TEORI TERZAGHI KONSOLIDASI SATU DIMENSI
Teori Terzaghi tentang Konsolidasi Satu Dimensi • • • • • • • •
Anggapan-anggapan Tanah homogen Tanah jenuh Butiran tanah dan air tidak dapat dimampatkan Kemampatan dan aliran hanya satu dimensi (vertikal) Regangan kecil Hukum Darcy berlaku untuk semua gradien hidrolis Koef permeabilitas dan koef perubahan volume konstan Ada hubungan unieque tidak tergantung waktu, antara angka pori dan tegangan efektif.
TUGAS • BANDINGKAN DENGAN KONDISI LAPANGAN
Proses konsolidasi Tegangan total
Waktu Excess Pore Pressure
Waktu
Proses konsolidasi Tegangan efektif
Waktu
Penurunan
Waktu
PERSAMAAN KONSOLIDASI
Penurunan persamaan konsolidasi 1. Aliran air (karena konsolidasi) vz
∆z
Potongan
∂v z vz + ∆z ∂z
Penampang A
Laju aliran air meninggalkan elemen ∂v ∆zA ∂z
Penurunan persamaan konsolidasi / lanjutan 2. Deformasi elemen tanah (karena perubahan tegangan efektif)
Laju penurunan volume ∆z
Potongan
Penampang A
∂ε v ∆zA ∂t
Penurunan persamaan konsolidasi Asumsi: partikel/butiran tanah dan air tak termampatkan Laju air meninggalkan elemen
=
Laju penurunan volume Elemen tanah
∂v ∆zA ∂z
∂ v Persamaan tampungan ∂z
∂ε v ∆zA ∂t
=
∂ε v ∂t
(3)
Penurunan persamaan konsolidasi / lanjutan 3. Aliran air (karena konsolidasi) Asumsi hukum Darcy
v =
∂h −k v ∂z
(4)
Note : karena aliran akibat konsolidasi maka head yang ditinjau yang berhubungan dengan excess pore pressure
u h = γw
(5)
Penurunan persamaan konsolidasi / lanjutan 4. Hubungan tegangan-regangan tanah Asumsi tanah bersifat elastis Respon elastis
εv
=
m v σ ′e
(7)
Note : mv harus dipilih hati-hati. Ini bukan konstanta umum. Untuk kondisi1-D dapat ditunjukkan sbb:
mv
C = 2.3 ( 1 + e ) σ ′
(9)
Penurunan persamaan konsolidasi 5. Prinsip tegangan efektif σ ′ = σ e
e
− u
(8)
Note: ini perubahan tegangan karena konsolidasi
Pers. tampungan
∂v ∂z
=
∂ε v ∂t
(3)
+ Hukum Darcy
v
∂h ∂z
=
−k v
=
m v σ ′e
(4)
+ Respon elastis
εv
(7)
Penurunan persamaan konsolidasi / lanjutan
Persamaan Konsolidation 1-D
∂ kv ∂u ∂u ∂σe [ ] = mv [ − ] ∂z γ w ∂z ∂ t ∂t
(10)
Penyelesaian persamaan konsolidasi / lanjutan 1. Boundary conditions
Very Permeable
Pada very permeable boundary u=0
Saturated Clay Pada very impermeable boundary Very Impermeable
∂u = 0 ∂z
Penyelesaian persamaan konsolidasi / lanjutan 2. Initial conditions (1-D)
Perubahan tegangan Total=∆σ Waktu Excess Pore Pressure
Waktu
Pada pembebanan cepat
u =
σe
Penyelesaian persamaan konsolidasi / lanjutan 3. Tanah homogen
∂ kv ∂u ∂u ∂σe [ ] = mv [ − ] ∂z γ w ∂z ∂t ∂t ∂2u cv ∂z 2 c
v
= =
∂ u ∂σ e − ∂t ∂t m
k
v
v
γ
w
(10)
(13)
Penyelesaian persamaan konsolidasi / lanjutan c
v
=
m
k
v
v
γ
w
cv = koefisien konsolidasi cv mempunyai units L2/T dan dapat diperkirakan dari oedometer test (uji konsolidasi). Koefisien perubahan volume mv dapat diukur dari oedometer test (uji konsolidasi). Harga kv sulit diukur secara langsung untuk lempung tetapi dapat dicari dari hubungan dengan cv.
KONSOLIDASI DUA ARAH
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah
Beban terbagi rata q
Z
Lapisan lempung homogen yang dapat didrainasi ke lapisan atas dan bawah
2H
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah Persamaan
cv
∂ 2u ∂z
2
=
∂u ∂t
(14a)
Boundary Conditions u = 0 bila z = 0 untuk t > 0 (14 b,c) u = 0 bila z = 2H untuk t > 0 Kondisi mula u = q bila t = 0 untuk 0 < z < 2H
(14d)
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah
Penyelesaian ∞
u
= 2q ∑ 0
1
αn
sin(α n Z )e
−α n2Tv
dengan =
1 (n + )π 2
Z
=
Tv
=
z H cv t H2
αn dan
(15)
Dimana Tv = Faktor waktu / time factor Cv = Koefisien Konsolidasi / dari oedometer t = waktu H = tebal lapisan = 2 d d = jarak antar permukaan lapisan tanah d
H d
OPEN LAYER
drainase
π
Untuk U < 0,6
Tv = U 4
Untuk U > 0,6
Tv = −0,933 log(1 − U ) − 0,085
2
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 2 arah 0
Z=z/H
T=0.8
1
0.5
0.3
0.2
0.1
2 0.0
0.5
1.0
u/q Variasi Excess pore pressure dengan kedalaman
Grafik hubungan Uz - Tv
Perhitungan penurunan 2H S = ∫ ε v dz 0 2H = ∫ m v (σ e − u )dz 0 dari pers. ini dapat ditujukkan S = U( Tv ) S∞ ∞
= 1− 2 ∑ 0
e
− α 2n Tv α 2n
(16c)
Faktor waktu Tv 0.00
10-3
10-2
10-1
1 Hubungan derajat Konsolidasi & waktu
0.25
U
0.50
0.75
1.00
10
Grafik hubungan U - Tv
Rumus pendekatan derajat konsolidasi
4Tv π
U = U = 1−
8 π
2
e
− π 2Tv / 4
(Tv ≤ 0.2) (Tv > 0.2)
π
Untuk U < 0,6
Tv = U 4
Untuk U > 0,6
Tv = −0,933 log(1 − U ) − 0,085
2
Derajat Konsolidasi rata-rata • Pada prakteknya yang dipergunakan adalah derajat konsolidasi rata-rata lapisan tanah. • Untuk ui = konstan ∞
2 −M U = 1− ∑ e 2 m =0 M
2
Tv
• Selanjutnya hubungan U – Tv dibuat tabel atau grafik.
Tabel hubungan U - Tv
Tabel hubungan U - Tv
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 1 arah
Beban terbagi rata q
Z
Lapisan lempung jenuh homogen H terletak di atas dasar kedap air (impermeable)
Impermeable Impermeable
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 1 arah Persamaan
cv
∂ 2u ∂z
2
=
∂u ∂t
(18a)
Boundary Conditions u=0
bila z = 0 untuk t > 0
∂u u=0 = 0 bila z = H untuk t > 0 ∂z
(18b,c)
Keadaan mula u = q bila t = 0 untuk 0 < z < H
(18d)
Penyelesaian persamaan konsolidasi drainasi 1 arah 0
Z=z/H
T=0.8
1
0.5
0.3
0.2
0.1
2 0.0
0.5
1.0
u/q Variasi Excess pore pressure dengan kedalaman Penyelesaian identik dengan drainasi 2 arah. Note, panjang maximum drainage path nya identik.
Contoh 1: berapakah penurunan yang terjadi setelah 1 tahun Soil Profile
Gravel Clay
4m
Final settlement=100mm cv=0.4m2/year
Sand Clay Clay
Impermeable
5m
Final settlement=40mm cv=0.5m2/year
Penyelesaian Untuk lapisan atas, pada t = 1 tahun ; H = 0.5 x 4= 2 m Tv
=
cvt H2
=
0 .4 × 1 22
=
0 .1
Dengan menggunakan grafik dengan Tv = 0.1 U = 0.36 maka S = 100 × 0.36 = 36mm
Dimensionless Time Tv 0.00
10-3
10-2
10-1
1 Relation of degree of settlement and time
0.25
U
0.50
0.75
1.00 Tv = 0.1
10
Untuk lapisan bawah, t = 1 th ; H = 5 m ( half closed layer )
Tv
=
cvt H2
=
0 .5 × 1 52
=
0 . 02
Dengan menggunakan grafik dengan Tv = 0.02 U = 0.16 maka S = 40 × 0.16 = 6.4 mm
Dimensionless Time Tv 0.00
10-3
10-2
10-1
1 Relation of degree of settlement and time
0.25
U
0.50
0.75
1.00 0.02 0.05
10
LATIHAN - 1
LATIHAN 1: berapakah penurunan yang terjadi setelah 5 tahun Soil Profile
Gravel Clay
8m
Final settlement=500mm cv=0.25m2/th
Sand Clay Clay
Impermeable
4m
Final settlement=200mm cv=0.45m2/th
Contoh 2: uji laboratorium Oedometer U=0.5 setelah 2 menit. Drainasi 2 arah, H = 5 mm
Hitung waktu untuk U= 0.5 pada lapisan lempung yang sama tebal 10 m, drainasi 1 arah
Oedometer
Tv
Lapisan tanah Tv
=
cvt H2
=
cv t H2
=
cv × 2 0.005 2
= 80000 c v
=
cv × t 10 2
cv × t 100
=
Tv (oedometer) = Tv (lapisan tanah) maka t = 80000000 menit = 15,2 tahun
LATIHAN - 2
LATIHAN-2 : uji laboratorium Pada percobaan oedometer didapatkan pembacaan U=0.9 setelah 60 menit. Sampel dengan drainasi 2 arah, dengan tebal H = 10 mm
Hitung waktu yang diperlukan untuk mencapai U= 0.9 pada lapisan lempung yang sama , dengan tebal 2 m, drainasi 2 arah
CARA MENENTUKAN KOEFISIEN KONSOLIDASI
CARA MENENTUKAN KOEFISIEN KONSOLIDASI 1. CARA LOG WAKTU ( CASAGRANDE ) 1
4
ao as
INITIAL COMPRESSION
d d
do PRIMARRY CONSOLIDATION
a 50 do
PEMBACAAN DIAL GAUGE (MM)
SECONDARY CONSOLIDATION
t 50
Log t
( menit )
2. METODE AKAR WAKTU ( TAYLOR ) PEMBACAAN DIAL GAUGE ao INITIAL COMPRESSION as
PRIMARY CONSOLIDATION 1 : 1,15 AC = 1,15 AB a90 A
C B
af
SECONDARY COMPRESSION
t 90
AKAR WAKTU
t
(menit )
GRAFIK TEORI
O U ( DERAJAD KONSOLIDASI )
0,9
A
B
C
1 1 0
t
Dari grafik konsolidasi teoritis didapatkan Untuk U = 50 % Tv = 0,196 Untuk U = 90 % Tv = 0,848 Dengan demikian didapatkan Log Time Methode 0,196 d 2 Cv =
t 50
0,848 d 2 Root Time Methode Cv = t 90
Setiap jenis tanah mempunyai parameter berbeda, yang dapat diukur dari beberapa indikator sbb;
Initial Compression Ratio
ao − a s ro = ao − a f
Primary Compression Ratio ( Log Time Method )
a s − a100 r p= ao − a f
Primary Compression Ratio ( Root Time Method )
10(a s − a90 ) rp = 9(ao − a f )
Secondary Compression Ratio
rs =1−(ro + rp )
CONTOH SOAL Dari hasil oedometer test didapatkan hasil sebagai berikut ; SG = 2,73 dengan tegangan bertambah dari 21,4 ke 42,9 t/m2. Tebal contoh tanah setelah 1440 menit terakhir 1360 mm dengan kadar air 35,9 % . Data pembacaan seperti pada tabel dibawah Soal ; 1. Hitung koefisien konsolidasi (log time & roots time) 2. Hitung compression ratio 3. Hitung koefisien permeability
HASIL PEMBACAAN OEDOMETER WAKTU ( MENIT )
0,00 0,25 0,50 1,00 2,25 4,00 9,00 16,00 25,00
PEMBACAAN
5,00 4,67 4,62 4,53 4,41 4,28 4,01 3,75 3,49
WAKTU ( MENIT )
25,00 36,00 49,00 64,00 81,00 100 200 400 1440
PEMBACAAN
3,49 3,28 3,15 3,06 3,00 2,96 2,84 2,76 2,61
PENYELESAIAN
Perubahan tebal = 5 − 2,61 = 2,39 mm 2,39 Tebal rata selama konsolidasi = 13,6 + = 14,8 mm 2 14,8 Panjang lintasan drainase = = 7,4 mm 2 Dari gambar log t , untuk t 50 = 12,5 menit 2
0,196 d 2 0,196 x 7,4 2 1440 x 365 2 Cv = = x = 0 , 45 m / tahun 6 t 50 12,5 10 ao − a s 5 − 4,79 ro = = = 0,088 ao − a f 5 − 2,61 a s − a100 4,79 − 2,98 rp = = = 0,757 ao − a f 5 − 2,61 rs = 1 − (ro − rp ) = 1 − (0,088 + 0,757) = 0,155
Dari gambar t , didapatkan t90 = 7,30 t90 = 53,3 mm 0,848 d 2 0,848 x 7,402 1440x365 2 Cv = = x = 0 , 46 m / th 6 t90 53,3 10 5 − 4,81 ro = = 0,080 5 − 2,61 10(4,81− 3,12) rp = = 0,785 9(5 − 2,61) rs = 1 − (0,08 + 0,785) = 0,135
e 1 = w 1 SG = 0 , 359 x 2 , 73 = 0 , 98 e o = e1 + ∆ e
Final void ratio ; Initial void ratio ; 1 + eo ∆e = →→ ∆H H o
Ho = H
∆e 1 , 98 + ∆ e = →→→ 2 , 39 15 , 99
1
+ ∆ H = 13 , 6 + 2 , 39 = 15 , 99
∆ e = 0 , 35
e o = 0 , 98 + 0 , 35 = 1 , 33 e o − e1 1 mv = 1 + e o σ 1' − σ o' =
1 0 , 35 x = 7 x 2 , 33 21 , 5
Koefisien
permeabili
ty
10
−3
− 10
m / det
2
/ ton
k = Cv mv γ
0 , 45 * 7 * 10 − 3 m 2 m 2 ton = * * * 365 * 24 * 3600 th ton m3 = 1 * 10
m
w
