definice absolutní spojitosti zůstává beze změny a v definici singularity požadujeme |ν|(Xa ) = 0. Zřejmě ν << µ ⇐⇒ |ν| << µ. 13.2. Míra s hustotou. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou a f je µ-integrovatelná funkce na X. Pro E ∈ S buď Z ν(E) = f dµ. E
Potom ν je znaménková míra, která se nazývá míra s hustotou f . Naopak f se v této situaci nazývá dν . hustota nebo Radon-Nikodýmova derivace míry ν (vzhledem k µ) a značí dµ 13.3. Lebesgue–Radon–Nikodýmova věta. Nechť (X, S, µ) je prostor se σ-konečnou mírou a ν je znaménková míra na S. Potom (a) (Lebesgueova věta o rozkladu) existuje právě jeden rozklad ν = νa +νs , kde νa a νs jsou znaménkové míry na (X, S), νa << µ a νs ⊥µ. Pokud ν je nezáporná, pak i νa a νs jsou nezáporné. (b) (Radon–Nikodýmova věta) existuje právě jedna (až na modifikace na množinách µ-míry nula) µ-integrovatelná funkce f tak, že Z νa (E) =
f dµ E
pro každou E ∈ S, neboli f =
dνa dµ .
Důkaz. Tvrzení o jednoznačnosti je velmi snadné. Např. v části (a) si uvědomíme, že pokud by existovaly různé míry ν1 a ν2 s vlastnostmi, které vyžadujeme od νa , pak ν1 −ν2 by byla absolutně spojitá vzhledem k µ. Současně ν1 − ν2 = (ν − ν2 ) − (ν − ν1 ), takže míry ν1 − ν2 a µ by byly navzájem singulární. Uvažujme rozklad X = Xa ∪ Xs , kde |ν1 − ν2 |(Xa ) = µ(Xs ) = 0. Potom z absolutní spojitosti bychom dostali, že též |ν1 − ν2 |(Xs ) = 0, takže |ν1 − ν2 | = 0, spor. Důkaz existence rozdělíme do několika kroků 28
1. krok: Nejprve předpokládejme, že ν a µ jsou konečné (nezáporné) míry na S. Označme σ = µ + ν. Konstruujme posloupnost {uk } nezáporných funkcí na X tak, aby pro každé přirozené k platilo u0 ≤ u1 ≤ · · · ≤ uk
(13.3) a Z
Z uk dσ ≤ ν(E) ≤
(13.4) E
uk + 2−k σ(E),
E ∈ S.
E
Položme u0 = 0. Máme-li zkonstruovány funkce uk tak, aby platilo (13.3)–(13.4) pro k = 1, . . . , m − 1, položme Z νm (E) = ν(E) − um−1 dσ − 2−m σ(E) E
a majděme Hahnův rozklad (Pm , Nm ) prostoru X podle νm . Potom um = um−1 + 2−m χPm splňuje (13.3) a (13.4) pro k = m. Položme u = limm um . Potom 0 ≤ u ≤ 1 a Z (13.5) u dσ = ν(E), E ∈ S. E
Položme Xa = {u < 1},
Xs = {u = 1},
Definujme míry νa a νs předpisem νa (E) = ν(E ∩ Xa ), Potom
νs (E) = ν(E ∩ Xs ),
E ∈ S.
νs (Xa ) = ν(Xs ∩ Xa ) = 0, Z µ(Xs ) = σ(Xs ) − ν(Xs ) = σ(Xs ) −
u dσ = 0, Xs
tedy µ a νs jsou navzájem singulární. Ze vzorce (13.5) odvodíme Z Z (13.6) gu dµ = g (1 − u) dν, E
E
kde g je nezáporná S-měřitelná funkce a E ∈ S. Nejprve bychom ověřli (13.6) pro charakteristické funkce množin z S (v roli g), pak pro jednoduché funkce a limitním přechodem podle Leviho věty vidíme, že platí pro každou nezápornou měřitelnou funkci g. Nechť E ∈ S. Položme ( 1 , x ∈ E ∩ Xa , f = vg. g(x) = 1−v(x) 0, x∈ / E ∩ Xa , Potom (13.6) dává Z f dµ = ν(E ∩ Xa ) = νa (E). E
Odtud plyne tvrzení (b) věty i absolutní spojitost νa vzhledem k µ. 2. krok. Předpokládejme nyní, že ν je znaménková míra. Potom aplikujeme předchozí část na kladnou a zápornou část míry ν (Jordanův rozklad, viz. 12.6) a využijeme toho, že ν = ν+ − ν−. 3. krok. Je-li míra µ σ-konečná, rozdělíme X na spočetně mnoho S-měřitelných částí, na nichž je µ konečná, použijeme předchozí kroky a nalezené objekty “poslepujeme”. Podrobnosti jsou nezajímavé. 13.4. Absolutně spojitá a singulární čast. Míře νa z věty 13.3 se říká absolutně spojitá část míry ν a míře νs := ν − νa se říká singulární část míry ν. Rozkladu ν = νa + νs se říká Lebesgueův rozklad míry ν. 13.5. Integrování podle míry s hustotou. Nechť (X, S, µ) je prostor se σ-konečnou mírou, ν je znaménková míra na (X, S), ν << µ, a g je S-měřitelná funkce na D ∈ S. Potom Z Z dν dµ, g dν = g D D dµ pokud má aspoň jedna strana smysl. 29
Důkaz. Podle definice tvrzení platí, když g je charakteristická funkce měřitelné množiny. Zbytek je rutinní záležitost (jednoduché funkce, limitní přechod). 13.6. Spojité a diskrétní míry. Nechť (X, S, µ) je prostor s mírou. Předpokládejme, že S obsahuje všechny jednobodové množiny. Řekneme, že míra µ na S je • spojitá, jestliže µ({x}) = 0 pro všechna x ∈ X, • diskrétní, jestliže existuje spočetná množina S ⊂ X tak, že µ(X \ S) = 0. 13.7. Charakterizace diskrétních měr. Míra µ je diskrétní, právě když existuje spočetná množina S ⊂ X tak, že X µ(E) = µ({x}), E ∈ S. x∈E∩S
Důkaz. Důkaz je zřejmý.
13.8. Rozklad míry na spojitou a diskrétní část. Nechť (X, S, µ) je prostor se σ-konečnou mírou. Předpokládejme, že S obsahuje všechny jednobodové množiny. Potom existuje rozklad µ = µc + µd , kde µc je spojitá a µd je diskrétní. Důkaz. Položme S = {x : µ({x}) > 0}. Jelikož µ je σ-konečná a jednobodové množiny jsou měřitelné, množina S je spočetná a měřitelná. Definujme míry µc a µd předpisem µc (E) = µ(E \ S),
µd (E) = µ(E ∩ S),
E ∈ S.
Zřejmě µc je spojitá a µd je diskrétní.
14. Aplikace na distribuční funkce 14.1. Obraz míry. Nechť (X, S), (Y, T ) jsou měřitelné prostory, µ je míra na (X, S) a f je měřitelné zobrazení (X, S) do (Y, T ). Potom množinová funkce f (µ) : E 7→ µ(f −1 (E)),
E∈T
se nazývá obraz míry µ. Obraz míry je zřejmě míra. 14.2. Věta o obrazu míry. Nechť (X, S, µ), (Y, T , ν) jsou prostory s mírou, f je měřitelné zobrazení (X, S) do (Y, T ) a ν = f (µ). Potom pro každou T -měřitelnou funkci u na Y je Z Z u(y) dν(y) = u(f (x)) dµ(x) Y
X
pokud aspoň jedna strana má smysl. Důkaz. Důkaz je rutinní záležitost (přes charakteristické funkce, jednoduché funkce, . . .).
14.3. Neklesající funkce-skoky. Množinu bodů nespojitosti (“skoků”) funkce F značíme SF . Je SF = {x ∈ R : F (x−) < F (x+)}. Množina SF je (nejvýš) spočetná. Každou neklesající funkci F můžeme “opravit” na zprava spojitou a neklesající funkci podle vzorce (14.1) F˜ : x 7→ lim F (y). y→x+
Takto opravená F˜ se od F liší jen na SF . 14.4. Neklesající funkce absolutně spojité, singulární spojité a funkce skoků. Podle věty 5.4 každá omezená neklesající zprava spojitá funkce F indukuje Lebesgue-Stieltjesovu míru µF . Řekneme, že F je • absolutně spojitá, je-li µF << λ, • singulární, je-li µF ⊥λ, • funkce skoků, je-li µF diskrétní. 30
Omezenost funkce F jsme předpokládali jen z terminologických důvodů. Kdyby F byla neomezená, bylo by v prvém případě přesnější používat termín “lokálně absolutně spojitá”. 14.5. Rozklad omezené neklesající funkce. Mějme omezenou neklesající zprava spojitou funkci F : R → R a indukovanou Lebesgue-Stieltjesovu míru µ = µF . Potom µ lze podle vět 13.3 a 13.8 rozdělit µ = µa + µcs + µd , kde µa << λ, µcs ⊥λ, µd ⊥λ, µcs je spojitá a µd je diskrétní. Tomu odpovídají funkce Fa (x) := µa ((−∞, x]), (14.2)
Fcs (x) := µcs ((−∞, x]), Fd (x) := µd ((−∞, x]) − F (x+) + F (x).
Funkce Fa je absolutně spojitá, Fcs je singulární spojitá, Fd je funkce skoků a F (x) = F (−∞+) + Fa (x) + Fcs (x) + Fd (x). 14.6. Náhodná veličina. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, neboli prostor s pravděpodobnostní mírou. A-měřitelná funkce X : Ω → R se bude nazývat náhodná veličina. 14.7. Distribuční funkce a rozdělení náhodné veličiny. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor a X je náhodná veličina na Ω. Funkce F (x) = P ({X ≤ x}) se nazývá distribuční funkce náhodné veličiny X a značí FX . Míra X(P ) na (R, B(R)) (obraz míry, viz. 14.1) se nazývá rozdělení náhodné veličiny X a značí µX ; je to pravděpodobnostní Lebesgue-Stieltjesova míra. 14.8. Využití rozdělení náhodné veličiny. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, X je náhodná veličina na Ω a µ = µX . Potom pro každou borelovskou množinu E ⊂ R je P ({X ∈ E}) = µ(E). Nechť φ : R → R je borelovsky měřitelná funkce. Potom Z Z ∞ φ ◦ X dP = φ(x) dµ(x), Ω
−∞
pokud má aspoň jedna strana smysl. Důkaz. Plyne z věty 14.2.
14.9. Vlastnosti distribučních funkcí. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, X je náhodná veličina na Ω a F = FX . Potom (DF-1) F je neklesající, (DF-2) F je zprava spojitá a (DF-3) F (−∞+) = 0, F (+∞−) = 1. Důkaz. Důkaz je zřejmý.
14.10. Charakterizace distribučních funkcí. Větu 14.9 můžeme obrátit. Jestliže F : R → R splňuje (DF-1)–(DF-3), pak existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P ) a náhodná veličina X na Ω tak, že F je distribuční funkce X. Důkaz. Uvažujme identickou funkci X : x 7→ x na pravděpodobnostním prostoru (R, B(R), µF ). Podle věty 5.4 míra µF existuje, a zřejmě má požadované vlastnosti. 14.11. Terminologická poznámka. Na základě vět 14.9 a 14.10 můžeme termín “distribuční funkce” používat pro funkci F : R → R splňující (DF-1)–(DF-3), aniž bychom měli na mysli nějakou konkrétní náhodnou veličinu, které by byla funkce F přiřazena. 14.12. K míře najdeme distribuční funkci. Nechť µ je pravděpodobnostní Lebesgue-Stieltjesova míra na R. Potom existuje právě jedna distribuční funkce F tak, že platí (5.3). (Srov. 5.5) Důkaz. Hledaná funkce je F (x) = µ((−∞, x]). 31
14.13. Skoky a derivace distribuční funkce. Nechť F je distribuční funkce, µ = µF , µa je absolutně spojitá část µF a dµa f := . dλ Potom pro každý bod x ∈ R je F (x) − F (x−) = µ({x}) (to je snadné), a F 0 = f skoro všude (to je těžké) 14.14. Využití distribuční funkce náhodné veličiny. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, X je náhodná veličina na Ω a F = FX . (a) Nechť F je absolutně spojitá. Potom pro každou borelovskou množinu E ⊂ R je Z P ({X ∈ E}) = F 0 (x) dx. E
Nechť φ : R → R je borelovsky měřitelná funkce. Potom Z Z ∞ φ(x) F 0 (x) dx, φ ◦ X dP = −∞
Ω
pokud má aspoň jedna strana smysl. (b) Nechť F je funkce skoků a SF je množina skoků funkce F . Potom pro každou borelovskou množinu E ⊂ R je X P ({X ∈ E}) = (F (x) − F (x−)). x∈SF ∩E
Nechť φ : R → R je borelovsky měřitelná funkce. Potom Z X φ ◦ X dP = φ(x)(F (x) − F (x−)), Ω
x∈SF
pokud má aspoň jedna strana smysl. Důkaz. Důkaz pomocí věty 14.8 je snadný, v případě (a) se však zprostředkovaně opírá o RadonNikodýmovu větu a netriviální tvrzení v 14.13. 14.15. Příklady distribučních funkcí. Každá spojitě diferencovatelná distribuční funkce je příkladem absolutně spojité distribuční funkce, třeba 1 F (x) = 1/2 + arctan x. π Funkce χ[0,∞) je typická funkce skoků. Singulární spojité funkce se konstruují hůře, příkladem je tzv. Cantorova funkce.
32
Rejstřík ε-δ spojitost integrálu, 11.2 χE , 6.4 `, λ, λn , 1.4, 4, 2.11 µF , 5.2 µX , 14.7 σ-algebra, 1, 1.8 σ-konečná míra, 1.14 abstraktní Lebesgueův integrál, 7, 7.3 absolutně spojitá část míry, 13.4 absolutně spojitá funkce, 14.4 absolutně spojitá míra, 13.1 aproximace, 6.13, 10.7 borelovské množiny, 1.11, 4.3 Cantelliho věta, 11.4 Carathéhodoryova věta, 2.7 carathéhodoryovská měřitelnost, 2.6, 2.7 Čebyševova nerovnost, 11.1 derivování měr, 13 délka intervalu, 1.3 dělení, 7.1 Diracova míra, 1.13 diskrétní míra, 13.6, 13.8 distribuční funkce, 14.7 dolní součet, 7.3 Dynkinův systém, 3.1 FX , 14.7 Fatouovo lemma, 8.1 Fubiniova věta, 9.8 funkce skoků, 14.4 Hahnův rozklad znaménkové míry, 12.3 Hausdorffova míra, 1.13 Hopfova věta, 3.6 horní součet, 2.2 Hölderova nerovnost, trfholdner hustota (ve funkčních prostorech), viz. aproximace hustota míry, 13.2 charakteristická funkce, 6.4 I, In , 1.4 integrovatelná funkce, 7.3 interval, 1.3, 1.4 Jegorovova věta, 11.6 jednoduchá funkce, 6.12, 7.2 Jordanův rozklad, 12.6 kladná část funkce, 6.4 kladná část míry, 12.6 konečná míra, 1.14 konstrukce měr, 2 konvergence skoro všude, 1.14, 11.6, 11.7 konvergence v Lp , 10.2, 11.7 konvergence v míře, 11.5, 11.7 33
konvergentní Lebesgueův integrál, 7.3, Lp , viz prostor Lp Lebesgueova věta, 8.2, Lebesgueova věta o rozkladu, 13.3 Lebesgue-Radon-Nikodýmova věta, 13.3 Lebesgue-Stieltjesova míra, 5.2 Lebesgueova míra, 1.4, 4, 2.11 lebesgueovsky integrovatelná funkce, 7.3, lebesgueovsky měřitelná množina, 1.4 Lebesgueův integrál, 7, 7.3, Leviho věta, 7.9 M x,∗ , M ∗,y , 9.6 M(γ), 2.6, 2.7 měřitelná funkce, 6, 6.5 měřitelná množina, 1.8, 1.4, 2.6 měřitelné zobrazení, 6, 6.1 měřitelný obdélník, 9.1 měřitelný prostor, 1, 1.8 Minkowského nerovnost, 10.5 míra, 1, 1.12 míra s hustotou, 13.2 množinová funkce, 1.1 náboj, 12, 12.1 náhodná veličina, 14.6 nejužší, 1.7 norma v Lp , 10.2 objem intervalu, 1.4 obraz míry, 14.1 okruh, 1.8 počáteční podmínka, 2.2 počítací míra, 1.13 pramíra, 3.5 pravděpodobnostní míra, 1.14 prostor s mírou, 1, 1.12 prostor Lp , 10, 11.7 Radon-Nikodýmova derivace, 13.3 Radon-Nikodýmova věta, 13.3 rozdělení náhodné veličiny, 14.7 rozšíření množinové funkce, 1.7 řez, 9.6 SF , 5.1 singulární část míry, 13.4 singulární funkce, 14.4 singulární míra, 13.1 skok, 5.1 skoro všude, 1.14 součin měr, 9, 9.1, 9.10, spojitá míra, 13.6, 13.8 test měřitelnosti, 2.9 testovací množina, 2.6 trik zdisjunktnění, 1.15 úplná míra, 1.14 úplný prostor, 10.6 úplný součin měr, 9.1, variace znaménkové míry, 12.6věta o jednoznačnosti, 3.4 vnější míra, 2.1 34
Youngova nerovnost, 10.3 základní konstrukce, 2.8 záměna limity a integrálu, 8 záporná část funkce, 6.4 záporná část míry, 12.6 znaménková míra, 12, 12.1 zúplnění míry, 3.7 zúžení množinové funkce, 1.7
35
